RESISTENCIA DE MATERIALES-CLASE-08-TORSION PRIMERA PARTE

132 RESISTENCIA DE MATERIALES 1
5. TORSION
5.1. INTRODUCCIÓN
Torsión se refiere a la carga de un miembro que tiende a hacerlo girar o
torcerlo. Semejante carga se llama par de torsión, momento torsional, par de
torsión o par. Cuando se aplica un par de torsión a un miembro se desarrolla un
esfuerzo cortante en su interior y se crea una deformación torsional; el
resultado es un ángulo de torsión de un extremo del miembro con respecto al otro.
5
Capítulo
Torsion se refiere al torcimiento de una barra recta al ser cargada por momentos (o pares de torsion) que
tienden a producir rotacion con respecto al eje longitudinal de la barra. Por ejemplo, cuando usted gira un
destornillador (figura 3.1a), su mano aplica un par de torsion T al mango (figura 3.1b) y tuerce el vastago del
destornillador. Otros ejemplos de barras en torsion son los ejes de impulsion en automoviles, ejes de
transmision, ejes de helices, barras de direccion y brocas de taladros.
5.2. ANALISIS DE LA TORSION
Vamos a suponer una barra prismática sólida de sección circular con su eje que pasa por el eje x y que es
sometida a torsión.
Convensiones de signos: consideramos positivos los momentos torsores que salen de la sección transversal,
según la regla de l mano derecha, y negativos a dichos vectores que ingresan a la sección transversal de la
pieza.
Además tomaremos como referencia las hipótesis de coulomb:
1) "las secciones transversales circulares de una pieza permanecen planas durante la torsión, girando
como un todo rígido alrededor del eje normal a la sección circular".
𝒅𝒅
𝒅𝒅
Matemáticamente 𝒅𝒅 = 𝜽̇ = 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 donde 𝒅𝒅 representa el angulo girado por unidad
de longitud, es decir el angulo que tendría una sección circular de la barra a una distancia dx.
Es decir que una sección circular experimenta un giro constante por la longitud.
Como consecuencia los radios de las secciones transversales giran ,permaneciendo rectos, mientras
que las generatrices de la superficie lateral (1-2) se transforma en hélices (1-2’).
2) Se demuestra a continuación que en la torsión de piezas de sección circular no se producen
tensiones normales, es decir que 𝝈𝒙 = 𝟎10. O lo que es lo mismo “la torsión en secciones circulares
solo produce tensiones cortantes, τ. No hay deformación de la sección circular.
10
http://ocw.usal.es/ensenanzas-tecnicas/resistencia-de-materiales-ingeniero-tecnico-en-obraspublicas/contenidos/%20Tema8-Torsion.pdf
Lic. Carlos E. Joo G.
SEPARATA – 5TO CICLO 133
5.2.1. DEFORMACIONES EN EL EJE CIRCULAR
Ahora consideramos la vista tridimensional de la barra sometida a torsión positiva M1 por encima de la
superficie (pues sale de esta) y otra positiva M2 por debajo (pues también sale de la sección de abajo)
Como se aprecia, la barra se torcion y se deforma, permaneciendo su sección circular constante. El angulo
girado es constante para cada longitud x. los ejes y y z son paralelos a la sección ciscular.
En la vista de planta, el plano YZ analizamos el desplazamiento de un punto P sobre una sección circular
cualquiera de radio ρ cuando sometemos a la barra a torsión. Este punto tiene coordenadas P=(y,z)=(ρ,α)
rectangulares o polares.
Para pequeños deplazamientos ubicamos liealmente el vector desplazamiento hacia el vector P’, este vector
desplzamiento es perpendicular al radio en P.
Al desplazarse hacia el punto P’ el ángulo girado es (𝜽′𝒙) ya que a una posición x se tendrá un ángulo
dθ= 𝜽′𝒙, donde 𝜽′es una constante de proporcionalidad.
𝒛
𝑃′
(𝜃′𝑥)
𝛿⃗
y
𝜌
𝑆
z
𝒚
𝒙
x
𝒛
𝒚
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134 RESISTENCIA DE MATERIALES 1
𝒛
𝑃′
(𝜃 ′ 𝑥)
𝛼
α
𝜌
𝑆
𝛿⃗
𝒚
𝒙
δ
𝛾
𝑑𝑑 = 𝜃′𝑥
𝑥
𝒛
𝒚
� son los vectores unitarios. Vamos a escribir
Por otro lado el vector desplazamiento será 𝜹𝒊̂,𝒋̂,𝒌� donde 𝒊̂, 𝒋̂, 𝒌
estos vectores unitarios en función de los datos de la sección circular de la figura:
•
•
Primero sabemos que 𝒊̂ = 𝟎 por la hipótesis de coulomb, de modo que el desplazamiento se da en el
plano yz. Luego 𝜹𝒊̂,𝒋̂,𝒌� = 𝜹𝟎,𝒋̂,𝒌� = 𝜹𝒋̂,𝒌� .
Del vector desplazamiento ver que sus componentes son
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SEPARATA – 5TO CICLO 135
•
� = −𝜹 𝐬𝐬𝐬 𝛂𝒋̂ + 𝜹 𝐜𝐜𝐜 𝛂 𝒌
�.
�𝜹⃗ = 𝜹𝒚 𝒋̂ + 𝜹𝒛 𝒌
•
𝐬𝐬𝐬 𝛂 =
Además en el triángulo que se forma por la posición del punto P se tiene que
𝐳
𝝆
𝐲
𝝆
y 𝒄𝒄𝒄 𝛂 = .
Por otro lado el vector desplazamiento equivale a la longitud del arco formado, considerando
desplazamientos unitarios así se tiene que 𝒂𝒂𝒂𝒂 = 𝜹 = 𝝆(𝜽′𝒙), y luego reemlazando en las
relaciones anteriores se tiene:
𝐳
𝝆
𝜹𝒚 = −𝜹𝒋̂,𝒌� 𝐬𝐬𝐬 𝛂 = −𝝆(𝜽′ 𝒙) � � = −(𝜽′ 𝒙𝒙) y
𝐲
𝜹𝒛 = 𝜹𝒋̂,𝒌� 𝐜𝐜𝐜 𝛂 = 𝝆(𝜽′ 𝒙) � � = (𝜽′ 𝒙𝒙)
𝝆
•
�.
Se tiene �𝜹⃗ = −(𝜽′ 𝒙𝒙)𝒋̂ + (𝜽′ 𝒙𝒙) 𝒌
•
Recordando la deformación angular (transversal) en se tiene que :
•
Y su módulo 𝜹 = �(−𝜽′ 𝒙𝒙)𝟐 + (𝜽′ 𝒙𝒙)𝟐 = 𝜽′ 𝒙�(𝒛)𝟐 + (𝒚)𝟐 = 𝜽′ 𝒙𝝆
𝜹
𝜹
𝜽′ 𝒙𝝆
𝜸 = 𝐭𝐭𝐭−𝟏 � � ≈ � � = �
� = (𝜽′ 𝝆)
𝒙
𝒙
𝒙
•
𝜸=�
𝒅𝒅
𝜽
= 𝑳 = 𝜽′ = 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 con L como la longitud de la barra
𝒅𝒅
𝜽
𝜸𝒎á𝒙 = � � 𝑹
𝑳
Podemos decir que
5.2.2. ESFUERZOS EN EL RANGO ELÁSTICO
•
•
•
•
(𝟏)
Donde el máximo valor de la deformación cortante se dá en la superficie del eje, donde ρ=R el radio
de la barra, y donde
•
𝜽
𝒅𝒅
𝝆� = 𝝆
𝑳
𝒅𝒅
(𝟐)
𝝆
𝜸 = � � 𝜸𝒎á𝒙
𝑹
(𝟑)
De la ley de Hooke para la deformación transversal 𝝉 = 𝑮𝑮, de modo que:
𝝉 = 𝑮𝑮 = 𝑮𝜽′ 𝝆 = 𝑮𝑮
𝒅𝒅
𝒅𝒅
(𝟒)
Que denota el esfuerzo cortante en un punto P (elemento infinitesimalmente pequeño) sobre la
sección transversal. Esta ecuación indica que en una sección circular, las tensiones cortantes
(esfuerzos cortantes) producidas por el momento torsor MT son proporcionales a la distancia ρ al
�⃗”.
centro de la misma y perpendiculares al vector posición 𝝆
El esfuerzo cortante máximo se dará cuando ρ=R el radio de la barra
Y también, de
𝝉𝒎á𝒙 = 𝑮𝜽′ 𝑹 = 𝑮𝑮
𝒅𝒅
𝜽
= 𝑮𝑮
𝒅𝒅
𝑳
(𝟓)
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136 RESISTENCIA DE MATERIALES 1
𝝆
𝜸 = � � 𝜸𝒎á𝒙
𝑹
𝝆
𝑮𝑮 = � � 𝑮𝑮𝒎á𝒙
𝑹
𝝆
𝝉 = � � 𝝉𝒎á𝒙
(𝟔)
𝑹
•
En donde 𝝉𝒎á𝒙 es el esfuerzo cortante en la superficie exterior de la barra (radio R), τ es el esfuerzo
cortante en un punto interior (radio ρ) y θ’ es la razon de torsion. (En estas ecuaciones, θ’ tiene
unidades de radianes por unidad de longitud).
•
Las ecuaciones ultimas muestran que los esfuerzos cortantes varian linealmente con la distancia
desde el centro de la barra, como se ilustra por el diagrama triangular en la figura. Esta variacion
lineal del esfuerzo es una consecuencia de la ley de Hooke. Si la relacion esfuerzo deformación
unitaria no es lineal, los esfuerzos no variaran linealmente y se necesitaran otros metodos de analisis.
•
A fin de que el elemento este en equilibrio en la direccion y, la fuerza cortante total t1 que actua sobre
la cara derecha se debe equilibrar por una fuerza cortante igual pero en direccion opuesta en la cara
izquierda. Como las areas de estas dos caras son iguales, se deduce que los esfuerzos cortantes
sobre las dos caras deben ser iguales. Como ahora estas fuerzas forman un momento par, Para el
equilibrio de los elementos se requiere que este momento este equilibrado por un momento igual y
opuesto resultante de los esfuerzos cortantes actuando sobre las caras superior e inferior del
elemento.
•
Así, los esfuerzos cortantes que actuan sobre un plano transversal van acompañados de esfuerzos
cortantes con la misma magnitud que las que actuan sobre planos longitudinales (figura 3.7). Esta
conclusion se deriva del hecho que en planos mutuamente perpendiculares siempre existen esfuerzos
cortantes iguales, como se explico en la seccion 1.6.
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SEPARATA – 5TO CICLO 137
•
Si el material de la barra es mas debil en cortante en planos longitudinales que en planos
transversales, como es comun en la madera cuando el grano corre paralelo al eje de la barra, la
primera grieta debida a la torsion aparecera en la superficie en la direccion longitudinal.
•
El estado de cortante puro en la superficie de la barra (figura 3.6b) equivale a esfuerzos iguales de
tension y compresion que actuan en un elemento orientado a un angulo de 45°.
•
Por tanto, un elemento rectangular con lados a 45° con respecto al eje de la barra estara sometido a
esfuerzos de tension y compresion, como se muestra en la figura 3.8. Si una barra en torsion esta
hecha de un material que es mas debil en tension que en cortante, la falla ocurrira en tension a lo
largo de una helice inclinada a 45° con respecto al eje, como usted lo puede demostrar torciendo una
pieza de gis para pizarron.
Esfuerzos de tension y compresion que actuan sobre un elemento orientado a 45° con respecto al eje longitudinal.
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138 RESISTENCIA DE MATERIALES 1
5.2.3.
LA FÓRMULA DE LA TORSIÓN
•
Para determinar esta resultante consideramos un elemento
de area dA ubicado a una distancia radial r desde el eje de la
barra (figura 3.9). La fuerza cortante que actua sobre este
elemento es igual a τ dA, donde τ es el esfuerzo cortante a
un radio r.
•
El momento de esta fuerza con respecto al eje de la barra es
igual a la fuerza multiplicada por su distancia desde el centro,
o τρdA.
•
Sustituyendo el valor del esfuerzo cortante τ dado por la
ecuacion (6), podemos expresar este momento elemental
como
•
•
𝒅𝒅 = 𝝉𝝉𝝉𝝉 =
𝝉𝒎á𝒙 𝟐
𝝆 𝒅𝒅
𝑹
(𝟕)
El momento resultante (igual al par de torsion T) es la suma a lo largo de toda el area de la seccion
transversal de todos los momentos elementales:
En donde
𝑻 = � 𝒅𝒅 =
𝑨
𝝉𝒎á𝒙
𝝉𝒎á𝒙
� 𝝆𝟐 𝒅𝒅 =
𝑰
𝑹 𝑨
𝑹 𝑷
(𝟖)
(𝟗)
•
Es el momento polar de inercia de la sección transver
círculo con radio r y diámetro d, el momento polar de inercia es:
sal circular. Para un
(𝟏𝟏)
•
como se indica en el apendice D, caso 9.
•
Observe que los momentos de inercia tienen unidades de longitud a la cuarta potencia.* Es posible
obtener una expresion para el esfuerzo cortante maximo reacomodando la ecuacion (8), como sigue:
•
𝝉𝒎á𝒙 =
𝑻𝑻
𝑰𝑷
(𝟏𝟏)
Esta ecuacion, conocida como la fórmula de la torsión, muestra que el esfuerzo cortante maximo es
proporcional al par de torsion aplicado T e inversamente proporcional al momento de inercia polar IP.
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SEPARATA – 5TO CICLO 139
•
Para las barras sólidas de sección circular:
𝑻𝑻
𝑻𝑻
𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟏
=
=
=
𝟒
𝝅𝒅
𝑰𝑷
𝝅𝒅𝟒
𝝅𝒅𝟑
𝟑𝟑
𝟐𝟐𝟐
𝟐𝟐
𝝉𝒎á𝒙 =
=
𝟒
𝝅𝑹
𝝅𝑹𝟑
𝝉𝒎á𝒙 =
•
•
5.2.4.
(𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔)
(𝟏𝟏𝟏)
Para una distancia ρ desde el centro de la barra:
𝝉=
(𝟏𝟏𝟏)
𝝆
𝑻ρ 𝝆 𝟐𝟐
𝟐𝟐𝟐
𝟏𝟏𝟏𝟏
𝝉𝒎á𝒙 =
= � 𝟑� = � 𝟒� = �
�
𝑰𝑷 𝑹 𝝅𝑹
𝑹
𝝅𝑹
𝝅𝒅𝟒
(𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔)
Donde D es el diámetro a un punto (D/2=ρ).
(𝟏𝟏)
ÁNGULO DE TORSIÓN
De las ecuaciones 5 y 11 tenemos el ángulo girado por unidad de longitud:
•
•
•
•
5.2.5.
𝜽′ =
𝒅𝒅
𝑻
=
𝒅𝒅 𝑮𝑮𝑷
Para una barra en torsión pura, el angulo de torsion θ total:
θ=
Para la barra solida:
𝜽′ =
Y para la barra solida:
𝑳𝑳
𝑮𝑮𝑷
𝒅𝒅
𝟐𝟐
𝟑𝟑𝟑
= 𝟒 =
𝒅𝒅 𝝅𝒓 𝑮 𝝅𝒅𝟒 𝑮
𝜽=
𝟐𝟐𝟐
𝟑𝟑𝟑𝟑
=
𝟒
𝝅𝒓 𝑮 𝝅𝒅𝟒 𝑮
(𝟏𝟏)
(𝟏𝟏𝒃)
(𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃 𝒔ó𝒍𝒍𝒍𝒍)
(𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃 𝒔ó𝒍𝒍𝒍𝒍)
(𝟏𝟏𝟏)
(𝟏𝟏𝟏)
La cantidad GIP/L, llamada rigidez torsional de la barra, es el par de torsion necesario para producir
una rotacion de un angulo unitario. La flexibilidad torsional es el reciproco de la rigidez, o L/GIP, y
se define como el angulo de rotacion producido por un par de torsion unitario. Por tanto, tenemos las
expresiones siguientes:
Tubos circulares
(𝟏𝟏)
•
Los tubos circulares resisten con mas eficiencia las cargas torsionales que las barras solidas. Como
sabemos, los esfuerzos cortantes en una barra circular solida son maximos en el borde exterior de la
seccion transversal y cero en el centro. Por tanto, la mayor
parte del material en un eje solido se somete a un esfuerzo
significativamente menor que el esfuerzo cortante maximo.
Ademas, los esfuerzos cerca del centro de la seccion
transversal tiene un brazo de momento menor ρ a tomar en
cuenta en la determinación del par de torsion.
•
En contraste, en un tubo hueco comun la mayor parte del
material esta cerca del borde exterior de la seccion
transversal donde los esfuerzos cortantes y los brazos de
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140 RESISTENCIA DE MATERIALES 1
momento son mayores (figura 3.10). Por tanto si en una aplicacion es importante reducir peso y
ahorrar material, se aconseja emplear un tubo circular. Por ejemplo, los ejes de impulsion largos, los
ejes de helices y los ejes de generadores usualmente tienen secciones transversales huecas.
•
•
Por tanto, el momento polar de inercia del area de la seccion transversal de un tubo es:
(𝟏𝟏𝟏)
Las expresiones anteriores tambien se pueden escribir en las siguientes formas:
(𝟏𝟏𝟏)
•
en donde r es el radio promedio del tubo, igual a (r1 + r2)/2; d es el diametro promedio, igual a (d1 +
d2)/2 y t es el espesor de la pared (figura 3.10), igual a r2 – r1. Por supuesto, las ecuaciones (3.16) y
(3.17) dan los mismos resultados, pero en ocasiones la ultima es mas conveniente.
•
Si el tubo es relativamente delgado, de tal modo que el espesor de la pared t es pequeno en
comparacion con el radio promedio r, podemos ignorar los terminos t2 en la ecuacion (3.17). Con esta
simplificacion obtenemos las formulas aproximadas siguientes para el momento polar de inercia:
(𝟏𝟏𝟏)
EJEMPLO 5.1.:
Una barra solida de acero con sección transversal circular (figura 3.11) tiene un
diámetro d = 1.5 in, longitud L = 54 in y módulo de elasticidad en cortante G = 11.5 × 106 psi. La barra está sometida
a pares de torsión T que actúan en sus extremos. (a)
Si los pares de torsion tienen una magnitud T = 250
lb-ft, ¿cual es el esfuerzo cortante máximo en la
barra? Y ¿Cual es el angulo de torsion entre los
extremos? (b) Si el esfuerzo cortante permisible es
de 6000 psi y el angulo de torsion permisible es 2.5°,
¿cual es el par de torsion maximo permisible?
Lic. Carlos E. Joo G.
SEPARATA – 5TO CICLO 141
EJEMPLO 5.2.:
Se va a fabricar un eje de acero como una
barra circular solida o bien como un tubo circular (figura 3.12). Se requiere
que el eje transmita un par de torsión de 1200 N∙m sin que se exceda un
esfuerzo cortante permisible de 40 MPa ni una razón de torsión permisible
de 0.75°/m. (El modulo de elasticidad en cortante del acero es 78 GPa).
(a) Determine el diámetro necesario d0 del eje solido.
(b) Determine el diámetro exterior necesario d2 del eje hueco si su espesor t se
especifica igual a un décimo del diámetro exterior.
(c) Determine la razón de los diámetros (es decir, la razón d2/d0) y la razón de
los pesos de los ejes hueco y sólido.
Datos
T=1200 Nm
τperm=40MPa
SOLUCION en la página 233 del texto de James mc Gere
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