Tabla de Contenido: Transferencia de Calor - Conducción, Convección, Radiación

CONTENIDO
CONDUCCION................................................................................................... 2
Problema 1.1. ............................................................................................................................ 2
Problema 1.2. ............................................................................................................................ 3
CONVECCION ................................................................................................... 4
Problema 1.12. .......................................................................................................................... 4
Problema 1.13. .......................................................................................................................... 5
RADIACCION ..................................................................................................... 6
Problema 1.22. .......................................................................................................................... 6
Problema 1.23. .......................................................................................................................... 6
CONDUCCION EN SERIE Y PARALELO .......................................................... 8
Problema 1.30. .......................................................................................................................... 8
Problema 1.31. .......................................................................................................................... 9
CONVECCION Y CONDUCCION EN SERIE Y PARALELO ........................... 10
Problema 1.36. ........................................................................................................................ 10
Problema 1.37. ........................................................................................................................ 11
CONVECCION Y RADIACION EN SERIE Y PARALELO ................................ 12
Problema 1.44. ........................................................................................................................ 12
Problema 1.45. ........................................................................................................................ 13
ECUACIÓN DE CONDUCCIÓN ....................................................................... 14
Problema 2.1. .......................................................................................................................... 14
Problema 2.2. .......................................................................................................................... 18
1
CONDUCCION
Problema 1.1.
La superficie exterior de una pared de concreto de 0.2 m de espesor se mantiene a una
temperatura de -5 ᵒC, en tanto que la superficie interior se mantiene a 20 ᵒC.
La conductividad térmica del concreto es de 1.2 W/m K. Determine la perdida de calor
a través de una pared de 10 m de longitud y 3 m de altura.
Sol:
Sabemos que la perdida de calor por conducción está definida por:
𝑞𝑘 =
𝐾 ∗ 𝐴 ∗ (𝑇𝑐𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 − 𝑇𝑓𝑟𝑖𝑎 )
𝐿
Donde:
K = 1.2 W/m K
A = 10 m * 3 m = 30 𝑚2
𝑇𝑐𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 − 𝑇𝑓𝑟𝑖𝑎 = 20 ᵒC – (-5 ᵒC) = 25 ᵒC
L = 0.2 m
Entonces reemplazando hallamos q:
1.2 W/m K ∗ 30 𝑚2 ∗ (25 ᵒC)
𝑞𝑘 =
0.2 m
qk = 450
W
2
Problema 1.2.
El peso del aislamiento térmico en una aeronave puede ser más importante que el
espacio requerido. Demuestre analíticamente que el aislamiento más ligero para una
pared plana con resistencia térmica especificada es el aislamiento que tiene menor
producto de la densidad por la conductividad térmica.
Sol:
Sabemos que la resistencia térmica de la pared está definida por:
𝑅𝑘 =
𝐿
𝐾∗𝐴
Donde:
A = Área de la pared
L = Espesor de la pared
Sabemos también el peso de la pared (w) está definida por:
w=𝜌∗𝐴∗𝐿
Despejando L:
𝐿=
𝑤
𝜌∗𝐴
Ahora reemplazamos L en la resistencia:
𝑅𝑘 =
𝑤
𝐾 ∗ 𝜌 ∗ 𝐴2
Despejando w:
w = 𝜌 ∗ 𝐾 ∗ 𝑅𝑘 ∗ 𝐴2
Por lo tanto, cuando el producto de ρ*k para una resistencia dada es más pequeña, el
peso también es el más pequeño.
3
CONVECCION
Problema 1.12.
Si la temperatura del aire exterior en el problema 1.11 es -2 °C, calcule el coeficiente de
transferencia de calor por convección entre la superficie exterior de la ventana y el aire,
suponiendo que la radiación es insignificante.
Sol:
Del problema anterior tenemos los siguientes datos:
A = 3 m2
𝑇𝑐𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = 17 ᵒC
𝑇𝑓𝑟𝑖𝑎 = -2 ᵒC
Ahora, para un estado estable, la velocidad de transferencia de calor por convección
desde la superficie exterior debe ser igual a la velocidad de transferencia de calor por
conducción a través del vidrio.
qc = qk = 1040 W
Entonces aplicamos la fórmula de transferencia por convección para hallar el coeficiente
ℎ𝑐 =
ℎ𝑐 =
3
𝑞𝑐
A ∗ (𝑇𝑐𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 − 𝑇𝑓𝑟𝑖𝑎 )
𝑚2
1040 𝑊
∗ (17 ᵒC − (−2 ᵒC))
ℎ𝑐 = 18.2 W/m2 k
4
Problema 1.13.
Utilizando la tabla 1.4 como guía, elabore una tabla similar que muestre los órdenes de
magnitud de las resistencias térmicas de un área unitaria para la convección entre una
superficie y varios fluidos.
Sol:
Sabemos que la resistencia térmica por área unitaria está definida por:
𝐴 ∗ 𝑅𝑐 =
1
ℎ𝑐
Como ejemplo, el primer elemento de la Tabla 1.4 es "Aire, convección libre" con
coeficiente de transferencia de calor por convección 6–30 W/(m2K). Entonces el orden
de magnitud de las resistencias térmicas de un área unitaria seria:
1
30 𝑊/𝑚2 K
= 0.03 m2 K/W a
1
6 𝑊/𝑚2 K
= 0.17 m2 K/W
Los valores del resto de la tabla se hallan de manera similar
FLUIDO
Aire, convección libre
m2 K/W
0.03 – 0.2
Vapor o aire sobrecalentado, convección forzada
0.003 – 0.03
Aceite, convección forzada
0.0006 – 0.02
Agua, convección forzada
0.0002 – 0.003
Agua, en ebullición
0.00002 – 0.0003
Vapor, calentándose
0.000008 – 0.0002
5
RADIACCION
Problema 1.22.
Dos placas grandes paralelas con condiciones superficiales que se aproximan a las de un
cuerpo negro se mantienen a 1 500 °F y 500 °F, respectivamente. Determine la tasa de
transferencia de calor por radiación entre las placas en Btu/h ft2 y el coeficiente de
transferencia de calor por radiación en Btu/h ft2 °F y en W/m2 K.
Sol:
Tenemos de dato
𝑇𝑐𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = 1500 ᵒF = 1959.67 °R
𝑇𝑓𝑟𝑖𝑎 = 500 ᵒF = 959.67 °R
σ = 0.1714*108 BTU/h ft2 °R4
a) Transferencia de calor por radiación
−8
𝑞𝑟
10 BTU
= 0.1714 ∗
∗ (1959.674 − 959.674 )°R4
2
4
𝐴
h 𝑓𝑡 °R
𝑞𝑟
𝐵𝑇𝑈
= 23.82 ∗ 103
𝐴
h 𝑓𝑡2
b) Coeficiente de transferencia de calor por radiación
−8
4
4
𝑘𝑟
10 BTU (1959.67 − 959.67 )°R4
= 0.1714 ∗
∗
𝐴
(1959.67 − 959.67)°R
h 𝑓𝑡2 °R4
𝑘𝑟
𝐵𝑇𝑈
= 23.82
𝐴
h 𝑓𝑡2 °R
Problema 1.23.
6
Un recipiente esférico de 0.3 m de diámetro, está ubicado en una habitación grande
cuyas paredes están a 27 °C (consulte el bosquejo). Si el recipiente se utiliza para
almacenar oxígeno líquido a -183 °C y tanto la superficie del recipiente de
almacenamiento como las paredes de la habitación son negras, calcule la tasa de
transferencia de calor por radiación para el oxígeno líquido en watts y en Btu.
Sol:
El estado estacionario prevalece.
La temperatura de la pared del vaso es la misma que la del oxígeno.
La transferencia de calor radiactiva neta a un cuerpo negro en un recinto negro viene
dada por:
q r = Aσ (T1 4 − T2 4 )
q r = πD2 σ (TW 4 − TO 4 )
q r = π(0.3)2 × (5.7 × 10−8 ) × (3004 − 904 )
Convirtiendo la transferencia de calor radiactiva neta en unidades SI usando el factor de
conversión que se encuentra en la portada interior del texto.
qr = 133 W
7
CONDUCCION EN SERIE Y PARALELO
Problema 1.30.
Con frecuencia se recomienda vestir capas de ropa en clima frio debido a que los
espacios de aire inmóvil entre las capas mantienen cálido al cuerpo. La explicación
de esto es que la perdida de calor del cuerpo es menor. Compare la tasa de la perdida
de calor para una sola capa de lana de 3>4 in de espesor (k = 0.020 Btu/hft °F) con tres
capas de 1>4 in de espesor separadas por espacios de aire de 1>16 in. La conductividad
térmica del aire es 0.014 Btu/h ft °F.
Sol:
La resistencia térmica para la capa gruesa única, es
Rka= L/Ka =
0.02𝑚
(
0.04𝑤
)(𝐴𝑚2 )
𝑚𝑘
=
0.5
𝐴
𝑘/𝑤
La tasa de transferencia de calor conductora es:
𝑞𝑘𝑎 = ΔT /𝑅𝑘𝑎 =
ΔT K
1
0.5𝑘/𝑤
𝐴
= ΔT (K) A (𝑚2 ) 2W
La resistencia térmica para tres capas delgadas es igual a la suma de las resistencias de
la lana y el aire entre las capas:
𝐿
𝐿
𝑤
𝑎
0.0067𝑚
)
𝑙𝑎𝑦𝑒𝑟
W
A(m )(0.04
)
mK
(3𝑙𝑎𝑦𝑒𝑟𝑠)(
𝑅𝑘𝑏 = 𝑘 𝑤𝐴 + 𝑘 𝑎𝐴 =
𝑅𝑘𝑏 =
+
(2layers) 0.0015m/layer)
0.024W
)
mK
A(m )(
1
= 𝐴 (0.5 + 0.125)
1
0.625𝐾/𝑊
𝐴(𝑚2 )
La tasa de transferencia de calor por conducción para la situación de tres capas es:
𝑞𝑘𝑏 =
∆𝑇
=
𝑅𝑘𝑏
∆𝑇(𝑘)
= ∆𝑇(K) A(𝑚2 ) 1.6 W
1
0.625𝑘/𝑤
𝐴(𝑚2 )
Comparando la tasa de pérdida de calor para las dos situaciones
𝑞𝑘𝑏 1.6𝑊
=
= 0.8
𝑞𝑘𝑎 2.0𝑊
Por lo tanto, para la misma diferencia de temperatura, la pérdida de calor a través de
las tres capas de lana es solamente 80% de la pérdida de calor a través de una sola capa.
8
Problema 1.31.
Una sección de una pared compuesta con las dimensiones que se muestran a
continuación tiene temperaturas uniformes de 200 °C y 50 °C sobre las superficies
izquierda y derecha, respectivamente. Si las conductividades térmicas de los materiales
de la pared son: kA = 70 W/mK, kB = 60 W/m K, kC = 40 W/m K y kD = 20 W/m K,
determine la tasa de transferencia de calor a traves de esta seccion de la pared y las
temperaturas en las interfaces.
Sol:
La resistencia térmica total de la sección de pared, de la Sección 1.5.1, es:
𝑅𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 = 𝑅𝐴 +
𝑅𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 = 0.0794 +
𝑅𝐵 𝑅𝐶
+ 𝑅𝐷
𝑅𝐵 + 𝑅𝐶
(0.2315)(0.3472)
+
0.2315+0.3472
0.5556𝐾/𝑊 =0.7738K/W
La tasa total de transferencia de calor a través de la pared compuesta está dada por:
𝑞=
(200 − 50)°𝐶
∆𝑇
=
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
0.7738𝑘/𝑤
La temperatura promedio en la interfaz entre el material A y los materiales B y C (𝑇𝐴𝐵𝐶 ) puede
ser determinado mediante el examen de la conducción a través del material A solo:
𝑞𝑘𝑎 =
𝑇𝐴𝑠 − 𝑇𝐴𝐵𝐶
=𝑞
𝑅𝐴
Resolviendo para 𝑇𝐴𝐵𝐶 :
𝑇𝐴𝐵𝐶 = 𝑇𝐴𝑠 − 𝑞𝑅𝐴 = 200°𝐶-(194W)(0.0794k/w)=158°C
9
CONVECCION Y CONDUCCION EN SERIE Y PARALELO
Problema 1.36.
Se transfiere calor a traves de una pared plana del interior de una habitación a 22 °C al
aire exterior a -2 °C. Los coeficientes de transferencia de calor por convección en las
superficies interior y exterior son 12 y 28W/m2 K, respectivamente. La resistencia
térmica de un área unitaria de la pared es 0.5 m2 K/W. Determine la temperatura en la
superficie exterior de la pared y la tasa de flujo de calor a traves de la pared por área
unitaria.
Sol:
a) La temperatura de la superficie exterior de la pared se puede calcular mediante el examen
de la convección la transferencia de calor desde el exterior de la pared (dada por la
ecuación por esta ecuación
Resolviendo para
b) El calor total transferir a través de la pared es:
El flujo de calor a través de la pared es:
10
Problema 1.37.
Cuanto aislamiento de fibra de vidrio (k = 0.0035W/m K) se necesita para garantizar que
la temperatura exterior de un horno de cocina no sobrepase 43 °C? La temperatura
máxima del horno que se debe mantener por el tipo convencional de control
termostático es 290°C, la temperatura de la cocina puede variar de 15 °C a 33 °C y el
coeficiente de transferencia de calor promedio entre la superficie del horno y la cocina
es 12 W/m2 K.
Sol
Para condiciones de estado estacionario, la transferencia de calor por conducción a
través de la pared debe ser igual a la transferencia de calor por convección desde la
superficie exterior de la pared.
Resolviendo para L
11
CONVECCION Y RADIACION EN SERIE Y PARALELO
Problema 1.44.
Un techo plano se puede modelar como una placa plana aislada en la parte inferior y
expuesta a la luz solar. Si el calor radiante que recibe el techo del sol es 600 W/m2, el
coeficiente de calor por convección entre el techo y el aire es 12 W/m2 K y la
temperatura del aire es 27 °C, determine la temperatura del techo para los dos casos
siguientes: a) La pérdida de calor por radiación al espacio es insignificante. b) El techo
es negro (e = 1.0) e irradia al espacio, que se supone que es un cuerpo negro a 0 K.
Sol:
Estado estable prevalece, No se pierde calor desde el fondo de la placa.
a) Para este caso, el estado estable y la conservación de energía requieren el calor perdido por
conducción:
De la ecuación: qc = hc A (Ts - T∞)
Resolviendo para Ts
Ts =
𝑞𝑟
600 W
𝐴∗ℎ𝑐
+ 𝑇∞ = (
m2
1
) (12𝑊(𝑚2𝐾)) + 27°𝐶 = 77°𝐶
b) En este caso, la ganancia solar debe ser igual a la suma de la pérdida convectiva, y pérdida
radiativa.
𝑞𝑟
𝐴
= hc(Tp-T∞)+σ(Tp4-Tsp4) = 308 K = 35°C.
12
Problema 1.45.
Una placa de cobre plana, horizontal, de 3 mm de espesor, de 1 m de longitud y de 0.5m
de ancho, está expuesta al aire a 27 °C a la radiación solar. Si la tasa total de radiación
solar absorbida es 300 W y los coeficientes de transferencia de calor por radiación y
convección combinados en las superficies superior e inferior son 20 y 15 W/m2 K,
respectivamente, determine la temperatura de equilibrio de la placa.
Sol:
La placa de cobre horizontal, de 1 m de largo, 0,5 m de ancho y 3 mm de espesor está
expuesta al aire y a la radiación solar
Temperatura del aire (T∞) = 27 ° C
Absorción de radiación solar (qsol) = 300 W
Qsol = hu*A*(Tp – T∞) + h1*A*(Tp – T∞)
Tp= (
300 𝑊
1𝑚∗0.5 𝑚
)(
1
(20𝑊(𝑚2 𝐾)+15𝑊(𝑚2 𝐾)
) + 27°𝐶
Tp =44 °C
13
ECUACIÓN DE CONDUCCIÓN
Problema 2.1.
La ecuación de conducción en coordenadas cilíndricas es:
  2T 1 T 1  2T  2T
T
c
 k 2 
 2
 2
2
t
r

r

r
r


z


  qG

a) Simplifique esta ecuación eliminando los términos iguales a cero para el caso de flujo
de calor en régimen permanente sin fuentes o disipadores alrededor de una esquina en
ángulo recto como la que se muestra en el bosquejo siguiente. Se puede suponer que la
esquina se extiende al infinito en la dirección perpendicular a la página.
b) Resuelva la ecuación resultante para la distribución de temperatura sustituyendo la
condición límite.
c) Determine la tasa de flujo de calor de T1 a T2. Suponga k = 1 W/m K y una profundidad
unitaria.
SOLUCIÓN:
La ecuación de conducción de calor en coordenadas cilíndricas es:
  2T 1 T 1  2T  2T 
T
c
k 2 
 2
 2
2
t

r
r

r
r


z 

DATOS:




Condiciones de estado estable
Esquina de ángulo recto como se muestra abajo
No hay fuentes ni sumideros.
Conductividad térmica (k) = 1 W/(m.K)
ENCONTRAR:
(a) Ecuación de conducción de calor simplificada.
(b) Solución para la distribución de la temperatura.
(c) Tasa de flujo de calor de T1 a T2
14
Los límites de la región están dados por
1mr2m
0  

2
Suponiendo que no hay transferencia de calor a través del aislamiento, la condición
límite es
T
 0 en r = 1 m
r
T
 0 en r = 2 m
r
T1  100 °C en   0
T1  0 °C en  

2
(a) La ecuación de conducción se simplifica por lo siguiente
Estado estable
T
0
r
No hay fuentes ni sumideros.
qk  0
15
Sin transferencia de calor en la dirección z
 2T
0
r 2
T
T
 0 sobre ambos límites,
 0 en toda la región (Principio máximo);
r
r
 2T
 0 en toda la región también.
por lo tanto,
r 2
Ya que
Sustituyendo estas simplificaciones en la ecuación de conducción.


1  2T
0  k 0  0  2 2  0
r 


2
T
0
 2
(b) Integrando dos veces
T  c1  c2
La condición límite se puede utilizar para evaluar las constantes.
En   0, T  100 °C : 100 °C = c2
En  

2
 2   100 °C
, T  0 °C : 0 °C = c1 
entonces, c1  
200 °C

Por lo tanto, la distribución de la temperatura es
T    100 
200 °C

 °C
(c) Considere una porción de la esquina como sigue
16
El flujo de transferencia de calor a través del elemento sombreado en la dirección es
q 
k T  T  
k T

espesor
r 
En el límite como   0, q  k
dT
rd
Multiplicando por el área de superficie drdz e integrando a lo largo del radio
r0
q   qdrdz 
r1
200 °C k

1W
200 °C k

r0
dr 200 °C k r0
r r   ln r1
1
m.K  ln  2 m 1 m   44.1 W m 44.1 W por metro en la dirección z.
17
Problema 2.2.
Escriba la ecuación (2.20) en una forma adimensional similar a la ecuación (2.17).
SOLUCIÓN:
• Ecuación (2.20)
1   T
r
r r  r
 qG 1 T


 k  r
HALLAR:
• Forma sin dimensiones de la ecuación.

t
 t   tr
tr

T
 T   Tr
Tr
 
r
 r   tRr
Rr
Donde Tr, Rr y tr son la temperatura de referencia, el radio de referencia y el tiempo de
referencia, respectivamente.
  Tr   qG 1  Tr 
1
 

R



 Rr   Rr   r   Rr   k    tr 
1  
  qG 1 Tr 

T


 Rr 2   r   k  tr 
   Rr 2 qG Rr 2 





T
k
tr 


r
Rr 2 qG
t
Además QG 
y F0  r 2
Tr k
Rr
1 
 
1 
 
  
1 

  QG 
F0 
  
18
PROBLEMA 2.3
Calcule la tasa de pérdida de calor por pie y la resistencia térmica para una tubería de
acero de 40 cm de 40 cm cubierta con una capa de 7.5 cm de espesor de 85% de
magnesia. El vapor sobrecalentado a 150 ° C fluye dentro de la tubería (c h = 170 W /
(m2 K)) y el aire en calma a 16 ° C está en el exterior (c h = 30 W / (m2 K)).
DADO:
• Un tubo de acero estándar de 15 cm cubierto con 85% de magnesia.
• Espesor de magnesia = 7,5 cm.
• Vapor sobrecalentado a 150 ° C fluye dentro de la tubería.
• Temperatura del aire circundante (T∞) = 16 ° C
• Coeficientes de transferencia de calor:
Interior (ci h) = 170 W / (m2 K)
Exterior (co h) = 30 W / (m2 K)
HALLAR:
a.- La resistencia térmica (R)
b.- La tasa de pérdida de calor por pie (q / L)
SUPONIENDO QUE:
• Conductividad térmica constante.
• La tubería está hecha de acero al 1%.
GRAFICA:
Para un horario de 15 cm. Tubo 40.
Diámetro interior (Di) = 15.16 cm
Diámetro exterior (Do) = 16.56 cm
Conductividades Térmicas
85% de magnesia (kI) = 0.06 W / (m K) a 20 ° C
Acero al carbono al 1% (ks) = 43 W / (m K) a 20 °C
19
SOLUCION:
a.- El circuito térmico para la tubería aislada se muestra abajo.
Los valores de las resistencias individuales se pueden calcular utilizando Ecuaciones.
La resistencia total es:
b.- La tasa de transferencia de calor está dada por
Tenga en cuenta que casi toda la resistencia térmica se debe al aislamiento y que la
resistencia térmica de la tubería de acero es despreciable.
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