UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO FACULTAD DE INGENIERÍA MECANICA Y DE ENERGIA ESCUELA DE INGENIERIA EN ENERGIA SEPARATA 06 CONTENIDO: Momento de inercia de áreas Teorema de ejes paralelos Radio de giro de una superficie Momento de inercia de áreas compuestas PROFESOR DEL CURSO: MG.ING. MARTIN SIHUAY FERNANDEZ MOMENTO DE INERCIA El momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen el movimiento. El momento de inercia de un cuerpo indica su resistencia a adquirir una aceleración angular. I = m r2 Donde : m : es la masa del cuerpo r : es la distancia al eje de rotación Si observamos el cuerpo , puede rotar respecto al eje 1 o al eje 2 , se puede observar que el cuerpo puede girar fácilmente respecto al eje 1 a comparación del eje 2 . MOMENTO DE INERCIA DE AREAS Denominado segundo momento de inercia o momento de inercia de área, es una propiedad geométrica de la sección transversal de un elemento estructural , es importante para el análisis de vigas y columnas , es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo respecto a un eje . IX = y2 dA IY = x2 dA JZ = r2dA = (x2+y2)dA = IX + IY Jz , se denomina momento de inercia polar de la superficie. TEOREMA DE STEINER O DE EJES PARALELOS El teorema de Steiner dice que el momento de inercia de una área respecto a un eje cualquiera contenido en el plano de la superficie es igual al momento de inercia de área centroidal más el producto del área de esta por el cuadrado de la separación de los ejes IX’ = IXC + y 2A IY’ = IYC + x 2 A JZ’ = JZC + d2A RADIO DE GIRO DE UNA SUPERFICIE El radio de giro de un área con respecto a un eje particular es igual a la raíz cuadrada del cociente del momento de inercia dividido por el área. Es la distancia a la cual el área completa debe asumirse que se concentra para que el producto del área y el cuadrado de esta distancia sea igual al momento de inercia del actual área alrededor del eje dado. rX = (IX/A ) rY = (IY/A) rZ = (IZ/A) MOMENTOS DE INERCIA DE AREAS COMPUESTAS Frecuentemente, en la práctica, la superficie A es irregular pero se puede descomponer en superficies sencillas A1, A2, A3, …, An para las cuales las integrales ya estén calculadas y tabuladas. Así, el momento de inercia de la superficie compuesta, respecto a un eje es igual a la suma de los momentos de inercia de superficie respecto a dicho eje de las distintas partes. Cuando se quite una superficie (agujero) de una superficie mayor, su momento de inercia de superficie deberá restarse del momento de inercia de dicha superficie mayor para obtener el momento segundo resultante. 1.- Calcular el momento de inercia de la sección rectangular respecto al eje x e y , que se muestra en la figura Calculo del momento de inercia respecto a l eje Y : 𝑑𝐴 = ℎ𝑑𝑥 𝑏 IY = ∫ 𝑥 2 𝑑𝐴 = ∫0 𝑥 2 ℎ𝑑𝑥 = hb3 /3 Calculo del momento de inercia respecto a l eje X : dA = bdy ℎ IX = y2dA = ∫0 𝑦2 𝑏𝑑𝑦 = bh3 / 3 Calculando el : IZ = IX + IY = (bh/3)(h2 + b2 ) Aplicando el teorema de Steiner o de ejes paralelos se cumple lo siguiente : IX = IXC + 𝐴𝑌̅ 2 bh3 / 3 = IXC + bh(h/2)2 IY = IYC + 𝐴𝑋̅2 hb3 /3 = IYC + bh ( b/2)2 , IXC = bh3 / 12 , IYC = hb3 / 12 Calculando los radios de giro respecto al eje x e y se tiene : x = (IX/A) = (bh3/3bh) = 3h/3 , y = (IY/A) = (hb3/3bh) = 3 b/3 2.- Calcular el momento de inercia de área respecto al eje x e y , de la siguiente figura Calculo del momento de inercia respecto al eje X dA = mdy = b(1-y/h)dy Por semejanza : b/m = h/ h-y m= b( 1-y/h) m y ℎ 𝑦 IX = y2dA = ∫0 𝑦2 𝑏 (1 − ) 𝑑𝑦 = bh3 / 12 ℎ dA = ndx = (hx/b)dx Por semejanza n= hx/b 𝑏 x n ℎ𝑥 𝑏 IY = x2dA = ∫0 𝑥2 ( ) 𝑑𝑥 = hb3/4 IZ = IX+IY = (bh/12)(h2+3b2 ) Aplicando el teorema de Steiner o de ejes paralelos se cumple lo siguiente : IX = IXC + 𝐴𝑌̅ 2 IY = IYC + 𝐴𝑋̅2 , , bh3/12 = IXC + bh/2 ( h/3)2 = bh3/36 hb3/4 = IYC + bh/2 ( 2b/3)2 = hb3/36 Calculando los radios de giro respecto al eje x e y se tiene : x = (IX/A) = (2bh3/12bh) = 6 h/6 y = (IY/A) = (2hb3/4bh) = 2 b/2 3.- Calcular el momento de inercia de área respecto al eje x e y de la siguiente figura : Y = Kx2 , si : Y= b , x= a , entonces K = b/a2 Calculo del momento de inercia respecto al eje Y dA = Ydx= Kx2dx = (b/a2)x2dx IY = x2dA = x2(b/a2)x2dx = ba3/5 Calculo del momento de inercia respecto al eje X dA = (a-X)dy = ( a - y/K )dy IX = y2dA = y2( a - ay/b )dy = ab3 /21 x 1.-Hallar el momento de inercia respecto al eje x e y , y el momento de inercia polar de la siguiente figura . Analizando para el área D IX = IXC + 𝑌̅2A = 200(1003)/36 + (100+100/3)2(200x150/2) = 183.33(106)mm4 IY = 100(2003)/ 12 = 66.667(106 ) mm4 Analizando para el área A IX = 200(100)3/3 = 66.667(106)mm4 IY = 100(2003)/3 = 266.667( 106) mm4 Analizando el circulo B IX = IXC + 𝑌̅ 2A = (30)2/4 + 502(302) = 7.705(106)mm4 IY = IYC + 𝑋̅2A = (30)2 / 4 + 1502(302 ) = 64.253 (106 ) mm4 Analizando para el circulo C IX = IXC + 𝑌̅2A = 504 /8 + 502(502 /2) = 12.272(106) mm4 IY = 504/ 8 = 2.454(106 ) mm4 Por lo tanto IX = 183.33(106) + 66.667(106) - 7.705(106) – 12.272(106) = 230(106)mm4 IY = 66.667 + 266.667 – 64.253 – 2.454 = 267(106)mm4 JZ = IX + IY = 230+267 = 497(106)mm4 2.- Determinar el momento de inercia en x e y y los radios de giros respecto a los ejes centroidales C305x45 ( A=5690mm2 , IX= 67.4x106mm4 , IY = 2.14x106mm4 ) W610x125 ( A= 15935mm 2 , IX= 985x106mm4 , IY= 39.3x106mm4) A = 5690+15935 = 21625mm 2 𝑌̅ = 𝑌̅A/A 𝑌̅ = ( 301.90x5690)/21625 = 79.438mm IXC = IXC305 + ( 301.9-79.438)2(5690) + IXC610 + (79.438)2(15935) IXC = 67.4x106 + ( 301.9-79.438)2(5690) + 985x106+ (79.438)2(15935) = 1369x106mm4 IYC = IYC305 + IYC610 = 2.14+39.3 = 41.4x106mm4 KXC = (IXC/A) = (1369x106)/(21625) = 251.6mm KYC = (IYC/A) = ( 41.4x106)/(21625) = 43.776mm Ejercicios propuesto 1.-Determinar el momento de inercia de área del triangulo isósceles representado en la figura respecto al eje x , respecto al eje paralelo a la base y que pase por su centroide. 2.- Determinar los radios de giro de la superficie rectangular respecto a los x e y de la figura , respecto a los ejes centroidales x e y . 3.- Determinar el momento de inercia del área sombrada respecto al eje x , y , del punto o del sistema coordenadas xy y sea normal al plano de la superficie. 4.- Determinar los momentos de inercia respecto a los ejes x e y 5.-Determinar los momentos de inercia centroidales de x e y , 6.- Se sueldan dos placas de acero de 250x25mm a las alas de una viga en I S457x104 ( A=13290mm2 , IX = 358x106mm4 , IY = 10x106mm4 ) . Determinar los momentos de inercia centroidales en x e y . 7.- Cuatro angulares 76x76x6.4mm se sueldan como se indica a un perfil laminado de ala ancha W 200x4.6 Hallar los momentos de inercia y los radios de giro de la sección combinada respecto a los ejes x e y centroidales. 8.- Para formar una viga asimétrica se sueldan como se indica dos angulares 76x76x6.4mm y dos angulares 152x102x12.7mm a una plancha de acero de 16mm . Hallar los momentos de inercia de la sección combinada respecto a sus ejes x e y centroidales 9.- Para formar una sección tubular , se sueldan como se indica dos perfiles laminados de ala ancha y dos planchas . Hallar los momentos de inercia y los radios de giro de la sección combinada respecto a sus ejes x e y centroidales 10.- Dos perfiles en U se sueldan a una plancha dx300mm como se muestra en la figura , hallar para que anchura d vale 16 el cociente I X / IY de los momentos de inercia centroidales de la sección combinada
