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CENTRO DE ENSEÑANZA
TÉCNICA INDUSTRIAL
INGENIERÍA MECATRÓNICA, PLANTEL TONALÁ.
ACADEMIA DE CIENCIAS BÁSICAS DE INGENIERÍA GRUPO-3°A
Tercer Examen Parcial de Métodos Numéricos
09 de Junio del 2014
Profesor; Juan Gilberto Mateos Suárez
(Duración del Examen 1 Hora y 50 Minutos)
Alumno: Abraham Hernández Murillo
Calificación: (_______)
Registro: 13110331
Pregunta 1)
Método de aproximación lineal con el cual no se necesita resolver un sistema de ecuaciones lineales. Se
parte de una f(x) que se proporciona en forma tabular, polinomio de primer grado se escribe como sigue:
𝑃(𝑥) = 𝑎0 (𝑋 − 𝑋1 ) + 𝑎1 (𝑥 − 𝑥0 )
a) Ajuste de Curvas
b) Polinomios de la Grange
c) Métodos Iterativos
Pregunta 2)
Con frecuencia se tienen que estimar valores intermedios entre valores conocidos. El método más común
empleado para este propósito donde existe uno y sólo un polinomio de n-ésimo orden o menor que pasa a
través de todos los puntos a este método se le denomina:
a) Método de Interpolación
b) Método de Taylor
c) Métodos Iterativos
Pregunta 3)
Es un método que se basa en la forma más simple de interpolación, que es conectar dos puntos con una
línea recta.
a) Descomposición
b) Interpolación por Diferencias Divididas
c) Método de Dolitle
Pregunta 4)
Método de análisis numérico en la que, dados un conjunto de pares ordenados: variable independiente,
variable dependiente, y una familia de funciones, se intenta encontrar la función continua, dentro de dicha
familia, que mejor se aproxime a los datos en otras palabras un "mejor ajuste"
a) Métodos de Mínimos Cuadrados
b) Interpolación
c) Método de Ajuste de Curvas
Pregunta 5)
Método que consiste esencialmente en encontrar una buena aproximación al área sobre la curva y se
𝑏
representa con la siguiente función: 𝑦(𝑥) = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
a) Métodos de Mínimos Cuadrados
b) Integración Numérica
c) Integración con la regla de
Simpson
Pregunta 6)
Como se le denomina a la función interpoladora que puede ser una función afín (un polinomio de grado 1
o sea una recta) que pasa a través de los puntos
a) Integración numérica
y
b) Derivación numérica
.
c)
Método del trapecio
Pregunta 7)
Sirve para determinar el área aproximada bajo una curva cuando el área se divide en un numero par de
segmentos con un ∆x.
a) Métodos de Mínimos Cuadrados
Simpson
b) Regla de Simpson de 1/3
c) Regla de Simpson 3/8
Pregunta 8)
Método en el que es factible disminuir el error de las fórmulas de Newton, cambiando la localización de
los puntos sobre la curva de integración f(x).
a) Métodos de Mínimos Cuadrados
b) Integración Numérica
c) Cuadratura de Gauss
Pregunta 9)
La regresión lineal es una técnica para ajustar datos a una mejor línea pero no siempre la relación de los
datos es lineal por lo que estamos hablando de:
a) Linealizacion de las relaciones no lineales
b) Integración Numérica
c) Cuadratura de Gauss
Pregunta 10).
Constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por
extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones
diferenciales.
a) Integración numérica
b) Regresión lineal
c) Ajuste de curvas
Pregunta 11).- (Indicar con una X, si la frase ó la declaración es verdadera [V] ó falsa [F]).
Enunciado
La regla de Simpson consiste en conectar grupos sucesivos de 3 puntos sobre la curva mediante parábolas de
segundo grado
La regla del trapecio une puntos para así formar una parábola.
La regla de Simpson se forma al conectar pequeños segmentos rectas a lo largo de la curva de la función.
La regla de Simpson 1/3 sirve para determinar el área aproximada bajo una curva
Pregunta 12).
El problema se resuelve al aproximar la función desconocida por un polinomio que pase por los tres puntos,
este polinomio es una parábola y tiene la siguiente formula general:
𝑝(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 . Los parámetros 𝑎0 , 𝑎1 𝑦 𝑎2 se determinan sustituyendo cada uno de los tres
puntos conocidos y resolviendo las tres ecuaciones con tres incógnitas que se producen de que estamos
hablandor?
a) Integración numérica
b) Interpolación lineal
c) Ajuste de curvas
Pregunta 13).
La siguiente formula a que método corresponde:?
.
a) Integración numérica
b) Interpolación lineal
c) Regla o Método de Simpson
V
X
F
X
X
X
CENTRO DE ENSEÑANZA
TÉCNICA INDUSTRIAL
INGENIERÍA MECATRÓNICA, PLANTEL TONALÁ.
ACADEMIA DE CIENCIAS BÁSICAS DE INGENIERÍA GRUPO-3°A
Tercer Examen Parcial de Métodos Numéricos
09 de Junio del 2014
Profesor; Juan Gilberto Mateos Suárez
(Duración del Examen 1 Hora y 50 Minutos)
Calificación: (_______)
Registro: 13110331
Alumno: Abraham Hernández Murillo
PROBLEMAS:
Pregunta 1)
La tabla siguiente muestra la relación que sigue la altura de un cohete contra la distancia que recorre
horizontalmente. Aproxime el valor de la altura para una distancia horizontal d = 130 km usando un
polinomio de Lagrange de tercer grado.
Puntos
D km
H km
a) 36.0750
0
0
0
b) 35.5500
1
100
30
c)
2
200
45
35.8475
3
300
50
d) 34.5000
RESPUESTA:
1. P3(X)= 𝑳𝑶 (𝑿)𝒇(𝑿𝟎 ) + 𝑳𝟏 (𝑿)𝒇(𝑿𝟏 ) + 𝑳𝟐 (𝑿)𝒇(𝑿𝟐 ) + 𝑳𝟑 (𝑿)𝒇(𝑿𝟑 )
(𝑿−𝑿𝟏 )( 𝑿−𝑿𝟐 )( 𝑿−𝑿𝟑 )
2. 𝑳𝟎 (𝒙) = ( 𝑿
𝟎 −𝑿𝟏 )( 𝑿𝟎 −𝑿𝟐 )( 𝑿𝟎 −𝑿𝟑 )
(𝑿−𝑿𝟎 )( 𝑿−𝑿𝟐 )( 𝑿−𝑿𝟑 )
3. 𝑳𝟏 (𝒙) = ( 𝑿
𝟏 −𝑿𝟎 )( 𝑿𝟏 −𝑿𝟐 )( 𝑿𝟏 −𝑿𝟑 )
(𝑿−𝑿𝟎 )( 𝑿−𝑿𝟏 )( 𝑿−𝑿𝟑 )
4. 𝑳𝟐 (𝒙) = ( 𝑿
𝟐 −𝑿𝟎 )( 𝑿𝟐 −𝑿𝟏 )( 𝑿𝟐 −𝑿𝟑 )
(𝑿−𝑿𝟎 )( 𝑿−𝑿𝟏 )( 𝑿−𝑿𝟐 )
5. 𝑳𝟑 (𝒙) = ( 𝑿
𝟑 −𝑿𝟎 )( 𝑿𝟑 −𝑿𝟏 )( 𝑿𝟑 −𝑿𝟐 )
Sustituyendo:…..
* 𝒇(𝒙𝟎 )
* 𝒇(𝒙𝟏 )
* 𝒇(𝒙𝟐 )
* 𝒇(𝒙𝟑 )
6. 𝑳𝟎 (𝒙) =
(𝑿−𝟏𝟎𝟎)( 𝑿−𝟐𝟎𝟎)( 𝑿−𝟑𝟎𝟎)
( 𝟎−𝟏𝟎𝟎)( 𝟎−𝟐𝟎𝟎)( 𝟎−𝟑𝟎𝟎)
* (𝟎) = 𝟎.
(𝑿−𝟎)( 𝑿−𝟐𝟎𝟎)( 𝑿−𝟑𝟎𝟎)
7. 𝑳𝟏 (𝒙) = ( 𝟏𝟎𝟎−𝟎)( 𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟎𝟎)( 𝟏𝟎𝟎−𝟑𝟎𝟎) * (𝟑𝟎)
(𝑿−𝟎)( 𝑿−𝟏𝟎𝟎)( 𝑿−𝟑𝟎𝟎)
8. 𝑳𝟐 (𝒙) = ( 𝟐𝟎𝟎−𝟎)( 𝟐𝟎𝟎−𝟏𝟎𝟎)( 𝟐𝟎𝟎−𝟑𝟎𝟎) * (𝟒𝟓)
(𝑿−𝟎)( 𝑿−𝟏𝟎𝟎)( 𝑿−𝟐𝟎𝟎)
9. 𝑳𝟑 (𝒙) = ( 𝟑𝟎𝟎−𝟎)( 𝟑𝟎𝟎−𝟏𝟎𝟎)( 𝟑𝟎𝟎−𝟐𝟎𝟎) * (𝟓𝟎)
Sacando ecuacion…….
𝟑
1. 𝑷𝟑(𝑿) = (𝑿𝟑 − 𝟓𝟎𝟎𝑿𝟐 + 𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎𝑿) (𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎) + (𝑿𝟑 − 𝟒𝟎𝟎𝑿𝟐 +
𝟗
𝟏
𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎𝑿) (− 𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎) + (𝑿𝟑 − 𝟑𝟎𝟎𝑿𝟐 + 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝑿) (𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎).
Reducciendo ecuacion…
𝑿𝟑
𝑿𝟐
𝟒𝟕𝐗
1. 𝑷𝟑(𝑿) = (𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎) − (𝟏𝟎𝟎𝟎) + (𝟏𝟐𝟎).
𝟐𝟏𝟗𝟕𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟔𝟗𝟎𝟎
𝟔𝟏𝟏𝟎
2. 𝑷𝟑(𝟏𝟑𝟎) = (𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎) − ( 𝟏𝟎𝟎𝟎 ) + ( 𝟏𝟐𝟎 ).
3. 𝑷𝟑(𝟏𝟑𝟎) = (𝟏. 𝟖𝟑𝟎𝟖𝟑) − (𝟏𝟔. 𝟗𝟎𝟎) + (𝟓𝟎. 𝟗𝟏𝟔𝟔)
4. 𝑷𝟑(𝑿) = 𝟑𝟓. 𝟖𝟒𝟕𝟓
Problema 2).- Al medir la velocidad en una tuberia se encontró la siguiente información; R es el radio,
distancia medida a partir del centro del tubo; ¿Determinar la velocidad en el punto R = 6, por mínimos
cuadrados si se considera qu el perfil de velocidades es parabólico?
Radio (cm)
v(t) (cms/seg)
3
600
5
550
7
450
9
312
10
240
RESPUESTA:
PUNTOS
X
1
2
3
4
5
3
5
7
9
10
34
TOTALES
∑X
Formulas:
Y
X^2
600
550
450
312
240
2152
∑Y
XY
9
25
49
81
100
264
∑X^2
1800
2750
3150
2808
2400
12908
∑XY
1. 𝑌 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥
2. Σ𝑌 = 𝑛𝑎0 + 𝑎1 Σ𝑥
3. Σ𝑥𝑦 = 𝑎0 Σ𝑥 + 𝑎1 Σ𝑥 2
Aplicando Formulas:
1.
2.
5𝑎0 + 34𝑎1 = 2152
34𝑎0 + 264𝑎1 = 12908
Realizando sistema de ecuaciones (suma-resta)
1. (34)( 5𝑎0 + 34𝑎1 = 2152)
2. (-5)( 34𝑎0 + 264𝑎1 = 12908)
1. 170𝑎0 +1156𝑎1 = 73168
2. -170𝑎0 - 1320𝑎1 = -64540
-164𝑎1 =8628
𝑎1 = 8628 / -164
𝑎1 = -52.60
Sustituyendo 𝑎1 en ecuacion
1. 170𝑎0 + 1156(-52.60)= 73168
2. 𝑎0 = 133973.6 / 170
3. 𝑎0 = 788.08
Evaluando en el punto R=6.
1. Y= -52.6x + 788.06
2. 𝑓(6) = −52.6(6) + 788.06
3. 𝑓(6) = 472.48
Problema 3).- Una cierta variable “y” muestra correlación cuadrática contra una variable “x”. Encontrar
la parábola del mejor ajuste para aproximar “y” utilizando el método de Mínimos Cuadrados con la
siguiente información;
n ∑ 𝑥 ∑ 𝑥 2 ∑ 𝑥 3 ∑ 𝑥 4 ∑ 𝑦 ∑ 𝑥𝑦 ∑ 𝑥 2 𝑦
7
0
28
0
RESPUESTA:
1. ∑𝑌 = 𝑛𝑎0 + 𝑎1 ∑𝑥 + 𝑎2 ∑𝑥 2
2. ΣX𝑌 = 𝑎0 Σ𝑥 + 𝑎1 Σ𝑥 2 + 𝑎2 ∑𝑥 3
3. Σ𝑥 2 𝑦 = 𝑎0 Σ𝑥 2 + 𝑎1 Σ𝑥 3 + 𝑎2 Σ𝑥 4
Ecuacion de 3x3 reacomodada:
1. 1 = 7𝑎0 + 0𝑎1 + 28𝑎2
2. 244 = 0𝑎0 + 28𝑎1 + 0𝑎2
3. −2 = 28𝑎0 + 0𝑎1 + 196𝑎2
Ecuacion Resuelta:
1. 𝑎0 = 0.4285714
2. 𝑎1 = 8.7142857
3. 𝑎2 = -0.0714286
196
1
244
-2
Polinomio de 2 grado:
1. Y= 0.4285714+8.7142857x - 0.0714286x2
Problema 4).- Determinar 𝐼 = ∫01 𝑒 cos 𝑥 𝑑𝑥 Para n = 5
RESPUESTA:
FORMULAS:
ℎ=
𝑏−𝑎
𝑛
ℎ
𝐼 = 2 (𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) + 2( 𝑓(𝑋1 ) + 𝑓(𝑋2 ) + 𝑓(𝑋3 ) + 𝑓(𝑋4 ))
1. Sacando Variables:
a= 0; b= 1 ; n= 5
2.
Sacando h.
ℎ=
3. Sacando f(a) y f(b)
1. F(a)= 𝑒 cos 𝑥
F(a)= 𝑒 cos 0 =2.7182
2. F(b)= 𝑒 cos 𝑥
F(b)= 𝑒 cos 1 = 1.7165
4.
1−0
= 0.2
5
Sacando 𝑋1 𝑌 𝑓(𝑋1 ) hasta 𝑋4 𝑌 𝑓(𝑋4 )
1. 𝑋1 = 𝑎 + ℎ
2. 𝑋1 = 0 + 0.2 = 0.2
3. F(𝑋1 )= 𝑒 𝑐𝑜𝑠 0.2 = 2.6646
1. 𝑋2 = 𝑋1 + ℎ
2. 𝑋2 = 0.2 + 0.2 = 0.4
3. F(𝑋2 )= 𝑒 𝑐𝑜𝑠 0.4 = 2.5119
1. 𝑋3 = 𝑋2 + ℎ
2. 𝑋3 = 0.4 + 0.2 = 0.6
3. F(𝑋3 )= 𝑒 𝑐𝑜𝑠 0.6 = 2.2826
1. 𝑋3 = 𝑋2 + ℎ
2. 𝑋3 = 0.6 + 0.2 = 0.8
3. F(𝑋3 )= 𝑒 𝑐𝑜𝑠 0.8 = 2.0071
4. Sacando I .
𝐼=
ℎ
(𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) + 2( 𝑓(𝑋1 ) + 𝑓(𝑋2 ) + 𝑓(𝑋3 ))
2
𝐼=
0.2
((2.7182 + 1.7165 + 2( 2.6646 + 2.5119 + 2.2826 + 2.0071)) = 2.3367
2