GUÍA 1 ANALICEMOS LOS CAMBIOS Modificando los coeficientes de la función Como ya sabes, la forma general de la función cuadrática es y = ax 2 + bx + c . Al modificar los coeficientes, a, b y c, podemos ir generando diferentes funciones y a la vez diferentes comportamientos gráficos. Las acciones a realizar en esta guía te invitan a conocer , graficar y analizar lo que sucede al modificar algunos valores pertenecientes a diferentes funciones cuadráticas, utilizando el software gráfico Graphmatica. Un primer acercamiento a GeoGebra Una vez ejecutado el software, para ingresar una función debes escribir la expresión en la celda "entrada" como muestra la figura. Por ejemplo, para ingresar la función x2 debes digitar x seguido del botón tal como se muestra en la figura. Luego para que el gráfico se dibuje, presiona la tecla ENTER o el botón y obtendrás el gráfico de la función ingresada. Ahora comenzaremos a trabajar con el software Geo Gebrasobre función cuadrática de la forma: la y = ax 2 , con a perteneciente al conjunto de los números reales (IR), matemáticamente: con a y b = c = 0 ; y observa el comportamiento de los gráficos resultantes. IR, Entonces, sin borrar el gráfico obtenido anteriormente, escribe en la línea de ingreso y = 2x 2, y presiona la tecla “Enter”, de la misma manera continua graficando, en un mismo plano, las funciones y = 3x 2 , y = 4x 2 , y = 5x 2 , y = 30 x 2 . Observa lo que sucede con los gráficos de las funciones. En el plano cartesiano que se encuentra a continuación, esboza con distintos colores los gráficos obtenidos con el software, distinguiendo la expresión algebraica en cada caso, y responde las preguntas que se presentan a continuación. 50 Unidad: Función Cuadrática y raíz cuadrada • ¿Qué sucede con los distintos gráficos al ir aumentando el valor del coeficiente numérico a de la función cuadrática de la forma y = ax 2 ? • ¿Qué sucede gráficamente si el coeficiente a = 0 ? Trabajemos con otros valores A continuación limpia la pantalla , con la opción Borrar todo del menú con el botón que se encuentra en la esquina superior izquierda. Deja el plano sin gráficos y escribe en la línea de entrada las funciones y = x 2; y = 0,7x 2; y = 0,5x 2 ; y = 0,2x2 ; y = 0,1x2 ; y = 0,02x2 e y = 0,009x2 . Unidad: Función Cuadrática y raíz cuadrada 51 • Observando las funciones anteriores, ¿entre qué valores se encuentra el coeficiente a de la función y = ax 2 ? • En el plano cartesiano que se encuentra a continuación, esboza con distintos colores los gráficos obtenidos con el software, distinguiendo la expresión algebraica en cada caso, y responde la pregunta que se presenta a continuación. • ¿Qué sucede con los gráficos de las funciones cuando el coeficiente numérico a de la función y = ax 2 va disminuyendo sin llegar a ser negativo? Ahora con los negativos 52 Nuevamente limpia la pantalla e ingresa las siguientes funciones y = x 2 , y = -x 2 , y = 3x 2 , y = -3x 2 , y = 0,8x 2 , y = -0,8x 2 . Observa los gráficos de las funciones que han resultado. Unidad: Función Cuadrática y raíz cuadrada En el plano cartesiano que se encuentra a continuación, esboza con distintos colores los gráficos obtenidos con el software, distinguiendo la expresión algebraica en cada caso, y responde la pregunta que se presenta a continuación. • ¿Hacia donde se encuentra orientada la abertura del gráfico cuando el coeficiente a es positivo? ¿Y si es negativo? 2 Para resumir, marca la orientación del gráfico de la función y = ax , de acuerdo a las condiciones que se presentan a continuación. Si a > 0, es decir, si a es positivo Si a < 0, es decir, si a es negativo Unidad: Función Cuadrática y raíz cuadrada 53 Observemos el desplazamiento Limpia la pantalla de Graphmatica. Ahora trabajarás con funciones de la forma y = x 2 + k . Ingresa las siguientes funciones y = x 2 4 , y = x 2 3 , y = x 2 2 , y = x 2 1 y y = x 2 . Observa los gráficos de las funciones que han resultado. ¿Hacia dónde se desplaza el gráfico de la función de la forma y = x 2 + k , cuando el coeficiente k es negativo? ! 2 2 2 2 Ingresa las siguientes funciones y = x + 1 , y = x + 2 , y = x + 3 y y = x + 4 . Observa los gráficos de las funciones que han resultado. ¿Hacia dónde se desplaza el gráfico de la función de la forma y = x 2 + k , cuando el coeficiente k es positivo? ! ! El desplazamiento del gráfico de la función y = x 2 + k es en forma: Horizontal ! Vertical Diagonal El desplazamiento del gráfico se realiza sobre el eje: X Y En el siguiente plano cartesiano, esboza con distintos colores los gráficos obtenidos con el software, distinguiendo las expresiones algebraicas de cada uno de ellos. 54 Unidad: Función Cuadrática y raíz cuadrada Otra forma de desplazamiento 2 Limpia la pantalla y trabaja con las funciones cuadráticas de la forma y = (x h ) . Ingresa las 2 2 2 2 siguientes funciones cuadráticas: y = (x 4) , y = (x 3) , y = (x 2) , y = (x 1) y y = x 2 . Observa los gráficos de las funciones que han resultado. 2 • ¿Hacia dónde se desplaza el gráfico de la función cuadrática de la forma y = (x h ) , cuando el coeficiente h es positivo? Ingresa las siguientes funciones cuadráticas:: y = (x + 1) 2, y = (x + 2 ) 2, y = (x + 3) 2 y 2 y = (x + 4 ) . Observa los gráficos de las funciones que han resultado. Unidad: Función Cuadrática y raíz cuadrada 55 • ¿Hacia dónde se desplaza el gráfico de la función de la forma y = (x h ) 2 , cuando el coeficiente h es negativo? 2 • El desplazamiento del gráfico de la función y = (x h ) es en forma: Horizontal Vertical Diagonal 2 • El desplazamiento del gráfico de la función y = (x h ) se realiza sobre el eje: X Y • En el siguiente plano cartesiano que se encuentra a continuación, esboza con distintos colores los gráficos obtenidos con el software. 56 Unidad: Función Cuadrática y raíz cuadrada La forma canónica de una función de segundo grado 2 2 Haz trabajado hasta el momento con tres formas de funciones cuadráticas: y = ax , y = x + k , 2 y = (x h ) , si combinas estas tres formas, tienes la posibilidad de graficar cualquier función cuadrática. Esta expresión de la función cuadrática es conocida como la forma canónica de la función cuadrática. 2 y = a(x h ) + k 2 A continuación analiza el comportamiento de la función y = a(x h ) + k , con el applet (parabolavariacion2.html) que se encuentra disponible para esta sección de la guía de trabajo. ! En caso de utilizar el applet mencionado anteriormente, mueve los deslizadores que representan los valores en cada función cuadrática, de acuerdo a las formas canónicas siguientes. 2 d) y = 3(x 2 ) (x + 1) 2 6 2 2(x 4) + 3 e) y = 0, 2(x + 3) f) y = 2(x 0,5) + 5 a) y = (x + 5) + 2 b) y= c) y= 2 4 2 3 2 A continuación anota cada uno de los coeficientes de las funciones cuadrática. a) a = h= k= d) a = h= k= b) a = h= k= e) a = h= k= c) a = h= k= f) a = h= k= • De lo observado en el trabajo con el applet de las variaciones de los coeficiente a, h y k, sobre las funciones cuadráticas de la forma y = a(x h ) 2 + k . ¿Qué sucede al variar el valor de a? ! ¿Qué sucede al variar el valor de k en las respectivas funciones cuadráticas? Unidad: Función Cuadrática y raíz cuadrada 57 • ¿Qué sucede al variar el valor de h en las respectivas funciones cuadráticas? • Con tus propias palabras, qué podrías decir de lo que sucede gráficamente en el punto (h, k). 2 • De acuerdo a la forma canónica y = a(x h ) + k de la función cuadrática, y lo realizado hasta el momento, a continuación anota las coordenadas del punto (h, k) en cada una de las funciones. (h, k) 2 a) y = 2(x 4 ) + 3 2 b) y = (x + 5) + 2 c) y = 3(x 2 ) 2 d) y = 0, 2(x + 3) 4 2 3 El vértice de la parábola Como se pudo observar gráficamente, el punto (h, k) es conocido como el vértice de la parábola y es factible de obtener de la función cuadrática expresada en su forma canónica y = a(x h ) 2 + k . 58 Unidad: Función Cuadrática y raíz cuadrada
