Documento 879580

Distribuciones Continuas
Existen diversos problemas en los cuales la modelación a través de distribuciones
discretas es insuficiente. Principalmente porque las distribuciones de probabilidad
continuas permiten resolver problemas para los cuales los valores que puede tomar la
variable aleatoria están en intervalos y no en conjuntos discretos. También para algunos
cálculos que implican distribuciones discretas existe la posibilidad de aproximarlos
utilizando distribuciones continuas lo que suele facilitar los cálculos y el análisis.
Adicionalmente, en el estudio de las variables aleatorias continuas se pueden usar algunas
de las ventajas que ofrecen las herramientas del cálculo diferencial e integral.
La distribución Normal
En general las distribuciones de probabilidad son herramientas muy necesarias en el
estudio de problemas probabilísticos y estadísticos.
Entre las distribuciones de probabilidad continuas, la distribución normal, es la más
utilizada y la más importante.
Muchas mediciones dentro de poblaciones siguen distribuciones normales y en casos
donde poblaciones no distribuyen normalmente, es común que ciertos promedios y ciertos
valores acumulados se distribuyan en forma normal, esta última observación se conoce
como el teorema del límite central.
En términos muy simples, una población sigue una distribución normal respecto a alguna
medición cuando el grueso de los valores de la población se distribuyen cerca de la media
y existe cierta simetría en la forma en que se distribuyen los datos alrededor de la media.
En términos matemáticos la definición es la siguiente:
Se puede demostrar que la media de esta distribución es
y la desviación es
.
En la siguiente aplicaciones usted puede explorar la forma de la gráficas de distribuciones
normales. Se puede variar la media y la desviación estándar para analizar distintos casos.
Además la distribución de probabilidad acumulada es decir, P[X
integral:
FX(x) = P[X
x] =
x] se calcula por la
e
dt
Para efectos operacionales, las distribuciones normales son difíciles pues los cálculos que
deben hacerse son complejos.
Entre las normales, la distribución más importante es la que se llama normal estándar, una
normal cuya media es 0 y cuya desviación estándar es 1. De hecho en estas mismas notas
veremos que toda probabilidad que implique la distribución normal puede reducirse a una
en que se utilice la normal estándar.
Y en este caso el cálculo de la distribución de probabilidad acumulada es,
(x) = P[X
x] =
e
dt.
La última expresión es una variante de una función que se conoce como la función
error erf(x), [1], y solo hay formas numéricas de aproximar sus valores [3,2].
Los valores de la función (x) se pueden obtener en tablas que aparecen en libros de
probabilidades o bien utilizando la herramienta provista en estas notas.
Algunas Propiedades Importantes
Como la función de distribución de probabilidad es simétrica, y además el área
total acumulada, sobre toda la recta real es 1, entonces para cualquier x real se
obtiene la siguiente propiedad:
(x) +
(5.1)
(- x) = 1,
Para finalizar este corto recorrido por la distribución normal invitamos al lector
a seguir cuidadosamente las siguientes líneas.
Si X sigue una distribución normal con parámetros
aplicamos el cambio de variable
P[X
=
y
entonces si
a la integral en
x] =
e
dt,
obtenemos
P[X
x] =
e
dt =
(
).
Ejemplo 26
Las notas finales de un curso se distribuyen en forma normal con una media de
75 y una desviación estándar de 10. Si la nota de aprobación es de 70 que
porcentaje de los estudiantes aprobarán el curso.
Solución:
Primero se debe notar que la afirmación de que las notas siguen una
distribución normal debe entenderse en el sentido aproximado.
El porcentaje solicitado puede obtenerse al encontrar el valor P[X
70].
Dadas las propiedades de las distribuciones de probabilidad se tiene que
P[X
70] = 1 - P[X
70] = 1 -
(
) = 1 - 0.6915 = 0.3085.
Ejemplo 27
La distribución de peso de ciertos bultos de papel para reciclaje es normal con
media de 50 kilos y desviación estándar de 10 kilos. La persona que transporta
los paquetes cobra 100 colones por bulto pero desea imponer un peso máximo
después del cual cobrar un recargo. Cuál debería ser ese peso para que los
bultos tengan una probabilidad inferior al 10% de pagar tal recargo.
Solución
Hay dos aspectos importantes que se deben notar; el primero de ellos es que
si X es la variable aleatoria para el peso de cada paquete lo que se debe
encontrar es un valor r tal que:
P[X
r] > 0.1,
lo que se reduce a encontrar un r que cumpla con:
P[X
r]
0.9,
El problema es inverso en el sentido de que no se busca una probabilidad, sino
un valor que permita obtener cierta probabilidad.
El segundo aspecto que debe tenerse en cuenta es que para poder utilizar las
barras de cálculo de que se dispone en estas notas o las tablas, la distribución de
normalizarse en el sentido de 18.
La siguiente herramienta permite resolver el problema indicado, a saber si se
tiene una probabilidad p encontrar el valor r tal que P[X
r] = p.
Uniendo ese par de observaciones se debe resolver:
P[
]
0.9.
Utilizando en barra de asistencia la herramienta normal inversa se obtiene la
ecuación:
= 1.286,
de donde r = 62.86.
Las distribuciones Gamma
Muchas veces, aún cuando una variable aleatoria no siga una distribución
normal es posible que su comportamiento pueda ser modelado con
distribuciones que siguen comportamientos similares a una normal pero de
manera sesgada.
Antes de poder estudiar este tipo de distribuciones se hace necesario definir una
función sumamente importante en el estudio de diversos problemas en
matemática.
Por Ejemplo:
Otra propiedad importante se obtiene de aplicar a
dx y u = e-x, para obtener:
( +1) las partes dv=x
Con un poco de paciencia y regla de L'Hopital se puede demostrar que el
primer límite en la última expresión es 0 mientras que la segunda integral es
( ).
Con esto la función gamma cumple con la propiedad
de allí si n es entero (n) = (n - 1)!.
(
+ 1) = ( ) ( ) y
También, usando algunos argumentos de cálculo en varias variables se puede
calcular que
( )=
.
Aparte de un reducido número de argumentos el cálculo de valores de la
función gamma debe hacerse utilizando métodos numéricos [3,1]. Para hacer
estos cálculos se provee una herramienta, que ha sido programada acorde con
[9].
El parámetro
puede verse como un parámetro de forma pues su modificación
altera la forma de la distribución mientras que
de escala.
funciona como un parámetro
Invitamos al lector que revise la versión electrónica de estas notas a utilizar el
graficador para distribuciones gamma y verificar algunas de las formas
variando los parámetros.
Si en una distribución gamma
estándar.
= 1 se dice que es una distribución gamma
Para una variable aleatoria continua, X, con distribución de probabilidad
gamma de parámetros y , aplicando un cambio de variable u = y /
tiene que la función de distribución de probabilidad para X cumple:
P([X
(5.2)
x]) =
dy
=
du
=
se
F(x /
; )
Esta última función se conoce como la función gamma incompleta.

E[X] =

Var[X] =
Ejemplo 28
Suponga que el tiempo de reacción para iniciar el frenado ante una emergencia,
en la población de cierta edad sigue una distribución Gamma con media de .5
segundo y varianza de .1 segundo cuadrado.
Solución
Dado que la esperanza es .5 y la varianza .1 se obtiene que
= 5/2 y
= 1/5
En ese caso, si quisiéramos calcular la probabilidad de que la respuesta de
frenado en una situación de emergencia sea inferior a .72 segundos usando la
expresión (5.2) se tiene que
P[X
7.2] = F(.72/.2, 2.5) = F(3.6, 2.5)
Ejemplo 29
Suponga que el tiempo utilizado por una persona preparando un tipo particular
de informe sigue una distribución gamma con media de 20 minutos y varianza
80 minutos cuadrados.
Aplicando el teorema(19) se obtiene que
=5y
=4
Para determinar la probabilidad de que una persona elegida al azar tarde menos
de 24 minutos preparando el informe debe resolverse
P[X
24] = F(24/4, 5) = F(6, 5) = 0.715
La distribución de probabilidad exponencial
En realidad la distribución exponencial es un caso especial de la distribución
gamma. Ya se ha abordado antes algunos aspectos relativos a la distribución
exponencial.

E[X] =

Var[X] =
La primera afirmación en este teorema ya ha sido demostrada en la sección 3.3
y la segunda parte se deja como ejercicio para el lector.