Matemática Algebra+Calculo

Índice general
1
Lógica y Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1
Introducción
1.1.1
1.1.2
1.1.3
1.1.4
1.1.5
1.1.6
1.1.7
1.1.8
Propósito de la lógica . . . . . . . . . . . .
El lenguaje de la Lógica . . . . . . . . . .
Las proposiciones . . . . . . . . . . . . . . .
Representación de las proposiciones
Conectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Recíproca, inversa y contrarecíproca
Tablas de verdad . . . . . . . . . . . . . . . .
Implicación y Equivalencia Lógica . .
1.2
Métodos Deductivo e Inductivo
1.2.1
1.2.2
1.2.3
1.2.4
1.2.5
1.2.6
1.2.7
1.2.8
1.2.9
1.2.10
1.2.11
Proceso deductivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Razonamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Evaluacion de argumentos mediante tablas de verdad
Deducción natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tres principios lógicos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . .
Las leyes de la lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Métodos de demostración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Demostración Indirecta: Reducción al absurdo . . . . . .
Regla P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Método de Invalidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Término - predicado - Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . .
3
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5
5
6
6
8
8
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16
16
21
22
23
24
24
1.3
Cuantificadores
25
1.3.1
1.3.2
1.3.3
1.3.4
1.3.5
1.3.6
Proposiciones abiertas . . . . . . . . . .
Cuantificador Universal
∀.....
Cuantificador Existencial
∃....
Conjunto de Validez o de Solución
Doble cuantificador . . . . . . . . . . .
Negación de cuantificadores . . . .
1.4
Circuitos lógicos
1.4.1
1.4.2
1.4.3
Tablas de circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Simplificación de circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Redes equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.5
Lógica de predicados
39
1.6
Teoría de Conjuntos
47
1.6.1
1.6.2
1.6.3
1.6.4
1.6.5
Operatoria con Conjuntos . . . . .
El conjunto potencia . . . . . . . . . .
¡Mira lo que me encontré! . . . . . .
Leyes de De Morgan . . . . . . . . . .
Familia - Partición - Cardinalidad
1.7
Producto cartesiano
1.7.1
Plano Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.8
Problemas Resueltos
1.8.1
Ejercicios de lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.9
Problemas Propuestos
2
Relaciones - Estructuras y Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.1
Introducción
87
2.2
Relaciones
88
2.2.1
2.2.2
2.2.3
Operaciones con Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Relaciones de Equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Congruencia Módulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.3
Relaciones de orden
2.4
Función
2.4.1
2.4.2
2.4.3
Cálculo de imágenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Cálculo de la preimagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Conjuntos Equipotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.5
Estructuras
110
2.6
Equivalencias Regulares
113
2.7
Homomorfismos
116
2.7.1
2.7.2
Propiedades del homomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Propiedades del Isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
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52
55
55
58
62
80
98
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2.8
Estructuras Algebraicas
121
2.8.1
2.8.2
2.8.3
2.8.4
2.8.5
2.8.6
Estructura de Grupo . . . . . . . . .
Propiedades de un Grupo . . . . .
Subgrupo . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grupo Simétrico y Alternante . .
Permutaciones Pares e Impares
Grupos Cíclicos . . . . . . . . . . . . .
2.9
Estructura de Anillo
2.9.1
2.9.2
2.9.3
2.9.4
2.9.5
Propiedades de un anillo .
Divisores de cero . . . . . . .
Subanillo . . . . . . . . . . . . .
Ideales . . . . . . . . . . . . . . .
Algebra de Ideales . . . . .
2.10
Estructura de Cuerpo
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124
126
127
130
133
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135
138
139
140
141
2.10.1 Propiedades de un Cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
2.10.2 Subcuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
2.11
Conjuntos Numéricos
145
2.12
Los Números Naturales
146
2.12.1 Adición en N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
2.12.2 Multiplicación en N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
2.12.3 Orden en N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
2.13
Números Enteros
2.13.1
2.13.2
2.13.3
2.13.4
2.13.5
Adición . . . . . . . . . . . . . . .
Multiplicación . . . . . . . . . .
Sustracción . . . . . . . . . . . .
Orden . . . . . . . . . . . . . . . .
Propiedades de los enteros
2.14
Números Racionales
152
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153
154
155
155
157
160
2.14.1 Números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
2.14.2 Adición de cortaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
2.15
Números Complejos
2.15.1 El cuerpo de los números complejos
2.15.2 División de números complejos . . . .
2.15.3 Forma polar de un complejo . . . . . .
2.15.4 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.15.5 Forma polar de un complejo . . . . . .
2.15.6 Multiplicación de complejos . . . . . .
2.15.7 División de complejos . . . . . . . . . . .
2.15.8 Potencias de complejos . . . . . . . . .
2.15.9 Raíces de complejos . . . . . . . . . . . .
2.15.10 Forma exponencial de un complejo
2.16
Problemas Propuestos
171
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177
177
178
179
180
181
3
Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
3.1
Introducción
193
3.2
Polinomio con una indeterminada
193
3.2.1
3.2.2
Anillo de Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
La función polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
3.3
Polinomios sobre un Campo
3.3.1
3.3.2
Máximo Común Divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Cálculo del MCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
3.4
Factorizaciones y Ceros
3.4.1
Raíces Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
3.5
Cotas para ceros
3.5.1
3.5.2
3.5.3
3.5.4
3.5.5
3.5.6
3.5.7
Método de los Radicales . . . . . . . . . . . . . . . .
Método de las Fracciones . . . . . . . . . . . . . . .
Método de la División Sintética . . . . . . . . . . .
Método de determinación de ceros enteros
Localización de los ceros reales . . . . . . . . . .
Interpolación Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Relaciones entre las raíces y los coeficientes
3.6
Fracciones Racionales
218
3.7
Problemas Propuestos
221
4
El conjunto de números Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
4.1
Introducción
4.1.1
4.1.2
4.1.3
4.1.4
Números naturales . .
Números enteros . . .
Números racionales .
Números Irracionales
4.2
El conjunto de números Reales
4.3
Axiomática de los números reales
4.3.1
4.3.2
4.3.3
4.3.4
4.3.5
Axiomas de cuerpo y propiedades . . . . . . . . .
Consecuencias de los axiomas de cuerpo . . .
Ecuaciones de primer grado de una variable
Regla de los signos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Historia del cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4
Las Fracciones
4.4.1
4.4.2
4.4.3
4.4.4
4.4.5
4.4.6
4.4.7
4.4.8
4.4.9
Fracciones equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reducción de fracciones a común denominador
Suma de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Multiplicación de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . .
División de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La división como resta repetida . . . . . . . . . . . . . .
Uso del algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Jerarquía de las operaciones . . . . . . . . . . . . . . . .
Potenciación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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201
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244
245
246
247
4.4.10
4.4.11
4.4.12
4.4.13
4.4.14
Propiedades de las potencias . . . . .
Radicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Racionalización de denominadores
Lenguaje Algebraico . . . . . . . . . . . .
Expresiones algebraicas . . . . . . . . .
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4.5
Polinomios
4.5.1
4.5.2
4.5.3
4.5.4
4.5.5
4.5.6
4.5.7
4.5.8
4.5.9
Suma y Resta . . . . . . . . . . . . . . . . .
Multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . .
Cociente de dos polinomios . . . . .
Regla de Ruffini o división sintética
Productos notables . . . . . . . . . . . .
Factorización . . . . . . . . . . . . . . . . .
La Ecuación Cuadrática General .
Completación de cuadrados . . . .
Teorema del resto y del factor . . . .
247
249
250
251
251
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4.6
Fracciones algebraicas
4.6.1
4.6.2
4.6.3
4.6.4
4.6.5
4.6.6
4.6.7
4.6.8
4.6.9
4.6.10
Suma de fracciones algebraicas . . . . . . . . .
Producto de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . .
División de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ecuaciones lineales con una incógnita . . . .
Ecuación de orden dos . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ecuaciones bicuadráticas . . . . . . . . . . . . . . .
Ecuaciones de grado mayor o igual que tres
Ecuaciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ecuación Radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.7
Logaritmación
4.7.1
Cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
4.8
Axiomas de orden
4.8.1
4.8.2
4.8.3
Módulo o Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
Ecuaciones con valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
Inecuaciones con valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
4.9
Axioma de Completitud
4.9.1
4.9.2
4.9.3
4.9.4
La propiedad arquimediana y consecuencias
Sumatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Factorial de un número natural . . . . . . . . . . . . .
El Binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10
Topología de la recta real
304
4.11
El sistema ampliado de los reales
308
4.12
Problemas Propuestos
309
5
Funciones Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
5.1
Introducción
5.1.1
Representación de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
252
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253
253
253
254
254
257
261
262
264
266
266
267
267
268
268
269
269
270
271
271
272
277
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290
296
298
300
317
5.2
Funciones Reales
323
5.2.1
5.2.2
5.2.3
5.2.4
Determinación del dominio .
Recorrido de la función . . . .
Funciones Periódicas . . . . . .
Funciones Acotadas . . . . . .
5.3
Tipos de funciones
5.3.1
5.3.2
5.3.3
5.3.4
5.3.5
5.3.6
5.3.7
5.3.8
5.3.9
5.3.10
5.3.11
5.3.12
5.3.13
Función Valor Absoluto . . . . . . . . . . . .
Función parte entera . . . . . . . . . . . . . .
Funciones biunívocas . . . . . . . . . . . . .
Función compuesta . . . . . . . . . . . . . . .
Función Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La máquina de la inversa . . . . . . . . . .
Modelos Funcionales . . . . . . . . . . . . . .
Funciones Racionales . . . . . . . . . . . . .
Funciones Exponencial y Logaritmica .
Función Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . .
Modelos exponenciales y logarítmicos
Interés Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Interés compuesto . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4
Transformaciones
368
5.5
Problemas Propuestos
370
5.5.1
Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
6
Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
6.1
Introducción
6.1.1
6.1.2
6.1.3
6.1.4
6.1.5
6.1.6
6.1.7
6.1.8
6.1.9
6.1.10
6.1.11
Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . .
Medida del ángulo . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . .
Circunferencia Trigonométrica . . . . . . . .
Comportamiento del seno y coseno . . .
Las restantes funciones trigonométricas .
Signo de las funciones trigonométricas . .
primer cuadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Razones de ángulos especiales . . . . . . .
Funciones de ángulos complementarios
Reducción de ángulos . . . . . . . . . . . . . .
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363
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382
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385
387
387
389
391
391
6.1.12 Ángulos de 90◦ y 270◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
6.1.13 Ángulos mayores de 360◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
6.1.14
6.1.15
6.1.16
6.1.17
6.1.18
Ángulos determinados por los semiejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos . . . . . . .
Razones trigonométricas del ángulo doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Razones trigonométricas del ángulo mitad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Transformaciones de sumas de razones trigonométricas en productos
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395
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397
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6.2
Identidades trigonométricas
398
6.2.1
6.2.2
6.2.3
6.2.4
6.2.5
6.2.6
6.2.7
6.2.8
6.2.9
6.2.10
Identidades Básicas . . . . . . . . . . . . .
Gráfica de y = A · sen[ω(x − α)] +C . .
Gráfica de y = A · cos[ω(x − α)] +C . .
Gráfica de tangente y cotangente
Gráfica de secante y cosecante . .
Funciones trigonométricas Inversas .
Función arcotangente . . . . . . . . . .
Ecuaciones trigonométricas . . . . . .
Ley del seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ley del coseno . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3
Problemas resueltos
417
6.4
Problemas propuestos
427
7
Geometría Analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
7.1
Introducción
429
7.2
Distancia entre dos puntos
430
7.2.1
Punto de división . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
7.3
Ecuaciones y Lugares Geométricos
433
7.4
La recta
435
7.4.1
Relación entre el ángulo de inclinación y la pendiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
7.5
Ecuaciones de la recta
7.5.1
7.5.2
Rectas paralelas y perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
Ecuación normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
7.6
Distancia de un punto a una recta
7.6.1
Familias de rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
7.7
Las cónicas
7.7.1
7.7.2
7.7.3
7.7.4
7.7.5
7.7.6
7.7.7
7.7.8
7.7.9
Gráfica de la ecuación de segundo grado
La Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ecuación general de la elipse . . . . . . . . . . .
La Hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ecuación general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Asíntotas de la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . .
Hipérbola equilátera . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8
Transformación de coordenadas
468
7.9
Problemas Propuestos
470
7.9.1
Problemas varios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
8
Límite y continuidad de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
8.1
Introducción
8.1.1
Caminando hacia el limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
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404
405
406
407
409
412
413
415
437
442
444
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445
446
449
454
459
460
464
465
467
481
8.1.2
8.1.3
8.1.4
La máscara del límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
Límites laterales en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
Calculando Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
8.2
Límites notables
493
1/x
8.2.1
Límite notable: lı́m ( 1 + x )
8.2.2
Límite notable: lı́m
8.3
Infinitésimo en un punto
497
8.4
Límites infinitos en un punto
499
8.4.1
8.4.2
8.4.3
Límites con variable al infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502
Un notable con dos caras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
Límite de la función compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
8.5
Continuidad
8.5.1
Continuidad Lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
8.6
Discontinuidad
8.6.1
8.6.2
Álgebra de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
Continuidad en intervalos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514
8.7
Problemas resueltos
518
8.8
Problemas propuestos
530
9
Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
9.1
Introducción
9.1.1
9.1.2
9.1.3
9.1.4
9.1.5
9.1.6
Tasa de Variación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tasa de variación media . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tasa de variación instantánea . . . . . . . . . . . .
Recta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Velocidad promedio y Velocidad instantánea
velocidad instantánea . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2
Derivada de una función en un punto
546
9.3
Algebra de derivadas
550
9.3.1
9.3.2
9.3.3
9.3.4
9.3.5
9.3.6
9.3.7
9.3.8
9.3.9
9.3.10
9.3.11
Derivada de funciones hiperbólicas . . .
Derivada de función elevada a función
Derivadas trigonométricas inversas . . . .
Derivada de funciones implícitas . . . . .
Derivada de funciones paramétricas . .
Derivadas de orden superior . . . . . . . . .
Derivadas laterales . . . . . . . . . . . . . . . .
Continuidad y Diferenciabilidad . . . . . .
Teorema de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Teorema del Valor Medio . . . . . . . . . . .
Funciones crecientes y decrecientes . .
x→0
x→0
= e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
sen x
= 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
x
508
510
539
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541
541
542
543
545
546
556
557
558
559
561
563
565
567
569
569
570
9.4
Máximos y mínimos
572
9.4.1
9.4.2
9.4.3
Criterio de la primera derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572
Concavidad y puntos de inflexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573
Asíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574
9.5
Reglas de L ’Hôpital
9.5.1
Problemas de optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578
9.6
Problemas resueltos
579
9.7
Problemas Propuestos
605
9.7.1
9.7.2
9.7.3
9.7.4
9.7.5
9.7.6
9.7.7
Continuidad y diferenciabilidad
Cálculo de derivadas . . . . . . . .
Bolzano, Rolle y TVM . . . . . . . . .
Máximos, mínimos y gráficas . . .
Aplicaciones de la derivada . . .
Reglas de L’H ô pital . . . . . . . . . .
Problemas de economía . . . . . .
575
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606
608
609
610
611
613
614
I
Introducción
Existen muchas y variadas razones por las cuales se escribe un libro. Algunos personajes ilustres
escriben sus “memorias” cuando se encuentran próximos o de frentón en sus “cuarteles de invierno”,
este no era el caso en la edición anterior. Otros hacen “ciencia ficción” contando sus sueños y fantasías,
que a veces se transforman en realidad, recordar a Julio Verne y Leonardo Da Vinci. Hay quienes
escriben poesía o novelas llegando a obtener el premio Nobel, entre estos se encuentran nuestros dos
grandes Pablo y Gabriela.
Las bases de estas notas se remontan al año 83, fecha en la que, con tecnología de esa época, en una
máquina de escribir OLIMPIA, de las mecánicas, ven la luz unos modestos apuntes de Algebra y
separadamente, unos de Introducción al Cálculo. El año 2000 fue la última actualización, la número 7.
Se utilizó LATEX, una verdadera imprenta, tiene de todo para editar un libro.
Ha pasado mucho tiempo sin nuevas ediciones, hoy hace su aparición, solo para la WEB, la última
y versión final de ALGEBRA + CÁLCULO, se han renovado contenidos, se han agregado nuevos
ejemplos y ejercicios, se ha tratado de incluir, en algunos temas, un aporte didáctico.
Este texto cubre ciertos temas propios del Álgebra y del Cálculo que se estudian en los cursos de primer
año de Universidad. Los temas tratados son:
Lógica Matemática, base del razonamiento matemático.
Teoría de Conjuntos, el lenguaje a través del cual se expresa la matemática.
Relaciones, el medio mediante el cual se estudian propiedades entre los elementos de un conjunto,
y de la cual se extrae el concepto de función, fuente inagotable de desarrollo del cálculo
infinitesimal.
Topología, el lenguaje a través del cual se expresan los conceptos del cálculo. En este contexto,
el concepto fundamental del cálculo es el de límite de funciones, que está conectado al de
continuidad y al de derivada.
lı́m
x→8
1
1
= ∞ =⇒ lı́m
=
x→5
x−8
x−5
5
Un poco en serio y un poco en broma se ha dicho que el cálculo infinitesimal es una “máquina de
límites”. Cuando es una broma, resulta algo como lo siguiente
Los tópicos de Algebra tienen la siguiente secuencia: Lógica y Conjuntos, Relaciones, Estructuras y
Complejos, Polinomios
Por supuesto que, el complemento constituye los contenidos de Cálculo. Se estudian; El Conjunto
de los Números reales, Funciones Reales, Geometría Analítica, Límite y Continuidad de Funciones,
Derivadas y sus aplicaciones.
El autor espera que este texto sea un aporte al proceso de enseñanza - aprendizaje, en tanto, sea de
utilidad a los alumnos a la hora de estudiar y preparar certámenes y, quizás, un aporte a mis colegas,
II
desde el punto de vista de los ejemplos y ejercicios desarrollados y de la metodología empleada. Se
aceptarán ideas y sugerencias que permitan transformar lo regular en bueno y lo bueno en excelente. Los
errores que sin duda están esperando ser encontrados, pueden ser dados a conocer en forma reservada y
sin publicidad al correo electrónico1
Un consejo para que lo tengas en cuenta. Si quieres aprender matemática debes estudiar con ahínco,
debes preguntar a tu profesor las dudas, no te quedes con ellas, estamos para ayudarte; haz uso del
horario de consulta de tu profesor, es tu obligación aprovecharlas, asiste a clases aunque tengas “chipe
libre”. Las clases de ejercicios son vitales, pon de tu parte para que resulten entretenidas. Insiste en ver
tus pruebas, es un derecho que tienes y una obligación del profesor. Aprovecha al máximo la Biblioteca
y la Clínica de Matemática que te atiende sin costo. Si sigues estos consejos básicos, de seguro que ya
tienes un azul al final del curso.
Se agradece a los colegas del departamento por sus aportes para mejorar el texto y haberlo utilizado
como herramienta de consulta, a los estudiantes por sus observaciones. Se aprecia y valora de forma
muy especial, a la profesora Judith A. Vergara C. quien tuvo la buena voluntad y disposición de revisar
los borradores de estas notas, realizar interesantes correcciones y formular atinadas sugerencias que
han ayudado a mejorar sustancialmente los contenidos. Se agradece también al Departamento de
Matemática de la Universidad de La Frontera por las facilidades otorgadas para la digitación de este
texto.
Te invito a que me des a conocer tu impresión de este libro al correo electrónico pedro.valenzuela@
ufrontera.cl. No dudes en escribir, tendrás respuestas.
¡ Que tengas suerte !
Pedro H. Valenzuela Tapia.
Peache
1 [email protected]
1. Lógica y Conjuntos
1.1
Introducción
Figura 1.1
El fútbol, el tenis y el basketball son juegos emocionantes, pero para jugarlos
se tiene primero que aprender algunas reglas del juego. Las matemáticas
no son diferentes. Se considera a las matemáticas como el lenguaje de la
ciencia ya que es el medio indispensable con el que la ciencia se expresa, se
formula y se comunica, especificando y clarificando rigurosamente las leyes
y conceptos de la misma.
El lenguaje nos proporciona las herramientas mentales, la habilidad para
dar razones de lo que sabemos. En la experiencia diaria, esperamos que las
personas tengan razones para lo que dicen o hacen; es decir buscamos un
principio de racionalidad, una lógica. Lo que parece una buena razón, puede
variar de acuerdo con las circunstancias y costumbres.
La lógica en cambio, busca tipos particulares de demostraciones racionales que fundamenten las
conclusiones y respalden nuestra ciencia y conocimiento en general
Estrictamente hablando, un lenguaje es un medio verbalizado de comunicación que le permiten a una persona compartir un pensamiento a otra.
Aún así, entre más compleja sea la idea que se quiera compartir, más
difícil se convierte el lenguaje. Por ejemplo, explicar verbalmente el por
qué la suma del cuadrado de los catetos de un triángulo rectángulo es
igual al cuadrado de su hipotenusa necesita un párrafo largo y tedioso. Y
esto es un ejemplo bastante simple, el querer explicar alguna cosa más
complicada podría llegar a ser casi imposible, usando solamente palabras.
Aquí es en donde entran los símbolos matemáticos, ellos comprimen la
información de una manera que ningún otro “lenguaje” podría hacerlo.
Observa la imagen en la figura 1.2 y dime si no es sencillo explicar el
teorema de Pitágoras.
Figura 1.2
Capítulo 1. Lógica y Conjuntos
2
Actividad 1 Vamos a empezar con una actividad sencilla en donde interpretas y haces uso del lenguaje
de símbolos: “Alexis dijo “tengo 24 años y los escribió así”:
Figura 1.3
Actividad 2 Una de las competencias lógicas interesantes a desarrollar es la de seguir una secuencia
ordenada de instrucciones que implican un proceso lógico. Observa el laberinto en la figura 1.4 y
determina cuál de las siguientes combinaciones de instrucciones permite ubicar el objeto circular en el
punto de llegada del laberinto:
Figura 1.4
1.1.1
1. Moverse 3 cuadros a la izquierda, y moverse 3 cuadros
hacia abajo, en seguida moverse un cuadro a la izquierda,
luego un cuadro hacia abajo, y finalmente 4 cuadros
hacia la derecha.
2. Moverse 4 cuadros a la izquierda, y moverse 3 cuadros
hacia abajo, en seguida moverse un cuadro a la izquierda,
luego un cuadro hacia abajo, y finalmente 4 cuadros
hacia la derecha.
3. Moverse 3 cuadros a la izquierda, o moverse 3 cuadros
hacia abajo, en seguida moverse un cuadro a la izquierda,
luego un cuadro hacia abajo, y finalmente 4 cuadros
hacia la derecha.
4. Moverse 4 cuadros a la izquierda, o moverse 3 cuadros
hacia abajo, en seguida moverse un cuadro a la izquierda,
luego un cuadro hacia abajo, y finalmente 4 cuadros
hacia la derecha.
Propósito de la lógica
La lógica ofrece métodos que enseñan cómo formar proposiciones, evaluar sus valores de verdad y
determinar si unas conclusiones se pueden deducir correctamente a partir de proposiciones supuestas;
además, la lógica es una ciencia que se interesa por las relaciones existentes entre las proposiciones,
con el fin de obtener precisión, claridad y generalidad en los razonamientos.
La precisión la logra mediante el uso de símbolos, los cuales tienen como función primordial eliminar
las ambiguedades que la estructura del lenguaje ordinario no puede evitar con facilidad.
La claridad y generalidad, la consigue en la medida en que el usuario se familiariza con los elementos
básicos de un argumento lógico, tanto en su representación simbólica como en su significado para luego
establecer un lenguaje simbólico artificial, que le permita simplificar argumentos lógicos complicados;
de esta manera, el símbolo permite concentración sobre lo esencial de un contexto dado, incrementando
la fiabilidad con que se aplica el conocimiento.
1.1 Introducción
1.1.2
3
El lenguaje de la Lógica
Por su origen y desarrollo natural, han sido reconocidos dos tipos básicos de lenguajes: los lenguajes
naturales y los lenguajes formales o artificiales.
Los primeros como el Inglés o el Castellano; tienen su origen y desarrollo natural, es decir, sin el
control de ninguna teoría. Las teorías de lenguajes naturales y las gramáticas, fueron establecidas
después que el lenguaje había ya madurado. Por otro lado, los lenguajes formales como la matemática
y la lógica, fueron desarrollados, por lo general, a través del establecimiento de una teoría, la cual le da
las bases para dichos lenguajes. El principal objetivo de esta unidad es traducir del lenguaje natural a
un lenguaje formal particular llamado el lenguaje de la lógica y de esta forma poder manejar y procesar
ciertos tipos de razonamientos.
Las siguientes actividades tienen por finalidad activar tus conocimientos previos y descubrir tus
procesos de razonamiento.
Actividad 3 El tío de Héctor está construyendo una reja de madera de 3 metros de alto. El quiere
colocar un soporte diagonal entre los postes que están a 4 metros de separación cada uno (figura 1.5).
¿Cuánto mide el soporte diagonal?
Figura 1.5
10
25
5
7
Actividad 4
(1) ¿Cuántos animales tengo en mi casa, si todos son perros, menos dos; todos son gatos, menos dos,
y todos son caballos, menos dos?
(2) Dos aviones cubrieron la distancia que separa a Temuco y La Serena. Uno lo hizo en una hora y
20 minutos, y el otro en 80 minutos. ¿Cuál de ellos llegó primero? ¿alguna discusión?
1.1.3
Las proposiciones
Dado que el lenguaje de la Lógica es preciso y no acepta
ambigüedades en las oraciones, las oraciones especiales que
ella emplea son llamadas proposiciones.
Figura 1.6
Definición 1.1.1 Una proposición es una oración verdadera o falsa en forma excluyente.
La proposición puede ser verdadera o falsa en un momento dado, decimos entonces que, el valor de
verdad de una proposición lógica es, por definición, verdadero o falso, y es representado por las letras
V o F.
Capítulo 1. Lógica y Conjuntos
4
Actividad 5 Entre las siguientes oraciones decidir cuales son proposiciones y determinar su valor de
verdad, verdadero (V ) o Falso (F)
1. Carlos estudia
2. Juan estudia matemática
3. La luz está encendida
1.1.4
4. Chile es lindo
5. ¡Ándate!
6. Hasta pronto
7. ¡HOLA!
8. Adiós
9. ¿Cómo estás?
Representación de las proposiciones
La lógica utiliza un lenguaje exacto que no da lugar a imprecisiones, para tal fin toma como elemento
básico de análisis a la proposición, que no es otra cosa que una oración del lenguaje cotidiano con un
significado mucho más limitado; en tales condiciones, se puede considerar una proposición como una
excepción lingüística que tiene la propiedad de ser verdadera o falsa.
Las proposiciones se representan simbólicamente mediante el uso de letras minúsculas del alfabeto
tales como p, q, r, s, · · · las cuales reciben el nombre de letras o variables proposicionales; de esta
forma, el lenguaje proposicional se hace más simple y exacto que el lenguaje natural. Así, también
se logra simplificar la escritura de argumentos lógicos complicados, creando un lenguaje simbólico
artificial, en donde se establece un conjunto de reglas claras, bien definidas y que no presentan las
ambigüedades ni vaguedades del lenguaje corriente o natural.
Ejemplo 1.1.2 Uso de letras minúsculas para denotar una proposición:
p : Hoy es sábado
1.1.5
q : x2 = 4
r : Vivo en Temuco
Conectivos
En el lenguaje cotidiano se encuentran expresiones como las siguientes:
Ejemplo 1.1.3
1.
2.
3.
4.
5.
“Las rosas son rojas y tienen espinas”
“La selección gana o pierde”
“La Universidad no es gratís”
“Si estudio matemática, entonces apruebo”
“Un número es par si y sólo si es divisible por 2”
Para la formación de las oraciones de este ejemplo se utilizaron las expresiones: y, o, no, si · · ·
entonces, sí y sólo si, que sirvieron para unir o enlazar los enunciados; denominamos a éstas
partículas o términos de enlace “conectivos”.
Estos conectivos sirven de enlace entre las proposiciones, para formar otra, denominada proposición
compuesta. Además · · ·
Los conectivos NO forman parte de ninguna proposición
Figura 1.7: demonio de Tasmania
1.1 Introducción
5
Señalamos estos conectivos, mostramos algunos sinónimos y ejemplos:
Nombre del
conectivo
negación
Representación
¬p
p
∼p
conjunción
p∧q
disyunción
p∨q
condicional
(implicación)
bicondicional
(equivalencia)
p −→ q
p ←→ q
Sinónimos
no p
es falso p
tampoco p
sin p
jamás p
nunca p
no es cierto p
pyq
p pero q
p sin embargo q
p no obstante q
p aunque q
p aun cuando q
p sino q
p a pesar de q
0 p o q o ambos
al menos p o q
como mínimo p o q
si p entonces q
q si p
p solo si q
q cuando p
q es necesario para p
para p es necesario q
p es suficiente para q
para q es suficiente p
no p a menos que q
p es necesario y suficiente para q
p cuando y solo cuando q
p si y solo si q
Ejemplo
No llueve
llueve y es de noche
estudio o voy al cine
si ceno,
entonces estudio
estudio si y solo si
estoy despierto
En el caso del condicional p −→ q, p recibe el nombre de antecedente y q consecuente. Por ejemplo,
en “Si como mucho, entonces engordo”, como mucho es el antecedente y engordo es el consecuente.
Actividad 6 Simboliza cada expresión siguiente:
Luis estudia, además de trabajar.
Luis canta, sin embargo no baila.
Luis jugó fútbol aunque estaba lesionado.
Luis juega fútbol, también José.
Luis salió, aún no llega.
Luis cocina a la vez que canta.
Luis viajará no obstante esté enfermo.
Luis canta, no baila.
Capítulo 1. Lógica y Conjuntos
6
Actividad 7 Con las proposiciones simples “p = viajo a Puerto Montt”,
“q = estoy contento” redactar
y simbolizar 3 proposiciones compuestas usando un conectivo diferente cada vez.
1.1.6
Recíproca, inversa y contrarecíproca
Dada la proposición condicional p −→ q, su recíproca es la proposición, también condicional,
q −→ p. Por ejemplo, la recíproca de
“Si Juana va a la playa, entonces se baña” es “ Si Juana se baña, entonces va a la playa”.
Dada la proposición condicional p −→ q, su inversa es la proposición, también condicional,
¬p −→ ¬q. Por ejemplo, la inversa de la proposición
“Si Juan estudia Fundamentos, entonces es buen estudiante” es
“Si Juan no estudia Fundamentos, entonces no es buen estudiante”.
Dada la proposición condicional p −→ q, su contrarrecíproca es la proposición, también condicional, ¬q −→ ¬p. Por ejemplo, la contrarrecíproca de la proposición
“Si Juan estudia Fundamentos, entonces es buen estudiante” es
“Si Juan no es buen estudiante, entonces no estudia Fundamentos”.
Actividad 8 Escribir la recíproca, la inversa y la contrarrecíproca de cada afirmación:
1.
2.
3.
4.
1.1.7
Si llueve, no voy.
Me quedaré, sólo si tú te vas.
Si tienes mil pesos, entonces puedes comprar un helado.
No puedo completar la respuesta si no me ayudas.
Tablas de verdad
Las tablas de verdad sirven para trabajar con proposiciones compuestas, y enumera todas las posibles
combinaciones de los valores de verdad para las proposiciones p1 , p2 , · · · , pn que la componen.
Actividad 9 El circuito de la figura 1.8 muestra un acueducto. Si abrir es 1 y cerrar es 0, entonces con
1 sale agua y con 0 no sale. Completa la tabla de acuerdo a la figura.
Figura 1.8
grifo p
1
1
1
1
0
0
0
0
grifo q
1
1
0
0
1
1
0
0
grifo r
1
0
1
0
1
0
1
0
¿sale?
Este es el punto en el cual se empiezan a establecer las leyes de la Lógica. Por ejemplo, para una
proposición p, ella admite solo dos valores de verdad, verdadero o falso. Para dos proposiciones p y
q, puede darse, solamente, que ambas sean verdaderas, ambas falsas, o bien una de ellas verdadera y la
otra falsa. Si son tres entonces las posibilidades son ocho. La tabla siguiente muestra lo que se ha dicho.
1.1 Introducción
7
p
V
V
F
F
p
V
F
q
V
F
V
F
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
En general, para n proposiciones p1 , p2 , · · · pn , su tabla de valores está compuesta de 2n combinaciones
posibles de valores de verdad de estas proposiciones.
Las reglas prácticas de operación de cada conectivo lógico, y su tabla de verdad.
1.- La conjunción de dos proposiciones p y q es verdadera si y sólo si, ambas proposiciones son
verdaderas.
2.- La Disyunción de dos proposiciones p y q es verdadera si y sólo si, al menos una de las proposiciones es verdadera.
3.- La negación de una proposición verdadera p es falsa y viceversa.
4.- La Condicional de dos proposiciones p y q es falsa únicamente si el antecedente p es verdadero, y
el consecuente q es falso.
5.- La Bicondicional de dos proposiciones p y q es verdadera si y sólo si, ambas proposiciones son
verdaderas o bien si ambas son falsas.
Las tablas de los conectivos tienen el siguiente comportamiento:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
¬p
F
F
V
V
p∧q
V
F
F
F
p∨q
V
V
V
F
p −→ q
V
F
V
V
p ←→ q
V
F
F
V
Actividad 10 Simbolizar la siguiente proposición y decidir sobre su valor de verdad “Si no se especifica
el domicilio y vive en la IX región, entonces tiene pendiente su patente”
Si los valores de verdad de la última columna
p q r ¬p ¬p ∧ q ¬p ∧ q −→ r
son todos V , entonces la proposición es verV V V
dadera y se denomina tautología o Teorema
V V F
Lógico. Si todos los valores de la última coV F V
lumna son F, entonces la proposición es falsa y
V F F
se llama contradicción. Si en la última columF V V
na existen valores de verdad V y F, entonces
F V F
la proposición es falsa y tiene el nombre de
F F V
contingencia. En adelante, notaremos por “C”
F F F
a una contradicción y por “T ” a una tautología.
No obstante, algunos autores utilizan los símbolos V y F como una forma simplificada de denotar una
tautología y una contradicción, respectivamente. Por ejemplo, p ∨ ¬p = V y p ∧ ¬p = F.
Actividad 11 Determinar si la proposición dada es Tautología, Contradicción o Contingencia.
[p ∨ (q ∧ r)]1 ↔ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)]2
Capítulo 1. Lógica y Conjuntos
8
Los corchetes [ ]1 y [ ]2 representan las proposiciones que forman la proposición bicondicional dada.
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
q∧r
r
V
F
V
F
V
F
V
F
p∨q
p∨r
[ ]1
[ ]2
[ ]1 ↔ [ ]2
En Lógica interesan las tautologías o teoremas lógicos o equivalencias. Una lista de los teoremas
lógicos más importantes te será entregado para que aprendas a usarlos y a familiarizarte con ellos para
usarlos en los talleres y pruebas.
1.1.8
Implicación y Equivalencia Lógica
Exponemos el uso del término “implicación” (=⇒) y el de “doble implicación” o “equivalencia” (⇐⇒).
Ambas expresiones serán de uso habitual a partir de este momento.
Una proposición p implica lógicamente una proposición q, que se denota p =⇒ q si y solo si
p → q es una tautología.
Dos proposiciones p y q son lógicamente equivalentes, que se denota p ⇐⇒ q o bien p ≡ q si y
solo si p ←→ q es una tautología.
los lógicos prefieren adoptar el lenguaje común como el lenguaje de la lógica y leen p → q como “p
implica q”. En este caso, ellos utilizan la palabra implica como el nombre de un conectivo lógico y
como el nombre de una relación paralela entre proposiciones.
Ejemplo 1.1.4 Probar la implicación lógica ¬(p ∨ q) =⇒ ¬p
Debes hacer la tabla de verdad y llegar a una tautología.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∨q
¬(p ∨ q)
¬p
¬(p ∨ q) −→ ¬p
Actividad 12 Probar que ¬(p ∨ q) ⇐⇒ ¬p ∧ ¬q
Esta es una de las leyes de De Morgan. Construyes la tabla y tienes una tautología.
1
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∨q
z }| {
¬(p ∨ q)
2
¬p
¬q
z }| {
¬p ∧ ¬q
1 ⇐⇒ 2
1.2 Métodos Deductivo e Inductivo
9
Actividad 13 Considera los enunciados:
Juan desayuna con tostadas, y café o chocolate.
Juan desayuna con tostadas y café, o con tostadas y chocolate.
Simboliza ambos enunciados y demuestra que son equivalentes mediante tablas de verdad.
Actividad 14 Completa la siguiente tabla conocida como reducción al absurdo
(p −→ q) ⇐⇒ [(p ∧ ¬q) −→ C]
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
1
2
z }| {
p −→ q
z
}|
{
(p ∧ ¬q) −→ C
¬q
p ∧ ¬q
C
1 ⇐⇒ 2
Actividad 15 Usar tablas de verdad para probar las siguientes proposiciones:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
1.2
¬(p ∧ q) ⇐⇒ ¬p ∨ ¬q
p ∧ p ⇐⇒ p
p ∨ p ⇐⇒ p
p ∧ q ⇐⇒ q ∧ p
p ∨ q ⇐⇒ q ∨ p
(p ∧ q) ∧ r ⇐⇒ p ∧ (q ∧ r)
(p ∨ q) ∨ r ⇐⇒ p ∨ (q ∨ r)
p ∧ (q ∨ r) ⇐⇒ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
p ∨ (q ∧ r) ⇐⇒ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
¬(¬p) ⇐⇒ p
p −→ q ⇐⇒ (¬p ∨ q)
[p −→ (q −→ r)] ⇐⇒ [(p ∧ q) −→ r]
(p −→ q) ⇐⇒ (¬q −→ ¬p)
Ley de De Morgan
Idempotencia
Idempotencia
Conmutatividad
Conmutatividad
Asociatividad
Asociatividad
Distributividad
Distributividad
Doble negación
Implicación
Exportación
Contra-recíproca
Métodos Deductivo e Inductivo
Todo trabajo intelectual (investigación) requiere del uso de un método
y/o procedimiento que lo conduzca al conocimiento. Para llevar a cabo
científicamente una investigación se debe seguir una acción y un procedimiento metódico. Dentro de los tipos de métodos aplicados al trabajo
intelectual tenemos al Método Deductivo y Método Inductivo.
Figura 1.9
1.2.1
Proceso deductivo
La práctica de los razonamientos deductivos en el proceso de desarrollo del pensamiento lógico matemático es muy importante. Constituye una herramienta fundamental para el trabajo en la matemática y
otras ciencias. Se fundamenta en dos principios: definiciones y demostraciones.
Capítulo 1. Lógica y Conjuntos
10
En su desarrollo debe cumplir básicamente las siguientes condiciones:
Enunciar explícitamente los términos primeros o primitivos con ayuda de los cuales se propone
definir los demás términos de la teoría.
Enunciar explícitamente las proposiciones primeras o primitivas, con ayuda de las cuales se
propone demostrar otras proposiciones de la teoría. Estas proposiciones primeras se denominan
Axiomas y relacionan entre sí los términos primitivos y las relaciones primitivas.
Que las relaciones enunciadas entre los términos sean únicamente relaciones lógicas, permaneciendo independientes del sentido concreto o interpretación que pueda darse a los términos.
Que en las demostraciones solo intervengan dichas relaciones.
Por la importancia que presenta en el contexto de la matemática ampliamos algunos conceptos básicos:
Conceptos primitivos. Son ideas esenciales que no admiten definición porque no se pueden
reducir a otras más simples, por ejemplo punto, conjunto y elemento.
Definición. Una definición es una explicación del significado de un concepto señalando o
indicando el contenido del mismo, por ejemplo número primo, función y límite de una función.
Axioma o postulado. Antiguamente se diferenciaba entre los dos conceptos. El axioma era un
enunciado que se admitía sin demostración por considerarlo evidente, mientras que un postulado
era un enunciado que se debería admitir y que era susceptible de ser demostrado. Actualmente
no se distingue entre axioma o postulado por lo que la palabra postulado casi no se utiliza. Por
ejemplo, “Dos puntos distintos determinan una y solo una línea recta”
Teorema. Derivada del latín theorema, la palabra teorema consiste en una proposición que
puede ser demostrada de manera lógica a partir de un axioma o de otros teoremas que fueron
demostrados con anticipación. Este proceso de demostración se lleva a cabo mediante ciertas
reglas de inferencia. El teorema, por lo tanto, puede ser descrito como una afirmación de
importancia. Existen otras de menor rango, como ocurre con el lema (que es un resultado previo
a un teorema), el corolario (que sigue de manera inmediata al teorema) o la proposición (un
resultado que no se encuentra asociado a ningún teorema en específico).
Un teorema, visto apropiadamente, es de la forma H =⇒ T , en donde H es un conjunto de
premisas que conforman la hipótesis y T es la Tesis o Conclusión.
El único instrumento que en el mundo del pensamiento opera válidamente es el proceso de deducción
lógica llamado Método Deductivo, basado en los principios de la lógica adecuadamente reunidos y
coordinados entre sí, y del cual, podríamos decir en otros términos:
Parte de proposiciones generales para llegar a conclusiones particulares
Proceso inductivo
Es un método científico que saca conclusiones generales de algo particular.
Supongamos que una persona prueba una manzana verde y encuentra su sabor agrio, prueba una
segunda y también es agria. Una tercera y cuarta manzanas le producen igual sensación. De estas
observaciones individuales y por separado se puede derivar una conclusión general:
Todas las manzanas verdes son agrias.
En este ejemplo se nota, evidentemente, que en cuanto más observaciones haya, más confiables resultan
las generalizaciones inductivas que puedan derivarse de ellas. Una generalización inductiva que se
base en dos experiencias específicas es menos confiable que una que se base en diez o cien. Claro
está, las generalizaciones inductivas nunca alcanzan una certeza absoluta, únicamente alcanzan un alto
1.2 Métodos Deductivo e Inductivo
11
grado de probabilidad. El defecto que padece este proceso lógico, es que siempre cabe la posibilidad
de encontrarnos con una experiencia que refute la conclusión, en nuestro caso, hay la posibilidad de
encontrar una manzana verde que sea dulce.
A pesar de que el pensamiento inductivo no siempre nos lleva a resultados exactos, es realmente
un método valioso para descubrir conclusiones posibles. Por lo tanto, inductivamente no es posible
alcanzar certeza en las conclusiones.
El método inductivo implica llegar a una conclusión probable basándose en muchos casos
particulares.
En resúmen:
1. La deducción es una forma de lógica que trabaja de lo general a lo específico, estableciendo
conclusiones necesarias a partir de las premisas.
2. La inducción es una forma de lógica que trabaja de lo específico a lo general, estableciendo
conclusiones “probables” a partir de las premisas.
1.2.2
Razonamientos
Un razonamiento es un conjunto de premisas p1 , p2 , p3 , · · · pn del cual se deduce una conclusión q.
Observar que una premisa es cada una de las proposiciones anteriores a la conclusión del razonamiento.
Los razonamientos pueden venir dados en forma horizontal
p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ · · · ∧ pn =⇒ q
O en forma vertical
p1
p2
p3
..
.
pn
q
Las reglas de la lógica, para los razonamientos, establecen que:
1. todas las premisas p1 , p2 , · · · , pn son verdaderas
2. la conclusión es consecuencia de trabajar todas las premisas con los teoremas lógicos
Este proceso mencionado recibe el nombre de deducción lógica. Desde el punto de vista formal, la
deducción, que es una de las herramientas matemáticas y lógicas más potentes, consiste en deducir
(inferir, construir, crear) nuevas frases a partir de otras preexistentes, llamadas premisas, de tal modo
que, si las premisas son todas ellas ciertas, también lo sea la frase deducida, la conclusión. Preceden a
la conclusión las palabras “luego”, “por tanto”, “por consiguiente”, “en consecuencia”, etc.
Un razonamiento se dice que es válido si la conclusión Q es verdadera cada vez que todas las premisas
p1 , p2 , · · · , pn lo sean. Se observa que esto significa que las premisas implican lógicamente la conclusión,
es decir, un razonamiento será válido cuando
p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn =⇒ q
Capítulo 1. Lógica y Conjuntos
12
Para determinar la validez de un razonamiento se pueden usar tablas de verdad, el método de deducción
natural (uso de teoremas lógicos) y la asignación de valores V o F a las proposiciones.
1.2.3
Evaluacion de argumentos mediante tablas de verdad
Todos los argumentos pueden convertirse en un condicional, pues, despues de todo, lo que un argumento
esta afirmando es que si las premisas son verdaderas, entonces la conclusión también lo es, o dicho de
otro modo:
p1 ∧ p2 ∧ p3 · · · ∧ pn −→ q
Es decir, un argumento es, en realidad, un condicional en el que el antecedente es la conjunción de
todas las premisas pi y el consecuente q es la conclusión.
Como sabemos, la tabla de verdad del condicional nos dice que este solo es falso cuando el antecedente
es verdadero y el consecuente falso, y verdadero en el resto de casos. Esto coincide completamente con
la definición de argumento válido, según la cual, un argumento será válido exactamente en los mismos
casos en que el condicional que le corresponde lo sea. Como un condicional no puede ser verdadero si
el antecedente es verdadero y el consecuente falso, un argumento no podrá ser válido si las premisas
son verdaderas y la conclusión falsa.
Premisa 1
Ejemplo 1.2.1
Premisa 2
Conclusión
Si estudio, entonces aprobaré
no he estudiado
no aprobaré
Lo primero que debemos hacer para evaluar o decidir si el argumento es válido o no, es formalizarlo:
(1) p → q
(2) ¬p
¬q
Para usar tabla de verdad tenemos que convertir el argumento en un condicional. Para ello, el antecedente
del condicional estará formado por la conjunción de todas las premisas, y el consecuente por la
conclusión, de modo que obtenemos lo siguiente:
[(p −→ q) ∧ ¬p] −→ ¬q
En consecuencia, la tabla de verdad resulta como sigue:
1
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
¬p
F
F
V
V
¬q
F
V
F
V
p −→ q
V
F
V
V
z
}|
{
(p −→ q) ∧ ¬p
F
F
V
V
1 −→ ¬q
V
V
F
V
Como vemos, la tabla de verdad nos revela que el condicional analizado es una contingencia, lo que
significa que puede ser verdadero o no, es decir, que es posible que sus premisas sean verdaderas y su
conclusión falsa. Por lo tanto el argumento correspondiente no es válido.
Actividad 16 Usa tablas de verdad para estudiar si el razonamiento es válido:
1. Premisa 1: Si Alicia llega tarde a casa, será castigada
1.2 Métodos Deductivo e Inductivo
13
2. Premisa 2: Alicia ha llegado tarde a casa
3. Conclusión: Alicia será castigada
Actividad 17 Simboliza el siguiente razonamiento en forma horizontal. Determina usando tablas de
verdad si la conclusión te parece correcta.
1. Si una persona lee el Austral, entonces está bien informada.
2. Juan está bien informado.
3. Conclusión: Juan lee el Austral.
Actividad 18 Simboliza el siguiente razonamiento en forma horizontal. Dime si logras alguna conclu-
sión. Verifica usando tablas de verdad
1. Si recibo un cheque por $ 500.000, entonces voy de vacaciones.
2. Si el auto se descompone, entonces no voy de vacaciones.
3. El auto se descompone.
R
1.2.4
El método de las tablas de verdad tiene dos características de gran importancia teórica. Una
de ellas es que el procedimiento es finito (naturalmente esto es suponiendo que el conjunto de
oraciones involucrado es finito.) La otra es que es un procedimiento mecánico, no necesitamos
entender el significado de las oraciones involucradas. La existencia de un método con estas
características es muy importante ya que garantiza que siempre se puede decidir si un argumento
formalizado es correcto o no. Sin embargo, si bien el método resuelve los problemas anteriores
completamente en forma teórica, tiene la dificultad de ser de difícil aplicación práctica
Deducción natural
El método de la deducción natural fue propuesto en 1934 por el investigador Gerhard Gentzen. Desde
entonces se conocen diversas variantes de él que algunos textos de lógica presentan como reglas para
construir derivaciones, deducciones o pruebas formales. Pertenece al grupo de los métodos sintácticos,
y dentro de éstos a los no algorítmicos. Es sintáctico porque procede sólo por transformaciones de las
fórmulas aplicando a las premisas una serie de reglas o leyes lógicas (teoremas lógicos) previamente
adoptadas. Es no algorítmico porque el número de pasos no puede prescribirse previamente en su
totalidad. Su eficiencia va de acuerdo a la capacidad natural o adquirida del que lo aplica.
Procedimiento:
1. Se simbolizan las premisas y la conclusión disponiendo aquéllas en forma vertical
p1
..
.
pn
q
2. Se procede tomando como punto de partida cualquiera de las premisas, siempre que sea de
utilidad. Se asocia con alguna otra de las líneas de premisas y su resultado se indica en una nueva
línea, estableciendo a la derecha de esta línea un par ordenado que señale las líneas trabajadas y
el teorema lógico empleado.
3. Se debe tener presente que TODAS las premisas deben ser utilizadas.
Capítulo 1. Lógica y Conjuntos
14
1.2.5
Tres principios lógicos fundamentales
La palabra principio significa origen o “punto de partida”. Viene del latín primum caput = “el que
encabeza”. Los principios lógicos están en el origen de la demostración como condiciones necesarias y
verdades evidentes. No se discuten ni requieren demostración.
Los principios que gobiernan la maquinaria de la deducción lógica fueron establecidas por Aristóteles
hace más de 2300 años y en la lógica tradicional son tres: identidad, no-contradicción y el tercero
excluido. Los tres son tan obvios que pareciera indigno fijarse en ellos.
El principio de identidad
Este principio afirma que “todo objeto es idéntico a
si mismo”, o bien que “todo es lo que es”. Su formulación lógica es
Toda proposición es verdadera si y sólo si ella
misma es verdadera.
Su fórmula es
Figura 1.10
p ⇐⇒ p
El principio de no-contradicción
Este principio nos dice que “Ningún objeto puede
ser y dejar de ser al mismo tiempo lo que es”. Su
formulación lógica es:
Es falso que una proposición sea verdadera y falsa
al mismo tiempo.
Su fórmula es
¬(p ∧ ¬p)
Figura 1.11
El principio del tercio excluído
Este principio afirma que “Un objeto tiene una propiedad o bien no la tiene y no hay una tercera posibilidad”. Su formulación lógica es:
Una proposición o es verdadera o es falsa
Su fórmula es
p ∨ ¬p
Figura 1.12
1.2.6
Las leyes de la lógica
Las leyes lógicas son tautologías o formas lógicamente verdaderas. Son fórmulas verdaderas independientes de los valores que asumen sus variables proposicionales componentes. Constituyen las reglas
del juego para determinar si un razonamiento es o no válido.
Ley de idempotencia
p ∨ p ⇐⇒ p,
para la disyunción
p ∧ p ⇐⇒ p,
para la conjunción
1.2 Métodos Deductivo e Inductivo
15
Ley de doble negación
¬ ¬p
∴p
¬(¬p) ⇐⇒ p
Regla de la Adición
Para considerar verdadera a una disyunción, basta que sepamos que uno de sus miembros es verdadero
(ver tabla de verdad de la disyunción). Así que si sabemos que la fórmula p es verdadera, entonces
sabemos que es verdadera cualquier disyunción con tal de que p sea uno de sus miembros. Esto significa
que a la fórmula p podemos añadirle cualquier otra fórmula siempre que las conectemos mediante la
disyunción.
p
p =⇒ (p ∨ q)
∴ p∨q
Por ejemplo, la proposición “p=Chile es un país sudamericano” es verdadera. La proposición “q=La
tierra es plana” es obviamente falsa. La proposición p ∨ q es verdadera.
Regla del Modus Ponens (MP)
Esta es una de las reglas de inferencia con más tradición. Su comprensión y aceptación es intuitivamente
inmediata. A partir de una fórmula condicional y de su antecedente, se obtiene su consecuente.
p −→ q
[p ∧ (p −→ q)] =⇒ q
p
∴q
Mira el siguiente ejemplo para que veas lo sencillo de aplicarlo.
Ejemplo 1.2.2
Si presiono entonces se rompe
p −→ q
Presiono p
Se rompe q
Regla del Modus Tollens (MT)
A partir de una fórmula condicional y de la negación de su consecuente, se obtiene la negación del
antecedente.
p −→ q
[(p −→ q) ∧ ¬q] =⇒ ¬p
¬q
∴¬p
Mira el siguiente argumento.
Ejemplo 1.2.3
Si Temuco gana, entonces es campeón
p −→ q
Temuco no es campeón ¬q
Temuco no gana ¬p
Ejemplo 1.2.4 Determinemos la validez del siguiente razonamiento: “Si la estufa es barata o consume
mucha energía, entonces no sirve. Si la estufa es a gas, entonces sirve. Pero la éstufa es barata. Por lo
tanto, la estufa no es a gas”.
Capítulo 1. Lógica y Conjuntos
16
Probar ¬S si:
1 :(p ∨ q) −→ ¬r
Simbolizamos el razonamiento:
p: La estufa es barata.
q: La estufa consume mucha energía
r: La estufa sirve.
s: La estufa es a gas.
La conclusión es: la estufa no es a gas
La estructura del razonamiento es:
2 :s −→ r
3 :p
4 :p ∨ q
(3) adición
5 :¬r
(1, 4), modus ponens
6 :¬s
(2, 5) modus tollens
Regla de la Conjunción
A partir de dos fórmulas se obtiene la conjunción de ambas.
p
(p ∧ q) −→ (p ∧ q)
q
∴ p∧q
Ejemplo 1.2.5 Sean p: Soy Chileno, q: Soy de Temuco. Si cada una de estas afirmaciones es verdadera,
entonces también lo es p ∧ q que equivale a decir “Soy Chileno y de Temuco”.
Regla de simplificación
Esta regla afirma que si p y q son verdaderas, entonces también es verdadera cualquiera de ellas por
separado.
p∧q
a)
p ∧ q =⇒ p
∴p
p∧q
b)
p ∧ q =⇒ q
∴q
El mismo ejemplo anterior, pero considerando que ahora es válido “Soy chileno y de Temuco”,
pudiéndose deducir “Soy chileno”, o bien “Soy de Temuco”.
Ejemplo 1.2.6 Considerar el razonamiento “La Física moderna y el Cálculo diferencial se estudian en
la Universidad. Por tanto, el Cálculo diferencial se estudia en la Universidad”.
Sean p: La Física moderna se estudia en la Universidad y q: El Cálculo diferencial se estudia en la
Universidad. Entonces
p∧q
∴q
Esto coincide con la estructura de la simplificación: En consecuencia, el razonamiento es válido.
Regla del Silogismo Hipotético (SH)
A partir de dos fórmulas condicionales, donde el consecuente de la primera es el antecedente de la
segunda, se obtiene una condicional formada por el antecedente de la primera y el consecuente de la
segunda
p −→ q
q −→ r
∴ p −→ r
[(p −→ q) ∧ (q −→ r)] =⇒ (p −→ r)
1.2 Métodos Deductivo e Inductivo
17
Observa el siguiente argumento.
“Si llueve hace frío.
Si hace frío llevo un abrigo.
Luego, si llueve llevo un abrigo”.
p −→ q
Si p: llueve, q: hace frío, r: llevo un
abrigo, entonces
q −→ r
∴p −→ r
Argumento válido pues tiene la estructura del SH.
Regla del Silogismo Disyuntivo (SD)
A partir de una fórmula disyuntiva y de la negación de una de sus componentes, se obtiene la otra
componente
“Cae Cara o Sello
p∨q
No cayó sello
[(p ∨ q) ∧ ¬p] =⇒ q
¬p
Luego cayó cara”.
∴q
es válido ya que tiene la estructura del
El siguiente argumento:
SD.
Ejemplo 1.2.7 Consideremos el razonamiento “Si hay abundancia de peces, habrá abundante harina
de pescado. Si hay abundante harina de pescado, se incrementa la exportación. La exportación no se
incrementa. O hay abundancia de peces o será preciso recurrir a otras actividades. Luego, será preciso
recurrir a otras actividades.
1
p −→ q
Hacemos la simbolización:
2
q −→ r
p: hay abundancia de peces
3
¬r
q: hay abundancia de harina de pescado
4
p∨s
r: se incrementa la exportación
5
p −→ r, (1, 2) SH
s: será preciso recurrir a otras actividades
6
¬p, (3, 5) MT
El razonamiento queda: Probar s a partir de:
7
s, (4, 6) SD
Regla de Reducción al Absurdo
La idea es suponer que la proposición que queremos demostrar es falsa, y a partir de esta suposición,
usando deducciones matemáticas, llegar a una contradicción o algo absurdo, lo cual implica que nuestra
proposición es necesariamente cierta.

(p → q) ⇐⇒ [(p ∧ ¬q) → ¬p]

(p → q) ⇐⇒ [(p ∧ ¬q) → q]
Ejemplo 1.2.8 Se considera el razonamiento “Juan come o ayuna. Juan no ayuna. Si Juan estudia se
siente satisfecho. Juan estudia. Luego, Juan come y se siente satisfecho.
Veamos si es válido. Para ello primero simbolizamos:
p: Juan come.
q: Juan ayuna.
r: Juan estudia.
s: Juan se siente satisfecho.
Te muestro como hacer la prueba en forma directa y por Reducción al Absurdo. El razonamiento
establece probar p ∧ s.
Capítulo 1. Lógica y Conjuntos
18
Método del RAA
1
p∨q
Método directo
1
p∨q
2
¬q
2
¬q
3
r −→ s
3
r −→ S
4
5
r
s, (3, 4) SH
4
5
r
¬(p ∧ s) negación de la tesis
6
¬p, (1, 2) MT
6
¬p ∨ ¬s, (5) De Morgan
7
p ∧ s, (5, 7) SD
7
p, (1, 2) SD
8
¬s, (6, 7) SD
9
¬r, (3, 8) MT
10
r ∧ ¬r, (4, 9) contradicción
Demostración por casos
Esto significa que, si suponemos que p es verdadera y llegamos a r, y luego suponemos que q es
verdadera y también llegamos a r, podemos afirmar r, independientemente de que ignoremos cuál de
las dos opciones es verdadera (o si lo son las dos).
p −→ r
[(p −→ r) ∧ (q −→ r)] =⇒ [(p ∨ q) −→ r]
q −→ r
∴ (p ∨ q) −→ r
Ejemplo 1.2.9 El razonamiento
“Si es diputado, tiene fuero
Si es senador, tiene fuero
Luego; Si es diputado o senador, tiene fuero”.
Claramente tiene la estructura de la demostración por casos. Por tanto, es un razonamiento válido.
Regla del Dilema Constructivo (DC)
A partir de dos fórmulas condicionales y de la disyunción de sus antecedentes se obtiene la disyunción
de sus consecuentes.
p −→ q
r −→ s
p∨r
∴ q∨s
[(p −→ q) ∧ (r −→ s) ∧ (p ∨ r)] =⇒ (q ∨ s)
El argumento:
“Si estudio aprendo y si duermo descanso.
Estudio o duermo.
Luego aprendo o descanso”.
es válido por tener la misma estructura del DC.
1.2 Métodos Deductivo e Inductivo
19
Regla del Dilema Destructivo (DD)
A partir de dos fórmulas condicionales y de la disyunción de las negaciones de sus consecuentes, se
obtiene la disyunción de las negaciones de sus antecedentes.
p −→ q
r −→ s
¬q ∨ ¬s
∴ ¬p ∨ ¬r
[(p −→ q) ∧ (r −→ s) ∧ (¬q ∨ ¬s)] =⇒ (¬p ∨ ¬r)
Ejemplo 1.2.10 El razonamiento:
Si gano, soy campeón.
Si empato, salgo segundo.
O no soy campeón o no soy segundo.
Luego; O no gano o no empato.
Este razonamiento tiene la estructura del DD, por tanto es válido
Existen más reglas o teoremas lógicos, de las cuales tendrás una copia para trabajar. La demostración
de todas estas leyes o reglas las puedes hacer mediante tablas de verdad.
1.2.7
Métodos de demostración
Para llevar a cabo el proceso de probar que la conclusión se deduce de las premisas hemos establecido
dos tipos de deducciones: directa e indirecta. Vamos a profundizar un poco más sobre esto.
Método Directo
La forma directa consiste en llegar a la conclusión de una manera directa, sin estrategias y, utilizando
sólo las premisas dadas.
Actividad 19 Consideremos el siguiente argumento:
1) Si recibo un cheque por $ 500.000, entonces voy de vacaciones.
2) Si el auto se descompone, entonces no voy de vacaciones.
3) El auto se descompone.
Para traducirla al lenguaje formal de la lógica, sean “p = recibo un cheque por $ 500.000”. “q = voy de
vacaciones”. “r = el auto se descompone”. Con esta simbolización establecemos el siguiente esquema
p −→ q premisa
r −→ ¬q premisa
r
premisa
¬p
conclusión
Lo primero es tener a mano los teoremas lógicos. Se observa que la tercera premisa r está solita y
sabemos que es verdadera, buscamos, dentro de las premisas restantes, otra que se pueda conectar con
ella. ¡Oh sorpresa! la segunda premisa r −→ ¬q también contiene r. Ahora bien, esta segunda premisa
es verdadera (toda). Si r es verdadera, entonces, como la condicional es verdadera, es obligado que ¬q
debe ser verdadera, con lo cual q es falsa (Modus Ponens). Ahora se debe trabajar lo recién obtenido,
Capítulo 1. Lógica y Conjuntos
20
¬q, con la primera premisa, que es la única que queda. Esta premisa, una condicional, es verdadera.
Es decir, p −→ q es verdadera. Dado que q es falsa, la única alternativa es que p sea falsa (Tollendo
Tolens), con lo cual ¬p es verdadero. Con ello se dice que el razonamiento es válido, pues ha sido
obtenido de las premisas dadas.
Actividad 20 Determinar si los siguientes razonamientos son o no válidos:
Razonamiento 1:
1. Si una persona lee el Austral, entonces está bien informada.
2. Juan está bien informado.
3. Conclusión: Juan lee el Austral.
Razonamiento 2:
1. Si Chile es una democracia, entonces sus ciudadanos tienen el derecho de votar.
2. Sus ciudadanos tienen el derecho de votar.
3. Por tanto, Chile es una democracia.
Actividad 21 Para reforzar tu aprendizaje:
Prueba
s
(1) t ∨ ¬s
(2) ¬r
(2) s
(3) t ∨ s
(3) q → ¬t
− − − − − −−
−−−−−−−−
¬r
Prueba
1.2.8
¬q
Prueba
(1) t → r
Prueba
¬t
(1) s ∨ ¬r
(1)p → s
(2) t → ¬s
(2)p ∧ q
(3) t
(3)(s ∧ r) → ¬t
− − − − − −−
(4) q → r
Demostración Indirecta:
Reducción al absurdo
Este es uno de los métodos más usados para hacer demostraciones matemáticas. La idea es suponer
que la proposición que queremos demostrar es falsa, y a partir de esta suposición, usando deducciones
matemáticas, llegar a una contradicción o algo absurdo, lo cual implica que nuestra proposición es
necesariamente cierta. En el lenguaje de las proposiciones, consiste en establecer que la negación
de la tesis T , conduce a una contradicción de la forma r ∧ ¬r, si es así, se ha establecido la verdad
de la proposición ¬T → (r ∧ ¬r) para alguna proposición r. Como r ∧ ¬r es una proposición falsa,
se concluye que ¬T es también falsa ( tabla del condicional). A partir de esto se obtiene que T es
verdadera.
Ejemplo 1.2.11 Probar que si m y n son enteros tales que n + n2 + n3 = m + m2 , entonces n es par
La tesis es que n es par. La negamos, esto es, suponemos que n es impar y buscamos algún hecho que
nos lleve a una contradicción.
Si n es impar, entonces n2 y n3 son impares, a partir de esto se sigue que n + n2 + n3 es impar (suma
de tres impares es impar). Ahora, como por hipótesis m + m2 = n + n2 + n3 , se sigue que m + m2
1.2 Métodos Deductivo e Inductivo
21
es impar. Aquí viene el gran “pero”, el término m + m2 es siempre par ya que podemos escribir
m + m2 = m(m + 1), y necesariamente, uno de los términos es par. Llegamos a una contradicción. En
consecuencia, para que no produzca contradicción n es par.
Observa a continuación el uso del método de reducción al absurdo bajo otro esquema.
Ejemplo 1.2.12 Probemos r dadas las premisas que se indican.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
t ∧ r ↔ ¬s
¬s → t
¬r → ¬s
¬r
¬s
t
¬s → t ∧ r
t ∧r
r
r ∧ ¬r
r
Premisa
Premisa
Premisa
Premisa Agregada, (negación de la tesis)
(3, 4)Modus Ponens
(2, 5) Modus Ponens
(1) Bicondicional
(5, 7) Modus Ponens
(8) simplificación
(4, 10) ¡¡contradicción !!
(10) T L20
Actividad 22 Demostrar:
1.2.9
Probar ¬e si:
(1)m ∧ e → C Premisa
Probar ¬t si:
(1) t → p ∧ s
(2)¬c ∨ b
Premisa
(2) q → ¬p
(3)¬b
Premisa
(3) r → ¬s
(4)m
Premisa
(4) r ∨ q
Probar d si:
(1) ¬a → b
Probar ¬q −→ t si:
1)
s −→ r
(2) c → b
2)
s∨ p
(3) c ∨ ¬a
3)
p −→ q
(4) ¬b ∨ d
4)
r −→ t
Regla P
Esta regla consiste en agregar, en cualquier momento de la demostración, una premisa cualquiera.
Esto da origen a las denominadas demostraciones subordinadas y es también una forma indirecta
de deducir. Para distinguir una premisa agregada de otra que no lo es, usamos las siglas PA (premisa
agregada). Debe tenerse en cuenta que se pueden agregar las premisas que se deseen. La premisa a
agregar es el antecedente de la conclusión (siempre que sea una implicación). Vemos esto.
Ejemplo 1.2.13 Demostrar s → p ∨ q
1)s → t
Premisa
2)r → p
Premisa
3)t → r
4)t → p
Premisa
(3, 2) silogísmo hipotético
5)s → p (1, 4) silogísmo hipotético
6)s
PA
7)p
(5, 6) modus ponens
8)p ∨ q
9)s → p ∨ q
(7) Ley de adición
(6, 8)
Capítulo 1. Lógica y Conjuntos
22
Actividad 23 Probar lo siguiente:
(1)
1.2.10
d → c:
p −→ (¬q −→ r):
(2)
1)a → (b −→ c) Premisa
1)s ∧ (¬p ∨ m) Premisa
2)¬d ∨ a
Premisa
2)m −→ q ∨ r
3)b
Premisa
Premisa
Método de Invalidez
Cuando el número de variables pasa de tres se torna engorroso el método de la tabla de verdad. Para
superar este inconveniente, se usa el método abreviado o de invalidez. Para probar que un razonamiento
es no válido, sigue los siguientes pasos:
1. Simboliza las proposiciones
2. Se supone verdadero el antecedente y falso el consecuente.
3. Se determinan los valores de las variables del consecuente de manera que expresen la falsedad
de éste.
4. Se trasladan estos valores al antecedente y se designan los valores de las demás variables tratando
de hacer verdadero el antecedente.
5. Si se verifica la hipótesis, la fórmula es no tautológica, en consecuencia, la inferencia correspondiente será inválida; si no se verifica la hipótesis, la fórmula será tautológica, en consecuencia, la
inferencia correspondiente será válida.
Ejemplo 1.2.14 Determinemos si el razonamiento “Si hoy es martes, entonces mañana es miércoles.
Hoy no es martes. Por tanto, mañana no es miércoles” es válido.
En primer lugar se simboliza: p: hoy es martes, q: mañana es miércoles. Se escribe el razonamiento
[(p −→ q) ∧ ¬p] −→ ¬q
Asignamos a p el valor F y a q V y establecemos el siguiente esquema:
[(p −→ q) ∧ ¬p] −→ ¬q
[(F −→ V ) ∧V ] −→
F
∧V −→
F
−→
F
V
V
F
Por tanto, este razonamiento no es válido.
Actividad 24 Probar que los siguientes razonamientos no son válidos (contingencia o contradicción)
[(p ∧ q) ←→ p] −→ (p ←→ q)
1.2.11
(p −→ q) ←→ (¬q ∧ p)
Término - predicado - Cuantificadores
El término o sujeto es la parte de la oración que nos indica de quién se habla.
El predicado es la parte que se relaciona con lo que se dice del sujeto.
1.3 Cuantificadores
23
Así por ejemplo, en la oración “Mi hermano estudia en la universidad”, el sujeto es mi hermano pues es de quien se habla. También
se dice lo que hace “estudia en la universidad”, es la función que
hace el sujeto, por tanto, es el predicado.
Figura 1.13
Actividad 25 Encerrar con un círculo el “sujeto” y subrayar el “predicado”:
1. Este curso es de matemática.
2. cuatro es mayor que 2.
3. José se va de la clase.
1.3
4. Juan está ausente.
5. A veces no le entiendo al profe.
6. Años después me lo contó mi abuelo.
Cuantificadores
Uno de los principales elementos formales en las proposiciones son los llamados “cuantificadores”.
Los cuantificadores son términos del lenguaje que especifican si un enunciado se refiere a todos los
elementos de una clase o sólo a alguno de ellos; es decir, sirven para distinguir entre enunciados de
carácter general y particular.
Ejemplo 1.3.1 Considerar las siguientes afirmaciones dependientes de variables:
(1) P(n) : n es divisible por 3.
(2) Q(n) : n es divisible por 6.
(3) R(x) : la persona x vive en Temuco.
(4) S(x) : la persona x conoce la UFRO.
Anota, en lenguaje verbal, el significado de las siguientes expresiones:
(1) Q(n) −→ P(n)
(2) P(n) ∧ ¬Q(n)
(3) R(x) ⇐⇒ S(x)
Halla el valor de verdad de:
(1) P(9) ∧ ¬Q(9) · · ·
1.3.1
(2) P(18) ∧ ¬Q(18) · · ·
Proposiciones abiertas
Hasta ahora hemos estudiado proposiciones a las que solo se les puede asignar un valor de verdad, ya
sea falso o verdadero.
Ejemplo 1.3.2 Se consideran los siguientes expresiones:
(1) 4 es factor común de 12 y 8.
(2) Todos los números primos son impares.
(3) Juan tiene una casa.
(4) Chile no está en América.
(5) x es divisible por 3.
(6) Él es profesor de matemática.
Las primeras cuatro expresiones son proposiciones gramaticales, que además se pueden clasificar sin
equívocos como verdaderas o falsas, por tanto, son proposiciones lógicas.
En ocasiones las proposiciones contienen en lugar del sujeto, una variable o un pronombre como en
los ejemplos (5) y (6). A este tipo de proposiciones se le conoce como proposiciones abiertas y para
Capítulo 1. Lógica y Conjuntos
24
poderlas catalogar como lógicas, es necesario saber quién es la variable o el pronombre por el cuál se
sustituye. Para que (5) sea proposición lógica, x debe referirse a un número, pero además para el cual
tenga sentido el concepto “ser divisible”. Por ejemplo, si x se remplaza por el número 5 la proposición
deja de ser abierta (es cerrada) y su valor de verdad es falso. Si en cambio, x se reemplaza por 12,
entonces tenemos una proposición verdadera. De igual manera, para que (6) sea proposición lógica, se
requiere sustituir el pronombre Él por una persona en particular.
Definición 1.3.3 — Proposición abierta.
Es una expresión en la cual se desconoce el sujeto, al conocerlo, la expresión se transforma entonces
en una proposición lógica y se puede definir su valor de verdad.
Las proposiciones abiertas pueden ser verdaderas o falsas, dependiendo esto de las sustituciones que se
hagan para la variable. Para ello se debe cuantificar la variable en juego, diciendo que la proposición es
verdadera para todos o algunos valores. Tales proposiciones abiertas se denotan con letra mayúsculas,
como por ejemplo, P(x).
Definición 1.3.4 — Dominio de una proposición abierta.
Al conjunto de reemplazos o sustituciones de la variable o el pronombre que hacen lógica a una
proposición abierta, le llamaremos dominio de la proposición.
Definición 1.3.5 — conjunto solución.
El conjunto formado por aquellos elementos del dominio de la variable que hacen verdadera la
proposición abierta P(x) lo llamaremos el conjunto solución de la proposición abierta P(x).
Ejemplo 1.3.6 Considerar los siguientes enunciados:
1. x2 + x − 2 = 0
2. 2x < 5
3. x > 4
Estrictamente hablando, ninguno de los enunciados es una proposición. Pero no nos preocupemos de
ese detalle. El primer enunciado se transforma en proposición si hacemos x = 0, en tal caso, −2 = 0,
con lo cual la proposición así hallada tiene valor de verdad FALSO. En cambio si se toma x = 1 o bien
x = −2, la proposición es verdadera y su conjunto solución es S = {1, −2}. Hacer un análisis similar
para los enunciados restantes.
Actividad 26 Considerar las siguientes afirmaciones dependientes de variables:
1. P(x) : x > 3. ¿Cuál es el valor de verdad de P(4) y P(2)?
2. Q(x, y) : x = y + 3. ¿Cuál es el valor de verdad de Q(1, 2), Q(3, 0) y Q(2, 1)?
3. R(x, y, z) : x + y = z. ¿Cuál es el valor de verdad de R(1, 2, 3) y de R(0, 0, 0) ?
1.3.2
Cuantificador Universal
∀
Se usa el símbolo ∀, denominado cuantificador universal, antepuesto a una variable para decir que
“para todo” elemento de un cierto conjunto se cumple la proposición dada a continuación. Sinónimos
de para todo son: para cada, cada, todo, cualquier, cualquiera.
Los siguientes enunciados
1. “ Todo hombre es mortal”
2. “ Todas las peras son café”
3. “ Cualquier alumno es inteligente”
se reescriben, para identificar términos y predicados, como
1. Para todo x, si x es hombre, entonces x es mortal.
1.3 Cuantificadores
2.
3.
1.3.3
25
Para todo x, si x es una pera, entonces x es café
Para todo x, si x es alumno, entonces x es inteligente
Cuantificador Existencial
∃
El cuantificador existencial, será usado para señalar que existen uno o más elementos en el conjunto en
cuestión que cumplen con una determinada propiedad. Cabe destacar que la palabra cuantificador se
halla en estrecha relación con otro concepto, el de cuantificar, el cual implica una acción de enunciar
una cantidad. Sinónimos son: alguno, existe, existe al menos uno.
Ejemplo 1.3.7 Considera los enunciados:
1.
2.
3.
“ Existe un hombre”
“ Algunas mujeres son inteligentes”
“ Algunos hombres son fieles”
Hay varias formas de expresar estos enunciados, por ejemplo,
1.
“Existe un x de tal modo que x es un hombre”
2. “Existe un x tal que x es una mujer y x es inteligente”
3. “Existe al menos un x tal que ese x es hombre y ese x es fiel”
Ejemplo 1.3.8
∃n ( P(n) ∧ ¬Q(n) ) significa: “existe un entero divisible por 3 y no divisible por 6”
∃x (R(x) =⇒ S(x) ) significa: “
1.3.4
”
Conjunto de Validez o de Solución
Sabemos que, si P(x) es una proposición abierta sobre un conjunto E, entonces el conjunto de todos
los elementos x ∈ E que tienen la propiedad que P(x) es verdadera se llama conjunto de validez o
conjunto solución de P(x) y se anota por VP o bien SP . Esto es:
VP = SP = {x ∈ E/ P(x) es verdadera}
Veamos este concepto en expresiones cuantificadas.
Valor de Verdad de expresiones cuantificadas
(a) Una proposición con cuantificador universal es verdadera si y sólo si el dominio E de la variable
es igual al conjunto de validez
(∀x ∈ E)(P(x) verdadera ⇐⇒ VP = E
(b) Una proposición con cuantificador existencial es verdadera si y sólo si el dominio de la variable
no es vacío
(∃x ∈ E)(P(x) verdadera ⇐⇒ VP 6= 0/
Actividad 27 Determinar el dominio y el valor de verdad de las proposiciones:
1.
(∃n ∈ N)(n + 1 < 9)
2.
(∀x ∈ R)(x2 > 0)
3.
Actividad 28 Simbolizar y hallar el valor de verdad de las proposiciones:
1.
2.
3.
4.
Para todo x real, si x > 2, entonces x > 1
Para todo x entero, x + 0 = x
Existe un x en los reales tal que x2 = 2
Para cada x real se tiene x2 ≥ 0
(∃n ∈ N)(n + 5 < 3)
Capítulo 1. Lógica y Conjuntos
26
1.3.5
Doble cuantificador
Es posible plantear proposiciones con dos o más cuantificadores.
Actividad 29 Sea P(x, y) la afirmación “a la persona x le gusta la fruta y”. Asocia cada número con la
letra correspondiente:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
1.3.6
∀x ∀y P(x, y)
∀y ∀x P(x, y)
∃x ∀y P(x, y)
∀y ∃x P(x, y)
∃y ∀x P(x, y)
∀x ∃y P(x, y)
∃x ∃y P(x, y)
∃y ∃x P(x, y)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Todas las frutas les gustan a todas las personas.
Cualquier fruta le gusta al menos a una persona.
A todas las personas les gusta todas las frutas.
A cualquier persona le gusta al menos una fruta.
Hay una persona que le gustan todas las frutas.
Hay una persona a la que le gusta alguna fruta.
Hay una fruta que le gusta a todas las personas.
Hay una fruta que le gusta a alguna persona.
Negación de cuantificadores
Considerar la proposición “todos los hombres son mortales”. Su negación puede ser algunas de las
siguientes proposiciones:
1. “No es verdad que todos los hombres son mortales”
2. “Es falso que todos los hombres son mortales”
3. “Existe al menos un hombre que no es mortal”
La expresión “Existe al menos un hombre que no es mortal” se puede interpretar en el sentido que
“existe un x que es hombre y este x no es mortal”.
Otro ejemplo en el mismo sentido es el siguiente:
Sea p(x) : x es un estudiante del curso que aprueba matemática.
Universo: El conjunto de todos los estudiantes del curso.
(∀x)p(x): Todos los estudiantes del curso aprueban matemática.
Entonces la negación de esta proposición, ¬[(∀x)p(x)], puede expresarse de distintas maneras:
Es falso que todos los estudiantes del curso aprueban matemática
Existe por lo menos un estudiante del curso que no aprueba matemática.
Algunos estudiantes del curso no aprueban matemática.
Figura 1.14
Este ejemplo y cualquier otro puede interpretarse a
través de un Diagrama de Venn, si E denota el conjunto de todos los estudiantes del curso que aprueban
matemática y R es el conjunto de todos los estudiantes del curso (conjunto referencial o universo), entonces el complemento del conjunto E respecto al
referencial R denotado por E c representa el conjunto
de todos los estudiantes del curso que no aprueban
matemática.
Si Juan es un estudiante del curso que no aprueba matemática, se encontrará como elemento en E c , y
puede simbolizarse como un punto. El elemento Juan representa el contraejemplo que demuestra que
la proposición: todos los estudiantes del curso aprueban matemática, es falsa.
1.4 Circuitos lógicos
27
Considere que P(x) representa la proposición abierta “‘todos los hombres son mortales”, entonces su
negación es ¬P(x) que en lenguaje corriente es “existe al menos un hombre que no es mortal”. Ambas
expresiones cuantificadas tienen la forma:
( ∀x )( P(x) )
y
( ∃x )( ¬P(x) )
Esto permite visualizar una conclusión:
Para negar una proposición cuantificada universalmente se cambia el cuantificador a existencial, y se
niega la proposición abierta
Actividad 30 Escribir literal y simbólicamente la negación de “todos los números enteros son impa-
res”.
¿Puedes aventurar una conclusión sobre la negación del existencial?
Para negar una proposición cuantificada existencialmente se cambia el cuantificador a .........................,
y se ................. la proposición abierta
Actividad 31 Simbolizar la proposición dada, y luego escribir literal y simbólicamente su negación
“Algunos estudiantes no saben matemática”
1.4
Circuitos lógicos
El álgebra lógica fue desarrollada a principios del siglo XIX por el matemático George Boole para
investigar las leyes fundamentales en que se basa el razonamiento humano. Tiene como característica
especial que sus variables sólo pueden adoptar dos valores, verdadero y falso, representados por 1 y 0
respectivamente. Ambos dígitos pueden representar cualquier par de estados, con la condición de ser
mutuamente excluyentes. Los circuitos eléctricos digitales, los circuitos con fluidos, los circuitos con
luz (fibra óptica) y otros, se prestan muy bien para tratar este tipo de señales, porque es fácil construir
circuitos que adopten tales valores, tensión no-tensión, conectado no-conectado, abierto-cerrado,
encendido-apagado, etc.
Debido a que una proposición puede ser evaluada y resultar sólo verdadera o falsa, se puede deducir
alguna equivalencia con el álgebra booleana, que maneja solamente dos valores (0 y 1). Las propiedades
del cálculo proposicional son equivalentes a las del álgebra desarrollada por Boole.
En el álgebra booleana, una proposición es equivalente a una variable, y las conectivas lógicas se
utilizan como compuertas lógicas. Los esquemas que resultan de aplicar las compuertas lógicas se
conocen como circuitos lógicos.
Veamos ahora una breve, pero interesante, aplicación de la lógica a los circuitos. Una mayor información
y profundización de los conceptos aquí entregados puede ser encontrada en un libro de álgebra
booleana.
Un interruptor es un dispositivo que sirve para cerrar o abrir un circuito eléctrico. Un circuito eléctrico
puede contener varios dispositivos tales como interruptores, resistencias, etc. Para la redes interesan sólo
los interruptores. Una red de interruptores se denomina simplemente una red, y todos los elementos de
esta red serán interruptores. Formalicemos esto.
Capítulo 1. Lógica y Conjuntos
28
Definición 1.4.1 Una red de interruptores es una combinación de cables e interruptores que unen dos
terminales T1 y T2 . Los interruptores satisfacen que:
1) Están abiertos o están cerrados.
2) Están en serie o están en paralelo.
Para designar interruptores se usan letras minúsculas, tales como p, q, r, s. Si un interruptor está cerrado,
pasa corriente (figura 1.15a). Si un interruptor está abierto, no pasa corriente (figura 1.15b).
Figura 1.15
Dos interruptores están conectados en serie si, y solamente si, el circuito está cerrado cuando los
dos interruptores están cerrados, y abierto si uno de los interruptores está abierto. Una conexión
en serie de dos interruptores p y q se simboliza p ∧ q.
Dos interruptores están conectados en paralelo si, y sólo si, el circuito está cerrado cuando
uno o ambos interruptores están cerrados y abierto cuando los interruptores están abiertos. Una
conexión en paralelo de dos interruptores p y q se simboliza p ∨ q.
La figura 1.16 muestra dos interruptores p y q en serie.
Figura 1.16
La figura 1.17a muestra dos interruptores p y q en paralelo.
La figura 1.17b muestra un interruptor p en serie con interruptores, q y r en paralelo.
Figura 1.17
Una combinación de interruptores que no está conectada ni en serie ni en paralelo se llama
puente. La figura 1.18 muestra una conexión en puente.
Figura 1.18
1.4 Circuitos lógicos
1.4.1
29
Tablas de circuitos
Si indicamos por V que un interruptor está cerrado, y por F el que esté abierto, entonces las tablas
siguientes ilustran el funcionamiento de los circuitos en serie y en paralelo.
p
V
V
F
F
circuito en serie
q
p∧q
V
V
F
F
V
F
F
F
p
V
V
F
F
circuito en paralelo
q
p∨q
V
V
F
V
V
V
F
F
Tres problemas a resolver:
1. Construir un circuito dada su forma lógica.
2. Traducir un circuito a su forma lógica.
3. Simplificar circuitos.
Figura 1.19
Tres condiciones a tener en cuenta:
Figura 1.20
1. La conjunción se asocia a circuitos en serie y permite
paso de corriente sólo si los interruptores p y q están
cerrados.
2. La disyunción se representa por circuitos en paralelo
y permite paso de corriente si uno de los interruptores
p o bien q están cerrados.
3. Las implicaciones y bicondicionales se deben transformar a conjunciones, disyunciones y negaciones.
Ejemplo 1.4.2 Representar el circuito booleano (p ∨ q) ∧ r, y determinar en que casos pasa corriente.
El procedimiento más sencillo para hallar la respuesta es hacer la tabla. Además, por la fórmula dada
se tiene que p y q (ambos en paralelo) están en serie con r. Si se observa la tabla o bien la figura 1.21,
es claro que cerrando p y r pasa corriente, de igual manera, si se cierran q y r, pasa corriente.
p q r p ∨ q (p ∨ q) ∧ r
V V V
V
V
V V F
V
F
V F V
V
V
V F F
V
F
F V V
V
V
F V F
V
F
F F V
F
F
Figura 1.21
F F F
F
F
Dos o más interruptores se pueden acoplar, de modo que se abran o cierren simultáneamente. Esto se
indica en los circuitos asignando a todos estos interruptores la misma letra.
Capítulo 1. Lógica y Conjuntos
30
Así por ejemplo, si al acoplar dos interruptores
uno de ellos está cerrado y el otro abierto, o
viceversa, al primero lo anotamos por p y al
segundo por p 0 . La tabla muestra la relación
entre los interruptores p y p 0 .
p
V
F
p0
F
V
En honor del matemático inglés John Boole (1815-1864) una proposición simbolizada se llama
polinomio de Boole. De acuerdo con esto, podemos asociar a cualquier circuito un polinomio booleano,
basándonos en las tablas de la conjunción, disyunción y negación.
Ejemplo 1.4.3 [P ∨ (¬P ∧ ¬Q)] ∨ (P ∧ Q) es la proposición asociada al circuito de la figura 1.22a.
Figura 1.22
Ejemplo 1.4.4 (p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬r) ∨ (q ∧ r) es la proposición asociada al circuito de la figura 1.22b.
Figura 1.23
Figura 1.24
Actividad 32 Verificar que el circuito de la figura 1.23 corresponde a la proposición ¬p → [¬q ∨
¬(r ∨ ¬s)] ∨ ¬(q ∨ r).
Ejemplo 1.4.5 Construir el circuito asociado a la proposición ¬p ←→ ¬q
Dado que existe una bicondicional debemos transformarla usando conectores equivalentes.
¬p ←→ ¬q =⇒ (¬p → ¬q) ∧ (¬q → ¬p) =⇒ (p ∨ ¬q) ∧ (q ∨ ¬p)
Como existen sólo existen disyunciones y conjunciones construimos el circuito para la proposición
equivalente (p ∨ ¬q) ∧ (q ∨ ¬p). La figura 1.24 muestra tal circuito
Ejemplo 1.4.6 Escribir la proposición asociada al circuito de la figura 1.25.
1.4 Circuitos lógicos
31
Para realizar este procedimiento sólo
hay que ver que conmutadores están en
serie y cuales en paralelo. La proposición asociada es
[p ∧ q) ∨ (r ∨ s)] ∧ [p0 ∧ q0 ) ∨ (r0 ∨ s0 )]
1.4.2
Figura 1.25
Simplificación de circuitos
Un método general para simplificar un circuito consiste en encontrar primero el polinomio Booleano
que representa el circuito, luego simplificar la función y finalmente dibujar el circuito del polinomio
simplificado. Cabe mencionar, que debemos tener en cuenta dos resultados que proporciona la lógica
proposicional:
Si V es una tautología, F es un absurdo y p cualquier proposición, entonces
1. p ∨V ⇐⇒ V
2. p ∨ F ⇐⇒ p
3. p ∧V ⇐⇒ p
4. p ∧ F ⇐⇒ F
Si p y q son proposiciones, entonces
1. p ∨ (p ∧ q) ⇐⇒ p ley de absorción.
2. p ∧ (p ∨ q) ⇐⇒ p ley de absorción.
La demostración es sencilla, sólo hay que construir la tabla de verdad.
Ejemplo 1.4.7 Simplificar el circuito de la figura 1.26.
Figura 1.27
Figura 1.26
La proposición asociada al circuito es [p ∨ (¬p ∧ q)] ∨ (r ∧ q). Procedemos a su simplificación
[p ∨ (¬p ∧ q)] ∨ (r ∧ q) =⇒ [(p ∨ ¬p) ∧ (p ∨ q)] ∨ (r ∧ q)
=⇒ [V ∧ (p ∨ q)] ∨ (r ∧ q)
=⇒ (p ∨ q) ∨ (r ∧ q)
Se observa que quedan 4 conmutadores (un menos que el original). El circuito simplificado se muestra
en la figura 1.27.
Ejemplo 1.4.8 Construir el circuito asociado a la proposición.
[( p → q)∧(r → q)] → (r → p)
Capítulo 1. Lógica y Conjuntos
32
En la proposición dada debemos cambiar los condicionales. Tenemos que:
[ ( p → q ) ∧ ( r → q ) ] =⇒ ( r → p ) ⇐⇒ ( p → q ) ∧ ( r → q ) ∨ ( r → p )
⇐⇒ ( p ∨ q ) ∧ ( r ∨ q ) ∨ ( r ∨ p )
⇐⇒ [ ( p ∧ q ) ∨ ( r ∧ q ) ] ∨ ( r ∨ p )
De esta forma, el circuito simplificado lo muestra la figura 1.28.
Figura 1.29
Figura 1.28
Ejemplo 1.4.9 Hallar la proposición más simple asociada al circuito de la figura 1.29.
Al observar el circuito se desprende que la proposición asociada es
( p ∧ q) ∨ [( p ∧ q) ∨ q] ∧ p
Ahora procedemos a su simplificación
[ ( p ∧ q ) ∨ q ] ⇐⇒ ( p ∨ q ) ∧ ( q ∨ q )
⇐⇒ ( p ∨ q )
esto se debe a que la proposición q ∨ q es siempre verdadera. Luego, la proposición original se ha
transformado en
( p ∧ q) ∨ ( p ∨ q) ∧ p
Apliquemos la propiedad distributiva
( p ∧ q ) ∨ ( p ∨ q ) ∧ p ⇐⇒
p∧( p ∧ q) ∨ p∧( p ∨ q)
⇐⇒ ( p ∧ q ) ∨ [ ( p ∧ p ) ∨ ( p ∧ q ) ]
⇐⇒ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ q )
⇐⇒ p ∧ q
se debe tener en cuenta que la proposición p ∧ p es siempre falsa, por lo cual, en disyunción con otra
proposición, prevalece esta otra proposición.
1.4 Circuitos lógicos
33
Ejemplo 1.4.10 Formalizar y simplificar el circuito de la figura 1.30.
La formalización es
(p ∧ q ∧ r) ∧ [s ∨ (¬p ∨ ¬q ∨ ¬r)]
y la simplificación:
⇐⇒ (p ∧ q ∧ r) ∧ s ∨ [(p ∧ q ∧ r) ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ ¬r)]
⇐⇒ (p ∧ q ∧ r) ∧ s ∨ [(p ∧ q ∧ r) ∧ ¬(p ∧ q ∧ r)]
⇐⇒ (p ∧ q ∧ r) ∧ s ∨ [p ∧ ¬p]
Figura 1.30
⇐⇒ (p ∧ q ∧ r) ∧ s ∨ F
⇐⇒ (p ∧ q ∧ r) ∧ s
Tener en cuenta que falso (F) disyunción cualquier proposición manda la proposición tal como se
indicó con anterioridad.
1.4.3
Redes equivalentes
Terminamos esta sección dando a conocer algunos elementos de álgebra booleana que permiten
simplificar circuitos. La comprobación de que el circuito original y el simplificado son equivalentes se
hace verificando la equivalencia de las tablas de verdad.
Como punto de partida consideremos dos interruptores p y q conectados en paralelo. Cada interruptor
tiene dos estados: abierto o cerrado. La electricidad fluye o no de un terminal a otro dependiendo del
estado de los interruptores. Hacemos las siguientes consideraciones:
+ 0 representa un interruptor abierto y 1 un interruptor cerrado.
+ El estado del interruptor p se representa por P y el de q por Q.
+ F es el estado de la red en paralelo.
En estas condiciones, si p está cerrado, entonces P = 1, y si p está abierto, P = 0. Respecto del estado
de la red, F = 0 si la red está abierta, y F = 1 si la red está cerrada. Ahora, como el estado de la red
depende del estado de los dos interruptores, anotamos F = F(X,Y ) para denotar esta dependencia. De
esta forma, cuando p y q están ambos abiertos la red está abierta, y cuando uno de los dos está cerrado
la red está cerrada. Esto lo indica la siguiente tabla:
Interruptores
p abierto, q abierto
p abierto, q cerrado
p cerrado, q abierto
p cerrado, q cerrado
Estado de interruptores
P = 0,
P = 0,
P = 1,
P = 1,
Q=0
Q=1
Q=0
Q=1
Estado de la red
F(P, Q) = F(0, 0) = 0
F(P, Q) = F(0, 1) = 1
F(P, Q) = F(1, 0) = 1
F(P, Q) = F(1, 1) = 1
Capítulo 1. Lógica y Conjuntos
34
Es claro que estamos en presencia de una tabla de disyunción con 0 y 1. Esto es,
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p∨q
1
1
1
0
El circuito en cuestión puede representarse como sigue.
Figura 1.31
La expresión F(P, Q) se denomina función interruptora de la red, y queda completamente determinada
por el estado de la red, en términos de los estados de los interruptores presentes en ésta.
Notaciones
F(P, Q) = P + Q es la función interruptora de dos interruptores p y q conectados en paralelo.
F(P, Q) = P · Q es la función interruptora de dos interruptores p y q conectados en serie.
En la práctica, no se hace diferencia entre el interruptor p y el estado P del interruptor, ambos se
representan por p.
Para dos interruptores p y q en serie, la red está cerrada cuando p y q están cerrados. La tabla tiene el
comportamiento de una conjunción.
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p∧q
1
0
0
0
Definición 1.4.11 Dos redes S1 y S2 son equivalentes si ambas están cerradas o abiertas para el mismo
estado de los interruptores S1 y S2 . Se escribe S1 ∼ S2 .
1.4 Circuitos lógicos
35
La siguiente tabla de axiomas de la función interruptora, en conjunto con la tabla de teoremas dadas
a continuación, permite la simplificación de redes. Este proceso de simplificación significa que en la
nueva red deben aparecer una cantidad menor de interruptores.
Figura 1.32
Ejemplo 1.4.12 Los circuitos de la figura 1.33 son equivalentes.
Figura 1.33
Los polinomios asociados a cada uno de los circuitos son
(P ∧ Q) ∨ (P ∧ ¬Q) ∨ (¬P ∧ ¬Q) y
De ellos obtenemos la tablas:
(P ∨ ¬Q)
Capítulo 1. Lógica y Conjuntos
36
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P∧Q
V
F
F
F
P ∧ ¬Q
F
V
F
F
(P ∧ Q) ∨ (P ∧ ¬Q)
V
V
F
F
P
V
V
F
F
¬Q
F
V
F
V
Q
V
F
V
F
¬P ∧ ¬Q
F
F
F
V
circuito 1
V
V
F
V
P ∨ ¬Q = circuito 2
V
V
F
V
Esto muestra que son equivalentes.
Ejemplo 1.4.13 Los circuitos de la figura 1.34 son equivalentes.
Figura 1.34
Si los circuitos son equivalentes es porque uno de ellos (el de menor número de interruptores) es una
simplificación del otro. Veamos esto empleando las leyes de circuitos.
pq + pq 0 + p 0 q 0 = p( q + q 0 ) + p 0 q 0 = p · 1 + p 0 q 0
= p·1+ p0 q0 = ( p+ p0 ) ( p+q0 )
= 1·( p+q0 ) = p+q0
lo que prueba la equivalencia.
Ejemplo 1.4.14 Simplificar la función interruptora F(p, q) = p + pq. Ilustrar ambos circuitos lógicos.
Usando las leyes de circuitos tenemos:
F(p, q) = p + pq = p · 1 + p · q = p (1 + q) = p · 1 = p
La figura 1.35 muestra la red original y su simplificación.
Figura 1.35
Ejemplo 1.4.15 Dibujar la red que representa la función interruptora F(p, q) = p ( p + q 0 ) + p 0 q.
1.5 Lógica de predicados
37
La función interruptora establece que hay cuatro interruptores, de los cuales p está en serie con los
interruptores p y q 0 , los que se encuentran en paralelo. Los interruptores anteriores se encuentran a su
vez en paralelo con los interruptores p 0 y q, que están en serie (figura 1.36).
Figura 1.36
1.5
Lógica de predicados
Antes de establecer de qué trata la lógica de predicados, debemos hablar de los cuantificadores, que
resultan ser expresiones que no se usan en proposiciones sino en ciertas afirmaciones llamadas funciones proposicionales o proposiciones abiertas. Para tales afirmaciones no tiene sentido preguntarse
directamente si son verdaderas o falsas, pues contienen uno o más objetos indeterminados. Al agregar
un cuantificador a la función proposicional se obtiene una proposición, es aquí donde se plantea el
problema de decidir sobre la validez de razonamientos o inferencias donde aparecen cuantificadores.
Una proposición abierta es un par (A, P(x)) que satisface:
A es un conjunto (llamado dominio)
P(x) es una frase que contiene la variable x
P(x) no es una proposición
Cada sustitución de x en P(x) por un elemento de A produce una proposición
Ejemplo 1.5.1 Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y la proposición P(x) : x es par. Entonces
P(5) es una proposición falsa.
P(2) es una proposición verdadera.
P(3) es una proposición falsa.
P(6) es una proposición verdadera.
El dominio de verdad de la proposición es {2, 4, 6}.
En las proposiciones abiertas puede haber más de una variable y en tal caso debe haber tantos conjuntos
como variables.
Ejemplo 1.5.2 Considerar los conjuntos A = {1, 3, 4, 5} B = {1, 2, 6, 8} y la proposición P(x, y) : x < y.
P(1, 1) es una proposición falsa
P(2, 6) es una proposición verdadera
P(5, 2) es una proposición falsa
El dominio de verdad es
{(1, 2), (1, 6), (1, 8), (3, 6), (3, 8), (4, 6), (4, 8), (5, 6), (5, 8)}
Capítulo 1. Lógica y Conjuntos
38
Para acercarnos a un problema de razonamiento, tal como los estudiados en lógica de proposiciones,
se puede observar que los métodos empleados en la lógica de proposiciones no son suficientes para
examinar el siguiente tipo de inferencia.
Todos los números racionales son números reales.
Todos los números enteros son racionales.
Luego, todos los números enteros son números reales.
Para simbolizarlo tenemos que, si
1. p es “todos los números racionales son números reales”.
2. q es “todos los números enteros son racionales”.
3. r es “todos los números enteros son números reales”.
entonces
(p ∧ q) → r
fórmula que no es válida porque se pueden hacer válidas las premisas y falsa la conclusión (V → F = F).
Al analizar la estructura de este razonamiento se tiene que su validez depende no sólo de las relaciones
existentes entre sus proposiciones, sino también de las relaciones existentes entre los elementos de
sus proposiciones (términos). A este tipo de razonamiento se le conoce como lógica de predicados
o lógica cuantificacional. Se comienza por distinguir dos clases de términos, los que representan
individuos (gramaticalmente sujeto) y los que representan propiedades (gramaticalmente predicados).
Al primero de estos le llamamos argumento y el segundo mantiene el nombre de predicado. Así, por
ejemplo, en
Carolina estudia
Carolina es el argumento (sujeto) y estudia el predicado. El predicado determina al argumento y
es considerado en la lógica de predicados como una característica del sujeto. Las proposiciones que
intervienen en este nuevo tipo de inferencias son básicas-predicativas. En consecuencia, de acuerdo a la
cantidad del sujeto, se clasifican en:
1. Singulares El sujeto es sólo un individuo. “Pedro es artista”.
2. Universales El sujeto es la totalidad de los individuos. “Todos los perros ladran”.
3. Particulares El sujeto es una parte de los individuos. “Algunos alumnos estudian”.
Sintaxis de la lógica de predicados
Los simbolos que usa la lógica de predicados son:
1. Variables individuales, que representan individuos indeterminados. Se emplean las últimas letras
del alfabeto como x, y, z.
2. Constantes individuales, que representan individuos determinados. Se usan las primeras letras
del alfabeto como a, b, c.
3. Variables predicativas, que representan predicados indeterminados. Se usan letra mayúsculas
como F, G, H.
4. Cuantificadores, que representan una parte o el todo de un conjunto de individuos. Son de dos
tipos: Universal (∀) y existencial (∃).
a) Si a continuación de cada cuantificador se colocan variables individuales como ∀x y ∃x,
entonces estamos en la llamada lógica de predicados de primer orden.
b) Si a continuación de cada cuantificador se colocan variables predicativas como ∀F y ∃F,
entonces estamos en la llamada lógica de predicados de segundo orden.
Dentro de la terminología de la lógica de predicados se distinguen:
1.5 Lógica de predicados
1.
2.
3.
4.
5.
6.
39
Variables libres, son las no se encuentran afectadas por algún cuantificador.
Variables ligadas, son las que se encuentran afectadas por algún cuantificador.
Fórmulas cerradas, son las que no contienen variables libres.
Fórmulas abiertas, son las que contienen al menos una variable libre.
Si se cuantifican las variables libres de una función proposicional se obtiene una proposición.
Si se sustituyen la variables libre de una función proposicional por constantes individuales se
obtiene una proposición.
Ejemplo 1.5.3 Si nos referimos al conjunto de las personas, un símbolo como p sirve para nombrar
a Pedro, m a Marcela, r a Rosa. Si se deben expresar acciones o hechos relativas a estas personas, se
usan letra mayúsculas.
1. Si H significa “ser un hombre”, entonces la notación H p significará “Pedro es un hombre”.
2. H p es una proposición.
3. Si A significa “ser amigos”, entonces Apm significa “Pedro y Marcela son amigos”.
4. Apm es una proposición.
5. Sea H “ser hombre”, entonces ∃xHx significa “existe un x de manera que x es hombre”, o bien,
en lenguaje cotidiano “existe un hombre”.
6. ∃xHx es un variable ligada, es una fórmula cerrada
7. Si A es “ser amigos”, entonces ∃xAxp significa “existe un x de manera que x es amigo de Pedro”,
que en lenguaje común es simplemente, “Pedro tiene un amigo”.
8. Si H j significa “Juan es hombre”, entonces ¬ H j significa “Juan no es un hombre”.
9. Si H significa “ser hombre”, entonces ∀xHx significa “para todo x, x es un hombre”, lo que puede
traducirse como “sólo hay hombres”, lo cual es evidentemente falso de falsedad absoluta (¿dónde
dejamos a la bella Ana Sharapova?).
10. Si A significa “ser amigos”, entonces la notación ∀x (Axa → Axp) significa que “para todo x, si x
es amigo de Ana entonces x es amigo de Pedro”.
En resumen, los cuantificadores “para todo” y “existe” describen los cuatro modelos básicos de
enunciados de la lógica clásica:
Universal afirmativo:
(∀x)P(x) “todos los x son (cumplen) P”
Universal negativo:
(∀x)¬ P(x) “ningún x es P”
Particular afirmativo:
(∃x)P(x) “algún x es P”
Particular negativo:
(∃x)¬ P(x) “algún x no es P”
Ejemplo 1.5.4 Simbolizar, usando cuantificadores
1.
2.
3.
4.
5.
Patricio es el único amigo de Ana
Ana sólo tiene un amigo
Ana no es amiga de todos los hombres
Ana no es amiga de ningún hombre
Ningún hombre es mujer
∀x(Axa ←→ x = p)
∃y∀x(Axa ←→ x = y)
∃x(Hx ∧ ¬Axa)
∀x(Hx → ¬ Axa)
∀x(Hx → ¬ Mx)
Otra forma de simbolizar proposiciones abiertas cuantificadas, omitiendo los símbolos ∀ y ∃, es como
sigue:
Las universales (para todo) se escriben con implicación
Las existenciales (existe) con conjunción
Ejemplo 1.5.5 Formaliza las siguientes frases:
1. Ninguna persona de Temuco juega chueka
Capítulo 1. Lógica y Conjuntos
40
2. Existen personas que juegan chueka que no son de Temuco
3. Todas las personas de Temuco juegan a la chueka
1) Proposición abierta cuantificada. Sea p(x) “persona de Temuco” y q(x) “juega chueka”, entonces
la representación formal es p(x) → ¬ q(x)
2) Proposición abierta cuantificada (existencial). Sean p(x) “personas que juegan chueka” y q(x)
“personas que son de Temuco”. Entonces la formalización es p(x) ∧ ¬ q(x).
3) Proposición abierta cuantificada (universal). Sean p(x) “personas de Temuco” y q(x) “personas
que juegan chueka”. Entonces la formalización es p(x) → q(x).
Ejemplo 1.5.6 La proposición “Para todo número real x no negativo existe un número real y tal que
y2 = x”, es verdadera y se escribe
(∀x ∈ R ∪ {0}) (∃y ∈ R) (y2 = x)
Ejemplo 1.5.7 La proposición “existe un número real y tal que para todo número real no negativo x es
y2 = x” es falsa y se escribe
(∃x ∈ R) (∀x ∈ R ∪ {0}) (y2 = x)
Ejemplo 1.5.8 La proposición “para todo x ∈ R se cumple que x2 = 1” es evidentemente falsa, para
probarlo basta exhibir un “contraejemplo”, es decir, un ejemplo para el cual la proposición no es
verdadera. Si ponemos x = 2, que es un número real, entonces 22 = 4 6= 1
Ejemplo 1.5.9 La negación de la proposición “para todo x ∈ R se cumple que x2 = 1” es “existe un
x ∈ R para el cual x 6= 1” y es ciertamente verdadera. Observar que la negación de un ”para todo” es
“existe”, y viceversa.
Ejemplo 1.5.10 La proposición “existe un x ∈ R tal que x2 = 0” es verdadera y se simboliza
(∃x ∈ R)(x2 = 0)
Su negación es ”para todo x ∈ R es x2 6= 0” que se simboliza (∀x ∈ R)(x 6= 0).
Ejemplo 1.5.11 Si “x es matemático” se representa por Mx, y si “x toma leche” por Lx, entonces la
expresión “algún matemático toma leche” se simboliza como:
1. ∀x(Mx → Lx)
2. ∃x(Mx ∧ Lx)
3. ∀x(Mx ∧ Lx)
4. ∃x(Mx → Lx)
La alternativa correcta es la segunda.
Ejemplo 1.5.12 Indicar una expresión equivalente a ∀x(Ax → Bx):
1. Algún A no es B
2. Ningún A es B
3. Todo A es B
4. Algún A es B
Sin duda que la alternativa correcta es la 3.
Ejemplo 1.5.13 La expresión “ningún A es B” se representa en lógica por:
1. ∃x(Ax → Bx)
2. ∀x(Ax → ¬Bx)
3. ∃x(Ax ∧ Bx)
La respuesta correcta es la segunda.
Ejemplo 1.5.14 La simbolización de que “A es subconjunto de B es
4. ∃x(Ax ∨ Bx)
1.5 Lógica de predicados
1. ∃x(A → B)
41
2. ∀x(A → B)
3. ∀x(A ←→ B)
4. ∀x(A ∧ B)
La respuesta correcta es la segunda.
Ejemplo 1.5.15 La expresión equivalente a ∀x(Ax → ¬Bx) en lógica de clases es:
1. A ⊂ B
2. A 6= B
3. A ∩ B = 0/
4. A ∪ B = R
La lógica de clases se refiere a la de conjuntos. R representa el conjunto referencial. La respuesta
correcta es la tercera pues, la expresión “ningún A es B”significa que ningún elemento de A lo es de B.
Siendo así, A ∩ B = 0.
/
Ejemplo 1.5.16 La expresión equivalente a ∃x(Ax ∧ Bx) en lógica de clases es:
1. A 6= B
2. A ∩ B 6= 0/
3. P ∪ B = 0/
4. A ⊂ B
La respuesta correcta es la segunda.
Ejemplo 1.5.17 La expresión equivalente a ∀x(Ax → ¬Bx) en lógica de clases es:
1. A ⊂ B
2. A 6= B
3. A ∩ B = 0/
4. A ∪ B = R
La respuesta correcta es la tercera.
Ejemplo 1.5.18 Determinar el valor de verdad de la proposición (∀x ∈ R)(∃n ∈ N)(x + 1 > n). Sim-
bolizar su negación y justificar su valor de verdad.
Al leer, el primer cuantificador que aparece es el “para todo”. Luego, elegimos un valor de x, que puede
ser x = −2. Ahora vemos si para este valor existe ese n que dice el problema. Esto es,
−2 + 1 = −1 > n =⇒ n < −1
Lo cual es evidentemente falso. Por tanto la expresión dada es falsa.
La negación de la proposición es
(∃x ∈ R)(∀n ∈ N)(x + 1 ≤ n)
Es claro que ella es verdadera, pues es la negación de una proposición falsa. Pero si eso no basta,
observar que ahora está primero el existe, luego elegimos un x adecuado, por ejemplo, x = 0 y vemos
que
0+1 = 1 ≤ n
se satisface para todo n ∈ N.
Ejemplo 1.5.19 Formalizar las siguientes proposiciones:
1.
2.
3.
4.
5.
Si viajas en metro vives en Santiago.
Todos los habitantes de Santiago viajan en metro.
Ningún habitante de Santiago viaja en auto.
Hay habitantes de Santiago que no viajan en auto.
Si los alumnos no sacaran buenas notas me voy a la Luna.
La simbolización de cada proposición es:
1. p → q
Capítulo 1. Lógica y Conjuntos
42
2.
3.
4.
5.
s(x) → q(x), con s(x) =habitante de Santiago y q(x) =viaja en metro.
s(x) → ¬a(x), con s(x) =habitante de Santiago y a(x) =viaja en auto.
s(x) ∧ ¬a(x), con s(x) =habitante de Santiago y q(x) =viaja en auto.
¬p → q, con p =los alumnos sacan buenas notas, q =me voy a la Luna.
Ejemplo 1.5.20 Escribe la negación de las proposiciones:
1. Todos los matemáticos tienen sueños
2. Ningún matemático es loco
3. Algunos matemáticos son locos
Algunos matemáticos no tienen sueños
Algunos matemáticos son locos
Ningún matemático es loco
Ejemplo 1.5.21 Simbolizar los siguientes enunciados:
1) Todo x es mortal.
2) Ningún x es mortal.
3) Algún x es mortal.
4) Algún x no es mortal.
Si M denota ser mortal, entonces la simbolización de cada enunciado es:
1. (∀x)Mx
2. (∀x)¬Mx
3. (∃x)Mx
4. (∃x)¬Mx
Ejemplo 1.5.22 Simbolizar y luego negar las siguientes proposiciones:
1. Algún número entero es natural.
2. Todo número entero es natural.
3. Todo número entero es racional.
Hacemos uso de la notación por cuantificadores
1. (∃x ∈ Z)(x ∈ N) la negación es (∀x ∈ Z)(x 6∈ N)
2. (∀x ∈ Z)(x ∈ N) la negación es (∃x ∈ Z)(x 6∈ N)
3. (∀x ∈ Z)(x ∈ Q) la negación es (∃x ∈ Z)(x 6∈ Q)
Regla sobre cuantificadores
Algunos criterios para indicar el alcance de los cuantificadores son:
1. Si un cuantificador no va seguido de un signo de agrupación su alcance llega hasta la variable
correspondiente a la primera letra de predicado a su derecha. Por ejemplo, en
a) (∀x)Fx
b) (∀x)Fx → Gx
el alcance del cuantificador llega sólo hasta Fx, en ambos casos.
2. Si un cuantificador va delante de signos de agrupación su alcance se extiende a toda la expresión
encerrada dentro de ellos. Por ejemplo, en
a) (∀x)(Fx → Gx)
b) (∃x)[(Fx → Gx) ∧ Hx]
Leyes de oposición aristotélica
Las siguientes leyes son equivalentes:
1. (∀x)(Fx → Gx) ≡ ¬(∃x)(Fx ∧ ¬Gx)
2. (∀x)(Fx → ¬Gx) ≡ ¬(∃x)(Fx ∧ Gx)
3. (∃x)(Fx ∧ Gx) ≡ ¬(∀x)(Fx ∧ ¬Gx)
4. (∃x)(Fx ∧ Gx) ≡ ¬(∀x)(Fx → ¬Gx)
Las demostraciones son sencilla. Por ejemplo, para la primera de estas tenemos:
1.5 Lógica de predicados
43
(∀x)(Fx → Gx) ≡ ¬(∃x)¬(Fx → Gx)
≡ ¬(∃x)¬(¬Fx ∨ Gx)
≡ ¬(∃x)(Fx ∧ ¬Gx)
Silogísmo categórico
Este es un tipo de inferencia que consta de tres proposiciones categóricas y tres términos. Las dos
primeras proposiciones se denominan premisas y la tercera conclusión. La conclusión de un silogísmo
es una proposición categórica que contiene dos de sus tres términos: el predicado se llama término
mayor y se representa por la letra P, el sujeto se llama término menor y se representa por la letra S.
El término que no aparece en la conclusión, pero si en las dos premisas, se llama término medio y se
representa con la letra M. La premisa que contiene al término mayor se llama premisa mayor y la que
contiene al término menor se llama premisa menor. Véase el siguiente esquema

P
M

z }| { z }|
{



premisa mayor
 Ningún bandido es inocente
premisas


S
M

z }| {
z }| {


Algunos alumnos son inocentes
premisa menor

S
P

z }| {
z }| {
conclusión
Algunos alumnos no son bandidos

1. S es el término menor (sujeto de la conclusión).
2. M es el término medio (no aparece en la conclusión, pero sí e las premisas).
3. P es el término mayor (predicado de la conclusión).
Para probar la validez de fórmulas cuantificadas se emplean los teorema lógicos utilizados en probar
validez de razonamientos. Previo a ello se deben tener presente la siguientes reglas:
1. Ejemplificación universal (EU) Permite prescindir del cuantificador universal durante la derivación.
(∀x)Fx
Fw
2. Ejemplificación existencial (EE) Permite prescindir del cuantificador existencial durante la
derivación.
(∃x)Fx
Fw
3. Generalización universal (GU) Permite añadir el cuantificador universal a un enunciado condicional.
Fw
(∀x)Fx
Capítulo 1. Lógica y Conjuntos
44
4. Generalización existencial (GU) Permite añadir el cuantificador existencial a un enunciado
conjuntivo.
Fw
(∃x)Fx
Ejemplo 1.5.23 Estudiar la validez del siguiente silogísmo.
Todos los felinos son mamíferos.
Todos los leones son felinos.
Luego, todos los leones son mamíferos.
En primer lugar se simboliza el silogísmo.
1. (∀x)(Fx → Mx)
2. (∀x)(Lx → Fx)
...
(∀x)(Lx → Mx)
3. Fw → Mw [1] EU
4. Lw → Fw [2] EU
5. Lw → Mw [3,4] SH
6. (∀x)(Lx → Mx) [5] GU
Ejemplo 1.5.24 Analizar la validez del siguiente silogísmo. Todos los ingenieros son solidarios y
estudiosos. Algunos ingenieros son honrados. Luego, algunas personas solidarias son honradas.
Se simboliza el silogísmo.
1. (∀x)(Ix → (Sx ∧ Ex))
2. (∃x)(Ix ∧ Hx)
...
(∃x)(Sx ∧ Hx)
3. Iw → (Sw ∧ Ew) [1] EU
4. Iw ∧ Hw [2] EE
5. Iw [4] simplificación.
6. Hw [4] simplificación.
7. Sw ∧ Ew [3,5]
8. Sw [7] simplificación.
9. Sw ∧ Hw [6,8]
10. (∃x)(Sx ∧ Hx) [8] GE
Ejemplo 1.5.25 Analizar la validez del siguiente silogísmo. Todos los hombres son mortales. Pedro es
hombre. Luego, Pedro es mortal.
Este es el más clásico de los silogísmos. Veamos su simbolización y demostración.
1. (∀x)(Hx → Mx)
2. H p
...
Mp
3. H p → M p [1] EU
4. M p [2,3] MP
Ejemplo 1.5.26 Analizar la validez del siguiente argumento. Si todo es pagado, entonces hay cosas
caras. Nada es caro. Luego, hay cosas que no son pagadas.
Veamos su simbolización y demostración.
1. (∀x)Px → (∃x)Cx
1.6 Teoría de Conjuntos
...
45
2. (∀x)¬Cx
(∃x)¬Px
3. ¬(∃x)Cx [2]
4. ¬(∀x)Px [1,3] MT
5. (∃x)¬Px [4] IC
Propiedades de los cuantificadores
1. El cuantificador universal distribuye respecto de la conjunción
(∀x)(Ex ∧ Fx) ⇐⇒ (∀x)Ex ∧ (∀x)Fx
2. El cuantificador existencial distribuye respecto de la disyunción
(∃x)(Ex ∨ Fx) ⇐⇒ (∃x)Ex ∨ (∃x)Fx
3. [(∀x)Ex ∨ (∀x)Fx] =⇒ (∀x)(Ex ∨ Fx)
4. (∃x)(Ex ∧ Fx) =⇒ (∃x)Ex ∧ (∃x)Fx
Ejemplo 1.5.27 Si todo es bueno y barato, entonces Juan no come. No hay cosas que no sean buenas.
Todo es barato. Luego, Juan no come.
La simbolización y demostración es la siguiente:
1. (∀x)[(Bx → Hx) → ¬Jc]
2. ¬(∃x)¬Bx
3. (∀x)Hx
.
..
¬Jc
4. (∀x)Bx [2]
5. (∀x)Hx ∧ (∀x)Bx [3,4]
6. (∀x)(Hx ∧ Bx) [5]
7. ¬Jc [1,6]
1.6
Teoría de Conjuntos
Conocida la forma de efectuar razonamientos en Matemática, y como la lógica es allí la piedra angular,
nos introducimos ahora en el lenguaje que utiliza la Matemática para darse a entender universalmente.
El concepto de conjunto es primario, es decir, no susceptible de ser definido. Ocurre lo mismo cuando
por ejemplo, pensamos en “definir” una silla, entendemos de que se trata, para que sirve, pero no
podemos “definir” silla. De igual modo, elemento y pertenencia son conceptos primitivos.
La teoría de conjuntos es la rama de la matemática a la que el matemático alemán George Cantor
(1845-1918) dió su primer tratamiento formal en el siglo IX. El concepto de conjunto es fundamental
en matemática.
Como tendremos oportunidad de darnos cuenta, la pertenencia o no pertenencia de los elementos a un
conjunto, constituye la característica principal de todos los conjuntos, es por esta razón que es válido
decir que la teoría de conjuntos es una teoría de la relación de pertenencia.
La matemática es una construcción del hombre, y, por tanto, debe elegir los elementos de construcción
y las normas de construcción. Las normas ya las hemos fundamentado en la lógica proposicional y
Capítulo 1. Lógica y Conjuntos
46
cuantificacional, en consecuencia tenemos completas las herramientas y preciso el camino a seguir. Así
pues, debemos distinguir entre lo que intuitivamente se entiende por conjunto y lo que matemáticamente
debe entenderse por conjunto.
La pertenencia de un elemento x a un conjunto X se anota x ∈ X, se lee “x pertenece a X” o bien
“x está en X”. La no pertenencia del elemento x al conjunto X se anota x 6∈ X, y corresponde a la
negación de la proposición “x pertenece a X”. Es decir, “x no pertenece a X”.
R
(1) Los objetos o entes de un conjunto se denotan por letras minúsculas y los conjuntos
propiamente tales por letras mayúsculas.
(2) Si un elemento x pertenece a un conjunto X, se anota x ∈ X, en caso contrario, x 6∈ X.
(3) El cardinal de un conjunto X se representa por #(X), y corresponde al número de elementos
que contiene.
(4) El conjunto vacío se representa por 0,
/ y es el conjunto que no contiene ningún elemento.
(5) El conjunto Referencial, que se representa por R, es el conjunto formado por todos los
elementos que se están considerando.
Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos:
(1) Por extensión o enumeración: los elementos son encerrados entre llaves y separados por comas.
Es decir, el conjunto se describe listando todos sus elementos entre llaves. En forma simbólica:
A = {1, 2, 3, 4}
(2) Por comprensión: los elementos se determinan a través de una condición que se establece entre
llaves. En este caso se emplea el símbolo que significa “tal que”. En forma simbólica:
A = {x ∈ R/ x2 = 1}
(3) Por descripción verbal: Es un enunciado que describe la característica que es común para los
elementos. Como ejemplo,
A es el conjunto de todos los estudiantes del curso de matemática”
(4) Por Diagramas de Venn:
Estos diagramas son una representación gráfica, normalmente óvalos o círculos que sirven para visualizar el contenido
de un conjunto o las relaciones entre conjuntos. Cada óvalo
o círculo es un conjunto diferente. La forma en que esos
círculos se sobreponen entre sí muestra todas las posibles
relaciones lógicas entre los conjuntos que representan. Un
ejemplo de ello es la figura 1.37 que muestra el conjunto de
los planetas de nuestro sistema.
Figura 1.37
Actividad 33 Simbolizar y establecer un conjunto referencial para:
1. Las vocales del alfabeto español
1.6 Teoría de Conjuntos
47
2. Los números naturales menores que 5
3. Los números reales cuyo cuadrado es igual a 2
4. Los números enteros que multiplicados por 2 dan como resultado 3
Actividad 34 Establecer, en cada caso siguiente, si x ∈ A, x ⊂ A, ambas cosas o ninguna:
1. x = {1}, A = {1, 2, 3}
2. x = {1}, A = {{1}, {2}, {3}}
3. x = {1}, A = {1, 2, {1, 2}}
4. x = {1, 2}, A = {1, 2, {1, 2}}
5. x = {1}, A = {{1, 2, 3}}
6. x = 1, A = {{1}, {2}, {3}}
Definición 1.6.1 Dos conjuntos A y B son iguales si y solamente si tienen los mismos elementos.
A = B ⇐⇒ (x ∈ A ↔ x ∈ B)
Ejemplo 1.6.2
A = {x/ x = 2n, n ∈ N}, B = {2, 4, 6, · · · } =⇒ A = B
A = {a, a}, B = {a} =⇒ A = B
A = {a, b, c, a}, B = {b, a, c} =⇒ A = B.
A = {x ∈ R/ x2 < 0}, B = {x ∈ Z/ x2 = 2} =⇒ A = B.
1
1 1
5. A = {x/ x = , n ∈ N}, B = {0, , , · · · } =⇒ A 6= B, pues 0 ∈ B, y 0 6∈ A.
n
2 3
En estos ejemplos se distinguen la siguiente clase de conjuntos:
1. Conjuntos finitos: aquéllos en los cuales el proceso de contar termina.
2. Conjuntos infinitos: aquéllos en los cuales el proceso de contar no termina.
3. Conjunto vacío: Cualquier conjunto que carezca de elementos. Se denota por 0.
/
El matemático alemán George Cantor (1845-1918) dió la siguiente definición, aceptada hoy, del infinito
“Un conjunto infinito es aquel que se puede poner en correspondencia biunívoca con un subconjunto de
sí mismo”. Esta teoría de los conjuntos infinitos, debida a Cantor, vino a poner fin a la verdad “evidente”
de que “El todo es mayor que las partes”, ya que ello sólo es verdadero para conjuntos finitos.
1.
2.
3.
4.
Ejemplo 1.6.3
1.
2.
3.
4.
1.6.1
E = {x/ x2 − 1 = 0} es un conjunto finito.
F = {x/ x = 2n, n ∈ N} es un conjunto no finito.
G = {x/ 2x = 5, x ∈ Z} es un conjunto vacío.
La proposición “x ∈ 0”
/ es falsa y “x 6∈ 0”
/ es verdadera.
Operatoria con Conjuntos
Una forma de ilustrar relaciones entre conjuntos se debe al estudio realizado por Euler(1707-1783) y
por Venn (1834-1923) que utilizaron los denominados diagramas de Venn-Euler, y que consisten en
emplear círculos o regiones ovales para ilustrar conjuntos y un rectángulo que los encierra y que indica
el universo sobre el cual se trabaja.
La Lógica y los conjuntos están en íntima conexión. Observa a continuación lo que significa ser
“subconjunto” y como se define la Unión de dos conjuntos A y B
Capítulo 1. Lógica y Conjuntos
48
Subconjunto
Sean A y B conjuntos. Se dice que A es subconjunto de B, que se
anota A ⊂ B, si todo elemento de A es también elemento de B. En
símbolos:
A ⊂ B ⇐⇒ (x ∈ A → x ∈ B)
Siendo A ⊂ B, estamos diciendo que todo A es B.
Figura 1.38
Unión de conjuntos
Sean A y B conjuntos. se llama unión de los conjuntos A y B, que
se simboliza A ∪ B, al conjunto formado por todos los elementos
que pertenecen, al conjunto A o al conjunto B o a ambos. En
símbolos:
x ∈ (A ∪ B) ⇐⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ B)
La figura 1.39 muestra los dos casos, uno en que A y B no tienen
elementos en común y el otro en que tienen elementos comunes.
Figura 1.39
Intersección de conjuntos
Sean A y B conjuntos. se llama intersección de los conjuntos A
y B, que se simboliza A ∩ B, al conjunto formado por todos los
elementos comunes a los conjuntos A y B. En símbolos:
x ∈ (A ∩ B) ⇐⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B
La figura 1.40 muestra los casos en que no hay elementos comunes
y por tanto su intersección es vacía y la el caso en que si existe
intersección.
Figura 1.40
Complemento de un conjunto
Sea A conjunto. El complemento del conjunto A, que se denota Ac , es el conjunto formado por todos
los elementos que “no pertenecen” a A pero si al conjunto Referencial R (Figura 1.41). En símbolos:
x ∈ Ac ⇐⇒ x 6∈ A
Figura 1.41
Figura 1.42
1.6 Teoría de Conjuntos
49
Diferencia de conjuntos
Sean A y B conjuntos. La diferencia entre los conjuntos a y B, que se denota A − B, es el conjunto
formado por todos los elementos que están en A pero que no están en B (Figura 1.42). En símbolos:
x ∈ (A − B) ⇐⇒ x ∈ A ∧ x 6∈ B
Actividad 35 Sean A = {mango, ciruela, uva, naranja, manzana, sandía}, B = {durazno, melón, uva,
naranja, sandía, plátano}, C = {limón, fresa, pera,mandarina, cereza}. Hallar:
1) A ∩ B
2) A ∪ B
3) A − B
4) A − (A ∩ B)
5) B − (A ∩ B)
6) A ∩C
Actividad 36 Considera que A es el conjunto de todos los números naturales mayores que 1, B es el
conjunto solución de la ecuación x2 = 4 en los números reales y que C es el conjunto solución de la
ecuación (x − 2)(x − 3) = 0 en los números reales. Determina:
1) A − B
2) A ∪ B
3) A ∩ B
4) (A ∩ B) ∪C
5) (A ∩C) − B
6) (A − B) ∩C
Actividad 37 Usa diagramas de Venn-Euler para hallar A − B en los siguientes casos: a)si A ⊂ B
b)
si A ∩ B = 0/
Actividad 38 Los tres conjuntos A, B, C tienen elementos en común. Establecer, separadamente, los
diagramas de Venn-Euler de:
1) (A ∪ B) −C
1.6.2
2) (A ∪ B) ∩C
3) (A ∩ B) −C
4) (A − B) ∩C
5) (A − B) −C
6) (A −C) − B
El conjunto potencia
Nos planteamos la siguiente pregunta ¿Será posible determinar cuántos subconjuntos se pueden
construir, dado un conjunto finito? y si es así, ¿Existe alguna fórmula o algún método que pueda ayudar
a encontrar la solución de manera lógica?
Para empezar a buscar una respuesta halla la solución a las siguientes situaciones:
Actividad 39 Ha ocurrido un accidente y la central de policía dispone de tres autos para enviar al lugar
del hecho. El encargado puede enviar o no enviar autos. Determina todas las posibilidades existentes de
atender el suceso.
Figura 1.43
Definición 1.6.4 Dado un conjunto A definido en un conjunto referencial, se denomina conjunto
potencia de A o conjunto de partes de A, denotado por P(A), al conjunto de todos los subconjuntos
de A.
Ejemplo 1.6.5 Sea A = {a, b, c}, entonces el vacío (0)
/ y el mismo conjunto A son subconjuntos por
derecho propio. A ellos se agregan, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}. Hemos hallado que
P(A) = {0,
/ {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}
Capítulo 1. Lógica y Conjuntos
50
Actividad 40 Considera el conjunto A = {1, 2, 3}. Anota los elementos del conjunto potencia
Actividad 41 ¿Si A tiene 2 elementos, cuántos subconjuntos tiene el conjunto potencia de A? Si tu
respuesta es correcta y además sacas algunas cuentas con otros conjuntos de 3, o bien 4 y 5 elementos
¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto potencia para un conjunto de n elementos?
Si tienes tiempo te invito a visitar la página
http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/conjunto-potencia-creador.html
1.6.3
¡Mira lo que me encontré!
Hallé como crear un conjunto potencia a partir
del sistema binario en la página
http://www.disfrutalasmatematicas.
com/conjuntos/conjunto-potencia.
html
Observa y trata de comprender como fue realizado.
0
1
2
3
4
5
6
7
Tabla 1
abc
000
001
010
011
100
101
110
111
Tabla 2
xyzt
subconjunto
0
subconjunto
{ }
{c}
{b}
{b, c}
{a}
{a, c}
{a, b}
{a, b, c}
Actividad 42 Completa la Tabla 2, usando la idea de la Tabla 1, para determinar todos los subconjuntos
de A = {x, y, z,t}
Las leyes que regulan el comportamiento de los conjuntos son:
Proposición 1.6.6 Sean A, B,C conjuntos y R el conjunto referencial, entonces se satisfacen las
siguientes propiedades:
1.6 Teoría de Conjuntos
1) A ∪ A = A, A ∩ A = A
2) A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A
3) (A ∪ B) ∪C = A ∪ (B ∪C), (A ∩ B) ∩C = A ∩ (B ∩C)
4) (A ∪ B) ∩C = (A ∩C) ∪ (B ∩C), (A ∩ B) ∪C = (A ∪C) ∩ (B ∪C)
5) (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc , (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
6) A ∪ 0/ = A, A ∩ 0/ = 0/
7) 0/ c = R, R c = 0/
8) (Ac )c = A
9) A ∩ Ac = 0,
/ A ∪ Ac = R
10) A − B = A ∩ Bc
11) A ⊂ A ∪ B, B ⊂ A ∪ B, A ∩ B ⊂ A, A ∩ B ⊂ B
12) A ⊂ A
13) (A ⊂ B ∧ B ⊂ A) ⇐⇒ A = B
14) (A ⊂ B ∧ B ⊂ C) =⇒ A ⊂ C
15) A ⊂ B, A ∪ B = B, A ∩ B = A
51
Idempotencia
Conmutatividad
Asociatividad
Distributividad
Leyes de De Morgan
Elementos neutro y absorvente
Elementos complementarios
Ley de involución
Leyes complementarias
Ley de diferencia de conjuntos
Leyes de inclusión
Ley reflexiva
Igualdad de conjuntos
Ley transitiva
Ley de consistencia
La ley de consistencia señala que si uno de los tres postulados es verdadero, entonces los dos restantes
deben serlo.
Demostración
Recordar que TL significa teorema lógico.
1) A ∪ A = A, es equivalente a (x ∈ A ∨ x ∈ A) ⇐⇒ x ∈ A.
Como esto último es verdadero de acuerdo al TL-2, la verificación es inmediata. Análogamente,
A ∩ A = A es equivalente a (x ∈ A ∧ x ∈ A) ⇐⇒ x ∈ A, lo cual es verdadero según TL-5.
2) A ∪ B = B ∪ A, es equivalente a (x ∈ A ∨ x ∈ B) ⇐⇒ (x ∈ B ∨ x ∈ A).
Esto último es verdadero de acuerdo al TL-3 (Ley conmutativa).
4) (A ∩ B) ∩C = A ∩ (B ∩C) es equivalente a
[(x ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ x ∈ C] ⇐⇒ [x ∈ A ∧ (x ∈ B ∧ x ∈ C]
Como esto último es verdadero según TL-7, la verificación es inmediata. Otra forma de probar
propiedades referidas a conjuntos guarda relación con el empleo de elementos. Veamos la demostración
de la misma propiedad mediante elementos.
x ∈ [(A ∩ B) ∩C] ⇐⇒ x ∈ (A ∩ B) ∧ x ∈ C
⇐⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ x ∈ C
⇐⇒ x ∈ A ∧ (x ∈ B ∧ x ∈ C) T L − 7
⇐⇒ x ∈ [A ∩ (B ∩C)]
5) (A ∪ B) ∩C = (A ∩C) ∪ (B ∩C) es equivalente a
[(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ x ∈ C] ⇐⇒ [(x ∈ A ∧ x ∈ C) ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C)]
Esto último es verdadero según TL-8. Luego la verificación es inmediata. Una demostración basada en
Capítulo 1. Lógica y Conjuntos
52
elementos es como sigue.
x ∈ [(A ∪ B) ∩C] ⇐⇒ x ∈ (A ∪ B) ∧ x ∈ C
⇐⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ x ∈ C
⇐⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ C) ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C) T L − 9
⇐⇒ x ∈ (A ∩C) ∨ x ∈ (B ∩C)
⇐⇒ x ∈ [(A ∩C) ∪ (B ∩C)]
7) (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc , corresponde a una de las leyes de De Morgan (1806-1871). Luego por TL-10
esta proposición es verdadera. Veamos una demostración por elementos.
x ∈ (A ∪ B)c ⇐⇒ x 6∈ (A ∪ B) ⇐⇒ x 6∈ A ∧ x 6∈ B ⇐⇒ (x ∈ Ac ∧ x ∈ Bc ) ⇐⇒ x ∈ (Ac ∩ Bc )
9) A ∪ 0/ = A, es equivalente a
x ∈ A ∨ x ∈ 0/ ⇐⇒ x ∈ A
como x ∈ 0/ es una proposición falsa, entonces las proposiciones son ló- gicamente equivalentes. De
manera análoga, A ∩ 0/ = 0,
/ equivale a
x ∈ A ∧ x ∈ 0/ ⇐⇒ x ∈ 0/
proposiciones lógicamente equivalentes.
10) a) 0/ c = R, en efecto, x ∈ 0/ c ⇐⇒ x ∈ R ∧ x 6∈ 0/ ⇐⇒ x ∈ R
b) Rc = 0,
/ en efecto, x ∈ Rc ⇐⇒ x ∈ R ∧ x 6∈ R ⇐⇒ x ∈ 0/
12) A − B = A ∩ Bc , en efecto
x ∈ (A − B) ⇐⇒ x ∈ A ∧ x 6∈ B
⇐⇒ x ∈ A ∧ (x ∈ R ∧ x 6∈ B)
⇐⇒ x ∈ A ∧ x ∈ Bc
⇐⇒ x ∈ (A ∩ Bc )
13) A ⊂ A ∪ B, es equivalente a x ∈ A =⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ B), lo cual es cierto por TL-11.
15) 0/ ⊂ A, es equivalente a x ∈ 0/ =⇒ x ∈ A. Como x ∈ 0/ es una proposición falsa, entonces la proposición
x ∈ 0/ =⇒ x ∈ A es verdadera siempre.
16) (A ⊂ B ∧ B ⊂ A) ⇐⇒ A = B, es equivalente a
[x ∈ A → x ∈ B) ∧ (x ∈ B → x ∈ A)] ⇐⇒ [x ∈ A ↔ x ∈ B]
La cual por TL-21 es siempre verdadera.
17) (A ⊂ B ∧ B ⊂ C) =⇒ A ⊂ C, es equivalente a
[x ∈ A → x ∈ B) ∧ (x ∈ B → x ∈ C)] =⇒ [x ∈ A → x ∈ C]
Lo cual por TL-12 es siempre verdadero.
1.6 Teoría de Conjuntos
1.6.4
53
Leyes de De Morgan
En los teoremas lógicos ya hizo su aparición este resultado. Veamos que sucede ahora aplicado a
conjuntos:
Ejemplo 1.6.7 Sea T el conjunto de los habitantes de Temuco y C el conjunto de los nacidos en Cunco.
Utiliza diagramas de Venn-Euler para representar, verbalmente, cada expresión conjuntista siguiente:
1. T ∪C = conjunto de las personas que viven en Temuco o que han nacido en Cunco.
2. (T ∪C)c =
3. T c =
4. Cc =
5. T c ∩Cc =
Una vez terminados los diagramas, anota la igualdad de conjuntos que se da. Esta es una de las leyes de
De Morgan
Ejemplo 1.6.8 Sea T el conjunto de los habitantes de Temuco y C el conjunto de los nacidos en Cunco.
Utiliza diagramas de Venn-Euler para representar cada expresión conjuntista siguiente:
1. T ∩C = conjunto de las personas que viven en Temuco y que han nacido en Cunco.
2. (T ∩C)c =
3. T c =
4. Cc =
5. T c ∪Cc =
Una vez terminados los diagramas, anota la igualdad de conjuntos que observas. Esta es otra de las
leyes de De Morgan
1.6.5
Familia - Partición - Cardinalidad
Una familia de conjuntos es un conjunto cuyos elementos son conjuntos.
Ejemplo 1.6.9 A = {0,
/ {1}, {2}, {1, 2}} es una familia. En cambio, B = {1, {2}, {1, 2}} no lo es, en
razón de que no todos sus elementos son conjuntos.
Si A1 , A2 , · · · , An es una familia de conjuntos, entonces la unión corresponde al conjunto C
formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de estos conjuntos. Es decir,
C=
n
[
Ai
i=1
La intersección de los conjuntos A1 , A2 , · · · , An corresponde al conjunto C formado por los
elementos que pertenecen a todos ellos. Es decir,
C=
n
\
Ai
i=1
La familia de conjuntos A1 , A2 , · · · , An se llama partición de un conjunto E si:
1.
E=
n
[
i=1
Ai
2) Ai ∩ A j = 0,
/ i 6= j
Capítulo 1. Lógica y Conjuntos
54
1
n
Ejemplo 1.6.10 Sea An = [0, ], n ∈ N. Entonces
\
Ai = {0}
y
i∈N
[
Ai = [0, 1]
i∈N
Ejemplo 1.6.11 Sea N el conjunto de los naturales. Si A = {1, 3, 5, · · · }, B = {2, 4, 6, · · · }, entonces
{A, B} es una partición de N. Obsérvese que es erróneo escribir N = {A, B}
Ejemplo 1.6.12 Si X = {1, 2, 3, , 4, 5, · · · 9, 10}, entonces el conjunto {A1 , A2 , A3 } con A1 = {1, 3, 5},
A2 = {2, 6, 10} A3 = {4, 8, 9} no es una partición de X, ya que la unión de todos los Ai no es X.
Definición 1.6.13 Sea A conjunto cualquiera. Se llama “cardinal” de A al número de elementos de A,
se denota n(A).
Atendiendo a esto diremos que un conjunto es finito si n(A) es finito, en otro caso diremos que A es
infinito
Ejemplo 1.6.14
1. A = {x/ x es estación del año} =⇒ n(A) = 4
2. B = {x/ x es número entero mayor que 117} =⇒ n(B) = ∞
3. C = {x/ x es día de la semana} =⇒ n(C) = 7
Actividad 43 El cardinal de los conjuntos A = {a, b, c, d, e, f , g}, B = {a, e, i, o, u} y C = {u, v, w} es,
respectivamente, 7, 5 y 3. Hallar el cardinal de:
1) A ∪ B
2) A ∩ B
3) A ∪C
4) B ∩C
5) A ∩ (B ∩C)
6) A ∪ (B ∪C)
Actividad 44 Determinar la cardinalidad de cada uno de los siguientes conjuntos:
1. {x/ x ∈ R, x2 = 1
2. {a, b, c, {a, b, c}}
∨
2x2 = 1}
3. {a, {b, c}, {a, b, c}}
4. {x/ x es entero y 81 < x <
17
2}
Propiedades interesantes de la cardinalidad de conjuntos son:
1. n( A ∪ B ) = n(A) + n(B) − n( A ∩ B )
2. A ∩ B = 0/ =⇒ n( A ∪ B ) = n(A) + n(B)
3. n(Ac ) = n(R) − n(A)
4. n(A − B) = n(A) − n(A ∩ B)
Ejemplo 1.6.15 Una encuesta realizada a un grupo de profesores reveló que 277 tienen casa propia,
233 automóvil, 405 televisor, 165 automóvil y televisor, 120 casa y automóvil, 190 casa y televisor, y
105 casa automóvil y televisor. Determinar:
1. ¿Cuántas personas fueron encuestadas?
2. ¿Cuántas personas poseen solamente casa y televisor?
3. ¿Cuántas personas tienen solamente casa?
Respuesta
a) Sean, A = {x/ x tienen casa}, B = {x/ x tienen automóvil}, y C = {x/ x tienen televisor}. Con ellos
hacemos el diagrama de Venn-Euler siguiente
1.6 Teoría de Conjuntos
55
A'
$ B
15
53
$
'
105
85
&
%
60
72
155
&
C
%
La cardinalidad de la unión se calcula como sigue.
n( A ∪ B ∪C ) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩C)−
n(B ∩C) + n( A ∩ B ∩C )
= 277 + 233 + 405 − 120 − 190 − 165 + 105 = 545
Esto significa que 545 personas fueron encuestadas.
b) El número x de personas que sólo tienen casa y televisor, se obtiene restando del número de
personas que tienen casa y televisor el número de personas que tienen casa, televisor y automóvil.
x = n(A ∩C) − n( A ∩ B ∩C ) = 190 − 105 = 85
c)
El número x de personas que sólo tienen casa es
x = 277 − 15 − 105 − 85 = 72
Ejemplo 1.6.16 Una farmacia lanzó al mercado, a precio de oferta, el jarabe “gargarin” y la pomada
“popín”. La contabilidad al final del día indicó que 66 personas habían comprado la pomada, 21 el
jarabe y 12 personas ambos productos.
1. ¿Cuántas personas aprovecharon la oferta?
2. ¿Cuántas personas compraron solamente el jarabe ?
3. ¿Cuántas personas compraron solamente la pomada?
4. Representa en un diagrama esta situación considerando que A representa al conjunto de los que
“compraron pomada” y que B es el conjunto de los que “compraron jarabe”
Respuesta
a)
Consideremos los siguientes conjuntos:
A = {x/ x compró pomada}
B = {x/ x compró jarabe}
Construimos el diagrama de Venn-Euler
que muestra la figura 1.44.
El diagrama entrega la respuesta a las
interrogantes 2 y 3. Para saber cuántas
personas aprovecharon la oferta tenemos.
n( A∪B ) = n(A)+n(B)−n( A∩B ) = 66+21−12 = 75
Figura 1.44
Capítulo 1. Lógica y Conjuntos
56
Problema 1.1 Sea M un conjunto con 45 elementos, y sea N otro conjunto con 25 elementos. Si M ∩ N
contiene 15 elementos. Usa un diagrama de Venn-Euler para determinar cuántos elementos contiene
M∪N
Problema 1.2 En una unidad habitacional viven 120 familias y se sabe que 70 de ellas tienen automóvil,
que 30 poseen un reproductor de DVD y que 17tienen ambas cosas. Se desea conocer:
(a) ¿cuántas familias tienen exclusivamente automóvil?
(b) ¿cuántas familias son dueñas exclusivamente de un reproductor DVD
(c) ¿cuántas familias son propietarias de un automóvil o de un reproductor DVD?
(d) ¿cuántas familias no poseen ni automóvil ni reproductor DVD?
Problema 1.3 En un instituto de investigación científica trabajan 67 personas. De estas, 47 conocen el
inglés, 35 el alemán y 23 ambos idiomas. ¿Cuántas personas en el instituto no conocen el inglés ni el
alemán?
Problema 1.4 En una encuesta acerca de sus preferencias en el uso de las redes sociales se obtuvieron
los siguientes resultados: 55 prefieren facebook, 60 prefieren twitter, 20 usan ambos, 10 no prefieren
ninguno de los dos. Usa diagramas de Venn para responder las siguientes preguntas. ¿Cuántos estudiantes prefieren únicamente facebook, cuántos estudiantes prefiren únicamente twitter, cuántos estudiantes
usan al menos uno de los dos, y cuántos estudiantes fueron encuestados? Resp. 35, 40, 95, 105
Problema 1.5 Se realizó una encuesta sobre el tipo de aparato tecnológico que prefieren los estudiantes.
Los resultados fueron los siguientes: 60 prefieren laptop, 25 prefieren tablet, 10 prefieren smartphone,
2 prefieren los tres aparatos, 10 prefieren laptop y tablet, 4 prefieren tablet y smartphone, 4 ninguno,
70 no prefieren smartphone. Preguntas: ¿Cuántos estudiantes prefieren únicamente laptop, cuántos
estudiantes prefieren únicamente smartphone, cuántos estudiantes prefieren laptop y smartphone,
cuántos estudiantes prefieren al menos un aparato, cuántos estudiantes prefieren a lo más un aparato, y
cuántos estudiantes fueron encuestados? Resp. 45, 1, 7, 76, 63, 80
1.7
Producto cartesiano
El trabajo realizado hasta aquí, ha consistido principalmente en entregar las herramientas básicas que
hacen posible el “comunicar información”, la que se realiza mediante la afirmación o negación de
proposiciones (Lógica), y el lenguaje por medio del cual esta información es transmitida (Lenguaje
conjuntista). Introducimos ahora una nueva operatoria de conjuntos (relación), ella nos conducirá al
concepto básico en el estudio del Cálculo, el de función.
Definición 1.7.1 Se llama par ordenado 1 formado por los elementos a y b al objeto que denotamos
por (a, b), y tal que
(a, b) = {{a}, {a, b}}
El elemento a se denomina primera componente, y el elemento b segunda componente.
La igualdad entre los pares (a, b) y (c, d) es posible si y sólo si a = c ∧ b = d.
Ejemplo 1.7.2 Los siguientes conjuntos representan el par (3,2)
{{3}, {3, 2}} = {{3}, {2, 3}} = {{3, 2}, {3}} = {{2, 3}, {3}}
Ejemplo 1.7.3 El par (a, a) tiene las siguientes representaciones:
(a, a) = {{a}, {a, a}} = {{a}, {a}} = {{a}}
1 Esta
definición se debe al matemático polaco Kuratowski
1.7 Producto cartesiano
57
En términos prácticos esta definición no es de mucha ayuda y tiende a confundir el concepto. Vamos a
establecer lo siguiente:
Definición 1.7.4 Sean A y B conjuntos tales que a ∈ A, b ∈ B. Se llama par ordenado al elemento
(a, b), en donde a es llamada primera componente y b segunda componente.
En las siguientes situaciones se puede utilizar la idea de par ordenado:
Actividad 45
1. Existen dos caminos, a y b, para ir de Temuco a Concepción, y hay tres caminos, p, q, r, para
ir de Concepción a Santiago. Averiguar de cuantas formas posibles se puede ir de Temuco a
Santiago pasando por Concepción. Escribe tus respuestas usando pares ordenados.
2. Hay tres líneas aéreas que cubren el tramo Temuco - Santiago ida y vuelta. Determinar de cuántas
formas diferentes se puede ir y volver entre Temuco y Santiago. Escribe tu respuesta en pares
ordenados.
3. Una sala de clases tiene cuatro puertas. Determinar de cuántas formas distintas se puede “entrar
y salir” de la sala de clases. Escribe tu respuesta en pares ordenados.
4. Descubre la figura que se forma en el tablero, anotando con un óvalo ennegrecido cada cuadro,
siguiendo la secuencia: (A, 3), (A, 4), (A, 5), (A, 6), (A, 7), (A, 8), (B, 2), (B, 9), (C, 1), (C, 4),
(C, 7), (C, 10), (D, 1), (D, 4), (D, 7), (D, 10), (E, 1), (E, 10), (F, 1), (F, 10), (G, 1), (G, 3), (G, 8),
(G, 10), (H, 1), (H, 4), (H, 5), (H, 6), (H, 7), (H, 10), (I, 2), (I, 9), (J, 3), (J, 4), (J, 5), (J, 6),
(J, 7), (J, 8)
Figura 1.45
A las operaciones clásicas de conjuntos tales como unión, intersección y diferencia, que son operaciones
que nos permiten obtener, a partir de dos conjuntos dados, un nuevo conjunto, vamos a construir el
conjunto formado por todas las parejas de elementos de ambos conjuntos.
Definición 1.7.5 Dados A y B, conjuntos no vacíos, se llama producto cartesiano de A y B, al
conjunto formado por todos los pares ordenados (x, y) tales que x es un elemento de A e y un elemento
de B. Anotamos A × B, lo que se lee “A cruz B”. Simbólicamente:
A × B = {(x, y)/ x ∈ A ∧ y ∈ B}
Para representar un producto cartesiano tenemos tres alternativas:
Por extensión: Es cuando se nombra todas y cada una de las parejas separadas entre sí por
comas.
Capítulo 1. Lógica y Conjuntos
58
Diagrama sagital: Se representa cada conjunto por diagrama de Venn y se emplean flechas que
representa cada una de las parejas del producto indicando el primer elemento de la pareja de
donde sale la flecha y el segundo elemento de la pareja donde apunta la flecha.
Plano Cartesiano: Es la ubicación de cada una de las parejas del producto, teniendo en cuenta
que el primer elemento de la pareja se ubica sobre el eje horizontal y el segundo número de la
pareja sobre el eje vertical.
A continuación ejemplificamos estas notaciones:
Ejemplo 1.7.6 Sean A = {4}, B = {1, 2, 3}.
1. Anota todos los elementos de A × B
A × B = {(4, 1), (4, 2), (4, 3)}
2. Escribe todos los elementos de B × A
B × A = {(1, 4), (2, 4), (3, 4)}
Esto muestra que el producto cartesiano no es conmutativo.
Actividad 46 Sean A = {a, b, c}, B = {a, b, d}:
1. Listar los pares ordenados de A × A
2. Listar los pares ordenados de A × B
Ejemplo 1.7.7
Figura 1.46
Sean A = {1, 2} y B = {a, b, c}. En la representación
sagital se observa que el elemento 1 está conectado
con cada una de las letras a, b, c, al igual que lo hace
el elemento 2.
Por extensión se tiene que en total 6 elementos forman el conjunto cruz.
A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}
Actividad 47 Sean los conjuntos A = {1, 3, 5, 7, 9} y B = {2, 5, 10}. Describir por extensión los
siguientes conjuntos:
1. A = {(a, b) ∈ A × B/ a + b < 11}
2. B = {(a, b) ∈ A × B/ a + b = 11}
Actividad 48 Considera A = {a, b, c} y B = {1, 2, 3, 4}. Determina la cardinalidad del conjunto A × B.
Haz lo mismo si A = {3, 4, 5, 6} y B = {y, z}. ¿Te atreves a aventurar el número de elementos que tiene
un producto cruz?
1.7.1
Plano Cartesiano
Un sistema de ejes coordenados se construye haciendo que dos líneas rectas se corten perpendicularmente en un punto llamado origen, quedando el plano dividido en cuatro regiones llamadas cuadrantes.
Al eje horizontal se le conoce como eje x y al eje vertical como eje y (figura 1.47).
Un sistema de dos ejes coordenados o plano cartesiano, se define como el conjunto de todas las
parejas ordenadas de números reales, que corresponden en sí al producto cartesiano R × R. Este hecho
1.7 Producto cartesiano
59
corresponde a considerar A = B = R, cuyo conjunto producto R × R que también se escribe como R2
es el conjunto de todos los puntos en un plano cartesiano real.
R × R = {(a, b)/a ∈ R, y b ∈ R} = R2
Figura 1.47
Figura 1.48
Ejemplo 1.7.8 Representar gráficamente A × B, si A = {1, 2} y B = {1, 2, 3}.
Se representan los conjuntos A y B cada uno sobre una línea recta (figura 1.48). Estas rectas se dibujan
de modo que sean perpendiculares, una horizontal donde se ha representado el conjunto A y la otra
vertical donde está representado el conjunto B. De esta manera cada par (x, y) de A × B quedará
representado por un punto que se obtiene por la intersección de la vertical que pasa por x ∈ A y la
horizontal que pasa por y ∈ B.
Actividad 49 Representar graficamente A × B, si:
1.
2.
3.
4.
A = {a, b, c} y B = {1, 2, 3, 4}
A = {1}, B = {y ∈ R/ y ≥ 0}
A = {x ∈ R/ 0 ≤ x ≤ 2} y B = {x ∈ R/ 0 ≤ x ≤ 3}
A = [−1, 1] ∈ R, B = [−1, 1] ∈ R
El producto cartesiano puede generalizarse al producto entre n conjuntos A1 , A2 , · · · , An . Te atreves a
indicar quién es R × R × R?
Tarea 1 Graficar las regiones del plano:
1. C = {(x, y) ∈ R × R/ − 1 ≤ x ≤ 2, −1 ≤ y ≤ 1}
2. D = {(x, y)/ 0 ≤ y < 3}
60
1.8
Capítulo 1. Lógica y Conjuntos
Problemas Resueltos
Un día de octubre de 2005 viajámos un grupo de
amigos a la isla Juan Fernández a ver “en vivo y en
directo” todo lo relacionado con el famóso Tesoro
pirata escondido en la isla hace más de 400 años.
El viaje en avión no es tan tranquilo como puede
creerse, bastante movimiento de la avioneta y una
cancha para aterrizaje estrecha y rodeada de cerros
intranquilizó más de lo normal.
Figura 1.49
Después de 2 horas de vuelo llegamos a la isla, buscamos alojamiento y de inmediato partimos a
establecer contacto con la gente de la isla para que nos contara de todo este cuento del tesoro. No
fueron muchos los datos que logramos recopilar, sin embargo dejamos establecido que un lugareño nos
sirviera de guía para el día siguiente. A las 5 de la mañana ya estabamos en pie y con la adrelanina por
las nubes. A las 6 nos pasan a buscar y a sugerencia del guía, un gordito canoso y bonachón (parecido a
un amigo nuestro que hace ecuaciones) nos dirigimos hacia Puerto Inglés, que es el lugar donde se ha
buscado el tesoro y donde debiera estar. Una vez llegados al lugar indicado, éste muestra efectos de
la búsqueda, hoyos por todos lados, gente que trabaja en forma febril, el robot “arturito” no se ve por
ninguna parte (después supimos que trabaja en otra parte de la isla). Al mediodía partimos de allí y
nos dirigimos a las cavernas donde vivió Robinson Crusoe con la intención de darle un vistazo. Una
vez llegados recorrimos varios lugares y de verdad que las cavernas son impresionantes y debe resultar
bastante complicado vivir en ellas. Todo es belleza en la isla, un mar de aguas transparentes, buena
comida, nos comimos una langosta recién sacada del mar, una exquisitez que recomendamos. Con la
“guatita llena y el corazón contento” nos fuímos a la hostería donde estabamos alojados. Preparando el
equipaje de vuelta y tratando de bajar la maleta ésta se cae y golpea el piso de la habitación, con tal
mala suerte que rompe un par de tablas. Al mirar el daño causado nos llamó la atención una pequeña
caja bajo las tablas. Sin querer ser copuchentos cerramos la puerta con llave y nos dedicamos a ver que
teníamos entre manos. Logramos sacar la caja, que era metálica, sin hacer mayores destrozos, nos costó
abrirla porque tenía oxido por todos lados, pero cuando lo logramos encontramos una especie de manta
protegiendo lo que al parecer era un texto manuscrito bastante viejo y deteriorado. Con la “cuchara”
palpitando a mil empezamos a hojear con mucho cuidado el contenido de este “tesoro”. Se trataba de
un diario de vida, una joya de la cual el nombre del autor no estaba por ninguna parte, su contenido; una
breve introducción y una larga colección de problemas resueltos de álgebra pero en inglés. Logramos
volver al continente y una vez en casa, con bastante más tranquilidad, releímos calmadamente cada
una de las hojas, la tradujimos como pudímos y estuvímos de acuerdo en dar a conocer su contenido
para que las nuevas generaciones sigan manteniendo viva la esperanza de hacer realidad sus sueños y
encontrar los tesoros que aún permanecen escondidos.
Diario
Diario de
de Algebra
Algebra
Este diario es, por definición, anónimo, sólo sabrán que fue escrito por un “macho peludo“ y que
corresponde a mis vivencias sobre un curso de álgebra que cursé en inglaterra. Trataré de despistar
lo más posible por si algún día este diario cae en manos perversas. Si por el contrario, quien lo
1.8 Problemas Resueltos
61
encuentre se deleita con la matemática lo puede publicar y tenga por seguro que ni yo ni ninguno de
mis descendientes reclamará derechos de propiedad. Es más, le estaré infinitamente agradecido por
hacer trascender mis ideas.
Me embarqué en el puerto de Liverpool una lluviosa tarde de un año que no me quiero acordar, el
nombre del barco “The beatles”, el capitán Sir Francis ph Drake. No lo sabía, pero era un barco de
piratas y rumbo a las costas de América asaltaron poblados, abordaron por la fuerza otros barcos, en
fin, me tuve que poner al día y aprendí un montón de trucos que me permitieron salir con vida de mil y
un batallas. El capitán sabía de esta isla ya que todos los tesoros acumulados en las fechorías los hizo
bajar del barco y enterrarlos en diversas partes de la isla. Como me sentía ajeno a esa vida licenciosa
y pagana le pedí al capitán me dejara en esta isla y me pasara a buscar cuando volviera a inglaterra.
Parece que la idea le gustó, mandó a algunos hombres a que hicieran una pequeña choza en una caverna,
me dejó algunas herramientas, comestible y bebestible suficiente para pasar algunos meses y se fue
con todos sus secuaces con rumbo desconocido. A contar de ese momento era dueño de mi destino,
pensé mandarme a cambiar en el primer barco que pasara, pero esperé por años y aún no pasa ninguno,
ni siquiera se que pasó con el barco de Sir Francis. Para matar el aburrimiento empezaré a ejercitar
la matemática y en especial el álgebra de mis tiempos universitarios, son recuerdos ya lejanos en el
tiempo, algo borrosos, pero de seguro mis neuronas me lo agradecerán y me mantendrán despierto y
ágil mentalmente.
1
Día
El primer día de clases en la Universidad me dejó más que agotado, nos recibieron los
compañeros de carrera con el tradicional corte de pelo, no hubo caso, lograron “tajearme“ todo el mate
esos desalmados. Espero que mañana nos dejen tranquilos. No conocí a ninguno de mis compañeros y
no hubo tiempo de conocer al menos una “girl”. Vivo en una pensión y ya estoy echando de menos mi
casa.
2
Día
Los “malditos”, ¡si, esos mismos!, los que nos cortaron el pelo, no dejan hacer clases, se
paran en la puerta de la sala con sus caras de idiotas y esperan a que el profe termine para entrar como
“endemoniados“ a sacarnos de la sala, amarrarnos, pasearnos por dentro de la Universidad, tirarnos
harina, huevos podridos, sacarnos casi toda la ropa y las zapatillas para, según ellos, pedir rescate y
hacernos una fiesta de bienvenida.
4
Día
Hoy llegué temprano a clases, tengo álgebra, no me pregunten como se llama el profe, soy
re-malo para los nombres, es peladito, de lentes, lo que quedó claro es que es de un puerto, toda la clase
habló de su juventud en el puerto, de los cerros, de los funiculares, y de lo hermosa que son las porteñas.
En la segunda hora algo alcanzó a decir de lo que veremos en el transcurso del semestre y entregó el
reglamento del curso. En las dos horas siguientes tuve cálculo, el profe es un gordito simpático, con
lentes, barba blanca, desordenado para escribir en la pizarra, harto gritón, y parece que es medio enojón.
Se parece al “viejo pascuero”. Pasó materia como desaforado.
9
Ha pasado ya más de una semana y tengo clara la película, los martes y jueves tengo álgebra.
Día
Hoy partieron las clases con lógica proposicional, y no podía ser de otra manera, el primer ejemplo que
puso el profe fue
Ejemplo 1.8.1 Determinar si la frase “ Valparaíso es el puerto más importante de Chile” es o no
proposición.
Todos estuvieron de acuerdo que era proposición. La definición estaba escrita en la pizarra
Capítulo 1. Lógica y Conjuntos
62
“ Una proposición es un enunciado declarativo que puede ser verdadero o falso, pero no ambos a la
vez”
Parece que esto de la lógica se viene interesante, da la impresión que la cosa depende del cristal con
que se mire. Me voy a ir con cuidado y voy a anotar en este diario todos los problemas de álgebra que
pueda resolver, y que tengan algún interés, para heredarselos a mi hermano menor que tiene ganas de
venirse a la universidad
20
Día
La lógica ha llegado a su fin. De la guía y de los libros resolví hartos problemas, los que
dejo a disposición de las futuras generaciones y “my brother”.
1.8.1
Ejercicios de lógica
Todas las proposiciones son oraciones, pero no todas las oraciones son proposiciones. En efecto, las
oraciones interrogativas, las imperativas, las exhortativas y las exclamativas no son proposiciones
porque ninguna de ellas afirma o niega algo, y por lo tanto, no son verdaderas ni falsas. Debemos tener
claro lo siguiente:
Para que una expresión verbal sea una proposición debe cumplir que:
1. Sea una oración.
2. Sea aseverativa, y
3. Sea o bien verdadera o bien falsa.
Ejemplo 1.8.2 Determinar, de las siguientes frases, cuáles son proposiciones, y de ellas cuáles son
verdaderas:
1. 4 es un número par.
2. 5 no es un número par.
3. 1 = 2.
4. Esta frase es verdadera.
5. ¿Qué hora es?
6. ¡Madre mia!
7. El gato se comió al ratón.
8. Quizás llueva mañana.
9. Pedro es bueno
No son proposiciones; la quinta ya que es una oración interrogativa, la sexta por ser exclamativa, la
octava por ser una oración dubitativa, la novena por ser un juicio de valor, la cuarta porque resulta
imposible asignarle un valor de verdad. Las restantes son proposiciones, y de ellas son verdaderas la
primera y segunda.
Ejemplo 1.8.3 Determinar la razón por la cual no son proposiciones:
1. La matemática es inteligente.
2. Hernán es un número irracional.
3. x + 1 = 5
4. No dejes para mañana lo que puedes hacer hoy.
5. Soy, luego existo.
Las tres primeras son oraciones aseverativas pero no proposiciones, es imposible asignarles un valor de
verdad. Las dos restantes son expresiones a las que no puede asignar un valor de verdad.
Formalización de proposiciones
Formalizar una proposición significa abstraer su forma lógica, es decir, revelar su estructura sintáctica
a través del lenguaje formalizado de la lógica. En términos sencillos, formalizar una proposición es
representarla simbólicamente.
1.8 Problemas Resueltos
63
Toda proposición tiene una forma lógica y una fórmula. La forma lógica de una proposición es otra
proposición equivalente a la primera con la diferencia de que en ella toda su estructura sintáctica
está completamente explicitada. A partir de aquí, su fórmula no es otra cosa que la que resulta de
sustituir a toda proposición básica distinta por una variable proposicional también distinta y emplear
los conectores lógicos definidos.
Ejemplo 1.8.4 Formalizar las siguientes proposiciones:
1. Judith es morena, pero Natalia es rubia.
2. No voy al estadio a menos que me pasen a buscar.
3. Juan no es timido ni atrevido.
4. Rosa no es morena, sino rubia.
Mostramos la forma lógica y la correspondiente fórmula a continuación.
1. Judith es morena y Natalia es rubia.
2. Si me pasan a buscar, entonces voy al estadio.
3. Juan no es timido y Juan no es atrevido.
4. Rosa es rubia y no morena.
p∧q
p→q
¬p ∧ ¬q
p ∧ ¬q
Ejemplo 1.8.5 Simbolizar las proposiciones:
1. Si me doy prisa, entonces veo el partido, pero si tengo que hacer clases, no veo el partido.
2. Sin palta, lechuga, tomate y carne, no hay churrasco.
3. Hernán es alumno o es profesor, pero no ambas cosas a la vez.
4. Tanto Roberto como Tito son universitarios porque estudian ingeniería.
La primera proposición es sencilla.
1. (p → q) ∧ (r → ¬q)
2. (¬p ∧ ¬q ∧ ¬r ∧ ¬s) → ¬t
3. (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)
4. (p ∧ q) → (r ∧ s)
Las tres restantes tienen formalización:
Si no tiene palta y no tiene lechuga y no tiene tomate y no tiene carne, entonces no hay churrasco.
Hernán es alumno o es profesor y no es verdad que Hernán sea profesor y sea alumno.
Si Roberto y Tito son universitarios, entonces Roberto estudia ingeniería y Tito estudia ingeniería.
Ejemplo 1.8.6 Demostrar que ¬(p ←→ q) es equivalente a ¬p ←→ q.
Mostramos dos formas de afrontar esta clase de problemas; tablas de verdad equivalentes o partiendo
de una de las proposiciones llegar a la otra en base a propiedades.
Tablas de verdad
Veamos que pasa con las tablas de verdad
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p ←→ q
V
F
F
V
¬[p ←→ q]
F
V
V
F
¬p
F
F
V
V
¬p ←→ q
F
V
V
F
Capítulo 1. Lógica y Conjuntos
64
Como la cuarta y sexta columna tienen los mismos valores de verdad, ellas son equivalentes.
Propiedades
¬(p ←→ q) ⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
¬[(p → q) ∧ (q → p)]
¬(p → q) ∨ ¬(q → p)
¬(¬p ∨ q) ∨ ¬(¬q ∨ p)
(p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬p)
[(p ∧ ¬q) ∨ q] ∧ [(p ∧ ¬q) ∨ ¬p]
[(p ∨ q) ∧ (q ∨ ¬q)] ∧ [(p ∨ ¬p) ∧ (¬q ∨ ¬p)]
[(p ∨ q) ∧V ] ∧ [V ∧ (¬q ∨ ¬p)]
(p ∨ q) ∧ (¬q ∨ ¬p)
(¬p → q) ∧ (q → ¬p)
¬p ←→ q
Ejemplo 1.8.7 Probar que la proposición (p ←→ q) ←→ [(p ∨ q) ←→ (p ∧ q)] es una tautología.
Para verificar esto tenemos la alternativa de las tablas o la siguiente.
1. Si p es V de verdadero, entonces la proposición original toma la forma
(V ←→ q) ←→ [(V ∨ q) ←→ (V ∧ q)]
que equivale a
q ←→ [V ←→ q]
y también a
q ←→ q
que es evidentemente una tautología si q es V o F.
2. Si p es F de falso, entonces la proposición original toma la forma
(F ←→ q) ←→ [(F ∨ q) ←→ (F ∧ q)]
que equivale a
¬q ←→ [q ←→ F]
y también a
¬q ←→ ¬q
que es evidentemente una tautología si q es V o F. Si no te gustó la forma de hacerlo, o si no
entendiste usa tablas y verás te aseguras que es tautología.
Ejemplo 1.8.8 Determinar si las proposiciones dadas son verdaderas o falsas:
1.
2.
3.
4.
Si 1 + 2 = 4 entonces 2 + 3 = 5
Si 1 + 2 = 4 y 2 + 3 = 5, entonces 2 + 2 = 4
Si 2 es impar entonces 3 es impar
Si 2 es impar entonces 3 es par
F → V es V
(F ∧V ) → V es V
F → V es V
F → F es V
Ejemplo 1.8.9 Demuestra la equivalencia lógica de las proposiciones p → q
y ¬q → ¬p
Esta si que la tengo clarita: “Dos proposiciones p y q se dicen lógicamente equivalentes si tienen la
misma tabla. Se escribe p ⇐⇒ q
1.8 Problemas Resueltos
65
6
3
p
V
V
F
F
z }| {
p→q
V
F
V
V
q
V
F
V
F
¬q
F
V
F
V
z }| {
¬q→ ¬ p
V
F
V
V
¬p
F
F
V
V
La tercera y sexta columna muestran que hay equivalencia.
Ejemplo 1.8.10 Usar tablas de verdad para clasificar como contingencia, tautología o contradicción:
1. p ∧ q → ¬ p
2. (p ∧ q) ∧ (p → ¬q)
La tabla de verdad de la primera proposición es
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
¬p
F
F
V
V
p∧q
V
F
F
F
p∧q → ¬ p
F
V
V
V
se trata de una contingencia. Para la segunda proposición, su tabla de verdad es
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∧q
V
F
F
F
¬q
F
V
F
V
p→¬q
F
V
F
V
(p ∧ q) ∧ (p → ¬q)
F
F
F
F
una linda y hermosa contradicción.
Ejemplo 1.8.11 Sea A una contradicción o absurdo y T una tautología. Indicar si existe una tautología
entre las siguientes:
1. (p ↔ ¬ p) ↔ T
2. (A ∧ T ) ↔ T
3. T → (p → p)
4. (¬ ¬ p ↔ p) ↔ T
Si concentras tu fuerza mental, te darás cuenta que la primera proposición no es tautología, pues
p ↔ ¬ p es una contradicción. La segunda lo mismo. La tercera es tautología, pues es T ⇐⇒ T .
Finalmente, la cuarta no es tautología.
Ejemplo 1.8.12 Probar que la proposición [(p → q) ∧ q] → p es equivalente q → p.
Capítulo 1. Lógica y Conjuntos
66
Se pueden usar tablas de verdad o simplificaciones. Hacemos esto último
[(p → q) ∧ q] → p =⇒
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
¬[(p → q) ∧ q] ∨ p
[¬(p → q) ∨ ¬q] ∨ p
[¬(¬p ∨ q) ∨ ¬q] ∨ p
[(p ∧ ¬q) ∨ ¬q] ∨ p
[(p ∨ ¬q) ∧ (¬q ∨ ¬q)] ∨ p
[(p ∨ ¬q) ∧ ¬q] ∨ p
[p ∨ (p ∨ ¬q)] ∧ [p ∨ ¬q]
[(p ∨ p) ∨ ¬q)] ∧ [p ∨ ¬q]
[p ∨ ¬q)] ∧ [p ∨ ¬q]
p ∨ ¬q
q→ p
Ejemplo 1.8.13 Simbolizar y hacer la tabla de verdad de la proposición
“O estás en Temuco y estudias en la Universidad o mientes descaradamente”.
Sean p =estás en Temuco, q =estudias en la Universidad y r =mientes descaradamente, entonces la
simbolización es
(p ∧ q) ∨ r
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
p∧q
V
V
F
F
F
F
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
(p ∧ q) ∨ r
V
V
V
F
V
F
V
F
Ejemplo 1.8.14 Sean p una proposición verdadera, q falsa y r una proposición cualquiera, determinar
el valor de verdad de:
1. ( p ∧ q ) ∨ q
2. ( p ∧ q ) → ( p ∨ q )
3. ( p ∨ q ) ∧ q
4. q ∨ r → p ∨ r
La tabla siguiente proporciona la respuesta a las tres primeras proposiciones
p∧q
F
q
F
p
V
( p∧q)∨q
F
p∨q
V
( p∧q) → ( p∨q)
V
( p∨q)∧q
F
El valor de verdad de la proposición d) se determina a partir de la siguiente tabla
p
q
r
q∨r
q∨r
p
r
p∨r
p∨r
q∨r → p∨r
V
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
F
F
F
V
F
V
V
F
F
1.8 Problemas Resueltos
67
Ejemplo 1.8.15 Si p tiene el valor lógico V y q el valor lógico F, determinar el valor lógico de la
proposición
[ p∨( p∧q)]∧q → [(q∨r) → (q → s)]
Veamos en primer término, el valor de verdad del antecedente (A). Para ello se observa que las
proposiciones p y q tienen un valor de verdad dado.
p
q
p
q
p∧q
p∨( p∧q)
[ p∨( p∧q)]∧q
[ p∨( p∧q)]∧q
V
F
F
V
F
V
V
F
Para el valor de verdad del consecuente (C), y dado que las proposiciones r y s pueden tener valores de
verdad verdadero o falso, tenemos lo siguiente:
q
r
s
q
q∨r
q→s
[(q∨r) → (q → s)]
A→C
F
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
V
Ejemplo 1.8.16 Determinar el valor lógico de la proposición [ q ∨ ( p ∧ q ) ] ∧ q → ( q ∨ r )
1. si q tiene el valor lógico F.
a)
2. si p tiene el valor lógico F.
El valor de verdad del antecedente es
p
q
p
q
p∧q
q∨( p∧q)
[q∨( p∧q)]∧q
V
F
F
V
F
F
F
F
F
V
V
F
F
F
q
q
r
q∨r
[q∨( p∧q)]∧q → (q∨r)
F
V
V
V
V
F
V
F
V
V
Por otra parte tenemos que
b)
El valor de verdad del antecedente es
p
q
p
q
p∧q
q∨( p∧q)
[q∨( p∧q)]∧q
F
V
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
F
F
Capítulo 1. Lógica y Conjuntos
68
Ahora completamos la tabla, teniéndose
q
r
q
q∨r
[q∨( p∧q)]∧q → (q∨r)
F
V
V
V
V
F
F
V
V
V
Ejemplo 1.8.17 Se define el conectivo lógico ∗ por la siguiente tabla
p
q
p∗q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
V
Determinar el valor de verdad de la proposición
[( p → q)∨q] ↔ [( p∧q)∗q]
p
q
q
p→q
( p → q)∨q
p∧q
( p∧q)∗q
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
F
F
F
V
F
V
V
V
V
F
V
F
F
V
V
V
F
V
Luego
[( p → q)∨q] ↔ [( p∧q)∗q]
F
F
V
V
Ejemplo 1.8.18 Demostrar las siguientes implicaciones:
1. ( p ↔ q ∧ q ↔ r ) =⇒ ( p ↔ r )
2. p ∧ ( p → q ) =⇒ q
3. ( p ∧ q → q ) =⇒ ( p → q )
4. ( p → p ) =⇒ p
Mediante tablas verifiquemos la verdad de cada proposición.
1.8 Problemas Resueltos
(1)
69
p
q
r
p↔q
q↔r
( p ↔ q)∧(q ↔ r)
p↔r
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
F
F
F
F
V
V
F
V
F
F
V
F
V
Al observar las dos columnas finales se deduce que
( p ↔ q ∧ q ↔ r ) =⇒ ( p ↔ r )
(2)
p
q
p→q
p∧( p → q)
p∧( p → q) → q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
Por tanto, p ∧ ( p → q ) =⇒ q
(3)
p
q
q
p∧q
( p∧q) → q
p→q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
F
V
V
V
F
V
V
De las dos últimas columnas se deduce que
( p ∧ q → q ) =⇒ ( p → q )
(4)
p
p
p→ p
V F
V
F V
F
Luego, ( p → p ) =⇒ p
( p → p) → p
V
V
Ejemplo 1.8.19 Demostrar, usando teoremas lógicos las siguientes proposiciones:
1. ( p ↔ q ) ⇐⇒ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ q )
2. ( p ↔ q ) ⇐⇒ ( p ↔ q )
3. ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ q ) ⇐⇒ ( p ↔ q )
1) Haciendo uso de los teoremas lógicos
( p ↔ q ) ⇐⇒ ( p → q ) ∧ ( q → p )
p → q ⇐⇒ p ∨ q
Capítulo 1. Lógica y Conjuntos
70
se obtiene
( p ↔ q ) ⇐⇒ ( p ∨ q ) ∧ ( q ∨ p )
Aplicando la propiedad distributiva, asociativa y conmutativa
p ↔ q ⇐⇒ [ ( p ∨ q ) ∧ q ] ∨ [ ( p ∨ q ) ∧ p ]
⇐⇒ [ ( p ∧ q ) ∨ ( q ∧ q ) ] ∨ [ ( p ∧ p ) ∨ ( q ∧ p ) ]
⇐⇒ [ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ q ) ] ∨ [ ( q ∧ q ) ∨ ( p ∧ p ) ]
Las proposiciones p ∧ p y q ∧ q son falsas, y en consecuencia, su disyunción también lo es. Esto
significa que el segundo corchete en la última ecuación es una proposición falsa. Ahora bien, como
para que la disyunción de dos proposiciones sea verdadera es suficiente que una de ellas sea verdadera,
entonces el primer corchete de esta última ecuación es verdadero. Luego,
p ↔ q ⇐⇒ [ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ q ) ]
2)
Usando la parte a) y las leyes de De Morgan se tiene
p ↔ q ⇐⇒ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ q )
⇐⇒ p ∧ q ∧ p ∧ q
⇐⇒ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ q )
Por otro lado,
p ↔ q ⇐⇒ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ q )
⇐⇒ [ ( p ∧ q ) ∨ p ] ∧ [ ( p ∧ q ) ∨ q ]
⇐⇒ [ ( p ∨ p ) ∧ ( q ∨ p ) ] ∧ [ ( p ∨ q ) ∧ ( q ∨ q ) ]
Como p ∨ p y q ∨ q son ambas proposiciones verdaderas, entonces su conjunción también lo es, de aquí
que de la última ecuación se tenga que
p ↔ q ⇐⇒ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ q )
3)
Aplicando ley de De Morgan y la parte 1), se tiene
( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ q ) ⇐⇒ p ∧ q ∧ p ∧ q
⇐⇒ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ q )
⇐⇒ [ ( p ∨ q ) ∧ p ] ∨ [ ( p ∨ q ) ∧ p ]
⇐⇒ [ ( p ∧ p ) ∨ ( p ∧ q ) ] ∨ [ ( p ∧ q ) ∨ ( q ∧ q ) ]
⇐⇒ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ q )
⇐⇒ ( p ↔ q )
1.8 Problemas Resueltos
71
Ejemplo 1.8.20 Escribir una expresión que contenga sólo los conectivos, negación, disyunción y
conjunción, para las siguientes proposiciones:
1. ( p ↔ q ) → ( p ∧ q )
2. p ↔ q ↔ r
3. [ ( p → q ) ∧ ( q → s ) ] → ( p → s )
1) Veamos primero como se transforma el antecedente
p ↔ q ⇐⇒ ( p → q ) ∧ ( q → p )
⇐⇒ ( p ∨ q ) ∧ ( q ∨ p )
El consecuente contiene sólo conjunción, de manera que no necesita ser transformado. Ahora, para la
proposición completa se tiene
( p ↔ q ) → ( p ∧ q ) ⇐⇒ ( p ∨ q ) ∧ ( q ∨ p ) ∨ ( p ∧ q )
⇐⇒ ( p ∨ q ) ∨ ( q ∨ p ) ∨ ( p ∧ q )
⇐⇒ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ q )
⇐⇒ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ q )
2)
Transformemos en primer lugar q ↔ r
q ↔ r ⇐⇒ ( q → r ) ∧ (r → q )
⇐⇒ ( q ∨ r ) ∧ ( r ∨ q )
Llamando s a esta última proposición, tenemos que transformar ahora una proposición de la forma
p ↔ s. Se tiene
p ↔ s ⇐⇒ ( p → s ) ∧ (s → p )
⇐⇒ ( p ∨ s ) ∧ ( s ∨ p )
Para completar la transformación calculemos s. Como s = ( q ∨ r ) ∧ ( r ∨ q ), entonces s = q ∨ r ∧ r ∨ q,
lo que equivale a tener s = ( q ∧ r ) ∨ ( r ∧ q ). En consecuencia
p ↔ q ↔ r ⇐⇒ ( p ∨ s ) ∧ ( s ∨ p )
⇐⇒ [ p ∨ [ ( q ∨ r ) ∧ ( r ∨ q ) ] ] ∧ [ [( q ∧ r ) ∨ ( r ∧ q ) ] ∨ p ]
Con esto, la transformación está completa, a pesar que se puede continuar y obtener una proposición
más simplificada.
3) Transformemos el antecedente mediante aplicación del teorema lógico de la transitividad. Se tiene
( p → q ) ∧ ( q → s ) ⇐⇒ p → s
esto hace que la proposición original tome la forma
( p → s) → ( p → s)
Capítulo 1. Lógica y Conjuntos
72
y de esto
( p → s ) → ( p → s ) ⇐⇒ ( p → s ) ∨ ( p → s )
⇐⇒ p ∨ s ∨ ( p ∨ s )
⇐⇒ ( p ∧ s ) ∨ ( p ∨ s )
Ejemplo 1.8.21 Negar y posteriormente simplificar las siguientes proposiciones:
1. p ∧ ( q ∨ r ) ∧ ( p ∨ q ∨ r )
2. p ∧ q → r
3. p → q ∧ r
Hacemos uso de propiedades.
1. p ∧ ( q ∨ r ) ∧ ( p ∨ q ∨ r ) ⇐⇒ p ∨ ( q ∨ r ) ∨ ( p ∨ q ∨ r ) ⇐⇒ p ∨ ( q ∧ r ) ∨ ( p ∧ q ∧ r )
2. p ∧ q → r ⇐⇒ ( p ∧ q ) ∨ r ⇐⇒ ( p ∧ q ) ∧ r ⇐⇒ p ∧ q ∧ r
3. p → q ∧ r ⇐⇒ p ∨ ( q ∧ r ) ⇐⇒ p ∧ ( q ∨ r )
Ejemplo 1.8.22 Se definen los conectivos 4 y ] mediante las tablas
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p4q
V
F
F
V
p]q
V
F
V
F
1. Probar que p 4 q ⇐⇒ q 4 p
2. Probar que p ] q ∧ q ] p ⇐⇒ p ↔ q
Construimos la tabla para verificar la validez de las proposiciones
p
q
p4q
q4p
p]q
q]p
( p ] q) ∧ (q ] p)
p↔q
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
F
F
V
F
F
V
F
F
F
F
F
V
V
F
F
F
V
Se observa de la tercera y cuarta columna que al operar la bicondicional todas las combinaciones
son verdaderas. Esto prueba que las proposiciones dadas en la parte 1) son equivalentes. Para las
proposiciones de la parte 2) se observa de la séptima y octava columna que al operar la bicondicional se
obtiene el valor de verdad F en la última línea. Esto prueba que las proposiciones no son equivalentes.
Razonamientos
Otra clase de problemas son los razonamientos, argumentos o inferencias.
Una inferencia (razonamiento, argumentación o deducción) es una operación lógica que consiste en
derivar a partir de la verdad de ciertas proposiciones conocidas como premisas la verdad de otra
premisa conocida como conclusión. Su importancia radica en que:
1.8 Problemas Resueltos
73
Una de las funciones principales de la lógica matemática es servir de fundamento al razonamiento
matemático, evitando ambiguedades y contradicciones mediante la determinación absoluta, precisa y
rigurosa de lo que es un razonamiento matemático válido
Para identificar una conclusión cabe tener en cuenta que, generalmente, le preceden palabras como;
luego, en consecuencia, por tanto, por consiguiente.
Para estudiar la validez de un razonamiento se procede por aplicación de las reglas de inferencia
(método sintáctico) o por el uso de tablas de verdad (método semántico).
Ejemplo 1.8.23 Simboliza el siguiente conjunto de premisas, numéralas y obtén una conclusión. “Juan
quiere a María o a Rosa. Juan no quiere a Rosa”.
Sin saber mucho de lógica, de teoremas lógicos o de silogísmos, la conclusión que saca cualquier
mortal es que “Juan quiere a María”. En consecuencia, el razonamiento se simboliza
( (p ∨ q) ∧ ¬ q ) → p
cuya tabla de verdad es
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∨q
V
V
V
F
¬q
F
V
F
V
( (p ∨ q) ∧ ¬ q )
F
V
F
F
( (p ∨ q) ∧ ¬ q ) → p
V
V
V
V
Se trata de un razonamiento válido pues es una tautología. Si p es Juan quiere a María y q es Juan
quiere a Rosa, entonces la simbolización es
1. p ∨ q
premisa
2. ¬ q
premisa
p
conclusión
Todas las proposiciones que aparecen como premisas son verdaderas. Así por ejemplo, la premisa p ∨ q
es verdadera, lo que no significa que p y q deban serlo, eso puede suceder al analizar posteriormente
todas las premisas. La segunda premisa es verdadera, es decir, ¬ q es verdadera con lo cual q es falsa.
Si q es falsa, entonces al llevarla a trabajar en la primera premisa dada se tiene que como p ∨ q es
verdadera, tiene que ser obligadamente p verdadera. Así, la conclusión es válida.
Ejemplo 1.8.24 Michelle no será candidata a menos que muera o renuncie. Michelle es candidata. Por
tanto, Michelle no renuncia ni muere.
La forma lógica de expresar este razonamiento es
1. Si Michelle muere o renuncia, entonces no es candidata.
2. Michelle es candidata.
Por tanto, Michelle no renuncia ni muere. La formalización, es entonces,
(1) (p ∨ q) → ¬r
(2) r
¬p ∧ ¬q
Capítulo 1. Lógica y Conjuntos
74
Fórmula condicional:
[(p ∨ q) → ¬r] ∧ r → (¬p ∧ ¬q)
Por tablas de verdad tenemos lo que sigue:
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
p∨q
V
V
V
V
V
V
F
F
¬r
F
V
F
V
F
V
F
V
(p ∨ q) → ¬r]
F
V
F
V
F
V
V
V
[(p ∧ q) → r] ∧ ¬r
F
F
F
F
F
F
V
F
¬p ∧ ¬q
F
F
F
F
F
F
V
V
[] → (¬p ∧ ¬q)
V
V
V
V
V
V
V
V
Se trata de un razonamiento válido ya que en la última columna todas las alternativas son verdaderas.
Sin embargo, ha sido un proceso largo. El uso de las reglas de inferencia reduce notablemente el tiempo
de análisis. En efecto,
1. (p ∨ q) → ¬r
2. r
3. ¬(p ∨ q) [1,2]
4. ¬p ∧ ¬q [2] De Morgan
Ejemplo 1.8.25 Si las palomas emigran, entonces van a la costa o al altiplano. Las palomas emigran y
no van al altiplano. Luego, las palomas van a la costa
La formalización es la siguiente.
1. p → (q ∨ r)
2. p ∧ ¬r
...
r
Fórmula condicional: [p → (q ∨ r) ∧ (p ∧ ¬r)] → q
Veamos su validez por tablas de verdad.
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
q∨r
V
V
V
F
V
V
V
F
p → (q ∨ r)
V
V
V
F
V
V
V
V
¬r
F
V
F
V
F
V
F
V
p ∧ ¬r
F
V
F
V
F
F
F
F
p ∧ (q ∨ r) ∧ (p ∧ ¬r)]
F
V
F
F
F
F
F
F
[] → r
V
V
V
V
V
V
V
V
Se trata de un razonamiento válido. Veamos que sucede con el uso de las reglas lógicas.
1. p → (q ∨ r)
2. p ∧ ¬r
1.8 Problemas Resueltos
3.
4.
5.
6.
75
p [2]
¬r [2]
q ∨ r [1,3]
q [4,5]
Ejemplo 1.8.26 Usar tablas de verdad para probar si el siguiente razonamiento es válido
( ¬ p∧( p → q) ) → ¬ q
La tabla es la siguiente
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
¬p
F
F
V
V
p→q
V
F
V
V
¬ p ∧ (p → q)
F
F
V
V
¬q
F
V
F
V
( ¬ p∧( p → q) ) → ¬ q
V
V
F
V
Como no es una tautología, el razonamiento no es válido.
Ejemplo 1.8.27 Demostrar que ¬P se deduce de las premisas
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
¬(P ∧ Q)
P→R
Q∨R
P
R
Q
P∧Q
(P ∧ Q) ∧ ¬ (P ∧ Q)
premisa
premisa
premisa
[negación de la tesis]
[2, 4]
[3, 5]
[4, 6]
[1, 7] RAA
Hemos llegado a una contradicción. Como ésta proviene de negar la tesis, P debe ser verdadera.
Ejemplo 1.8.28 Demostrar que x < 5 se deduce de las premisas
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
x < 5∨x = y
x = y → y 6= 5
x < y∧y = 5 → x < 5
y=5
x 6= y
x<y
x < y∧y = 5
x<5
premisa
premisa
premisa
premisa
[2, 4]
[1, 5]
[4, 6]
[3, 7]
Se hizo por método directo. (Por el absurdo también se puede).
Ejemplo 1.8.29 Probar, que de las premisas dadas, se satisface:
(1) p → s
(2) (p ∧ r) → t
Capítulo 1. Lógica y Conjuntos
76
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
p → (q ∨ r)
q→r
r→s
¬(p → s)
¬(¬p ∨ s)
p ∧ ¬s
p
¬s
¬r
¬q
q∨r
r
r ∧ ¬r
premisa
premisa
premisa
[negación de la tesis]
[4]
[5]
[6]
[6]
[3, 8]
[2, 9]
[1, 7]
[10, 11]
[9, 12] RAA
1. p → q
2. r → s
3. (s ∧ q) → t
4.
p∧r
5.
p
6.
r
7.
s
8.
q
9.
s∧q
10.
t
premisa
premisa
premisa
[premisa agregada]
[4]
[4]
[2, 6]
[1, 5]
[7, 8]
[3, 10]
Ejemplo 1.8.30 Usar las premisas dadas para probar que se satisfacen:
(2) (p ∧ q) → p ∧ (q ∨ r)
(1) r
1.
2.
3.
4.
5.
6.
p → (q → r)
p∧q
p
q
q→r
r
premisa
premisa
[2]
[2]
[1, 3]
[4, 5]
1. p → q
2.
p
3.
q
4.
q∨r
5. p ∧ (q ∨ r)
premisa
[1]
[1]
[3]
[2, 4]
Ejemplo 1.8.31 De las proposiciones, ‘Juan necesita un abogado o Juan necesita un médico” y “Si
Juan necesita un abogado entonces necesita un médico”, se deduce que:
1. necesita un médico
2. necesita un abogado
3. no necesita un médico
4. no necesita un abogado
Si se simbolizan las proposiciones, entonces tienen la forma
a) p ∨ q
b) p → q ≡ ¬ p ∨ q
Como se dan cuatro alternativas, las trabajaremos de a una.
Si fuese p verdadera (necesita un abogado), entonces obliga a q (en 3) a ser verdadero, con lo
cual se satisfacen ambas premisas.
Si fuese ¬ p verdadera, entonces p es falso, lo que obliga a q ser verdadero para satisfacer la
primera premisa.
Si fuese q verdadera, entonces tenemos satisfecha la primera premisa y la segunda
Si fuese ¬ q verdadera, entonces q es falsa, lo que hace que tenga que ser p verdadera en la
primera premisa, pero con esto no se cumple que la premisa 2 o equivalentemente, la 3 sea
verdadera. En consecuencia, la única dedución válida es que “Juan necesita un médico”
Ejemplo 1.8.32 Analizar la validez de los siguientes razonamientos:
1. ( p → q ) ∧ ( r → s ) ∧ p ∨ r =⇒ q ∨ s
2. [ ( p → r ) ∧ ( p → q ) ] =⇒ ( p → r ∧ q )
Usaremos el esquema vertical para el análisis.
3. [ ( p → r ) ∧ ( r → q ) ] =⇒ q
4. [ ( p → r ∨ q ) ∧ ( r → q ) =⇒ ( p → r )
1.8 Problemas Resueltos
1.
1)
2)
3)
Demostrar q ∨ s
p→q
premisa
r→s
premisa
p∨r
premisa
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
¬(q ∨ s)
¬q ∧ ¬s
¬q
¬s
¬p
¬r
p
p ∧ ¬p
premisa agregada
(4) De Morgan
(5)
(5)
(1,6)
(2,7)
(3,9)
(8,10) RAA
3. Demostrar q
1) p → r
2) r → q
premisa
premisa
3) p → q
(1,2) TL
4. Demostrar p → r
1) p → r ∨ q
2) r → q
premisa
premisa
3) r ∨ q
4) p ∨ ( r ∨ q )
(2) TL
(1) TL
77
2. Demostrar p → r ∧ q
1) p → r
premisa
2) p → q
premisa
3)
4)
5)
6)
7)
p∨r
p∨q
( p ∨ r) ∧ ( p ∨ q)
p ∨ (r ∧ q)
p→r ∧ q
(1) TL
(2) TL
(4,5) adición
(5) TL
(6) TL
Si asignamos el valor de verdad F a la proposición p,
entonces r debe tener valor de verdad F en la primera
premisa (pues tiene que ser verdadera). De aquí que
en la segunda premisa q debe tener valor de verdad
F. Esto prueba la no validez del razonamiento.
En este punto, al no ver la forma de conectar los resultados
obtenidos en los pasos 3 y 4, veamos una asignación de
certeza para las proposiciones, con el fin de determinar la
no validez del razonamiento. Por ejemplo, suponemos que
las asignaciones son: p = V, q = V, r = F, entonces los
pasos 3 y 4 son verdaderos, pero la conclusión p → r es del
tipo V → F, cuyo resultado tiene valor de verdad F. Esto
prueba que el razonamiento es no válido.
Ejercicios de conjuntos
1. Dados los conjuntos X = {1, 2, 3} e Y = {1, X, 8}. Indicar si son verdaderas o falsas las siguientes
afirmaciones, justificando su respuesta:
a) 8 6∈ Y
Resp. Falso, se “ve” que si está.
b) Y = {1, {1, 2, 3}, 8} Resp. Verdadera, se reemplaza X en Y y listo.
c) X ∈ Y
Resp. Verdadera, se ve que X es elemento de Y .
d) {1, 2, 3} ∈ Y
Resp. Verdadera, la misma justificación anterior.
e) {1, 2} ∈ Y
Resp. Falso, no es elemento de Y .
f) X ∈ X
Resp. Falso, X no es elemento del conjunto X.
g) 0/ ⊂ X
Resp. Verdadera, el vacío es subconjunto de todo conjunto.
h) 0/ ∈ {0}
/
Resp. Verdadera, aquí, el vacío es elemento del conjunto.
i) 0/ ∈ 0/
Resp. Falso, el vacío no contiene elementos.
j) 0/ 6∈ {1, 2, {0}}
/
Resp. Verdadera, vacío no está como elemento del conjunto.
2. Indique si los siguientes conjuntos son o no vacíos:
a) A = {x ∈ N/ 5x = 8}. Resp. Es vacío, la solución no pertenece a los naturales.
b) B = {x ∈ Q/ x2 − 3 = 0}. Resp. Es vacío, la solución no pertenece a los racionales.
Capítulo 1. Lógica y Conjuntos
78
c) C = {x ∈ R/ x2 − 4 = 0}. Resp. No es vacío, las soluciones son reales.
3. Dados los siguientes pares ordenados, encuentre los valores de a y b para que sean iguales :
a) (a + b, 1) y (3, a − b). Resp. a = 2, b = 1.
b) (2a − b, −5) y (3, a + 6b). Resp. a = 1, b = −1
4. Se considera el conjunto referencial R = { números impares desde el 1 al 25}, A = {x ∈
R/ x es múltiplo de 3}, B = {x ∈ R/ x es mútiplo de 5}. Verificar las leyes de De Morgan.
Respuesta
Escribimos A y B por extensión
A = {3, 9, 15, 21}
B = {5, 15, 25}
y
Ahora vemos los complementos
Ac = {1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25}
Bc = {1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23}
Con esto estamos en condiciones de verificar las leyes de Morgan para conjuntos que son:
a)
Ac ∪ Bc = (A ∩ B)c
b)
Ac ∩ Bc = (A ∪ B)c
Para la primera ley tenemos:
Ac ∪ Bc = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 25}
A ∩ B = {15} =⇒ (A ∩ B)c = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 25}
Con ello vemos que se verifica la primera ley. Vamos por la segunda
Ac ∩ Bc = {1, 7, 11, 13, 17, 19, 23}
A ∪ B = {3, 5, 9, 15, 21, 25} =⇒ (A ∪ B)c = {1, 7, 11, 13, 17, 19, 23}
Así, también se cumple la segunda ley.
5. Sea R = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 3, 4, 6} y B = {1, 4, 5, 6}, entonces
a) A ∪ B = {1, 3, 4, 5, 6}
d) B − A = {5}
g) Ac ∪ Bc = {2, 3, 5}
j) Bc − Ac = {3}
m) (A − B)c = {1, 2, 4, 5, 6}
1.9
b) A ∩ B = {1, 4, 6}
e) Ac = {2, 5}
h) Ac ∩ Bc = {2}
k) (A ∪ B)c = {2}
n) (B − A)c = {1, 2, 3, 4, 6}
Problemas Propuestos
Ejercicios de Lógica
1. Determinar si las siguientes frases son proposiciones:
a) Apúrate ligero.
b) En la vida hay amores que nunca pueden olvidarse.
c) ¿ Quién hace clases de Algebra?
c) A − B = {3}
f) Bc = {2, 3}
i) Ac − Bc = {5}
l) (A ∩ B)c = {2, 3, 5}
1.9 Problemas Propuestos
79
d) Este país necesita ingenieros.
e) Estoy saliendo con Claudia.
2. Simbolizar cada una de las proposiciones siguientes:
a) No es la fecha y ella ya está en Francia.
b) Si dos rectas son perpendiculares, entonces se intersectan.
c) Si x + 1 = 0, entonces x = 9.
d) Si x = 1 ó y = 2, entonces z = 3.
e) No es cierto que 1 = 0.
f ) O es y = 0 y x 6= 0 o z = 2.
g) Si x 6= 2 ó x 6= 3 entonces x = 1.
h) O x es mayor que cinco y x es menor que siete o no es igual a seis.
3. Determinar, de entre las siguientes, cuáles son proposiciones:
a)
b)
c)
d)
El gato es negro.
El gato cobarde.
1=√
0.
π + 2.
e)
f)
g)
h)
1 + 2 = 3 → 1 + 1 = 6.
¿Cómo te llamas?
Prohibido pasar.
Borra el pizarrón.
i)
j)
k)
l)
Lava el auto por favor.
A es la capital de Chile.
x + 4 = 11.
¡Hola guatón!
4. Con la siguiente asignación de significados:
1) p: necesita un doctor
4) s: está enfermo
2) q: necesita un abogado
5) u: es injuriado
3) r: tiene un accidente
expresar en español las siguientes sentencias:
a) (s → p) ∧ (r → q)
b) p → (s ∨ u)
c) (p ∧ q) → r
d) (p ∧ q) ←→ (s ∧ u)
e) ¬(s ∨ u) → ¬p
5. Verificar la validez de las siguientes sentencias:
1) (p → q) ∨ (q → p)
2) (p → ¬q) ←→ ¬(p ∧ q)
3) ¬q ∨ ¬[(p → ¬q) ∧ p]
6. Traducir las siguientes proposiciones a la forma simbólica:
a) x = 10 si y sólo si 2x = 20.
b) 3x + 2 = 11 es equivalente a x = 3.
c) Ni fumar ni beber es bueno para la salud.
d) No es cierto que, invierto mi dinero en acciones o lo pongo en una cuenta de ahorro.
e) Es suficiente que tenga un compromiso previo para que no pueda ir contigo.
7. Sean P, Q, R y S fórmulas. Si se sabe únicamente que P es verdadero, ¿qué puede afirmarse del
valor de verdad de cada una las proposiciones siguientes?
1) P ∧ Q
2) R → P
3) S → ¬P
4) S ∨ ¬P
5) ¬P → Q ∧ R
6) P → P ∨ S
8. Establecer un valor de verdad de las proposiciones p, q, r y s para que la proposición (¬p ∧ q) →
(¬r ∨ s) resulte verdadera.
9. Hallar la forma proposicional simplificada de ¬[p ∨ (q → r)].
10. Demostrar que p → q no es consecuencia lógica de las premisas {p ∨ r, ¬r ∨ q, (p ∧ q) → (q ∨ r)}.
11. Usando las leyes de la lógica probar las siguientes equivalencias:
Capítulo 1. Lógica y Conjuntos
80
a) ¬(p ∨ q) ∨ [(¬p ∧ q) ∨ ¬q] ←→ ¬(p ∧ q)
b) p ∧ [(¬q → (r ∧ r)) ∨ ¬(q ∨ ((r ∧ s) ∨ (r ∧ ¬s)))] ←→ p
12. Determinar si las proposiciones siguientes son tautología, contradicción o contingencia.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
[p → (q ∧ ¬p)] ∨ (¬q ∨ p)
p → (p ∧ q)
¬(s ∨ q) ∨ ¬q
(p ∨ q) → p
(p → q) → (¬q → ¬p)
(p → q) → (q → p)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
[p ∧ (q → p)] → p
p ∨ (q → ¬p)
(p ∨ q) ∧ (¬p ∨ q)
[p ∧ q) → r] ←→ [(p → r) ∨ (q → r)]
[p ∧ (q ∧ r)] → [p → (q ∧ r)]
(p ←→ q) ←→ [(p ∨ q) ←→ (p ∧ q)]
13. Simplificar las proposiciones:
a) [(p → q) → [p → (q ∧ p)]] → p ∧ q
b) [(q ∨ (p ∧ q) ∧ q] → (q ∨ r)
14. Si p es una proposición falsa determinar el valor de verdad de
[(p → q) ∨ [r → (p ∧ p)]] → (r ∧ p ∧ q)
15. Sean P, Q y R fórmulas, entonces:
a) Si R ∨ P → P ∧ Q es falsa y P es falsa, ¿qué se puede afirmar de R y de Q?
b) Si P → P ∧ Q es verdadera y P es falsa, ¿qué puede afirmarse de Q?
16. Determinar cuáles de las siguientes proposiciones son tautologías:
a) p ∧ (¬p ∨ q)
b) p ∨ (¬p ∨ r)
c) (p → q) → (¬q → p)
d) ¬p ∧ ¬(p → q)
17. Sea A contradicción o absurdo y T una tautología. Indicar cuáles de las siguientes es una
tautología:
a) (p ←→ ¬p) ←→ T
b) (A ∧ T ) ←→ T
c) T → (p → p)
d) (A ∨ T ) ←→ T
e) T → (T → A)
f ) (¬¬p ←→ p) ←→ A
18. Simbolizar los siguientes enunciados:
a) No hace frio pero llueve.
b) O se protege la flora y la fauna, o se quiebra el equilibrio ecológico.
c) La deserción escolar disminuye si y sólo sí se mejoran las condiciones de la población y se
moderniza la educación.
d) Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en dicho punto.
e) Si una figura plana es un cuadrado, entonces es un rectángulo.
f ) Si una matriz cuadrada tiene inversa, entonces su determinante es distinto de cero.
g) Una relación es de equivalencia si y sólo si es reflexiva, simétrica y transitiva.
h) Si la humedad es alta, llueve esta tarde o esta noche.
i) El cáncer no se cura a menos que se determine su causa y se encuentre un nuevo remedio.
j) Se requiere valor y preparación para escalar el cerro.
19. Determinar la validez de la proposición “Si hoy es 30 de febrero, entonces entre 5 y 15 existen
números primos”.
20. Determinar la validez de la proposición “Si entre 5 y 15 existen números primos, entonces entre
13 y 15 hay números primos”.
1.9 Problemas Propuestos
81
21. Simbolizar el siguiente razonamiento y determinar si la conclusión dada es consecuencia de las
premisas:
a) Si la concertación gana las elecciones, tendrá mayoría en el congreso.
Sí tiene mayoría en el congreso, el presidente cumple el programa de gobierno.
O el presidente cumple el programa de gobierno o la oposición sale a la calle.
Pero la oposición no sale a la calle. En consecuencia, la concertación no gana las elecciones.
b) Si trabajo o ahorro, compraré una casa. Si compro una casa, podré guardar el auto. Luego,
si no puedo guardar el auto, entonces no ahorro.
c) Sólo los pájaros o los aviones son capaces de volar. Las personas que viajan en avión son
capaces de volar. Antonio es una persona que viaja en avión, pero no es un avión. Luego
Antonio es un pájaro.
22. Tres personas, A, B y C, dicen que:
A: Yo tengo 22 años, y dos menos que B y uno más que C.
B: No soy el más joven, C y yo tenemos tres años de diferencia. C tiene 25 años.
C: Yo soy más joven que A. A tiene 23 años. B tiene tres años más que A.
Determinar la edad de cada una de las personas sabiendo que únicamente una de las afirmaciones
que hace cada persona es falsa.
23. Se da la siguiente proposición: “Si una persona vive en Temuco, entonces vive en la IX región”.
a) Determinar a qué tipo de proposición corresponde.
b) Escribir, en palabras y en símbolos su contra-recíproca.
c) Escribir, en palabras y en símbolos la negación de la proposición original.
d) Determinar si la proposición dada y su recíproca son lógicamente equivalentes.
e) Escribir la cuantificación universal de la proposición dada y su negación.
24. Escribir en lenguaje simbólico la proposición “Todos los alumnos de álgebra son estudiosos”,
negarla y traducir la negación al lenguaje ordinario.
25. Verificar la validez de los siguientes razonamientos (|= separa premisas de conclusión):
a) P ∧ Q → R, Q → P, Q |= R
b) (P → Q), Q → R, P |= Q ∧ R
c) P ∨ (Q ∧ R) |= P ∨ Q
d) A ∧ B → ¬C, D → C, B |= D → ¬A
e) (p ∧ q) → r, r → s, q ∧ ¬s,|= ¬p
f ) r → s, p ∨ q, ¬(¬p → s), ¬p → q,|= q ∧ ¬r
g) (r → q) ∧ r, s → t, r → s,|= q ∨ t
26. Dados los siguientes argumentos lógicos, obtener la conclusión indicada utilizando, sólo en uno
de ellos, demostración indirecta.
Demostrar que x < 5
Demostrar que x = 4
1) x = y → y 6= 5
2) x < y ∨ x = y
3) x < y ∧ y = 5 → x < 5
4) y = 5
5)
6)
1) x = 5 ∨ x < y
2) x > 3 ∨ z < 2 → z < x ∨ y = 1
3) x < y → z < 2
4) x = 5 → x > 3
5) z < x → x = 4
6) y = 1 → ¬(x > 3 ∨ z < 2)
27. Determinar si los razonamientos siguientes son verdaderos o falsos:
Capítulo 1. Lógica y Conjuntos
82
a) [¬(P ∨ ¬Q) → P] =⇒ ¬R
b) [(P → Q) ∧ (¬R → ¬Q)] =⇒ (¬R → ¬P)
28. Determinar si son equivalentes ¬(p ←→ q) y (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬p)
29. Demostrar usando el método que se indica:
a) a2 par =⇒ a par.
(contra-recíproca)
2
b) Si x es impar, entonces x es impar.
(contra-recíproca)
c) Si x e y son pares, entonces x + y es par.
(Directa)
d) Si x e y son enteros positivos y x · y es un número impar, entonces x e y son impares.
30. Verificar la validez de la conclusión, utilizando el método indirecto.
31. De las siguientes frase, indicar una expresión equivalente a (∀x)(Ax → ¬Bx).
1) Algún A no es B
2) Algún A es B.
3) Todo A es B.
4) Ningún A es B.
32. Si “es karateca” se representa por Kx, y “come pan“ por Px, formalizar la expresión “algún
karateca come pan”
33. Demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia:
Todos los japoneses comen pescado
Algunos yudocas son japoneses
Algunos yudocas comen pescado
34. Examinar mediante diagramas de Euler la validez del siguiente razonamiento. Diga si es verdadero o falso y justifíquelo correctamente:
Todos los estudiantes son atractivos
Todas las chicas son atractivas
Todos los estudiantes son chicas
35. Formalizar la frase “Todos los ingenieros son mujeriegos y estudiosos, si I(x) significa que x es
ingeniero, M(x) que x es mujeriego y E(x) que x es estudioso.
36. Formalizar la frase “Existen ingenieros aburridos y flojos”, considerando que I(x) representa x
es ingeniero, A(x) que x es aburrido, y F(x) que x es flojo.
Ejercicios de Conjuntos
1. Sean R = {x ∈ N/ x ≤ 20}, A = {1, 2, 3}, B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, C = {2, 4, 6, 9, 11}. Determinar
cardinalidad de:
1.9 Problemas Propuestos
a) A ∪ B
e) P(A ∪ B)
83
b) A ∩ B
f) P((A ∩ B) ∪C)
c) P(A)
g) (A − P(C)) ∩ B
d) P(Bc )
h) A ∩ P((A ∩ B)c )
2. Determinar P(E) y P(P(E)) para un conjunto E de dos elementos.
3. Determinar P(E), P(P(E)) y P(P(P(E))) para un conjunto E de un elemento.
4. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, B = {2, 4, 6, 8}C = {1, 3, 5, 7, 9}, D = {3, 4, 5}, E = {3, 5}. Indicar, en cada caso, cuáles de estos conjuntos puede ser X, si X satisface una de las siguientes
condiciones:
1) X y B son disjuntos
2) X ⊂ A y X 6⊂ C
3) X ⊂ D y X 6⊂ B
4) X ⊂ C y X 6⊂ A
5. En los siguientes conjuntos la variable pertenece al conjunto N de los números naturales. Hallar
el valor de la variable en cada caso.
1) {x/ x2 ≤ 3}
4) {y/ y + 5 = 2y − 7}
2) {t/ 2t + 1 > 5, t impar}
1
5) {x/ ≥ 1}
x
3) {v/ v + 4v = 20}
6f) {x/ x2 − 4 = 0}
6. Con un ejemplo probar que P(A ∪ B) 6⊂ P(A) ∪ P(B)
7. Demostrar las siguientes proposiciones:
a) A ⊂ B =⇒ P(A) ⊂ P(B)
(c) P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B)
b) P(A) ∪ P(B) ⊂ P(A ∪ B)
8. Establecer cuales de los hechos siguientes son verdaderos y cuales son falsos. Justificar.
a) A ∈ P(A)
b) a ⊂ P(A)
c) {A} ∈ P(A)
d) {A} ⊂ P(A)
9. Demostrar usando elementos las siguientes afirmaciones:
a) C ⊂ B =⇒ (A − B) ∩C = 0/
b) B ⊂ A =⇒ A − (A − B) = B
c) A − B = 0/ ⇐⇒ A ⊂ B
d) A ∩ (B −C) = (A ∩ B) −C
e) A ∩ B = 0/ ∧ (C ⊂ A ∧ B ⊂ D) =⇒ C ∩ D = 0/
10. Hacer un diagrama de Venn-Euler que represente cada una de las situaciones siguientes:
a) (A − B) ∪ (B − A) = (A ∪ B) − (A ∩ B)
b) A ∩ B = A − (A − B)
c) A ∪ B = B ∩ A ⇐⇒ A = B
d) A ∪ B = (A − B) ∪ B
e) (A − B) ∪ B = A ⇐⇒ B ⊂ A
f) A ⊂ B ⇐⇒ Bc ⊂ Ac
g) A ⊂ B ∧ B ⊂ C ∧C ⊂ A =⇒ A = B = C
h) (A ∩ B) ∪C = A ∩ (B ∪C) ⇐⇒ C ⊂ A
i) A ∪C = B ∪C ∧ A ∩C = B ∩C =⇒ A = B
11. Determinar los elementos de los conjuntos A y B contenidos en un conjunto E = {a, b, c, d, e, f , g,
h, i}, si se sabe que Ac = { f , g, h, i}, A ∪ B = {a, b, d, e, f }, A ∩ B = {d, e}, A − B = {a}.
12. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5}. Determinar entre las siguientes, cuales proposiciones son falsas y cuales
verdaderas.
a) (∃x ∈ A)(x + 3 = 10}
b) (∀x ∈ A)(x + 3 < 10}
c) (∃x ∈ A)(x + 3 < 5}
d) (∀x ∈ A)(x + 3 ≤ 7}
13. Sea R el conjunto de los números reales, B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Hallar un contraejemplo para
las siguientes proposiciones:
1) (∀x ∈ B)(x es un número primo)
3) (∀x ∈ B)(x + 5 < 12)
5) (∀x ∈ R)(x2 > x)
2) (∀x ∈ B)(x es un número par)
4) (∀x ∈ R)(|x| 6= 0)
Capítulo 1. Lógica y Conjuntos
84
14. Escribir la negación de las siguientes proposiciones:
a) ( ∃x )( ∀y) p(x, y)
b) ( ∃x )( ∃y)( ∀z ) p(x, y, z)
d) ( ∃x )( ∃y) [ p(x) ∧ ¬q(y) ]
e) ( ∀x ) p(x) ∧ ( ∃y ) q(y)
c) ( ∀x )( ∀y) p(x, y)
f) ( ∀x ) p(x) ∨ ( ∃y ) q(y)
15. En cierta carrera universitaria, 40 alumnos inscribieron Matemática, 40 Quimica, 70 Inglés, 20
Matemática e Inglés, 15 Matemática, Inglés y Quimica. Si todos los alumnos de esa carrera
inscribieron al menos una de esas asignaturas. Hallar la cantidad de alumnos que tiene esa carrera.
(Los datos no son suficientes para determinar la carrera ni el nombre del Coordinador Resp.
son 115 alumnos).
16. El Departamento de Matemática realizó una encuesta a 1000 alumnos de la Facultad de Ingeniería
acerca de la calidad de las clases que realiza a carreras de esa Facultad. Las respuestas se tabulan
a continuación:
Varones mechones V1
Varones no mechones V2
Damas mechonas
D1
Damas no mechonas D2
Total
Buenas
B
100
50
190
100
Aburridas
A
460
55
105
50
Deficientes
D
40
145
5
100
Total
1000
Utilizar la tabla para hallar:
a) n(V1 ∪ A)
b) n(V2 ∪ B)
c) n(D2 ∪ D) d) n[(V1 ∪ D1 ) ∩ A])
e) n[(V2 ∪ D2 ) ∪ D]0
Resp: 410, 640, 440, 165, 455
17. Una carrera universitaria tiene 420 alumnos, de los cuales se sabe que 300 cursan Matemática,
200 Contabilidad y 150 Economía. Si 140 cursan Matemática y Economía, 90 Matemática y
Contabilidad y 50 Economía y Contabilidad. Hallar la cantidad de alumnos que están cursando
las tres asignaturas.
2. Relaciones - Estructuras y Complejos
2.1
Introducción
El trabajo realizado hasta aquí, ha consistido principalmente en entregar las herramientas básicas que
hacen posible el “comunicar información”, la que se realiza mediante la afirmación o negación de
proposiciones (Lógica), y el lenguaje por medio del cual esta información es transmitida (Lenguaje
conjuntista). Introducimos ahora una nueva operatoria de conjuntos (relación), ella nos conducirá al
concepto básico en el estudio del cálculo, el de función.
Recordemos dos ideas básicas ya desarrolladas:
Definición 2.1.1 Dados dos elementos a ∈ A, b ∈ B se llama par ordenado al elemento (a, b), en
donde a se llama primera componente y b segunda componente.
Definición 2.1.2 Dados A y B, conjuntos no vacíos, se llama producto cartesiano de A y B, al
conjunto formado por todos los pares ordenados (x, y) tales que x es un elemento de A e y elemento de
B. Anotamos A × B para este nuevo conjunto, y se lee “A cruz B ”. Simbólicamente:
A × B = {(x, y)/ x ∈ A ∧ y ∈ B}
Algunas propiedades del producto cruz son:
Proposición 2.1.3 Sean A, B,C conjuntos no vacíos, entonces
1. A ⊂ B ∧ C ⊂ D =⇒ A ×C ⊂ B × D
3. A × ( B ∪ C ) = ( A × B ) ∪ ( A ×C )
2. A × B = 0/ ⇐⇒ A = 0/ ∨ B = 0/
4. A × ( B ∩ C ) = ( A × B ) ∩ ( A ×C )
Demostración.
1. Como se trata de una implicación, trabajamos con el antecedente
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
86
(x, y) ∈ A ×C =⇒x ∈ A ∧ y ∈ C =⇒ x ∈ B ∧ y ∈ D
=⇒(x, y) ∈ B × D =⇒
A ×C ⊂ B × D
2. La proposición A × B = 0/ ⇐⇒ A = 0/ ∨ B = 0,
/ es equivalente a
A × B 6= 0/ ⇐⇒ A 6= 0/ ∧ B 6= 0/
Ahora bien,
A 6= 0/ ∨ B 6= 0/ ⇐⇒ a ∈ A ∧ b ∈ B ⇐⇒ (a, b) ∈ A × B ⇐⇒ A × B 6= 0/
3. Esta es una doble implicación, la trabajamos como tal
(x, y) ∈ A × (B ∪C) ⇐⇒ x ∈ A ∧ y ∈ (B ∪C) ⇐⇒ x ∈ A ∧ (y ∈ B ∨ y ∈ C)
⇐⇒ (x ∈ A ∧ y ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ y ∈ C) ⇐⇒ (x, y) ∈ A × B ∨ (x, y) ∈ A ×C
⇐⇒ (x, y) ∈ [(A × B) ∪ (A ×C)]
4) Esta es una igualdad que equivale a doble implicación.
(x, y) ∈ A × (B ∩C) ⇐⇒ x ∈ A ∧ y ∈ (B ∩C) ⇐⇒ x ∈ A ∧ (y ∈ B ∧ y ∈ C)
⇐⇒ (x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ C) ⇐⇒ (x, y) ∈ A × B ∧ (x, y) ∈ A ×C
⇐⇒ (x, y) ∈ [(A × B) ∩ (A ×C)]
2.2
Relaciones
En nuestra vida cotidiana resulta frecuente establecer cierto tipo de relaciones con las personas, de
amistad, de parentesco, de paternidad. Hemos tenido la oportunidad de observar que, entre un elemento
y un conjunto se puede dar una “relación” de pertenencia o no pertenencia, del mismo modo, entre
conjuntos se puede dar una “relación” de inclusión. A continuación vamos a precisar en términos
matemáticos esta idea de relación.
Definición 2.2.1 Sean A y B conjuntos, se llama relación de A en B a cualquier subconjunto de A × B
Notación
1. Una relación de A en B se denota por R : A → B
2. Si el par (x, y) pertenece a la relación R, se usan; (x, y) ∈ R, o bien, x R y, o también y = R(x)
Cuando el conjunto A coincide con el B la relación recibe el nombre de binaria.
Dominio y Recorrido
Sea R ⊂ A × B una relación:
1. El Dominio de R, que se denota dom(R), es el conjunto
dom(R) = {x ∈ A/ ∃y ∈ B tal que (x, y) ∈ R}
2. El Recorrido de R, que se denota rec( f ), es el conjunto
rec(R) = {y ∈ B/ ∃x ∈ A tal que (x, y) ∈ R}
2.2 Relaciones
87
Representación de relaciones
Una relación puede tener varias representaciones; verbal, algebraica, numérica, una tabla y gráfica. Así
por ejemplo;
1. En forma verbal: un número real y es igual al cuadrado de otro número x más una unidad.
2. En forma de algebraica: y = x2 + 1
3. En forma numérica o de tabla: Este es un arreglo que puede ser en forma horizontal o vertical y
en donde en el primer renglón o primera columna, se ubican algunos valores del primer número
x, y en el segundo renglón o columna se ubican los valores del número y.
x
y
-2
5
-1
2
0
1
1
2
2
5
Definición 2.2.2 Se denomina Gráfico de una relación R, que se denota gra f (R), al conjunto
gra f (R) = { (x, y) ∈ A × B/ x R y }
4. En forma gráfica: En esta representación se localizan sobre el plano cartesiano los puntos
obtenidos en la tabla y se unen con línea continua como se muestra en la figura 2.1(a).
Figura 2.1: representación gráfica
Ejemplo 2.2.3 En R × R consideremos la relación x < y. Es claro que (2, 3) ∈ R y que (2, 2) 6∈ R. El
gráfico de esta relación lo muestra la figura 2.1(b), en la cual la parte achurada corresponde a los puntos
que satisfacen x < y.
Relaciones binarias de uso frecuente son
4. ⇐⇒ equivalente
5. ∈ pertenece
6. ⊂ subconjunto
1. = igual
2. ⊥ perpendicular
3. 6= distinto
7. || paralelo
8. ≤ menor o igual que
Ejemplo 2.2.4 Establecer dominio y rango de la relación 2x + y = 10 definida sobre el conjunto N de
los números naturales. Graficarla en el sistema cartesiano.
La relación se puede escribir como
R = {(x, y) ∈ N × N/ 2x + y = 10}
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
88
El conjunto solución de la propiedad, que se denota por SR , es el conjunto
SR = {(1, 8), (2, 6), (3, 4), (4, 2)}
su dominio dom(R) = {1, 2, 3, 4}, y su rango rang(R) = {2, 4, 6, 8}. Su representación gráfica en el
plano cartesiano contiene solamente las parejas de puntos que muestra la figura 2.2.
Figura 2.2: gráfico de R
2.2.1
Operaciones con Relaciones
Puesto que las relaciones binarias son conjuntos de pares ordenados, las nociones de unión e intersección
son posibles de realizar. Ello se basa en que, si R1 y R2 son subconjuntos de A × B, entonces R1 ∪ R2
y R1 ∩ R2 son subconjuntos de A × B. De esta forma tenemos dos nuevas relaciones: La unión de dos
relaciones y la intersección.
Sea A = B = R el conjunto de los números reales. Se consideran las relaciones, R1
definida por a = b, y la relación R2 definida por a < b. La relación R1 ∪ R2 es entonces a ≤ b. La
relación R1 ∩ R2 no es satisfecha por ningún par, luego, corresponde al conjunto vacío.
Ejemplo 2.2.5
Definición 2.2.6 Sea R relación entre los conjuntos A y B. Se llama relación recíproca entre B y A, se
anota R−1 , al conjunto
R−1 = {(y, x)/ (x, y) ∈ R}
Simbólicamente:
x R y ⇐⇒ y R−1 x
Ejemplo 2.2.7 Sean A = {1, 2, 3}, B = {a, b}, y R = {(1, a), (1, b), (2, b)} relación entre A y B. La
relación recíproca, entre los conjuntos B y A, es
R−1 = {(a, 1), (b, 1), (b, 2)}
En el conjunto de los números naturales, la relación recíproca de “menor que” es “mayor que”.
Definición 2.2.8 Sea R1 relación entre los conjuntos A y B y sea R2 relación entre los conjuntos B y C.
Se llama relación compuesta, de las relaciones R1 y R2 , a la relación que se denota R2 ◦ R1 , definida
como
R2 ◦ R1 = {(x, z) ∈ A ×C/ ∃y ∈ B/ (x, y) ∈ R1 ∧ (y, z) ∈ R2 }
La figura 2.3 ilustra la composición de dos relaciones
2.2 Relaciones
89
Figura 2.3: composición de relaciones
Ejemplo 2.2.9 Hallemos la composición de las siguientes relaciones:
R1 = {(2, 5), (3, 4), (6, 2), (3, 0), (2, 7)}
R2 = {(4, 8), (5, 3), (0, 9), (2, 2), (7, 4), (5, 10)}
Para hallar R2 ◦ R1 debemos tener presente que primero actúa R1 . Así, miramos el par (2, 5) lo que
nos dice que el 2 (del conjunto A) está relacionado con el 5 (del conjunto B), a partir de esto vemos
con quien se relaciona el 5 mediante la relación R2 . La respuesta se halla mirando R2 , y se tiene que
está en relación con el 3 y con el 10. Con esto se forman los pares (5, 3) y (5, 10). Se utiliza el mismo
procedimiento con los restantes elementos. Se obtiene:
R2 ◦ R1 = {(2, 3), (2, 10), (3, 8), (6, 2), (3, 9), (2, 4)}
Para encontrar R1 ◦ R2 se consideran los primeros elementos de R2 . Por ejemplo, para el par (4, 8) vemos
con quien se relaciona el 8 en R1 . No hay elemento con quien relacionarlo, luego, en la composición no
aparece ningún elemento que empiece con 8. Para los restantes se tiene:
R1 ◦ R2 = {(5, 4), (5, 0), (2, 5), (2, 7)}
Definición 2.2.10
Una relación R es refleja sobre un conjunto A, si todo elemento x ∈ A se encuentra en relación
consigo mismo. Esto es,
R refleja ⇐⇒ x R x, ∀x ∈ A
Una relación R es simétrica sobre un conjunto A, si de todo elemento x relacionado con y se
deduce que y está relacionado con x. Esto es
R simétrica ⇐⇒ x R y =⇒ y R x
Una relación R es antisimétrica sobre un conjunto A si de todo elemento x relacionado con y, y
de todo elemento y relacionado con x se deduce que x = y. Esto es
R antisimétrica ⇐⇒ x R y ∧ y R x =⇒ x = y
Una relación R es transitiva sobre un conjunto A si de todo elemento x relacionado con y, y de
todo elemento y relacionado con z se deduce que el elemento x está relacionado con z. Esto es
R transitiva ⇐⇒ x R y ∧ y R z =⇒ x R z
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
90
Ejemplo 2.2.11 Sea A = {1, 2, 3}. Considerar las siguientes relaciones:
R1 = {(1, 1), (3, 3)}
R2 = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 2)}
R3 = {(1, 2), (3, 3), (2, 2), (3, 1), (2, 3)}
R4 = {(1, 3)}
R5 = A × A
Se tiene:
1. R1 y R5 son simétricas.
2. R1 , R4 y R5 son transitivas.
3. La única relación refleja es R5 .
4. R5 es la única no antisimétrica.
Ejemplo 2.2.12 Sea A = N, R = {(x, y)/ x + 2y = 8}. Los elementos que están en la relación son
R = {(2, 3), (4, 2), (6, 1)}
Se observa que esta relación no es refleja pues 3 ∈ N y 3 + 3 6= 8. No es simétrica pues, (4, 2) ∈ R pero
(2, 4) 6∈ R. Es antisimétrica, ya que, por ejemplo, el par (2, 3) ∈ R (proposición verdadera), el (3, 2) ∈ R
(proposición falsa), su conjunción es una proposición falsa, y la implicación con la proposición falsa,
2 = 3, conduce a una proposición verdadera. En consecuencia, es antisimétrica. No es transitiva pues,
el (4, 3) no está en la relación.
Definición 2.2.13 Sea A un conjunto. La relación identidad en A, denotada por IA , se define como
IA = {(x, x)/ x ∈ A}
Así, a IA b si y sólo si a = b.
La siguiente proposición caracteriza las relaciones estudiadas.
Proposición 2.2.14 Sea A conjunto, R relación en A. Se considera el conjunto IA , entonces
1.
2.
3.
4.
R refleja ⇐⇒ IA ⊂ R
R simétrica ⇐⇒ R = R−1
R antisimétrica ⇐⇒ R ∩ R−1 ⊂ IA
R transitiva ⇐⇒ R ◦ R ⊂ R
Demostración
1. Suponemos que R es refleja, entonces contiene todos los pares de la forma (x, x), los que a su vez
se encuentran en el conjunto IA y viceversa. Esto prueba el hecho en ambos sentidos.
2. Suponemos que R es simétrica, entonces
(x, y) ∈ R ⇐⇒ (y, x) ∈ R ⇐⇒ (x, y) ∈ R−1
se sigue que R = R−1 .
3. Si R es antisimétrica, entonces
(x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R =⇒ x = y
Esto equivale a
(x, y) ∈ R ∧ (x, y) ∈ R−1 =⇒ x = y
De donde se obtiene
(x, x) ∈ R ∧ (x, x) ∈ R−1 =⇒ (x, x) ∈ R ∩ R−1 =⇒ R ∩ R−1 ⊂ IA
2.2 Relaciones
91
Ahora suponemos que R ∩ R−1 ⊂ IA , entonces
(x, y) ∈ R ∩ R−1 =⇒ (x, y) ∈ IA =⇒ x = y
Esto es,
(x, y) ∈ R ∧ (x, y) ∈ R−1 =⇒ x = y
Lo que a su vez equivale a
(x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R =⇒ x = y
Se sigue que R es antisimétrica.
4. Sea R transitiva, entonces
(x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R =⇒ (x, z) ∈ R
Esto es,
(x, z) ∈ R ◦ R =⇒ (x, z) ∈ R
Se sigue que R ◦ R ⊂ R. Esto prueba la afirmación en un sentido.
Para probar en la otra dirección, suponemos R ◦ R ⊂ R. Se tiene
(x, z) ∈ R ◦ R =⇒ (x, z) ∈ R
Es decir, debe existir un elemento y tal que
(x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R =⇒ (x, z) ∈ R
Ejemplo 2.2.15 Sea A = {1, 2, 3} y R la relación en A dada por R = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)}, entonces
1.
2.
3.
4.
2.2.2
R−1 = {(2, 1), (3, 1), (3, 2)}
IA = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}
R−1 ◦ R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 1)}
R ◦ R−1 = {(2, 2), (2, 3), (3, 3), (3, 2)}
5.
6.
7.
8.
R ◦ R = {(1, 3)}
R−1 ◦ R−1 = {(3, 1)}
R ◦ IA = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)}
R−1 ◦ IA = {(2, 1), (3, 1), (3, 2)}
Relaciones de Equivalencia
Las relaciones más importantes, desde el punto de vista matemático son; la de “equivalencia”, la de
orden, y la unívoca (funcional). La de orden se estudia, desde un punto de vista particular, en un primer
curso de cálculo. Aquí la veremos desde otra óptica. La unívoca se estudia más adelante.
Se puede pensar que el concepto de relación de equivalencia es una generalización del concepto de
igualdad, en el sentido de que cuando decimos que el elemento x es equivalente con el elemento y,
estamos diciendo que x es igual a y, bajo cierto aspecto, o bien que x posee una propiedad común con y.
Definición 2.2.16 Sea A conjunto y R una relación en A. Se dice que R es una relación de equivalen-
cia, si es, a la vez, refleja, simétrica y transitiva.
Para efectos de notación, el símbolo ∼ se usa para indicar la relación entre elementos de una relación
de equivalencia. Esto es, se escribe a ∼ b en lugar de a R b. Se lee a es equivalente con b. La negación
de esta proposición se anota a 6∼ b.
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
92
Tomando como base esta simbología, las propiedades de una relación de equivalencia en un conjunto A,
se escriben:
x ∼ x, ∀x ∈ A
Propiedad refleja
x ∼ y =⇒ y ∼ x
Propiedad simétrica
x ∼ y ∧ y ∼ z =⇒ x ∼ z Propiedad transitiva
Ejemplo 2.2.17
1. Si N es el conjunto de los números naturales, y la relación viene definida por x ∼ y ⇐⇒ x = y,
entonces ella es de equivalencia.
2. La relación “ser menor que” en los números enteros, no es una relación de equivalencia.
3. Si L es el conjunto de las rectas del plano, y se considera en L la relación de paralelismo. Esto
es, x ∼ y ⇐⇒ x || y, entonces ella es relación de equivalencia. En efecto,
a) ∀ L1 ∈ L =⇒ L1 || L1 refleja
b) L1 || L2 =⇒ L2 || L1 simétrica
c) L1 || L2 ∧ L2 || L3 =⇒ L1 || L3 transitiva
Ejemplo 2.2.18 La relación “dos números enteros están en relación si y sólo si su diferencia es un
número par”, que en forma simbólica es
a R b ⇐⇒ a − b es par
es una relación de equivalencia.
Para probar debemos verificar que se satisface la definición
1. Es reflexiva: Para todo número entero a R a, pues a − a = 0 es un número par.
2. Es simétrica: Dados dos números enteros, se tiene que si a R b =⇒ b R a. En efecto, si a − b es un
número par, entonces b − a también es un número par (cambia el signo).
3. Es transitiva: Si se cumple que a R b y b R c, entonces a R c. Esto también se cumple. Si a − b es
un número par y b − c es un número par entonces a − c es también un número par, puesto que se
puede escribir
a − c = a − b + b − c = (a − b) + (b − c)
y esto es un número par, por ser suma de dos números pares.
Definición 2.2.19 Sea A conjunto en el cual está definida una relación de equivalencia R. Para cada
x ∈ A se llama clase de equivalencia del elemento x, al conjunto Cx formado por todos los elementos
de A que son equivalentes con x. Simbólicamente
Cx = {y ∈ A/ y ∼ x}
Este conjunto Cx suele denominarse clase de equivalencia de x módulo R. Cada elemento de una clase
se llama representante de la clase.
Proposición 2.2.20 Sea R relación de equivalencia sobre un conjunto A. Se cumplen:
1. x ∈ Cx , ∀x ∈ A, (una clase de equivalencia nunca es vacía)
2. a ∈ Cx , ∧ b ∈ Cx =⇒ a ∼ b, (todos los elementos de una misma clase son equivalentes entre si
2.2 Relaciones
93
3. Cx = Cy ⇐⇒ x ∼ y
4. Cx 6= Cy =⇒ Cx ∩Cy = 0/
5.
[
Cx = A
x∈A
Demostración
1. Como x ∼ x, entonces x ∈ Cx .
2. Del hecho que a ∈ Cx se sigue que a ∼ x, y de b ∈ Cx que b ∼ x. De la propiedad simétrica y
transitiva, se sigue que a ∼ b.
3. Suponemos, en primer lugar, que las clases son iguales. Es decir, que Cx = Cy . Se sigue que si
x ∈ Cx , entonces x ∈ Cy . Esto implica que x ∼ y. A la inversa, si ahora suponemos que x ∼ y,
entonces debemos probar que las clases son las mismas, esto es, Cx = Cy . En efecto, sea z ∈ Cx ,
entonces z ∼ x. Como x ∼ y, entonces por transitividad z ∼ y. Esto significa que z ∈ Cy . Luego
Cx ⊂ Cy
(2.1)
Ahora bien, si z ∈ Cy , entonces z ∼ y. Por simetría, x ∼ y =⇒ y ∼ x. Se sigue que z ∼ x. De aquí
que z ∈ Cx . Esto implica que
Cy ⊂ Cx
(2.2)
En consecuencia, de (3.1) y (3.2), se concluye que Cx = Cy .
4. Sea Cx 6= Cy y supongamos que Cx ∩Cy 6= 0.
/ En estas condiciones, si a ∈ Cx ∩Cy , entonces a ∈ Cx
y a ∈ Cy . Esto significa que a ∼ x y a ∼ y. Por propiedad de simetría y transitividad se sigue que
x ∼ y. De aquí que se tenga Cx = Cy ¡¡contradicción!!
5. La primera de las propiedades asegura que ∀x ∈ A, x ∈ Cx . Esto nos conduce a afirmar que
{x} ⊂ Cx ⊂ A, ∀x ∈ A. Luego
A=
[
{x} ⊂
x∈A
[
Cx ⊂ A
(2.3)
x∈A
Como la relación de inclusión satisface la propiedad antisimétrica, entonces de la expresión (3.3)
se obtiene
[
Cx = A
x∈A
Definición 2.2.21 Se denomina partición de un conjunto S a cualquier colección de subconjuntos
{Si }i∈N de S, tales que cada elemento de S se encuentra en uno y sólo uno de los conjuntos de la
colección.
Resulta claro entonces que, toda relación de equivalencia definida sobre un conjunto determina una
partición de este conjunto, siendo los subconjuntos de esta partición las clases de equivalencia.
Recíprocamente, toda partición define una relación de equivalencia en el conjunto. Esto es, a cada
relación de equivalencia corresponde una única partición y a cada partición del conjunto corresponde
una única relación de equivalencia. Es pues equivalente, dar una relación de equivalencia en un conjunto,
o una partición del conjunto.
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
94
Definición 2.2.22 Sea A conjunto, R relación de equivalencia en A. Se llama conjunto cociente de A
por R, que se anota A/R, al conjunto de las clases de equivalencia módulo R de los elementos de A.
Esto es,
A/R = {Cx / x ∈ A}
Es común asociarle al conjunto cociente, un conjunto S, llamado sistema de representantes del
conjunto A, que está formado por los elementos de A, de forma que en S exista un elemento y sólo uno
de cada clase módulo R. Esto significa que siempre se tiene S ⊂ A.
Ejemplo 2.2.23 Si A = {a, b, c}, R = {(a, a), (b, b), (c, c), (b, c), (c, b)}, entonces esta relación es de
equivalencia en A. Además, sus clases de equivalencia y conjunto cociente son
Ca = {a}, Cb = {b, c}, Cc = {c, b} = Cb , A/R = {{a}, {b, c}}
Un sistema de representantes es S = {a, b}
Ejemplo 2.2.24 Si A = {1, 2, 3, 4, 5}, entonces R = {(2, 2), (2, 5), (3, 3), (3, 4), (4, 3), (4, 4), (5, 2), (5, 5)}
no es relación de equivalencia, y en consecuencia, no hay clases, conjunto cociente, ni representantes.
Si se agrega el par (1, 1) la relación es de equivalencia. En este caso, las clase y el conjunto cociente
serían:
C1 = {1}, C2 = {2, 5} = C5 , C3 = {3, 4} = C4 , A/R = {{1}, {2, 5}, {3, 4}}
Un conjunto de representantes es S = {1, 2, 3}
Ejemplo 2.2.25 Sobre el conjunto Z de los números enteros, se define la relación de equivalencia R
como a R b = a2 + a = b2 + b. Las clases de equivalencia son
C0 = {0, −1} = C−1 , C1 = {1, −2}, C2 = {2, −3}, · · ·Cn = {n, −(n + 1)}
Para hallar estas clases, por ejemplo la del 2, se reemplaza a = 2 en la relación y se encuentra el valor
b = −3. Esto es,
2 R b = 22 + 2 = b2 + b =⇒ b2 + b − 6 = 0 =⇒ b = 2 ∨ b = −3
Esto significa que en la clase del 2 se hallan el 2, “por derecho propio”, y el -3.
2.2.3
Congruencia Módulo n
Un problema sencillo es averiguar que “restos” se producen al dividir cualquier entero por otro entero
“fijo”. Por ejemplo, al dividir cualquier entero por 3 se obtienen restos 0 para {0, ±3, ±6, ±9, · · · },
restos 1 para {1, ±4, ±7, ±10, · · · }, restos 2 para {2, ±5, ±8, ±11, · · · }. Esto da origen al conjunto
llamado de las clases residuales.
Otra forma de ejemplificar la situación, es considerar que un reloj marca las horas hasta las 12 y luego
vuelve a empezar, marcando a las 13 horas la 1, a las 14 las 2, y así sucesivamente. Esto se indica
diciendo que la 1 (hora) y las 13 (horas) son equivalente módulo 12, que las 2 y las 14 también lo son,
etc. Esto es acorde con el problema de dividir y ver los restos, pues al dividir 13 por 12 el resto es 1, al
dividir 14 por 12 el resto es 2, etc. Formalicemos esto.
Definición 2.2.26 Sean a, b ∈ Z, n ∈ N. Se dice que a es congruente con b, “módulo n”, si y sólo si
existe un entero q ∈ Z tal que a − b = n · q. Se anota a ∼
= b (mod n). Esto es
a∼
= b (mod n) ⇐⇒ ∃ q ∈ Z, tal que a − b = n · q
2.2 Relaciones
95
Si nZ indica al conjunto de todos los múltiplos enteros de n. Es decir, nZ = {0, ±n, ±2n, ±3n · · · },
podemos definir congruencia como
a∼
= b (mod n) ⇐⇒ (a − b) ∈ nZ
Proposición 2.2.27 La “congruencia módulo n” es relación de equivalencia
Demostración
1. Es refleja, a ∼
= a (mod n), ya que a − a = n · 0
2.
Es simétrica pues
a∼
= b (mod n) =⇒ a − b = n · q =⇒ b − a = n · (−q),
∼ a (mod n)
=⇒ b =
3.
−q ∈ Z
Es transitiva ya que de a ∼
= b (mod n) y b ∼
= c (mod n), se tiene
a − b = n · q1
y
b − c = n · q2 ,
q1 , q2 ∈ Z
De aquí que a − c = n · (q1 + q2 ). Como q1 y q2 son enteros, entonces a − c = n · q, de donde se
sigue que a ∼
= c (mod n).
Hemos probado así, que la “congruencia módulo n” es una relación de equivalencia. De esta forma, la
relación de congruencia respecto de un n fijo determina una partición de Z en clases de equivalencia.
El conjunto cociente Zn recibe el nombre de conjunto de las clases residuales módulo n. Anotamos
Zn = {0, 1, 2, 3, · · · n − 1}
Ahora bien, la adición y la multiplicación en Z inducen sobre este conjunto cociente Zn , una adición y
una multiplicación, definidas por las reglas
a + b = a + b,
a · b = ab
donde a + b y a · b se reducen a su menor resto positivo módulo n.
Ejemplo 2.2.28 La relación de congruencia módulo 5 determina, en Z, cinco clases de equivalencia
C0 = {· · · , −10, −5, 0, 5, 10, 15, · · · } = {x/ x = 5k, k ∈ Z}
C1 =
{· · · , −9, −4, 1, 6, 11, 16, · · · }
= {x/ x = 5k + 1, k ∈ Z}
C2 =
{· · · , −8, −3, 2, 7, 12, 17, · · · }
= {x/ x = 5k + 2, k ∈ Z}
C3 =
{· · · , −7, −2, 3, 8, 13, 18, · · · }
= {x/ x = 5k + 3, k ∈ Z}
C4 =
{· · · , −6, −1, 4, 9, 14, 19, · · · }
= {x/ x = 5k + 4, k ∈ Z}
De acuerdo a la notación, 0 = C0 , 1 = C1 , etc. Las tablas siguientes muestran la adición y multiplicación
de las clases.
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
96
+
0
1
2
3
4
·
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
0
0
0
0
0
0
1
1
2
3
4
0
1
0
1
2
3
4
2
2
3
4
0
1
2
0
2
4
1
3
3
3
4
0
1
2
3
0
3
1
4
2
4
4
0
1
2
3
4
0
4
3
2
1
Al estudiar estructuras algebraicas se tienen propiedades adicionales de estas operaciones.
2.3
Relaciones de orden
Es probable, respecto del orden, saber que el conjunto de los números reales es ordenado, y que las
relaciones x ≤ y y x ≥ y son las que establecen dicho orden. La palabra orden ha sido escuchada muchas
veces, por ejemplo orden en la sala, ordenar la pieza, ordenarse por apellido, etc. Vamos a darle
significado matemático a esta idea de orden utilizando las relaciones.
Definición 2.3.1 La relación R en el conjunto A se llama de orden, si:
1. Es refleja, x R x, ∀x ∈ A
2. Es antisimétrica, x R y ∧ y R x =⇒ x = y
3. Es transitiva, x R y ∧ y R z =⇒ x R z
4. Es completa,
∀x ∈ A, x R y ∧ y R x
El par (A, R) se llama conjunto ordenado. Por analogía con los números reales, una relación de orden
se simboliza “≤”. Se lee es anterior a, o bien es inferior a.
Definición 2.3.2 Sean a, b ∈ A. Los elementos a y b son comparables si a ≤ b o bien a ≥ b. En caso
contrario, a y b se dicen no comparables.
La relación “divide” en los números enteros tiene elementos comparables y no comparables. Por
ejemplo, 2 no es comparable con 5, pues 2 no divide al 5 ni 5 divide al 2. Sin embargo, 2 es comparable
con el 4, ya que lo divide.
Definición 2.3.3 Sea A conjunto. Para el par (A, ≤) tenemos:
1.
2.
3.
4.
Es preordenado si la relación ≤ es transitiva y refleja
Es parcialmente ordenado si la relación ≤ es transitiva, refleja y antisimétrica
Es pre-ordenado completamente si la relación ≤ es transitiva, refleja y completa
Es totalmente ordenado si la relación ≤ es transitiva, refleja, antisimétrica y completa
Ejemplo 2.3.4 Sobre el conjunto potencia de un conjunto A, que se denota P(A), se define la relación
X ⊂ Y . Entonces esta relación es de orden parcial. En efecto
1.
X ⊂ X, ∀X ∈ P(A)
2.
X ⊂ Y ∧ Y ⊂ X =⇒ X = Y
3. X ⊂ Y ∧ Y ⊂ Z =⇒ X ⊂ Z
No es completa pues dados dos conjuntos cualesquiera, puede que no sean comparables.
2.3 Relaciones de orden
97
Ejemplo 2.3.5 Sobre el conjunto N de los números naturales la relación “x divide a y”, que se simboliza
x | y, es una relación de orden parcial. En efecto
1.
x | x, ∀x ∈ N
2.
x | y ∧ y | x =⇒ x = y. Veamos esto. x | y =⇒ y = k1 · x, y | x =⇒ x = k2 · y, con los escalares
k1 , k2 ∈ N. Al reemplazar el valor de x en la primera igualdad se tiene, y = k1 k2 y. De lo cual
k1 · k2 = 1. Como k1 y k2 son naturales, entonces k1 = k2 = 1. En consecuencia x = y como se
aseguró.
3.
x | y ∧ y | z =⇒ x | z. Para probar esto (transitividad), tenemos que, x | y =⇒ y = k1 · x,
y | z =⇒ z = k2 · y, con k1 , k2 ∈ N. De esto se sigue que z = k1 k2 y. Como el producto de dos
naturales es otro número natural, entonces k1 · k2 = k3 . De aquí que z = k3 x implica x | z. Luego
la relación es transitiva. Por lo tanto, la relación x | y es una relación de orden.
El orden no es total pues dados dos naturales cualesquiera, por ejemplo 2 y 3, ninguno de ellos divide
al otro
Ejemplo 2.3.6
1. El conjunto R de los números reales es totalmente ordenado con respecto a las relaciones menor
o igual que y mayor o igual que.
2. Si A = {a}, entonces el conjunto P(A) es totalmente ordenado por la relación subconjunto.
3. La relación x divide a y es de orden parcial en el conjunto de los números naturales N, pero de
pre-orden en el conjunto de los números enteros, ya que, por ejemplo, 5 divide a -5 y -5 divide a
5, pero 5 6= −5.
Diagramas de Hasse
Sabemos que podemos representar una relación en el sistema cartesiano. No obstante, cuando existe
un número finito de elementos en la relación la representación se puede hacer por el llamado grafo,
o diagrama de Hasse (Helmut Hasse, 1898-1979), que consiste en poner en una parte del plano los
elementos que estén en relación, unidos mediante una flecha dirigida. Este diagrama consta de nodos y
aristas.
Si la relación R en A es de orden, sabemos que ella es reflexiva, antisimétrica y transitiva. se forma el
grafo con los elementos de A (estos son los nodos), y las aristas son las conexiones entre los nodos
relacionados (grafo dirigido). La primera condición establece que si dos elementos están relacionados,
por ejemplo, (a, b) ∈ R, entonces se dibuja b a un nivel superior de a.
Definición 2.3.7 Sea A conjunto ordenado por la relación “<”. Los elementos a y b de A se dicen
consecutivos si:
a<b
a < x < b =⇒ a = x ∨ b = x
Ejemplo 2.3.8 Si A = {a, b, c}, R = {(a, b), (b, c)}, entonces un grafo para esta relación lo muestra la
figura 2.4a.
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
98
Figura 2.4
Ejemplo 2.3.9 En el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} la relación x divide a y, tiene un grafo
que muestra la figura 2.4b.
En este grafo se observa que la relación no es de orden total, ya que hay elementos que no están
relacionados, por ejemplo, el 5 y el 7.
En un diagrama de Hasse, los distintos tipos de orden se ven como muestra la figura 2.5
Figura 2.5: gráfico de orden
Elementos característicos
En todo conjunto ordenado se registra la presencia de ciertos elementos que se denominan notables.
Ellos son:
primer elemento, último elemento, elemento maximal, elemento minimal, cotas.
Los grafos jugarán un importante rol para visualizar rapidamente estos elementos.
Definición 2.3.10 Sea A conjunto ordenado:
1. El elemento a ∈ A se dice primer elemento de A si es anterior a todos los elementos x de A.
a primer elemento de A ⇐⇒ a ≤ x, ∀x ∈ A
2. El elemento b ∈ A se dice último elemento de A si es posterior a todos los elementos x de A.
b último elemento de A ⇐⇒ x ≤ b, ∀x ∈ A
2.3 Relaciones de orden
99
3. El elemento M es maximal si no existe en A ningún elemento posterior a M. Esto significa que
M maximal ⇐⇒ M ≤ x =⇒ M = x
4. El elemento m es minimal si no existe en A ningún elemento anterior a m. Esto significa que
m minimal ⇐⇒ x ≤ m =⇒ m = x
Ejemplo 2.3.11 Sea A = {a, b, c, d, e, f , g} ordenado por el diagrama.
El elemento a es último elemento de A
pues es posterior a todo elemento de A.
El conjunto A no tiene primer elemento
ya que, por ejemplo si se piensa en e,
éste no es anterior a ni a d ni a f . Los
elementos d, e, f son elementos minimales, pues ningún elemento de A es
anterior a ellos. El elemento a es maximal.
Figura 2.6
Definición 2.3.12 Sea B subconjunto del conjunto parcialmente ordenado A.
1. Un elemento m ∈ A se dice cota inferior o minorante de B, si para todo x ∈ B, m ≤ x. El
posterior o superior de todos los minorantes de B se llama ínfimo de B. Este elemento es único.
2. Un elemento M ∈ A se dice cota superior o mayorante de B, si para todo x ∈ B, x ≤ M. El
anterior o inferior de todos los mayorantes de B se llama supremo de B. Este elemento es único
Ejemplo 2.3.13
1. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 24} conjunto ordenado por la relación "divide a". Se considera el
subconjunto S = {2, 4, 6} de A, entonces son cotas inferiores o minorantes el 1 y el 2, ya que son
divisores de cada elemento de S y son anteriores a todo elemento de S. Son cotas superiores, el
12 y el 24 ya que, de acuerdo con la relación divide a, todo elemento de S divide al 12 y al 24, y
estos son posteriores a todo otro elemento de S. El ínfimo de S es el 2. El 24 es maximal. El 2 es
primer elemento de B y el 24 último elemento de B. Además, 4 y 6 no son comparables.
2. Sea A = R conjunto ordenado por la relación menor o igual que, y sea S = (0, 1) subconjunto
de A. Entonces, todo número real menor o igual que el cero es cota inferior y, todo número real
mayor o igual que el uno es cota superior. Además, el cero es el ínfimo del conjunto S, y el uno
es el supremo. Como estos elementos no pertenecen al conjunto S, no hay máximo ni mínimo.
3. Sea A = {x ∈ Q/ 1 ≤ x ≤ 5}, entonces el elemento mínimo es 1 y el máximo 5.
4. Sea A = {x ∈ Q/ 1 < x < 5}, entonces no existe elemento mínimo ni máximo.
Ejemplo 2.3.14
Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} ordenado por el diagrama de la figura 2.7.
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
100
Los elementos 4 y 5 son minimales. El elemento maximal es el
1. No existe primer elemento, ya
que 4 y 5 no son comparables. El
1 es el último elemento.
Figura 2.7
2.4
Función
Estudiamos ahora una clase particular de relación llamada función. En primer lugar, veremos todo
desde el punto de vista del Algebra. Luego, en un capítulo posterior nos dedicamos al estudio de las
funciones reales y sus propiedades más relevantes, que por lo general, se estudian en los cursos de
Cálculo.
Definición 2.4.1 Una relación R en A × B se dice unívoca, funcional o función, cuando a cada x ∈ A
se le hace corresponder una y sólo una y ∈ B, de modo que x R y. Simbólicamente,
R es función ⇐⇒ (∀ x ∈ A ) ( ∃ ! y ∈ B ) x R y
Los conjuntos A y B no son necesariamente conjuntos numéricos, sin embargo, muchos ejemplos se
darán en el contexto de los números reales pues allí pueden ser comprendidos con mayor facilidad. Los
primeros elementos de la relación de denominan valores del argumento y los segundos elementos
valores de la función.
Sea R una función cualquiera y sea x un valor arbitrario del argumento. El único valor y de la función
se indica como R(x). De acuerdo con esto se sustituye x R y por y = R(x).
Es un convenio, universal de los matemáticos, emplear R sólo en relaciones, y cuando se trata de
relaciones funcionales, usar letras tales como, f , g, h. La más común es la f . No seremos una
excepción. Reformulamos el concepto de función desde ese punto de vista.
Definición 2.4.2 La relación f en A × B se llama función de A en B si y sólo si:
1. condición de existencia: ( ∀ x ∈ A ) ( ∃ y ∈ B ) (x, y) ∈ f
2. condición de unicidad: (x, y) ∈ f ∧ (x, z) ∈ f =⇒ y = z
La primera condición expresa que todo elemento de A tiene una imagen en B. (existencia). La segunda
condición señala que un elemento x ∈ A tiene sólo una imagen en B (unicidad).
1. Una función se simboliza:
f : A → B, x 7→ y = f (x)
Esta notación pone en evidencia donde actúa la función, desde el conjunto A llamado dominio,
que se denota dom f , al conjunto B llamado codominio de la función, que se denota por codom f .
Además, indica que al elemento x ∈ A le corresponde según f el elemento y ∈ B.
2. La expresión f (x) se lee “ f de x” y denota la imagen que, mediante la función, le corresponde al
elemento x.
3. El elemento x ∈ A se llama argumento de f , o variable independiente.
2.4 Función
101
4. El conjunto f (A) = { f (x)/ x ∈ A} se llama rango, recorrido, o dominio de imágenes de f . Sea
anota rang f o rec f .
5. La función f : R → R, que asocia a cada real x un único número real y, se denomina función
real de variable real.
6. Se llama gráfico de f , al conjunto Gr( f ) = {(x, f (x))/ x ∈ A}
Se tiene así, que una función queda bien especificada si se da su dominio A, el codominio B y la relación
f ⊂ A×B
Definición 2.4.3 Dos funciones f y g son iguales si y sólo si tienen el mismo dominio y además,
f (x) = g(x), ∀ x ∈ A
Como sinónimos de función se emplean los términos: aplicación, transformación, operador, correspondencia.
Ejemplo 2.4.4 Sean A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3} y la relación
R = {(1, 2), (2, 2), (3, 3), (4, 1)}
Se observa que cada elemento de A tiene imagen en B. Esto significa que se cumple la condición de
existencia. Además, cada uno de estos elementos tiene una sola imagen. Es así como se satisface la
condición de unicidad. En consecuencia, esta relación es una función. El rango de esta función es el
conjunto B. En este caso rango coincide con codominio.
Ejemplo 2.4.5 Sean A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6, 7} y la relación
R = {(1, 4), (2, 4), (3, 4)}
Se cumple la condición de existencia, todo elemento tiene su imagen, y la condición de unicidad, cada
elemento tiene una única imagen, en este caso el 1 como el 2 y el 3 tienen por imagen a 4. El rango
de esta función es f (A) = {4}. Se observa que el rango es subconjunto propio del codominio, esto es,
f (A) ⊂ B.
2.4.1
Cálculo de imágenes
Las siguientes actividades te ayudarán a descubrir como obtener las imágenes que produce una función.
Actividad 50
1. Se define g de A en B (figura 2.8a) como g(1) = 4, g(2) = 7 y g(3) = 5. Determina si es o no
función. Justifica.
Figura 2.8
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
102
2. Se define h de A en B (figura 2.8b) como h(1) = 5, h(2) = 8, h(3) = 7, h(4) = 6 y h(1) = 4.
Determina si es o no función. Justifica.
3. Sean A = {1, 2, 3, 4}. Anota las imagenes que corresponden a los elementos 5, 11 y 100 en la
figura 2.8c.
Actividad 51 Sea h : R → R, tal que h(x) = x2 − 6x + 7. Completa la tabla con h(1), h(−2), h(0),
h(a), h(∆), h(x + a), h()
x
h(x)
2.4.2
1
−2
0
a
∆
x+a
Cálculo de la preimagen
Para calcular la preimagen de una función, conociendo la imagen y el criterio que establece la función,
se iguala el criterio con la imagen que se tiene. Despejando la incógnita de la ecuación que se forma se
determina el valor de la variable.
Ejemplo 2.4.6 Si tenemos f (x) = x2 − 6 ¿Cuál es la preimagen de −5?
Dado que nos preguntan por la preimagen esto significa que −5 es una imagen de algún x, es decir,
f (x) = −5 para algún x. Se tiene que:
−5 = x2 − 6 =⇒ −5 + 6 = x2 =⇒ x2 = 1 =⇒ x = ±1
Se tiene así que las preimágenes de −5 son −1 y 1. Para este caso recordemos que en una función una
imagen debe tener al menos una preimagen, aunque puede tener más de una.
Actividad 52 Si tenemos f (x) = 3x + 5 ¿Cuál es la preimagen de 11?
Actividad 53 Un carpintero gasta $350 por cada silla que haga más un monto fijo de $2000 por día
¿cuánto gastará si hace 2 sillas por día? ¿Cuánto gastará si hace 4, 6 u 8 sillas por día?
Supones que x representa cada silla y f (x) el costo de fabricarla.
1. Anota la función que gobierna la situación.
2. Anota el costo para fabricar 2 sillas.
3. f (4) = ¿qué significado tiene esto?
4. Halla f (6) y f (8)
5. Halla dom( f ) y rec( f )
Resp. f (x) = 350x + 2000
Actividad 54 Los problemas siguientes son para ejercitar imagen y preimagen:
1. Para elaborar empanadas una señora gasta $30 por cada empanada que hace, más $750 por día
en gastos fijos.
a) Si x representa empanadas, escribe la función f que representa el costo.
b) ¿Cuánto gastará elaborando 25 empanadas?
c) ¿Cuánto gastará elaborando 50 empanadas?
2. En una fábrica gastan $ 1275 por cada par de zapatos elaborado y tiene un gasto de $ 13500 por
día. ¿Cuanto gastan en la elaboración de 350 pares de zapatos?. Resp. En este caso el criterio de
la función de costo es C(x) = 1275x + 13500. La pregunta sería ¿cuál es la imagen de 350?
3. Un carpintero gasta $1000 en materiales por cada silla elaborada más un gasto fijo de $ 2300 por
día ¿Cuánto gastará elaborando 56 sillas en un día?
2.4 Función
103
4. Un viejo ferry que transporta personas de un lado al otro del canal de Chacao gasta $ 25 por
persona que transporte y un litro de aceite por día. El aceite cuesta $ 1384 el litro. ¿Cuánto gastó
el dueño del ferry hoy, si transportó 500 personas?
Imagen de una parte
Sea f : A → B función, A1 subconjunto de A. El conjunto de imágenes de A1 por f , que se anota
f (A1 ) es un subconjunto de B. Es decir, f (A1 ) ⊂ B. Si A2 es otro subconjunto de A, entonces también
f (A2 ) ⊂ B. Como ya sabemos realizar algunas operaciones con conjuntos, si esta vez le agregamos el
concepto de función, resultan interrogantes interesantes para responder. ¿Será cierto que?
f (A1 ∪ A2 ) = f (A1 ) ∪ f (A2 ),
f (A1 ∩ A2 ) = f (A1 ) ∩ f (A2 )
Veamos como responder a este par de preguntas.
Ejemplo 2.4.7 Sea A = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}. Se considera la aplicación
f : A → f (A),
x 7→ x2 − 1
Si A1 = {−3, 1, 2, 5}, A2 = {−2, −1, 0, 2}. Se tiene:
1) A1 ∪ A2 = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 5}
2) f (A1 ) = {8, 0, 3, 24}
3) f (A1 ) ∪ f (A2 ) = {8, 0, 3, −1, 24}
4) f (A2 ) = {3, 0, −1}
5) f (A1 ∪ A2 ) = {8, 0, 3, −1, 24}
6) f (A1 ∩ A2 ) = {3}
7) f (A1 ) ∩ f (A2 ) = {0, 3}
8) A1 ∩ A2 = {2}
Hemos descubierto que con la intersección no hay necesariamente igualdad. Al parecer la unión tendría
un comportamiento hacia la igualdad, pero ello no se prueba con un sólo ejemplo.
Cuando se tiene una aplicación f : A → B y H ⊂ A, entonces la aplicación f : H → B se denomina
restricción de f a H. Cuando A = B, f define una aplicación del conjunto A en sí mismo (o sobre). En
particular, la aplicación que a todo x ∈ A se hace corresponder el mismo elemento x es una aplicación
de A sobre A llamada aplicación idéntica.
Imagen Recíproca
Si f es una aplicación de A en B, entonces a cada elemento x de A le corresponde un único elemento
y ∈ B. Inversamente, si el elemento y ∈ B, entonces él puede ser la imagen por f de varios elementos
en A. Para ello basta observar el ejemplo 2.4.5, en donde el elemento 4 en f (A) es imagen del 1, del 2,
y del 3 (todos elementos de A). En general, al conjunto de los elementos de A que tienen por imagen al
elemento y ∈ B se le llama imagen recíproca de y, y se le denota por f −1 (y). Simbolicamente.
f −1 (y) = {x ∈ A/ y = f (x)}
Es posible observar que si f −1 (y) consta de más de un elemento, entonces f −1 no es un aplicación en
el sentido de la definición (a cada elemento debe corresponder una única imagen).
En general, si G es una parte de B, entonces f −1 (G) representará al conjunto de todos los elementos de
A cuya imagen por f pertenece a G.
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
104
Ejemplo 2.4.8 Sea A = {−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Se considera la aplicación
f (x) = x2 − 1
f : A → B = f (A),
Es claro que B = {0, −1, 3, 8, 15, 24, 35, 48, 63, 80}. Si B1 = {−1, 8, 15} y B2 = {0, 48, 63, 80}, hallemos lo siguiente:
a) f −1 (B1 ) = {0, 3, 4}
b) f −1 (B2 ) = {−1, 1, 7, 8, 9}
c) B1 ∪ B2 = {−1, 0, 8, 15, 48, 63, 80}
d) f −1 (B1 ∪ B2 ) = {0, −1, 1, 3, 4, 7, 8, 9}
e) f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 ) = {0, −1, 1, 3, 4, 7, 8, 9}
f) B1 ∩ B2 = 0/
g) f −1 (B1 ∩ B2 ) = 0/
h) f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 ) = 0/
Este ejemplo abre interrogantes respecto a lo que sucede respecto de uniones e intersecciones de
imágenes recíprocas.
Proposición 2.4.9 Sean, f : A → B función, A1 , A2 ⊂ A, B1 , B2 ⊂ B. Se tiene lo siguiente:
a) A1 ⊂ A2 =⇒ f (A1 ) ⊂ f (A2 )
b) B1 ⊂ B2 =⇒ f −1 (B1 ) ⊂ f −1 (B2 )
c) f ( A1 ∪ A2 ) = f (A1 ) ∪ f (A2 )
d) f ( A1 ∩ A2 ) ⊂ f (A1 ) ∩ f (A2 )
e) f −1 ( B1 ∪ B2 ) = f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 )
f) f −1 ( B1 ∩ B2 ) = f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 )
g) f −1 ( f (A1 ) ) ⊃ A1
h) f ( f −1 (B1 ) ) ⊂ B1
i) f −1 (B) = A
Demostración
Probamos algunas de estas afirmaciones, sólo con el fin de mostrar una metodología de trabajo.
c) y ∈ f ( A1 ∪ A2 ) ⇐⇒ ( ∃x ∈ ( A1 ∪ A2 ) )( y = f (x) )
⇐⇒ ( ∃x ∈ A1 )( y = f (x) ) ∨ ( ∃x ∈ A2 )( y = f (x) )
⇐⇒ y ∈ f ( A1 ) ∨ y ∈ f ( A2 )
⇐⇒ y ∈ f ( A1 ∪ A2 )
e) x ∈ f −1 ( B1 ∪ B2 ) ⇐⇒ f (x) ∈ ( B1 ∪ B2 )
⇐⇒ f (x) ∈ B1 ∨ f (x) ∈ B2
⇐⇒ x ∈ f −1 (B1 ) ∨ x ∈ f −1 (B2 )
⇐⇒ x ∈ ( f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 ) )
g) x ∈ A1 =⇒ f (x) ∈ f (A1 ) =⇒ x ∈ f −1 ( f (A1 ) )
se sigue que A1 ⊂ f −1 ( f (A1 ) )
h) y ∈ f ( f −1 (B1 ) ) =⇒ ( ∃x ∈ f −1 (B1 ) )( y = f (x) ) =⇒ f (x) ∈ B1 =⇒ y ∈ B1
2.4 Función
105
se sigue que f ( f −1 (B1 ) ) ⊂ B1
i) La igualdad de conjuntos nos lleva a probar una doble condicional.
i) x ∈ f −1 ( B) =⇒ ( ∃y ∈ B )(y = f (x)) =⇒ x ∈ A
( f : A → B es función )
Se concluye que f −1 (B) ⊂ A. Por otra parte,
ii) x ∈ A =⇒ ( ∃y ∈ B )(y = f (x)) =⇒ x ∈ f −1 (B) se concluye que A ⊂ f −1 (B) ⊂ A.
De i) y ii) se sigue la igualdad.
Aplicaciones sobre conjuntos finitos
La idea de este apartado es poder determinar el número de aplicaciones que existen de un conjunto
finito en otro conjunto finito. Para ello, “sospechamos” que algo tiene que ver la cantidad de elementos
(cardinalidad) que tenga cada conjunto. Veamos un caso particular para luego empezar a generalizar.
Ejemplo 2.4.10 Sean A = {a, b}, B = {1, 2, 3}, podemos contar el número de aplicaciones de A en B.
Figura 2.9
Existen entonces 32 = 9 aplicaciones del conjunto A en el conjunto B. ¿Será cierto que hay nm
aplicaciones del conjunto A, que contiene m elementos, en el conjunto B, que tiene n elementos? Para
hallar la respuesta miremos la recíproca de este ejemplo. ¿cuántas de ellas son aplicaciones? Las
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
106
contamos y se descubre que hay 23 = 8. Parece que la respuesta a la interrogante es cierta. En efecto,
intuitivamente, en este ejemplo, el elemento a tiene 3 alternativas para elegir imagen, lo mismo para el
elemento b. Luego, el número de aplicaciones es de 3 · 3, es decir, “dos veces 3 · 3”. Si generalizamos
a A con m elementos y B con n elementos, entonces las posibilidades de elegir imagen son m veces
n · n · · · n, esto es, nm . Establecemos el resultado.
Proposición 2.4.11 Si los conjuntos finitos A y B contienen m y n elementos, respectivamente, enton-
ces el número de aplicaciones de A en B es nm
Agreguemos dos elementos interesantes.
Definición 2.4.12 Sean A y B conjuntos.
Se dice que la aplicación f de A en B es inyectiva, si elementos distintos en el dominio, producen
imágenes también distintas en el recorrido.
Se dice que la aplicación f de A en B es sobreyectiva, si todo elemento y en el codominio (B)
tiene asociado un elemento x del dominio A.
Una aplicación f de A en B que es, a la vez, inyectiva y sobreyectiva se le denomina biyectiva.
El término inyectiva equivale a decir 1-1 (“uno a uno”). Ser sobreyectiva se reduce a decir que es
“sobre”.
Actividad 55 Sean A = {a, b} y B = {1, 2, 3}.
En la figura 2.9 se observa que ninguna de las aplicaciones es sobreyectiva, en consecuencia, no
podemos construir funciones sobreyectivas si la cardinalidad del primer conjunto es menor que la
del segundo conjunto, pues siempre sobrará un elemento en el codominio. En el caso de funciones
inyectivas se observa que hay 6. ¿será el resultado de multiplicar ambas cardinalidades? Razonemos
como sigue. El primer elemento del conjunto A tiene n elecciones para escoger imagen. El segundo
elemento tiene n − 1 alternativas, pues no puede tomar la que ya tomó el primer elemento. Si seguimos
de esta forma, al m-ésimo elemento sólo le quedan n − m + 1 alternativas. Esto es un factorial
n · (n − 1) · (n − 2) · · · (n − m + 1) · · · (n − m) · (n − m − 1) · · · 2 · 1
(n − m) · (n − m − 1) · · · 2 · 1
lo que, en notación abreviada corresponde a
n!
(n − m)!
Proposición 2.4.13 Si los conjuntos finitos A y B contienen m y n elementos, respectivamente, enton-
ces el número de inyecciones de A en B es
n!
(n − m)!
Si m > n, entonces el número de funciones inyectivas de A en B es cero (0).
Si m = n, entonces una función es sobreyectiva si y sólo sí es inyectiva. Ello es claro, pues
si es sobre no hay elementos sin pre-imagen, y debe ser que es cierto el refrán “cada oveja
con su pareja” pues la cantidad de elementos en uno y otro conjunto es el mismo. Si no fuera
inyectiva, dos elementos al menos tendrían la misma imagen, con lo cual se queda un elemento
en B sin pre-imagen, no es sobre. En consecuencia, “inyectiva ⇐⇒ sobreyectiva” en conjuntos
equipotentes. Se deduce entonces que el caso m = n es interesante ya que estamos en presencia
2.4 Función
107
de biyecciones. El número de aplicaciones biyectivas de A en B (A y B igual cardinalidad) es
n!
n!, pues n = m en
. Se tiene entonces que en conjuntos finitos de igual cardinalidad,
(n − m)!
biyectividad es sinónimo de inyectividad.
Definición 2.4.14 Toda biyección de A en A se llama permutación.
Si A = {1, 2, 3, · · · , n}, entonces el conjunto de todas las biyecciones de A en A se anota por Sn . Es
decir,
Sn = { f : A → A/ f es biyección}
En particular, para A = {1, 2, 3} hay 3! = 6 permutaciones o aplicaciones biyectivas de A en A.
A la forma tradicional de asignar flechas se agrega la siguiente, forma matricial, que es especialmente
“elegante”, en la cual cada elemento ubicado en la primera fila tiene asignado, en la segunda fila, su
correspondiente imagen.
1 2 3
1 2 3
1 2 3
f1 =
,
f2 =
,
f3 =
1 2 3
1 3 2
2 1 3
1 2 3
f4 =
,
2 3 1
1 2 3
f5 =
,
3 1 2
1 2 3
f6 =
3 2 1
Como se trata de funciones, y tenemos la operación “composición” (ya definida en relaciones), veamos
un ejemplo de ello.
Ejemplo 2.4.15
A = {1, 2, 3}, se considera el conjunto de las permutaciones S3 . Se tiene
1 2 3
1 2 3
1 2 3
f1 ◦ f2 =
◦
=
1 2 3
1 3 2
1 3 2
1 2 3
1 2 3
1 2 3
f4 ◦ f5 =
◦
=
2 3 1
3 1 2
1 2 3
Se observa que f1 es la identidad de este conjunto , y que f4 con f5 son inversas.
2.4.3
Conjuntos Equipotentes
Nos planteamos el problema de saber cuando dos conjuntos tienen el mismo número de elementos. En
el caso de conjuntos finitos sólo es necesario contar los elementos, en el caso de los conjuntos infinitos
el asunto es diferente ya que primero hay que establecer claramente lo que se entiende por conjunto
con el mismo número de elementos.
Definición 2.4.16 Dos conjuntos A y B, entre los cuales se puede establecer una biyección se llaman
equipotentes. Se anota A ∼ B
Como sinónimo de equipotente se emplea el término “equivalente” para dar a entender que dos
conjuntos tienen la misma cardinalidad o potencia. En el caso de conjuntos infinitos el matemático
alemán George Cantor fue el pionero en la comparación de conjuntos infinitos y al él se deben gran
parte de los resultados en ese campo.
La relación “ser equipotente” es de equivalencia
Cualquier conjunto que sea equipotente con el conjunto de los naturales N se llama enumerable,
y su cardinalidad es ℵ0 que se lee “alef cero”
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
108
Si un conjunto es finito también se dice enumerable por ser equipotente a un subconjunto de N
Si un conjunto es infinito y no es equipotente a N se dice que es no enumerable
Si el conjunto A es equipotente al intervalo [0, 1], entonces se dice que tiene la potencia del
continuo y su cardinalidad es c.
La función f : A = [0, 1] → B = [2, 5], f (x) = 3x + 2 es biyectiva. Luego, A ∼ B.
Se observa que ambos son conjuntos infinitos, no obstante, cada punto de A se puede poner en
correspondencia biunívoca con un y sólo un punto de B
Ejemplo 2.4.17
La función f : A = {0, 1, 2, 3} → B = {0, 1, 4, 9}, con f (x) = x2 es una biyección.
Luego, A ∼ B. En este caso, dos conjuntos finitos son equipotentes si tienen la misma cantidad de
elementos. De otra forma es imposible establecer la biyección.
Ejemplo 2.4.18
La función f : A = N → B = {x = 2n/ n ∈ N}, f (x) = 2x es biyectiva. En consecuencia, N ∼ B. Esto significa que el conjunto infinito de los números naturales es equipotente con un
subconjunto propio de él. Esto es una característica de los conjuntos infinitos. De hecho, tenemos lo
siguiente
Ejemplo 2.4.19
Definición 2.4.20 Un conjunto es infinito si es equivalente a uno de sus subconjuntos propios. En
caso contrario es finito.
Ejemplo 2.4.21
La siguiente función es una biyección de N en Z
f : N → Z,

n 1


− 2 + 2 ,
f (x) =

n


,
2
n impar
n par
Luego, Z es enumerable y tiene la misma cardinalidad de N. Se observa que N es un subconjunto
propio de Z y no obstante, comparten la misma clase de infinito.
1
El conjunto de los números racionales Q es enumerable
2
El conjunto de los números reales R es no enumerable, su cardinalidad es c, al igual que cualquiera
de sus intervalos abiertos (a, b).
2.5
Estructuras
Se estudian ahora leyes de composición interna sobre un conjunto no vacío, y a partir de ello se
presentan las estructuras básicas del álgebra: Grupos, Anillos y Cuerpos. En esta última, se estudia el
cuerpo de los números complejos.
Cabe señalar que existen también leyes de composición externas, de hecho, la estructura algebraica
denominada Espacio Vectorial considera una ley de composición externa, y se estudia en los cursos
de Algebra Lineal.
Definición 2.5.1
1. Una ley de composición interna u operación binaria ∗ sobre un conjunto no vacío E, es una
función que asigna a cada par ordenado de elementos de E × E un elemento del conjunto E. Se
abrevia lci. Simbolicamente:
∗ : E × E → E,
(a, b) 7→ a ∗ b
2.5 Estructuras
109
2. Una ley de composición externa sobre un conjunto no vacío E, con conjunto de operadores F,
es una función de F × E → E. Se abrevia lce.
Se usan una infinidad de símbolos para denotar leyes de composición. Algunos de ellos son: +, ·, ◦, ∗, ⊥
, ∇, ∆, otros.
Ejemplo 2.5.2
1. En el conjunto de enteros positivos, Z+ , se define la lci
a ∗ b = mı́n{a, b}
entonces, 2 ∗ 11 = 2, 15 ∗ 10 = 10, 3 ∗ 3 = 3
2. En el conjunto de enteros positivos, Z+ , se define la lci
a∇b=a
entonces: 2 ∇ 5 = 2,
15 ∇ 1 = 15,
3∇3=3
3. En el conjunto de enteros positivos, Z+ , se define la lci
x
y = (x ∗ y) + 2
en donde ∗ se define por a ∗ b = mı́n{a, b}. Entonces:
4
7 = (4 ∗ 7) + 2 = 4 + 2 = 6,
3
3 = (3 ∗ 3) + 2 = 3 + 2 = 5
4. En los conjuntos N, Z, Q, R, C son leyes de composición interna, la adición + y el producto ·
5. La “división”, que es una operación de R × R → R tal que (x, y) 7→
x
y
no es lci.
Para conjuntos finitos, la operación binaria se puede dar por una tabla de doble entrada
Ejemplo 2.5.3 En el conjunto S = {1, 2, 3} se define la lci ∗ como a ∗ b = mcd(a, b), en donde mcd es
el mínimo común divisor. Una tabla para esta operación es la siguiente.
∗
1
2
3
1
1
1
1
2
1
2
1
3
1
1
3
Definición 2.5.4 El subconjunto A de E es estable o cerrado bajo la ley interna ∗ de E, si dos
elementos cualesquiera de A operados con esta ley dan como resultado otro elemento de A. Esto es,
A estable ⇐⇒ a, b ∈ A =⇒ a ∗ b ∈ A
Definición 2.5.5 La ley ∗ se dice bien definida si y sólo si exactamente un elemento es asignado a
cada par ordenado
Ejemplo 2.5.6
a
1. En Q la operación a ∗ b = no está bien definida, pues, por ejemplo, el (2, 0) no tiene asignado
b
un número racional
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
110
a
es una operación binaria en Q+ pues, cada par ordenado de Q+ × Q+
b
tiene asignado un elemento en Q+ , dicho de otro modo, para cada par ordenado de Q+ × Q+ el
elemento asignado es un elemento de Q+
a
3. En Z+ la ley a ∗ b = no es una operación binaria pues 1 ∗ 3 = 31 6∈ Z+
b
4. Sea S = { f : R → R/ f función}. Se define la ley ∗ por
2. En Q+ la ley a ∗ b =
f ∗ g = h,
5.
6.
7.
8.
9.
donde h(x) = f (x) + g(x),
∀ f , g ∈ S,
x∈R
entonces ∗ es una operación binaria en S.
El conjunto R de los números reales, con la multiplicación y la adición es estable.
En el conjunto potencia P(X) la intersección y la unión de conjuntos son estables.
El conjunto Z ⊂ R es estable respecto de adición, multiplicación y sustracción.
El conjunto N ⊂ Z es estable respecto de adición y multiplicación.
Sea E = {1, 2, 3, 6}. Considerar la lci a ∗ b = mcd(a, b). Entonces E es estable con respecto de
la ley del máximo comun divisor. Se sugiere construir una tabla de doble entrada para verificar.
Una ley de composición puede tener algunas de las siguientes características:
Definición 2.5.7 Sea E conjunto con ley de composición interna ∗.
∗ asociativa ⇐⇒ (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z), ∀x, y, z ∈ E
∗ conmutativa ⇐⇒ x ∗ y = y ∗ x, ∀x, y ∈ E
e elemento neutro de ∗ ⇐⇒ e ∗ x = x ∗ e = x, ∀x ∈ E
Sea e elemento neutro de ∗ en E. El elemento x ∈ E es inverso o simétrico de y ∈ E ⇐⇒ x ∗ y =
y ∗ x = e. En tal caso x se denomina simetrizable.
5. Un elemento a ∈ E es cancelable o regular para la ley de composición interna ∗ si
1.
2.
3.
4.
a ∗ x = a ∗ y =⇒ x = y ∧ x ∗ a = y ∗ a =⇒ x = y
Ejemplo 2.5.8
1. En Z la ley ∗ definida por a ∗ b = a + b tiene por neutro al 0
2. La adición en N es conmutativa y asociativa. No existe elemento neutro y por ende no hay
inversos.
3. La adición en Z, Q, R, C es conmutativa y asociativa. El 0 es el elemento neutro y cada elemento
tiene inverso.
4. La multiplicación en N es conmutativa y asociativa. El 1 es el elemento neutro y sólo el 1 tiene
inverso (el mismo).
5. La multiplicación en R es conmutativa y asociativa. El 1 es el elemento neutro y cada elemento
no nulo tiene inverso. Todo elemento no nulo de R es cancelable.
Proposición 2.5.9 El elemento neutro de un conjunto E respecto de una ley de composición interna ∗,
si existe, es único.
Demostración
Se supone que existen dos neutros, e y e 0 , obviamente distintos. Luego,
e ∗ e 0 = e ( e 0 neutro )
e∗e0 = e0
( e neutro )
2.6 Equivalencias Regulares
111
Se concluye que e = e 0 , lo que es una contradicción. En consecuencia, hay ¡unicidad!.
Un resultado similar, con demostración semejante, se da para el inverso, cuando existe.
Proposición 2.5.10 Sea ∆ ley de composición interna sobre E. Sea e el elemento neutro. Entonces,
para todo a ∈ E se tiene a simetrizable ⇐⇒ a cancelable
Demostración
Sean x, y ∈ E, a 0 el simétrico de a.
a ∆ x = a ∆ y ⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
a 0 ∆ ( a ∆ x ) = a 0 ∆ (a ∆ y)
( a0 ∆ a ) ∆ x = ( a0 ∆ a ) ∆ y
e∆x=e∆y
x=y
Definición 2.5.11 Sean ∗ y ∆ dos leyes de composición internas en E. La ley ∗ distribuye a izquierda
respecto de ∆ si
a ∗ ( b ∆ c ) = ( a ∗ b ) ∆ ( a ∗ c ),
∀a, b, c ∈ E
De manera similar se define la distributividad a la derecha. Se habla de distributividad cuando ésta es a
izquierda y derecha.
Ejemplo 2.5.12
1. En el conjunto R de los números reales, la multiplicación distribuye respecto de la adición. La
adición no distribuye respecto de la multiplicación.
2. En el conjunto potencia P(X) la intersección de conjuntos distribuye respecto de la unión. Lo
mismo la unión respecto de la intersección.
2.6
Equivalencias Regulares
Sea E conjunto provisto, simultáneamente, de una relación de equivalencia ∼ y de una ley de composición ∆.
Definición 2.6.1 La relación de equivalencia ∼ es compatible o regular con la ley de composición ∆
en E, si a ∼ b ∧ c ∼ d =⇒ a ∆ c ∼ b ∆ d
Teorema 2.6.2 Sea “∼” equivalencia compatible con respecto de la ley de composición ∆, definidas
ambas sobre un conjunto E. La ley ∆ induce sobre el conjunto cociente, E/ ∼, una ley de composición
∆, llamada ley inducida por ∆.
Antes de continuar, recordemos que, dado un entero positivo m la expresión a ≡ b (mod m), tal que
a ≡ b (mod m) ⇐⇒ ( ∃ q ∈ Z )( a − b = q m ),
a, b ∈ Z
que se lee “a es congruente con b módulo m”, se conoce como la congruencia módulo m. Esta puede
reformularse en la forma
a ≡ b (mod m) ⇐⇒ a − b ∈ mZ
donde mZ es el conjunto de todos los múltiplos enteros de m. Es decir,
mZ = {0, ±m, ±2m, ±3m, · · · }
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
112
Por ejemplo, es sencillo verificar que el conjunto de todos los elementos x en Z que son congruentes
con 5 módulo 3 es
{· · · , −10, −7, −4, −1, 2, 5, 8, 11, · · · }
Teorema 2.6.3 La relación de congruencia en el conjunto de los números enteros es compatible con
las operaciones de adición y multiplicación en Z. Esto es,

a + c ≡ b + d (mod m)
a ≡ b (mod m) ∧ c ≡ d (mod m) =⇒

a · c ≡ b · d (mod m)
Demostración
En primer lugar, la relación ≡ es de equivalencia. En efecto,
1. Es refleja pues a ∼
= a (mod m), ya que a − a = n · 0
2. Es simétrica pues
a∼
= b (mod m) =⇒ a − b = m · q
=⇒ b − a = m · (−q),
=⇒ b ∼
= a (mod m)
3.
−q ∈ Z
Es transitiva ya que de a ∼
= b (mod m) y b ∼
= c (mod m), se tiene
a − b = m · q1
y
b − c = m · q2 ,
q1 , q2 ∈ Z
De aquí que a − c = m · (q1 + q2 ). Como q1 y q2 son enteros, entonces a − c = m · q, de donde se
sigue que a ∼
= c (mod m).
Hemos probado así, que la “congruencia módulo m” es una relación de equivalencia.
Probemos ahora la compatibilidad con la suma y el producto.
a ≡ b (mod m) =⇒ a − b = q1 m
c ≡ d (mod m) =⇒ c − d = q2 m
se sigue que, (a + c) − (c + d) = (q1 + q2 ) = q3 ∈ Z. Esto es
a + c ≡ b + d (mod m)
Para la multipicación se tiene
a = b + q1 m ∧ c = d + q2 m =⇒ a · c = bd + (bq2 + dq1 + q1 q2 m)m
lo cual equivale a tener
a · c ≡ b · d (mod m)
Luego, la congruencia es compatible con la adición y multiplicación en Z.
Dado que la relación de congruencia respecto de un m fijo es de equivalencia, entonces determina una
partición de Z en clases de equivalencia. El conjunto cociente, que se anota, Zm recibe el nombre de
conjunto de las clases residuales módulo m. Anotamos
Zm = {0, 1, 2, 3, · · · m − 1}
2.6 Equivalencias Regulares
113
Ahora bien, la adición y la multiplicación en Z inducen sobre este conjunto cociente Zm , una adición y
una multiplicación, definidas por las reglas
a + b = a + b,
a · b = ab
donde a + b y a · b se reducen a su menor resto positivo módulo m.
Así, la congruencia módulo 4 determina en Z, cuatro clases de equivalencia
C0
C1
C2
C3
= {· · · , −8, −4, 0, 4, 8, 12, · · · }
= {· · · , −7, −3, 1, 5, 9, 13, · · · }
= {· · · , −6, −2, 2, 6, 10, 14, · · · }
= {· · · , −5, −1, 3, 7, 11, 15, · · · }
=
=
=
=
{x/ x = 4k, k ∈ Z}
{x/ x = 4k + 1, k ∈ Z}
{x/ x = 4k + 2, k ∈ Z}
{x/ x = 4k + 3, k ∈ Z}
Las tablas de adición y multiplicación son
+
0
1
2
3
·
0
1
2
3
0
0
1
2
3
0
0
0
0
0
1
1
2
3
0
1
0
1
2
3
2
2
3
0
1
2
0
2
0
2
3
3
0
1
2
3
0
3
2
1
Veamos algunos ejemplos sobre leyes de composición interna.
Ejemplo 2.6.4
a ◦ b = a + 2b
, que satisfacen:
a ∗ b = 2ab
(a) ◦ no es conmutativa ni asociativa
(b) ∗ es conmutativa y asociativa
(c) ◦ distribuye respecto de ∗.
(d) ∗ distribuye respecto de ◦.
Esta última propiedad es sencilla de verificar:
(1) Sobre N se definen las leyes
a ∗ ( b ◦ c ) = a ∗ ( b + 2c ) = 2a · ( b + 2c ) = 2ab + 4ac
= 2ab + 2 · (2ac) = ( a ∗ b ) ◦ ( a ∗ c )
(2) Sobre el conjunto de los racionales, Q, se define a ∗ b = a + b − ab, entonces
(a) ∗ es conmutativa y asociativa
(b) Para hallar el elemento neutro, suponemos que es e ∈ Q, entonces
a ∗ e = a =⇒ a + e − ae = a =⇒ e = 0
(c) Para hallar inverso, suponemos que es a ∈ Q, entonces
a ∗ x = 0 =⇒ a + x − ax = 0 =⇒ ax − x = a =⇒ x =
Luego, si a 6= 1, entonces a tiene inverso.
(3) Un elemento x ∈ E se llama idempotente en E si x ∗ x = x.
Como ejemplos se pueden mencionar: el 0 en (R, +) y el 1 en (R, ·).
El 1 no es idempotente en (R, +) pues 1 + 1 6= 1.
a
a−1
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
114
2.7
Homomorfismos
Es conocido que la función f : R → R+ tal que f (x) = ex satisface una relación de la forma
f (x + y) = e x+y = e x · e y = f (x) · f (y)
Esto significa que “La imagen de la suma en R es igual al producto de las imágenes en R+ ”
Definición 2.7.1 Sea E1 conjunto dotado de la ley interna ∗, E2 conjunto dotado de la ley interna #. La
función f : E1 → E2 es un homomorfismo o morfismo, si y sólo si la imagen del compuesto de dos
elementos cualesquiera de E1 es igual al compuesto de las imágenes de esos elementos en E2 . Esto es,
f homomorfismo ⇐⇒ f (x1 ∗ x2 ) = f (x1 ) # f (x2 ),
∀x1 , x2 ∈ E2
Un homomorfismo puede ser de una de las siguientes clases:
1. monomorfismo si f : E1 → E2 es inyectiva.
2. epimorfismo si f : E1 → E2 es sobreyectiva.
3. isomorfismo si f : E1 → E2 es biyectiva.
4. endomorfismo si E1 = E2 .
5. automorfismo si f es endomorfismo biyectivo.
Cuando existe un homomorfismo entre dos conjuntos A y B, se dice que los conjuntos A y B son
homomorfos. En el caso de existir un isomorfismo entre A y B, los conjuntos A y B se dicen isomorfos.
Ejemplo 2.7.2
Considerar el conjunto Z de los enteros con la ley de multiplicación y el conjunto
A = {0, 1, −1} dotado con la ley de multiplicación. La aplicación

 1 ,x > 0
f : Z → A,
x 7→ 0 , x = 0

−1 , x < 0
es un homomorfismo entre Z y A. En efecto, separemos el problema en dos partes:
a)
Sean x1 , x2 ∈ Z − {0}, entonces
f (x1 · x2 ) = ±1 =
|x1 x2 | |x1 | |x2 |
=
·
x1 x2
x1 x2
Por otra parte
f (x1 ) · f (x2 ) =
|x1 | |x2 |
·
x1 x2
De este modo
f (x1 · x2 ) = f (x1 ) · f (x2 )
b) Si x1 = 0 ó x2 = 0, entonces f (x1 x2 ) = f (0) = 0 = f (x1 ) · f (x2 ).
Si x1 6= 0 y x2 = 0, entonces
|x1 |
f (x1 ) · f (x2 ) =
·0 = 0
x1
En consecuencia,
f (x1 · x2 ) = f (x1 ) · f (x2 )
Esto prueba que existe un homomorfismo entre Z y el conjunto A. Se puede observar que este homorfismo es sobreyectivo pero no inyectivo. De aquí que estemos en presencia de un epimorfismo.
2.7 Homomorfismos
Ejemplo 2.7.3
115
Sea Z+ el conjunto de los enteros positivos, P = {n ∈ N/ n par}. Se define
f : Z+ → P,
n 7→ 2n
Vamos a probar que existe un isomorfismo entre Z+ y P, con respecto a la adición, pero no con la
multiplicación.
Es claro que la aplicación es biyectiva. Sólo resta probar que f “conserva” las operaciones. En este
caso la adición. Tenemos:
f (n1 + n2 ) = 2(n1 + n2 ) = 2n1 + 2n2 = f (n1 ) + f (n2 )
Esto prueba que Z+ y P son isomorfos con la adición.
Con respecto a la multiplicación se tiene
f (n1 · n2 ) = 2n1 · n2 6= f (n1 ) · f (n2 ) = 2n1 · 2n2 = 4n1 · n2
Esto significa que f no preserva la multiplicación, y por tanto, Z+ y P no son isomorfos.
Analizando un poco más este ejemplo, nos encontramos que el 1 (uno) es el elemento neutro para la
multiplicación en Z+ , mientras que el conjunto P no tiene neutro. Por otra parte, si se considera la ley
interna
1
f (n1 ) ∗ f (n2 ) = f (n1 ) · f (n2 )
2
entonces la aplicación f (n) = 2n es un isomorfismo entre Z+ y P. En efecto,
f (n1 · n2 )
= 2n1 · n2
1
f (n1 ) · f (n2 ) = 2n1 n2
f (n1 ) ∗ f (n2 ) =
2
Luego,
f (n1 · n2 ) = f (n1 ) ∗ f (n2 )
Ahora el conjunto P tiene elemento neutro para la operación ∗. Se trata de f (1) = 2. En efecto,
f (n) ∗ f (1) =
2.7.1
1
f (n) · 2 = f (n)
2
Propiedades del homomorfismo
Proposición 2.7.4 “ser homomorfo” no es una relación de equivalencia
En primer lugar, ser homomorfo no es relación refleja. Es decir, el conjunto A no es homomorfo consigo
mismo, pues no existe una función cualquiera que preserve operaciones. La función que existe es la
identidad, pero ésta es una biyección, y por tanto sirve para el isomorfismo, no para el homomorfismo.
De todas maneras, si no se está satisfecho con ello, se puede agregar que la relación “ser homomorfo”
no es simétrica, puesto que, si f : A → B es homomorfismo ¿Quién asegura que existe g : B → A ? Más
aún, ¿Quién puede afirmar que g preserva operaciones?
El homomorfismo satisface la propiedad transitiva. En efecto, sean f : A → B y g : B → C homomorfismos. Demostraremos que g ◦ f : A → C es homomorfismo.
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
116
Sean f (a · b) = f (a) ∗ f (b)
y
g(c ∗ d) = g(c) # g(d), ∀c, d ∈ B, ∀a, b ∈ A. Se tiene lo que sigue.
(g ◦ f )(a · b) = g( f (a · b) ) = g( f (a) ∗ f (b) )
= g( f (a)) # g( f (b) = (g ◦ f )(a) # (g ◦ f )(b)
De esta forma, g ◦ f es homomorfismo.
Proposición 2.7.5 Si f : (A, ∗) → (B, ·) es epimorfismo, entonces:
(1)
(2)
(3)
(4)
∗ asociativa en A =⇒ · asociativa en B
∗ conmutativa en A =⇒ · conmutativa en B
e neutro en A =⇒ f (e) neutro en B
a−1 inverso de a ∈ A =⇒ f (a−1 ) inverso de f (a) ∈ B
Demostración
(1) Sean x, y, z en B, a, b, c en A tales que f (a) = x, f (b) = y, f (c) = z. Entonces
(x · y) · z = [ f (a) · f (b) ] · f (c) = f (a ∗ b) · f (c)
=
f [ (a ∗ b) ∗ c ] = f [ a ∗ (b ∗ c) ]
=
f (a) · f (b ∗ c) = f (a) · [ f (b) · f (c) ]
= x · (y · z)
(2) x · y = f (a) · f (b) = f (a ∗ b) = f (b ∗ a) = f (b) · f (a) = y · x
(3) Sea e el neutro de ∗, f (e) = e1 , f (a) = x para x ∈ B, a ∈ A. Entonces
e1 · x = f (e) · f (a) = f (e ∗ a) = f (a) = x
El mismo hecho se cumple para la derecha. En efecto,
x · e1 = f (a) · f (e) = f (a ∗ e) = f (a) = x
Por tanto, f (e) = e1 es el neutro en B.
(4) Sea a ∈ A con inverso a−1 , y sean f (a) = x, f (a−1 ) = y. Entonces
x · y = f (a) · f (a−1 ) = f (a ∗ a−1 ) = f (e) = e1
De la misma manera
y · x = f (a−1 ) · f (a) = f (a−1 ∗ a) = f (e) = e1
Por tanto, y = f (a−1 ) es el inverso de x.
El homomorfismo no conserva o no tiene por que conservar todas las propiedades algebraicas, ya que
pueden haber en B propiedades que no hay en A e inversamente. Veamos un ejemplo al respecto.
2.7 Homomorfismos
117
Ejemplo 2.7.6 Sea A conjunto provisto de la ley ∗ y de la relación de equivalencia ∼. Sabemos que ∗
induce o define en A/ ∼ otra operación ∗. Vamos a mostrar que bajo esta operación A/ ∼ es homomorfo
con A. En efecto, sea
f : A → A/ ∼,
a 7→ Ca
Ca es la clase del elemento a. Por definición, Ca∗b = Ca ∗ Cb . Esto es
f (a ∗ b) = f (a) ∗ f (b)
Por tanto, f es homomorfismo.
Si A = Z, entonces el conjunto Zn de las clases residuales módulo n es una imagen homomorfa
de Z. Ahora bien, entre Z y Zn homomorfos existen varias diferencias. Si bien es cierto que las
propiedades formales de las operaciones de adición y multiplicación se conservan por la aplicación
canónica a 7→ f (a) = Ca , hay en cambio, en uno y otro conjunto propiedades que no se conservan en la
aplicación del homomorfismo. Así por ejemplo, para n = 6, exiten elementos en Z6 , tales como C2 , C3
y C4 que verifican:
C2 ·C3 = C6 = C0
C3 ·C4 = C12 = C0
Esto significa que existen elementos que no siendo nulos dan un producto nulo. Esto no ocurre en Z.
Por otra parte, para n = 5, sucede que cada elemento no nulo de Z5 tiene inverso para la multiplicación.
En efecto,
C1 ·C1 = C1·1 = C1
C2 ·C3 = C6 = C1
C4 ·C4 = C16 = C1
Esto no sucede en Z6 .
2.7.2
Propiedades del Isomorfismo
Proposición 2.7.7 “ser isomorfo” es una relación de equivalencia
Demostración
Sea f : (A, ∗) → (B, #) biyección tal que f (x ∗ y) = f (x) # f (y). Vamos a probar que “ser isomorfo” es
relación, refleja, simétrica y transitiva.
Refleja:
Se considera f (A, ∗) → (A, ∗). Si f es la función identidad. Esto es f (x) = idA (x). Entonces
idA (x ∗ y) = x ∗ y,
idA (x) ∗ idA (y) = x ∗ y
Esto prueba que A es isomorfo consigo mismo.
Simétrica:
La aplicación f : (A, ∗) → (B, #) es una biyección, de manera que la función inversa g = f −1 existe y
es también una biyección de B sobre A. Falta por probar que g respeta la composición. Para ello, sean
y1 , y2 ∈ B. Vamos a probar que se verifica
g(y1 # y2 ) = g(y1 ) ∗ g(y2 )
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
118
Por ser f sobreyectiva, existen x1 , x2 ∈ A tales que f (x1 ) = y1 y f (x2 ) = y2 . Como f es isomorfismo se
tiene
f (x1 ∗ x2 ) = f (x1 ) # ∗ f (x2 ) = y1 # y2
Luego,
g(y1 # y2 ) = g[ f (x1 ∗ x2 ) ] = f −1 [ f (x1 ∗ x2 ) ]
= idA ( x1 ∗ x2 ) = x1 ∗ x2
Por otra parte
g(y1 ) ∗ g(y2 ) = g( f (x1 ) ∗ g( f (x2 )) = f −1 ( f (x1 ) ∗ f −1 ( f (x2 ))
= idA (x1 ) ∗ idA (x2 ) = x1 ∗ x2
De esta conclusión y de la anterior se obtiene
g(y1 # y2 ) = g(y1 ) ∗ g(y2 )
Por tanto, f −1 es isomorfismo de B sobre A. De esta forma, ser isomorfo es una relación simétrica.
Transitiva:
Suponemos que el conjunto A es isomorfo con el conjunto B, y que el conjunto B lo es con el conjunto
C. Esto significa que:
f es biyección
Existe f : A → B tal que
f (x ∗ y) = f (x) # f (y), ∀x, y ∈ A
Existe g : B → C tal que
g es biyección
g(y1 ∗ y2 ) = g(y1 ) ∆ g(y2 ), ∀y1 , y2 ∈ B
Como f y g son biyecciones, entonces h = g ◦ f es una biyección de A sobre C. De esta forma, sólo
resta verificar que que se satisface
h(x ∗ y) = h(x) # h(y),
∀x, y ∈ A
Para probarlo, observamos que como f es isomorfismo entonces
h(x ∗ y) = (g ◦ f )(x ∗ y) = g( f (x ∗ y)) = g( f (x)) # g( f (y))
Además, g isormorfismo implica
h(x ∗ y) = g( f (x)) # g( f (y)) = (g ◦ f )(x) # (g ◦ f )(y) = h(x) # h(y)
De esta forma, g ◦ f es un isomorfismo de A en C. En consecuencia, la relación "ser isomorfo.es de
equivalencia.
Observación 2.7.8 Si A y B son conjuntos isomorfos, entonces ellos tienen las mismas propiedades
algebraicas. Es decir, dos conjuntos isomorfos son indistinguibles desde el punto de vista algebraico.
Esto es, toda propiedad de uno de ellos que se exprese únicamente con la intervención de los signos
operatorios implica para los elementos imágenes la misma propiedad y recíprocamente. Por tanto, es
imposible distinguir un conjunto isomorfo de otro, desde el punto de vista operatorio.
2.8 Estructuras Algebraicas
2.8
119
Estructuras Algebraicas
Dotar a un conjunto de una o varias leyes de composición es conferirle una estructura, quedando, por
consiguiente, una estructura definida por los axiomas que rigen las relaciones y las operaciones de que
está dotada. Formalizamos esto a continuación.
Definición 2.8.1 Se llama sistema algebraico a todo conjunto E no vacío, sobre el que se ha definido
a lo menos una ley de composicón interna o externa. Si estas leyes están sometidas a satisfacer
determinadas condiciones, entonces E constituye una estructura algebraica. Se anota (E, ∗, #, · · · ).
El concepto de homomorfismo se generaliza en forma natural a estructuras. En este caso se habla de
estructuras homomorfas. En el caso del isomorfismo la invariancia de las propiedades algebraicas la
establecemos en el siguiente resultado.
Proposición 2.8.2 Sean (E, ∗) y (F, ∆) estructuras isomorfas, f : E → F la función que proporciona
el isomorfismo. Entonces:
(1) ∗ asociativa en A si y sólo si ∆ asociativa en B
(2) ∗ conmutativa en A si y sólo si ∆ conmutativa en B
(3) e neutro de ∗ si y sólo si f (e) neutro de ∆
(4) a ∈ E simetrizable si y sólo si f (a) ∈ F simetrizable
(5) a ∈ E cancelable si y sólo si f (a) ∈ F cancelable
(6) Si (E, ∗, ⊥) y (F, ∆, #) son isomorfas, entonces ∗ distributiva respecto de ⊥ si y sólo si ∆ es
distributiva respecto #
Demostración
Las cuatro primeras afirmaciones son análogas a las probadas para homomorfismos. Para las restantes
se tiene:
(5) Por demostrar que f (a) ∆ f (b) = f (a) ∆ f (c) =⇒ f (b) = f (c).
f (a) ∆ f (b) = f (a) ∆ f (c) =⇒ f (a ∗ b) = f (a ∗ c)
=⇒ a ∗ b = a ∗ c ( f es inyectiva)
=⇒ b = c (a cancelable)
=⇒ f (b) = f (c) ( f biyección)
(6) Sean f (a) = a 0 , f (b) = b 0 , f (c) = c 0 . Entonces
a 0 ∆ (b 0 # c 0 ) =
=
=
f (a) ∆ ( f (b) # f (c))
f (a) ∆ f (b ⊥ c)
f ( a ∗ (b ⊥ c) )
Ahora, bajo la hipótesis que ∗ distribuye respecto de ⊥ en A tenemos:
a 0 ∆ (b 0 # c 0 ) = f ( (a ∗ b) ⊥ (a ∗ c) )
= f (a ∗ b) # f (a ∗ c)
= ( f (a) ∆ f (b) ) # ( f (a) ∆ f (c) )
= ( a0 ∆ b0 ) # ( a0 ∆ c0 )
2.8.1
Estructura de Grupo
Esta estructura es una de las fundamentales en Matemática. Exponemos algunas propiedades y ejemplos.
Antes de entrar de lleno al estudio de la estructura de grupo, veamos una “pre-estructura” muy básica.
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
120
Definición 2.8.3 Sea E conjunto no vacío, ∗ ley de composición interna. La estructura (E, ∗) se llama
monoide. Si ∗ es asociativa, entonces (E, ∗) se llama semigrupo.
Todos los conjuntos numéricos son monoides, tanto con la adición como con la multiplicación. Un
semigrupo puede agregar otros apellidos. Por ejemplo, si ∗ es conmutativa (E, ∗) es un semigrupo
conmutativo. Si existe elemento neutro (E, ∗) es un semigrupo con unidad. (El elemento neutro suele
llamarse identidad).
Los conjunto numéricos, N, Z, Q, R, C, tanto con adición como con multiplicación son semigrupos.
Definición 2.8.4 La estructura (G, ∗) es un grupo, si la ley binaria satisface las siguientes propiedades:
(1) La ley ∗ es asociativa
(2) Existe un elemento e ∈ G (neutro) tal que e ∗ x = x ∗ e = x ∀x ∈ G
(3) Para todo x ∈ G existe x0 ∈ G (inverso) tal que x ∗ x0 = x0 ∗ x = e
Si la ley ∗ es conmutativa, entonces el grupo se denomina conmutativo o Abeliano.
Ejemplo 2.8.5
(R, +) y (R − {0}, ·) son grupos
(R, ·) no es grupo ya que el cero (0) no tiene inverso para la multiplicación.
(Z, ∗), con a ∗ b = a + b + 3 es un grupo abeliano. Verificarlo.
Z, Q, R, C, con la adición son grupos abelianos.
La estructura (F (A), ◦), en donde F (A) es el conjunto de todas las funciones biyectivas de A en
A con la composición de funciones forma un grupo.
(6) (Z, +) es un grupo conmutativo
(7) (Z+ , +) no es grupo, ya que no hay neutro
(8) (Z+ , ·) no es grupo, pues no tiene identidad, y además hay elementos como el 2 que no tienen
inverso.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
2.8.2
Propiedades de un Grupo
Proposición 2.8.6 Sea (G, ∗) grupo, entonces:
(1) El neutro y el inverso de cada elemento es único
(2) Todo elemento de G es regular. Esto es,
a ∗ b = a ∗ c =⇒ b = c
b ∗ a = c ∗ a =⇒ b = c
(3)
(4)
(5)
(6)
(a−1 )−1 = a
(a ∗ b)−1 = b−1 ∗ a−1
Para todo par de elementos a y b en G, existe un único elemento x en G tal que a ∗ x = b
Para todo par de elementos a y b en G, existe único elemento x en G tal que x ∗ a = b
Las dos últimas propiedades significan que las ecuaciones a ∗ x = b y x ∗ a = b tienen solución única en
un grupo.
Demostración
2.8 Estructuras Algebraicas
121
(2) En este caso probemos un sólo caso, el otro es análogo.
a ∗ b = a ∗ c =⇒ a0 ∗ (a ∗ b) = a0 ∗ (a ∗ c)
=⇒ (a0 ∗ a) ∗ b) = (a0 ∗ a) ∗ c)
=⇒ e ∗ b = e ∗ c
=⇒ b = c
(3) Sabemos que para todo elemento x ∈ G existe inverso x−1 tal que x ∗ x−1 = e. En particular, con
x = a−1 se tiene
a−1 ∗ (a−1 )−1
= e
operando con a a la izquierda
(a ∗ a−1 ) ∗ (a−1 )−1 = a ∗ e
e ∗ (a−1 )−1
= a
(a−1 )−1
= a
(4) Tomando x = a ∗ b, en x ∗ x−1 = e, se tiene
(a ∗ b) ∗ (a ∗ b)−1 = e
a ∗ (b ∗ (a ∗ b)−1 )
b ∗ (a ∗ b)−1
(a ∗ b)−1
= e
a−1 por izquierda
= a−1
b−1 por izquierda
= b−1 ∗ a−1
(5) Si x = a−1 ∗ b, entonces
a ∗ x = a ∗ (a−1 ∗ b) = (a ∗ a−1 ) ∗ b = e ∗ b = b
Por tanto, la ecuación tiene solución. Para ver la unicidad se suponen dos soluciones x1 , x2 . Luego,
a ∗ x1 = b
y
a ∗ x2 = b
Se sigue que
a ∗ x1 = a ∗ x2 =⇒ x1 = x2
a cancelable
Esto prueba la unicidad de la solución.
Definición 2.8.7 Si G es grupo finito, entonces el orden de G, que se anota, |G|, es el número de
elementos de G.
Ejemplo 2.8.8
(1) (Z, +) no es un grupo finito
(2) (Z2 , +) es un grupo finito de orden 2. Z2 = {0, 1}
(3) Todo grupo (G, ∗) posee al menos un elemento; la identidad e. Si consideramos {e} entonces {e}
es un grupo finito de orden 1. La única operación binaria que se puede definir en {e} es e ∗ e = e
122
2.8.3
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
Subgrupo
Definición 2.8.9 Un subconjunto H, no vacío, de G es subgrupo del grupo (G, ∗) si (H, ∗) es grupo.
Se anota H ≤ G
Ejemplo 2.8.10
(1) Todo grupo admite dos subgrupos triviales (impropios), el mismo y {e}. Cualquier otro subgrupo
se llama subgrupo propio de G.
(2) (Q+ , +) y (Z, +) son subgrupos de (R, +).
(3) (N, +) no es subgrupo de (R, +). Fallan los inversos y el neutro.
(4) (Z, +) es subgrupo de (Q, +)
(5) (Zn , +) no es subgrupo de (Z, +)
(6) (Q+ , ·) es subgrupo de (R+ , ·).
(7) Para Z4 = {0, 1, 2, 3} con adición los subgrupos son: {0}, Z4 , {0, 2}. Se adjunta la tabla para
verificación visual.
+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
(8) En el llamado grupo de Klein, conformado por el conjunto A = {a, b, c, d} con la ley de
composición interna ∗ dada por la tabla se tiene que este grupo es abeliano, el neutro es el
elemento a y cada elemento es su propio inverso. Por otra parte, (H, ∗), con H = {a, b} es
subgrupo del grupo de Klein.
∗
a
b
c
d
a
a
b
c
d
b
b
a
d
c
c
c
d
a
b
d
d
c
b
a
Con el fin de facilitar el proceso de determinación de que un subconjunto constituye un subgrupo,
existe el siguiente resultado.
Proposición 2.8.11 Sea (G, ∗) grupo. H ⊂ G subgrupo de G si y sólo si:
(1) La ley interna de G es estable en H
(2) e ∈ G =⇒ e ∈ H
(3) x ∈ H =⇒ x−1 ∈ H, ∀x
Demostración
→) Si H ≤ G, entonces ∗ de G es la operación binaria en H, luego es cerrada. G tiene identidad y es
única , como H ⊂ G, entonces e es la identidad de H, por último, todo a ∈ G tiene a−1 . En particular
todo a ∈ H tiene a−1 , y como ∗ es cerrada, entonces a−1 ∈ H
←) H es subconjunto de G y se satisfacen la tres condiciones de la hipótesis. Esto es; e ∈ H
2.8 Estructuras Algebraicas
123
(condición 2), Para todo a ∈ H existe a−1 ∈ H tal que a ∗ a−1 = e ∈ H (condición 3). La ley ∗ es
cerrada (condición 1). Finalmente ∗ asociativa en G implica ∗ asociativa en H. En consecuencia, H ≤ G
Este resultado se puede establecer en los términos siguientes.
Proposición 2.8.12 Sea (G, ∗) grupo. H ≤ G ⇐⇒ a ∗ b−1 ∈ H, ∀a, b ∈ H
Demostración
→) Si H ≤ G, entonces para b ∈ H, b−1 ∈ H y b ∗ b−1 ∈ H. Además, si el elemento a ∈ H, entonces
por clausura a ∗ b−1 ∈ H.
←) a ∗ b−1 ∈ H por hipótesis. Sea a = b, entonces a ∗ a−1 = e ∈ H. Por otra parte, Si a = e, entonces
e ∗ a−1 = a−1 ∈ H. Finalmente, b−1 ∈ H implica que (b−1 )−1 ∈ H. Luego, a ∗ (b−1 )−1 ∈ H. En
consecuencia, a ∗ b ∈ H. Lo que prueba que H es subgrupo de G.
Proposición 2.8.13 Sea G grupo, a ∈ G. Se llama subgrupo cíclico de G al conjunto H = {an / n ∈ Z}.
Este H es el subgrupo más pequeño de G que contiene al elemento a. Se anota H =< a >.
Demostración
Sabemos que ar · as = ar+s , ∀r, s ∈ Z. de esta forma, ar · as = ak ∈ H. Además, a0 = e ∈ H. Por último,
ar ∈ H, a−r ∈ H implican que ar · a−r = 0 = e ∈ H. se concluye que H es subgrupo de G.
Al trabajar en subgrupos cíclicos se emplean las notaciones:
an = a · a · a · a · · · a
si (G, ·)
an = a + a + a · · · + a = n · a
si (G, +)
Definición 2.8.14 El elemento a ∈ G genera al grupo G, si G =< a >. Así, G es un grupo cíclico si
existe a ∈ G tal que < a >= G
Ejemplo 2.8.15
(1) El par (Z4 , +) es un grupo cíclico. En efecto, Z4 = {0, 1, 2, 3}, luego basta exhibir un generador.
< 1 >= {n · 1/ n ∈ Z} = {0, 1, 2, 3} = Z4
además, podemos presentar otro generador
< 3 >= {n · 3/ n ∈ Z} = {0, 1, 2, 3} = Z4
(2) El grupo V de Klein no es cíclico. La tabla de este grupo es la siguiente
∗
e
a
b
c
e
e
a
b
c
a
a
e
c
b
b
b
c
e
a
c
c
b
a
e
Estos son los generadores:
<e>
<a>
<b>
<c>
=
=
=
=
{en / n ∈ Z} = {e} 6= V
{an / n ∈ Z} = {e, a} 6= V
{bn / n ∈ Z} = {e, b} 6= V
{cn / n ∈ Z} = {e, c} 6= V
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
124
(3) El par (Z, +) es cíclico, ya que 1 y -1 generan este grupo. En efecto,
< 1 > = {n · 1/ n ∈ Z} = {0, ±1, ±2, ±3} = Z
< −1 > = {n · (−1)/ n ∈ Z} = {0, ±1, ±2, ±3} = Z
2.8.4
Grupo Simétrico y Alternante
Un conjunto de especial importancia es el de todas las aplicaciones de un conjunto dado X, no vacío,
en sí mismo, en donde la operación binaria es la composición de aplicaciones. Simbolicamente
MX = { f : X → X/ f es aplicación}
Observación 2.8.16 Es interesante saber que (MX , ◦) es un monoide asociativo. En efecto, sean
f , g, h ∈ MX , entonces
[( f ◦ g) ◦ h](x) = ( f ◦ g)h(x) = f (g(h(x))) = [ f ◦ (g ◦ h)(x)] = [ f ◦ (g ◦ h)](x)
El neutro de (MX , ◦) es la aplicación idéntica idMX .
idMX : X → X,
x 7→ idMX (X) = X
pues
( f ◦ idMX )(X) = f (idMX )(X) = f (X) = (idMX ◦ f )(X)
Un tercer hecho interesante es que un elemento f ∈ MX tiene inverso si y sólo si, la aplicación f es una
biyección. En tal caso, f ◦ f −1 = idMX = f −1 ◦ f .
Cuando el conjunto X es finito, por ejemplo, X = {a1 , a2 , · · · , an }, se acostumbra a representar cualesquier f ∈ MX como
a1
a2
a3
···
an
f=
f (a1 ) f (a2 ) f (a3 ) · · · f (an )
Sea X = {1, 2}, entonces los elementos de MX son
1 2
1 2
1 2
1 2
,
,
,
1 2
2 1
1 1
2 2
1 2
1 2
Los únicos elementos que tienen inverso son
y
1 2
2 1
Ejemplo 2.8.17
Definición 2.8.18 Sea X conjunto no vacío. El conjunto SX de todas las biyecciones de X en X se
llama grupo simétrico de X.
Observación 2.8.19
1 SX ⊂ MX
2 La composición de aplicaciones es operación binaria en SX . Esto es,
f , g ∈ SX =⇒ f ◦ g ∈ SX
Es claro que
◦ : SX × SX
( f , g)
→
→
SX
( f ◦ g)(x) = f (g(x))
2.8 Estructuras Algebraicas
125
3 (SX , ◦) es un semigrupo (monoide asociativo), pues ◦ es asociativa
4 i : X → X, la aplicación idéntica pertenece a SX
5 f ∈ SX =⇒ ∃g ∈ SX tal que f ◦ g = i = g ◦ f , pues f es biyección.
La conclusión de los hechos anteriores es que (SX , ◦) es un grupo.
Definición 2.8.20 Todo elemento f ∈ SX se llama permutación.
Definición 2.8.21 Si X = {1, 2, 3, · · · , n}, entonces se escribe SX = Sn , y Sn se conoce como el grupo
simétrico de orden n
El orden del grupo Sn es |Sn | = n!. En efecto, el cálculo es como sigue:
Si f ∈ Sn , entonces f (1) puede ser cualquiera de los n elementos. f (2) puede ser cualquiera de los
n − 1 elementos restantes. f (3) puede ser cualquiera de los n − 2 elementos restantes. Continuando de
esta manera, se concluye que Sn tiene
n · (n − 1) · (n − 2) · · · 2 · 1 = n!
elementos. Por ejemplo, los elementos de S3 son:
f1 =
f4 =
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 3 2
,
f2 =
,
f5 =
1 2 3
2 3 1
,
1 2 3
3 1 2
1 2 3
3 2 1
f3 =
1 2 3
, ,
2 1 3
f6 =
La siguiente es la tabla de composición. Se deja inconclusa, con el propósito de que se trabaje en el
aula en conjunto con el profesor.
◦
f1
f2
f3
f4
f5
f6
2.8.5
f1
f1
f2
f3
f4
f5
f6
f2
f2
f3
f1
f3
f3
f1
f2
f4
f4
f6
f5
f5
f4
f6
f6
f5
Permutaciones Pares e Impares
El mecanismo para determinar paridad es el siguiente
Definición 2.8.22 Sea a1 , a2 , · · · , an una sucesión de números enteros. El número de inversiones de
esta sucesión es la cantidad de números enteros que son menores que el entero que encabeza cada una
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
126
de las siguientes sucesiones:
a1 , a2 , a3 , · · · ,
···
an
a2 , a3 ,
a4 ,
· · · , an
a3 ,
a4 ,
· · · , an
..
.
an
Por ejemplo, en la sucesión 7, 4, 3, 2, 1, 8, 9 el número de inversiones es 4 + 3 + 2 + 1 = 10, lo que
corresponde a la cantidad de términos que, a contar del segundo, son menores que el que encabeza la
sucesión.
Se puede probar que, si el número de inversiones es par, entonces la permutación es par, y que si el
número de inversiones es impar, entonces la permutación es impar.
Ejemplo 2.8.23
Determinemos paridad de las permutaciones
α1 =
1 2 3 4
2 1 4 3
α2 =
y
1 2 3 4 5 6 7
4 3 1 2 6 7 5
Solución
El número de inversiones de α1 es
2 1 4 3 = 1
1 4 3 = 0
4 3 = 1
= 2
se deduce que esta permutación es par.
El número de inversiones de α2 es
4 3 1 2
3 1 2
1 2
2
6
6
6
6
6
7
7
7
7
7
7
5
5
5
5
5
5
=
=
=
=
=
=
3
2
0
0
1
1
= 7
se concluye que la permutación es impar.
Definición 2.8.24 El subgrupo de Sn consistente de todas las permutaciones pares, denotado An , se
llama grupo alternante de grado n
2.8 Estructuras Algebraicas
127
El orden de An , esto es, la cantidad de elementos que tiene es |An | = n!2 , para n entero positivo mayor
que 1. Esto es así, pues el número de permutaciones pares es el mismo que el de impares, y |Sn | = n!.
El grupo alternante A4 tiene 4! = 24 permutaciones. Verificar que las siguientes 12
Ejemplo 2.8.25
son las pares:
i=
α3 =
α6 =
α9 =
1 2 3 4
1 2 3 4
α1 =
1 2 3 4
2 1 4 3
1 2 3 4
3 2 4 1
1 2 3 4
4 1 1 3
α4 =
α7 =
α10 =
1 2 3 4
3 4 1 2
1 2 3 4
1 3 4 2
1 2 3 4
4 2 1 3
1 2 3 4
2 3 1 4
1 2 3 4
4 3 2 1
1 2 3 4
1 4 2 3
1 2 3 4
2 4 3 1
α2 =
α5 =
α8 =
α11 =
1 2 3 4
3 1 2 4
Proposición 2.8.26 Sean E = {a1 , a2 , · · · , an } y Sn el grupo simétrico de estos n elementos. Un elemento c ∈ Sn es una permutación circular o ciclo, si existe un subconjunto ordenado {b1 , b2 , · · · , bn }
de E tal que
c(b1 ) = b2 , c(b2 ) = b3 , · · · , c(bm−1 ) = bm , c(bm ) = b1
Simbolicamente
c=
b1 b2 b3 · · ·
b2 b3 b4 · · ·
bm−1 bm
bm
b1
o, c = (b1 , b2 , b3 , · · · , bm−1 , bm ), o simplemente c = (b1 b2 b3 · · · bm−1 bm ). Es posible imaginarse que
los m objetos b1 , b2 , · · · , bm están situados en m puntos de una circunferencia a distancias iguales, la
permutación c desplaza cada objeto al lugar siguiente, de modo que el último objeto viene a ocupar
el lugar del primero. Por lo tanto, la permutación circular c = (b1 , b2 , b3 , · · · , bm ) equivale a un giro
o una rotación de 2π
m . Por esta razón es que la permutación se llama circular o ciclo. Obsérvese que
−1
c = (bm , bm−1 , · · · , b2 , b1 ). Por otra parte, las potencias del ciclo permiten establecer que c2 (b1 ) =
c(c(b1 )) = c(b2 ) = b3 , c3 (b1 ) = b4 , c4 (b1 ) = b5 , y así sucesivamente hasta tener cm (b1 ) = b1 . esto
quiere decir que al llegar a cm hemos hecho girar la circunferencia m veces la m-ésima parte de 2π, es
decir, 2π. Luego, cada punto coincide con su posición primera. Esto es, cm = I.
Definición 2.8.27 Dos ciclos c1 = (b1 , b2 , · · · , b p ) y c2 = (d1 , d2 , · · · , dq ) de Sn son disjuntos si los
subconjuntos ordenados {b1 , b2 , · · · , b p } y {d1 , d2 , · · · , dq } del conjunto E = {a1 , a2 , · · · , an } no tienen
elementos comunes
1 2 3 4 5 6
= (16)(253)
Ejemplo 2.8.28
6 5 2 4 3 1
Los ciclos c1 , c2 , · · · , cn de Sn son disjuntos, si ellos son disjuntos 2 a 2. Así por ejemplo, los ciclos
(124), (35), (78) de S8 son disjuntos. Los ciclos (124), (2876) no son disjuntos pues el 2 es elemento
común a ambos ciclos.
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
128
Los ciclos que constan sólo de dos elementos se llaman transposiciones. Es posible efectuar operaciones con ciclos, y tener
1 (a1 a2 · · · an )(a1 an+1 ) = (a1 a2 · · · an an+1 )
2 (a1 a2 · · · an ) = (a1 a2 )(a1 a3 ) · · · (a1 an )
Para probar este hecho usar inducción. Otro hecho interesante es que si una permutación es par o impar,
entonces el número de transposiciones en que se puede descomponer es par o impar, respectivamente.
Por ejemplo la permutación siguiente de A4 es par
1 2 3 4
= (243)
1 4 2 3
se puede descomponer en producto de cero transposiciones (0 es par). La permutacion de A4 dada por
1 2 3 4
= (13)(24)
3 4 1 2
claramente el producto de dos transposiciones.
Finalmente, usando este forma de descomposición de una permutación, se puede probar que El
producto de dos permutaciones pares es una permutación par, el producto de dos permutaciones
impares es una permutación impar, y el producto de una permutación par por una permutación
impar es una permutación impar.
2.8.6
Grupos Cíclicos
Mostramos un par de resultados interesantes respecto de grupos cíclicos
Proposición 2.8.29 Todo grupo cíclico es abeliano
Demostración
Sea G grupo cíclico tal que G =< a >. Esto significa que
G = {an / n ∈ Z}
Ahora bien, si g1 y g2 son dos elementos de G, entonces debe tenerse
g1 = an1 ,
g2 = an2 ,
n1 , n2 ∈ Z
de esto se sigue que
g1 · g2 = an1 · an2 = an1 +n2 = an2 +n1 = an2 · an1 = g2 · g1
En consecuencia G es abeliano
Proposición 2.8.30 Todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico.
Demostración
Sea H ≤ G, y G =< a >. Por ser H subgrupo, todo elemento de H es de la forma an , para algún n
entero. Sea m el menor entero positivo tal que am ∈ H. Vamos a probar que c = am genera H, es decir,
H =< am >=< c >. En otras palabras, vamos a probar que cualquier b ∈ H es de la forma b = cq . En
efecto,
b ∈ H, H ≤ G =⇒ b = an , para algún n
2.8 Estructuras Algebraicas
129
por el algorítmo de la división para Z, existen q y r tales que
n = mq + r,
para
0≤r<m
Luego,
an = amq+r = (am )q · ar =⇒ ar = (am )−q · an
Dado que, an ∈ H, am ∈ H, y H es grupo, entonces (am )−q · an ∈ H. Esto es, ar ∈ H. Como se supuso
que m era el menor entero positivo tal que am ∈ H, y 0 ≤ r < m, entonces r = 0, de donde obtiene que
n = q · m. Por lo tanto,
b = an = (am )q = cq
De esta manera b es una potencia de c. Con lo que se finaliza la demostración.
¡Atención!
1 Si G es grupo cíclico generado por a, y de orden infinito, entonces ak 6= ah , para todo h 6= k
2 Si G es grupo cíclico generado por a, y de orden finito, entonces ak = ah , para algún h, k. Esto
significa que el grupo G sería de la forma
G = {e = a0 , a1 , a2 , · · · , am−1 }
es decir, existe un m tal que am = e y se repiten los elementos nuevamente.
Teorema 2.8.31 Sea G grupo cíclico tal que, G =< a >, |G| = n. Sea b ∈ G tal que b = as . Entonces
n
b genera un subgrupo cíclico, H de G, tal que |H| = , en donde d = mcd(n, s)
a
Ejemplo 2.8.32
Z12 es un grupo cíclico ya que
< 1 >= {1 · n/ n ∈ Z} =< 5 >= {n · 5/ n ∈ Z} = Z12
Para el elemento b = 3 de Z12 que es de la forma 13 o bien 53 se tiene que mcd(12, 3) = 3. Luego,
genera un subgrupo de orden d = 12
3 = 4 elementos.
< 3 >= {0, 3, 6, 9}
De igual forma, para b = 8 se tiene, mcd(12, 8) = 4. Luego, genera un subgrupo de orden d =
elementos.
< 8 >= {0, 8, 4}
Observar que para b = 5 se tiene mcd(12, 5) = 1. Luego, genera un subgrupo de orden d =
elementos.
< 5 >= Z12
12
4
12
1
=3
= 12
Corolario 2.8.33 Si a es generador de un grupo cíclico G de orden n, entonces los otros generadores
de G son los elementos de la forma ar , en donde (r, n) = 1
Ejemplo 2.8.34
Hallar todos los subgrupos de Z18 .
Respuesta
En primer lugar, los primos con 18 son; 1,5,7,11,13,17. Luego, ellos generan todo el grupo. Para los
elementos restantes tenemos:
< 2 >= {2 · n/ n ∈ Z} = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
130
Si sacamos la cuenta, mcd(18, 2) = 2. Luego, se genera un subgrupo de orden d =
18
2
= 9 elementos.
18
3
= 6 elementos.
< 3 >= {3 · n/ n ∈ Z} = {0, 3, 6, 9, 12, 15}
Si sacamos la cuenta, mcd(18, 3) = 3. Luego, se genera un subgrupo de orden d =
Queda como ejercicio completar los subgrupos.
Vamos a finalizar este breve estudio de los grupos remarcando la importancia de los isomorfismos.
Definición 2.8.35 Un isomorfismo entre dos grupos (G1 , ∗) y (G2 , #) es una biyección φ tal que
φ (x ∗ y) = φ (x) # φ (y), ∀x, y ∈ G1
En tal caso, los grupos se dicen isomorfos, y se anota G1 ' G2 . Recordemos que cuando existe un
isomorfismo, si la identidad en G1 es e, entonces la identidad en G2 es φ (e).
Ejemplo 2.8.36
Probemos que (R, +) ' (R+ , ·)
Solución
Establecemos la aplicación φ : R → R+ , x 7→ ex . Esta aplicación es inyectiva pues,
φ (x1 ) = φ (x2 ) =⇒ ex1 = ex2 =⇒ x1 = x2
Además, es sobreyectiva ya que, (∀y ∈ R+ )(∃x = ln y) tal que φ (x) = y. Por último,
φ (x + y) = ex+y = ex · ey = φ (x) · φ (y)
Con esto hemos probado que estas estructuras son isomorfas.
El siguiente resultado nos informa que no necesitamos estudiar grupos cíclicos infinitos
Proposición 2.8.37 Cualquier grupo cíclico infinito G es isomorfo al grupo Z de los enteros con la
adición
Demostración
Sea G = {an / n ∈ Z}, definimos
φ : (G, ·) → (Z, +),
an 7→ n
se tiene que φ es inyectiva pues
φ (an ) = φ (am ) =⇒ n = m =⇒ an = am
Además, φ es sobre pues, (∀k ∈ Z)(∃ak ∈ G) tal que φ (ak ) = k. Por último,
φ (an · am ) = φ (an+m ) = n + m = φ (an ) + φ (am )
Así, las estructuras son isomorfas.
Dos resultados interesantes:
1 Dos grupos cíclicos del mismo orden finito son isomorfos.
2.9 Estructura de Anillo
131
2 Todo grupo es isomorfo a un grupo de permutaciones. Esto habla de la importancia de estudiar
permutaciones.
Definición 2.8.38 Sean G1 , G2 , · · · , Gn grupos. Se llama grupo producto directo externo de los
grupos Gi a
n
∏ Gi = G1 × G2 × · · · × Gn
i=1
en donde la ley binaria interna está dada por
(a1 , a2 , · · · , an )(b1 , b2 , · · · , bn ) = (a1 b1 , a2 b2 · · · , an bn )
n
con (a1 , a2 , · · · , an ), (b1 , b2 , · · · , bn ) ∈ ∏ Gi
i=1
Ejemplo 2.8.39
El grupo Z2 × Z3 tiene 6 elementos, pues
Z2 × Z3 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2)}
Además, este grupo es cíclico, ya que
< (1, 1) >= Z2 × Z3
En efecto,
< (1, 1) > = {n · (1, 1)/ n ∈ Z}
= { 1 · (1, 1), 2 · (1, 1), 3 · (1, 1), 4 · (1, 1), 5 · (1, 1), 6 · (1, 1)}
= { (1, 1), (0, 2), (1, 0), (0, 1), (1, 2), (0, 0)}
Sabemos que Z6 también tiene 6 elementos y que es cíclico, en consecuencia, Z6 ' Z2 × Z3 .
Actividad 56 Estudiar Z3 × Z3 y determinar si es isomorfo a Z9 .
Proposición 2.8.40 Si (m, n) = 1, entonces Zm × Zn ' Zmn
Definición 2.8.41 Sea a ∈ G, G grupo. Si existe un n ∈ Z+ tal que an = e, entonces el menor entero
positivo n se llama orden del elemento a. Si tal n no existe, se dice que a tiene orden infinito.
Actividad 57 Verificar que el orden del elemento (4, 2) en el grupo Z12 × Z8 es 12.
Dejamos hasta aquí el estudio de los grupos. La teoría sobre grupos es mucho más extensa y hay textos
especializados para quienes deseen encontrar respuestas a otras interrogantes.
2.9
Estructura de Anillo
Por lo estudiado en la estructura de Grupo, sabemos que ésta consta de sólo una operación binaria, la
cual no es suficiente para caracterizar muchos de los conjuntos con que opera la matemática, ya que
por ejemplo, los números enteros, los racionales, los reales y los complejos, que forman la base de toda
la matemática clásica, admiten dos leyes de composición fundamentales; la adición y la multiplicación.
Esta es una buena razón para crear nuevas estructuras que consten con más de una ley interna y cumplan,
además, determinadas propiedades. Lo que hacemos a continuación es considerar un conjunto no vacío
con dos leyes de composición internas. La ley adicional, enriquece la estructura de grupo. Se tiene.
Definición 2.9.1 La terna (A, +, ·) tiene estructura de anillo si:
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
132
(1) (A, +) es grupo abeliano
(2) (A, ·) es un semigrupo. (· es asociativa). Esto es,
a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a, b, c ∈ A
(3) · distribuye respecto de +, a izquierda y derecha, es decir,
a · (b + c) = a · b + a · c,
(b + c) · a = b · a + c · a
Ejemplo 2.9.2
(1) Los conjuntos numéricos Z, Q, R, C son anillos con las operaciones de adición y multiplicación
(2) El conjunto P = {2n/ n ∈ Z} es un anillo con las operaciones de adición y multiplicación ordinarias
de Z
(3) (N, +, ·) no es anillo. (N, +) no es grupo
Consecuencias de la definición de anillo
1
2
3
4
5
El elemento neutro es único en un anillo
Para todo elemento a del anillo, el opuesto (−a) es único
El opuesto de (−a) es a. Esto es, −(−a) = a.
La ley de cancelación es válida: a + b = a + c =⇒ b = c
La ecuación x + b = a tiene siempre solución única en el anillo, y su solución es x = a + (−b) = a − b.
Este hecho permite definir la operación de sustracción en un anillo.
Definición 2.9.3 En todo anillo se definen las potencias de exponente entero positivo como:
a1 = a
,
= an · a
an+1
n∈Z
Definición 2.9.4 En todo anillo se definen los múltiplos enteros de un elemento como sigue:
1·a = a
,
(n + 1) · a = n · a + a
n∈Z
Proposición 2.9.5 En todo anillo se verifican las siguientes propiedades, válidas para todo n, m ∈ Z:
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)
am · an = am+n
(am )n = amn
(ab)n = an · bn
n · (a + b) = n · a + n · b
(m + n) · a = m · a + n · a
Las demostraciones son por inducción, y quedan al interés del lector.
2.9.1
Propiedades de un anillo
Proposición 2.9.6 Sea (A, +, ·) anillo, entonces ∀a, b, c ∈ A se tiene:
(1) a · 0 = 0 · a = 0
(2) a · (−b) = (−a) · b = −(a · b)
(3) a · (b − c) = a · b − a · c
(4) (b − c) · a = b · a − c · a
(5) a ∈ A cancelable respecto de · si y sólo si a no es divisor de cero
2.9 Estructura de Anillo
133
Demostración
(1) a · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0 =⇒ a · 0 = 0
(2) (−a) · b = (−a) · b + 0 = (−a) · b + [a · b + −(a · b)]
= [(−a)b + ab] + −(ab) = [(−a) + a] · b − (ab)
= 0 · b − (ab) = 0 − (ab) = −(ab)
(3) a · (b − c) = a · (b + (−c)) = a · b + a · (−c) = ab − ac
(5) La demostración en este caso considera doble implicación. De manera que:
→) Usemos contra-recíproca. Si a es divisor de cero, entonces existe b ∈ A∗ , A∗ representa al conjunto
sin el cero, tal que a · b = 0 o bien b · a = 0. Como en todo anillo a · b = 0 y 0 · a = 0, entonces a no es
cancelable.
←) Por contra-recíproca. Si a no es cancelable, entonces existen x, y ∈ A tales que
( ax = ay ∨ xa = ya ) ∧ x 6= y
Esto equivale a
( a(x − y) = 0 ∨ (x − y)a = 0 ) ∧ x 6= y
se sigue que a es divisor de cero.
Observación 2.9.7
1. Si · es conmutativa, el anillo se llama conmutativo.
2. Si A tiene elemento neutro o identidad e para ·, entonces A es anillo con unidad. El elemento e
se llama unidad del anillo.
3. Un anillo con unidad cuyos elementos no nulos tienen inverso se llama anillo de división.
4. Si a, b son elementos del anillo A, entonces
(a + b)2 = a2 + ab + ba + b2
5. Si a, b son elementos del anillo conmutativo A, entonces
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
En general, en todo anillo vale la fórmula del binomio de Newton.
2.9.2
Divisores de cero
Los distintos anillos presentan desigual comportamiento en diversos aspectos, algunos de los cuales
pasamos a estudiar.
Definición 2.9.8 Un elemento a 6= 0 de un anillo A se llama divisor de cero si existe un elemento
b 6= 0 en A tal que a · b = 0. Un anillo conmutativo, con unidad y sin divisores de cero se llama dominio
de integridad
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
134
Ejemplo 2.9.9
(1) (Zn , +, ·) es anillo conmutativo con unidad. Los anillos Zn se denominan anillos de restos o
anillos residuales.
(2) En el anillo (Z4 , +, ·), con Z4 = {0, 1, 2, 3}, el elemento 2 ∈ Z4 es un divisor de cero, ya que
2·2 = 4 = 0
(3) En el anillo (Z6 , +, ·), con Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, los elementos 2, 3, 4 son divisores de cero, ya que
2·3 = 0 y 3·4 = 0
(4) El anillo (Z3 , +, ·) no tiene divisores de cero. Esto es, no existen elementos no nulos en Z3 cuyo
producto sea nulo.
(5) El anillo (Z9 , +, ·) tiene divisores de cero. El producto del 3 por si mismo es cero, sin ser ningún
factor nulo.
(6) (R, +, ·) es un anillo con unidad y dominio de integridad.
(7) (Z, +, ·) es anillo conmutativo con unidad y sin divisores de cero. (dominio de integridad)
(8) El anillo (P(E), ∆, ∩) es conmutativo, con identidad y con divisores de cero. Verificarlo. (∆ es la
diferencia simétrica).
Teorema 2.9.10 En el anillo Zn , los divisores de cero son aquellos elementos de Zn que no son primos
relativos con n.
Demostración
Sea m ∈ Zn , m 6= 0, tal que (m, n) = d 6= 1, entonces
m·
n
m
= ( ) · n = 0,
d
d
en Zn
n
m
ya que ( ) · n es un múltiplo de n. Además, m 6= 0 y 6= 0. En consecuencia, m es un divisor de cero.
d
d
Corolario 2.9.11 Si p es primo, entonces el anillo Z p no tiene divisores de cero
La estructura (F (R), +, ·) es anillo conmutativo con unidad y con divisores de
cero. F (R) es el conjunto de todas las funciones reales de variable real. Probemos esto.
Ejemplo 2.9.12
Respuesta
(F (R), +): grupo abeliano
Se consideran:
f : R → R, x 7→ f (x),
g : R → R, x 7→ g(x)
entonces hay conmutatividad
( f + g)(x) = f (x) + g(x) = g(x) + f (x) = (g + f )(x)
Por otra parte, la asociatividad se cumple pues,
[ ( f + g) + h(x) ](x) = [ f + (g + h) ](x)
La existencia del neutro la establece la función cero, definida por 0 : R → R tal que 0(x) = 0, ∀x ∈ R.
Se tiene
(0 + f )(x) = f (x)
2.9 Estructura de Anillo
135
La existencia de inversos se establece a partir del hecho que, si f ∈ F (R), entonces existe − f ∈ F (R)
tal que
f + (− f ) = 0
Por tanto, (F (R), +) es grupo abeliano
(F (R), +, ·):
anillo
La ley · es asociativa: ( f · g) · h = f · (g · h), lo que implica que (F (R), ·) es semigrupo.
Por otro lado, la ley · distribuye respecto de +. Esto es
f · (g + h) = f · g + f · h,
∀ f , g, h ∈ F (R)
Con esto se ha probado que (F (R), +, ·) es un anillo.
Para probar que tiene unidad, la función identidad idR es tal que
idR · f = f · idR = f ,
∀ f ∈ F (R)
Por tanto, (F (R), +, ·) es un anillo con unidad.
Veamos ahora los divisores de cero. Para ello sean
0 ,x < 0
f (x) =
,
1 ,x ≥ 0
g(x) =
1 ,x < 0
0 ,x ≥ 0
entonces
( f · g)(x) = f (x) · g(x) = 0
Se observa que f 6= 0 y que g 6= 0 y su producto es cero. Esto significa que f y g son divisores de cero.
Otro hecho que puede ocurrir en una anillo, es que existan elementos a 6= 0, tales que an = 0, en donde
an es como sabemos, el producto de a por si mismo n veces.
Definición 2.9.13 Un elemento a de un anillo es nilpotente si an = 0.
2
Es sencillo encontrarse con tales elementos, por ejemplo, en Z4 el 2 es nilpotente ya que 2 = 2 · 2 = 0
Otra propiedad particularmente importante que un anillo puede verificar o no, y que está relacionada
con la no existencia de divisores de cero es la siguiente.
Teorema 2.9.14 Un anillo verifica la ley de cancelación para la multiplicación si y sólo si no tiene
divisores de cero
Demostración
←)
Suponemos que el anillo satisface la ley de cancelación
a · b = a · c =⇒ b = c,
a 6= 0
vamos a probar que
a · b = 0 =⇒ a = 0 ∨ b = 0
Si a = 0, entonces no hay nada que probar. Estamos listos.
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
136
Si a 6= 0, entonces debemos probar que es b = 0. En efecto,
a · b = 0 =⇒ a · b = a · 0
de donde por ley de cancelación, b = 0.
Analogamente, si b 6= 0, entonces
a · b = 0 =⇒ a · b = 0 · b
por ley de cancelación, a = 0. Esto prueba la primera parte del teorema.
→)
Suponemos ahora que el anillo no tiene divisores de cero. Esto es, se cumple que
a · b = 0 =⇒ a = 0 ∨ b = 0
vamos a probar que en el anillo se verifica la ley de cancelación. Es decir, se cumple que
a · b = a · c =⇒ b = c,
a 6= 0
Se tiene,
a · b = a · c,
a 6= 0 =⇒ ab − ac = 0 =⇒ a(b − c) = 0
como no hay divisores de cero, debe ser b − c = 0, de donde, b = c. Luego, se verifica la otra parte del
teorema, y la demostración está completa.
Cuando el anillo es conmutativo, no se hace distinción entre divisores a izquierda o a derecha, se habla
simplemente de divisores de cero. Lo interesante es que, la existencia o no existencia de los divisores dá
lugar a tener o no un dominio de integridad, que como se dijo, corresponde a un anillo conmutativo
con unidad y sin divisores de cero. Los conjuntos numéricos Q, R, C son dominios de integridad, al
igual que el anillo Zn con n primo. El conjunto Z de los enteros no es dominio de integridad. Veamos
ahora lo que es un subanillo.
2.9.3
Subanillo
Definición 2.9.15 El subconjunto no vacío S de un anillo A es subanillo de (A, +, ·) si y sólo si
(S, +, ·) es un anillo.
Como ocurre casi siempre, las definiciones son poco apropiadas para probar ciertas propiedades. El
siguiente hecho facilita la determinación de subanillos.
Proposición 2.9.16 Una condición necesaria y suficiente para que S ⊂ A, S 6= 0,
/ sea un subanillo es
que se verifiquen:
(1) a, b ∈ S =⇒ a − b ∈ S
(2) a, b ∈ S =⇒ a · b ∈ S
Demostración
←) Suponemos que S es un subanillo de (A, +, ·). Esto significa que (S, +, ·) es un anillo, luego, en
particular, (S, +, ·) es un subgrupo del grupo aditivo A, de aquí que se verifica que:
a, b ∈ S =⇒ a + b ∈ S
b ∈ S =⇒ −b ∈ S
2.9 Estructura de Anillo
137
de lo cual se obtiene que a + (−b) = a − b ∈ S. Por otra parte, como S es anillo, entonces es cerrado
para la multiplicación. Esto es, a, b ∈ S =⇒ a · b ∈ S.
→)
Suponemos ahora que S verifica las propiedades 1) y 2). Se tiene
a, b ∈ S =⇒ a − b ∈ S =⇒ S es subgrupo de A
El hecho que, a, b ∈ S =⇒ a · b ∈ S, significa que S es cerrado respecto del producto, y como en S valen
la asociatividad y la distributividad (por que ellas valen en A), entonces S es subanillo del anillo A. Esto
completa la demostración
Ejemplo 2.9.17
(1) (Z, +, ·) es subanillo de (Q, +, ·)
(2) (Q, +, ·) es subanillo de (R, +, ·)
(3) (2Z, +, ·) es subanillo de (Z, +, ·)
(3) (Q, +, ·) es subanillo de (R, +, ·)
(4) (Zn , +, ·) no es subanillo de (Z, +, ·). Se puede pensar que como Zn ⊂ Z, y que bajo la idea que
0 = 0, 1 = 1, · · · , pero las leyes en ambos conjuntos son distintas.
(5) (Z2 , +, ·) y (Z3 , +, ·) son anillos, el primero es parte del segundo, pero no es subanillo. Esto ocurre
con todos los Zn .
(6) Sean FP (R) y FI (R) los subconjuntos de las funciones pares e impares, respectivamente, del
conjunto de las funciones reales de variable real denotado por F (R). Entonces FP (R) es
subanillo de (F (R), +, ·). El subconjunto FI (R) no es subanillo de (F (R), +, ·).
Observación 2.9.18
Puede ocurrir que el anillo A tenga unidad y que algún subanillo S de A no lo tenga. Por ejemplo, si Z
es el anillo de los enteros, que además es conmutativo y con unidad, el subanillo P = {2n/ n ∈ Z} de
Z, carece de elemento unidad para la multiplicación. Luego, la unidad 1 de Z no pertenece a P.
2.9.4
Ideales
Definición 2.9.19 El subanillo (I, +, ·) del anillo conmutativo (A, +, ·) es un ideal de este anillo, si el
producto de un elemento cualquiera de I por un elemento cualquiera de A pertenece a I, es decir,
I ideal de A ⇐⇒ a ∈ I, b ∈ A =⇒ a · b ∈ I
El resultado siguiente facilita la determinación un ideal.
Teorema 2.9.20 Sea (A, +, ·) anillo conmutativo, I ⊂ A es ideal de A si y sólo si:
(1) a, b ∈ I =⇒ a − b ∈ I
(2) a ∈ I, c ∈ A =⇒ a · c ∈ I
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
138
Observación 2.9.21
Si el anillo A no es conmutativo, se distingen dos casos:
a ∈ I, b ∈ I =⇒ a − b ∈ I
1)
Ideal izquierdo
a ∈ I, b ∈ A =⇒ c · a ∈ I
2)
a ∈ I, b ∈ I =⇒ a − b ∈ I
a ∈ I, b ∈ A =⇒ a · c ∈ I
Ideal derecho
Ejemplo 2.9.22
(1) En todo anillo A, los conjuntos I = A e I = {0} son ideales del anillo A, y se les denomina ideales
triviales. Los otros ideales, si existen, se llaman propios.
Definición 2.9.23 Sea (A, +, ·) anillo conmutativo con unidad, y sea a ∈ A. El ideal I = {r · a/ r ∈ A}
de todos los múltiplos de a se llama Ideal principal generado por a. Se anota
I(a) =< a >= {r · a/ r ∈ A}
Ejemplo 2.9.24
(1)
(2)
(3)
(4)
Z es un ideal generado por el elemento unidad 1.
El ideal {0} es un ideal principal, pues < 0 >= {0}
< m >= m Z y < −m >= m Z son ideales principales en Z
Si A es un anillo conmutativo con unidad e, entonces A =< e >, ya que
I(e) = {r · e/ r ∈ A} = {r/ r ∈ A} = A
Definición 2.9.25 Se llama anillo de ideales principales a todo anillo conmutativo A, tal que todo
ideal en A es principal
Definición 2.9.26 Se llama ideal primo a un ideal P de un anillo conmutativo A, tal que cualquier
producto a · b de elementos de A perteneciente a P tenga al menos un factor, a ó b perteneciente a P.
Simbólicamente:
I ideal primo ⇐⇒ a · b ∈ I =⇒ a ∈ I ∨ b ∈ I
Ejemplo 2.9.27
(1) En el anilllo Z de los enteros, el ideal < 7 > es primo ya que
a · b ∈< 7 >=⇒ a · b = 7k =⇒ 7|a ∨ 7|b
del hecho que 7|a (7 divide a a) se sigue que a ∈< 7 >, y de que 7|b se sigue que b ∈< 7 >.
(2) En el mismo anillo, el ideal < 6 > no es primo ya que, por ejemplo, 12 ∈< 6 >, pero 12 = 3 · 4, y
3 6∈< 6 > y 4 6∈< 6 >
De estos ejemplos se infiere que, en el anillo Z, los ideales P = mZ primos, son aquellos para los cuales
m es un entero primo.
2.9.5
Algebra de Ideales
(1) Si {I j } es una familia de ideales de un anillo A, entonces su intersección I =
\
j∈N
I j es un ideal de A
2.10 Estructura de Cuerpo
139
(2) Si I1 e I2 son ideales de un anillo conmutativo A, entonces el conjunto
I1 + I2 = {ai + b j / ai ∈ I, b j ∈ I2 }
es un ideal del anilllo A. Esto se puede generalizar a varios ideales I1 , I2 · · · ,
(3) Si I1 e I2 son ideales del anillo A, entonces el producto de ideales
(
)
n
I1 · I2 =
∑ ai bi / ai ∈ I1 , bi ∈ I2 , n ∈ Z+
i=1
es un ideal de A.
Definición 2.9.28 El ideal M se llama maximal en un anillo A, si los únicos ideales de A que contienen
a M son M y el mismo anillo A. Esto es:
(1) M 6= A (M ideal propio)
(2) Si I es ideal de A, entonces M ⊂ I =⇒ I = A ∨ I = M
Ejemplo 2.9.29
2.10
El conjunto de los p Z, p primo, es ideal maximal en Z.
Estructura de Cuerpo
Tenemos hasta aquí que los elementos de un anillo A se pueden sumar, restar, multiplicar, y también
potenciar, pero en general, en un anillo no existe la división. Por ejemplo, en Z no es posible la división,
en cambio en los anillos Q, R, C si es posible, es decir, dados dos números cualesquiera a y b 6= 0,
existe siempre un número x unívocamente determinado, llamado cociente de a y b tal que b · x = a.
Estos considerandos nos conducen a estudiar en particular anillos con unidad, no necesariamente
conmutativos, en los que sea siempre posible la división (excepto por cero). Es decir, en los que las
ecuaciones b · x = a y x · b = a, con b 6= 0, tengan solución. Esto nos lleva la estudio de la estructura de
cuerpo.
Proposición 2.10.1 Se llama cuerpo a todo anillo con unidad, tal que todo elemento distinto de cero
tenga inverso. En otras palabras, (K, +, ·) tiene estructura de cuerpo si:
(1) (K, +) es grupo abeliano
(2) (K − {0}, ·) es grupo abeliano
(3) La ley · distribuye respecto de +
Esta definición se puede dar paso por paso y tener la conocida en el estudio de los números reales. Esto
es,
Un cuerpo K es un conjunto no vacío, con dos leyes internas, + y ·, que verifican los siguientes axiomas:
(1) K es cerrado bajo adición. Esto es,
a, b ∈ K =⇒ (a + b) ∈ K,
∀a, b ∈ K
(2) La adición en K es conmutativa. Esto es,
a + b = b + a,
∀a, b ∈ k
(3) La adición en K es asociativa. Es decir,
a + (b + c) = (a + b) + c,
∀a, b, c ∈ K
140
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
(4) Existe un elemento llamado cero en K, se denota por 0, y que es el elemento neutro para la adición.
Esto es
0 + a = a + 0 = a, ∀a ∈ K
(5) Para cada a ∈ K, existe (−a) ∈ K, el opuesto aditivo de a, tal que
a + (−a) = (−a) + a = 0
(6) K es cerrado bajo multiplicación. Es decir,
a, b ∈ R =⇒ a · b ∈ K,
∀a, b ∈ K
(7) La multiplicación en K es asociativa. Es decir,
a (b · c) = (a · b) · c,
∀a, b, c ∈ K
(8) Existe un elemento llamado uno en K, se denota por 1, que es el elemento neutro de la multiplicación, y tal que
1 · a = a · 1 = a, ∀a ∈ K
(9) Para cada número real a no nulo, existe el número real a−1 , llamado el inverso multiplicativo de
a, tal que
a · a−1 = a−1 · a = 1
(10) La multiplicación en K distribuye respecto de la adición. Esto es,
a · (b + c) = (b + c) · a = a · b + a · c,
∀a, b, c ∈ K
Observación 2.10.2 La conmutatividad de la multiplicación puede verificarse o no, dependiendo
ello del cuerpo que se esté considerando. Si ella es conmutativa, diremos que el cuerpo es conmutativo
o abeliano o bien, que es un campo.
Ejemplo 2.10.3
(1) (Q, +, ·) es un cuerpo conmutativo.
(2) (Zn , +, ·) es un cuerpo conmutativo, siempre que n sea primo.
(3) (Z, +, ·) no es cuerpo. (fallan inversos)
Consecuencias de la definición de cuerpo
(1) En un cuerpo, 1 6= 0, y el cero no tiene inverso. Esto es sencillo, si fuera 1 = 0, entonces para todo
a ∈ K se tiene
a = a·1 = a·0 = 0
Esto significa que el cuerpo en cuestión tendría un sólo elemento, el 0, lo cual contradice la
definición de cuerpo. Por lo tanto, 1 6= 0. Por otro lado, si el 0 tuviera inverso x, tendríamos
0 · x = 1, de donde 1 = 0, contradicción. De esta forma, el cero no tiene inverso multiplicativo.
(2) En un cuerpo no existen divisores de cero, Es decir,
a · b = 0 =⇒ a = 0 ∨ b = 0
(3) Todo cuerpo conmutativo (campo) es un dominio de integridad. Esto es
a · b = 0,
a · b = 0,
b 6= 0 =⇒ a = 0
a 6= 0 =⇒ b = 0
2.10 Estructura de Cuerpo
141
(4) En un cuerpo valen las leyes de cancelación para la multiplicación.
(5) En un cuerpo cada elemento diferente de cero tiene un único inverso.
(6) En un cuerpo la ecuación de primer grado b · x = a, b 6= 0, tiene solución y esta es única. En efecto,
como b 6= 0, entonces existe b−1 tal que
b · x = a =⇒ b−1 (bx) = b−1 a =⇒ (b−1 b) x = b−1 a =⇒ x = b−1 a
y como el inverso de b es único, necesariamente x = b−1 a es la única solución. La comprobación
de esto es
b · (b−1 a) = (b b−1 ) a = a
(7) En un cuerpo la ecuación de primer grado x · b = a, b 6= 0, tiene solución única.
(8) Si K es un cuerpo conmutativo (campo), entonces las ecuaciones
b · x = a,
y x · b = a,
b 6= 0
coinciden y su única solución es x = b−1 a = a b−1
De aquí que, dados dos elementos a y b 6= 0, queda unívocamente determinado un elemento
que multiplicado por b da como resultado a, que le llamaremos cociente de a por b, y que es el
a
elemento a · b−1 y que representamos como . De este modo, tenemos definido
b
a
= a · b−1
b
1
= a−1
a
Queda definida así una nueva operación en el cuerpo, la división, la cual es una función del tipo
en particular, si a 6= 0, tenemos
div : K × (K − {0}) → K
a
(a, b)
7→ = a b−1
b
Ejemplo 2.10.4
Los Zn con n primo son dominios de integridad, y en consecuencia, son cuerpos.
Esto significa que, por ejemplo, Z2 , Z3 , Z5 , Z7 , · · · son cuerpos.
Proposición 2.10.5 En un cuerpo valen las siguientes reglas:
a c
= ⇐⇒ ad = bc
b d
a c
ac
[(3)] · =
b d bd
a c ad
[(6)] : =
b d
bc
[(1)]
a c ad + bc
+ =
b a d−1 b bd
[(4)]
=
b
a
−a
a
a
[(7)]
=− =
, b 6= 0
b
b −b
[(2)]
[(5)]
−a a
=
−b b
De esta manera, podemos aplicar estos métodos clásicos de la aritmética para resolver ecuaciones y
sistemas de ecuaciones lineales en cuerpos finitos.
Ejemplo 2.10.6
Sobre el cuerpo Z7 resolvemos la ecuación 2 · x = 5
Solución
El inverso multiplicativo de la clase del 2 (2) es la clase del 4 (4). Luego,
2 · x = 5 =⇒ 4 · 2 · x = 4 · 5 =⇒ x = 6
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
142
Ejemplo 2.10.7
Sobre el cuerpo Z5 resolvemos el sistema
2·x+3·y = 2
1·x+2·y = 4
Solución
Se resuelve como un sistema comun y corriente, con la salvedad de que estamos trabajando con clases.
Al sumar las clases se elimina la del y quedando
3 · x = 6 = 1 =⇒ x = 2
de la misma forma se encuentra que y = 1
2.10.1
Propiedades de un Cuerpo
Proposición 2.10.8 Sea (K, +, ·) cuerpo. Entonces:
(1) K no tiene divisores de cero
(2) Para todo elemento no nulo de K es válida la ley cancelativa del producto.
(3) Si b 6= 0, entonces la ecuación bx = a admite solución única en K
(4) El recíproco del opuesto de todo elemento no nulo es igual al opuesto de su recíproco
Demostración
1) Hay que probar que x · y = 0 =⇒ x = 0 ∨ y = 0
Si x = 0 ó bien si y = 0, no hay nada que probar, pues la afirmación x = 0 ∨ y = 0 es verdadera.
Supongamos que x 6= 0, entonces existe x−1 tal que x · x−1 = 1. Se tiene lo que sigue.
x · y = 0 =⇒ x−1 · (x · y) = x−1 · 0 =⇒ (x−1 · x) · y = 0 =⇒ y = 0
Si se supone y 6= 0, se obtiene x = 0. Con esto se ha probado que un cuerpo no tiene divisores de cero.
2) Hay que probar que x · y = x · z =⇒ y = z, x 6= 0
x · y = x · z =⇒ x−1 · (x · y) = x−1 · (x · z) =⇒ 1 · y = 1 · z =⇒ y = z
3) bx = a =⇒ b−1 · (bx) = b−1 · a =⇒ (b−1 · b) · x = b−1 · a =⇒ x = b−1 a
Por propiedad conmutativa esta solución se puede escribir x = a b−1 . La unicidad de la solución se
demuestra suponiendo la existencia de otra solución, llegándose a que son iguales.
4) Hay que probar que −(x−1 ) = (−x)−1 . Para ello tenemos
x−1 · x = 1 =⇒ −(x−1 ) · −(x) = 1
Al multiplicar por (−x)−1 a la derecha, se obtiene
[ −(x−1 ) · −(x) ] · (−x)−1 = 1 · (−x)−1
de donde
−(x−1 ) · [ −(x) · (−x)−1 ] = (−x)−1
El producto en el último corchete produce la identidad, de modo que se tiene
−(x−1 ) = (−x)−1
2.11 Conjuntos Numéricos
2.10.2
143
Subcuerpo
Definición 2.10.9 Sea K cuerpo. Un subconjunto no vacío K1 de K es un subcuerpo, si K1 es así
mismo un cuerpo respecto a las operaciones de adición y multiplicación en K
Para determinar que un subconjunto es subcuerpo se puede emplear lo siguiente,
Teorema 2.10.10 Sea (K, +, ·) cuerpo, K1 ⊂ K, K1 6= 0,
/ entonces K1 es un subcuerpo de K, si y sólo
si:
(1)
(2)
(3)
(4)
a, b ∈ K1 =⇒ a − b ∈ K1
a, b ∈ K1 =⇒ a · b ∈ K1
1 ∈ K =⇒ 1 ∈ K1
a ∈ K1 , a 6= 0 =⇒ a−1 ∈ K1
El conjunto (Q, +, ·) es subcuerpo de (R, +, ·) y este a su vez de (C, +, ·). Las dos primeras estructuras
están totalmente ordenadas por la relación ≤. El cuerpo de los complejos es un ejemplo de cuerpo no
ordenado.
Teorema 2.10.11 En un cuerpo sólo existen ideales triviales
Demostración
Sea K cuerpo y sea I ideal de K. Si I = {0}, la afirmación es evidentemente cierta. Supongamos
entonces que no es así, esto significa que existe a ∈ I tal que, a 6= 0. Del hecho que a 6= 0 se sigue que
existe a−1 ∈ K. Del hecho que a ∈ I y que a−1 ∈ I resulta que a · a−1 = 1 ∈ I. Luego, 1 ∈ I
Vamos a probar que I = K. En primer lugar, I ⊂ K por definición. Para probar que K ⊂ I, consideremos
a ∈ K, entonces de 1 ∈ K y a ∈ K resulta que
1·a = a ∈ I
Luego, a ∈ K =⇒ a ∈ I. Esto prueba que K ⊂ I. En consecuencia, I = K como se aseguró. Esto prueba
que I es ideal trivial
Se deduce de este resultado que basta que la unidad pertenezca al ideal para que el ideal coincida con
el anillo entero.
Hemos mostrado las estructuras básicas de la Matemática, a saber, grupos, anillos y cuerpos y mencionado algunas de sus propiedades. Estas estructuras consideran sólo leyes de composición internas.
Debe quedar claro que lo visto aquí constituye una parte pequeña del estudio de las estructuras y sus
propiedades. En textos específicos de Algebra Abstracta, tales como Fraleight, Rojo, Robledo, y otros,
se puede profundizar su estudio.
2.11
Conjuntos Numéricos
Una de las razones por la que tiene interés la creación de nuevos sistemas, es que la introducción de
nuevos elementos permite estudiar mejor los elementos ya conocidos. En este proceso de creación
de nuevos sistemas los “isomorfismos” juegan un rol muy importante. El proceso en sí podemos
describirlo, en líneas generales, de la siguiente manera: “Dado un conjunto A en el que se ha definido
una o varias operaciones, decimos que un conjunto E es una extensión o ampliación de A, si E (en el
cual se han definido operaciones correspondientes a las de A) contiene un subconjunto B isomorfo a A”.
En general, se impone al conjunto E el cumplir propiedades que no cumpla el conjunto A.
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
144
A continuación se presenta como se construyen los conjuntos numéricos a partir de un sistema de
axiomas para los números naturales. Una de las razones por la que tiene interés la creación de nuevos
sistemas, es que la introducción de nuevos elementos permite estudiar mejor los elementos ya conocidos.
En este proceso de creación de nuevos sistemas los “isomorfismos” juegan un rol muy importante. El
proceso en sí podemos describirlo, en líneas generales, de la siguiente manera:
“Dado un conjunto A en el que se ha definido una o varias operaciones, decimos que un conjunto E es
una extensión o ampliación de A, si E (en el cual se han definido operaciones correspondientes a las
de A) contiene un subconjunto B isomorfo a A”.
En general, se impone al conjunto E el cumplir propiedades que no cumpla el conjunto A.
Para centrar el problema y ponerlo al alcance de todos, considérese que A es el conjunto de los números
naturales. Es decir, A = N. En tal conjunto la operación de “restar” no es cerrada, ya que por ejemplo,
la ecuación a + x = b, a, b ∈ N, no siempre tiene solución en N. Para que esta ecuación tenga solución
es necesario ampliar al conjunto N, creando nuevos números. Agregando el cero y los opuestos de
los naturales aparece el conjunto de los números enteros, en el cual si es posible hallar solución a la
ecuación anteriormente citada. Ahora bien, en Z ocurre que, por ejemplo, la ecuación a · x = b, a, b ∈ Z,
no siempre tiene solución, de aquí que nuevamente se necesita hacer una extensión del conjunto Z a
uno “mayor”, que lo contenga, y que ecuaciones como la mencionada se puedan resolver. Aparece
entonces el conjunto Q de los números racionales en el cual si es posible resolver dicha ecuación. No
obstante, en este nuevo conjunto aparecen nuevos problemas, que no siempre tienen solución, tal como
resolver en Q la ecuación xn = b, n ∈ Z, b ∈ Q+ . Ello da lugar a la creación de los números irracionales.
El conjunto de los números racionales ampliado con el de los números irracionales recibe el nombre de
conjunto de los números reales, que se denota R. En este nuevo conjunto, la ecuación xn = b, b < 0, no
siempre tiene solución, razón por la cual se amplía R formando el conjunto de los números complejos
que se denota por C, con lo cual el proceso de extensiones finaliza. Veamos entonces las construcciones
de estos conjuntos, indicando las propiedades más interesantes.
Es necesario indicar que esta sección presenta más bien un valor teórico que práctico, de modo que se
puede pasar directamente a estudiar el conjunto de los números complejos, dejando el de los números
reales con toda su rica operatoria en las manos del Cálculo.
2.12
Los Números Naturales
Giuseppe Peano (1858-1932) fundamenta axiomáticamente el conjunto de los números naturales de la
siguiente forma: Introduce tres conceptos primitivos;
1. Número Natural
2. Uno
3. “sucesor de” o “siguiente de”
El primero es una clase o conjunto, el segundo un objeto matemático, y el tercero una relación funcional.
Estos conceptos se caracterizan mediante los siguientes axiomas:
Axioma 1 : Los números naturales son entes de una clase N
Axioma 2 : Cada número natural se transforma en otro mediante la relación “siguiente de” que
denotamos por ∗, de modo que, si x es un N, entonces x∗ es un N, ∗ se llama el siguiente o
sucesor de x
2.12 Los Números Naturales
145
Axioma 3 : La relación ∗ tiene la propiedad
x∗ = y∗ =⇒ x = y
esto significa que dos naturales distintos tienen sucesores distintos
Axioma 4 : Existe un número natural, que se designa por 1 y que llamado “uno” que no es el
sucesor de ningún número de N. Esto es, x∗ 6= 1, para cualquier n de N.
Axioma 5 : Se admite el principio de inducción que consiste en:
“Si A es un subconjunto de N que contiene al 1, y si de la hipótesis de que contiene x se deduce
que también contiene al sucesor x∗ , entonces A contiene a todos los números naturales. Es decir,
A = N”
Este axioma 5 puede ser expresado en la siguiente forma. “Sea P una propiedad de los números
naturales tal que:
1. La propiedad se cumple para el 1
2. Del hecho que la propiedad se cumple para el natural x se deduce que la propiedad se cumple
para el siguiente de x, a saber, x∗ .
entonces la propiedad se cumple para todos los números naturales”
A partir de estos axiomas, se disponen los números naturales en una serie ordenada mediante la
aplicación reiterada de la relación “siguiente de” como se indica
1, 1∗ = 2, 2∗ = 3, 3∗ = 4, · · ·
Una forma más elegante, más simplificada, y más compacta de decir todo lo anterior es la siguiente:
Peano fundamenta axiomáticamente la teoría de los números naturales 1, 2, 3, · · · admitiendo la existencia de un conjunto que simboliza por N, cuyos elementos los llama números naturales y que satisfacen
los axiomas:
1. N es un conjunto no vacío que contiene cierto elemento particular llamado UNO
2. Está unívocamente definida una aplicación inyectiva
f
: N → N − {1}
x 7→ x
3. Si A ⊂ N tiene las propiedades:
a)
1∈A
b) x ∈ A → x∗ ∈ A
entonces A = N. Este postulado es el axioma de inducción matemática.
Tomando como base esta última presentación definimos las operaciones fundamentales de adición y
multiplicación.
2.12.1
Adición en N
Definición 2.12.1 Existe una y sólo una operación binaria en N, simbolizada + llamada adición que
satisface las dos propiedades siguientes:
1. x + 1 = x∗ , ∀x ∈ N
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
146
2.
x + y∗ = (x + y)∗ ,
∀x, y ∈ N
Esta definición de adición en N nos indica que dados dos números naturales x e y llamados sumandos,
se obtiene siempre un tercer y único x + y llamado suma.
Proposición 2.12.2 Sean m, n, p números naturales, se satisfacen las siguientes propiedades:
1) ( m + n ) + p = m + ( n + p )
Asociatividad
2)
m+n = n+m
Conmutatividad
3) m + x = n + x ⇒ m = n
Cancelación
4)
m 6= n ⇒ m + p 6= n + p
5)
m + n 6= m
Demostración.
2) La demostración involucra dos números naturales. Se fija uno, por ejemplo n y se demuestra por
inducción para m. Para ello, sea
P(m) : m + n = n + m,
∀m ∈ N
Vamos a probar que esta propiedad es válida para m = 1, y que si se cumple para m = k, entonces se
cumple para m = k∗ . Se tiene:
a) P(1) es verdadera. Esto es, 1 + n = n + 1
Obsérvese que ahora se involucra el n. Esto significa que hacemos inducción sobre n para probar el
P(1). Sea Q(n) : 1 + n = n + 1, entonces
i) Q(1) es verdadera pues 1 + 1 = 1 + 1
ii) Suponemos ahora que Q(k) es verdadera para algún k ∈ N. Esto es
Q(k) : k + 1 = 1 + k
vamos a probar que también es verdadero para el siguiente de k que es k∗ . Es decir,
Q(k∗ ) : k∗ + 1 = 1 + k∗
En efecto,
1 + k∗ = 1 + ( k + 1, ) = ( 1 + k ) + 1
= (k +1)+1
= k∗ + 1
Hemos probado así que P(1) es verdadera.
b) Suponemos ahora que para algún k ∈ N la propiedad P(k) es verdadera, es decir,
P(k) : k + n = n + k
vamos a probar que es válida para el siguiente k∗ . Esto es
P(k∗ ) : k∗ + n = n + k∗
2.12 Los Números Naturales
En efecto
147
k∗ + n =
=
=
=
(k +1)+n = k +(1+n)
k + ( n + 1 ) = k + n∗
( k + n )∗ = ( n + k )∗
n + k∗
Por tanto, P(k∗ ) es verdadera, y en consecuencia, m + n = n + m
Las restantes demostraciones quedan al interés del lector.
2.12.2
Multiplicación en N
Definición 2.12.3 Existe una y sólo una operación binaria en N, simbolizada “·” llamada multiplicación que satisface las dos propiedades siguientes:
1.
x·1 = x
∀x ∈ N
2.
x · y∗ = xy + x
∀x, y ∈ N
Esta definición nos dice que dados dos números naturales x e y llamados factores, existe un único
número natural x · y llamado producto.
Proposición 2.12.4 Sean m, n, p números naturales, se verifican:
1) ( m · n ) · p = m · ( n · p )
Asociatividad
2)
m·n = n·m
Conmutatividad
3) m · ( n + p ) =
m·n+m· p
Distributividad
4) m · x = n · x ⇒ m = n, ∀x 6= 0
Demostración.
4) Sea A el conjunto de los x ∈ N tal que
m · x = n · x =⇒ m = n
Probamos en primer lugar que 1 ∈ A.
m · 1 = n · 1 =⇒ m = n
Luego, 1 ∈ A. Ahora se prueba que si x ∈ A, entonces x∗ ∈ A. Esto es
m · x∗ = n · x∗ =⇒ m = n
En efecto,
m · x∗ = n · x∗ =⇒
=⇒
=⇒
=⇒
m·(x+1) = n·(x+1)
mx + m = nx + n
mx + m = mx + n hipótesis mx = nx
m = n cancelación
Por tanto, x∗ ∈ A. Del axioma 3 se obtiene que A = N, lo que finaliza la demostración. Las restantes
quedan para el lector.
Definición 2.12.5 La diferencia de dos elementos a y b de N corresponde a un tercer elemento c ∈ N
si y sólo si la suma de este tercer elemento con el segundo produce el primero. Es decir,
a − b = c ⇐⇒ b + c = a
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
148
Esto se puede expresar diciendo que “la sustracción es la operación inversa de la adición”. La condición
de existencia de la operación sustracción es que “a sea mayor que b”. La unicidad de la operación es
consecuencia de la propiedad de cancelación de la adición, ya que
a−b = c
y
a−b = d
b+c = a
y
b+d = a
equivale a tener
de donde
b + c = b + d =⇒ c = d
Definición 2.12.6 El cociente de dos elementos a y b de N es igual a un tercer elemento c ∈ N si y
sólo si el tercer elemento multiplicado por el segundo produce el primero. Esto es,
a
= c ⇐⇒ b · c = a
b
La condición de existencia del cociente natural es que el dividendo (a) sea múltiplo del divisor b. Es
decir, a = b · c, c ∈ N. La unicidad de la operación es consecuencia de la propiedad de cancelación de
la multiplicación, puesto que
a
a
=c
y
=d
b
b
equivale a tener
a = b·c
y
a = b·d
de donde
b · c = b · d =⇒ c = d
2.12.3
Orden en N
Damos respuesta ahora al problema de comparación de números naturales, introduciendo en N una
estructura de orden.
Definición 2.12.7 Sea x e y números naturales. Definimos la relación
x < y ⇐⇒ ( ∃n ∈ N )( y = x + n )
La expresión “x < y” se lee x es menor que y. Lo que es equivalente a decir y es mayor que x
El símbolo “≤” que se lee menor o igual que, significa
x ≤ y ⇐⇒ x < y ∨ x = y
Si x e y son números naturales, entonces se verifica uno y sólo uno de los siguientes casos:
x = y,
x < y,
x>y
esta propiedad se conoce como ley de tricotomía.
Teorema 2.12.8 La relación “≤” tiene las siguientes propiedades:
1) x ≤ x
(refleja)
2.12 Los Números Naturales
2) x ≤ y ∧ y ≤ x =⇒ x = y
149
(antisimétrica)
3) x ≤ y ∧ y ≤ z =⇒ x ≤ z (transitiva)
Demostración.
1) x ≤ x significa, de acuerdo con la definición, que x < x o bien que x = x. La primera afirmación es
falsa y la segunda verdadera. Se sigue que la disyunción x < y ∨ x = y es verdadera
2) Para la propiedad antisimétrica, tenemos que si x ≤ y ∧ y ≤ x, entonces caben las siguientes
alternativas:
1. x < y ∧ y < x
3) x < y ∧ y = x
2. x = y ∧ y < x
4) x = y ∧ y = x
Las tres primeras son incompatibles, por tanto, se cumple siempre la última. Esto muestra que la
relación es antisimétrica.
3) Para demostrar la transitividad sólo es necesario probar que
x<y
∧
y < z =⇒ x < z
ya que la igualdad es evidente. Tenemos:
x < y =⇒ ( ∃n ∈ N ) ( x + n = y )
y < z =⇒ ( ∃m ∈ N ) ( y + m = z )
de aquí resulta que ( x + n ) + m = z o bien que, x + ( m + n ) = z. Igualdad que de acuerdo con la
definición de ” < ” significa que x < z. De esta forma, la relación “≤” es de orden total en N.
Teorema 2.12.9 El orden “≤” sobre N es estable con respecto a la estructura algebraica de N. Es decir
1) x ≤ y ⇐⇒ x + z ≤ y + z
2) x ≤ y ⇐⇒ x · z ≤ y · z
Demostración.
1) El caso x = y es evidente. Veamos el “<”
x < y =⇒
=⇒
=⇒
=⇒
y = x+n
y+z = x+n+z
Por lo tanto, x ≤ y =⇒ x + z ≤ y + z
y+z = (x+z)+n
x+z < y+z
Las restantes demostraciones quedan como ejercitación.
Teorema 2.12.10 ( Principio de buena ordenación )
Cada subconjunto de números naturales que tenga por lo menos un elemento, tiene uno que es el menor
de todos. Tal elemento se llama mínimo o minimal.
Demostración.
Sea A subconjunto no vacío de N. Sea B el conjunto de todos los x ∈ N que son menores o iguales que
todo número del conjunto A. Es decir,
B = {x ∈ N/ x ≤ a,
Este conjunto tiene las siguientes propiedades:
∀a ∈ A}
150
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
1. 1 ∈ B ya que 1 ≤ a, ∀a ∈ A. Es decir, el 1 es el primer elemento de B.
2. B 6= N ya que si y ∈ A, por ser y + 1 > y resulta que hay un número que no pertenece a B.
3. Existe un p ∈ B tal que (p + 1) 6∈ B. Ello es así, ya que de lo contrario sería B = N.
Para demostrar el teorema es suficiente probar que p ∈ A. En efecto, por definición de B tenemos
que p ≤ a para todo a ∈ A. Ahora bien, para verificar que p ∈ A, afirmamos lo contrario. Es decir,
suponemos que p < a, ∀a ∈ A. De aquí resultaría p + 1 ≤ a, ∀a ∈ A. Es decir, (p + 1) ∈ B, lo
cual sabemos es falso. Esta contradicción concluye la demostración.
Teorema 2.12.11 N no posee elemento máximo. Es decir
(∀n ∈ N)(∃x ∈ N)(x > n)
Teorema 2.12.12 Si x · y = 1, entonces x = 1 o bien y = 1, ∀x, y ∈ N
Demostración.
Suponemos que uno de los factores es distinto de 1, por ejemplo, y 6= 1. En tal caso tenemos:
y 6= 1 =⇒ (∃m ∈ N))(y = m∗ = m + 1)
Luego,
x · y = x · (1 + m) = x + x · m = x + p = 1 =⇒ x < 1
Con esto estamos diciendo que x 6∈ N ¡ contradicción !. En consecuencia
x · y = 1 =⇒ x = 1 ∨ y = 1
(N, +) es semigrupo abeliano sin elemento neutro y donde cada elemento es regular (cancelable)
para la adición.
(N, ·) es semigrupo abeliano con el 1 como elemento neutro y donde cada elemento es regular
(cancelable) para la multiplicación. No es grupo pues no todo elemento tiene inverso, salvo el 1
2.13
Números Enteros
Construimos el conjunto de los números enteros a partir de los naturales, para obtener una respuesta al
problema “dada la suma de dos sumandos y uno de ellos, hallar el otro sumando”. En forma simbólica,
esto corresponde a determinar x para que la ecuación m + x = s se pueda resolver, ya que sabemos que
ella no siempre tiene solución en N. Con este fin, consideremos el conjunto
L = N × N = {(n1 , n2 )/ n1 , n2 ∈ N}
definiendo sobre él, la relación ∼ como sigue
(n1 , n2 ) ∼ (m1 , m2 ) ⇐⇒ n1 + m2 = m1 + n2
Se observa que, en particular, (5, 2) ∼ (9, 6) y que (5, 2) 6∼ (8, 4). También, no es difícil probar que esta
relación es de equivalencia, y que por ende, da lugar a una partición de L en clases de equivalencia.
Definición 2.13.1 El conjunto (N × N)/ ∼ = Z de las clases de equivalencia se llama conjunto de los
números enteros, y cada clase de equivalencia, se llama número entero.
2.13 Números Enteros
151
[a, b] = C(a,b) = {(x, y) ∈ N × N/ (x, y) ∼ (a, b)}
Esto no sirve de nada si no dotamos a Z de una estructura algebraica, con las clases de equivalencia
podemos intentarlo, definiendo una suma y un producto entre ellas, como sigue:
[a, b] + [c, d] = [a + c, b + d]
[a, b] · [c, d] = [ac + bd, ad + bc]
Estas operaciones se encuentran bien definidas. En efecto,
[a1 , b1 ] = [a2 , b2 ] ∧ [c1 , d1 ] = [c2 , d2 ]
implican:
[a1 , b1 ] + [c1 , d1 ] = [a2 , b2 ] + [c2 , d2 ]
[a1 , b1 ] · [c1 , d1 ] = [a2 , b2 ] · [c2 , d2 ]
2.13.1
Adición
Sea a número natural y consideremos en Z la clase [a + x, x]
Proposición 2.13.2 La aplicación f : N → Z tal que a 7→ f (a) = [a + x, x] es un isomorfismo entre N
y f (N)
Demostración.
1) f es inyectiva pues
f (a) = f (b) =⇒
=⇒
=⇒
=⇒
[a + x, x] = [b + y, y]
(a + x, x) ∼ (b + y, y)
a+x+y = x+b+y
a = b cancelación en N
Luego, f es inyectiva.
2) f preserva pues, si f (a) = [a + x, x], f (b) = [b + y, y], entonces
f (a) + f (b) = [a + x, x] + [b + y, y]
= [a + x + b + y, x + y]
= [a + b + z, z]
= f (a + b)
esto prueba que f preserva operaciones.
De esta manera, podemos considerar que la clase [a + x, x] no es otra cosa que el número natural a
escrito en otra forma, bajo este punto de vista, identificamos N con su imagen f (N) por medio del
isomorfismo canónico f en Z. Es decir, N ⊂ Z, a = [a + x, x]. Luego, Z contiene a N como subconjunto
propio, llamándose enteros positivos a tales elementos de N. De manera completamente análoga se
puede probar que
Proposición 2.13.3 La aplicación g : N → Z tal que b 7→ f (b) = [x, x + b] es un isomorfismo entre N
y una parte de f (N).
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
152
Dado que se convino en que a = [a + x, x], entonces en este caso se conviene que [x, x + b] = −b, y a
los elementos (−b) los llamamos enteros negativos. Finalmente, a la clase [x, x] la llamamos el entero
cero y escribimos [x, x] = 0. En resumen:
Z = N ∪ N− ∪ {0}
[a, b] = a − b
En efecto, sean a = [a + x, x], b = [b + y, y], −b = [y, y + b], entonces
a−b =
=
=
=
=
=
a + (−b) = [a + x, x] + [y, y + b]
[a + x + y, x + y + b]
{(u, v)/ (u, v) ∼ (a + x + y, x + y + b)}
{(u, v)/ u + a + x + y = v + x + y + b}
{(u, v)/ u + a = v + b}
[a, b]
Se tiene entonces que N, N− , {0} constituyen una partición de Z pues,
[a, b] ∈ N
⇐⇒ a > b
[a, b] ∈ N− ⇐⇒ a < b
[a, b] = 0
⇐⇒ a = b
y que para [a, b] cualesquiera se presenta sólo uno de los siguientes casos:
a < b,
a > b,
a=b
Ejemplo 2.13.4
(1)
[1, 7] + [2, 3] = [3, 10] = −7 ∈ N−
(2)
[1, 1] + [2, 3] = [3, 4] = −1 = [2, 3] ∈ N−
(3) [5, 3] + [3, 5] = [8, 8] = 0 ∈ {0}
Resulta entonces que [1, 1] es el neutro para la suma y que [b, a] es el opuesto de [a, b]
2.13.2
Multiplicación
La operación de multiplicación de clase generaliza la operación de multiplicación de los números
naturales pues;
[a + x, x] · [b + x, x] = [ab + ax + bx + xx + xx, ax + xx + bx + xx]
a·b
= [ab + y, y]
= ab
Más aún,
Proposición 2.13.5 La aplicación f : N → Z, a 7→ f (a) = [a + x, x] es un isomorfismo bajo multipli-
cación de N en f (N) ⊂ Z.
Demostración.
2.13 Números Enteros
153
Considerando x = 1 se tiene
f (a · b)
= [ab + 1, 1]
f (a) · f (b) = [a + 1, 1] · [b + 1, 1]
= [ab + a + b + 1 + 1, a + b + 1 + 1]
= [ab + 1, 1]
= f (a · b)
Esto prueba el isomorfismo.
Se observa que, por ejemplo, [2, 1] · [a, b] = [2a + b, 2b + a] = [a, b]. Es decir, [2, 1] es la unidad de Z.
Hasta aquí tenemos que; efectivamente Z es una extensión de N, en el sentido que Z contiene una
“copia” de N, precisamente f (N). Esto se debe al isomorfismo canónico, ya que el traduce en Z toda
propiedad que se verifica en N, con la única diferencia que efectuamos las operaciones con los f (n) en
f (N), en lugar de hacerlo con los n ∈ N.
2.13.3
Sustracción
Como para todo [a, b] ∈ Z existe [b, a] tal que
[a, b] + [b, a] = [1, 1] = 0
resulta que la operación inversa de la adición que es la sustracción queda definida. Más precisamente:
Definición 2.13.6 Sea x = [a, b], y = [c, d], entonces z = [a + d, b + c] se llama diferencia entre x
(minuendo) e y (sustraendo). Se escribe z = x − y. Usando notación de clases esto equivale a
[a, b] − [c, d] = [a + d, b + c]
En general, al no haber inconvenientes en el uso del signo “-” como opuesto o como entero negativo y
como símbolo de la operación sustracción podemos escribir
x − y = x + (−y)
2.13.4
Orden
La siguiente definición introduce un ordenamiento en el conjunto Z.
Definición 2.13.7 Sean a, b ∈ Z. Se satisface que:
a) a < b ⇐⇒ b − a ∈ N
b) a ≤ b ⇐⇒ a < b ∨ a = b
Proposición 2.13.8 La relación ” ≤ ” es de orden total en Z, respetuosa de la estructura algebraica de
Z. Es decir
(1)
x ≤ y =⇒ x + z ≤ y + z,
(2)
x ≤ y =⇒ x · z ≤ y · z,
∀z ∈ Z
∀z ≥ 0
Demostración.
Primero veamos que dicha relación es de orden. Esto significa que debe ser refleja, antisimétrica y
transitiva.
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
154
Refleja
x ∈ Z =⇒ x = x =⇒ x ≤ x
Antisimétrica
x ≤ y ∧ y ≤ x =⇒ x = y
cualquier otra alternativa para la pareja (x, y) es imposible.
Transitiva. Es claro que
x < y ∧ y < z =⇒ x < z
Por tanto, la relación ” ≤ ” es de orden.
Ahora bien, dados a, b ∈ Z se tiene:
a − b ∈ N =⇒ a > b
a − b = 0 =⇒ a = b
b − a ∈ N =⇒ a < b
De esta forma, la relación “≤” es de orden total.
Probemos ahora que respeta la estructura algebraica de Z.
a) Veamos la primera proposición, en cuanto a “<”.
x < y =⇒ y − x ∈ N
=⇒ (y + z) − (x + z) ∈ N,
=⇒ y + z > x + z
z∈Z
Como x = y implica x + z = y + z, entonces se concluye que
x ≤ y =⇒ x + z ≤ y + z
b) x ≤ y ⇐⇒ x < y ∨ x = y
Si x = y, entonces xz = yz, ∀z ∈ Z, y si x < y, entonces y − x ∈ N. Para z > 0 se tiene que z(y − x) ∈ N
pues la multiplicación es cerrada en N. De aquí que zx ≤ zy. En el caso z = 0 se obtiene z(y − x) = 0,
de donde zx = zy. De esta forma, en cualquier caso es zx ≤ zy.
El recíproco de cada enunciado del teorema anterior es válido. Esto es,
x+z ≤ y+z
=⇒ x ≤ y
z ≥ 0 ∧ xz ≤ yz =⇒ x ≤ z
Definición 2.13.9 El valor absoluto de un entero z corresponde a
(
z,
z≥0
|z| =
−z, z < 0
y satisface las siguientes propiedades:
1) −|z| ≤ z ≤ |z|
4) |z1 | − |z2 | ≤ |z1 + z2 |
2) |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |
5) |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |
3) |z1 | − |z2 | ≤ |z1 − z2 |
2.13 Números Enteros
2.13.5
155
Propiedades de los enteros
Definición 2.13.10 Un entero p 6= 0 se llama divisor o factor de un entero q si existe un entero r tal
que q = p · r. Se anota p|q para indicar que p divide a q.
Así por ejemplo, 3|6 pues existe 2 ∈ Z tal que 6 = 2 · 3.
Teorema 2.13.11 Si a|b ∧ a|c =⇒ a|(bx + cy), ∀x, y ∈ Z
a|b =⇒ ( ∃s ∈ Z ) (b = a · s )
a|c =⇒ ( ∃t ∈ Z ) (c = a · t )
Luego, bx + cy = asx + aty = a( sx + ty ). En consecuencia, a|(bx + cy)
Definición 2.13.12 Un entero p 6= 0, 1, −1 se llama primo si y sólo si sus únicos divisores son ±p, ±1.
De aquí que 2 es primo, mientras que 4 no lo es.
Definición 2.13.13 El máximo común divisor (mcd) de dos enteros m y n, es aquel entero positivo d
que satisface:
1. d divide tanto m como n.
2. cualquier otro número que divida m y n también divide d.
En forma simbólica, si (m, n) denota el mcd entre m y n, entonces
(
d|m ∧ d|n
(m, n) = d ⇐⇒
c|m ∧ c|n =⇒ c|d
Por ejemplo, (6,-15)=3, (6,35)=1
Para hallar el máximo común divisor de dos números sólo se necesita hacer una lista de sus divisores y
escoger el mayor que sea común a ambos. Es claro que el procedimiento es largo, sin embargo existe el
método siguiente que es más breve.
Teorema 2.13.14 Si a y b son enteros no nulos, entonces existen enteros q y r, únicos, llamados
cociente y resto respectivamente, tales que
a = bq + r,
0 ≤ r < |b|
Demostración.
Definimos el conjunto S = {a − bx/ x ∈ Z}. Se tiene:
b < 0 =⇒
b · |a| ≤ −|a| ≤ |a|
=⇒ |a| − b |a| ≥ 0
b > 0 =⇒ b · ( −|a| ) ≤ −|a| ≤ a =⇒ a − b (−|a|) ≥ 0
De esta forma, S contiene enteros no negativos. Sea r el entero más pequeño y positivo que se encuentra
en S. Siendo así, este r = a − bq, b ∈ Z. Si r ≥ |b|, entonces r − |b| ≥ 0. Esto equivale a decir que,
r − |b| = a − bq − |b| ≥ 0. De aquí que se tengan las alternativas:
a − bq − b = r − b < r, b ≥ 0
a − bq + b = r + b < r, b < 0
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
156
Cualesquiera de estas alternativas contradicen el hecho que r sea el entero más pequeño de S. Luego,
debe ser r < |b|. En consecuencia
r = a − bq siempre que
0 ≤ r < |b|
o bien, a = bq + r si 0 ≤ r < |b|
Veamos ahora la prueba de la unicidad.
Sean q 0 , r 0 otros pares de enteros tales que
a = bq 0 + r 0 ,
0 ≤ r 0 < |b|
se tiene entonces que
bq 0 + r 0 = bq + r =⇒ b( q 0 − q ) = r − r 0 =⇒ b|( r − r 0 )
pero sabemos que 0 ≤ r 0 < |b|, y que 0 ≤ r < |b|. Entonces
0 ≤ r 0 < |b|
=⇒ −|b| < r 0 − r < |b|
−|b| < −r ≤ 0
=⇒ |r 0 − r| < |b|
=⇒ r 0 − r = 0 =⇒ r = r 0
como b 6= 0, entonces q 0 − q = 0, de donde se obtiene q = q 0 . En consecuencia, r y q son únicos.
Corolario 2.13.15 Si d = (a, b), entonces existen m, n ∈ Z tales que d = ma + nb.
Ejemplo 2.13.16 Calcular el mcd entre 726 y 275. Hallar m y n del corolario.
Solución
726
275
176
99
77
22
=
=
=
=
=
=
275 · 2 + 176
176 · 1 + 99
99 · 1 + 77
77 · 1 + 22
22 · 3 + 11
11 · 2 + 0
275 : 176 = 1
099
176 : 99 = 1
077
99 : 77 = 1
22
77 : 22 = 3
11
Luego, d = 11
Para hallar m y n se tiene:
11 =
=
=
=
=
=
=
=
=
=
77 − 22 · 3
77 − ( 99 − 77, ) · 3
77 · 4 − 99 · 3
( 176 − 99 ) · 4 − 99 · 3
176 · 4 − 99 · 7
176 · 4 − ( 275 − 176 ) · 7
176 · 11 − 275 · 7
( 726 − 275 · 2 ) · 11 − 275 · 7
726 · 11 − 275 · 29
11 · 726 + 275 · (−29)
2.13 Números Enteros
157
Se tiene así que m = 11 y n = −29.
Definición 2.13.17 Dos enteros a y b se dicen primos relativos si y sólo si (a, b) = 1.
Así por ejemplo, 7 y 11 son primos relativos, mientras que 3 y 21 no lo son.
Proposición 2.13.18
1) c|ab ∧ (a, c) = 1 =⇒ c|b
2) (a, b) = 1 ∧ (b, s) = 1 =⇒ (ab, s) = 1
Demostración.
(a, c) = 1 =⇒ ( ∃m, n ∈ Z )( 1 = m · a + n · c )
=⇒ ( ∃m, n ∈ Z )( b = mab + ncb )
como c|ab, de modo que ab = rc, para algún r ∈ Z. Luego,
b = mrc + nbc = ( mr + nb ) · c = k · c
esto prueba que c|b
2) Supongamos que (ab, s) = d < 1. Entonces existen m, n ∈ Z tales que mab + ns = d. Luego, d|ab y
d|s. Como (a, s) = 1 entonces d6| a. Esto
hace que se tenga que d|b. Pero (b, s) = 1, entonces d6| b.
Tenemos así una contradicción. En consecuencia debe ser d = 1.
Teorema 2.13.19 Si p es primo y si p|ab entonces p|a o p|b, a, b ∈ Z.
Demostración.
Si suponemos que p 6 |a, entonces (p, a) = 1. Se sigue que 1 = mp + na para m, n ∈ bbbz. Luego
b = mpb + nab. Como p|ab, se tiene que ab = rp, para algún r ∈ Z. Por tanto, b = mpb + nrp =
(mb + nr) · p. con k = mp + nr se tiene que b = k · p. En consecuencia p|b
En general se tiene el siguiente resultado.
Teorema 2.13.20 Si p es primo tal que p|(a1 , a2 , · · · an ), entonces p es divisor de al menos uno de los
an .
Teorema 2.13.21 ( de factorización única )
Todo entero mayor que 1 tiene una única factorización, excepto el orden, como producto de primos
relativos.
Ejemplo 2.13.22 Expresar los números 2241756 y 8566074 como un producto de primos positivos y
obtener su mcd.
Solución
2241756 = 22 · 34 · 11 · 17 · 37
8566074 = 2 · 34 · 112 · 19 · 23
Se deduce que el mcd es 2 · 34 · 11
Definición 2.13.23 Una expresión de la forma ax ≡ b ( mod m) se llama congruencia lineal, siendo
a, b, m enteros fijos, m > 0.
Una solución de la congruencia lineal es un entero x1 que satisface ax1 − b = km, k ∈ Z
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
158
Ejemplo 2.13.24 La congruencia 2x ≡ 3(mod 4) no tiene solución, ya que todos los candidatos son
0,1,2,3, y ninguno de ellos la satisface. Para la congruencia 3x ≡ 2(mod 4), los candidatos a solución
son 0,1,2,3. Para x = 2 se tiene 6 − 2 = 4 · 1. De esta forma x = 2 es solución. Desde luego cualquier
entero congruente con él módulo 4, es decir, x1 = [2] es solución, y no hay otras soluciones.
Surge la pregunta ¿Cuándo ax ≡ b(mod m) tiene solución?. La respuesta es la siguiente
Teorema 2.13.25 La congruencia ax ≡ b(mod m) tiene solución si y sólo si d = (a, m) es divisor de
b. Cuando b|d la congruencia tiene exactamente d soluciones incongruentes (d clases de soluciones).
Ejemplo 2.13.26 La congruencia 6x ≡ 2 (mod 4) tiene como candidatos a ser solución, {0, 1, 2, 3}.
Dado que (6, 4) = 2 y 2|2, se concluye que hay dos clases de soluciones; x1 = 1 y x2 = 3. Por tanto, [1]
y [3] son las soluciones incongruentes.
2.14
Números Racionales
En el conjunto Z de los enteros, la ecuación
a · x = b,
a 6= 0
no siempre tiene solución en Z
Esta es una buena razón para definir un conjunto más amplio, de manera que incluya a los enteros y
respete su estructura algebraica y de orden.
Consideremos Z × Z∗ y definamos allí la relación “∼” como sigue
(a, b) ∼ (a1 , b1 ) ⇐⇒ a b1 = a1 b
No es difícil verificar que esta relación es de equivalencia en Z × Z∗
Definición 2.14.1 El conjunto (Z × Z∗ )/ ∼ de las clases de equivalencia se llama conjunto de los
números racionales, y cada clase de equivalencia se llama número racional
Simbolicamente:
Q
= (Z × Z∗ )/ ∼
x
y
= clase de equivalencia
C(x,y) = {(a, b) ∈ Z × Z ∗ / (a, b) ∼ (x, y)}
Daremos a Q una estructura algebraica, definiendo una suma y un producto entre las clases de
equivalencia, como sigue:
x w
+
y z
=
xz + yw
yz
x w
·
y z
=
x·w
y·z
ambas definiciones tienen sentido ya que y, z 6= 0
Teorema 2.14.2 Q con la suma y producto, recién definidos, es un cuerpo.
2.14 Números Racionales
159
0
a 1
El neutro es , a 6= 0 para la suma, y el elemento identidad para la multiplicación es = .
a
a 1
Vamos a mostrar ahora que Q “extiende” a Z con su estructura algebraica y de orden, es decir, vamos a
probar que Q contiene una “copia” de Z, que permite identificar Z con un subconjunto de los racionales.
x
Teorema 2.14.3 La aplicación i : Z → Q, x 7→ = x 0 es una inyección “respetuosa” de la estructura
1
algebraica de los enteros, es decir,
i(x + y) = i(x) + i(y)
i(x · y)
= i(x) · i(y)
Igual que antes, esto permite identificar x ∈ Z con x 0 ∈ Q, y considerar los enteros como un subconjunto
de los racionales. Se tiene así que la suma y producto de dos enteros en Q es un entero. El cero se
identifica con el cero y la unidad con la unidad. Además, para p.q enteros, q 6= 0 se tiene que
p
es entero ⇐⇒ p = q · r,
q
para algún r ∈ Z
Orden en Q
Definición 2.14.4 Sea
conjunto que satisface:
x
∈ Q. Se llama conjunto de los racionales positivos, que se anota Q+ , al
y
x
∈ Q+ ⇐⇒ xy > 0 ∈ Z
y
Teorema 2.14.5 El conjunto de los racionales positivos verifica:
1. a, b ∈ Q+ → a + b ∈ Q+ , a · b ∈ Q+
2. a ∈ Q → a ∈ Q+ ∨ a = 0 ∨ (−a) ∈ Q+
Teorema 2.14.6 La relación “≤” es de orden total sobre el conjunto de los racionales, “respetuosa”
de la estructura algebraica de Q. Es decir, para x, y, z racionales se verifica:
1. x ≤ y → x + z ≤ y + z
2. x ≤ y ∧ 0 ≤ z → x · z ≤ y · z
Se debe resaltar que, “≤” es el único orden en Q, repetuoso del álgebra de Q, que preserva el orden de
Z.
Teorema 2.14.7 Sean a, b racionales, entonces:
1. x < y → (∃c ∈ Q)(x < c < y) (densidad)
2. 0 < x ∧ y ∈ Q → (∃n ∈ Z+ )(n · x ≥ y) (propiedad arquimediana)
Por lo general, estos resultados se demuestran en el primer curso de cálculo.
2.14.1
Números reales
En el conjunto Q de los números racionales, al igual que en el conjunto de los naturales y de los enteros,
se presentan defectos que hay que corregir. Esta es una buena razón para construir un conjunto más
amplio que Q, que lo contenga como subconjunto propio y que además permita corregir las falencias
halladas en Q. Este nuevo conjunto se denomina conjunto de los números reales y se simboliza por
R.
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
160
Sobre este conjunto R tendrá sentido ahora, resolver, por ejemplo, las ecuaciones x2 = 2, 5x = 7. Los
caminos más comunes para construir R son: “sucesiones de Cauchy” o bien “cortaduras” de Dedikend.
El primero es propio del cálculo y el segundo del álgebra. Veamos que son estas “cortaduras”.
Definición 2.14.8 Sea C subconjunto de Q. C es una cortadura si:
1.
2.
3.
4.
C 6= 0/
C 6= Q
p ∈ C, q < p =⇒ q ∈ C
C no tiene máximo en Q
Teorema 2.14.9 p ∈ C, q 6= C =⇒ p < q
Demostración.
Supongamos que p ≥ q. Como p ∈ C, entonces q ∈ C. Una contradicción. Por tanto, p < q.
Teorema 2.14.10 Sea r ∈ Q, entonces r∗ = C(r) = {p ∈ Q/ p < r} es una cortadura llamada racional.
Demostración.
i) (r − 1) ∈ Q ∧ r − 1 < r =⇒ (r − 1) ∈ r∗ . Esto prueba que r∗ 6= 0/
2i) (r + 1) ∈ Q ∧ r < r + 1 =⇒ (r + 1) 6∈ r∗ . Esto prueba que r∗ 6= Q
3i) c ∈ r∗ , a < c =⇒ c < r =⇒ a < r =⇒ a ∈ r∗ .
4i) Si c ∈ r∗ , entonces a < c. Como Q es denso, se sigue que existe un d ∈ Q tal que c < d < r, por
ejemplo d = 12 (c + r). Por tanto, d ∈ r∗ , d > c. Se concluye que r∗ no tiene máximo. Lo que si es claro
es que r es el supremo de r∗ en Q.
Definición 2.14.11 Sean C1 , C2 cortaduras, entonces
1.
2.
3.
4.
5.
6.
C1 = C2 si son idénticos como conjuntos.
C1 < C2 si y sólo si existe p ∈ Q tal que p ∈ C2 y p 6∈ C1 .
C1 ≤ C2 si y sólo si C1 < C2 o C1 = C2 .
C(r) nula si y sólo si C(r) = {p ∈ Q/ p < r, r > 0}.
C(r) positiva si y sólo si C(r) = {p/ p ∈ Q−1 }.
C(r) negativa si y sólo si C(r) = {p ∈ Q/ p < r, r < 0}.
Ejemplo 2.14.12 C(5) < C(7) pues existe s ∈ Q tal que 5 < 6 < 7, teniéndose entonces que 6 6∈ C(5)
y 6 ∈ C(7). Por otra parte, C(2) es positiva y C(−5) es negativa.
Proposición 2.14.13 C1 < C2 ⇐⇒ C1 es subconjunto propio de C2 .
Demostración.
→ ) C1 < C2 implica que existe p ∈ C2 , p 6∈ C1 . Por tanto, C1 6= C2 . Por otra parte, si x ∈ C1 , entonces
x < p pues, p 6∈ C1 . Como p ∈ C2 y x < p, entonces x ∈ C2 . Esto prueba que C1 es subconjunto propio
de C2 .
←) Si C1 no es subconjunto propio de C2 , entonces existe p ∈ C2 tal que p 6∈ C1 . Esto prueba que
C1 < C2 .
Teorema 2.14.14 La relación ≤ en el conjunto de las cortaduras C (Q) es de orden total.
Demostración.
1) C1 ≤ C1 , ∀C1 ∈ C(Q), pues C1 = C1 . Por tanto, ¡refleja!
2.14 Números Racionales
161
2) C1 ≤ C2 , ∧ C2 ≤ C1 =⇒ C1 ⊂ C2 ∧ C2 ⊂ C1 =⇒ C1 = C2 . Por tanto, ¡simétrica!
3) C1 ≤ C2 , ∧ C2 ≤ C3 =⇒ C1 ⊂ C2 ∧ C2 ⊂ C3 =⇒ C1 ⊂ C3 =⇒ C1 ≤ C3 . Por tanto, ¡transitiva!
4) Tricotomía:
Sean C1 , C2 cortaduras tales que C1 6= C2 , entonces se tiene que
( ∃p ∈ C1 ∧ p 6∈ C2 )
∨
( ∃q 6∈ C1 ∧ q ∈ C2 )
es decir,
C1 6= C2 =⇒ C1 = C2 ∨ C1 = C2 ∨ C1 > C2
La definición 2 muestra que C1 = C2 ∧ C1 < C2 es imposible, así como C1 = C2 ∧ C2 < C1 . La
incompatibilidad de tener C1 < C2 ∧ C2 < C1 se debe a la proposición 1.
En el conjunto C (Q) de todas las cortaduras ya se han definido una igualdad y una relación de orden
total. Ahora se le va a dotar de las operaciones de adición y multiplicación.
2.14.2
Adición de cortaduras
Definición 2.14.15 Si C1 y C2 son cortaduras, entonces la expresión C1 +C2 representa la suma de
ambas cortaduras, y se tiene
C1 +C2 = {p + q/ p ∈ C1 , q ∈ C2 }
Proposición 2.14.16 ( Q(Q), + ) es un grupo abeliano.
Demostración.
a) C1 +C2 es cortadura ya que:
i) C1 +C2 6= 0,
/ pues C1 y C2 son no vacías.
2i) C1 +C2 6= Q, ya que si s 6∈ C1 y t 6∈ C2 , entonces para p ∈ C1 , q ∈ C2 se tiene
p < s ∧ q < t =⇒ p + q < s + t
de esta forma, (s + t) 6∈ C1 +C2 . Luego, (s + t) ∈ Q, y en consecuencia, C1 +C2 6= Q.
3i) Sea x ∈ C1 +C2 , y < x. Hay que probar que y ∈ C1 +C2 . Al respecto se tiene: x ∈ C1 +C2 implica
x = p + q para algún p ∈ C1 , q ∈ C2 . Se elige t tal que y = t + q, t ∈ Q, q ∈ C2 . Dado que y < x, entonces
t < p. Como p ∈ C1 =⇒ t ∈ C1 , se concluye que y = t + q ∈ C1 +C2
4i) Para todo x ∈ C1 +C2 se tiene que x = p + q, p ∈ C1 , q ∈ C2 . Pero C1 no tiene máximo en Q, luego,
existe r ∈ C1 tal que p < r, de donde x = p + q < r + q ∈ C1 +C2 . En cosecuencia, C1 +C2 no tiene
máximo en Q.
b) “+” es conmutativa
C1 +C2 = {p + q/ p ∈ C1 , q ∈ C2 } = {q + p/ q ∈ C2 , p ∈ C1 }
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
162
c) “+” es asociativa
C1 + (C2 +C3 ) =
=
=
=
=
C1 + {q + r/ q ∈ C2 , r ∈ C3 }
{p + (q + r)/ p ∈ C1 , q ∈ C2 , r ∈ C3 }
{(p + q) + r/ p ∈ C1 , q ∈ C2 , r ∈ C3 }
{p + q)/ p ∈ C1 , q ∈ C2 } +C3
(C1 +C2 ) +C3
d) El neutro para la adición es la cortadura racional 0∗ , en efecto, C1 + 0∗ = C1 , ya que:
i) x ∈ (C1 + 0∗ ) =⇒ x = p + q con p ∈ C1 , q ∈ 0∗ . Dado que q ∈ 0∗ =⇒ q < 0, entonces x < p, y como
p ∈ C1 =⇒ x ∈ C1 . Es decir, C1 + 0∗ ⊂ C1
noindent 2i) Sea x ∈ C1 , como C1 no tiene máximo, existe y ∈ C1 tal que x < y. Sea p = x − y, esto
implica que p ∈ 0∗ . Además, x = y + p con y ∈ C1 , p ∈ 0∗ . Esto signfica que x ∈ C1 + 0∗ . Por tanto,
C1 ⊂ C1 + 0∗
De i) y 2i) se concluye que C1 = C1 + 0∗
e) Si C1 ∈ C (Q), entonces C2 = {p ∈ Q/ − p 6∈ C1 , −p 6= min{x/ x 6∈ C1 } } es una cortadura tal que
C1 +C2 = 0∗
En efecto:
1) En primer lugar, probemos que C2 es cortadura.
i) C2 6= 0,
/ pues C1 6= 0/
2i) C2 6= Q, ya que C1 6= 0/
3i) Sea p ∈ C2 , q < p, entonces −p 6∈ C1 , −q > −p. Luego, −q 6∈ C1 . Es claro que −q 6= min{x/ x 6∈ C1 }.
Por tanto, q ∈ C2 .
4i) C2 no tiene máximo en Q ya que cualquier p ∈ C2 tenemos que −p 6∈ C1 , y, −p 6= {x/ x 6∈ C1 }. O
sea, existe −q 6∈ C1 con −q < −p. Sea ahora, r = 12 (p + q), entonces −q < −r < −p, y como −r 6∈ C1
(por que −q 6∈ C1 ), entonces r ∈ C2 . Es decir, dado cualquier p ∈ C2 existe r ∈ C2 tal que r > p, o sea
C2 no tiene máximo en Q
2) Probemos ahora que C1 +C2 = 0∗
i) Sea x ∈ C1 +C2 , entonces x = p + q, con p ∈ C1 , q ∈ C2 . Por lo tanto, −q 6∈ C1 . Es decir, −q > p.
Esto significa que x < 0. Esto es, x ∈ 0∗
2i) Sea x ∈ 0∗ , entonces x < 0. Sea p ∈ C1 , y sea sn = p − nx, entonces existe un único n tal que sn ∈ C1 ,
sn+1 6∈ C1 . Ahora tenemos dos alternativas:
a) si sn+1 6= min{x/ x 6∈ C1 }, entonces −sn+1 ∈ C2 . Como sn − sn+1 = x, entonces x ∈ C1 +C2 .
b) Sean, sn+1 = min{x/ x ∈ C1 }, q = sm − 2x < sn+1 = mı́n{x/ x ∈ C1 }. Entonces q ∈ C1 y r = sm+1 − 2x >
sm+1 , o sea r 6∈ C1 , r 6= min{x/ x 6∈ C1 }. Por tanto, r ∈ C2 . Resulta claro que x = q − r, luego, x ∈ C1 +C2 .
2.14 Números Racionales
163
: La cortadura C2 recién definida es la opuesta de C1 y se designa por −C1 . Así por ejemplo, para
C(1) = {p/ p < 1} se tiene.
−C(1) =
=
=
=
=
{−p 6∈ C1 , −p 6= {x/ x 6∈ C1 }}
{−p ≥ 1, −p 6= 1}
{−p > 1}
{p ∈ Q/ p < −1}
C(−1)
Proposición 2.14.17 La suma definida preserva el orden. Es decir,
C1 < C2 =⇒ C1 +C3 < C2 +C3 ,
∀C3 ∈ C (Q)
Demostración.
Si x ∈ C1 +C3 , entonces x = p + r, p ∈ C1 , r ∈ C3 . Dado que p ∈ C1 =⇒ pinC2 , se sigue que
x = p + r, p ∈ C2 , r ∈ C3 =⇒ x ∈ C2 +C3
por lo tanto, C1 +C3 ⊂ C2 +C3 (propio). No se puede dar la igualdad, ya que C1 +C2 = C2 +C3 =⇒
C1 = C2 (en todo grupo). Esto contradiciría el hecho que C1 < C2 . Ahora,
C1 +C3 ⊂ C2 +C3 (propio) =⇒ C1 +C3 < C2 +C3
Hasta aquí tenemos que la estructura ( C (Q), +, ≤ ) es un grupo abeliano ordenado. Vamos a definir
una nueva operación en C (Q) para formar un cuerpo, pero previamente definimos el módulo de una
cortadura.
(
C,
si C ≥ 0∗
Definición 2.14.18 Sea C ∈ C (Q), entonces |C| =
−C, si C < 0∗
Es claro que |C| es una cortadura, ya que C y −C lo son
|C| ≥ 0∗ . En efecto:
i) C ≥ 0∗ =⇒ |C| = c ≥ 0∗
2i) C < 0∗ =⇒ (−C) +C < (−C) + 0∗
Por tanto, |C| ≥ 0∗
(proposición 3). Luego, (−C) > 0∗ , o sea |C| = −C > 0∗ .
3i) |C| = 0∗ ⇐⇒ C = 0∗ . En efecto,
→) 0∗ = |C| =⇒ 0∗ = C ∨ 0∗ = −C =⇒ C = 0∗
←) Por definición C = 0∗ =⇒ |C| = 0∗
Definición 2.14.19 Sean C1 , C2 ∈ C (Q), entonces el producto C1 ·C2 está definido como
C1 ·C2 =

 |C1 | |C2 |, si (C1 ≥ 0∗ ∧ C2 ≥ 0∗ ) ∨ (C1 < 0∗ ∧ C2 < 0∗ )

−|C1 | |C2 | si (C1 ≥ 0∗ ∧ C2 < 0∗ ) ∨ (C1 < 0∗ ∧ C2 ≥ 0∗ )
en donde,
|C1 | |C2 | = {x ∈ Q/ x < 0 ∨ x = pq, con p ≥ 0, q ≥ 0, p ∈ |C1 |, q ∈ |C2 |}
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
164
Proposición 2.14.20 El par ( C (Q) − {0∗ }, · ) es un grupo abeliano.
Demostración.
i) Clausura: Para probar que C1 · C2 ∈ C (Q), basta probarlo para las cortaduras no negativas. Sean
entonces, C1 ≥ 0∗ , C2 ≥ 0∗ .
Si C1 = 0∗ ∨ C2 = 0∗ , entonces
C1 ·C2 = {x ∈ Q/ x < 0 ∨ x = pq, p ≥ 0, q ≥ 0, p ∈ C1 , q ∈ C2 }
= {x ∈ Q/ x < 0} = 0∗ ∈ C (Q)
Ahora, con C1 > 0∗ y C2 > 0∗ se tiene que
C1 ·C2 = {x ∈ Q/ x < 0 ∨ x = pq, p > 0, q > 0, p ∈ C1 , q ∈ C2 }
a) C1 ·C2 6= 0,
/ pues −1 ∈ C1 C2
b) C1 ·C2 6= Q, pues existen p, q ∈ Q+ tal que p 6∈ C1 , q 6∈ C2 . Si r = max{p, q}, entonces x = r2 ∈ Q,
pero x 6∈ C1 C2 , ya que si así no fuera se tendría r2 = p1 q1 , con p1 ∈ C1 , q1 ∈ C2 . Por la ley de tricotomía,
p1 = r, p1 > r, p1 < r y también, q1 = r, q1 > r, q1 < r. Por tanto, p1 < r, q1 < r, de donde r2 > p1 q1 .
¡Contradicción!. En consecuencia, x 6∈ C1 C2 .
3i) Sea x ∈ C1 C2 , y < x.
Si y < 0, entonces y ∈ C1 C2 .
Si y ≥ 0, entonces x > 0. Luego, existe p > 0, q > 0, con p ∈ C1 , q ∈ C2 , tales que x = pq. Sea r = yp ,
entonces r ∈ Q, y además, y = pr < pq = x =⇒ r < q, pero q ∈ C2 . En consecuencia, r ∈ C2 . Luego,
y = pr ∈ C1 C2 .
Suponemos que existe m ∈ C1 C2 tal que m ≥ x, ∀x ∈ C1 C2 , entonces como C1 C2 tiene elementos
positivos, necesariamente m > 0. Es decir, existe p > 0, p ∈ C1 , q > 0, q ∈ C2 , tal que m = pq. Pero
p ∈ C1 , y se sabe que C1 no tiene máximo en Q, luego, existe r ∈ C1 tal que r > p. Así, se tiene
x = rq > pq = m. Pero x ∈ C1 C2 , leugo, m no es máximo. ¡Contradicción!. En consecuencia, no existe
máximo de C1 C2 en Q
2) Probemos ahora que C1 C2 = C2 C1
Se observa que si C1 = 0∗ o C2 = 0∗ , entonces C1 C2 = C2 C1 . Luego, debemos analizar los casos:
C1 > 0∗ y C2 > 0∗ , C1 < 0∗ y C2 > 0∗ , C1 > 0∗ y C2 < 0∗ , C1 < 0∗ y C2 < 0∗ :
i) Si C1 > 0∗ y C2 > 0∗ , entonces
C1 ·C2 = {x ∈ Q/ x < 0 ∨ x = pq, con p ≥ 0, q ≥ 0, p ∈ C1 , q ∈ C2 }
= {x ∈ Q/ x < 0 ∨ x = qp, con p ≥ 0, q ≥ 0, p ∈ C1 , q ∈ C2 }
= C2 ·C1
2i) Si C1 < 0∗ y C2 > 0∗ , entonces
C1 ·C2 = − ( |C1 | |C2 | ) = −( |C2 | |C1 | ) = C2 C1
2.14 Números Racionales
165
3i) Si C1 > 0∗ y C2 < 0∗ , entonces
C1 ·C2 = − ( |C1 | |C2 | ) = −( |C2 | |C1 | ) = C2 C1
4i) Si C1 < 0∗ y C2 < 0∗ , entonces
C1 ·C2 = |C1 | |C2 | = |C2 | |C1 | = C2 C1
3) C1 · (C2 ·C3 ) = (C1 ·C2 ) ·C3
Como la igualdad es válida cuando C1 = 0∗ o C2 = 0∗ 0 C3 = 0∗ , entonces sólo analizamos los casos
restantes:
i) Si C1 ,C2 ,C3 > 0∗ , entonces, por la asociatividad de Q se tiene que
C1 · (C2 ·C3 ) = (C1 ·C2 ) ·C3
2i) Si C1 ,C2 > 0∗ y C3 < 0, entonces
C1 · (C2 ·C3 ) =
=
=
=
C1 · ( −|C2 | |C3 | ) = −( |C1 | · [ |C2 | |C3 | ] )
−( |C1 | · [ |C2 | |C3 | ] ) = −( [ |C1 | · |C2 | ] · |C3 | )
−( |C1 | · |C2 | · |C3 | ) = ( |C1 | · |C2 | ) ·C3
(C1 ·C2 ) ·C3
3i) Si C1 , C2 < 0∗ y C3 < 0, entonces
C1 · (C2 ·C3 ) = C1 · ( |C2 | |C3 | ) = |C1 | · ( |C2 | |C3 | )
= ( |C1 | · |C2 | ) · |C3 |
Por otra parte,
(C1 ·C2 ) ·C3 = [ ( |C1 | · |C2 | ) ] C3
= ( |C1 | · |C2 | ) · |C3 |
se concluye que también se cumple la asociatividad del producto de cortaduras.
4i) Por conmutatividad, el resto de los casos se reducen a los anteriores, por ejemplo,
Si C1 < 0, C2 < 0∗ y C3 < 0, entonces
C1 · (C2 ·C3 ) = (C2 C3 ) C1 = C2 · (C3 C1 )
= C2 · (C1 ·C3 ) = (C2 ·C1 ) ·C3
= (C1 ·C2 ) ·C3
4) C1 · 1∗ = C1 , ∀C1 ∈ C (Q)
i) Si C1 = 0∗ , entonces
0∗ · 1∗ = {x ∈ Q/x < 0, x = pq, con, p ≥ 0, m q ≥ 0, p < 0, q < 1}
= {x ∈ Q/ x < 0}
= 0∗
Por tanto, C1 · 1∗ = C1 si C1 = 0∗
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
166
2i) Si C1 > 0∗ , sea x ∈ C1 · 1∗ , entonces
x < 0, ∨ x = pq, con, p ≥ 0, q ≥ 0, p ∈ C1 , q < 1
se sigue que x < 0, x < p, p ∈ C1 . De aquí que x < 0, ∨ x ∈ C1 . Por tanto, x ∈ C1 . De esta forma,
C1 · 1∗ ⊂ C1 .
Por otra parte, sea x ∈ C1 , entonces existe y ∈ C1 tal que y > x. Por tanto, x = y · yy ∈ C1 · 1∗ , pues y ∈ C1
y xy < 1. Así, C1 ⊂ C1 · 1∗ . En consecuencia, C1 · 1∗ = C1 .
Si C1 < 0∗ , entonces
C1 · 1∗ = −( |C1 | · |1∗ | ) = −( |C1 | · 1∗ ) = −|C1 |
5) Para todo C1 ∈ C (Q), C1 6= 0∗ , existe β ∈ C (Q) tal que C1 · β = 1∗
a) C1 ·C2 6= 0,
/ pues −1 ∈ C1 C2
b) C1 ·C2 6= Q, pues existen p, q ∈ Q+ tal que p 6∈ C1 , q 6∈ C2 . Si r = max{p, q}, entonces x = r2 ∈ Q,
pero x 6∈ C1 C2 , ya que si así no fuera se tendría r2 = p1 q1 , con p1 ∈ C1 , q1 ∈ C2 . Por la ley de tricotomía,
p1 = r, p1 > r, p1 < r y también, q1 = r, q1 > r, q1 < r. Por tanto, p1 < r, q1 < r, de donde r2 > p1 q1 .
¡Contradicción!. En consecuencia, x 6∈ C1 C2 .
3i) Sea x ∈ C1 C2 , y < x.
Si y < 0, entonces y ∈ C1 C2 .
Si y ≥ 0, entonces x > 0. Luego, existe p > 0, q > 0, con p ∈ C1 , q ∈ C2 , tales que x = pq. Sea r = yp ,
entonces r ∈ Q, y además, y = pr < pq = x =⇒ r < q, pero q ∈ C2 . En consecuencia, r ∈ C2 . Luego,
y = pr ∈ C1 C2 .
Suponemos que existe m ∈ C1 C2 tal que m ≥ x, ∀x ∈ C1 C2 , entonces como C1 C2 tiene elementos
positivos, necesariamente m > 0. Es decir, existe p > 0, p ∈ C1 , q > 0, q ∈ C2 , tal que m = pq. Pero
p ∈ C1 , y se sabe que C1 no tiene máximo en Q, luego, existe r ∈ C1 tal que r > p. Así, se tiene
x = rq > pq = m. Pero x ∈ C1 C2 , luego, m no es máximo. ¡Contradicción!. En consecuencia, no existe
máximo de C1 C2 en Q
2) Probemos ahora que C1 C2 = C2 C1
Se observa que si C1 = 0∗ o C2 = 0∗ , entonces C1 C2 = C2 C1 . Luego, debemos analizar los casos:
C1 > 0∗ y C2 > 0∗ , C1 < 0∗ y C2 > 0∗ , C1 > 0∗ y C2 < 0∗ , C1 < 0∗ y C2 < 0∗ :
i) Si C1 > 0∗ y C2 > 0∗ , entonces
C1 ·C2 = {x ∈ Q/ x < 0 ∨ x = pq, p ≥ 0, q ≥ 0, p ∈ C1 , q ∈ C2 }
= {x ∈ Q/ x < 0 ∨ x = qp, p ≥ 0, q ≥ 0, p ∈ C1 , q ∈ C2 }
= C2 ·C1
2i) Si C1 < 0∗ y C2 > 0∗ , entonces
C1 ·C2 = − ( |C1 | |C2 | ) = −( |C2 | |C1 | ) = C2 C1
3i) Si C1 > 0∗ y C2 < 0∗ , entonces
C1 ·C2 = − ( |C1 | |C2 | ) = −( |C2 | |C1 | ) = C2 C1
2.14 Números Racionales
167
4i) Si C1 < 0∗ y C2 < 0∗ , entonces
C1 ·C2 = |C1 | |C2 | = |C2 | |C1 | = C2 C1
3) C1 · (C2 ·C3 ) = (C1 ·C2 ) ·C3
Como la igualdad es válida cuando C1 = 0∗ o C2 = 0∗ 0 C3 = 0∗ , entonces sólo analizamos los casos
restantes:
i) Si C1 ,C2 ,C3 > 0∗ , entonces, por la asociativaidad de Q se tiene que
C1 · (C2 ·C3 ) = (C1 ·C2 ) ·C3
2i) Si C1 ,C2 > 0∗ y C3 < 0, entonces
C1 · (C2 ·C3 ) =
=
=
=
C1 · ( −|C2 | |C3 | ) = −( |C1 | · [ |C2 | |C3 | ] )
−( |C1 | · [ |C2 | |C3 | ] ) = −( [ |C1 | · |C2 | ] · |C3 | )
−( |C1 | · |C2 | · |C3 | ) = ( |C1 | · |C2 | ) ·C3
(C1 ·C2 ) ·C3
3i) Si C1 , C2 < 0∗ y C3 < 0, entonces
C1 · (C2 ·C3 ) = C1 · ( |C2 | |C3 | ) = |C1 | · ( |C2 | |C3 | )
= ( |C1 | · |C2 | ) · |C3 |
Por otra parte,
(C1 ·C2 ) ·C3 = [ ( |C1 | · |C2 | ) ] C3
= ( |C1 | · |C2 | ) · |C3 |
se concluye que también se cumple la asociatividad del producto de cortaduras.
4i) Por conmutatividad, el resto de los casos se reducen a los anteriores, por ejemplo,
Si C1 < 0, C2 < 0∗ y C3 < 0, entonces
C1 · (C2 ·C3 ) = (C2 C3 ) C1 = C2 · (C3 C1 )
= C2 · (C1 ·C3 ) = (C2 ·C1 ) ·C3
= (C1 ·C2 ) ·C3
4) C1 · 1∗ = C1 , ∀C1 ∈ C (Q)
i) Si C1 = 0∗ , entonces
0∗ · 1∗ = {x ∈ Q/x < 0, x = pq, con, p ≥ 0, m q ≥ 0, p < 0, q < 1}
= {x ∈ Q/ x < 0}
= 0∗
Por tanto, C1 · 1∗ = C1 si C1 = 0∗
2i) Si C1 > 0∗ , sea x ∈ C1 · 1∗ , entonces
x < 0, ∨ x = pq, con, p ≥ 0, q ≥ 0, p ∈ C1 , q < 1
se sigue que x < 0, x < p, p ∈ C1 . De aquí que x < 0, ∨ x ∈ C1 . Por tanto, x ∈ C1 . De esta forma,
C1 · 1∗ ⊂ C1 .
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
168
y
Por otra parte, sea x ∈ C1 , entonces existe y ∈ C1 tal que y > x. Por tanto, x = y · ∈ C1 · 1∗ , pues y ∈ C1 ,
y
x
y < 1. Así, C1 ⊂ C1 · 1∗ . En consecuencia, C1 · 1∗ = C1 .
y
Si C1 < 0∗ , entonces
C1 · 1∗ = −( |C1 | · |1∗ | ) = −( |C1 | · 1∗ ) = −|C1 |
5) Para todo C1 ∈ C (Q), C1 6= 0∗ , existe β ∈ C (Q) tal que C1 · β = 1∗
Definición 2.14.21 Esta cortadura β se llama inversa de C1 , se designa por C1−1 , y se tiene, para
C1 > 0∗ , que
β = {x ∈ Q/ x ≤ 0, ∨ x−1 > min{y ∈ Q/ y 6∈ C1 }}
y si C1 < 0∗ , entonces |C1 | > 0∗ =⇒ ∃β ∈ C (Q) tal que |C1 | · β = 1∗
Sea γ = −β , entonces γ < 0∗ pues β > 0∗ . Además, C1 · γ = |C1 | · |γ| = |C1 | · β = 1∗
Ejemplo 2.14.22 Para C(5) = {y/ y < 5} se tiene que min{y/ y 6∈ C(5)} = {5}. Por tanto,
1
C(5) = {x ≤ 0 ∨ x−1 > 5} = {x ∈ Q/ x < }
5
La cortadura C−1 es única y la ecuación C1 · x = β tiene una única solución si C1 6= 0∗ , a saber,
β
x = C1−1 · β = .
C
En resumen, ( C (Q), +, · ) es un cuerpo totalmente ordenado, que además, satisface la ley distributiva
C1 · (C2 +C3 ) = C1 ·C2 +C1 ·C3
Proposición 2.14.23 Para p y q números racionales se tiene:
1. ( p + q )∗ = p∗ + q∗
2. p < q ⇐⇒ p∗ < q∗
3. ( p · q )∗ = p∗ · q∗
4. p = q ⇐⇒ p∗ = q∗
Esta proposición muestra que la aplicación
∗ : Q → C (Q),
x 7→ x∗
es un isomorfismo canónico que preserva el orden. Esto es, C (Q) contiene un subconjunto
ordenado isomorfo con Q.
Definición 2.14.24 C (Q) se llama conjunto de los números reales y se denota por R.
Dado que {x∗ ∈ R/ x ∈ Q} ∼ Q, entonces Q ⊂ R. Tales cortaduras son llamadas números reales
racionales o simplemente racionales. El resto de los elementos de R son llamados números irracionales.
Es decir, los números irracionales son los elementos del conjunto R − Q
Teorema 2.14.25 ( Dedekind )
Sean A, B ⊂ R tales que:
1. x ∈ R =⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B
2. A ∩ B = 0/
3. A 6= 0/ ∧ B 6= 0/
4. C1 ∈ A, ∧ C2 ∈ B =⇒ C1 < C2
2.15 Números Complejos
169
entonces existe un único C3 ∈ R tal que
C1 ≤ C3 , ∀ C1 ∈ A ∨ C3 ≤ C2 , ∀ C2 ∈ B
es decir, A tiene máximo o B tiene mínimo.
Corolario 2.14.26 Sea E ⊂ R, E 6= 0/ acotado superiormente, entonces E tiene supremo.
Definición 2.14.27 Sea ( K, +, ·, ≤ ) un cuerpo ordenado. K se llama completo, si todo subconjunto
no vacío de K tiene supremo.
Así por ejemplo, R es completo, lo asegura el corolario. En cambio el conjunto de los racionales Q
no es completo, ya que basta considerar A ⊂ Q tal que A = {x ∈ Q/ x2 < 2}. Este conjunto no tiene
máximo.
Para construir R se partió de Q utilizando sus propiedades de cuerpo ordenado. Luego, considerando cualquier cuerpo ordenado F podemos construir C (F) que resulta ser un cuerpo ordenado
completo.
Cualquier cuerpo ordenado infinito contiene un subcuerpo ordenado isomorfo con Q. Luego,
podemos decir, que todo cuerpo ordenado completo infinito contiene a Q.
Según lo anterior, podemos encontrar muchos cuerpos ordenados completos (todos conteniendo
Q). El siguiente resultado afirma que todos ellos son isomorfos, es decir, podemos pensar en R
como el único cuerpo ordenado completo.
Teorema 2.14.28 Sea K cuerpo ordenado completo, entonces K ∼ R.
2.15
Números Complejos
Hasta el momento las sucesivas ampliaciones han ido agregando, paso a paso, un nuevo eslabón, hasta
tener
N⊂Z⊂Q⊂R
En el sistema de los números reales se plantean algunas ecuaciones polinomiales, que, o no tienen
√
soluciones en R, o bien algunas soluciones no son reales. En particular, no se ha definido n a para n par
y a negativo. Un ejemplo sencillo es considerar la ecuación x2 + 1 = 0, que carece de solución en el
conjunto de los números reales. Esto hace necesario crear un sistema mayor, llamado conjunto de los
números complejos, el que se denota por C, el cual, contiene a R. En este nuevo sistema, existe un
número denotado por i, llamado unidad imaginaria, con la propiedad que i2 = −1. Ahora será posible
resolver cualquier ecuación algebraica an xn + · · · + a1 x + a0 = 0, en donde los ak son números reales.
Se considera el conjunto R × R con las siguientes leyes de composición internas:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) · (c, d)
= (ac − bd, ad + bc)
Definición 2.15.1 El conjunto R × R con las dos operaciones definidas se llama conjunto de los
números complejos y se denota por C. Esto es,
C = R2 = {(a, b)/ a ∈ R ∧ b ∈ R}
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
170
Al par ordenado (a, b), de números reales se le denomina número complejo y se emplea la notación
z = (a, b) para denotarle. Más aún, a de llama parte real del complejo, y b parte imaginaria del
complejo z. Se anota, Re(z) e Im(z), respectivamente.
Teorema 2.15.2 La aplicación f : R → C, x 7→ (x, 0) es un isomorfismo “respetuoso” de la estructura
algebraica de R. Es decir,
f (x + y) = f (x) + f (y),
f (x · y) = f (x) · f (y)
Este resultado es el que permite identificar el elemento x en R con el elemento (x, 0) en C, y denotamos
a ambos simplemente por x. Hecha esta identificación podemos decir que el conjunto de los (x, 0)
forma una copia de R en C. Luego, R puede considerarse como un subconjunto de C.
En este conjunto C examinemos los elementos de la forma (0, y), y 6= 0.
(1) El complejo (0, 1) se llama unidad imaginaria y se denota por i. Es decir
(0, 1) = i
(2) Todo complejo de la forma (0, y) se puede escribir como
(0, y) = (y, 0) · (0, 1)
o bien, por lo anterior, como
(0, y) = y · i
(3) Para cualquier (a, b) ∈ C se tiene
(a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + b i
Definición 2.15.3 Se llama forma algebraica o estandar de un número complejo a la expresión
z = a + bi.
Si a = 0 en la definición, entonces el complejo z se llama imaginario puro. Si b = 0, entonces z es un
número real.
En esta forma, la estandar, es bajo la cual las operaciones con números complejos resultan fáciles de
visualizar y de trabajar. Reformulamos éstas.
Definición 2.15.4 Los números complejos z1 = a + bi y z2 = c + di son iguales si y solamente si a = c
yb=d
Definición 2.15.5 La adición, sustracción y multiplicación de números complejos, z1 = a + bi y
z2 = c + di, están dadas por:
z1 + z2 = (a + c ) + (b + d ) i
z1 − z2 = (a − c ) + (b − d ) i
z1 · z2
= (ac − bd ) + (ad + bc ) i
Al realizar la multiplicación entre dos números complejos, puede suceder que su resultado sea un
número real. Por ejemplo, si z1 = 3 + 2i y z2 = 3 − 2i, entonces z1 · z2 = 13. Esto cabe dentro del
concepto que se define a continuación.
2.15 Números Complejos
171
Definición 2.15.6 Si z = a + bi es un número complejo, entonces su conjugado es el número complejo
z = a − bi
Proposición 2.15.7 Sea z = a + bi, entonces:
(1) z = z ⇐⇒ z es real
(2) z = −z ⇐⇒ z es imaginario puro
Las demostraciones son sencillas, por lo que se dejan al interés del lector.
2.15.1
El cuerpo de los números complejos
El conjunto de los números complejos, al igual que el conjunto de los números reales, tiene estructura
de cuerpo. Esto es, con las operaciones de adición y multiplicación satisface las siguientes propiedades:
(1)
z1 ∈ C ∧ z2 ∈ C =⇒ z1 + z2 ∈ C
Clausura
(2)
z1 + z2 = z2 + z1 ∀z1 , z2 ∈ C
Conmutatividad
(3)
(z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ) ∀z1 , z2 , z3 ∈ C
Asociatividad
(4)
Existe un elemento llamado cero en C, elemento neutro para la adición, denotado por 0 = 0 + 0i,
y tal que
z+0 = 0+z = z
(5)
Para todo número complejo z existe el número complejo −z, llamado inverso aditivo de z, tal que
z + (−z) = (−z) + z = 0
(6)
(7)
(8)
(9)
z1 ∈ C ∧ z2 ∈ C =⇒ z1 · z2 ∈ C
Clausura
z1 · z2 = z2 · z1 ∀z1 , z2 ∈ C
Conmutatividad
(z1 · z2 ) · z3 = z1 · (z2 · z3 ) ∀z1 , z2 , z3 ∈ bbbc
Asociatividad
Existe un elemento llamado uno en C, elemento identidad para la multiplicación, denotado por
1 = 1 + 0i, y tal que
1 · z = z · 1 = z,
∀z ∈ C
(10)
Para todo número complejo z 6= 0, existe un elemento llamado inverso multiplicativo de z, se
denota por z−1 , y tal que
z · z−1 = z−1 · z = 1
(11) z1 · (z2 + z3 ) = z1 · z2 + z1 · z3 ∀z1 , z2 , z3 ∈ C
Distributividad
Al igual que en el cuerpo de los números reales, los inversos aditivo y multiplicativo son únicos. Veamos
como hallar el inverso multiplicativo.
Si z = 2 + i, entonces para hallar el inverso multiplicativo suponemos que éste tiene
la forma z−1 = x + iy. A continuación usamos el hecho que z · z−1 = 1. Al igualar las partes real e
imaginaria se obtiene el sistema
2x − y = 1,
x + 2y = 0
Ejemplo 2.15.8
2
de donde x = ,
5
2.15.2
y=−
1
5
División de números complejos
Para hallar el cociente de dos números complejos, se multiplican numerador y denominador de la
fracción por el conjugado del denominador. Veamos un ejemplo
172
Ejemplo 2.15.9
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
El número complejo que resulta de la fracción
3 − 4i
es
6+i
3 − 4i (3 − 4i)(6 − i) 14 − 27i 14 27
=
=
=
−
i
6+i
(6 + i)(6 − i)
37
37 37
Proposición 2.15.10 Los números complejos, con las operaciones de adición y multiplicación, no son
ordenados
Esto significa que no es posible comparar números complejos en general.
2.15.3
Forma polar de un complejo
Con las herramientas proporcionadas se está en condiciones de realizar operaciones sencillas, tales
como las que resultan de resolver ecuaciones que contienen raíces complejas. Con elementos de
trigonometría podemos escribir los complejos en una forma muy conveniente, la que permite el cálculo
de multiplicaciones, divisiones, potencias y raíces de números complejos.
Sabemos que un número complejo es un ente de la forma z = a + bi, en donde i es la unidad imaginaria,
con la propiedad que i2 = −1. Ahora bien, existe otra forma escribir números complejos, y es a lo que
nos dedicamos ahora.
Con cada número complejo z = a + bi asociamos el punto (a, b) en el plano. Esto hace que a cada par
de números reales corresponda sólo un número complejo y viceversa. De esta forma se establece una
correspondencia biunívoca, la que sugiere representar los complejos por puntos en el plano.
Esto significa que el complejo z = (a, b) puede representarse
en el plano xy por el punto P(a, b). Este plano recibe el
nombre de Plano Complejo. El eje x se llama eje real y en
él están ubicados los números de la forma (a, 0) que son
reales. El eje y se llama eje imaginario y sobre el están los
complejos de la forma (0, b). Es claro que a es la proyección
de z sobre el eje de abscisas, y que b la proyección de z sobre
Figura 2.10
el eje de ordenadas.
El número complejo z = 0 = (0, 0) representa el origen del sistema. El que para cada punto del plano
complejo exista un y sólo un número complejo y viceversa, es una asociación análoga a la de número
real y punto en la recta real.
Figura 2.11
La interpretación geométrica de los números complejos como puntos en el plano permite representar
igualdades y desigualdades de números complejos como lugares geométricos. Veamos en primer lugar
que se entiende por magnitud de un número complejo.
2.15 Números Complejos
2.15.4
173
Valor absoluto
El concepto de valor absoluto, conocido en el campo de los números reales se extiende al de los
números complejos como sigue.
Definición 2.15.11 El valor absoluto del número complejo z = a + bi corresponde al número |z| =
√
a2 + b2 .
El término valor absoluto puede reemplazarse por módulo o magnitud del complejo z. Geometricamente,
|z| es la longitud del segmento de recta desde el origen hasta z.
Proposición 2.15.12 El valor absoluto satisface:
1) | − z| = |z|
4) |z| = |z|
z1
|z1 |
7)
=
z2
|z2 |
2) |z|2 = z · z
5) |z1 z2 | = |z1 ||z2 |
3) |z| = 0 ⇐⇒ z = 0
6) |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |
Las demostraciones no presentan grandes dificultades, salvo la 6, por lo que las restantes quedan al
interés del lector.
Demostración
|z1 + z2 |2 = ( z1 + z2 )( z1 + z2 ) = ( z1 + z2 )( z1 + z2 )
= z1 z1 + z2 z1 + z1 z2 + z2 z2
= |z1 |2 + 2 Re( z1 z2 ) + |z2 |2
Como Re( z1 z2 ) ≤ 2|z1 z2 |, entonces
|z1 + z2 |2 ≤ |z1 |2 + 2 |z1 z2 | + |z2 |2
≤ |z1 |2 + 2 |z1 | |z2 | + |z2 |2 = ( |z1 | + |z2 | )2
Ahora se extrae raíz cuadrada para obtener la afirmación de esta proposición.
Ejemplo 2.15.13
(1) La distancia entre los complejos z1 = 1 − 4i y z2 = 2 + 3i es
| z1 − z2 | = | (1 − 2) + i(−4 − 3) | = | − 1 − 7i | =
√
50
(2) El lugar geométrico de todos los números complejos que satisfacen |z| = 1 es una circunferencia
de centro el origen de coordenadas y radio 1. Algebraicamente,
p
|z| = 1 =⇒ x2 + y2 = 1 =⇒ x2 + y2 = 1
Esto significa que el punto (x, y) debe estar sobre la circunferencia unitaria. Por otra parte, el lugar geométrico de
los números complejos que satisfacen |z| > 1 corresponde
a todos aquellos puntos exteriores al círculo de radio uno,
y |z| < 1 a los puntos interiores al círculo (La figura 2.12
muestra estos hechos).
Figura 2.12
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
174
(3) El lugar geométrico de los puntos que satisfacen |z − 2 + 4i| < 3, se determina como sigue.
|z − 2 + 4i| < 3 =⇒ |(x − 2) + i(y + 4)| < 3
=⇒
p
(x − 2)2 + (y + 4)2 < 3
=⇒ (x − 2)2 + (y + 4)2 < 9
De esta manera, el lugar geométrico es el conjunto de todos los puntos que se encuentran dentro
del círculo de centro (2, −4) = 2 − 4i
2.15.5
Forma polar de un complejo
Sabemos que z = (x, y) = x + iy representa un complejo y
que cualquier punto (x, y) del plano puede ser representado
en coordenadas polares (r, θ ), vamos a ver que sucede con la
representación del número complejo z = (x, y) = x + iy. En
la figura 2.13, θ es el ángulo que forma el semieje positivo
de las x con la recta que une el origen (0, 0) con el punto
(x, y). Se tiene
x = r cos θ ,
Figura 2.13
y = r sen θ
Definición 2.15.14 Se llama forma polar del complejo z = x + iy, a la expresión
z = x + yi = r (cos θ + i sen θ )
donde r = |z| y θ son las coordenadas polares de z
Cualquier número θ que satisfaga la definición se denomina argumento de z. Se anota θ = arg(z).
Como las funciones seno y coseno son de periodo 2π, entonces arg(z) denota un conjunto infinito de
números que satisfacen la definición. No obstante, en −π < θ ≤ π existe siempre un sólo argumento
de z. Este argumento se llama argumento principal y se anota Arg(z).
Para z 6= 0, el arg(z) se obtiene girando el semieje real positivo hasta la recta que une el origen con
el punto (a, b). Como arg(z) es un ángulo, este puede ser engendrado en sentido positivo o negativo.
Algunos hechos puntuales son los siguientes.
y
(1) θ = arc tg( ), si x 6= 0
x
π
(2) θ = + 2kπ, si x = 0, y > 0, k ∈ Z
2
3π
(3) θ =
+ 2kπ, si x = 0, y < 0, k ∈ Z
2
(4) Si z = 0, entonces θ no está definido
Un hecho importante a tener en cuenta, es que a partir de la forma polar z = r(cos θ + i sen θ ),
tenemos representado el complejo z como un producto, entre un número real r y el número complejo
cos θ + i sen θ de magnitud uno representado por un punto que se encuentra sobre la circunferencia
unitaria de centro el origen de coordenadas.
2.15 Números Complejos
175
Ejemplo 2.15.15 El complejo z = 1 + i se representa en el plano complejo por el punto (1, 1). Es claro
π
π
7π
que el argumento principal es Arg(z) = . El arg(z) = + 2nπ, y arg(z) = − + 2nπ. La magnitud
4
4
4
√
del complejo z = 1 + i es |z| = 2. Luego, la representación polar de este complejo es
√ h
π
πi
z = 1 + i = 2 cos + i sen
4
4
Proposición 2.15.16 Los argumentos de los complejos z1 y z2 satisfacen:
1.
arg(z1 z2 ) = arg(z1 ) + arg(z2 )
2.
arg(
z1
) = arg(z1 ) − arg(z2 )
z2
Las demostraciones de estos hechos se realizan escribiendo los complejos z1 y z2 en forma polar (Están
hechas a continuación, en la multiplicación y división de complejos).
2.15.6
Multiplicación de complejos
Proposición 2.15.17 Para multiplicar dos números complejos, dados en forma polar, se multiplican
sus módulos y se suman sus argumentos
Demostración
Sean z1 = |z1 | ( cos θ1 + i sen θ1 ), z2 = |z2 | ( cos θ2 + i sen θ2 ), entonces
z1 · z2 = |z1 | |z2 | ( cos θ1 + i sen θ1 ) · ( cos θ2 + i sen θ2 )
= |z1 | |z2 | ( cos θ1 · cos θ2 − sen θ1 · sen θ2 ) + i |z1 | |z2 | ( cos θ1 · sen θ2 + sen θ1 · cos θ2 )
= |z1 | |z2 | ( cos [θ1 + θ2 ] + i sen [θ1 + θ2 ] )
2.15.7
División de complejos
Proposición 2.15.18 Para dividir dos números complejos, dados en forma polar, se dividen sus
módulos y se restan sus argumentos
Demostración
Sean z1 = |z1 |( cos θ1 + i sen θ1 ), z2 = |z2 |( cos θ2 + i sen θ2 ). Se tiene
z1
z2
Ejemplo 2.15.19
=
|z1 | cos θ1 + i sen θ1
·
|z2 | cos θ2 + i sen θ2
=
|z1 | ( cos θ1 + i sen θ1 ) · ( cos θ2 − i sen θ2 )
·
|z2 |
cos2 θ2 + sen2 θ2
=
|z1 |
· [cos θ1 cos θ2 + sen θ1 sen θ2 + i(sen θ1 cos θ2 − sen θ2 cos θ1 )]
|z2 |
=
|z1 |
· [ cos( θ1 − θ2 ) + i sen( θ1 − θ2 ) ]
|z2 |
La forma polar de los complejos z1 = 2i y z2 = 3 + 3i es
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
176
z1 = 2(cos
π
π
+ i sen ),
2
2
arg(z1 ) =
π
+ 2nπ
2
√
π
π
π
z2 = 3 2 (cos + i sen ), arg(z2 ) = + 2mπ
4
4
4
Veamos que sucede con el producto de estos dos complejos.
z1 · z2 = 2i · (3 + 3i) = −6 + 6i
√
3π
Para este complejo resultante, |z1 z2 | = 6 2. Su argumento principal es Arg(z1 z2 ) =
. De esta
4
3π
+ 2kπ. Con el fin de verificar la propiedad de los argumentos se tiene.
forma, arg(z1 z2 ) =
4
π
π
3π
arg(z1 ) = + 2nπ, arg(z2 ) = + 2mπ =⇒ arg(z1 ) + arg(z2 ) =
+ 2(n + m)π
2
4
4
Al comparar con
3π
arg(z1 z2 ) =
+ 2kπ
4
se observa que existe absoluta igualdad.
Observación 2.15.20 Las conclusiones son válidas para arg(z) no para Arg(z). Para convencerse,
considerar los complejo z1 = −1 y z2 = i.
2.15.8
Potencias de complejos
A partir de la propiedad |z1 z2 | = |z1 | |z2 |, se encuentra que si z = z1 = z2 , entonces |z2 | = |z|2 . Si esto
es así, entonces se puede probar, por inducción, que |zn | = |z|n . Del mismo modo, es válido para el
argumento, que
arg(zn ) = arg(z) + arg(z) + · · · + arg(z) = n · arg(z)
Teorema 2.15.21 (Moivre)
Para cualquier entero n y cualquier real θ se cumple que
[ cos θ + i sen θ ]n = cos nθ + i sen nθ
Demostración
Como n es entero existen dos casos, n ≥ 0 y n < 0. Para el primer caso, n = 0 es evidentemente cierta,
lo mismo que n = 1. Suponemos la validez para n = k, esto es, es válido que
[cos θ + i sen θ ]k = cos kθ + i sen kθ
y probamos para el siguiente, n = k + 1. Se tiene
[cos θ + i sen θ ]k+1 = [cos θ + i sen θ ]k · (cos θ + i sen θ )
= (cos kθ + i sen kθ ) · (cos θ + i sen θ )
= cos kθ · cos θ − sen kθ · sen θ + i (sen kθ · cos θ + cos kθ · sen θ )
= cos (k + 1)θ + i sen (k + 1)θ
2.15 Números Complejos
177
El caso n < 0 se demuestra en la siguiente forma.
[cos θ + i sen θ ]−n =
1
1
=
[cos θ + i sen θ ]n cos nθ + i sen nθ
= cos nθ − i sen nθ = cos (−nθ ) + i sen (−nθ )
Corolario 2.15.22 Sea z = r(cos θ + i sen θ ), entonces
zn = rn (cos nθ + i sen nθ )
Es común encontrar la notación z = r <
) θ , para escribir el complejo z en forma polar, indicando su
magnitud y argumento.
√
Ejercicio 2.15.23
Hallemos (2 3 + 2i)6
Solución
π
π
+ i sen ). Luego, según Moivre se tiene.
6
6
h
π i6
π
= 4 (cos + i sen )
6
6
La forma polar de este complejo es z = 4 (cos
√
(2 3 + 2i)6
π
π
= 46 (cos ( · 6) + i sen ( · 6) )
6
6
= 46 (cos π + i sen π )
= −46
2.15.9
Raíces de complejos
Ahora nos ocupamos del problema de hallar un método algebraico que permita calcular las raíces
n-ésimas de un número complejo diferente de cero. Para ello, en primer término veamos que significa
la raíz n-ésima. Si z es un complejo, entonces w es una raíz n-ésima de z si y sólo si la n-ésima potencia
de w es z. Esto es,
w = z1/n ⇐⇒ z = wn
Ahora bien, supongamos que el complejo z 6= 0 tiene a w 6= 0 por raíz n-ésima. Sus expresiones polares
son de la forma
z = r (cos θ + i sen θ ),
w = s (cos φ + i sen φ )
Luego,
wn = z ⇐⇒ sn (cos nφ + i sen nφ ) = r ( cos θ + i sen θ )

sn = r

sen nφ = sen θ
⇐⇒

cos nφ = cos θ
(1)
(2)
Como s = |w| y r = |z| son reales positivos, s debe ser el único número positivo que es raíz n-ésima de
r. Esto es
s = r1/n
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
178
De esta forma, las ecuaciones (1) y (2) se satisfacen si y sólo si
n φ = θ + 2kπ,
k∈Z
En consecuencia, cada raíz wk de z debe ser uno de los números
θ + 2kπ
θ + 2kπ
1/n
wk = r
cos
+ i sen
n
n
Por el teorema de Moivre se observa que
wnk = r (cos θ + i sen θ ) = z
es decir, efectivamente, los wk son las raíces n-ésimas de z.
√
Ejemplo 2.15.24 Hallemos las raíces cúbicas de 4 3 − 4i
Solución
√
Se observa que el problema planteado equivale resolver la ecuación ω 3 = 4 3 − 4i. Se tiene r = 8,
θ = −30◦ = − π6 .
q
√
−π/6 + 2kπ
−π/6 + 2kπ
3
1/3
4 3 − 4i = 8
cos
+ i sen
3
3
Tomando k = 0, 1, 2 se obtienen las tres raíces.
w0 = 2 <
) ( −10◦ )
w1 = 2 <
) ( 110◦ )
w2 = 2 <
) ( 230◦ )
2.15.10
Forma exponencial de un complejo
La aplicación f : R → U = {z ∈ C/ |z| = 1}, tal que a cada x ∈ R asocia el número f (x) = eix =
cos x + i sen x, es una función sobreyectiva, y restringiendo el dominio de forma tal que
f : [0, 2π] ⊂ R → U ⊂ C
entonces tenemos una biyección. En consecuencia, todo lo concerniente a la forma polar de los números
complejos es idéntica a esta forma exponencial. Esta notación exponencial se conoce como notación
de Euler. Luego, considerando x = θ se tiene que la forma polar o exponencial del complejo z es
z = r eiθ = r (cos θ + i sen θ )
Algunos hechos interesantes, bajo esta notación, son
eiπ = −1, e2πi = 1, eiπ/2 = i, eiθ +iΦ = eiθ · eiΦ
.
El último hecho corresponde a la multiplicación polar de complejos.
Esta notación exponencial adquiere particular importancia en el estudio de las funciones de variable
compleja, y de las Series de Fourier.
2.16 Problemas Propuestos
2.16
179
Problemas Propuestos
Relaciones
1. Sean A = {a, b}, B = {2, 3}, C = {3, 4}. Hallar:
A × (B ∪C),
(A × B) ∪ (A ×C),
A × (B ∩C),
(A × B) ∩ (A ×C)
2. Determinar A × A en los siguientes casos:
a) A = {2, 3}
b) A = {P, Q, R} con P, Q, R conjuntos
c) A = B × B, B = {0, 1}
3. Sean A = {0, 1, 2}, B = {0, 1}. Hallar A × B y B × A.
4. Dar un ejemplo de dos conjuntos A y B tales que A × B = B × A.
5. Demostrar lo siguiente:
1) B ⊂ C ⇐⇒ A × B ⊂ A ×C, A 6= 0/
2) A × (B −C) = (A × B) − (A ×C)
3) (A ∩ B) × (C ∩ D) = (A ×C) ∩ (B × D)
6. Sea X = {1, 2, 3, 4, 5} y R la relación en A dada por
R = {(2, 2), (3, 4), (2, 5), (5, 2), (5, 1), (1, 4)}
Hallar los conjuntos A, B,C tales que:
a) R ∪ A es una relación refleja en X.
b) R ∪ B es una relación simétrica en X.
c) R ∪C es una relación transitiva en X.
7. Sea X = {1, 2, 3, 4, 5} y R la relación en X dada por
R = {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 5), (1, 4), (3, 1)}
Hallar un conjunto A tal que R ∩ A sea simétrica en X.
8. Sea R la relación “|x − y| es divisible por 3” definida sobre A = {2, 3, 4, 5, 6}. Escribir la relación
por extensión y analizar si es refleja simétrica y transitiva.
9. Sean A = {x ∈ N, x ≤ 9}, B = {x ∈ N, x = 2n − 1, n < 6}. Considerar las siguientes relaciones
de A en B
√
1) R1 = {(x, y)/ y = x}
2) R2 = {(x, y)/ y = x}
3) R3 = {(x, y)/ y = 3x}
4) R4 = {(x, y)/ y > x}
a) Escribir cada relación por extensión
b) Hallar dominio y recorrido de cada relación.
c) Determinar la relación inversa en cada caso.
10. Sea A = {1, 2, 3}. Determinar cuáles de las siguientes relaciones son: reflejas, simétricas, antisimétricas y transitivas.
1) R1 = {(3, 2)} 2) R2 = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)} 3) R3 = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}
4) R4 = A × A
5) R5 = {(1, 2), (3, 2), (2, 2), (2, 3)}
11. Sea A = N. Determinar cuáles de las siguientes relaciones son: reflejas, simétricas, antisimétricas
y transitivas.
1) R1 = {(x, y)/ x ≤ y}
2) R2 = {(x, y)/ x < y}
3) R3 = {(x, y)/ x divide a y } 4) R4 = {(x, y)/ x + y = 10}
180
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
12. Sea N el conjunto de los números naturales y R la relación ∼
= en N × N definida por
(a, b) ∼
= (c, d) ⇐⇒ ad = bc
Demostrar que la relación R es de equivalencia.
13. En el conjunto Z de los enteros considerar la relación
a R b ⇐⇒ a · b ≥ 0
Determinar si esta relación es de equivalencia. Si no lo es, averiguar qué condiciones se deben
agregar para que lo sea.
14. Probar que la siguiente relación definida sobre R2 es de equivalencia y hallar la clase del (0, 0).
(x, y) R (x 0 , y 0 ) ⇐⇒ x + y = x 0 + y 0
15. Sea A = {x ∈ N/ 1 ≤ x ≤ 5} y B = {3, 4, 5}. Se define la relación
(x, y) ∈ R ⇐⇒ x + y ≤ 5
a) Definir R por extensión.
b) Representar A × B y la relación R.
c) Determinar la relación inversa R−1 .
16. Sean A = {1, 2,3,4,5}, B = {1, 4, 6, 16}, C = {2, 3, 8, 10}. Se definen las relaciones R ⊂ A × B
y S ⊂ B ×C por
y
(x, y) ∈ R ⇐⇒ y = x2 ,
(y, z) ∈ S ⇐⇒ z =
2
a) Determinar R y S por extensión.
b) Definir la composición S ◦ R ⊂ A ×C por extensión.
c) Determinar dominio y recorrido de las tres relaciones.
17. En el conjunto de los números enteros Z se define la relación
(x, y) ∈ R ⇐⇒ x2 + x = y2 + y
Determinar si esta relación es refleja, simétrica, antisimétrica o transitiva. Si es de equivalencia
halle las clases de equivalencia de 0 y 1
18. En R2 se considera la relación
(x, y) ∈ R ⇐⇒ |x − 1| = |y − 1|
Demostrar que es de equivalencia y representarla gráficamente.
19. En R × R se define la relación ∼ por
(x, y) ∼ (x 0 , y 0 ) ⇐⇒ y = y 0
Probar que esta relación es de equivalencia. Hallar las clases de equivalencia y el conjunto
cociente.
20. En N2 se considera la relación
(x, y) ∼ (x 0 , y 0 ) ⇐⇒ x + y 0 = y + x 0
1) Demostrar que es relación de equivalencia
3) Determinar el conjunto cociente.
2) Obtener las clases de equivalencia.
4) Representar gráficamente las clases.
2.16 Problemas Propuestos
181
21. En R2 se considera la relación
(x, y) ∈ R ⇐⇒ x2 − x = y2 − y
a) Demostrar que es una relación de equivalencia
b) Obtener las clases de equivalencia; C(0),C(1), · · ·
c) Determinar el conjunto cociente.
d) Representar gráficamente las clases.
22. En [−1, 1] ⊂ R se considera la relación
(x, y) ∈ R ⇐⇒ x2 = y2
Demostrar que es de equivalencia, representarla gráficamente y obtener la partición de [−1, 1].
23. En el conjunto de los números enteros Z se considera la relación
(x, y) ∈ R ⇐⇒ x − y = 4k,
k∈Z
a) Demostrar que esta relación es de equivalencia.
b) Hallar las clases de equivalencia en Z inducidas por R.
24. En R se considera la relación
(x, y) ∈ R ⇐⇒ y − x ≥ 0
Demostrar que esta relación es de orden parcial.
25. Sean R y S relaciones de orden parcial en A. Probar que R ∩ S y R−1 son de orden parcial.
26. En A = {1, 2, 3, 4, 5} se define la relación
(x, y) ∈ R ⇐⇒ x divide a y
a) Construír el diagrama de Hasse y hallar elementos maximales y minimales, primer y último
elemento, supremo e ínfimo.
b) Determinar cotas superiores e inferiores de {2, 3}.
27. En el conjunto de los números reales, ordenado por la relación “menor o igual que”, se considera
el conjunto
1
A = {x ∈ R/ x = , n ∈ N}
n
Investigar si es un conjunto ordenado, si tiene primer y último elemento, supremo e ínfimo.
28. Sea A = {2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10} conjunto ordenado por la relación “x divide a y”. Hacer un diagrama
de Hasse de esta relación y determinar los elementos maximales y minimales, primer y último
elemento.
29. Sea X = {1, 2, 3, 4, 5} ordenado según el diagrama (figura 3.63a). Considerar el subconjunto
A = {2, 3, 4}. Hallar:
a) Cotas superiores e inferiores de A.
b) Supremo e ínfimo de A.
c) Primer y último elemento de A y de X.
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
182
Figura 2.14
30. Sea X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ordenado según el diagrama (figura 3.63b). Considerar el subconjunto A = {2, 3, 4}. Hallar
a) Cotas superiores e inferiores de A.
b) Supremo e ínfimo de A.
c) Primer y último elemento de A y de X.
31. Sea X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ordenado según el diagrama (figura 3.63c). Considerar el subconjunto
A = {2, 3, 4}. Hallar
a) Cotas superiores e inferiores de A.
b) Supremo e ínfimo de A.
c) Primer y último elemento de A y de X.
32. Demostrar que, si una relación R tiene algunas de las propiedades; refleja, simétrica, transitiva o
antisimétrica, entonces R−1 tiene la misma propiedad.
33. Sean R1 y R2 relaciones sobre un conjunto A. Demostrar que
a) R1 ∧ R2 reflejas =⇒ R1 ∪ R2 y R1 ∩ R2 reflejas.
b) R1 ∧ R2 simétricas =⇒ R1 ∩ R2 simétrica.
c) R1 ∧ R2 antisimétrica =⇒ R1 ∩ R2 antisimétrica.
d) R1 ∧ R2 transitivas =⇒ R1 ∩ R2 transitiva.
e) R ∪ S no es necesariamente transitiva.
34. Sean R y S relaciones de A en B. Probar que
a) (R − S)−1 = R−1 − S−1
b) dom(R ∪ S) = dom(R) ∪ dom(S)
c) dom(R) − dom(S) ⊂ dom(R − S)
d) rec(R ∩ S) ⊂ rec(R) ∩ dom(S)
35. Graficar la relación en R definida por
x R y ⇐⇒ x2 = x | y + 1 |
36. Sea A = {1, 2, 3, 4}. Graficar las relaciones R1 y R2 definidas sobre A por
x R1 y ⇐⇒ x + y ≤ x(y + 1) ≤ 6,
x R2 y ⇐⇒ x(y + 1) ≤ 6
37. Graficar las relaciones R1 y R2 definidas en R, por:
x R1 y ⇐⇒ −10 ≤ x + 5y ≤ 10,
x R2 y ⇐⇒ x2 + y2 ≥ 4,
38. Graficar las siguientes relaciones definidas sobre R:
x≥y
2.16 Problemas Propuestos
183
R1 = {(x, y)/x2 = 25, y ≥ 0}
R2 = {(x, y)/x = 4, y ∈ [−2, 4]}
R3 = {(x, y)/ | x | + | y |= 4}
R4 = {(x, y)/x ∈ [−2, 4], y ∈ [0, 3]}
R5 = {(x, y)/ | x | +y = 3}
R6 = {(x, y)/x + y = 5, 2x − y = 4}
R7 = {(x, y)/ | x |≥ 4, | y |≥ 2}
R8 = {(x, y)/x + y = 5, 2x − y = 4}
R9 = {(x, y)/ | x | +y < 3}
R10 = {(x, y)/x2 + y2 = 25, y > 0}
39. Determinar si las siguientes relaciones en el conjunto {a, b, c} son: reflejas, simétricas, antisimétricas y transitivas
R1 = {(a, a), (b, b)}
R2 = {(c, c), (c, b)}
R3 = {(a, a), (b, b), (c, c)}
R4 = {(a, a), (a, b), (b, a), b, b)} R5 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a)}
40. Determinar propiedades de las siguientes relaciones en R
R1 = {(a, b) ∈ R2 /a2 + b2 ≥ 0}
R2 = {(a, b) ∈ R2 /0 < ab < 1}
41. Hallar todas las particiones del conjunto {1, 2, 3, 4}
42. Indicar, en cada caso, si P es una partición de A, si lo es, hallar la relación de equivalencia.
a) P = {{1, 2, 5}, {2, 6, 10}, {4, 8, 9}},
A = {1, 2, · · · , 10}
b) P = {{1, 3, 5, 7, 9}, {2, 4, 10}, {3, 5, 6, 8}},
A = {1, 2, · · · , 10}
c) P = {{a, c, e}, {b}, {d, g}},
A = {a, b, c, d, e, f , g}
d) P = {{a, b, c, e, d, g}},
A = {a, b, c, e, f , g}
43. Sea A = {x ∈ Q/ x2 < 3}. Considerando el orden habitual de Q (≤). Determinar si A es un
conjunto acotado y si existen supremo e ínfimo.
44. Sea A = {x ∈ Q, 8 < x3 < 64}. Considerando el orden habitual de Q (≤). Hallar el ínfimo y el
supremo de A.
45. Hacer la gráfica de las siguientes relaciones:
a) R1 = {(x, y) ∈ Z2 / | x |< 2, | y |> 1}
b) R2 = {(x, y) ∈ R2 / | x − 2 |< 3, | y |≤ 1}
c) R3 = {(x, y) ∈ R2 /2x2 − y − 1 = 0}
d) R4 = {(x, y) ∈ R2 /y =
p
e) R5 = {(x, y) ∈ R2 /x = − 9 − y2 }
f) R6 = {(x, y) ∈ R2 /9x2 + 9y2 = 1}
√
9 − x2 }
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
184
46. Determinar si las relaciones siguientes, definidas sobre R2 , son funciones.
1) R1 = {(x, y)/ x − 3y = 4}
2) R2 = {(x, y)/ 2x + 3y = 0}
3) R3 = {(x, y)/ y2 = 9x2 }
4) R4 = {(x, y)/ 3x + 2y ≤ 3}
5) R5 = {(x, y)/ y2 = 25}
6) R6 = {(x, y)/ y =
√
4 − x2 }
6
7) R7 = {(x, y)/ y = }
x
8) R8 = {(x, y)/ y =
x + x2
}
x+4
Leyes de composición
1. Determinar si la ley que se indica es interna en el conjunto dado:
a+b
a) En R, la ley a ∗ b =
2
b) En P(E), la ley A∆B = (A − B) ∪ (B − A)
c) En P(E), la ley A ∗ B = A − B
d) En (Z+ , ∗), la ley a ∗ b = a − b
e) En (Z+ , ∗), la ley a ∗ b = ab
f ) En (Z+ , ∗), la ley a ∗ b = c, en donde c es un entero más grande que a y b
2. Determinar si la ley que se indica cumple conmutatividad, asociatividad, existencia de elemento
neutro y simétrico, para cada conjunto y ley dada:
a) En Q, la ley a ∗ b = a · b2
b) En Z, la ley a ∗ b = ap+ b + ab
c) En R, la ley a ∗ b = a2 + b2
d) En Z × Z, la ley (a, b) ∗ (c, d) = (a + c, b + d)
a+b
e) En R − {ab = 1}, la ley a ∗ b =
1 − ab
3. Probar que si ∗ es una ley binaria asociativa y conmutativa en un conjunto S, entonces
(a ∗ b) ∗ (c ∗ d) = [(d ∗ c) ∗ a] ∗ b
4. Sea ∗ la ley de composición interna definida sobre R por
x ∗ y = (x + y)(x − 1) + y2
a) Decidir si esta ley es conmutativa.
b) Decidir si esta ley es asociativa.
c) Hallar elemento neutro y simétrico (inverso).
d) Decidir si la ley definida sobre R por x ∆ y = xy/2 distribuye sobre la primera ley.
5. Determinar si en Q la ley ⊥ distribuye respecto de ∗ indicada:
1) x ∗ y = 2x + 2y,
1
x ⊥ y = xy
2
2) x ∗ y = x + y + 1,
6. Decidir la validez de las siguientes proposiciones (justifique)
a) Si ∗ es una lci en S, entonces a ∗ a = a, ∀ a ∈ S
b) Si ∗ es una lci conmutativa en S, entonces
a ∗ (b ∗ c) = (b ∗ c) ∗ a,
∀ a, b, c ∈ S
x ⊥ y = xy
2.16 Problemas Propuestos
185
c) Si ∗ es una lci asociativa en S, entonces
a ∗ (b ∗ c) = (b ∗ c) ∗ a,
7.
8.
9.
10.
11.
12.
∀ a, b, c ∈ S
d) Una ley de composición interna en S asigna al menos un elemento de S a cada par de
elementos de S
e) Una ley de composición interna en S asigna a lo más un elemento de S a cada par de
elementos de S
f ) Una ley de composición interna en S asigna exactamente un elemento de S a cada par de
elementos de S
Si S es un conjunto de un sólo elemento, indicar todas las operaciones binarias que pueden
definirse en S. La misma pregunta responderla para un conjunto S de 2 elementos, 3 elementos, n
elementos
Sea (Z, ⊥) ley de composición interna tal que x ⊥ y = x
a) Determinar si esta ley es asociativa.
b) Determinar si ⊥ distribuye respecto de + en Z.
c) Hallar elemento neutro.
d) Resolver para x la ecuación (2x2 − 5x) ⊥ (x3 + x2 + 1) = 3.
Resolver en Z7 la ecuación 3 + (2x + 5) = 17
Hallar elemento neutro en (Z8 , +)
Hallar todos los divisores de cero en (Z8 , +, ·)
x+y
Se define en R la ley x ∗ y =
.
1 + xy
a) Determinar si esta ley es interna.
b) Hallar los posibles elementos absorventes.
13. En N se define la ley ∗ por a ∗ b = a + b + ab.
a) Calcular 1 ∗ 2, 3 ∗ 4, (2 ∗ 5) ∗ 6
b) Determinar si esta ley es conmutativa y asociativa
c) Determinar si esta ley distribuye respecto de + en N.
14. Determinar si el conjunto dado junto a la ley ∗ constituye un grupo.
a) (Z, ∗), a ∗ b = ab
d) (Q, ∗), a ∗ b = a − b
b) (Z, ∗), a ∗ b = a − b
e) (C, ∗), a ∗ b = a + b
c) (R+ , ∗), a ∗ b = ab
f) (R − {0}, ∗), a ∗ b = ab
15. En (S, ∗) se define x nilpotente si x ∗ x = x. Probar que un grupo tiene exactamente un elemento
nilpotente
16. Se define sobre E = {0, 1, 2, 3, 4} la ley a ∗ b = |a − b|. Determinar si (E, ∗) es grupo abeliano.
17. Sea G = {a ∈ R/ − 1 < a < 1} y a ∗ b =
a+b
1 + ab
a) Demostrar que (G, ∗) es un grupo conmutativo
b) Resolver la ecuación
1
1
1
∗ z ∗ (− )−1 =
2
3
2
18. En S = R − {−1} se define a ∗ b = a + b + ab
a) Demostrar que ∗ es operación binaria en S
b) Demostrar que (S, ∗) tiene estructura de grupo
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
186
c) Resolver la ecuación 2 ∗ x ∗ 3 = 7 en S.
19. En R∗ = R − {0} se define a ∗ b = |a|b
a) Demostrar que ∗ es operación binaria asociativa en S
b) Demostrar que hay una identidad izquierda para ∗, que existe inverso derecho para cada
elemento de R∗
c) Determinar si (R∗ , ∗) es un grupo.
20. Sea G = { f1 , f2 , f3 , f4 , f5 , f6 }, donde las fi son funciones reales definidas por:
1
1
x−1
a) f1 (x) = x
b) f2 (x) =
c) f3 (x) = 1 − x d) f4 (x) =
e) f5 (x) =
x
1−x
x
x
f) f6 (x) =
x−1
a) Demostrar que (G, ◦) es un grupo. Averiguar si es abeliano.
b) Determinar cuáles de los siguientes subconjuntos son subgrupos de G:
A = { f1 , f2 },
B = { f2 , f3 , f4 },
C = { f1 , f6 }
21. Sea E = R2 − {(0, y)/ y ∈ R}. Probar que (E, ∗) es un grupo con la ley
(a, b) ∗ (c, d) = (ac, bc + d)
22. Sea G grupo y H subgrupo de G. Probar que la siguiente relación es de equivalencia en G
x R y ⇐⇒ x · y−1 ∈ H
23. Sea G = {a ∈ R/ a ∈ (−1, 1)} y sea a ∗ b =
a+b
, a, b ∈ G. Demostrar que (G, ∗) es un grupo
1 + ab
abeliano.
24. Sea (G, ∗) grupo. Demostrar que si para todo a, b ∈ G se verifica que (a ∗ b)2 = a2 ∗ b2 , entonces
G es abeliano.
25. Sea (G, ∗) grupo. Demostrar que si para todo a ∈ G se verifica que a ∗ a = e, entonces G es
abeliano.
26. Averiguar cuales de los siguientes subconjuntos de los números complejos son subgrupos bajo
adición:
a) R
b) Q+
c) 7 Z
d) A = {π n / n ∈ Z}
27. Escribir a lo menos 5 elementos de cada uno de los siguientes grupos cíclicos:
(25 Z, +)
1
b) ({( )n / n ∈ Z}, ·)
2
c) ({π n / n ∈ Z}, ·)
1. Indicar cuales de los siguientes grupos son cíclicos, indicando todos sus generadores:
√
a) (Z, +) b) (Q, +) c) ({6n / n ∈ Z}, ·) d) (6 Z, +) e) (Q+ , ·) f) ({a + b 2/ a, b ∈ Z}, +)
2. Sea G grupo abeliano con identidad e. probar que todo elemento x ∈ G que satisfaga la ecuación
x2 = e forma un subgrupo de G
3. Demostrar que si a ∈ G, donde G es un grupo finito con identidad e, entonces existe n ∈ Z+ tal
que an = e
2.16 Problemas Propuestos
187
4. Sea G grupo, a un elemento fijo de G. demostrar que
Ha = {x ∈ G/ xa = ax}
es un subgrupo de G
5. Decidir cuáles de las siguientes funciones fi : R → R son permutaciones:
1) f1 (x) = x + 1
2) f2 (x) = x2
3) f3 (x) = −x3
4) f4 (x) = ex
5) f5 (x) = x3 − x2 − 2x
α −1 , β −1 , (α β )−1 , (β α)−1 , si:
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
α=
β=
2 3 6 5 4 1
1 3 5 6 2 4
1 2 3 4 5 6
7. Sea p =
, G = {pn / n ∈ N}.
2 3 4 5 6 1
Demostrar que (G, ◦) es un grupo cíclico de orden 6. Hallar los subgrupos.
6. Calcular α,
β α,
8. Determinar cuáles de los siguientes conjuntos son anillos:
√
√
a) (nZ, +, ·) b) (Z+ , +, ·) c) ({a 2, a ∈ Z}, +, ·) d) ({a + b 2, a, b ∈ Z}, +, ·)
9. En Z2 considerar la suma habitual y el producto (a, b) · (c, d) = (ac, ad + bc)
a) Probar que (Z2 , +, ·) es un anillo conmutativo con identidad
b) Determinar los divisores de cero y los elementos invertibles
c) Resolver la ecuación x3 + x2 = (1, 2)
10. En P(E) se definen las leyes
A + B = (A ∪ B) − (A ∩ B),
11.
12.
13.
14.
A · B = A ∩ B,
∀A, B ∈ P(E)
a) Probar que (P(E), +, ·) es un anillo.
b) Construir las tablas de + y · para E = {a, b}.
c) Mostrar que (P(E), +, ·) no es dominio de integridad.
x
x
Sea f : (Q, +, ·) → (Z, +, ·) tal que 7→ f ( ) = x + y, con x e y primos relativos. Averiguar si f
y
y
es homomorfismo de anillos.
Resolver la ecuación x5 − x = 0 en los anillos: a) Z4
b) Z5
Considere el anillo (Z3 × Z3 , +, ·), en donde la suma es la habitual de componentes, y el producto
está dado por (a, b) · (c, d) = (ad + bc, bd)
a) Determinar los divisores de cero y los elementos invertibles
b) Resolver la ecuación x3 + x2 = x
Sea f epimorfismo entre los anillos (A, +, ·) y (B, +, ·). Si a, b ∈ A, demostrar que
f (a − b) = f (a) − f (b)
15. Se define f : (R − {0}, ·) → (R+ , ·) por x 7→ x2 .
a) Demostrar que f es un epimorfismo.
b) Determinar si f es isomorfismo.
c) Hallar todos los elementos de A = {x ∈ R − {0}/ f (x) = e 0 }, siendo e 0 el neutro de R+
16. Sean (E, ∗) y (F, ◦) sistemas algebraicos. Demostrar que si a es elemento absorvente de E,
entonces f (a) es elemento absorvente de F.
Capítulo 2. Relaciones - Estructuras y Complejos
188
17. Se define sobre E 6= 0/ las leyes ∗ y · con elementos neutros e y f respectivamente, y tales que
cumplen
(x ∗ y) · (u ∗ v) = (x · u) ∗ (y · v), ∀x, y, u, v ∈ E
a) Demostrar que e = f .
b) Demostrar que x ∗ v = x · v, ∀(x, v) ∈ E × E
c) Probar que ∗ es asociativa y conmutativa.
18. En Z × Z considerar las leyes de composición internas
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)
Demostrar que (Z × Z, +, ·) es un anillo conmutativo con unidad.
19. Sea (K, +, ·) cuerpo con el 0 de neutro para + y el 1 neutro para ·
a) Demostrar que x2 = 1 =⇒ x = 1 ∨ x = −1
b) Probar que x + x = 0 =⇒ x = 0
20. En el cuerpo (Z5 , +, ·) resolver
2x + 3y = 2
a) 3x + 1 = 4
(b)
x − 4y = 1
Números complejos
1. Determinar si el complejo z = 1 + 2i es solución de z2 − 2z + 5 = 0
2. Hallar un complejo z con la propiedad que z, 1 − z, 1z tengan igual módulo
3. Escribir en la forma a+bi, los siguientes complejos:
−5 + 5i
4 − 3i
1 + ai
c) i5
d) (1 + 2i)2 + (1 − 2i)2
1 − ai
√
√
√
4. Dados los números complejos, z1 = 3 + 1, z2 = − 3 + 3i, z3 = 2 − 2i 3. Calcular
a)
b)
2z1 − (z22 − z3 ) −
z2
z1
5. Graficar los siguientes conjuntos en el plano complejo:
a) |z| = z + z
b) |z + 1| + |z − 1| = 3
c) z − z = i
Sea z, w complejos no nulos. Probar que |z|−1 |z − w| |w|−1 = |z−1 − w−1 |
Demostrar que la ecuación zz − 2|z| + 1 = 0 tiene infinitas soluciones.
Probar que |4z − 1| = 2|1 + z| =⇒ |z| = 12
Hallar el valor de |1 + z|2 + |1 − z|2 si |z| = 1
1
10. Demostrar que si, z + ∈ R, entonces Im z = 0 o bien |z| = 1
z
z+ω
11. Demostrar que |z| = 1 =⇒
= 1, ω ∈ C
1+zω
6.
7.
8.
9.
12. Se definen el seno y el coseno complejo como
sen z =
Probar que:
1 iz
(e − e−iz )
2i
1
cos z = (eiz + e−iz )
2
2.16 Problemas Propuestos
189
a) sen(z + w) = sen z cos w + cos z sen w
b) cos(z + w) = cos z cos w − sen z sen w
13. Se define la exponencial compleja como ez = ex (cos y + i sen y), con z = x + iy. Probar que:
a) ez 6= 0
b) ez+w = ez · ew
c) (ez )−1 = e−z
14. Determinar los números
reales x e y tales que (1 − 2i)x + (3 + 5i)y = 1 + 3i
√
−1 + i 3
15. Sea w =
. Hallar w2 , w3 , 1 + w + w2
2
16. Hallar los complejos a + bi tales que (a + bi)2 = 5 + 12i
17. Probar que si
a + bi
es un número real, entonces ad − bc = 0.
c + di
18. Demostrar las siguientes proposiciones:
b) |z − w|2 + |z + w|2 = 2|z|2 + 2|w|2
a) |Re(z) + Im(z)| ≤ 2|z|
1
2
La suma de dos complejos es 3 + 2i. La parte real de uno de ellos es 2 y el cociente imaginario
puro. Hallar ambos complejos.
z+w
Sean z, w complejos, con |z| 6= 1. Probar que
=1
1 + zw
Hallar todas las soluciones de:
√
a) z3 = 1
b) z2 = 1
c) z3 − 2 + 2i = 0
d) z2 = i 2
p
√
√
√
√
√
√
√
√
√
Calcular 3 −1, 6 i, 4 1 + i, 3 −i, 4 8i, 6 64, 3 −8,
−16i,
1+i 3
Obtener la forma polar de los números complejos:
√
√
a) z1 = 3 + i b) z2 = −2 − 2i 3 c) z3 = −1 − i d) z4 = −3i
√
Calcular z2 siendo z = −| − 1 + i| + i 2
Dado z = 1 + sen α + i cos α, hallar |z2 − z|
Hallar los reales m y n tales que (−1 + i)m + (1 + 2i)n = 1
Resolver la ecuación x2 + (−2 − 2i)x = 3 − 6i
Sea ω raíz cúbica primitiva de 1. Demostrar que (1 − w)(1 − w2 ) = 3
Sea z = 1 + i. Probar que z5 + z−5 es un número real
Si z1 = 1 + i, (z − z1 )(z − z1 )(z + z1 )(z + z1 ) = 5, probar que z4 = 1
Resolver las ecuaciones:
√
a) z2 + 6z = 7
b) z = z− 1
c) |z + 1| = |z + 3|
d) z = i
d) |4z + 1| = 2|z + 1| =⇒ |z| =
c) Re(zw + zw) = zw + zw
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32. Resolver las ecuaciones:
q
√
a) z = 1 + i i
b) z =
√
4
1−i
c) z =
√
3
−i
d)
n
n
33. Sean z0 , z1 , · · · zn complejos tales que zk =
+
i. Probar que
k
k
n
∑
k=0
zk = 2n (1 + i)
z − 12
5
=
z − 8i
3
3. Polinomios
3.1
Introducción
Es más que probable, a estas alturas, que hayas tenido la oportunidad de trabajar con polinomios, por
ejemplo, cuando se han sumado, restado o multiplicado números reales. Nos proponemos estudiar
desde otro punto de vista los polinomios. El estudio a realizar es a través de indeterminadas, en donde el
término indeterminada se usa para indicar que el símbolo x queda determinado por el sistema particular
que se esté estudiando, así por ejemplo, en ciertas teorías uno puede desear que x represente una matriz
cuadrada, por esta razón la x se ve como un símbolo sin sentido específico unido a ella. Para denotar
polinomios se usamos símbolos tales como a(x), b(x), p(x), q(x).
3.2
Polinomio con una indeterminada
Sea A anillo unitario de integridad (neutro en la segunda operación y sin divisores de cero). Se considera
una sucesión de elementos de A tal que, a partir de cierto índice, los elementos de la sucesión son todos
iguales al elemento 0, el neutro para la adición en A. De esta forma se tiene una sucesión de la forma
a = (α0 , α1 , · · · , αn , 0, 0, · · · ),
αi ∈ A
(1) Esta sucesión se llama polinomio con una indeterminada en A
(2) Al mayor índice n tal que αn 6= 0 se le llama grado del polinomio.
(3) Los elementos αi se denominan coeficientes del polinomio. Al coeficiente α0 se le llama término
constante.
Si todos los coeficientes son iguales a cero, el polinomio correspondiente se anota 0, se llama polinomio
cero y se conviene en que no tiene grado.
Capítulo 3. Polinomios
192
3.2.1
Anillo de Polinomios
Los polinomios
a = (α0 , α1 , · · · , αn , 0, 0, · · · ),
b = (β0 , β1 , · · · , βm , 0, 0, · · · )
son iguales, se escribe a = b si n = m, es decir, el mismo grado, y si αi = βi , para todo i = 0, 1, · · · , n.
En el conjunto de los polinomios definimos una operación interna, representada aditivamente, como
a + b = (α0 + β0 , α1 + β1 , · · · , αn + βn , 0, 0, · · · )
claramente esta operación es conmutativa y asociativa. Además, hay elemento neutro, es el polinomio
cero, 0 = (0, 0, 0, · · · ), en el cual todos sus elementos son nulos. Más aún, todo polinomio tiene un
simétrico o inverso, simbolizado por
−a = (−α0 , −α1 , · · · , −αn , 0, 0, · · · )
se observa que cada coeficientes es opuesto a los del polinomio a
En consecuencia, los polinomios con adición constituyen un grupo conmutativo.
En cuanto al grado del polinomio suma a + b, éste es, igual al mayor de los dos grados sin son diferentes,
y si son iguales, puede ser que el grado sea menor. Por tanto,
grado (a + b) ≤ máx(grado a, grado b)
El grado del polinomio −a es el mismo que el de a.
Sean λ , κ elementos del anillo A. Si ponemos
λ a = (λ α0 , λ α1 , · · · λ αn , · · · 0, 0, · · · )
entonces λ a es el polinomio cuyos coeficientes son los productos por λ de los coeficientes de a. Se
tiene:
(1) λ (a + b) = λ a + λ b
(4) 1 · a = a
(2) (λ + κ) a = λ a + κ a
(5) λ · 0 = 0
(3) λ (κ a) = (λ κ) a
El grado de λ a es igual al grado de a, siempre que λ 6= 0.
Se consideran ahora aquellos polinomios de la forma
un = (0, · · · , 0, 1, 0, 0, · · · )
cuyos coeficientes son todos nulos, excepto el de índice n que vale 1, entonces un es un polinomio de
grado n. Usando este hecho, todo polinomio a = (α0 , α1 , · · · , αn , 0, 0, · · · ) se puede escribir de una sola
manera en la forma,
a = α0 u0 + α1 u1 + · · · + αn un
Lo usual es escribir el símbolo xn en lugar de un , también que u0 = x0 = 1. Por ahora x no representa
nada, xn es un mero símbolo, no pudiendo separarse la x de n, el n juega sólo como índice. Se llega así
a la escritura tradicional
a(x) = α0 + α1 x + α2 x2 + · · · αn xn
En resúmen, reemplazando αi por ai , tenemos lo siguiente:
3.2 Polinomio con una indeterminada
193
Definición 3.2.1 Un polinomio en x con coeficientes en A es un objeto matemático que se puede
escribir en la forma
p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · =
∞
∑ ak xk
k=0
con coeficientes ak ∈ A casi todos nulos
El conjunto de los polinomios en este anillo A se anota A[x], en donde x se llama indeterminada. Por
ejemplo, Z[x] denota el anillo de los polinomios con coeficientes en Z y Q[x] el de los polinomios
con coeficientes en el anillo de los números racionales. Por otra parte, 3x2 + 1 es un polinomio en
la indeterminada x de grado 2, y x3 − 5x + 6 es un polinomio de grado 3. Los coeficientes de estos
polinomios se pueden tomar en los anillos, Z, Q, R, o C
En el conjunto de los polinomios introducimos una segunda operación binaria, la multiplicación. Sean
αi y β j elementos del anillo A, si a = α0 + α1 x + α2 x2 + · · · + αn xn , b = β0 + β1 x + β2 x2 + · · · + βm xm ,
entonces
a · b = α0 β0 + (α0 β1 + α1 β0 ) x + · · ·
= (α0 βi + α1 βi−1 + · · · αi β0 ) xi + · · · + αn βm xm+n
Esta operación es conmutativa, asociativa y distributiva (respecto de +). Respecto del grado del
producto, se observa que
grado (a · b) = grado a + grado b
Hasta aquí, el conjunto A[x] es un anillo conmutativo.
El neutro de la multiplicación
Un polinomio u = η0 + η1 x + · · · + ηk xk es elemento neutro para la multiplicación, si u · a = a, para
todo polinomio a. Siendo así, debe tenerse, en particular que, u xn = xn , de modo que
η0 xn + η1 xn+1 + · · · + ηk xn+k = xn
de lo cual se obtiene, η0 = 1, η1 = 0, · · · ηk = 0. Luego, u = x0 = 1, ésta es la razón por la que se
identifica el polinomio x0 con el número 1. Esto hace que el anillo A[x] sea unitario.
Divisores de cero
Veamos si el anillo A[x] tiene divisores de cero. Para ello, sean a y b polinomios de A[x] con a 6= 0. De
esta forma, existe en el polinomio a, a lo menos, un coeficiente αh 6= 0. Supongamos que h es el menor
índice con esta propiedad. Esto implica que αi = 0 para 0 ≤ i < h. Si los coeficientes del polinomio b
son β0 , β1 , · · · , de la igualdad ab = 0 se tiene
αh β0 = 0,
αh β1 + αh+1 β0 = 0, · · ·
como αh 6= 0, entonces β0 = 0, β1 = 0, · · · , y por consiguiente b = 0. En consecuencia, el conjunto de
todos los polinomios con coeficientes en A, denotado por A[x], es un dominio de integridad.
Con los anterior hemos probado el siguiente resultado:
Proposición 3.2.2 Si el anillo A es un dominio de integridad, entonces el anillo A[x] es también un
dominio de integridad.
Capítulo 3. Polinomios
194
Observación 3.2.3 .
Si el anillo A es un cuerpo, entonces el anillo A[x] sigue siendo un dominio de
integridad, pero jamás cuerpo. En efecto, sigue fallando la existencia de inverso multiplicativo. Por
ejemplo, para ningún polinomio p(x) puede verificarse que
p(x) · x = 1 = (1, 0, 0, · · · , )
el grado del producto p(x) · x es mayor o igual que 1, mientras que el grado del polinomio 1 es cero.
Así, el polinomio x no tiene inverso. El siguiente resultado se relaciona directamente con este hecho.
Teorema 3.2.4 Un polinomio tiene inverso multiplicativo en A[x] si y sólo si tiene grado cero
Demostración
←) Si p(x) tiene grado cero, entonces podemos escribir p(x) = a0 , con a0 6= 0. Por ser A cuerpo existe
−1
−1
a−1
0 en A tal que a0 · a0 = 1. En consecuencia, el polinomio q(x) = a0 cumple que p(x) · q(x)) = 1.
Por tanto, q(x) es el inverso multiplicativo de p(x)
→) Suponemos ahora que p(x) tiene inverso q(x). Esto hace que p(x) · q(x) = 1. De aquí que la suma
de los grados de p y q debe ser igual al grado del polinomio 1, a saber, 0. Como el grado de un
polinomio nunca es negativo, se deduce que los grados de p y q tienen que ser cero. Esto completa la
demostración.
Teorema 3.2.5 Si p, q, r son polinomios en A[x], r(x) 6= 0, entonces
p(x) · r(x) = q(x) · r(x) =⇒ p(x) = q(x)
Demostración
Por hipótesis, [ p(x) − q(x) ] r(x) = 0. Como r(x) 6= 0, y estamos en un dominio de integridad, entonces
p(x) − q(x) = 0, de donde p(x) = q(x).
3.2.2
La función polinomio
Sea a = α0 + α1 x + · · · + αn xn un polinomio del anillo A. Si ξ es un elemento de A, entonces ξ i está
definido como producto de i factores iguales a ξ . Luego, ξ i ∈ A. De esta forma, el elemento
a(ξ ) = α0 + α1 ξ + · · · + αn ξ n
pertenece al anillo A. El polinomio a define una aplicación de A en A, por la que a toda ξ ∈ A le
corresponde a(ξ ) ∈ A. Esta aplicación se llama función polinomio a, o cuando no exista confusión,
simplemente polinomio. Se puede probar que polinomio y función polinomio son términos equivalentes
si A es un dominio de integridad infinito. De hecho, en los cuerpos infinitos, Q, R, C no hay “drama”,
son exactamente lo mismo.
Para comprender mejor la diferencia entre polinomio y función polinomio consideremos el anillo
Z3 = {0, 1, 2}, entonces los polinomios
x5 + 2x4 + x3 + 2x + 1
y
x5 + 2x4 + 2x3 + x + 1
que son diferentes, definen la misma función polinomio:
a(0) = 1, a(1) = 1, a(2) = 2
3.3 Polinomios sobre un Campo
195
esto muestra que no es siempre posible establecer una función biyectiva entre el conjunto de los
polinomios y las funciones polinomio, con el fin de tener un isomorfismo, que es lo que nos permite
identificar dos estructuras equivalentes. En lo que sigue, no hacemos distinción, salvo que se indique,
entre polinomio y función polinomio (polinomial o polinómica).
3.3
Polinomios sobre un Campo
Sea K cuerpo conmutativo. Como la estructura de campo contiene a la de Dominio de Integridad,
entonces el anillo K[x] de los polinomios en x con coeficientes en un cuerpo conmutativo K, es un
dominio de integridad, pero no cuerpo como lo dijimos anteriormente. Es conocido que todo elemento
no nulo de K tiene inverso, sin embargo esto, no siempre es posible en el anillo de polinomios K[x]. Es
decir, dados dos polinomios p y q, no siempre existe un polinomio s tal que p = sq. Si tal polinomio
existe se dirá que p es divisible por q o que p es un múltiplo de q. Precisemos esto.
Definición 3.3.1 El polinomio q(x) divide al polinomio p(x), que se anota, q(x) | p(x), si y sólo si,
existe un polinomio s(x) tal que p(x) = q(x) · s(x)
El siguiente resultado permite una primera aproximación para saber cuando un polinomio es divisible
por otro.
Definición 3.3.2 (Algorítmo de la división)
Si p(x) y q(x) 6= 0 son polinomios, entonces existen polinomios únicos s(x) y r(x) tales que
p(x) = q(x) · s(x) + r(x)
en donde r(x) = 0 ó grado r(x) < grado q(x). El polinomio s(x) se llama cociente y r(x) resto
Es claro que, si el resto r es cero, entonces p = qs. Esto lo vemos a continuación.
Ejemplo 3.3.3
Hallemos cociente y resto al dividir p(x) = x4 − 16 por q(x) = x2 + 3x + 1
Solución
x4 − 16
: x2 + 3x + 1 = x2 − 3x + 8
4
3
2
x + 3x + x
−3x3 − x2 − 16
−3x3 − 9x2 − 3x
8x2 + 3x − 16
8x2 + 24x + 8
−21x − 24
se tiene
x4 − 16 = (x2 + 3x + 1) · (x2 − 3x + 8) + (−21x − 24)
Como el resto no es cero, afirmamos que el polinomio p(x) = x4 − 16 no es divisible por q(x) =
x2 + 3x + 1.
Teorema 3.3.4 (del resto)
Si un polinomio p(x) se divide por (x − α), entonces el resto es p(α)
Demostración
De la hipótesis que p(x) se divide por (x − α) se tiene que existe un cociente q(x) y un resto r(x) tal
que
p(x) = (x − α) · q(x) + r(x)
Capítulo 3. Polinomios
196
El resto debe tener grado menor que 1, esto es grado 0. de donde, r(x) = d, una constante. Escribimos
p(x) = (x − α) · q(x) + d
Al evaluar en α se tiene que p(α) = d. En consecuencia
p(x) = (x − α) · q(x) + p(α)
Ejemplo 3.3.5
Hallemos el resto cuando se divide p(x) = x4 − x2 + 3x − 4 por x − 2, en Z[x]
El teorema asegura que el resto es, p(2) = 24 − 22 + 3 · 2 − 4 = 14
Teorema 3.3.6 (del Factor)
(x − α) es un factor del polinomio p(x) si y sólo si p(α) = 0
Demostración
←) Si p(α) = 0, entonces el resto, en el algorítmo de la división es un cero. Luego
p(x) = q(x) · (x − α)
se concluye que (x − α) es un factor de p(x).
→) Inversamente, si (x − α) es factor, entonces el residuo de la división por (x − α) es cero. Del
teorema del residuo se tiene que p(α) = 0.
Ejemplo 3.3.7
3.3.1
El polinomio p(x) = x3 − 4x2 + 3x + 2, tiene (x − 2) como factor pues p(2) = 0.
Máximo Común Divisor
Definición 3.3.8 Sean f (x) y g(x) polinomios no nulos de K[x]. El polinomio d(x) ∈ K[x] con las
propiedades:
(1) d(x) es mónico
(2) d(x) | f (x) y d(x) | g(x)
(3) Para todo otro polinomio c(x) ∈ K[x] tal que, c(x) | f (x) y c(x) | g(x) se tiene que c(x) | d(x), se
llama máximo común divisor de f (x) y g(x). Se anota, MCD
De la condición (2), el polinomio d(x) es de la forma
d(x) = s(x) · f (x) + t(x) · g(x)
El término mónico se utiliza para indicar que se trata de un polinomio en el cual el coeficiente de la
máxima potencia es la unidad 1. De la definición, diremos que dos polinomios son primos entre sí, si
el MCD entre ellos es de grado 0, es decir, una constante.
3.3 Polinomios sobre un Campo
3.3.2
197
Cálculo del MCD
El procedimiento a emplear en el cálculo del MCD se denomina Algorítmo de Euclides y consta de los
siguientes pasos:
f (x)
= g(x) · q1 (x) + r1 (x),
grado r1 < grado g
g(x)
= r1 (x) · q2 (x) + r2 (x),
grado r2 < grado r1
r1 (x)
= r2 (x) · q3 (x) + r3 (x),
grado r3 < grado r2
..
.
rn−2 (x) = rn−1 (x) · qn (x) + rn (x),
grado rn < grado rn−1
rn−1 (x) = rn (x) · qn+1 (x)
Reglas para el MCD
Se considera que los polinomios tienen coeficientes enteros.
(1) Los polinomios f (x) y g(x) se pueden reducir a otros polinomios más simples dividiéndolos por
el MCD de sus coeficientes. Por ejemplo, el polinomio 4x4 + 16x3 − 8x + 64 se puede reducir a
x4 + 4x3 − 2x + 16 (se dividió por 4).
(2) Cualquiera de los polinomios f (x) y g(x) se puede dividir por un factor que no divida al otro
polinomio (Este factor no es entonces parte del MCD). Por ejemplo, si
f (x) = (x − 1)(x4 + 4x3 − 2x + 16)
y
g(x) = x3 + 3x
entonces se puede operar con los polinomios
f (x) = x4 + 4x3 − 2x + 16
(3)
(4)
(5)
(6)
y
g(x) = x2 + 3
en donde el primero se dividió por el factor x − 1, que no forma parte del segundo, y el segundo
se dividió por x que no forma parte del primero (como factor). De esta forma, es claro que,
ninguno de estos dos factores es parte del MCD.
El resto de cualquier división se puede dividir por un factor que no divida a los dos polinomios
dados f (x) y g(x).
Si el primer término de cualquier residuo ri (x) es negativo, puede cambiarse el signo a todos los
términos de dicho resto.
Si el primer término del dividendo o el primer término de algún resto no es divisible por el primer
término del divisor, se multiplican todos los términos del dividendo o del resto para hacerlo
divisible.
Antes de colocar como divisor al último resto, se deben hacer los coeficientes de este resto primos
entre sí, dividiéndolo por su MCD.
Ejemplo 3.3.9
Hallemos MCD entre f (x) = x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 y g(x) = x4 − 1
Capítulo 3. Polinomios
198
Según el esquema de Euclides se divide, en primer lugar, f (x) por g(x).
x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 : x4 − 1 = x + 1
x4 + x3 + x2 + 2x + 1
x4 − 1
x3 + x2 + 2x + 2
Escribimos esto en la forma del algorítmo
f (x)
r1 (x)
g(x)
1 (x)
z
}|
{
z }| { z q}|
}|
{
{ z
5
4
3
2
4
x + x + x + x + x + 1 = (x − 1) · (x + 1) + x3 + x2 + 2x + 2
Ahora se divide el g(x) por el resto r1 (x)
x4 − 1
: x3 + x2 + 2x + 2 = x − 1
x4 + x3 + 2x2 + 2x
−x3 − 2x2 − 2x − 1
−x3 − x2 − 2x − 2
−x2 + 1
Escribimos esto en la forma del algorítmo
r2 (x)
r1 (x)
g(x)
2 (x)
z }| {
z
}|
{ z q}|
{ z }| {
4
3
2
x − 1 = (x + x + 2x + 2) · (x − 1) + 1 − x2
Observar que se ha ido respetando cuidadosamente la condición de los grados. Dividimos ahora
x3 + x2 + 2x + 2 : 1 − x2 = −x − 1
−x3 − x
x2 + 3x + 2
x2 − 1
3x + 3
Esto en la forma del algorítmo,
r1 (x)
r2 (x)
r (x)
3 (x)
}|
{
z }| { z q}|
z
{ z 3}| {
3
2
2
x + x + 2x + 2 = (1 − x ) · (−x − 1) + 3x + 3
¡Paciencia!, estamos cerca. Hay que dividir el resto r2 en el resto r3 .
1 − x2 : x + 1 = −x + 1
−x2 − x
1+x
1+x
0
seguramente se dieron cuenta que se simplificó el polinomio 3x + 3. Esto se ve, de acuerdo al algorítmo
como
r2 (x)
r3 (x)
q4 (x)
z }| {
z }| { z }| {
2
1 − x = (x + 1) · (−x + 1) + 0
Dado que el resto r4 = 0, entonces el resto r3 simplificado, esto es, x + 1, es el MCD.
3.4 Factorizaciones y Ceros
3.4
199
Factorizaciones y Ceros
Se ha dicho, con anterioridad, que un polinomio p(x) es divisible por otro polinomio q(x), si y sólo si,
existe un polinomio r(x) tal que p(x) = q(x) · r(x). La igualdad
p(x) = q(x) r(x)
se llama factorización o descomposición de p(x) en los factores q(x) y r(x). Ahora bien, todo polinomio
en K[x] tiene una factorización trivial
p(x) = a · a−1 p(x) ,
a 6= 0
Un polinomio es primo o irreducible si no tiene otro divisor que sí mismo y las constantes distintas
de cero. Por ejemplo, el polinomio x2 − 9 no es primo en el cuerpo de los racionales Q pues, es
divisible por x − 3 y por x + 3. En cambio, el polinomio x2 − 5 es primo en Q, no así en R ni en C.
Es claro que todo polinomio de primer grado, p(x) = ax + b es irreductible. Si un polinomio tiene
factorizaciones no triviales, se dice que el polinomio es reducible, por ejemplo, x2 + 1 en C es reducible
pues, x2 + 1 = (x − i)(x + i).
Definición 3.4.1 Sea p(x) polinomio sobre un anillo A, conmutativo con unidad. Un elemento a ∈ A
se dice un cero o raíz del polinomio p(x), si p(a) = 0
En otras palabras, a es cero o raíz del polinomio p(x) si este polinomio se divide exactamente por
(x − a) (teorema del factor). De este modo, existe gran relación entre los ceros o raíces de un polinomio
y sus factores. Por ejemplo, el polinomio x2 − 4 tiene por ceros, el 2 y el -2, pues ambos satisfacen
p(2) = 0 y p(−2) = 0. Además, (x − 2) y (x + 2) son factores de p(x), ya que
x2 − 4 = (x − 2)(x + 2)
Para polinomios de grado superior al 2, el asunto deja de ser tan sencillo, y hay que entrar a preguntarse
por: ¿cuántos ceros tiene un polinomio?, ¿de qué depende ello?, ¿Entre que valores (cotas) se deben
buscar los ceros?, y otras interrogantes, las cuales iremos abordando paso a paso.
Teorema 3.4.2 Si el polinomio p(x) ∈ K[x] tiene n ceros distintos a1 , a2 , · · · , an , entonces se puede
representar en la forma
p(x) = (x − a1 )(x − a2 ) · · · (x − an ) · q(x)
Demostración
La demostración la hacemos usando inducción.
Si el polinomio tiene sólo un cero a1 , entonces
p(x) = (x − a1 ) · q(x)
y el teorema se cumple pues p(a1 ) = 0
Suponemos ahora que el resultado vale para n − 1 ceros distintos, Esto es, se verifica
p(x) = (x − a1 )(x − a2 ) · (x − an−1 ) · h(x)
Probemos validez para n ceros distintos, a1 , a2 , · · · .an .
Capítulo 3. Polinomios
200
Por hipótesis de inducción, se verifica para
p(x) = (x − a1 )(x − a2 ) · (x − an−1 ) · h(x)
Además, an es cero, entonces
p(an ) = (an − a1 )(an − a2 ) · (an − an−1 ) · h(an ) = 0
En un anillo de integridad, o en un cuerpo, no hay divisores de cero, es decir a · b = 0 implica
necesariamente, que uno de los dos factores a o b es cero. En este caso tenemos que h(an ) = 0, pues,
como los ceros son distintos, todo factor de la forma (an − a j ) 6= 0. Por otra parte, an cero de p(x)
implica que es válido que
p(x) = (x − an ) · q(x)
sustituyendo esto en la hipótesis de inducción tenemos
p(x) = (x − a1 )(x − a2 ) · (x − an−1 )(x − an ) · h(x)
y la prueba está completa.
Consecuencia importante del resultado anterior es el que sigue.
Teorema 3.4.3 Un polinomio p(x) ∈ K[x] de grado n tiene a lo más n ceros distintos
Demostración
Supongamos, por el contrario, que el polinomio p(x) tiene (n + 1) ceros distintos. Esto significa que
tenemos:
p(a1 ) = 0, p(a2 ) = 0, p(an ) = 0, p(an+1 ) = 0
Por el teorema anterior debemos tener
p(x) = (x − a1 )(x − a2 ) · (x − an )(x − an+1 ) · q(x)
Luego, grado de p ≥ n + 1 > n, lo que es contrario a la hipótesis si q(x) 6= 0. Si fuera q(x) = 0, entonces
p(x) = (x − a1 )(x − a2 ) · (x − an )(x − an+1 ) · 0 = 0
Es decir, p(x) es el polinomio cero. En consecuencia, si p(x) 6= 0 y de grado n, entonces p(x) tiene a lo
más n ceros.
Lo interesante de todo esto, es que si p(x) tiene grado n, entonces se puede escribir
p(x) = (x − a1 )(x − a2 ) · (x − an ) · q(x)
Al comparar los grados en ambos lados de la ecuación, se deduce que el grado de q(x) es cero, esto es,
una constante, de aquí que debe ser el coeficiente de xn , esto es an . En consecuencia
p(x) = an (x − a1 )(x − a2 ) · · · (x − an )
Si el factor (x − α) ocurre k veces, se dice que α es un cero de multiplicidad k.
Definición 3.4.4 Un cuerpo conmutativo K es algebraicamente cerrado, si todo polinomio no cons-
tante en una indeterminada x con coeficientes en K, tiene al menos una raíz en K
3.4 Factorizaciones y Ceros
201
A la luz de esta definición, el campo R de los números reales no es algebraicamente cerrado, pues el
polinomio x2 +1 no tiene ceros en R. En cambio, el campo de los números complejos es algebraicamente
cerrado. Esto último lo establece el Teorema fundamental del álgebra, fruto del trabajo del matemático
alemán Karl Friedrich Gauss quien en 1799 probó este hecho. Su demostración requiere elementos de
análisis matemático, por lo que se encuentra fuera de nuestro alcance.
Teorema 3.4.5 (Fundamental del Algebra)
Todo polinomio de coeficientes complejos tiene al menos un cero complejo
Teorema 3.4.6 Un polinomio de grado n, con coeficientes complejos, tiene exactamente n ceros
complejos
Este último resultado es consecuencia de haber establecido que un polinomio de grado n tiene al menos
n ceros, contando sus multiplicidades, y que hay a lo más n ceros distintos. El hecho que los ceros
sean complejos no descarta que pudieran ser reales, pues el conjunto de los números reales R es un
subconjunto del de los números complejos C
Hallemos los ceros del polinomio p(x) = x5 − 4x4 + 13x3 , y lo escribimos como un
producto de factores polinomiales.
Ejemplo 3.4.7
Solución
De acuerdo con los resultados precedentes este polinomio tiene 5 ceros sobre el cuerpo de los números
complejos. Veamos esto
x5 − 4x4 + 13x3 = 0 =⇒ x3 (x2 − 4x + 13) = 0
se sigue que las raíces son x1 = 0, con multiplicidad 3, y al resolver la cuadrática x2 = 2 + 3i, x3 = 2 − 3i.
Se tiene la siguiente descomposición
x5 − 4x4 + 13x3 = x3 · (x − 2 − 3i) · (x − 2 + 3i)
Teorema 3.4.8 (Factorización única)
Todo polinomio p(x) = an xn + · · · , a1 x + a0 , n ≥ 1 en K[x]
puede escribirse en la forma
p(x) = an [p1 (x)]n1 [p2 (x)]n2 · · · [pn (x)]n j
en donde los pi (x) son polinomios primos mónicos sobre K[x] y los n j son enteros positivos. Salvo el
orden de los factores, la factorización es única
Ejemplo 3.4.9
Factoricemos el polinomio x4 − 1 en producto de polinomios primos, en R y en C
Solución
Sobre el cuerpo de los reales; x4 − 1 = (x − 1)(x + 1(x2 + 1). Sobre el cuerpo de los complejos,
x4 − 1 = (x − 1(x + 1)(x − i)(x + i)
Siguiendo con esto de hallar los ceros, nos encontramos con un resultado válido para polinomios con
coeficientes reales.
Teorema 3.4.10 Si el polinomio p(x) de coeficientes reales tiene un cero complejo de la forma a + bi,
entonces también tiene al conjugado a − bi
Capítulo 3. Polinomios
202
Demostración
Suponemos que
p(x) = an xn + · · · + a1 x + a0 = 0,
ai ∈ R
(3.1)
Como los coeficientes son reales, entonces ai = ai para i = 0, 1, · · · , n. Al tomar conjugado en la
ecuación 5.1 se tiene
p(x) = an xn + · · · + a1 x + a0 = 0
(3.2)
p(x) = an xn + · · · + a1 x + a0 = 0
(3.3)
o bien
La ecuación 5.3 establece que f (x) = 0. Esto significa que el conjugado x = a − bi es un cero de p(x)
Ejemplo 3.4.11
Sea p(x) = x4 − x3 + x2 + 9x − 10. Hallemos sus ceros, si 1 − 2i es uno de ellos.
Solución
Como los coeficientes son números reales, y dado que 1 − 2i es un cero, entonces 1 + 2i es también
cero del polinomio. De esta forma, el polinomio contiene como factores [(x − 1) + 2i] y [(x − 1) − 2i].
Multiplicando estos factores resulta x2 − 2x + 5. Dividimos el polinomio por este producto de factores
Solución
x4 − x3 + x2 + 9x − 10 : x2 − 2x + 5 = x2 + x − 2
x4 − 2x3 + 5x2
x3 − 4x2 + 9x − 10
x3 − 2x2 + 5x
−2x2 + 4x − 10
−2x2 + 4x − 10
0
0
0
Ahora, el polinomio x2 + x − 2 tiene claramente, x = 1 por cero. Al factorizar, tenemos finalmente
x4 − x3 + x2 + 9x − 10 = [(x − 1) + 2i] · [(x − 1) − 2i] · (x − 1) · (x + 2)
De esta manera, los ceros son; 1 − 2i, 1 + 2i, 1, −2
Ejemplo 3.4.12
Hallemos un polinomio de grado 4 con coeficientes reales que tenga raíces -3i,
2 + i.
Solución
Como el polinomio es de grado 4 y debe tener raíces -3i, 2+i. entonces también deben estar sus
conjugadas, esto es 3i, y 2-i. Por el teorema del factor
p(x) = (x − (−3i)) (x − 3i) (x − (2 + i)) (x − (2 − i))
Una vez hechas las operaciones de multiplicación y reducción de términos semejantes, el polinomio
buscado es
p(x) = x4 − 4x3 + 14x2 − 36x + 45
Un resultado análogo se establece para polinomios de coeficientes racionales.
3.4 Factorizaciones y Ceros
203
√
Teorema 3.4.13 Si el polinomio p(x) de coeficientes racionales tiene un cero real de la forma a + b c,
√
c > 0, c no cuadrado perfecto, entonces el “conjugado” a − b c, también es un cero
Al unir al teorema fundamental el de los ceros conjugados se tiene
Teorema 3.4.14 Todo polinomio p(x) con coeficientes reales puede expresarse como producto de
factores lineales y cuadráticos irreductibles, teniendo cada factor coeficientes reales
Ejemplo 3.4.15 Escribir el polinomio p(x) = x4 − 2x2 − 3 como producto de factores lineales y
cuadráticos de coeficientes reales.
Solución
x4 − 2x2 − 3 = 0 ⇐⇒ (x2 − 3)(x2 + 1) = 0
√ √
se sigue que las raíces son, 3, - 3, i, -i. Se observa que ellas, de acuerdo a los teoremas de ceros
conjugados son conjugadas complejas y çonjugadasïrracionales. Se tiene
√
√
x4 − 2x2 − 3 = (x − 3)(x + 3)(x − i)(x + i)
Para tener coeficientes reales se multiplican los factores complejos para obtener
√
√
x4 − 2x2 − 3 = (x − 3)(x + 3)(x2 + 1)
Tres ejemplos para enfoques distintos son los que se presentan a continuación.
Ejemplo 3.4.16 Hallar una ecuación polinomial de grado 3 que se anule en x = 1, y x = 2, y que para
x = 3 tenga el valor 30.
Establecemos que f (x) es la función polinomio buscada. El hecho que sea de grado 3 significa que
debe tener la forma
f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3
Ella debe satisfacer, de acuerdo a los datos entregados, que:
f (1) = a0 + a1 + a2 + a3 = 0
f (2) = a0 + 2a1 + 4a2 + 8a3 = 0
f (3) = a0 + 3a1 + 9a2 + 27a3 = 30
Al resolver este sistema, tomando de dos en dos las ecuaciones, que a0 = −63 , a1 = 11a3 , a2 = −6a3 .
Si a3 = 1, entonces
f (x) = −6 + 11x − 6x2 + x3
Para resolver este problema se puede considerar que el polinomio es de la forma
f (x) = (x − 1)(x − 2)(ax + b)
y hallar a y b, se llega al mismo resultado, infinitas soluciones, una de las cuales es la entregada.
Ejemplo 3.4.17 Hallar los ceros del polinomio x2 − 1 en el anillo Z15
Conocemos que Z15 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}. Al reemplazar cada uno de estos
valores en el polinomio se encuentra que los ceros son: 1, 4, 11, 14. ¿No te dá cosa que un polinomio de
grado 2, tenga 4 ceros?. ¿Por tu mente pasan contradiciones vitales?. No te asustes, no hay contradicción,
lo que ocurre es que Z15 no es dominio de integridad.
Capítulo 3. Polinomios
204
Ejemplo 3.4.18 Factorizar en Z5 el polinomio f (x) = x4 + 3x3 + 2x + 4
Lo más probable es que el problema anterior lo tenga aún cavilando y sacando cuentas. Mire lo que
pasa ahora, buscando en Z5 = {0, 1, 2, 3, 4} encontramos que f (1) = 0. Luego, el polinomio dado se
puede descomponer en la forma
f (x) = (x − 1)(x3 + 4x2 + 4x + 1)
de nuevo se tiene f (1) = 0, de modo que
f (x) = (x − 1)2 (x2 + 4)
¡ pero que casualidad !, una vez más, f (1) = 0. Dividiendo, finalmente, x2 + 4 por x − 1 se obtiene
f (x) = (x − 1)3 (x + 1)
3.4.1
Raíces Racionales
La divisibilidad de un polinomio p(x) = an xn + · · · + a1 x + a0 por un factor de la forma (x ± α) se
puede utilizar para hallar los ceros enteros y racionales, de una ecuación algebraica cuyos coeficientes
son números enteros.
Teorema 3.4.19 Toda raíz entera de una ecuación algebraica con coeficientes enteros es divisor del
término constante.
Demostración
Sea p(x) = an xn + · · · + a1 x + a0 = 0, con los coeficientes ai ∈ Z. Si a ∈ Z es un cero de la ecuación,
entonces
an an + · · · + a1 a + a0 = 0
despejando a0 se tiene
a0 = −a(an an−1 + an−1 an−2 + · · · + a2 a + a1 )
la expresión en el paréntesis es un número entero, de modo que a0 es divisible por a.
Observación 3.4.20 . Para hallar raíces enteras de una ecuación de coeficientes enteros, se deben
anotar todos los divisores del término constante a0 , y elegir de ellos aquellos que dan resto cero al
reemplazarlos en la ecuación. Si ocurre que a0 = ±1, entonces los únicos ceros pueden ser 1 ó -1.
El polinomio f (x) = x3 − 7x + 6 tiene coeficientes enteros. Los ceros enteros candidatos, tal como lo afirma el teorema anterior, salen de los divisores del 6. Esto es, de ±1, ±2, ±3, ±6.
Usando teorema del factor se encuentra que p(1) = 0, p(2) = 0, p(−3) = 0. Por tanto, esta ecuación
tiene tres ceros enteros.
Ejemplo 3.4.21
El polinomio f (x) = x3 − 7x + 1 tiene coeficientes enteros. Los ceros enteros
candidatos, son unicamente 1 y -1. Se tiene, p(1) 6= 0, p(−1) 6= 0. En consecuencia, no hay ceros
enteros.
Ejemplo 3.4.22
Teorema 3.4.23 Sea p(x) = 0 ecuación algebraica con coeficientes enteros, si un cero es de la forma
a
, (a, b) = 1, entonces a divide al término constante y b divide al coeficiente de la más alta potencia.
b
3.4 Factorizaciones y Ceros
205
Demostración
a
Si es raíz de la ecuación, entonces se cumple que
b
a n
a n−1
a
an
+ an−1
+ · · · + a1
+ a0 = 0
b
b
b
o bien, al multiplicar por bn .
an an + an−1 an−1 b + · · · + a1 a bn−1 + a0 bn = 0
al dividir por a se tiene
an an−1 + an−1 an−2 b + · · · + a1 bn−1 = −
a0 bn
a
Como el primer miembro es un número entero, entonces el segundo debe serlo. Esto prueba que a
divide al producto a0 bn .
Por otro lado, del hecho que a divide al producto a0 bn , y dado que a y b son primos, entonces a debe
ser primo con bn . Se sigue que a debe dividir al coeficiente a0 .
Observación 3.4.24 . Para obtener las raíces racionales de una ecuación de coeficientes enteros, se
deben considerar todas las fracciones irreducibles que tengan por numerador un divisor de a0 y por
denominador un divisor de an . Se eligen aquellas que verifican la ecuación. En particular, si an = 1, la
ecuación no tiene ceros racionales.
Ejemplo 3.4.25 Hallar ceros racionales del polinomio p(x) = 2x4 + x3 − 9x2 − 4x + 4.
Los divisores de a0 = 4 son, ±1, ±2, ±4, y los divisores de an = 2 son, ±1, ±2. Luego, los ceros
racionales posibles son:
1
{±1, ± , ±2, ±4}
2
Se verifica facilmente que, p(1) = 0, p(2) = 0, p(−2) = 0, y que P( 21 ) = 0. En consecuencia, los ceros
1
son; −2, 1, 2 y el
2
Ejemplo 3.4.26 Hallar las raíces reales del polinomio
p(x) = 3x4 + 14x3 + 14x2 − 8x − 8
Solución
El polinomio tiene coeficientes enteros: Lo primero que se hace es ver si hay ceros racionales. Por el
teorema de ceros racionales los “candidatos” a raíz racional se encuentra, después de dividir por el
8
coeficiente an = 3, en el conjunto de los divisores de − . Es decir, dentro de
3
1
2
4
8
{±1, ±2, ±4, ±8, ± , ± , ± , ± }
3
3
3
3
Ahora, por el teorema del factor p(−2) = 0. Luego, podemos factorizar el polinomio dado como
producto de un factor lineal y otro de grado 3. Esto es
3x4 + 14x3 + 14x2 − 8x − 8 = (x + 2)(3x3 + 8x2 − 2x − 4)
Capítulo 3. Polinomios
206
Del factor de grado 3 se obtiene que una raíz racional se encuentra en el conjunto
1
2
4
{±1, ±2, ±4, ± , ± , ± }
3
3
3
2
De nuevo, por teorema del factor, f (− ) es un cero. De esta forma se tiene el polinomio original en la
3
forma
2
3x4 + 14x3 + 14x2 − 8x − 8 = (x + 2)(x + )(3x2 + 6x − 6)
3
√
√
La ecuación cuadrática es fácil de resolver, y se encuentra que las otras raíces son, −1 + 3 y −1 − 3.
En consecuencia
√
√
2
3x4 + 14x3 + 14x2 − 8x − 8 = (x + 2)(x + )(x + 1 − 3)(x + 1 + 3)
3
Este ejemplo está mostrando que el problema de hallar ceros puede ser muy latoso. Veamos si lo
siguiente nos facilita la vida.
3.5
Cotas para ceros
En la tarea de determinar todos los ceros reales de un polinomio, si bien es cierto, es conveniente conocer
la cantidad de ceros, no es menos importante saber con antelación entre que valores se encuentran
comprendidos dichos ceros. El siguiente resultado es de gran ayuda en ello.
Definición 3.5.1
(1) El número real M se llama cota superior de los ceros de una ecuación p(x) = 0 con coeficientes
reales, si es mayor que el mayor de los ceros de p(x) = 0. Esto es, ∀x ≥ M el polinomio p(x) no
se anula
(2) El número real m se llama cota inferior de los ceros de una ecuación p(x) = 0 con coeficientes
reales, si es menor que el menor de los ceros de p(x) = 0. Esto es, ∀x ≤ m el polinomio p(x) no
se anula
3.5.1
Método de los Radicales
Se considera la ecuación
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0
con algunos ai negativos.
Sea k el menor entero positivo tal que ak xn−k sea el primer término negativo en la ecuación polinomial
dada. Así, k es la diferencia entre el grado n del polinomio y el exponente de x que tiene el primer
término negativo. Es decir, k = n − (n − k). Para que nos vayamos entendiendo, en la ecuación 3x8 +
x5 − 3x2 + 1 = 0, el valor de k = 8 − 2 = 6.
Sea a p el mayor valor absoluto de los coeficientes negativos de la ecuación, por ejemplo, 3 en 3x8 +
x5 − 3x2 + 1 = 0, El número
r
ap
M= k
+1
an
es cota superior para los ceros positivos de la ecuación.
3.5 Cotas para ceros
207
Trabajando la ecuación p(−x) = 0 con los mismos parámetros anteriores se obtiene una cota superior
para los valores absolutos de los ceros negativos de la ecuación. Esto es, una cota inferior de los ceros
reales.
Ejemplo 3.5.2 Hallar cotas en la ecuación p(x) = 3x8 + x5 − 3x2 + 1 = 0
Según el método radical, k = 6, a p = 3, a0 = 3, entonces
r
6 3
+ 1=2
M=
3
es cota superior de los ceros reales de la ecuación. Para hallar cota inferior tenemos que p(−x) =
3x8 − x5 − 3x2 + 1 = 0, de donde k = 8 − 5 = 3, a p = 3, an = 3. Luego,
r
3 3
0
M =
+ 1=2
3
de esto se tiene m = −M 0 = −2. De esta forma, los ceros reales de la ecuación se encuentran en el
intervalo (−2, 2). Usando el programa WinPlot 1 se encuentra que hay 4 ceros reales; x1 = −1, x2 =
−0, 56959, x3 = 0, 62184 y x4 = 0, 82926, los que evidentemente se encuentran en el intervalo citado.
3.5.2
Método de las Fracciones
En este proceso se divide el valor absoluto de cada coeficiente negativo por la suma de los coeficientes
positivos que le preceden. El mayor de estos cocientes aumentado en una unidad será cota superior de
los ceros positivos de la ecuación. Veamos el ejemplo anterior por este método.
El único coeficiente negativo es -3. Su valor absoluto es 3. Los coeficientes positivos que le anteceden
3
son 3 y 1. Suma es 4. Luego, M = + 1 = 1, 75 es cota superior se elige generalmente, el entero
4
siguientes. Para cota inferior se toma p(−x) = 3x8 − x5 − 3x2 + 1, ecuación en la cual los coeficientes
1 3
son y = 1, obviamente el mayor es 1, con lo cual M 0 = 2, de donde m = −2. Se observa que esta
3 3
cota, casualmente, coincide con la obtenida por el método anterior.
Ejemplo 3.5.3 Determinar cotas, usando ambos métodos, de p(x) = x6 − 2x5 − 4x4 + 14x3 − 33x2 +
60x − 36 = 0
Radicales
r
k = 6 − 5 = 1, a p = 36, an = 1, entonces M =
1
de la ecuación.
36
+ 1 = 37 es cota superior para los ceros positivos
1
5
4
3
2
Para cota inferior, p(−x) = x6 + 2x
r − 4x − 14x − 33x − 60x − 36 = 0, de modo que, k = 6 − 4 = 2,
2 60
+ 1 = 8. Luego, m = −8 es cota inferior.
a p = 60, an = 1, entonces M 0 =
1
Fracciones
Se tienen los siguientes cocientes:
2
,
1
1 Peanut
software
4
,
1
33
,
15
36
75
Capítulo 3. Polinomios
208
el mayor cociente es 4, de modo que M = 5 es cota superior de los ceros positivos de la ecuación. Para
la cota inferior, p(−x) = x6 + 2x5 − 4x4 − 14x3 − 33x2 − 60x − 36 = 0, de donde los cocientes son:
4
,
3
14
,
3
33
,
3
60
,
3
36
3
Luego, M 0 = 21, de donde m = −21 es cota inferior para los ceros de la ecuación
Observando los resultados entregados por ambos métodos, se concluye que los ceros reales se hallan
entre -8 y 5. Es decir, en el intervalo (−8, 5). De hecho, los ceros reales son, -3, 2, 1, siendo el 2
un cero doble. Otro hecho interesante a tener en cuenta, es que la ecuación tiene la factorización
p(x) = (x − 1)(x5 − x4 − 5x3 + 9x2 − 24x + 36) = 0, de manera que se pudo trabajar en la búsqueda de
los cinco ceros restantes considerando la ecuación de grado 5.
3.5.3
Método de la División Sintética
Se supone que p(x) es un polinomio con coeficientes reales y que su primer coeficiente es positivo. Se
usa división sintética para dividir p(x) por (x − α):
1. Si α > 0 y todos los términos del tercer renglón de la división sintética son positivos, entonces α
es una cota superior de los ceros reales de p(x)
2. Si α < 0 y los términos del tercer renglón de la división sintética tienen signos alternados,
entonces α es una cota inferior de los ceros reales de p(x)
Este método será más apropiado que los dos anteriores en la medida en que se tenga el “buen ojo” de
escoger el α.
Ejemplo 3.5.4
Sea p(x) = x6 − 2x5 − 4x4 + 14x3 − 33x2 + 60x − 36 = 0
Este problema ya ha sido estudiado para cotas. No obstante insistiremos en cotas por división sintética.
Elegimos α = 4. Se tiene
4| 1 −2 −4 14 −33 60 −36
4
8 16 120 348 1632
1 2
4 30 87 408 1596
La tercera línea contiene solo números positivos, por tanto, 4 es cota superior de los ceros. Veamos que
pasa con α = −3.
−3| 1 −2 −4 14 −33 60 −36
−3 15 −33 57 −72 36
1 −5 11 −19 24 −12
0
como los signos del tercer renglón están alternados (el cero tiene los dos signos), entonces -3 es cota
inferior. Se sigue que los ceros o raíces de esta ecuación se encuentran en el intervalo comprendido
entre -3 (es cero) y 4 (no lo es).
Observación 3.5.5 Una vez conocidas las cotas para los ceros reales de una ecuación, es conveniente
determinar los ceros racionales, dentro de las cuales preferentemente están los ceros enteros, en atención
a que, it un número entero a no puede ser cero de una ecuación de coeficientes enteros, si a − 1 no
divide a p(1), o si a + 1 no divide a p(−1).
Si a es cero, entonces por el teorema del factor,
p(x) = (x − a) · q(x)
3.5 Cotas para ceros
209
con g(x) un polinomio de coeficientes enteros. Si reemplazamos x = ±1, se tiene
p(±1) = (±1 − a) · q(±1)
o bien
p(±1) = −(a − ±1) · q(±1)
como g(±1) es un número entero, resulta que, (a − 1) divide a p(1) ,y (a + 1) divide a f (−1)
3.5.4
Método de determinación de ceros enteros
Si p(x) tiene coeficientes enteros y se quiere averiguar ceros enteros, entonces seguimos los siguientes
pasos:
(1) Evaluar p(1) y p(−1)
(2) Si uno de ellos es cero, insistir hasta agotar multiplicidad.
(3) Identificar los divisores del término constante a0 , excepto ±1.
(4) De los divisores eliminar a quienes menos una unidad no dividan p(1) y a los que más una unidad
no dividan p(−1).
(5) Verificar, según teorema del factor, si de los divisores “sobrevivientes” alguno de ellos es un cero.
(6) Si alguna de ellos lo es, insistir para agotar multiplicidad.
(7) Si entre los pasos anteriores se encontraron cotas, descartar los que quedan fuera del intervalo de
cotas
Ejemplo 3.5.6 Hallar ceros de p(x) = x5 − x4 − 5x3 + 9x2 − 24x + 36 = 0
Es claro que hay 5 ceros, lo que no sabemos es su naturaleza. En primer lugar veamos si 1 y −1 son
ceros. Para ello, p(1) = 16 6= 0, p(−1) = 72 6= 0. Por tanto, no lo son. Veamos ahora las cotas mediante
método de las fracciones. Los cocientes son:
1
,
1
5
,
1
24
10
de donde M = 5 + 1 = 6 es cota superior. para la inferior, tenemos que p(−x) = −x5 − x4 + 5x3 + 9x2 +
24x + 36 = 0, que para los efectos de cálculo de cocientes equivale a p(−x) = x5 + x4 − 5x3 − 9x2 −
24x − 36 = 0. Se tiene:
5
9
24
36
,
,
,
2
2
2
2
0
Luego, M = 18 + 1 = 19, con lo que m = −19 es cota inferior. De esta forma, los ceros se encuentran
en el intervalo (−19, 6).
Como la ecuación tiene coeficientes enteros, an = 1, y andamos buscando ceros enteros, hay que anotar
los divisores de a0 = 36, distintos de ±1, que son:
±2,
±3,
±4,
±6,
±8,
±9
± 12,
±18,
±36
como tenemos cotas, entonces sacamos los divisores de 36 que no estén en el intervalo (−19, 6). Por
tanto, nos quedan a considerar los siguientes divisores:
±2,
±3,
±4,
−6,
−9,
−12
− 18
De estos se eliminan todos aquellos que menos una unidad no dividan p(1) = 16, y de los otros, todos
aquellos que aumentados en una unidad no dividan p(−1) = 72. Una vez hecho esto, nos quedan los
Capítulo 3. Polinomios
210
divisores, 2 y ±3. Al calcular, p(2) = 0, p(3) 6= 0, p(−3) = 0. Así, el polinomio dado es divisible por
los factores (x − 2) y (x − 3). Se tiene
2| 1 −1 −5 9 −24 36
2
2 −6
6
−36
1 1 −3 3 −18
0
El polinomio se descompone en la forma
x5 − x4 − 5x3 + 9x2 − 24x + 36 = (x − 2) · (x4 + x3 − 3x2 + 3x − 18)
Para el factor (x + 3) el polinomio de orden 4 se descompone
−3| 1
1 −3 3 −18
−3 6 −9 18
1 −2 3 −6
0
Luego,
x5 − x4 − 5x3 + 9x2 − 24x + 36 = (x − 2)(x + 3)(x3 − 2x2 + 3x − 6)
De los divisores 2 y -3 que hemos “chequeado”, alguno de ellos, o los dos, pudieran tener multiplicidad
mayor que 1. Vamos a investigar esto.
2| 1 −2 3 −6
2 0 6
1 0 3 0
De esta forma el 2 tiene doble multiplicidad, con lo que el polinomio de grado 5 se descompone:
x5 − x4 − 5x3 + 9x2 − 24x + 36 = (x − 2)2 (x + 3)(x2 + 3)
√
Se concluye que hay tres ceros reales enteros y dos complejos, x = ±i 3
Ejemplo 3.5.7 Hallar ceros racionales de p(x) = 10x4 + 9x3 − 169x2 + 171x − 45 = 0
Al pedir ceros racionales, se trata de enteros y fraccionarios. Veamos en primer lugar, si hay enteros.
Evaluemos p(1) = −24, p(−1) = −384. Como ellos no son cero, no son raíces. Ahora acotamos los
ceros por el método de fracciones. Los cocientes a considerar para el máximo son
169
,
19
45
190
Luego, M = 10. Para cota inferior, p(−x) = 10x4 − 9 x3 − 169 x2 − 171 x − 45000. Por método de
fracciones, los cocientes son:
9 16 171 45
,
,
,
10 10 10 10
Se tiene que M 0 = 19, de donde la menor cota es m = −19. Así, las raíces se encuentran en el intervalo
(−19, 10). Ahora corresponde ubicar todos los divisores de 45, con excepción del ±1, a saber,
{±3, ±9, ±5, ±15, ±45}
3.5 Cotas para ceros
211
Le decimos chaaaoo al 15 y al ±45 Nos quedan
{−3, 3, 9, −9, 5, −5, −15}
El paso siguiente es tomar estos “candidatos” a cero, y descartar a los que sumados en una unidad
no dividen p(−1) = −384 y a los que disminuídos en una unidad no dividen p(1) = −24. Luego, se
quedan para próximos chequeos:
{−3, 3, −5, 5, }
Ahora en sencillo verificar estos candidatos. En efecto,
p(−3)
p(3)
p(−5)
p(5)
=
=
=
=
10(−3)4 + 9(−3)3 − 169(−3)2 + 171(−3) − 45 6= 0
10(3)4 + 9(3)3 − 169(3)2 + 171(3) − 45 = 0
10(−5)4 + 9(−5)3 − 169(−5)2 + 171(−5) − 45 = 0
10(5)4 + 9(5)3 − 169(5)2 + 171(5) − 45 6= 0
En consecuencia, hay dos raiíces enteras x = 3, x = −5.
Para simplificar el procedimiento, dividimos el polinomio original por el producto de los factores
(x − 3) y (x + 5).
10x4 + 9x3 − 169x2 + 171x − 45 : x2 + 2x − 15 = 10x2 − 11x + 3
10x4 + 20x3 − 150x2
−11x3 − 19x2 + 171x − 45
−11x3 − 22x2 + 165x
3x2 + 6x − 45
3x2 + 6x − 45
0
0
0
Estudiemos lo que pasa con el polinomio 10x2 − 11x + 3. Como es cuadrático, sus soluciones son:
√
11 + 121 − 120 12 3
=
=
x1 =
20
20 5
√
11 − 121 − 120 10 1
x2 =
=
=
20
20 2
Dado que el polinomio es de grado cuatro, el problema de encontrar sus raíces ha terminado. Ellas son;
x = 3, x = −5, x = 12 , x = 53
3.5.5
Localización de los ceros reales
Hasta este momento, las cotas de los ceros han sido de gran utilidad, permitiéndonos ahorrar esfuerzos
en la determinación de los ceros de los polinomios. El siguiente resultado se denomina teorema del
valor medio (TVM), y se estudia principalmente en las asignaturas de Cálculo. La versión que se
entrega corresponde a polinomios. Su demostración verla en textos de Cálculo.
Teorema 3.5.8 (del valor medio)
Si p(x) es un polinomio de coeficientes reales y p(a) y p(b) tienen signos opuestos, entonces existe
por lo menos un valor c entre a y b tal que p(c) = 0
Capítulo 3. Polinomios
212
En otras palabras, bajo las condiciones del teorema, el polinomio tiene una raíz real comprendida entre
a y b. Si se quieren aproximaciones mejores, es cosa de ir variando a y b con tal que se mantenga la
condición de que las imágenes tengan signos contrarios.
Ejemplo 3.5.9 El polinomio p(x) = 2x3 − 3x2 − 12x + 6 tiene tres ceros. De seguro, uno de ellos
es real pues el polinomio es de grado impar. Veamos si hay ceros racionales. Los divisores de 6
(±1, ±2, ±3, ±6) divididos por los divisores de 2 (±1, ±2), entregan a los candidatos a ceros racionales.
1
3
± , ±2, ±3, ± , ±6
2
2
Los “candidatos” son pequeños, por lo cual no es necesario buscar cotas. Se tiene
±1,
p(−6) = −462, p(−3) = −39, p(−2) = 2, p(−1) = 13, p(1) = −7
p(2) = −14, p(3) = −3, p(6) = 258
Así, no hay ceros enteros. Usando el TVM para polinomios se observa que, en (−3, −2) hay un cero
real, otro se encuentra en el intervalo (−1, 1) y el otro en (3, 6). Esto descarta automaticamente al ± 32 .
El único “sobreviviente” es ± 21 . Veamos que pasa con él.
1
1
p( ) = − ,
2
2
1
p(− ) = 11
2
Esto nos indica que el polinomio que estamos trabajando no tiene ceros racionales. Como los tres
ceros son reales (lo afirma el TVM) ellos son irracionales. Recordando al “Chapulin Colorado” nos
preguntamos ¿Oh, y ahora quién podrá ayudarnos?.
3.5.6
Interpolación Lineal
Este método permite calcular valores aproximados de un polinomio, en general funciones, conociendo
los valores f (a) y f (b). La idea general es aproximar un arco pequeño de curva con extremos f (a) y
f (b) por el segmento recto que une f (a) con f (b). La figura ilustra la situación.
6
B
C A D
E
-
a
En el triángulo ABE se tiene que
a+h
b
CD BE
=
, o bien
AD AE
f (a + h) − f (a)
f (b) − f (a)
=
a+h−a
b−a
3.5 Cotas para ceros
213
de donde,
f (b) − f (a)
b−a
Esta expresión se conoce como “fórmula de interpolación lineal”. El valor que se tome para h, llamado
“paso” permitirá ir mejorando la aproximación. La aplicación a los ceros se ve imaginado A negativo y
B positivo, el punto C será aquél en el que la recta tangente a la curva tenga igual pendiente que la recta
que une A con B. Apliquemos esto en el problema que dejamos inconcluso.
f (a + h) = f (a) + h ·
Ejemplo 3.5.10 El polinomio p(x) = 2x3 − 3x2 − 12x + 6 no tiene ceros racionales. Hay tres ceros irra-
cionales, y cada uno de ellos se encuentra en los intervalos (−3, −2), (−1, 1) y (3, 6) respectivamente.
Usemos fórmula de interpolación para estudiar el intervalo, los dos restantes para la casa.
En (−3, −2): Paso h = 0, 2
p(b) − p(a)
b−a
p(−2) − p(−3)
p(−2, 8) = p(−3) + 0, 2 ×
−2 − (−3)
41
= −39 + 0, 2 ×
= −30, 8
1
p(a + h) = p(a) + h ·
Con esto ya tenemos nuestra raíz irracional r en el intervalo −2, 8 < r < −2. Esto es como “la caza del
león”, hay que irlo cercando para finalmente “enjaularle”. Esta aproximación mejora en este nuevo
intervalo. Veamos como, si a = −2, 8 y b = −2, con paso h = 0, 2
p(b) − p(a)
b−a
p(−2) − p(−2, 8)
p(−2, 6) = p(−2, 8) + 0, 2 ×
−2 − (−2, 8)
32, 8
= −30, 8 + 0, 2 ×
= −22, 6
0, 8
p(a + h) = p(a) + h ·
Seguimos a la caza de este cero “escurridizo”. Tomemos h = 0, 1, a = −2, 6 y b = −2.
p(b) − p(a)
b−a
p(−2) − p(−2, 6)
p(−2, 5) = p(−2, 6) + 0, 1 ×
−2 − (−2, 6)
24, 6
= −22, 6 + 0, 1 ×
= −18, 5
0, 6
p(a + h) = p(a) + h ·
Veamos que pasa si h = 0, 3, a = −2, 5 y b = −2.
p(b) − p(a)
b−a
p(−2) − p(−2, 5)
p(−2, 2) = p(−2, 5) + 0, 3 ×
−2 − (−2, 5)
20, 5
= −18, 5 + 0, 3 ×
= −6, 2
0, 5
p(a + h) = p(a) + h ·
Tenemos atrapado al cero r en −2, 2 < r < −2. Es evidente que una calculadora o un programa
computacional hace rato que habría encontrado el cero irracional con todos los decimales requeridos.
Capítulo 3. Polinomios
214
Pero no deja de ser un bonito problema el aproximar, más con el razonamiento que con las máquinas.
Con h = 0, 1 tenemos
p(b) − p(a)
b−a
p(−2) − p(−2, 2)
p(−2, 1) = p(−2, 2) + 0, 1 ×
−2 − (−2, 2)
8, 2
= −6, 2 + 0, 1 ×
= −2, 1
0, 2
p(a + h) = p(a) + h ·
Ahora lo tenemos en −2, 1 < r < −2. Esto significa que tenemos el racional aproximado con dos
decimales en este el intervalo. Con esto es sufuciente. Dejemos que las máquinas se realicen calculando
una mejor aproximación. Hay que decir que en cursos superiores de Cálculo Numérico se emplean
fórmulas con muy buenas aproximaciones.
Teorema 3.5.11 (Regla de los signos de Descartes)
Sea p(x) = an xn + · · · + a1 x + a0 , an 6= 0 polinomio de coeficientes reales.
(1) El polinomio presenta una variación de signo cuando los signos de dos términos consecutivos son
diferentes.
(2) El número de raíces positivas de p(x) = 0 es igual al número de variaciones de signo de p(x), o
menor que este número en una cantidad par
(3) El número de raíces negativas de p(x) = 0 es igual al número de variaciones de signo de p(−x), o
menor que este número en una cantidad par
El polinomio p(x) = x4 − 4x2 − 8x − 4 tiene un cambio de signo (de positivo a
negativo). Se sigue que existe una raíz positiva. De igual modo, p(−x) = x4 − 4x2 + 8x − 4 tiene tres
cambios de signo. Se sigue que el número de ceros negativos es 3 ó 1. Ahora bien, el número de ceros
de la función polinomial es de 4 (reales o complejos). Trataremos de encontrarlos.
Ejemplo 3.5.12
Como los coeficientes son enteros veamos si existen ceros racionales. Los divisores de -4 son
{1, −1, 2, −2, 4, −4}. De aquí que se tenga
p(1) < 0, p(−1) > 0, p(2) < 0, p(−2) > 0, p(4) > 0, p(−4) > 0
La situación en la recta real es la que muestra la figura
p>0
p>0
p>0
p<0
p<0
p<0
p>0
-
-4
-2
-1
? 1
cero
2
?
cero
4
R
Se observa que no existen ceros racionales. El teorema del valor medio para polinomios asegura que
los ceros reales son dos y se encuentran, uno en el intervalo (−1, 1) y el otro en el (2, 4). Como se trata
de un polinomio de grado 4, la técnica para hallar las raíces consiste en separar el polinomio, en dos
cuadrados perfectos, una en cada lado de la igualdad, para posteriormente resolver. Veamos esto.
x4 − 4 = 4x2 + 8x = 4(x2 + 2x) = 4(x + 1)2 − 4 =⇒ x4 = 4(x + 1)2
de lo cual
[x2 ]2 = [2(x + 1)]2 =⇒ x2 = 2(x + 1) ∨ x2 = −2(x + 1)
√
Al resolver, x = 1 ± 3 y x = −1 ± i. Dos raíces irracionales y dos complejas, por supuesto,
conjugadas. Los ceros reales se encuentran efectivamente en los intervalos dados por el teorema del
valor medio para polinomios. El número de raíces positivas es 1 y el de negativas es 1.
3.5 Cotas para ceros
3.5.7
215
Relaciones entre las raíces y los coeficientes
Se dice que un polinomio p ha sido completamente reducido en un cuerpo cuando los factores primos
de su descomposición en factores son todos de primer grado. Si p es de orden n, se deben obtener n
factores, iguales o distintos. Esto es,
p(x) = an (x − a1 )(x − a2 ) · · · (x − an )
Al operar con esta expresión se debe obtener el polinomio dado. Ello conduce a las siguientes relaciones:
an−1
a1 + a2 + a3 + · · · + an
= −
an
(a1 · a2 + · · · + a1 an ) + (a2 a3 + · · · + a2 an ) + · · · + an−1 an = −
..
.
a1 · a2 · · · · an−1 an
an−2
an
a0
an
La primera da la suma de las raíces, la segunda la suma de sus productos binarios, la última, el producto
de todas ellas
= (−1)n
Hallar raíces de la ecuación p(x) = x3 − 12x2 + 44x − 48 = 0 sabiendo que la
segunda raíz es el doble de la primera, y que la tercera raíz es el triple de la primera.
Ejemplo 3.5.13
De acuerdo con la relación existente entre coeficientes y raíces, para un cero de la forma a1 , el otro es
de la forma a2 = 2a1 , y el tercero a3 = 3a1 . Se tiene
a1 + 2a1 + 3a1
= 12
a1 · 2a1 + a1 · 3a1 + 2a1 · 3a1 = 44
a1 · 2a1 · 3a1
= 48
de la primera ecuación, a1 = 2, con lo que a2 = 4, a3 = 6
Ejemplo 3.5.14
Hallar la suma y el producto de las raíces de la ecuación p(x) = x4 − 5x3 + 22x2 −
39x + 6 = 0
De acuerdo con la relación existente entre coeficientes y raíces. Se tiene
a1 + a2 + a3 + a4 = 5
a1 · a2 · a3 · a4
= 6
Resolver la ecuación p(x) = 4x3 + 20x2 − 23x + 6 = 0 sabiendo que la segunda raíz
es igual a la primera.
Ejemplo 3.5.15
De acuerdo con la relación existente entre coeficientes y raíces. Se tiene
a1 + a1 + a3 = −5
a1 · a1 + a1 · a3 + a1 · a3 = −
a1 · a1 · a3 = −
1
Al resolver se encuentra que, a1 = a2 = , a3 = −6
2
23
4
3
2
Capítulo 3. Polinomios
216
3.6
Fracciones Racionales
Esta clase de expresiones corresponden al cociente de dos polinomios. La división exacta de dos
polinomios sobre el anillo A[x] es, por lo general, imposible. Hemos visto que dados dos polinomios p
y q ha sido posible encontrar un tercer polinomio r que satisfaga la igualdad p = qr siempre que q sea
divisor de p. Para que esta operación sea siempre posible se debe construir el cuerpo de las fracciones
racionales del anillo A[x] (anillo de integridad). Para ello, consideremos los pares de polinomios
(a1 , b1 ) de los cuales ninguno es nulo. Se define la relación de equivalencia
(a1 , b1 ) ∼ (a2 , b2 ) ⇐⇒ a1 b2 = a2 b1
Por ejemplo, los pares de polinomios, (x2 + x, x) y (x2 − 1, x − 1) son equivalentes por la relación.
El conjunto cociente con las operaciones siguientes
(a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a1 b2 + b1 a2 , b1 b2 )
(a1 , b1 ) · (a2 , b2 ) = (a1 a2 , b1 b2 )
tiene estructura de cuerpo. En este cuerpo, el subconjunto (p, e) en donde e es el elemento unidad de K,
es isomorfo a K[x], con ello estamos diciendo que las clases de las fracciones cuyo denominador es
el polinomio q(x) = 1 forma un anillo isomorfo al anillo inicial de los polinomios. La identificación
habitual hace que un elemento cualquier (a1 , b1 ) del cuerpo de las fracciones racionales se escriba en
a1
la forma . Al elemento a1 se le llama numerador, al elemento b1 denominador, y a la expresión
b1
a1
fracción racional. De esto se tiene
b1
Teorema 3.6.1 El anillo A[x] puede, salvo un isomorfismo, sumergirse en un cuerpo en el que todo
elemento es el cociente de dos polinomios del anillo inicial
De esta forma, se ha obtenido el cuerpo de las fracciones racionales, que se denota por A[x]. La igualdad
de fraciones viene dada por la relación de equivalencia
p r
= ⇐⇒ ps = qr
q s
del mismo modo, la suma y el producto corresponden a
p r
ps + rq
+ =
,
q s
qs
p r
pr
· =
q s
qs
Parte Entera
Dada la fracción
p
, hacemos el cociente entero de p por q
q
p = q · s + r =⇒
p
r
= s+
q
q
en donde el grado de r es menor que el grado de q. Esto proporciona el siguiente resultado.
Toda fracción racional puede escribirse en forma de polinomio, más una fracción en la que el grado
del numerador es inferior al del denominador. El polinomio se llama parte entera, es nula cuando el
grado de p es inferior al de q
3.6 Fracciones Racionales
217
El proceso de sumar dos expresiones racionales es relativamente simple. Por ejemplo,
1
x+1
2x2
+ 2
= 2
x − 1 x + 1 (x + 1)(x − 1)
El resultado que se acaba de enunciar, es el proceso inverso al de sumar dos expresiones racionales,
y tiene que ver con descomponer una función racional en una suma de funciones racionales. Este
procedimiento se llama descomposición en fracciones parciales. Para ello se deben tener presentes
las siguientes etapas:
El primer paso consiste en tener
grado del numerador < grado del denominador
Si no fuera el caso se debe hacer la división
El segundo paso es factorizar el denominador en productos de la forma
(ax + b)n
ó
(ax2 + bx + c)n
siendo m y n naturales y, ax2 + bx + c una expresión cuadrática irreductible (sin ceros reales).
El tercer paso tiene que ver con la aplicación de las siguientes reglas:
regla 1: Por cada factor de la forma (ax + b)n la descomposición en
fracciones parciales incluye los términos
A1
An
A2
+···+
+
2
ax + b (ax + b)
(ax + b)n
con Ai números reales.
regla 2: Por cada factor de la forma (ax2 + bx + c)n la descomposición
en fracciones parciales incluye los términos
Bn x +Cn
B2 x +C2
B1 x +C1
+···+
+
2
2
2
ax + bx + c (ax + bx + c)
(ax2 + bx + c)n
con Bi , Ci números reales.
El cuarto y último paso tiene relación con la determinación de las constantes Ai , Bi y Ci . Para simplificar
el proceso, esto lo vemos en base a ejemplos.
5x + 7
Ejemplo 3.6.2
Descomponer en fracciones parciales
2x2 + 5x + 3
Respuesta
Se observa que el grado del denominador es mayor que el grado del numerador. Este denominador se
puede descomponer como
2x2 + 5x + 3 = (x + 1)(2x + 3)
estamos en presencia de factores lineales con raíces de multiplicidad 1. Esto significa que se tiene la
siguiente descomposición
5x + 7
2x2 + 5x + 3
=
5x + 7
A1
A2
=
+
(x + 1)(2x + 3) x + 1 2x + 3
Capítulo 3. Polinomios
218
Ahora viene el cuarto paso. Para llevarlo a cabo multipliquemos ambos miembros por el denominador
de la fracción original factorizado, es decir, por (x + 1)(2x + 3). Se tiene
5x + 7 = A1 · (2x + 3) + A2 · (x + 1)
Tenemos dos alternativas: la primera sustitución de la variable x por valores adecuados (que anulen los
factores lineales), la segunda igualación de coeficientes. Ambas guardan relación con el hecho que los
polinomios que aparecen en ambos miembros son idénticos. Mostramos las dos alternativas. El lector
deberá escoger la que sea de su agrado.
sustitución
x = −1
x=−
3
2
=⇒ 5 · (−1) + 7 = A1 · (−2 + 3) + A2 · 0 =⇒ A1 = 2
=⇒ 5 · − 32 + 7 = A1 · 0 + A2 · − 12 =⇒ A2 = 1
En consecuencia,
5x + 7
2x2 + 5x + 3
=
5x + 7
2
1
=
+
(x + 1)(2x + 3) x + 1 2x + 3
igualación de coeficientes
El problema se resuelve a partir de
5x + 7 = A1 · (2x + 3) + A2 · (x + 1)
al multiplicar en el segundo miembro y reducir términos semejantes se halla
5x + 7 = (2A1 + A2 ) x + (3A1 + A2 )
al igualar coeficientes de las potencias se llega al sistema
2A1 + A2 = 5
3A1 + A2 = 7
al resolver, A1 = 2, A2 = 1
Ejemplo 3.6.3 Descomponer en fracciones parciales
2x4 − 9x3 + 7x2 + 14x + 18
.
(x − 3)(x2 + x + 2)
Respuesta
El grado del numerador es mayor que el grado del denominador, por lo que el primer paso es dividir el
numerador por el denominador. Este último al desarrollarlo equivale a x3 − 2x2 − x − 6. Se halla que
2x4 − 9x3 + 7x2 + 14x + 18
−x2 + 21x − 12
=
2x
−
5
+
(x − 3)(x2 + x + 2)
(x − 3)(x2 + x + 2)
Ahora hay que descomponer la fracción de la derecha, la cual presenta un denominador de grado menor
al numerador y además, producto de un factor lineal y un cuadrático irreductible.
−x2 + 21x − 12
A
Bx +C
=
+ 2
2
(x − 3)(x + x + 2) x − 3 x + x + 2
3.7 Problemas Propuestos
219
al multiplicar por el común denominador tenemos
−x2 + 21x − 12 = A · (x2 + x + 2) + (Bx +C) · (x − 3)
Hay que determinar tres constantes. Esto significa que debemos asignar tres valores a la variable x, si
es que seguimos el camino de la sustitución. Se tiene
x = 3 =⇒ 42 = A · 14 + (Bx +C) · 0 =⇒ A = 3
x = 0 =⇒ −12 = 2A − 3C
=⇒ C = 6
x = 1 =⇒
8 = 4A + (B +C) · (−2) =⇒ B = −4
Luego, la fracción original tiene la descomposición
2x4 − 9x3 + 7x2 + 14x + 18
3
−4x + 6
= 2x − 5 +
+
(x − 3)(x2 + x + 2)
x − 3 x2 + x + 2
3.7
Problemas Propuestos
1. Hallar la suma y el producto de cada par de polinomios siguiente, sobre el anillo dado.
a) 2x2 + x + 4, 3x2 + 2x + 1, sobre Z5
b) 2x2 + 5 + 1, 4x3 + 3x2 + 2x + 7, sobre Z6
2. Para los polinomios siguientes hallar todos los ceros reales, si hay irracionales, dar el intervalo
en que se encuentran.
a) p(x) = x3 − 2x2 − x + 2
b) r(x) = x4 + x3 − 3x2 − x + 2
c) f (x) = x4 − 2x3 + 6x2 − 18x − 27
d) s(x) = x3 − 13x + 12 = 0
3. Hallar un polinomio del menor grado que satisfaga:
a) p(1) = p(3) = p(6) = 0, p(4) = −12
b) p(−2) = p(0) = p(3) = 0, p(1) = −18
c) p(−3) = p(1) = p(3) = p(4) = 0, p(0) = −36
d) p(−2) = p(−1) = p(1) = p(2) = 0, p(0) = 16
4. Dividir p(x) = x4 + 6x3 + 10x2 + 3x − 6 por q(x) = x2 + 3x
5. Dividir p(x) = x2 − 3ix − 5(1 + i) por q(x) = x − 1 + i, i2 = −1
1
6. Mostrar que es una raíz de multiplicidad 2 de la ecuación 9x3 + 12x2 − 11x + 2 = 0.
3
7. Mostrar que la ecuación x3 + 13x2 − 6x − 2 = 0 no tiene raíces racionales
8. Utilizar el teorema del residuo para hallar el resto que se obtiene al dividir el polinomio p(x) por
el binomio q(x), dado en cada caso:
a) p(x) = x3 − 3x2 + 4x − 5,
q(x) = x − 2
5
4
3
2
b) p(x) = x + x + x + x + x + 22, q(x) = x − 2
c) p(x) = 2x2 + 3x3 + 7x2 + 6x + 2,
q(x) = x + 1
9. Utilizar el teorema del factor para mostrar que el binomio x − c es un factor del polinomio p(x).
a) p(x) = 2x3 + 3x2 − 6x + 1,
x−1
4
3
2
b) p(x) = 5x + 8x + x + 2x + 4,
x+1
Capítulo 3. Polinomios
220
c) p(x) = −2x5 + 11x4 − 12x3 − 5x2 + 22x − 8,
x−4
10. Hallar el cociente y el resto al dividir p(x) por q(x).
a) p(x) = x3 + 5x2 − 2x − 3,
q(x) = x − 1
b) p(x) = x4 + x3 − 3x + 6,
q(x) = x − 2
c) p(x) = 2x5 − 7x4 + 10x3 − 22x2 − 4x − 1,
q(x) = x − 3
11. Hallar el valor de k para que al dividir 4x3 + kx2 − 2x + 5 por x − 1 se obtenga resto 5.
12. Descomponer en factores irreductibles x12 − 1 en R[x].
13. Hallar las raíces del polinomio x3 − (3 + i)x2 + ix + 4 + 2i, si se sabe que (2+i) es una raíz.
14. Descomponer en factores irreductibles del polinomio p(x) = x4 − 4, en Q[x], R[x], C[x]
15. Hallar un polinomio de grado 3 en Z[x], con raíces α, α + 1, 2α, y que el coeficiente de x2 sea 3.
16. Sea p(x) = 2x3 + 5x2 − 23x + n. Determinar n, si dos de las raíces son inversas una de la otra.
17. Factorizar en R[x] y en C[x] los polinomios:
a) x4 + 2x2 − 8
b) x4 + x3 + x2 + x
c) x3 − x2 − 7x + 15, (2+i es raíz)
18. Un polinomio admite como resto k si se divide por x − a y resto 1 si se divide por x − b. Hallar el
resto de la división por (x − a)(x − b).
19. Descomponer el polinomio f (x) = x4 + 12x − 5 en producto de dos factores trinomios, sabiendo
que admite dos raíces a y b cuya suma es 2.
20. Sea p(x) = 2x3 − (5 + 6i)x2 + 9ix + (1 − 3i), sabiendo que una raíz es real.
21. Si a y b son raíces de la ecuación x2 − px + 36 = 0, determinar p para tener:
a) a = b
b) a = −b
c)
5
1 1
+ =
a b 12
22. Sea p(x) = x3 − 7x + k. Determinar k para que una de las raíces sea el doble de la otra.
23. Hallar m y n de modo que el polinomio x4 + mx3 + nx2 + 12x + 4 sea un cuadrado perfecto.
24. Considerar (2m − 1)x2 + 2(1 − m)x + 3m = 0
a) Hallar m para que una raíz sea -1.
b) Hallar m para que la suma de los cuadrados de las raíces sea 4.
25. Determinar el valor de k en la ecuación:
a) 9x2 + (8 + k)x + k = 0
b) (k − 5)x2 + 2kx − 2x − 2 = 0
c) 3x2 + 5x + k2 − 5k + 6 = 0
d) kx2 + (k − 7)x + 8 = 0
para que las raíces sean iguales.
para que la solución sea única.
para que una raíz sea cero.
para que lasuma de las raíces sea 10.
26. En los siguientes casos, determinar las condiciones que deben cumplir p, q, m para que P sea
divisible por Q:
a) P = x3 + px + q
Q = x2 + mx − 1
b) P = x4 + px2 + q
Q = x2 + mx − 1
3.7 Problemas Propuestos
221
27. Determinar un polinomio real de grado 3 que admita raíces 1 y 2, y tal que los restos que se
obtienen al dividirlo por x − 1 y por x − 3 sean iguales.
28. Al dividir el polinomio ax4 − 2x3 + bx2 − 18x + a por x − 1, el resto es 3 y el cociente es un
polinomio que toma el valor 33 para x = 2. Hallar a y b.
29. Determinar los valores de k para los cuales el polinomio x3 − 3x + k tiene una raíz doble. Para
dichos valores de k determinar todas las raíces del polinomio.
30. Determinar las raíces racionales de los polinomios:
a) 2x3 − 9x2 + 12x − 5
c) x4 + x3 − 3x2 − 5x − 2
b) x3 − 15x2 + 71x − 105
d) 6x5 + 13x4 − 18x3 − 37x2 + 16x + 20
31. Probar que el polinomio x4 + 4x2 − 8x + 12 no tiene raíces racionales.
32. Factorizar en Q[x], R[x], C[x] los polinomios:
a) x6 − 1
b) x4 + 1
c) x8 − 1
d) x4 − x2 − 12
33. Si las raíces de x3 + ax2 + bx + c = 0 son r, s,t, entonces
x3 + ax2 + bx + c = 0 = (x − r)(x − s)(x − t)
Efectuándo las multiplicaciones e igualando coeficientes se llega a
r + s + t = −a
y rst = −c
Utilizando este procedimiento:
a) Hallar la suma y producto de las raíces de x3 − 5x2 + 6x + 7 = 0
b) Hallar las raíces de x3 − 12x2 + 44x − 48 = 0 si la segunda raíz es el doble de la primera y
la tercera raíz el triple de la primera.
c) Hallar la otra raíz de x3 − 9x2 + 25x − 25 = 0 si se sabe que la suma de dos raíces es 4.
34. Resolver en C[x]
a) Sea p = 2x3 − x2 − 7x + α. Hallar α para que la suma de dos raíces sea igual a 1
b) Sea p = x3 − 7x + α. Hallar α para una de las raíces sea el doble de la otra.
c) Sea p = x3 + 2x2 − 7x + α. Hallar α para que las raíces verifiquen la relación x12 = x22 + x32
35. Factorizar en productos de polinomios primos sobre Z5 : a) x2 + 1,
36. Factorizar x4 − 1 sobre Z11 y también sobre Z13
b) 3x3 + 4x2 + 3
37. Hallar el MCD de los siguientes pares de polinomios:
a) 3x3 + x + 4 y 2x3 − x2 + 3
Sol. x2 − 1
4
3
2
3
2
b) 3x + 9x − 3x − 12x − 9 y 3x + 10x + 2x − 3
Sol. x + 3
5
3
2
4
3
2
c) x − 3x + 2x − 1 y x − 2x + x − 1
Sol 1
d) x4 − 3x3 − 12x2 + 17x − 3 y 2x3 + 5x2 − 4x − 3
Sol. x2 + 2x − 3
pq
38. Si MCM =
(mínimo común múltiplo de dos polinomios p y q). Hallar el MCM de los
MCD
polinomios:
p(x) = 2x5 − x3 + 10x2 − 6x + 15,
Sol MCD = x3 − 2x + 5,
q(x) = x4 + x3 − 2x2 + 3x + 5
MCM = 2x6 + 2x5 − x4 + 9x3 + 4x2 + 9x + 15
Capítulo 3. Polinomios
222
39. Para los polinomios dados, determinar si existen; ceros enteros, ceros fraccionarios. Hallar cotas
para los ceros reales. Para los ceros que no sean racionales, dar a conocer en que intervalos se
encuentran los ceros irracionales (TVM). Use Teorema de Descartes para determinar la cantidad
de ceros reales positivos y negativos.
a) 4x4 − 10x3 − 38x2 + 70x + 43 = 0
b) 10x5 − 81x4 + 90x3 − 102x2 + 80x − 21 = 0
c) 4x4 − 9x3 − 26x2 − 9x + 4 = 0
Sol: −1, 4, 14
d) 12x5 − 8x4 − 45x3 + 45x2 + 8x − 12 = 0
Sol: −2, −1, 1, 32 , 23
7
6
4
3
e) 2x − x − 3x − 3x − x + 2 = 0
Sol: −1, 4 complejas, 2 irracionales.
4
3
f ) 4x − 6x + 6x − 4 = 0
Sol: −1, 1, 2 complejas.
40. Usar la regla de los signos de Descartes para hallar el número de raíces positivas y negativas de
las ecuaciones siguientes. Hallar cotas para esas raíces:
a) x3 − 4x2 − 5x + 2 = 0
b) 2x4 + 5x3 − 3x2 + x + 2 = 0
c) 3x5 + 2x2 + 5x − 1 = 0
d) 2x6 − 3x4 + x3 − 3 = 0
41. Usar el teorema del valor medio de polinomios, para hallar cada raíz real entre dos enteros
consecutivos, en:
a) 3x3 + 10x2 − 2x − 4 = 0
b) x4 − 8x3 + 12x2 + 16x − 16 = 0
c) 2x3 − 19x2 + 50x − 28 = 0
d) x4 + 4x3 − 15x2 − 66x − 54 = 0
Proceda a la “caza del león” y determine en que intervalo tenemos los ceros con dos decimales.
42. Usando los tres métodos; fracciones, radicales y división sintética, encontrar las mejores cotas de
las ecuaciones:
a) x4 − 14x3 + 51x2 − 14x − 80 = 0
b) x6 − 2x5 − 4x4 + 14x3 − 33x2 + 60x − 36 = 0
c) 10x4 + 9x3 − 169x2 + 171x − 45 = 0
d) 12x3 − 8x2 − 21x + 14 = 0
43. Descomponer en fracciones parciales:
1
x
b) 3
a)
2
(x − 1)(x + 1)
x − 2x2 + x
c)
1
x4 − 1
d)
1
(x3 − 1)2
e)
x+1
2
(x + 4x + 5)2
f)
1
4
x +1
g)
1
(x − 3)(x + 2)
h)
x2 + 2
x2 + x
i)
1
2
x(x + x + 1)
j)
2x − 3
(x − 1)(x − 2)
k)
x3
x4 + 2
l)
1
(x + 1)(x + 2)(x + 3)
n)
3x2 + 2x − 5
(x2 − 3x + 2)3
o)
m)
2x + 5
(x2 + 1)2 (x − 3)
1
x2 (1 + x3 )
p)
2x2 − 1
(x2 + x + 1)(x2 + 1)2
44. Determinar la relación que debe existir entre las constantes a, b, p, q para tener
x2 + px + q
α1
α2
=
+
2
2
2
(x − a) (x − b)
(x − a)
(x − b)2
4. El conjunto de números Reales
4.1
Introducción
El número (del latín numerus) es un concepto matemático fundamental, utilizado para contar, medir
y agrupar. Han sido utilizados desde hace ya miles de años, y han acompañado a la raza humana
prácticamente desde sus inicios, aunque los primeros números no se acercaban a la complejidad de
los actuales. Hoy en día, la definición de número ha sido modificada para abarcar los conceptos de
números negativos, números racionales, irracionales y complejos.
Con las siguientes actividades recordaremos las distintas clases de números que conforman el conjunto
de los números reales.
Actividad 58 Dar respuesta a las interrogantes planteadas.
1. La suma de tres números impares consecutivos es 51. Hallar los tres números.
2. Un día de invierno amaneció a 3 grados bajo cero. A las doce del mediodía la temperatura había
subido 8 grados, y hasta las cuatro de la tarde subió 2 grados más. Desde las cuatro hasta las
doce de la noche bajó 4 grados, y desde las doce a las 6 de la mañana bajó 5 grados más. ¿Qué
temperatura hacía a esa hora?
3. En una panadería que abre de las 6 de la mañana a las 12 de la tarde se han vendido 25 del pan
de 6 a 8 de la mañana. En las dos horas siguientes, se vendieron los 34 del pan que quedaba por
vender y quedaron todavía 36 kg. ¿Cuánto pan pusieron a la venta a las 6 de la mañana? Resp.
240 k
4. ¿Es posible expresar la diagonal de un salón rectangular de 6 por 5 metros con un número
racional?
5. Hallar las soluciones de la ecuación
2x2 − 4x + 1 = 0
√
6. El lado de un cuadrado mide 2. Su área es un número irracional?
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
224
4.1.1
Números naturales
El conjunto de los Números Naturales surgió de la necesidad de contar, lo cual se manifiesta en el ser
humano desde sus inicios.
N = {1, 2, 3, · · · , · · · }
Actividad 59 Responder las siguientes interrogantes:
1.
2.
3.
4.
5.
4.1.2
El conjunto de los números naturales posee un primer elemento ¿cuál es?
Entre dos naturales consecutivos ¿existe otro natural?
Todo número natural a posee su sucesor ¿cuál es?
¿La suma y el producto de números naturales es un número natural?
¿Es posible encontrar un número natural que al restárselo a 2 de por resultado 8?
Números enteros
El conjunto de los números enteros surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción, pues
cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustracción no tiene solución en los Naturales,
por ejemplo 3 − 8 =?
Z = {· · · , −4, −3, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, · · · }
Como se puede observar, el conjunto de los enteros está formado por el conjunto de los números
naturales, sus correspondientes opuestos y el cero.
Actividad 60 Dar respuesta a las siguientes interrogantes:
1. ¿Los enteros tienen un primer elemento?, ¿tienen último elemento?
2. ¿Cada entero tiene un antecesor? ¿y un sucesor?
3. ¿Cuántos números enteros existen entre −3 y 7? ¿Cuántos números enteros existen entre dos
enteros dados ?
4. ¿La suma, resta y multiplicación de números enteros, es siempre es un número entero?
5. ¿existe algún número entero tal que al multiplicarlo por 3 de como resultado 5?
4.1.3
Números racionales
El conjunto de los números racionales se creó debido a las limitaciones de cálculo que se presentaban
en el conjunto de los números naturales y enteros. Por ejemplo, la ecuación 2x = 1 no tiene solución en
esos conjuntos.
a
Q = { / a, b ∈ Z, b 6= 0}
b
Actividad 61 Responder las siguientes interrogantes:
1. ¿Son los racionales un conjunto finito?
2. ¿Es posible encontrar dos racionales consecutivos? o lo que es lo mismo, entre dos números
racionales ¿cuántos números racionales existen?
3. ¿Tienen los racionales primer y último elemento?
4. Escribir un número racional entre 23 y 37 . ¿Cuántos números racionales hay entre los dos dados?
5. ¿La suma, resta, multiplicación y división de dos números racionales es un número racional?
6. ¿Existe algún número racional que sea solución de la ecuación x2 = 2?
4.1 Introducción
4.1.4
225
Números Irracionales
Consecuencia de esto último es la necesidad de crear un nuevo conjunto, el de los números irracionales.
El conjunto de los números irracionales se simboliza con II y son aquellos números que no se pueden
expresar como cociente de dos números enteros. Ejemplos de irracionales son:
√
2,
√
3
4,
√
6,
π,
√
e, 5 −5
Damos respuesta a las siguientes interrogantes:
Actividad 62 Analizar y dar respuesta a las siguientes interrogantes:
1. ¿Son los irracionales un conjunto finito?
2. ¿Es posible encontrar dos irracionales consecutivos? o lo que es lo mismo, entre dos números
irracionales ¿cuántos números irracionales existen?
3. ¿Tienen los irracionales primer y último elemento?
4. ¿La suma, resta, multiplicación y división de dos números irracionales es un número irracional?
5. ¿Existe algún número irracional que sea solución de la ecuación x2 = 2?
Actividad 63 Resolver los siguientes problemas:
1. la diferencia entre dos números es 656. Dividiendo el mayor entre el menor, resulta 4 de cociente
y 71 de resto.Determinar los números
2. Tres hermanos compiten por ver quién salta más. El mayor saltó los 35 de los 10 metros que
medía el foso de salto. El hermano mediano saltó los 23 de lo que había saltado el mayor y el
pequeño los 45 de lo que había saltado el mediano. ¿Cuánto saltó el hermano pequeño? Resp. 3,2
mts
Hemos mencionado las operaciones básicas de adición, sustracción, multiplicación y división. Al
respecto cabe recordar su significado y establecer el lenguaje matemático pertinente.
La suma o adición tiene dos elementos llamados sumandos y su resultado se denomina suma.
a + b = d,
3+5 = 8
La resta o sustracción tiene dos elementos, minuendo
y sustraendo y su resultado recibe el nombre de diferencia.
a − b = c,
7−2 = 5
Figura 4.1
La multiplicación tiene dos elementos denominados factores y su resultado se llama producto.
a · b = c,
3 · 7 = 21
La división tiene también dos elementos, el dividendo (el número que se divide) y el divisor
(el número que divide), el resultado se llama cociente y si la división no es exacta aparece un
número no nulo llamado resto o residuo, que es lo que sobra de la división.
a
= c,
b
12
= 4,
3
5
= 1 + 0, 25
4
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
226
Cerramos la introducción concluyendo
que “al conjunto formado por la unión
de los números racionales con los irracionales se conoce con el nombre de
conjunto de los números reales”, y se
denota por el símbolo R. Esto es,
R = Q ∪ II
Un esquema que permite ver como se
relaciona R y sus subconjuntos es el
siguiente:
Figura 4.2
4.2
El conjunto de números Reales
Todos los números que usamos en nuestra vida diaria son números reales. Conocer sus propiedades te
ayudará a resolver gran cantidad de problemas cuantitativos en cualquier disciplina. Como motivación
e introducir su estudio te proponemos dos juegos sencillos.
Actividad 64 Resuelve este juego (figura 4.3), llamado KENKEN, desarrollado por el profesor de
matemáticas japonés, Tetsuya Miyamoto en el año 2004.
Reglas del juego:
1. El objetivo es rellenar la cuadrícula con números de forma tal que ninguno se repita en
ninguna línea o columna.
2. Si la cuadrícula es de 4 × 4 se usarán los números del 1 al 4; en la cuadrícula de 5 × 5 se
usarán los números del 1 al 5, y así sucesivamente hasta emplear los números del 1 al 9
en la cuadrícula de 9 × 9, que es la de mayor
Figura 4.3
tamaño.
3 Cada grupo de casillas delimitado por un trazo grueso (caja) debe tratarse como una ecuación
matemática. Trabaje para dilucidar qué dígitos pueden combinarse para lograr el número objetivo
(ubicado en la esquina superior izquierda) usando la operación matemática que se indica. (5+
indica que en ese rectángulo se colocan números que sumen 5)
4 En las cajas que contengan una sola casilla se debe colocar el número objetivo
Actividad 65 La figura 4.4 muestra una forma de
multiplicación poco conocida. Me interesa conocer
tu opinión de como funciona. Trabaja en forma grupal. Si estás en lo correcto comprueba tu método
calculando 32 × 13
Figura 4.4
4.3 Axiomática de los números reales
4.3
227
Axiomática de los números reales
Existen diversos enfoques para introducir los números reales: uno de ellos, constructivista, parte de
los números naturales {1, 2, 3, · · · , }, a partir de los cuales se construye el conjunto de los números
enteros {· · · , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4 · · · }, luego, a partir de ellos se construyen√los números racionales
y estos a su vez usados para construir los números irracionales, tales como 2 y π. De esta forma,
los números reales son entonces la unión de los números racionales e irracionales. Otro enfoque es el
axiomático, en éste el concepto de número real es tomado como un concepto primitivo, que satisface un
cierto número de propiedades (11) que se toman como axiomas, y a partir de los cuales se desarrollan
las consecuencias lógicas correspondientes.
Como nos interesan las propiedades de los números reales y no la forma empleada para construirlos,
vamos a introducirlos desde un punto de vista axiomático.
Los axiomas de Hilbert para definir a R
Hilbert supone que existe un conjunto no vacío R de elementos, llamados los números reales, que
satisfacen determinados axiomas. Estos axiomas se dividen en tres clases o tipos: axiomas de cuerpo,
axiomas de orden y axioma de completitud.
Axiomas de cuerpo: Se presentan las propiedades algebraicas, llamadas de cuerpo, basadas en
las operaciones de suma y multiplicación. Postulan que el conjunto de los números reales es un
cuerpo.
Axiomas de orden: Se presentan las propiedades de orden y algunas de sus consecuencias.
Postulan que el conjunto de los número reales es un cuerpo ordenado.
Axioma de completitud: Permite establecer que el conjunto de los números reales es un cuerpo
ordenado completo. Este es el que distingue al cuerpo de los números reales del cuerpo de los
números racionales (que también es un cuerpo ordenado, pero no completo).
4.3.1
Axiomas de cuerpo y propiedades
Vamos a destacar ciertas propiedades básicas que gobiernan el cálculo con números reales. Una vez
establecidas esas propiedades deduciremos de ellas las reglas habituales de cálculo. Es conveniente
señalar que lo importante de estas propiedades, llamadas axiomas, no es que las aprendas de memoria,
sino que las puedas utilizar cuando sea necesario, por ejemplo para abreviar algunos cálculos o para
despejar ecuaciones y que sepas también qué tipo de operaciones no se pueden hacer.
Mediante este conjunto de axiomas se define la estructura algebraica básica de los números reales, de
manera que las demás propiedades pueden deducirse como teoremas.
Definición 4.3.1 Decimos que el sistema formado por el conjunto R y las operaciones de adición
(+) y de multiplicación (·) constituye una estructura algebraica que anotaremos (R, +, ·) y llamamos
cuerpo en tanto satisface los siguientes once axiomas:
A1 clausura: ∀a, b ∈ R, ∃s ∈ R tal que a + b = s
A2 asociatividad: ∀a, b, c ∈ R
a + (b + c) = (a + b) + c
A3 existencia de neutro:∃0 ∈ R tal que ∀a ∈ R
a+0 = 0+a = a
A4 existencia de inverso: ∀a, b ∈ R, ∃(−a) ∈ R tal que a + (−a) = −a + a = 0
A5 conmutatividad: ∀a, b ∈ R
a+b = b+a
A6 clausura: ∀a, b ∈ R, ∃m ∈ R tal que a · b = m
A7 asociatividad: ∀a, b, c ∈ R
a · (b · c) = (a · b) · c
A8 existencia de neutro: ∃1 ∈ R tal que ∀a ∈ R
a·1 = 1·a = a
∗
−1
A9 existencia de inverso: ∀a, b ∈ R , ∃a ∈ R tal que a · a−1 = a−1 · a = 1
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
228
A10 conmutatividad: ∀a, b ∈ R
a·b = b·a
A11 distributividad: ∀a, b, c ∈ R
a · (b + c) = a · b + a · c
Usamos la notación R∗ = R − {0}.
Observación: A partir de estos once axiomas se construye el algebra de números reales en toda su
perfección y complejidad. Si a ellos agregamos los axiomas y propiedades de la igualdad de números
reales y algunas nuevas definiciones de operaciones y notaciones particulares tales como las potencias,
las raíces, los logaritmos y otras, habremos constituido la estructura de números más completa y de
mejores recursos algebraicos para modelar un sinnúmero de situaciones problemáticas de nuestro
entorno natural y social.
Actividad 66
1) La figura 4.5(a) representa la ley
distributiva. Escribe, considerando el área de los rectángulos esa
propiedad
2) La figura 4.5(b) representa la ley
conmutativa. Escribe, considerando el área de los rectángulos esa
propiedad.
4.3.2
Figura 4.5
Consecuencias de los axiomas de cuerpo
Apoyandonos en estos axiomas podemos ampliar las operaciones en R con la diferencia y la división.
Definición 4.3.2
La resta o diferencia de los números reales, a − b, se define como la suma del minuendo más el
opuesto del sustraendo:
a − b = a + (−b)
La división o cociente de dos números reales, que se anota a/b, a ÷ b o bien ab , se define como el
producto del dividendo por el inverso del divisor:
a
= a · b−1
b
Ley de cancelación para la suma
Actividad 67 Sean a, b y c números reales. Observa la
balanza en figura 4.6. Usa el rectángulo dado para establecer
la ecuación si la balanza está en equilibrio. A continuación
anota la consecuencia (=⇒) si sacas a en ambos lados de la
balanza.
Figura 4.6
Se cumple:
¿Cómo estar seguros que lo afirmado es siempre cierto? Para ello la matemática usa la demostración,
que está compuesta por razonamientos lógicos que avanzan desde una hipótesis hasta llegar a una
4.3 Axiomática de los números reales
229
afirmación. Cada uno de estos pasos debe sostenerse a través de la deducción o de otro método. Te
muestro como funciona una demostración en matemática y como cada paso se fundamenta en los
axiomas de cuerpo.
Debemos probar que
a + b = a + c =⇒ b = c
Esta clase de problemas es de la forma H =⇒ T (Hipótesis implica Tesis). Se trabaja la hipótesis
(a + b = a + c) y mediante los axiomas de cuerpo se llega a la tesis (b = c). En efecto, Sabemos que
dado a ∈ R, existe el elemento inverso aditivo −a ∈ R. Por tanto, podemos sumar en ambos lados este
elemento inverso y tener:
−a + (a + b) = −a + (a + c)
Ahora se puede asociar
(−a + a) + b = (−a + a) + c
Pero lo del paréntesis tiene valor cero, así que
0+b = 0+c
Y dado que 0 es el neutro, se obtiene
b=c
Multiplicación por cero
a · 0 = 0,
∀a ∈ R
Actividad 68 Esta es una verdad que conoces “desde siempre” y que seguramente nunca te has
cuestionado. Pero nunca es tarde para “ver” que es cierta. Te presento la siguiente demostración
a · 0 = a · (1 − 1) = a · 1 − a · 1 = 0
Anulación de un producto
a · b = 0 =⇒ a = 0 o bien b = 0
Esta es otra propiedad que siempre hemos sabido, pues parece obvia, pero es de gran ayuda cuando
resolvemos ecuaciones.
Ejemplo 4.3.3
(x − 1)(x − 2) = 0 =⇒ x − 1 = 0 ∨ x − 2 = 0
Ley de cancelación para la multiplicación
Sean a, b y c números reales. Si a 6= 0, entonces
a · b = a · c =⇒ b = c
Actividad 69 Hago la demostración y tú descubres el axioma ocupado en cada paso.
a · b = a · c =⇒ a−1 · (a · b) = a−1 · (a · c)
(a−1 · a) · b = (a−1 · a) · c
1·b = 1·c
b=c
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
230
Actividad 70 La siguiente secuencia algebraica muestra que todos los números reales son cero.
x=1
x2 = x · x = x · 1 = x
x2 − 1 = x − 1
(x + 1)(x − 1) = x − 1
simplificando
x+1 = 1
x=0
¿Cómo es esto?, partimos afirmando que x = 1
y llegamos a que x = 0. ¿Dónde está el error?
4.3.3
Figura 4.7
Ecuaciones de primer grado de una variable
Establecemos los siguientes hechos:
Una ecuación es una igualdad algebraica en la que aparecen letras (incógnitas)
con valor desconocido.
El grado de una ecuación viene dado
por el exponente mayor de la incógnita.
Resolver una ecuación es encontrar el
valor o valores de las incógnitas que
transformen la ecuación en una identidad.
Figura 4.8
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
Para conseguir ecuaciones equivalentes solo se puede aplicar una de las siguientes propiedades:
• Sumar o restar en ambas partes de la igualdad una misma expresión.
• Multiplicar o dividir ambas partes de la igualdad por un número diferente de cero.
Reglas para despejar
1. a + x = b =⇒ x = b − a
2. ax = b =⇒ x = b · a−1 , siempre que a 6= 0
Las dos ecuaciones presentadas representan ecuaciones de primer grado y con una variable, la x.
Los métodos para resolver ecuaciones se aprenden mejor si se introducen por medio de modelos como
el de la balanza, válidos, pero poco prácticos con ecuaciones más complejas.
Actividad 71
1. En las figuras siguientes establece la ecuación y el valor de la x que estabiliza la balanza.
2. Prueba, usando los axiomas y propiedades ambas afirmaciones.
4.3 Axiomática de los números reales
231
Figura 4.9
Figura 4.10
Actividad 72 Se resuelve la ecuación 6x − 7 = 2x + 1. Indica la acción realizada en cada paso.
Solución
6x − 7 = 2x + 1
6x − 7 + 7 = 2x + 1 + 7
6x = 2x + 8
4x = 8
4x 8
=
4
4
x=2
En la práctica sumar o restar un mismo término a ambos miembros de una ecuación equivale a trasladar
el término de un miembro al otro cambiándole el signo. Este procedimiento se llama transposición de
términos.
Actividad 73 Escribir la o las ecuaciones para resolver los siguientes problemas.
1) La edad de Pedro es el triple de la de Juan y las dos edades suman 40 años. Hallar ambas edades.
Resp. 10 y 30
2) En un corral hay conejos y gallinas. El número total de animales es 30 y el de patas 100. ¿Cuántos
conejos y cuántas gallinas hay en el corral? Resp. 20 y 10
4.3.4
Regla de los signos
Diofanto de Alejandría, nacido alrededor del 200/214 y fallecido alrededor
de 284/298, fue un antiguo matemático
griego. Es considerado “el padre del álgebra”. Nada se conoce con seguridad
sobre su vida salvo la edad a la que falleció, gracias a este epitafio redactado
en forma de problema y conservado en
la antología griega.
Figura 4.11
Diofanto, en su Libro I, justificaba de la siguiente manera la regla de los signos:
“L O QUE ES LO QUE FALTA MULTIPLICADO POR LO QUE ES LO QUE FALTA DA LO QUE ES
POSITIVO ; MIENTRAS QUE LO QUE ES LO QUE FALTA MULTIPLICADO POR LO QUE ES POSITIVO ,
DA LO QUE ES LO QUE FALTA”
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
232
Proposición 4.3.4
(−a) · b = −(a · b) = a · (−b)
(−a) · (−b) = a · b
1.
2.
Nos vamos a detener un poco en esta parte por su importancia, ya que es una propiedad que estamos
constantemente empleando en matemática, y además por que tiene “historia”. Alguien estableció la
siguiente analogía.
Los amigos de mis amigos son mis amigos
Los amigos de mis enemigos son mis enemigos
Los enemigos de mis amigos son mis enemigos
Y los enemigos de mis enemigos son mis amigos
Por favor, establece la analogía con la figura 4.12.
Figura 4.12
Otra interpretación se debe al matemático Israel Geland quien explica las operaciones con signos de la
siguiente forma, brillante y fácil de entender para cualquiera, tal y como se cuenta en The Riemann
Hypothesis: The Greatest Unsolved Problem in Mathematics:
~
3 × 5 = 15. Si te dan tres veces cinco boletos tienes en total 15 boletos.
3 × (−5) = −15. Si das tres veces cinco pasos hacia atrás, entonces das 15 pasos hacia atrás.
(−3) × 5 = −15. Si no te dan tres veces cinco pesos es como que no te den 15 pesos.
(−3) × (−5) = 15. No pagar tres veces una multa de cinco pesos es como que te den 15 pesos.
Bueno, pero hay más, lo siguiente es obra de Adrián Paenza. Después de leer puede que te sientas
identificado. 1
Una de las “verdades” que nos enseñan en la escuela o en el colegio es que “Menos por menos es más”.
Uno anota. Piensa. No entiende. Vuelve a pensar. Sigue sin entender. Mira al compañero de al lado. El
tampoco entiende. Y de pronto se escucha a la maestra o el profesor, que otra vez nos taladran con:
“Menos por menos es más”.
Uno tiene varias alternativas frente a esto. La más probable es que bloquee la mente, deje el cuerpo
en el lugar, escriba como un autómata pero, en realidad, ya nada más de lo que se oiga o se lea en esa
habitación va a convocar su atención, al menos por un rato.
-¿Qué dijo? -dice uno preocupado.
-Dijo algo así como que · · · menos por menos es más -contesta el compañero del banco de al lado.
-No entiendo -contesta el primero.
-Yo tampoco -dice el otro, que al menos pudo repetir lo que había escuchado.
Entonces uno levanta la vista y ve ejemplos escritos en el pizarrón:
1. (−3) × (−2) = 6
2. (−7) × (−3) = 21
3. (−15) × (−1) = 15
Y un poco más abajo, uno advierte con horror, que incluso se ¡aplica a fracciones!
1. (− 12 ) × (−6) = 3
2. (−9) × (− 32 ) = 6
1 autor
de “Matemática · · · ¿Estas ahí?
4.3 Axiomática de los números reales
233
3
3. (− 25 ) × (− 43 ) = 10
El pizarrón escupe números, símbolos, igualdades, letras que invitan a abandonar todo y a escapar. ¿De
qué habla esta mujer? Pero uno no tiene más remedio que aceptar. En la escuela o el colegio acepta,
porque en general no se enseña con espíritu crítico (con las excepciones correspondientes), pero aquí lo
que cabe es preguntar inmediatamente: ¿por qué?
De todas formas, el tiempo pasa y uno termina aceptando el axioma (o lo que parece un axioma o
verdad absoluta) de que menos por menos es más, porque:
no le queda más remedio,
no se contrapone con nada de lo que uno ya sabe,
uno nunca necesitó usarlo en la vida cotidiana,
cierto o falso, no me afecta y, por último,
no me interesa.
Mi idea es acá tratar de encontrar alguna explicación del porqué es cierto que “menos por menos” tiene
que ser más.
Caso 1
Supongamos que usted está manejando su auto a 40 kilómetros por hora. Si yo le preguntara dónde va
a estar dentro de 3 horas, usted contestará: “Voy a estar a 120 kilómetros de acá”. Este sería un ejemplo
de que “más por más Es más”. O sea, aunque uno no escriba los símbolos (+) adelante, es como si
estuviera diciendo:
(+40) × (+3) = (+120)
Uno representa los 40 kilómetros por hora, con (+40) y lo que “va a pasar” dentro de 3 horas, con
(+3). Multiplica y tiene (+120), o sea, uno estará 120 kilómetros más adelante de donde está ahora.
Caso 2
Si ahora, en lugar de ir a 40 kilómetros por hora hacia adelante, usted empezara a manejar su auto
marcha atrás a la misma velocidad (o sea, a 40 kilómetros por hora pero hacia atrás), yo podría
preguntarle: ¿dónde vas a estar dentro de 3 horas?
(−40) × (+3) = (−120)
Si uno quiere representar en símbolos que está yendo marcha atrás, lo que hace es escribir (−40). Por
otro lado, como uno quiere saber, otra vez, “qué va a pasar dentro de 3 horas‘”, uno usa el número (+3)
para representarlo.
Es decir, si uno maneja el auto hacia atrás a 40 kilómetros por hora, dentro de 3 horas va a estar 120
kilómetros atrás del lugar en donde está ahora. Esto corresponde -y espero que se entienda con el
ejemplo- a que “menos por más ES menos”.
Caso 3
Ahora bien, lleguemos entonces a la última pregunta (que le pido que lea con cuidado y sobre todo que
piense usted sola/o la respuesta).
“Si usted viene como recién, manejando su auto a 40 kilómetros marcha atrás y yo, en lugar de
preguntarle dónde va a estar dentro de tres horas, le preguntara ¿dónde estabas hace tres horas?, usted,
¿qué contestaría? (por favor, más allá de responder, trate de convencerse de que me entendió la pregunta).
Ahora sigo yo: la respuesta es que uno estaba ¡más adelante! Más aún: estaba 120 kilómetros más
adelante de donde está ahora.
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
234
Si sigo usando los símbolos de más arriba, tengo que escribir:
(−40) × (−3) = 120
Es decir, escribo (−40) porque estoy yendo marcha atrás, y escribo (−3) porque pregunto qué pasó
hace tres horas. Y, como usted advierte, uno hace tres horas estaba 120 kilómetros más adelante del
punto en donde está ahora. Y eso explica -en este caso- por qué “menos por menos es más”.
Luego, en este caso, se ve que ¡menos por menos es más! ”
Actividad 74 Te agrego otra historia, que ilustra pero no demuestra.
Parto de la base que la multiplicación de más por menos la tienes clara. Se acepta entonces que
5 × (−6) = −30
Como (10 − 5) = 5, entonces
(10 − 5) × (−6) = −30
Por propiedad distributiva:
10 × (−6) + (−5) × (−6) = −30 =⇒ −60 + (−5) × (−6) = −30
Esto significa, sumando inverso aditivo de 60, que
−60 + (−5) × (−6) = −30 =⇒ (−5) × (−6) = 30
Actividad 75 Este caso sirve para reforzar tu aprendizaje en la regla de los signos. Considera la figura
4.13. Usando el concepto de área encuentra el área del rectángulo achurado.
Figura 4.13
Actividad 76 Mira la siguiente DEMOSTRACIÓN. Justifica cada paso con el axioma correspondiente.
−(−a) = −(−a) + 0,
−(−a) = −(−a) + [a + (−a)],
−(−a) = −(−a) + [(−a) + a],
−(−a) = [−(−a) + (−a)] + a],
−(−a) = [−1 + 1] · (−a) + a],
−(−a) = 0 · (−a) + a,
−(−a) = 0 + a,
−(−a) = a,
4.3 Axiomática de los números reales
4.3.5
235
Historia del cero
Respecto del cero, en la página http://www.sangakoo.com/blog/el-cero se lee:
A pesar de su indiscutible eficacia matemática, tuvieron que pasar casi 2.500 años antes de su total
implantación. Y es que, nada más nacer, rebasó el ámbito matemático para tornarse en conflicto
filosófico y en anatema religioso.
Cuando vemos escrito un número como 305 nuestra mente
lo traduce automáticamente en “tres- cientos cinco”. Si este
número se corresponde con el precio de un determinado
objeto, sabemos que equivale a tres billetes de cien y uno de
cinco. Nadie añade espontáneamente “y ninguno de diez”.
Sin embargo, eso es lo que significa el símbolo 0 situado
entre el tres y el cinco, que es precisamente el lugar destinado a las decenas. La lectura precisa de este número sería
“tres
centenas, ninguna decena y cinco unidades”.
Figura 4.14
Pero esto que nos parece tan obvio, la utilización del símbolo cero para indicar la ausencia de determinadas cantidades, constituye uno de los descubrimientos más extraordinarios de la Aritmética. Sin
embargo, no deja de ser sorprendente que en Europa no se introdujera hasta el siglo XIII o que una
cultura tan avanzada como la griega, a la que consideramos cuna de nuestra civilización, no llegara ni
siquiera a rozarlo como concepto. Y es que el número cero nació con dos caras, como las máscaras que
simbolizan el teatro, una sonriente que miraba hacia la aritmética práctica, y otra de expresión sombría
de la que recelaban los filósofos.
Al fin y al cabo, durante mucho tiempo la iglesia católica consideró al cero como “el número infiel”,
llegando a prohibir su utilización, lo que obligó a los calculistas a hacer su trabajo al amparo del secreto.
Mira como opera el famoso cero:
0
= 0 · b−1 = 0, b 6= 0
b
Esto es, 0 dividido en cualquier número, distinto de cero, da cero porque si tienes nada de algo y lo
divides en cuantas partes quieras sigues teniendo nada. Por ejemplo,
0
=0
8
Así, si queremos repartir de una canasta en la que hay cero manzanas entre un grupo de ocho personas,
lógicamente, le tocan cero manzanas a cada uno.
5
Más complicado es el caso . Si x es tal número, entonces se debe tener:
0
5
=x
0
Si empezamos a buscar, el 1 no sirve pues 0 · 1 = 0 6= 5. Si continuamos en esta búsqueda, no sirve
ningún entero, ningún racional y ningún número real, pues siempre 0 · x = 0 6= 5. Por tanto, la división
por cero no está definida.
0
Pero el cero presenta otra arísta en . En tal caso, si ponemos
0
0
=x
0
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
236
entonces sirve cualquier número, pues 0 · x = 0 para todo x ∈ R. Se dice entonces que estamos en
presencia de una indeterminación.
El cero también aparece en las potencias:
05 = 01/2 = 050,000 = 0
4.4
50 = (120)0 = π 0 = 1
00 no está definido
Las Fracciones
Iniciamos con una actividad para recordar el concepto
Actividad 77 Se quiere repartir entre 4 personas tres galletas rectangulares, como las de la figura 4.15.
¿De qué manera repartimos equitativamente las galletas?, dicho de otra forma ¿qué cantidad debemos
darle a cada persona?
Figura 4.15
Generalmente, los conceptos matemáticos vienen expresados mediante varios sistemas de representación, por ejemplo, en la figura 4.16 se muestran seis modos distintos de representar la misma idea: un
medio.
Figura 4.16
Cada uno de estos sistemas de representación destaca alguna propiedad importante del concepto
representado, y dificulta la comprensión de otras propiedades. Así, en la primera representación que
aparece en la figura, sobre un rectángulo se destaca su partición en dos partes iguales; en la segunda
destaca la idea de cociente asociada a la fracción; en la tercera expresión, el término “mitad” destaca
la igualdad de las dos partes en que se ha dividido el todo; la cuarta representación hace patente la
consideración de tomar el valor 100 como unidad; en la quinta expresión se destacan dos de cuatro
unidades, mientras que la sexta representación señala un punto equidistante de 0 y 1 en la recta
numérica.
Actividad 78 Indica que fracción te sugiere la representación en la figura 4.17.
Figura 4.17
4.4 Las Fracciones
237
Una fracción se hace necesaria para representar los objetos resultantes de un reparto equitativo. Se
escribe con dos números conocidos separados por una raya horizontal:
el número que está encima (numerador) representa las partes que se toman de la unidad, y
el número que está bajo la rayita (denominador) indica el número de partes en que se ha dividido
la unidad.
Para la enseñanza de la multiplicación de enteros se suele emplear rectángulos. Así, la figura 4.18
permite visualizar las representaciones de los productos 2 × 3 y 2 × 6. Para las fracciones, por lo
general, se usa una representación gráfica de fácil fraccionamiento, equitativo y exhaustivo, como es el
rectángulo, y como referencia el color.
Figura 4.19
Figura 4.18
El uso del modelo de áreas, conocido a veces con el nombre de modelo objetivo, ayuda a visualizar y
comprender las ideas relacionadas con la equivalencia, la comparación y el producto de fracciones.
El sombreado a utilizar para representar las fracciones puede ser horizontal o vertical (figura 4.20)
Figura 4.21
Figura 4.20
Actividad 79
1. ¿Qué fracción representa la parte pintada de cada gráfica en la figura 4.21? Estas partes achuradas
¿representan la misma cantidad?
2. La figura 4.22 muestra una sección de pared con azulejos plomos, amarillos y blancos.
¿Qué parte de la sección está formada por azulejos amarillo? ¿Qué parte formada por azulejos de color plomo? y ¿Qué parte formada por
azulejos de color blanco?.
Figura 4.22
4.4.1
Fracciones equivalentes
La figura 4.23 muestra representación de las fracciones 31 ,
2
6
y 39 .
Figura 4.23
En la segunda fracción cada tercio ha sido dividido en dos porciones equivalentes, eso hace que “el
238
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
todo” se haya particionado en seis unidades de igual área. Ello muestra que 13 es equivalente a tener 26 .
Del mismo modo, la división de cada tercio en tres porciones de áreas equivalente conduce a verificar
que 13 es equivalente a 93 . Por tanto, las tres figuras, al representar la misma área, son equivalentes
8
Actividad 80 Usar los rectángulos de la figura 4.24 para verificar que 23 es equivalente a 12
Figura 4.24
Para obtener fracciones equivalentes a una dada basta con multiplicar o dividir sus términos por
un mismo número. Así, se pueden obtener fracciones equivalentes de dos formas: por
amplificación y por simplificación.
Por amplificación se multiplica el numerador y el denominador por un mismo número.
Ejemplo 4.4.1 La fracción 23 es equivalente a las siguientes:
2 4 6
8
10 12
= = =
=
=
= ···
3 6 9 12 15 18
Por simplificación se divide el numerador y el denominador por un mismo número
Ejemplo 4.4.2 La fracción 42
30 es equivalente a las siguientes:
42 21 7
=
=
30 15 5
Para comprobar si dos fracciones son equivalentes o no, el método más fácil es el de los productos
cruzados. Multiplicamos el numerador de cada una por el denominador de la otra y si el resultado es
igual, las fracciones son equivalentes.
8
Ejemplo 4.4.3 Las fracciones 45 y 10
son equivalentes pues,
4
8
=
⇐⇒ 4 × 10 = 5 × 8 = 40
5 10
Definición 4.4.4 Dos fracciones ab y dc son equivalentes si y solamente si se cumple que
a·d = b·c
4.4.2
Reducción de fracciones a común denominador
Para reducir fracciones a común denominador se pueden utilizar dos métodos:
El de los productos cruzados o
el del mínimo común múltiplo.
Para reducir fracciones a común denominador por el método de los productos cruzados, se multiplican
el numerador y el denominador de cada fracción por los denominadores de las demás.
4.4 Las Fracciones
239
Ejemplo 4.4.5 Para hallar común denominador de las fracciones 12 , 54 y 15 por el método de los
productos cruzados tenemos:
1 1 × 4 × 5 20
5 5 × 2 × 5 50
=
= ,
=
= ,
2 2 × 4 × 5 40
4 4 × 2 × 5 40
Para reducir fracciones a común denominador
por el método del mínimo común múltiplo, se
siguen los siguientes pasos:
Se toma como denominador el mínimo
común múltiplo de los denominadores
(mcm).
Se amplifica la fracción por el número
que multiplicado por el denominador de
como producto el mcm.
1 1×2×4
8
=
=
5 5 × 2 × 4 40
Figura 4.25
Ejemplo 4.4.6 Vamos a reducir las fracciones 72 , 14 y 23 a común denominador.
Buscamos el mcm de las fracciones (figura 4.25), que como sabemos es 12. Con esto, cada fracción
dada se amplifica por aquel número que al multiplicar el denominador da 12. Se tiene:
7 6 42
× = ,
2 6 12
4.4.3
1 3
3
× = ,
4 3 12
2 4
8
× =
3 4 12
Suma de fracciones
El principio básico para sumar o restar fracciones es que tengan un mismo denominador. Si utilizamos
rectángulos para la suma o la resta de fracciones de igual numerador, debemos considerar un mismo
sentido de sombreado, es decir:
Sombreado horizontal + sombreado horizontal o sombreado vertical + sombreado vertical
El resultado de la adición será una fracción que tiene como numerador el total de partes sombreadas
y como denominador el total de divisiones de las láminas superpuestas.
Ejemplo 4.4.7 Observa la suma de las fracciones 15 y 35 utilizando los rectángulos.
Figura 4.26
Lo primero a observar es que la orientación es la misma. Como estamos sumando quintos, tanto en el
primer rectángulo como en el segundo, la unidad ha sido dividida en 5 partes iguales (denominador).
Luego se procede a contar los rectángulos sombreados (numerador).
Cuando tenemos distintos denominadores, tenemos que usar rectángulos con sombreados de colores
diferentes o rayados con distintas orientaciones, así se observa con más claridad cualquier intersección
de colores.
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
240
Ejemplo 4.4.8 Hallemos la suma de 32 + 12
Usamos un rectángulo para indicar el 23 y otro
para 12 (figura 4.27a). La unidad se divide en
6 partes iguales para igualar denominadores.
Si se cuentan los rectángulos sombreados se
halla que son 7. Por tanto,
2 1 7
+ =
3 2 6
Figura 4.27
Como alternativa se puede usar un sólo rectángulo. Dividimos la unidad en tercios de forma vertical,
a continuación dividimos la unidad en cuartos, pero en forma horizontal. Se cuentan los rectángulos
sombreados (rayados), considerando que la intersección vale por 2. Se halla el mismo resultado (figura
4.27b).
Actividad 81 Te propongo dos desafíos:
1. Hallar 23 + 41 usando la figura 4.28.
2. Hallar 53 − 15 usando la figura 4.29.
Figura 4.29
Figura 4.28
Te anoto el algoritmo de cálculo de la suma de fracciones:
a c a+c
+ =
, b 6= 0
b b
b
a c ad + bc
+ =
, b, d 6= 0
b d
bd
Actividad 82 Usar el algoritmo de la suma de fracciones para hallar:
1)
4.4.4
4 3 2
+ + =
5 5 5
2)
4 1 1
+ + =
5 3 2
3)
3 1
1
+ +
=
2 5 10
4)
3 1
3
+ +
=
8 4 16
Multiplicación de fracciones
Las fracciones que vamos a multiplicar, deben tener distinto sentido de sombreado. La exigencia de
sombreado de diferente color es para observar con más claridad cualquier intersección de colores.
El resultado de la multiplicación será una fracción que tiene como numerador el total de partes
sombreadas interceptadas y como denominador el total de divisiones de las láminas superpuestas.
Actividad 83 La figura 4.30 ilustra la multiplicación entre 23 y 14 . Elabora una pauta de como se hizo.
4.4 Las Fracciones
241
Figura 4.31
Figura 4.30
Actividad 84 Usando rectángulos realiza la multiplicacion de 34 × 23 . Puedes poner todo en un solo
rectángulo (figura 4.31), se visualiza mejor.
Te enuncio el algoritmo de la multiplicación para b, d 6= 0:
El producto de dos o más fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores. Por lo tanto, para multiplicar
fracciones se multiplican los numeradores y los denominadores entre sí.
En símbolos:
a c
ac
· =
b d bd
Ejemplo 4.4.9 Hallemos el producto entre 32 y 45
La regla es bastante sencilla de aplicar
8
2 4 2×4
× =
=
3 5 3 × 5 15
Actividad 85 Usar el algoritmo de la multiplicación de fracciones para hallar:
1)
4.4.5
4 1 2
· · =
3 3 3
2)
3 2 1
· · =
7 3 2
3)
3 1 1
· ·
=
2 5 10
4)
3 4 1
· · =
8 5 6
División de fracciones
Una de las reglas que, por lo general, aplican los estudiantes sin comprender, es la división de fracciones:
¿Por qué se invierte el divisor y se multiplica? ¿Cómo representar la división entre fracciones, para
lograr una mejor comprensión de la regla?
Un primer ejemplo se tratará de dar respuesta a esta inquietud
Ejemplo 4.4.10 Hallar el resultado de dividir 3 en 12
Lo primero es leer 3 : 12 como ¿cuántos medios hay en 3 unidades? o ¿cuántas veces cabe 12 en 3?
Bajo este supuesto y de acuerdo con la interpretación de la fracción “como parte de un todo”, si se tiene
media unidad y 3 unidades, se está en una situación gráfica como la figura 4.32.
Figura 4.32
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
242
se observa que media unidad cabe 6 veces en 3 unidades. Por tanto,
3 :
1 3
= 1 =6
2
2
Una segunda forma de ver la división es la siguiente.
4.4.6
La división como resta repetida
Para entender esta idea iniciamos con una situación sencilla.
Ejemplo 4.4.11 Tienes 10 mil pesos para tu almuerzo en el casino. Si cada día gastas 2 mil pesos en
el almuerzo ¿Para cuántos días te alcanzan los 10 mil pesos? Es claro que tu respuesta es 5 días, pero
mira como se puede hacer:
pesos
costo
resto
3 − 12
5
2
10
2
8
5
2
− 21
2
8
2
6
2 − 12
3
2
6
2
4
3
2
− 21
1
4
2
2
1 − 12
1
2
2
2
0
1
2
0
− 21
Es cosa de contar la cantidad de restos.
Ejemplo 4.4.12 La tabla muestra la división de 3 en 12
Una tercera forma de ver la división de fracciones es la tradicional: Sabemos que una fracción indica la
división del numerador por el denominador, y que podemos escribir, por ejemplo,
1
3
= 3×
5
5
Esto quiere decir, que la división la podemos pensar como “la multiplicación del numerador por el
recíproco del denominador”. Esto es,
3
= numerador 3 × recíproco del 5
5
Recordar que dos números son recíprocos si su producto es igual a 1
Con esta idea de recíprocos, la división de fracciones es lo mismo que multiplicar por su recíproco.
Podemos establecer al algoritmo:
Para dividir dos fracciones se multiplica el numerador por el recíproco del denominador.
Actividad 86 Observa la figura 4.33a, ella muestra que dividir 3 en 27 equivale a multiplicar 3 por 72 .
Explica el procedimiento empleado.
4.4 Las Fracciones
243
Figura 4.33
Actividad 87 Te desafío a hallar el resultado de dividir 14 de unidad entre 3. Te dejo un rectángulo
(figura 4.33b) para trabajar.
Actividad 88 Hallar el resultado de dividir 23 entre 16 , considerando que la división de un número entre
otro se puede entender como cuántas veces cabe uno en el otro,
Esto equivale a preguntarse cuántos 16 caben en 23 . Tal como en el caso de las sumas y restas, se debe
hacer uso de las fracciones equivalentes.
Figura 4.34
Por ello, lo único que tenemos que hacer es hallar dos fracciones con el mismo denominador
o, con los rectángulos, lo que hacemos para
este ejemplo en concreto es dividirlos los 23 en
sextos con una línea paralela como lo muestra
Figura 4.35
la figura 4.35.
1
4
De manera que al final llegamos a la pregunta “cuántos 6 caben en 6 ”, es decir, cuántos lotes de 1
rectángulo caben en 4 rectángulos de la misma medida; cuya respuesta viene dada, evidentemente, por
la división 4 : 1 = 4. Al final tenemos que
2 1
: =4
3 6
4.4.7
Uso del algoritmo
El cociente de dos fracciones es la fracción que resulta al multiplicar en cruz los términos de las dos
fracciones, o bien, de multiplicar la primera fracción por la inversa de la segunda.
Ejemplo 4.4.13 Hallemos la división entre 67 y 45
Esto se ve de la siguiente manera
6 4 6 × 5 30 15
: =
=
=
7 5 7 × 4 28 14
en donde hemos realizado el producto cruzado. Si elegimos la segunda forma de resolver una división,
se tiene lo siguiente:
6 4 6 5 6 × 5 30 15
: = × =
=
=
7 5 7 4 7 × 4 28 14
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
244
Actividad 89 Realizar las siguientes divisiones:
1.
4.4.8
3
9
÷
5 10
2.
4
2
÷
7 21
3.
3 2
÷
4 5
4.
2 7
÷
5 4
Jerarquía de las operaciones
Al realizar cálculos algebraicos, hay veces que se deben llevar a cabo varias operaciones. Existen reglas
que permiten realizar en forma correcta las operaciones, asignando preferencias a cada operación.
Por ejemplo, si se quiere calcular el resultado de
−5 + 8 × 4 − 7
la idea es que TODOS lleguemos al mismo resultado, evitando ambiguedades, para que esto suceda se
necesita aprender esas Reglas.
Reglas para el orden de Operaciones
Resolver paréntesis, u otros símbolos. ( ), [ ], { }
Resolver exponentes o raíces.
Multiplicación y división de izquierda a derecha.
Suma y resta de izquierda a derecha.
10
16
+5·3+4−5·2−8+4·2−
2
4
Se puede realizar los productos y cocientes en el orden en el que se encuentran porque las dos
operaciones tienen la misma prioridad. Se tiene
Ejemplo 4.4.14 Hallar el resultado de
5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 =⇒
10
16
+5·3+4−5·2−8+4·2−
= 10
2
4
Ejemplo 4.4.15 Hallar el resultado de
8
7
6
5 3
6 1
2−
+
−
−
·
·
÷ 5−
5
8 4
5 3
2
5
Lo primero es trabajar los paréntesis interiores a los cochetes
2
1
6 7
19
2 1 7
5
+ −
− ·
÷
=⇒
− −
·
5
8
15 2
5
5 8 5 19
Ahora resolvemos el corchete
9
5
9 5
45
− ·
=⇒ − ·
=−
8 19
8 19
152
Actividad 90 Hallar el valor de cada expresión siguiente:
1) 2 · (5 · 3) ÷ 3 · 4 + [2 − (3 ÷ 2 + 1 − (3 − 4))]
2) 2 ÷ 3 · 4 ÷ 5 ÷ 7 ÷ 2 + (4 ÷ 5 − 3 ÷ 5)
3) 2 − 13 · 34 + 2 · −2 − 43 + 31 − 23
Resp. 1
37
Resp. 105
Resp. − 15
4
4.4 Las Fracciones
4.4.9
245
Potenciación
La operación de elevar un número a potencia
es un caso especial de multiplicación en el que
los factores son todos iguales.
Actividad 91 Tres amigos se enteran de un
secreto. Al otro día, esos tres amigos se lo
cuentan a otros tres cada uno. Al tercer día,
estos se lo cuentan a otros tres cada uno y así
sucesivamente. ¿cuántas personas se enteran
del secreto al cuarto día?
Figura 4.36
Definición 4.4.16 Sea a ∈ R y n un número natural no nulo, el producto
n veces
}|
{
z
a · a · a··· a
se representa por an y se denomina potencia n− ésima de a o potencia de base a y exponente n, o
simplemente, a elevado a n.
Esto es
n veces
z
}|
{
an = a · a · a · · · a
Algunos ejemplos de potencias son:
a)
25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2
b)
(2 · 5)3 = (2 · 5) · (2 · 5) · (2 · 5)
5 2
2
2
2
2
2
=
·
·
·
·
3
3
3
3
3
3
c)
d)
(−3)5 = (−3) · (−3) · (−3) · (−3) · (−3) = −243
De la definición de potencia n− ésima se deducen inmediatamente las siguientes propiedades:
4.4.10
Propiedades de las potencias
Antes de enunciar las propiedades veamos algunas actividades.
Producto de potencias con la misma base
Si tenemos una multiplicación de potencias que tengan la misma base, podemos operarlas como una
única potencia cuyo exponente sea la suma de todos:
23 · 25 · · · 22 = (2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2 · 2 · 2) · (2 · 2) = (2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2) = 210
Si bien un ejemplo no demuestra, al menos sugiere un camino. En este caso, como la base es la misma,
los exponentes se sumaron.
Si las potencias no tienen la misma base, esta operación NO puede realizarce. Habría que calcular cada
potencia por separado.
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
246
Producto de potencias con el mismo exponente
En este caso podemos agrupar los términos en una única potencia cuyo exponente sea el mismo y la
nueva base sea igual al producto de las bases.
32 · 52 = (3 · 3) · (5 · 5) = (3 · 5) · (3 · 5) = (3 · 5)2
Potencia de una potencia
En este caso, el resultado es igual a una potencia con la misma base y un exponente igual al producto
de los exponentes:
(23 )4 = (2 · 2 · 2)4 = (2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2) = 212
Generalizamos estas propiedades:
Proposición 4.4.17 Si a es un número real y n y m son números naturales, se cumple:
1) an · am = an+m
2) an · bn = (ab)n
3) (an )m = an·m
Potencias de exponente entero
Iniciamos el estudio de las potencias con exponente entero, considerando la siguiente tabla
Te propongo que la completes, tomando en
cuenta que, en la primera columna vas dividiendo, desde la primera hasta la última fila,
por 2, en la segunda divides por 3, y en la tercera por 10. Vas a deducir que 20 = 1 , que
30 = 1 y que 100 = 1. Puedes deducir que esto
es válido para todo entero positivo que se tome
como base.
Figura 4.37
Ejemplo 4.4.18 Veamos un caso de base entero negativo. Observa con atención la siguiente tabla.
Divide cada fila por −2 y dar a conocer el valor de (−2)0
Figura 4.38
Avancemos un poco más
Figura 4.39
Actividad 92 Completa las tablas en la figura 3.39 de acuerdo a la indicación dada en cada caso
Seguramente, en una de las tablas hallaste 10−2 =
1
100 ,
de lo cual encuentras que 10−2 =
1
.
102
4.4 Las Fracciones
247
Actividad 93 Intenta con fracciones. Completa la tabla de la figura 4.40
Figura 4.40
Estamos en condiciones de formular las siguientes propiedades.
Proposición 4.4.19 Si a es un número real distinto de cero, n y m números enteros, se cumple:
1)
a0
=1
2) a
−n
1
= n=
a
n
1
a
3)
an
= an−m
am
Actividad 94 Halla el valor de las siguientes expresiones:
1.
5.
(a3 )−2
(a−5 )3
4 2 −1
9
3
7. − 53
4.4.11
−6
5
3
2.
4
−
18
3 16
÷ 32 − 15
2
· − 53
7
+
5 −1
−
2
h
3.
4
4.
−2
3
3
6. (3 · 3n+1 + 3n+2 )3 ÷ (3n+2 )3
=
− 65
−2
3
−2 i
÷ − 41
−1
Radicación
Iniciamos este concepto con una situación didáctica
Actividad 95 Hay que construir una cerca alrededor del jardín cuyo terreno es cuadrado. Se sabe que
el jardín tiene 12 m2 . El problema es determinar cuantos metros de cerca se deben comprar para cercar
todo el jardín.
Figura 4.41
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
248
Se llama raíz n−ésima de a al número b tal que bn = a y se representa
llama índice de la raíz y al número a radicando.
√
n
a = b. Al número n se le
Observación 4.4.20
√
√
Si n = 2 decimos que 2 x es la raíz cuadrada de x y se escribe x.
√
Si x < 0, y n es impar, entonces n x < 0.
√
Si x < 0, y n es par, entonces n x NO EXISTE.
Para recordar:
~
√
121 = 11 ya que 112 = 121
√
4
625 = 5 ya que 54 = 625
La radicación puede expresarse como potencia de exponente fraccionario:
√
1
n
a = an
Este hecho es de suma importancia ya que significa que todas las propiedades de las potencias se siguen
cumpliendo en la radicación.
Actividad 96 Entre las siguientes afirmaciones, determina si alguna de ellas es falsa, justifica.
1)
√
4=2
√
2) − 4 = −2
3)
√
4 = −2
4)
√
−4 = 2
5)
√
3
8=2
6)
√
3
−8 = −2
Actividad 97 Escribir en una sola raíz:
√
√
4
6
1) 5 · 125
4.4.12
√
3
7
2) √
6
14
3)
√
√
√
4
3
8 + 18 + 2500
4)
√
√
√
6
3
3
16ab2 + 250ab2 + 4a2 b4
Racionalización de denominadores
Cuando tenemos fracciones con radicales en el denominador conviene obtener fracciones equivalentes
pero que no tengan radicales en el denominador. A este proceso es a lo que se llama racionalización de
denominadores.
Según la expresión que aparece en el denominador, el proceso es diferente. Se pueden dar varios casos:
Si el denominador contiene un solo término formado por una sola raíz cuadrada
En este caso basta multiplicar numerador y denominador por la misma raíz cuadrada.
√
√
3
2 3 2
3
√ = √ ·√ =
2
2
2
2
Si el denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales o en los dos hay una
raíz cuadrada.
En este caso se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador.
√
√
√
3
3( 2 + 1) 3( 2 + 1)
√
= √
=
= 3( 2 + 1)
2−1
2−1
2+1
Si el denominador sólo tiene un término con una raíz de índice cualquiera, n.
4.4 Las Fracciones
249
En este caso se multiplica numerador y denominador por otra raíz de índice n que complete una potencia
de exponente n
√
√
√
√
3 2
3 2
3 2
3
1
2
2
2
4
1
√
√
√
√
√
=
=
=
=
·
3 2
3 2
3 3
3
3
2
2
2
2
2 ·2
2
Actividad 98 Eliminar las raíces del denominador:
2
√
√
1
1
2
3
1. √
√
3.
(1
−
18)
·
2
+
√
√
5.
+
3
25
2
2−1 1+ 3
s
s
1
5
3
5
3
√
2.
√ +
√
4.
√
√
6.
·
5− 3
1− 2 1+ 2
2−1
1+ 2
4.4.13
Lenguaje Algebraico
El lenguaje que utiliza letras en combinación con números y signos de las operaciones para expresar la
información que nos ofrece el lenguaje ordinario se llama lenguaje algebraico. Uno de sus principales
impulsores fue François Viète (Matemático francés).
Completar esta tabla
La suma de 9 y x
El producto de dos números más cuatro
Un número mas la quinta parte de otro
La diferencia de dos números mas el doble del primero
El 20 por ciento de un número mas el 30 por ciento de otro número
El inverso de una cantidad mas el triple de otra
El cociente de dos números menos un tercio de otro número
La tercer parte de la suma de un número con el doble de otro
4.4.14
Expresiones algebraicas
Una Expresión algebraica es una combinación de números y letras relacionados mediante operaciones
aritméticas, tales como:
√
1. x2 + 2xy
2. x + yz2
3. xx+y
4. 1x − xy2 − 5
2 +1
En el contexto de las expresiones algebraicas debemos distinguir los siguientes elementos:
Figura 4.42
Figura 4.43
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
250
Variable: es un elemento de una fórmula, proposición o algoritmo que puede adquirir o ser
sustituido por un valor cualquiera, se denotan, usualmente, x, y, z. Un sinónimo es incógnita.
Constantes: son números o expresiones que representan números y acompañan a las variables,
para ellas se usan las primeras letras del alfabeto a, b, c.
Término: Es cada sumando, o cada parte, en una expresión algebraica, separada por + o −.
Coeficiente: es un factor multiplicativo que pertenece a una variable.
Términos semejantes: Son los términos que tienen el mismo factor literal (se diferencian sólo en
su coeficiente numérico).
Actividad 99 Hallar el coeficiente y los términos en:
2c
4
2. − a5 b8 + 4
5
7d
1. 9x2 y3 z4
Ejemplo 4.4.21 En las expresiones algebraicas siguientes:
3x2 ,
7x2 ,
4x2 y
,
x+y
1 2
2x ,
−4x2 son términos semejantes ya que todos contiene x2 .
3x2 y
x2 y
son términos semejante ya que todos contiene
.
x+y
x+y
3x2 y, xy2 no son términos semejantes, ya que x2 y 6= xy2 .
La reducción de términos semejantes es la base de las operaciones en álgebra. Su comprensión garantiza
el aprendizaje de temas posteriores.
Ejemplo 4.4.22 Reducir términos semejantes en 5x2 − xy + 2xy − x2
Al reducir términos semejantes, 5x2 − xy + 2xy − x2 = 4x2 + xy
4.5
Polinomios
Un polinomio en x de grado n es una expresión del tipo:
P(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn
donde n ∈ N y los ai son números reales (coeficientes).
El grado de un polinomio con respecto a una literal es el mayor exponente de sus términos.
Se dice que a es un cero de P(x) si P(a) = 0.
El valor numérico del polinomio P es el número que se obtiene al sustituir la x por un valor
numérico dado y efectuar luego las operaciones indicadas.
Un polinomio se dice que es mónico si el coeficiente del término de mayor grado es 1.
Ejemplo 4.5.1 Si P(x) = x2 + 3x − 4, entonces su grado es 2 y sus valores numéricos para x = 1 y
x = 2 son, respectivamente:
P(1) = 12 + 3 · 1 − 4 = 0,
P(2) = 22 + 3 · 2 − 4 = 6
Actividad 100 Determinar el grado de cada polinomio siguiente y halla su valor en x = −1:
1) 5 + 2x − 6x2 + 8x3
2) 2x3 − 8x + 2x4 − 1 + 10x2
4.5 Polinomios
4.5.1
251
Suma y Resta
La suma (resta) de dos polinomios P(x) y Q(x) es otro polinomio cuyos términos se obtienen sumando
(restando) sus términos semejantes.
Actividad 101 Realizar la operación indicada:
1) (5x2 − 3x + 7) + (4x2 + 2x)
4.5.2
2) (9x3 + 4x2 + 5x − 2) − (7x3 − 2x2 − 6x)
Multiplicación
Para multiplicar dos polinomios se multiplica término a término aplicando la propiedad
distributiva, de manera que se multiplican los
coeficientes y las indeterminadas entre sí, aplicando la regla de los signos en los números y
la propiedad de la potenciación en las letras:
producto de potencia de igual base.
Figura 4.44
Actividad 102 Realizar las operaciones indicadas:
1) Utilizando la figura 4.44, escribe el área de cada rectángulo y área total. Escribe el desarrollo
del área total.
2) Hallar, usando propiedad distributiva, (3x2 − 5x + 6) · (4x2 − 7x + 2) =
4.5.3
Cociente de dos polinomios
Para dividir un polinomio P(x) entre otro polinomio Q(x), es necesario que el grado de P(x) sea mayor
o igual que el grado de Q(x). Al efectuar la división de P(x) entre Q(x), se obtiene una expresión de la
forma:
R(x)
P(x)
= C(x) +
Q(x)
Q(x)
Se denomina a P(x) dividendo, a Q(x) divisor, C(x) cociente y R(x) residuo o resto. Si R(x) = 0 se
dice que la división es exacta.
A continuacion se presenta un procedimiento para dividir polinomios. Es más sencilla la explicación en
la pizarra que en una hoja.
Figura 4.45
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
252
Actividad 103 Realiza las siguientes divisiones:
1) 2x4 + 3x3 − 2x2 + 4x + 1 entre x2 − x + 1
4.5.4
2) x3 + 8 entre x + 2
Regla de Ruffini o división sintética
Para dividir un polinomio P(x) por un binomio de la forma x − a podemos usar la Regla de Ruffini,
también llamada división sintética, que explicaremos mediante un caso particular.
Ejemplo 4.5.2 Dividir 2x4 − x3 + 2x2 − 3x + 1 entre x − 1
El esquema es el siguiente:
2
1
2
-1
2
1
2
1
3
3
3
0
-1
0
1
Se anotan en la primera línea los coeficientes del polinomio a dividir. El a = 1, del divisor, va en la
primera columna, y el proceso consiste en multiplicar este 1 por el coeficiente del x4 (máxima potencia)
que es 2, luego, copiar el resultado de este producto en la tercera línea y bajo el mismo 2. Luego agregar
este 2 en la tercera columna segunda fila para sumarlo con el −1 y poner este resultado sumado en la
tercera línea. Se repite el proceso hasta terminar con el 1, que representa el resto. En consecuencia:
2x4 − x3 + 2x2 − 3x + 1 = (2x3 + x2 + 3x)(x − 1) + 1
Actividad 104 Realiza las siguientes divisiones:
1)
2)
4.5.5
(x5 + 12x2 − x3 + 8) ÷ (x + 2)
(x4 − 3x2 + 2) ÷ (x − 3)
3)
4)
(x5 − 32) ÷ (x − 2)
(4x3 + 4x2 + x + 75) ÷ (x + 3)
Productos notables
Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas
cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen
ciertas reglas fijas. Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorizacion
Cuadrado de un binomio
Actividad 105 La figura 4.46 muestra un cuadrado mayor dividido en cuatro partes: un cuadrado
grande mediano, un cuadrado pequeño y dos rectángulos iguales. Con base en esta información y la
que ofrece la figura, anotar lo que se indica.
1. La medida de un lado del cuadrado mayor.
2. El área de cada una de las partes:
a) Cuadrado mediano
b) Cuadrado pequeño
c) Rectángulo
3. El área total de la cuadrado mayor.
4. De las siguientes cuatro expresiones, hay dos que
corresponden al área del cuadrado mayor. Hallarlas.
1) x2 + y2
2) (xy)2
3) (x + y)2
Figura 4.46
4) x2 + 2xy + y2
4.5 Polinomios
253
Actividad 106 La figura 4.47 muestra un cuadrado mayor dividido en cuatro partes: un cuadrado
grande, un cuadrado pequeño y dos rectángulos.
Relacionar las dos columnas, anota en el paréntesis el número que corresponde:
(
(
(
Figura 4.47
(
) medida de un lado del
cuadrado mayor
) Área de un rectángulo
) Medida de un lado del
cuadrado pequeño
) Área del cuadrado mayor
1) a
2) a2 + 4ab + 4b2
3) 2b
4) 2ab
Actividad 107 Los siguientes trinomios son cuadrados perfectos, hallar en cada caso el binomio al
cuadrado que corresponde.
1. n2 + 2np + p2
2. 4a2 + 8ab + 4b2
3. 9x2 + 6xy + y2
Cuadrado de una diferencia
Actividad 108 Escribe el valor de (a − b)2 usando la figura 4.48 que muestra un rectángulo mayor
dividido en cuatro partes.
Figura 4.49
Figura 4.48
Mira la alternativa si consideramos un lado con signo negativo. Esto es posible pues estamos interpretando a − b = a + (−b)
Actividad 109 Observa la figura 4.49. Completa el área de cada rectángulo que divide la figura mayor.
Escribe el valor del producto de factores y su desarrollo.
“El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más (o menos) el doble del
producto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término”
La estructura que representa esta fórmula es:
Figura 4.50
Producto de dos binomios
Actividad 110
1) Usa la figura 4.51a para hallar (a + b)(a + c).
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
254
2) Usa la figura 4.51b para hallar (x − 2)(x − 3).
3) Usa la figura 4.51c, en la cual se considera el lado del rectángulo con signo negativo, para
descubrir cuál es el producto de factores presente y escribe su desarrollo.
Figura 4.51
Suma por diferencia
Actividad 111 En la figura 4.51d anota el área de cada rectángulo y descubre cuál es el producto de
factores presente y escribe su desarrollo.
Actividad 112 Escribe en suma por diferencia las siguientes expresiones:
1. 3a2 − 3b2
2. 36x2 − 25y2
3. a4 − b4 c4
4. a10 − x5
En resúmen:
“El producto de una suma de dos términos por su diferencia es igual al cuadrado del primer
término menos el cuadrado del segundo”
La estructura que representa esta fórmula es:
Figura 4.52
Trinomio al cuadrado
Actividad 113 Utiliza la figura 4.53 para calcular (a + b + c)2
Figura 4.53
Figura 4.54
El cubo de una suma
Para hallar el volumen de un cubo (figura 4.54) aplicamos la fórmula:
4.5 Polinomios
255
Volumen = Largo × Ancho × Alto
Si cada lado mide x + 5, entonces
V = (x + 5)3 = (x + 5)2 · (x + 5)
Como ya se sabe calcular el cuadrado de una suma, por ley de distributividad:
(x + 5)3 = (x + 5)2 · x + (x + 5)2 · 5
Al hacer los cálculos y reunir términos semejantes:
(x + 5)3 = x3 + 3x2 · 5 + 3 · x · 52 + 53
El resultado de este producto notable es un polinomio:
“El cubo del primer término, más el triple del producto del primer término al cuadrado, por el
segundo término, más el triple del producto del primer término por el cuadrado del segundo, más
el cubo del segundo término”
Actividad 114 Hallar el desarrollo de (2x + 1)3
Cubo de la diferencia
En este caso sólo se debe tener en cuenta el signo de los términos, partiendo de un signo más, los
restantes se van alternando.
Ejemplo 4.5.3 El desarrollo de (y − 2)3 = y3 − 3 · 2 · (y)2 + 3 · y · (2)2 − 23 , que se reescribe como
(y − 2)3 = y3 − 6y2 + 12y − 8
4.5.6
Factorización
Factorizar un polinomio dado es expresarlo como un producto de dos o más polinomios.
Caso I: Factor común
Una expresión es factor común de todos los términos de un polinomio cuando aparece multiplicando
en cada uno de los términos.
Actividad 115 La figura 4.55 muestra un rectángulo mayor dividido en dos.
1.
2.
3.
4.
5.
Figura 4.55
En el interior de cada rectángulo, anota su área.
Anota la suma de las áreas de los dos rectángulos.
Anota el área del rectángulo mayor.
Anota la igualdad que encontraste.
El rectángulo mayor y los de la división ¿tienen algo
en común?
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
256
Como el área de un rectángulo es el producto de sus lados, y cada uno de ellos se llama factor, lo que
acabas de hacer es descubrir que existe un “factor común” (el lado a).
Formalizamos las ideas anteriores:
Definición 4.5.4 Factorizar una expresión algebraica, significa sustituirla por otra equivalente, consti-
tuida por dos ó más expresiones (factores), que al ser multiplicadas originan la primera.
Si bien los modelos de área son una manera útil de visualizar un problema de multiplicación, en la
práctica debemos usar la propiedad distributiva.
Actividad 116 Sacar factor común en las siguientes expresiones:
1. x2 + 3x
2. 5x2 − 10x
3. 4x2 6x4
4. 3x6 + 9x2 − 6x3
Caso II: Factor común por grupos
Una expresión algebraica puede no tener un único factor común en todos los términos sino factores
comunes distintos en cada grupo de términos. Si luego de asociar convenientemente se puede extraer
un único factor común se habrá factorizado.
Actividad 117 Factorizar 2ax + 2bx − ay + 5a − by + 5b.
2ax + 2bx − ay + 5a − by + 5b = (2ax − ay + 5a) + (2bx − by + 5b) = a(2x − y + 5) + b(2x − y + 5)
= (2x − y + 5)(a + b)
Actividad 118 Factorizar los siguientes polinomios:
1. 12mx − 10x − 42m + 35
2. a2 y + ab2 − axy − b2 x
3. x3 + 2x − 3x2 − 60
Caso III: Trinomio cuadrado perfecto
Entre los los productos notables vimos que:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
Las expresiones a la derecha de las igualdades, conocidas como trinomios cuadrados perfectos, sólo
difieren en un signo. Así, un trinomio cuadrado perfecto es un trinomio que tiene las siguientes
características:
1. posee tres términos
2. dos de ellos son cuadrados.
3. el término restante es dos veces el producto entre a y b con signo + o −.
Ejemplo 4.5.5 Factorizar 9x2 + 12x + 4
Se observa que la expresión dada cumple ser un trinomio, tiene dos términos cuadrados (3x)2 y (2)2 ,
además, el doble producto entre 3x y 2 es 12x. Por tanto, ¡es un trinomio cuadrado perfecto!
(3x + 2)2 = 9x2 + 12x + 4
Actividad 119 Factorizar:
1) z2 − zy + y2
2) 9x2 − 48x + 64
3) 4a2 + 12ab + 9b2
4) c8 − 45c4 + 100
4.5 Polinomios

257
¿Qué pasó con la última expresión? ¿No es trinomio cuadrado perfecto?
Caso IV: Trinomio no perfecto
La expresión a4 + 2a2 + 9 no es un trinomio cuadrado perfecto porque
a4 = (a2 )2 ,
9 = 32
y
2(a2 )(3) = 6a2 6= 2a2
Una manera de obtener un trinomio cuadrado perfecto es “transformando” el segundo término 2a2 en
6a2 . Ello se logra si sumamos 4a2 , pero como esto altera el problema debemos restar la misma cantidad
4a2 que se sumó. Dicho de otra manera, sumamos cero a la expresión, pero un cero adecuado a la
circunstancia. Se tiene:
a4 + 2a2 + 9 = a4 + 2a2 + 4a2 + 9 − 4a2 = (a4 + 6a2 + 9) − 4a2
Se sigue que esto equivale a
(a2 + 3)2 − 4a2
Hemos logrado una diferencia de cuadrados, que como sabemos, es una “suma por diferencia”.
(a2 + 3)2 − 4a2 = [(a2 + 3) + 2a] · [(a2 + 3) − 2a]
Actividad 120 Los siguientes trinomios no son perfectos. Usa el procedimiento anterior para hallar
una factorización en cada expresión dada:
1) 4x4 + 3x2 y2 + 9y4
2) c8 − 45c4 + 100
3) 4 − 108x2 + 121x4
4) x8 + 4x4 y4 + 16y8
Caso V: Suma de dos cuadrados
Existen algunas sumas de dos cuadrados que sumándoles y restándoles una misma cantidad, pueden
llevarse al caso anterior y factorizarse. El resultado es el siguiente.
√
Teorema 4.5.6 Sea a2 + b2 una suma de cuadrados, tal que a, b ∈ Q, y sea c = 2ab. Si c es una
expresión racional, entonces a2 + b2 se puede factorizar como
a2 + b2 = (a + b+c)(a + b−c)
Demostración
a2 + b2 = a2 + 2ab − 2ab + b2 =⇒ a2 + b2 = a2 + ab + ab + b2 − c2
=⇒ a2 + b2 = (a2 + ab) + (ab + b2 ) − c2
=⇒ a2 + b2 = a(a + b) + b(a + b) − c2
=⇒ a2 + b2 = (a + b)(a + b) − c2
=⇒ a2 + b2 = (a + b)2 − c2
esto último es una suma por diferencia, así que
a2 + b2 = (a + b)(a + b) − c2 =⇒ a2 + b2 = (a + b + c)(a + b − c)
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
258
Ejemplo 4.5.7 Factorizar 4x4 + 81
Escribimos,
4x4 + 81 = (2x2 )2 + 92 . Con ello, a = 2x2 y b = 9. Con esto, 2ab = 36x2 , de donde
√
2ab = 6x = c. Podemos hacer uso del teorema para factorizar. Se tiene
4x4 + 81 = (a + b + c)(a + b − c) = (2x2 + 9 + 6x)(2x2 + 9 − 6x)
Que es más elegante escribir como
4x4 + 81 = (2x2 + 6x + 9)(2x2 − 6x + 9)
Ejemplo 4.5.8 Factorizar 4x8 + y8
Como 4x8 + y8 = (2x4 )2 + (y4 )2 , entonces para completar un trinomio cuadrado perfecto se suma
2(2x4 )(y4 ) = 4x4 y4 , y para que el polinomio dado no varíe restamos ese mismo término. Haciendo esto
estamos en el caso anterior y procedemos de igual forma:
4x8 + y8 = 4x8 + y8 + 4x4 y4 − 4x4 y4 = (4x8 + 4x4 y4 + y8 ) − 4x4 y4
= (2x4 + y4 )2 − (2x2 y2 )2 = [(2x4 + y4 ) + 2x2 y2 ] · [(2x4 + y4 ) − 2x2 y2 ]
= (2x4 + 2x2 y2 + y4 )(2x4 − 2x2 y2 + y4 )
El teorema anterior se puede generalizar a números a y b reales, como sigue
Teorema 4.5.9 Sea a2 + b2 suma de cuadrados con a, b ∈ R. Si ab ≥ 0, entonces la suma de estos
cuadrados se puede factorizar como:
√
√
a2 + b2 = (a + 2ab + b)(a − 2ab + b)
Ejemplo 4.5.10 Factorizar x4 + y4
Escribimos x4 + y4 = (x2 )2 + (y2 )2 , de lo cual, a = x2 y b = y2 . Además, el producto x2 y2 ≥ 0. Luego,
√
√
x4 + y4 = (x2 + xy 2 + y2 )(x2 − xy 2 + y2 )
Actividad 121 Factorizar las siguientes sumas de cuadrados:
1) 64 + a12
2) 1 + 4a4
3) x2 + 4
4) 81x4 + 1
Caso VI: Trinomios de la forma x2 + bx + c
Un trinomio como este, si no es un binomio cuadrado perfecto, se puede factorizar como el producto
de dos binomios que tienen un término común.
x2 + bx + c = (x + α)(x + β )
Debemos determinar los números α y β tales que
(x + α)(x + β ) = x2 + (α + β )x + α · β
Al comparando las expresiones, los números buscados deben cumplir las condiciones:
α + β = b,
y
α ·β = c
Ejemplo 4.5.11 Factorizar la expresión x2 + 8x + 15
De acuerdo a lo señalado, debemos determinar dos números cuyo producto sea 15 y cuya suma sea 8.
Es claro que 5 y 3 cumplen las condiciones, por tanto
x2 + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5)
4.5 Polinomios
259
Actividad 122 Factorizar:
1) x2 + 10x + 21
2) c2 − 9c + 20
3) y2 − 4y + 3
4) 28 + a2 − 11a
Caso VII: Trinomios de la forma ax2 + bx + c
Para factorizar un trinomio de la forma ax2 + bx + c, se efectúa el siguiente procedimiento:
1. Se multiplican todos los términos por el coeficiente a.
2. Se expresa el primer término en forma de cuadrado y para el segundo término se intercambia el
coeficiente a por b.
3. Se factoriza aplicando el caso anterior.
4. Se divide el resultado entre a de forma tal que no quede ningún cociente.
Ejemplo 4.5.12 Factorizar el trinomio 6x2 + 7x + 2
Multiplicando los términos del trinomio por 6 se tiene lo siguiente:
6(6x2 ) + 6(7)x + 6(2)
expresando el primer término en forma de cuadrado y en el segundo término intercambiando el
coeficiente 6 por el 7:
(6x)2 + 7(6x) + 12
Aplicando el caso anterior de factorización se buscan dos números que sumados sean 7 y multiplicados
sean 12 se tiene:
(6x + 4)(6x + 3)
se divide por 6 (por 2 el primer factor y por 3 el segundo).
(3x + 2)(2x + 1)
por lo tanto:
6x2 + 7x + 2 = (3x + 2)(2x + 1)
Actividad 123 Factorizar los siguientes trinomios:
1) 2x2 + 3x − 2
4.5.7
2) 5x4 − 13x2 6
3) 4z6 − 15z3 + 9
La Ecuación Cuadrática General
La ecuación cuadrática general o ecuación de segundo grado, es una ecuación que tiene la forma
ax2 + bx + c = 0
Hay varias maneras de resolver esta ecuación.
Una de ellas consiste en factorizar el trinomio de acuerdo con las técnicas estudiadas y luego usar el
hecho de que
a · b = 0 =⇒ a = 0 o b = 0
La manera más común de resolver esta ecuación es usando la llamada fórmula cuadrática,
√
−b ± b2 − 4ac
x=
2a
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
260
siendo a, b y c los coeficientes de la ecuación ax2 + bx + c = 0
El número D = b2 − 4ac se denomina discriminante de la ecuación y dependiendo de como sea este
valor se pueden presentar 3 casos:
1) Si b2 − 4ac > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales (raíces reales simples)
2) Si b2 − 4ac = 0, la ecuación tiene una solución real (raíz real doble)
3) Si b2 − 4ac < 0, la ecuación no tiene solución real (raíces complejas)
Ejemplo 4.5.13 Resolver 2x2 + x = 15
Dado que la ecuación no se encuentra en la forma ax2 + bx + c = 0, debemos hacerlo para determinar
en forma correcta los coeficientes. Se tiene
2x2 + x − 15 = 0
Ahora, a = 2, b = 1 y c = −15. Con ello
p
√
−1 ± 4 − 4 · 2 · (−15) −1 ± 111 −1 ± 11
x=
=
=
2·2
4
4
de lo cual
5
x=
o bien x = −3
2
Actividad 124 Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas:
√
1) 3x2 − 30x + 75 = 0
2) 3 + x − 1 = x
4.5.8
Completación de cuadrados
Lo primero que debemos tener presente es la expresión del cuadrado de un binomio
(x + a)2 = x2 + 2ax + a2
Al observar esta expresión nos damos cuenta que, para obtener un trinomio cuadrado perfecto, necesitamos dos términos que sean cuadrados perfectos x2 y a2 , y un término que sea el doble del producto
de las raíces cuadradas de los otros dos términos.
Ejemplo 4.5.14 Completemos el cuadrado para la expresión x2 + 4x.
La geometría nos puede ayudar. Si pensamos esta expresión como la suma de tres áreas, el primer
término representa el área de un cuadrado de lado x, el segundo representa las áreas de dos rectángulos
con una longitud de 2 y un ancho x. Como muestra la figura 4.56a.
Figura 4.56
4.5 Polinomios
261
No olvidar que estamos tratando de completar un cuadrado, de modo que combinamos estas formas
como indica la figura 4.56b. Es claro, que para poder completar el cuadrado, necesitamos un cuadrado
de lado 2 (figura 4.56c).
Seguimos ahora el proceso algebraico.
x2 + 4x = (x2 + 4x + 22 ) − 4 = (x + 2)2 − 4
Se restó 4 para mantener la igualdad. Este proceso se llama “completación de cuadrados”.
Ejemplo 4.5.15 Si el área de un cuadrado más 8 veces el lado es igual a 48, ¿cuánto mide el lado del
cuadrado?
Lo primero es hacer el planteamiento matemático del problema. Si x es el lado del cuadrado, entonces
la ecuación a resolver es:
x2 + 8x = 48
Trataremos de formar una expresión de la forma (x + a)2 en el primer miembro de la ecuación, sin
alterar la ecuación misma. Dado que
(x + a)2 = x2 + 2ax + a2
entonces se debe tener que
(x + a)2 = x2 + 2ax + a2 = x2 + 8x
Se observa que x2 se corresponde y no necesita ningún cambio. El término 2ax debe ser igual a 8x, de
lo cual queda claro que a = 4. Si reemplazamos, queda
(x + 4)2 = x2 + 8x + 16
Estamos excedidos en 16 unidades respecto de la cantidad original. Pero esto tiene solución si usamos
el neutro de la adición, sumando y restando una misma cantidad. Así:
x2 + 8x = 48 ⇐⇒ x2 + 8x + 16 − 16 = 48
de lo cual
(x + 4)2 − 16 = 48
Esto que hemos hecho en el primer miembro de la ecuación se denomina completación de cuadrado. A
partir de esta última ecuación se sigue que
(x + 4)2 = 48 + 16 = 64 =⇒ x + 4 = ±8
Esto conduce a la dos soluciones de la cuadrática
x+4 = 8
x + 4 = −8
De donde, finalmente, x1 = 4 y x2 = −12 son las soluciones. Por tratarse de un problema geométrico
se descarta el valor negativo para el lado del cuadrado y la solución es sólo x = 4.
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
262
Actividad 125 Completa cuadrado en las siguientes ecuaciones:
1)
x2 + 12x = 13
2)
x2 − 9x = 16
3)
−x2 + 4x = 29
1)
x2 + 7x = 12
Caso VII: Suma o diferencia de cubos perfectos
Dos productos, que pueden considerarse como productos notables, son:
a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2 )
a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2 )
proporcionan factorizaciones para una suma o una diferencia de cubos. El proceso se describe en las
siguientes tablas; con la factorización del polinomio 125x3 − 27y6
Figura 4.57
Se halla que
125x3 − 27y6 = (5x − 3y2 )(25x2 + 15xy2 + 9y4 )
Actividad 126 Factorizar cada polinomio dado.
1) 8x3 + 125
4.5.9
2) 27a3 − 8b6
3) 8x3 + 27
4) x3 y6 − 64
Teorema del resto y del factor
Al evaluar el polinomio P(x) = 4x2 − 5x + 1 en x = 2 se tiene:
P(2) = 4 · 22 − 5 · 2 + 1 = 7
Veamos como esto entra en conexión con la siguiente división:
4x2 − 5x + 1
= (x − 2)(4x + 3) + 7
x−2
Al no ser exacta la división, existe un resto. Este hecho se conoce como Teorema del residuo. Su
enunciado es:
Teorema 4.5.16 (del resto) El residuo o resto de dividir un polinomio entre x − a se obtiene reempla-
zando en el polinomio la variable x por a.
4.5 Polinomios
263
Nótese que aplicando este teorema podemos hallar el residuo sin efectuar la división
Teorema 4.5.17 (del factor) Si al sustituir x por a en un polinomio en x, se obtiene 0, entonces x − a
es un factor del polinomio.
Actividad 127 Hallar el resto que se obtiene al dividir:
1. 2x3 − 6x2 + x − 5 entre x − 2
2. x3 + 2x2 − x − 2 entre x + 1
Actividad 128 Para el polinomio x4 + x3 − 5x2 + x − 6, determinar cuáles de los binomios siguientes
son factores: a) x − 2,
b) x + 1,
d) x + 3
Uno de los usos del teorema del factor es factorizar polinomios.
Ahora, para emplear dicho teorema necesitamos números tales que al sustituir la variable por ellos, se
obtenga 0. En relación con esto se tiene el siguiente resultado:
Proposición 4.5.18 En un polinomio con coeficientes enteros y con 1 como coeficiente del término de
mayor grado, solamente los factores del término independiente pueden ser los números que al sustituir
la variable por ellos, se obtenga 0.
Se llama término independiente en un polinomio en una variable, al término que no tiene la variable.
Así, en el polinomio x3 + 2x2 − x − 2, el término independiente es −2.
Ejemplo 4.5.19 Factorizar z4 − 2z3 − z2 − 4z − 6
El término independiente es −6, sus divisores son: ±1, ±2, ±3, ±6. Por acierto y error se encuentra
que z = −1 es tal que:
(−1)4 − 2 · (−1)3 − (−1)2 − 4 · (−1) − 6 = 1 + 2 − 1 + 4 − 6 = 0
Luego se procede a dividir el polinomio dado por el factor z − (−1) = z + 1. Se tiene:
z4 − 2z3 − z2 − 4z − 6 : z + 1 = z3 − 3z2 + 2z − 6
Nos ha quedado un polinomio de grado 3. Repetimos el proceso para ver si podemos seguir factorizando.
Para ello, de entre los divisores de −6, que son ±1, ±2, ±3, ±6 buscamos uno que nos de resto cero
en el polinomio cúbico. Se halla que z = 3 es factor. Se divide:
z3 − 3z2 + 2z − 6 : z − 3 = z2 + 2
Como z2 + 2 nunca se anula, se obtiene así la siguiente factorización en los enteros del polinomio dado:
z4 − 2z3 − z2 − 4z − 6 = (z2 + 2)(z + 1)(z − 3)
Actividad 129 Factorizar usando teorema del factor:
1)
x5 + 2x4 − 3x3 + x2 − 1
2)
2x3 − x2 − 8x + 4
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
264
4.6
Fracciones algebraicas
Una fracción algebraica en general es un cociente de polinomios, por ejemplo
a−b
,
a+b
(5x + 3)2
(x − 1)3
son ejemplos de fracciones algebraicas. Resulta muy útil en la manipulación algebraica la simplificación
de una fracción algebraica.
En el caso en que tanto el numerador como el denominador son polinomios y si ambos poseen un
mismo factor, entonces se puede cancelar dicho factor y la expresión simplificada es igual a la anterior
(equivalente), excepto para aquellos valores en los que el factor que se canceló toma el valor de cero.
a5 − a4 c − ab4 + b4 c
Ejemplo 4.6.1 Simplificar la expresión 4
a − a3 c − a2 b2 + ab2 c
Estos problemas no se ven a la primera, hay que hacer ensayo y error. Mira la factorización.
a5 − a4 c − ab4 + b4 c
a4 (a − c) − b4 (a − c)
(a − c)(a4 − b4 )
=
=
a4 − a3 c − a2 b2 + ab2 c a3 (a − c) − ab2 (a − c) (a − c)(a3 − ab2 )
(a
2 2
(a
−
c)
1
−b )
=
=
2
2
(a
− c)a
(a− b ) a
Actividad 130 Simplificar las expresiones
1)
4.6.1
a2 − 1
a3 − 1
2)
x3 + x2 − 6x
x3 − 3x2 + 2x
Suma de fracciones algebraicas
a c
Si y son números racionales con el mismo denominador distinto de cero, la suma es:
b b
a c a+c
+ =
b b
b
Si en lugar de números racionales tenemos expresiones algebraicas, procedemos de la misma manera.
Si los denominadores son distintos habrá que buscar el común denominador.
x
1 − x2
Ejemplo 4.6.2 Hallar 2
+
x + x x2 − 1
x
1 − x2
1 − x2
1
1 − x2
x
+
=
+
=
+
x2 + x x2 − 1 x(x + 1) x2 − 1 x + 1 (x − 1)(x + 1)
Se supuso x 6= 0 para poder simplificar. Ahora
1 − x2
x − 1 + (1 − x2 )
x − x2
1
+
=
=
x + 1 (x − 1)(x + 1)
(x − 1)(x + 1)
(x − 1)(x + 1)
Se factoriza el numerador
1
1 − x2
−x
(x
−
1)
x
+
=
=−
x + 1 (x − 1)(x + 1) (x − 1)(x + 1)
x+1
4.6 Fracciones algebraicas
265
Actividad 131 Sumar las expresiones
1)
4.6.2
z
z2 − 9
−
5
2)
z2 + 6z + 9
a2 − 7a + 4
1
+
2
a + 10a + 25 a + 5
Producto de fracciones
El producto de dos o más fracciones es el producto de los numeradores dividido entre el producto de
los denominadores, es decir,
a c
ac
· =
b d bd
Para fracciones algebraicas valen las mismas leyes que para las fracciones numéricas.
Actividad 132 Hallar los productos siguientes, simplificando el resultado:
4.6.3
1)
x2 − 3x + 2 2x2 + 5x − 3 3x2 + 6x
·
·
2x2 + 3x − 2
x2 − 1
2x − 4
3)
(a − 2b)(a + b) (a − b)(a + 5b)
(a + 3b)
·
·
(a − b)(a + 3b)
(a − 2b)
(a + b)(a − 3b)
2)
a + 2b a − 2b a + b
·
·
a2 − b2 b − a 4b2 − a2
División de fracciones
Para dividir dos fracciones multiplicamos el dividendo por el divisor invertido. Esto es,
a c ad
÷ =
b d
bc
Para fracciones algebraicas valen las mismas leyes que para las fracciones numéricas.
3x3 − 3x x + 1
÷
x−1
3
Al ser una división entre dos fracciones hacemos una multiplicación invirtiendo el divisor
Ejemplo 4.6.3 Hallar
3x3 − 3x x + 1 3x3 − 3x
3
(3x3 − 3x) · 3
÷
=
·
=
x−1
3
x − 1 x + 1 (x − 1)(x + 1)
Hemos utilizado la regla para multiplicar fracciones; “numerador por numerador” dividido por “denominador por denominador”
2−
1)
(3x3 − 3x) · 3
9x
(x
=
( = 9x
(
((
(x − 1)(x + 1) (
(x(
−(
1)(x
+ 1)
Actividad 133 Realizar la división indicada y simplificar.
1)
x2 − 3x + 2
x2 − x − 2
÷
2x2 − 7x + 3 2x2 + 3x − 2
2)
x3 + 125 x3 − 5x2 + 25x
÷ 2
x2 − 64
x + x − 56
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
266
4.6.4
Ecuaciones
Una ecuación es una proposición matemática
de igualdad. Las ecuaciones deben contener un
signo de igualdad y una expresión matemática
a cada lado del signo.
Los números que hacen que una ecuación sea
una proposición verdadera se llaman soluciones o raíces de la ecuación. El conjunto de
todas las soluciones de una ecuación se conoce como conjunto solución.
Figura 4.58
Todos aquellos valores que al ser sustituidos en una expresión algebraica dan como resultado un
número real recibe el nombre de dominio de la variable.
Las variables, en una ecuación, se denominan incógnitas.
Resolver una ecuación significa determinar su conjunto solución.
Actividad 134 Determina si las siguientes expresiones algebraicas son ecuaciones. Si lo son determina
el conjunto solución.
1) (x + 7)(x + 5) = 0
2)
2
=x
x+1
3) x2 − 2x + 1
Actividad 135
En la expresión 3x2 bc ¿qué valores reales se puede asignar a la variable x?
x2 + 4
En la expresión
¿existe algún valor real de x no permitido para evaluar?
x−2
√
En la expresión x − 5 ¿qué valores están permitidos para x?
4.6.5
Ecuaciones lineales con una incógnita
Esta clase de ecuaciones ya fueron vistas, pero las recordamos.
Definición 4.6.4 Sean a, b y c constantes reales con a 6= 0. Se llama ecuación lineal o de primer grado
con una incógnita a toda ecuación de la forma ax + b = c.
Ejemplo 4.6.5 Resolver la ecuación 7x − 15 = −2[6(x − 3) − 4(2 − x)]
Como siempre, lo primero son los paréntesis interiores
7x − 15 = −2[6x − 18 − (8 − 4x)] = −2[6x − 18 − 8 + 4x] = −2[10x − 26]
De lo cual se sigue que
7x − 15 = −20x + 52 =⇒ 27x = 67 =⇒ x =
67
27
Actividad 136 Resolver los siguientes problemas:
1. ¿Qué número es aquel que si se duplica, y luego se le resta 12, da por resultado el número
aumentado en 3?
2. Juan tiene un año más que el doble de la edad de Jorge y sus edades suman 97. ¿Qué edad tienen
ambos?
4.6 Fracciones algebraicas
267
3. El perímetro de un jardín rectangular es de 58m. Si el lado mayor mide 11m. más que el lado
menor. ¿Cuánto miden los lados del jardín?
4. El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más que el segundo y éste 3
más que el menor. Si entre los tres suman la edad del padre que tiene 40 años ¿qué edad tiene
cada hermano?
5. Hallar un número tal que su mitad más su cuarta parte más 1, sea igual al número pedido.
4.6.6
Ecuación de orden dos
Esta clase de ecuaciones fue tratada en los métodos de factorización estudiados anteriormente. Ahora
veremos diferentes tipos de ecuaciones que se pueden presentar.
Figura 4.59
Definición 4.6.6 Sean a, b y c constantes reales con a 6= 0. Se llama ecuación cuadrática o ecuación
de segundo grado con una incógnita a toda ecuación que se puede llevar a la forma:
ax2 + bx + c = 0
Actividad 137 Resolver, usando la fórmula de la cuadrática, las siguientes ecuaciones cuadráticas:
1) 3x2 − x + 1 = 0
2) x2 + 2x − 3 = 5x − 3x
3) 4x2 + 2x = −2x − 1
Actividad 138 Resolver los siguientes problemas:
1) La suma de dos números es 29 y su producto 204, ¿cuáles son los números?
2) Hallar tres números impares consecutivos positivos, tales que si al cuadrado del mayor se le
restan los cuadrados de los otros dos se obtiene como resultado 7.
3) La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la edad del padre será el
doble de la del hijo. ¿Cuántos años tiene ahora cada uno?
4.6.7
Ecuaciones bicuadráticas
Se llaman bicuadráticas a las ecuaciones de la forma:
ax4 + bx2 + c = 0, a 6= 0
Son polinomios de grado 4 igualados a cero, pero no cualquiera, por que los coeficientes que acompañan
a x3 y a x siempre valen cero. Este tipo de ecuaciones se puede resolver utilizando la fórmula de la
cuadrática haciendo un cambio de variable para poder llevar la ecuación a una de segundo grado. Si
z = x2 , entonces
az2 + bz + c = 0
Y esta ecuación ya se sabe resolver.
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
268
Ejemplo 4.6.7 Resolver x4 − 13x2 + 36 = 0
Si hacemos z = x2 , entonces
x4 − 13x2 + 36 = z2 − 13z + 36 = 0
Utilizando la fórmula de resolución de esta cuadrática, tenemos
√
√
13 ± 25
13 ± 169 − 144
=⇒ z =
z=
2
2
Al resolver; z = 4 y z = 9. Ahora, se debe volver a la variable x. Se tiene
z = 4 =⇒ x2 = 4 =⇒ x = ±2
Análogamente
z = 9 =⇒ x2 = 9 =⇒ x = ±3
Actividad 139 Resolver las siguientes ecuaciones:
1) x4 − 29x2 + 100 = 0
4.6.8
2) x4 − 4x2 − 12 = 0
3) x4 − 5x2 + 4 = 0
Ecuaciones de grado mayor o igual que tres
En este caso, la idea es tratar de descomponer la ecuación dada en factores de primer y segundo
grado, igualar a cero cada uno de los factores y resolver. Para llevar a cabo lo anterior se hace uso
de los conceptos de factorización ya estudiados, además de los procedimientos usados para resolver
ecuaciones cuadráticas.
Ejemplo 4.6.8 Resolver la ecuación 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = 0
Por lo aprendido en resolución de polinomios, buscamos los divisores de 6 (±1, ±2, ±3, ±6) y los
divisores de 2 (±1, ±2), ello con el fin de ver si existen raíces racionales. Los candidatos son los
números que quedan después de dividir los divisores de 6 en los divisores de 2.
1 3
Candidatos = ±1, ±2, ±3, ±6, ± , ±
2 2
Hallándo dos raíces estamos listos, pues con eso armamos una cuadrática, y como la ecuación es de
grado 4, la otra cuadrática la hallamos por división. Tenemos:
Si x = 1, entonces la ecuación se hace cero: 2 · 14 + 13 − 8 · 12 − 1 + 6 = 0
Si x = −1, entonces la ecuación se hace cero: 2 · (−1)4 + (−1)3 − 8 · (−1)2 − (−1) + 6 = 0
De esta forma (x − 1) y (x + 1) son factores de la ecuación de grado 4. Dividimos la ecuación por
(x − 1)(x + 1) = x2 − 1, sabiendo, de antemano, que el resto es cero.
2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 ÷ (x2 − 1) = 2x2 + x − 6
La cuadrática 2x2 + x − 6 se resuelve por la fórmula.
√
−1 ± 1 + 24 −1 ± 5
2x + x − 6 = 0 =⇒ x =
=
4
4
2
Al resolver se hallan; x = 1 y x = − 23 . En consecuencia hay cuatro raíces reales
x = −1, x = 1(multiplicidad 2), x = −
3
2
4.6 Fracciones algebraicas
269
Actividad 140 Resolver las siguientes ecuaciones:
[1] x3 − 5x = 0
4.6.9
[2] x3 + 2x2 − 9x − 18 = 0
[3] x3 − 2x2 + x = 0
[4] x4 + 5x2 = 0
Ecuaciones racionales
Las ecuaciones racionales son aquellas que involucran divisiones de polinomios, es decir que son de la
forma:
P(x)
=0
Q(x)
donde P(x) y Q(x) 6= 0 son dos polinomios cualesquiera. En este tipo de ecuaciones, las soluciones
serán aquellas que anulen a P(x) y no anulen a Q(x).
Actividad 141 Resolver las siguientes ecuaciones:
1)
x2 − 1
=0
x+1
3)
5
10x − 2
7
+
= 2
x+2 x−2
x −4
2)
(x2 + 3x)(x2 + 2x) 8x + 24
=
x2 − 4
2x − 4
4)
x−2
19x −4x2 + 3x − 9
=
+
x2 − 3x
x2
x2 − 3x
En la resolución de ecuaciones es necesario tener presente las dos reglas siguientes:
Regla 1
Si en el proceso de la resolución de una ecuación se obtiene una igualdad verdadera, entonces el conjunto solución de la ecuación original es el dominio de la incógnita.
Regla 2
Si en el proceso de la resolución de una ecuación se obtiene una igualdad falsa, entonces el
conjunto solución de la ecuación original es el
conjunto vacío.
Actividad 142 Resolver las siguientes ecuaciones:
1)
4.6.10
x−1
x − x+1
x + x−1
x+1
−
−1 = 0
x−1
x+1
Figura 4.60
2)
2x2 − 7x + 16
2
x
−
−
=0
(x − 2)(x + 3) x − 2 x + 3
Ecuación Radical
Definición 4.6.9 Se llama ecuación radical a aquella ecuación que involucra al menos, un radical cuyo
subradical es una expresión algebraica no constante.
Las ecuaciones radicales que veremos tienen sólo una incógnita.
√
Ejemplo 4.6.10 Resolver la ecuación 2 − 2x + 3 = 2x − 1
Cuando aparece sólo una raíz, hay que aislarla
3 − 2x =
Se eleva al cuadrado para eliminarla.
√
2x + 3
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
270
√
(3 − 2x)2 = ( 2x + 3)2 =⇒ 9 − 12x + 4x2 = 2x + 3
Sumando términos semejantes
9 − 12x + 4x2 = 2x + 3 =⇒ 4x2 − 14x + 6 = 0
La cuadrática, por la fórmula, tiene soluciones x = 3, x = 21 . Pero, se debe tener en cuenta, que cada vez
que se eleva a exponente cuadrado, hay que chequear las soluciones. En este caso x = 3 No es solución.
por tanto, la única solución de la ecuación es x = 12 .
Actividad 143 Resolver las siguientes ecuaciones:
1)
4.7
p
8 − x2 = x
2)
√
3
12x + 8 = x + 2
3)
p
4
x4 − 2x − 1 = x
4)
√
x + 2 + 2x − 1 = 4x
Logaritmación
Hemos tenido oportunidad de efectuar las operaciones clásicas del álgebra de los números reales, tales
como la adición, la multiplicación, la división, la sustracción, la potenciación y la radicación. En lo que
se refiere a la potenciación hemos dicho que
Dado cualquier número real positivo a y cualquier número real x es posible determinar un único
número real y tal que y = ax .
Ahora bien, el proceso inverso, esto es, el que permite obtener el valor de x conociendo el valor de
y = ax , con a > 0, se le llama logaritmación en base a.
Definición 4.7.1 Sea a > 0, a 6= 1. Si u ∈ R+ , entonces el único exponente v tal que av = u, se
denomina el logaritmo de u en base a. Se denota por loga u
Figura 4.61
La figura 4.61a muestra la conexión entre la exponencial y el logaritmo y sus elementos. La figura
4.61b ilustra el proceso para ir al mundo exponencial desde el logaritmo, se eleva la base del logaritmo
al logaritmo, y esto debe ser igual al argumento.
Ejemplo 4.7.2 La primera situación ilustra el proceso de transformar un logaritmo en exponencial.
Completa las actividades que siguen.
1. log3 64 = 4, puesto que 34 = 64
2. log2 32 = x =⇒ x =
3. logx 64 = 4 =⇒ x =
4. log2 43 = x =⇒ x =
5. logx 5 = 1 =⇒ x =
6. log3 x = 0 =⇒ x =
4.7 Logaritmación
271
Algunas propiedades interesantes que cumple el logaritmo son:
Proposición 4.7.3
1) loga 1 = 0
2) loga (x · y) = loga x + loga y
3) 0 < a < 1, x < y =⇒ loga x > loga y
4) aloga u = u
5) loga a = 1
6) a > 1, x < y =⇒ loga x < loga y
7) loga
ax
=x
8) loga
xk
x
9) loga
= loga x − loga y
y
= k · loga x
Probaremos sólo algunas de estas propiedades.
Demostración.
2) Sean loga x = u, loga y = v, entonces
au = x
∧
av = y
Multiplicando miembro a miembro ambas expresiones se tiene
au+v = x · y ⇐⇒ u + v = loga (x · y)
Reemplazando u y v en la última expresión, tenemos
loga (x · y) = loga x + loga y
8) Sea loga x = u, entonces
au = x ⇐⇒ auk = xk
/ loga
⇐⇒ uk loga a = loga xk
⇐⇒ k · loga x = loga xk
Observación. Los logaritmos en base 10 de un número real positivo x se anotan log x, es decir, se
omite la base y se llaman logaritmos decimales o de Briggs (1561-1630). Los logaritmos en base
e ≈ 2, 7182818285 se anotan ln x, y se les denomina logaritmos naturales o de Naper (1550-1617).
Actividad 144 En cada una de las siguientes expresiones, calcular el valor de x para que la igualdad
sea verdadera.
1) logx (x2 + x) = 2
2) log2 (−x + 1) = 3
3) log4 2 = x + 1
4) logx+1 4 = 2
5) logx (2x2 − x) = 2
6) log2 41 = x
7) log8 x = − 21
8) log6x−17 (x2 − 9) = 1
9) log2 (x2 + 2x ) = x
r
Ejemplo 4.7.4 Probar que loga
1
1 1
1
− + 2 + loga x + loga (x + 1) = 0
x+1 x x
2
Solución
Aplicamos propiedad del logaritmo para escribir
r
1
1 1
1
1
1 1
loga
− + = log
− +
x + 1 x x2 2 a x + 1 x x2
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
272
También, loga x = 12 loga x2 . Por tanto, fractorizando por 12 , y luego, multiplicando por 2 se tiene la
ecuación equivalente
loga
1 1
1
− +
x + 1 x x2
+ loga x2 + loga (x + 1) = 0
Ahora, empleamos la fórmula de la suma de logaritmos para tener
loga
1
1 1
− + 2
x+1 x x
2
+ loga x + loga (x + 1) = loga
1
1 1
− + 2
x+1 x x
· x2 · (x + 1)
Se sigue que
loga
1
1 1
− + 2
x+1 x x
· x2 · (x + 1) = loga
1
= log 1 = 0
2 (x
+
1)
a
x2 · x · (x
+
1)
Ejemplo 4.7.5 La escala de Richter para cuantificar movimientos telúricos está definida como
R = log
I
I0
en donde, I es la intensidad del movimiento telúrico e I0 es una intensidad estándar
1. ¿ Cúal es la magnitud, escala de Richter, de un terremoto que tiene 10.000 veces la intensidad de
un terremoto estándar?
2. Si dos terremotos tienen intensidades 7,3 y 5,7, respectivamente, determinar la razón de sus
intensidades.
Solución
1) I = 10,000 =⇒ R = log 10,000 = 4
2) R = log
I
I
=⇒ = 10R =⇒ I = I0 10R
I0
I0
Ahora bien, la razón de las intensidades es
I0 (107,3 )
= 101,6 = 39, 8
I0 (105,7 )
Ejemplo 4.7.6 Si se invierten P pesos durante t años a una tasa anual de interés i compuesto m veces
al año, entonces el valor final es
i mt
S = P 1+
m
En particular, si se invierten $ 1000 al 8 % compuesto trimestralmente durante 10 años, entonces se
obtienen
0, 08 40
S = 1000 1 +
=⇒ S = 1000 · (2, 2080) = $2208
4
Ejemplo 4.7.7 Resolver la ecuación 5x−1 · 2x+1 = 62x+1
4.7 Logaritmación
273
Solución
Tomamos logaritmo decimal en la ecuación dada
(x − 1) log 5 + (x + 1) log 2 = (2x + 1) log 6
Haciendo los pasos algebraicos correctos, se encuentra que
x=
log 6 + log 5 − log 2
1, 7782
=
= 3, 1959022
log 5 + log 2 − 2 log 6 0, 5564
Ejemplo 4.7.8 Resolver la ecuación log(7x − 9)2 + log(3x − 4)2 = 2
Solución
log(7x − 9)2 + log(3x − 4)2 = 2 =⇒ 2 log(7x − 9) + 2 log(3x − 4) = 2
=⇒ log(7x − 9) + log(3x − 4) = 1
=⇒ log[(7x − 9) · (3x − 4)] = log 10
=⇒ [(7x − 9) · (3x − 4)] = 10
=⇒ 21x2 + 26 − 55x = 0
13
=⇒ x = 2 ∨ x =
21
Ejemplo 4.7.9 Resolver la desigualdad x1+loga x > a4 x, a < 1, x > 0
Solución
Veamos, en primer lugar, donde se produce la igualdad
x1+loga x = x · a4 =⇒ x(xloga x − a4 ) = 0
=⇒ x = 0 ∨ xloga x = a4
=⇒ loga xloga x = loga a4
=⇒ (loga x)2 = 4
Teniéndose así que
x = a2
∨
x = a−2
son las soluciones de la ecuación y dividen la recta real en tres intervalos
a2
0
a−2
Si 0 < x < a2 , entonces se considera x = a4 , para tener
x(xloga x − a4 ) = a8 (a12 − 1) < 0
Si a2 < x < a−2 , entonces con x = a se tiene
x(xloga x − a4 ) = a(a − a4 ) > 0
Si x > a−2 , entonces con x = a−4 se obtiene
x(xloga x − a4 ) = a−4 (a16 − a4 ) < 0
En consecuencia el conjunto solución es
S = (a2 , a−2 )
- R
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
274
4.7.1
Cambio de base
Vamos a encontrar ahora el logaritmo de un número en cualquier base, dado el logaritmo de este número
en otra base. Para ello, suponemos que tenemos loga u y queremos hallar logb u, con b > 0, b 6= 1.
Entonces
v = logb u ⇐⇒ bv = u
⇐⇒ loga bv = loga u
⇐⇒ v · loga b = loga u
⇐⇒ logb u · loga b = loga u
⇐⇒ logb u = (loga u)(loga b)−1
Esta regla es fácil de recordar si escribimos
loga b · logb u = loga u
Consecuencias
1. Si a = e, entonces
loge b · logb u = loge u =⇒ logb u =
ln u
ln b
ln 17
Por ejemplo, log2 (17) =
= 4, 0877
ln 2
2. Si a = u, entonces
logu b · logb u = logu u = 1 =⇒ logb u =
1
logu b
Esto significa que son ¡¡ recíprocos !!
3. Si a = e, b = 10, entonces
loge b · log10 u = loge u =⇒ ln b · log u = ln u
=⇒ log u =
4. logb u · loga v =
ln u ln v ln u ln v
·
=
·
= loga u · logb v
ln b ln a ln a ln b
Por ejemplo, log5 (81) · log3 (25) = 8
ln u
= 0, 4343 ln u
ln 10
4.8 Axiomas de orden
4.8
275
Axiomas de orden
En R tenemos una relación de orden,
que permitirá comparar números reales
y trabajar con desigualdades. Para poder definir el orden, partimos de la existencia de un subconjunto de R que se
denota por R+ , cuyos elementos son llamados números reales positivos, tales
que se verifican los siguientes dos axioFigura 4.62
mas:
Axioma 1: Tricotomía
Dado a ∈ R sólo puede darse una de las siguientes alternativas:
a = 0, a ∈ R+ , o bien −a ∈ R+
En otras palabras, todo número real o es cero o es positivo o su opuesto es positivo.
Cuando se verifica que −x ∈ R+ , estamos diciendo que x es un número negativo y denotamos por R−
al conjunto de los números negativos, es decir,
R− = {−x/ x ∈ R+ }
Este axioma establece una partición del conjunto de los números reales, de modo que se puede escribir
R = R+ ∪ {0} ∪ R−
Axioma 2: Clausura
Dados a, b ∈ R+ , se verifica que (a + b) ∈ R+ y a · b ∈ R+ . Esto es, la suma y producto de
números positivos son positivos.
Definición 4.8.1 Sean x, y números reales. Los símbolos:
< se lee “menor que” y se tiene: x < y ⇐⇒ (y − x) ∈ R+
> se lee “mayor que” y se tiene: x > y ⇐⇒ (x − y) ∈ R+
≤ se lee “menor o igual que” y se tiene: x ≤ y ⇐⇒ x < y o x = y
≥ se lee “mayor o igual que” y se tiene: x ≥ y ⇐⇒ x > y o x = y
Actividad 145 Resolver lo que se pide en la figura 4.63.
Figura 4.63
Representación geométrica de los reales
Una manera de representar geométricamente los números reales, consiste en tomar una recta horizontal,
y fijar dos puntos distintos en ella, uno para indicar el cero (0) y otro para el uno (1) a la derecha del
cero.
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
276
Se considera que cada punto de la recta corresponde a un número real y viceversa, a cada número real
le corresponde uno y solo un punto de dicha recta (propiedad de completitud que se verá más adelante).
Se establece de esta forma, una correspondencia biunívoca entre los números reales y los puntos de
esta recta, la cual nos permite decir en adelante que cada punto “es” un número real. A la recta sobre
la cual se hace representaciones de los números reales, se llama recta real. Dado que R es un cuerpo
ordenado, decir que x < y, equivale a tener, en la recta real, que x se encuentra a la izquierda de y en tal
recta. Los números positivos están a la derecha del cero, y los números negativos a la izquierda.
Algunas propiedades de “menor que”
Actividad 146 Observando la figura 4.64.
Figura 4.64
1)
2)
3)
4)
5)
Anota la desigualdad que se cumple.
Si agregas en ambos lados un triángulo ¿cuál es la desigualdad que se cumple?
Si agregas en ambos lados un cuadrado ¿cuál es la desigualdad que se cumple?
Si agregas en ambos lados la misma cantidad c ¿cuál es la desigualdad que se cumple?
Si agregas un triángulo similar en la balanza izquierda y un cuadrado similar en la derecha, ¿cuál
es la desigualdad que se cumple?
6) Si repites el proceso de la parte 5 una cantidad p de veces ¿cuál es la desigualdad que se cumple?
Propiedad de los inversos
Respecto de los inversos se cumple que:
x ≤ y =⇒ −x ≥ −y
0 < x ≤ y =⇒ x−1 ≥ y−1
“cada vez que multiplicas una desigualdad por un número negativo
la desigualdad se invierte”
“cada vez que tomas recíprocos en una desigualdad de números
positivos la desigualdad se invierte”
Figura 4.65
Actividad 147 En el rectángulo anota el símbolo de desigualdad adecuado:
4.8 Axiomas de orden
277
1
2
=⇒
3·
−4 < −2
=⇒
−4 · −
−4 < −2
=⇒
−4 ·
−4 < −2
=⇒
4−1
2−1
−3 < 0
=⇒
(−3)2
0
=⇒
−1
1
3
−1
1
2
1 1
<
3 2
5·
1
2
3<5
1
2
1
3
−2 · −
−2 ·
1
2
1
2
Intervalos
Dentro de la recta real, donde están representados todos los números reales podemos definir una serie
de subconjuntos, entre ellos los intervalos de gran importancia en el trabajo con desigualdades.
Definición 4.8.2 Sean a, b ∈ R tales que a < b. Los siguientes subconjuntos de R se llaman intervalos:
Figura 4.66
Actividad 148
1. Graficar los conjuntos S ∪ T y S ∩ T , si S = {x ∈ R/ x > −2} y T = {x ∈ R/ − 7 ≤ x < 5}.
2. Escribir, en intervalos, los valores de x para que se pueda calcular la raíz en cada caso:
√
√
√
√
1) x − 4
2) 2x + 1
3) −x
4) −x − 1
3. Expresa como un único intervalo:
1) (1, 6) ∪ [2, 5)
2) [−1, 3) ∪ (0, 3]
3) (1, 6] ∩ [2, 7)
4) [−1, 3) ∩ (0, 4)
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
278
Desigualdades o Inecuaciones
Desigualdad o Inecuación es una afirmación del tipo
p(x) < q(x), p(x) ≤ q(x), p(x) > q(x), p(x) ≥ q(x)
Si al reemplazar x por a en una inecuación se obtiene una expresión verdadera, entonces a se
llama solución de la inecuación.
La colección de todas las soluciones se denomina conjunto solución y se denota por S.
Resolver una inecuación es hallar el conjunto solución.
Las desigualdades lineales son las más sencilla de resolver. Se dejan todas las expresiones de un sólo
lado de la desigualdad, y luego se resuelve para la variable correspondiente.
Actividad 149
Resolver e ilustrar en la recta real:
1. 2x + 3 ≤ 4
2. 3x − 5 ≤
x 1−x
+
4
4
3.
2x − 5 6x + 4
<
4
3
Método de los puntos críticos
Realizar las operaciones necesarias para que toda la expresión quede a un lado de la inecuación y
cero en el otro lado.
Factorizar al máximo numerador y denominador (si existe).
Hallar los puntos críticos, igualando cada factor a cero.
Se agregan estos puntos críticos en la recta numérica, guardando su relación de orden.
Se forman así intervalos, en cada uno de los cuales se toma
un valor numérico, se reemplaza en la expresión dada y se
determina su signo.
Si el A(x) > 0, se toman los intervalos positivos; si el
A(x) < 0, se toman los intervalos negativos, obteniendo
Figura 4.67
así el conjunto solución.
Ejemplo 4.8.3 Resolvemos 3x2 − x − 2 > 0
Se trata de una expresión polinomial. Llamemos A(x) a esta expresión. Podemos factorizar
A(x) = 3x2 − x − 2 = (3x + 2)(x − 1)
Los puntos críticos son:
2
3
Se colocan estos puntos en la recta real, la que queda dividida en tres subintervalos. Se elige un valor
en cada subintervalo y se evalúa en la desigualdad.
En (−∞, − 23 ) elegimos x = −1, con lo cual A(−1) = 3 · (−1)2 − (−1) − 2 = 2 > 0
En (− 23 , 1) elegimos x = 0, con lo cual A(0) = 3 · (0)2 − (0) − 2 = −2 < 0
En (1, ∞) elegimos x = 2, con lo cual A(2) = 3 · (2)2 − (2) − 2 = 8 > 0
x = 1,
y
x=−
4.8 Axiomas de orden
279
En consecuencia, el conjunto solución es S = −∞, − 23 ∪ (1, ∞).
Actividad 150 Considerando el ejemplo como modelo, resuelve las siguientes inecuaciones:
1) x −
4.8.1
5
≤ 4, x 6= 0
x
2) (x − 1)(x + 2) < 4
3)
1
2
<
3x − 1 x + 5
4)
1
2x − 3
<
2
1+x
1 + x2
Módulo o Valor absoluto
Definición 4.8.4 Sean a ∈ R, b ∈ R y supongamos que a ≤ b. Se llama distancia entre a y b, al
número no negativo b − a.
Actividad 151 Hallar las siguientes distancias:
1) La distancia entre 1 y 4
2) La distancia entre 2 y −3
3) La distancia entre −7 y −3
A la distancia entre 0 y un número real x cualquiera la denotaremos
por |x| y la llamaremos valor absoluto de x. Esto es,
|x| indica la distancia entre x y 0
Figura 4.68
Actividad 152 Hallar lo siguiente:
a) |3|
b) |0|
c) | − 5|
d) |5|
e) ¿Alguna conjetura de c y d?
En general, sea x ∈ R
1) Si x > 0, tenemos |x| = x − 0 = x. Es decir si x > 0, entonces |x| = x
2) Si x < 0, tenemos |x| = 0 − x = −x. Es decir, si x < 0 entonces |x| = −x
3) Si x = 0, tenemos |x| = 0 − 0 = 0. Es decir |0| = 0
Así tenemos la siguiente definición
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
280
Definición 4.8.5 Para cada número real x, definimos su valor absoluto, y lo representamos por |x| de
la manera siguiente:


x,
|x| = 0,


−x,
si x > 0
si x = 0
si x < 0
Actividad 153 Halla los siguientes valores:
1. |4| · | − 8| =
2. ||4| − 6| − 8 =
3. En dos rectas reales paralelas coloca en una de ellas |3x| y en la otra 3|x|. ¿Qué puedes afirmar?
Actividad 154 Aquellos valores que anulan el valor absoluto los llamaremos “puntos de quiebre”.
Halla los puntos de quiebre de:
1) |x − 3|
2) |4x − 1|
3) |3x + 12|
4) |4x + 21 |
Actividad 155 Determina cual de las siguientes afirmaciones es falsa. Usa un contraejemplo para ello:
1) |x| = | − x|
4.8.2
2) |x + y| = |x| + |y|
3) |x − y| = |x| − |y|
4) |x · y| = |x| · |y|
Ecuaciones con valor absoluto
Mostramos un par de ejemplos de como resolver ecuaciones que contienen valor absoluto.
Ejemplo 4.8.6 Resolvemos la ecuación |x| = 4.
Recordemos que |x| es la distancia desde x hasta 0 en la recta numérica. De este modo, |x| = 4, significa
que x está a cuatro unidades de 0 en la recta numérica. En la figura siguiente se puede ver las dos
respuestas probables:
x = 4 o bien x = −4, ya que esos dos números están a 4 unidades del 0.
Ejemplo 4.8.7 Resolvemos la ecuación |3x − 5| = 8
De acuerdo con la interpretación geométrica |3x − 5| debe estar a 8 unidades del 0 sobre la recta
numérica.
Por lo tanto, debemos resolver dos ecuaciones:
3x − 5 = 8
Al resolver se halla x =
13
3
y
y x = −1.
Actividad 156 Resolver las siguientes ecuaciones:
3x − 5 = −8
4.8 Axiomas de orden
1. |3x + 2| = 5 − x =
281
2. |x + 2| = 5|x − 2| =
3.
2x + 6
=
x−4
Propiedades del valor absoluto
Si bien es cierto, las demostraciones son importantes, ello depende del contexto. Para una licenciatura,
pedagogía o ingeniería que tenga apellido matemática, por supuesto que una demostración es de alto
interés para su formación profesional. Pero en general, lo mejor es lograr entenderlas e internalizarlas, ya
que son una herramienta muy importante para la resolución de inecuaciones que contengan expresiones
con valor absoluto.
En el cuerpo de los números reales, el valor absoluto satisface las siguientes propiedades:
Proposición 4.8.8
1) |x| =
Sean x, y números reales arbitrarios, y sea a ∈ R+ .
√
x2
4) |xy| = |x||y|
7) |x| ≤ a ⇐⇒ −a ≤ x ≤ a
2) −|x| ≤ x ≤ |x|
|x|
x
=
5)
y
|y|
8) |x| ≥ a ⇐⇒ x ≥ a ∨ x ≤ −a
3) | − x| = |x|
6) |x| − |y| ≤ |x| + |y|
9) |x + y| ≤ |x| + |y|
Demostración
1. Emplearemos la técnica de demostración por casos.
x ≥ 0 =⇒
|x| = x
=⇒ |x|2 = x2 =⇒ |x| =
x < 0 =⇒ |x| = −x =⇒ |x|2 = x2 =⇒ |x| =
√
Se tiene así que, en cualquier caso, |x| = x2 .
√
x2
√
x2
Fin de un mito
Muchas veces hemos visto que algunos
estudiantes realizan lo siguiente
√
4 = ±2
Y lo peor, es que no sienten ningún remordimiento. Si llegas a cometer tamaña barbaridad, el demonio de Tasmania
será tu peor pesadilla.
Figura 4.69: Fin de un mito
Es probable que aún tengas dudas respecto de lo indicado. El valor ±2 aparece cuando se resuelve la
ecuación
x2 − 4 = 0 =⇒ (x − 2)(x + 2) = 0
Por regla de los números reales para un producto, a partir de esto, uno de los factores al menos debe ser
cero
(x − 2)(x + 2) = 0 =⇒ x = 2 ∨ x = −2
√ Esto pone FIN al “mito” de que 4 = ±2. Te anoto lo correcto
√
4=2
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
282
2. Usamos demostración por casos:
Caso 1 (x ≥ 0): |x| = x
|x| = x > 0 =⇒ −|x| < 0 < x < |x| =⇒ −|x| < x < |x|
Caso 2 (x < 0): |x| = −x
|x| = −x > 0 =⇒ −|x| = x < 0 < |x| =⇒ −|x| < x < |x|
3. La demostración es por casos:
Caso x > 0. Se cumple |x| = x.
x > 0 =⇒ −x < 0 =⇒ | − x| = −(−x) = x = |x|
Caso x < 0. Se cumple |x| = −x.
x < 0 =⇒ −x > 0 =⇒ | − x| = −x = |x|
p
p
4. |x · y| = (xy)2 = x2 y2 = |x||y|
6. Usemos el método de demostración por casos.
a) Si x ≥ 0 =⇒ |x| = x ≤ a =⇒ −x ≥ −a. Es decir, −a ≤ −x ≤ x ≤ a de donde, −a ≤ x ≤ a.
b) Si x < 0 =⇒ |x| = −x ≤ a =⇒ x ≥ −a. Es decir, −a ≤ x ≤ −x ≤ a se obtiene, −a ≤ x ≤ a.
Esto concluye la demostración en un sentido. Recíprocamente, existen dos casos:
1. Si x ≥ 0 =⇒ |x| = x ≤ a =⇒ |x| ≤ a
2. Si x < 0 =⇒ |x| = −x ≤ a =⇒ |x| ≤ a
La recta real muestra la solución de la desigualdad |x| ≤ a.
Dada la importancia de la propiedad, la resaltamos
|x| ≤ a ⇐⇒ −a ≤ x ≤ a
8. Para probar que |x| ≥ a ⇐⇒ x ≥ a ∨ x ≤ −a se usa el método de demostración por casos.
a) Sea x ≥ 0, entonces, usando la hipótesis, |x| = x ≥ a.
b) Sea x < 0, entonces, usando la hipótesis, |x| = −x ≥ a =⇒ x ≤ −a.
Hemos demostrado que
|x| ≥ a =⇒ x ≥ a ∨ x ≤ −a
Ahora, probemos que; x ≥ a ∨ x ≤ −a =⇒ |x| ≥ a
a) Si x ≥ 0 y x ≥ a, entonces |x| = x ≥ a
b) Si x < 0 y x ≤ −a, entonces |x| = −x, pero x ≤ −a =⇒ −x ≥ a. Por tanto,
|x| = −x ≥ a
4.8 Axiomas de orden
283
La recta real muestra la solución de la desigualdad |x| ≥ a.
Se observa que esta solución corresponde a todos los puntos del intervalo (−∞, −a] ∪ [a, ∞), es decir,
al conjunto
{x ∈ R/ x ≤ −a o x ≥ a}
Resaltamos esta propiedad.
|x| ≥ a ⇐⇒ x ≥ a ∨ x ≤ −a
9. Para probar esto, hacemos uso de lo siguiente:
−|x| < x < |x|
y
− |y| < y < |y|
Sumando término a término
−|x| − |y| < x + y < |x| + |y|
Se sigue que
− [|x| + |y|] < x + y < |x| + |y|
De lo cual
|x + y| ≤ |x| + |y|
esta propiedad se conoce como “desigualdad triangular”.
En todo triángulo la suma de las longitudes de dos
lados cualquiera es siempre mayor a la longitud del
lado restante. Esto significa que no puedes construir
un triángulo cualquiera sin tener antes esta característica. ¿Puedes construir un triángulo de lados 7 cm,
3 cm y 12 cm?
4.8.3
Inecuaciones con valor absoluto
Para resolver inecuaciones con valor absoluto se pueden usar las propiedades mencionadas. En el caso
de que aparezcan más de un valor absoluto es recomendable usar la técnica de los “puntos críticos”.
Actividad 157 Resolver las siguientes desigualdades:
1) |2x − 3| ≤ 2
2) |3x − 1| ≥ |5x + 4|
3) |x − 3| < 2
4)
1) Para resolver esta desigualdad usamos la propiedad
|2x − 3| ≤ 2 ⇐⇒ 2x − 3 > 2
∨
2x − 3 < −2
6 − 5x
1
≤
x+3
2
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
284
de lo cual
x>
5
2
∨
x<
1
2
En consecuencia, el conjunto solución es
1
5
S = (−∞, ) ∪ ( , ∞)
2
2
2) En la desigualdad |3x − 1| ≥ |5x + 4|, observamos que hay dos valores absolutos. Podemos aplicar
el mismo procedimiento anterior (pero siguen los valores absolutos), o bien el método de los puntos
críticos. Veamos este último
Los puntos de “quiebre” de los valores absolutos son 13 y − 54 . Nos vamos a la recta numérica
En cada subintervalo la ecuación queda sin valor absoluto.
En (−∞, − 45 ) se debe resolver −(3x − 1) ≥ −(5x + 4)
En (− 45 , 31 ) se debe resolver −(3x − 1) ≥ (5x + 4)
En ( 13 , ∞) se debe resolver (3x − 1) ≥ (5x + 4)
El paso que sigue es ver si existen “invitados” en estos subintervalos, es decir, si existe algún valor que
haga la igualdad. Si los hay, quiere decir que el subintervalo se subdivide y hay que evaluar a izquierda
y a derecha de ese invitado.
Invitados
En (−∞, − 45 ): −(3x − 1) = −(5x + 4) =⇒ x = − 25
Este valor está en el intervalo, ¡es un invitado! Se agrega como punto de división.
En (− 45 , 31 ): −(3x − 1) = (5x + 4) =⇒ x = − 83 .
Este valor está en el intervalo, de manera que aquí tenemos un invitado.
En ( 13 , ∞): (3x − 1) = (5x + 4) =⇒ x = − 25
Este valor no está en intervalo. No hay invitados.
Mirando la recta real, ahora tenemos 6 intervalos en donde evaluar.
En (−∞, − 52 ) se toma x = −4, se reemplaza en |3x − 1| ≥ |5x + 4| y se tiene
|3 · (−4) − 1| = 13,
|5 · (−4) + 4| = 16 =⇒ |3x − 1| 6≥ |5x + 4|
En (− 52 , − 45 ) se toma x = −1 para tener que
|3 · (−1) − 1| = 4,
|5 · (−1) + 4| = 1 =⇒ |3x − 1| ≥ |5x + 4|
En (− 45 , − 38 ) se toma x = − 21 para tener que
1
5
|3 · (− ) − 1| = ,
2
2
1
3
|5 · (− ) + 4| = =⇒ |3x − 1| ≥ |5x + 4|
2
2
4.8 Axiomas de orden
285
En (− 38 , 0) se toma x = −0, 1 para tener que
|3 · (−0, 1) − 1| = 1, 3
En (0,
1
3)
|5 · (−0, 1) + 4| = 3, 5 =⇒ |3x − 1| 6≥ |5x + 4|
se toma x = 0, 1 para tener que
|3 · (0, 1) − 1| = 0, 7
|5 · (0, 1) + 4| = 4, 5 =⇒ |3x − 1| 6≥ |5x + 4|
En ( 13 , ∞) se toma x = 1 para tener que
|3 · (1) − 1| = 2,
|5 · (1) + 4| = 9 =⇒ |3x − 1| 6≥ |5x + 4|
La conclusión es que el conjunto solución es
5 3
S = (− , − )
2 8
3) Para resolver |x − 3| < 2, usemos la propiedad
|x − 3| < 2 =⇒ −2 < x − 3 < 2 =⇒ 1 < x < 5
La solución es inmediata
S = {x ∈ R/ 1 < x < 5} = (1, 5)
4) Para resolver
1
6 − 5x
≤ , busquemos los puntos donde se produce la igualdad.
x+3
2
6 − 5x
1
9
= =⇒ x =
x+3
2
11
6 − 5x
1
5
= − =⇒ x =
x+3
2
3
Estos puntos dividen la recta en tres intervalos
En cada intervalo evaluamos.
9
En (−∞, 11
) se elige x = 0, al reemplazar en
1
6 − 5x
≤ se halla que
x+3
2
6 − 5(0)
1
= 2 6≤
0+3
2
9 5
En ( 11
, 3 ) se elige x = 1, se tiene
6 − 5(1)
1 1
= ≤
1+3
4 2
En ( 53 , ∞) se elige x = 2. Al reemplazar
6 − 5(2)
4 1
= 6≤
2+3
5 2
Al agregar los puntos donde se produce la igualdad, a saber, x =
9 5
S=
,
11 3
9
11
y x = 35 , el conjunto solución es
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
286
4.9
Axioma de Completitud
Los axiomas de cuerpo y de orden de los números reales nos dicen que R es un cuerpo ordenado. Pero
Q también es un cuerpo ordenado, así que esos axiomas no determinan por completo a los números
reales: es el axioma de completitud el que marca la diferencia entre Q y R.
Ejemplo 4.9.1 Se considera el conjunto A = {−2, 3, 0, 11, −4} de números reales.
Podemos ordenar este conjunto
A = {−4, , −2, 0, 3, 11}
Ahora se puede determinar cual es el menor valor de A (-4) y el mayor (11). Además, se puede deducir
que cualquier valor real menor que -4 es menor que cualquier elemento del conjunto A. De igual
forma, todo número real mayor a 11 es más grande que cualquier elemento de A. Estas ideas se pueden
formular de manera precisa en lenguaje matemático como sigue:
Definición 4.9.2 Sea A ⊂ R un subconjunto de números reales no vacío:
1.
2.
3.
4.
5.
Decimos que A está acotado superiormente si existe M ∈ R tal que x ≤ M para todo x ∈ A.
El número M o cualquier otro número mayor se llama cota superior del conjunto A.
Decimos que A está acotado inferiormente si existe m ∈ R tal que x ≥ m para todo x ∈ A.
El número m o cualquier otro número menor se llama cota inferior del conjunto A.
El conjunto A se dice acotado si lo está superior e inferiormente.
Para el ejemplo dado, el conjunto está acotado superiormente, pues cualquier número mayor o igual
que 11 es una cota superior, y cualquier elemento menor o igual que 4 es cota inferior, esto significa
que se tiene
−4 ≤ x ≤ 11,
∀x ∈ A
Se observa también que, el 11 es la menor de las cotas superiores , y que -4 es la mayor de las cotas
inferiores.
Actividad 158 Considera el siguiente subconjunto de R
A = {x ∈ Z/ 4 < x2 < 64}
1.
2.
3.
4.
Halla todos los números enteros que cumplen con esta propiedad.
Indica el menor elemento del conjunto.
Indica el mayor elemento del conjunto.
Señala si el menor elemento es parte del conjunto. ¿y el mayor?
Actividad 159 Para el subconjunto de números reales
A = {x ∈ Z/ 4 < x2 < 64}
Determina si está acotado superiormente, si lo es anota una cota superior.
Determina si está acotado inferiormente, si lo es anota una cota inferior.
¿Te atreves a señalar cuál es la menor cota superior? y ¿cuál la mayor cota inferior?
¿Son la mayor cota inferior y la menor cota superior parte del conjunto?
Definición 4.9.3 Sea A un conjunto no vacío de números reales acotado superiormente. Decimos que
α ∈ R es el supremo del conjunto A si es la menor de sus cotas superiores. Se denota sup A = α.
Para los conjuntos no acotados superiormente se dice que el supremo es +∞. Esto es, si A es un
conjunto no acotado superiormente escribimos sup A = +∞.
4.9 Axioma de Completitud
287
Definición 4.9.4 Sea A un conjunto no vacío de números reales acotado inferiormente. Decimos que
β ∈ R es el ínfimo del conjunto A si es la mayor de sus cotas inferiores. Se denota ı́nf A = β .
Para los conjuntos no acotados inferiormente se dice que el ínfimo es −∞. Esto es, si A es un conjunto
no acotado inferiormente entonces escribimos ı́nf A = −1.
n
Ejemplo 4.9.5
, n ∈ N0 = N ∪ {0} }, entonces S escrito por extensión
Sea S = {x ∈ R/x =
n+1
tiene la forma
1 2 3
S = {0, , , , · · · }
2 3 4
De aquí que cualquier m ≤ 0 es cota inferior, y cualquier M ≥ 1 es cota superior para S. Luego, S es un
conjunto acotado, pues es acotado superior e inferiormente. Podemos escribir
|x| ≤ 1 = N,
∀x ∈ S
Actividad 160 Para el subconjunto de números reales
A = {x ∈ Z/ 4 < x2 < 64}
Anota el supremo y el ínfimo.
Propiedad característica del supremo
Si M = sup S, entonces se debe satisfacer que
1. a ≤ M, para todo a ∈ S, pues M es cota superior de S.
2. (∀ε > 0)(∃k ∈ S)(k > M − ε), pues, M es el supremo de S.
La segunda propiedad, en términos geométricos, se representa en la real real.
M−ε
r
k
r
M
r
-
R
Si no existiéra tal k, el número M no sería supremo, lo sería M − ε. Esto daría lugar a una contradicción.
Análogamente, se cumple una propiedad semejante para el ínfimo.
Propiedad característica del ínfimo
Sea m = ı́nf S, entonces
1. a ≥ M para todo a ∈ S, pues, m es cota inferior de S.
2. (∀ε > 0)(∃k ∈ S)(k < m + ε), pues, m es el ínfimo de S.
Geométricamente, esta última propiedad es como sigue
m
r
k
r
m+ε
r
-
R
Es claro, que si no existe tal k, el número m no sería ínfimo, lo sería m + ε. Esto estaría en contradicción
con la hipótesis de que m lo es.
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
288
Definición 4.9.6
1. Si el supremo de S pertenece al conjunto S, entonces recibe el nombre de máximo de S y se
anota máx S
2. Si el ínfimo de S es elemento de S, entonces se llama mínimo de S y se anota mı́n S
n
, n ∈ N0 }, entonces sup S = 1, ı́nf S = 0, mı́n S = 0, máx S
Ejemplo 4.9.7 Sea S = {x ∈ R/x =
n+1
no existe pues 1 6∈ S.
Axioma de completitud
Este axioma establece, para S ⊂ R que:
1. Si S está acotado superiormente, entonces S tiene supremo.
2. Si S está acotado inferiormente, entonces S tiene ínfimo.
A un conjunto que satisface los axiomas de cuerpo, de orden y de completitud, se le denomina cuerpo
ordenado completo. En consecuencia, el sistema (R, +, ·) de los números reales con las operaciones
de adición y multiplicación lo es.
Hemos mostrado así, los axiomas propuesto por Hilbert y que sirven para fundamentar axiomáticamente el conjunto de los números reales.
Actividad 161 Estudiar existencia de supremo e ínfimo en los conjuntos:
A = {x ∈ Q/ x2 < 2}
B = {x ∈ R/ x2 < 2}
Esta actividad equivale a probar que
√
2 no es un número racional.
Proposición 4.9.8 No existe número racional cuyo cuadrado sea 2.
Demostración
Usaremos la técnica de reducción al absurdo para probar esta afirmación. Esto es, vamos a suponer que
existe un racional x tal que x2 = 2. Ahora bien, por definición de número racional debemos tener, x = ab ,
con a y b enteros, b no nulo. Además bajo la hipótesis de que (a, b) = 1. Esto es, a y b son primos entre
sí o, lo que es lo mismo, a y b no tienen factores en común. Se tiene
x2 =
a 2
b
= 2 =⇒ a2 = 2b2 .
Esto significa que a2 es par. De aquí que a es par. En consecuencia a es de la forma x = 2m, m natural.
De este modo, al reemplazar en a2 = 2b2 , se tiene
(2m)2 = 2b2 =⇒ b2 = 2m2 .
Esto es, b es par. Se tiene así que a es par y que b es par. Lo cual es una contradicción con la hipótesis
de que a y b eran primos. En consecuencia, no existe x racional tal que x2 = 2.
4.9.1
La propiedad arquimediana y consecuencias
La propiedad arquimediana de los números reales consiste en lo siguiente:
Teorema 4.9.9 El conjunto de los números naturales no está acotado superiormente.
4.9 Axioma de Completitud
289
Demostración. Supóngase que N está acotado superiormente. Entonces existe el supremo de N que
denotamos por sup N = α. Sea n cualquier número natural; obviamente (n + 1) ∈ N y por lo tanto
(n + 1) ≤ α. Pero entonces n ≤ α − 1 para todo n ∈ N y esto quiere decir que α − 1 es una cota superior
de N que es menor que el supremo α. Esto es imposible, una contradicción, lo que prueba el teorema.
Teorema 4.9.10 (Propiedad Arquimediana)
Dados a < b números reales positivos, existe un número natural n tal que n · a > b
Demostración.
Por el absurdo, suponemos que b ≥ n · a, ∀n ∈ N. Si hacemos que
S = {x ∈ R/ x = n · a, n ∈ N}
entonces S verifica:
1. S 6= 0,
/ pues a ∈ S.
2. S está acotado superiormente pues n · a ≤ b.
De esta forma, S tiene supremo en R. Sea sup S = M, entonces n · a ≤ M, ∀n ∈ N. Pero, como (n + 1) · a
es también elemento de S, debe tenerse
(n + 1) · a ≤ M,
∀n ∈ N
A partir de esto
n · a ≤ M − a,
∀n ∈ N
Luego, M − a es cota superior de S. Más aún, como a > 0 =⇒ M − a < M, entonces M no es el supremo
de S ¡¡ Contradicción !!. En consecuencia, debe ser que a < b =⇒ n · a > b.
Este resultado es simple de entender, por más pequeño que se tome x respecto de y, siempre podemos
hallar un natural n tal que al multiplicarle por x sobrepase el y. Por ejemplo, 0, 1 es menor que 500
millones, pero con n = 5001 millones, el producto de 0, 1 por 5001 millones supera los 500 millones.
Teorema 4.9.11 (Arquímides o Eudoxo)
Para cada x ∈ R dado, existe un natural n tal que n > x.
Demostración.
Usemos la técnica de demostración por casos
1. Si x ≤ 1, entonces el natural n = 2 demuestra el Teorema.
2. Si x > 1, entonces por propiedad Arquimediana se tiene
1 < x =⇒ (∃n ∈ N)(1 · n > x)
De este modo, el teorema queda completamente demostrado.
Teorema 4.9.12 (Densidad)
Dados a < b números reales, existe un número racional q tal que a < q < b.
Demostración.
De nuevo se emplea la técnica de demostración por casos
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
290
1.
Caso 0 < a < b
1
1
Sea x = , ε > 0 en el teorema de Eudoxo, entonces existe n ∈ N tal que n > . De aquí que
ε
ε
n>
1
1
=⇒ < ε
ε
n
eligiendo ε = b − a, se concluye que
1
< b−a
n
(4.1)
Por otra parte, de acuerdo con el mismo teorema, si elegimos m como el menor número natural
que satisface
x = n·a < m
(4.2)
entonces
m − 1 ≤ n · a =⇒
m−1
<a
n
Como
(4.3)
m m−1 1
=
+
n
n
n
de las relaciones 4.1 y 4.3 se tiene
m
< a + (b − a) = b
n
De la relación 4.2 deducimos que
m
>a
n
De aquí que
a<
m
<b
n
m
es el racional buscado.
n
b>0
Con esto se tiene que q =
2.
Caso a ≤ 0
∧
1
1
Por el teorema de Arquímides, para b > 0 existe un n ∈ N tal que < b. Como > 0, tenemos
n
n
1
1
que q = es el racional buscado, en razón de que a < < b.
n
n
3.
Caso a < b ≤ 0
Si a < b ≤ 0 entonces 0 ≤ −b ≤ −a. Esto quiere decir que estamos en el caso 1) cuando sea
0 < −b < −a, y que estamos en el caso 2) cuando 0 ≤ −b y −a > 0. En consecuencia existe un
racional q, de modo que
−b < q < −a
O bien que
a < −q < b
Con esto el teorema queda completamente demostrado.
4.9 Axioma de Completitud
291
Un ejemplo clásico para ilustrar el teorema es tomar la media aritmética entre dos números reales.
Como 3 < 8, entonces 11
2 se halla entre los dos números dados.
Corolario 4.9.13 Si x < y son dos números reales cualesquiera, existe un irracional t tal que x < t < y.
Corolario 4.9.14 Para todo número real x existe un único número entero m que cumple m ≤ x < m + 1.
Este m se llama parte entera de x y se anota m = [x].
Por ejemplo,
[−1, 5] = [−1, 01] = [−1, 999] = −2
[3, 3] = [3, 99] = [3, 0001] = 3
Conjuntos Inductivos
Intuitivamente, el conjunto N de los números naturales está formado por los números que se obtienen
sumando 1 consigo mismo:
1; 1 + 1 = 2; 1 + 1 + 1 = 3; · · ·
Sabemos ya que todos estos números son distintos:
1 < 2 < 3 < ···
Pero veamos una definición rigurosa del conjunto N.
Definición 4.9.15 Se dice que un conjunto A ⊂ R es inductivo cuando verifica las dos condiciones
siguientes:
(i)
1∈A
(ii) x ∈ A =⇒ (x + 1) ∈ A
Por ejemplo, R y R+ son conjuntos inductivos.
Actividad 162
Verifica que R∗ (reales sin el cero) no es inductivo.
Verifica que R− no es un conjunto inductivo.
A = {1, 2, 3} ¿es inductivo?
Definición 4.9.16 Definimos el conjunto N de los números naturales como la intersección de todos
los subconjuntos inductivos de R. Esto significa que es el MENOR conjunto inductivo de R.
Principio de inducción matemática
Una proposición p(n) es verdadera para todos los valores de la variable n si se cumplen las siguientes
condiciones :
Paso 1 La proposición p(n) es verdadera para n = 1, o bien, p(1) es verdadera.
Paso 2 Hipótesis de Inducción. Se supone que p(k) es verdadera, donde k es un número natural
cualesquiera.
Paso 3 Tésis de Inducción. Se demuestra que p(k + 1) es verdadera, o bien,
p(k) verdadera =⇒ p(k + 1) verdadera
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
292
Un día en la escuela cuando tenía 10 años el maestro propuso como ejercicio sumar 100 números
consecutivos. Hay un método sencillo para hacerlo que el maestro conocía pero sus alumnos no. Era
costumbre que el primero en acabar el ejercicio debía dejar su pizarra sobre la mesa del maestro (no
existían cuadernos en esa época), el siguiente alumno encima de la del primero y así sucesivamente.
Nada más terminar el maestro el enunciado del ejercicio Gauss puso su pizarra sobre la mesa del
maestro. Cuando al cabo de una hora acabaron sus compañeros, el maestro comprobó sorprendido
como el resultado que aparecía en la pizarra de Gauss era el correcto.”
Ejemplo 4.9.17 En el juego del LOTO se consideran los primeros 36 números naturales. ¿Cuánto
suman?
Es claro, que existe más de una metodología para determinar la suma. Por ejemplo, se pueden ir
sumando de uno en uno, pero lo único importante sería el resultado. Una segunda forma de hacerlo, que
demuestra un mejor manejo matemático (Gauss), consiste en ordenar de dos formas estos 36 números,
la primera en suma desde el 1 al 36, y la otra, desde el 36 al 1. Esto es
1 + 2 + 3 + · · · + 36 = S
36 + 35 + 34 + · · · + 1 = S
Al sumar ambos miembros se obtiene
2S = 36 · 37 =⇒ S = 666
Este problema se puede generalizar a la suma de los primeros n números naturales.
Actividad 163 Probar que la suma de los n primeros números naturales satisface
1+2+3+···+n =
Paso 1
P(1) :
1=
n(n + 1)
2
1(1 + 1)
= 1, ¡es verdadera!
2
Paso 2
Suponemos ahora que la proposición es verdadera para n = k. Esto es
P(k) :
1+2+3+···+k =
Paso 2
Demostraremos la validez para n = k + 1. Esto es
k(k + 1)
, ¡es verdadera!
2
4.9 Axioma de Completitud
293
(k + 1)(k + 2)
, ¡por demostrar!
2
Para establecer este tercer paso consideremos el primer miembro de la expresión. Se tiene
P(k + 1) :
1 + 2 + · · · k + (k + 1) =
1 + 2 + · · · k + (k + 1) = (1 + 2 + · · · k) + (k + 1)
=
k(k + 1)
+ (k + 1), ¡hipótesis!
2
=
k(k + 1) + 2(k + 1)
2
=
(k + 1)(k + 2)
2
Actividad 164 Probemos que 2n ≥ n, ∀n ∈ N.
21 ≥ 1, ¡es verdadera!
P(1) :
Ahora se supone que la proposición es verdadera para n = k. Esto es,
2k ≥ k, ¡supuesto!
P(k) :
El tercer paso es probar la validez para n = k + 1. Esto es,
P(k + 1) :
2k+1 ≥ k + 1, ¡por demostrar!
Para su demostración, consideremos el primer miembro de la expresión que vamos a demostrar:
2k+1 = 2k · 2
Haciendo uso de la hipótesis 2k ≥ k, se tiene
2k+1 ≥ 2k = k + k.
Como k + k ≥ k + 1 ∀k ∈ N, entonces por transitividad se tiene
2k+1 ≥ k + 1.
Con ello hemos probado la validez de la proposición para todo número natural.
Actividad 165 Probemos que 10n + 3 · 4n+2 + 5 es divisible por 9.
El concepto de “divisibilidad” indica que el número a es divisible por b si existe un número entero k tal
que a = b · k. Para expresiones algebraicas se reemplaza número por expresión algebraica. Tenemos
P(1) :
101 + 3 · 41+2 + 5 = 207 = 9 · 23, ¡es verdadera!
Ahora se supone que la proposición es verdadera para n = k. Esto es,
P(k) :
10k + 3 · 4k+2 + 5 = 9 · Q, ¡supuesto!
La validez para n = k + 1 significa que
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
294
P(k + 1) :
10k+1 + 3 · 4k+3 + 5 = 9 · R, ¡por demostrar!
Para su demostración tenemos
10k+1 + 3 · 4k+3 + 5 = 10k · 10 + 3 · 4k+2 · 4 + 5
= (10k + 3 · 4k+2 + 5) + 9 · 10k + 9 · 4k+2
= 9 · Q + 9 · (10k + 4k+2 )
=
9 ·R
Esto prueba que la expresión que estamos analizando es divisible por 9.
Actividad 166 Probar que para todo natural n:
1. 1 + 3 + 5 + · · · (2n − 1) = n2
2. 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · · + n · (n + 1) =
3. n5 − n es divisible por 5.
4. 72n−1 + 1 es divisible por 8, ∀n ∈ N
4.9.2
n(n + 1)(n + 2)
3
Sumatoria
El sumatorio (o sumatoria) es un operador matemático, representado por la letra griega sigma mayúscula
( ∑ ) que permite representar de manera abreviada sumas con muchos sumandos o incluso con infinitos
sumandos.
Esta expresión se lee: “sumatoria de t sub-i, desde i igual a 1 hasta i igual a n.”
En general,
i=n
n
∑ xi = ∑ xi = x1 + x2 + · · · + xn−1 + xn
i=1
i=1
representa la suma de los primeros n valores de la variable x.
Ejemplo 4.9.18
3
∑ (i + 1) = (1 + 1) + (2 + 1) + (3 + 1) = 9
i=1
El índice de la sumatoria puede tomar cualquier conjunto de números enteros, es decir, no tiene porqué
empezar necesariamente con el 1. La única condición que se tiene que cumplir es que el primer valor
4.9 Axioma de Completitud
295
del índice, el que aparece abajo, sea menor o igual que el último valor del índice, el que aparece arriba.
Es decir, en la suma
n
∑ xi
i=k
el valor de k tiene que ser menor o igual que n para que la suma tenga sentido.
Propiedades
Dado que la sumatoria es simplemente una manera abreviada de representar una suma, entonces cumple
todas las propiedades de la suma.
n
n
n
∑ (xi + yi ) = ∑ xi + ∑ yi
Propiedad conmutativa:
i=1
i=1
i=1
n
n
n
∑ (xi + yi ) = ∑ xi + ∑ (yi + zi )
Propiedad asociativa:
i=1
i=1
n
i=1
n
∑ k · xi = k · ∑ xi
Propiedad distributiva:
i=1
i=1
h
n
n
∑ ai + ∑
Propiedad transitiva:
i=1
ai = ∑ ai
i=h+1
i=1
n
∑ (xi+1 − xi ) = xn+1 − x p
Propiedad telescópica:
i=p
Demostración. Probamos la primera de estas afirmaciones.
0
P(0) :
0
∑ (ai + bi )
i=0
i=0
k
P(k) :
k
∑ (ai + bi )
=
i=0
P(k + 1) :
0
= a0 + b0 ∑ ai + ∑ bi
k
∑ ai + ∑ bi
i=0
i=0
k+1
k+1
k+1
∑ (ai + bi ) =
∑ ai + ∑ bi
i=0
!válida!
i=0
i=0
!supuesto!
!por demostrar!
i=0
Probemos P(k + 1),
k+1
∑ (ai + bi )
k
=
i=0
∑ (ai + bi )
+
ak+1 + bk+1
i=0
!
k
=
∑ ai + ak+1
k
+
i=0
k+1
=
∑ ai
i=0
k+1
+
∑ bi
i=0
∑ bi + bk+1
i=0
!
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
296
n
Número de términos:
∑ ai con 0 ≤ p ≤ n tiene n − p + 1.
i=p
Actividad 167 Escribir usando sumatoria:
1) La suma de todos los números pares desde 1 hasta 100.
2) La suma de todos los números impares desde 1 hasta 100.
3) La suma de los 1000 primeros números naturales
Actividad 168 Calcular las siguientes sumas:
3
5
1)
∑ k(k + 1) =
3)
∑ 2n =
4)
i=1
3
2)
20
∑ (6h − 1) =
5)
i=1
n+1
h=−2
7
n=0
∑ i(3 − 2i) =
6)
i=3
1
1
∑ i+2 − i+1 =
1
1
∑ 2i − 1 − 2i + 1 =
i=p
Sumatorias Notables
Las siguientes sumatorias son de uso habitual en un curso de Cálculo:
n
∑k=
k=1
n
n(n + 1)
2
∑ k2 =
k=1
n(n + 1)(2n + 1)
6
n
n(n + 1)
∑k =
2
k=1
3
2
La demostración de estas igualdades se realiza por inducción.
4.9.3
Factorial de un número natural
Dado un conjunto de m objetos, se llama permutación del mismo a cada una de las distintas formas de
ordenar sus elementos.
Actividad 169
1. Para el conjunto formado por los tres símbolos que muestra la figura, determinar de cuántas
maneras los puedes ordenar
2. Un conjunto de 4 elementos: B = {1, 2, 3, 4} ¿de cuántas formas se pueden ordenar sus elementos?
3. ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar 5 personas en una mesa con cinco sillas?
Esta forma de multiplicación tiene la siguiente notación:
Definición 4.9.19 Se llama factorial de un número natural n al producto de los n primeros números
naturales. Se representa por n!.
n! = 1 · 2 · 3 · · · n
Así por ejemplo,
5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120
Una propiedad interesante es que
(n + 1)! = 1 · 2 · 3 · · · n · (n + 1) = n! · (n + 1)
4.9 Axioma de Completitud
297
A partir de esta propiedad podemos obtener lo siguiente:
(n + 1)! = n! (n + 1)
(0 + 1)! = 0! (0 + 1)
1! = 0!
Ejemplo 4.9.20 Hallar x para tener que
12(x − 2)!
=1
x!
Usando propiedades podemos escribir
12(x − 2)!
12[1 · 2 · · · (x − 2)]
= 1 =⇒
=1
x!
1 · 2 · · · (x − 2) · (x − 1) · x
Ahora vemos que se puede simplificar
(
[1 (
· 2(
· ·(
· (x(−(2)]
12(
12(x − 2)!
=1
= 1 =⇒
(
(
1 ·(
2 ·(
· ·(
(x(
− 2) · (x − 1) · x
x!
(
Nos queda que
12
= 1 =⇒ 12 = x(x − 1) =⇒ x2 − x − 12 = 0
(x − 1) · x
La cuadrática es factorizable; (x − 4)(x + 3) = 0. El factorial de un número negativo no está definido,
de modo que la solución es x = 4.
n!
n!
Ejemplo 4.9.21 Hallar n que satisface
=
+ 44
(n − 2)! · 2! (n − 1)!
Eliminado factoriales
n!
n!
(n − 1)n
=
+ 44 =⇒
= n + 44
(n − 2)! · 2! (n − 1)!
2
Ordenando la última ecuación
(n − 1)n
= n + 44 =⇒ n2 − 3n − 88 = 0 = (n − 11)(n + 8)
2
La única solución es n = 11.
Actividad 170 Resolver las siguientes ecuaciones:
1) (n − 3!)! = 18!
3)
(1 + n!) · n!
= 20
6 + n!
2) (n − 2)! = 120
4)
(n + 1)! + n!
= n+2
(n − 1)! + (n − 2)!
5) n!(n! − 3) = 18(n! + 4)
(n + 1)!
(n + 3)!
=6
6) 2
−
n!
(n + 2)!
(n + 5)!(n + 7)!
7)
= 15!
(n + 5)! + (n + 6)!
(n + 5) (n + 3)!(n + 4)!
8)
= 720
n + 7 (n + 3)! + (n + 4)!
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
298
4.9.4
El Binomio de Newton
Esta es una fórmula que se utiliza para desarrollar un binomio elevado a una potencia cualquiera de
exponente natural. Es decir, se trata de una fórmula para desarrollar la expresión:
(a + b)n ,
n∈N
Es conveniente observar que a y b pueden ser números, letras o expresiones algebraicas cualesquiera.
Veamos el desarrollo de algunas potencias de a + b:
(a + b)0 = 1
(a + b)1 = a + b
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
(a + b)4 = (a + b)3 (a + b) = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4
Lo primero que se observa es que la cantidad de términos es uno más que el exponente. En segundo
lugar, los coeficientes de cada polinomio resultante siguen la siguiente secuencia:
Además, que las potencias del primer sumando del binomio, a, comienzan por n y en cada sumando
van disminuyendo de uno en uno hasta llegar a 0. Por el contrario, las potencias del segundo sumando
del binomio, b, empiezan en 0 y van aumentando de uno en uno hasta llegar a n.
La secuencia anterior recibe el nombre de Triángulo de Pascal o de Tartaglia. Observa que el vértice
superior es un 1 y que la segunda fila son siempre dos unos. A partir de la tercera fila, el método de
construcción es el siguiente:
Primer número: 1
Números siguientes:
La suma de los dos que se encuentran inmediatamente por encima.
Último número: 1
Observa también que cada fila empieza y termina por 1, que los números que aparecen forman una
fila simétrica, o sea, el primero es igual al último, el segundo igual al penúltimo, el tercero igual al
antepenúltimo, etc.
Actividad 171
1. Construye las primeras 10 filas del triángulo de Tartaglia.
2. Halla, en el triángulo de Tartaglia (a − b)6 y (a + b)8 .
4.9 Axioma de Completitud
299
Teorema 4.9.22 (Newton)
Sean n ∈ N, a, b ∈ R, entonces
n n n 0
n n−1 1
n n−2 2
n 0 n
n n−k k
a b +
a b +
a b +···+
a b =∑
a
b
(a + b) =
0
1
2
n
k=0 k
n
Demostración.
Hacemos inducción sobre el exponente natural n, verificando en primer lugar P(1).
1
P(1) :
1 0 1
1 1 0
1 1−k k
a b = a+b
a b +
a b =
(a + b) = ∑
1
0
k=0 k
1
El segundo paso es suponer que la proposición se verifica para n.
n
P(n) :
n n−k k
(a + b) = ∑
a b
k=0 k
n
Finalmente, probamos validez para n + 1. Es decir,
P(n + 1) :
(a + b)n+1 =
n+1 ∑
k=0
n + 1 n+1−k k
b
a
k
Para probar esto, consideremos el miembro izquierdo de P(n + 1). Se tiene
(a + b)n+1 = (a + b)n (a + b) = (a + b)n · a + (a + b)n · b
n
n n n+1−k k
n n−k k+1
=∑
a
b +∑
a b
k=0 k
k=0 k
n
n n+1−k k n+1
n
=∑
a
b +∑
an−k+1 bk
k
k
−
1
k=0
k=0
En la última serie, se realizó un cambio de índices, al reemplazar k por k − 1.
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
300
n
n+1
(a + b)
n n n+1−k k
n
n 0 n+1
n−k+1 k
=∑
a
b +∑
a
b +
a b
n
k=0 k
k=1 k − 1
n
=
n n n+1−k k
n
n 0 n+1
n n+1 0
n−k+1 k
a
b
+
a
b
+
a
b
+
a b
∑ k
∑ k−1
n
0
k=1
k=1
n
n
n
n 0 n+1
n n+1 0
n−k+1 k
=∑
+
a
b +
a b +
a b
k
k−1
n
0
k=1
n n n+1 0
n + 1 n−k+1 k
n 0 n+1
a b +∑
a
b +
a b
=
0
k
n
k=1
n+1 =
∑
k=0
n + 1 n−k+1 k
a
b
k
Esto completa la demostración. Hicimos uso de la propiedad
n
n
n+1
+
=
k
k−1
k
El número combinatorio
Definición 4.9.23 Se llama número combinatorio m sobre n a la expresión:
m
m!
,
=
n! (m − n)!
n
m, n ∈ N, m ≥ n
Actividad 172 Hallar los siguientes números combinatorios:
10
1.
=
3
10
2.
=
7
100
3.
=
98
100
4.
=
2
m
5.
=
0
m
6.
=
1
m
7.
=
m
0
8.
=
0
Actividad 173 Probar lo siguiente:
8
8
9
1.
+
=
4
5
5
x
x
x+1
2.
+
=
4
5
5
12
12
13
3.
+
=
x
x+1
x+1
15
15
16
4.
+
=
x−1
x
x
Teniendo en cuenta la definición de número combinatorio y usando números combinatorios se puede
reescribir el triángulo de Tartaglia como sigue:
4.9 Axioma de Completitud
301
El binomio de Newton
Para hallar potencias naturales de un binomio se usa la siguiente fórmula:
n n n
n n−1 1
n
n n
n n−k k
n
n−2 2
(a + b) =
a +
a b +
a b +···
a =∑
a b
0
1
n−2
n
k=0 k
Esta fórmula tiene n + 1 términos y, en cada uno de ellos, las potencias de a y b suman n. Observa lo
siguiente:
Primer término o término que ocupar el lugar 1: n0 an
Segundo término o término que ocupa el lugar 2: n1 an−1 b1
Tercer término o término que ocupar el lugar 3: n2 an−2 b2
..................................................
2 n−2
n
Término (n − 1)-ésimo o término que ocupa el lugar n − 1: n−2
a b
n
1 n−1
Término n-ésimo o término que ocupa el lugar n:
n−1 a b
Término (n + 1)-ésimo o término que ocupa el lugar n + 1: nn a0 bn
Se observa que el número que hace las veces de “denominador” del número combinatorio de cada
término (o el número al que está elevado b), es una unidad inferior a la posición que ocupa ese término.
Esto nos lleva a establecer una fórmula muy útil para trabajar con un binomio.
Cálculo del término que ocupa el lugar k
n
Tk =
an−k+1 bk−1
k−1
Ejemplo 4.9.24 Hallar el quinto término del desarrollo de (x2 − 3x)6 .
Aplicando la fórmula del Tk se tiene:
6
T5 =
(x2 )2 (−3x)4 = 15x4 34 x4 = 1215x8
4
Ejemplo 4.9.25 Escribir el término de grado 8 del desarrollo de (3x2 + 1x )7 .
El Tk ayuda a encontrar la respuesta
7
1
1
Tk =
(3x2 )7−k+1 ( )k−1 = 38−k x16−2k ( )k−1
k−1
x
x
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
302
Escribiendo esto como sigue
Tk = 38−k x16−2k x−k+1 = 38−k x17−3k
dado que se quiere hallar el término de grado 8. hacemos que el exponente de la última x sea 8. Esto es,
17 − 3k = 8 =⇒ 3k = 9 =⇒ k = 3
En consecuencia, el término que contiene el término de grado 8 es el tercero, es decir, T3 . Como
verificación;
7
1
T3 =
(3x2 )5 ( )2 = 5103 x8
2
x
Actividad 174
1. Escribe el término de grado 8 en el desarrollo de (3x2 + 1x )7 , Resp k = 3
2 7
2
2. Hallar el desarrollo de x −
=
x
3. Hallar el sexto término de (x + y)15
4. Hallar el quinto término de (x + 2y)5
5. Hallar el cuarto término de (2 − 3y)4
6. Halla el quinto término, el término que contiene a x5 , y el término independiente de x en
2
1 9
( 3x2 − 3x
) . Resp. T5 , no existe, T7
7. Encuentra el término central en (x + 1x )12 . Resp. T7 = 12
6
8. Calcular 115 por medio de la fórmula de Newton y comprueba el resultado con la calculadora.
4.10
Topología de la recta real
Finalizamos el estudio de los números reales, presentando algunos elementos que constituyen el punto
de partida del cálculo diferencial.
Definición 4.10.1 Se llama vecindad del punto x0 ∈ R de radio ε > 0, al conjunto de los números
x ∈ R que satisfacen x0 − ε < x < x0 + ε. Más precisamente, al intervalo (x0 − ε, x0 + ε).
Lo común es denotar una vecindad de este tipo por V (x0 , ε) o bien V (x0 ). Es decir
V (x0 , ε) = V (x0 ) = {x ∈ R/x0 − ε < x < x0 + ε}
= {x ∈ R/ − ε < x − x0 < ε}
= {x ∈ R/|x − x0 | < ε}
Es claro que, x ∈ V (x0 , ε), siempre que d(x, x0 ) < ε, en donde d es la función distancia en R, que como
sabemos corresponde al valor absoluto.
Ejemplo 4.10.2 V (1, 2) representa a la vecindad del x = 1 con radio r = 2. Es equivalente al conjunto
{x ∈ R/ − 1 < x < 3}. Se observa que 5 6∈ V (1, 2), pues, d(5, 1) 6< 2.
Ejemplo 4.10.3 La propiedad de densidad de los números reales hace posible que dados dos números
reales x1 y x2 existan vecindades V (x1 ) y V (x2 ) tales que V (x1 ) ∩V (x2 ) = 0.
/ Para ver esto, es suficiente
con medir la distancia entre los puntos x1 y x2 , y elegir como radio de las vecindades un número menor
que la mitad de la distancia encontrada.
4.10 Topología de la recta real
303
Definición 4.10.4 Sea X conjunto, P(X) el conjunto potencia de X. El subconjunto τ de P(X) es
una topología para X si:
0/ ∈ τ ∧ X ∈ τ
La unión arbitraria de elementos de τ es un elemento de τ. Esto es;
Ai ∈ τ =⇒ ∪Ai ∈ τ, i ∈ N
La intersección finita de elementos de τ es elemento de τ. Esto es;
Ai ∈ τ =⇒ ∩Ai ∈ τ, i ∈ N
Definición 4.10.5 Se llama espacio topológico al par (X, τ), donde X es un conjunto y τ una topología
para X. Los elementos de X se llaman puntos y los elementos de τ conjuntos abiertos o vecindades.
Ejemplo 4.10.6 Sea X = {x, y, z}, entonces τ1 = {0,
/ {x, y}, X}, y τ2 = {0,
/ X, {y, z}} son topologías
para X, pero τ1 ∪ τ2 no lo es, ya que {x, y} ∩ {y, z} = {y} 6∈ τ1 ∪ τ2 .
Ejemplo 4.10.7 Sea X conjunto y sea τ = P(X), entonces τ es una topología y recibe el nombre de
topología discreta.
Definición 4.10.8 Sea X conjunto y sea τ = {0,
/ X}, entonces τ es una topología para X y recibe el
nombre topología trivial o indiscreta.
Ejemplo 4.10.9 Si X = R y τ = { abiertos de R }, entonces τ es una topología para R y se conoce
como la topología usual de R.
En lo que sigue, todo el trabajo que se haga sobre R es con la topología usual. Podemos adelantar, que
los abiertos de R no son otra cosa que los intervalos abiertos de R. A continuación pasamos a conocer
el lenguaje que usa el cálculo.
Definición 4.10.10 El punto x0 es punto interior del conjunto A ⊂ R, si y sólo si, existe una V (x0 ) ⊂ A.
Al conjunto de todos los puntos interiores de A se le llama el interior de A y se le denota por Int(A), o
bien A◦
Para ilustrar la definición, considerar el conjunto A = (−1, 3], que en lenguaje de conjuntos corresponde
a A = {x ∈ R/ − 1 < x ≤ 3}. Entonces, el -1 no es punto interior de A, pues cualquier vecindad que
se construya con él, incluye puntos que no están en el conjunto A. Por ello, es imposible exhibir una
vecindad V (−1) enteramente contenida en A. Del mismo modo, no son puntos interiores, ningún
x < −1 y ningún x ≥ 3. Para los x que satisfacen la desigualdad se verifica que es posible hallar,
al menos, una vecindad completamente contenida en A. Así por ejemplo, para x = 2, la vecindad
V (2, 1/2) es un subconjunto de A, esto es, está completamente contenida en A. En consecuencia, el
interior del conjunto A es
Int A = (−1, 3)
Definición 4.10.11
El punto x0 es punto exterior del conjunto A ⊂ R, si x0 es punto interior del complemento de A.
Esto es, del conjunto Ac = R − A.
Al conjunto de todos los puntos exteriores de A se llama exterior de A, y se denota por Ext(A).
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
304
El punto x0 es punto frontera del conjunto A ⊂ R, si toda vecindad de x0 contiene puntos de A
y de Ac .
El conjunto de todos los puntos que son frontera de A se llama la frontera de A, y se denota por
Fr(A).
Ejemplo 4.10.12 Si A = [−1, 3] ⊂ R, entonces x = 2 es punto interior, x = −1 y x = 3 son puntos
frontera, x = 3 no es punto exterior, x = 5 es punto exterior.
Definición 4.10.13 Un conjunto en el cual todos sus puntos son interiores se llama abierto
Se sigue de la definición de abierto, que los conjuntos abiertos quedan caracterizados por la relación
A = Int(A). De aquí que el interior de A sea el conjunto abierto más grande contenido en A.
Cualquier intervalo abierto (a, b) ⊂ R, es un conjunto abierto, pues todos sus puntos son interiores.
Ejemplo 4.10.14 Sea A = [−1, 3] subconjunto de R. Entonces, x = 2 es punto interior, x = −1 y x = 3
no son puntos interiores. El interior de A, es decir, el conjunto formado por todos los puntos que
son interiores al conjunto A es, Int(A) = (−1, 3). Siguiéndose que A no es un conjunto abierto, pues
A 6= Int(A).
Definición 4.10.15 El punto x0 se llama adherente al conjunto A ⊂ R si toda vecindad de x0 contiene
a lo menos un punto de A. Es decir, V (x0 ) ∩ A 6= 0.
/ El conjunto de los puntos adherentes de A se denota
A y se llama adherencia o clausura de A.
Definición 4.10.16 Un conjunto A se llama conjunto cerrado si coincide con su adherencia. Esto es,
si A = A.
La adherencia de A viene a ser el conjunto cerrado más pequeño que contiene a A. Luego, los conjuntos
cerrados quedan caracterizados por la relación A = A. Cualquier intervalo cerrado [a, b] ⊂ R, es un
conjunto cerrado, pues todos sus puntos son adherentes.
Ejemplo 4.10.17 Si A = [−1, 3] ⊂ R, entonces, x = 2 es punto adherente x = −1 y x = 3 también lo
son, ya que cualquier vecindad que se construya con centro en ellos intersecta elementos del conjunto
A. Más aún, el conjunto formado por todos los puntos que son adherentes al conjunto A es, A = [−1, 3].
Se sigue entonces, que A es un conjunto cerrado.
Definición 4.10.18 El punto x0 se dice de acumulación del conjunto A ⊂ R, si toda vecindad de x0
contiene a lo menos un punto de A, diferente de x0 . Es decir
(V (x0 ) − {x0 }) ∩ A 6= 0/
El conjunto de los puntos de acumulación de A se denota, A 0 , y se llama conjunto derivado de A.
Hacemos notar que en términos de puntos de acumulación, un conjunto A es cerrado si y sólo
si contiene todos sus puntos de acumulación. Es claro, que un conjunto que carece de puntos de
acumulación es cerrado.
Ejemplo 4.10.19 Si A = (−1, 3] ⊂ R, entonces x = 2 es punto de acumulación, x = −1 y x = 3 también
lo son ya que cualquier vecindad que se construya con centro en ellos, sin ser considerados, intersecta
4.10 Topología de la recta real
305
elementos del conjunto A. Más aún, el conjunto formado por todos los puntos que son de acumulación
al conjunto A es, A 0 = [−1, 3]. Se sigue entonces, que A 0 6⊂ A, de donde A no es un conjunto cerrado.
Ejemplo 4.10.20 ¿Existen conjuntos que son, al mismo tiempo, abiertos y cerrados? La respuesta es
afirmativa, teniéndose que los únicos conjuntos abiertos y cerrados a la vez en R son el vacío y el
mismo conjunto R. En efecto.
1. El conjunto vacío 0,
/ es cerrado porque no tiene puntos de acumulación.
2. El conjunto vacío 0,
/ es abierto porque no existen en 0/ puntos que no sean interiores.
3. El conjunto de los números reales R, es cerrado porque todos sus puntos son de acumulación.
4. El conjunto de los números reales R, es abierto porque todos sus puntos son interiores.
1
Ejemplo 4.10.21 Si A = {x ∈ R/ x = , n ∈ N}, entonces
n
Int(A) = 0,
/
Fr(A) = A,
A = A ∪ {0},
A0 = {0}
Otra alternativa de conectar conjuntos abiertos con cerrados, es posible bajo el siguiente hecho.
Definición 4.10.22 Un subconjunto A de R es abierto si y sólo si su complemento es un conjunto
cerrado
Para ilustrar la definición necesitamos el siguiente resultado
Teorema 4.10.23 Sea (Ak ) un colección de conjuntos abiertos entonces:
1) ∪Ak es un conjunto abierto
2) ∩nk=1 Ak es un conjunto abierto.
Demostración.
1. Sea H = ∪Ak . Considerando que x∈ H, entonces x ∈ ∪Ak , y de aquí que x ∈ A j para algún
1 ≤ j ≤ k. Como A j , es por hipótesis, un conjunto abierto, entonces existe una V (x, r j ) ⊂ A j .
Como A j ⊂ ∪Ak , entonces se tiene que V (x, r) ⊂ ∪Ak . Lo que demuestra que H = ∪Ak es un
conjunto abierto.
2. Sea H = ∩n1 Ak . Si x ∈ H, entonces x ∈ ∩n1 Ak , y de aquí que x ∈ Ak para todo k. Como Ak es abierto
entonces existe V (x, rk ) ⊂ Ak para todo k. Si elegimos r j = mı́n{rk }, entonces V (x, r j ) ⊂ A j para
todo j, lo que implica que V (x, r j ) ⊂ ∩n1 Ak . Se tiene entonces que H = ∩n1 Ak es un conjunto
abierto.
Ejemplo 4.10.24
1.
El conjunto de los números enteros Z, es cerrado por que carece de puntos de acumulación, O
bien, por que su complemento
R − Z = {· · · (−3, −2) ∪ (−2, −1) ∪ (−1, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1, 2) ∪ · · · }
es abierto, pues es unión arbitraria de abiertos.
2.
El conjunto finito A = {1, 2} es cerrado por que su complemento
R − A = (−∞, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, +∞)
es abierto. El mismo hecho se deduce si observamos que A no tiene puntos de acumulación.
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
306
Los conjuntos A = [0, +∞) y B = (−∞, 0] son cerrados, pues sus respectivos complementos
en R son abiertos.
1
4. El conjunto A = {x ∈ R/ x = , n ∈ N}, tiene como único punto de acumulación al 0, y éste
n
no pertenece a A. Luego el conjunto derivado es A 0 = {0}. Así A no es cerrado. Por otra parte, A
no es abierto pues, Int(A) = 0.
/
3.
5.
4.11
1 1
Si An = {(− , ), n ∈ N}, entonces ∩n1 An = {0}. Esto permite mostrar, que a pesar de ser An
n n
un conjunto abierto, la intersección infinita de tales conjunto no es un conjunto abierto.
El sistema ampliado de los reales
El conjunto constituído por la unión de los elementos de R y los entes matemáticos +∞ y −∞, que se
denota
R = R ∪ {±∞}
se llama sistema ampliado de números reales.
La ordenación en R viene dada por las dos condiciones siguientes:
1. −∞ < +∞
2. ∀x ∈ R,
−∞ < x < +∞
A partir de esto establecemos que
Definición 4.11.1 Si a, b ∈ R, decimos que a ≤ b ⇐⇒ a < b ∨ a = b.
Tenemos entonces que, R está totalmente ordenado.
Suma en R
La suma en R es una extensión de la suma en R
1. x + (+∞) = (+∞) + x = +∞, ∀x ∈ R, x 6= −∞
2. x + (−∞) = (−∞) + x = −∞, ∀x ∈ R, x 6= ∞
Observar que, quedan sin definir las expresiones; (+∞) + (−∞) y (−∞) + (∞)
Diferencia en R
1. x − (+∞) = x − ∞ = −∞, ∀x 6= +∞
3. x − (−∞) = x + ∞ = ∞, ∀x 6= −∞
2. (+∞) − x = +∞, ∀x 6= +∞
4. (−∞) − x = −∞, ∀x 6= +∞
Observar que, quedan sin definir las expresiones; (+∞) − (+∞) y (−∞) − (−∞)
Producto en R
La extensión del producto a R viene dada por:
1. x · (+∞) = (+∞) · x = +∞, si x > 0
3. x · (+∞) = (+∞) · x = −∞, si x < 0
2. x · (−∞) = (−∞) · x = −∞, si x > 0
4. x · (−∞) = (−∞) · x = +∞, si x < 0
Quedan si definir las expresiones; 0 · (+∞), (+∞) · 0, 0 · (−∞), (−∞) · 0
4.12 Problemas Propuestos
307
Cociente en R
La extensión del cociente R requiere saber que
1
= 0,
+∞
1.
x
x
=
= 0, ∀x ∈ R
(+∞) (−∞)
2.
(+∞)
= +∞, ∀x ∈ R > 0
x
3.
(−∞)
= −∞, ∀x ∈ R > 0
x
y
1
=0
−∞
(+∞)
4.
= −∞, ∀x ∈ R < 0
x
5.
(−∞)
= ∞, ∀x ∈ R < 0
x
Con la definición adecuada de vecindad extendemos la topología de R a R.
Definición 4.11.2 Sea c ∈ R. Se llama vecindad de +∞ del real c, que se anota V (c, +∞), al conjunto
V (c, +∞) = {x ∈ R/ x > c} = (c, +∞)
Del mismo modo, el conjunto (−∞, c) es una vecindad de −∞.
De acuerdo con este sistema ampliado, todo subconjunto no vacío de R admite una cota superior
(eventualmente +∞) y una cota inferior (eventualmente −∞).
Valor absoluto
La aplicación valor absoluto conserva su definición para R, esto es
|∞| = | − ∞| = ∞
4.12
Problemas Propuestos
1. Sean A = 4a3 − 5a2 b + 7b2 , B = 2a3 + 11a2 b − 8b3 , C = 4a3 + 5a2 b − 87b3 . Hallar; A − B,
A + B −C, A −C
2. Hallar el resultado de las siguientes operaciones:
1 2 1
1
2
1
1)
a + b+
·
a−
2) (1 + 2b + 3a)2 − (1 − 2b + 3a)2
2
3
4
3
2
3)
a + 5b
ab + 5b2
:
a2 + 6ab a3 + 6a2 b
4) 1 − x + x2 −
5)
2a
3x
a2 + 3x2
+
+ 2
a+x a−x
a − x2
6)
3. Probar que
ab(x2 + y2 ) + xy(a2 + b2 ) ax + by
=
ab(x2 − y2 ) + xy(a2 − b2 ) ax − by
4. Simplificar
3ax2 + 3a2 x − 6a2 x2
ax3 − a3 x
x3
1+x
(x−2 )−3 · 3a−2/ 3
=
(2a)−2 · a1/ 3
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
308
a−3m b−2m+1 a−2n+1 b 3
:
c−4m d −5m−7 c−m+3 d m−3
r
√
1 √
6. Escribir en una sola raíz, 32 −
− 8=
2
√
√
√
√
√
√
7. Escribir en una sola raíz, ( 2 + 3 + 5 ) · ( 2 + 3 − 5 )
5. Escribir sin exponentes negativos,
8. Resolver las ecuaciones: (hallar el valor de x)
a)
2
6x + 5
3
−
=
2
4x − 5 16x − 25 4x + 5
3
1
1
=
4(x + 1) 8
√
√
9. Resolver la ecuación 2x − 1 + 2x + 4 = 5
1
p
10. Racionalizar la expresión p
√
√
x+ x− x− x
c)
x2 − 1
−
b)
1
1
1
+
−
=0
x−a x−b x−c
d)
x
1
+ +1 = 0
2 2x
11. Los siguientes problemas son de ping - pong. Anotar la respuesta sobre los puntos suspensivos.
a) Si x es una parte de 45, entonces la otra parte es ........
b) Si x es un factor de 45, entonces el otro factor es ........
c) Si $ 20 se reparten en factores iguales entre y personas, entonces a cada una le corresponde
........
d) Para obtener y, a x se le debe sumar ........
e) Si 100 se divide en dos partes y una de ellas es x, entonces la otra es ........
f ) Si la diferencia de dos números es 11 y el menor es x, entonces el mayor es ........
g) Si mi edad actual es x años, entonces dentro de a años será ........
h) Si x hombres necesitan 5 dias para labrar un campo, entonces un hombre necesita ........dias.
i) Si en x dias un hombre recorre y kilómetros, entonces su velocidad diaria es ........
j) Si un auto viaja a x km/hora, entonces para ir de Temuco a Valdivia que están a una distancia
de 120km. tarda ........horas.
12. Los problemas a continuación son de respuesta más o menos rápida. Anotar la respuesta sobre
los puntos suspensivos.
a) ¿ En cuántos minutos se recorren x km. a una velocidad de y km /hora? ........minutos.
b) ¿ En cuántas semanas x caballos comerán 100 kilos de pasto, si uno de ellos come y kilos a
la semana .........
c) Una repisa contiene x libros de matemática, y libros de computación y z libros de mecánica.
Si hay 100 libros, ¿ Cuántos hay de otras materias? .........
d) ¿ Cuál es la edad actual de un hombre que en x años será m veces mayor que su hijo, y cuya
edad actual es de y años? .........
13. Demostrar las siguientes propiedades para elementos de R.
a c ad + bc
+ =
b d
bd
a)
a c ad
÷ =
b d
bc
b)
d)
a c
ac
· =
b d bd
e) (−a) · (−b) = ab
14. Demostrar las desigualdades que se indican, válidas en R
c) a · b = 0 ⇐⇒ a = 0 ∨ b = 0
f) a · (b − c) = ab − ac
4.12 Problemas Propuestos
a) x < y ∧ y < z =⇒ x < z
b) x < y∧a < b =⇒ x+a <
y+b
15. Demostrar que si
309
c) x < y ∧ a > 0 =⇒ ax <
ay
d) x < y ∧ a < 0 =⇒ ax >
ay
e) x 6= 0 =⇒ x2 > 0
a c
< , a, b, c, d números reales positivos, entonces
b d
c
a a+c
<
<
b b+d d
16. Demostrar que ∀x > 0, x3 + x−3 ≤ x2 + x−2
√
√
17. Demostrar, por reducción al absurdo, que ∀x > 0 es x < x + 1.
18. Determinar supremo e ínfimo de los siguientes conjuntos:
a) A = {x ∈ R/ 3x2 − 10x +
3 < 0}
1
b) B = {x ∈ R/ x = , n ∈
n
N}
c) C = {x ∈ R/ x2 > 2}
d) D = {x ∈ R/ 0 < x2 < 2}
e) E = {x ∈ R/ x > 0 ∧
x2 > 2}
19. Bosquejar en la recta real y escribir el conjunto resultante en términos de intervalos.
a) {x/ x ≥ −1}∩{x/ −3 <
x < 2}
b) {x/ x < 2} ∪ {x/ x ≥ 0}
c) {x/ − 3 < x ≤ 1} ∩
{x/ x > 2}
d) {x/ − 2 ≤ x ≤ 3} ∩
{x/ x < 1}
e) {x/ − 3 ≤ x ≤ 0} ∩
{x/ − 2 < x < 3}
20. Demostrar empleando inducción matemática que:
n(n + 1)(2n + 1)
6 n(n + 1) 2
3
3
3
3
b) 1 + 2 + 3 + · · · + n =
2
1
1
1
n
c)
+
+···
=
1·2 2·3
n(n + 1) n + 1
a) 12 +22 +32 +· · ·+n2 =
d)
e)
f)
g)
h)
2n > n, ∀n ∈ N.
n(n2 + 5) es divisible por 6.
xn − yn es divisible por x − y.
(ab)n = an bn
(1 + x)n ≥ 1 + nx, x ≥ −1
21. Considerar que una función f tiene la propiedad f (xy) = f (x) + f (y). Demostrar por inducción
que f (an ) = n f (a), ∀n ∈ N
√
√ √
n
n
22. Demostrar que ab = n a · b
23. Demostrar que am an = am+n , ∀ n, m ∈ N.
24. Resolver log (7x − 9)2 + 2 log (3x − 4)2 = 2
75
5
32
− 2 log + log
= log 2
16
9
243
26. Resolver las ecuaciones:
25. Probar que log
a) 2x · 15x = 5
2
b) 2 x = 5 · 2x
27. Determinar los números reales que satisfacen:
c) 3 2x · 5 3x−4 = 7 x−1 · 11 2−x
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
310
a) |2x + 1| ≤ 1
b) (x + 1)(x − 2) < 2
d) |x − 5| > 2
e) 0 < |x + 2| ≤ 1
c) (x − 5)4 (x + 10) < 0
x+4
2
f)
<
x+1 x−1
28. Demostrar que
1
1 1
∈( , )
2x + 3
11 7
b) 2x − 6 ∈ (−4, 4) ⇒ x ∈ (1, 5)
29. Resolver las inecuaciones dadas
a) x ∈ (2, 4) ⇒
a) 1 ≤ x2 ≤ 9
2 − 5x
≥ −2
d)
3 − 4x
3
5
g) − 2 >
x
x
x2
j) 2
≤1
x −1
√
m) x + 1 > 1
3
−2 > 4
x−3
8x
e) 6 −
>8
3x + 5
h) 4x−1 + 9x > 12
b)
x−2 x+3
>
x−3 x+2
x2 − 6x − 7
n) 2
<3
x + 2x + 1
k)
√
√
x2 + x − 2 ≥ 2 x
3x + 1
f) −3 ≤
≤ −1
3x − 2
7
6
<5
i)
− 2
x−1 x −1
2x − 1
x+1
l)
+1 >
3
2
6
1
o)
+
>2
x+3 x−2
c)
30. Resolver
a) x + |x| < 1
b) |x − 1| = |x − 4| c) |x2 − x − 6| = |x + 2|
d) |
x2 − x
|<1
x2 − 4
g) |
3−x
x2 − 15
(5 − 3x)x
√ | ≤ 15 i) 1 < | 2
| = 2 h) |
|<3
2x − 1
x − 2x + 8
x + 15
j) |
3x + 1
|≥1
3x − 2
e) |x − 1| ≤ |x| − 1
k) |x2 − x| < |x|
m) ||x| − 1| ≤ 1 m)
31. Resolver las desigualdades:
1
2
a)
<
x + 1 3x − 1
x
b)
<4
x−3
4
2
c) − 3 > − 7
x
x
1
4
d)
≥
3x − 7 3 − 2x
e) |x + 4| ≤ |2x − 6|
x+2
f)
<4
2x − 3
g) |9 − 2x| ≥ 4|x|
5
1
h)
≥
2x − 1
x−2
|x + 1| − x
≤0
x2 − 1
f ) |x − 1|2 + 2|x − 1| > 3
l) |x − 1| < 2 < |x + 1|
n) |x − 2| + |x − 1| > 1
Resp. (−∞, −1) ∪ ( 13 , ∞)
Resp. (−∞, 3) ∪ (4, ∞)
Resp. R − [− 21 , 0]
31
Resp. ( 32 , 14
) ∪ ( 73 , ∞)
Resp. (−∞, 32 ) ∪ (10, ∞)
Resp. (−∞, 10
9 ) ∪ (2, ∞)
Resp. [− 29 , 32 ]
Resp.
.
4.12 Problemas Propuestos
311
32. Resolver los sistemas de inecuaciones siguientes:
x 3x − 1
>
2
4
4
1
> x−
5
2
y
7+
2
3
y
4(x − 4) < 3x − 4
c) x2 − 3x + 2 > 0
y
x2 + x − 6 < 0
d) x2 − 3x − 18 < 0
y
−x2 − 8x + 9 > 0
a) 3x +
b) 14x − 3 > x −
33. Demostrar que:
x+1
|<2
x−2
b) |x − 3| < 1 ⇒ 6 < x + 4 < 8
1
1
1
<
c) |x − 3| < 1 ⇒ <
8 x+4 6
d) |x − 2| < 1 ⇒ |x2 − 4| < 5
e) |x − 2| < a ⇒ |x2 − 4| < a2 + 4a
34. Determinar r > 0 de modo que (4 − r, 4 + r) ⊂ (2, 5)
35. Hallar el número mínimo m con la propiedad de que para todo x ∈ R
a)
|x| < 1 ⇒ |
1 + 6x − x2 ≤ m
36. Hallar el número M máximo con la propiedad de que para todo x ∈ R
M ≤ x2 − 4x + 29
37. Probar√que √
√
√
a) 2 + 6 < 3 + 5
b) |x + y| = |x| + |y| ⇐⇒ xy ≥ 0
c) |a − b| < ε ⇒ |a| < |b| + ε
√
√ √
d) y − x > y − x, x, y ∈ R+ , x < y.
38. Sea ε > 0 número real. Probar que para cualquier x, y ∈ R+ , se tiene
√
√
|x − y| < ε 2 ⇒ | x − y| < ε
75
5
32
− 2 log + log
= log 2
16√
9
243
3
a b−1 c−2
1
40. Probar que log −1 −2 −4 1/6 = log a
2
(a b c )
41. Se define pH = − log[H + ], en donde H + es la concentración en ión hidrógeno presente
a) Dado que la concentración en ión hidrógeno de una disolución es de 3 × 10−2 , hallar su pH
b) Hallar el pH de una disolución cuya concentración en ión hidrógeno es de 4, 8 × 10−6 ,
c) Hallar la concentración en ión hidrógeno en una disolución que tiene pH = 4, 00
d) Hallar la concentración en ión hidrógeno que corresponde a un pH de 13,00
e) La sangre suele tener un pH de 7,4. Determinar cual es la concentración en ión hidrógeno.
f ) La cerveza suele tener un pH de 4,7. Determinar cual es la concentración en ión hidrógeno.
39. Probar que log
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
312
42. Calcule el pH en las ecuaciones:
a) [H + ] = 10−8 × 6, 02
b) [H + ] = 9, 5 × 10−3
c) [H + ] = 10−3
d) [H + ] = 0, 0067
Problemas
1. Hallar los números reales que cumplan que sumado con 10 sean menor que su triple.
2. Uno de los lados de un triángulo es 2 cms más corto que la base, y el otro lado es 3 cms más
largo que la base. Hallar la longitud de la base si el perímetro es mayor que 19 cms.
3. Producir x computadores tiene un costo de $ (300x+10000). Si cada uno se vende a $ 390,
determinar el número de computadores a producir para no tener pérdidas.
4. Un campesino calcula que requiere más o menos 0,6 kg de semilla para una hectárea. Hallar la
cantidad de semilla que necesita para 45 hectáreas.
5. La secretaria del Departamento de Matemática trabaja 40 horas con salario normal y 8 horas
extras a paga y media. El mes pasado su salario neto fue de $ 104. Hallar el salario por hora.
6. Una fábrica produce bolas de hule, y cada una de ellas tiene un radio de 1,5 cm. Determinar el
volumen de cada bola.
4
8
7. Un cono de helado tiene un volumen de π cm3 y un radio de cms. Hallar su altura.
3
3
8. Un humilde profesor al morir deja una herencia de $ 26.800 a su viuda y a su hijo. Si la viuda va
a recibir tres veces más que su hijo, hallar la cantidad que le corresponde a cada uno.
9. Para secar un pozo se cuenta con dos bombas, una de ellas puede secar el pozo en 2 horas, y la
otra en tres horas. Hallar el tiempo en que secan el pozo trabajando al mismo tiempo.
10. Una fábrica de confecciones produce dos tipos de sábanas, A y B, para producirlas se emplean
dos máquinas P y Q. Cada unidad de A necesita de 2 horas de uso de P y 3 horas de uso de Q.
Cada unidad de B necesita de 2 horas de uso de P y 4 horas de uso de Q. La máquina P se puede
utilizar durante 14 horas, y la máquina Q por 10 horas. Escribir un sistema de dos desigualdades
con dos incógnitas que represente la información dada.
11. El aprendizaje de una persona que comienza a digitar tiene un mejoramiento que se calcula
aproximadamente por la relación
2
N(t) = 60(1 − )
t
siendo N el número de palabras por minuto y t el tiempo en semanas. Determinar el número de
semanas en que la persona escribirá entre 30 y 50 palabras por minuto, es decir, 30 ≤ N ≤ 50.
Exprese el intervalo correspondiente a N si 5 ≤ t ≤ 8.
12. Al aplicar una sustancia tóxica a una colonia de bacterias, se encontró que el número de sobrevivientes, Q(t) en millones, después de t horas, es de Q(t) = t 2 − 8t + 16 con 0 ≤ t ≤ 4. Hallar el
intervalo en que varía t si el número de sobrevivientes es superior a 1 millón.
13. El Departamento de investigación de mercado de una empresa recomienda vender a p pesos un
artículo, para vender x unidades, lo que se determina a través de la ecuación de demanda
p = 10 −
x
1000
Determinar:
a) Intervalo correspondiente a x si 2 ≤ p ≤ 5
b) Intervalo correspondiente a p si 20 ≤ x ≤ 50
c) Número de artículos a vender si el precio es superior a 3000 pesos
4.12 Problemas Propuestos
313
14. Un Químico quiere obtener 100 litros de cerveza (¡qué asco!) al 6 % de alcohol mezclando
cerveza al 3,2 % de alcohol con cerveza al 8 % de alcohol. Determinar las cantidades de cerveza
que debe mezclar para obtener lo que quiere.
15. En los primeros días de la teoría cuantitativa del aprendizaje (alrededor de 1917) L.L. Thurstone,
encontró que una persona realizaba con éxito P(x) actos después de practicar x veces, lo que se
determinaba a través de la relación
P(x) =
100x + 200
x + 32
con 0 < x < 20. ¿ En qué condiciones P(x) > 15 ?
16. El costo total en millones de dólares por fabricar x millones de discos viene dado por la expresión
C(x) = 2 + 8x − x2 ,
0≤x≤3
a) Hallar el número de discos que se deben fabricar para que el costo total sea inferior a 14
millones.
b) Hallar el número de discos para que el costo total sea menor o igual a 9 millones de dólares.
17. Una planta de tratamiento de aguas negras deposita sus desechos en el centro de un lago mediante
un tubo que se extiende una milla hacia el centro. La concentración de la corriente R(x) en partes
por millón, a x metros del extremo del tubo se determina por la relación
R(x) = 500(x + 1)−2
Hallar la distancia mínima con respecto al extremo del tubo para que la concentración sea inferior
a 60 partes por millón.
18. Expresar las siguientes afirmaciones como una desigualdad.
a) Tengo a lo menos un 4 en la primera prueba de cálculo.
b) Mi primera nota de cálculo debe ser a lo menos un 4, pero no superior a 6.
c) Voy a resolver un mínimo de 40 problemas de la guía para que me vaya bien, pero no los
80, por que debo ir a la fiesta mechona.
d) Mi deuda con la UFRO no alcanza a los $ 500.000.
19. Decidir si es verdadero o falso
√
√
√
√
log x
x
1) 3 + 3−1 = 0 2) a2 + b2 = a + b 3) a2 + b2 = a + b 4)
= log
log y
y
6) La suma de dos números racionales es un racional
7) El producto de dos números irracionales es un racional
8) El producto de dos números irracionales es un irracional
9) La suma de un número racional y un irracional es un número irracional.
10) La suma de dos números irracionales es un racional
11) La suma de dos números irracionales es un irracional
12) Si a y b son números racionales, entonces ab es racional
13) Si a y b son números racionales, entonces ab es irracional
20. Demostrar
lo
siguiente:
7
7
8
n+1
n
n
8
8
8
10
a)
+
=
b)
=
+
c)
+2
+
=
4
3
4
k
k−1
k
6
5
4
6
x+1
x+1 x
d)
=
k−1 n
n+1
n
n
e) n > 11 =⇒
>
6
5
n
n
f) n + 1 > 2r =⇒
=
r
r−1
Capítulo 4. El conjunto de números Reales
314
21. Hallar n en las siguientes relaciones:
n
n
a)
=
3
5
n
b)
= 55
2
n+1
n
c)
=2
3
2
n
n+1
d)
÷
= 5÷6
4
3
22. Desarrollar por la fórmula del Binomio
a) (2x + y3 )3
b) (x2/3 − y2/3 )6
c) (x−1 + 2y−2 )4
1
23. Escribir el quinto término del desarrollo de ( + x)10 .
2
24. Escribir el tercer término del desarrollo de (2ab + 3a4 )5 .
25. Escribir el término central y el último de (5 − x2/3 )14 .
26. Hallar el coeficiente de r4 s5 del desarrollo de (2r − 3s)9 .
27. En el desarrollo de (1 + x)43 los coeficientes de los términos de orden 2k + 1 y k + 2 son iguales.
Determinar k.
1
28. Hallar el valor de x de modo que el sexto término de ( + x)7 sea igual al séptimo término de
2
1
8
( + x) .
2
Topología
1. Encontrar para cada conjunto A siguiente: El interior, la frontera, el conjunto derivado, la clausura,
y el exterior. Decidir si A es un conjunto abierto, cerrado o ni lo uno ni lo otro.
1
a) A = { , n ∈ Z+ } b) A = (0, 1] ⊂ R c) A = Q ⊂ R d) A = {0 < x < 1} ∩ {0 ≤ x ≤ 1}
n
e) A = {a < x < b} ∩ {c < x < d}, a, b, c, d ∈ R
2. Hallar frontera, interior, puntos de acumulación, clausura y exterior de los conjuntos:
a) A = {x ∈ R/ x2 + x < 9}
b) A = {x ∈ R/ |x − 1| + |x| < 2}
c) A = {x ∈ Z/ x2 − 2x < 0}
d) A = {x ∈ R/ x2 − x < 3} ∪ (1, 5]
3. Determinar cuáles de los siguientes conjuntos son; acotados, conexos, convexos
a) S = {x ∈ R/ x2 < 1} − {0}
b) S = {x ∈ R/ |x| ≤ 0}
c) S = {x ∈ R/ ax < 1}, a ∈ R
d) S = {x ∈ R/ x2 − 2x ≤ 9} ∪ [−2, 5)
5. Funciones Reales
5.1
Introducción
Otra forma de iniciar el estudio de funciones es imaginarnos que una función actúa como una máquina,
la cual recibe unos valores y les aplica un proceso. Este proceso es la regla que define la función,
como veremos más adelante. Imaginemos que esta máquina va a tomar los valores de un primer
conjunto, le efectua un proceso y los coloca en un segundo conjunto. Al conjunto de donde la máquina
toma inicialmente los valores le llamaremos el dominio de la función. Al conjunto donde la máquina
deposita los valores procesados le llamaremos el recorrido o rango de la función. En matemáticas
estos conjuntos suelen ser conjuntos de números.
Figura 5.1: La máquina
Una entrada es la cantidad independiente que no se repite. La salida es la cantidad dependiente. El
valor de salida depende del valor de entrada. Para cada entrada, hay una salida única. No es posible que
al darle un valor la función nos devuelva dos o más valores, pero sí es posible que nosotros le demos un
valor y la función no nos pueda devolver valor alguno. En este último caso decimos que el valor que le
dimos a la función no pertenece al dominio de la función, precisamente porque no lo puede transformar.
Notación: al número que “entra” (input) a la máquina usualmente lo denotamos con la letra x. Al
número que “sale” (output) de la máquina lo denotamos con el símbolo f (x), o simplemente y.
Capítulo 5. Funciones Reales
316
Ejemplo 5.1.1 La función f (x) = 3x + 2, como un proceso de máquina, se vería como en la figura 5.2.
Figura 5.2
Actividad 175
1. En la figura 5.3, indica que acción realiza la máquina.
2. La figura 5.4 presenta dos máquinas, halla las acciones que hace cada máquina para obtener el
resultado indicado
Figura 5.3
Figura 5.4
Actividad 176 Se cuenta con la siguiente cadena de máquinas (figura 5.5), en donde cada una hace la
acción que se indica:
1. ¿Cuál número sale si la entrada es 18?
2. ¿Cuál número hay que dar de entrada para que salga 11?
3. ¿Cuál término sale si la entrada es x?
4. ¿Cuál término hay que dar de entrada para tener de salida y?
Figura 5.5
Figura 5.6
La función como par ordenado
Al escribir las entradas y salidas de una función como “pares ordenados”, la entrada siempre va primero
y la salida después. Así por ejemplo, en la máquina (figura 5.6) que duplica (10, 20) significa que la
función toma el 10 (ingresa el 10 a la máquina) y devuelve 20. De igual modo el par (5, 10) significa
que entra el 5 y sale el 10. Esto me permite decirte que una función se puede definir también como un
conjunto de pares ordenados:
Definición 5.1.2 Una función es un conjunto de pares ordenados que no contiene dos pares distintos
con la misma primera componente; esto es, si (a, b) y (a, c) pertenecen al conjunto, entonces b = c.
Otra manera de decir lo anterior es que una entrada no puede dar dos resultados diferentes.
Ejemplo 5.1.3 El conjunto {(2, 4), (4, 5), (7, 3)} es una función, y nos dice que el 2 se relaciona con 4,
que 4 se relaciona con el 5, y que el 7 se relaciona con el 3. Además, los valores de entrada (primeras
componentes) son {2, 4, 7} y forman el dominio, y el rango es {4, 5, 3}
5.1 Introducción
317
La función como correspondencia
Otra forma de estudiar una función es a base de una correspondencia. Estas ocurren muy frecuentemente
en nuestra vida diaria. Algunos ejemplos de correspondencias son: a cada estudiante en una sala de
clases le corresponde una silla para sentarse, a cada estudiante le corresponde un número de matrícula,
etc. Estas correspondencias ocurren entre conjuntos o grupos. Muchas de ellas representan funciones,
ya que una función es un tipo de correspondencia. Volviendo a la idea de que una función trabaja como
una máquina, podemos pensar entonces que la máquina hace las veces de la correspondencia. Veáse el
siguiente diagrama sagital que asigna a elementos del dominio sus imágenes.
Figura 5.7
Definición 5.1.4 Se establece una función de un conjunto A en un conjunto B, cuando se da una regla
(criterio o ley) a través de la cual asociamos a cada elemento x de A un único elemento y de B; a dicha
regla se le denomina la regla de correspondencia o de asociación de la función, y se le denota por una
letra, tal como f . Todo esto se resume con la siguiente notación:
f : A → B, x 7→ y = f (x)
Observamos que para tener una función, debemos contar con 2 conjuntos, que pueden ser iguales
entre sí, y una regla de correspondencia con las características antes descritas. Cuando no hay lugar a
confusión, nos referimos a una función mediante la letra que usamos para su regla de correspondencia;
por ejemplo, en el caso que nos ocupa podemos hablar simplemente de la función f .
Las funciones que trabajaremos serán aquellas cuyos conjuntos inicial y final son el de los números
reales (función real de variable real). De esta forma una función creará una colección de pares de
valores reales (x, y), que gráficamente representan puntos del plano xy y que se denominan coordenadas
cartesianas del punto. A su vez cada coordenada tiene un nombre particular, x es la llamada abscisa e y
la ordenada.
Conclusión
una función relaciona entradas con salidas.
una entrada y la salida que se corresponden conforman un par ordenado.
una función toma elementos de un conjunto (el dominio) y los relaciona con elementos de otro
conjunto (el codominio).
los valores de entrada constituyen el dominio de la función.
los valores de salidas constituyen la imagen o rango de la función.
una entrada sólo produce una salida.
5.1.1
Representación de funciones
Para representar una función existen las siguientes formas:
Capítulo 5. Funciones Reales
318
Diagrama sagital
Se denomina diagrama sagital al que se construye para representar las funciones utilizando dos conjuntos
(línea curva cerrada que contiene sus elementos, y que se conocen con el nombre de diagramas de
Venn) para indicar el conjunto dominio y el conjunto de llegada. Los elementos que se relacionan por
la función se unen con una flecha.
Figura 5.8
Ventajas: el diagrama sagital permite observar rápidamente la imagen de cada elemento.
Desventajas: no es adecuado para representar funciones cuando el dominio o la imagen de la misma
son conjuntos con infinitos elementos.
Actividad 177 Considera la figura 5.8 para responder:
a) Anota dominio de f y g
c) Escribe f (3) y g(3).
b) Escribe el recorrido de f y g
Tabla
Cuando se representa una función mediante una tabla, se puede observar en la primera fila los elementos del dominio y, en la segunda los elementos de la imagen. En esta forma de representación, la
correspondencia de cada elemento con su imagen se observa en cada fila de la tabla.
tiempo (h)
distancia (km)
0
0
1
6
2
12
3
18
4
24
5
30
Ventajas: las tablas permiten observar rápidamente la imagen de cada elemento.
Desventajas: no son adecuadas para observar tendencias o evolución del fenómeno si hay muchos
elementos en el dominio.
Gráficos
Una función se representa en un gráfico
en el sistema de coordenadas cartesianas: en el eje horizontal, llamado eje de
las abscisas o eje x, se representa la variable independiente, y en el eje vertical,
que se llama eje de las ordenadas o eje
y, la variable dependiente.
Figura 5.9
5.1 Introducción
319
Ventajas: los gráficos permiten observar rápidamente tendencias o evolución del fenómeno, así como
las imágenes de los elementos que incluyen.
Desventajas: no son adecuados para predecir cómo continúa el fenómeno, extrapolar imágenes de
elementos no visibles, etc.
Fórmulas
Todo fenómeno que se pretenda modelizar necesita ser cuantificado, así las variables relacionadas
pueden considerarse como pertenecientes a conjuntos de números, en este caso hablamos de funciones
numéricas.
Actividad 178 Un pub abre a las 20 p.m. y cierra cuando todos los clientes se han ido. A partir de
registros mensuales se obtuvo una función cuadrática que permite modelizar el número de personas
que hay en el pub t horas después de su apertura, la misma es:
P(t) = 60t − 10t 2
1. Determinar el número máximo de personas que van al pub una determinada noche e indicar en
qué horario se produce la máxima asistencia de clientes.
2. Si queremos ir al pub cuando haya al menos 50 personas, ¿a qué hora tendríamos que ir?
3. Si queremos estar sentados y el pub sólo tiene capacidad para 80 personas sentadas, ¿a partir de
qué hora ya estamos seguros que no conseguiremos sillas?
Ventajas: las fórmulas permiten construir tablas y gráficos, además podemos usarlas para explicar
comportamientos pasados y extrapolar tendencias futuras. No presenta desventajas
La ley de una función puede ser definida de múltiples formas, pero en cada una de ellas debe cumplirse
la condición básica “ para cada x en el dominio de la función debe existir una y sólo una imagen de
este x”.
Actividad 179 Un auto avanza a una velocidad constante de 40 kilómetros por hora. Completa la tabla
siguiente y da respuesta a las interrogantes.
horas
distancia
x
y
1
40
2
3
4
5
6
7
¿Qué distancia recorre al cabo de 3 horas?
¿Qué distancia recorre al cabo de 6 horas?
Escribe los pares ordenados encontrados para esta relación
Escribe la relación que indica la distancia recorrida (y) en función del número de horas (x)
Resp. y = 40x
¿Todos los elementos del conjunto de partida están relacionados con algún elemento del conjunto
de llegada?
¿Cada elemento del dominio está relacionado con uno y sólo un elemento del conjunto de
llegada?
Es claro entonces que esta relación entre las variables x e y es una función.
Actividad 180 Según el gráfico de la figura 5.10, contesta las preguntas siguientes:
1. ¿Cuál es la temperatura a las 4 de la mañana? ¿a las 8 de la mañana?
2. ¿Cuál es la temperatura a las 4 de la tarde? ¿a las 10 de la noche?
3. ¿En qué intervalos de tiempo la temperatura crece? ¿en cuáles decrece?
Capítulo 5. Funciones Reales
320
4. ¿A qué hora se tiene la temperatura máxima? ¿a qué hora la temperatura es “mínima”? ¿cuáles
son esas temperaturas?
Figura 5.10
Figura 5.11
En la actividad desarrollada observamos como varía la temperatura con las horas del día. Tenemos
dos variables presentes; por una parte la temperatura, llamada variable dependiente, y la hora que se
denomina la variable independiente.
Actividad 181 La tabla siguiente muestra las temperaturas un día de invierno.
Hora del día
Temperatura
5
0
6,30
-2
7
-2,4
8,45
-1,8
9,30
2
12
8,3
14,30
12,1
16
12
18
9,2
21
7
22,30
6
Observa la tabla y responde las siguientes preguntas:
1. A las 21 hizo 7 grados. ¿Habrá hecho esa misma temperatura en algún otro momento del día?
2. ¿Cuál habrá sido la temperatura aproximada a las 17?
3. La mínima temperatura registrada fue −2, 4. ¿Habrá sido la mínima del día?
Se observa una tabla de doble entrada en donde cada hora indicada da lugar a una y sólo una
temperatura. De la tabla se consiguen algunos pares de números. Por ejemplo, (5, 0) y (21, 7). Estos
pares de números se pueden trazar en el plano cartesiano. Hazlo a continuación, uniendo los puntos
mediante segmentos de recta en la figura 5.11. Luego, responde lo siguiente:
1. ¿En qué momentos del día la temperatura aumentó y en cuáles disminuyó?
2. ¿Cuándo hizo 0◦ y cuándo 5◦ ?
3. Ni la tabla ni la gráfica nos indican qué pasó antes de las 5 ni después de las 22,30. Esos horarios
están fuera del dominio en el que se registraron datos. ¿Podríamos realizar alguna suposición
respecto de la temperatura para esos horarios?
Actividad 182 Estudiemos la variación de la superficie del cuadrado en función del lado. Considere-
mos:
y: valor del área del cuadrado.
x: valor de la longitud del lado del cuadrado.
Completa la siguiente tabla:
x
y
0
1
2
3
4
a
a+1
5.2 Funciones Reales
321
De la tabla de doble entrada se observa que a cada valor de x le corresponde un y sólo un valor al área.
Responde las siguientes preguntas:
1. ¿Cuál es la superficie de un cuadrado de 3,2 cm de lado?
2. ¿Cuál es la superficie de un cuadrado de 6,4 cm de lado, es decir, de lado doble del anterior?
3. ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado de 25 cm2 de superficie?
4. ¿cuál es el lado de un cuadrado de 10 cm2 de superficie?
5. Escribe la fórmula para el área de un cuadrado.
5.2
Funciones Reales
Las funciones f : A → B realmente se llaman “aplicaciones”. El término función corresponde al caso
en que A y B son conjuntos numéricos, que es el caso de las funciones f : R → R llamadas funciones
reales. Dado que ellas pueden representarse en el sistema cartesiano, resultan de gran ayuda a la
hora de visualizar propiedades interesantes tales como paridad, simetrías, monotonía, acotamiento,
peridiocidad, etc.
Recordemos que:
Una función real f de variable real ( f : R → R) es una regla que asigna a cada número real x en
el dominio de f , un único número real f (x).
En la función y = f (x), la variable x es la variable independiente e y la variable dependiente.
Una función de este tipo puede ser especificada:
• numéricamente: Por medio de una tabla.
• algebraicamente: Por medio de una fórmula.
• gráficamente: Por medio de una gráfica.
La gráfica de una función es el conjunto de todos puntos (x, f (x)) en el plano, con x ∈ dom( f ).
Las funciones a las que estudiaremos algunas características o propiedades son:
Funciones polinomiales
(lineales y cuadráticas).
Funciones racionales.
Funciones radicales.
Funciones exponenciales.
5.2.1
Funciones logaritmicas.
Funciones trigonométricas.
Funciones especiales: valor absoluto, parte
entera, definida por tramos.
Determinación del dominio
La determinación del dominio de una función es un proceso fundamental. Hacemos un listado de las
funciones básicas más usuales y sus dominios:
Función polinomial: f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
Dominio = Todos los números reales; dom( f ) = R
Función Raíz: f (x) =
√
x
Dominio: Todos los números reales mayores o iguales a cero; dom( f ) = {x ∈ R/ x ≥ 0}
Capítulo 5. Funciones Reales
322
P(x)
, P y Q polinomios
Q(x)
Dominio: Todos los números reales menos aquellos números reales que anulen el denominador.
Función Racional: f (x) =
dom( f ) = {x ∈ R/ Q(x) 6= 0}
Función Logaritmo: f (x) = loga x, a 6= 1, a > 0.
Dominio: Todos los números reales positivos; dom( f ) = {x ∈ R/ x > 0}
Función Exponencial: f (x) = ax , a 6= 1, a > 0.
Dominio: Todos los números reales; dom( f ) = R
Función Valor Absoluto: f (x) = |x|.
Dominio: Todos los números reales; dom( f ) = R
Funciones Trigonométricas:
1. f (x) = sen x tiene dominio R
2. f (x) = cos x tiene dominio R
3. f (x) = tg x tiene dominio R − { π2 + n π}, n ∈ N
4. f (x) = cotg x tiene dominio R − {π + n π}, n ∈ N
5. f (x) = sec x tiene dominio R − { π2 + n π}, n ∈ N
6. f (x) = cosec x, tiene dominio R − {n π}, n ∈ N
x+1
Ejemplo 5.2.1 Consideremos la fórmula f (x) =
x−1
Si queremos que represente una función debemos determinar los valores de la variable independiente x
que indefinen la fórmula. Una fracción se indefine sólo si el denominador se anula, y eso acontece si
x+1
representa una función si
x = 1. Por tanto, f (x) =
x−1
dom( f ) = {x ∈ R/ x 6= 1} = R − {1}
de este modo todo elemento tiene una imagen, y ésta es única.
√
Ejemplo 5.2.2 La fórmula f (x) = 4 − x es una función si se considera como dominio el conjunto
dom( f ) = {x ∈ R/ 4 − x > 0} = {x ∈ R/ x < 4}
p
Ejemplo 5.2.3 Probar que el dominio de la función f (x) = x(5 − x) es el intervalo [0, 5].
Como se trata de la función raíz cuadrada, su cantidad subradical debe ser mayor o igual a cero. Esto es
x(5 − x) ≥ 0 =⇒ x = 0
y x = 5 son puntos criticos
recordando el trabajo con desigualdades en la recta, tenemos lo siguiente
Actividad 183 Para las fórmulas dadas, establece el dominio que las transforma en función:
5.2 Funciones Reales
323
f (x) = (x − 1)3
f (x) = x + 2
f (x) =
5.2.2
√
x2 − 4
f (x) =
1
√
1+ 3 x
f (x) = |x − 3|
x
f (x) = 2
x −1
Recorrido de la función
Recordemos que el recorrido de una función es el conjunto de todas las imágenes que toma la función.
3−x
Ejemplo 5.2.4 Determinar dominio y recorrido de la función f (x) =
x
Se trata de una función racional, así que su dominio debe excluir los ceros del denominador.
dom( f ) = R − {0}
Para el recorrido procedemos del modo siguiente
y=
3−x
3
=⇒ xy = 3 − x =⇒ x =
x
1+y
Con este proceso hemos establecido que, para obtener el elemento y del recorrido debemos elegir en el
3
dominio de f el elemento x = 1+y
, cuyo requisito para existencia es que y 6= −1. Por tanto, el recorrido
de la función es
rec( f ) = R − {−1}
la gráfica de la función se muestra en la figura 5.12.
Figura 5.12
Ahora vamos a definir los aspectos conceptos que permiten la descripción de la gráfica de una función.
Funciones pares e impares
Se supone que x ∈ A =⇒ −x ∈ A.
1. La función f es par si y sólo si f (x) = f (−x), ∀x ∈ A
2. La función f es impar si y sólo si f (x) = − f (−x), ∀x ∈ A
Capítulo 5. Funciones Reales
324
En términos geométricos, el que f sea par o impar significa que:
(x, y) ∈ gr( f ) =⇒ (−x, y) ∈ gr( f )
(x, y) ∈ gr( f ) =⇒ (−x, −y) ∈ gr( f )
Deducimos así, que las funciones pares presentan simetría respecto del eje y, y las impares respecto del
origen de coordenadas (figura 5.13).
Figura 5.13
Ejemplo 5.2.5 La función f : R → R, con f (x) = x2 + 2x − 1, no es par ni impar. En efecto;
f (x) = x2 + 2x − 1 =⇒ f (−x) = x2 − 2x − 1 =⇒ − f (−x) = −x2 + 2x + 1
Se observa que f (x) es diferente, tanto de f (−x) como de − f (−x). Su gráfica la muestra la figura
5.14(a).
Ejemplo 5.2.6 La función f : R → R, con f (x) = x3 − 3x es impar, pues
f (x) = x3 − 3x =⇒ f (−x) = −x3 + 3x =⇒ − f (−x) = x3 − 3x
Su gráfica en la figura 5.14(b).
Figura 5.14
Funciones Monótonas
Bajo este nombre se encuentran las funciones; crecientes, decrecientes, estrictamente crecientes y
estrictamente decrecientes.
5.2 Funciones Reales
325
Definición 5.2.7 Sea f función:
1.
2.
3.
4.
f
f
f
f
es creciente si y sólo si a < b =⇒ f (a) ≤ f (b)
es decreciente si y sólo si a < b =⇒ f (a) ≥ f (b)
es estrictamente creciente si y sólo si a < b =⇒ f (a) < f (b)
es estrictamente decreciente si y sólo si a < b =⇒ f (a) > f (b)
Figura 5.15
A partir de la gráfica, siempre es posible determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Sin
la gráfica, el método más cómodo para estudiar la monotonía de una función (sin derivada) es mediante
la tasa de variación media.
Definición 5.2.8 La tasa de variación media de una función f en un intervalo [x1 , x2 ], es:
tasa de variación media[x1 ,x2 ] =
f (x2 ) − f (x1 )
x2 − x1
La tasa de variación media (TVM) en un intervalo es la pendiente de la recta que une los puntos de la
gráfica correspondientes a los extremos del intervalo.
Figura 5.16: tasa de variación media
Capítulo 5. Funciones Reales
326
Función creciente en intervalo [x1 , x2 ]
x1 < x2 =⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 )
x1 − x2 < 0 =⇒ f (x1 ) − f (x2 ) ≤ 0
Si dividimos la variación de la imagen entre la variación de los argumentos, el cociente (tasa de
variación media) será mayor o igual que cero:
TV M[x1 ,x2 ] =
f (x1 ) − f (x2 )
≥0
x1 − x2
f es estrictamente creciente en [x1 , x2 ] si y sólo si
TV M[x1 ,x2 ] =
f (x1 ) − f (x2 )
> 0, ∀x1 , x2 ∈ D
x1 − x2
f es decreciente en [x1 , x2 ] si y sólo si
TV M[x1 ,x2 ] =
f (x1 ) − f (x2 )
≤ 0, ∀x1 , x2 ∈ D
x1 − x2
f es estrictamente decreciente en [x1 , x2 ] si y sólo si
TV M[x1 ,x2 ] =
f (x1 ) − f (x2 )
< 0, ∀x1 , x2 ∈ D
x1 − x2
Ejemplo 5.2.9 Hallar la tasa de variación media de la función f (x) = 2x2 − 3x en el intervalo [1, 2].
Indica si la función crece o decrece en ese intervalo.
Aplicamos la definición de TVM
TV M =
f (x2 ) − f (x1 )
f (2) − f (1) 2 − (−1)
=
=
=3
x2 − x1
2−1
1
dado que la TVM es postiva en ese intervalo, la función es creciente allí.
Ejemplo 5.2.10 Considerar la figura 5.17 para hallar TVM en el intervalo [0, 2] y [2, 5]
En el intervalo [0, 2] se tiene
TV M =
f (x2 ) − f (x1 ) f (2) − f (0) 5 − 1
=
=
=2
x2 − x1
2−0
2
Así, la función es creciente en ese intervalo.
En el intervalo [2, 5] se tiene
TV M =
Figura 5.17
f (x2 ) − f (x1 ) f (5) − f (2) −4 − 5
=
=
= −3
x2 − x1
5−2
3
Así, la función es decreciente en ese intervalo.
5.2 Funciones Reales
5.2.3
327
Funciones Periódicas
Esta es una de las características importantes de las funciones trigonométricas, cuyo estudio realizamos
al final del capítulo.
Definición 5.2.11 Se supone que si x ∈ A, entonces (x + p) también lo está. Sea p número real positivo.
La función f se dice periódica si y sólo si f (x) = f (x + p), ∀x ∈ A. El menor número p se llama
periodo de la función
Geométricamente, el hecho que f sea periódica, significa que
(x, y) ∈ gr( f ) =⇒ (x + p, y) ∈ gr( f )
Figura 5.18: función periódica
5.2.4
Funciones Acotadas
Para determinar, en forma gráfica esta característica, debemos conocer el recorrido de la función.
Definición 5.2.12 Una función f es acotada si y sólo si el rango de f es un conjunto acotado (superior
e inferiormente)
La función f : R → R, con f (x) = x2 + 1 es acotada inferiormente por y = 1, pero
no lo es superiormente. En consecuencia, no es una función acotada. (figura 5.19a)
Ejemplo 5.2.13
La función f : R → R, con f (x) = x3 −3x no es acotada ni inferior ni superiormente.
En consecuencia, no es una función acotada. (figura 5.19b)
Ejemplo 5.2.14
Figura 5.19
Gráfico de la función
Hemos dicho que cuando la entrada x (variable independiente) y la salida y (variable dependiente) son
números reales, una función puede representarse mediante una gráfica en un sistema de coordenadas.
Capítulo 5. Funciones Reales
328
Los puntos del dominio se representan en el eje x (abscisas) y los puntos de salida (recorrido o rango)
se representan en el eje y.
Definición 5.2.15 Sea f : A ⊂ R −→ R una función. El gráfico o gráfica de f es el conjunto de todos
los pares ordenados (x, f (x)) tal que x ∈ dom( f ). A su representación en el plano se le denomina curva
o lugar geométrico. Escribimos
gra f ( f ) = {(x, f (x)) ∈ R × R/ x ∈ A}
Al representar una función f en el sistema cartesiano, los pares ordenados
(x, f (x)) se representan como puntos en
el plano, de manera que podemos concluir que la gráfica de una función es un
subconjunto del plano cartesiano. No
toda curva en un plano cartesiano representa una función por lo tanto, tiene
sentido preguntarse ¿Cuándo una curva
en un plano cartesiano representa una
función?
Figura 5.20
La prueba de la línea vertical
Para quien está recién haciendo sus primeros pasos en el estudio de las funciones, no es sencillo, a partir
de una fórmula, descubrir si se trata de una función o no, por ejemplo, de las expresiones: x2 + y2 = 1
y x2 − y = 0, solamente la segunda de ellas es una función ¿Cómo saberlo? La gráfica en el plano
cartesiano nos puede ayudar, ya que, en un gráfico de función, ninguna línea vertical la intersecta más
de una vez. Si alguna cruzara más de una vez no sería una función.
Figura 5.21
5.3
Tipos de funciones
Dependiendo de las características que tome la función f en x, tendremos distintos tipos de funciones:
Función polinómica
Esta clase de funciones se caracterizan por ser de la forma
f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn
en donde los ai son números reales y se denominan coeficientes de la función polinomial.
5.3 Tipos de funciones
329
Uno de los elementos importantes para graficar estas funciones es conocer su dominio y recorrido. Para
conocer el recorrido debemos ver si n es par o impar y que signo tiene el coeficiente de an .
1. Si an > 0 y n es par, entonces el recorrido es el intervalo [m, ∞), siendo m el mínimo valor de la
función. Por ejemplo, con an = 1, n = 2 se tiene la parábola y = x2 , que satisface esta propiedad.
En este caso m = 0.
2. Si an < 0 y n es par, entonces el recorrido es el intervalo (−∞, M], siendo M el máximo valor
de la función. Por ejemplo, con an = −1, n = 2 se tiene la parábola y = −x2 , que satisface esta
propiedad. M = 0
3. Si n es impar, entonces el recorrido es el intervalo (−∞, ∞). En este caso la función no tiene valor
mínimo ni máximo. Por ejemplo, con n = 3 se tiene la cúbica y = x3 que satisface esta propiedad.
Figura 5.22
Como caso particulares de la función polinómica están:
Función constante
Si hacemos n = 0 en la función polinómica, se obtiene f (x) = a0 . Esta expresión se conoce como
función constante. Por lo general, se usan otras letras, como k, para denotar esta clase de funciones.
La característica principal de esta función es que a todo elemento de su dominio les asigna siempre la
misma imagen, un número. Su representación gráfica corresponde a una recta paralela al eje de las x.
Su dominio es R y su recorrido es también R. (figura 5.23)
Función Identidad
En este caso, se consideran n = 1, a1 = 1 y a0 = 0 en la función polinómica para obtener
f (x) = x
La función identidad tiene la propiedad de que a cada argumento x del dominio le hace corresponder
el mismo valor en el codominio y, por lo tanto, éste es R. La gráfica de esta función es la recta que
pasa por el origen y tiene un ángulo de inclinación de 45◦ (figura 5.23). Por ser un caso particular de la
función polinómica, y tener exponente impar, su recorrido es todo R.
Función lineal
Una relacion funcional de la forma y = mx + n se denomina función lineal. Se obtiene a partir de la
función polinómica, considerando n = 1, a1 = m y a0 = n. Su dominio son todos los números reales.
Capítulo 5. Funciones Reales
330
El número real m se llama pendiente o tasa de cambio de y con respecto a x. El número real n es el
punto donde esta función se intersecta con el eje de ordenadas, se denomina coeficiente de posición.
Por tratarse de una función polinómica de exponente impar, su recorrido es R. (figura 5.23). Para
graficarla se consideran un par de puntos y luego se traza una recta por esos puntos. Por lo general, se
consideran los puntos que intersectan los ejes de coordenadas, para ello, con x = 0 se encuentra el valor
de y (si existe), luego con y = 0 se halla el valor de x (si existe).
Figura 5.23
Actividad 184 Considera la función que a todo número real de entrada le asigna el doble del número.
1. Anota la fórmula de esta función.
2. Anota el dominio de la función.
3. Anota el recorrido de la función.
4. Haz la gráfica de la función.
Si la pendiente m no viene explicitada, con dos puntos que estén en la recta la podemos encontrar
usando el hecho de que
diferencia de ordenadas
pendiente m =
diferencia de abscisas
La característica geométrica de una función lineal es que representa una línea recta, de modo que su
representación gráfica y los valores asignados a la pendiente m y al coeficiente de posición n, son de
gran utilidad en la interpretación de situaciones prácticas. La representación gráfica de la función lineal
de acuerdo a las propiedades asociadas a la pendiente son las que muestra la figura 5.24b.
Figura 5.24
5.3 Tipos de funciones
331
Actividad 185 Considera la función y = 2x − 1
a) Determina la pendiente
b) Halla el coeficiente de posición
x
y
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
c) Tabula algunos puntos:
5
Con estos datos bosqueja la recta en el sistema de la figura 5.24a.
Actividad 186 Graficar en un mismo plano cartesiano (figura 5.25), cada terna de funciones:
a) f (x) = x,
f (x) = 2x,
f (x) = x − 1
b) f (x) = −x,
f (x) = −3x,
f (x) = −x + 1
Figura 5.25
De la actividad anteriores puedes decidir ¿cuándo dos rectas son paralelas?
Actividad 187 El costo fijo de producción de carbón es de $50.000 al mes y el costo variable de
producir cada kilo es de $1180.
1. ¿Cuál es la función de costo total?
2. ¿Cuál es el costo de producir 100 kilos de carbón?
Actividad 188 La gráfica de la temperatura en grados Fahrenheit (F) en función de la temperatura en
grados celcius (C) es una recta. Se sabe que 212◦ F y 100◦ C representan la temperatura a la que hierve
el agua. De igual manera, 32◦ F y 0◦ C representan el punto de congelación del agua.
1. Escribir la ecuación de la recta
2. Escribir la pendiente de la recta
3. ¿Qué temperatura F corresponde a 20◦ C?
4. ¿Qué temperatura tiene el mismo valor tanto en F como en C?
5. Graficar la recta
Actividad 189 Cuando el precio p es de 50 dólares, hay disponibles 50 kilos de salitre. Cuando
el precio es de 75 dólares, hay disponibles 100 kilos de salitre. ¿Cuál es la ecuación de la oferta
suponiendo que la relación es lineal?
Resp. p = 12 x + 25
Capítulo 5. Funciones Reales
332
Actividad 190 Una fabrica recibe 30 dólares por cada unidad de producción vendida. Los costos
variables por unidad son de 20 dólares y un costo fijo de 1.800 dólares. Hallar el nivel de utilidad si se
venden: (Sólo debes saber que Utilidad = Ingresos - Costos)
a) 200 unidades
b) 300 unidades
c) 100 unidades
Función cuadrática
Una función cuadrática es una función polinómica grado 2.
Definición 5.3.1 Una función de la forma f (x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a es
diferente de cero, se conoce como función cuadrática.
La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. Una parábola se abre hacia arriba
si a > 0 y se abre hacia abajo si a < 0. El vértice de una parábola se puede hallar por la fórmula:
b
b
− ,f −
2a
2a
Las raíces de la parábola y = ax2 + bx + c se calculan mediante la fórmula de la cuadrática:
√
−b ± b2 − 4ac
x=
2a
A la expresión b2 − 4ac se le llama discriminante, pues su valor sirve para discriminar la naturaleza
de las raíces y se lo simboliza con la letra griega ∆ (delta), es decir
∆ = b2 − 4ac
Si ∆ > 0, las raíces son reales y distintas.
Si ∆ < 0, las raíces son complejas
Si ∆ = 0, las raíces son reales e iguales
Su significado gráfico se muestra en la figura 5.26.
Figura 5.26
Para graficar la parábola y = ax2 + bc + c debemos tener presente lo siguiente:
Si a > 0 la parábola se abre hacia arriba.
5.3 Tipos de funciones
333
Si a < 0 la parábola se abre hacia abajo
Hallado el vértice, se tiene localizado el eje de simetría.
El discriminante permite caracterizar las raíces.
Ejemplo 5.3.2 Dada la función f (x) = x2 + 2x − 3 calcular los elementos de ella y graficarla.
Comparando con la ecuación cuadrática general y = ax2 + bx + c, se observa que a = 1, b = 2 y c = −1.
b
= − 22 = −1.
Como a = 1 > 0, entonces la parábola se abre hacia arriba. La abscisa del vértice es − 2a
La ordenada es f (−1) = −4.
Por tanto, el vértice tiene coordenadas
V = (−1, −4)
Con esto deducimos que el eje de simetría es
x = −1. El discriminante
∆ = b2 − 4ac = 4 − (−12) = 16 > 0
Por tanto, hay dos raíces reales y distintas,
ellas son
x1 = 1
y x2 = −3
Figura 5.27
La grafica se muestra en la figura 5.27.
Actividad 191 Dada la función f (x) = −x2 + 4x − 3 calcular los elementos de ella y graficarla.
En este caso, a = −1, b = 4 y c = −3. De esto se obtiene que el vértice tiene coordenadas
b
b
V = − , f (− ) = (2, 1)
2a
2a
Se sigue que el eje de simetría es x = 2.
Para el discriminante se tiene
b2 − 4ac = 42 − 4(−1)(−3) = 4 > 0
De este modo, existen dos raíces reales
y distintas. 5
√
√
−4 ± b2 − 4ac −4 ± 4
=
x=
2a
−2
ellas son, x1 = 1, x2 = 3. Su gráfica se
muestra en la figura 5.28.
Figura 5.28
Actividad 192 Un Gerente ha realizado un estudio de mercado que revela que la función de demanda
q de uno de sus productos es
q = f (p) = p2 − 70p + 1225
Capítulo 5. Funciones Reales
334
1. Si al producto le pone precio de p = $100, hallar la demanda.
2. Si la demanda es de 1225 productos ¿Cuál es el precio?
3. Usar la figura 5.29a para graficar la función.
Figura 5.29
Actividad 193 En un mismo sistema de coordenadas, figura 5.29b, graficar las funciones:
y = x2 ,
y = (x + 1)2 ,
y = (x − 1)2 ,
y = x2 + 1,
y = x2 − 1
Actividad 194 Una epidemia se empieza a propagar por el país. El Servicio de Salud de la Araucanía
estima que el número de personas que la contraerán es una función del tiempo transcurrido desde que
se descubrió la epidemia, para ello establece la siguiente ecuación
n = f (t) = 300t 3 − 20t 2
en donde n es el número de personas
enfermas y 0 < t ≤ 30, medidos en días
contados a partir de la detección de la
epidemia.
1. ¿Cuántas personas contraerán la
epidemia al cabo de 10 días?
2. ¿Cuántas personas la contraerán
al cabo de 15 días?
3. Usar la figura 5.30 para bosquejar
la función.
Figura 5.30
5.3.1
Función Valor Absoluto
(
x
,x ≥ 0
La función f : R → R, tal que f (x) = |x| =
−x , x < 0
se llama función valor absoluto. Su gráfica se muestra en la figura 5.31(a). Esta función es par, acotada
inferiormente por el eje x, no acotada superiormente, su único cero es x = 0. Es decreciente en (−∞, 0)
y creciente en (0, ∞).
5.3 Tipos de funciones
335
Figura 5.31
5.3.2
Función parte entera
La función f : R → R, tal que f (x) = [x] = máx{k ∈ Z/ k ≤ x}, se llama función parte entera de x.
Esta función no es acotada superior ni inferiormente, no es par ni impar, es cero sólo cuando los valores
de x fluctúan en [0, 1). Además tiene la característica de ser constante en cada subintervalo de extremos
enteros consecutivos. Es claramente creciente. Su gráfica la muestra la figura 5.31(b).
Función potencial
La función f : R → R, tal que f (x) = xn , con n ∈ N se llama función potencial. Se observa que esta
función se obtiene de la polinomial si ai = 0, ∀i 6= n y an = 1.
Posee las siguientes propiedades, dependiendo de que n sea par ó impar.
1. Si n es par, entonces su único cero es x = 0. Es una función par, decreciente en (−∞, 0] y es
creciente en [0, +∞), acotada inferiormente. Todas las trayectorias pasan por el (1, 1). A medida
que n crece los valores de la función decrecen para 0 < x < 1, acercándose al eje x, y para x > 1
las trayectorias crecen sin cota (figura 5.32(a)).
2. Si n es un natural impar, entonces es una función impar, su única raíz está en x = 0, es
estrictamente creciente y no acotada. Al igual que el caso par, todas las trayectorias pasan por
el (1, 1). Para valores de x entre 0 y 1 los valores de la función decrecen acercándose al eje
x, y para valores de x entre -1 y 0 los valores de la función crecen acercándose al eje x. Para
valores de x mayores que 1 y menores que -1 los valores de la función crecen y decrecen sin cota,
respectivamente (figura 5.32(b)).
Figura 5.32
Capítulo 5. Funciones Reales
336
5.3.3
Funciones biunívocas
Sea f : A → B. Hemos mencionado que un caso particularmente importante relacionado con la imagen
recíproca de un elemento y ∈ B es cuando existe un único elemento x ∈ A tal que y = f (x). En este
caso la operación f −1 es una aplicación de B en A, llamada función recíproca de f . Veamos cuando
ocurre esto
Funciones Inyectivas
Te presento una primera aproximación a este concepto.
Actividad 195 La figura 5.33 muestra dos aplicaciones en un esquema sagital
Figura 5.33
1. Determina si ambas aplicaciones son funciones.
2. Busca alguna diferencia entre estas aplicaciones
Definición 5.3.3 La función f : X → Y es inyectiva o uno a uno si a elementos distintos en X
corresponden imágenes distintas en Y . Esto es,
f inyectiva ⇐⇒
x1 6= x2 =⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ), ∀ x1 , x2 ∈ X
Al considerar la contra-recíproca de la definición se establece que
f inyectiva ⇐⇒ f (x1 ) = f (x2 ) =⇒ x1 = x2
Esta última expresión es la que emplea para probar inyectividad.
En términos gráficos, la inyectividad significa que:
En el rango de la función, a saber f (A), toda recta paralela al eje x corta al gráfico de f en a lo más
un punto.
Actividad 196
La función, en la figura 5.34, tiene por
dominio el conjunto de los números
reales y por codominio el conjunto de
los reales no negativos.
1. Traza una recta paralela al eje x
y sobre el recorrido de la gráfica.
¿esta recta intersecta a la gráfica
en más de un punto?
2. Proporciona dos elementos del
dominio que tengan igual imagen.
Figura 5.34
5.3 Tipos de funciones
337
Funciones Sobreyectivas
Actividad 197 La figura 5.35 muestra dos aplicaciones en un esquema sagital
Figura 5.35
1. Determina si ambas son funciones.
2. ¿Busca alguna diferencia entre estas aplicaciones.
Definición 5.3.4 La función f : X → Y es sobreyectiva o sobre si para todo elemento y ∈ Y , existe
su correspondiente elemento x ∈ X, tal que y = f (x). Es decir,
f sobreyectiva ⇐⇒
( ∀ y ∈ Y ) ( ∃x ∈ X ) ( y = f (x) )
La función f : X → Y se llama biyectiva, si es, al mismo tiempo, sobreyectiva e inyectiva
En términos gráficos, que la función sea sobreyectiva, significa que en el codominio de la función:
toda recta paralela al eje x debe cortar al gráfico de f
Dicho de otra forma: Una función f es sobreyectiva cuando el recorrido de la función es igual al
codominio, es decir, cuando todos los elementos del conjunto de llegada son imagen de por lo menos
un elemento del dominio.
Actividad 198 Determinar, de las aplicaciones en diagrama sagital siguientes, si alguna de ellas
representa una función sobreyectiva. (figura 5.36)
Figura 5.36
Dada cualquier función f , siempre es posible construir una función sobreyectiva considerando
f : A → f (A)
Las funciones que son inyectivas y sobreyectivas se llaman biyectivas.
Capítulo 5. Funciones Reales
338
Actividad 199 Entre las siguientes aplicaciones, determina cuáles son inyectivas, cuáles sobreyectivas,
y si existe alguna biyectiva. (figura 5.37)
Figura 5.37
Ejemplo 5.3.5 Probemos que la función f (x) = x2 , con dominio R y rango R+ ∪ {0}, es sobreyectiva
pero no inyectiva.
Solución
Sobreyectividad:
Debemos probar que, dado cualquier elemento y ∈ R+ ∪ {0}, existe x ∈ R, tal que y = f (x) = x2 .
En efecto, si y ∈ R+ ∪ {0}, entonces este y tiene la forma y = x2 . Al resolver esta ecuación se
√
√
obtiene x = ± y. Luego, los elementos x que producen y como imagen tiene la forma x = ± y. Esto
prueba que f es sobreyectiva. ¡Atención!, cualquier función que se tome sobre su rango o recorrido es
evidentemente sobre (codominio=rango)
Inyectividad:
Para probar inyectividad se usa el hecho que a imágenes iguales deben corresponder elementos iguales.
Esto es,
f inyectiva ⇐⇒ f (x1 ) = f (x2 ) =⇒ x1 = x2
En este caso, esto equivale a lo que sigue.
5.3 Tipos de funciones
339
f (x1 ) = f (x2 ) =⇒ x12 = x22 =⇒ x12 − x22 = 0
=⇒
(x1 − x2 ) (x1 + x2 ) = 0
no se sigue, necesariamente, que x1 = x2 , puede ocurrir que sea x1 = −x2 . Por tanto, esta
función no es inyectiva. No olvidar que para
probar que una propiedad no es verdadera es
suficiente con un contra-ejemplo. En este caso, x = 1 y x = −1 son elementos distintos en
el dominio de la función, y sus imágenes son
iguales 12 = (−1)2 .
Figura 5.38
Se puede lograr que esta función sea inyectiva, “restringiendo” su dominio. Es decir, considerando por
ejemplo, sólo valores no negativos de su argumento x. Esto es,
f : R+ ∪ {0} → R+ ∪ {0}
si es inyectiva, y además sobreyectiva. Lo que equivale a decir que f es una biyección.
Ejemplo 5.3.6 La función f : R → R+ , x 7→ xn , con n número natural par, no es inyectiva. Sin embargo,
su restricción a R+ si lo es. Más aún, es una biyección. Esto es
f /R+ : R+ → R+ ,
x 7→ xn
es una función biyectiva.
1
6x − 1
. Vamos a determinar si f es una biyección.
3
3x − 1
En caso de no serlo, restringimos su dominio y/o codominio para que lo sea.
Ejemplo 5.3.7 Sea f : R − { } → R, tal que f (x) =
Solución
1) Inyectividad
6x1 − 1 6x2 − 1
=
=⇒ (6x1 − 1)(3x2 − 1) = (6x2 − 1)(3x1 − 1)
3x1 − 1 3x2 − 1
=⇒ 18x1 x2 − 6x1 − 3x2 + 1 = 18x1 x2 − 6x2 − 3x1 + 1
f (x1 ) = f (x2 ) =⇒
=⇒ x1 = x2
Se concluye que la función es ¡¡ inyectiva !!
2) Sobreyectividad
Capítulo 5. Funciones Reales
340
Para determinar si la función es sobreyectiva, elegimos y ∈ R, y vemos si existe el correspondiente
1
x ∈ R − { }.
3
6x − 1
1−y
= y =⇒ x =
3x − 1
6 − 3y
1
Si y = 2, es claro que no existe x ∈ R − { }. Lue3
go f no es sobreyectiva. Como y = 2, es el único
valor de y que “molesta”, prescindiendo de él la
función se puede hacer sobreyectiva. Esto es,
1
f : R − { } → R − {2},
3
x 7→ f (x) =
6x − 1
3x − 1
Figura 5.39
resulta ser una biyección.
Actividad 200
Figura 5.40
La figura 5.40 muestra los siguientes casos:
f : R → [0, 4], tal que f (x) = 4 − x2 . Esta función es sobreyectiva, pero no inyectiva.
f : R → { 25 }, tal que f (x) = 52 . Esta función es sobreyectiva, pero no inyectiva.
f : R → R, tal que f (x) = 1 − x. Esta función es inyectiva y sobreyectiva.
5.3.4
Función compuesta
Si se toman dos funciones y se “conectan” mediante cierto proceso, entonces, bajo ciertas condiciones,
dan origen a una nueva función. Esta es otra forma de ir creando nuevas funciones a partir de funciones
conocidas. Para ilustrar la situación consideramos la analogía de máquina que muestra la figura 5.41.
Figura 5.41
Esto se debe entender que componerlas significa aplicar una tras otra.
5.3 Tipos de funciones
341
Actividad 201 La figura 5.42a muestra dos máquinas, a la primera la llamamos f y a la segunda g
Figura 5.42
1.
2.
3.
4.
Si por la máquina f entra x = 2, determina el valor de salida en la máquina g
Halla (g ◦ f )(2) = g( f (2)) =
Encuentra g( f ()) =
Escribe la fórmula de g( f (x))
Actividad 202 La figura 5.42b muestra las dos máquinas anteriores, pero ahora actúa primero g.
1.
2.
3.
4.
5.
Si por la máquina g entra x = 2, determina el valor de salida en la máquina f
Halla ( f ◦ g)(2) = f (g(2)) =
Encuentra f (g()) =
Escribe la fórmula de f (g(x))
Anota tu conclusión de estas dos actividades.
Actividad 203 Sean f (x) = x2 y g(x) = x − 3. Construye una máquina que permita hallar las funciones
g ◦ f y f ◦ g, y sus respectivos dominios. Si tu máquina funciona debe verificar que ( f ◦ g)(4) = 1 y
(g ◦ f )(4) = 13.
Figura 5.43: función compuesta
Definición 5.3.8 Sean f : A → B, g : B → C funciones. La función g ◦ f : A → C tal que (g ◦ f )(x) =
g[ f (x)], se llama función compuesta de f y g
El dominio de g ◦ f es un subconjunto del dominio de f y se escribe Dg◦ f . El codominio de g ◦ f es el
codominio de g. De este modo, a cualquier elemento x ∈ domg◦ f la función g ◦ f le hace corresponder
g[ f (x)]
Capítulo 5. Funciones Reales
342
La condición necesaria para que exista la compuesta es que, el recorrido de la función f sea un
subconjunto del dominio de la función g (figura 5.43).
Ejemplo 5.3.9 Supóngase que la función
y = f (x) = 50 + 2x
representa el salario semanal que percibe un vendedor, el que se encuentra determinado por el número
de unidades x vendidas en la semana. Si a esto agregamos que la cantidad x vendida semanalmente por
el vendedor depende del precio del producto, y que tal cantidad está dada por
x = g(p) = 150 + 2, 5 p
entonces el sueldo semanal se puede expresar directamente en función del precio por unidad. Esto es
y = f (g(p)) = f (150 + 2, 5 p) = 2 (150 + 2, 5 p) + 50 = 350 + 5p
Para tener un caso concreto, si el producto se vende a $10 en una semana, entonces la cantidad que
puede vender es
x = 150 + 2, 5 · 10 = 175 unidades
Esto le reporta un sueldo, en esa semana, de
y = f (175) = 2 · 175 + 50 = $400
Ejemplo 5.3.10 Si f : R− → R+ , f (x) = −x, g : R → R+ , g(x) = x2 , calcular (g◦ f )(−5), ( f ◦g)(−5),
y determinar para que valores de x existe (g ◦ f )(x + 3).
Solución
(g ◦ f )(−5) = g( f (−5)) = g(5) = 25
Por otra parte,
( f ◦ g)(−5) = f (g(−5)) = f (25),
25 6∈ Dom( f )
En consecuencia, ( f ◦ g)(−5) no existe. Por último,
(g ◦ f )(x + 3) = g( f (x + 3)) = g(−(x + 3))
= (x + 3)2 , siempre que x + 3 < 0
5.3.5
Función Inversa
Una forma sencilla de visualizar la existencia de la función inversa y sus requisitos es mediante
diagramas sagitales.
Actividad 204 Observa la función f dada en diagrama sagital de la figura 5.44.
5.3 Tipos de funciones
343
Figura 5.44
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Determina si es inyectiva y/o sobreyectiva
¿se puede invertir la correspondencia? Esto es, ¿se puede construir una función g : B → A?
Anota las imágenes de f
Anota las imágenes de g
Calcula f ◦ g y g ◦ f . ¿alguna conclusión?
¿Es cierto que g “deshace” lo que f “hace”?
Actividad 205 Para cada una de las funciones, en la figura 5.45.
1. ¿Es posible invertir la correspondencia?
2. ¿Puedes establecer un requisito para que exista g : Y → X?
Figura 5.45
El uso de diagramas sagitales permite claridad en los conceptos, pero no es útil en los casos prácticos.
Te muestro otra forma de entrar al estudio de la inversa, y que permite luego aplicarla en la práctica.
5.3.6
La máquina de la inversa
A la máquina que deshace (o invierte) todo lo que hace una función dada se le llama la función inversa
de la función dada. Así por ejemplo, lo inverso de “duplicar por dos” es “dividir entre dos” y lo inverso
de “aumentar en uno” es “disminuir en uno”.
Vamos a mirar este concepto con funciones inversas como muestra la figura 5.46.
Capítulo 5. Funciones Reales
344
Figura 5.46
Así, si f toma a y lo transforma en b, entonces f −1 deshace lo que hizo f para que recibamos como
salida el mismo valor, a, con que comenzamos.
En la figura 5.47 se observan los procesos entre f y su inversa f −1
Figura 5.47
Actividad 206 La función y = 2x + 1 se representa en la máquina de la figura 5.48a. La máquina
inversa debe hacer el proceso que muestra la figura 5.48b, es decir, el primer paso es restar 1 (inverso
de sumar) y luego el resultado (2x) lo divide por 2 (inverso de multiplicar).
Figura 5.48
Se puede observar que, efectivamente, la inversa devuelve el valor de entrada x. El proceso de la
inversa, se puede anotar de izquierda a derecha como muestra la nueva figura 5.49a. Si en esta máquina
cambiamos el valor de entrada y por x, entonces su efecto se muestra en la figura 5.49b.
Figura 5.49
Se tiene así que; si f (x) = 2x + 1, entonces su función inversa es f −1 (x) =
establecemos el método de cálculo de la inversa.
x−1
. A partir de esto
2
5.3 Tipos de funciones
345
Cálculo de la inversa
El procedimiento más sencillo de hallar la función inversa, si se cumplen las condiciones de existencia,
es el siguiente:
1. Intercambiamos x e y en la ecuación y = f (x)
2. Despejamos y en la ecuación resultante, con lo que obtenemos la función inversa.
3. El dominio de la función inversa es el rango de la función original y el rango de la función
inversa es el dominio de la función original.
Actividad 207 Se considera la función y = f (x) = 3x − 1
Para hallar la inversa intercambiamos x e y
y = 3x − 1 =⇒ x = 3y − 1
Se despeja y
y=
x+1
3
Esta es la inversa:
x+1
3
Una condición necesaria y suficiente para la existencia de la función inversa, se obtiene a partir de la
función idéntica I y de la compuesta
f −1 (x) =
Proposición 5.3.11 Sea f : A → B, g : B → A funciones tales que
g ◦ f = IA
y
f ◦ g = IB
entonces f es una función biyectiva y f −1 = g
Demostración
Veamos la inyectividad
g ◦ f = IA =⇒ g ◦ f
inyectiva, pues IA lo es =⇒ f inyectiva
Para la sobreyectividad tenemos
f ◦ g = IB =⇒ f ◦ g sobreyectiva, pues IB lo es =⇒ f sobreyectiva
En consecuencia, f es biyección.
Para probar la segunda afirmación consideremos y0 ∈ B. Dado que f es biyección existe un único x0 ∈ A
tal que y0 = f (x0 ). El hecho que f sea biyección garantiza la existencia de la inversa f −1 : B → A.
Luego
f −1 ◦ f = g ◦ f
(f
por hipótesis
−1
◦ f )(x0 ) = (g ◦ f )(x0 )
−1
( f (x0 ) ) = g( f (x0 ) )
f
f −1 (y0 ) = g(y0 ) ∀ y0 ∈ B
En consecuencia, f −1 = g
Se verifican las siguientes propiedades.
Capítulo 5. Funciones Reales
346
Una función tiene inversa si, y sólo si, es biyectiva.
IA es la identidad del conjunto A, IB la identidad del conjunto B.
Algebraicamente, la inversa de f está definida por
y = f −1 (x) ⇐⇒ x = f (y)
La función inversa de una función es invertible, y su inversa es la función original. Esto es
( f −1 )−1 = f
La composición de dos funciones invertibles es invertible, y su inversa es la composición de las
inversas de los factores pero con el orden invertido. Esto es,
(g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g−1
La proposición proporciona un buen “truco” para determinar la función inversa, resolver la
ecuación
f ( f −1 (x) ) = x
Actividad 208
1. Realizar la composición de las funciones f (x) = 2x + 1 con f −1 (x) =
2. Hallar la inversa de f (x) =
x−1
2 ,
en ambos sentidos.
x
. Verificar, usando la compuesta, que es la inversa.
x+2
3. Verificar que f (x) = 3x − 1 y f −1 (x) =
x+1
3
son inversas.
4. Sea f (x) = 2x + 1, calcular el valor de a + b, si se sabe que; f (a) = 6 y f −1 (b) = 7
Actividad 209 Verificar que (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g−1 , para las funciones f (x) = 2x + 1 y g(x) = 3x − 1
En primer lugar vemos si se cumple la condición básica para componer. El recorrido de f es R y el
dominio de g es también R, por tanto, rec( f ) ⊂ dom(g). Ahora componemos
(g ◦ f )(x) = g( f (x)) = g(2x + 1) = 3(2x + 1) − 1 = 6x + 2
La inversa de esta función es
y = 6x + 2 =⇒ x = 6y + 2 =⇒ y =
x−2
6
de modo que
(g ◦ f )−1 (x) =
x−2
6
Para el cálculo de f −1 se tiene que
y = 2x + 1 =⇒ x = 2y + 1 =⇒ y =
Así,
f −1 (x) =
x−1
2
x−1
2
5.3 Tipos de funciones
347
De la misma forma, el cálculo de g−1 es
y = 3x − 1 =⇒ x = 3y − 1 =⇒ y =
x+1
3
de donde,
x+1
3
La composición de estas dos últimas expresiones es la siguiente
g−1 (x) =
( f −1 ◦ g−1 )(x) = f −1 (g−1 (x)) = f −1 (
x+1
)=
3
x+1
3
−1
2
Al hacer las simplificaciones se obtiene
( f −1 ◦ g−1 )(x) =
x−2
6
En consecuencia, se cumple la propiedad.
Interpretación geométrica
Si un punto con coordenadas (a, b) está en el
gráfico de la función f , significa que f (a) = b
y por lo tanto f −1 (b) = a, de manera que el
punto con coordenadas (b, a) está en el gráfico
de la función f −1 . Además, si simetrizamos el
punto (a, b) con respecto la recta y = x, obtenemos el punto (b, a). Por lo tanto, el gráfico
de la función f −1 se obtiene simetrizando el
gráfico de f con respecto a la recta y = x
Figura 5.50
Actividad 210
1. Hallar la función inversa de y = 5x − 2, y representar las gráficas de ambas funciones en el mismo
sistema coordenado.
√
2. Comprueba que las funciones f (x) = x + 4 y g(x) = x2 − 4 son inversas.
3. Calcula la inversa de y = −2x
√ +3
4. Calcula la inversa de y = x + 5. Establece el dominio de f .
1
5. Determinar si la función f : R − {1} → R tal que f (x) = x−1
es inyectiva y/o sobreyectiva. Si
no lo es, restringe dominio para hallar la función inversa.
Ejemplo 5.3.12 La función f que asigna a cada número natural n el número natural 2n, que se
simboliza
f : N → N,
n 7→ 2n
satisface que es inyectiva, pero no sobreyectiva. Esto implica que no existe función inversa. En efecto,
sean n1 , n2 ∈ N, entonces
f (n1 ) = f (n2 ) =⇒ 2n1 = 2n2 =⇒ n1 = n2
Capítulo 5. Funciones Reales
348
prueba que f es inyectiva. Para ver que no es sobreyectiva, es suficiente mostrar un elemento en el
codominio que no tenga pre-imagen. El 3 es elemento del codominio sin pre-imagen. Esto muestra que
f (N) 6= N
Ejemplo 5.3.13 Sean A = {1, 2} y B = {a, b}, entonces del conjunto A en el conjunto B existen 4
funciones (lo mismo de B en A), que son las que muestra la figura 5.51.
Figura 5.51
Se observa que sólo dos funciones, f1 y f2 son inyectivas y sobreyectivas (biyectivas). Ellas poseen
función inversa, para verla basta con invertir el sentido de las flechas que definen la asignación. Resultan
g1 y g2 que muestra la figura 5.52.
Figura 5.52
(g1 ◦ f1 )(1) = g1 ( f1 (1)) = g1 (a) = 1
(g1 ◦ f1 )(2) = g1 ( f1 (2)) = g1 (b) = 2
( f1 ◦ g1 )(a) = f1 (g1 (a)) = f1 (1) = a
( f1 ◦ g1 )(b) = f1 (g1 (b)) = f1 (2) = b
En el primer caso, (g1 ◦ f1 )(x) = idA . En el segundo, ( f1 ◦ g1 )(x) = idB . Lo mismo ocurre con las
funciones f2 y g2 al componerlas.
Ejemplo 5.3.14 Vamos a hallar la inversa de la función biyectiva
1
f : R − { } → R − {2},
3
x 7→ f (x) =
6x − 1
3x − 1
Solución
Te muestro dos formas para hallar la inversa. La primera usando el “truco” indicado.
6 f −1 (x) − 1
= x =⇒ 6 f −1 (x) − 1 = 3x f −1 (x) − x
3 f −1 (x) − 1
1−x
=⇒ f −1 (x) =
, x 6= 2
6 − 3x
f ( f −1 (x)) = x =⇒
5.3 Tipos de funciones
349
La figura 5.53 muestra las gráficas de la función y su inversa.
Figura 5.53
La segunda forma consiste en cambiar al mismo tiempo x por y e y por x. Al despejar y se halla la
inversa.
y=
6x − 1
6y − 1
=⇒ x =
=⇒ x(3y − 1) = 6y − 1
3x − 1
3y − 1
1−x
=⇒ y(6 − 3x) = 1 − x =⇒ y =
6 − 3x
Ejemplo 5.3.15 Hallemos la función inversa de f (x) = x2 , x ≥ 0
Solución
Se observa que la gráfica de esta función es
la rama derecha de una parábola. Es inyectiva
y sobreyectiva sobre su recorrido [0, ∞). Esto
√
asegura existencia de la inversa, que es y = x.
La figura 5.54 muestra la gráfica de la función
y de la inversa. Una vez más, la geometría nos
ayuda, ahora, facilitando la gráfica de la inversa. En efecto, como al componer en uno u otro
sentido, la función con su inversa debe dar la
identidad, y en estos casos la función identidad es y = x, entonces f y f −1 son simétricas
respecto de la recta y = x, tal como se observa
en el ejemplo recién analizado.
Figura 5.54
Proposición 5.3.16 Sean f : A → B, g : B → C funciones, entonces:
Capítulo 5. Funciones Reales
350
1.) f y g inyectivas =⇒ g ◦ f inyectiva
2.) f y g sobreyectivas =⇒ g ◦ f sobreyectiva
3.) f y g biyectivas =⇒ g ◦ f biyectiva
4.) g ◦ f biyectiva =⇒ (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g−1
5.) g ◦ f inyectiva =⇒ f inyectiva
6.) g ◦ f sobreyectiva =⇒ g sobreyectiva
Demostración
1) (g ◦ f )(x1 ) = (g ◦ f )(x2 ) =⇒ g( f (x1 )) = g( f (x2 ))
=⇒ f (x1 ) = f (x2 ), pues g inyectiva
=⇒ x1 = x2 ,
pues f inyectiva
se sigue que g ◦ f es inyectiva.
2)
f sobreyectiva =⇒
f (A) = B
y
g sobreyectiva =⇒ g(B) = C
Ahora componemos g con f para tener, (g ◦ f )(A) = g( f (A)) = g(B) = C.
Por tanto, g ◦ f es sobreyectiva.
3) La demostración de que g ◦ f es biyectiva es consecuencia directa de los dos hechos anteriores.
4) Para probar (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g−1 tenemos:
y = (g ◦ f )(x) ⇐⇒ y = g( f (x)) ⇐⇒ g−1 (y) = f (x)
⇐⇒
f −1 (g−1 (y)) = x ⇐⇒ ( f −1 ◦ g−1 )(y) = x
se sigue que (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g−1
5) f (x1 ) = f (x2 ) =⇒ g( f (x1 )) = g( f (x2 ))
=⇒ (g ◦ f )(x1 ) = (g ◦ f )(x2 )
=⇒ x1 = x2 ,
( pues g ◦ f es inyectiva )
6) f (A) ⊂ B =⇒ g( f (A)) ⊂ g(B)
=⇒ (g ◦ f )(A) ⊂ g(B)
=⇒ C ⊂ g(B),
( pues g ◦ f es sobreyectiva )
De esto, y dado que para g : B → C es siempre cierto que g(B) ⊂ C, se sigue que g(B) = C. En
consecuencia, g es una función sobreyectiva.
5.3.7
Modelos Funcionales
La funciones polinomiales juegan un papel importante en economía. Mostramos algunos problemas en
esa área. Algunos términos del lenguage económico son:
1. El costo que refleja el dinero que se gasta. El costo total contiene dos componentes: costo total
fijo y el costo total variable. La suma de ambas componentes produce el costo total.
5.3 Tipos de funciones
351
2. El ingreso es la cantidad de dinero que ingresa. El ingreso total es el producto entre la cantidad
vendida y el precio.
3. La utilidad corresponde a la diferencia entre el ingreso total y el costo total. Si la cantidad final
de esta diferencia es positiva se suele hablar de ganancia o utilidad neta. En caso de ser negativa,
de déficit o pérdida neta.
4. El punto de equilibrio es aquél en el cual el nivel de producción da por resultado una utilidad
cero. Esto es, representa el nivel de producción en que los ingresos totales son iguales a los
costos totales
5. La demanda es la forma en que la cantidad solicitada de un producto varía según el precio que
tenga.
6. La oferta relaciona el precio de mercado con las cantidades que los proveedores están dispuestos
a producir y vender.
En particular,
a) La Función constante: Un ejemplo de esta clase de funciones en economía guarda relación con el
ingreso marginal, el que corresponde al ingreso adicional obtenido por la venta de una unidad más de un
producto o servicio. Por ejemplo, si un determinado producto se vende a un mismo precio, el ingreso
marginal es siempre igual al precio. Para mayor claridad, si un artículo se vende a razón de $ 100 la
unidad, entonces la función de ingreso marginal (IM) se escribe en la forma
IM = f (x) = 100
en donde x es el número de unidades vendidas del artículo.
b) La Función lineal: Es frecuente que esta clase de funciones se utilicen para expresar el costo
total, que corresponde al dinero que egresa de una institución. Este costo total puede estar formado por
dos clases, un costo fijo más un costo variable.
c) La Función cuadrática: Este tipo de funciones se emplean en la determinación de la demanda,
del ingreso y de la oferta de un artículo. Por ejemplo, si la ecuación de la demanda de un artículo es
d(p) = p2 − 70p + 1000
entonces p2 − 70p + 1000 es el número de unidades demandadas y p es el precio de cada unidad. Así,
la cantidad de la demanda a un precio de $100 es
d(100) = 1002 − 70 · 100 + 1000 = 4000 unidades
A continuación mostramos algunos ejemplos que tienen relación con modelos de funciones polinomiales
en economía.
Ejemplo 5.3.17
La función de demanda de un producto es
q = f (p) = 500,000 − 3000 p
donde q se expresa en unidades y p es pesos.
1. Determinar la función de ingreso total.
2. Hallar el ingreso total a un precio de $20.
3. Hallar la cantidad de unidades demandas al precio de $20.
Capítulo 5. Funciones Reales
352
4. Hallar el precio al que se maximiza el ingreso total.
Respuesta
1)
El ingreso total I por la venta de q unidades a un precio p es
I = p · q = (500,000 − 3000 p) · p = 500,000 p − 3000 p2
2)
El ingreso total I a $20 la unidad es
I = (500,000 − 3000 · 20) · 20 = 8,800,000
3)
El número de unidades demandas a $20 la unidad es
q = f (20) = 500,000 − 3000 · 20 = 440,000 unidades
4) Para el cálculo del precio que maximiza ingreso se observa que la función de demanda es cuadrática,
una parábola. Completando cuadrado tenemos la respuesta, o bien, hallando los valores que anulan la
variable p, ya que como la parábola es cóncava hacia abajo su vértice representa la máxima utilidad. De
esta última forma, el punto medio entre p = 0 y p = 250/3 proporciona el precio al cual se maximiza
el ingreso, a saber, p = 250/6 = $83, 33
Ejemplo 5.3.18
Un profesor tiene libros de matemática que valen $ 150.000. Se supone que se
deprecian de forma lineal hasta llegar a cero al cabo de 10 años. Expresar el valor de los libros como
función del tiempo.
Respuesta
Si t denota el tiempo y v(t) el valor de los libros, entonces v(0) = 150,000 y v(10) = 0. Dado que el
valor de los libros disminuye a una tasa constante, determinemos esta razón calculando la pendiente de
la recta que une estos puntos.
v(10) − v(0)
m=
= −15,000
10 − 0
La ecuación de esta recta es v − v(10) = −15,000 (t − 10), o bien
v = −15,000 (t − 10)
Ejemplo 5.3.19
Un fabricante produce ‘chips” para computadoras a un costo de US$2 cada uno.
Cada chips se vende a US$ 5, y a este precio se venden 4000 unidades mensuales. El fabricante tiene
planeado aumentar el precio y estima que por cada incremento de US$ 1 en el precio, venderá 400
chips menos al mes. Expresar la utilidad mensual del fabricante como función del precio al que se
venden los chips. Graficar la función de utilidad y determinar el precio óptimo de venta.
Respuesta
La utilidad se obtiene multiplicando la cantidad de unidades vendidas por la utilidad por unidad. Esto
es
utilidad = (cantidad de chips)(utilidad por chips)
Si x es el precio de venta del chips y U la función utilidad, entonces
cantidad de chips vendidos = 4000 − 400(x − 5) = 400(15 − x)
5.3 Tipos de funciones
353
esto es así, ya que a los 4000 que se
vendían a US$ 5 se le deben restar 400
chips por cada incremento de US$ 1 en
el precio. Ahora, la utilidad por cada
chips es x − 2. De esta forma la función
utilidad es
U(x) = 400(15 − x)(x − 2)
Figura 5.55
Este polinomio es una parábola (figura 5.55). El precio óptimo se encuentra en el punto medio del
intervalo [2, 15], es decir, 17
2
Ejemplo 5.3.20
Se arrienda un local en $600.000. Se planea producir bicicletas acuáticas. Los
materiales para armar cada bicicleta cuestan $25.000. Si cada bicicleta se puede vender a $175.000
cada una,
1. Determinar la cantidad de bicicletas que se deben vender para alcanzar el punto de equilibrio.
2. Determinar la utilidad o pérdida si se venden 3 bicicletas
3. Determinar la cantidad de bicicletas que se deben vender para alcanzar una utilidad de $450.000.
Respuesta
a) El punto de equilibrio corresponde al punto en que el ingreso total es igual costo total. En lenguaje
económico, no hay utilidades ni pérdidas.
Sea x el número de unidades fabricadas y vendidas. El ingreso total es I(x) = 175,000 x, y el costo total
es C(x) = 600,000 + 25,000 x. Igualando ingreso y costo total se tiene
175,000 x = 600,000 + 25,000 x =⇒ x = 4
Esto significa que se deben vender 4 unidades para alcanzar el punto de equilibrio (4, 700,000)
b)
La utilidad está dada por ingresos menos costos. Luego,
U(3) = 175,000 · 3 − ( 600,000 + 25,000 · 3 ) = −100,000
Esto es concordante con el resultado anterior, en el sentido que 3 unidades están por debajo del nivel de
equilibrio. En este caso hay una pérdida de $100.000
c) Para hallar el número de unidades que proporcionen una utilidad deseada se utiliza la función de
utilidad.
U(x) = 175,000 x − ( 600,000 + 25,000 x )
se tiene
450,000 = 175,000 x − ( 600,000 + 25,000 x ) =⇒ x = 7
Ejemplo 5.3.21
Un fabricante produce tarjetas de video para computadoras a un costo de US$20
cada una. Estima que si las vende a x dólares la unidad, el público comprará 120 − x tarjetas al mes.
Expresar la utilidad mensual del fabricante como función del precio. Graficar la función y determinar
el precio óptimo de venta.
Capítulo 5. Funciones Reales
354
Respuesta
Para la utilidad tenemos:
utilidad = (cantidad de tarjetas)(utilidad por tarjeta)
De acuerdo a lo indicado en el problema:
cantidad de tarjetas vendidas = 120 − x
utilidad por tarjeta vendida
= x − 20
Si llamamos U a la utilidad, entonces
U(x) = (120 − x)(x − 20)
es la ecuación de una parábola. Los factores
lineales se anulan en x = 120 y en x = 20. Esta
parábola la muestra la figura 5.56. Se concluye
que el precio óptimo de venta se obtiene al
vender a US$ 70, en tal caso, la utilidad es de
US$ 2500.
5.3.8
Figura 5.56
Funciones Racionales
Si f (x) y g(x) son polinomios, entonces la función h(x) =
f (x)
, g(x) 6= 0 se llama función racional.
g(x)
Esta función es interesante, para efectos de graficarla, hallarle ceros y asíntotas. Interesa principalmente,
la búsqueda de los ceros, sus indeterminaciones y los grados de f (x) y g(x). El dominio de la función
racional es el conjunto de todos los números reales que no anulan el denominador. Las intersecciones
con el eje x se encuentran haciendo y = 0. Los números reales tales que el polinomio g(x) = 0 son
asíntotas verticales. Un estudio más extenso de asíntotas se produce al estudiar el concepto de límite de
funciones.
1
satisface:
Ejemplo 5.3.22 La función racional f (x) =
(x − 1)2
No existen ceros, la fracción no
tiene valores que anulen el numerador. Esto significa que la gráfica
no corta al eje x.
La recta x = 1 es una asíntota vertical ya que es un cero del denominador.
Figura 5.57
Siempre que se tenga una asíntota vertical, el hacer la gráfica resulta un proceso relativamente sencillo.
Se grafica la asíntota x = 1, se toma un valor a izquierda y a derecha de dicha asíntota. Por ejemplo, si
por la derecha se toma x = 2, entonces f (2) = 1, anotamos este punto para la gráfica, a continuación se
5.3 Tipos de funciones
355
toman uno o dos valores muy cercanos a la asíntota, si x = 1, 1, entonces f (1, 1) = 100. Con esto es
suficiente para saber que la curva va hacia el +∞. Ahora se evalúa la función en valores muy grandes,
esto permite ver el comportamiento de la función y detectar posibles asíntotas horizontales. Si x = 1001,
1
1
entonces f (1001) = 1000
2 , si x = 10001, entonces f (10001) = 10000 , que son valores cercanos a cero.
Esto nos indica que el eje x (y = 0) es asíntota horizontal. De igual modo se analiza el comportamiento
por la izquierda de la asíntota. La gráfica se muestra en la figura 5.57.
Regla de asíntotas
Consideremos la función racional
h(x) =
an x n + · · · a1 x + a0
f (x)
=
g(x) bm xm + · · · + b1 x + b0
en la cual el polinomio del numerador tiene grado n y el denominador grado m. Se tiene:
1. g(a) = 0 implica x = a asíntota vertical.
2. n < m implica que el eje x es asíntota horizontal
3. n > m implica no hay asíntota horizontal.
4. Si n > m, en un grado, entonces la función lineal que queda en el cociente al dividir f (x) por
g(x) es asíntota oblícua
an
5. n = m implica que la recta
es asíntota horizontal
bm
Es interesante señalar que las funciones racionales pueden tener varias asíntotas verticales, pero sólo
una asíntota horizontal.
x2
se tiene que:
x+1
Su dominio de definición es, dom( f ) = R − {−1}.
Su único cero está en x = 0.
La recta x = −1 es asíntota vertical.
No tiene asíntota horizontal.
Como el grado del numerador es uno más que el del denominador, entonces existe asíntota
vertical. Para encontrarla se escribe
Ejemplo 5.3.23 Para la función racional f (x) =
x2 : x + 1 = x − 1 + resto
Luego, la recta y = x − 1 es la asíntota vertical.
La gráfica de esta función racional se muestra en la figura 5.58a.
Figura 5.58
Capítulo 5. Funciones Reales
356
Para obtener la gráfica se sigue un procedimiento similar al aplicado anteriormente. Se deben graficar
las asíntotas verticales, horizontales y oblícuas y tomar valores cercanos y lejanos de ellas.
x2 − 1
tiene dominio de definición dom( f ) = R − {−3, 3}.
Ejemplo 5.3.24 La función racional f (x) = 2
x −9
Sus ceros están en x = 1 y en x = −1 (ceros del numerador). Las rectas x = 3, x = −3 son asíntotas
verticales (anulan el denominador), y la recta y = 1 asíntota horizontal (el cociente entre el coeficiente
de x2 es el numerador y el coeficiente de x2 del denominador). Su gráfica en la figura 5.58b.
Los valores a considerar son los siguientes:
x = 3, 01 =⇒
x = 1000 =⇒
x = 10000 =⇒
x = 2, 99 =⇒
5.3.9
x = 0 =⇒
x = −2, 99 =⇒
x = −3, 01 =⇒
x = −1000 =⇒
Funciones Exponencial y Logaritmica
Sea a > 0, a 6= 1. La función f : R → R+ , x 7→ f (x) = ax se llama función exponencial de base a.
Las funciones exponenciales se caracterizan por satisfacer una relación de la forma
f (x + y) = f (x) · f (y)
de tal modo que se pueden obtener, para y = 0 que f (0) = 1, para y = −x que f (x) · f (−x) = 1. Esto
es, la recíproca de f (x) es f (−x). Estas funciones tienen ciertas restricciones y notación especial.
La relación funcional f (x + y) = f (x) · f (y), establece que
ax+y = ax · ay ,
a0 = 1,
ax · a−x = 1
Veamos que ocurre con la gráfica de este tipo de funciones.
Caso a > 1
Para simplificar las cosas, consideremos a = 2. Como la base es mayor que la unidad, a medida que
x crece, la función exponencial crece sin cota. No hay ceros, es decir, la curva no cruza el eje x. Si x
crece negativamente, es decir, toma valores negativos suficientemente grandes, entonces la curva se
aproxima al eje x, teniéndole como asíntota horizontal. Cuando x = 0 la curva corta al eje y en el punto
(0, 1). La gráfica de la función exponencial f (x) = ax tiene la forma que indica la figura 5.59a.
Figura 5.59
5.3 Tipos de funciones
357
Caso 0 < a < 1
Consideremos ahora a = 12 . Como la base es menor que la unidad, entonces a medida que el valor de x
crece, la función exponencial ( 12 )x decrece con cota cero. De esta forma el eje x es asíntota horizontal.
No hay ceros, es decir, la curva no cruza el eje x. Si x crece negativamente, es decir, toma valores
negativos suficientemente grandes, entonces la curva crece sin cota.
Si x = 0 la curva corta al eje y en el punto (0, 1). La gráfica de la función exponencial f (x) = 2−x tiene
la forma que indica la figura 5.59b. De la gráfica de la función exponencial se puede deducir que ella es
inyectiva. Además de ser sobreyectiva en R+ . Esto quiere decir que tiene una función inversa.
Observación 5.3.25
1. Si a > 1 la función exponencial es creciente. Si 0 < a < 1 es decreciente.
2. En cualquier caso, la función exponencial admite función inversa.
3. Las bases de mayor interés son a = 10, a = e ≈ 2, 72. En tal caso las funciones exponenciales
son de la forma f (x) = 10x , f (x) = ex
4. La función exponencial más general es de la forma f (x) = x0 ax en la que el número real x0
representa las condiciones físicas iniciales del problema sujeto a estudio.
Ejemplo 5.3.26 Estudiar la función f (x) = e1/x
El dominio de esta función excluye el cero, es decir; dom f (x) = R − {0}.
La recta x = 0 es una asíntota vertical de la función.
Un primer punto a ubicar en la gráfica es (1, e)
Tomando un valor “grande” de x, por ejemplo, x = 1 billón, entonces la fracción 1x se aproxima a
cero, por exceso, con lo cual e1/x se aproxima a 1, con ello, la recta de ecuación y = 1 es una asíntota
horizontal.
Como ya lo hemos dicho, la función, cualquiera ella sea, al aproximarse a su asíntota vertical, o se
va al ∞ o se va al −∞. Para saberlo basta considerar un valor cercano a la asíntota vertical y evaluar
el comportamiento de la función en ese punto. Por ejemplo, con x = 0, 01 la función toma el valor
e1/0,01 = e100 , claramente un valor camino al ∞.
A la izquierda de la asíntota vertical x = 0 elegimos el punto (−1, e−1 ) para poner en la gráfica.
Un valor cercano, por la izquierda, a la asíntota x = 0 es x = −0, 01. Al evaluar en la función se tiene
e1/−0,01 = e−100 que claramente es un valor cercano a cero.
Finalmente, un valor lejano de x, camino hacia el −∞, puede ser x = −5 millones. Con ello e1/−5millones
es un valor cercano al valor uno. De nuevo, y = 1 resulta como asíntota horizontal. La gráfica se muestra
en la figura 5.60a.
Capítulo 5. Funciones Reales
358
Figura 5.60
√
Ejemplo 5.3.27 Estudiemos la función f (x) = e x
La raíz del exponente indica que debe ser x ≥ 0. Luego, dom( f ) = R+ ∪ {0}.
Para esbozar la grafica se toma un elemento a la derecha de x = 0. Para x = 1, f (1) = e,√de manera que
el punto (1, e) está en la curva. Ahora, un x lejano y grande (x = 1 millón) hace que e x sea un valor
muy pero muy grande (camino al infinito).
√
Un valor valor cercano a x = 0 es x = 0, 0001, se sigue que 0, 0001 = 0, 01, lo cual hace que
e0,01 = 1, 01. Esto nos indica que tomando valores más cercanos al x = 0 la imagen de la función se
aproxima al 0. La gráfica se muestra en la figura 5.60b.
De la gráfica se observa la función es creciente en todo su dominio. Su recorrido es rec( f ) = [1, ∞).
5.3.10
Función Logaritmo
Sea a > 0, a 6= 1. La función f : R+ → R tal que f (x) = loga x se llama función logaritmo de base a.
El dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales positivos, y su recorrido es todos
los números reales.
dom( f ) = R+
y
rec( f ) = R
Esta clase de funciones satisfacen una relación de la forma
f (x · y) = f (x) + f (y)
algunos hechos interesantes son:
1. Si x = y = 1, entonces f (1) = 0
1
2. Si y = , entonces f (x−1 ) = − f (x)
x
1
x
3. Si y = , entonces f ( ) = f (x) − f (v)
v
v
Si la base a > 1, la función logaritmo es creciente. Para hacer la gráfica sabemos que su dominio son
todos los números reles positivos. Se consideran valores adecuados, es decir, valores que permitan un
cálculo rápido.
Ejemplo 5.3.28 Hacemos un bosquejo de la gráfica de y = log x (logaritmo de base 10)
Valores adecuados son:
x = 1 =⇒ log(1) = 0
x = 10 =⇒ log(10) = 1
x = 1000 =⇒ log(1000) = 3
x=
1
10
1
=⇒ log( 10
) = −1
x = 100 =⇒ log(100) = 2
x=
1
100
1
=⇒ log( 100
) = −2
5.3 Tipos de funciones
359
La figura 5.61 muestra la gráfica de la función logaritmo en base 10 (decimal) que se anota sin indicar
la base como log x. La misma figura muestra la función logaritmo en base e (natural), que se anota
y = ln x. Para el gráfico de y = ln x se consideraron valores como; x = 1, x = e, x = e2 , x = e−1 , x = e−2 .
Figura 5.61
Si la base a satisface 0 < a < 1, entonces la función logaritmo es decreciente.
Ejemplo 5.3.29 Trazamos un bosquejo de las gráficas de y = log1/2 x e y = log2/3 x (figura 5.62).
Valores adecuados para y = log1/2 x son:
x = 1 =⇒ log1/2 (1) = 0
x=
1
24
x=
=⇒ log1/2 ( 214 ) = 4
1
2
1
=⇒ log1/2 ( /2
)=1
x = 2 =⇒ log1/2 (2) = −1
x=
1
4
=⇒ log1/2 ( 14 ) = 2
x = 4 =⇒ log1/2 (4) = −4
Valores adecuados para y = log2/3 x son:
x = 1 =⇒ log2/3 (1) = 0,
x=
2
3
=⇒ log2/3 ( 23 ) = 1,
x = ( 32 )3 =⇒ log2/3 (( 32 )3 ) = 3,
x = ( 32 )−1 =⇒ log2/3 (( 23 )−1 ) = −1
x = ( 23 )2 =⇒ log2/3 (( 32 )2 ) = 2,
x = ( 32 )−2 =⇒ log2/3 (( 23 )−2 ) = −2
Figura 5.62
Capítulo 5. Funciones Reales
360
1
x−1
El dominio de la función logaritmo requiere que su argumento sea positivo, esto es;
Ejemplo 5.3.30 Estudiemos la función f (x) = log
1
> 0 =⇒ x > 1
x−1
Así, dom( f ) = {x ∈ R/ x > 1}.
Para graficar se considera un punto cualquiera a la derecha de x = 1, por ejemplo, x = 2, con ello se
tiene el punto (2, 0) perteneciente a la curva. Ahora, un valor grande para x:
1
x = 1001 =⇒ log( 1000
) = log(0, 001) = −3
1
x = 1000001 =⇒ log( 1000000
) = log(0, 000001) = −6
A medida que se toman valores cada vez más
grande, la función va tomando valores negativos cada vez más grande, esto quiere decir que
va camino al −∞.
Para valores cercanos a x = 1, por ejemplo,
x = 1, 0001 se tiene
1
log( 1,0001−1
) = log(10000) = 4
para valores cada vez más cercanos la función
va camino al infinito.
La función es decreciente en (1, ∞) y su recorrido es rec( f ) = (−∞, ∞). Su gráfica en la
figura 5.63
Figura 5.63
Exponencial y Logaritmo: Inversas
Hemos tenido la oportunidad de trabajar con la operación logaritmo, resolviendo problemas que
involucran exponenciales. Recordemos que el cambio, como operación, entre las formas exponencial y
logarítmica es
y = ax ⇐⇒ loga y = x
A partir de lo cual se obtienen
aloga y = y
,
loga ax = loga y = x
Desde el punto de vista funcional tenemos lo que sigue.
Definición 5.3.31 Las funciones exponencial f (x) = ax y logaritmo g(x) = loga x, son inversas.
Demostración
Debemos probar que la función compuesta, en ambos sentidos, es la identidad. Sean f (x) = ax ,
g(x) = loga x, entonces
( f ◦ g)(x) =
f (g(x)) =
f (loga x) = aloga x
(g ◦ f )(x) = g( f (x)) = g(ax )
= x
= loga ax = x
5.3 Tipos de funciones
361
Cuando a = 10, la función logaritmo de base 10 se denomina logaritmo decimal. Se anota
y = log10 x = log x
Cuando a = e, la función logaritmo de base e, se llama logaritmo natural. Se anota
y = loge x = ln x
La figura 5.64 muestra gráficas de las funciones exponencial y logaritmo en los casos 0 < a < 1 y a > 1.
Se observa simetría respecto de la recta y = x. Esto significa, graficamente, que son inversas.
Figura 5.64
5.3.11
Modelos exponenciales y logarítmicos
Las funciones exponenciales y logarítmicas pueden ser utilizadas para resolver y modelar algunas
situaciones de la vida real. Algunas de estas situaciones son: el crecimiento de bacterias en un cultivo, el
crecimiento de la población de una ciudad, el tiempo que toma un objeto para llegar a cierta temperatura,
etc.
En general, una función exponencial es una función de la forma f (x) = x0 ax , donde x0 representa el
valor de f cuando x = 0, también llamado valor inicial. La base a de la exponencial representa el factor
de crecimiento de la función.
Un tipo especial de función exponencial, es f (x) = x0 ekx , en donde x0 es el valor inicial, e es la
constante de Euler, k es la tasa relativa de cambio.
Crecimiento de bacterias
Las poblaciones de cualquier especie se reproducen y mueren. Si las condiciones en las que una
población se desarrolla son relativamente homogéneas y constantes, el número de nacimientos y de
muertes en un cierto intervalo de tiempo son esencialmente proporcionales al tamaño de la población y
a la longitud del intervalo de tiempo observado.
Los modelos de crecimiento y decaimiento son modelados por las ecuaciones
x(t) = x0 ekt
en donde;
1) x(t) es la cantidad final.
3) k es la tasa de variación.
5) e es la constante de Euler.
y
x(t) = x0 e−kt
2) x0 es la cantidad inicial.
4) t es el tiempo.
Capítulo 5. Funciones Reales
362
Actividad 211 El número de bacterias presentes en un tiempo está dado por la función x(t) = 2 · 3t ,
en donde t se mide en horas y x(t) en miles de bacterias.
1. Identificar el número inicial de bacterias.
2. Hallar el número de bacterias a los 10 minutos.
3. Determinar el número de bacterias al cabo de una hora.
4. Graficar la función x(t) entre 0 y 1 hora.
El número inicial de bacterias es x(0) = 2 · 30 = 2. Como la cantidad se mide en miles; hay x(0) = 2000
bacterias al inicio.
10
de hora los entrega
El número de bacterias al cabo de 10 minutos, que equivalen a 60
x(
10
) = 2 · 31/6 = 2, 4
60
En miles, esto es, x( 61 ) = 2400 bacterias
Al cabo de una hora hay x(1) = 2 · 31 = 6, en miles, x(1) = 6000 bacterias. (figura 5.65a)
Figura 5.65
Ejemplo 5.3.32 La concentración en sangre de cierto tipo de anestesia viene dada por la fórmula
94
x(t) = 100 ·
100
t
donde 100 es la dosis inicial en miligramos y t los minutos transcurridos desde que se administró.
1. Determinar la cantidad de anestesia que tiene el paciente al cabo de 10 minutos.
2. Representar gráficamente la función.
Están todos los datos, de modo que se reemplaza directamente en la fórmula
94 10
∼ 53, 86 mg
x(10) = 100 ·
100
La figura 5.65b muestra la gráfica del problema.
Ejemplo 5.3.33 El número de bacterias presentes en un cultivo despues de t minutos está dado por
t
4
x(t) = 300 ·
3
Verificar que:
5.3 Tipos de funciones
363
1. La cantidad de bacterias presentes inicialmente son 300.
2. Al cabo de 3 minutos la cantidad de bacterias presentes es de 711 aprox.
Ejemplo 5.3.34 Se administra 50 miligramos de cierto medicamento a un paciente. La cantidad de
miligramos restantes en el torrente sanguíneo del paciente disminuye a la tercera parte cada 5 horas, de
modo que la ley que gobierna este proceso es
t/5
1
x(t) = 50 ·
3
1. Determinar los miligramos del medicamento que quedan en el torrente sanguíneo del paciente
después de 3 horas.
2. Hallar en qué tiempo quedará solo 1 miligramo del medicamento del torrente sanguíneo del
paciente.
La respuesta a la primera situación lo proporciona
3/5
1
x(3) = 50 ·
= 25, 86
3
Para la segunda pregunta resolvemos
t/5
1
1 = 50 ·
3
Al despejar t, usando logaritmo se halla que t = 17, 8 horas
Decaimiento radioactivo
Cuando tiene lugar una desintegración radioactiva el núleo se transforma en otro núleo, con el pasar del
tiempo la cantidad de núcleos radioactivos en una muestra va a disminuir. En un momento dado, la
radioactividad que emite una muestra depende de dos factores:
El número de átomos radioactivos que contiene la muestra (x)
Su velocidad de desintegración, que es un valor constante (k)
De modo que se establece la ecuación
Emisión radiactiva = Número de átomos radioactivos × velocidad de desintegración
A medida que pasa el tiempo, las emisiones radioactivas de una muestra disminuyen. Este es el
fenómeno llamado decaimiento radioactivo.
Ernest Rutherford, fué el primero en describir este fenómeno de manera cuantitativa. Por sus descubrimientos, recibió el Premio Nobel de Química en 1908.
Rutherford descubrió que si x0 es la cantidad original de una muestra de material radioactivo, y si
x(t) es la cantidad de material radioactivo presente en una muestra t horas después de iniciadas las
observaciones, entonces
x(t) = x0 e−kt
Esta es la “ley de decaimiento radioactivo” que establece que la cantidad de material radioactivo
presente como función del tiempo. La constante k se llama constante de desintegración radioactiva del
elemento.
Ejemplo 5.3.35 Hallar la cantidad de material radioactivo presente en una muestra de 10 gr de Radon
después de 240 horas, sabiendo que k = 0, 0077, y que el tiempo se mide en horas.
Capítulo 5. Funciones Reales
364
La cantidad inicial de muestra es x0 = 10. Si, además, conocemos k, entonces la cantidad presente es
x(t) = 10 e−0,0077t
Por tanto, al cabo de 240 horas se tiene
x(t) = 10 e−0,0077·240 = 1, 58 grs
Ejemplo 5.3.36 La concentración de un medicamento en un órgano en el instante t (medida en
segundos) está dada por:
x(t) = 0, 08 + 0, 12 e−0,02t
donde x(t) son gramos/centímetros cúbicos
1. Hallar la concentración al cabo de 1 minuto. Resp. 0,12
2. Hallar el tiempo en que la concentración en el órgano es de 0,18 grs/cm3 . Resp. 9,1 seg.
Ejemplo 5.3.37 El estroncio es un elemento radiactivo que decae exponencialmente a una tasa de
2,8 % anual. Si al inicio hay 1000 gramos de estroncio, determinar la cantidad que queda al cabo de 50
años. hallar la vida media del estroncio.
Empezamos por reemplazar el valor inicial, x(0) = x0 = 1000, en la fórmula
x(t) = x0 e−kt =⇒ x(t) = 1000 e−kt
La tasa a la cual decrece es 28 % =
28
100
= 0, 028, luego,
x(50) = 1000 e−0,028·50 =⇒ x(50) = 246, 597 grs
Si hay 1000 gramos, se debe hallar en que tiempo tenemos 500 grs.
x(t) = x0 e−kt =⇒ 500 = 1000 e−0,028t
Al simplificar y aplicar logaritmo se tiene t = 24, 75 años.
5.3.12
Interés Simple
Este tipo de aplicación tiene que ver con el mundo de las finanzas. El interés puede ser considerado
como la renta que se paga por el uso del capital, o bien, la cantidad que se paga por emplear dinero
ajeno. La suma que se presta o invierte se llama capital. Los intereses suelen pagarse en proporción al
capital y al periodo durante el cual se usa el dinero. La tasa de interés especifica a que porcentaje se
acumula el interés, y suele expresarse como un porcentaje del capital por periodo. El interés que se
paga exclusivamente sobre la cantidad del capital se llama interés simple. Su cálculo es como sigue:
Sean, I = interés simple, P capital, i tasa de interés por periodo, n número de periodos del préstamo,
entonces
Interés simple = capital · tasa de interés por periodo · número de periodos
Ejemplo 5.3.38 Una persona está solicitando $5.000.000 a 3 años plazo en un banco. Este presta a
interés simple y a una tasa de 10 % anual. El capital y el interés se liquidan al final del tercer año.
Calcular el interés durante el periodo de 3 años y la cantidad a pagar al final del tercer año.
5.3 Tipos de funciones
365
Respuesta
De acuerdo con los datos, $P = 5,000,000, i = 0, 10, n = 3. Por tanto,
I = 5,000,000 · 0, 10 · 3 = 1,500,000
La cantidad a pagar al final del tercer año corresponde al capital más lo intereses acumulados, es decir,
A = P + I = 5,000,000 + 1,500,000 = 6,500,000
5.3.13
Interés compuesto
El interés que se calcula sobre el capital más lo intereses previos se llama interés compuesto
Sabemos que si invierte una cierta suma de dinero y que el interés se capitaliza sólo una vez, entonces
el saldo S después de agregar el capital P y la tasa de interés i es
S = P + P · i = P (1 + i)
Si se quiere determinar el monto compuesto al cabo de dos periodos, entonces la ecuación que lo
proporciona es del tipo
monto compuesto despues
monto compuesto despues de un periodo +
de dos periodos
= interés ganado en el segundo periodo
en términos matemáticos
S = P · (1 + i) + i · [ P · (1 + i) ] = P · (1 + i)2
siguiendo con este procedimiento, se infiere que, el saldo al final del n-ésimo periodo es
Sn = P · (1 + i)n
Ejemplo 5.3.39 Se invierten $1.000.000 en el banco a una tasa de interés del 8 % anual, capitalizable
año a año. Si no se hacen retiros, determinar el saldo al cabo de 10 años.
Respuesta
En primer lugar interpretemos el problema desde el punto de vista de la ecuación que proporciona el
saldo final. Se tiene: P = 1,000,000, i = 0, 08, n = 10, en consecuencia,
S10 = 1,000,000 · (1 + 0, 08)10 = 1,000,000 · 2, 15892 = 2,158,920
Ejemplo 5.3.40 Se invierten $1.000.000 en el banco a una tasa de interés del 8 % anual. Calcular el
saldo después de 10 años si:
1. el interés es simple
2. el interés se capitaliza trimestralmente
3. el interés se capitaliza continuamente
Respuesta
1) Dado que el interés es simple, entonces
S = 1,000,000 + 0, 08 · 1,000,000 · 10 = 1,800,000
Capítulo 5. Funciones Reales
366
2) En este caso el periodo es trimestral. Ya que existen 4 trimestres en el año, en 10 años tenemos 40
trimestres. Luego,
0, 08 4
Sn = 1,000,000 · (1 +
) 0 = 2,208,040
4
3) Cuando el número de veces que se capitaliza el interés aumenta sin límite, se dice que el interés se
capitaliza continuamente. En este caso, el saldo al final de n años está dado por
S = P · ein
En nuestro caso,
S = 1,000,000 · e0,8 = 2,225,540
Ejemplo 5.3.41 Hallar el tiempo en que se duplica un capital P que se invierte al 8 % anual y cuyo
interés se capitaliza trimestralmente.
Respuesta
El saldo después de n años es
Sn = P · (1 + i)n
en nuestro problema esta expresión toma la forma
Sn = P · (1 +
0, 08 4n
)
4
queremos que Sn = 2P, entonces
0, 08 4n
0, 08 4n
) =⇒ 2 = (1 +
)
4
4
al tomar logaritmo natural en ambos lados se obtiene
2P = P · (1 +
ln 2 = 4n ln (1, 02) =⇒ n =
5.4
1 ln 2
∼ 8, 75 años
4 ln 1, 02
Transformaciones
La idea es que, conociendo la gráfica de una función, sea posible hallar la gráfica de esa misma
función pero en posiciones diferentes en el plano. Tales hechos tienen su base en las denominadas
transformaciones. Esto hace posible poder describir gráficamente una familia de curvas.
El cuadro siguiente muestra como realizar estos procesos.
Gráfica original:
y = f (x)
Traslación k unidades a la derecha:
y = f (x − k)
Traslación k unidades a la izquierda:
y = f (x + k)
Traslación k unidades hacia abajo:
y = f (x) − k
Traslación k unidades hacia arriba:
y = f (x) + k
Reflexión en el eje x:
y = − f (x)
5.4 Transformaciones
367
Ejemplo 5.4.1 Para la parábola y = x2 se tienen las transformaciones que muestra la figura 5.66.
Figura 5.66
Ejemplo 5.4.2
La figura 5.67 muestra las gráficas de las funciones
y = 2x , y = 2x+1 , y = 2x + 1, y = 2x−1 , y = 2x − 1
Figura 5.67
Ejemplo 5.4.3 La figura 5.68 muestra la gráfica de y = log2 (x − 1), y = log2 |x|, e y = − log2 x
Figura 5.68
Capítulo 5. Funciones Reales
368
Un alcance final que hay que tener en cuenta, es que para obtener las gráficas de la función logaritmo
de base distinta de e o de 10, en un computador o calculadora, se debe utilizar el teorema del cambio de
base
loga u · logu b = loga b
ya que en esas máquinas están tabuladas las bases e y 10.
5.5
Problemas Propuestos
1. Sea f : R → R definida por f (x) = x2 + 1. Determinar las preimágenes de:
b) (−∞, 12 ], c) [0, 3], d) [1, 10]
√
2. Hallar dominio y rango de la función f (x) = 2 x−3 .
3. Sea f (x) = x2 − x. Determinar dominio, rango, paridad, monotonía y acotamiento. Graficar.
4. Hallar el dominio de las funciones:
√
1
b) y = e 1−x
c) y = ln(x − 3)
d) y = √
a) y = 5x − 3
x
a) [−1, 1),
e) y =
x−3
x2 − 9
f) y = e x−3
g) y =
x
ln(x2 − 1)
1
h) y = √
3
1−x
5. Hallar el recorrido o rango de las funciones.
√
x−4
a) y = x2 + 3
b) y =
1
d) y = √
5x − 2
1
e) y = √
1 − x2
c) y =
√
x2 − 1
f) y =
1
x−1
6. Para f : R → R se definen las funciones f p , fI : R → R por
fP (x) =
1
[ f (x) + f (−x) ],
2
1
fI (x) = [ f (x) − f (−x) ]
2
a) Si f (x) = 3x3 + 2x2 − x + 1, hallar fP y fI (x).
b) Pruebe que fP es par y que fI es impar.
c) Verificar que f = fP + fI .
x−2
7. Sea f : R − {3} → R − {1}, f (x) =
. Demostrar que f es biyectiva y hallar la inversa f −1 .
x−3
8. Sean f : R → R tal que f (x) = x2 , B = [4, 9]. Hallar f −1 (B).
9. Sea α real no nulo. Considerar las funciones
f (x) =
α
x2 − 4
,
g(x) =
α
x2 + x + 1
,
h(x) =
a) Determinar si f es inyectiva en su dominio.
b) Determinar si es inyectiva en el intervalo (−2, 2).
c) Muestre que g no es inyectiva en R.
1
d) Determinar si g es inyectiva en (− , ∞)
2
e) Determinar los intervalos maximales donde h es inyectiva.
α
(x + 1)2
5.5 Problemas Propuestos
369
10. Analizar paridad, acotamiento y monotonía de

x2

, x 6= ± − 1
a) f (x) = (x − 1)(x + 1)

0
x = ±1
c) f (x) = 2x4 − 3x2 + 1
11. Sea f : D ⊂ R → R, f (x) =

 x(x + 1) , x 6= 1
b) f (x) = (x − 1)

0
x=1
d) f (x) =
2
x2 − 4
x3 − x
x2 + 1
.
a) Probar que f es función par.
b) Hallar el recorrido de f .
c) Probar que f : (2, ∞) → (0, ∞) es una biyección. d) Hallar f −1 : (0, ∞) → (2, ∞)
12. Sean f y g funciones definidas como sigue.
r
√
5 + 1 + 4x
2 + 4x
f (x) =
,
g(x) = −
2
x
a) Hallar un intervalo maximal I donde f sea estrictamente creciente.
b) Probar que f es una biyección de I en f (I).
c) Hallar f −1 .
d) Hallar un intervalo maximal J donde g sea estrictamente creciente.
e) Probar que g es una biyección de J en f (J).
13. Sea f (x) = x2 − 5x + 6 función. Hallar f ([3, 5]).
a) Probar que f es una biyección de [3, 5] en f ([3, 5]).
b) Probar que f es estrictamente creciente en [3, 5].
c) Hallarq
f −1 .
14. Sea f (x) = 1 − log 9 (x2 − 6) función.
a) Determinar el dominio de f . b) Estudiar paridad de f . c) Estudiar monotonía.

−(x + 2) , x < −1
ex
, −1 ≤ x ≤ 1
15. Sea f (x) =

ln x
,x > 1
5
a) Calcular ( f ◦ f ◦ f )(− )
b) Hacer la gráfica de f .
2
c) Determinar si f es inyectiva.
d) Hallar el recorrido de f .
e) Restringir dominio o codominio de f para que sea biyectiva.
16. Verificar que f ◦ g puede ser inyectiva, sin que ambas, f y g lo sean.
17. Verificar que f ◦ g puede ser sobreyectiva, sin que ambas, f y g lo sean.
18. Sea f (x) = log2 (x − 5) función.
a) Determinar el dominio y recorrido de f .
b) Estudiar paridad de f .
c) Estudiar monotonía y acotamiento.
d) Graficar
qla función.
19. Sea f (x) = log 1/2 (x − 3) función.
a) Determinar el dominio y rango de f .
b) Estudiar paridad y acotamiento de g(x) = log 1/2 (x − 3).
c) Hacer la gráfica de g(x).
Capítulo 5. Funciones Reales
370
20. Sea f (x) = log2 (9x2 − 4) función.
a) Determinar el dominio y recorrido de f .
b) Estudiar paridad de f .
c) Estudiar monotonía y acotamiento.
d) Graficar la función.
e) Restringir el dominio o rango de la función, de manera que sea biyectiva.
f ) Calcular f −1 .
p
21. Considerar las funciones f (x) = log(x − 7), g(x) = 8 x+1
a) Determinar dominio y rango de f y g.
b) Determinar monotonía de f y acotamiento de g.
c) Hallar f ◦ g y su dominio y rango.
22. Sean f : R−1 → R+ , x 7→ −x, g : R → R+ , x 7→ x2 . Determinar (g ◦ f )(−5), ( f ◦ g)(−5).
Determinar para que valores de x existe (g ◦ f )(x + 3).
23. Sea f (x) = x, x ≥ 0. Decidir cuáles de las siguientes funciones es prolongación de f .
a) f1 (x) = x, x ≥ −2
c) f3 (x) =
b) f2 (x) = |x|, x ∈ R
x + |x|
2
d) f4 (x) = x, x ∈ [−1, 1]
24. Sea A subconjunto cualquiera de un conjunto referencial R. La función
1 ,x ∈ A
χ A : R → {0, 1}, χ A (x) =
0 , x 6∈ A
se llama función característica de A. Si R = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 2, 5}, B = {3, 4}. Hallar χ A
, χ B , χ A∩ B .
25. Graficar las funciones:
f (x) =
x + 1, x ≤ 2
4 − x, x > 2
26. Hacer la gráfica de las siguientes funciones
√
a) y = x − 2 b) y = 1 − 3|x − 2|
e) y = [x] + 3

1, x < 0
h(x) = x2 , 0 ≤ x ≤ 2

5 − x, x > 2
2
−x , x < 0
g(x) = 3
x , 0≤x≤2
f) y = |x + 1| + |x − 2|
c) y =
√
x−2
g) y = |x| + 2
d) y =
√
4 − x2
h) y = 1 − [x − 1]
27. Hallar las gráficas de las siguientes funciones:
a) y =
x−3
x2 − 9
d) y = x4 + 2x3 − 7x2 − 8x + 12
b) y =
4
x−2
e) y = x3 − 4x2 + x + 6
c) y =
3
(x − 2)(x − 4)
f) y = (x − 2)(x − 1)(x + 2)
5.5 Problemas Propuestos
371
28. Hacer la gráfica de las siguientes funciones:
a) y = e 2x
b) y = e x+3
c) y = 2 + ex
d) y = (x + 1)ex
e) y = log3 x
f) y = log2 (x − 3)
g) y = log1/2 x
h) y = ln |x − 1|
29. Las funciones f : Z → Q y g : Q → Z son tales que
f (x) =
x2
+ 1,
2
g(x) = [x]
1
Definir g ◦ f , f ◦ g y determinar (g ◦ f )(−2), ( f ◦ g)(− ).
2
√
1
1
30. Considere las funciones f (x) = x − , g(x) = , h(x) = x. Calcular las funciones siguientes,
x
x
explicitando sus dominios.
f
a) f + g b) g − f c) h ◦ g d)
e) h ◦ ( f + g) f) ( f + g) ◦ h g) h ◦ ( f + g) − ( f + g) ◦ h
g
31. Sean a, b, c, d ∈ R, f y g funciones definidas por f (x) = ax + b, g(x) = cx + d. Encuentre las
condiciones necesarias y suficientes para que f ◦ g = g ◦ f .
1
1
32. Sean f (x) = (3x + 1), g(x) = (x2 + 3x). Determinar h tal que f ◦ h = g
2
2
33. Sea f (x) = x2 − 1. Determinar las funciones g, tal que g ◦ f = I
34. Si f (x) =
1 x
1
(e − e−x ), g(x) = (ex + e−x ), demostrar que
2
2
a) f es una función impar de x
b) g es una función par de x
c) [g(x)]2 − [ f (x)]2 = 1
d) f (2x) = 2 f (x) g(x)
e) g(2x) = [g(x)]2 + [ f (x)]2
f) f (x + y) = 2 f (x) g(y) + g(x) f (y)
g) f (x − y) = f (x) g(y) − g(x) f (y)
35. Si y = 101/(1−loga x) , z = 101/(1−loga y) , demostrar que log x =
36. Graficar las funciones:
1
.
1 − loga z
a) y = log2 3x
x
b) y = log3 ( )
3
c) y = 5 + 3 log 2x
d) y = log5 (x − 3)
e) y = 2 log x
f) y = log(x + 5)
g) y = log2 (−x)
h) y = log3 (2 − x)
k) y = 2 + 3 log 5(x − 1)
l) y = −5 − 3 log(2 − x)
1
log x j) y = 2 + log5 x
3
37. Resolver las ecuaciones
i) y =
a) log(7x − 9)2 + log(3x − 4)2 = 2
√
√
(c) log 7x + 9 + log 2x + 3 = 1 + log 4, 5
(b)
log(35 − x3 )
=3
log(5 − x)
372
5.5.1
Capítulo 5. Funciones Reales
Aplicaciones
1. La función f (x) = −0, 0008 (x3 + x2 − 72x) entrega el porcentaje de alcohol en la sangre x horas
después de haber bebido una cantidad estándar de alcohol. De acuerdo a la ley, una persona se
encuentra en estado de ebriedad si el porcentaje de alcohol en su sangre es al menos de 0,10 %.
Usar la gráfica de f para estimar los tiempos en los que una persona está ebria.
2. La cantidad de medicamento en el cuerpo t horas después de una dósis inicial de 20 mg está
dada por 20 (0, 7)t . Estimar la cantidad de medicamento que hay en el cuerpo 12 horas después
de haberse ingerido ¿y a las 24 horas de haberse ingerido?
3. La función de costo es C(x) = x3 − 5x2 + 11x − 3 y la función de venta es V (x) = 4x. Un punto
donde se igualan el costo y las ventas es x = 3. Hallar los demás puntos de igualación.
4. La posición de una partícula al cabo de t segundos es r(t) = 2t 3 − 11t 2 + 13t − 1. Hallar en que
instantes de tiempo la partícula se encuentra a 3 unidades de distancia.
5. Hallar en cuánto se transforman $ 5636, invertidos al 5,5 %, al cabo de 5 años.
6. Si se invierten $ 100 al 3 % compuesto anualmente, determinar en que cantidad se convierten al
cabo de 18 años.
7. Si se invierten $1975 al 4 % compuesto trimestralmente, hallar en que cantidad se convierten al
cabo de 18 años.
8. Hallar el capital que colocado hoy al 4 % de interés compuesto trimestralmente, se convierte en $
5000 al final de 18 años.
9. Determinar el tiempo que demora en duplicarse un capital de $1, si se invierte al 4 % compuesto
trimestralmente.
10. Hallar el interés compuesto anualmente al que debe colocarse un capital de $ 1, para que se
duplique 15 años.
11. Hallar el interés compuesto trimestralmente a que debe invertirse un capital para triplicarlo en 25
años.
12. La ley de crecimiento se expresa por A = P · er n , en donde, P es la población presente en cierto
instante, r es la tasa de crecimiento, n el número de años, A la población presente al cabo de n
años.
En un cultivo hay inicialmente 1000 bacterias y 4 horas después hay 4000. Determinar la tasa de
crecimiento por hora de las bacterias, si la cantidad de bacterias aumenta a razón de r = 0, 24 por
hora. Determinar en cuánto tiempo 50 bacterias se transforman en 1.000.000.
13. En 1995 se estimó que la demanda mundial de cobre era de C = 9 e0,08t , donde C viene dado en
teragramos y t es el número de años después de 1995. Determinar cuándo la demanda mundial
de cobre será de 20 tg.
14. El peso w(t) en kilográmos de un material radiactivo al cabo de t días viene dado por w(t) =
10 · 52−t . Dibujar la función. Hallar el peso del material radiactivo: al comienzo del experimento,
al cabo de 1,5 dias, 3 días antes de comenzar el experimento. Hallar en cuánto ha disminuído el
peso del material al cabo de una semana.
15. Una agencia A arrienda autos a 25 dólares más 60 centavos por kilómetro. Una segunda agencia
B los arrienda en 30 dólares más 50 centavos por kilómetro. Determinar la agencia que ofrece el
mejor trato.
Resp. A para menos de 50 km. B para más de 50
16. Una empresa vende calugas a $6 la unidad, y a este precio vende 3000 unidades al mes. Su
gerente quiere aumentar el precio y estima que por cada incremento de $1 venderá 1000 unidades
menos al mes. El costo de las calugas es de $4 cada una. Expresar la utilidad mensual de la
empresa en función del precio. Dibujar la curva de utilidad y estimar el precio óptimo de venta.
5.5 Problemas Propuestos
373
Resp. $6.5
17. Un campesino de Perquenco estima que si planta 60 manzanos, cada árbol producirá en promedio
400 manzanas. La producción media disminuirá en 4 manzanas por árbol por cada árbol adicional
que plante en la misma área. Expresar la producción total de este campesino en función de la
cantidad adicional de árboles plantados. Hacer la gráfica y estimar la cantidad de árboles que se
deben plantar para maximizar la producción.
Resp. 80
18. Las funciones de oferta y demanda de cierto artículo son O(p) = 4p + 200 y D(p) = −3p + 480,
respectivamente. Hallar el precio de equilibrio y la cantidad correspondiente de unidades ofertadas
y demandadas. Graficar las curvas de oferta y demanda.
Resp. p = $40, q = 360 unidades
19. Un productor vende helados a $80 la unidad. El costo total conlleva un costo fijo indirecto de
$4500 más costos de producción de $50 la unidad.
a) Hallar el número de unidades que debe vender para alcanzar el punto de equilibrio
b) Hallar la utilidad o pérdida si vende 150 unidades
c) Determinar el número de unidades que debe vender para tener una utilidad de $900
Resp. 150, $1500 de utilidad, 180
20. El porcentaje real en que aumenta una inversión durante un año se llama tasa de interés efectiva.
La tasa de interés capitalizada anualmente se llama tasa de interés nominal
Si el interés se capitaliza k veces al año a una tasa de interés anual r, entonces la tasa de interés
efectiva (Tie) se define como
r k
Tie = 1 +
−1
k
Si el interés se capitaliza continuamente a una tasa de interés anual r, entonces la tasa de interés
efectiva (Tie) se define como
Tie = e r − 1
El Banco A ofrece una tasa de interés anual del 6 % capitalizado anualmente. El Banco B
capitaliza su interés continuamente. Hallar la tasa de interés (nominal) que debe ofrecer el Banco
B para que las tasas de interés efectivas de los dos bancos sean iguales.
Resp. 5,83 %
21. Si el interés se capitaliza k veces al año a una tasa de interés anual r, entonces el valor presente
de P pesos pagaderos dentro de t años es
r −kt
VP = P · 1 +
pesos
k
Si el interés se capitaliza continuamente a una tasa de interés anual r, el valor presente de P pesos
pagaderos dentro de t años es
VP = P · e −rt pesos
a) Hallar cuánto se debe invertir ahora a una tasa de interés anual del 8 % para tener un saldo
dentro de 15 años de $20.000 si el interés se capitaliza trimestralmente. ¿Cuánto si se
capitaliza continuamente?
Resp. $6653,15 y $6023,88
b) Hallar cuánto se debe invertir ahora a una tasa de interés anual del 6,25 % para tener un
saldo dentro de 10 años de $2000 si el interés se capitaliza mensualmente. ¿Cuánto si se
capitaliza continuamente?
Resp. $1070,26 y $1072,52
6. Funciones trigonométricas
6.1
Introducción
Veamos la siguiente situación: Si en este momento son las 11 de la mañana ¿qué hora será dentro de 24
hrs? ¿Y que hora será dentro de 48 hrs? ¿Y que hora será dentro de cualquier múltiplo de 24 hrs? Por
supuesto que tendremos la misma hora, 11 de la mañana.
Este en un ejemplo de función periódica, su período (ciclo) es de 24 hs.
Podemos establecer lo siguiente:
Una función es periódica cuando su valor se repite cada vez que la variable independiente recorre un
cierto intervalo. Este intervalo se llama periodo.
f (x + periodo) = f (x)
Formalmente
Definición 6.1.1 Una función se dice que es periódica si existe T > 0 tal que
f (t + T ) = f (t),
para todo t
Diremos que T es un periodo de la función
El valor de T > 0 más pequeño que verifica f (t + T ) = f (t) se llama periodo fundamental de la
función.
Una función periódica queda perfectamente determinada conociendo su comportamiento en un periodo.
Actividad 212 Determina si las gráficas siguientes (figura 6.1) representan una función periódica. Si
es así halla el periodo de cada función.
Capítulo 6. Funciones trigonométricas
376
Figura 6.1
6.1.1
Conceptos básicos
Ángulo
Un ángulo es la región del plano engendrada
por la rotación de una semirecta alrededor de
su extremo, desde una posición inicial hasta
una posición terminal. Figura 6.2
Las semirrectas se llaman lados del ángulo.
El origen común es el vértice.
Figura 6.2
6.1.2
Medida del ángulo
La medida del ángulo corresponde a la amplitud de la rotación. Si la rotación de la semi-recta se hace
en sentido izquierdo, entonces el ángulo se considera positivo, y negativo si es en sentido contrario.
Los ángulos se miden en grados o radianes de acuerdo al sistema.
Sistema sexagesimal
Este sistema de medir ángulos es el que se emplea normalmente: la circunferencia se divide en 360
partes llamadas grados, el grado en 60 partes llamadas minutos y el minuto en 60 partes que reciben el
nombre de segundos.
1◦ = 60 0 . Esto es, un grado es igual a 60 minutos.
1 0 = 60 00 . Esto es, un minuto es igual a 60 segundos.
Figura 6.3
Observación 6.1.2 Por simplicidad omitiremos el exponente que indica el grado. Por ejemplo, en
este contexto, al escribir 45 estamos hablando de 45 grados.
6.1 Introducción
377
Sistema cíclico o circular
Este sistema utiliza como unidad fundamental al radián. El radián es el ángulo central subtendido por
un arco igual a la longitud del radio del círculo (figura 6.3).
notaciones
La magnitud de un ángulo puede no tener límite, es decir, si una semi-recta efectúa una rotación
completa en sentido positivo, entonces da origen a un ángulo de 360◦ . Dos vueltas completas, en el
mismo sentido, generan un ángulo de 720◦ .
Grados versus Radianes
Sea π la medida en radianes de un ángulo entre dos semi-rectas diferentes incluídas en la misma recta.
La aplicación
180α ◦
R → R,
α 7→
π
180α ◦
es una biyección. Se observa que si α es la medida de un ángulo en radianes, entonces
es
π
su medida en grados sexagesimales. Es decir,
180α ◦
α radianes =
π
Por tratarse de una biyección, la inversa existe, y viene dada por
πx
x grados =
radianes
180
π
π · 30
◦
rad = rad
Ejemplo 6.1.3 30 en radianes corresponde a
180
6
Es costumbre no escribir la abreviación rad. Eso haremos, dando por hecho que estando π son radianes
y punto.
2π
Ejemplo 6.1.4
equivale a
3
180 · 2π
3
π
◦
= 120◦
Actividad 213 Completar la siguiente tabla:
grados
0
30
45
60
120
150
180
La aplicación
R → R,
270
300
200α
π
g
4π
3
π
2
radianes
210
α 7→
200α
π
g
es una biyección. Si α es la medida de un ángulo en radianes, entonces
grados centesimales. Es decir,
α radianes =
200α
π
g
es su medida en
Capítulo 6. Funciones trigonométricas
378
Por tratarse de una biyección, la inversa existe, y viene dada por
πx
x grados centesimales =
radianes
200
La aplicación
R → R,
x 7→
9
10
x
transforma grados centesimales en grados sexagesimales.
Ejemplo 6.1.5
1) 1g = (0, 9)◦ =
π
radianes
200
2)
π
radianes = 50g = 45◦
4
3) 0g = 0◦ = 0 radianes
Ángulos en posición normal
Un ángulo está en posición normal con respecto a un sistema de coordenadas rectangulares cuando su
vértice está en el origen y su lado inicial coincide con el eje positivo de las x (figura 6.4a).
Los ángulos se pueden medir en el sentido del movimiento de las agujas del reloj (tiene medida negativa)
y al contrario del movimiento de las agujas del reloj (con medida positiva) (figuras 6.4).
Figura 6.4
Los ángulos que están en la posición normal y que coinciden sus lados finales se llaman ángulos
coterminales. la figura 6.5a muestra ángulos que no son coterminales (no están en posición normal),
mientras que en la figura 6.5b los ángulos son coterminales.
Figura 6.5
6.1 Introducción
379
Es claro que existe un número infinito de ángulos coterminales con uno dado, ya que lo que importa es
que la posición final sea la misma, aún cuando la medida del ángulo sea diferente.
Para hallar ángulos coterminales de ángulos cuya medida en grados sea menor que 360◦ , solo hay que
sumar o restar 360◦ , tantas veces como se quiera.
Ejemplo 6.1.6 Los ángulos cuyas medidas son; 45◦ , 405◦ , 765◦ , −315◦ son coterminales.
a) 45◦ + 360◦ = 405◦
b) 45◦ + 2 · 360◦ = 765◦
c) 45◦ − 360◦ = −315◦
Si la medida de un ángulo es mayor que 360◦ , para obtener un ángulo coterminal menor que 360◦ se
divide ese ángulo por 360◦ , siendo el residuo el ángulo coterminal que da origen al ángulo coterminal.
6.1.3
Funciones trigonométricas
Existen dos formas, equivalentes, de iniciar el estudio de las funciones trigonométricas, una de ellas
consiste en definirlas como las razones entre dos lados de un triángulo rectángulo, y la otra en términos
de un punto sobre la semi-recta terminal de un ángulo. Vamos a presentar ambas formas, pues en los
problemas de aplicación se requiere del manejo de las dos.
Razones trigonométricas para ángulos agudos
Debido a que un triángulo tiene tres lados, se pueden establecer seis razones, dos entre cada pareja
de estos lados. Las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo son las
siguientes:
cateto opuesto a
=
sen α =
hipotenusa
c
cos α =
tg α =
cateto adyacente b
=
hipotenusa
c
cateto opuesto
a
=
cateto adyacente b
cotg α =
cateto adyacente b
=
cateto opuesto
a
sec α =
hipotenusa
c
=
cateto adyacente b
csc α =
hipotenusa
c
=
cateto opuesto a
Figura 6.6
Observación 6.1.7 Se han definido las razones trigonométricas para un ángulo a través de la construcción de un triángulo rectángulo, pero también pueden construirse muchos triángulos rectángulos
que tengan ese mismo ángulo. En la figura 6.7 los tres triángulos son semejantes
Cuando los triángulos son semejantes las proporciones entre sus lados son iguales, es decir:
Capítulo 6. Funciones trigonométricas
380
BC B0C0 B00C00
=
= sen α
=
AC
AC0
AC00
AB AB0 AB00
=
= cos α
=
AC AC0 AC00
Esto que es válido para las restantes funciones
trigonométricas significa que:

6.1.4
Figura 6.7
Las razones Trigonométricas no dependen de la medida de los lados, dependen del ángulo
Circunferencia Trigonométrica
Para ampliar las definiciones de las funciones trigonométricas de manera que incluyan ángulos que no
son agudos, se emplea un sistema de coordenadas rectangulares y se coloca el ángulo en la posición
estándar, de modo que su vértice esté en el origen y su lado inicial en el lado positivo del eje x. En este
sistema de coordenadas se construye una circunferencia que tiene su centro en el origen del sistema y
de radio unitario.
Sea C la circunferencia unitaria y de centro el origen de coordenadas que muestra la figura 6.8a.
Figura 6.8
Construimos la siguiente función:
w : R → C,
α 7→ w(α)
en donde
1. ∀ α ≥ 0, w(α) es aquel punto de C tal que la longitud de arco desde (1,0) hasta él es α,
recorriendo C tantas veces como sea necesario, en sentido positivo.
2. ∀ α < 0, w(α) es aquel punto de C tal que la longitud de arco desde (1,0) hasta él es −α,
recorriendo C tantas veces como sea necesario, en sentido negativo.
Por construcción, es claro que la función w es periódica, de periodo 2π. Esto es
w(α + 2π) = w(α),
∀α
6.1 Introducción
381
Definición 6.1.8 Se denominan primera y segunda proyección a las aplicaciones:
1. P1 : R2 → R,
(x, y) 7→ P1 (x, y) = x
2. P2 : R2 → R,
(x, y) 7→ P2 (x, y) = y
La función primera proyección asigna, como imagen, a todo par ordenado (x, y), la primera componente.
De igual modo, la función segunda proyección le asigna la segunda componente. Se observa que la
primera proyección es sobre el eje x, y la segunda sobre el eje y.
Definición 6.1.9 Sea C la circunferencia unitaria, w(α) un punto sobre ella. Se llama función seno
del ángulo α, que se anota sen α a la expresión
sen α = P2 (w(α)),
∀α ∈ R
Se llama función coseno del ángulo α, que se anota cos α a la expresión
cos α = P1 (w(α)),
∀α ∈ R
El ángulo α está medido en radianes. Claramente, el dominio de estas funciones es R. Veamos su rango.
Del hecho que
w(α) = ( P1 (w(α)), P2 (w(α)) ) ∈ C, ∀α ∈ R
se sigue que (cos α, sen α) ∈ C. Esto significa que que los valores de las funciones seno y coseno están
variando entre -1 y 1. Es decir, el rango de estas funciones es el intervalo [−1, 1].
Proposición 6.1.10 Las funciones sen α y cos α satisfacen las propiedades:
1.
2.
3.
4.
sen2 α + cos2 α = 1
La función coseno es par. Esto es, cos(−α) = cos(α)
La función seno es impar. Esto es, sen(−α) = − sen(α)
Las funciones seno y coseno son periódicas de periodo 2π.
Demostración.
1) Si w(α) = (x, y), entonces
sen2 α + cos2 α = [P2 (w(α))]2 + [P1 (w(α))]2 = [P2 (x, y)]2 + [P1 (x, y)]2
= y2 + x2 = 1
Se debe tener en cuenta que C es unitaria.
2) Si w(α) = (x, y), entonces w(−α) = (x, −y). Luego
cos(α)
= P1 (w(α)) = P1 (x, y) = x
cos(−α) = P1 (w(−α) = P1 (x, −y) = x
Se sigue que cos(α) = cos(−α). Esto es, la función coseno es par.
3) Se demuestra en forma análoga a la anterior.
4) En este caso hacemos uso del hecho que w es periódica.
cos(α + 2kπ) = P1 (w(α + 2kπ)) = P1 (w(α)) = P1 (x, y) = x = cos α
La demostración de que la función seno es periódica es análoga.
Las propiedades anteriores se pueden deducir geométricamente como sigue:
Capítulo 6. Funciones trigonométricas
382
Identidad Fundamental
En la figura 6.9a tenemos el triángulo rectángulo OQP con ángulo recto en el vértice Q, catetos PQ y
OQ e hipotenusa r = 1.
Figura 6.9
según el teorema de Pitágoras, se establece la propiedad fundamental
sen2 α + cos2 α = 1
Paridad e Imparidad de seno y coseno
Si α es un ángulo, su opuesto se escribe −α y se interpreta como un ángulo de igual tamaño pero
tomado en sentido contrario a α, es decir, si α está tomado en el sentido del movimiento contrario a las
agujas de un reloj (sentido positivo), entonces −α está tomado en el sentido del movimiento de las
agujas del reloj. Además, la suma de un ángulo y su opuesto es el ángulo 0◦ , es decir:
α + (−α) = 0◦
A partir de la figura 6.9b (considera el signo de los segmentos), responde lo siguiente:
1. Anota el segmento que define sen(α) = .................
2. Anota el segmento que define sen(−α) = .................
3. Anota el segmento que define cos(α) = .................
4. Anota el segmento que define cos(−α) = .................
La gran conclusión es que, el coseno es una función par, y el seno una función impar.
Peridiocidad de seno y coseno
Considera el punto P(x, y) sobre la circunferencia unitaria que se ve en la figura 6.9c
1. ¿Cuánto demora el punto P en recorrer la circunferencia y volver al mismo punto?
2. Esto es válido para las funciones seno y coseno, ¿cuál es su periodo?
3. Anota las dos conclusiones:
6.1.5
Comportamiento del seno y coseno
En primer cuadrante
Actividad 214 En la figura 6.10, el segmento horizontal representa al coseno y el vertical al seno.
6.1 Introducción
383
Figura 6.10
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
¿Cuál es el valor del seno en 0◦ ?
¿Cuál es el valor del seno en 90◦ ?
¿Cuál es el intervalo de variación de los valores del seno en el primer cuadrante?
¿Signo del seno en el primer cuadrante?
¿Cuál es el valor del coseno en 0◦ ?
¿Cuál es el valor del coseno en 90◦ ?
¿Cuál es el intervalo de variación de los valores del coseno en el primer cuadrante?
¿Signo del coseno en el primer cuadrante?
Segundo cuadrante
Actividad 215 Considerar la figura 6.11 para responder lo siguiente:
1. Anota el segmento que define el seno.
2. ¿Qué signo tiene el seno en el segundo
cuadrante?
3. Anota el intervalo de variación de los
valores del seno en el segundo cuadrante.
4. Anota el segmento que define el coseno.
5. ¿Qué signo tiene el coseno en el segundo cuadrante?
6. Anota el intervalo de variación de los
valores del coseno.
Figura 6.11
Actividad 216 Repite las actividades anteriores para el tercer y cuarto cuadrante
6.1.6
Las restantes funciones trigonométricas
Las razones trigonométricas deducidas en una circunferencia goniométrica (de radio unitario) se
corresponden con los valores de ciertos segmentos de recta que se denominan líneas trigonométricas.
A continuación se muestran las líneas trigonométricas en el primer cuadrante. La forma de obtener las
líneas trigonométricas en los otros tres cuadrantes es similar.
Capítulo 6. Funciones trigonométricas
384
Figura 6.12
En la figura 6.12b el punto P tiene coordenadas (x, y). Los triángulos OQP, OSR, TWO y OV T son
semejantes, los cuatro son rectángulos y tienen un ángulo agudo en común (por lo tanto, también el
tercero). La consecuencia de esto es que las razones entre dos de los lados de uno cualquiera de los
triángulos, es igual a la razón entre los lados homólogos en los otros triángulos. Teniendo en cuenta
esto y que el radio del círculo es 1, se deducen las seis líneas trigonométricas.
PQ PQ
PQ
RS
RS
1) sen α =
=
= PQ = ordenada de P = y
2) tg α =
=
=
= RS
OP
1
OQ OS
1
3) cos α =
OQ
= OQ = abscisa de P = x
1
5) cotg α =
OQ OV
WT
WT
=
=
=
= WT
PQ TV
OW
1
4) sec α =
OP OR
=
= OR
OQ
1
6) csc α =
OP OT
=
= OT
PQ
1
Las siguientes formas de escribir las restantes funciones trigonométricas en función del seno y del
coseno facilitan los cálculos:
Tangente
La tangente de x se define para todo valor de x que no anule al coseno como
tg x =
sen x
cos x
Cotangente
La cotangente de x se define para todo valor de x que no anule al seno como
cotg x =
cos x
sen x
Secante
La secante de x se define para todo valor de x que no anule al coseno como
sec x =
1
cos x
6.1 Introducción
385
Cosecante
La cosecante de x se define para todo valor de x que no anule al seno como
csc x =
6.1.7
Signo de las funciones trigonométricas
6.1.8
primer cuadrante
1
sen x
En este caso, al ser x > 0, y > 0, r > 0, las seis razones trigonométricas de un ángulo del primer
cuadrante son positivas. Ello se debe a que P(x, y) es un punto del primer cuadrante.
segundo cuadrante
Supongamos que el ángulo α es del cuadrante II, entonces el punto P(x, y) está situado en el cuadrante
II, por lo que x < 0 e y > 0. En la figura 6.13 , π2 < α < π. Tenemos:
ordenada de P y +
1. sen α =
= = =+
radio
r +
2. cos α =
3. tg α =
abscisa de P x −
= = =−
radio
r +
ordenada de P y +
= = =−
abscisa de P
x −
4. cotg α =
abscisa de P
x −
= = =−
ordenada de P y +
5. sec α =
r +
radio
= = =−
abscisa de P x −
6. csc α =
radio
r +
= = =+
ordenada de P y +
Figura 6.13
tercer cuadrante
Supongamos que el ángulo α es del cuadrante III, entonces el punto P(x, y) está situado en el cuadrante
III, por lo que x < 0 e y < 0. En la figura 6.14, π < α < 3π
2 . Tenemos:
ordenada de P y −
1. sen α =
= = =−
radio
r +
2. cos α =
3. tg α =
abscisa de P x −
= = =−
radio
r +
ordenada de P y −
= = =+
abscisa de P
x −
4. cotg α =
5. sec α =
abscisa de P
x −
= = =+
ordenada de P y −
radio
r +
= = =−
abscisa de P x −
radio
r +
6. csc α =
= = =−
ordenada de P y −
Figura 6.14
Capítulo 6. Funciones trigonométricas
386
cuarto cuadrante
Supongamos que el ángulo α es del cuadrante IV, entonces el punto P(x, y) está situado en el cuadrante
IV, por lo que x > 0 e y < 0. En la figura 6.15, 3π
2 < α < 2ß. Tenemos:
ordenada de P y −
1. sen α =
= = =−
radio
r +
2. cos α =
3. tg α =
abscisa de P x +
= = =+
radio
r +
ordenada de P y −
= = =−
abscisa de P
x +
4. cotg α =
5. sec α =
abscisa de P
x +
= = =−
ordenada de P y −
radio
r +
= = =+
abscisa de P x +
Figura 6.15
r +
radio
6. csc α =
= = =−
ordenada de P y −
Actividad 217 Un resumen de los signos puedes tener si llenas la tabla siguiente.
Ejemplo 6.1.11 Hallar el valor de las funciones trigonométricas de un ángulo positivo α, si (4, −3) es
un punto en el lado terminal.
Pitágoras nos dice que la p
distancia del origen al punto
(4, −3) (hipotenusa) es h = (−4)2 + 32 = 5. Luego, usando las definiciones respectivas y los signos tenemos que:
3
sen α = − ,
5
4
cos α = ,
5
tg α = −
4
cotg α = − ,
3
5
sec α = ,
4
csc α = −
Actividad 218
1. Se sabe que α es un angulo del segundo cuadrante y que sen α = 25 . Hallar cos α
√
2. Calcular sen α y cos α, si tg α = 5, con α ángulo del primer cuadrante.
3
4
5
3
6.1 Introducción
6.1.9
387
Razones de ángulos especiales
Llamamos ángulos especiales a los de 30◦ , 45◦ y 60◦ . Hallaremos sus valores en la circunferencia
trigonométrica. Además, debido a que la tangente es igual al cociente del seno entre el coseno, que la
cotangente, la secante y la cosecante son los recíprocos de la tangente, coseno y seno respectivamente,
con saber la magnitud y signo de estas últimas se pueden obtener los valores de las primeras.
1. En la figura 6.16a trazamos un ángulo de 30◦ , luego lo copiamos al cuarto cuadrante, con lo cual
se forma un triángulo equilátero. Los tres lados miden la √
unidad. Cada cateto mide 12 . Aplicando
el teorema de Pitágoras, se obtiene el valor de la altura;
1
sen 30 = ,
2
◦
3
2 .
Con estos datos tenemos:
√
3
cos 30 =
2
◦
Figura 6.16
2. En la misma figura 6.16, y considerando el ángulo de 60◦ se tiene que
√
3
1
◦
sen 60 =
, cos 60◦ =
2
2
3. Para hallar los valores de seno y coseno en 45◦ se construye el triángulo rectángulo isósceles que
muestra la figura 6.16b. El ángulo de 45◦ implica que el radio se posiciona sobre la recta y = x,
de lo cual los catetos son iguales, y por uso del teorema de Pitágoras se deduce que x2 + x2 = 1,
de lo cual x = √12 , y por consiguiente y = √12 . Se tiene:
1
sen 45◦ = √ ,
2
1
cos 45◦ = √
2
Ejemplo 6.1.12 Calcular los valores de a y b en el triángulo ABC si la longitud del lado AC = 12.
Figura 6.17
Capítulo 6. Funciones trigonométricas
388
En el triángulo ABD usamos Pitágoras
√ para tener que a = 4. Con esto, el lado DC = 8. Por Pitágoras
en triángulo BDC se tiene que b = 73
Ejemplo 6.1.13 Calculamos sen α y cos α de un ángulo agudo sabiendo que tg α = 43 .
De la lectura del problema se desprende que estamos en el primer cuadrante. Considerando que la
tangente es el cociente entre el seno y coseno, se tiene
sen α
4
4
= =⇒ sen α = cos α
cos α
3
3
Usando ahora la identidad fundamental
se halla que cos α = 35 . de esto, sen α =
4
cos α
3
2
+ cos2 α = 1
4
5
Actividad 219 Utilizar la figura 6.18 y calculadora para dar respuesta a lo siguiente:
1. Hallar las razones trigonométricas de los ángulos A, C, ABD, CBD de la figura 6.18a.
2. Determinar la altura de un árbol (figura 6.18b), cuando los rayos del sol forman 40◦ con el suelo,
y la sombra del árbol mide 18 m.
3. Calcular la altura, h, del triángulo de la figura 6.18c.
Figura 6.18
Actividad 220 Dos antenas de radio están sujetas al suelo por cables (figura 6.19). Calcular la longitud
de cada uno de los tramos de cable y la distancia d(A, E).
Figura 6.19
Resp d(A, E) = 349, 25m
6.1 Introducción
6.1.10
389
Funciones de ángulos complementarios
En el triángulo rectángulo ABC de la figura
6.20, los ángulos A y B son complementarios,
es decir, A + B = 90◦ . Las funciones trigonométricas de los ángulos A y B son
sen A =
tg A =
a
= cos B
c
a
= cotg B
b
c
sec A = = csc B
b
cos A =
b
= sen B
c
cotg A =
b
= tg B
a
Figura 6.20
c
csc A = = sec B
a
Hemos probado el siguiente resultado.
Teorema 6.1.14 Las funciones trigonométricas de un ángulo agudo son iguales a la cofunción del
ángulo complementario. Esto es,
sen α = cos(90 − α), cos α = sen(90 − α), tg α = cotg(90 − α)
cotg α = tg(90 − α), sec α = csc(90 − α), csc α = sec(90 − α)
Un hecho interesante, que se deduce de lo anterior, es que se tienen tres pares de funciones, seno-coseno,
tangente-cotangente, secante-cosecante. En cada par, ellas se denominan cofunción, la una de la otra.
La relación entre una función y su cofunción está dada por:
función (α) = cofunción
π
2
−α
Actividad 221 Si 3 tg α = sec α, 0 < α < π2 . Hallar los valores de cos α, cotg α y (tg α + sec α)2
6.1.11
Reducción de ángulos
Los ángulos entre 0◦ y 90◦ son ángulos del primer cuadrante. Sus razones trigonométricas son conocidas,
y cualquier otro ángulo mayor que estos, puede reducirse a uno de ellos mediante las fórmulas de
reducción, y sus razones trigonométricas coinciden con las de éste, por lo que en la práctica se utilizan
estas fórmulas.
Ángulos del segundo cuadrante
Sea P(x, y) un punto del círculo trigonométrico, sea 0 < α <
parte positiva del eje x y el rayo OP (figura 6.21a).
π
2
la medida del ángulo formado por la
Capítulo 6. Funciones trigonométricas
390
Figura 6.21
Se observa que
sen α = y,
cos α = x,
sen(π − α) = y =⇒ sen(π − α) = sen α
cos(π − α) = −x =⇒ cos(π − α) = − cos α
Ángulos del tercer cuadrante
Se considera la figura 6.21b. Se tiene que:
sen α = y,
sen(π + α) = −y =⇒ sen(π + α) = − sen α
cos α = x,
cos(π + α) = −x =⇒ cos(π + α) = − cos α
Observación 6.1.15 Una alternativa de visualizar las relaciones descritas es considerar la figura 6.22,
en las cuales se destacan las medidas de los lados tomando como base la definición de seno y coseno.
Figura 6.22
Tenemos el siguiente resultado:
Teorema 6.1.16 Las funciones trigonométricas de 180◦ más o menos un ángulo agudo son iguales a
las mismas funciones del ángulo agudo, con el signo correspondiente al cuadrante en que se halla el
ángulo obtuso. Esto es:
6.1 Introducción
391
sen(π − α) = sen α
sen(π + α) = − sen α
cos(π − α) = − cos α
cos(π + α) = − cos α
tg(π − α) = − tg α
tg(π + α) = tg α
cotg(π − α) = − cotg α
cotg(π + α) = cotg α
sec(π − α) = − sec α
sec(π + α) = − sec α
csc(π − α) = csc α
csc(π + α) = − csc α
Lo mismo ocurre con las funciones de 360◦ más o menos un ángulo agudo.
Teorema 6.1.17 Las funciones trigonométricas de 360◦ más o menos un ángulo agudo son iguales a
las mismas funciones del ángulo agudo, con el signo correspondiente al cuadrante en que se halla el
ángulo obtuso. Esto es:
sen(2π − α) = − sen α
sen(2π + α) = sen α
cos(2π − α) = cos α
cos(2π + α) = cos α
tg(2π − α) = − tg α
tg(2π + α) = tg α
cotg(2π − α) = − cotg α
cotg(2π + α) = cotg α
sec(2π − α) = sec α
sec(2π + α) = sec α
csc(2π − α) = − csc α
csc(2π + α) = csc α
Actividad 222 Hallar los valores del seno, coseno y tangente en 150◦ , 240◦ , 300◦ , 330◦ y 420◦
Actividad 223 Reducir a su menor expresión:
1.
6.1.12
sen 40◦
cos 20◦
tg 80◦
+
+
=
sen 140◦ cos 160◦ tg 180◦
2. sen 150◦ + cos 240◦ − tg 315◦ =
Ángulos de 90◦ y 270◦
Otra forma de reducción al primer cuadrante se produce cuando se consideran ángulos que difieren en
90◦ . En estos casos se tiene el siguiente resultado.
Teorema 6.1.18 Las funciones trigonométricas de 90◦ más o menos un ángulo agudo, y las funciones
de 270◦ más o menos un ángulo agudo, son iguales a las cofunciones del ángulo agudo, con el signo
correspondiente al cuadrante en que se halla el ángulo obtuso. Esto es:
sen( π2 + α) = cos α
sen( π2 − α) = cos α
cos( π2 + α) = − sen α
cos( π2 − α) = sen α
tg( π2 + α) = − cotg α
tg( π2 − α) = cotg α
cotg( π2 + α) = − tg α
cotg( π2 − α) = tg α
sec( π2 + α) = − csc α
sec( π2 − α) = csc α
csc( π2 + α) = sec α
csc( π2 − α) = sec α
Capítulo 6. Funciones trigonométricas
392
La figura 6.23 ilustra el caso de 90 ± α.
Figura 6.23
Funciones de 270◦ más o menos un ángulo
La figura 6.24 ilustra esta situación.
sen(270 − α) = − cos α
sen(270 + α) = − cos α
cos(270 − α) = − sen α
cos(270 + α) = sen α
tg(270 − α) = cotg α
tg(270 + α) = − cotg α
cotg(270 − α) = tg α
cotg(270 + α) = − tg α
sec(270 − α) = − csc α
sec(270 + α) = csc α
csc(270 − α) = − sec α
csc(270 + α) = − sec α
Figura 6.24
Ejemplo 6.1.19
√
2
1. sen 135 = sen(180 − 45) = cos 45 =
2 √
2
2. cos 135 = cos(180 − 45) = − sen 45 = −
2
3. tg 225 = tg(270 − 45) = cotg 45 = 1
6.1 Introducción
393
4. sec 315 = sec(270 + 45) = csc 45 =
6.1.13
√
2
Ángulos mayores de 360◦
Los valores comprendidos entre 0◦ y 360◦ nos permiten expresar la medida de cualquier ángulo.
Por ejemplo, podemos darle sentido al ángulo 400◦ = 360◦ + 40◦ al situarlo sobre la circunferencia
goniométrica, pues el segundo lado dará una vuelta completa (360◦ ) más un ángulo de 40◦ . Esto es
400 = 360 + 40 = 1 vuelta + 40
De esta forma, para cualquier ángulo mayor que 360◦ se divide entre 360, el cociente nos da el número
de vueltas enteras y el resto sería el ángulo que tiene las mismas razones trigonométricas que el dado.
Ejemplo 6.1.20
√
1. sen 1860 = sen(5 · 360 + 60) = sen 60 = 23
2. tg 2000 = tg(5 · 360 + 200) = tg 200 = tg(180 + 20) = tg 20
3. sen(−2000) = − sen(2000) = − sen(5 · 360 + 200) = sen 20
6.1.14
Ángulos determinados por los semiejes
Hay cuatro puntos donde la circunferencia corta a los ejes coordenados, ellos son:
(1, 0) [α = 0] (0, 1) [α = 90] (−1, 0) [α = 180] (0, −1) [α = 270]
Luego, los ángulos 0 + 360n, 90 + 360n, 180 + 360n y 270 + 360n quedan sobre los semiejes de
coordenadas y sus razones trigonométricas se vuelven a repetir (n es un número natural):
1.
2.
3.
4.
sen(0 + 360n) = 0
sen(90 + 360n) = 1
cos(90 + 360n) = 0
sen(180 + 360n) = 0
5.
6.
7.
8.
cos(0 + 360n) = 1
tg(90 + 360n) no existe.
cos(180 + 360n) = −1
tg(180 + 360n) = 0
9.
10.
11.
12.
tg(0 + 360n) = 0
sen(270 + 360n) = −1
cos(270 + 360n) = 0
tg(270 + 360n) no existe.
Ejemplo 6.1.21
1
2
1
2. sen(−210) = sen(−2 · 90 − 30) = sen 30 =
2
1
3. tg 330 = tg(3 · 90 + 60) = cotg 60 = − √
3
1
4. tg 330 = tg(4 · 90 − 30) = tg 30 = − √
3
1. sen(−210) = sen(−3 · 90 + 60) = cos 60 =
6.1.15
Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos
En la figura 6.25a, el seno del ángulo suma es el segmento DF.
DF = DE + EF = sen(α + β )
Vamos a calcular los segmentos DE y EF.
DE = DH cos α,
DH = sen β =⇒ DE = sen β · cos α
Capítulo 6. Funciones trigonométricas
394
Por otra parte
EF = HG = AH sen α
AH = cos β =⇒ EF = cos β · sen α
Sustituyendo obtenemos la fórmula:
sen(α + β ) = sen α · cos β + cos α · sen β
Figura 6.25
Para el coseno de la suma se considera la figura 6.25b. El coseno del ángulo suma es el segmento AF.
AF = AG − FG = AG − EH = cos(α + β )
Vamos a calcular los segmentos AG y EH.
AG = AH cos α,
AH = cos β =⇒ AG = cos β · cos α
EH = DH sen α,
DH = sen β =⇒ EH = sen β · sen α
Por otra parte
Sustituyendo;
cos(α + β ) = cos α · cos β − sen α · sen β
A partir de lo anterior se puede calcular la fórmula de la tangente. En efecto;
sen(α + β ) sen α · cos β + cos α · sen β
=
cos(α + β ) cos α · cos β − sen α · sen β
sen α · cos β + cos α · sen β
tg α + tg β
cos α cos β
=
=
cos α · cos β − sen α · sen β
1 − tg α tg β
cos α cos β
tg(α + β ) =
Para hallar las fórmulas para la resta de ángulos solo hay que cambiar β por −β . se tiene
1. sen(α − β ) = sen(α + (−β )) = sen α · cos(−β ) + cos α · sen(−β ) = sen α · cos β − cos α · sen β
2. cos(α − β ) = cos(α + (−β )) = cos α · cos(−β ) + sen α · sen(−β ) = cos α · cos β − sen α · sen β
tg α + tg(−β )
tg α − tg β
3. tg(α − β ) = tg(α + (−β )) =
=
1 − tg α · tg(−β ) 1 + tg α · tg β
6.1 Introducción
395
Ejemplo 6.1.22
√ √
√
√
√
2
3 1
2
6+ 3
sen(75 ) = sen(45 + 30) = sen 45 cos 30 + sen 30 cos 45 =
·
+ ·
=
2√ 2 √ 2 2
4
2
−
6
cos(15◦ ) = cos(60 − 45) = cos 60 · cos 45 − sen 60 · sen 45 =
4
◦
6.1.16
Razones trigonométricas del ángulo doble
Para hallar una fórmula de las razones trigonométricas del ángulo doble, 2α, en función del ángulo α,
utilizamos las razones trigonométricas de la suma. En la expresión
sen(α + β ) = sen α · cos β + cos α · sen β
sea β = α, entonces
sen(α + α) = sen 2α = 2 sen α · cos α
Para hallar cos 2α se utiliza
cos(α + β ) = cos α · cos β − sen α · sen β
Con β = α se tiene
cos(α + α) = cos 2α = cos2 α − sen2 α
Para tg 2α se tiene:
2 tg α
tg 2α =
1 − tg2 α
6.1.17
Razones trigonométricas del ángulo mitad
Para calcular las razones trigonométricas de los ángulos mitad utilizaremos las fórmulas del ángulo
doble y la identidad fundamental de la trigonometría. Veamos esto:
r
1 − cos 2x
2
2
2
cos(2x) = cos x − sen x = 1 − 2 sen x =⇒ sen x = ±
2
r
1 + cos 2x
cos(2x) = cos2 x − sen2 x = 2 cos2 x − 1 =⇒ cos x = ±
2
x
Si hacemos 2x = α, de lo cual a = 2 , se tiene lo siguiente:
r
r
r
α
1 − cos α
1 − cos α
α
1 + cos α
α
3. tg = ±
1. sen = ±
2. cos = ±
2
1 + cos α
2
2
2
2
Ejemplo 6.1.23
6.1.18
Transformaciones de sumas de razones trigonométricas en productos
Ahora, vamos a ver como trasformar la suma o diferencia de dos razones trigonométricas en un producto
de razones trigonométricas. Para ello partimos de las conocidas razones trigonométricas del seno y
coseno de la suma y diferencia:
sen(α + β ) = sen α · cos β + cos α · sen β
sen(α − β ) = sen α · cos β − cos α · sen β
Capítulo 6. Funciones trigonométricas
396
Al sumar ambas expresiones se halla que
2 sen α cos β = sen(α + β ) + sen(α − β )
Al restar las expresiones se tiene
2 cos α sen β = sen(α + β ) − sen(α − β )
Para lograr el objetivo se realiza el siguiente cambio de variable
α + β = A,
α − β = B =⇒ α =
A−B
A+B
yβ =
2
2
Al reemplazar estos valores se tiene que:
A+B
A−B
sen α + sen β = 2 sen
cos
2
2
A+B
A−B
sen α − sen β = 2 cos
sen
2
2
Para hallar las fórmulas que involucran suma y diferencia de cosenos se utilizan las fórmulas de coseno
de suma y de diferencia de ángulos, se suman y se restan, se hacen las mismas sustituciones anteriores,
y se llega a establecer que
A+B
A−B
cos α + cos β = 2 cos
cos
2
2
A−B
A+B
sen
cos α − cos β = −2 sen
2
2
Ejemplo 6.1.24
√
√
2 1
2
75 + 15
75 − 15
1. sen(75) − sen(15) = 2 cos
sen
= 2 cos 45 · sen 30 = 2 ·
· =
2
2
2 2s 2
s
r
r
√
√
1 + cos 30
1 − cos 30
2+ 3
2− 3
30
30
2. cos(15) − sen(15) = cos − sen
=
−
=
−
2
2
2
2
4
4
6.2
Identidades trigonométricas
Una igualdad que contiene funciones trigonométricas puede ser válida para algunos valores del ángulo
o bien para todo valor del ángulo. Cuando esto último ocurre, se dice que se trata de una identidad
trigonométrica.
Para verificar o probar una identidad de este tipo se transforma uno de los miembros de la ecuación en
el otro, mediante el empleo de ciertas identidades básicas, también esta la posibilidad de trabajar en
paralelo ambos lados de la igualdad y llegar a un resultado común, y por último, pasar todo a un solo
lado y resolver la igualdad a cero. Los profes tienen particular preferencia por la primera forma.
Hemos tenido ya la oportunidad de conocer algunas de ellas. La más famosa
sen2 α + cos2 α = 1
que fue deducida de la circunferencia unitaria.
6.2 Identidades trigonométricas
6.2.1
397
Identidades Básicas
12. cos(2x) = cos2 x − sen2 x
r
x
1 − cos x
13. sen( ) = ±
2
2
r
x
1 + cos x
14. cos( ) = ±
2
2
1. sen2 α + cos2 α = 1
2. 1 + tg2 α = sec2 α
3. 1 + cotg2 α = csc2 α
1
sen α
1
sec α =
cos α
1
tg α =
cotg α
sen α
tg α =
cos α
cos α
cotg α =
sen α
tg x + tg y
tg(x + y) =
1 − tg x tg y
4. csc α =
5.
6.
7.
8.
9.
10. tg(x − y) =
15. sen(x + y) = sen x cos y + cos x sen y
16. sen(x − y) = sen x cos y − cos x sen y
17. cos(x + y) = cos x cos y − sen x sen y
18. cos(x − y) = cos x cos y + sen x sen y
x+y
x−y
) · cos(
)
2
2
x−y
x+y
) · sen(
)
20. sen x − sen y = 2 cos(
2
2
x+y
x−y
21. cos x + cos y = 2 cos(
) · cos(
)
2
2
x+y
x−y
22. cos x − cos y = −2 sen(
) · sen(
)
2
2
19. sen x + sen y = 2 sen(
tg x − tg y
1 + tg x tg y
11. sen(2x) = 2 sen x cos x
sen x
1 + cos x
+
= 2 csc x
1 + cos x
sen x
Se observa que en el primer miembro hay una suma de fracciones y en el segundo una sola expresión,
de aquí que conviene partir del primer miembro para obtener el segundo.
Ejemplo 6.2.1 Probemos que
sen x
1 + cos x sen2 x + (1 + cos x)2 sen2 x + 1 + 2 cos x + cos2 x
+
=
=
1 + cos x
sen x
(1 + cos x) sen x
(1 + cos x) sen x
2(1 + cos x)
2
=
= 2 csc x
=
(1 + cos x) sen x sen x
Ejemplo 6.2.2 Probemos que
sen x + cos x cos x − sen x
−
= 2 tg 2x
cos x − sen x cos x + sen x
Solución
sen x + cos x cos x − sen x
−
cos x − sen x cos x + sen x
Ejemplo 6.2.3 Probemos que
=
(sen x + cos x)2 − (cos x − sen x)2
cos2 x − sen2 x
=
4 sen x cos x
sen 2x
= 2·
= 2 tg 2x
cos 2x
cos 2x
2 tg x
= sen 2x
1 + tg2 x
Capítulo 6. Funciones trigonométricas
398
Solución
sen x
2
2
2 tg x
2 tg x
cos x = 2 sen x cos x
=
=
1
1 + tg2 x sec2 x
cos x
cos2 x
= 2 sen x cos x = sen 2x
Ejemplo 6.2.4 Probemos que
cotg x − cos x
csc x
=
3
cos x
1 + sen x
Solución
1
1
cotg x − cos x cotg x cos x
=
−
=
−
3
3
3
2
cos x
cos x cos x sen x cos x cos2 x
1 − sen x
1 − sen x
=
=
2
sen x cos x sen x (1 − sen2 x)
1
1
csc x
=
= csc x
=
(1 + sen x) sen x
1 + sen x 1 + sen x
Actividad 224 Probar las siguientes identidades:
1.
sec x
= sen x
tg x + cotg x
2.
tg x − sen x
sec x
=
sen3 x
1 + cos x
Gráfica de las funciones trigonométricas
Hemos trabajado las gráficas de diferentes tipos de funciones; polinomiales, racional, exponencial y
logarítmica. Corresponde ahora estudiar la gráfica del seno y del coseno.
Al igual que los otros tipos de funciones, las funciones trigonométricas asocian a cada número real, x, el
valor de la razón trigonométrica del ángulo cuya medida en radianes es x. Las funciones trigonométricas
se emplean para estudiar fenómenos periódicos tales como; movimiento ondulatorio, corriente eléctrica
alterna, cuerdas vibrantes, oscilación de péndulos, ciclos comerciales, movimiento periódico de los
planetas, ciclos biológicos, etc.
En el caso de la función seno debemos tener presente:
su dominio es el conjunto de los números reales.
su imagen o recorrido es el intervalo [−1, 1].
es periódica de periodo 2π, esto es, esta función se repite exactamente igual cada 2π. Esto
significa que los valores de la función en el intervalo del dominio [0, 2π) son suficientes para
conocer la función en cualquier punto.
se anula en los valores x = kπ, siendo k un número entero.
alcanza sus extremos máximos cuando el seno del ángulo es 1, es decir, cuando x = π2 + 2kπ,
siendo k un número entero cualquiera.
alcanza sus extremos mínimos cuando el seno es -1, esto es, cuando x = 3π
2 + 2kπ, siendo k un
número entero.
La figura 6.26 muestra el gráfico de y = sen x, se utiliza la circunferencia trigonométrica para mostrar,
que para cada ángulo, el seno es la ordenada del punto que es la intersección del radio con la circunferencia. Si se empieza a marcar distintos ángulos en la circunferencia trigonométrica y luego se trasladan
al gráfico obtiene la gráfica de la función y = sen x.
6.2 Identidades trigonométricas
399
Figura 6.26
Las rectas y = 1 e y = −1 indican que la curva no puede salirse de ese rango. El periodo de la función
seno es 2π, por lo cual solo graficamos en el intervalo [0, 2π]
Veamos la gráfica del caso general de la función seno.
6.2.2
Gráfica de y = A · sen[ω(x − α)] +C
Una sinusoide se la describe en forma analítica por medio de la siguiente ecuación:
y = A sen[ω(x − α)] +C
Vamos a estudiar de qué manera A, ω, α y C afectan el comportamiento de la gráfica del seno.
Figura 6.27
Eje de Referencia
El eje de referencia, y = C, es la recta horizontal que divide a la sinusoide en dos porciones equivalentes.
Se conoce también como desplazamiento vertical.
Amplitud
Es la distancia vertical que existe entre el eje de referencia y la parte más alta o la parte más baja de la
sinusoide (cambia el tamaño de la función)
El periodo
El periodo es la longitud del intervalo más pequeño que contiene exactamente una copia del patrón
repetido (periodo). El periodo de y = sen x es 2π. Cualquier parte de la gráfica que muestre éste patrón
Capítulo 6. Funciones trigonométricas
400
sobre un periodo se llama ciclo. Así, en las funciones base, y = sen x e y = cos x, el ciclo es 2π.
P=
2π
ω
Frecuencia
La letra ω es la frecuencia angular, cambia el valor del período de la sinusoide (modifica el grado de
repetición).
ω · P = 2π
Ángulo de Fase
El ángulo de fase α es donde la curva cruza la recta y = C, o bien, el desplazamiento que sufre la
función por una traslación horizontal. O, en otras palabras, el ángulo de fase es el valor de x desde
donde comienza a dibujarse el ciclo.
Fin del ciclo
La gráfica de la función periódica termina en α + P
Ejemplo 6.2.5 Identificamos la función seno que se representa en la gráfica de la figura 6.28.
Figura 6.28
Con los datos de la gráfica se concluye que la función representada es y = 3 sen 2(x − π2 ) − 1.
Ejemplo 6.2.6 Representamos, en un mismo gráfico, las funciones y = sen x, y = 2 sen x, y = 3 sen x
Figura 6.29
Observar que al cambiar la amplitud la curva va alcanzando valores más altos y más bajos.
Ejemplo 6.2.7 Graficamos las funciones y = sen x, y = sen 2x, y = sen 3x.
Cada función presenta una frecuencia diferente, por ende tenemos periodos diferentes.
6.2 Identidades trigonométricas
401
Para y = sen x, la frecuencia ω = 1, de lo cual su periodo P = 2π.
Para y = sen 2x, la frecuencia ω = 2, por lo que su periodo es P = π
Para y = sen 3x, la frecuencia ω = 3, por lo que su periodo es P = 2π
3
Figura 6.30
Ejemplo 6.2.8 Graficamos las funciones y = sen x, y = sen(x − π2 ), y = sen(x + π).
Figura 6.31
El ángulo de fase va indicando el primer punto de corte con el eje x en el periodo de la la función.
Ejemplo 6.2.9 Graficamos las funciones y = sen(x), y = sen(x) + 1, y = sen(x) − 2.
Figura 6.32
Ejemplo 6.2.10 Graficamos, indicando periodo, amplitud, desfase y frecuencia de las curvas:
1. y = −2 sen( 3x )
2. y = 1 + 2 sen x
3. y = 3 sen 2x
1. Al comparar con la forma general, se observa que A = 2, α = 0, ω = 13 . Dado que la frecuencia
ω = 2π
P , entonces el periodo P = 6π (figura 6.33a).
2. Hay desplazamiento vertical, pues C = 1. Además, A = 2, α = 0, ω = 1, P = 2π (figura 6.33b).
3. Comparando con la curva general del seno se observa que A = 3, α = 0, ω = 2. Como la frecuencia
ω = 2π
P , entonces el periodo P = π (figura 6.33c).
402
Capítulo 6. Funciones trigonométricas
Figura 6.33
Actividad 225
1. Analiza las siguientes funciones, en cuanto a amplitud, periodo, frecuencia y ángulo de fase. Haz
las graficas.
a) y = sen 2x
c) y = −2 sen 3x
e) y = 3 sen 2x
b) y = sen 4x
d) y = 1 + 2 sen x
f ) y = 2 sen 3x − π4
Actividad 226 La demanda de empleo se modela por la función
f (t) = 4 sen(t + 3) + 8
con t tiempo en años. Hallar la amplitud, el desplazamiento vertical, el desplazamiento de fase, la
frecuencia angular y el periodo. Graficar.
6.2.3
Gráfica de y = A · cos[ω(x − α)] +C
Tal como sucede con la función seno, es posible encontrarse con la función coseno en cualquier posición;
y debiéramos ser capaz de descubrir sus propiedades. La figura 6.34 muestra la curva general del
coseno. En ella, A es la amplitud, C el desplazamiento vertical, P el periodo o longitud de onda,
ω la frecuencia angular (ω · P = 2π) y α el desplazamiento de fase (la distancia entre el eje y y su
primer valor máximo).
Figura 6.34
6.2 Identidades trigonométricas
403
Ejemplo 6.2.11 Grafiquemos f (x) = cos 2x .
2π
La amplitud es A = 1, la frecuencia ω = 12 , el ángulo de desfase α = 0 y el periodo T = 2π
ω = 1 = 4π.
2
De estos datos, la gráfica se hace en un intervalo de longitud 4π y luego se prolonga periódicamente.
Calculando los ceros elegimos el intervalo. Los ceros del coseno están siempre en los puntos de la
forma (2n − 1) π2 . Luego, igualando con nuestro argumento del coseno se tiene
x
π
= (2n − 1) =⇒ x = (2n − 1) π.
2
2
Partiendo con n = 0 se obtienen los ceros del intervalo que queremos, en este caso, [−π, 3π]. Los
extremos los vemos a continuación.
El coseno es 1 en todos los puntos de la forma 2nπ, con n = 0, 1, 2, · · · . De esta forma, n = 0 =⇒ 2x = 0,
de donde x = 0, n = 1 =⇒ 2x = 2π, de donde, x = 4π, con lo que nos salimos del intervalo. Se acabaron
los 1. El coseno es −1 en los puntos de la forma (2n − 1)π con n = 1, 2, 3, · · · . Luego, si n = 1, entonces
x
x
2 = π, con lo cual x = 2π. Si n = 1, entonces 2 = 3π, de lo cual x = 6π, de nuevo nos salimos del
intervalo que estamos considerando, por lo que también se acabaron los −1 en el intervalo. La gráfica
se muestra en la figura 6.35.
Figura 6.35
Actividad 227 Grafica la siguientes funciones, indicando amplitud, periodo, frecuencia y ángulo de
fase:
π
5. y = 1 + cos(3x + )
2
6. y = cos 4x
π
3. y = −5 cos(3x − )
4
4. y = cos(x − π2 )
1. y = 2 cos(3x + π) − 1
1
2. y = − cos x
2
Actividad 228 El nivel del agua en función del tiempo para las mareas está gobernado por la ecuación
π
y = 5 + 4 cos( x)
6
1. Hallar amplitud, periodo y fase. Trazar la gráfica
6.2.4
Gráfica de tangente y cotangente
En términos de senos y cosenos, se expresan como
tg x =
sen x
,
cos x
cotg x =
cos x
sen x
Ello permite deducir algunos hechos:
π
3π
1. La tangente es una función positiva en el intervalo (0, ) y en (π, ).
2
2
Capítulo 6. Funciones trigonométricas
404
π
3π
2. La tangente es una función negativa en ( , π) y en ( , 2π).
2
2
3. La tangente es una función impar, esto hace que su gráfica presente simetría respecto del eje y.
4. Los ceros de la tangente se encuentran en los ceros del seno, esto es, en los múltiplos de π.
tg x = 0 ⇐⇒ x = kπ,
∀k ∈ Z.
5. La tangente es una función que no tiene un valor máximo ni mínimo. Esto se debe al denominador
π
coseno que se anula en los múltiplos impares de , es asíntota vertical de la tangente.
2
6. La tangente es una función periódica de periodo π.
π π
7. La tangente es una función creciente en (− , ). La figura 6.36a muestra su gráfica.
2 2
Figura 6.36
Propiedades de la cotangente
Su dominio es R − {kπ}, k ∈ Z
Su recorrido es R
Su período es π
Es decreciente en R
No tiene máximos ni mínimos.
Es una función impar; cotg(−x) = − cotg x.
La función cotangente tiene el mismo signo que la tangente.
a función cotangente es continua en todos los punto de su dominio y presenta una discontinuidad
de salto infinito en los puntos que no están en el dominio.
La función cotangente se anula en los puntos x = π2 + kπ, k ∈ Z.
6.2.5
Gráfica de secante y cosecante
En términos de senos y cosenos, se expresan como
sec x =
1
,
cos x
csc x =
1
sen x
Ello permite deducir algunos hechos:
Propiedades de la secante
El dominio de la función secante es R − {x = π2 + kπ, k ∈ Z}
El recorrido de la función secante es R − (−1, 1)
6.2 Identidades trigonométricas
405
La función secante es periódica y su periodo es 2π.
La función secante tiene el mismo signo que la función coseno.
La función secante no se anula en ningún punto.
La función secante es continua en todos los punto de su dominio y presenta una discontinuidad
de salto infinito en los puntos que no están en su dominio.
La función secante es estrictamente creciente en [0, π2 ) ∪ ( π2 , π]
3π
La función secante es estrictamente decreciente en [π, 3π
2 ) ∪ ( 2 , 2π].
La función secante presenta un máximo en x = π y un mínimo en x = 0 y en x = 2π.
La función secante es una función par, sec(−x) = sec x, y por tanto es simétrica respecto del eje
y.
Figura 6.37
Propiedades de la cosecante
El dominio de la función cosecante es R − {x = kπ, k ∈ Z}
El recorrido de la función cosecante es R − (−1, 1)
La función cosecante es periódica y su periodo es 2π.
La función cosecante tiene el mismo signo que la función seno.
La función cosecante no se anula en ningún punto.
La función cosecante es continua en todos los punto de su dominio y presenta una discontinuidad
de salto infinito en los puntos que no están en su dominio.
La función cosecante es estrictamente creciente en [ π2 , π) ∪ (π, 3π
2 ]
π
3π
La función cosecante es estrictamente decreciente en (0, 2 ] ∪ [ 2 , 2π].
π
La función cosecante presenta un máximo en x = 3π
2 y un mínimo en x = 2 .
La función cosecante es una función impar, csc(−x) = csc x, y por tanto es simétrica respecto
del origen.
6.2.6
Funciones trigonométricas Inversas
Las funciones trigonométricas son todas periódicas, de modo que las gráficas de ninguna de ellas pasa
la prueba de la línea horizontal para ser inyectiva. Esto significa que ninguna de ellas tiene una inversa
a menos que el dominio de cada una esté restringido a hacer de ella una función inyectiva.
Restricción para y = sen x
Se restringe el dominio de f (x) = sen x al intervalo [− π2 , π2 ] para hacerla inyectiva y estrictamente
creciente. En estas condiciones existe la función inversa de sen x, que se denota arc sen x.
Capítulo 6. Funciones trigonométricas
406
Figura 6.38
π π
arc sen : [−1, 1] → [− , ],
2 2
A partir de lo cual se satisface:
arc sen x = y ⇐⇒ x = sen y
arc sen(sen x) = x,
sen(arc sen(x)) = x,
−
π
π
≤x≤
2
2
−1 ≤ x ≤ 1
Actividad 229 Completar la siguiente tabla:
Restricción para y = cos x
Figura 6.39
Se restringe el dominio de f (x) = cos x al intervalo [0, π] para hacerla inyectiva. En estas condiciones
existe la función inversa de cos x, que se denota arc cos x.
arc cos : [−1, 1] → [0, π],
arc cos x = y ⇐⇒ x = cos y
6.2 Identidades trigonométricas
407
Se verifica que:
arc cos(cos x) = x,
cos(arc cos(x)) = x,
0≤x≤π
−1 ≤ x ≤ 1
Actividad 230 Completa la siguiente tabla:
Ejemplo 6.2.12 Hallemos arc sen(cos(− π6 ))
Si ponemos z = cos(− π6 ) = cos( π6 ) =
√
3
2 ,
entonces
√
π
3
arc sen(cos(− )) = arc sen(
)
6
2
√
Esto equivale a preguntarse,¿en qué valor el seno vale 23 ? La respuesta es π3 , y como este valor se
halla en el intervalo (− π2 , π2 ), entonces es la respuesta correcta.
6.2.7
Función arcotangente
La función tangente restringida al intervalo (− π2 , π2 ) es biyectiva. Existe así la función inversa, llamada
arcotangente, que se denota arc tg, y tal que
π π
arc tg : R → (− , ),
2 2
x 7→ arc tg x = y ⇐⇒ x = tg y
Se verifica que
arc tg(tg α) = α,
tg(arc tg x)
= x,
∀α ∈ (− π2 , π2 )
∀x ∈ R
La gráfica de la función y = arc tg x la muestra la figura 6.40.
Figura 6.40
Por tanto, su dominio es (−∞, ∞) y su imagen es (− π2 , π2 ).
Capítulo 6. Funciones trigonométricas
408
Función arco-cotangente
Para todo x se define y = arccotg x si y sólo si x = cotg y, 0 < y < π.
Figura 6.41
Se tiene que su dominio es (−∞, 0) ∪ (0, ∞) y su imagen es [− π2 , 0) ∪ [0, π2 ]
Función arcosecante
La funcion y = sec x es creciente en el intervalo [0, π2 ) y decreciente en [π, 3π
2 ), de modo que es inyectiva
en esos intervalos, lo que asegura que existe la inversa en el dominio
3π
π
[0, ) ∪ [π, )
2
2
de esta manera, la inversa de y = sec x se anota y = arcsec x, y se tiene:
(
0 ≤ y < π2 ,
x≥1
y = arcsec x ⇐⇒ x = sec y
3π
π < y < 2 , x ≤ −1
De esta manera, la función y = arcsec x tiene dominio (−∞, −1] ∪ [1, ∞) y recorrido [0, π2 ) ∪ ( π2 , π]
Figura 6.42
2
3
dado que argumento es negativo, el ángulo a buscar se halla en [0, π].
2
2
y = arcsec − √
=⇒ sec y = − √
3
3
Ejemplo 6.2.13 Hallar el valor de y = arcsec − √
6.2 Identidades trigonométricas
409
La secante es negativa en el segundo cuadrante, y tiene, en el primer cuadrante, el valor
tanto, el ángulo buscado es 180 − 30 = 150 =
√2
3
en 30◦ . Por
5π
6 .
√
9x + 2
2x − 1
Ejemplo 6.2.14 Resolver arcsec
− arc tg
=0
2
2
En primer lugar,
√
9x + 2
2x − 1
arcsec
= arc tg
2
2
Trabajemos por separado ambos miembros:
√
√
9x + 2
9x + 2
arcsec
= α =⇒
= sec α
2
2
2x − 1
2x − 1
arc tg
= α =⇒
= tg α
2
2
Utilizando la identidad 1 + tg2 α = sec2 α, tenemos que
√
2
9x + 2
2x − 1 2
=
1+
2
2
Al reducir, esto conduce a la ecuación
4x2 − 13x + 3 = 0 =⇒ x = 3 ∨ x =
1
4
Al chequear soluciones, solo sirve x = 3.
Función arco-cosecante
La función y = csc x es decreciente en el intervalo (−π, − π2 ) y es decreciente en (0, π2 ] por tanto es
inyectiva, es decir, existe la inversa en el dominio
π
π
(−π, − ) ∪ (0, ]
2
2
Si y = csc x, entonces la inversa se anota y = arccsc x. Se tiene
(
x≥1
0 ≤ y < π2 ,
y = arccsc x ⇐⇒ x = csc y
3π
π ≤ y < 2 , x ≤ −1
Figura 6.43
Capítulo 6. Funciones trigonométricas
410
En consecuencia, la función arccsc x tiene dominio (−∞, −1] ∪ [1, ∞) y recorrido [− π2 , 0) ∪ (0, π2 ]
Ejemplo 6.2.15
2
π
arccsc √ = , pues csc π3 = √23
3
3
5π
arccsc(−2) = − , pues csc(− 5π
6 ) = −2
6
6.2.8
Ecuaciones trigonométricas
Estas son expresiones que contienen funciones trigonométricas y que son válidas sólo para algunos
valores del ángulo involucrado. Trabajamos en [0, 2π], ya que por peridiocidad para seno y coseno solo
es necesario sumar 2π y para tangente y cotangente sumar π.
Para resolver una ecuación trigonométrica es conveniente expresar todos los términos de la ecuación
con el mismo ángulo y después reducirlo a una sola razón trigonométrica, o bien, factorizar la ecuación
si es posible.
3
Ejemplo 6.2.16 Resolver la ecuación sen2 (2x) =
4
Al sacar raíz cuadrada se tiene
√
3
sen(2x) = ±
2
Si hacemos z = 2x entonces
√
3
sen(z) = ±
2
√
Esto equivale a preguntarse para que valor de z el seno tiene el valor ± 23 . Para hallar todos los valores
solo es necesario establecer el valor en el primer cuadrante y luego hacer uso de los teoremas de 180◦ y
de 360◦ más o menos un ángulo agudo.
El seno tiene ese valor positivo en 60◦ . El seno es positivo en el segundo cuadrante, así que 180◦ −60◦ =
120◦ tiene el mismo valor. El seno es negativo en el tercer y cuarto cuadrante, luego, 180◦ + 60◦ = 240◦
y para el cuarto 360◦ − 60◦ = 300◦ . Por tanto, el conjunto solución es
Sz = {60 + 360n, 120 + 360n, 240 + 360n, 300 + 360n}
Pero z = 2x, de modo que el conjunto solución para los valores de x es
Sx = {30 + 180n, 60 + 180n, 120 + 180n, 150 + 180n},
n∈N
Ejemplo 6.2.17 Resolver la ecuación sen(2x) = sen x
Utilizando identidades
sen(2x) = sen x =⇒ 2 sen x cos x = sen x
¡No se puede simplificar el seno, se pierden soluciones y se puede estar dividiendo por cero.
2 sen x cos x = sen x =⇒ sen x [2 cos x − 1] = 0
se sigue que sen x = 0 o bien 2 cos x = 1.
De la primera ecuación x = {0, π, 2π}. De la segunda x =
en el cuarto. En consecuencia; el conjunto solución es
π
3
en el primer cuadrante y 360 − 60 = 300
π
5π
S = {0, , π, , 2π}
3
3
6.2 Identidades trigonométricas
411
Ejemplo 6.2.18 Resolver cos 3x + cos x = cos 2x
Utilizando la fórmula:
cos x + cos y = 2 cos
x+y
x−y
cos
2
2
la ecuación se reduce a
2 cos 2x cos x = cos 2x
Se factoriza por cos 2x para tener
cos 2x [2 cos x − 1] = 0
Al resolver se halla que
1. cos 2x = 0 =⇒ 2x = π2 , 2x = 3π
2
2. 2 cos x − 1 = 0 =⇒ x = π3 , x = 5π
3
En consecuencia, el conjunto solución es
π 3π π 5π
S={ ,
, ,
}
4 4 3 3
Actividad 231 Resolver, para ángulos en [0, 2π], las siguientes ecuaciones:
1. 2 cos2 x + cos 2x − 1 = 0
2. sen x · cos x + 3 cos2 x = 0
3. tg 2x = 3 sen x
4. 2 cos2 x − 7 cos x + 3 = 0
5 sen 2x · cos x = 6 sen3 x.
1
6 sen2 x − cos2 x =
2
2
7 4 sen2 x tg x − 4 sen
√ x − 3 tg x + 3 = 0.
8 csc x + cotg x = 3.
4π
9 tg x + 2 sen x = 0. Resp. 0, 180, 2π
3 , 3
1 − cos 2x
sen 2x
10
=
sen x
1 − cos 2x
6.2.9
Resp. 0, 30, 120, 180, 210, 330
Resp. 60, 180
Resp. 45, 60, 120, 225, 240, 300
Resp. 60
Ley del seno
El teorema del seno como el del coseno son resultados que se pueden aplicar a cualquier triángulo, es
decir, no hace falta que el triángulo sea rectángulo.
El teorema del seno es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo
y los senos de los ángulos relativamente opuestos. Se considera el triángulo ABC, en las dos situaciones,
que muestra la figura 6.44.
En todo triángulo los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.
a
b
c
=
=
sen A sen B sen C
Capítulo 6. Funciones trigonométricas
412
Figura 6.44
Demostración.
h
b
h
En el triángulo rectángulo BCD se tiene sen B =
a
En el triángulo rectángulo ACD se tiene sen A =
Luego,
h = b · sen A
y h = a · sen B
Por tanto,
a
b
=
sen A sen B
De forma análoga se prueba la relación que falta.
Actividad 232 Artemio, el salvavidas de la caseta A, observa a un nadador que se ahoga bajo un
ángulo de 58◦ (figura 6.45a). Al mismo tiempo, Anastasio, el salvavidas de la caseta B, lo observa bajo
un ángulo de 47◦ . Si ambos están separados a una distancia de 50m entre sí. ¿Qué distancia tiene que
recorrer cada salvavidas para rescatarlo? ¿Quién llegará primero?
Figura 6.45
Actividad 233 Para ir del pueblo A al pueblo B los vehículos deben pasar primero por el pueblo C
(figura 6.45b). Para minimizar el tiempo de viaje se construirá un túnel para unir A con B. Los ingenieros
hicieron las siguientes medidas AC = 36 kms, ∠CBA = 45◦ , ∠CAB = 71, 6◦ . Hallar la distancia del
túnel (AB) y los kilómetros que se ahorran con la construcción del túnel.
6.2 Identidades trigonométricas
6.2.10
413
Ley del coseno
En todo triángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados
menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido, es decir
a2 = b2 + c2 − 2bc · cos A
b2 = a2 + c2 − 2ac · cos B
c2 = a2 + b2 − 2ab · cosC
Demostración.
Usamos la misma figura que sirvió para probar ley de senos. En triángulo BCD y ACD, respectivamente,
se tiene
2
2
2
2
a2 = CD + DB ,
b2 = CD + AD
Esto es,
2
a2 − b2 = DB − AD
2
(6.1)
Por otra parte, de los triángulos ABC y DBC se obtiene que
DB + AD = c
y DB − AD = c
Al reemplazar, separadamente, estas igualdades en la ecuación 6.1 tenemos
a2 − b2 = c2 − 2c · AD
a2 − b2 = c2 + 2c · AD
Ahora recurrimos al triángulo CAD, en el cual AD = b · cos A. Al reemplazar se obtiene
a2 − b2 = c2 − 2bc · cos A =⇒ a2 = b2 + c2 − 2bc · cos A
con lo cual se ha probado el teorema en el caso de la figura de la izquierda. En el caso que muestra la
figura 6.45b se tiene que
AD = b · cos α
como A = π − α, entonces cos A = − cos α. Por tanto,
a2 − b2 = c2 + 2bc · cos A =⇒ a2 = b2 + c2 − 2bc · cos A
Actividad 234 Los lados de un paralelogramo forman un ángulo de 70◦ . Sus medidas son 7 y 8
centímetros. Calcula la longitud de la diagonal d en la figura 6.46a.
Figura 6.46
Capítulo 6. Funciones trigonométricas
414
Actividad 235 En el triángulo de la figura 6.46b hallar el lado b y los ángulos restantes. Resp. b = 5, 26
Ejemplo 6.2.19 Un joven observa un avión bajo un ángulo de 60◦ . A 2 kilómetros de distancia, otro
joven mira el mismo avión pero bajo un ángulo de 35◦ . Hallar a qué distancia está cada joven del avión,
y a qué altura se encuentra el avión respecto del suelo (perpendicular
En este tipo de problemas un esquema gráfico resulta fundamental para armar la respuesta del problema.
Figura 6.47
Se forma el triángulo ABC, en el cual el ángulo faltante es de 85◦ . Aplicamos ley de senos
sen 85 sen 60 sen 35
=
=
2
a
b
Al resolver se deduce que a = 1, 73 km. b = 1, 15 km.
Por otra parte, para hallar el valor de h (altura) aplicamos la función seno. Se tiene
sen 60 =
h
=⇒ h = 1 km
1, 15
Ejemplo 6.2.20 Calcular la altura de un árbol que a una distancia de 10 m se ve bajo un ángulo de 30◦ .
La figura 6.46b sirve para resolver el problema. Sea h la altura del árbol. La tangente relaciona el cateto
opuesto con el adyacente. Se tiene
tg 30 =
h
=⇒ h = 5, 77 mts
10
Ejemplo 6.2.21 Hacia dos lugares, A y C, que distan entre sí 50 km, son disparados misiles desde un
portaaviones ubicado en un lugar B. Si se considera el triángulo de vértices A, B y C, el ángulo en A es
de 65◦ y el ángulo en C es de 80◦ . Hallar a qué distancia se encuentra el portaviones de los lugares A y
B.
Se construye el triángulo ABC que muestra la figura
6.3 Problemas resueltos
415
Figura 6.48
El ángulo que falta es de 35◦ . Tenemos los tres ángulos y el valor de un lado. Usemos ley de senos:
sen 65
sen 65 sen 35
=
=⇒ a = 50 ·
= 79 km
a
50
sen 35
Ahora que tenemos el valor del lado a, usamos, nuevamente, ley de senos
sen 80
sen 80 sen 35
=
=⇒ c = 50 ·
= 85, 85 km
c
50
sen 35
De esta forma, el portaviones se encuentra a 79 km del lugar C y a 85, 85 km del lugar A.
Ejemplo 6.2.22 Se desea unir tres ciudades, A, B y C, mediante caminos rectos que unan A con B, B
con C y C con A. La distancia de A a B es de 100 km, el ángulo correspondiente a B es de 50◦ , y el
ángulo en A es de 75◦ . Hallar las distancias entre B y C, y entre A y C.
El ángulo que falta mide 55◦ . Apliquemos ley de senos para hallar los lados a y b.
sen 75 sen 55
sen 75
=
=⇒ a = 100 ·
= 117, 92 km
a
100
sen 55
De igual manera;
sen 50
sen 50 sen 55
=
=⇒ b = 100 ·
= 93, 52 km
b
100
sen 55
Por lo tanto, la distancia entre B y C es de 117, 92 km y la distancia entre A y C es de 93, 52 km.
6.3
Problemas resueltos
Problema 6.1 Si csc x = 4, hallar el valor exacto de sec2 x
Dado que la cosecante tiene un valor positivo, ella se encuentra en el primer o segundo cuadrante
(se comporta como el seno). De la identidad 1 + cotg2 x = csc2 x se halla que cotg2 x = 15, de lo cual,
1
. Ahora, de la identidad
tg2 x = 15
16
15
9π
9π
Problema 6.2 Sin calculadora hallar el valor numérico de sen −
− tg −
.
4
4
1 + tg2 x = sec2 x =⇒ sec2 x =
Capítulo 6. Funciones trigonométricas
416
Por lo general, no agrada mucho trabajar con ángulos negativos, de manera que usaremos la propiedad
de imparidad del seno y de la tangente.
9π
9π
9π
9π
sen −
− tg −
= − sen
+ tg
4
4
4
4
Ahora vamos a reducir los ángulos al primer cuadrante
π π 9π
9π
π
π
− sen
+ tg
= − sen 2π +
+ tg 2π +
= − sen
+ tg
4
4
4
4
4
4
Estos valores son conocido, por tanto
√
9π
9π
2
sen −
− tg −
=−
+1
4
4
2
7π
11π
+ 3 sen
.
6
6
Reducimos a ángulos de primer cuadrante
Problema 6.3 Hallar el valor de sen
7π
π
π
1
= sen(π + ) = − sen = −
6
6
6
2
11π
π
π
3
3 sen
= 3 sen(2π − ) = −3 · sen = −
6
6
6
2
sen
Por tanto,
sen
7π
11π
1
1
+ 3 sen
= − − 3 = −2
6
6
2
2
Problema 6.4 Si α es un ángulo agudo y el cos α = 15 , hallar sen α y tg α.
Si α es agudo es por que pertenece al primer cuadrante. Si cos α = 15 , podemos hallar el seno usando
sen2 α + cos2 α = 1 =⇒ sen2 α = 1 −
de donde
√
√
24
sen α =
=⇒ tg α = 24
5
1
25
√
Problema 6.5 Si α es un ángulo del tercer cuadrante, y cos α = − 55 , calcular tg α.
Se necesita el valor del seno para hallar la tangente. Usando la identidad fundamental
√ !2
√
5
2 5
2
sen α + −
= 1 =⇒ sen α = −
5
5
Ahora, para hallar el valor de la tangente tenemos
tg α =
sen α
=2
cos α
Problema 6.6 Juanito sube por una rampa de 35 m hasta el techo de su casa. Estando en el techo,
mide la visual entre su casa y la rampa, resultando ser de 70◦ . Hallar la altura de la casa y el ángulo que
hay entre la rampa y el suelo.
6.3 Problemas resueltos
417
Sea h la altura de la casa y α el ángulo que
hay entre la rampa y el suelo. Como la altura
se toma perpendicular al suelo, tenemos un
triángulo rectángulo, en el cual el tercer ángulo
es de 20◦ . Usando el coseno del ángulo de 70◦
tenemos
Figura 6.49
h
=⇒ h = 11, 9m
35
Problema 6.7 Una escalera de 5 m está apoyada en una pared formando un ángulo de 46◦ . Calcular la
distancia entre la base de la escalera y la pared. Hallar el ángulo forma la escalera con el suelo.
cos 70 =
Sea x la distancia entre la base de la escalera y
la pared, α el ángulo entre la escalera y el suelo. Como siempre, una figura ayuda. Usamos
el seno para tener
sen 46 =
x
=⇒ x = 3, 6 m
5
El ángulo que falta en el triángulo rectángulo
es 44◦ , que corresponde al ángulo que forma
la escalera con el suelo.
Figura 6.50
Problema 6.8 Dos autos están distanciados 8 km en línea recta. Se dirigen a una casa donde se realiza
una fiesta. Usar la figura para hallar la distancia de cada auto a la casa.
Si se traza la altura desde la casa al lado AB,
se forman dos triángulos rectángulos. Se tiene:
h
=⇒ h = x · tg 45
x
h
tg 42 =
=⇒ h = (8 − x) · tg 42
8−x
tg 45 =
Al igualar estas expresiones se halla x = 3, 79
km. De esto se encuentra que h = 3, 79. Ahora,
para hallar las hipotenusas, Pitágoras estrega
las respuestas; a = 5, 66 km, b = 5, 36.
Figura 6.51
Problema 6.9 Una antena de telefonía se ha anclado en el suelo, y para esté vertical y bien sujeta se
han puesto dos anclajes en el suelo a ambos lados de la antena alineados con su base. La distancia entre
los anclajes es de 40 metros y si se observa la parte más alta de la antena desde cada uno de ellos, los
ángulos de elevación son de 30◦ y 60◦ , respectivamente. Calcular la altura de la antena.
Capítulo 6. Funciones trigonométricas
418
Como siempre, un esquema gráfico del problema permite establecer los caminos adecuados
de resolución. La figura muestra dos triángulos
rectángulos en los que se desconocen los lados.
Si x es la distancia de la base de uno de los
anclajes, la otra distancia es 40 − x. Usemos la
tangente
Figura 6.52
h
tg 30 = =⇒ h = 0, 58 x
x
h
=⇒ h = (40 − x) 1, 73
40 − x
Al igual las h, se tiene que x ≈ 30m. De esto se halla h ≈ 17, 3 m.
tg 60 =
Problema 6.10 Dos edificios distan entre sí 150 metros. Desde un punto del suelo que está entre los
dos edificios, vemos que las visuales a los puntos más altos de estos forman con la horizontal ángulos
de 35◦ y 20◦ . Hallar la altura de los edificios si se sabe ambos tienen la misma altura.
El esquema del problema lo muestra la figura
Figura 6.53
Usando la tangente tenemos
tg 20 =
h
x
y
tg 35 =
h
150 − x
Al despejar h, e igualando las ecuaciones
(150 − x) tg 35 = x tg 20 =⇒ x = 98, 7 m
Al reemplazar en h resulta que la altura de los edificios es 35, 92 m.
1
1
2
Problema 6.11 Probar que
−
=
csc x + cotg x cotg x − csc x sen x
Trabajaremos el primer miembro para llegar al segundo.
1
1
(cotg x − csc x) − (csc x + cotg x)
−2 csc x
−
=
=
csc x + cotg x cotg x − csc x
(csc x + cotg x) · (cotg x − csc x)
cotg2 x − csc2 x
La identidad 1 + cotg2 x = csc2 x permite escribir
−2 csc x
−2 csc x
2
=
= 2 csc x =
2
2
cotg x − csc x
−1
sen x
h
Problema 6.12 Hallar el valor de sen(x + 2π) + cos
π
2
−x
i2
+
4 cos(x − 2π)
csc( π2 − x)
6.3 Problemas resueltos
419
Hacemos uso de los teoremas de reducción de ángulos al primer cuadrante
h
π
i2
sen(x + 2π) + cos
−x
= [sen x + sen x]2
2
4 cos(x − 2π) cos x
=
csc( π2 − x)
sec x
Por tanto,
i2 4 cos(x − 2π)
h
π
4 cos x
−x
+
= [2 sen x]2 +
sen(x + 2π) + cos
π
2
csc( 2 − x
sec x
Expresión que equivale a
4 sen2 x + 4 cos2 x = 4
Esto prueba la igualdad.
Problema 6.13 Resolver tg2 x · (1 − sen2 x) = sen 2x
Sabemos que debemos tener la ecuación expresada solo en una función trigonométrica y en el mismo
ángulo.
sen2 x
tg2 x · (1 − sen2 x) = sen 2x =⇒
· (1 − sen2 x) = 2 sen x cos x
cos2 x
Conviene un cambio,
sen2 x
sen2 x 2
2
·
cos x = 2 sen x cos x
·
(1
−
sen
x)
=
2
sen
x
cos
x
=⇒
2
cos
x
cos2 x
Nos queda
sen2 x = 2 sen x cos x =⇒ sen x (sen x − 2 cos x) = 0
Al resolver los factores
sen x = 0 =⇒ x = {0, π, 2π}
y
tg x = 2
Una buena calculadora puede hallar el valor de la tangente en el primer y tercer cuadrante.
π
3π
Problema 6.14 Hallar el valor numérico de sen
· cos
4
12
◦ es ángulo del segundo cuadrante, y allí el seno es positivo
En primer lugar, 3π
=
135
4
1
sen(180 − 45) = sen 45 = √
2
Para el coseno se tiene
Pero, cos 2x =
q
180
cos
= cos
12
12
π
1+cos x
2 ,
= cos 15◦
así que
30
cos 15 = cos
2
De esta manera
sen
3π
4
r
=
s
1 + cos 30
=
2
1+
2
√
3
2
s
=
√
2+ 3
4
p
√ s
√
√
2
2+ 3
4+2 3
· cos
=
·
=
12
2
4
4
π
Capítulo 6. Funciones trigonométricas
420
Como alternativa a resolver este problema se puede usar la fórmula que transforma un producto de
funciones trigonométricas en sumas o restas.
π π Problema 6.15 Hallar el valor numérico de sec
· sec
3
6
Vamos a transformar a cosenos
π π 1
· sec
=
sec
π
3
6
cos 3 · cos π6
Usamos ahora la identidad
1
[cos(x + y) + cos(x − y)]
2
cos x · cos y =
Se tiene
cos
π
3
1
· cos
π
6
=
1
·
2 cos
π
2
1
+ cos
π
6
Como son ángulos conocidos evaluamos
1
·
2 cos
π
3
1
· cos
π
6
=
1
1
4
√ = √
·
2 0+ 3
3
2
Aquí se pudo hacer cálculo directo y resultaban más sencillos los cálculos.
Problema 6.16 Halla el valor numérico de
cos 35 sen 10 + cos 10 sen 35
cos 20 cos 10 − sen 20 sen 10
Por la forma del numerador y del denominador, usaremos las fórmulas
cos(x + y) = cos x cos y − sen x sen y
Se tiene
y
sen(x + y) = sen x cos y + sen y cos x
cos 35 sen 10 + cos 10 sen 35 sen(10 + 35() sen 45
=
=
cos 20 cos 10 − sen 20 sen 10
cos(10 + 20)
cos 30
Al evaluar
√
√1
cos 35 sen 10 + cos 10 sen 35
6
2
= √ =
3
cos 20 cos 10 − sen 20 sen 10
3
2
7π
5π
Problema 6.17 Hallar el valor numérico de sen
+ sen
12
12
Usamos la fórmula de la suma de senos, a saber,
x−y
x+y
· cos
sen x + sen y = 2 sen
2
2
Se tiene
sen
7π
12
+ sen
5π
12
= 2 sen
π
π
· cos
2
12
Como sen π2 = 1, solo queda por evaluar el coseno. El ángulo
identidad
r
x
1 + cos x
cos =
2
2
π
12
no es notable, por lo que usaremos la
6.3 Problemas resueltos
421
para tener que
cos
π
12
6
= cos
2
Al evaluar;
s
cos
π
12
r
π
=
1+
2
=
√
3
2
1 + cos π6
2
p
=
√
2+ 3
2
Por tanto,
p
√
q
√
5π
2+ 3
+ sen
= 2·1·
= 2+ 3
12
2
√
5−1
Problema 6.18 Probar que sen 18◦ =
4
Buscamos, a partir de x = 18◦ , un ángulo notable. Al multiplicar por 5 se tiene 5x = 90◦ . A partir de
esto 2x = 90 − 3x. Aplicamos seno
7π
sen
12
sen 2x = sen(90 − 3x) =⇒ sen 2x = cos 3x
De esto
2 sen x cos x = 4 cos3 x − 3 cos x
Factorizando por cos x e igualando a cero se tiene
cos x (2 sen x − 4 cos2 x + 3) = 0 =⇒ cos x = 0
∨
2 cos x − 4 cos2 x + 3 = 0
El valor de cos x = 0 no interesa. La ecuación restante la transformamos a seno
2 sen x − 4 cos2 x + 3 = 0 =⇒ 2 sen x − 4(1 − sen2 x) + 3 = 0
Esto equivale a
4 sen2 x + 2 sen x − 1 = 0
√
−1 ± 5
Al resolver esta cuadrática se halla sen x =
. Como estamos en el primer cuadrante (x = 18◦ ),
4
es válido que
q
√
sen 18 =
5 − 14
Problema 6.19 Resolver la ecuación 2 tg x − 3 cotg x − 1 = 0
Para resolver ecuaciones debemos tener solo una funcion trigonométrica y reducidas a un mismo
ángulo.
1
2 tg x − 3 cotg x − 1 = 0 =⇒ 2 tg x − 3 ·
−1 = 0
tg x
Ecuación que equivale a
2 tg2 x − 3 − tg x = 0 =⇒ 2z2 − z − 3 = 0
Al resolver, respecto de z, se tiene
2z2 − z − 3 = 0 =⇒ z =
Usando calculadora
3
∨ z = −1
2
3
=⇒ x ≈ 56◦ ∧ x ≈ 236◦
2
tg x = −1 =⇒ x = 135◦ ∧ x = 315◦
tg x =
Capítulo 6. Funciones trigonométricas
422
Problema 6.20 Resolver 2 cos x = 3 tg x en [0, 2π]
Se transforma la tangente
2 cos x = 3 tg x =⇒ 2 cos x = 3
sen x
=⇒ 2 cos2 x = sen x
cos x
Debemos tener solo una función trigonométrica, para ello cambiamos el coseno
2 cos2 x = sen x =⇒ (1 − sen2 x) = sen x =⇒ sen2 x + sen x − 1 = 0
Al resolver esta ecuación cuadrática se tiene
sen x =
1
2
∧ x = −2
Para x = −2 no hay solución. Para x = 12 se tiene x = 30◦ en el primer cuadrante y 180 − 30 = 150 en
el segundo.
Problema 6.21 Resolver la ecuación cos2 x − 12 + cos2 2x = 0
Debemos tener un solo tipo de ángulo. Para ello usamos la fórmula del ángulo medio
r
1 + cos x
1 + cos x
cos x =
=⇒ cos2 x =
2
2
Al reemplazar en la ecuación original
x
1 1 + cos x
1
=0
cos2 x − + cos2 = 0 =⇒ cos2 x − +
2
2
2
2
Al reducir
cos2 x +
cos x
= 0 =⇒ 2 cos2 x + cos x = 0
2
factorizando
cos x (2 cos x + 1) = 0 =⇒ cos x = 0 ∨ cos x = −
1
2
Los valores en [0, 2π] que satisfacen son:
π 3π 2π 4π
, }
x={ , ,
2 2 3 3
Problema 6.22 Graficar y = cos 4x, indicando; periodo, amplitud, frecuencia, desfase, desplazamiento
vertical, inicio y fin del ciclo.
Debemos comparar con la ecuación general
y = A · cos[ω(x − α)] +C
se observa que; A = 1, ω = 4, P = π2 , α = 0, C = 0, inicio del ciclo es x = 0, el fin de ciclo es π2 .
Hacemos notar que la frecuencia ω = 4 es la cantidad de veces que la gráfica cabe en el intervalo
[0, 2π] (periodo de y = cos x). Para graficar busquemos los máximos y mínimos de la función dada.
El máximo valor del coseno es 1, de manera que debemos encontrar los valores para los cuales
4x que es el argumento de la función, toma el valor 1, a saber, x = 2kπ para k entero. Se tiene
6.3 Problemas resueltos
423
• 4x = 0 =⇒ x = 0
• 4x = 2π =⇒ x =
π
2
El valor mínimo del coseno es -1, y ocurre para x = (2k − 1)π, con k entero. Para cos 4x tenemos:
π
3π
a) 4x = π =⇒ x =
b) 4x = 3π =⇒ x =
4
4
Los ceros de cos(argumento) se hallan en los puntos para los que el argumento es (2k − 1) π2 ,
con k entero. Tenemos:
π
π
3π
3π
5π
5π
a) 4x = =⇒ x =
b) 4x =
=⇒ x =
c) 4x =
=⇒ x =
2
8
2
8
2
8
Figura 6.54
Problema 6.23 Graficar y = 3 sen(2x − π3 ), indicando; periodo, amplitud, frecuencia, desfase, despla-
zamiento vertical, inicio y fin del ciclo.
Debemos comparar con la ecuación general
y = A · sen[ω(x − α)] +C
se observa que; A = 3, ω = 2, P = π, α = π6 , C = 0, inicio del ciclo es x = π6 , el fin de ciclo es
π + π6 = 7π
6 . En la función seno, el desfase es el punto desde donde inicia la gráfica de la porción que
siempre se repite. Para graficar busquemos los máximos y mínimos de la función dada.
El máximo valor del sen(argumento) es 1, de manera que debemos encontrar los valores para los
cuales 2x − π3 que es el argumento de la función, toma el valor 1, a saber, x = (4k + 1) π2 para k
entero. Se tiene
• 2x − π3 =
π
2
=⇒ x =
5π
12
• 2x − π3 =
3π
2
=⇒ x =
17π
12
El valor mínimo del seno es -1, y ocurre para x = (4k + 3) π2 , con k entero. Tenemos:
π
3π
11π
π
7π
23π
a) 2x − =
=⇒ x =
b) 2x − =
=⇒ x =
3
2
12
3
2
12
Los ceros de sen(argumento) se hallan en los puntos para los que el argumento es kπ, con k
entero. Tenemos:
π
π
π
2π
π
7π
a) 2x − = 0 =⇒ x =
b) 2x − = π =⇒ x =
c) 2x − = 2π =⇒ x =
3
6
3
3
3
6
424
Capítulo 6. Funciones trigonométricas
Problema 6.24 Graficar y = −4 cos(πx), indicando; periodo, amplitud, frecuencia, desfase, desplaza-
miento vertical, inicio y fin del ciclo.
De la ecuación dada, deducimos; A = | − 4| = 4, ω = π, P = 2, C = 0, desfase α = 0. El principio del
ciclo está en x = 0 y el fin de ciclo en x = 2. Este intervalo lo podemos dividir en cuatro partes, lo que
produce cinco puntos:
x = 0 =⇒ (0, −4)
x = 12 =⇒ ( 12 , 0)
x = 1 =⇒ (1, 4)
x = 32 =⇒ ( 32 , 0)
x = 2 =⇒ (2, −4
Con estos puntos es suficiente para esbozar la gráfica pedida, en un ciclo.
Figura 6.55
Problema 6.25 Hallar la ecuación que se corresponde con la gráfica de la figura 6.54b
Observando la gráfica podemos una función seno, ya que en x = 0 es y = 0. El periodo es claramente
4π, además ω = 21 , C = 0, A = 5, y el desfase α = 0. Colocando estos datos en la ecuación y =
A sen ω(x − α) +C se tiene
1
y = 5 sen x
2
Problema 6.26 Encuentre el valor exacto de arc sen(sen 5π
4 )
Lo primero que se debe observar es que el ángulo de 5π
no
se encuentra en el intervalo [− π2 , π2 ], por
4
ello no puede usarse, directamente, la propiedad de que arc sen(sen x) = x. Se procede como sigue
√
π
π
5π
2
arc sen(sen ) = arc sen(sen[π + ]) = arc sen(− sen ) = arc sen(−
)
4
4
4
2
π
=−
4
Problema 6.27 Resolver el sistema
sen 2x + cos 3y = 1
2 sen 2x + 4 cos 3y = 3
Recordando el trabajo tradicional con sistemas, se multiplica por −2 la primera ecuación y se suma a
la segunda. se tiene
1
2 cos 3y = 1 =⇒ cos 3y =
2
1
◦
El coseno tiene el valor 2 en 60 y también en el cuarto cuadrante (300◦ ). Como el ángulo es triple se
deben sumar 360 para encontrar todos los valores en [0, 2π]. Tenemos
6.4 Problemas propuestos
3y = 60 =⇒ y = 20
3y = 300 =⇒ y = 100
3y = 60 + 360 =⇒ y = 140
425
3y = 300 + 360 =⇒ y = 220
3y = 60 + 720 =⇒ y = 260
3y = 300 + 720 =⇒ y = 340
Para determinar los valores en x, en el sistema multiplicamos por −4 la primera ecuación y se suma. se
obtiene
1
−2 sen 2x = −1 =⇒ sen 2x =
2
El seno toma valores
1
2
en 30◦ y en 180 − 30 = 150 del segundo cuadrante. Por tanto,
2x = 30 =⇒ x = 15
2x = 150 =⇒ x = 75
6.4
2x = 30 + 360 =⇒ x = 195
2x = 150 + 360 =⇒ x = 255
Problemas propuestos
1. Si sen 17◦ = 0, 29 hallar; sen 73◦ y tg 73◦ .
Resp. 0,96 y 3,27
2. Determina la validez o falsedad de las siguientes expresiones (los ángulos son grados):
a) sen2 30 + cos2 60 = 21 .
Resp. V
b) 3 tg 30 = tg 60.
Resp.
V
√
c) sen 45 + cos 45 = 4 2.
Resp. F
d) cos 30 + sen 60 = tg 30.
Resp.
F
√
3 1
3. Hallar los valores del seno y coseno de un ángulo, si el punto P tiene coordenadas (− 2 , 2 ).
Identifica el ángulo.
Resp. sen x = 21 .
4. Determinar si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas (los ángulos son grados).
a) cos 390 = sen 60
b) cos 850 = − cos 50
5.
6.
7.
8.
9.
10.
c) sen 405 = cos 45
d) tg 7200 = cos 90
e) sen 520 = cos 30
f ) sen 120 = − sen 60
Resp. e) y f) falsas
En un terreno plano se observa una torre desde un punto A bajo un ángulo de 30◦ . Al aproximarse
20 m se llega a un punto B, desde el que se ve la torre bajo un ángulo de 45◦ . Hallar la altura de
la torre.
Resp. 27, 32 m.
Un terreno de forma triangular tiene lados que miden 20, 22 y 30 m. Hallar los ángulos del
terreno triangular.
Resp. aprox. 42, 47 y 91.
Hallar el área de un terreno triangular, si dos de sus lados miden 20 m y 30 m, y que los ángulos
distintos al comprendido entre ellos miden 80◦ y 70◦ .
Resp. 150 m2
Calcular la altura de una casa si se sabe que al tender un cable de 9 m desde el tejado, este forma
con el suelo un ángulo de 60◦ . ¿A qué distancia de la casa cae el cable? Resp. h = 7, 79 m. y
d = 4, 5 m.
Un turista está relajado en la orilla de un río y observa un árbol que está en la orilla opuesta.
Mide el ángulo que forma su visual con el punto más alto del árbol y obtiene 35◦ , retrocede 5m y
mide el nuevo ángulo, obteniendo en este caso 25◦ . Calcular la altura del árbol y el ancho del río.
Resp. h = 7, 15 m, y ancho del río = 10,22 m.
El ángulo que forma el suelo con la recta que une el extremo de la sombra de un árbol con la
parte superior del árbol es de 40◦ . Calcular la longitud de la sombra sabiendo que el árbol mide
15 m de altura.
Resp. La sombra es de 17,86 m.
Capítulo 6. Funciones trigonométricas
426
11. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) tg 5x = 1
Resp. x = 9◦ + k · 36◦ .
2
◦
b) tg (3x − 60 ) = 3
Resp. x = 40◦ + 60◦ · k, x = 60◦ · k.
c) cos(2x) + 5 cos x + 3 = 0
Resp. x = −30◦ + 360◦ k; x = −150◦ + 360◦ k
d) sen(2x + 60) = sen(x − 60)
Resp. x = 60◦ + 120◦ k, −120◦ + 90◦ k
1
12. Se sabe que tg x = 2 si x es ángulo del primer cuadrante, y que cos y = − 35 si y es ángulo del
segundo cuadrante. Hallar el valor de:
√
a) sen 2x
Resp. − 6 5 5
√
5
√5
Resp. 2255
Resp. 43
Resp. − 11
q √2
5
Resp. 5−2
10
b) sen(x + y)
Resp.
c) sen( 2y − 2x)
d) tg 2x
e) tg(x − y)
f ) tg 2x
13. Probar las siguientes identidades:
a) tg x = cotg x − 2 cotg(2x)
b)
c) tg(45 + x) − tg(45 − x) = 2 tg(2x)
sen x + cos x
= 1 + sen x · sec x
cos x
d) secx + csc2 x =
4
sen2 (2x)
14. Calcular las incógnitas x e y en las figuras 6.56.
Figura 6.56
15. Probar que
a)
sen 105 + sen 15
= −1
cos 75 − cos 15
b)
cos(x − y) − cos(x + y)
= tg y
sen(x − y) + sen(x + y)
16. Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas en [0, 2π]:
a) cos 2x = 1 + 4 sen x
Resp. x = {0, 180}
b) tg 2x + tg x = 0
Resp. x = {0, 180, 360, 60, 240, 120, 300}
c) sen(2x − 15) = cos(x + 15)
Resp. x = {30, 150, 270, 330}
d) sen(2x + 60) = sen(x − 60)
Resp. x = {60, 180, 300}
17. Resolver los sistemas
(
sen(x + y) = 1
a)
Resp. x = {60, 240}, y = {30, 210} y x = {120, 300}, y = {−30, 150}
sen(x − y) = 12
(
sen x + sen y = 1
b)
Resp. ( π2 , 0), (0, π2 )
x+y
= π2
7. Geometría Analítica
7.1
Introducción
La geometría analítica es la parte de la matemática que establece una conexión entre el álgebra y la
geometría euclidiana, y en la cual se estudian figuras referidas a un sistema de coordenadas. René
Descartes (1596-1650) es considerado el creador o inventor de la geometría analítica.
Geometría Analítica
Estudia las figuras geométricas utilizando un sistema de coordenadas y resuelve los problemas
geométricos por métodos algebraicos; las coordenadas se representan por grupos numéricos y
las figuras por ecuaciones.
En el estudio de la geometría analítica se nos presentan dos problemas básicos que son inversos entre
sí:
1. Dada una ecuación, determinar el lugar geométrico que representa, es decir, trazar la gráfica
correspondiente.
2. Dado un lugar geométrico definido por determinadas condiciones, hallar su ecuación matemática.
Observación 7.1.1
Un lugar geométrico es el punto o conjunto de puntos que satisfacen una o varias condiciones.
El conjunto de los puntos, y solamente de aquellos puntos cuyas coordenadas satisfagan una ecuación, se
llama gráfica de la ecuación, o bien, su lugar geométrico.
Si las coordenadas de un punto satisfacen una ecuación, dicho punto pertenece a la gráfica de la ecuación;
o si un punto esta sobre la grafica de una ecuación, sus coordenadas satisfacen la ecuación.
Para trazar la gráfica de una ecuación dada, es necesario tener una idea de su forma y conocer alguna
de sus propiedades características, como la intersección con los ejes coordenados, simetría, campo de
variación de las variables y asíntotas.
Capítulo 7. Geometría Analítica
428
Se define a una curva como el lugar geométrico descrito por un punto que se mueve cumpliendo una
determinada condición o condiciones que se expresan en forma narrativa o en forma de una ecuación.
Lo primero que haremos será considerar un sistema de coordenadas cartesiano, y definir allí distancia
entre dos puntos, punto de división, para llegar a considerar en detalles, dos problemas fundamentales;
Ecuaciones y Lugares Geométricos.
Un elemento básico en este estudio es el concepto de segmento, el que la geometría elemental considera
como “la parte de una recta comprendida entre dos puntos”, si usamos las letras P y Q del alfabeto para
estos puntos, entonces su notación es PQ, QP, o bien PQ o QP. Tanto en geometría como en física, se
hace diferencia en estas notaciones, pues se considera al segmento PQ como aquél que empieza en P y
termina en Q, en tanto que el segmento QP es el que empieza en Q y termina en P. Esto da origen al
concepto de segmento dirigido, en el cual interesa conocer la dirección del segmento, teniéndose así
segmentos positivos y segmentos negativos. La distancia entre P y Q que se anota |PQ| corresponde
al valor numérico de PQ sin tomar en cuenta el signo de PQ. Si el signo es considerado, entonces se
habla de distancia dirigida.
La asociación de cada punto del plano con una pareja de
números da origen a las denominadas coordenadas, las que
corresponden a las distancias dirigidas del punto a dos rectas perpendiculares fijas llamadas ejes coordenados (eje
x la horizontal, eje y la vertical). El punto de intersección
de estas rectas es llamado origen de coordenadas. La notación P(x, y) significa que la distancia del punto P a la recta
vertical es la coordenada x, llamada abscisa del punto P,
y que la distancia del punto P a la recta horizontal es la
coordenada y, llamada ordenada del punto P.
Figura 7.1
Los ejes coordenados dividen al plano, llamado Cartesiano, en cuatro sectores, denominados cuadrantes. La figura 7.1 muestra los conceptos mencionados.
7.2
Distancia entre dos puntos
Sean P1 (x1 , y1 ), P2 (x2 , y2 ) puntos de R2 , que sin pérdida de generalidad consideramos en el primer
cuadrante (figura 7.2a). Sea d[P1 , P2 ] la distancia entre P1 y P2 . Si P1 Q y P2 Q son segmentos de rectas
perpendiculares a los ejes coordenados, entonces se ha formado el triángulo rectángulo P1 QP2 , en el
cual, y de acuerdo con el Teorema de Pitágoras se tiene
d 2 [P1 , P2 ] = P2 Q 2 + P1 Q 2 = (y2 − y1 )2 + (x2 − x1 )2 =⇒ d[P1 , P2 ] =
q
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
El valor del segundo miembro no se altera si se invierte el orden de los números que aparecen en los
paréntesis. Cabe hacer notar que la fórmula en cuestión permite calcular la distancia no dirigida entre
dos puntos.
7.2 Distancia entre dos puntos
429
Figura 7.2
Ejemplo 7.2.1 Calculemos el valor de k para que la distancia de A(−1, 4) a B(k, 1) sea igual a 5.
El planteamiento que nos conduce a la respuesta es
q
(k − (−1)2 + (1 − 4)2 = 5 =⇒ (k + 1)2 + 9 = 25
Al resolver se encuentra que k = 3 o bien k = −5.
Ejemplo 7.2.2 Hallemos un punto sobre el eje y que sea equidistante de los puntos (5, −3) y (−2, 4).
Suponemos que tal punto a encontrar es P(0, y). Como debe “equidistar”, su distancia a cada punto
debe ser la misma, es decir,
q
q
d[P, (5, −3)] = d[P, (−2, 4)] =⇒ (5 − 0)2 + (−3 − y)2 = (−2 − 0)2 + (4 − y)2
Elevando al cuadrado y simplificando
25 + (3 + y)2 = 4 + (4 − y)2 =⇒ 14 + 14y = 0
Se concluye que y = −1. Por tanto, el punto que equidista de ambos puntos es P(0, −1).
7.2.1
Punto de división
Un punto que divide a un segmento en una relación dada, se llama punto de división. Vamos a
determinar una fórmula que permita calcular las coordenadas de cualquier punto de división. Para ello,
sean P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) puntos del plano cartesiano y consideremos el segmento que determinan.
Sea P(x, y) un tercer punto que divide al segmento P1 P2 en la relación P1 P/PP2 = r. Como P1 P y PP2
están dados en el mismo sentido, la dirección se considera positiva. Si el punto de división P(x, y)
estuviera situado en la prolongación del segmento, a uno u otro lado del mismo, la relación P1 P/PP2
sería negativa, ya que P1 P y PP2 tendrían sentidos opuestos.
De los triángulos semejantes P1 MP y PNP2 (figura 7.2b) se tiene
P1 M P1 P
=
PN
PP2
Capítulo 7. Geometría Analítica
430
Esto equivale a tener
x − x1
rx2 + x1
= r ⇐⇒ x =
x2 − x
1+r
Análogamente
y − y1
ry2 + y1
= r ⇐⇒ y =
y2 − y
1+r
Observación
Si P(x, y) es el punto medio del segmento P1 P2 , entonces r = 1, y las coordenadas del punto medio
satisfacen:
y1 + y2
x1 + x2
, y=
x=
2
2
Ejemplo 7.2.3 Hallemos las coordenadas del punto P(x, y) que divide al segmento determinado por
(1, 7) y (6, −3) en la relación 2/3. Figura 7.3a.
Solución
Como la relación r es positiva, el punto P(x, y) debe estar situado entre los puntos dados. Se tiene
x=
1 + 6 · (2/3)
= 3,
1 + (2/3)
y=
7 + (−3) · (2/3)
=3
1 + (2/3)
Figura 7.3
Ejemplo 7.2.4 Hallemos las coordenadas del punto P(x, y) que divide al segmento que determinan
P(2, 4) y Q(6, −3) en la relación QR/RP = −2. Figura 7.3b.
Solución
Como la relación r es negativa, el punto P(x, y) debe estar situado en la prolongación del segmento que
determinan los puntos dados. Se tiene
x=
6 + (−2)2
= −2,
1 + (−2)
y=
−3 + (−2)4
= 11
1 + (−2)
7.3 Ecuaciones y Lugares Geométricos
7.3
431
Ecuaciones y Lugares Geométricos
Abordamos a continuación, los dos problemas fundamentales de la geometría analítica, a saber:
1. Dada una ecuación, hallar el lugar geométrico que la representa.
2. Dado un lugar geométrico definido por determinadas condiciones, hallar su ecuación matemática.
Definición 7.3.1 Se llama lugar geométrico o gráfica de una ecuación de dos variables F(x, y) = 0,
a toda línea, recta o curva, que contiene todos los puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación.
Para representar cualquier lugar geométrico, es conveniente tener presente los siguientes pasos:
Intersecciones con los ejes
1. Al hacer x = 0 se hallan las intersecciones con el eje y, ya que los puntos sobre este eje tienen la
forma (0, y).
2. Al hacer y = 0 se hallan las intersecciones con el eje x, ya que los puntos sobre este eje tienen la
forma (x, 0).
Simetría
Para averiguar simetría se considera lo siguiente
Definición 7.3.2 Dos puntos son simétricos con respecto a una recta, si la recta es perpendicular al
segmento que los une en su punto medio. La recta se denomina eje de simetría.
Definición 7.3.3 Dos puntos son simétricos con respecto a un punto P, si P es el punto medio del
segmento que los une. P recibe el nombre de “centro de simetría.
Figura 7.4
La figura 7.4a muestra simetría de los puntos P y P 0 respecto de una recta L.
La figura 7.4b muestra simetría de los puntos P y P 0 respecto del eje x.
La figura 7.4c muestra simetría de los puntos P y P 0 respecto del origen.
La figura 7.4d muestra simetría de los puntos P y P 0 respecto del eje y.
Estas ideas de la geometría elemental se pueden interpretar en el sistema cartesiano, usando a los ejes
coordenados como ejes de simetría y al origen de coordenadas como centro de simetría, como sigue.
1. Si al reemplazar x por −x, la ecuación no varía, la curva presenta simetría respecto del eje y.
2. Si al reemplazar y por −y la ecuación no varía, la curva presenta simetría respecto del eje x.
3. Si se satisfacen, simultáneamente las dos condiciones anteriores, entonces la curva presenta
simetría respecto del origen.
Dominio de las variables
Para determinar el campo de variación de las variables x e y, se procede como sigue:
Capítulo 7. Geometría Analítica
432
1. Al despejar la variable x se halla el campo de variación de y (rango).
2. Al despejar la variable y se halla el campo de variación de x (dominio).
Ejemplo 7.3.4 Estudiemos el lugar geométrico que tiene por ecuación y2 − 2y − 4x + 9 = 0.
Solución
Dominio de las variables.
Para hallar el dominio o campo de variación de las variables, hay que despejar las variables x e y de la
ecuación y2 − 2y − 4x + 9 = 0. Se tiene
√
y = 1 ± 2 x − 2, x ≥ 2,
Con lo cual, −∞ < y < ∞,
x=
y2 − 2y + 9
4
2 ≤ x < ∞.
Corte con el eje y.
Para ello, con x = 0 la curva en cuestión se transforma en
y2 − 2y + 9 = 0
Como esta ecuación no tiene raíces reales, pues b2 − 4ac = 4 − 36 < 0, entonces la curva no corta al
eje y, con lo cual, la curva está enteramente a la izquierda o a la derecha del eje y.
Corte con el eje x.
Cuando y = 0, se obtiene x = 49 , único corte con el eje x.
Simetrías.
Ahora, respecto de la simetría, es fácil comprobar que no existe, respecto ni de los ejes, ni del origen,
en efecto:
Cambiando x por −x en la ecuación dada, se tiene
y2 − 2y − (−4x) + 9 = y2 − 2y + 4x + 9 6= y2 − 2y - 4x + 9
Esto significa que no hay simetría respecto del eje y.
Cambiando y por −y en la ecuación dada, se tiene
(−y)2 − 2(−y) − 4x + 9 = y2 + 2y − 4x + 9 6= y2 - 2y − 4x + 9
Esto significa que no hay simetría respecto del eje x.
Cambiando x por −x e y por −y, al mismo tiempo, en la ecuación dada, se tiene
(−y)2 − 2(−y) − 4(−x) + 9 = y2 + 2y + 4x + 9 6= y2 - 2y - 4x + 9
Esto significa que no hay simetría respecto del origen.
√
Observando que y = 1 ± x − 2, vemos que la curva presenta simetría respecto de la recta y = 1.
7.4 La recta
433
Gráfica del lugar geométrico.
Para graficar este lugar geométrico completaremos, en primer lugar, el cuadrado de binomio
en la variable y.
y2 − 2y − 4x + 9 = 0 =⇒ (y − 1)2 = 4(x − 2)
Sabemos que la gráfica se halla a la derecha de
x = 2, que el punto (2, 1) iguala ambos lados
de la ecuación a cero, y que la recta y = 1 es
de simetría. El lugar geométrico, se muestra
en la figura 7.5.
Figura 7.5
Más adelante conoceremos con más detalles este lugar geométrico conocido como parábola.
7.4
La recta
Una primera idea, intuitiva, es entender a la recta como un conjunto infinito de puntos alineados en
una única dirección (colineales). Vista en un plano, una recta puede ser horizontal, vertical o diagonal
(inclinada a la izquierda o a la derecha).
Una segunda idea, formal, es afirmar que la recta es un lugar geométrico.
La recta es el lugar geométrico de los puntos tales que si se toman dos, cualquiera de ellos
(figura 6.4a), la razón entre la diferencia de las ordenadas y la diferencia entre las abscisas es
constante:
y2 − y1
= m = constante
x2 − x1
La constante m recibe el nombre de pendiente de la recta.
Ejemplo 7.4.1 Los pares de puntos; A(0, 0), B(1, 1) y C(2, 2), D(3, 4) no están en una misma recta,
pues, si m1 representa la pendiente de los puntos AB y m2 la de los puntos CD, entonces
m1 =
1−0
=1
1−0
mientras que m2 =
4−2
=2
3−2
Ángulo de inclinación
Los maestros de la construcción están levantando una casa y quieren saber el ángulo de inclinación que
forma la línea L del tejado de dos aguas que muestra la figura 7.6a con la parte positiva del eje de las x.
Como el Ingeniero Constructor brilla por su ausencia, un estudiante en práctica recurre a un viejo
cuaderno de matemática, en el cual aparece escrito:
“ Si L es una recta no paralela al eje x (figura 7.6a). El ángulo θ < 180◦ que forma la recta con el eje x,
medido en sentido contrario a las manecillas del reloj se denomina inclinación de la recta. Su cálculo
se realiza mediante la expresión
y2 − y1
y2 − y1
tg θ =
=⇒ θ = arc tg
x2 − x1
x2 − x1
Luego de revisar su cuaderno y hacer sus cálculos, el estudiante en práctica informa a los maestros que
el ángulo es de 45◦ . Como era de esperar, los aplausos se multiplicaron por montones e hicieron sentir
al estudiante un auténtico ingeniero.
Capítulo 7. Geometría Analítica
434
Figura 7.6
En la gráfica de la figura 7.6b, la recta L forma un ángulo de inclinación θ con la parte positiva del
eje de las abscisas. Si consideramos que el punto A tiene coordenadas (x1 , y1 ) y el punto B tienen
coordenadas (x2 , y2 ), entonces
y2 − y1
tg θ =
x2 − x1
de lo cual, se halla que
θ = arc tg
y2 − y1
x2 − x1
Pendiente de una recta
La pendiente, m, de una recta es la razón entre el
cateto opuesto y el cateto adyacente, respecto del
ángulo de inclinación (figura 7.7). Esto es,
m=
y
x
Dicho de otra forma, la pendiente es la tangente
trigonométrica de su ángulo de inclinación.
m = tg θ
Figura 7.7
La pendiente de una recta no vertical es un número que mide que tan inclinada está la recta y hacia
donde está inclinada.
Actividad 236 La recta L1 es tal que por cada 3 unidades que se avanza hacia la derecha, sube 4
unidades. La recta L2 satisface que por cada unidad que se avanza hacia la derecha, sube 2 unidades.
Dibujar ambas rectas, determinar cuál de ellas tiene mayor inclinación, y determinar la pendiente de
cada recta
Actividad 237 Hallar la pendiente de la recta cuyo ángulo de inclinacion es θ = 60◦ . Bosquejar la
recta.
Actividad 238 Hallar el ángulo de inclinación de una recta cuya pendiente es m = −2, 5. Bosquejar la
recta
7.5 Ecuaciones de la recta
7.4.1
435
Relación entre el ángulo de inclinación y la pendiente
Sea θ el ángulo de inclinación y sea m la pendiente de la recta L. Entonces:
1. θ = 0 si y solo si m = 0. L es paralela al eje x (figura 7.8a)
2. 0 < θ < 90◦ si y solo si m > 0. L tiene pendiente positiva. (figura 7.8b)
3. θ = 90◦ si y solo si m no está definida. L es paralela al eje y. (figura 7.8c)
4. 90◦ < θ < 180◦ si y solo si m < 0. L tiene pendiente negativa. (figura 7.8d)
Figura 7.8
7.5
Ecuaciones de la recta
Podemos escribir la ecuación de una recta de varias maneras, dependiendo de los datos que sepamos
de ella, y recíprocamente. Si tenemos la ecuación de una recta, podemos llevarla a distintas formas, y
obtener de esas expresiones distintas informaciones acerca de la recta.
Observación 7.5.1 Toda recta queda bien determinada si se conocen dos condiciones, como por
ejemplo, dos puntos, o un punto y la pendiente.
Ecuación punto - pendiente
Consideremos el problema de encontrar la ecuación de la recta no vertical que pasa por un punto
P(x1 , y1 ) y tiene pendiente m. Si Q(x, y) es cualquier otro punto de la recta, se debe satisfacer
m=
y − y1
x − x1
Al multiplicar por x − x1 se tiene
Ecuación punto-pendiente
y − y1 = m(x − x1 )
Dos casos particulares
1. Si la recta es paralela al eje y, pasa por el punto (a, 0), entonces su pendiente es infinita, y su
ecuación es x = a. figura 7.9a.
2. Si la recta es paralela al eje x, pasa por el punto (0, b), entonces su pendiente es cero y, su
ecuación es y = b. Figura 7.9b.
3. Si una recta corta al eje x en el punto (a, 0), entonces a se llama abscisa en el origen de la recta.
Figura 7.9c.
4. Si la recta corta al eje y en el punto (0, n), entonces n se llama ordenada en el origen de la recta.
Figura 7.9c.
Capítulo 7. Geometría Analítica
436
Figura 7.9
Ejemplo 7.5.2 Escribir la ecuación de la recta que pasa P(4, −3) y tiene pendiente 4.
De la lectura del problema se observa que están todos los datos para usar la ecuación punto - pendiente
y − (−3) = 4(x − 4) =⇒ y + 3 = 4x − 16
Al reducir términos semejantes
y − 4x + 19 = 0
Actividad 239 Una recta tiene ecuación y − 5 = −7(x + 3). Hallar un par de puntos en esta recta y
trazar su gráfica.
Ecuación pendiente - ordenada en el origen
Un caso interesante de ecuación de la recta resulta cuando se conoce la pendiente m y el punto donde
corta al eje y, que usualmente se denota con la letra n y se llama ordenada en el origen. Si suponemos
que el punto en que la recta corta al eje y es (0, n), entonces
y − n = m(x − 0) =⇒
y = mx + n
Ejemplo 7.5.3 Hallar la ecuación de la recta con pendiente 3 y que corta al eje y en la ordenada −1.
Están todos los datos; n = −1, m = 3. Luego
y = 3x − 1
Ecuación por dos puntos
Otra ecuación de recta que podemos deducir de la punto-pendiente, es la que pasa por dos puntos.
Sean A(x1 , y1 ) y B(x2 , y2 ) dos puntos conocidos en una recta, a partir de ellos se puede
conocer la pendiente de la recta que los une,
como se muestra en la figura 7.10.
Para la pendiente m se tiene:
m = tg θ =
y2 − y1
x2 − x1
Figura 7.10
7.5 Ecuaciones de la recta
437
Luego de esto, para la ecuación que pase por esos dos puntos, se aplica ecuación punto - pendiente. Se
obtiene:
Ecuación por dos puntos
y − y1 =
y2 − y1
· (x − x1 )
x2 − x1
Ejemplo 7.5.4 Una recta pasa por los puntos A(2, −1) y B(5, 3). Hallar su ecuación
Como están dados dos puntos de la recta, su pendiente es m = 43 . Ahora se elige cualquiera de los dos
puntos dados para aplicar la ecuacón punto - pendiente
4
y − 3 = (x − 5) =⇒ 4x − 3y − 11 = 0
3
Actividad 240 Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (−2, −3) y (4, 6)
Ecuación general de la recta
Una forma de la ecuación de la recta que cubre tanto a las rectas verticales como a las que no lo son es
la llamada ecuación general de la recta y se obtiene pasando todos los términos de la ecuación a un
solo lado de la igualdad, de modo que todo queda igualado a cero. La expresión
Ax + By +C = 0
se llama ecuación general de la recta, en ella; A y B no pueden ser simultáneamente nulas. En caso de
ser C = 0, la recta pasa por el origen del plano cartesiano. Haciendo transformaciones algebraicas a la
forma general, se puede obtener:
A
C
y = − x−
B
B
Por similitud con la ecuación pendiente - ordenada, y = mx + n, se tiene que
A
m=− ,
B
n=−
C
B
Ejemplo 7.5.5 Hallar la ecuación general de la recta que corta al eje de abscisa en x = 2 y al de
ordenadas en y = −3.
De los datos proporcionados, debemos hallar la ecuación por los puntos (2, 0) y (0, −3).
m=
−3 − 0 3
3
= =⇒ y − 0 = (x − 2)
0−2
2
2
Al simplificar se halla que la ecuación general es
2y − 3x + 6 = 0
Ejemplo 7.5.6
1. La ecuación de la recta que pasa por (−2, 5) y cuya pendiente es 3 es
y − 5 = 3(x + 2)
la cual, escrita en su forma general, corresponde a
3x − y + 11 = 0
Capítulo 7. Geometría Analítica
438
2. La ecuación de la recta que une los puntos (2, −5) y (4, 3) es
y + 5 = 4(x − 2)
la cual, escrita en su forma general, corresponde a
y − 4x + 13 = 0
3. La ecuación de la recta que pasa por (−3, 1) y es paralela a la recta que une los puntos (0, −2) y
(5, 2) se determina como sigue. La pendiente de la recta que pasa por los dos puntos es 45 . Como
la recta a encontrar debe ser paralela, entonces su pendiente debe ser la misma, de aquí que
y−1 =
4
(x + 3)
5
la que en su forma general corresponde a, 5y − 4x − 17 = 0
7.5.1
Rectas paralelas y perpendiculares
Dos rectas son paralelas (figura 7.11a) si y solo si sus pendientes son iguales.
Dos rectas son perpendiculares (figura 7.11b) sí y solo si el producto de sus pendientes es −1.
Figura 7.11
Ejemplo 7.5.7 Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(1, 5), y es paralela a la recta 2x + y + 2 = 0.
Vamos a emplear la ecuación punto pendiente. Tenemos el punto, la pendiente se obtiene a partir de la
hipótesis de que la recta a encontrar es paralela a la recta, la cual tiene pendiente m = −2. Luego,
y − 5 = −2(x − 1) =⇒ y + 2x − 7 = 0
Ejemplo 7.5.8 Dos rectas son perpendiculares. Una de ellas pasa por el punto (−7, −2) y la otra tiene
de pendiente m = 34 . Hallar la ecuación que representa a la primera recta.
Si las rectas son perpendiculares, y una de ellas tiene pendiente 43 , entonces la otra tiene pendiente − 34 .
Para hallar la ecuación de esta última usemos ecuación punto pendiente
3
y + 2 = − (x + 7)
4
O, equivalentemente
4y + 3x + 29 = 0
7.5 Ecuaciones de la recta
7.5.2
439
Ecuación normal
Consideremos una recta L como en la figura
7.12, entonces una condición necesaria y suficiente para que ella quede bien determinada, es
conocer la longitud de la perpendicular a ella
trazada desde el origen, y el ángulo que dicha
perpendicular forma con el eje x. En efecto;
sea ON la perpendicular desde el origen a L,
sea d la distancia desde el origen a la recta
L. Finalmente, sean (x1 , y1 ) las coordenadas
del punto de intersección de L con ON, y ω el
ángulo que forma ON con el eje x. Se tiene
sen ω =
Figura 7.12
y1
=⇒ y1 = d sen ω
d
cos ω =
x1
=⇒ x1 = d cos ω
d
Como ON es perpendicular a L, y la pendiente de ON es tg ω, entonces la pendiente de L es - 1/ tg ω.
Si consideramos que P(x, y) es un punto arbitrario de L, tenemos que la ecuación de L es
y − y1 = −
1
(x − x1 )
tg ω
Al simplificar esta ecuación se obtiene la llamada ecuación normal de la recta.
x cos ω + y sen ω = d
Lo usual, cuando se trata de la recta, es que ella venga dada en su forma general Ax + By + C = 0.
Mediante una simple igualación de coeficientes entre las formas normal y general, es posible pasar de
la forma general a la forma normal. En efecto
x cos ω + y sen ω − d = Ax + By +C
si y sólamente si, cos ω = kA, sen ω = kB, −d = kC, siendo k una constante de proporcionalidad. (El
sen ω y el cos ω varían entre -1 y 1). Elevando al cuadrado las dos primeras igualdades concluímos que
k=
1
√
± A2 + B2
Luego, reemplazando k en la forma normal, se tiene
x·
A
B
C
√
+y· √
+ √
=0
2
2
2
2
± A +B
± A +B
± A2 + B2
esto es
Ax + By +C
√
=0
A2 + B2
Una aplicación de esta forma normal tiene relación con la distancia de un punto a una recta
Capítulo 7. Geometría Analítica
440
7.6
Distancia de un punto a una recta
Cuándo hablamos de la distancia de un punto a una recta en el plano nos referimos a la distancia más
corta que debe haber entre el punto y la recta.
Para hallar la distancia d desde un punto
P1 (x1 , y1 ) a una recta L, se traza la recta L1 paralela a L y pasando por P1 , tal como muestra
la figura 7.13. Sea ω el ángulo de inclinación
de la recta perpendicular, tanto a L como a L1 ,
y que pasa por el origen de coordenadas. Por
lo visto anteriormente, la ecuación de L y L1
son, respectivamente,
Figura 7.13
x cos ω + y sen ω − p = 0
y
x cos ω + y sen ω − (p + d) = 0
Como las coordenadas del punto (x1 , y1 ) satisfacen la ecuación de L1 , tenemos, x1 cos ω + y1 sen ω −
(p + d) = 0. de donde
d = x1 cos ω + y1 sen ω − p
Esta expresión permite calcular la distancia entre el punto (x1 , y1 ) y la recta Ax + By +C = 0
La fórmula en sí, es poco práctica, su utilidad la vemos si cambiamos de esta forma normal a la forma
general, teniéndose que
d = x1 cos ω + y1 sen ω − p = kAx1 + kBy1 + kC
de donde
cos ω = kA, sen ω = kB, p = −kC
1
, en consecuencia,
De esto deducimos que k = √
2
a + B2
d=
Ax1 + By1 +C |Ax1 + By1 +C|
√
= √
± A2 + B2
A2 + B2
El signo del radical se considera como sigue:
1. Opuesto al de C, siempre que C 6= 0
2. Igual al de B, si C = 0, y B 6= 0
3. Igual al de A, siempre que B = C = 0
Es válida la siguiente interpretación geométrica
Si d < 0, el punto y el origen están al mismo lado de la recta L.
Si d > 0, el origen y el punto están a distinto lado de la recta L.
Ejemplo 7.6.1 La distancia del punto (6, −2) a la recta 3x − 4y + 4 = 0 es
d=
(3 · 6) + (−4)(−2) + 4
√
= −6
9 + 16
7.6 Distancia de un punto a una recta
441
Actividad 241
1. Determinar la distancia de la recta 5x + 4y + 15 = 0 al punto A(2, 4). Resp. √4141
2. Determinar la distancia del punto P(5, −6) a la recta 3x − 4y + 6 = 0
3. Encontrar la distancia entre las rectas 6x + 2y − 3 = 0 y 6x + 2y + 5 = 0. Resp. √410
Observación 7.6.2 En la página
https://movimientomath.blogspot.cl/2014/11/distancia-de-un-punto-una-recta.html
puedes encontrar otras formas de obtener la fórmula para la distancia entre punto y recta.
Ángulo entre dos rectas
Dos rectas que se cortan se denominan secantes. Al cortarse determinan 4 ángulos (figura 7.14a). Esos
ángulos están relacionados entre sí, de modo que si conocemos cuanto mide uno de ellos, sabemos de
inmediato cuanto miden los tres restantes.
Figura 7.14
Los ángulos A y C son opuestos por el vértice, y los ángulos A y B son adyacentes.
Proposición 7.6.3 El ángulo α, medido en sentido positivo, entre dos rectas L1 y L2 , de pendientes
m1 y m2 , respectivamente, viene dado por
tg α =
m2 − m1
1 + m1 m2
Demostración
En la figura 7.14b se tiene que θ2 = θ1 + α =⇒ α = θ2 − θ1 . De esto, tg α = tg (θ2 − θ1 ). Por lo tanto
tg α =
tg θ2 − tg θ1
m2 − m1
=
1 + tg θ1 tg θ2 1 + m1 m2
Ejemplo 7.6.4 Si el ángulo que forman L1 y L2 es de 450 y la pendiente m1 de L1 es 2/3, vamos a
encontrar la pendiente m2 de L2 .
Solución
tg 450 =
de donde m2 = 5
m2 − m1
m2 − (2/3)
=⇒ 1 =
1 + m1 m2
1 + (2/3)m2
Capítulo 7. Geometría Analítica
442
7.6.1
Familias de rectas
Si las rectas a1 x + b1 y + c1 , a2 x + b2 y + c2 , se intersectan en un punto P, entonces la ecuación
a1 x + b1 y + c1 + k(a2 x + b2 y + c2 ) = 0
siendo k constante, representa también a una recta. Más aún, el punto P tiene coordenadas que satisfacen
a ambas ecuaciones de rectas. Luego, esta ecuación representa a una recta que pasa por el punto P, para
cualquier valor de k. Esta ecuación representa una familia de rectas que pasan por el punto P, así k es
una constante para cada recta de la familia, y recibe el nombre de parámetro.
Ejemplo 7.6.5 Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) y por el punto de intersección
de las rectas 10x − 3y + 6 = 0, y 9x + y − 1 = 0.
Solución
La recta (10x − 3y + 6) + k(9x + y − 1) = 0, pasa por el punto de intersección de las rectas dadas. Ahora
usamos la hipótesis de que el punto (1, 2) está en la recta para tener (10 − 3(2) + 6) + k(9 + 2 − 1) = 0,
de donde k = −1. Por tanto la ecuación buscada es
(10x − 3y + 6) − (9x + y − 1) = 0
la que se reduce a
x − 4y + 7 = 0
Otra metodología para resolver este problema es hallar, en primer lugar, el punto de intersección de las
rectas, para posteriormente, con el punto (1, 2), hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
7.7
Las cónicas
Una primera noción de cónica es la siguiente:
Sea D una recta y F un punto del plano tal que F 6∈ D. Sea e un número positivo. Una cónica es el lugar
geométrico de los puntos P del plano tales que su distancia a F es e veces su distancia a la recta D. Es
decir
P ∈ cónica ⇐⇒ d(P, F) = e · d(P, D)
F se llama foco de la cónica.
D se llama directriz de la cónica.
e se llama excentricidad de la cónica.
En base a la excentricidad se tiene lo siguiente:
Si e < 1 la cónica se llama Elipse.
Si e = 1 la cónica se llama Parábola.
Si e > 1 la cónica se llama Hipérbola.
Si e = 0 la cónica es una circunferencia.
Una segunda visión de las cónicas es de orden geométrica: superficies cortadas por planos.
7.7 Las cónicas
443
Cuando un cono se corta con un plano se forma
una curva en la intersección de la superficie cónica y el plano. Estas curvas reciben el nombre
de secciones cónicas o simplemente cónicas.
Vamos a estudiar las cónicas a partir de la ecuación de segundo grado
Ax2 + Bxy +Cy2 + Dx + Ey + F = 0
La gráfica de una ecuación de segundo grado en las coordenadas x e y se llama sección
cónica o simplemente cónica.
Figura 7.15
Interesa el caso B = 0, con lo cual la ecuación resultante es Ax2 +Cy2 + Dx + Ey + F = 0
Conclusiones
Si A = 0 o C = 0, es una parábola.
Si A y C tienen igual signo, es una elipse.
Si A = C, es una circunferencia.
Si A y C son de signos opuestos, es una hipérbola.
D y E indican que el centro de la cónica (cuando lo hay), está fuera del origen de
coordenadas, sí D = 0 el centro está sobre el eje y. Si E = 0 está sobre el x.
El F (término independiente) indica que la cónica no pasa por el origen, si F = 0 sí pasa
por el origen.
Los ejes de estas cónicas serán paralelos a los ejes coordenados x e y.
Ejemplo 7.7.1 Reconocer la cónica y2 + 8x − 6y + 25 = 0
Al comparar con Ax2 +Cy2 + Dx + Ey + F = 0, se deduce que; A = 0, C = 1, D = 8, E = −6, F = 25.
De acuerdo con las conclusiones, se trata de una parábola (por ser A = 0). El centro de esta cónica no
está en el origen, ni sobre los ejes. Como F 6= 0, la cónica no pasa por el origen. Por el momento estos
son todos los datos que podemos obtener.
Actividad 242 Reconocer las siguientes cónicas:
1. x2 + 10x − 20y + 25 = 0
2. 4x2 + 9y2 − 8x + 36y + 4 = 0
3. 9x2 + 4y2 + 36x − 8y + 4 = 0
7.7.1
4. x2 − 9y2 − 18x − 54y − 81 = 0
5. −x2 + 2y2 − 20y + 48 = 0
6. 2x2 − xy + y2 − x + 3y − 2 = 0
Gráfica de la ecuación de segundo grado
Una vez que se sabe identificar la cónica, el próximo paso es graficarlas. Para esto, es necesario hallar
la ecuación general de la cónica por completación de cuadrados.
Capítulo 7. Geometría Analítica
444
7.7.2
La Circunferencia
La circunferencia es el lugar geométrico de
todos los puntos de un plano que equidistan de
otro llamado centro. La distancia del centro a
un punto cualquiera de la circunferencia es el
radio.
Podemos hallar la ecuación una circunferencia
cuando conocemos:
- Tres puntos de la misma.
- El centro y el radio.
- Un punto y el centro
- El centro y una recta tangente.
Figura 7.16
Ecuación Canónica
De la figura 7.16, la distancia entre el centro C(h, k) y el punto P(x, y) sobre la circunferencia es el
radio, luego
d(C, P) = r =⇒ (x − h)2 + (y − k)2 = r2
Ejemplo 7.7.2 La ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por el punto (3, 4),
es x2 + y2 = 25, ya que (h, k) = (0, 0), d[(0, 0), (3, 4)] = r = 5.
Ecuación general
Partiendo de la ecuación canónica
(x − h)2 + (y − k)2 = r2
Al desarrollarla se llega a
x2 − 2hx + h2 + y2 − 2ky + k2 = r2
Que es equivalente a
x2 + y2 + (−2h)x + (−2k)y + (h2 + k2 − r2 ) = 0
Esta expresión, al compararla con la ecuación de segundo grado general Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx +
Ey + F = 0, debe satisfacer A = C = 1; B = 0. A partir de esto, observamos que toda ecuación de
circunferencia se puede escribir, en la llamada forma general
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
en donde se hacen los siguientes cambios de variable:
D = −2h, E = −2k, F = h2 + k2 − r2
A partir de la ecuación x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0, por completación de cuadrados, se obtiene que:
el centro es el punto (−D/2, −E/2).
1p 2
el radio r =
D + E 2 − 4F.
2
si D2 + E 2 − 4F > 0, la circunferencia es real,
7.7 Las cónicas
445
si D2 + E 2 − 4F < 0 es imaginaria, y
si D2 + E 2 − 4F = 0 la circunferencia es un punto.
Ejemplo 7.7.3
1. Para hallar centro y radio de la circunferencia x2 + y2 − 3x + 5y − 15 = 0, se completa el cuadrado,
encontrando que
3
5
94
(x − )2 + (y + )2 =
2
2
4
p
de aquí, el centro es el punto (3/2, −5/2), y el radio r = 94/4.
2. La ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1, −2), (−1, 4) y (5, 2) se halla como
sigue. Los puntos dados deben satisfacer la ecuación, si se reemplazan en la ecuación general de
centro (h, k)
(x − h)2 + (y − k)2 = r2
se tiene el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas
(1 − h)2 + (−2 − k)2 = r2
(−1 − h)2 + (4 − k)2 = r2
(5 − h)2 + (2 − k)2 = r2
Esto es
h2 − 2h + k2 + 4k + 5 = r2
h2 + 2h + k2 − 8k + 17 = r2
h2 − 10h + k2 − 4k + 29 = r2
al restar de la primera ecuación la segunda, y de la segunda la tercera se tiene el sistema de dos
ecuaciones
−4h + 12k − 12 = 0
12h − 4k − 12 = 0
el cual entrega los valores h = k = 3/2, r2 = 25/2. Con estos datos la ecuación buscada es
(x − 3/2)2 + (y + 3/2)2 = 25/2
la que al simplificar y escribir en la forma general se reduce a
x2 + y2 − 3x − 3y − 8 = 0
Una forma más sencilla de abordar este tipo de problemas es trabajar con la ecuación cuadrática
de una circunferencia x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0, ya que de esta manera el sistema a formar es
1 + 4 + D − 2E + F = 0
1 + 16 − D + 4E + F = 0
25 + 4 + 5D + 2E + F = 0
al resolver arroja los valores E = −3, D = −3, F = −8. Con ellos, la ecuación de la circunferencia
x2 + y2 − 3x − 3y − 8 = 0
Capítulo 7. Geometría Analítica
446
3. La ecuación de la circunferencia que es tangente a la recta 3x − 4y − 4 = 0, y cuyo centro está
sobre la intersección de las rectas 5x − y + 7 = 0, x − 4y + 9 = 0, se determina del modo que
sigue. El punto de intersección de las rectas es (−1, 2) = (h, k). Como además es tangente a la
recta, la distancia del centro a la recta es el radio r=3. Con esto, la ecuación buscada es
(x + 1)2 + (y − 2)2 = 9
4. La ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (−8, 3), (4, −5) y que tiene su centro
sobre la recta 2x − 3y − 14 = 0, se encuentra así. Si el centro está sobre la recta, entonces las
coordenadas (h, k) satisfacen esa ecuación, es decir; 2h − 3k − 14 = 0. Además, la distancia de
(h, k) a los puntos (−8, 3) y (4, −5) debe ser la misma. Luego, del sistema
d[(h, k), (−8, 3)] = d[(h, k), (4, −5)]
2h − 3k − 14
=
0
se encuentra que (h, k) = (−8, −10), y en consecuencia
(x + 8)2 + (y + 10)2 = 169
Actividad 243 Hallar el centro y el radio de las circunferencias:
1. x2 + y2 + 4x + 6y + 9 = 0
2. x2 + y2 − 4x − 2y − 4 = 0
Familia de circunferencias
De la ecuación general de la circunferencia se observa que ella queda bien determinada si se conocen
h, k y el radio r. El conocer menos condiciones hace que la circunferencia no sea única, en este caso
decimos que estamos en presencia de una familia de circunferencias y la constante no conocida se
denomina parámetro.
Por ejemplo, la ecuación (x − 2)2 + (y − 12 = r2 representa una familia de circunferencias, todas de
centro (2, 1) y radio arbitrario.
Ejemplo 7.7.4 Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (−8, 5) y por la intersec-
ción de las circunferencias x2 − 8x + y2 − 6y + 17 = 0, x2 − 18x + y2 − 4y + 67 = 0.
Solución
La familia de circunferencias que pasa por el punto de intersección de las circunferencias dadas, tiene
ecuación
x2 − 8x + y2 − 6y + 17 + k(x2 − 18x + y2 − 4y + 67) = 0
La circunferencia a encontrar debe pasar por el punto (−8, 5), de modo que al reemplazar este punto
1
en la ecuación de la familia se tiene k = − . Ahora, al reemplazar este k en la ecuación de la familia se
2
tiene que la ecuación de circunferencia pedida es
x2 + 2x + y2 − 8y − 33 = 0
7.7 Las cónicas
7.7.3
447
La Parábola
La parábola se define como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto
fijo en el plano llamado foco y de una recta
también fija en el plano llamada directriz. El
punto medio entre el foco y la directriz se llama vértice. La distancia del vértice al foco o
del vértice a la directriz se le denota mediante
la letra p.
Figura 7.17
Las ecuaciones generales de una parábola son:
(x − h)2 = 4p(y − k) se abre hacia arriba
(x − h)2 = −4p(y − k) se abre hacia abajo
(y − k)2 = 4p(x − h) se abre hacia derecha
(y − k)2 = −4p(x − h) se abre hacia izquierda
El punto (h, k) se conoce como vértice de la parábola, el número p > 0 es la distancia del foco al
vértice. Estas cuatro familias, en el caso particular h = k = 0, se muestra en la figura 7.18.
Figura 7.18
Veamos como se generan estas ecuaciones:
Ecuación 1
Si el foco se encuentra en el punto (0, a) y la distancia entre el foco y la directriz, ubicada bajo el
vértice, es 2a, entonces la ecuación de la directriz es y + a = 0. Si P(x, y) es un punto cualquiera sobre
la parábola (figura 7.19), por definición se debe cumplir que
q
d(P, F) = d(P, D) =⇒ (x − 0)2 + (y − a)2 = y + a
Después de elevar al cuadrado y reducir términos se llega a
x2 = 4ay
Capítulo 7. Geometría Analítica
448
Figura 7.20
Figura 7.19
Ecuación 2
Si el foco se encuentra en el punto (0, −a) y la distancia entre el foco y la directriz, ubicada sobre el
vértice es 2a, entonces la ecuación de la directriz es y − a = 0. Si P(x, y) es un punto cualquiera sobre
la parábola (figura 7.20), por definición se tiene
q
d(P, F) = d(P, D) =⇒ (x − 0)2 + (y + a)2 = a − y
Después de elevar al cuadrado y reducir términos se llega a
x2 = −4ay
Ecuación 3
Si el foco se encuentra en el punto (a, 0) y la distancia entre el foco y la directriz, ubicada a la izquierda
del foco, es 2a, entonces la ecuación de la directriz es x + a = 0. Si P(x, y) es un punto cualquiera sobre
la parábola (figura 7.21a), se tiene:
q
d(P, F) = d(P, L) =⇒ (x − a)2 + y2 = x + a
expresión que después de elevar al cuadrado y simplificar se transforma en
y2 = 4ax
Figura 7.21
7.7 Las cónicas
449
Se observa que esta parábola presenta simetría respecto del eje x, el que pasa a ser su eje de simetría. El
punto en que la curva corta al eje de simetría se llama vértice de la parábola. Es claro entonces que
d(V, F) = d(V, L), y que la ecuación y2 = 4ax corresponde al de una parábola de vértice en el origen,
directriz a la izquierda del foco, y que tiene por eje de simetría al eje x.
Ecuación 4
Si el foco se encuentra en el punto (−a, 0) y la distancia entre el foco y la directriz, ubicada a la derecha
de él, es 2a, entonces la ecuación de la directriz es x = a. Si P(x, y) es un punto cualquiera sobre la
parábola (figura 7.21b), se tiene
q
d(P, F) = d(P, L) =⇒ (x + a)2 + y2 = a − x
Después de elevar al cuadrado y reducir se tiene
y2 = −4ax
Lado recto
Un elemento a tener en cuenta en la parábola es; el segmento de recta que une dos puntos cualquiera
de la parábola, pasando por el foco y perpendicular al eje de la parábola, llamado lado recto o latum
rectus que se denota por L (figura 7.22a). La longitud del lado recto se puede determinar mediante las
coordenadas de sus extremos y es L = 4a
Figura 7.22
Generalización de las ecuaciones
Las ecuaciones de la parábola, se generalizan como sigue.
En la figura 7.22b, sea (h, k) el vértice de la parábola, con eje de simetría paralelo al eje x, y foco F a la
derecha del vértice, y a una distancia a de él. En este caso, la ecuación de la directriz, paralela al eje
y, y a una distancia a del foco, tiene por ecuación; x = h − a. Si P(x, y) es un punto cualquiera de la
parábola, entonces de acuerdo con la definición se tiene
d(P, F) = d(P, D)
Es decir
q
(x − a − h)2 + (y − k)2 = x + a − h
después de elevar al cuadrado y simplificar se obtiene la ecuación
(y − k)2 = 4a(x − h)
Capítulo 7. Geometría Analítica
450
Las restantes generalizaciones se hacen de forma similar y un resumen es el siguiente:
1) (y − k)2 = -4a(x-h). Es la ecuación de la parábola con eje de simetría paralelo al eje x, directriz a la
derecha del foco, y vértice (h, k).
2) (x − h)2 = 4a(y-k). Es la ecuación de la parábola con eje de simetría paralelo al eje y, directriz bajo
el foco, y vértice (h, k).
3) (x − h)2 = -4a(y-k). Es la ecuación de la parábola con eje de simetría paralelo al eje y, directriz sobre
el foco, y vértice (h, k).
Ejemplo 7.7.5
1. La ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco en (0, 4). Se determina como sigue:
Al tener foco en (0, 4) y vértice en (0, 0) la parábola se abre hacia arriba. La distancia del
vértice al foco es a = 4. Además, h = 0, k = 0, de modo que al reemplazar en la ecuación
y − k = 4x(x − h) se tiene
y − 0 = 4 · 4(x − 0)2 =⇒ y = 16x2
2. La ecuación de la parábola que tiene vértice en el origen, por eje de simetría al eje x y que pasa
por el punto (−3, 6) se halla de la siguiente forma.
Si el vértice está en el origen, entonces h = k = 0, como el eje está sobre el eje x, el foco tiene
coordenadas (a, 0). Con estos datos, la ecuación es de la forma
y2 = 4ax
Para hallar el valor de a se usa la hipótesis de que la curva pasa por el punto (−3, 6). Al
reemplazar en la última ecuación
62 = 4a · (−3) =⇒ a = −3
En consecuencia, la ecuación buscada es y2 = −12x.
3. La ecuación de la parábola con vértice en el origen, que se abre hacia la derecha y cuyo lado
recto mide 12, se halla como sigue;
Si el vértice está en el origen, h = k = 0, y se abre hacia la derecha, entonces la ecuación tiene la
forma
x = 4ay2
Como el lado recto es 4a = 12, entonces a = 3. Se sigue que la ecuación buscada es
x = 12y2
Ecuación general
Las cuatro ecuaciones de parábolas generalizadas son reducibles a la llamada ecuación general de
segundo grado. En efecto, si se considera la ecuación canónica de la parábola
(y − k)2 = 4p(x − h)
7.7 Las cónicas
451
Al desarrollarla se llega a
y2 − 4px − 2ky + k2 + 4ph = 0
Si se efectúan los siguientes cambios:
D = −4p, E = −2k, F = k2 + 4ph
la ecuación queda como:
y2 + Dx + Ey + F = 0
que es la ecuación general de la parábola con eje de simetría paralelo al eje x.
De manera análoga, si se considera la ecuación
(x − h)2 = 4p(y − k)
se obtiene
x2 + Dx + Ey + F = 0
que es la ecuación general de la parábola con eje de simetría paralelo al eje y.
Para efectos de graficar una parábola, el primer paso es conocer el vértice. Si se da la ecuación de la
parábola, la completación de cuadrados permite determinar el vértice. Vemos esto a continuación.
Ejemplo 7.7.6 Determinar; vértice, focos, directriz, longitud del lado recto de la parábola y2 + 8x −
6y + 25 = 0.
Lo primero es completar cuadrados
y2 + 8x − 6y + 25 = 0 =⇒ (y − 3)2 + 8x + 16 = 0
Se escribe en la forma
(y − 3)2 = −8(x + 2)
Al comparar con
(y − k)2 = 4a(x − h)
se deduce que; a = −2, h = −2, k = 3 Como el lado recto mide 4a, entonces L = | − 8| = 8. La gráfica
de esta parábola se muestra en la figura 7.23
Figura 7.23
Figura 7.24
Capítulo 7. Geometría Analítica
452
Ejemplo 7.7.7 Identificar vértice, focos y directriz de la parábola y2 + 8x − 16 = 0
A partir de la completación de cuadrados
y2 + 8x − 16 = 0 =⇒ y2 = −8(x − 2)
se observa que a = 2, h = 2, k = 0. Así, el vértice es V (2, 0), el foco F(0, 0), la directriz x = 4. La
figura 7.24 muestra la gráfica de esta parábola.
Ejemplo 7.7.8 Encontrar la ecuación de la parábola cuyo eje principal es paralelo al eje y y pasa por
los puntos (1, 1), (−2, −11), (3, −1).
La ecuación general de la parábola de eje paralelo al eje y tiene la forma
x2 + Dx + Ey + F = 0
Los puntos por los cuales esta parábola pasa, permiten determinar las constantes D, E y F. Se tiene el
siguiente sistema:
1+D+E +F = 0
4 − 2D − 11E + F = 0
9 + 3D − E + F = 0
Al resolver se halla que; D = −3, E = F = 1. Con esto, la ecuación buscada de la parábola es
5
3
(x − )2 = −(y − )
2
4
El vértice es el punto ( 32 , 54 ), a = − 41 .
Actividad 244 Completar cuadrados, identificar el vértice y graficar las siguientes parábolas:
1. x2 + 8y − 2x + 7
2. y2 − 10x − 2y + 21 = 0
7.7.4
La elipse
Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos
P del plano, tales que la suma de sus distancias a dos
puntos fijos en el plano es constante. Los puntos fijos
F1 y F2 se llaman focos.
Para visualizar esta definición es suficiente con imaginar que en los focos se encuentran dos clavos y
atado a éstos un trozo de cuerda. Al ir moviendo otro
objeto que tense la cuerda, su trazo irá dibujando una
elipse tal como se puede ver en la figura 7.25.
3. 4x2 − 20x − 24y + 97 = 0
4. y2 − 4x + 6y + 13 = 0
Figura 7.25
7.7 Las cónicas
453
Ecuación 1
Sean F1 (c, 0) y F2 (−c, 0) los puntos fijos, a > c, y P(x, y) punto arbitrario sobre la Elipse. De acuerdo
con la definición y con ayuda de la figura 7.26a se tiene que
d(P, F1 ) + d(P, F2 ) = 2a
al desarrollar
q
q
(x + c)2 + y2 + (x − c)2 + y2 = 2a
q
q
(x + c)2 + y2 = 2a − (x − c)2 + y2
q
(x + c)2 + y2 = 4a2 − 4a (x − c)2 + y2 + (x − c)2 + y2
q
cx − a2 = −a (x − c)2 + y2 /()2
x2 (a2 − c2 ) + a2 y2 = a2 (a2 − c2 )
Como a > c =⇒ a2 − c2 = b2 > 0, entonces, después de dividir por a2 b2
x2 y2
+ =1
a2 b2
Observamos que, como la ecuación contiene potencias pares de x e y, entonces la curva es simétrica
respecto de los ejes coordenados y del origen (centro de la elipse). Los ejes de simetría se llaman eje
mayor y menor, respectivamente. Los puntos en los cuales la elipse corta al eje mayor, se denominan
vértices.
Figura 7.26
Ecuación 2
Sean F1 (0, c) y F2 (0, −c) los puntos fijos, a > c, y P(x, y) punto arbitrario sobre la elipse. De manera
análoga a la empleada en la obtención de la ecuación 1. Se tiene
x2 y2
+ =1
b2 a2
Capítulo 7. Geometría Analítica
454
Ejemplo 7.7.9 Hallar ecuación de la elipse de vértices V1 (5, 0) y V2 (−5, 0), focos en F1 (4, 0), F2 (−4, 0).
De la lectura del problema se deduce que el centro está en (0, 0) y que a = 5. Además, por como están
dados los focos, c = 4 y la elipse tiene eje mayor sobre el eje x. Para determinar b se usa a2 − c2 = b2 ,
de lo cual b = 3. Se concluye que la ecuación de la elipse (figura 7.27a) es
x 2 y2
+ =1
25 9
Ejemplo 7.7.10 Hallar la ecuación de la elipse que tiene focos F1 (0, 3), y F2 (0, −3), y uno de sus
vértice es el punto V (0, 5).
Los focos permiten darse cuenta que el centro de la elipse está en (0, 0). Se deduce, además, que el
eje mayor está sobre el de ordenadas, por lo cual la elipse es vertical. Los datos obtenidos son; c = 3
y a = 5. Hallamos b usando a2 − c2 = b2 . Se tiene que b = 4. La figura 7.27b muestra la elipse, cuya
ecuación es
x 2 y2
+
=1
16 25
Figura 7.27
Generalizaciones
Ecuación 1
A partir de la ecuación de la elipse en forma ordinaria con centro en el origen C(0, 0) y eje focal
coincidiendo con el eje x
x2 y2
+ =1
a2 b2
se tiene la siguiente propiedad fundamental:
x2
(Distancia de un punto cualquiera de la elipse al semieje menor)2
=
a2
(Magnitud del semieje mayor)2
y2
(Distancia de un punto cualquiera de la elipse al semieje mayor)2
=
b2
(Magnitud del semieje menor)2
Aplicando esta propiedad de la elipse y mirando la figura 7.28a, la ecuación de esta elipse es
7.7 Las cónicas
455
(PM)2 (PN)2
+
=1
a2
b2
como PM = x − h y PN = y − k, entonces la ecuación resulta ser
(x − h)2 (y − k)2
+
=1
a2
b2
Figura 7.28
Ecuación 2
Si el centro de la elipse es el punto (h, k), y el eje mayor sigue la dirección del eje y, entonces la
ecuación de la elipse es
(x − h)2 (y − k)2
+
=1
b2
a2
Aplicando la propiedad fundamental de la elipse y mirando la figura 7.28b, la ecuación de esta elipse es
(PM)2 (PN)2
+
=1
a2
b2
como PM = y − k y PN = x − h, entonces la ecuación resulta ser
(y − k)2 (x − h)2
+
=1
a2
b2
Ejemplo 7.7.11 Hallar la ecuación de la elipse de focos F1 (2, 4), F2 (2, −4) y un vértice en V (2, 6).
De la posición de los focos se deduce que el eje mayor de la elipse está sobre la recta x = 2 (figura
7.29a), de modo que la ecuación general tiene la forma
(y − k)2 (x − h)2
+
=1
a2
b2
El punto medio entre los focos es (2, 0), así que el centro de la elipse es C(0, 0). La distancia√centro
vértice es a = 6, y la distancia centro foco es c = 4. Utilizando a2 − c2 = b2 se tiene que b = 2 5. En
consecuencia, la ecuación buscada es
y2 (x − 2)2
+
=1
36
20
Capítulo 7. Geometría Analítica
456
Figura 7.29
Ejemplo 7.7.12 Dada la ecuación de la elipse x2 + 4y2 + 2x − 12y + 2 = 0 hallar sus elementos y
bosquejar su gráfica.
Para este tipo de problemas, se debe completar cuadrados
3
x2 + 4y2 + 2x − 12y + 2 = 0 =⇒ (x + 1)2 + 4(y − )2 = 8
2
Para tener la ecuación en la forma ordinaria se debe dividir por 8. Se tiene
(x + 1)2 (y − 23 )2
+
=1
8
2
A partir de esta ecuación se deduce que; el centro es C(−1, 32 ), a2 = 8, b2 = 4, a2 − c2 = b2 =⇒ c = 2.
Su gráfica en la figura 7.29b
Excentricidad de la elipse
La excentricidad de una elipse es la que determina la forma de esta curva, la razón constante ac = e,
llamada excentricidad, señala que tan abierta o cerrada es la elipse.
Si e = 0 y a 6= 0, entonces c = 0 y como b2 = a2 − c2 , se tiene que a = b. Esto indica que los
dos focos coinciden con el centro de la elipse y la ecuación se convierte en una circunferencia de
centro el origen y radio r = a.
2
2
Si e = 1 entonces a = c y por lo tanto b2 = a2 − c2 = 0, por lo que b = 0 y la ecuación xa + by2 = 1
no se puede aplicar y la gráfica de la elipse degenera en el segmento de recta que conecta los
focos.
Dado que a > c, entonces e < 1.
En consecuencia, hay elipse real si la excentricidad varía dentro del intervalo 0 < e < 1.
Ejemplo 7.7.13 Hallar la ecuación de la elipse de vértices V1 (1, 3), V2 (−5, 3), y excentricidad e = 23 .
De los vértices se deduce que la elipse tiene eje mayor y = 3, de modo que su ecuación es de la forma
(y − k)2 (x − h)2
+
=1
a2
b2
El punto medio de los vértices proporciona el centro, que resulta ser (−2, 3). La distancia centro vértice
es a = 3. De la hipótesis que entrega la excentricidad, ac = 23 se halla que c = 23 a = 2. De la ecuación
7.7 Las cónicas
457
a2 − c2 = b2 se encuentra b =
√
5. En consecuencia, la ecuación buscada es
(y − 3)2 (x + 2)2
+
=1
9
5
7.7.5
Ecuación general de la elipse
Veamos como se relacionan estas ecuaciones con la forma general de la ecuación de segundo grado que
define las cónicas.
Si desarrollamos la ecuación
(x − h)2 (y − k)2
+
=1
a2
b2
se obtiene
b2 x2 + a2 y2 − 2b2 hx + −2a2 ky + b2 h2 + a2 k2 − a2 b2 = 0
Con los cambios
A = b2 ,C = a2 , D = −2b2 h, E = −2a2 k, F = b2 h2 + a2 k2 − a2 b2
La expresión resultante es:
Ax2 +Cy2 + Dx + Ey + F = 0
De manera análoga, al desarrollar la ecuación
(x − h)2 (y − k)2
+
=1
b2
a2
se llega a
a2 x2 + b2 y2 − 2a2 hx − 2b2 ky + b2 k2 + a2 h2 − a2 b2 = 0
Con los cambios
A = a2 ,C = b2 , D = −2a2 h, E = −2b2 k, F = a2 h2 + b2 k2 − a2 b2
se obtiene la forma general
Ax2 +Cy2 + Dx + Ey + F = 0
Para graficar la elipse y determinar su posición en el plano, se debe conocer el punto (h, k), que es el
centro de la elipse, y los vértices, que son los puntos en que la elipse corta a las dos rectas que son sus
ejes de simetría.
Actividad 245 Completar cuadrados, identificar el vértice y graficar las siguientes elipses:
1.
2.
3.
4.
4x2 + 3y2 − 8x + 12y + 15 = 0
9x2 + 5y2 − 18x − 40y + 44 = 0
3x2 + 16y2 − 48 = 0
4x2 + 9y2 − 8x − 18y − 23 = 0
Capítulo 7. Geometría Analítica
458
7.7.6
La Hipérbola
Una hiperbola se define como el lugar geométrico de los puntos del plano en el que la diferencia de
distancias a dos puntos fijos denominados focos, F1 y F2 , es una constante igual a 2a, siendo esta
constante menor que la distancia entre los focos llamada 2c.
Ecuación 1
Para hallar la ecuación de la hipérbola, ubicamos el origen de coordenadas en el punto medio entre los
dos focos, y el eje x sobre la recta que pasa por los focos, (figura 7.30a). Si representamos por 2c la
distancia entre los focos, las coordenadas de los mismos son F1 (c, 0) y F2 (−c, 0).
Figura 7.30
A partir de la definición planteamos:
d(P, F2 ) − d(P, F1 ) = 2a
o bien:
d(P, F2 ) − d(P, F1 ) = −2a
dependiendo si el punto P(x, y) se encuentra ubicado a la derecha o a la izquierda del eje y. Combinamos
las dos ecuaciones:
q
q
2
2
(x + c) + y − (x − c)2 + y2 = ±2a
q
q
2
2
(x + c) + y = ±2a + (x − c)2 + y2 /()2
q
2
2
2
(x + c) + y = 4a ± 4a (x − c)2 + y2 + (x − c)2 + y2
q
2
cx − a = ±a (x − c)2 + y2 /()2
x2 (c2 − a2 ) − a2 y2 = a2 (c2 − a2 )
En el triángulo F2 PF1 de la figura 7.30a, la longitud de un lado es 2c, en tanto que la diferencia de
las longitudes de los otros dos lados es 2a. Por ello resulta c > a con lo que c2 − a2 > 0. Haciendo
b2 = c2 − a2 , la última expresión obtenida puede escribirse como:
x2 b2 − a2 y2 = a2 b2
7.7 Las cónicas
459
al dividir por a2 b2 , queda
x2 y2
− =1
a2 b2
Es así que la hipérbola consta de dos ramas. Los puntos (a, 0) y (−a, 0) se denominan vértices de la
hipérbola y el segmento entre ambos se llama eje real o transversal (figura 7.30b). El eje imaginario,
es el segmento entre los puntos (0, b) y (0, −b). El punto de intersección de ambos ejes es el centro de
2
la hipérbola. La cuerda focal perpendicular al eje focal se denomina lado recto, de longitud Lr = 2ba .
Excentricidad de la hipérbola
Para cualquier hipérbola, a la relación que existe entre c y a se le conoce como su excentricidad y se
denota con la letra e, de modo que
c
e=
a
Como el valor de c (foco) es más grande que el a (vértice), siempre se cumple que e > 1.
Ejemplo 7.7.14 Se sabe que una hipérbola tiene un foco en F1 (10, 0) y un vértice en V2 (−8, 0),
determinar centro, el otro foco, el vértice restante, y la longitud del lado recto. Graficar la hipérbola.
De la posición de foco y vértice dados, se deduce que la ecuación de la hipérbola es del tipo
x2 y2
− =1
a2 b2
El centro de esta hipérbola se encuentra en el punto (0, 0). El valor de c = 10 y a = 8. De modo que las
coordenadas del segundo vértice son V1 (8, 0) y las del foco F2 (−10, 0). Para hallar b se usa la expresión
c2 − a2 = b2 , de donde b = 6. En consecuencia, la ecuación de la hipérbola resulta ser
x 2 y2
−
=1
64 36
El lado recto mide Lr = 2 · 36
8 = 9, y la excentricidad e =
10
8
= 54 . Figura 7.31a.
Figura 7.31
Ecuación 2
Sean F1 (0,c) y F2 (0,-c) puntos fijos, a < c, P(x, y) punto arbitrario sobre la hipérbola (figura 7.31b).
Con un procedimiento análogo al anterior se obtiene
y2 x 2
− =1
a2 b2
Capítulo 7. Geometría Analítica
460
Generalizaciones
Las ideas anteriores se generalizan como sigue
1. Si el centro de la hipérbola es el punto (h, k) que es el origen del sistema coordenado x 0 y 0 , y el
eje real sigue la dirección del eje x 0 , entonces la ecuación de tal hipérbola es
x 02 y 02
− 2 =1
a2
b
teniendo en cuenta las fórmulas de traslación:
x0 = x−h
y
y0 = y−k
y sustituyendo en la ecuación anterior se tiene que
(x − h)2 (y − k)2
−
=1
a2
b2
es la ecuación ordinaria de la hipérbola horizontal con centro en C(h, k), de semieje real a y de
semieje imaginario b. La figura 7.32a ilustra este caso:
Figura 7.32
2. Si el centro de la hipérbola vertical es el punto (h, k), que es el origen del sistema coordenado
x 0 y 0 , y sigue la dirección del eje y (figura 7.32b), entonces la ecuación de la hipérbola es
y 02 x 02
− 2 =1
a2
b
teniendo en cuenta las fórmulas de traslación:
x0 = x−h
y
y0 = y−k
y sustituyendo en la ecuación anterior se tiene que
(y − k)2 (x − h)2
−
=1
a2
b2
es la ecuación ordinaria de la hipérbola vertical con centro en C(h, k), de semieje real a y de
semieje imaginario b. La figura 7.32b ilustra este caso:
7.7 Las cónicas
461
Ejemplo 7.7.15 Hallar la ecuación de la hipérbola de vértices V1 (5, 1) y V2 (5, 7), si la longitud de su
lado recto es 83 .
Al leer la ubicación de los vértices se deduce que tal hipérbola es vertical (figura 7.33a). Así, su
ecuación tiene la forma:
(y − k)2 (x − h)2
−
=1
a2
b2
El centro se encuentra en el punto medio de los vértices, de modo que C(h, k) = C(5, 4). La distancia
2
centro vértice es a = 3. Ahora hacemos uso de la medida del lado recto, a saber; Lr = 2 ba = 83 , de lo
√
cual se obtiene el valor de b = 2. Para encontrar c usamos c2 − a2 = b2 , de lo√
cual c = 13. Con
√ estos
datos los vértices están en (5, 7) y (5, 1). Los focos se localizan en F(5, 4 + 3) y F(5, 4 − 13). La
ecuación buscada es
(y − 4)2 (x − 5)2
−
=1
9
4
Figura 7.33
Ejemplo 7.7.16 Determinar la ecuación de la hipérbola horizontal cuyo semieje real es igual a seis, el
semieje imaginario es cinco, y su centro está en (3, −4).
De la hipótesis la ecuación de esta hipérbola (figura 7.33b) tiene la forma
(x − h)2 (y − k)2
−
=1
a2
b2
De los datos entregados tenemos C(h, k) = (3, −4). Si el semieje real es 6, entonces a = √
6. De igual
forma, si el eje imaginario es 5, entonces√b = 5. Usando c2 − a2 = b2 se halla que c = 61, de tal
manera que los focos se ubican en F(3 ± 61, −4). La ecuación de la hipérbola es
(x − 3)2 (y + 4)2
−
=1
36
25
Capítulo 7. Geometría Analítica
462
7.7.7
Ecuación general
Veamos como se relacionan estas ecuaciones con la forma general de la ecuación de segundo grado que
define las cónicas.
Si desarrollamos la ecuación
(x − h)2 (y − k)2
−
=1
a2
b2
se obtiene
b2 x2 − a2 y2 − 2b2 hx + 2a2 ky + b2 h2 − a2 k2 − a2 b2 = 0
Con los cambios;
A = b2 ,C = a2 , D = −2b2 h, E = 2a2 k, F = b2 h2 − a2 k2 − a2 b2
La expresión resultante es:
Ax2 −Cy2 + Dx + Ey + F = 0
De manera análoga, al desarrollar la ecuación
(y − k)2 (x − h)2
−
=1
a2
b2
se llega a
−a2 x2 + b2 y2 + 2a2 hx − 2b2 ky + b2 k2 − a2 h2 − a2 b2 = 0
Con los cambios
A = a2 ,C = b2 , D = 2a2 h, E = −2b2 k, F = −a2 h2 + b2 k2 − a2 b2
se obtiene la forma general
−Ax2 +Cy2 + Dx + Ey + F = 0
Actividad 246 Completar cuadrados, identificar el vértice y graficar las siguientes hipérbolas:
1.
2.
3.
4.
25x2 − 9y2 − 225 = 0
x2 − y2 − 4x − 4y − 400 = 0
4x2 − 9y2 + 8x − 54y − 113 = 0
−x2 + y2 − 6x − 14y + 39 = 0
7.7 Las cónicas
7.7.8
463
Asíntotas de la hipérbola
Las asíntotas son rectas a las que se aproxima la gráfica cuando x se hace muy grande y/o muy pequeña.
Toda hipérbola tiene dos asíntotas que pasan por el centro de la hipérbola y por los vértices del
rectángulo imaginario que muestra la figura 7.34. Además, puede observarse las diagonales extendidas
del rectángulo de lados 2a y 2b. Es posible demostrar que la distancia perpendicular de cada diagonal
extendida a la curva, tiende a cero a medida que la curva se aleja indefinidamente del origen. Por lo
tanto cada diagonal extendida es una asíntota de la hipérbola.
Las ecuaciones de las asíntotas para la hipérbola con eje focal coincidente con el eje x son:
b
y= x
a
y=−
b
a
esto se obtiene de sacar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos; el (0, 0) y (a, b).
Figura 7.34
Asíntotas de hipérbola de centro (h, k)
Al observar la figura 7.34b, las ecuaciones de las asíntototas se obtienen al aplicar la ecuación por dos
puntos de la recta. En efecto, si el centro es (h, k) y el vértice del rectángulo es (h + a, k + b), entonces
la pendiente de la recta por estos dos puntos es
m=
b
a
Luego, la ecuación de la asíntota derecha es
b
y − k = (x − h)
a
la asíntota izquierda tiene por ecuación
b
y − k = − (x − h)
a
Si el eje real es paralelo al eje y, y el centro es (h, k), entonces las ecuaciones de las asíntotas son:
a
y − k = ± (x − h)
b
Capítulo 7. Geometría Analítica
464
Ejemplo 7.7.17 La ecuación general de una hipérbola es 4x2 − 9y2 − 16x − 18y − 29 = 0. Hallar centro,
vértices, focos, longitud del lado recto y asíntotas. Dibujar.
Completar cuadrados es la primera acción a realizar.
4x2 − 9y2 − 16x − 18y − 29 = 0 =⇒ 4(x − 2)2 − 9(y + 1)2 = 36
Se dividen ambos lados de la igualdad entre 36
(x − 2)2 (y + 1)2
−
=1
9
4
Esta ecuación
nos muestra que la hipérbola es de tipo horizontal. Se deducen;
√
√ h = 2, k = −1, a√= 3, b =
2, c = 13. Así, los vértices son V1 (5, −1), V2 (−1, −1), los focos F1 (2 + 13, −1), F2 (2 − 13, −1).
Respecto de las asíntotas, sus ecuaciones son:
2
y + 1 = ± (x − 2)
3
La figura 7.35a muestra la hipérbola.
Figura 7.35
Ejemplo 7.7.18 Hallar las coordenadas de los vértices y focos, y las ecuaciones de las asíntotas de la
hipérbola 25y2 − 50y2 − 9x2 − 36x = 236. Esbozar su gráfica.
Al completar cuadrados y reducir a forma canónica se tiene que la ecuación es equivalente a:
(y − 1)2 (x + 2)2
−
=1
9
25
√
de lo cual se deduce que: a = 3, b = 5, c = 34, h = −2, k = 1. Con esto, el√
centro es C(−2, 1),
√ los
vértices son V1 (−2, 4) y V2 (−2, −2). Los focos tienen coordenadas F1 (−2, 1 + 34), F2 (−2, 1 − 34).
Las ecuaciones de las asíntotas son;
3
y − 1 = ± (x + 2)
5
La figura 7.35b muestra la hipérbola.
7.7 Las cónicas
7.7.9
465
Hipérbola equilátera
Se llama
√ equilátera a aquella hipérbola en la cual a = b (figura 7.36a). Se sigue que la excentricidad es
e = 2. Su ecuación es
x2 − y2 = a2
En este caso las asíntotas son y = ±x.
Figura 7.36
Si se hace un giro de 45◦ alrededor del origen (figura 7.36b) los ejes x e y coinciden con
las asíntotas de la hipérbola. En este caso, la
ecuación resulta ser:
xy =
Si se hace
a2
2
a2
2
= k, entonces
xy = k
Figura 7.37
Actividad 247 Las ecuaciones x2 − y2 = 1 y y2 − x2 = 1 son hipérbolas equiláteras. Su gráfica en la
figura 7.37.
Actividad 248 Clasificar las cónicas que tienen las siguientes ecuaciones. Graficarlas:
1.
2.
3.
4.
x2 + y2 + 2x + 2y + 1 = 0
2x2 + 2y2 − 4x + 4y + 19 = 0
x2 + 4y2 = 100
8x2 − 3y2 = 120
5.
6.
7.
8.
y2 = 36x
x = −3y2 + y + 5
xy = 4
xy = −9
Capítulo 7. Geometría Analítica
466
7.8
Transformación de coordenadas
En diversas ramas de la Matemática, como así también en Física e Ingeniería, resulta muy importante,
elegir el sistema de coordenadas adecuado, que simplifique al máximo las ecuaciones que resulten
involucradas a objeto de optimizar el tiempo de resolución. En el sistema de coordenadas cartesianas
del plano, el procedimiento adecuado consiste en usar una transformación de coordenadas, que para
los fines inmediatos, consideramos reducido a dos movimientos; uno de rotación y otro de traslación.
Cabe mencionar que un sistema alternativo de coordenadas lo constituye el sistema de coordenadas
polares, que más adelante tendremos ocasión de estudiar.
Figura 7.38
Traslación
Sean x e y los ejes primitivos, u y v los nuevos ejes, paralelos a los anteriores (figura 7.38b). Sean (h, k)
las coordenadas del nuevo origen con respecto del sistema inicial. Consideremos además, un punto P de
coordenadas (x, y) en los ejes primitivos, y coordenadas (u, v) en los nuevos ejes. Vamos a determinar x
e y en función de u, v, h, k. La figura 7.38 permite observar que
x = MP = MM 0 + M 0 P = h + u
y = NP = NN 0 + N 0 P = k + v
De aquí que las ecuaciones de traslación sean
x = h + u,
y = k+v
Rotación
Sean x e y los ejes primitivos, u y v los nuevos. El origen es común a ambos sistemas. Sea θ el
ángulo x0u de rotación. Consideremos además el punto P de coordenadas (x, y) en los ejes primitivos y
coordenadas (u, v) en los nuevos. Vamos a determinar x e y en función de u, v, θ . Considerando los
triángulos ONN 0 y M 0 N 0 P, se tiene
x = OM = ON − MN = u cos θ − v sen θ
y = MP = MM 0 + M 0 P = u sen θ + v cos θ
de aquí que las ecuaciones de rotación son
x = u cos θ − v sen θ
y = u sen θ + v cos θ
7.8 Transformación de coordenadas
467
Por lo general, lo que se pretende con una rotación de coordenadas es eliminar el término xy, con el fin
de identificar el lugar geométrico en la ecuación de segundo grado Ax2 + Bxy +Cy2 + Dx + Ey + F = 0.
Ejemplo 7.8.1 Hallemos la nueva ecuación de la curva 2x2 + 3y2 − 8x + 6y = 7, cuando se traslada el
origen de coordenadas al punto (2, −1).
Solución
Usando las ecuaciones de traslación hallamos que
x = h + u =⇒ x = u + 2
y = k + v =⇒ y = v − 1
al sustituir en la ecuación original tenemos
2(u + 2)2 + 3(v − 1)2 − 8(u + 2) + 6(v − 1) = 7
lo que desarrollado equivale a
2u2 + 8u + 8 + 3v2 − 6v + 3 − 8u − 16 + 6v − 6 = 7
y que al simplificar y escribir en forma canónica, resulta una elipse
u2 v2
+ =1
9
6
el ángulo, de rotación de ejes, necesario para eliminar el término en xy en la
Ejemplo 7.8.2 Hallemos
√
ecuación 7x2 − 6 3xy + 13y2 = 16.
Solución
Hacemos los reemplazos en las ecuaciones de rotación
x = u cos θ − v sen θ
y = u sen θ + v cos θ
cada término de la ecuación original tiene la siguiente equivalencia
7x2 = 7(u cos θ − v sen θ )2
√
√
6 3 xy = 6 3(u cos θ − v sen θ )(u sen θ + v cos θ )
13y2 = 13(u sen θ + v cos θ )2
Al reemplazar esto en la ecuación dada se tiene
√
√
√
7(cos2 θ −6 3 sen θ cos θ +13 sen2 θ )·u2 +(12 sen θ cos θ −6 3 cos 2θ )·u v+(7 sen2 θ +6 3 sen θ cos θ +13 cos2 θ )·
Para eliminar el término en xy, igualamos a cero el coeficiente de uv, es decir
√
12 sen θ cos θ − 6 3 cos 2θ = 0
Capítulo 7. Geometría Analítica
468
O bien
√
6 sen 2θ − 6 3 cos 2θ = 0
√
de donde, tg 2θ = 3, y de aquí, 2θ = π/3, es decir, θ = π/6 = 30◦ . Ahora, se sustituye este ángulo
en la ecuación anterior, y se tiene la elipse
u2 + 4v2 = 4
Observación. Se puede probar, que el ángulo en que debe rotarse los ejes coordenados, para eliminar
el término xy en la ecuación general de segundo grado, Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, viene
dado por
B
tg 2θ =
A −C
7.9
Problemas Propuestos
Ecuaciones lineales
√
74. Hallar la ordenada del punto.
Resp. -2 y 8
Si dos vértices de un triángulo equilátero son los puntos (−4, 3) y (0, 0). Hallar el tercer vértice.
3√ 3 √
Resp. (−2 ±
3, ± 3)
2
2
Hallar las coordenadas de tres puntos que dividen al segmento de recta AB en cuatro partes
iguales si A = (−5, 3), B = (6, 9).
9 9
1
13 5
Resp (− , ), ( , 6), ( , )
4 2
2
4 2
Encontrar una ecuación cuya gráfica consista de todos los puntos equidistantes de los puntos
(−1, 2) y (3, 4). Representar gráficamente la ecuación.
Resp. 2x+y-5=0
Hallar las coordenadas del cuarto vértice de un rectángulo, tres de cuyos vértices son (−2, −2),
(3, −2), (3, 5).
Resp. (−2, 5)
Hallar las coordenadas del punto que se encuentra a 2/3 del camino entre (−2, 5) y (1, −1).
4 13
Resp. (− , )
5 5
En cada uno de los casos siguientes, hallar la ecuación de la recta que satisfaga las condiciones
dadas
a) La pendiente es 4 y pasa por el punto (2, −3).
Resp. y − 4x + 11 = 0
b) Pasa por los puntos (3, 19) y (−5, 4).
Resp. 8y − 15x − 107 = 0
c) Pasa por el punto (−3, −4) y es paralela al eje x.
Resp. y + 4 = 0
d) Pasa por el punto (1,-7) y es paralela al eje y.
Resp. x − 1 = 0
e) Pasa por el punto (1, 4) y es paralela a la recta 2x − 5y = −7.
Resp. 5y − 2x − 18 = 0
f) Pasa por el punto (1, −3) y es perpendicular a la recta 2y − 3x − 4 = 0. Resp. 3y + 2x + 7 = 0
Comprobar que los puntos (4, 1), (1, 2), (−5, 4) son colineales.
Las ecuaciones de los lados de un triángulo son 5x−7y+27 = 0, 9x−2y−15 = 0, 4x+5y+11 =
0. Determinar si el triángulo es equilátero, isósceles o escaleno.
Resp. escaleno
◦
Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45 . La recta inicial pasa por los puntos (−2, 1) y
(9, 7). La recta final pasa por el punto (3, 9) y por el punto A de abscisa −2. Hallar la ordenada
de A.
Resp. 4
Demostrar que los puntos (2, 5), (8, −1), (−2, 1) son vértices de un triángulo rectángulo.
1. La abscisa de un punto es −6, y su distancia al punto (1, 3) es
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
7.9 Problemas Propuestos
469
12. Demostrar que los puntos (2, 4), (7, 3), (6, −2), (1, −1) son los vértices de un cuadrado, y que
sus diagonales son perpendiculares y se dividen mutuamente en partes iguales.
13. Demostrar que los puntos (2, 2), (5, 6), (9, 9), (6, 5) son los vértices de un rombo, y que sus
diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio.
14. Hallar k para que la recta kx + (k − 1)y − 18 = 0 sea paralela a la recta 4x + 3y + 7 = 0.
Resp. 4/7
15. Determinar el valor de k para que la recta kx + (k + 1)y + 3 = 0 sea perpendicular a la recta
2x − 7y + 2 = 0.
Resp. −7/5
16. Determinar el valor de k para la recta 4x + 5y + k = 0 forme con los ejes coordenados un triángulo
rectángulo de área 5/2.
Resp. −10
17. Hallar los valores de a y b para que las ecuaciones ax + (2 − b)y − 23 = 0, (a − 1)x + by + 15 = 0
representen rectas que pasen por el punto (2, −3).
Resp. a = 4, b = 7
18. Demostrar que las rectas 5x − y − 6 = 0, x + 5y − 22 = 0, 5x − y − 32 = 0, x + 5y + 4 = 0 forman
un cuadrado.
19. Hallar el valor de la constante k para que la recta 3x − ky − 8 = 0 forme un ángulo de 45◦ con la
recta 2x + 5y − 17 = 0.
Resp. 3
20. Hallar la ecuación de la recta de abscisa en el origen −3/7 y que es perpendicular a la recta
3x + 4y − 10 = 0.
Resp. 21y − 28x − 12 = 0
21. Una recta
es
tangente
a
un
círculo
de
centro
en
el
origen
y
radio
3.
Si
el punto√de tangencia es
√
(2, − 5), hallar la ecuación de la tangente.
Resp. y 5 − 2x +√
9=0
22. Hallar el valor de k para que la distancia del origen a la recta x + ky − 7 = 0 sea 2.Resp. ±3 √
5/2
23. Hallar la distancia del origen a la recta 2x − 3y + 9 = 0.
Resp. 9/ 13
24. Hallar la forma normal de la recta que pasa por los puntos (−1, 7) y (4, 2).
25. Hallar la forma normal de la recta que es paralela a la recta x − 5y + 11 = 0 y que pasa por el
punto (−7, 2).
26. Hallar la forma normal de la recta que es perpendicular a la recta 2x − 3y + 7 = 0 y determina
sobre el eje x el segmento −9.
27. Hallar la distancia de la recta 4x − 5y + 10 = 0 al punto (2, −3).
28. Hallar la distancia dirigida de la recta x + 2y + 7 = 0 al punto (1, 4).
29. Hallar la distancia comprendida entre las rectas paralelas 3x − 4y + 8 = 0 y 6x − 8y + 9 = 0.
30. Hallar k en la recta kx + 3y − 1 = 0 para que su distancia dirigida al punto (2, −2) sea −1.
31. Hallar la ecuación
de la recta que pasa por (3, 1) y tal que la distancia de esta recta al punto
√
(−1, 1) es 2 2.
32. Hallar dos puntos en la recta 5x-y+15=0 cuya distancia a la 3x + 4y − 12 = 0 sea 3.
33. Escribir la ecuación de la familia de rectas que son paralelas a la recta 2x − 7y + 2 = 0.
34. Escribir la ecuación de la familia de rectas que son perpendiculares a la recta 3x + 2y + 7 = 0.
35. Un cuadrado de lado 2a tiene por centro el origen de coordenadas, y sus lados son paralelos a los
ejes coordenados. Hallar las coordenadas de sus cuatro vértices.
36. Si tres vértices de un rectángulo son los puntos (2, −1), (7, −1), y (7, 3). Hallar el cuarto vértice
y el área del rectángulo.
37. Los vértices de un triángulo rectángulo son los puntos (1, −2), (4, −2), (4, 2). Hallar la longitud
de los catetos y de la hipotenusa, y el área del triángulo.
38. Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud 5 es el punto (3, −2). Si la abscisa
del otro extremo es 6 hallar su ordenada.
39. Hallar la ecuación del lugar geométrico en el que cualquier punto (x, y) equidista de los puntos
(−2, 3) y (6, −3).
470
Capítulo 7. Geometría Analítica
40. Uno de los extremos de un segmento es el punto (7, 8). Si el punto medio del segmento es el
punto (4, 3) hallar el otro extremo.
41. Los extremos de un segmento son los puntos P(7, 4) y Q(−1, −4). Hallar la razón PR/RQ en
que el punto (1, −2) divide al segmento.
42. Los puntos medios de los lados de un triángulo son los puntos (2, 5), (4, 2), (1, 1). Hallar las
coordenadas de los tres vértices.
43. Los vértices de un triángulo son A(−1, 3), B(3, 5), C(7, −1). Si D es el punto medio del lado AB,
y E el punto medio del lado BC, demostrar que la longitud del segmento DE es la mitad de la
longitud del lado AC.
44. Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (−3, 2), (7, −3).
45. Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3, 2). Si la abscisa de otro punto de la recta es 4,
hallar la ordenada del punto.
46. Una recta de pendiente −2 pasa por el punto (2, 7) y por los puntos A y B. Si la ordenada de A es
3 y la abscisa de B es 6, hallar la abscisa de A y la ordenada de B.
Ecuaciones cuadráticas
Circunferencia
1. Hallar el valor de la constante k para que la ecuación x2 + y2 -8x+10y+k=0 represente una
circunferencia de radio 7.
2. En cada caso siguiente, hallar una ecuación de circunferencia que satisfaga las condiciones dadas:
a) Centro (1, 2) y pasando por el punto (3, −1)
b) Centro (−2, 5) y tangente a la recta y = −3
c) Centro (−3, −5) y tangente a la recta 12x + 5y − 4 = 0
d) Pasa por los puntos (5, 3), (6, 2) y (3, −1)
e) Pasa por el punto (7, −5) y el centro es el punto de intersección de las rectas 7x − 9y − 10 = 0
y 2x − 5y + 2 = 0.
f) tangente a la recta 3x + y + 2 = 0 en (−1, 1) y pasa por (3, 5).
g) Centro sobre el eje x y pasa por los puntos (1, 3) y (4, 6)
h) Pasa por los puntos (−3, 3) y (1, 4) y centro sobre la recta 3x − 2y − 23 = 0.
3. Dadas las circunferencias x2 + y2 + 4x − 6y = 12 y x2 + y2 + 8x − 2y = −8. Hallar los puntos de
intersección.
4. Hallar las ecuaciones de las circunferencias que satisfacen:
a) centro (3, −1), radio 5.
b) centro (−4, 2), diámetro 8.
c) diámetro el segmento que une los puntos (−3, 5) y (7, −3)
d) centro (0, 0) y que pasa por el punto (6, 0).
e) radio 8, centro en el primer cuadrante, y tangente a los ejes coordenados.
f) pasa por los puntos (4, 5), (3, −2), (1, −4).
5. Hallar la longitud de la circunferencia 25x2 + 25y2 + 30x − 20y − 62 = 0.
6. Hallar las ecuaciones de las circunferencias que satisfacen:
a) centro (0, −2) y tangente a la recta 5x − 12y + 2 = 0.
b) centro el punto de intersección de las rectas 7x − 9y − 10 = 0, 2x − 5y + 2 = 0, y que pasa por
el punto (7, −5).
7. La ecuación de una circunferencia es (x − 3)2 + (y + 4)4 = 36. Demostrar que el punto (2, −5)
es interior a la circunferencia y (−4, 7) es un punto exterior.
7.9 Problemas Propuestos
471
8. Considerar el triángulo de vértices A(−1, 0), B(2, 9/4), C(5, 0). Hallar:
a) La ecuación de la circunferencia de centro el vértice A y tangente al lado BC.
b) La ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo.
c) La ecuación de la circunferencia inscrita al triángulo.
d) La ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos medios de los lados del triángulo.
9. La ecuación de la circunferencia de centro (−2, 3) y tangente a la recta 20x − 21y − 42 = 0.
10. La ecuación de la circunferencia con centro en el eje x, y que pase por los puntos (−2, 3) y (4, 5).
11. La ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (11, 2) y tangente a la recta 2x + 3y − 18 =
0 en el punto (3, 4).
12. La ecuación de la circunferencia tangente a las rectas x − 3y + 9 = 0, 3x + y − 3 = 0, y con centro
sobre la recta 7x + 12y − 32 = 0.
13. La ecuación de la circunferencia de radio 10 y tangente a la circunferencia x2 + y2 = 25 en el
punto (3, 4).
14. La ecuación de la circunferencia tangente a la recta 3x − 4y + 17 = 0, y que sea concéntrica con
la circunferencia x2 + y2 − 4x + 6y − 11 = 0.
15. Hallar la máxima y mínima distancia del punto (10, 7) a la circunferencia x2 +y2 −4x−2y−20 =
0.
16. Hallar la longitud de la tangente trazada desde el punto (6, 4) a la circunferencia x2 + y2 + 4x +
6y − 19 = 0.
17. Demostrar que cualquier recta que pase por el punto (−1, 5) no puede ser tangente a la circunferencia x2 + y2 + 4x − 6y + 6 = 0.
18. Determinar el valor de k para que la recta 2x + 3y + k = 0 sea tangente a la circunferencia
x2 + y2 + 6x + 4y = 0.
19. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (−3, −1), (5, 3), y que es tangente
a la recta x + 2y − 13 = 0.
√
20. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 52 2 y que pasa por la intersección de las
circunferencias x2 + y2 + 2x − 6y − 16 = 0, y x2 + y2 − 6x + 2y = 0.
21. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por la intersección de las circunferencias
x2 + y2 − 6x + 4 = 0, x2 + y2 − 2 = 0, y que es tangente a la recta x + 3y + 14 = 0.
Parábola
1. En cada uno de los siguientes casos, encontrar la ecuación de la parábola con las propiedades
señaladas:
a) Foco (0, 2/3), Directriz 3y + 2 = 0.
b) Foco (0, 0), Vértice (2, 0).
c) Vértice (0, 0), se abre a la izquierda, y longitud del lado recto igual 6.
d) Foco (7, 2) y Directriz x = 1.
2. Hallar Vértice, Foco y Directriz de las parábolas que se indican:
a) x2 − 6x − 8y = 0
d) 4x2 − 8x + 3y = 2
b) 3y2 − 8x − 12y = 0
e) y = 3x2 − 3x + 3
c) 2y2 − 4y − 3x = 0
f) y2 + 6x + 10y + 19 = 0
3. Si una parábola tiene su foco en el origen y por eje focal al eje x. Demostrar que su ecuación
tiene la forma y2 = 4kx + 4k2 , k6= 0
4. Dada la parábola y = ax2 + bx + c, a6= 0. Hallar las coordenadas del vértice
5. Encontrar la ecuación de la parábola que pasa por los puntos A(−3, −4) y B(5, −4), si se sabe
que los puntos A y B están a 5 unidades del Foco.
Capítulo 7. Geometría Analítica
472
6. Hallar la nueva ecuación, cuando se traslada el origen al punto dado, en las siguientes parábolas:
a) y2 − 6x + 9 = 0, (3/2, 0)
b) y2 + 3x − 2y + 7 = 0, (−2, 1).
7. Hallar las coordenadas del foco, vértice, ecuación de la directriz, y longitud del lado recto de las
parábolas:
a) y2 = 12x
d) 3y2 + 4x = 0
b) x2 = 12y
e) 9x2 + 24x + 72y + 16 = 0
c) x2 + 2y = 0
f) 4x2 + 48y + 12x = 159
8. Hallar las ecuaciones de las parábolas que tienen las siguientes características:
a) Foco (3, 0), directriz x + 3 = 0.
b) Foco (0, 6), directriz el eje x.
c) Foco (0, −3), vértice en el origen.
d) vértice el origen, directriz y − 5 = 0.
e) vértice el origen, el eje x como eje de simetría, y que pasa por el punto (−3, 6).
9. Hallar la ecuación de la parábola que tiene vértice en el origen, eje coincidente con el eje x, y
que pasa por el punto (−2, 4). Determinar también, la ecuación de la directriz, las coordenadas
del foco, y la longitud del lado recto.
10. Una cuerda de la parábola y2 − 4x = 0 es un segmento de la recta x − 2y + 3 = 0. Hallar su
longitud.
11. Hallar la longitud de la cuerda focal de la parábola x2 +8y=0 que es paralela a la recta 3x+4y+7 =
0.
12. Hallar la ecuación de la parábola de vértice (−4, 3) y foco (−1, 3). Determinar además, ecuación
de la directriz.
13. La directriz de una parábola es la recta x + 5 = 0. Si el vértice la parábola es el punto (0, 3),
hallar la ecuación de la parábola.
14. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto fijo (−2, 3) sea
igual a su distancia a la recta x + 6 = 0.
15. Hallar la ecuación de la parábola de eje paralelo al eje x y que pasa por los puntos (0, 0), (8, −4),
(3, 1).
16. Hallar la ecuación de la parábola de vértice (4, −1), que tiene por eje la recta y + 1 = 0, y que
pasa por el punto (3, −3).
17. Hallar la ecuación de la parábola de eje paralelo al eje y, y que pasa por los puntos (4, 5), (−2, 11),
(−4, 21).
18. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia
a la recta x + 3 = 0 es siempre dos unidades mayor que su distancia al punto (1, 1).
Elipse
1. Determinar la ecuación de la elipse de focos (5, 0) y (−5, 0), y que tiene como directriz la recta
x = −20.
2. Hallar excentricidad, centro, focos de las elipses:
a) 6x2 + 9y2 − 24x − 54y + 51 = 0
c) 5x2 + 3y2 − 3y − 12 = 0
b) 9x2 + 4y2 − 18x + 16y − 11 = 0
d) 4x2 + 8y2 + 32x − 18y + 37 = 0
3. Hallar la ecuación de la elipse que satisface:
a) Vértices (0, 5) y (0, −5); pasa por el punto (2, −5/3).
b) Focos (2, 3) y (2, −7), y excentricidad e = 2/3.
c) Focos (−1, −1) y (−1, 7) y semieje mayor de longitud 9
7.9 Problemas Propuestos
473
4. Hallar las coordenadas de los focos y vértices, longitud de los ejes mayor y menor, excentricidad
y longitud de cada lado recto de las elipses:
a) 4x2 + 9y2 = 36
c) 12x2 + 8y2 = 96
b) 16x2 + 25y2 = 400
d) 225x2 + 289y2 = 65025
5. Hallar las ecuaciones de las elipses que tienen las siguientes propiedades:
a) Focos (±4, 0), vértices (±5, 0).
b) Focos (0, ±6), semieje menor igual 8 unidades.
c) Focos (±5, 0), excentricidad 5/8.
d) vértices (±10, 0), longitud del lado recto 5 unidades.
6. Hallar la ecuación y excentricidad de la√elipse que tiene centro en el origen, un vértice en el
punto (0, −7), y que pasa por el punto ( 5, 14/3).
7. Una elipse tiene su centro en el origen
√ coincidente con el eje x. Hallar su ecuación si
√ y eje mayor
se sabe que pasa por los puntos ( 6, −1) y (2, 2).
8. Hallar la ecuación de la elipse de focos (3, 8) y (3, 2), y longitud del eje menor 8.
9. Hallar el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a los puntos fijos (3, 1) y
(−5, 1) es igual a 10.
10. Hallar el lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto fijo (3, 2) es la mitad de la
correspondiente a la recta x + 2 = 0.
11. Los vértices de una elipse son los puntos (1, 1) y (7, 1). Si su excentricidad es 1/3 hallar la
ecuación de esta elipse, las coordenadas de los focos, longitud de los ejes y longitud de cada lado
recto.
√
12. Hallar la ecuación de la elipse que pasa por los puntos (1, 3), (−1, 4), (0, 3 − 3/2), (−3, 3), y
que tiene ejes paralelos a los ejes coordenados.
13. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia
al eje y es igual al doble de su distancia del punto (3, 2).
14. Un arco de 80 mts de luz tiene forma semielíptica. Si su altura es de 30 mts hallar la altura del
arco en un punto situado a 15 mts del centro.
15. Reducir las siguientes ecuaciones a su forma ordinaria, y determinar las coordenadas del centro, vértices, focos, longitudes de los ejes mayor y menor, longitud de cada lado recto, y la
excentricidad:
a) 9x2 + 4y2 + 76x − 48y + 144 = 0
c) x2 + 4y2 − 10x − 40y + 109 = 0
b) 4x2 + 9y2 + 32x − 18y + 37 = 0
d) 9x2 + 4y2 − 8x − 32 = 0
16. Hallar las ecuaciones de las elipses que tienen las siguientes propiedades:
a) Focos (±5, 0), longitud del eje real 8.
b) Focos (0, ±13), longitud eje imaginario 24.
c) centro (0, 0), un foco en (8, 0), un vértice (6, 0).
Hipérbola
1. Hallar la ecuación de las hipérbolas de datos:
a) Centro (−5, −1), excentricidad 4/3, un vértice en √
(−5, 5).
b) Extremos del eje conjugado en (0, 0) y (0, 8), e = 3.
c) Asíntotas x − 3y + 2 = 0, x + 3y + 2 = 0, y un vértice en (−5, 0).
2. Un punto se mueve de tal manera que el producto de sus distancias dirigidas a las rectas
2x + y − 1 = 0 y 2x − y − 3 = 0 es igual a −4/5. Obtener las ecuaciones de su trayectoria y un
esquema del lugar geométrico.
Capítulo 7. Geometría Analítica
474
3. Representar gráficamente las siguientes hipérbolas:
a)
b)
c)
d)
y2 − x 2 = 4
9x2 − 16y2 = 144
x2 − 2y2 + 2 = 0
x2 − 2x − y2 = 3
e)
f)
g)
h)
6xy + 9x − 4y + 30 = 0
5x2 − 4y2 − 20x − 8y − 4 = 0
4x2 − 4y2 + 20x − 16y + 25 = 0
16x2 − 9y2 + 96x + 72y + 114 = 0
4. Hallar focos y vértices, excentricidad, longitud de cada lado recto, y asíntotas de las siguientes
hipérbolas:
a) 49y2 − 16x2 = 784
b) x2 − y2 = 25
c) 9y2 − 4x2 = 36
d) x2 − 4y2 = 4
5. Hallar la ecuación de la hipérbola de vértices (0, ±4) y excentricidad 3/2.
6. Una hipérbola tiene su centro en el origen y eje tranverso
√ sobre el eje x. Hallar su ecuación si se
sabe que pasa por el punto (2, 1) y su excentricidad es 6/2.
7. Hallar el lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto fijo (0, 6) es 3/2 de la correspondiente a la recta y − 83 = 0.
8. Hallar la ecuación de la hipérbola de centro en el origen, ejes sobre los ejes de coordenadas y
que pasa por los puntos (3, 1) y (9, 5).
9. Hallar la ecuación de la hipérbola de vértices (±6, 0) y asíntotas 6y = ±7x.
10. Una hipérbola tiene su centro en el origen y eje conjugado sobre el eje x. La longitud de cada
lado recto es 2/3 y la hipérbola pasa por el punto (−1, 2). Hallar su ecuación.
11. Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por los puntos (3, −2) y (7, 6), centro en el origen, y
eje imaginario coincidente con el eje x.
12. Hallar la distancia del foco de la derecha de la hipérbola 16x2 − 9y2 = 144 a cualquiera de sus
asíntotas.
13. Si las excentricidades de dos hipérbolas conjugadas son e1 y e2 , demostrar que se satisface la
relación e21 + e22 = e21 · e22 .
14. Los focos de una hipérbola son los puntos (4, −2) y (4, −8). Si la longitud del eje conjugado es
6 hallar la ecuación de la hipérbola.
15. Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto (4, 6), tiene eje focal paralelo al eje x, y
por asíntotas a las rectas 2x + y − 3 = 0, 2x − y − 1 = 0.
16. Reducir las siguientes ecuaciones a su forma ordinaria, y determinar las coordenadas del centro,
vértices, focos, longitudes de los ejes real e imaginario, longitud del lado recto, excentricidad, y
asíntotas de las siguientes hipérbolas:
a) x2 − 9y2 − 4x + 36y + 41 = 0
b) 4x2 − 9y2 + 32x + 36y + 64 = 0
c) x2 − 4y2 − 2x+ = 0
d) 9x2 − 4y2 + 54x + 16y + 29 = 0
17. Para las siguientes ecuaciones; señalar elementos notables; tales como vértice, foco, centro, radio,
asíntotas (cuando corresponda) y trazar la gráfica.
a) x2 + (y − 1)2 = 9
b) 25x2 + 16y2 = 400
c) 2y2 − x2 − 4x + 6 = 0
d) y = 2x2 + x − 3
e) x − y2 + y + 1 = 0
f ) x2 + y2 − 4x + 2y = 20
7.9 Problemas Propuestos
g)
h)
i)
j)
k)
l)
(x − 1)(y − 2) = 2
x(y + 1) = 3
y = (x − 1)(x + 1)
5x + 4y − 20 = 0
3x2 + 3y2 − 10 = 0
4x2 − 9y2 − 30 = 0
475
m)
n)
ñ)
o)
p)
q)
3x2 + 4y2 − 12 = 0
16x2 − y = 0
x2 + 2xy + y2 + 2x − 2y − 1 = 0
xy − 2y − 3 = 0
x2 − 2xy + y2 − 6x − 6y + 3 = 0
xy − 3x − y = 0
Transformación de coordenadas
1. Transformar la ecuación x2 + 4y2 − 2x − 12y + 1 = 0, en otra que no contenga términos de primer
grado.
√ √
2. Encontrar las coordenadas primitivas del punto ( 2, 3 2) sabiendo que los ejes han sido rotados
en 45◦
√
3. Escribir la ecuación de la recta x + y + 3 2 = 0, cuando se giran los ejes en 45◦ .
4. Hallar las nuevas coordenadas del punto (−2, 4) cuando se traslada el origen (0, 0) al punto
(3, −4).
5. Determinar el ángulo de rotación necesario para eliminar el término xy en cada una de las
siguientes ecuaciones. Graficar la curva
a) 25x2 − 36xy + 40y2 − 52 = 0
c) 9x2 + 24xy + 16y2 + 160x − 120y = 0
7.9.1
b) 3x2 + 8xy − 3y2 − 20 = 0
d) 8x2 − 4xy + 5y2 − 36 = 0
Problemas varios
1. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice y los puntos extremos del lado
recto de la parábola x2 − 4y = 0.
2. Una circunferencia cuyo centro es el punto (4, −1) pasa por el foco de la parábola x2 + 16y = 0.
Demostrar que la circunferencia es tangente a la directriz de la parábola.
3. Graficar los siguientes conjuntos de puntos:
√
a) {(x, y)/ (x − 1)2 + y2 < 16} b) {(x, y)/ − 1 ≤ x ≤ 0, y = −√ 1 − x2 }
c) {(x, y)/ (x − 1)2 + y2 = 16} d) {(x, y)/ − 1 ≤ x ≤ 1, y = 1 − x2 }
e) {(x, y)/ (x − 1)2 + y2 = 16} f) {4x + 2y − 5 > 0, 3x − y + 1 < 0}
4. Demostrar que el conjunto {(x, y)/ x2 + y2 + 2Ax + 2By +C = 0}, para A,B,C números reales, es
una circunferencia, o un singleton, o el conjunto vacío.
5. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (1, −2) y tangente a la recta 3x − 4y − 1 = 0.
6. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuyo producto de las pendientes de las
rectas que los unen con los puntos fijos F(−2, 1) y F(4, 5) es igual a tres.
7. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto (4, 0) es igual a la
mitad de la distancia a la recta x − 16 = 0.
8. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a los puntos fijos
(4, 2) y (−2, 2) es igual a ocho.
9. Hallar la ecuación de la hipérbola que tiene centro (0, 0), vértice (3, 0), y como asíntota a la recta
2x − 3y = 0.
Capítulo 7. Geometría Analítica
476
TEST GEOMETRIA ANALITICA
1. Se quiere probar que el triángulo ABC es isósceles, entonces uno de los siguientes procedimientos
es el correcto (d = distancia)
a) d(A, B) = d(A,C) = d(B,C)
b) d(A, B) + d(B,C) = d(A,C)
c) d(A, B) = d(B,C), d(A, B) 6= d(A,C)
d) d(A,C) = 2d(A, B), d(A, B) 6= d(B,C)
e) N.A.
2. Si un punto P(x, y) es tal que su distancia al punto A es dos veces su distancia al punto B, entonces
el planteamiento del problema es :
a) d(P, A) = 2d(P, B)
b) d(P, B) = 2d(P, A)
c) d(A, B) = 2d(P, A)
d) d(A, B) = 2d(P, B)
e) N.A.
3. La ecuación de la recta que pasa por (−2, 5) y es paralela a la recta determinada por los puntos
(3, 1) y (2, 0) es:
a) x − y + 7 = 0
b) y + 3x + 1 = 0
c) 2y − 3x − 16 = 0
d) N. A.
4. De las siguientes curvas, son elipses:
a) x2 + 2y2 + 4x + 4y + 4 = 0
b) 9x2 − 16y2 − 144 = 0
c) y2 − 4y − 8x + 28 = 0
d) N. A.
5. La ecuación del lugar geométrico de los puntos (x, y) que equidistan de los puntos fijos (−3, 1) y
(7, 5) es:
a) 5x − 2y − 16 = 0
b) 5x − 3y − 16 = 0
c) 2y + 5x − 16 = 0
d) N. A.
6. El valor de k para que la ecuación x2 + y2 − 8x + 10y + k = 0 represente una circunferencia de
radio 8 es:
a) 23
b) −23
c) −8
d) N. A.
7. Una función es impar, si su gráfica es:
a) simétrica respecto del eje x.
b) simétrica respecto del eje y.
c) simétrica respecto del origen de coordenadas
7.9 Problemas Propuestos
477
d) N. A.
8. Dada la recta Ax + By +C = 0, entonces su pendiente es:
a) m = A/B, 6= 0
b) m = B/A, A 6= 0
c) m = −C/A, A 6= 0
d) m = −C/B, B 6= 0
e) N.A.
9. Si tres puntos se encuentran sobre una misma recta, entonces ellos satisfacen:
a) d(A, B) + d(B,C) < d(A,C)
b) d(A, B) + d(B,C) > d(A,C)
c) m(A, B) = m(B,C); m(A,C) = 2m(A, B)
d) m(A, B) = m(B,C) = m(A,C)
e) N . A
10. En el triángulo de vértices A(−2, 1), B(2, 2) y C(−3, 4), el ángulo A, interior al triángulo, vale:
a) 36◦
b) 50◦
c) 44◦
d) 10◦
e) N . A
11. El lugar geométrico de los puntos P(x, y) que equidistan del punto fijo (2, 3) y de la recta x = −2,
tiene ecuación:
a) y2 − 8x − 6y + 9 = 0
c) y2 + 8x − 6y + 9 = 0
b) y2 + 8x + 6y + 9 = 0
d) y2 − 8x + 6y + 9 = 0 e) N.A.
12. El punto P(x, y) divide al segmento AB, A = (−5, 7), B = (0, 0) en la razón −2/3, entonces las
coordenadas de P son:
a) (2, −14/5)
b) (2, 14/5)
c) (−2, 14/5)
d) (−2, −14/5)
e) N . A
13. En el rectángulo
de la figura OP = 20, α = 60◦ , entonces los segmentos OA y OB son iguales a:
√
P
A
a) 10 √
y 10 3
"
"
b) 10 3 y 10
"
"
c) 20 y 30 √
"
20 "
"
d) 10 y 12 3
"
α"
e) N. A.
"
O
B
8. Límite y continuidad de funciones
8.1
Introducción
El estudio de los límites de las funciones permitirá conocer el comportamiento, la forma y gráfica
de una función cuando la variable se “dirige” hacia un número determinado o hacia el más o menos
infinito.
Una vez desarrollados los conceptos y significados del límite de una función, pueden construirse
otros que son pilares fundamentales del Cálculo y Análisis Matemático, tales como “continuidad”,
“derivación” e “integración”, que veremos más adelante.
En matemática, la idea de límite está referida a una función y guarda relación con los valores que toma
la función en lugares cercanos a un punto que nos interese. Por tanto, cuando se diga “límite de una
función en algún punto”, se deberá entender que interesa saber el comportamiento de la función en una
zona muy cercana al punto y no necesariamente en el punto.
Entorno-Punto de acumulación
La definición clásica de entorno se refiere al espacio que nos rodea, y con el que interactuamos (entorno
familiar, entorno cultural, etc.).
En términos matemáticos intuitivamente hablando, un entorno de un punto es un conjunto
que contiene al punto en dónde uno puede
separarse un poco del punto en cuestión sin
abandonar el conjunto.
Figura 8.1
Observando la figura 8.1 podemos pensar en un entorno como aquél conjunto de puntos en la recta que
queda cuando con un compás hacemos centro en un punto determinado y luego marcamos los puntos
Capítulo 8. Límite y continuidad de funciones
480
donde este compás corta a la recta real a izquierda y derecha.
Definición 8.1.1 Un entorno o vecindad de un punto a, de radio ε > 0, es el conjunto de todos los
puntos x ∈ R tales que |x − a| < ε. Esto es
V (a, ε) = {x ∈ R/ a − ε < x < a + ε}
Actividad 249
1. Identificar sobre la recta real, el entorno del 2 con radio 21
2. Identificar de quien es entorno el intervalo (−1, 1) y cual es el radio
1
3. Escribir como conjunto el entorno V (1, ) y representarla en la recta real
2
Punto de acumulación
Dado el conjunto A = [0, 1), es claro que el 1
no pertenece a él, pero, tiene la característica
de que cualquier entorno del 1, que tiene la
forma (1 − x, 1 + x) con x > 0, contiene puntos
del conjunto A. ¡De hecho cualquier punto de
(1 − x, 1) pertenece a A!
Figura 8.2
De acuerdo a lo anterior, un punto de acumulación referente a un conjunto de puntos, es aquel que
(perteneciendo o no perteneciendo al conjunto en cuestión) cumple que cualquier entorno de él tiene
algún punto perteneciente al conjunto. Formalmente
Definición 8.1.2 Sea A ⊂ R. Un punto a ∈ R es un punto de acumulación de A si para cada vecindad
V de a se tiene
V (a) ∩ (A − {a}) 6= 0/
El conjunto de todos los puntos de acumulación de A se denota por A0 y se llama el derivado de A.
Actividad 250 Hallar puntos de acumulación de los siguientes subconjuntos de R:
a) R
1
c) A = {x = / n ∈ N}
n
b) Z
d) A = [0, 3] ∪ {5}
Acercándose a un punto
Hay que tener claro que estamos trabajando
funciones en el plano cartesiano, y que cuando
decimos que “x se acerca a un punto x0 ”, este x
lo puede hacer avanzando por izquierda hacia
el x0 o bien viniendo por la derecha de x0 .
Figura 8.3
Actividad 251 Hallar a que valor se “aproxima” la función f (x) = x2 , cuando x se “acerca” al 2.
1. Con calculadora completa la siguiente tabla:
x
f (x)
1,9
1,95
1,99
1,999
2,001
2,01
2,05
8.1 Introducción
481
2. Si x se acerca a 2, entonces el valor al que se acerca f (x) es · · ·
Lo anterior lo escribimos simbólicamente como
Figura 8.4
y se lee “El límite de x2 , cuando x tiende a 2 es igual a 4.
Como siempre, en matemática, debemos tener claro que NO podemos decir que el límite es un cierto
valor sólo porque parezca que vamos hacia él. Para tener la certeza, nos hace falta una definición formal.
8.1.1
Caminando hacia el limite
En lo siguiente vamos a usar un lenguaje equivalente para explicar la primera actividad.
Aproximarse al 2 significa que tenemos que considerar aquellos valores de x “cercanos” al 2, lo que, en
otras palabras, equivale a decir que los x han de considerarse en una “vecindad” o entorno del 2. Se
anota
x ∈ V (2, δ ) = {x ∈ R/ 2 − δ < x < 2 + δ }
que se lee “ x pertenece a la vecindad o entorno del 2 de radio delta”.
Otro hecho interesante es que hemos descubierto es que
f (x) está “cerca” del 4.
Esto nos dice que existe otra vecindad, la de f (x), a la que ponemos radio ε > 0. Esto se escribe
f (x) ∈ V (4, ε) = { f (x) ∈ R/ 4 − ε < f (x) < 4 + ε}
De este modo, establecemos que
x ∈ V (2, δ ) =⇒ f (x) ∈ V (4, ε)
Esta es la idea principal y la formalizamos
Definición 8.1.3 La función f : R → R tiene límite L = 4, en el punto a = 2, si y sólo si dado ε > 0
arbitrario, existe δ > 0 tal que
lı́m f (x) = L ⇐⇒ (x ∈ V (a, δ ) =⇒ f (x) ∈ V (L, ε))
x→a
Usando valor absoluto, esta última expresión equivale a:
lı́m f (x) = L ⇐⇒ (0 < |x − a| < δ =⇒ | f (x) − L| < ε)
x→a
La expresión 0 < | x − a | afirma que x 6= a
Capítulo 8. Límite y continuidad de funciones
482
Ejemplo 8.1.4 Demostrar, usando la definición δ , ε que lı́m (x2 + x + 1) = 3
x→1
La demostración del límite equivale a encontrar el δ dado el ε > 0 arbitrario. Para este fin se utiliza
| f (x) − L| < ε. Se tiene
| f (x) − L| = |x2 + x + 1 − 3| = |x2 + x − 2| = |(x + 2)(x − 1)| < |x + 2| · δ
El factor |x + 2| se acota eligiendo, por ejemplo, δ = 1 en |x − 1| < δ . Se tiene
|x − 1| < 1 =⇒ 2 < x + 2 < 4 =⇒ |x + 2| < 4
Luego,
| f (x) − L| < 4δ = ε =⇒ δ =
ε
4
Como hicimos uso del δ = 1, entonces el δ a considerar es
ε
δ = mı́n{1, }
4
Ya que hemos hallado el δ , la demostración está completa.
El δ debe ser el menor de esos números, ya que por ejemplo, si ε = 5 y se toma δ = 54 , entonces
|x − 1| <
eligiendo x =
11
5
5
1
9
=⇒ − < x <
4
4
4
se obtiene
|x2 + x − 2| =
126
>5
5
ε
lo que no satisface la definición. Si en cambio se elige δ = mı́n{1, }, entonces se cumple que
4
|x2 + x − 2| < ε = 5
Si falla el valor δ = 1, en particular cuando existen denominadores, entonces se debe elegir cualquier
valor 0 < δ < 1.
Ejemplo 8.1.5 Probemos por definición δ , ε, que lı́m
x→1
1
= −1.
x−2
Hacemos uso de la definición
| f (x) − L| =
x−1
1
+1 =
x−2
x−2
como |x − 1| < δ , entonces
| f (x) − L| <
δ
|x − 2|
Ahora, si se elige δ = 1, entonces
|x − 1| < δ =⇒ |x − 1| < 1
=⇒ −1 < x − 1 < 1
=⇒ −2 < x < 0
8.1 Introducción
483
se observa que no es posible acotar, superiormente,
δ < 1. Por ejemplo, con δ =
1
4
1
. Lo que debe hacerse es considerar otro
|x − 2|
se tiene
|x − 1| <
1
5
3
=⇒ − < x − 2 < −
4
4
4
5
3
=⇒ < 2 − x <
4
4
4
4
=⇒ > 2 − x >
3
5
4
1
4
=⇒ <
<
5 2−x 3
1
4
=⇒
<
|x − 2| 3
Con este acotamiento se logra que
| f (x) − L| <
4
3
δ = ε =⇒ δ = ε
3
4
1 3
En consecuencia, eligiendo δ = min{ , ε}, se tiene demostrado que
4 4
lı́m
x→1
1
= −1
x−2
Interpretación geométrica
Se ha establecido la existencia de dos vecindades:
Una vecindad en el eje de las x, a la que
ponemos radio δ , y
Una vecindad en el eje de las y, a la que
ponemos radio ε.
La figura 8.5 ilustra gráficamente el significado de δ y de ε.
Figura 8.5
La GRAN conclusión es:
“Si el límite de la función es L, entonces cualquiera sea el x que se tome en la vecindad del x = a las
imágenes deben estar en el rectángulo que muestra la figura 8.5”
Límite-Entorno- Punto de acumulación
Vamos a descubrir la importancia de entorno y punto de acumulación en el proceso de límite.
3x2 − 18x + 27
2x2 − 18
1. Determina si existe imagen para x = 3
2. Comprueba, mediante una tabla de valores, que el límite de f (x) cuando x tiende a 3 es 0.
Actividad 252 Sea f (x) =
Capítulo 8. Límite y continuidad de funciones
484
x
f (x)
2,9
2,95
2,99
3,001
3,01
3,05
3,1
3. La recta x = 3 ¿qué tipo de asíntota es de la gráfica?
4. Realiza un gráfico de f (x), señalando su comportamiento cerca de x = 3.
5. ¿Es x = 3 un punto de acumulación del intervalo (2, 4)
Observación 8.1.6
Si el punto al que tiende un límite no fuera punto de acumulación, existiría algún entorno de
dicho punto donde la función no toma valores, esto implica que NO podría ser el límite.
Otro hecho interesante y que podemos observar de las actividades realizadas es que
“El límite depende únicamente del comportamiento de la función en las proximidades de a, no
de cual sea el valor de la función en el punto a; de hecho, a puede no pertenecer al dominio de
definición de la función. Lo que si es necesario es que a sea punto de acumulación del dominio
de definición de la función”
Algebra de límites
El comportamiento algebraico de los límites de funciones lo establece el sigiente resultado.
Teorema 8.1.7 Sean lı́m f (x) = A, lı́m g(x) = B, entonces
x→x0
x→x0
b) lı́m ( f − g)(x) = A − B
x→x0
f
A
d) lı́m ( )(x) = , B 6= 0
x→x0 g
B
a) lı́m ( f + g)(x) = A + B
x→x0
c) lı́m ( f · g)(x) = A · B
x→x0
√
x4 + 4, entonces
p
p
lı́m [ f (x) + g(x)] = lı́m [x2 + 5 + x4 + 4] = lı́m (x2 + 5) + lı́m x4 + 4 = 5 + 2 = 7
Ejemplo 8.1.8 Si f (x) = x2 + 5 y g(x) =
x→0
x→0
x→0
Ejemplo 8.1.9 Para hallar lı́m
x→1
1
2
− 2
x−1 x −1
x→0
, no se puede usar el teorema y separar los sumandos
1
2
1
2
lı́m
− 2
6 lı́m
=
− lı́m 2
x→1 x − 1
x→1 x − 1
x→1 x − 1
x −1
Tanto para f (x) =
1
2
como para g(x) = − 2
el límite cuando x → 1 no existe.
x−1
x −1
En cambio,
1
2
x−1
1
1
lı́m
− 2
= lı́m 2
= lı́m
=
x→1 x − 1
x→1 x − 1
x→1 x + 1
x −1
2
8.1.2
La máscara del límite
Llamaremos máscara en los cálculos de límites a la expresión resultante de reemplazar el valor al cual
tiende la variable en la función a la que estamos sacando límite.
Si el resultado de esta máscara da como resultado un número real, entonces ¡ese es el límite!, en
cualquier otro caso, la máscara resultante dará información de como abordar el problema. El símbolo
8.1 Introducción
485
∼ lo emplearemos para indicar que “procesando” el límite hemos llegado a una determinada máscara.
Estas máscaras se trabajan con herramientas matemáticas ad hoc.
Ejemplo 8.1.10 Hallar la máscara del límite en cada expresión siguiente:
2
x+1
= =1
2
x→1 x + 1
2
x
0
=
=0
2
x→0 1 + x
1+0
2) lı́m
1) lı́m
3) lı́m 4x3 − 2x2 = −6
x→−1
x−2
0
=
2
x→2 x − 4
0
4) lı́m
El último caso presenta un máscara 00 que no es un número real. En este tipo de máscara existen
procesos algebraicos que permiten el calculo del límite (lo resolvemos más adelante).
8.1.3
Límites laterales en un punto
Al iniciar el estudio del límite se mencionó que la aproximación a un punto x0 de la recta real se puede
hacer por izquierda o por derecha de éste.
x0+ significa aproximarse por derecha
x0− significa aproximarse por izquierda
El cálculo denomina “límites laterales” a este proceso, y puede ocurrir que el punto x0 pertenezca o no
al dominio de f , por tal razón, es posible que ocurra que: sólo uno de ellos exista, que ninguno de ellos
exista, o bien que ambos límites existan, pero en este último caso puede ocurrir que sean iguales o que
sean distintos.
Teorema 8.1.11 la función f tiene límite en un punto x0 si y sólo si los límites laterales son
iguales. Esto es,
lı́m f (x) = L ⇐⇒ lı́m+ f (x) = lı́m− f (x) = L
x→x0
x→x0
(
x2
Ejemplo 8.1.12 Para la función f (x) =
−x + 2
una vecindad de x = 1.
x→x0
, si x > 1
interesa conocer su comportamiento en
, si x ≤ 1
En la figura 8.6 se representa la función. La imagen
de x = 1 es f (1) = 1. Para los límites laterales se
tiene:
Si x se aproxima, por izquierda, al uno se observa que los valores de f se aproximan al 1.
Esto se escribe lı́m− f (x) = 1
x→1
Si x se aproxima, por derecha, al uno se observa que los valores de f se aproximan al 1. Esto
se escribe lı́m+ f (x) = 4
x→1
Figura 8.6
Como los límites laterales son iguales, entonces el límite de la función en x = 1 existe, y se anota
lı́m f (x) = 1
x→1
Capítulo 8. Límite y continuidad de funciones
486
Actividad 253 Hallar límite de las funciones siguientes:
(
x2 − 8,
b) f (x) = x−2
e ,
x
a) f (x) = , si x → 0.
|x|
x≤2
, si x → 2.
x>2
Propiedades de los límites
En esta sección se establecen las propiedades básicas de los límites de funciones con el fin de emplearlas
para el cálculo de éstos sin necesidad de recurrir a la definición formal epsilon-delta.
Teorema 8.1.13 Si una función f tiene límite cuando x tiende a x0 , ese límite es único.
Proposición 8.1.14 Sea k una constante y lı́m f (x) = L y lı́m g(x) = M, con L, M ∈ R, entonces:
x→x0
x→x0
1. lı́m k · f (x) = k · lı́m f (x) = k L
x→x0
x→x0
2. lı́m [ f (x) + g(x)] = lı́m f (x) + lı́m g(x) = L + M
x→x0
x→x0
x→x0
3. lı́m [ f (x) − g(x)] = lı́m f (x) − lı́m g(x) = L − M
x→x0
x→x0
x→x0
4. lı́m f (x) · g(x) = lı́m f (x) · lı́m g(x) = L · M
x→x0
x→x0
x→x0
lı́m f (x)
5. lı́m
x→x0
8.1.4
L
f (x) x→x0
=
= , M 6= 0
g(x)
lı́m g(x) M
x→x0
Calculando Límites
En general, la variable x, en un proceso de límite puede tender a cualquier número real, a infinito o
bien a menos infinito, de manera que el valor del límite tiene esas mismas alternativas. Esto permite
identificar la existencia de 9 tipos de límites. Si x0 y L son números reales, entonces:
lı́m f (x) = L
lı́m f (x) = L
x→x0
lı́m f (x) = L
x→∞
x→−∞
lı́m f (x) = ∞
lı́m f (x) = ∞
x→x0
x→∞
lı́m f (x) = −∞
x→∞
lı́m f (x) = ∞
x→−∞
lı́m f (x) = −∞
x→x0
lı́m f (x) = −∞
x→−∞
En estos límites existen 7 indeterminaciones para las cuales es necesario emplear técnicas especiales:
∞ − ∞,
0
,
0
∞
,
∞
0 · ∞,
1∞ ,
00 ,
∞0
Límites de Polinomios
Si f (x) es un polinomio, su límite se halla reemplazando directamente el valor al cual tiende la variable
x en el polinomio y ese resultado es el límite.
Ejemplo 8.1.15 lı́m (x2 + x + 1) ∼ 52 + 5 + 1 = 31. Luego, este es el límite
x→5
Límite de funciones racionales
Una función racional es un cociente de polinomios. Esto es,
f (x) =
Se dan los siguientes casos:
p(x)
, con p y q polinomios
q(x)
8.1 Introducción
487
Numerador y denominador no cero
x2 + x + 1
x→1 x3 + 1
Lo primero es ver la máscara
Ejemplo 8.1.16 Hallar lı́m
x 2 + x + 1 12 + 1 + 1 3 3
∼
∼ =
x→1 x3 + 1
13 + 1
4 4
lı́m
Como
3
4
es un número real, entonces este es el valor del límite.
Numerador no cero y denominador cero
Ejemplo 8.1.17 Estudiar el comportamiento de límites laterales y determinan existencia de los siguien-
tes límites:
1
x→0 x2
1
x→0 x
2) lı́m
1) lı́m
En el primer problema, la máscara es
1 1
∼
x→0 x
0
Sabemos que esta expresión no es un número real. Veamos existencia de límites laterales
Si x se aproxima al cero por la izquierda, significa que x está tomando valores negativos.
1
Pensemos en un valor relativamente cercano, por ejemplo, − 100
, entonces la imagen de este
1
número, f (− 100 ) = −100. Si repetimos este proceso con otros números más cercanos y más
cercanos al cero (con denominador en potencias de 10), la imagen irá disminuyendo su valor,
acercándose al −∞. (recordar que −∞ es solo un símbolo que denota decrecimiento sin cotas)
Si x se aproxima al cero por la derecha, significa que x está tomando valores positivos. Pensemos
1
1
)=
en un valor relativamente cercano, por ejemplo, 100
, entonces la imagen de este número, f ( 100
100. Si repetimos este proceso con otros números más y más cercanos al cero (con denominador
en potencias de 10), la imagen irá creciendo, con su valor acercándose al ∞. (recordar que ∞ es
solo un símbolo que denota crecimiento sin cotas)
Como los límites laterales
1
1
lı́m− = −∞ y lı́m+ = ∞
x→0 x
x→0 x
1
son distintos, se sigue que; lı́m no existe.
x→0 x
lı́m
Figura 8.7
Capítulo 8. Límite y continuidad de funciones
488
1
, estamos en presencia de una máscara 00 . Para los límites laterales tenemos
x→0 x2
el siguiente comportamiento:
En el segundo caso, lı́m
Si x se aproxima al cero por la izquierda (x < 0), pensemos en un valor, como por ejemplo,
1
1
− 100
, entonces la imagen de este número, f (− 100
) = 1002 . Si repetimos este proceso con otros
números cercanos al cero (con denominador en potencias de 10), la imagen irá creciendo en su
valor, acercándose al ∞.
1
Si x se aproxima al cero por la derecha (x > 0), pensemos en un valor cercano, por ejemplo, 100
,
1
2
entonces la imagen de este número, f ( 100 ) = 100 . Si repetimos este proceso con otros números
cercanos al cero (con denominador en potencias de 10), la imagen irá creciendo, con su valor
acercándose al ∞.
Como los límites laterales
1
1
= ∞ y lı́m+ 2 = ∞
lı́m
x→0 x
x→0− x2
son iguales, se sigue que; lı́m
1
x→0 x2
= ∞.
Observación 8.1.18 Algunos autores sostienen que en estos casos, lo correcto sería decir que el
límite no existe. Pero ello es bajo el supuesto que su resultado no es un número real. Sin embargo, más
adelante definiremos cuando el límite de una función es ±∞, de manera que para otros autores, está
1
correcto afirmar que lı́m 2 = ∞, postura que asumimos.
x→0 x
Numerador cero y denominador cero
x−2
Ejemplo 8.1.19 Determinar existencia lı́m 2
x→2 x − 4
La máscara de este límite es del tipo 00 . Esto significa que existe, tanto en el numerador como en el
denominador, un factor (el x − 2) que está haciendo el cero. Es sencillo obtener este factor a partir
de saber que x → 2. Si se encuentra y posteriormente se cancela, se reanuda el proceso de hallar la
máscara y se determina la existencia o no del límite. Veamos como es esto.
1
x−2
x−2
x−
2
1
=
lı́m
=
lı́m
=
= lı́m
x→2 x2 − 4
x→2 (x − 2)(x + 2)
x→2 (x
− 2)(x + 2) x→2 x + 2 4
lı́m
Actividad 254 Hallar:
x−3
x→3 x2 − 9
3. lı́m
2x3 − 14x2 + 12x
x→1 x3 − 10x2 + 27x − 18
4. lı́m
1. lı́m
2. lı́m
x2 − x − 6
x→3
x−3
5. lı́m
x2 − 1
x→−1 x2 + 3x + 2
x2 − 5x + 10
x→5
x2 − 25
6. lı́m
x3 − 1
x→1 x2 − 1
Límite de una función potencia
Sean k, L y x0 números reales. Sea g(x) = [ f (x)]k . Si lı́m f (x) = L, entonces
x→x0
lı́m g(x) = lı́m [ f (x)]k = Lk
x→x0
En palabras
x→x0
8.1 Introducción
489
El límite de una potencia es igual a la potencia del límite
2
3
x −9
Ejemplo 8.1.20 Hallar lı́m
x→3 x − 3
Claramente a la función que vamos a calcular el límite es una potencia. Debemos hallar límite de la
base
2
3
+ 3) 3
x −9
(x
−
3)(x
= 63 = 216
lı́m
= lı́m
x→3 x − 3
x→3
x−
3
√
Ejemplo 8.1.21 Hallar lı́m x
x→0
√
La función f (x) = x tiene dominio de definición D = {x ∈ R/ x ≥ 0}. Por tanto, no podemos
acercarnos a 0 por izquierda, de lo que se sigue que tal límite no existe. Sólo el límite lateral por derecha
es posible, en tal caso
√
lı́m+ x = 0
x→0
Límite de función elevada a función
Sea f (x) y g(x) dos funciones reales de variable real. Sea x0 un número real. Supongamos que:
lı́m f (x) = A > 0
x→x0
lı́m g(x) = B (B cualquier real).
x→x0
Si h(x) = f (x)g(x) , entonces
lı́m h(x) = lı́m f (x)g(x) = AB
x→x0
x→x0
Que se lee “El limite de la función f (x) elevada a g(x) es igual al límite de la función f (x) elevado al
límite de la función g(x), cuando x tiende a x0 ”
Figura 8.8
x2 − 2x + 2
Ejemplo 8.1.22 Hallar lı́m
x→1
x2 + 1
Veamos primero el límite de la base
3x2 +1
12 − 2x + 2 12 − 2 · 1 + 2 1 1
∼
∼ =
x→1
x2 + 1
12 + 1
2 2
lı́m
tenemos que el límite de la base es mayor que cero. Para el límite del exponente se tiene
lı́m 3x2 + 1 = 4
x→1
En consecuencia;
x2 − 2x + 2
lı́m
x→1
x2 + 1
3x2 +1
4
1
1
=
=
2
16
Capítulo 8. Límite y continuidad de funciones
490
Observación 8.1.23 En el caso de función elevada a función se pueden presentar casos como:
1∞
00
∞0
ellos serán abordados más adelante.
Actividad 255 Hallar el límite de las siguientes funciones:
x2 − 4
1. f (x) =
x−2
3
4. f (x) =
,x→2
2. f (x) = (4x2 + x − 9)−5 , x → 0
rh
i
3. f (x) =
4
x2 −4
x−2
3
,x→2
5. lı́m 2x
h
x2 +5x
x
i
x
x2 +x
,x→0
3 +1
x→1
6. lı́m 3
2
2−x
x→2
Límite del logaritmo
Sea f (x) una función y x0 un número real. Supongamos que lı́m f (x) = L. Sea g(x) = logb f (x). Esta
x→x0
función transforma a cada número x en el logaritmo en base b de f (x), siempre que ese logaritmo exista.
Se puede demostrar que:
lı́m g(x) = lı́m [logb f (x)] = logb lı́m f (x) = logb L
x→x0
x→x0
Podemos enunciar que:
El límite de un logaritmo es igual al logaritmo del límite
x2 − 9
Ejemplo 8.1.24 Hallar lı́m log
x→3
x−3
De acuerdo a lo establecido, veamos en primer lugar el límite del argumento del logaritmo
2
+ 3) x −9
(x
−
3)(x
lı́m
= lı́m
=6
x→3 x − 3
x→3
(x
−
3)
Por tanto,
x2 − 9
lı́m log
= lı́m [log 6] = log 6
x→3
x→3
x−3
x2 − 9
Ejemplo 8.1.25 Hallar lı́m log
x→3
x+3
Para el límite del argumento se tiene
2
− 3) (x
+
3)(x
x −9
lı́m
= lı́m
=0
x→3 x + 3
x→3
(x
+
3)
Por tanto,
x2 − 9
lı́m log
= lı́m [log 0] 6∈ R
x→3
x→3
x−3
En este caso, el límite no existe.
Un par de límites que involucran logaritmo natural y que debes recordar son:
8.2 Límites notables
491
1. lı́m+ ln x = −∞
2. lı́m ln x = ∞
x→∞
x→0
Límite de cocientes Irracionales
Por lo general, esto es “casi siempre” así, mediante una sustitución adecuada se pasa de un límite de
cociente irracional a un límite de cociente racional.
√
x−1
Ejemplo 8.1.26 Hallar lı́m √
3
x→1 x − 1
En primer lugar, estamos en presencia de una máscara del tipo 00 . Debemos hallar el cero del numerador
y del denominador, que como sabemos es del tipo (x−1). Para ello hacemos x = z6 , ya que se consideran
los exponentes de las raíces; 12 y 13 cuyo común denominador es 6. Además, como tenemos nueva
variable (la z), hay que ver hacia que número tiende. para ello
x = z6 si x → 1 =⇒ z → 1
Se tiene:
√
√
z−1
x−1
z2 − 1
√
= lı́m 2
lı́m √
=
lı́m
3 6
3
z→1 z − 1
x→1 x − 1
z→1 z − 1
Hemos encontrado los factores a simplificar.
z −
1
1
z−1
1
=
lı́m
= lı́m
=
2
z→1 z − 1
z→1 z −
z→1 z + 1
2
1)(z + 1)
√
√
x− a
Ejemplo 8.1.27 Hallar lı́m
x→a x − a
lı́m
La máscara es 00 , de modo que tenemos que trabajar para hallar los factores que hacen cero numerador
y denominador. Sabemos que este factor es (x − a) que ya está en el denominador. Este factor no se ve
en el numerador, pero si amplificamos por el conjugado del numerador tenemos
√
√ √
√
√
√
x− a
x− a
x+ a
√
lı́m
= lı́m
·√
x→a x − a
x→a x − a
x+ a
Al reducir
√
√
x− a
x−
a
1
1
√
√ = lı́m √
√ = √
lı́m
= lı́m
x→a x − a
x→a (x
− a)( x + a) x→a x + a 2 a
Actividad 256 Calcular los siguientes límites:
√
√
x
3
x−1
x+1−1
√
3.
lı́m
1. lı́m
5.
lı́m
x→0
1
−
1
−
x
x→1 x − 1
x→0
x
√
x
−
8
x−2
2 − x2 − 49
4. lı́m √
√
6. lı́m
2. lı́m
x→8 3 x − 2
x→2 1 − x − 1
x→7
x−7
8.2
Límites notables
Bajo esta categoría se hallan los dos siguientes:
sen x
=1
x
Observar que ambos límites tienen máscaras bien definidas, la exponencial 1∞ y el seno de la forma 00 .
Estos son la base para probar otros límites que involucren funciones exponenciales y trigonométricas.
lı́m ( 1 + x )1/x = e
x→0
y
lı́m
x→0
Capítulo 8. Límite y continuidad de funciones
492
8.2.1
Límite notable: lı́m ( 1 + x )1/x = e
x→0
La figura 8.9 muestra el modelo, que ¡no falla!, al que debes asimilar todos los problemas de este tipo.
Recuerda el modelo de la cajita y serás feliz. Asegurate que “la cajita” tienda a cero, y que la máscara
sea 1∞ .
Figura 8.9
Ejemplo 8.2.1 Hallar lı́m
x→0
x2 + 2
x+2
1/x
La máscara es lo primero. Al reemplazar vemos que tiene la forma 1∞ . Al comparar con la cajita vemos
que no está el 1, pero eso no es problema si usamos que a − a = 0 para todo a ∈ R. Tenemos
lı́m
x→0
x2 + 2
x+2
1/x
= lı́m
x→0
x2 + 2
1+
−1
x+2
1/x
al reducir en la última expresión
lı́m
x→0
x2 + 2
x+2
1/x
= lı́m
x→0
x2 − x
1+
x+2
1/x
Ahora estamos muy parecido a la cajita. El paso siguiente es reconocer la cajita por comparación con el
modelo
2 −x

 1x · xx+2
1
1/x
x2 −x


x2 − x
x+2 
x2 −x

lı́m 1 +
= lı́m  1 + x+2

x→0
x→0
x+2
El límite de la base (entre corchetes) es e. Falta calcular el límite del exponente
1 x2 − x
x2 − x
1
·
= lı́m 2
=−
x→0 x x + 2
x→0 x + 2x
2
lı́m
En consecuencia,
lı́m
x→0
x2 + 2
x+2
1/x
Actividad 257 Calcular:
a) lı́m ( 1 + 3x )1/x
x→0
b) lı́m ( 1 + x )2/x
x→0
1
= e− 2
√
c) lı́m x 1 − 2x
x→0
8.2 Límites notables
493
Teorema 8.2.2 Sea I un intervalo de R que contiene al punto x0 y sean f , g y h funciones definidas en
I, exceptuando quizás el mismo punto x0 . Supongamos que para todo x ∈ I diferente de x0 tenemos:
g(x) ≤ f (x) ≤ h(x)
y supongamos también que:
lı́m g(x) = lı́m h(x) = L
x→x0
x→x0
Entonces:
lı́m f (x) = L
x→x0
Resulta clara la razón por la cual se denomina así a este teorema.
8.2.2
sen x
=1
x→0 x
Límite notable: lı́m
En el círculo unitario, que muestra la figura
8.10, es claro que
1
cos x sen x
2
1
Area 4OQS = tg x
2
Luego,
Area 4OPR =
Area 4 OPR ≤ Area sector OPS ≤ Area 4 OQS
Figura 8.10
Esto es
1
1
1
cos x sen x ≤ x ≤ tg x
2
2
2
Al multiplicar por 2 y luego tomar recíprocos
1
1 cos x
≥ ≥
sen x cos x x sen x
Ordenando de menor a mayor y multiplicando por sen x
cos x ≤
sen x
1
≤
x
cos x
Tomado límite cuando x → 0
lı́m cos x ≤ lı́m
x→0
De donde
x→0
1
sen x
≤ lı́m
x→0 cos x
x
sen x
≤1
x→0 x
1 ≤ lı́m
Se sigue del teorema del sandwich que
lı́m
x→0
sen x
=1
x
Capítulo 8. Límite y continuidad de funciones
494
Cada vez que tengamos un límite trigonométrico cuya máscara sea 00 , deberemos tener en cuenta este
límite y tratar de hacerlo aparecer mediante procedimientos algebraicos. Para que lo recuerdes mejor:
Figura 8.11
Ejemplo 8.2.3 Hallar lı́m
x→0
1 − cos x
x
sen x
= 1 debe estar presente. El
x→0 x
primer paso es tener la máscara 00 , y como puede verse, la tenemos. Ahora debemos hacer aparecer la
función seno. El conjugado es una buena alternativa
Si aparecen funciones trigonométricas, es por que el notable lı́m
1 − cos x 1 + cos x
1 − cos2 x
1 − cos x
= lı́m
·
= lı́m
x→0
x→0
x
x
1 + cos x x→0 x · (1 + cos x)
lı́m
Pero, sen2 x + cos2 x = 1, de modo que
sen x
0
sen2 x
sen x
1 − cos2 x
= lı́m
= lı́m
·
= 1· = 0
x→0 x · (1 + cos x)
x→0 x
x→0 x · (1 + cos x)
1 + cos x
2
lı́m
tg x − sen x
x→0
x3
Ejemplo 8.2.4 lı́m
La máscara es 00 y aparecen funciones trigonométricas. Separar en dos fracciones es un gran error, por
ello cambiamos la tangente a seno y coseno
tg x − sen x
sen x (1 − cos x)
sen x − sen x · cos x
= lı́m
= lı́m
3
3
x→0
x→0
x→0
x
x · cos x
x · x2 cos x
lı́m
Escribimos como sigue
sen x (1 − cos x)
sen x 1 − cos x 1
= lı́m
·
·
2
x→0
x→0 x
x · x cos x
x2
cos x
lı́m
En la expresión de la derecha, el primer y el último límite valen 1. Hallemos el límite faltante
1 − cos x
1 − cos x 1 + cos x
sen2 x
1
1 1
=
lı́m
·
=
lı́m
·
= 1· =
2
2
2
x→0
x→0
x→0
x
x
1 + cos x
x
1 + cos x
2 2
lı́m
En consecuencia;
tg x − sen x 1
=
x→0
x3
2
lı́m
8.3 Infinitésimo en un punto
495
sen 2(x − 1)
x→1
x3 − 1
Con el fin de saber si estamos en las condiciones del límite notable, lo primero es verificar que tenga la
máscara
seno del argumento 0
=
argumento
0
la que se obtiene por reemplazo directo. Una vez verificado este hecho, si la variable no tiende a 0, un
simple cambio de variable, z = x − 1 en este caso, nos lleva a estar en las condiciones del límite notable.
Se tiene
sen 2(x − 1)
sen 2(x − 1)
lı́m
= lı́m 2
3
x→1
x→1 (x + x + 1)(x − 1)
x −1
sen 2z
1
= lı́m
·
z→0
z
(z + 1)2 + (z + 1) + 1
sen 2z
2
= lı́m
· lı́m
z→0
2z x→1 (z + 1)2 + (z + 1) + 1
2 2
= 1· =
3 3
Actividad 258 Calcular los siguientes límites:
Ejemplo 8.2.5 Hallar lı́m
2. lı́m
x→0
8.3
sen x
x→1 x
3x
6. lı́m
x→0 sen 2x
sen 2
x→2 2
sen 2x
x→0 2x
5. lı́m
3. lı́m
1. lı́m
sen 2
2
sen(x + 1)
x→0
x+1
4. lı́m
Infinitésimo en un punto
Estudiaremos, brevemente, este concepto como una forma alternativa de cálculo y principalmente
poniendo atención en un punto de la recta real. Más adelante veremos como éstos (los infinitésimos)
están conectados con las reglas de L’Hopital, que en verdad si son el instrumento más rápido, simple y
eficaz para calcular límites con ciertas indeterminaciones.
Una función f (x) se dice que es un infinitésimo en el punto x = a, si se verifica que su límite cuando x
tiende a a es igual a 0. Es decir:
f es un infinitésimo en x = a ⇐⇒ lı́m f (x) = 0
x→a
Ejemplo 8.3.1
1. La función f (x) = sen x es un infinitésimo en el punto x = 0. En efecto,
lı́m sen x = sen(lı́m x) = sen 0 = 0
x→0
x→0
2. La función g(x) = 1 − cos x es un infinitésimo en x = 0. En efecto:
lı́m (1 − cos x) = 1 − cos 0 = 1 − 1 = 0
x→0
Dicho de otra forma, conforme nos acercamos al punto x = a la función toma un valor infinitamente
pequeño (prácticamente 0), y este comportamiento de f en x = a coincide, en algunos casos, con el
comportamiento de funciones más sencillas, a las que podemos sustituir por f al estudiar su valor en
x = a.
Capítulo 8. Límite y continuidad de funciones
496
Infinitésimos equivalentes
Sean f (x) y g(x) dos infinitésimos en el punto x = a, es decir:
lı́m f (x) = lı́m g(x) = 0
x→a
x→a
Se dice que f (x) y g(x) son infinitésimos equivalentes en el punto x = a si ocurre que:
f (x)
=1
x→a g(x)
lı́m
Una forma de hallar infinitésimos equivalentes es recurrir a los polinomios de Taylor (contenido que se
ve posterior al proceso de derivadas). A continuación presentamos una lista de los infinitésimos más
usados para x → 0:
(1 + x)k − 1 ∼ kx
arc sen x ∼ x
2
1 − cos x ∼ x2
sen x ∼ x
1
(1 + ax) x ∼ ea
tg x ∼ x
arc tg x ∼ x
ax − 1 ∼ x ln a
ln(1 + x) ∼ x
Ejemplo 8.3.2 Las funciones f (x) = sen x y g(x) = x son infinitésimos en x = 0.
En efecto,
lı́m sen x = 0,
x→0
lı́m x = 0
x→0
Además, son equivalentes pues
sen x
=1
x
Ejemplo 8.3.3 Las funciones f (x) = tg x y g(x) = sen x son infinitésimos equivalentes en x = 0.
lı́m
En efecto, ya sabemos que f (x) = sen x es un infinitésimo en x = 0. Para g(x) = tg x tenemos que
sen x 0
= =0
x→0 cos x
1
lı́m tg x = lı́m
x→0
Y son equivalentes pues,
lı́m
x→0
sen x
sen x · cos x
= lı́m
= lı́m cos x = 1
x→0
x→0
tg x
sen x
No perder de vista que la variable se puede mover a un punto diferente de cero y ser, en ese nuevo
punto, un infinitésimo, por ejemplo
sen(x − 1) ∼ x − 1 en un vecindad de x = 1.
ln x ∼ x − 1 en un vecindad de x = 1.
Observación 8.3.4 ¿Cuándo aplicar infinitésimos? Si f se encuentra multiplicando o dividiendo en
un límite con x → a, podemos sustituir f (x) ∼ g(x). Pero si f se encuentra sumando o restando, por lo
general, la aproximación a g no será válida. Solo en casos muy concretos se puede sustituir f por su
aproximación g dentro de una suma o una resta (Si la aproximación tiene sentido al comparar g con el
resto de sumandos).
8.4 Límites infinitos en un punto
497
Orden de un infinitésimo en un punto
Sea f una función y a un número real. Suponemos que f es un infinitésimo en el punto a, es decir,
lı́m f (x) = 0.
x→a
f (x)
= k 6= 0
(x − a)n
f (x)
Si a = 0, el infinitésimo f en el punto x = 0 es de orden n si lı́m n = k 6= 0
x→0 x
El infinitésimo f en el punto a es de orden n si lı́m
x→a
Ejemplo 8.3.5 La función f (x) = sen x es un infinitésimo en el punto a = 0, pues lı́m sen x = 0
x→0
Para descubrir su órden se debe estudiar la expresión
lı́m
x→0
sen x
xn
sen x
sen x
= lı́m
= 1 6= 0
n
x→0 x
x→0 x
Si n = 1, lı́m
No cabe duda, este infinitésimo es de órden 1.
Cuando se estudien las derivadas volveremos con mejores herramientas para aplicar inifinitésimos.
Actividad 259 Hallar los siguientes límites:
5. lı́m
sen x · tg x
x→0 1 − cos x
6. lı́m
3. lı́m
ln(1 + x)
x→0 1 − ex
4. lı́m
2. lı́m
8.4
tg(x2 − 9)
x→3 sen(x − 3)
sen 5x
x→0
x
1. lı́m
ln x
x→0 2 − 2x
sen 8x
x→0 tg 4x
Límites infinitos en un punto
Sea f una función real de variable real. Sea x0 un número real. Puede ocurrir que x0 pertenezca al
dominio de f o que no pertenezca. Vamos a estudiar y definir los siguientes conceptos:
lı́m f (x) = +∞
x→x0
Esto significa que para valores de x infinitamente próximos a x0 , tanto por su izquierda como por su
derecha, las imágenes f (x)son infinitamente grandes positivas, de tal modo que cuánto más próximo
esté x de x0 (sin llegar a ser x = x0 ), más infinitamente grande es f (x).
Capítulo 8. Límite y continuidad de funciones
498
Figura 8.12
Vamos a expresarlo gráficamente. En la figura 8.11a se observa que f (x0 ) no existe. Además, si x → x0
(tanto por derecha como por izquierda) entonces f (x) es grande positiva y cuanto más próximo está x
de x0 , mayor es la imagen de x, de tal modo que esta se hace infinita positiva. La recta vertical x = x0
se denomina asíntota vertical de la función f . La gráfica de la función se aproxima a la recta vertical
x = x0 tanto como podamos imaginar, pero nunca llega a tocarla.
En la figura 8.11b puede apreciarse como, a partir de M, obtenemos una vecindad o entorno de centro
x0 y radio δ , es decir, V (x0 , δ ) = (x0 − δ , x0 + δ ). Si al trazar las verticales x0 no quedáse en el centro,
tomaríamos un subentorno o subvecindad.
En la figura 8.11c es fácil observar que para cualquier número c que se encuentre en V (x0 , δ ), su
imagen es mayor que M, es decir, f (c) > M. Observar que para cada M obtendremos una V (x0 , δ )
distinta.
La formalización es la siguiente:
Definición 8.4.1 Se dice que el límite de la función f (x) cuando x tiende a x0 es +∞ si para cualquier
valor M positivo, existe un entorno de centro x0 tal que si x está en ese entorno, su imagen es mayor
que M. Matemáticamente: lı́m f (x) = +∞ si y solo si
x→x0
∀M > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < |x − x0 | < δ =⇒ f (x) > M
Ejemplo 8.4.2 Sea f (x) =
1
, x ∈ R − {2}. Veamos que ocurre si x → 2
(x − 2)2
Una simple observación permite darse cuenta
que, valores cercanos a 2, tanto por derecha como por izquierda, dejan el denominador “cero
positivo”. Para ver esto consideremos el punto
1
1
x = 2 + 10
por la derecha y el punto 2 − 10
por
izquierda. se tiene:
1
1
f (2 + ) =
= 100
1
10
(2 + 10 − 2)2
f (2 −
1
1
)=
= 100
1
10
(2 − 10 − 2)2
Figura 8.13
Si se toman puntos más cercanos al dos, por izquierda o derecha, tales como 2 + 101n y 2 − 101n con
8.4 Límites infinitos en un punto
499
n ∈ N, hay un crecimiento sin límite, esto es
1
= +∞
x→2 (x − 2)2
lı́m
Para probar este mismo hecho mediante la definición M, δ tenemos M > 0 dado, debiendo hallar el δ .
Se tiene
1
1
> M =⇒ (x − 2)2 <
(x − 2)2
M
=⇒ |x − 2|2 <
1
M
1
=⇒ |x − 2| < √
M
1
Es claro entonces que, tomando δ = √ se satisface la definición. Esto prueba que lı́m f (x) = ∞.
x→2
M
La figura 8.13 muestra el caso M = 4.
lı́m f (x) = −∞
x→x0
Este caso es análogo al recién visto. El significado de esto es que “para valores de x infinitamente
próximos a x0 , tanto por su izquierda como por su derecha, las imágenes f (x) son infinitamente grandes
negativas, de tal modo que cuanto más próximo esté x de x0 (sin llegar a ser x = x0 ), más infinitamente
grande negativa es f (x)”. En la figura 8.11d se observa que para cualquier número c que se encuentre
en V (x0 , δ ), su imagen es menor que K, es decir, f (c) < K. Es claro que para cada K obtendremos una
V (x0 , δ ) distinta. Formalmente:
Definición 8.4.3 Se dice que el límite de la función f (x) cuando x tiende a x0 es −∞ si para cualquier
valor K negativo, existe un entorno o vecindad de centro x0 tal que si x está en ese entorno, su imagen
es menor que K. lı́m f (x) = −∞ si y solo si:
x→x0
∀K < 0, ∃δ > 0 tal que 0 < |x − x0 | < δ =⇒ f (x) < K
Con fines prácticos, esta definición equivale a
lı́m f (x) = −∞ ⇐⇒ lı́m − f (x) = ∞
x→x0
x→x0
Ejemplo 8.4.4 Consideremos la función f (x) =
x=0
1
y veamos su comportamiento en una vencindad de
x
1
1
∼ + = +∞
0
x→0 x
La definición establece que, dado M debemos hallar el δ en
a) lı́m+
0 < x < δ =⇒ f (x) > M
Capítulo 8. Límite y continuidad de funciones
500
1
1
> M, y al tomar recíproco x < . Luego, δ = M1 . Es sencillo
x
M
1
) los valores
verificar que en estas condiciones, por ejemplo para M = 10, que para cualquier x ∈ (0, 10
de f son mayores que 10.
En este caso, f (x) > M equivale a
1
= −∞
x→0 x
En este caso, se considera la definición establece que
b) lı́m−
−δ < x < 0 =⇒ − f (x) > M
1
1
Ahora, − f (x) > M equivale a tener − > M, multiplicando por −1 se obtiene < −M, de lo cual
x
x
1
x > − . Este es nuestro −δ , de modo que
M
−δ = −
1
1
=⇒ δ =
M
M
Es sencillo verificar que en estas condiciones, por ejemplo, para M = 10, cualquier valor de x en el
1
intervalo (− , 0) es tal que los valores de − f son mayores que 10.
10
2x + 10
.
Ejemplo 8.4.5 Se considera la función f (x) = 2
x − 25
1. Estudiar su comportamiento en x = 5 y sus proximidades.
2. Representa de un modo gráfico lo que ocurre en una vecindad de x = 5.
Para x = 5 es f (5) = 20
0 que no es un número real. Esto es, la función no está definida en x = 5, o bien
que x = 5 no está en el dominio de la función. Por lo estudiado en funciones, se trata de una asíntota
vertical.
Veamos que pasa en una vecindad de x = 5:
A izquierda del 5 consideremos 4,99.
Reemplazamos
f (4, 99) =
19, 98
9, 98 + 10
∼ − = −∞
(4, 99)2 − 25
0
A derecha del 5 consideremos 5,01. Al
reemplazar tenemos
f (5, 01) =
20, 02
10, 02 + 10
∼ + = +∞
(5, 01)2 − 25
0
La figura muestra el comportamiento de la
función en las cercanías de x = 5.
8.4.1
Figura 8.14
Límites con variable al infinito
En este caso la variable x tiende al infinito o bien al menos infinito. Si la variable tiende al menos
infinito, el cambio de variable x = −z hace que z → ∞. Estudiemos esta clase de límites.
8.4 Límites infinitos en un punto
501
lı́m f (x) = L
x→∞
Definición 8.4.6 El límite de la función f , conforme x → ∞ es L si y sólo si para todo número real
ε > 0 existe un número real N > 0, que depende de ε, tal que para todo x en el dominio de f , a partir
de los x > N se satisface | f (x) − L| < ε.
Simbólicamente
lı́m f (x) = L ⇐⇒ (∀ ε > 0)(∃N > 0)(x > N =⇒ | f (x) − L| < ε)
x→∞
Ejemplo 8.4.7 Para probar que lı́m
x→∞
1
= 0, hacemos uso de la definición.
x
1
1
1
1
| − 0| < ε =⇒ | | < ε =⇒ < ε =⇒ x > = N
x
x
x
ε
Esto demuestra que el límite de la función es el
indicado. Con el fin de proporcionar una visión
1
geométrica del problema, si ε = , entonces
4
N = 4. La figura muestra este caso particular,
observándose que las imágenes son menores
que 14 .
Figura 8.15
lı́m f (x) = L
x→−∞
Definición 8.4.8 El límite de la función f , conforme x → −∞ es L si y sólo si para todo número real
ε > 0 existe un número real N > 0, que depende de ε, tal que para todo x en el dominio de f , a partir
de los x < −N se satisface | f (x) − L| < ε.
Simbólicamente
lı́m f (x) = L ⇐⇒ (∀ ε > 0)(∃N > 0)(x < −N =⇒ | f (x) − L| < ε)
x→−∞
Esta definición es equivalente a la siguiente.
lı́m f (x) = L ⇐⇒ lı́m f (−x) = L
x→−∞
Ejemplo 8.4.9 Para probar que lı́m
x→−∞
x→∞
1
= 0, usemos la definición.
x
1
1
1
| − 0| < ε =⇒ | | < ε =⇒ −ε < < ε
x
x
x
Capítulo 8. Límite y continuidad de funciones
502
nos quedamos con
1
1
> − , de donde
x
ε
1
x < − = −N
ε
se debe tomar en cuenta que x → −∞, lo cual implica x < 0. Veamos un cálculo del N. Si ε = 0, 1,
entonces N = 10. Luego,
1
x ∈ (−∞, −10) =⇒ f (x) ∈ V (0, )
10
Por otra parte, si en lugar de la definición se usa la equivalencia dada para esta clase de límites, entonces
la verificación del límite es casi inmediata. En efecto,
f (x) =
1
1
=⇒ f (−x) = −
x
x
con esto,
1
1
1
= lı́m − = − lı́m = 0
x→−∞ x
x→∞ x
x→∞ x
lı́m
lı́m f (x) = ∞
x→∞
Definición 8.4.10 El límite de la función f , conforme x → ∞ es ∞ si y sólo si para todo número real
M > 0 existe un número real N > 0, que depende de M, tal que para todo x en el dominio de f , a partir
de los x > N se satisface f (x) > M.
Simbólicamente
lı́m f (x) = ∞ ⇐⇒ (∀ M > 0)(∃N > 0)(x > N =⇒ f (x) > M)
x→∞
Ejemplo 8.4.11 lı́m x = ∞ ya que dado M > 0 arbitrario, se tiene
x→∞
f (x) > M =⇒ x > M =⇒ N = M
de esta forma,
x > N = M =⇒ f (x) > M
lı́m f (x) = −∞
x→∞
Definición 8.4.12 El límite de la función f , conforme x → ∞ es −∞ si y sólo si para todo número real
M > 0 existe un número real N > 0, que depende de M, tal que para todo x en el dominio de f , a partir
de los x > N se satisface f (x) < −M.
Simbólicamente
lı́m f (x) = −∞ ⇐⇒ (∀ M > 0)(∃N > 0)(x > N =⇒ f (x) < −M)
x→∞
Esta definición es equivalente a la siguiente.
lı́m f (x) = −∞ ⇐⇒ lı́m − f (x) = ∞
x→∞
x→∞
8.4 Límites infinitos en un punto
503
Ejemplo 8.4.13 lı́m (1 − x) = −∞ ya que dado M > 0 arbitrario, se tiene
x→∞
f (x) < −M =⇒ 1 − x < −M =⇒ x > 1 + M = N
de esta forma,
x > N = 1 + M =⇒ f (x) < −M
De esta forma, para M = 10 el N = 11, con lo cual
x ∈ (11, ∞) =⇒ f (x) ∈ (−∞, −10)
Un resultado final de uso corriente en el cálculo de límites es el siguiente.
Proposición 8.4.14 Si f → ∞ y g → ∞, entonces
1.
( f + g)(x) → ∞
4.
k · f (x) → −∞, si k ∈ R−
2.
k · f (x) → ∞, si k ∈ R+
5.
f (x) · g(x) → ∞
3.
1
→0
f (x)
6.
Si f (x) ≥ 0, f (x) → 0 =⇒
1
1
.
,
f2 (x) =
1−x
1 − x2
Los límites laterales por derecha en x = 1 son:
Ejemplo 8.4.15 Sean f1 (x) =
a)
lı́m
x→1+
1
= −∞
1−x
b)
lı́m
x→1+
1
= −∞
1 − x2
Luego,
lı́m+ [ f1 (x) + f2 (x)] = lı́m+
x→1
x→1
1
1
+
1 − x 1 − x2
= −∞
El mismo resultado se obtiene al sumar las fracciones. En efecto;
2+x
1
1
= lı́m+
= −∞
lı́m+
+
2
1−x 1−x
x→1 1 − x2
x→1
En el caso del límite lateral izquierdo se tiene
lı́m−
x→1
1
= ∞,
1−x
lı́m−
x→1
1
=∞
1 − x2
Luego,
lı́m− [ f1 (x) + f2 (x)] = lı́m−
x→1
x→1
1
1
+
1 − x 1 − x2
=∞
El mismo resultado se obtiene al sumar las fracciones. En efecto
1
1
2+x
lı́m
+
= lı́m−
=∞
1 − x2
x→1− 1 − x
x→1 1 − x2
Se sigue que
lı́m
x→1
1
1
+
1 − x 1 − x2
no existe
1
→∞
f (x)
Capítulo 8. Límite y continuidad de funciones
504
Cabe hacer notar que la propiedad 1 de la proposición 8.4.14 no está en contradicción con la afirmación
de que "si los límites existen, entonces el límite de una suma es la suma de los límites". En este caso se
está haciendo uso del hecho que ∞ + ∞ = ∞. De todas maneras, se debe tener bastante cuidado con las
evaluaciones de estos límites.
Actividad 260 Calcular los siguientes límites:
√
x
2. lı́m
x→∞ x + 1
10x
x→∞ x2 − 1
1. lı́m
6x + 2
x→∞ 2x + 5
3x2 − 2x + 7
x→∞ 2x2 + 2x − 4
3. lı́m
4. lı́m
La máscara ∞ − ∞
Cuando aparece esta máscara, el procedimiento dependerá de las expresiones presentes. Si hay una
diferencia de polinomios lo primero es reducir a una sola expresión. Si la diferencia es de expresiones
irracionales, entonces conviene hacer una “des-racionalización” (el “conjugado” es el arma secreta).
1
2
Ejemplo 8.4.16 Hallar límite de f (x) =
para x → 1−
−
1 − x 1 − x2
Una vez más se recuerda que lo primero es la máscara
1
2
1
2
∼ + − + ∼ ∞−∞
lı́m−
−
2
1−x 1−x
0
0
x→1
Como existen fracciones involucradas reducimos a una sola fracción
1
2
x−1
−1
1
lı́m−
−
= lı́m−
= lı́m−
=−
2
2
1−x 1−x
2
x→1
x→1 1 − x
x→1 1 + x
En el caso que x → 1+ , el problema es similar ∞ − ∞, por lo que al escribir en una sola fracción y
evaluar se obtiene como límite − 12 . En consecuencia
2
1
1
lı́m
−
=−
x→1 1 − x
1 − x2
2
Actividad 261 Calcular los siguientes límites:
√
√
x+1− x
x→∞ √
√
2. lı́m 3x + 2 − x − 5
1. lı́m
x→∞
8.4.2
3. lı́m (x3 − 1000x2 )
x→∞ p
3
4. lı́m ( x3 + x2 − x)
x→∞
Un notable con dos caras
El límite notable lı́m (1 + x)1/x = e, por el cambio de variables z =
x→0
Figura 8.16
1
x
se transforma en
8.4 Límites infinitos en un punto
Ejemplo 8.4.17 Calcular lı́m
x→∞
x+2
x
505
x
.
Lo primero es lo primero, la máscara.
lı́m
x→∞
x+2
x
x
∼ 1∞
Esto nos indica que se trata del límite de una exponencial. Escribimos lo siguiente
lı́m
x→∞
x+2
x
x
x
1

= lı́m 1 +
x→∞
x/2

Ahora que hemos descubierto la cajita, armamos el límite
lı́m
x→∞
x+2
x
x



1 +
= lı́m 
x→∞ 
 x/2
1 
x/2
2



de lo cual,
lı́m
x→∞
x+2
x
x
lı́m 2
= ex→∞ = e2
Actividad 262 Calcular:
1 x+5
1. lı́m 1 +
x→∞
x
1 x+100
2. lı́m 1 +
x→∞
x
1 x−4
3. lı́m 1 +
x→∞
x
8.4.3
x
1
1+
x→−∞
x+6
4x−9
1
8. lı́m 1 +
x→∞
4x − 9
2
5x + 7 2x −5
9. lı́m
x→±∞ 5x + 2
3x + 5 5x+7
4. lı́m
x→∞ 3x + 4
4x + 8 −4x−9
5. lı́m
x→−∞ 4x + 9
x
1
6. lı́m 1 +
x→∞
x+6
7. lı́m
Límite de la función compuesta
Proposición 8.4.18 Si f y g son funciones tales que
lı́m g(x) = L
lı́m f (x) = f (L)
x→a
x→L
entonces
lı́m f [g(x)] = f (L)
x→a
Ejemplo 8.4.19 Hallar
1. lı́mπ ln[sen(x)]
x→ 2
2. lı́m sen
x→3
x3 − 3x2 + x − 3
x2 − x − 6
Capítulo 8. Límite y continuidad de funciones
506
Para el primer límite veamos su máscara
π
lı́mπ ln[sen(x)] ∼ ln[sen ] = ln 1 = 0
2
x→ 2
Para el segundo límite se tiene la máscara
3
x − 3x2 + x − 3
0
lı́m sen
∼ sen
2
x→3
x −x−6
0
Este es un problema menor, el cociente
denominador. debemos “aniquilarlo”
0
0
nos dice que el factor (x − 3) se halla en el numerador y en el
2 + 1)
(x
−
3)(x
x3 − 3x2 + x − 3
x2 + 1 10
=
lı́m
=
=2
=
lı́m
x→3 x→3
x→3 x + 2
x2 − x − 6
5
(x
−
3)(x + 2)
lı́m
Por tanto,
x3 − 3x2 + x − 3
lı́m sen
x→3
x2 − x − 6
8.5
∼ sen 2 = sen 2
Continuidad
Cuando se estudia el límite de una función, se está analizando su comportamiento en la vecindad de un
punto, no en el punto. De esta forma, la imagen de este punto no es relevante.
Se estudia ahora el comportamiento de la función no sólo en torno a un punto, si no también en el
punto. En particular, se compara el valor de la función en el punto con sus valores en la vecindad.
Esto requiere que función f esté definida en el punto. El problema consiste en “investigar si f (x) se
aproxima a f (x0 ) cuando x → x0 ”.
Estas funciones que estando definidas en cierto intervalo no presentan cortes ni saltos reciben el nombre
de continuas y en lenguaje matemático esta propiedad de no poseer “ruptura” se enuncia de la siguiente
forma.
Definición 8.5.1 La función f : I ⊂ R → R es continua en el punto x0 , si y sólo si, para todo ε > 0
existe δ > 0 tal que |x − x0 | < δ =⇒ | f (x) − f (x0 )| < ε.
Simbólicamente:
f continua en x0 ⇐⇒ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(|x − x0 | < δ =⇒ | f (x) − f (x0 )| < ε
Se observa, que respecto de la definición de límite de funciones, esta definición de continuidad equivale
a tener f (x0 ) = L y eliminar la condición que 0 < |x − x0 |, la que significa x 6= x0 . De la misma forma,
el número δ depende de ε, de x0 y de la función.
Desde un punto de vista geométrico la continuidad de una función se observa a partir de su gráfica, la
que no debe presentar cortes ni saltos. Si una función no es continua se dice que es discontinua.
Ejemplo 8.5.2 Probemos que la función f (x) = x2 es continua en el punto x0 = 2.
Tal como lo hicimos con el límite de funciones, dado ε > 0 debemos hallar el δ > 0. Se tiene
| f (x) − f (x0 )| < ε =⇒ |x2 − 4| = |x − 2| |x + 2| < ε
8.5 Continuidad
507
Se acota |x + 2| a partir de |x − 2| < δ = 1. Se tiene
|x − 2| < 1 =⇒ |x + 2| < 5
En consecuencia
| f (x) − f (x0 )| < ε =⇒ |x2 − 4| < 5 δ = ε =⇒ δ =
ε
5
ε
Eligiendo δ = mı́n{1, } se prueba que la función es continua en x0 = 2. En general, esta función es
5
continua en cualquier punto x0 .
Observación 8.5.3
La definición de continuidad no pide que xn 6= x0 . De tal manera que es inmediato que toda
función es continua en un punto aislado
Si la función f toma un valor infinito en el punto x0 , el problema de la continuidad no tiene
sentido en ese punto.
La definición de continuidad no requiere que x0 sea punto de acumulación, sin embargo, si lo es,
se puede definir la continuidad con ayuda del límite como sigue.
Definición 8.5.4 La función f : I ⊂ R → R es continua en el punto x0 , si el límite de f cuando x → x0
es f (x0 ).
Simbólicamente
f continua en x0 ⇐⇒ lı́m f (x) = f (x0 )
x→x0
En la mayoría de los problemas es esta la definición más práctica y útil. Este proceso, que permite
estudiar continuidad, requiere de los siguientes pasos:
paso 1 Sacar el límite L de la función en el punto x0
paso 2 Sacar el valor f (x0 ) y comparar con L
Si son iguales la función es continua
en caso contrario discontinua
Ejemplo 8.5.5 La continuidad de f (x) = x2 en x = 2, visto de esta forma es sencilla. El punto x = 2
es evidentemente punto de acumulación, el valor de f en 2 es f (2) = 4. El límite cuando x → 2, tanto
por izquierda como por derecha es 4, de manera que el límite existe y se cumple que lı́m f (x) = f (2).
x→2
Esto prueba continuidad de la función en x = 2.
( sen x
, x 6= 0
x
, es continua en el punto x0 = 0 ya que, x0 = 0 es
1
,x = 0
punto de acumulación, f (0) = 1, y además, el límite, cuando x → 0 de la función es 1. Luego, hay
continuidad en x0 = 0.
Ejemplo 8.5.6 La función f (x) =
En el cálculo de límites se acostumbra a reemplazar el punto hacia el cual tiende la variable con el
fin de averiguar si el cálculo es directo o si existe una indeterminación (¡esa es la máscara!) . En la
mayoría de los casos ocurre lo último. Una vez eliminada la indeterminación se procede de nuevo a un
reemplazo hasta el paso final. Cuando la función es continua se está obligado al reemplazo directo.
Ello es así, por que el simbolismo
lı́m f (x) = f (x0 )
x→x0
Capítulo 8. Límite y continuidad de funciones
508
es equivalente con
lı́m f (x) = f ( lı́m x)
x→x0
x→x0
Con esta equivalencia se quiere dar a entender que, en general, las operaciones “límite de función” y
“función del límite” son conmutativas cuando la función es continua. Dada su importancia la resaltamos
Propiedad
En un punto de continuidad, el límite de la función es la función del límite.
Simbólicamente
lı́m f (x) = f ( lı́m x)
x→x0
x→x0
Hemos analizado la continuidad en un punto x0 de un intervalo I ⊂ R. Si ocurre que en cada punto de
I la función f es continua, entonces se dice que f es continua en el intervalo.
8.5.1
Continuidad Lateral
Al igual que en el límite, existe en la continuidad el concepto de continuidad lateral, esto puede ocurrir
en un punto interior del intervalo [a, b] o bien en los extremos, en donde, necesariamente, en a es
derecha y en b izquierda. Se sigue entonces, que Una función es continua en un punto si y sólo si, es
continua a derecha e izquierda de ese punto.
Se pueden plantear definiciones δ , ε, por sucesiones, o por límites laterales. No vamos a insistir en
ello, ya que para los fines planteados no es relevante. Vamos a formular ejemplos en conjunto con las
discontinuidades.
(
e 1/x , x 6= 0
Ejemplo 8.5.7 La función f (x) =
, no es continua en x=0 pues
0 , x=0
lı́m f (x) = ∞,
x→0+
lı́m f (x) = 0
x→0−
Se observa que la función si es continua por la izquierda, ya que
lı́m f (x) = 0 = f (0)
x→0−
8.6
Discontinuidad
El nombre de discontinuidad es usado para denominar aquella función que no es continua en uno
o varios puntos. Ahora bien esta discontinuidad puede tener diversas causas y dar origen a diversos
fenómenos, tales como los que a continuación se mencionan.
1. Existen funciones definidas sobre un intervalo que no son continuas en ningun punto. Tal como
(
0 , x racional
f (x) =
1 , x irracional
8.6 Discontinuidad
509
2. Existen funciones que son discontinuas solo en un punto y con un comportamiento muy variado
en la vecindad del punto. Tal como


0 , −1 ≤ x < 0
f (x) = 2 , x = 0


1 ,0 < x ≤ 1
En este caso, x0 = 0 es el único punto de discontinuidad, lı́m+ f (x) = 1, lı́m− f (x) = 0, f (0) = 2.
x→0
x→0
Es decir, existen los dos límites laterales, son distintos y ambos valores son diferentes de f (0)
3. Existen funciones que no tienen límite finito derecho ni izquierdo, y que pueden o no estar
acotadas, tal como

 1 , x 6= 0
f (x) = x
0 , x = 0
Se observa que la función no es continua en x = 0, no es acotada, y no existen los límites laterales
finitos cuando x → 0.

sen 1 , x 6= 0
4. La función definida por f (x) =
no es continua en x = 0, pero si es acotada. No
x

0 ,x = 0
tiene límite cuando x → 0, ya que es suficiente elegir (xn ) con xn =
f (xn ) = sen (
2
para tener
nπ
nπ
) = {1, 0, −1, 0, 1, 0, −1, · · · }
2
así, no existe el límite de esta función.
5. Existen funciones que están definidas y son continuas en todos, salvo un número finito de puntos
de un intervalo I, existiendo los límites laterales finitos. Estas funciones se llaman continuas
por tramos. Por ejemplo,
(
x
,0 < x < 1
f (x) =
1−x ,1 < x < 2
Esta clase de funciones son de particular importancia en el estudio de las funciones integrables, y como
consecuencia en Series y Transformadas de Fourier y Laplace.
Las discontinuidades se clasifican como de primera especie y de segunda especie. Es de primera especie
cuando los límites laterales existen y son finitos los límites laterales, en caso contrario la discontinuidad
es de segunda especie. Por ejemplo, las funciones continuas por tramos presentan discontinuidades de
primera especie.


, −1 < x < 0
x − 1
Ejemplo 8.6.1 La función f (x) = −x − 1 , 0 ≤ x < 1 , tiene una discontinuidad de primera espe

x+1
,1 ≤ x < 2
cie en x = 1, siendo continua en los demás puntos del intervalo.

sen ( 1 ) , x 6= 0
Ejemplo 8.6.2 La función f (x) =
, tiene una discontinuidad de segunda especie en
x

0
,x = 0
x = 0, pues no existen los límites laterales.
Capítulo 8. Límite y continuidad de funciones
510
Es posible que en determinadas funciones los límites laterales existan y sean iguales entre sí, pero
distintos del valor de la función en el punto, en tal caso es posible “redefinir” la función para efectos de
continuidad. Se tiene lo que sigue.
Definición 8.6.3 La función f tiene una discontinuidad evitable en un punto, si el límite en ese punto
existe pero es diferente del valor de la función en el punto

x · sen 1
Ejemplo 8.6.4 La función f (x) =
x

k
, x 6= 0
, es tal que
,x = 0
1
sen
1
x = lı́m sen z = 0
lı́m x · sen = lı́m
z→∞ z
x→0
x x→0 1
x
Luego, poniendo k = 0, la discontinuidad es evitable.
Actividad 263 Estudiar continuidad de las funciones:
x2 − 4
1. f (x) =
x−2
2. f (x) =

x + 4, −4 ≤ x < 0

8.6.1
5,
x≥0
Álgebra de las funciones continuas
Volvemos ahora a las funciones continuas, para ver su comportamiento algebraico.
Teorema 8.6.5 Si las funciones f y g son continuas en x0 , entonces f + g, f − g, f · g,
f
, g 6= 0 son
g
continuas en x0 .
Las demostraciones de estos hechos son sencillas, como ejemplo hacemos la primera de ellas.
f continua en x0
=⇒
g continua en x0
=⇒
lı́m f (x) = f (x0 )
x→x0
lı́m g(x) = g(x0 )
x→x0
Como además,
lı́m ( f + g)(x) = lı́m f (x) + lı́m g(x)
x→x0
x→x0
x→x0
entonces
lı́m ( f + g)(x) = f (x0 ) + g(x0 ) = ( f + g)(x0 )
x→x0
Se concluye que f + g es continua en x0 .
Ejemplo 8.6.6
1. Toda función polinomial f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · an xn es continua ya que es la suma de
funciones continuas.
P(x)
2. Toda función racional
es continua en los puntos en que Q(x) 6= 0.
Q(x)
8.6 Discontinuidad
511
3. Las funciones sen x y cos x son continuas para todo valor de su argumento.
π
4. La función tg x es continua para todo x 6= (2n − 1) .
2
5. La función f (x) = ex es continua para todo valor de x.
6. La función f (x) = ln x es continua para todo x ∈ R+ .
Proposición 8.6.7 (función compuesta)
Sean f : R → R función continua en x0 , g : R → R función continua en f (x0 ), entonces la función
compuesta g ◦ f es continua en x0 .
Demostración.
Una prueba sencilla de este resultado es como sigue.
f continua en x0 , entonces
:
g continua en f (x0 ), entonces :
x → x0 =⇒ f (x) → f (x0 )
f (x) → f (x0 ) =⇒ g[ f (x)] → g[ f (x0 )]
Usando transitividad se obtiene
x → x0 =⇒ g[ f (x)] → g[ f (x0 )]
Esto muestra la continuidad de la compuesta en x0 .
Actividad 264 Considerar la función


−x + 2
f (x) =
x2


9
, −3 ≤ x ≤ 1
,1 < x ≤ 3
,3 < x ≤ 7
1. Graficar esta función
2. Hallar límites laterales
3. Determinar puntos de continuidad y discontinuidad
Actividad 265 Determinar continuidad de
(
x2 , 0 ≤ x < 2
f (x) =
3, x ≥ 2
x2 + x − 2
Ejemplo 8.6.8 Probar que lı́m arc tg
x→1
3x2 − 3x
=
π
4
Estamos en presencia de un límite que tiene la composición de la función arcotangente y una función
racional. Al ver la máscara, se observa que la fracción es del tipo 00 . Como x → 1, el numerador y el
denominador tienen el factor (x − 1). Vamos a eliminarlo
(x
−
1(x + 2)
x2 + x − 2
lı́m
= lı́m
=1
x→1 3x2 − 3x
x→1 3x
(x
−
1)
De esta manera
x2 + x − 2
lı́m arc tg
x→1
3x2 − 3x
= lı́m arc tg(1) =
x→1
π
4
Capítulo 8. Límite y continuidad de funciones
512
8.6.2
Continuidad en intervalos cerrados
Hasta aquí nos hemos centrado en hacer un estudio local de las funciones ya que las definiciones
y resultados obtenidos dependen de lo que ocurre en un entorno del punto. Ahora vamos a ver que
exigiendo continuidad a todos los puntos del intervalo [a, b] se pueden obtener resultados globales, que
afectan el comportamiento de la función en todos los puntos del intervalo.
Teorema 8.6.9 La imagen de un intervalo por una función continua es un intervalo
Teorema 8.6.10 Si f : A ⊂ R → R es función continua sobre el conjunto cerrado A, entonces f (A) es
un conjunto cerrado y acotado.
1
, entonces f es una función continua sobre A. Además,
x
A no es un conjunto cerrado. El conjunto imagen de A por f es
Ejemplo 8.6.11 Si A = {0 < x ≤ 1}, f (x) =
f (A) = [1, ∞)
De esta forma, f (A) no es un conjunto cerrado. Luego, es necesario que A sea cerrado.
Ejemplo 8.6.12 Si A = {−1 < x < 1}, f (x) = x2 , entonces f es una función continua, A es un intervalo
abierto, pero su imagen no es un conjunto abierto, de hecho
f (A) = [0, 1)
Corolario 8.6.13 Si f : [a, b] ⊂ R → R es una función continua, entonces f es acotada sobre [a, b] y
existen escalares α y β en [a, b] tales que
f (α) = sup f ,
f (β ) = ı́nf f
[a,b]
[a,b]
Figura 8.17
Demostración.
Como f es continua y [a, b] es un conjunto cerrado, entonces f ([a, b]) es un conjunto cerrado y acotado,
de aquí que contenga sus extremos superior e inferior (figura 8.17a). De este modo, existen elementos
α y β tales que
f (α) = sup f (x),
f (β ) = ı́nf f (x)
x∈[a,b]
x∈[a,b]
8.6 Discontinuidad
513
Ejemplo 8.6.14 Si A = {0 < x ≤ 1} y f (x) = x, entonces f es una función continua y A un conjunto
acotado pero no cerrado. Esta función no alcanza sus extremos, pues en cero no está definida. Luego,
es condición necesaria que el intervalo en cuestión sea cerrado.
Teorema 8.6.15 — Bolzano.
Sea f : [a, b] → R función continua que toma valores con signos opuestos en los extremos del intervalo
( f (a) · f (b) < 0). Entonces existe algún punto c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0. Este punto c se llama cero o
raíz de f .
La figura 8.17b ilustra el caso f (a) < 0, f (b) > 0, que vamos a probar. Para hallar el x0 tal que
f (x0 ) = 0 consideremos el conjunto
S = {x ∈ [a, b]/ f (x) ≤ 0}
Es claro que S 6= 0,
/ puesto que f (a) < 0. Además, S está acotado superiormente ya que los elementos
de S están en [a, b]. Se tiene así que S tiene un extremo superior que llamamos x0 . Esto es, x0 = sup S.
Este x0 tiene tres posibilidades:
1. f (x0 ) > 0:
Este caso implica la existencia de una vecindad V (x0 , δ ) en la cual f (x) > 0. Se tiene entonces,
que para x ∈ S, x0 − δ es cota superior de S. Pero como x0 − δ < x0 , entonces x0 no es supremo
¡¡ contradicción !! En consecuencia,
f (x0 ) > 0
¡¡ imposible !!
2. f (x0 ) < 0:
Este caso implica la existencia de una vecindad V (x0 , δ ) en la cual f (x) < 0, para algún x > x0 .
Este hecho iría en contra de que x0 es cota superior de S. En consecuencia,
f (x0 ) < 0
¡¡ imposible !!
3. f (x0 ) = 0:
Descartadas las otras dos alternativas, lo único posible es que f (x0 ) = 0. Lo que prueba el teorema.
(
−1 , 0 ≤ x < 1
Ejemplo 8.6.16 Para la función f (x) =
, existe sólo un punto de discontinuidad, el
1
,1 ≤ x ≤ 2
cual destruye la conclusión. Por tanto se necesita continuidad en todo el intervalo.
Ejemplo 8.6.17 La función f (x) = x5 − x3 − 20 es continua sobre el intervalo [0, 2]. Además, f (0) =
−20 < 0, f (2) = 4 > 0. Esto significa que se satisfacen las condiciones del teorema de Bolzano. En
consecuencia, existe al menos una raíz x0 de esta ecuación en (0, 2).
Actividad 266
1. Demostrar que la ecuación: x3 + x − 5 tiene al menos una solución x = a tal que 1 < a < 2.
2. Demostrar que la función f (x) = x2 − 4x + 2 corta al eje de abscisas en el intervalo [0, 2].
Capítulo 8. Límite y continuidad de funciones
514
El teorema de Bolzano proporciona una herramienta útil para probar que ciertas ecuaciones tienen solución. Consideremos el siguiente
problema. Se trata de probar que hay un número real c tal que f (c) = g(c), o dicho de
otra forma, que la ecuación f (x) = g(x) tiene
soluciones. La forma de proceder para aplicar
el teorema de Bolzano es la siguiente.
Se pasan todos los términos de la ecuación a un lado y se define h(x) = f (x) − g(x).
Se comprueba que la función h es continua y está definida en un intervalo I. Algunas veces el
intervalo donde h está definida debemos elegirlo nosotros de forma adecuada, y otras veces viene
impuesto por el enunciado del ejercicio.
Se comprueba que hay puntos en I donde la función h es negativa y otros en los que h es positiva.
Se concluye,por el teorema de Bolzano, que h debe anularse en algún punto de I, que es lo que
queríamos probar.
Actividad 267
1. Demostrar que la ecuación e−x + 2 = x tiene al menos una solución real.
2. Demostrar que existe algún número real x tal que senx = x.
3. Demostrar que existe un punto del intervalo abierto (2, 4) en el que la función f dada toma el
valor 1.

1

 7 − (16) x , x 6= 0
f (x) = 1 + (16) 1x


7
,x = 0
Actividad 268
1. Sea f (x) = x2 . Halla f ([−1, 1)) y f ((−1, 1])
2. Sea f (x) = 1x . Halla f ((0, 1]), f ([1, ∞))
3. Sea f (x) = senx. Halla f ((−π, π))
Teorema 8.6.18 ( del Valor Intermedio )
Sea f función continua sobre [a, b]. Si x1 < x2 son dos puntos cualesquiera de [a, b] tales que f (x1 ) 6=
f (x2 ), entonces la función f toma todos los valores comprendidos entre f (x1 ) y f (x2 ), por lo menos
una vez en el intervalo (x1 , x2 ).
Demostración.
En términos geométricos, lo que afirma el teorema es que toda recta entre f (x1 ) y f (x2 )
debe cortar el gráfico de f al menos una vez.
Suponemos que f (x1 ) < f (x2 ) y que k es un
valor cualquiera comprendido entre f (x1 ) y
f (x2 ). La función g definida sobre [x1 , x2 ] por
g(x) = f (x) − k
es continua en ese intervalo, y tal que
Figura 8.18
8.6 Discontinuidad
515
(
g(x1 ) = f (x1 ) − k < 0
g(x2 ) = f (x2 ) − k > 0
Esto quiere decir, que a la función g le es aplicable el teorema de Bolzano. De aquí que existe x0 en
(x1 , x2 ), tal que g(x0 ) = 0, lo que a su vez implica que f (x0 ) = k.
Teorema 8.6.19 Si f : [a, b] ⊂ R → R es una función continua e inyectiva, entonces f es monótona
sobre [a, b].
Figura 8.19
Demostración.
Sin pérdida de generalidad, suponemos que f (a) < f (b). Afirmamos que
a < x1 < b =⇒ f (a) < f (x1 ) < f (b)
Las otras alternativas, se descartan por las razones que se indican en cada caso:
Alternativa 1:
f (a) = f (x1 ) ó f (b) = f (x1 )
¡¡ imposible !!, ya que f es inyectiva y toma todos los valores entre f (a) y f (b) solamente una vez.
Alternativa 2:
f (x1 ) < f (a)
¡¡ imposible !!, ya que f (x) = f (a) para algún x ∈ (x1 , b) de acuerdo con el teorema del valor intermedio.
Alternativa 3:
f (x1 ) > f (b)
¡¡ imposible !!, ya que existiría un x ∈ (a, x1 ) tal que f (x) = f (b).
Así que, efectivamente se cumple que
a < x1 < b =⇒ f (a) < f (x1 ) < f (b)
En consecuencia, para a < x1 < x2 < b debe tenerse
x1 < x2 =⇒ f (x1 ) < f (x2 )
De esta forma, la función f es estrictamente creciente. El caso f (a) > f (b) muestra, de manera análoga,
que f es estrictamente decreciente.
Capítulo 8. Límite y continuidad de funciones
516
Teorema 8.6.20 Si la función real f es estrictamente creciente en [a, b], entonces la función inversa
f −1 existe y es estrictamente creciente.
Teorema 8.6.21 Sea f función real continua sobre [a, b]. Si la función inversa f −1 existe, entonces es
continua sobre [ f (a), f (b)].
Teorema 8.6.22 — Weierstrass.
Toda función continua en un intervalo cerrado
[a, b], alcanza en dicho intervalo al menos un
máximo absoluto y un mínimo absoluto.
En la gráfica de la figura 8.20 se observa una
función continua en [a, b] que presenta en x2
un máximo absoluto de valor M y en x1 un
mínimo absoluto de valor m.
Figura 8.20
Actividad 269 Verificar que la función f (x) = x2 + 1 definida en el intervalo cerrado [−1, 2] alcanza
máximo y mínimo global en dicho intervalo.
Actividad 270
1. Determinar si es posible aplicar el teorema del valor intermedio, en su dominio de definición, a
la función
(
x + 2 , −1 ≤ x < 2
f (x) = x
2 +5 ,2 ≤ x ≤ 4
Graficar la función.
√
2. Hallar el valor de p para que la función f (x) = x3 − 3x2 + p tome el valor 2 en algún punto del
intervalo [1, 2]. Resp p = 5
8.7
Problemas resueltos
Problema 8.1 Consideremos las funciones fi : R → R, con i = 1, 2, 3, definidas como
(
1,
si x ≥ 0
f1 (x) =
−1, si x < 0

1,
si x > 0
f2 (x) = x
 −1, si x ≤ 0

 1 , six 6= 0
f3 (x) = x
0, si x = 0
Estudiemos el comportamiento de cada función en una vecindad de x = 0.
Para f1 se tiene: f (0) = 1, el límite por derecha en x = 0 es 1, y el límite por izquierda es -1.
Por ser los límites laterales distintos, se sigue que no existe límite en x = 0.
Para f2 : f (0) = −1, el límite por izquierda en x = 0 es -1, y el límite por derecha es +∞. Por
ser los límites laterales distintos, se sigue que no existe límite en x = 0.
8.7 Problemas resueltos
517
Para f3 : f (0) = 0, el límite por izquierda en x = 0 es −∞, y el límite por derecha es +∞. Por
ser los límites laterales distintos, se sigue que no existe límite en x = 0.
las gráficas de estas funciones en la figura 8.21.
Figura 8.21
Problema 8.2 Calcular los siguientes límites:
2x2 +1
3x2 − 1
1) lı́m
x→∞
x2
1) La máscara del límite es
2) lı́m
x→∞
x3 − 1
x3 + 3
2x3
3) lı́m
x→∞
2x3 + 1
3x3 + x2 − 1
2x−1
2x2 +1
3x2 − 1
lı́m
∼ 3∞ = ∞
x→∞
x2
Se debe tener presente que el numerador y denominador tienen el mismo grado, y la variables x va al ∞.
Por tanto el límite es el coeficiente de la potencia 3 en el numerador (3), dividido por el coeficiente de
la potencia 3 del denominador (1).
2) La máscara del límite es
2x3
x3 − 1
lı́m
∼ 1∞
x→∞ x3 + 3
Como la variable va al infinito, en la base, solo miramos las máximas potencias del numerador y
denominador. En este caso, ambos tiene grado 3, por lo que el límite es 1. El exponente claramente va
al infinito. Tenemos entonces un límite exponencial.
3
2x3
3
x −1
−4 2x
lı́m
= lı́m 1 + 3
x→∞ x3 + 3
x→∞
x +3
Al comparar con la cajita, debemos escribir
!2x3
3
2x3
1
x −1
= lı́m 1 + x3 +3
lı́m
x→∞ x3 + 3
x→∞
−4
Así, la cajita es
x3 +3
−4
. El límite toma la forma
lı́m
x→∞
x3 − 1
x3 + 3
2x3
 3 −4
! x3−4+3 2x · x3 + 3
1


= lı́m  1 + x3 +3
= e−8


x→∞
−4
Capítulo 8. Límite y continuidad de funciones
518
3) La máscara del límite es
lı́m
x→∞
En la fracción
2
3
2x3 + 1
3x3 + x2 − 1
2x−1
∞
2
=0
∼
3
el denominador crece más rápido que el numerador, por eso el límite es cero.
Problema 8.3 Calcular los siguientes límites.
x5 − 1
1. lı́m 4
x→1 2x − 2
√
3x2 − 11 − 4
2. lı́m
x→3
x−3
√
13 − x2 − 3
3. lı́m
x→2
x−2
1) la máscara de este límite es
x5 − 1
0
∼
4
x→1 2x − 2
0
lı́m
dado que tenemos cero en numerador y denominador, buscamos ese cero, que sabemos es (x − 1).
Tenemos
4 + x3 + x2 + x + 1)
x5 − 1
(x
−
1)(x
(x4 + x3 + x2 + x + 1) 5
=
lı́m
=
lı́m
=
+ 1)(x2 + 1)
x→1 2x4 − 2
x→1
x→1
2
(x
−
1)(x
2(x + 1)(x2 + 1)
8
lı́m
2) la máscara de este límite es
√
3x2 − 11 − 4 0
∼
lı́m
x→3
x−3
0
Es claro que el factor (x − 3) está haciendo cero el numerador y denominador. Lo vamos a encontrar y
a aniquilar. La herramienta para hallarlo (en el numerador) es el conjugado.
√
√
√
3x2 − 11 − 4
3x2 − 11 − 4
3x2 − 11 + 4
= lı́m
·√
lı́m
x→3
x→3
x−3
x−3
3x2 − 11 + 4
3x2 − 27
√
= lı́m
x→3 (x − 3) · ( 3x2 − 11 + 4)
+ 3)
3
(x
−
3)(x
√
= lı́m
· ( 3x2 − 11 + 4)
x→3 (x
−
3)
3(x + 3)
= lı́m √
x→3 3x2 − 11 + 4
18 9
=
=
8
4
3) la máscara del límite es
√
13 − x2 − 3 0
lı́m
∼
x→2
x−2
0
Debemos hallar el factor (x − 2) que se encuentra “escondido” en el numerador. La existencia de la raíz
indica que el conjugado es una buena alternativa
√
√
√
13 − x2 − 3
13 − x2 − 3
13 − x2 + 3
4 − x2
√
lı́m
= lı́m
·√
= lı́m
x→2
x→2
x−2
x−2
13 − x2 + 3 x→2 (x − 2)( 13 − x2 + 3)
8.7 Problemas resueltos
519
Ahora aplicamos cirugía de cancelación
+ x)
2
4 − x2
(2
−
x)(2
−(2 + x)
−4
√
√
=−
= lı́m
= lı́m √
=
2
2
x→2 (x − 2)( 13 − x2 + 3)
x→2 x→2
6
3
(x − 2)( 13 − x + 3)
( 13 − x + 3)
lı́m
Problema 8.4 Calcular los siguientes limites:
x sen x
x→0 1 − cos x
1 − e2x
x→0 sen x
1. lı́m
2. lı́m
3. lı́m
x→0
ln(1 − sen x)
ln(1 + sen x)
1) Tenemos un límite trigonométrico con máscara 00 , por tanto, en alguna parte debemos aplicar
sen x
lı́m
= 1.
x→0 x
x sen x 1 + cos x
x sen x(1 + cos x)
x(1 + cos x)
x sen x
= lı́m
·
= lı́m
= lı́m
2
x→0 1 − cos x 1 + cos x
x→0
x→0
x→0 1 − cos x
sen x
sen x
lı́m
Un último paso
x(1 + cos x)
1 + cos x
= lı́m sen x = 2
x→0
x→0
sen x
x
lı́m
2) Este límite tiene máscara 00 . Como aparece el cero, el notable debe estar cerca. Para el numerador
usaremos el infinitésimo ax − 1 ∼ x ln a. Si a = e se tiene ex − 1 ∼ x, y si cambiamos x por 2x, el
infinitésimo es e2x − 1 ∼ 2x, o bien e2x ∼ 1 + 2x. Por tanto
1 − e2x
1 − (1 + 2x)
−2x)
= lı́m
= lı́m
= −2
x→0 sen x
x→0
x→0 sen x
sen x
lı́m
3) Esta máscara tiene la forma 00 . Usaremos infinitésimos. Sabemos que, en una vecindad de x = 0 es
válido que
ln(1 + x) ∼ x
Cambiando x por sen x se mantiene el infinitésimo pues sen x ∼ x cerca del 0. Por tanto
lı́m
x→0
Problema 8.5 Hallar lı́m
x→∞
ln(1 − sen x)
− sen x
= lı́m
= −1
ln(1 + sen x) x→0 sen x
p
p
3x2 + 1 − 3x2 + x
La máscara es inolvidable
lı́m
x→∞
p
p
3x2 + 1 − 3x2 + x ∼ ∞ − ∞
Por lo general tenemos dos alternativas, juntar en una sola expresión (caso fracciones) o bien el
conjugado (caso raíces). Vamos por el conjugado
p
p
√3x2 + 1 + √3x2 + x
p
p
2
2
2
2
√
lı́m
3x + 1 − 3x + x = lı́m
3x + 1 − 3x + x · √
x→∞
x→∞
3x2 + 1 + 3x2 + x
Multiplicando en el numerador
p
p
1−x
√
lı́m
3x2 + 1 − 3x2 + x = lı́m √
x→∞
x→∞ 3x2 + 1 + 3x2 + x
Capítulo 8. Límite y continuidad de funciones
520
Con esto se ha cambiado la máscara a
1−x
−∞
√
lı́m √
∼
x→∞ 3x2 + 1 + 3x2 + x
∞
Hay que ver los grados:
El numerador y el denominador
son de grado 1. Debemos mirar sus coeficientes. El del numerador es
√
√
-1 y el denominador 3 + 3. En consecuencia
p
p
1
lı́m
3x2 + 1 − 3x2 + x = − √
x→∞
2 3
√
3
x+1−1
Problema 8.6 Calcular lı́m
x→0
x
Claramente, la máscara es 00 . Tenemos el cero del denominador, falta hallar el cero del denominador.
Con x + 1 = z3 se tiene que z → 1. Luego
√
3
x+1−1
z−1
z−1
lı́m
= lı́m 3
= lı́m
x→0
z→1 z − 1
z→1 (z − 1)(z2 + z + 1)
x
1
1
=
= lı́m 2
z→1 z + z + 1
3
Existe la alternativa de multiplicar por el conjugado del numerador
p
√
√
√
3
3
x+1−1
x + 1 − 1 3 (x + 1)2 + 3 x + 1 + 1
lı́m
= lı́m
·p
√
3
x→0
x→0
x
x
(x + 1)2 + 3 x + 1 + 1
x
= lı́m p
√
x→0 x( 3 (x + 1)2 + 3 x + 1 + 1)
1
= lı́m p
√
3
x→0
(x + 1)2 + 3 x + 1 + 1
1
=
3
Problema 8.7 Analizar si las funciones siguientes son o no continuas en x = 2.
√
x3 − 8
3x2
2) g(x) = x − 3
3) h(x) =
1) f (x) =
x−2
x−2
1) f no es continua en x = 2 pues f (2) no existe.
2) g no es continua pues g(2) no está definido.
3) h no es continua pues h(2) no existe.


2x + 3, x < −2
Problema 8.8 Estudiar continuidad de la función f (x) = x2 − 5, −2 ≤ x < 0


3,
x≥0
Como la función viene definida por tramos, los puntos en conflicto son x = −2 y x = 0.
lı́m − f (x) = −1
x→−2
lı́m f (x) = −1
x→−2+
Además, f (−2) = −1. Se concluye que hay continuidad en x = −2.
Para x = 0 se tiene:
8.7 Problemas resueltos
521
lı́m f (x) = −5
x→0−
lı́m f (x) = 3
x→0+
Tenemos límites laterales distintos en x = 0, lo que implica que no hay continuidad en x = 0. Además,
f (0) = 3. Así, esta discontinuidad es de salto finito (de magnitud 8). (
2x + a
,x ≤ 1
Problema 8.9 Determina el valor de a para que sea continua f (x) =
2
x − ax + 2 , x > 1
El punto conflictivo es x = 1. Para que f sea continua han de coincidir los límites laterales.
lı́m− f (x) = 2 + a
x→1
lı́m f (x) = 3 − a
x→1+
para tener igualdad, debe ocurrir que 2 + a = 3 − a, de lo cual a = 12 .
2x2 k − 7x + 5
= −1.
Problema 8.10 Calcular el valor de k para que lı́m
x→∞
7x2 − 3
Como el límite va al infinito y tenemos un cociente de polinomios, sólo nos fijamos en los grados.
Como numerador y denominador son ambos de grado 2, su límite es el cociente entre los coeficientes.
Esto es
2x2 k − 7x + 5 2k
2k
7
lı́m
=
=⇒
= −1 =⇒ k = −
2
x→∞
7x − 3
7
7
2
|x − 2|
Problema 8.11 Calcular 2
x −4
Si te das un tiempo para la máscara, ella es del tipo 00 . Pero, ahora hace su aparición el temido
valor absoluto. Sabemos que existe un “punto de quiebre” para |x − 2| y él es x = 2. A su izquierda
|x − 2| = −(x − 2) y a su derecha |x − 2| = x − 2. Esto es
(
x − 2, si x ≥ 2
|x − 2| =
−(x − 2)
, si x < 2
Esto hace necesario calcular los límites en x = 2. Tenemos
|x − 2|
1
1
x−
2
lı́m+ 2
= lı́m+
= lı́m+
=
(x − 2)(x + 2) x→2 x + 2 4
x→2 x − 4
x→2 |x − 2|
−
1
(x
−
2)
−1
lı́m− 2
= lı́m−
=−
= lı́m
(x
−
2)(x + 2) x→2− x + 2
4
x→2 x − 4
x→2 |x − 2|
Como los límites laterales son diferentes entonces lı́m 2
no existe.
x→2 x − 4
√
5
3 − 2x − 1
Problema 8.12 Calcular lı́m
x→1
1−x
Al reemplazar x = 1 en la expresión se tiene la máscara 00 . La aparición de una raíz quinta en el
numerador sugiere un cambio de variable z5 = 3 − 2x, esto elimina la raíz quinta. Con esta sustitución
se tiene que z → 1. El límite tiene ahora la forma
√
5
3 − 2x − 1
z−1
z−1
lı́m
= lı́m
5 = 2 · lı́m 5
x→1
z→1 1 − 3−z
z→1 z − 1
1−x
2
Seguimos con la máscara 00 , pero ahora todo es más sencillo al no haber raíces.
2 · lı́m
z−1
z→1 z5 − 1
= 2 · lı́m
z→1
z−1
(z − 1)(z4 + z3 + z2 + z + 1)
= 2 · lı́m
1
z→1 z4 + z3 + z2 + z + 1
=
2
5
Capítulo 8. Límite y continuidad de funciones
522
Problema 8.13 Calcular lı́mπ
x→ 3
sen(x − π3 )
1 − 2 cos x
sen x
= 1, vamos a hacer un
x→0 x
Como se trata de un límite trigonométrico y debe aparecer el famoso lı́m
cambio de variables; z = x − π3 , con lo cual z → 0. se tiene
lı́mπ
x→ 3
Pero,
sen(x − π3 )
sen z
= lı́m
1 − 2 cos x z→0 1 − 2 cos(z + π3 )
√
π
π
π
1
3
cos(z + ) = cos z · cos − sen z · sen = cos z · − sen z ·
3
3
3
2
2
reemplazando esto
lı́mπ
x→ 3
sen(x − π3 )
sen z
√
= lı́m
1 − 2 cos x z→0 1 − (cos z − 3 sen z)
Ahora, dividimos por z numerador y denominador
sen z
√
= lı́m
z→0 1 − (cos z − 3 sen z)
z→0
lı́m
sen z
z
1−cos z
z
√
+ 3 senz z
1 − cos z
= 0. Luego;
z→0
z
En el denominador, lı́m
sen z
1
√
=√
z→0 1 − (cos z − 3 sen z)
3
lı́m
3x
x−2
La máscara es 60 . En estos casos, los límites laterales son los que determinan la existencia o no del
límite en el punto
6
3x
∼ + =∞
lı́m+
0
x→2 x − 2
3x
6
lı́m
∼ − = −∞
0
x→2− x − 2
3x
dado que los límites laterales son distintos, lı́m
, no existe.
x→2 x − 2
3x
Problema 8.15 Calcular lı́m 2x +
.
x→3
(x − 3)2
Estamos en presencia del límite de una suma. Veamos que sucede con cada sumando
lı́m 2x = 6
Problema 8.14 Determinar existencia de lı́m
x→2
x→3
lı́m
x→3
3x
9
∼ + =∞
2
(x − 3)
0
se tiene
lı́m 2x +
x→3
Problema 8.16 Calcular lı́m x
x→2−
2
2x
−1
3x
(x − 3)2
= 6+∞ = ∞
8.7 Problemas resueltos
523
Veamos la máscara
2x
4
lı́m− x
∼ − = −∞
x→2
−1 0
2
2
x+1
Problema 8.17 Calcular lı́m
+√
x→2+ (x − 2)2
x−2
Veamos, si calculando el límite de cada sumando podemos concluir la existencia o no del límite
2
2
lı́m+
∼ + =∞
2
0
x→2 (x − 2)
x+1
3
lı́m √
∼
=∞
x→2+
x − 2 0+
¡Tenemos conclusión! El límite pedido existe y vale ∞, esto es
2
x+1
lı́m
+√
=∞
x→2+ (x − 2)2
x−2
2 + x1/3
x→∞ x2/3
Estamos en presencia de una máscara del tipo ∞
∞ . Mirando los grados, la máxima potencia está en el
denominador, lo que indica que este límite es cero. Veamos la siguiente alternativa:
"
#
2 + x1/3
x1/3
1
2
2
lı́m
= lı́m 2/3 + 2/3 = lı́m 2/3 + 1/3 = 0 + 0 = 0
x→∞ x2/3
x→∞ x
x→∞ x
x
x
Problema 8.18 Calcular lı́m
Problema 8.19 Calcular lı́m (3x3 − x2 + 1).
x→∞
Al mirar la máscara ∞ − ∞ + 1, nos encontramos con una diferencia de infinitos que no podemos
determinar. En este y otros casos similares, debemos factorizar por la máxima potencia.
1 1
lı́m (3x3 − x2 + 1) = lı́m x3 (3 − + 3 )
x→∞
x x
x→∞
Tenemos nueva máscara
1 1
lı́m x3 (3 − + 3 ) ∼ ∞ · (3 − 0 + 0) = ∞ · 3 = ∞
x→∞
x x
p
Problema 8.20 Calcular lı́m ( x2 + 5x + 1 − 2x).
x→∞
La máscara es del tipo ∞ − ∞. El conjugado nos ayuda
√
p
p
x2 + 5x + 1 + 2x
2
2
lı́m ( x + 5x + 1 − 2x) = lı́m ( x + 5x + 1 − 2x) · √
x→∞
x→∞
x2 + 5x + 1 + 2x
Al efectuar las operaciones se logra
√
p
x2 + 5x + 1 + 2x
x2 + 5x + 1 − 4x2
−3x2 + 5x + 1
2
lı́m ( x + 5x + 1 − 2x) · √
= lı́m √
= lı́m √
x→∞
x2 + 5x + 1 + 2x x→∞ x2 + 5x + 1 + 2x x→∞ x2 + 5x + 1 + 2x
Capítulo 8. Límite y continuidad de funciones
524
Tenemos nueva máscara
∞−∞+1
−3x2 + 5x + 1
∼
lı́m √
x→∞ x2 + 5x + 1 + 2x
∞+∞
En el numerador no podemos restar los infinitos, por lo que procedemos a factorizar por la máxima
potencia
x2 (−3 + 5 1x + x12 )
−3x2 + 5x + 1
lı́m √
= lı́m √
x→∞ x2 + 5x + 1 + 2x
x→∞ x2 + 5x + 1 + 2x
Ahora tenemos máscara −∞
∞ , lo que nos indica que debemos mirar el grado del numerador (2) y del
denominador (1). Como el coeficiente del x2 es -3, el límite es −∞. Es decir,
p
lı́m ( x2 + 5x + 1 − 2x) = −∞
x→∞
p
p
3
Problema 8.21 Calcular lı́m ( x2 − x − x3 + 1).
x→−∞
Veamos con que máscara nos encontramos
p
p
√
√
3
lı́m ( x2 − x − x3 + 1) ∼ ∞ + ∞ − 3 −∞ = ∞ + ∞ = ∞
x→−∞
Por tanto,
p
p
3
lı́m ( x2 − x − x3 + 1) = ∞
x→−∞
√
√
3 − x + 5 − 9x
√
Problema 8.22 Calcular lı́m
.
x→−∞
−4x − 5 − 1
La máscara es del tipo
√
√
3 − x + 5 − 9x ∞
lı́m √
∼
x→−∞
∞
−4x − 5 − 1
El numerador y el denominador tienen igual grado, luego el valor de este límite es
√
√
3 − x + 5 − 9x 1 + 3
lı́m √
=
=2
x→−∞
2
−4x − 5 − 1
Una alternativa es el uso del conjugado. Tenemos
√
√
√
√
√
√
√
3 − x + 5 − 9x
3 − x + 5 − 9x
3 − x − 5 − 9x
−4x − 5 + 1
√
lı́m √
= lı́m √
·√
·√
x→−∞
x→−∞
−4x − 5 − 1
−4x − 5 − 1
3 − x − 5 − 9x
−4x − 5 + 1
Al reducir
√
√
√
√
3 − x + 5 − 9x
(8x − 2)( −4x − 5 + 1)
8x − 2
−4x − 5 + 1
√
√
lı́m √
= lı́m √
= lı́m
·√
x→−∞
x→−∞ ( 3 − x − 5 − 9x)(−4x − 6)
x→−∞ −4x − 6
−4x − 5 − 1
3 − x − 5 − 9x
De esto se logra
8x − 2
= −2
x→−∞ −4x − 6
lı́m
r
√
1
5
1
−4x − 5
√
√
+√
4+ + √
−4x − 5 + 1
x
−x
−x
−x
√
√
r
lı́m √
= lı́m √
= lı́m r
x→−∞ 3 − x − 5 − 9x
x→−∞
x→−∞
3−x
5 − 9x
3
5
√
− √
+1−
+9
−x
−x
−x
−x
8.7 Problemas resueltos
Las expresiones;
525
√1 , 3 , 5 , 5
−x −x −x −x
tienden a cero, pues x → −∞. Por tanto
√
√
2
−4x − 5 + 1
4+0
√
=
= −1
lı́m √
=
x→−∞ 3 − x − 5 − 9x
1−3
−2
En consecuencia;
√
√
3 − x + 5 − 9x
lı́m √
= (−2) · (−1) = 2
x→−∞
−4x − 5 − 1
3x + 1
Problema 8.23 Calcular lı́m
.
x→−1 ln(3x + 4)
La máscara es
lı́m
x→−1
−2
3x + 1
∼
ln(3x + 4)
0
Como hay un cero solo en el denominador, los límites laterales entregan información sobre la existencia
del límite.
3x + 1
−2
−2
lı́m −
∼ − =∞
∼
−
ln 1
0
x→−1 ln(3x + 4)
Se observa que x < −1 =⇒ 3x < −3 =⇒ 3x + 4 < 1 =⇒ ln(3x + 4) < ln 1 < 0. Hicimos uso de
que la función logaritmo es creciente.
3x + 1
−2
−2
∼ + = −∞
lı́m +
∼
+
ln 1
0
x→−1 ln(3x + 4)
Como x > −1 =⇒ 3x > −3 =⇒ 3x + 4 > 1 =⇒ ln(3x + 4) > ln 1 > 0. Hicimos uso de que la
función logaritmo es creciente.
3x + 1
Dado que tenemos límites laterales diferentes, lı́m
no existe.
x→−1 ln(3x + 4)
9 · 8x + 3x + 5x 1
Problema 8.24 Calcular lı́m
.
x→∞
8x + 3
Como la variable va al infinto, veamos los grados. La mayor potencia del numerador es 8x , y del
denominador también. Sus coeficientes son 9 y 1, respectivamente. Por tanto, el cociente de estos
números es el valor del límite. Esto es
9 · 8x + 3x + 5x 1 9
= =9
x→∞
8x + 3
1
1
Problema 8.25 Calcular lı́m |x|3 x + 1 −
x→0
x
lı́m
La máscara es
1
1
lı́m |x| x + 1 −
∼ 0 · (0 + 1 − ) ∼ 0 · (−∞)
x→0
x
0
3
Ni el cero ni el infinito tienen la potencia para que uno de ellos se reduzca al otro. Pero, más aún, la
presencia del valor absoluto obliga al estudio de límites laterales.
Si x > 0, entonces
1
1
3
3
lı́m |x| x + 1 −
= lı́m+ x x + 1 −
x
x
x→0+
x→0
= lı́m+ (x4 + x3 − x2 )
x→0
=0
Capítulo 8. Límite y continuidad de funciones
526
Si x < 0, entonces
1
1
3
lı́m |x| x + 1 −
= − lı́m− x x + 1 −
x
x
x→0−
x→0
3
= − lı́m− (x4 + x3 − x2 )
x→0
=0
En consecuencia;
1
lı́m |x| x + 1 −
=0
x→0
x
 2
2x + 1


, si x < −1


 x4 + 3
Problema 8.26 Calcular lı́m f (x), si f (x) =

x→−1

 x3 + 1


, si x > −1
x2 + 6x + 5
3
La función viene definida por tramos, luego, determinar el o los puntos de corte resulta fundamental.
En este caso debemos calcular los límites laterales en x = −1.
2x2 + 1 3
lı́m − f (x) = lı́m − 4
=
4
x→−1
x→−1 x + 3
lı́m + f (x) = lı́m +
x→−1
x3 + 1
x→−1 x2 + 6x + 5
= lı́m +
x→−1
(x + 1)(x2 − x + 1 3
=
(x + 1)(x + 5)
4
Así, los límites laterales son iguales por lo cual
lı́m f (x) =
x→−1
3
4
p
p
Problema 8.27 Calcular lı́m ( 4x2 + x − 4x2 − 2)
x→∞
La máscara es ∞ − ∞. Debemos transformarla, y para ello se multiplica por el conjugado
p
p
x+2
√
lı́m ( 4x2 + x − 4x2 − 2) = lı́m √
x→∞ 4x2 + x + 4x2 − 2
x→∞
Ahora tenemos un máscara ∞
∞ . Como los grados del numerador y denominador son iguales, el límite
será el cociente de los coeficientes de la máxima potencia. es decir,
x+2
1
1
√
lı́m √
=
=
2
2
x→∞ 4x + x + 4x − 2
2+2 4
Problema 8.28 Determinar los valores de las constantes a, b para que la función f dada sea continua
en x = 2.


x3 + 7



ax2 − 3
f (x) =

b



7 − x
, si x < −2
, si − 2 ≤ x < 2
, si x = 2
, si x > 2
La continuidad implica existencia de f (2) = b, y de los limites laterales en x = 2.
8.7 Problemas resueltos
527
lı́m f (x) = lı́m− (ax2 − 3) = 4a − 3
x→2−
x→2
lı́m+ f (x) = lı́m+ (7 − x) = 5
x→2
x→2
Estos límites laterales debe ser iguales, esto es, 4a − 3 = 5 =⇒ a = 2. Como f (2) = b, y debe haber
continuidad, entonces debe ser f (2) = b = 5.
Problema 8.29 Encontrar los valores de a y b para sea continua, en x = 2 y en x = −1, la función

2

x + 4x + 4 , si x ≤ −1
f (x) = 2ax + b
, sisi − 1 < x ≤ 2

 2
x − 4x + 4 , si x > 2
Tenemos los siguientes datos:
f (−1) = 1
f (2) = 4a + b
lı́m f (x) = 1
x→−1−
lı́m f (x) = −2a + b
x→−1+
lı́m f (x) = 4a + b
x→−2−
lı́m f (x) = 0
x→−2+
Se debe cumplir igualdad de límites laterales
lı́m f (x) = 1 = lı́m + f (x) = −2a + b =⇒ 1 = −2a + b
x→−1−
x→−1
lı́m f (x) = 4a + b = lı́m + f (x) = 0 =⇒ 4a + b = 0
x→−2−
x→−2
Resolviendo este sistema a = − 61 , b = 32 .
Problema 8.30 Usar el teorema de Bolzano para determinar un intervalo en R, de longitud menor o
1
igual a 16
, en donde tenga solución la ecuación x3 − 15x + 1 = 0.
Sea p(x) = x3 − 15x + 1, si elegimos a = 0, entonces p(0) = 1 > 0. Si se elige b = 1 se tiene p(1) =
−13 < 0. Como p(x) = x3 − 15x + 1 es continua, de acuerdo con el teorema de Bolzano, existe una
solución de esta ecuación en el intervalo I = (0, 1).
Pero la longitud de este intervalo es 1. Debemos estrechar los extremos del intervalo.
Nos mantenemos con a = 0 y buscamos el punto medio del intervalo [0, 1] que es 12 . Al evaluar en este
punto se tiene que p( 12 ) < 0, de modo que la raíz de la ecuación la tenemos en (0, 21 ).
Si repetimos el proceso con el punto medio del intervalo (0, 12 ), que es 14 se tiene, al evaluar, p( 14 ) < 0.
Así, la raíz se encuentra en el intervalo (0, 14 ).
Repetimos el procedimiento con 18 , punto medio del último intervalo, se halla p( 18 ) < 0. El teorema de
Bolzano se sigue manteniendo, y ya tenemos la raíz en el intervalo (0, 18 ).
1
1
Finalmente, el punto medio de este último intervalo es 16
y f ( 16
) < 0, que cumple con el teorema.
1
de este modo, la raíz la tenemos posicionada en el intervalo (0, 16
). este intervalo cumple que tiene
1
longitud menor o igual a 16 .
Es evidente que el proceso se puede seguir y obtener una aproximación tan cercana como se quiera.
Problema 8.31 Determinar si el polinomio x4 − 4x2 − 1 tiene alguna raíz real negativa.
En esta clase de problemas se usa el teorema de Bolzano.
f (−5) = 625 − 100 − 1 > 0.
f (0) = −1 < 0.
Luego, como f es continua en [−5, 0] y toma valores de signo contrario en sus extremos, existe un
c ∈ (−5, 0) tal que f (c) = 0.
Capítulo 8. Límite y continuidad de funciones
528
Problema 8.32 Sea f (x) = x3 − 5x2 + 7x − 9. Probar que existe, al menos, un número x0 en el intervalo
[0, 10] tal que f (x0 ) = 200.
La función f es un polinomio, de modo que es continua en cualquier intervalo de R. Por el teorema de
Valor Intermedio, f toma todos los valores del intervalo [ f (0), f (10)], es decir, [0, 561], luego, como
200 ∈ [0, 561], debe existir un x0 del intervalo [0, 10] para el cual f (x0 ) = 200.
Problema 8.33 Determinar un intervalo de longitud 12 que contenga una raíz de la ecuación x3 + 2x + 4.
Sea f (x) = x3 + 2x + 4. Ésta es una función polinomial continua en todo R. Usemos el teorema de
Bolzano
f (0) = 4 > 0
f (−1) = 1 > 0
f (−2) = −8
Hay signos distintos de la función f en el intervalo (−2, −1), luego, Bolzano asegura la existencia
de una raíz en este intervalo. Este intervalo es de longitud 1, por lo que debemos considerar el punto
3
medio, que es − 32 . Ahora, f (− 32 ) = − 19
8 < 0. Así, en el intervalo [−1, − 2 ], la función F tiene signos
opuestos en los extremos, y por Bolzano, se asegura que existe una raíz en [−1, − 23 ]. dado que este
intervalo tiene longitud 21 , es la respuesta al problema.
Problema 8.34 Demostrar que existe al menos un número real x0 que verifica sen x = x − 2
Consideremos la función f (x) = sen x − x + 2. Ella es continua en todo R (suma de funciones continuas).
La idea es usar el teorema de Bolzano. Si elegimos el intervalo [0, 3], descubrimos que f (0) = 2 > 0 y
que f (3) = sen 3 − 1 < 0. Por tanto, en el intervalo (0, 3) existe un x0 tal que f (x0 ) = sen x − x + 2 = 0,
de lo cual se sigue que este x0 satisface sen x = x − 2.
Problema 8.35 dadas las funciones f (x) = sen x y g(x) = ln x. Probar que existe un punto x0 en el
intervalo [2, 3] donde las funciones toman el mismo valor.
Este es uno de esos caso en los que se debe considerar h(x) = sen x − ln x. Si logramos probar que h
tiene un cero en el intervalo, las funciones serán iguales en ese punto. Bolzano es el arma indicada:
h(2) = sen 2 − ln 2 = 1, 12 > 0
h(3) = sen 3 − ln 3 = −0, 67 < 0
La función h es continua en [2, 3] y tiene signos opuestos en los extremos del intervalo, se sigue que las
funcio x0 ∈ [2, 3] tal que h(x) = 0. En cosecuencia, en ese sen x0 = ln x0 .
8.8
Problemas propuestos
Problema 8.36 Considerar la función definida por f (x) =
2x2 − x − 1
, x 6= 1. Completar la tabla
x−1
Hacer la gráfica de la función para los valores de la tabla y determinar la existencia del límite para
x → 1.
x2 − 9
Problema 8.37 Considera la función f (x) =
x−3
8.8 Problemas propuestos
529
1. Anota el dom( f ) =
2. Estudia el comportamiento cerca de x = 3, completando la siguiente tabla:
x
f (x)
2,9
2,95
2,99
3,001
3,01
3,05
3,1
x2 − 9
=
x→3 x − 3
Problema 8.38 Para la función f (x) = (x − 1)2 + 2, si x → 3, entonces el límite de f es L = 6.
Determinar cuál es el valor de δ en la vecindad V (3, δ ) para que las imágenes de la función queden
todas en la vecindad V (6, 14 ).
Problema 8.39 Probar usando δ , ε:
3. Anota lı́m
1. lı́m (x2 + x + 1) = 3
3. lı́m (x2 + x + 1) = 1
2. lı́m (x2 + x + 1) = 1
4. lı́m (x2 + x + 1) = 7
x→−1
x→1
x→0
x→2
Problema 8.40 Resolver:
1. Si f (x) =
√
f (x) − f (2)
x + 3 hallar lı́m
x→2
x−2
g(x) − g(1)
x→1
x−1
2. Si g(x) = x2 + 3 hallar lı́m
Problema 8.41 Hacer el gráfico de la función f que satisface simultáneamente que,
dom( f ) = [−2, 2] − {1}
f (−2) = 2
f (2) = 3
f (−1) = −1
lı́m f (x) = 2
x→1
lı́m f (x) = 0
x→0
Problema 8.42 Hallar los siguientes límites:
1. lı́m
x3 − 21x + 20
2. lı́m
x→4 x3 − 5x2 − 2x + 24
x3 + x2 − x − 1
x→−1 x3 + 5x2 + 7x + 3
Problema 8.43 p
p
4x2 + 9x − 5 − 4x2 + 4x + 1
x→∞
p
2. Hallar a tal que lı́m ( x2 + ax + 1 − x) = 2
√ x→∞
3. Sean f (x) = x, g(x) = x2 + 4. Hallar lı́m f (g(x)).
1. Hallar lı́m
x→3
Problema 8.44 Resolver los siguientes límites:
√
5
2x4 + 3x − 11
√
a) lı́m
7 3
x→∞
x +2
d) lı́m
x→∞
x2 + 1
3x2 + 2
2 sen2 x
x→0 x2 sec x
g) lı́m
√
b) lı́m (−5x − x x)
3
x→∞
x2
e) lı́m
x→∞
h) lı́m
x→0
x−1
x−4
√
5 − x2 − 1
√
c) lı́m
x→∞ 5 − x2 + 1
2x+3
sen x − 1
1 + cos(2x)
f) lı́m
x→∞
i) lı́m
x→0
3x − 5
3x − 2
x + tg x
sen x
2x2
Capítulo 8. Límite y continuidad de funciones
530
Problema 8.45 Hallar límite y graficar la función en el dominio −3 ≤ x ≤ 5
(
x2
f (x) =
x+2
, −3 ≤ x < 0
,0 < x ≤ 5
Problema 8.46 Calcular, para x → ∞, los siguientes límites:
1 x
1+
5x
1 5x
2. 5 +
5x
1 5
3. 1 +
5x
1.
5 x
1+
x
5 5x
5. 5 +
x
1 5x
6. 1 −
x
4.
1 3x−2
7. 1 +
x
3 5
8. 1 +
2x
1 4x
9. 1 −
2x
1 3x
10. 1 +
5x
1 3x
11. 1 −
2x
2 5x
12. 1 +
5x
Problema 8.47 Calcular los siguientes límites:
1.
2.
3.
4.
5.
2x + 1
lı́m
x→−1 x + 1
x4 − 1
lı́m 2
x→1 x − 1
x2 − 6x + 8
lı́m
x→∞ 5x2 + 3
x+3
lı́m 4
x→∞ x√
+1
x+9−3
lı́m √
x→0 x + 16 − 4
6. lı́m
x→∞
7.
8.
9.
10.
p
x2 + x − x
√
x+4−1
lı́m √
3 2
x→5 x + 2 + 1
x2 + 1
lı́m
x→2 x + 2
x2 − 9
lı́m 2
x→3 x − x − 6
x3 − 1
lı́m 2
x→1 x − 1
11.
12.
13.
14.
15.
√
x−2
lı́m
x→4 x − 4
x2 − |x − 1| − 1
lı́m
x→1
|x − 1|
sen 6t
lı́m
t→0
t
sen z
lı́m
z→π x − π
tg y
lı́m
y→0 3y
x sen x
x→0 1 − cos x
16. lı́m
17. lı́m x cotg 3x
x→0
cos x − sen x
18. lı́m
cos 2x
x→π/4
sen x
19. lı́m √
x→0 3 x
4 + cos x
20. lı́m
x→0 1 − sen x
Problema 8.48 Calcular los siguientes límites y usando la definición probar su resultado.
1. lı́m 3x + 2
5. lı́m |x − 3|
8. lı́m (x2 − 50x + 25)
2. lı́m 2x + 5
3x2 − 2
6. lı́m 2
x→1 x + 2
9. lı́m
x→3
x→2
x→−3
3. lı́m 3x2 + 2x − 5
x→1 √
4. lı́m 3 x
x→5
x3
x→1 x + 1
7. lı́m (x2 + 5x − 9)
10. lı́m
x→0
x→0
x→2
2x + 1
x−3
Problema 8.49 Calcular los siguientes límites si existen:
x2 − x − 6
x→3
x−3
x2 − 5x + 10
lı́m
x→5
x2 − 25
x2 − 1
lı́m 2
x→−1√x + 3x + 2
x−1
lı́m
x→1 x − 1
(x + h)3 − x3
lı́m
h→0
h
1. lı́m
6.
2.
7.
3.
4.
5.
8.
9.
10.
√
2− x−3
lı́m
x→4 x2√
− 49
3− x+5
√
lı́m
x→4 1 − 5 − x
√
√
x− a
lı́m
x→a √x − a
3
x−1
lı́m √
4
x→1 x − 1
x−8
lı́m √
3
x→8 x − 2
x
√
x→0 1 − 1 − x
x2 − 4
lı́m
x→2 x − 2
x3 − 1
lı́m 2
x→1 √
x −1
x+1−2
lı́m
x→3 √ x − 3
x+1−1
lı́m √
3
x→0 x + 1 − 1
11. lı́m
16.
12.
17.
13.
14.
15.
18.
19.
20.
√
3
x+1−1
lı́m
x→0 √
x √
x+a− x
lı́m
x→a
x−a
x3 + 4x2 + 4x
lı́m
x→−2 x2 − x − 6
2x2 − 2x
lı́m 3
x→1 x − 1
x+3
lı́m
x→5 5 − x
8.8 Problemas propuestos
√
21. lı́m x + 2
x→2 √
x−1
22. lı́m
x→1 x − 1
531
x−4
23. lı́m √
x→4 x − 2
x2 − 9
24. lı́m 2
x→3 x − x − 6
√
x+4−2
25. lı́m
x→0 √
x
√
x+h− x
26. lı́m
h→0
h
√
2 − x − 3h
27. lı́m
x→7 √ x2 − 49√
1+x− 1−x
28. lı́m
x→0
x
Problema 8.50 Calcular los siguientes límites exponenciales
x
x
x−1 x
1. lı́m
5. lı́m
9.
x→∞ 1 + x
x→∞ x − 2
x
x
1
2
2. lı́m 1 −
6. lı́m 1 +
10.
x→∞
x→∞
x
x
1 3x−2
1 x+1
11.
3. lı́m 1 +
7. lı́m 1 +
x→∞
x→∞
3x
x
2
x2 +2x+1
1 x
x + 2x + 2
8.
lı́m
1
+
4. lı́m
x→∞
2x
x→∞ x2 + 2x + 1
sen x
Problema 8.51 Dado que lı́m
= 1, calcular los siguientes límites:
x→0 x
sen 3x
2 sen(x − 2)
1. lı́m
6. lı́m
11.
x→0
x
x→0
x2 − 4
2
2
sen x
πx
12.
2. lı́m
7. lı́m
x→0
x
x→0 x
tg x
1 − cos πx
13.
3. lı́m
8. lı́m
x→0 x
x→0
x2
√
1 − cos x
1 − cos x
4. lı́m
14.
9. lı́m
x→0
x
x→0
x2
sen αx
1
5. lı́m
10. lı́m x sen
x→0 β x
x→∞
x
1 x
lı́m 1 −
x→∞
2x
x+2 x
lı́m
x→∞
x x
5
lı́m 1 +
x→∞
2x
sen(x − α)
x2 − α 2
sen(2x − 2)
lı́m
x→1
x3 − 1
tg πx
lı́m
x→2 x − 2
sen(2x − 1)
lı́m
1
4x − 2
x→ 2
lı́m x
x→α
Problema 8.52 Límites laterales:
1. Realizar el gráfico de la siguiente función:
(
2−x
f (x) =
1
, si x ≤ 0
, si x > 0
Con la ayuda del gráfico, determinar el valor de los siguientes límites (si es que existen):
a) lı́m− f (x)
x→0
b) lı́m+ f (x)
x→0
c) lı́m f (x)
x→0
2. Realizar el gráfico de la siguiente función:
(
ex
, si x ≥ 0
f (x) =
x + 1 , si x < 0
Con la ayuda del gráfico, determinar el valor de los siguientes límites (si es que existen):
Capítulo 8. Límite y continuidad de funciones
532
a) lı́m− f (x)
x→0
b) lı́m+ f (x)
c) lı́m f (x)
x→0
x→0
3. Analizar la existencia de los siguientes límites:
|x − 1|
x→1 x2 − 1
a) lı́m
x2 − |x − 7| − 49
x→7
|x − 7|
x2 − 3x − 10
x→−2
x+2
b) lı́m
4. Analizar la existencia de los siguientes límites:

√
2− x+3


, x>1


 x−1
a) f (x) =


2


 2x − 3 ,
x<1
x2 + 3
c) lı́m
b) f (x) =


x2 − 1


, x < −1

 3x + 21





1
x2 + 1
,
x > −1
5. Hallar a y b para que existan los límites laterales en:


x + 2a, x < −2
f (x) = 3ax + b, −2 ≤ x ≤ 2


3x − 2b, x > 2
Encontrar los valores de a y b para que sea continua la función

−2 sen x, x ≤ − π2





f (x) = b + a sen x, − π2 < x <





π
cos x,
2 ≤x
π
2
Estudia la continuidad de las siguientes funciones para los distintos valores del parámetro a:
2
ax
x + ax, x ≤ 2
e ,
x≤0
1. f (x) =
2. f (x) =
2
a−x , x > 2
x + 2a, x > 0
Problema 8.53 Analizar continuidad de las siguientes funciones:
(
2x + 1 , si x ≤ 2
1. f (x) =
x − 1 , si x > 2
(
−2x + 4 , si x < 1
2. f (x) =
x−1
, si x ≥ 1

2

x , si 0 ≤ x < 3
3. f (x) = 6 , si x = 3


9 , si x > 3
(
4. f (x) =
8
(
5. f (x) =
x3 −8
x2 −4
3
(
x2 −9
x+3
(
e2x −1
x
6. f (x) =
7. f (x) =
4x2 −2x3
x−2
, si x 6= 2
, si x = 2
, si x 6= 2
, si x = 2
, si x 6= −3
−6 , si x = −3
3
, si −2 < x ≤ 0
, si 0 < x ≤ 2
8.8 Problemas propuestos
(
8. f (x) =
9. f (x) =
x2 −x−6
x−3
5


2
1
x−3

1
2
533
, si x 6= 3
, si x = 3
10. f (x) =
x − 3, x ≤ 3
5 − x, x > 3
|x − 2| + 3, x < 0
11. g(x) =
5 + x,
x≥0


x + 1 , si x < 0
12. f (x) = 0
, si x = 0 .

 1−√x
, si x > 0
1−x
, si 0 ≤ x ≤ 3
, si 3 < x < 5
, si x ≥ 5
Problema 8.54
1. Determinar los valores de m y n para que la función sea continua en x = 3
(
x+1
, si 1 < x < 3
f (x) = 2
x + mx + n , si x ≥ 3
2. Determinar los valores de a y b para que la siguiente función sea continua

3

3x − 4ax , si x < 1
f (x) = ax + b
, si − 1 ≤ x ≤ 2

 2
2x − 5b , si x > 2
3. Determinar todos los valores reales de x para los cuales es continua la función
f (x) =
x2 + 2x − 8
x3 + 6x2 + 5x − 12
x2 − 3x − 4
sea continua.
x−4
5. Hallar a y b, de modo que sea continua en x = 1 y x = 2 la función
 3
a(x − 1)


+b
, si x < 1



x+1





f (x) = 2ax − 3
, si 1 ≤ x ≤ 2








b(x2 + 3x − 10)


, si x > 2
x−2
4. Asignar un valor en x = 4 para que f (x) =
6. Encontrar el valor de L ∈ R de modo que la siguiente función sea continua en todo R. Resp.
√
√

3x − 2 − 2x


, si x 6= 2

x−2
f (x) =



L
, si x = 2
Problema 8.55 Problemas aplicados
1
4
Capítulo 8. Límite y continuidad de funciones
534
1. El costo (en dólares) de eliminar x % de la polución del agua en cierto riachuelo esta dado por:
C(x) =
75x
,
100 − x
para 0 ≤ x < 100
a) Hallar el costo de eliminar la mitad de la poblacion.
b) ¿Qué porcentaje de la polución puede eliminarse con US$ 20.000?
c) Evaluar lı́m C(x). Interpretar el resultados.
x→100
2. La grafica siguiente muestra como cambia con la temperatura la tasa de crecimiento R(T) de una
colonia bacterial.
a) ¿Qué puede decirse de la tasa de crecimiento para 30 < T < 45
b) ¿Qué sucede cuando la temperatura alcanza más o menos 45◦ celsius?
c) ¿Tiene sentido calcular lı́m R(T )?
T →50
d) Escribir un párrafo que describa como afecta la temperatura a la tasa de crecimiento de una
especie.
3. La concentración de cierto medicamento en el torrente sanguíneo de un paciente t horas después
de la inyección está dada por:
0,2t
C(t) = 2
t +1
miligramos por centímetro cúbico. Evalúe lı́m C(t), e interprete los resultados.
t→∞
4. Los ingresos totales en taquilla a nivel mundial de cierta pelicula son aproximados por la funcion
:
120x2
T (x) = 2
x +4
donde T (x) se mide en millones de dólares y x son los meses posteriores al lanzamiento de la
película.
a) ¿Cuáles son los ingresos totales en taquilla después del primero, segundo y tercer mes?
b) ¿Cuál será el ingreso bruto total de la película a largo plazo?
5. Una gran empresa está construyendo la comunidad Waca-Waca, con casas, oficinas, tiendas,
escuelas e iglesias, en 120 hectáreas cercanas a Pucón. Como resultado de este desarrollo, los
encargados han estimado que dentro de t años a partir de ahora esa comunidad estará dada (en
miles) por:
25t 2 + 125t + 200
P(t) =
t 2 + 5t + 40
a) ¿Cuál es la población actual de Waca-Waca?
b) ¿Cuál será su población a largo plazo?
8.8 Problemas propuestos
535
6. Un estudio de los costos de uso de los automoviles compactos del ano 1992 (cuatro cilindros) halló
que el costo promedio (pagos del automovil, gasolina, seguro, mantenimiento y depreciación),
medido en centavos por milla, es aproximado por la función
C(x) =
2010
+ 1780
x2
dónde x denota el número de millas (en miles) recorridas por el automóvil en un año
a) ¿Cuál es el costo promedio de uso de un automóvil compacto que recorre 5.000, 10.000,
15.000, 20.000 y 25.000 millas al año?
b) Utilice lo anterior como apoyo para trazar la grafica de la funcion C.
c) ¿Qué le ocurre al costo promedio cuando las millas recorridas aumentan sin límite?
Problema 8.56
1. Probar que la ecuación x5 + x + 1 = 0 tiene, al menos, una solución real.
2. Encuentra cuatro intervalos distintos en cada uno de los cuales la ecuación 2x4 −14x2 +14x −1 =
0 tenga una raíz.
3. Si f es continua en [1, 9], f (1) = −5 y f (9) > 0, ¿Se puede asegurar que g(x) = f (x) + 3 tiene
al menos un cero en el intervalo [1, 9]?
4. Verificar que la ecuación x3 − 4x − 2 = 0 tiene una raíz real en el intervalo [2, 3], y hallar un
intervalo de longitud 14 que contenga a dicha raíz. Resp. [2, 49 ].
5. Hallar un intervalo en donde la función f (x) = −2x5 − 7x + 1 tiene una raíz. Resp. [0, 1]
9. Derivadas
9.1
Introducción
Es común que variaciones de una cantidad incidan en que otras cantidades cambien. Así, si se aumenta
el precio de un artículo la utilidad para una empresa ya no es la misma, probablemente la demanda
disminuya. Si se aumenta la temperatura de un gas contenido en un recipiente hermético, la presión del
gas sobre las paredes del recipiente aumenta. Si se aumenta el consumo diario de azúcar, la cantidad
de insulina en la sangre aumenta. Ejemplos de este tipo existen en todo tipo de disciplinas. El cálculo
diferencial trata del estudio del cambio de una cantidad cuando otra cantidad que está relacionada con
la primera cambia.
Presentamos dos problemas que dan origen al concepto de derivada:
uno de carácter geométrico (cálculo de la recta tangente a la curva en un punto), y el otro
de carácter físico (cálculo de la velocidad instantánea en movimientos no uniformes)
Situación didáctica:1
Hay que trasladar un carro por las escaleras hacia arriba (figura 10.1)
Figura 9.1
1 https://www.incress.com/valores-participacion/2012/07/28/‘?que-es-y-para-que-sirve-una-derivada/
Capítulo 9. Derivadas
538
Para ello se dispone de unos tablones que se irán poniendo de peldaño a peldaño, para poder desplazar
el carro, tal como muestra la figura 10.2
Figura 9.2
Se observa en la figura (10.2) que se tendrá que hacer mucho esfuerzo al inicio para desplazar el carro y
menos al final en el último tramo. Ello se debe a que el ángulo de inclinación del tablón es más elevado
al inicio que al final. Para ver esto se calcula el ángulo entre el tablón y la horizontal, y se ve que el
ángulo se va reduciendo a medida que se avanza a lo largo de los tablones.
Figura 9.3
En el intervalo [6, 10] se observa una pendiente de 14 ya que tiene que recorrer 4 unidades de medida (la
profundidad de la escalera) para subir 1 unidad en el punto 10 (altura de la escalera). De esta forma,
la pendiente es la división de lo que ha subido (1 punto) sobre lo que ha avanzado (4 unidades). La
pendiente del tablón sobre el intervalo que une el punto 10 con el 15 es de 15 , ya que hay que recorrer 5
para subir 1.
Lo que se llama “derivada”, nos muestra la evolución de la inclinación de los tablones a lo largo del
trayecto. De modo que la derivada tiene que ver con los cambios del ángulo de inclinación de los
tablones con relación a la horizontal.
En este caso los ángulos de inclinación son positivos hasta el punto 21, a partir del punto 21 es 0 ya
que el tablón está paralelo al suelo, si a partir de ahí se fuese avanzando y las escaleras fuesen bajando,
en lugar de subir, el ángulo de inclinación sería negativo. Podemos decir lo siguiente:
“La derivada muestra la evolución de la pendiente, en cada punto de los tablones, a lo largo de la curva”
Si se remplazan todos esos tablones por un solo tablero flexible que se posiciona sobre la escalera,
podríamos decir que es una subida continua ya que la rueda del carro no siente ningún tipo de disconti-
9.1 Introducción
539
nuidad a lo largo del trayecto (no hay rupturas entre tablones) y escribiríamos una función continua
f (x) que nos indicaría por cada punto que avanzamos en que punto de la altura nos encontramos. Y
la derivada sería una función f 0 (x) derivada de la anterior función que ya no nos da la altura sino que
nos dice de cuánto cambia aquella función original y la pendiente que tiene en cada punto del tablero
flexible.
Veamos el proceso de como llegar a la derivada.
9.1.1
Tasa de Variación
Dada una función f de argumento x, se denomina tasa de variación (TV) al número que representa el
aumento o disminución que experimenta la función al cambiar la variable independiente x de un valor
a a otro b. De esta forma, la tasa de variación de f (x) entre a y b (siendo a ≤ b) es igual a f (b) − f (a).
se anota
TV = f (b) − f (a)
Ejemplo 9.1.1
1. La tasa de variación de la función f (x) = x2 al pasar x de 1 a 2 es
TV = 22 − 12 = 3
2. La tasa de variación de la función f (x) = 1 − x2 al pasar x de 2 a 3 es
TV = [1 − 32 ] − [1 − 22 ] = −5
3. La figura 10.4 muestra ambas funciones y se indica a que corresponde la tasa de variación.
Figura 9.4
9.1.2
Tasa de variación media
Se llama tasa de variación media (TVM) entre a y b al cociente entre la tasa de variación y la amplitud
del intervalo [a, b], esto es:
f (b) − f (a)
TVM[a, b] =
b−a
Si en lugar de b, al segundo punto lo llamamos a + h, la fórmula anterior quedaría así:
TVM[a, a + h] =
f (a + h) − f (a)
h
Capítulo 9. Derivadas
540
Figura 9.5
Figura 9.6
En términos geométricos (figura 10.5), la expresión anterior coincide con la pendiente de la recta
secante a la función que une los puntos de abscisas a y a + h
f (a + h) − f (a)
h
En el mismo sentido, la tasa de variación media nos da una primera idea de la rapidez con que crece o
decrece la función en un determinado intervalo.
m=
Actividad 271
1.
2.
3.
4.
5.
Hallar la TVM en el intervalo [0, 2] para la función de la figura 10.6
Hallar la TVM en el intervalo [2, 5] para la función de la figura 10.6
Halla la pendiente de la recta que une [0, 1] y [2, 5]
Halla la pendiente de la recta que une [2, 5] y [5, −4]
¿Cuál es tu conclusión sobre la TVM y la pendiente?
Actividad 272 Hallar la tasa de variación media de cada función para los intervalos indicados:
Figura 9.7
9.1.3
Tasa de variación instantánea
Si hacemos h muy pequeño, obtenemos una información precisa de lo que ocurre en el punto de abscisa
x = a. Y hacer h muy pequeño, es hacerlo tender a cero. Pues bien cuando hacemos h tender a cero en
9.1 Introducción
541
la tasa de variación media, llegamos al concepto de tasa de variación instantánea. Es decir, la tasa de
variación instantánea en un punto es el límite cuando h tiende a cero de la tasa de variación media en el
intervalo [a, a + h]
TV I[a] = lı́m TVM[a, a + h] = lı́m
h→0
9.1.4
h→0
f (a + h) − f (a)
h
Recta tangente
En geometría, la línea tangente (o simplemente la tangente) a una curva en un determinado punto es la
línea recta que “sólo toca” la curva en ese punto. Busquemos si existe alguna relación con la tasa de
variación instantánea.
Sea f una función definida en un cierto intervalo abierto que contiene a x0 y sea P[x0 , f (x0 )] un punto
fijo en la gráfica de f (figura 10.8).
Figura 9.8
Si tomamos cualquier otro punto Q[x, f (x)] sobre la gráfica de la función, la recta secante s que pasa
por P y Q corta a la gráfica de la función al menos en estos dos puntos. Tiene lógica pensar que si Q
estuviese cerca de P, entonces la recta secante s se aproximaría a la tangente buscada y podríamos
entonces pensar en definir la pendiente mtg de la recta tangente en P como el límite de la pendiente
de la recta secante s, cuando el punto Q tendiese al punto P. Pero para que esto suceda, intuimos que
debe existir en el punto P una única recta t que sea la posición límite de las rectas secantes s, cuando el
punto Q tiende al punto fijo P. Supongamos la existencia de esta recta tangente t. La pendiente de la
recta secante s es
msec = tgα =
f (x) − f (x0 )
x − x0
y como x → x0 cuando Q → P, podríamos pensar que la pendiente mtg de la recta tangente es
mtg = lı́m msec = lı́m ms = lı́m
Q→P
x→x0
x→x0
f (x) − f (x0 )
x − x0
Capítulo 9. Derivadas
542
Figura 9.9
Si hacemos x − x0 = h, se tiene que h → 0. Luego, la expresión anterior se transforma en:
mt = lı́m
h→0
f (x0 + h) − f (x0 )
h
“la pendiente de la tangente es la tasa de variación instantánea”
Concretemos el concepto de recta tangente:
Definición 9.1.2 Se denomina recta tangente a la curva y = f (x) en el punto P[x0 , f (x0 )] a aquella
recta que pasa por P y que tiene pendiente
mtg = lı́m
h→0
f (x0 + h) − f (x0 )
= f 0 (x0 )
h
Observar que la pendiente de la recta tangente a la curva y = f (x) en el punto P[x0 , f (x0 )], corresponde
al límite de las pendientes de las rectas secantes que pasan por el punto. A este límite le hemos denotado
f 0 (x0 ) que se lee “ f prima en x sub-cero”
Ejemplo 9.1.3 Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva f (x) = x2 en el punto de abscisa 2.
Recordar que la ecuación de la recta que pasa por (x0 , y0 ) con pendiente m tiene ecuación
y − y0 = m(x − x0 )
Conociendo un punto (2, 4) y la pendiente, la ecuación de la recta es:
y − y0 = m(x − x0 ) =⇒ y − 4 = m(x − 2)
Pero recién hemos visto que la pendiente m = f 0 (2). Tenemos:
f (2 + h) − f (2)
(2 + h)2 − 4
= lı́m
h→0
h→0
h
h
2
4h + h
= lı́m
=4
h→0
h
f 0 (2) = lı́m
En consecuencia, la ecuación de la recta tangente es
y − 4 = 2(x − 2)
9.1 Introducción
543
Ejemplo 9.1.4 Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f (x) = 4 − x2 en el punto (1, 3).
Figura 9.10
Para hallar la ecuación de la recta tangente, tenemos el punto (1, 3). Falta la pendiente, que la proporciona la derivada
f (x) = 4 − x2 =⇒ f 0 (x) = −2x =⇒ f 0 (1) = −2 = m
Por tanto, la ecuación es
y − 3 = −2(x − 1)
1
en el punto
x−2
[1, f (1)]. Obtener además la ecuación de la recta tangente y trazarla sobre la gráfica de f .
Actividad 273 Calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f (x) =
Observación 9.1.5 Al pasar por el punto común la recta tangente “va en la misma dirección” de
la curva, o dicho de otra forma, tiene la misma pendiente de la curva, y en este sentido es la mejor
aproximación lineal a la curva en ese punto.
Veamos ahora la derivada desde el punto de vista de la física.
9.1.5
Velocidad promedio y Velocidad instantánea
La velocidad media de un automóvil, vm , en
un trayecto ilustra de manera clara un concepto
matemático muy importante, la tasa de variación de una función en un intervalo. Igual que
la TVM, la velocidad media del movimiento
se define como el cociente entre la distancia recorrida y el tiempo transcurrido. Sea y = f (t)
la distancia en función del tiempo, entonces
vm =
Figura 9.11
f (t1 + h) − f (t1 )
distancia recorrida
f (t2 ) − f (t1 )
=
=
tiempo total
t2 − t1
h
Capítulo 9. Derivadas
544
Ejemplo 9.1.6 Si el desplazamiento de un móvil hasta el tiempo t está dado por la ecuación d(t) =
64 + 4t 2 metros, donde t está medido en segundos, la velocidad promedio durante los tiempos:
d(4) − d(2)
= 24m/s
1. t = 2 a t = 4 es
4−2
2. t = 2 a t = 3 es
d(3) − d(2)
= 20m/s
3−2
3. t = 2 a t = 2, 5 es
d(2, 5) − d(2)
= 18m/s
2, 5 − 2
d(2, 1) − d(2)
= ....m/s
2, 1 − 2
Interesa ahora tener una mejor idea de lo que está ocurriendo cerca de t = 2. En términos generales
estamos interesados en “la velocidad” en el instante t = 2, la que marca el velocímetro en ese instante.
4. t = 2 a t = 2, 1 es
9.1.6
velocidad instantánea
La velocidad a la que circula un automóvil en cada momento es un dato de uso corriente y conduce a la
noción de tasa de variación instantánea de una función en un punto.
La velocidad instantánea v es la velocidad en un instante preciso. Dicho de otra manera, hacemos que
el intervalo de tiempo transcurrido sea prácticamente cero y miramos cual sería la distancia recorrida.
v(t) = lı́m
h→0
f (t1 + h) − f (t1 )
h
Ejemplo 9.1.7 La velocidad instantánea en t = 2, si f (t) = 64 + 4t 2 es
v(2) = lı́m
h→0
f (2 + h) − f (2)
64 + 4(2 + h)2 − (64 + 16)
= lı́m
h→0
h
h
Al reducir queda
16h + 4h2
= 16m/s
h→0
h
v(2) = lı́m
Un móvil se mueve de acuerdo a la ecuación s(t) = 3t 2 . La distancia se mide en
metros y el tiempo en segundos.
1. Hallar la velocidad media entre t = 1 y t = 4.
Resp. 15m/s
2. Hallar la velocidad instantánea en t = 1.
Resp. 6m/s
Actividad 274
Actividad 275 La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos
es f (t) = 6t 2 . Calcular:
1. La velocidad media entre t = 1 y t = 4.
2. La velocidad instantánea en t = 1.
9.2
Derivada de una función en un punto
El límite que define la tasa de variación instantánea, la pendiente de la recta tangente y la velocidad
instantánea y que también aparece en otras aplicaciones da origen a lo siguiente:
9.2 Derivada de una función en un punto
545
Definición 9.2.1 Dada una función y = f (x), se llama derivada de la función f en un punto x = x0 al
siguiente límite si existe y es finito
f (x0 + h) − f (x0 )
h
0
El símbolo f (x0 ) se lee “efe prima de equis sub-cero. Cuando este límite existe (y es finito) se dice que
la función f es derivable en el punto x0 . A la cantidad h se la llama “incremento de x”, y corresponde al
paso del punto x al punto x = x0 + h. Como x0 + h representa un punto cercano a x0 , entonces podemos
escribir la alternativa siguiente de derivada
f 0 (x0 ) = lı́m
h→0
f (x) − f (x0 )
x − x0
Algunos libros prefieren usar la notación ∆x en vez de h, quedando escrita la función derivada como:
f 0 (x0 ) = lı́m
x→x0
f 0 (x0 ) = lı́m
∆x→0
f (x + ∆x) − f (x)
∆x
Ejemplo 9.2.2 Para la función f (x) = x2 :
1. Usar la definición para hallar f 0 (2)
2. Calcular f 0 (a)
3. Hallar f 0 (10)
Para la derivada en el punto x = 2 se reemplaza en la definición
f 0 (2) = lı́m
h→0
El cálculo de f
0 (a)
f (2 + h) − f (2)
(2 + h)2 − 4
4h + h2
= lı́m
= lı́m
=4
h→0
h→0
h
h
h
es similar
f 0 (a) = lı́m
h→0
f (a + h) − f (a)
(a + h)2 − a2
2ah + h2
= lı́m
= lı́m
= 2a
h→0
h→0
h
h
h
Es sencilo inferir que
f 0 (10) = 2 · 10 = 20
TABLA DE DERIVADAS
Con el fin de agilizar el conocimiento de la derivada, se entrega una tabla de derivadas de uso habitual.
Se demuestran algunas de ellas, y las restantes a medida que tengamos las herramientas para ello. La
constante k ∈ R, a > 0, a ∈ R+ , a 6= 1.
Capítulo 9. Derivadas
546
Observación 9.2.3 Para la función y = f (x) las siguientes notaciones de derivada son equivalentes:
y 0,
f 0 (x),
fx ,
Dx ,
dy
,
dx
df
dx
Respecto de la tabla de derivadas se tiene lo siguiente:
1)
f (x) = x
=⇒
2)
1
f (x) =
x
3)
f (x) = xn =⇒
=⇒
f 0 (x) = lı́m
h→0
f (x + h) − f (x)
(x + h) − x
= lı́m
=1
h→0
h
h
1
1
−
1
1
f 0 (x) = lı́m x + h x = lı́m −
=− 2
h→0
h→0 x(x + h)
h
x
(x + h)n − xn
h→0
h
f 0 (x) = lı́m
Por el teorema del binomio
n n
n n−1
n
n n
n−1
(x + h) =
x +
x h+···+
xh +
h
0
1
n−1
n
n
n n
Como el coeficiente
= 1, entonces
x = xn . Se tiene
0
0
n n−1
n
n n
n−1
x h+···+
xh +
h
1
n−1
n
0
f (x) = lı́m
h→0
h
n n−1
n
n n−1
n−2
= lı́m
x +···+
xh +
h
= n xn−1
n−1
n
h→0 1
n
4)
f (x) = x−n =⇒
1
1
− n
n
xn − (x + h)n
(x + h)
x
= lı́m
f 0 (x) = lı́m
h→0
h→0 h xn (x + h)n
h
Tal como en el caso anterior, al aplicar el teorema del binomio se elimina xn . Al simplificar por h y
tomar el límite se encuentra que
f (x) = x−n =⇒ f 0 (x) = −n x−n−1
5)
(x + h)n/2 − xn/2
h→0
h
f (x) = xn/2 =⇒
f 0 (x) = lı́m
=⇒
f 0 (x) = lı́m
=⇒
f 0 (x) = lı́m
(x + h)n/2 − xn/2 (x + h)n/2 + xn/2
·
h→0
h
(x + h)n/2 + xn/2
(x + h)n − xn
h→0 h · [(x + h)n/2 + xn/2 ]
9.2 Derivada de una función en un punto
547
El teorema del binomio asegura que el término xn se elimina. Al factorizar por h y cancelar queda la
expresión equivalente
n n−2
x + · · · + hn−1
2
n
= xn/2−1
n/2
n/2
2
(x + h) + x
nxn−1 + h
f 0 (x) = lı́m
h→0
El caso n = 1 conduce a tener
f (x) =
6)
7)
√
1
x =⇒ f 0 (x) = √
2 x
sen(x + h) − sen x
h→0
h
f (x) = sen x =⇒
f 0 (x) = lı́m
=⇒
f 0 (x) = lı́m
=⇒
f 0 (x) = lı́m
=⇒
f 0 (x) = sen x lı́m
=⇒
f 0 (x) = − sen x lı́m
=⇒
f 0 (x) = − sen x · lı́m
=⇒
f 0 (x) = cos x
sen x cos h + cos x senh − sen x
h→0
h
h→0
sen x (cos h − 1) + cos x sen h
h
cos h − 1
sen h
+ cos x lı́m
h→0
h→0 h
h
sen2 h
+ cos x · 1
h→0 h(1 + cos h)
sen h
sen h
· lı́m
+ cos x
h→0 h
h→0 1 + cos h
cos(x + h) −0 cos x
h→0
h
f (x) = cos x =⇒
f 0 (x) = lı́m
=⇒
f 0 (x) = lı́m
=⇒
f 0 (x) = lı́m
=⇒
f 0 (x) = cos x · lı́m
=⇒
f 0 (x) = − sen x
cos x cos h − sen x sen h − cos x
h→0
h
cos x (cos h − 1) − sen x sen h
h→0
h
cos h − 1
sen h
− sen x lı́m
h→0 h
h→0
h
Capítulo 9. Derivadas
548
8)
f (x) = loga x =⇒
=⇒
=⇒
loga (x + h) − loga x
h→0
h
loga x+h
x
0
f (x) = lı́m
h→0
h
f 0 (x) = lı́m
h 1/h
f 0 (x) = lı́m loga 1 +
h→0
x
"
=⇒
f
0 (x)
= loga
#
h 1/h
lı́m 1 +
h→0
x
"
=⇒
f 0 (x) = loga
#
h x/h 1/x
lı́m (1 + )
h→0
x
1
1
log e =
x
x ln a
En el último paso se hizo uso del teorema del cambio de base para logaritmos.
=⇒
f 0 (x) = loga (e)1/x =
El caso particular a = e significa que
f (x) = ln x =⇒ f 0 (x) =
9.3
1
x
Algebra de derivadas
En lo que sigue, centramos el estudio en los métodos analíticos que permiten calcular la derivada de
cualquier función, sin tener que recurrir a la definición. Cabe hacer notar que, la derivada de una función
en un punto x0 es un número, f (x0 ), y la derivada de una función es otra función que se denota f 0 (x).
Teorema 9.3.1 Sean f y g funciones reales diferenciables en el punto x0 , y sea k una constante. Se
verifican los siguientes hechos:
1. f (x) = k =⇒ f 0 (x) = 0
4. ( f · g) 0 (x) = f 0 (x) · g(x) + f (x) · g 0 (x)
2. ( f + g) 0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x)
f
f 0 (x) · g(x) − f (x) · g 0 (x)
5. ( ) 0 (x) =
g
g2 (x)
3. ( f − g) 0 (x) = f 0 (x) − g 0 (x)
Demostración.
1) f 0 (x) = lı́m
h→0
f (x + h) − f (x)
k−k
= lı́m
=0
h→0 h
h
( f ± g)(x + h) − ( f ± g)(x)
h→0
h
2) ( f ± g) 0 (x) = lı́m
= lı́m
h→0
=
f (x + h) − f (x)
g(x + h) − g(x)
± lı́m
h→0
h
h
f 0 (x) ± g 0 (x)
9.3 Algebra de derivadas
549
( f · g)(x + h) − ( f · g)(x)
h→0
h
3) ( f · g) 0 (x) = lı́m
= lı́m
f (x + h) · g(x + h) − f (x) · g(x)
h
= lı́m
f (x + h)g(x + h) − f (x)g(x) + f (x)g(x + h) − f (x)g(x + h)
h
h→0
h→0
=
=
lı́m
h→0
f (x + h) − f (x)
g(x + h) − g(x)
lı́m (x + h) + f (x) lı́m
h→0
h→0
h
h
f 0 (x) · g(x) + f (x) · g 0 (x)
1
g 0 (x)
4) Basta probar que ( ) 0 (x) = − 2 , y luego usar la derivada del producto. Se tiene.
g
g (x)
1
1
1
1
−
( )(x + h) − ( )(x)
1 0
g(x + h) g(x)
g
g
( ) (x) = lı́m
= lı́m
h→0
h→0
g
h
h
g(x) − g(x + h)
g(x + h) − g(x)
1
= − lı́m
· lı́m
h→0 h · g(x) · g(x + h)
h→0
h→0 g(x) · g(x + h)
h
= lı́m
= −g 0 (x) ·
1
g2 (x)
Luego,
f
1
1
g 0 (x)
f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x)
( ) 0 (x) = ( f · ) 0 = f 0 (x) ·
− f (x) · 2
=
g
g
g(x)
g (x)
g2 (x)
Con el fin de ampliar nuestros conocimientos sobre el cálculo de derivadas, son necesarios algunos
resultados, de los cuales, el siguiente es uno de los más importantes del cálculo diferencial.
Teorema 9.3.2 (Regla de la cadena)
Sean f y g funciones reales diferenciable en el punto x, y f (x), respectivamente. Entonces la función
(g ◦ f ) es diferenciable en x y se tiene
(g ◦ f ) 0 (x) = g 0 ( f (x) ) · f 0 (x)
Demostración.
(g ◦ f ) 0 (x) =
(g ◦ f )(x + ∆x) − (g ◦ f )(x)
g( f (x + ∆x)) − g( f (x))
= lı́m
∆x→0
∆x→0
∆x
x − x0
lı́m
El cambio de variables, u = g(x),
h = f (x + ∆x) − f (x), conduce a la expresión equivalente
g[h + f (x)] − f [g(x)]
g[h + u] − g[u]
= lı́m
h→0
h→0
h
h
(g ◦ f ) 0 (x) = lı́m
Se presentan dos casos:
Capítulo 9. Derivadas
550
caso h 6= 0
(g ◦ f ) 0 (x) = lı́m
h→0
g(h + u) − g(u)
f (x + h) − f (x)
· lı́m
h→0
h
h
= g 0 (u) · f 0 (x) = g 0 [ f (x)] · f 0 (x)
caso h = 0
Este caso puede ocurrir que h es constante o bien la función cero. Se sabe que
lı́m
h→0
g(h + u) − g(u)
= g 0 (u)
h
Consideremos la función
g(h + u) − g(u)
− g 0 (u)
h
para la cual lı́m ϕ(h) = 0. Esta ecuación equivale a
ϕ(h) =
h→0
g(h + u) − g(u) = h ϕ(h) + h g 0 (u)
se hace necesario definir ϕ(0) = 0. Se tiene
g(h + u) − g(u)
h→0
h
lı́m
h · ϕ(h) + h · g 0 (u)
h→0
h
= lı́m
=
lı́m
∆x→0
=
f (x + ∆x) − f (x)
f (x + ∆x) − f (x) 0
· ϕ(h) + lı́m
· g (u)
∆x→0
h
∆x
f 0 (x) · 0 + f 0 (x) · g 0 (u) = f 0 (x) · g 0 (u)
= g 0 [ f (x)] · f 0 (x)
Este resultado permite obtener la derivada de una gran clase de funciones. Establecemos la tabla de
derivadas considerando funciones compuestas
La figura didáctica de asemejar la derivada con una máquina “aniquiladora” de funciones es bastante
efectiva al principio del aprendizaje de la derivada. En este contexto lo primero es establecer de que
tipo es la función que vamos a derivar. Por ejemplo, en una potencia hay que ir “matando” primero la
potencia como tal y luego la base, siendo la derivada el producto de ambas. Con un ejemplo se aclaran
las cosas.
9.3 Algebra de derivadas
551
Ejemplo 9.3.3 Hallar la derivada de f (x) = sen (x2 )
Observar que se va a derivar la función seno. Esto es lo primero que debe tener claro antes de iniciar el
proceso de derivación ¿a qué función se sacará la derivada? Así, la derivación aniquila primero al seno
y luego lo que queda (su argumento) se tiene:
f 0 (x) = cos (argumento) · derivada de argumento
lo que es equivalente a:
f 0 (x) = cos (x2 ) · 2x
La tabla contiene las derivadas de diversas funciones y está confeccionada al “estilo” compuesta. Para
entender mejor el funcionamiento de las reglas, te sugiero interpretar, por ejemplo, la regla de la
derivada de la arcotangente como sigue:
[arc tg(argumento)] 0 =
1
· (derivada de argumento)
1 + (argumento)2
Lo primero que debes tener claro es que todas las funciones a derivar se pueden considerar como
funciones compuestas. No interesa cuales son las funciones que hacen la composición, lo importante es
saber que es compuesta. Te muestro la técnica y las restantes quedan a tu interés.
Derivada de la función potencial:
f (x) = xk =⇒ f 0 (x) = k xk−1 , k ∈ R
Demostración.
f (x) = xk =⇒ ln [ f (x) ] = k ln x =⇒
=⇒
f 0 (x) = k · f (x) ·
1
f (x)
· f 0 (x) = k · 1x
1
= k · xk−1
x
Ejemplo 9.3.4 Hallar derivada de y = (x2 + 3)5
Como ya sabes, la derivada se asemeja a una máquina “aniquiladora” de funciones, de modo que en
una potencia, hay que ir “matando” primero la potencia como tal y luego la base, siendo la derivada el
producto de ambas. A ver si se entiende:
Una potencia “genérica” tiene la forma
y = (base)potencia
de modo que su proceso de derivación, paso a paso, sería:
potencia
Paso 1: “matamos la potencia”: (base)
Por tanto, la primera parte de la derivada es
potencia · (base)potencia-1
Paso 2: Aniquilada la potencia, nos queda la base.
Capítulo 9. Derivadas
552
base = x2 +
3 =⇒ (base) ’= 2x
En consecuencia:
y 0 = 5 · (x2 + 3)4 · 2x
El proceso mostrado, es mucho más dinámico en la pizarra y debiera verse así
y 0 = potencia · (base)potencia -1 · (base) 0
Actividad 276 Hallar derivada de y = arc sen(x3 − 1)
Lo primero que debes notar es que se trata de derivar una trigonométrica inversa, el arco seno, y que su
argumento es (x3 − 1). Partimos entonces por “aniquilar” el arco seno y luego su argumento. Para ello
sabemos que su derivada es
1
p
· derivada del argumento
1 − (argumento)2
o que traducido a lenguaje matemático significa
1
p
· 3x2
1 − (x3 − 1)2
Actividad 277 Hallar derivada de:
1) y = (sen x + 3)5
2) y = sen(x2 + 3)5
y = ln[sen(x2 + 3)5 ]
4) y = sen2 (x + 3) + cos4 x3 − 1
5) arc tg(x2 + 3)6
8) y = arc tg6 (3x2 − 1)
Derivada de la función exponencial:
f (x) = ax =⇒ f 0 (x) = ax ln a
Demostración.
f (x) = ax =⇒ ln [ f (x) ] = x ln a
=⇒
1
· f 0 (x) = ln a
f (x)
=⇒
f 0 (x) = f (x) · ln a = ax ln a
Si a = e, entonces f (x) = ex =⇒ f 0 (x) = ex
Ahora vemos un par de ejemplos donde se pone en práctica el uso de la regla de la cadena. Para ello es
necesario seguir ciertos pasos:
1. Paso 1 : Verificar si se trata de una función compuesta.
2. Paso 2 : Clasificar la función a derivar como; suma, diferencia, cociente, producto, potencia,
exponencial, logarítmica, trigonométrica.
3. Paso 3 : Usar el teorema o propiedad correspondiente.
9.3 Algebra de derivadas
553
4. Paso 4 : Aplicar la regla de la cadena, considerando que se deben derivar todas las funciones
que hacen la función compuesta, desde izquierda a derecha.
√
3
Ejemplo 9.3.5 Hallar la derivada de la función h(x) = x2 + x + 2
Según el paso 1, claramente se trata de una función compuesta. La composición es
h(x) = g[ f (x)],
f (x) = x2 + x + 2,
g(x) = x1/3
El paso 2 es identificar que se trata de la derivada de una ¡¡ potencia !!. Con el fin de no provocar
confusión en las notaciones, esta potencia es de la forma
g(u) = u1/3 ,
u = x2 + x + 2
su derivada es
1 −2/3
u
,
u = f (x)
3
de acuerdo a la regla de la cadena, en el caso de dos funciones, se debe tener
g 0 (u) =
(g ◦ f ) 0 (x) = g 0 [ f (x)] · f 0 (x)
En este caso, f 0 (x) = 2x + 1,
g 0 [ f (x)] =
(g ◦ f ) 0 (x) =
1 2
(x + x + 2)−2/3 . En consecuencia
3
1 2
(x + x + 2)−2/3 · (2x + 1)
3
Ejemplo 9.3.6 Hallar la derivada de la función y = 3 sen2 (x3 ) + tg[ln(x2 )]
Paso 1 Dado que el argumento de las funciones involucradas no es la x, se trata de una función
compuesta.
Paso 2 ¡ ¡ derivada de una suma ! !
Se analiza cada sumando en forma separada. Veamos la derivada de f1 (x) = 3 sen2 (x3 ).
Se observa que es la derivada de un producto, entre una constante y una función, como la derivada de
una constante es cero, la derivada del producto se reduce a multiplicar la constante por la derivada de
la función. Ahora, la función a derivar es compuesta de dos ¡¡ potencias !! y una trigonométrica. En
efecto, si
f (x) = x3 , g(x) = sen x, h(x) = x2
entonces
f1 (x) = 3 h[g[ f (x)]] = 3 h[g(x3 )] = 3 h[sen x3 ] = 3 sen2 (x3 )
su derivada, según la regla de la cadena es
f1 (x) = 3 h[g[ f (x)]] =⇒ f1 0 (x) = 3 h 0 [g[ f (x)]] · g 0 [ f (x)] · f 0 (x)
Haciendo los pasos correctos se encuentra que
f1 0 (x) = 3 · 2 sen x3 · cos x3 · 3x2 = 18 x2 sen x3 · cos x3
Veamos ahora la derivada de la función f2 (x) = tg(ln(x2 ).
La función es, evidentemente, compuesta de funciones. Con el fin de agilizar el proceso de derivada
obsérvese lo siguiente:
Capítulo 9. Derivadas
554
1. Hay tres funciones involucradas, a saber, tg x, ln x, x2 .
1
2. La derivada de tg x es sec2 x, la de ln x es , la de x2 es 2x. Luego, la derivada de esta función
x
compuesta es
2
1
f2 0 (x) = sec2 [ln(x2 )] · 2 · 2x = sec2 [ln(x2 )]
x
x
9.3.1
Derivada de funciones hiperbólicas
Estas funciones son el producto de operar algebraicamente la función exponencial. Su nombre y
notación tiene estrecha relación con las funciones trigonométricas. Veamos la razón.
Definición 9.3.7 La función seno hiperbólico, que se encuentra definida para todo valor real de su
argumento x, corresponde a la expresión
senh x =
1 x
( e − e−x )
2
Las restante funciones hiperbólicas son:
coseno hiperbólico
:
cosh x
=
1 x
( e + e−x ) ∀ x ∈ R
2
tangente hiperbólica
:
tgh x
=
senh x
, ∀x∈R
cosh x
cotangente hiperbólica
:
coth x
=
cosh x
, ∀ x ∈ {R − {0}}
senh x
secante hiperbólica
:
sech x
=
1
, ∀x∈R
cosh x
cosecante hiperbólica
:
csch x
=
1
, ∀ x ∈ {R − {0}}
senh x
Veamos que sucede con la derivada de estas funciones:
1
1
y = senh x = ( ex − e−x ) =⇒ y 0 = ( ex + e−x ) = cosh x
2
2
1
1
y = cosh x = ( ex + e−x ) =⇒ y 0 = ( ex − e−x ) = senh x
2
2
senh x
y = tgh x =
=⇒ y 0 = sech2 x
cosh x
cosh x
=⇒ y 0 = csch2 x
y = coth x =
senh x
1
y = sech x =
=⇒ y 0 = − sech x tgh x
cosh x
1
y = csch x =
=⇒ y 0 = − csch x coth x
senh x
Es clara entonces, la similitud existente entre las derivadas trigonométricas y las hiperbólicas.
9.3 Algebra de derivadas
9.3.2
555
Derivada de función elevada a función
Si las funciones u = u(x) y v = v(x) son funciones derivables, entonces la función u(x)v(x) es derivable
y se tiene
(uv ) 0 = uv · v 0 · ln u + v · uv−1 · u
Probar este hecho es simple, sólo se debe hacer z = uv , tomar logaritmo y derivar. La fórmula en si
o es fácil de recordar, por lo que se recomienda seguir el procedimiento que muestra el ejemplo a
continuación.
Ejemplo 9.3.8 Hallar la derivada de y = (x2 + 1)x .
Se aplica logaritmo en ambos lados de la ecuación.
y = (x2 + 1)x =⇒ ln y = x ln(x2 + 1)
=⇒
1 0
1
· y = ln(x2 + 1) + x · 2
· 2x
y
x +1
2x2
2
=⇒ y = y ln(x + 1) + 2
x +1
0
2x2
2
=⇒ y = (x + 1) ln(x + 1) + 2
x +1
0
2
x
Teorema 9.3.9 (Derivada de la función inversa)
Sea x = g(y) la función inversa de y = f (x). Si g 0 (y) 6= 0, entonces f 0 (x) existe y se tiene
f 0 (x) =
1
g 0 (y)
Demostración.
Se consideran incrementos, con el fin de aplicar la definición de derivada.
x = g(y) =⇒ x + ∆x = g(y + ∆y)
=⇒ ∆x = g(y + ∆y) − g(y)
Por hipótesis, g es la inversa de f , luego ella es monótona (requisito para existencia de inversa), de aquí
que ∆x 6= 0. Además, la existencia de la derivada g 0 (y) implica la continuidad de g. Esto significa que
si ∆y → 0, entonces ∆x → 0. En consecuencia, se puede escribir
∆y
1
=
∆x
∆x
∆y
Al tomar límite, con ∆y → 0, se tiene
∆y
=
∆y→0 ∆x
lı́m
1
∆x
∆y→0 ∆y
lı́m
=
1
g 0 (y)
Capítulo 9. Derivadas
556
Como
∆y
∆y
= lı́m
= f 0 (x)
∆x→0 ∆x
∆y→0 ∆x
lı́m
entonces
f 0 (x) =
9.3.3
1
g 0 (y)
Derivadas trigonométricas inversas
1
, x ∈ (−1, 1)
y = arc sen x =⇒ y 0 = √
1 − x2
1
,
y = arc cos x =⇒ y 0 = − √
1 − x2
y = arc tg x =⇒ y 0 =
1
,
1 + x2
y = arccotg x =⇒ y 0 = −
y = arcsec x =⇒ y 0 =
x ∈ (−1, 1)
x∈R
1
,
1 + x2
x∈R
1
√
,
|x| x2 − 1
y = arccsc x =⇒ y 0 = −
1
√
,
|x| x2 − 1
|x| > 1
|x| > 1
Demostración.
Hacemos la primera, quedando las restantes para ejercitación.
y = arc sen x =⇒ x = sen y
=⇒ xy =
dx
= cos y
dy
=⇒ yx =
dy
1
=
dx cos y
=⇒ y 0 =
dy
1
=p
dx
1 − sen2 y
1
=⇒ y 0 = √
1−x2
Ejemplo 9.3.10 Hallar derivada de y = sen[arc tg(1 + x2 )]
Claramente se trata de la derivada de una función compuesta. La primera función que destaca es el
seno. De acuerdo con la regla de la cadena, se deben “aniquilar” por derivación, todas las funciones de
izquierda a derecha. Se tiene
y 0 = cos[arc tg(1 + x2 )] ·
1
· 2x
1 + (1 + x2 )2
Ejemplo 9.3.11 Hallar derivada de y = sen[ log2 ( arc tg( e2x ) ) ]
9.3 Algebra de derivadas
557
Hay que observar la concurrencia de cinco (5) funciones para formar la función compuesta y. Vamos a
derivar cada una de ellas en la forma de la regla de la cadena.
f1 = sen X
=⇒
f1 0 = cos X = cos[ log2 ( arc tg( e2x ) ) ]
f2 = log2 X
=⇒
f2 0 =
1
1
=
X ln 2 arc tg( e2x ) ln 2
f3 = arc tg X
=⇒
f3 0 =
1
1
=
1 + X 2 1 + e4x
f4 = eX
=⇒
f4 0 = eX = e2x
f5 = 2x
=⇒
f5 0 = 2
En consecuencia,
f 0 (x) =
f1 0 · f2 0 · f3 0 · f4 0 · f5 0
= cos[ log2 ( arc tg( e2x ) ) ] ·
1
1
· e2x · 2
·
2x
arc tg( e ) ln 2 1 + e4x
Ejemplo 9.3.12 Hallar las derivadas de la función z = sec[ 2x ] + ex + y2 , primero respecto de x, luego
respecto de y.
9.3.4
dz
dx
= sec[ 2x ] · tg[ 2x ] · 2x · ln 2 + ex
dz
dy
= 2y
Derivada de funciones implícitas
Al considerar la función de ecuación f (x) = x3 + 3x2 − 12, es posible determinar f 0 (x) con los teoremas
enunciados anteriormente, ya que f es una función dada explícitamente en términos de la variable
independiente x.
Sin embargo, existen funciones que no están definidas en forma explícita, tal como:
x2 y2 − xy3 + x = 2, 4y = sen(2x − y2 )
Estas ecuaciones no pueden ser resueltas explícitamente para y en términos de x. Se dice entonces que
la función f está definida implícitamente por las ecuaciones:
x2 [ f (x)]2 − x[ f (x)]3 + x = 2,
4[ f (x)] = sen(2x − [ f (x)]2 )
respectivamente.
Note que ambas expresiones son de la forma general F(x, y) = 0. Para efectos de hallar la derivada de
esta clase de funciones, es necesario precisar una definición
Capítulo 9. Derivadas
558
Definición 9.3.13 La ecuación F(x, y) = 0 define a y de manera implícita como una función diferen-
ciable de x, es decir, y = f (x), si F(x, f (x)) = 0 para todas las x del dominio de f .
Teorema 9.3.14 (de la función implícita)
Sea F(x, y) = 0 ecuación implícita. Si en el punto (x0 , y0 ) se satisfacen:
1. F(x0 , y0 ) = 0
2. Fx (x0 , y0 ) y Fy (x0 , y0 ) son continuas
3. Fy (x0 , y0 ) 6= 0,
entonces, existe una única función diferenciable y = f (x) que satisface:
1.
y0 = f (x0 )
2. F(x, f (x)) = 0
Fx
3.
f 0 (x) = −
Fy
No se tienen las herramientas para probar este resultado. La regla de la cadena permite realizar la
dy
derivación de funciones implícitas. Para obtener la derivada
de una función implícita se emplean
dx
las mismas fórmulas y las mismas reglas de derivación estudiadas hasta ahora, en donde debe tenerse
solamente el cuidado de tratar a la variable y como una variable dependiente de x.
Actividad 278 Hallemos derivada de x2 y2 − xy3 + x = 2
Solo con el fin de guiar tu aprendizaje anotaré la dependencia y = f (x). Posteriormente puedes abreviar
el proceso de cálculo. La ecuación dada equivale a:
x2 [ f (x)]2 − x[ f (x)]3 + x = 2
Tomamos derivada en ambos lados, respecto de x
2x[ f (x)]2 + x2 · 2[ f (x)] · f 0 (x) − [ f (x)]3 − x · 3[ f (x)]2 · f 0 (x) + 1 = 0
El proceso de despejar f 0 (x) conduce a
f 0 (x) =
5y3 − 6xy2 − 1
6x2 y − 15xy2
dy
si x2 + y2 − a2 = 0
dx
En primer lugar, se deben verificar las condiciones del teorema. Al respecto, se tiene. La existencia del
(x0 , y0 ) tal que F(x0 , y0 ) = 0 es clara, no sólo existe uno de estos puntos, hay infinitos (x0 , y0 ) sobre la
circunferencia que hacen que x02 + y20 − a2 = 0. Las derivadas con respecto a x y con respecto a y son
Ejemplo 9.3.15 Hallar
Fx = 2x,
Fy = 2y,
Fy (x0 , y0 ) 6= 0, para y0 6= 0
En estas condiciones existe una única función diferenciable, definida implícitamente, cuya derivada es
dy
2x
x
x
, y>0
= − = − = −√
dx
2y
y
a2 − x 2
con y < 0 se obtiene el mismo resultado, pero con signo contrario.
9.3 Algebra de derivadas
559
Un método alternativo para hallar derivada de esta clase de funciones, consiste en aplicar la regla de la
cadena. Veamos esto en el mismo ejemplo.
x2 + y2 − a2 = 0 =⇒
=⇒
d 2
d
x + y2 − a2 = (0) = 0
dx
dx
d 2
d
d
( x ) + ( y2 ) − ( a2 ) = 0
dx
dx
dx
=⇒ 2x +
d 2 dy
(y )· −0 = 0
dy
dx
=⇒ 2x + 2y ·
=⇒
dy
=0
dx
dy
2x x
x
, y>0
= − = = −√
2
dx
2y y
a − x2
dy
si x3 + xy2 − x2 y + y3 = 0
dx
De que hay puntos (x0 , y0 ) que hacen cero la ecuación, los hay. La idea es suponer que existe al menos
uno con el fin de obtener la derivada. No se trata de exhibirlos.
Ejemplo 9.3.16 Hallar
Fx = 3x2 + y2 − 2xy,
Fy = 2xy − x2 + 3y2
Luego,
3x2 + y2 − 2xy
dy
=−
,
dx
2xy − x2 + 3y2
2x0 y0 − x02 + 3y20 6= 0
El mismo problema por el método alternativo de la regla de la cadena, con la notación “prima” es
x3 + xy2 − x2 y + y3 = 0 =⇒ 3x2 + y2 − 2xyy 0 − 2xy − x2 y 0 + 3y2 y 0 = 0
=⇒ y 0 ( 2xy − x2 + 3y2 ) = −3x2 − y2 + 2xy
=⇒ y 0 = −
3x2 + y2 − 2xy
, 2x0 y0 − x02 + 3y20 6= 0
2xy − x2 + 3y2
Actividad 279 Hallar y 0 si:
1. x2 + 2xy2 + 1 = 0
9.3.5
2. 4y = sen(2x − y2 )
3. y 0 si x + y + sen xy − 3 = 0
Derivada de funciones paramétricas
En este caso, la función viene dada a través de un parámetro t. Tienen la forma
(
y = f (t)
x = g(t)
Capítulo 9. Derivadas
560
Esta funciones son muy útiles para representar el movimiento de partículas en el plano. Por ejemplo, tú
conoces que x2 + y2 = 1 es la ecuación de una circunferencia. Mira la siguiente ecuación parámetrica,
0 ≤ t ≤ 2π
(
y = sent
x = cost
¿Crees que tengan algo en común esta ecuación con la de la circunferencia? Antes de tu respuesta te
puedo decir que para graficar una paramétrica se le dan valores al parámetro y con ello se van ubicando
los puntos en el plano.
Actividad 280 Hallemos y 0 si x = t 2 ,
y = ln t
dy
Se quiere conocer la derivada . El problema, aparente, radica en que, tanto la x como la y están en
dx
función de otra variable, el parámetro t. ¿Cuál será la solución? De nuevo nos viene a ayudar la regla
de la cadena. Mirando la notación como cociente podemos ver que:
dy dy dt
=
·
dx
dt dx
En este caso la t sirve como variable “de pasada”, como que sirve para conectar en la derivada. Para el
problema particular que tenemos que resolver se tiene
y = ln t =⇒
x =
dt
Como
=
dx
se tiene
dx
dt
t 2 =⇒
dy 1
=
dt
t
dx
= 2t
dt
−1
, entonces, al reemplazar en la expresión que define la derivada de la paramétrica
dy 1 1
1
1
= · = 2=
dx
t 2t
2t
2x
Te comunico que no es necesario que escribas la derivada final en términos de x, es suficiente con que
la dejes en la variable t.
Ejemplo 9.3.17 Hallar
dy
si x = arc tg(t 2 ), y = ln(1 + t 2 )
dx
dy
2t
=
,
dt
1 + t2
dx
2t
=
dt
1 + t4
De acuerdo con la regla de la cadena
dy dy dt
=
·
dx
dt dx
=
−1
2t
2t
·
1 + t2
1 + t4
=
1 + t4
2t
·
1 + t2
2t
=
1 + t4
1 + t2
9.3 Algebra de derivadas
9.3.6
561
Derivadas de orden superior
Así como se saca la derivada de una función, es posible volver a derivar y obtener una segunda derivada,
una tercera, y así sucesivamente. De las derivadas de orden superior, la más importante es la de orden 2.
Sus notaciones más usuales para la derivada de y = f (x) son:
d2y
,
dx2
y 00 ,
fxx
Ejemplo 9.3.18 Las derivadas de orden 1, 3, 5, (2n − 1) de f (x) = sen x son;
f 0 (x) = cos x, f 000 (x) = − cos x, f (5) (x) = cos x, · · · f (2n−1) (x) = (−1)n+1 cos x
Ejemplo 9.3.19 Las derivadas de orden 1 y 2 de f (x) = ln[x + ex ] son
f 0 (x) =
1
· (1 + ex ),
x + ex
Actividad 281 Hallar y 00 si x = t 2 ,
f 00 (x) =
xex − 1 − 2ex
(x + ex )2
y = ln t
dy
1
Ya sabe que esta función se trabajó en la actividad anterior y que su primera derivada es
= 2 , pero
dx 2t
se ve mejor si la escribimos
dy 1 −2
= ·t
dx 2
Esta es la derivada de un producto entre una constante y una función potencia. Veamos como queda
escrito el hecho de querer sacar esta derivada aplicando en ambos lados de la igualdad el operador
derivada.
dy 1 −2
d dy
d 1 −2
= · t =⇒
=
·t
dx 2
dx dx
dx 2
El lado izquierdo de la ecuación no presenta problemas y sólo tenemos un problema de notación. En el
lado derecho tenemos un paréntesis conteniendo t y lo queremos derivar respecto de x. La regla de la
cadena se encarga de resolver este “detalle”. Tenemos
d dy
d 1 −2
d 2y
d 1 −2 dt
=
·t
=⇒ 2 =
·t
dx dx
dx 2
dx
dt 2
dx
Ahora si que sí. Las t se derivan con t. Tenemos
d 2y 1
dt
= · (−2) t −3 ·
2
dx
2
dx
El valor del
dt
se tenía de la actividad anterior, era
dx
dt
1
=
dx 2t
En consecuencia
d 2y
1
=− 4
2
dx
2t
Capítulo 9. Derivadas
562
d2y
si x = arc tg(1 + t 2 ), y = ln(2t 2 − 1)
dx2
La siguiente regla, “truco” para algunos, es sinónimo de éxito en cualquier derivada de orden superior.
d 2y
d dy
d d y dt
=
=
dx 2 dx dx
dt dx dx
Ejemplo 9.3.20 Hallar
dt
= 1.
dt
dy
Veamos, en primer lugar, el cálculo de .
dx
Esto debe entenderse en el sentido que
dy dy dt
=
·
dx
dt dx
=
=
=
−1
2t
4t
·
2t 2 − 1
1 + (1 + t 2 )2
4t
2t 2 − 1
·
1 + (1 + t 2 )2
2t
4 + 4t 2 + 2t 4 )
2t 2 − 1
Ahora hallemos la derivada con respecto a t.
d 41 + 4t 2 + 2t 4 )
8t(t 2 + 1)(2t 2 − 1) − 4t(2t 4 + 4t 2 + 4)
=
dt
2t 2 − 1
(2t 2 − 1)2
=
Para
dt
tenemos que
dx
8t(t 4 − t 2 − 3)
(2t 2 − 1)2
dx
2t
dt
1 + (1 + t 2 )2
=
=⇒
=
dt
1 + (1 + t 2 )2
dx
2t
En consecuencia,
d 2 y 8t(t 4 − t 2 − 3) 1 + (1 + t 2 )2
=
·
dx 2
(2t 2 − 1)2
2t
Ejemplo 9.3.21 Hallar la derivada de orden n de x = ln t, y = t m
dy
dx
=
dy dt
·
= m · t m−1 · t = m · t m
dt dx
d2y
dx 2
=
dt
d
(m · t m ) ·
= m2 · t m−1 · t = m2 · t m
dt
dx
dt
d3y
d
=
m2 · t m ·
= m3 · t m−1 · t = m3 · t m
3
dx
dt
dx
Sin temor a equivocarse, la derivada de orden n es
d ny
= mn · t m
dx n
9.3 Algebra de derivadas
563
Actividad 282 Hallar y 00 si x2 − 2xy + y3 − 1 = 0
9.3.7
Derivadas laterales
Tienes que recordar que la derivada no es más que un límite con una forma “very special”. Si se podían
sacar límites por derecha y por izquierda ¿porqué no se puede hacer lo mismo con la derivada? Obvio,
es posible, ello da origen a las derivadas izquierda y derecha. No te asustes todo sigue igual que antes,
tanto la derivada por derecha como por la izquierda siguen representando la pendiente de la recta
tangente cuando se acerca por izquierda o por derecha al punto. Tenemos un resultado potente:
Teorema 9.3.22 Una función f es derivable en un punto x0 si, y sólo si es derivable por la izquierda y
por la derecha en x0 , y además las dos derivadas laterales tienen el mismo valor: f 0 (x0 ).
Notaciones:
La derivada derecha se define como
f 0+ (x0 ) = lı́m+
x→x0
f (x) − f (x0 )
f (x + h) − f (x)
= lı́m+
x − x0
h
h→0
La derivada izquierda está dada por
f 0− (x0 ) = lı́m−
x→x0
f (x) − f (x0 )
f (x + h) − f (x)
= lı́m−
x − x0
h
h→0
Todo se aclara con un ejemplo
Actividad 283 Sea f (x) =
x2 ,
x≤1
2x − 1, x > 1
Veamos las derivadas a izquierda y derecha de x = 1 y la conclusión.
Hallemos primero la derivada derecha,
f 0+ (1) = lı́m+
h→0
f (1 + h) − f (1) 2(1 + h) − 1 − 1
=
=2
h
h
La derivada izquierda es
f (1 + h) − f (1)
=2
h
x→1
Ambas derivadas son iguales, por tanto, f 0 (1) = 2 y la función es derivable en x = 1.
f 0− (1) = lı́m−
Ejemplo 9.3.23 Si f (x) =
x2 + x − 10, 0 ≤ x < 3
, encuentra la derivada en x = 3.
x − 1,
x≥3
En primer lugar veamos si esta función es o no continua. Sus límites laterales son:
lı́m− f (x) = lı́m− (x2 + x − 10) ∼ 32 + 3 − 10 = 2
x→3
x→3
lı́m+ f (x) = lı́m+ (x − 1) ∼ 3 − 1 = 2
x→3
x→3
Así, lı́m f (x) = 2, como además, f (3) = 3 − 1 = 2, entonces la función es continua, y podemos estudiar
x→3
si es o no derivable en x = 3. La derivada en cualquier punto diferente de x = 3 es
2x + 1, 0 ≤ x < 3
f 0 (x) =
1,
x>3
A partir de esta expresión podemos determinar derivadas laterales
Capítulo 9. Derivadas
564
f 0− (x) = 2 =⇒ f 0− (3) = 2
f 0+ (x) = 0 =⇒ f 0+ (3) = 0
Como las derivadas laterales son distintas, la derivada f 0 (3) no existe.
Ejemplo 9.3.24 Hallar derivadas laterales de la función dada por
f (x) =
−x , x ≤ 0
2 ,x > 0
La figura 10.12 muestra la gráfica de esta función. El valor de cada límite lateral es inmediato, ya que de acuerdo con la interpretación
geométrica, las derivadas laterales no son otra
cosa que la pendiente de la recta tangente en
cada caso. Es así como la derivada izquierda
es -1, y la derecha 0.
Figura 9.12
Verifiquemos esto por la definición.
derivada derecha x > 0
En este caso la función viene definida por f (x) = 2. Se tiene
f 0+ (0) = lı́m+
h→0
f (x + h) − f (x)
2−2
= lı́m+
=0
h
h
h→0
derivada izquierda x ≤ 0
En este caso la función viene definida por f (x) = −x. Se tiene
f 0− (0) = lı́m−
h→0
f (x + h) − f (x)
−(x + h) + x
= lı́m−
= −1
h
h
h→0
Se concluye que la función no es diferenciable en x = 0.
Observación 9.3.25 Si la función no está definida o bien si no es continua en un punto x0 , entonces
no puede plantearse el problema de la diferenciabilidad en ese punto. Por ejemplo, para f (x) =
derivada a izquierda de x = 0 no tiene sentido, pero si la derivada por derecha.
√
x la
Definición 9.3.26 Una función real f se llama diferenciable en el punto x0 si f 0 (x0 ) existe. Esto es,
existe
f 0 (x0 ) = lı́m
h→0
f (x) − f (x0 )
f (x0 + h) − f (x0 )
= lı́m
x→x
h
x − x0
0
Ejemplo 9.3.27 Averiguar si la función f (x) = |x| es diferenciable en el punto x0 = 0.
Como se trata de la función valor absoluto, se debe tener presente su definición.
|h|
f (h) − f (0)
1 ,h > 0
0
f (0) = lı́m
= lı́m
=
−1 , h < 0
h→0
h→0 h
h
9.3 Algebra de derivadas
565
se sigue que el límite no existe. Esto es, f 0 (0) no existe. Luego, la función no es diferenciable en
x0 = 0.
Observación 9.3.28 Teniendo en cuenta el concepto de derivadas laterales, si éstas existen pero no
coinciden, habrá dos “pendientes”, lo que gráficamente implica que la función no sea derivable.
9.3.8
Continuidad y Diferenciabilidad
Vamos a descubrir la relación que existe entre continuidad y derivabilidad.
Actividad 284 Consideramos la función f (x) = x3 − 3x + 1. ¿es posible trazar la tangente a esta curva
en cualquier punto?
Figura 9.13
Mirando la gráfica en la figura 10.13a la respuesta parece ser afirmativa. Más aún, mediante las reglas
de derivación se puede calcular la derivada en cualquier punto. De forma intuitiva podríamos decir que
esta función que nos han dado es continua y derivable en cualquier valor del dominio de la función que,
al ser polinómica, son todos los números reales.
Para determinar si una función es derivable usa el elemento geométrico de la recta tangente en cada
punto a la curva, si la tangente es única, entonces es derivable. Se concluye que la función que muestra
la figura es derivable.
Actividad 285 Sea f (x) = |x2 − 5x + 6|. ¿Será posible trazar la recta tangente en cualquier punto de
la curva?
La gráfica, en la figura 10.13b, “al parecer” muestra dos puntos conflictivos. Veremos mediante un
proceso algebraico que sucede en esos puntos. Mediante las reglas de derivación no podemos calcular
la derivada en ningún punto, ya que no sabemos derivar la función valor absoluto como tal. Por ello,
necesitamos expresar la función valor absoluto utilizando la nomenclatura de función definida a trozos.

2

x − 5x + 6
f (x) = −x2 + 5x − 6

 2
x − 5x + 6
, si x < 2
, si 2 ≤ x ≤ 3
, si x > 3
Esta función presenta continuidad en todo punto (lo muestra la gráfica) y además es sencillo probarlo
analíticamente. Pero, ¿qué sucede con la derivabilidad? Te muestro la derivada en todo punto diferente
Capítulo 9. Derivadas
566
de x = 2 y x = 3


2x − 5
0
f (x) = −2x + 5


2x − 5
, si x < 2
, si 2 < x < 3
, si x > 3
En los puntos x = 2 y x = 3 hay que estudiar la definición de derivada en un punto, es decir, se debe
calcular:
f (x) − f (x0 )
f 0 (x0 ) = lı́m
x→x0
x − x0
0
f (2)
La derivada derecha es:
f 0+ (2) = lı́m+
x→2
f (x) − f (2)
x2 − 5x + 6 − 0
= lı́m+
= −1
x−2
x−2
x→2
La derivada izquierda es.
f 0− (2) = lı́m− lı́m+
x→2 x→2
f (x) − f (2) −x2 + 5x − 6 − 0
=
=1
x−2
x−2
Se concluye que f 0 (2) NO existe, esto significa que no existe una recta tangente única en el punto de
abscisa x = 2.
f 0 (3)
La derivada derecha es:
f 0+ (3) = lı́m+
x→3
f (x) − f (3)
x2 − 5x + 6 − 0
= lı́m+
=1
x−3
x−3
x→3
La derivada izquierda es.
f 0− (3) = lı́m− lı́m+
x→3 x→3
f (x) − f (3) −x2 + 5x − 6 − 0
=
= −1
x−3
x−3
Se concluye que f 0 (3) NO existe, esto significa que no existe una recta tangente única en el punto de
abscisa x = 3.
Apunta en alguna parte destacada de tu cuaderno que la conclusión es:
Teorema 9.3.29 Si una función es diferenciable, entonces es continua.
Demostración.
Sea x0 punto de diferenciabilidad de la función f , se puede escribir
f (x) =
f (x) − f (x0 )
· (x − x0 ) + f (x0 ),
x − x0
x 6= x0
Al tomar límite cuando x → x0 se tiene
lı́m f (x) =
x→x0
=
=
lı́m
f (x) − f (x0 )
· (x − x0 ) + lı́m f (x0 )
x→x0
x − x0
lı́m
f (x) − f (x0 )
· lı́m (x − x0 ) + lı́m f (x0 )
x→x0
x→x0
x − x0
x→x0
x→x0
f 0 (x0 ) · 0 + f (x0 ) = f (x0 )
¡¡ continuidad!!
9.3 Algebra de derivadas
567
De ahora en adelante será sencillo ver gráficamente si una función es o no derivable. Para que una
función tenga la categoría de derivable, primero tiene que ser continua y luego no debe presentar
“puntas”, ello es con el fin que la tangente a la curva sea única, no como en el valor absoluto cuya
tangente en el origen no lo es.
Observación 9.3.30 La función valor absoluto es, como sabemos, continua en el punto x = 0, pero
no es diferenciable en x = 0. Esto prueba que continuidad no implica diferenciabilidad.
9.3.9
Teorema de Rolle
Teorema 9.3.31 (Rolle)
Si f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), tal que f (a) = f (b), hay algún punto c
perteneciente a (a, b) en el que f 0 (c) = 0.
Figura 9.14
Gráficamente, el teorema de Rolle afirma que existe al menos un punto (pueden ser más) del intervalo
(a, b) donde la pendiente de la recta tangente en ese punto es 0 ( f (c) = 0). Es decir, existe al menos un
valor donde la recta tangente a ese punto será paralela al eje de abscisas.
Ejemplo 9.3.32 Sea f (x) = x2 − 4x + 3. Hallar el o los los valores que satisfacen el teorema de Rolle
en [1, 3].
Primero, las condiciones; f es polinomio, por tanto continuo y diferenciable en todo R. Además,
f (1) = 0 = f (3). Por tanto existe c en (1, 3) tal que f (c) = 0. Hallemos este c.
f 0 (x) = 2x − 4 = 0 =⇒ x = 2
Por tanto, c = 2.
Actividad 286
1. Estudiar si la función f (x) = x−x3 satisface las condiciones del teorema de Rolle en los intervalos
[−1, 0] y [0, 1]. En caso afirmativo determinar los valores de c.
x2 + 4x
2. Estudiar si la función f (x) =
verifica las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo
x−7
√
[2, 6].
Resp. c = 7 − 5
9.3.10
Teorema del Valor Medio
Una pequeña modificación en el Teorema de Rolle conduce al llamado Teorema del valor medio
(TVM).
Capítulo 9. Derivadas
568
Teorema 9.3.33 (TVM)
Sea f una función que satisface lo siguiente:
1. f es una función continua en el intevalo
[a, b]
2. f es una funcion diferenciable en (a, b)
entonces hay un número c en el intervalo (a, b)
tal que
f (b) − f (a)
f 0 (c) =
b−a
f (a)
Geométricamente, f (b)−
es la tangente del
b−a
ángulo que forma la secante que pasa por los
puntos (a, f (a)) y (b, f (b)) de la curva, con el
eje x. Además, f 0 (c) es la tangente del ángulo
que forma la recta tangente a la curva en el
punto c, con el eje x. Así, el teorema afirma
que existe al menos un punto en el intervalo
(a, b) donde la tangente a la curva es paralela
a la recta (cuerda) que pasa por (a, f (a)) y
(b, f (b)).
Figura 9.15
Ejemplo 9.3.34 Verificar que la función f (x) = 3x2 + 2x + 5 satisface las condiciones del TVM en
[−1, 1]. Hallar el valor de c.
Por ser una función polinomial satisface las
condiciones de continuidad y diferenciabilidad
en el intervalo dado. Para hallar c debemos
derivar:
f 0 (x) = 6x + 2 =⇒ f 0 (c) = 6c + 2
Se debe verificar que
f 0 (c) =
f (1) − f (−1)
1 − (−1)
lo que equivale a:
6c + 2 =
10 − 6
=2
2
de lo cual se deduce que c = 0. Mira la gráfica
en la figura 10.16.
9.3.11
Figura 9.16
Funciones crecientes y decrecientes
Recordemos que si y = f (x), entonces:
Función creciente es aquella que al aumentar el valor de la variable independiente x también
lo hace el de la variable dependiente y. Dicho de otra manera, si al tomar dos puntos x1 y x2 se
9.3 Algebra de derivadas
569
cumple que
x1 < x2 =⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ),
∀x1 , x2 ∈ [a, b]
Función decreciente es la que al aumentar el valor de la variable independiente x decrece el de la
variable dependiente y. Dicho de otra manera, si al tomar dos puntos x1 y x2 se cumple que
x1 < x2 =⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ),
∀x1 , x2 ∈ [a, b]
Figura 9.17
Ahora estudiamos estos conceptos con ayuda de la derivada.
Teorema 9.3.35 Sea f una función continua
en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el
intervalo abierto (a, b).
1. Si f 0 (x) > 0 para toda x en (a, b), entonces la función f es creciente en [a, b].
2. Si f 0 (x) < 0 para toda x en (a, b), entonces la función f es decreciente en
[a, b]
3. Si f 0 (x) = 0, para todo x ∈ [a, b], entonces f es constante en [a, b].
Figura 9.18
Ejemplo 9.3.36 Determinar intervalos de monotonía de la función y = 2x3 − 9x2 + 12x − 3.
La derivada es f 0 (x) = 6x2 − 18x + 12 = 6(x − 1)(x − 2). Si queremos saber donde esta derivada es
mayor o menor que cero recurrimos a nuestra recordada recta real.
Tenemos así que: La función crece en el intervalo (−∞, 1) y (2, ∞) y decrece en (1, 2).
Capítulo 9. Derivadas
570
9.4
Máximos y mínimos
La principal utilidad al obtener los puntos máximos y mínimos de una función, así como los
intervalos donde es creciente y decreciente es
para realizar un esbozo general de la gráfica
de la función.
Los máximos y mínimos locales o relativos se
denominan extremos locales o extremos relativos de la función.
Un máximo local o relativo en una función se presenta en un punto que es más
alto que cualquier otro que esté cerca
(vecindad).
Un mínimo local o relativo en una función se presenta en un punto que es más
bajo que cualquier otro punto cercano
(vecindad).
Figura 9.19
La definición de máximo y de mínimo relativo de una función (en la vecindad de un punto) en base a la
derivada es como sigue:
La función f tiene un valor mínimo relativo en el punto de abscisa x0 si la derivada a izquierda de x0 es
negativa y a derecha de x0 es positiva
La función f tiene un valor máximo relativo en el punto de abscisa x1 si la derivada a izquierda de x1 es
positiva y a derecha de x1 es negativa
Aquellos valores que anulan la derivada se denominan puntos críticos. Estos puntos son los candidatos
a máximo y/o mínimo.
Actividad 287 Observa con atención la gráfica de y = |x2 − 2x − 3|
La continuidad de la función no está en duda.
Respecto de su diferenciabilidad, se observa
que en x = −1 y en x = 3 la función no es
derivable. Sin embargo, en esos puntos la función tiene un valor mínimo. Esto indica que
debemos tener cuidado con los puntos en que
la derivada no existe.
Figura 9.20
9.4.1
Criterio de la primera derivada
En el siguiente teorema se establece cómo determinar los valores máximos y los valores mínimos de
una función.
9.4 Máximos y mínimos
571
Teorema 9.4.1 Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a, b], que es derivable en todo
punto del intervalo abierto (a, b). Sea x0 un punto en (a, b) tal que f 0 (x0 ) = 0 o f 0 (x) no existe.
1. Si f 0 (x) es positiva para todo x < x0 y negativa para todo x > x0 , entonces f (x0 ) es un valor
máximo relativo de la función.
2. Si f 0 (x) es negativa para todo x < x0 y positiva para todo x > x0 , entonces f (x0 ) es un valor
mínimo relativo de la función.
Ejemplo 9.4.2 Hallar los máximos y mínimos relativos de la función f (x) = x5 − 5x + 6.
La primera derivada nos proporciona los puntos críticos de la función:
f 0 (x) = 5x4 − 5 = 0 =⇒ x = ±1
Ponemos estos puntos en la recta real.
En el intervalo (−∞, −1) la función es creciente y a la derecha es decreciente. Luego, aquí tenemos un
máximo. El valor de este máximo es f (−1) = 10.
En forma análoga, en el intervalo (−1, 1) la derivada es negativa, y por tanto, la función es decreciente.
En el intervalo (1, ∞) la derivada es positiva, luego, la función tiene un mínimo f (1) = 2.
Actividad 288 Para la función f (x) = x4 − 8x2 determina: La derivada y los valores que la anulan.
Coloca sobre la recta real estos puntos críticos. Encuentra los signos de la derivada en cada subintervalo
y anótalos en la recta real. Con el signo ya determinado anota intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Determina los valores máximos y los mínimos.
9.4.2
Concavidad y puntos de inflexión
El hecho que la derivada o bien que la pendiente de la recta tangente crezca o disminuya (aumente de
valor o bien disminuya) le da forma a una curva, permitiendo determinar su concavidad.
Definición 9.4.3 La función f : I ⊂ R → R se dice convexa o cóncava hacia arriba en I, si la recta
tangente en cualquier punto de I está por debajo del gráfico de la función. Se llama cóncava hacia abajo,
si la recta tangente en cualquier punto de I se halla sobre el gráfico de la función.
El punto donde la gráfica de la función presenta cambio en la concavidad se denomina punto de
inflexión.
La concavidad de una función se determina a partir de lo siguiente:
Proposición 9.4.4 Sea f : I ⊂ R → R función dos veces derivable,
(1) f 00 (x) > 0 sobre I implica f convexa.
(2) f 00 (x) < 0 sobre I implica f cóncava.
Ejemplo 9.4.5 Identificar intervalos de concavidad y convexidad de la función f (x) = x5 − 5x + 6.
Este es el ejemplo anterior, de modo que la segunda derivada es f 00 (x) = 20x3 , al igualarla a cero
se obtiene x = 0 como punto crítico. Ponemos este punto en la recta real para estudiar que sucede a
izquierda y derecha de él.
Capítulo 9. Derivadas
572
A la izquierda de x = 0, f 00 (−0,5) < 0, la función es cóncava hacia abajo. A a la derecha de x = 0,
f 00 (2) > 0, la función es cóncava hacia arriba. A partir de esto se deduce que x = 0 es punto de inflexión.
Ejemplo 9.4.6 Para la función f (x) = x4 − 8x2 , hallar la segunda derivada, hallar los ceros de esta
segunda derivada. Coloca en la recta real los puntos críticos y los puntos donde y 00 se anula. Estudia los
signos de y 00 en cada subintervalo. Indica los intervalos de concavidad.
9.4.3
Asíntotas
Como ya sabemos, existe una trilogía de asíntotas: verticales, horizontales y oblícuas. Ahora usaremos
la derivada como elemento de apoyo para identificarlas.
asíntota horizontal: La recta y = c es asíntota horizontal al gráfico de y = f (x) si y sólo si
lı́m f (x) = c
x→±∞
asíntota vertical: La recta x = k es asíntota vertical al gráfico de y = f (x) si y sólo si lı́m f (x) =
x→k
±∞
asíntota oblícua: La recta y = mx + n es asíntota oblícua al gráfico de y = f (x) si y sólo si
f (x)
• m = lı́m
x→±∞ x
• n = lı́m ( f (x) − mx)
x→±∞
x
Ejemplo 9.4.7 Para la función f (x) = 2
, determinar; dominio, recorrido, intervalos de
x − 4x + 3
monotonía, intervalos de concavidad, puntos críticos, puntos de inflexión y asíntotas. Con los elementos
anteriores bosquejar la función.
El dominio lo constituyen todos los elementos que tienen una imagen. En este cado
dom( f ) = R − {1, 3}
Los puntos criticos se determinan al resolver la derivada igualada a cero
f 0 (x) =
√
3 − x2
=
0
=⇒
x
=
±
3
(x2 − 4x + 3)2
En la recta real se tiene la siguiente situación
√
√
√
• Cuando x = − 3, la función alcanza un mínimo local f (− 3) = − 6+43√3 .
√
√
√
• Cuando x = 3, la función alcanza un máximo local f ( 3) = 6−43√3 .
x = 1 y x = 3 son asíntotas verticales
9.5 Reglas de L ’Hôpital
573
La recta y = 0 es asíntota horizontal, pues lı́m
x
x→∞ x2 − 4x + 3
=0
No hay asíntotas oblicuas al haber ya horizontal.
Al resolver la segunda derivada igualada a cero entrega la concavidad y existencia de puntos de
inflexión
2(x3 − 9x + 12)
f 00 (x) = 2
= 0 =⇒ x = x0
(x − 4x + 3)3
La expresión cúbica del numerador, x3 − 9x + 12, tiene necesariamente un cero real, para hallarlo,
el teorema de Bolzano nos ayuda
• g(x) = x3 − 9x + 12 =⇒ g(−4) = −64 + 36 + 12 < 0
• g(x) = x3 − 9x + 12 =⇒ g(−3) = −27 + 27 + 12 > 0
Así, este valor a se halla en el intervalo (−4, −3), con calculadora a = −3, 5223. La situación
con la segunda derivada, en la recta real, es
En (−∞, −3, 52), se tiene f 00 (−4) < 0 lo que
implica concavidad hacia abajo.
En (−3, 52, 1), se tiene f 00 (0) > 0 lo que implica concavidad hacia arriba.
Los dos hechos anteriores dicen que 3, 52 es
un punto de inflexión.
En (1, 3) se tiene f 00 (2) > 0 lo que implica
concavidad hacia arriba.
En (3, ∞) se tiene f (4) > 0 lo que implica
concavidad hacia arriba.
La gráfica se muestra en la figura 10.21, de la
cual se deduce
que el recorrido es el intervalo
√
3√
R − 6−4 3 , f (a) .
Figura 9.21
x2 + 2x + 1
. Hallar el dominio de esta función, determinar los puntos
x−1
críticos. Intervalos de monotonía, puntos de inflexión y la clase de concavidad de la curva. Hallar
asíntotas. Con todos estos datos hacer el gráfico de la función.
Actividad 289 Sea f (x) =
9.5
Reglas de L ’Hôpital
El Marqués Guillaume Francois Antoine de L ’Hopital (1661-1704) Francés, por supuesto, en un acto
reñido con el “fair play”, copió, si leiste bien, copió las enseñanzas de su maestro Johan Bernouilli y
las publicó como si fueran propias ¿Qué te parece? yes, cierto “fea la actitud”.
Se puede ver, por el título, que a pesar de saberse que no es su obra, su nombre ha trascendido en el
tiempo y, al parecer, la matemática le rendirá homenaje por siempre.
Capítulo 9. Derivadas
574
Dejando de lado esa “copucha” ¿Para qué sirven estas reglas? Breve pero preciso, para calcular ciertos
límites cuyas máscaras tienen formas tales como:
0
,
0
∞
,
∞
1∞ ,
0 · ∞,
∞ − ∞,
00
Las primeras dos “máscaras” son las básicas, todas las demás, por operaciones algebraicas o logarítmicas
se reducen a