FILTROS MORFOLÓGICOS
Pelayo García García
Rubén Panizo Poncelas
Introducción




Eliminar de diferentes tipos de ruido.
Aumentar del contraste o resaltar los bordes.
Simplificar la imagen …
Problemas resueltos desde el estudio
morfológico.
Operadores morfológicos


¿Qué es una operación morfológica?
Resultado de una operación no lineal entre
un conjunto de puntos de la imagen original
y un conjunto de puntos conocido con el
nombre de elemento estructurante.
¿Qué es una imagen binaria?
Aquella se construye por dos niveles de gris
(blanco y negro)
DILATACIÓN

La dilatación de A por un conjunto B es el
conjunto de puntos de todas las posibles
sumas de pares de elementos, uno de cada
conjunto A y B.
DILATACIÓN
DILATACIÓN
DILATACIÓN
EROSIÓN

El resultado de la erosión son aquellos
puntos de A para los cuales todas las
posibles traslaciones definidas por B también
están en A.
EROSIÓN
La erosión no
es conmutativa
EROSIÓN
EROSIÓN
Dilatación - Erosión
Dilatación y erosión no son operaciones invertibles. Si primero se
dilata y posteriormente se erosiona, no se consigue la imagen
original.
Dualidad dilatación-erosión

Sean A y B subconjuntos de X, entonces se
cumple que:
Apertura

La apertura consiste en una o más erosiones
y una dilatación con el mismo objeto
estructurante:

Sus efectos son los de hacer contornos más
suaves, suprimir pequeñas islas de píxeles y
picos del objeto.
Apertura
Cierre

Serie de dilataciones seguidas de una
erosión.

Se usa para cerrar estrechos canales, o
rellenar pequeños lagos, y en el estudio de
distancias entre objetos. Une elementos
cercanos o no disjuntos, eliminando huecos
entre ellos.
Cierre
Filtros morfológicos en escala de
grises

Se basa en los operadores máximo y mínimo, supone pasar de operar
con conjuntos a operar con funciones.
Filtros morfológicos en escala de
grises
Median Filter

Los filtros de punto medio se suelen usar
para reducir el ruido en una imagen sin
afectar a los detalles más importantes de la
misma.
Median Filter
Rank Filter

En procesado de imagen, usar un “rank
filter” equivale a tomar un píxel, y varios de
sus vecinos, ordenar las escalas de grises
en orden ascendente y sustituir el valor del
pixel central por algún valor obtenido a partir
de la lista ordenada.
Rank Filter
Salt and pepper
Stack filters




Se trata de filtros adaptativos y no lineales que
tienen un buen comportamiento en procesos de
eliminación del ruido.
La salida es una combinación de operaciones de
máximo y mínimo sobre una ventana estructurante
finita.
Ventaja: Son más adaptativos a diferentes tipos de
ruido.
Inconveniente: Son más complejos
computacionalmente.
Filtros morfológicos para la mejora de
las imágenes





El problema en la simplificación y suavización de las
imágenes está en preservar los bordes. La dificultad
está en distinguir los principales contornos y ruido.
Posibles soluciones:
Uso de apertura radial.
Filtros multiescala.
Supresión de ruido mediante filtros de media y
alternancia secuencial.
Radial opening
Radial Opening
Aumento del contraste y los bordes
1. Gradiente Morfológico:
 Se emplea para la detección de bordes en todas las direcciones en
una imagen multinivel
 Siendo ‘f’ la imagen de entrada, y ‘b’ el elemento estructurante plano,
el gradiente morfológico se define como:
El uso elementos estructurantes simétricos tiende a depender menos
de la direccionalidad del borde.
2. Filtros Toggle.
Gradiente Morfológico
Correlación Morfológica

Consideramos 2 señales de imágenes discretas reales f[x]
y g[x]. Asumimos que g es un patrón que queremos
encontrar en f. Para ello, nos moveremos por f hasta
encontrar la zona de g que mas se parece a f, o lo que es
lo mismo, la zona que minimiza el error cuadrático medio.
E2 [y] = ∑ x Є W (| f [x+y] | - | g [x] |)2

En ciertos casos, el criterio de elección se simplifica a
maximizar la correlación linear cruzada.
Lfg [y] = ∑ x Є W | f [x+y] - g [x] |
Correlación Morfológica


Mas robusto que el error cuadrático medio
es minimizar el error medio absoluto.
E1 [y] = ∑ x Є W | f [x+y] - g [x] |
Teniendo en cuenta que |a-b|=a+b-2min(a,b)
minimizar E1 [y] equivale a maximizar la
correlación cruzada morfológica.
Mfg [y] = ∑ x Є W min (f [x+y] - g [x])
Correlación Morfológica

Ventajas de la correlación morfológica:
–
Mfg [y] da picos mas agudos en la detección de
patrones sobre imágenes comparado con Lfg [y].
–
La correlación morfológica (suma de mínimos) es
mas rápida que la lineal (suma de productos).
Detección de Objetos Binarios

Supongamos una imagen binaria f(x) en presencia de ruido, y
generemos 2 hipótesis:
–
–

H0: f[x]=e[x] xЄW (objeto no presente)
H1: f[x]=|g[x-y]-e[x]| xЄW (objeto presente en y)
La decisión de que el objeto g esta en y, se toma en función de
la regla de decisión de Bayes, que minimiza la probabilidad de
error según la prueba del cociente de probabilidades:
(Pr(f/ H1)) / (Pr(f/ H0)) < (Pr(H0)) / (Pr(H1))
(Pr(f/ H1)) / (Pr(f/ H0)) > (Pr(H0)) / (Pr(H1))

H0
H1
Para una óptima detección de objetos binarios en imágenes
binarias es mejor utilizar el “rank filter”.
Hit & Miss Filtering

Es una herramienta básica de detección de formas. Permite
destacar en una imagen una determinada disposición de
espacial de los pixeles.

Dada una imagen A y dos elementos estructurales B1 y B2, se
define como:

donde B1 es el conjunto formado por los elementos de B
asociados con un objeto y B2 es el conjunto de los elementos
de B asociados con el fondo correspondiente.
Hit & Miss Filtering
Hit & Miss Filtering
Detección de picos y valles


Se utiliza para aumentar los detalles de una
imagen.
Realza los detalles de una imagen,
manteniendo en un segundo plano todas las
zonas amplias y uniformes.
Detección de picos y valles


Pueden detectar ptos brillantes (ej. regiones
con mayor intensidad luminosa con respecto
su alrededor).
Lo mismo ocurre con ptos de oscuridad.
–
peak (f) = f – (f ○ B)
–
valley (f) = (f ● B) - f
Diseño óptimo de filtros




Filtros morfológicos y de rank/stack.
Diferentes aproximaciones a su realización:
 La mas correcta: optimización adaptativa
basada en gradientes.
Sistemas híbridos: lineales y no lineales.
MRL filters.
Conclusiones

1.
2.


1.
2.

Filtros morfológicos:
Sobre imágenes binarias.
Sobre escala de grises.
Filtros de media, rank y stack.
Objetivos
Mejora de imágenes: resaltar bordes, mejorar contraste …
Detección de imágenes: posición de un objeto,
obtención/eliminación de bordes, detección de puntos de
máxima luz / oscuridad …
Diseño: filtros MLR.
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