funciones

01-10-2010
SESIÓN
CONTENIDOS:
OBJETIVO:
↘Función exponencial.
∼ Determina intervalos de crecimiento y decrecimiento,
dominio y recorrido, ceros de la función, esboza la
gráfica y determina asíntotas, a partir de la función
exponencial dada algebraicamente.
∼ Resuelve ejercicios de aplicación (con enunciado
verbal), que se comportan exponencialmente.
∼ Determina intervalos de crecimiento y decrecimiento,
dominio y recorrido, ceros de la función, esboza la
gráfica y asíntotas, a partir de la función logarítmica
dada algebraicamente.
∼ Resuelve ejercicios de aplicación (con enunciado
verbal) que se comportan logarítmicamente.
Elementos de la función exponencial.
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↘Gráfico de funciones exponenciales
en el plano cartesiano.
↘- Función logarítmica.
Elementos de la función logarítmica.
↘Gráfico de funciones logarítmicas
en el plano cartesiano.
Profesor: Víctor Manuel Reyes F.
Asignatura: Matemática Básica - Segundo Semestre 2010
LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
La función exponencial tiene un rol importante no sólo en
matemática, sino también en áreas de la economía, de las ciencias y
de la salud.
La gráfica de una función exponencial depende de la base a .
a>1
y
y = 2^x
y = 4^x
9
Definición:
Sea b un número positivo distinto de 1. La función exponencial de
base b está definida por
f (x) = ax
0<a<1
y
y = 0,3^x
y = 0,6^x
9
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
x
-5
Donde;
a > 0 y a ≠ 1, es llamada función exponencial de base a.
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-1
-2
-2
2
3
4
5
En general, las gráficas de las funciones de la forma f (x) = ax cortan siempre
al eje Y en (0,1), ya que
f (0) = a0 = 1.
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En base a las gráficas anteriores obtenemos información relevante
de la función exponencial.
De la definición, obtenemos las siguientes propiedades
• El dominio de la función es R y su recorrido es R+ .
1.-
• Si a > 1 la función es creciente para todo x ∈ R.
• Si 0 < a < 1 la función es decreciente para todo x ∈ R.
2.-
• En ambos casos la función no tiene ni máximos ni mínimos locales.
3.-
Así, la gráfica de la función exponencial sólo se presenta por sobre el
eje X y se extiende infinitamente en sentido horizontal.
APLICACIONES
Primera aplicación; una ecuación exponencial implica determinar el
crecimiento de poblaciones, de personas, animales, insectos y bacterias
por ejemplo. Las poblaciones tienden a crecer exponencialmente y a
tasas diferentes. Una manera conveniente y fácil de entender la medida
de la tasa de crecimiento es el tiempo de duplicación (éste es el tiempo
que le toma a una población duplicarse). En periodos cortos, se usa a
menudo el modelo de crecimiento del tiempo de duplicación para
modelar al crecimiento demográfico:
P = Po 2
donde P = población en el tiempo t
Po = población en el tiempo t = 0
d = tiempo de duplicación
t
d
EJEMPLO
Crecimiento demográfico: México tiene una población aproximada
de 100 millones de personas, y se estima que habrá aumentado al
doble en 21 años. Si sigue creciendo a la misma tasa, entonces
a) ¿Cuál será la población en 15 años a partir de ahora?
t
- Fórmula: P = Po 2 d
- Datos:
P0 = 100
d = 21
t
P = 100( 2 21 )
15
sí t = 15
P = 100( 2 21 )
P = 164 millones
personas
d
Observe que cuando t = d, → P = Po 2 d = Po 2
b) ¿Cuál será la población en 30 años a partir de ahora?
y la población es el doble de la original, como se espera.
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APLICACIONES
La segunda aplicación implica el decaimiento radiactivo, al que a
menudo se hace referencia como crecimiento negativo. Los materiales
radiactivos se usan extensamente en diagnósticos y en terapias
médicas, como fuentes de potencia en satélites y como fuentes de
potencia en muchos países. Si comenzamos con una cantidad AO de un
cierto isótopo radiactivo, la cantidad decaerá exponencialmente en el
tiempo. La tasa de decaimiento varía de isótopo a isótopo. Una medida
conveniente y fácil de entender de la tasa de decaimiento es la vida
media del isótopo (es decir, el tiempo que le toma decaer a la mitad de
cierto material).
En esta sección se usará el siguiente modelo de decaimiento de vida
media:
t
t
−
 1 h
A = Ao   = Ao 2 h
2
Donde:
A = cantidad al tiempo t
Ao = cantidad al tiempo t = 0
h = vida media
Observe que cuando t = d, →
Ao 2
−
h
h
= Ao 2 −1 =
Ao
2
y la cantidad de isótopo es la mitad de la original, como se espera.
EJEMPLO
Decaimiento radiactivo
El isotopo radiactivo del galio 67(67Ga) usado en el diagnóstico de
tumores malignos, tiene una vida media de 46.5 horas. Si se empieza
con 100 miligramos del isótopo, ¿Cuántos miligramos quedarán
después de 24 horas?
t
h
t
−
1
- Fórmula: A = Ao   = Ao 2 h
 − t 
A = 100 2 46 ,5 




El número e, es un número irracional (con desarrollo decimal no
periódico infinito) que es muy importante tanto para las
matemáticas como para sus aplicaciones y se deriva de la expresión:
1

1 + 
 m
m
para valores muy grandes de m, con m en los N . El valor numérico
de e escribiendo sólo 12 decimales es:
2
- Datos:
A0 = 100
h = 46,5
LA FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE e
sí t = 24
 − 24 
A = 100 2 46 ,5 




A= 69,9
miligramos
e = 2,718281828459…
La constante e parece ser una base ideal para una función
exponencial, ya que en cálculo y algunas operaciones matemáticas
avanzadas aparecen en su forma más simple usando esta base y se
usa extensamente en modelos del mundo real.
b) ¿Cuántos miligramos quedarán después de 1 semana?
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La función exponencial de base e se define pues como sigue Para
un número real x: f(x) = ex
y
y = e^x
y = e^(-x)
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La función exponencial de base e surge en el estudio de crecimiento y
decrecimiento de poblaciones.
Supongamos que N0 es el número de individuos presentes en una
población en un tiempo t = 0 y λ es un número real fijo, el modelo
8
N(t) = N0 eλ t
7
6
5
nos indica el número de individuos que tiene la población en un
tiempo t. Nota que si λ > 0 la función N es creciente y por lo tanto
estamos frente a un modelo de crecimiento poblacional. Si λ < 0 la
situación se invierte y tenemos un modelo de decrecimiento de
población.
4
3
2
1
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
-1
-2
Ejemplo:
Una bacteria en el oído medio se incrementa a razón del 2% cada
hora. Suponga que al inicio de una infección bacteriana estaban
presentes 120 bacterias. Determine el número de bacterias N(t)
presentes después de t horas. ¿Cuántas bacterias están presentes en
el organismo después de 2 horas?
Solución:
Es claro del planteamiento del problema, que la función exponencial
resultante debe ser creciente. Utilizando el modelo
N(t) = N0 eλ t,
Ejemplo
El desarrollo de cierta epidemia se caracteriza por tener un
comportamiento dado por la función
f ( x) =
250
1 + e −2t
que representa la cantidad de personas que la adquieren en un
determinado tiempo t medido en semanas. ¿Cuántas personas
habrán sido contagiados en tres semanas?
f (3) =
250
≈ 249
1 + e −6
y con los datos aportados, obtenemos que
N(t) = 120 e0.02 t
Pasadas 2 horas el número de bactérias presentes será de N(2) ≈ 125.
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Solución:
La gráfica de la función es:
LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA
La función logarítmica se define como la inversa de la función
exponencial, de modo que si b es la base del logaritmo (siendo b
positivo y distinto de 1) e y es un número real positivo, entonces el
número x en la expresión bx = y se denomina “logaritmo de y en base
b ” y se denota:
logb y = x
La función f en el contexto del planteo del problema, tiene sentido para
t ≥ 0 . Observa que cuando parte la epidemia 125 personas están
contagiadas, esto se obtiene de f(0). Como la función es reciente,
sabemos que a medida que pasen las semanas el número de contagiados
aumenta.
Donde y = loga(x) ↔ x = ay
Sin embargo después de muchas semanas el número de personas con la
enfermedad tiende a estabilizarse en 250.
PROPIEDADES FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Sea a un número real positivo distinto de 1 entonces
En especial, trataremos la función logarítmica con base 10, que tiene
por dominio el conjunto de los números reales positivos y por
recorrido todo el conjunto de los números reales.
Esto significa que la función logarítmica sólo tiene una
representación gráfica a la derecha del eje Y y puede extenderse
infinitamente en sentido vertical.
y
y = 10^x
y = log x
9
Para x ϵ
, yϵ
8
7
6
5
loga (xy) = loga x + loga y
log4 10 = log4 5 + log4 2
loga (x/y) = loga x - loga y
log8 (5/6) = log8 5 + log8 6
4
3
2
1
x
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
Considerando que tales funciones son
inversas, por tanto, el dominio de la
función logarítmica, es el recorrido de
la exponencial y el recorrido de la
exponencial es el dominio de la
logarítmica.
-1
Loga xr = r loga x
log5 32= 2 log5 3
-2
-3
-4
-5
5
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LOGARITMO NATURAL
Los logaritmos naturales se conocen también como logaritmos
neperianos, estos son los logaritmos de base e. Se denotan por
y
y = log x
y = ln x
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El pH, o potencial hidrógeno, indica el grado de acidez de una
solución o la concentración de iones de H que posee y se define
matemáticamente como el logaritmo negativo de la actividad de los
iones hidrógeno:
pH = −log [H]
3
2
1
x
-1
1
2
3
4
5
6
donde [H] denota la concentración de iones de hidrógeno.
Este sistema se ha utilizado universalmente por lo práctico que
resulta para evitar el manejo de cifras largas y complejas.
7
-1
-2
-3
-4
-5
El pH de una solución es la medida de la concentración molar de los
iones hidrógenos en la solución y es como tal una medida de la
acidez o alcalinización de la sustancia. Para obtener el pH se calcula
la concentración de hidronios y se obtiene el logaritmo.
En los líquidos biológicos las concentraciones de iones hidronios se
encuentran en cantidades muy bajas. Por ejemplo, en la sangre y
tejido extra celular es de 0.00000004 mol/L; por lo que para expresar
estos valores pequeños se emplean muchas cifras, por lo que es útil
de emplear logaritmos.
La concentración de H3O+ de 0.00000004 molar equivaldría a tener
un pH de 7.4, que es el pH neutro. Al emplear la fórmula del pH
obtenemos: pH = -log10 [0.00000004] = - [-7.4] = +7.4.
Hay que entender que una solución con pH de 6 tendrá 10 veces más
hidronios que una con pH de 7.
El pH no cambia de una manera aritmética, si no de una manera
exponencial
pH 1
=
127,35 m
Este gráfico representa los cambios en la
concentración de hidroniones a medida
que el pH aumenta.
pH 2
=
12,735 m
pH 3
=
1,2735 m
http://www.endoscopia.org.mx/images/stories/revista/2008/203166.pdf
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Otro ejemplo que ocupa una escala logarítmica es la escala de
Richter, la cual cuantifica la magnitud de un terremoto. Esta escala
mide la energía del terremoto en el hipocentro o foco El Richter sigue
una escala de intensidades que aumenta exponencialmente de un
valor al siguiente. Un temblor de 2.0 en escala Richter equivale a una
explosión de un tanque de gas; un temblor de 3.0 equivaldría a la
explosión de una planta de gas; en cambio, un temblor de 4.0 a una
bomba atómica de baja potencia y así sucesivamente
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