ejercicios 2

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a
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
EJERCICIO 2.1.
Obtener la función de transferencia del siguiente diagrama de bloques:
H3
_
G1
+_
G2
+
+_
G3
G4
H1
H2
H3/G4
_
G1
+_
G2
+
+_
G3
H1
G4
H2
H3/(G4·G1)
_
+
_
G1
+_
G2
+_
G3
H1
G4
H2
H3/(G4·G1)
_
+
G1  G 2
1  G1  G 2  H1
G3  G 4
1  G3  G 4  H2
G3  G4
G1  G 2
1  G 1  G 2  H1 1  G 3  G 4  H 2
G3  G4
H3
G1  G 2
1
1  G 1  G 2  H1 1  G 3  G 4  H 2 G 4 G 1
G1G 2G 3G 4
1  G1G 2 H1  G 3G 4 H 2  G 2G 3H 3  G1G 2G 3G 4 H1H 2
1
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
EJERCICIO 2.2.
Obtener la función de transferencia global del sistema mediante el movimiento de bloques.
c
H2
_
R(s)
+
+_ a +
G1
b
+
d
G2
C(s)
G3
H1
La señal en el punto d será:
d  (a  b)G 1  cH 2  aG 1  bG 1  cH 2
Se mueve el bloque restador cuya salida es el punto d hasta situarlo a continuación del
punto de suma a:
c
H2
R(s)
+
a
+_
_
+
+
b
G1
d
G2
C(s)
G3
H1
Se analiza ahora de que está formada la señal que llega al punto d:
d  (a  cH 2  b)G 1  aG 1  bG 1  cH 2 G 1
Con respecto al valor inicial de la señal se puede observar que sobra G1 en el último
sumando. Para resolver esto se dividirá el bloque H2 entre G1.
c
H2/G1
R(s)
+
a
+_
_
+
+
b
G1
H1
2
d
G2
G3
C(s)
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
Resolviendo el bucle interno:
M 1 (s ) 
G 1G 2
1  G 1G 2 H 1
Con lo que el diagrama de bloques ahora será:
H2/G1
R(s)
+
a
+_
_
G 1G 2 G 3
1 G 1G 2 H 1
c
C(s)
Resolviendo el lazo interno entre a y c:
G 1G 2 G 3
G 1G 2 G 3
1  G 1G 2 H 1
M 2 (s ) 

G 1G 2 G 3
H
1  G 1G 2 H 1  G 2 G 3 H 2
1
 2
1  G 1G 2 H 1 G 1
R(s)
+_
G 1G 2 G 3
1 G 1G 2 H 1  G 2 G 3 H 2
C(s)
Y resolviendo el último lazo:
G 1G 2 G 3
1  G 1G 2 H 1  G 2 G 3 H 2
G 1G 2 G 3
M 3 (s ) 

G 1G 2 G 3
1  G 1G 2 H 1  G 2 G 3 H 2  G 1G 2 G 3
1
1  G 1G 2 H 1  G 2 G 3 H 2
R(s)
G1G 2 G 3
1  G1G 2 H 1  G 2 G 3 H 2  G1G 2 G 3
C(s)
Otra posible forma de resolver sería moviendo la señal de realimentación tomada a la
salida del bloque G2 hasta la salida del bloque G3. De esta forma modificando los bloques
afectados se tendría:
3
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
H2
R(s)
+_
_
+
G1
+
+
G2
G3
C(s)
H1/G3
Resolviendo el bloque más interno:
M 1 (s ) 
R(s)
+_
+
+
G 2G 3
1  G 2G 3H 2
G2G3
1 G 2 G 3 H 2
G1
C(s)
H1/G3
Resolviendo el lazo más interno nuevamente:
G 1G 2 G 3
1  G 2G 3H 2
G 1G 2 G 3
M 2 (s) 

G 1G 2 G 3
H
1  G 2 G 3 H 2  G 1G 2 H 1
1
 1
1  G 2G 3H 2 G 3
R(s)
+_
G 1G 2 G 3
1  G 2 G 3 H 2  G 1G 2 H 1
C(s)
Y resolviendo el último lazo:
G 1G 2 G 3
1  G 2 G 3 H 2  G 1G 2 H 1
G 1G 2 G 3
M 3 (s ) 

G 1G 2 G 3
1  G 2 G 3 H 2  G 1G 2 H 1  G 1G 2 G 3
1
1  G 2 G 3 H 2  G 1G 2 H 1
4
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
EJERCICIO 2.3.
Para el diagrama de bloques de la figura encontrar Geq y Heq de forma analítica y gráfica.
e
R(s)
r +_
1
s  10
K
z
u
2
s 3
v
1
s
Y(s)
0.1
+ w
+
+
+
Analíticamente:
1
s 1 

e  r  z  r  (0.1u  w )  r  (0.1u  v  v )  r   0.1u 
v 
s
s




s 1 2 
2(s  1) 
2(s  1)  K

u   r   0.1 
 r   0.1u 

e
  u  r   0.1 

s s3 
s(s  3) 
s(s  3)  s  10




2(s  1)  K
e  r   0.1 
e

s(s  3)  s  10


0.1K
2 K (s  1) 
e1 

r
s  10 s(s  3)(s  10) 

1
e
1
0.1K
2 K (s  1)

s  10 s(s  3)(s  10)
e
r 
1
r
s(s  3)(s  10)  0.1Ks(s  3)  2 K(s  1)
s(s  3)(s  10)
s(s  3)(s  10)
3
s  (13  0.1K )s 2  (30  2.3K )s  2 K
r
Por otro lado, la función de transferencia de lazo directo es directa:
y
2K
e
s(s  3)(s  10)
G (s ) 
y
2K

e s(s  3)(s  10)
5
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
Entonces, la función de transferencia de lazo cerrado es:
M (s ) 
2K
e
s(s  3)(s  10)
Y (s )

R (s) s 3  (13  0.1K )s 2  (30  2.3K )s  2 K
e
s(s  3)(s  10)
M (s ) 
2K
3
2
s  (13  0.1K )s  (30  2.3K )s  2 K
Se busca ahora descomponer dicha función de lazo cerrado en las funciones
correspondientes a la cadena directa, cuyo valor ya se conoce, y la realimentación.
M (s ) 
G (s )
1  G (s ) H (s )
Para este sistema, sustituyendo el valor de la cadena directa:
2K
2K
2K
s(s  3)(s  10)

 3
M (s ) 
2
2K
s(s  3)(s  10)  2 K  H (s) s  13s  30s  2 K  H (s)
H (s )
1
s(s  3)(s  10)
Luego igualando los denominadores de las dos expresiones obtenidas para M(s):
s 3  (13  0.1K )s 2  (30  2.3K )s  2 K  s 3  13s 2  30s  2 K  H (s)
s 3  13s 2  30s  0.1Ks 2  2.3Ks  2 K  s 3  13s 2  30s  2 K  H (s)
0.1Ks 2  2.3Ks  2 K  2 K  H (s)
H eq  0.05s 2  1.15s  1
R(s)
+_
2K
s(s  3)(s  10)
0.05s2  115
. s1
6
C(s)
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
Resolviendo ahora de forma gráfica:
R(s)
r +_
e
K
1
s  10
z
u
2
s 3
v
1
s
Y(s)
0.1
+ w
+
+
+
Pasando el último bloque delante del punto de bifurcación v:
R(s)
r +_
e
K
1
s  10
z
u
2
s(s  3)
v
Y(s)
s
0.1
+ w
+
+
+
Agrupando las funciones de transferencia del último sumador:
R(s)
r +_
e
u
K
s  10
z
2
s(s  3)
v
Y(s)
s+1
0.1
+ w
+
Moviendo el bloque
R(s)
r +_
2
delante del punto de bifurcación u:
s(s  3)
e
u
2K
s(s  3)(s  10)
v
01
. s(s  3)
2
z
+ w
+
7
s+1
Y(s)
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
Agrupando los dos elementos del sumador:
R(s)
r +_
e
Y(s)
2K
s(s  3)(s  10)
z
0.05s2  115
. s1
EJERCICIO 2.4.
Para el diagrama de bloques mostrado en la figura calcular las funciones de transferencia
G(s) y H(s) equivalentes de forma analítica y gráfica. Calcular también la función de
transferencia G(s) equivalente para que el sistema tenga realimentación unitaria.
R(s)
r +_
e
v
10
s1
z
1
s
Y(s)
y
2
+
+
Analíticamente:
1 
1
1  10



e  r  z  r  (2v  y)  r   2 v  v   r   2   v  r   2  
e
s 
s
s s 1



1  10 

e  r   2  
e
s  s  1 

  2s  1  10 
e 1  

  r
  s  s  1  
e
r
s2  s
s(s  1)
 2
r  2
r
20s  10 s  21s  10
s

21
s

10
1 2
s s
La función de transferencia de cadena directa se obtiene de forma directa:
G (s ) 
y
10

e s(s  1)
8
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
y
10
e
s(s  1)
Y la función de transferencia de lazo cerrado es:
M (s ) 
10
e
s(s  1)
y
10
 2
 2
r s  21s  10
s  21s  10
e
s(s  1)
Sabiendo que:
M (s ) 
G (s )
1  G (s ) H (s )
10
10
s(s  1)
M (s ) 
 2
10
1
 H (s) s  s  10  H (s)
s(s  1)
Igualando los denominadores de las dos funciones de transferencia M(s) obtenidas:
s 2  21s  10  s 2  s  10  H (s)
20s  10  10  H (s)
H (s)  2s  1
R(s)
+_
Y(s)
10
s(s  1)
2s+1
Resolviendo el diagrama de bloques de forma gráfica:
R(s)
r +_
e
v
10
s1
z
1
s
2
+
+
9
Y(s)
y
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
Moviendo el último bloque delante del punto v:
R(s)
r +_
e
v
10
s(s  1)
z
Y(s)
y
2s
+
+
Uniendo los elementos del sumador:
R(s)
+_
10
s(s  1)
Y(s)
2s+1
Si se desea que Heq sea 1:
R(s)
+_
G’(s)
Y(s)
Como la función de transferencia de lazo cerrado es:
M (s ) 
10
2
s  21s  10
Dividiendo el numerador y denominador de M(s) entre s 2  21s se tiene:
10
10
2
G ' (s )
M (s)  2 s  21s
 s  21s 
10
1  G ' (s )
s  21s
10
1 2
 2
2
s  21s
s  21s s  21s
2
R(s)
+_
10
s(s  21)
10
Y(s)
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
De forma gráfica partiendo de la función obtenida con Geq y Heq:
R(s)
+_
Y(s)
10
s(s  1)
2s+1
R(s)
+_
Y(s)
10
s(s  1)
2s
1
10
10
10
10
s(s  1)
s(s  1)
 2
 2

G ' (s ) 
10
s(s  21)
 2s s  s  20s s  21s
1
s(s  1)
s(s  1)
R(s)
+_
Y(s)
10
s(s  21)
EJERCICIO 2.5.
Resolver el siguiente diagrama de bloques de forma gráfica y mediante la técnica de los
flujogramas.
C(s)
R(s)
G1
G2
+ -
G3
+_
G4
+
+
G6
G8
11
G5
G7
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
Resolviendo primero gráficamente:
En primer lugar se ha ordenado el diagrama de bloques de la forma típica:
R(s)
+_
G3
+_
G5
G8
G1
G2
C(s)
G4
G7
+
+
G6
Ahora los bloques G5 y G2 se mueven delante del punto de bifurcación:
R(s)
+_
G3
+_
G1
G 8 G 5G 2
G7
G 5G 2
+
+
G6
Se agrupan los bloques de la realimentación interna:
12
G4
C(s)
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
R(s)
+_
G3
+_
G1
G 8G 5G 2
C(s)
 G7

 G 4 
G 6 
 G 5G 2

R(s)
+_
G3
+_
G1
G 8G 5G 2
C(s)
G 6 (G 7  G 4 G 5 G 2
G 5G 2
Agrupando en un único bloque la realimentación interna:
G ' (s ) 
R(s)
+_
G 8G 5G 2
G 8G 5G 2

G (G  G 4 G 5 G 2 1  G 8 G 6 ( G 7  G 4 G 5 G 2 )
1  G 8 G 5G 2 6 7
G 5G 2
G3
G 8G 5G 2
1  G 8 G 6 (G 7  G 4 G 5 G 2 )
G1
C(s)
Agrupando finalmente los elementos restantes:
G 1G 3 G 8 G 5 G 2
G 8G 5G 2
G1
1  G 8 G 6 (G 7  G 4 G 5 G 2 )
1  G 8 G 6 (G 7  G 4 G 5 G 2 )

M (s ) 
G 8G 5G 2
G 1G 3 G 8 G 5 G 2
1  G3
G1 1 
1  G 8 G 6 (G 7  G 4 G 5 G 2 )
1  G 8 G 6 (G 7  G 4 G 5 G 2 )
G3
13
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
M (s ) 
M (s ) 
G 1G 3 G 8 G 5 G 2
1  G 8 G 6 (G 7  G 4 G 5 G 2 )  G 1 G 3 G 8 G 5 G 2
G 1G 2 G 3 G 5 G 8
1  G 6 G 7 G 8  G 2 G 4 G 5 G 6 G 8  G 1G 2 G 3 G 5 G 8
Aplicando la técnica de los flujogramas:
Se construye en primer lugar el flujograma correspondiente al sistema:
R
1
G3
G8
G2 G5
G1
1
C
G7
G4
-G6
-1
Se resuelve aplicando la regla de Mason:
La relación entre la salida C(s) y la entrada R(s), viene dada por:
C(s)
 M (s ) 
R (s )
k Tk  k

siendo:
 (Determinante del flujograma.) = 1-i+ij-ijk+…
Trayectos directos: "aquellos que partiendo de un nodo fuente llegan a un nodo final
sin pasar dos veces por el mismo nodo"
i: ganancia de cada lazo.
i igual a la suma de ganancias de los bucles que tienen algún nodo común con
cualquier trayecto directo.
ij igual a la suma de productos de las ganancias de todas las combinaciones
posibles de dos bucles disjuntos.
TK es la ganancia del k-ésimo trayecto directo.
K se calcula igual que , pero eliminando los bucles que tienen algún nodo común
14
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
con el k-ésimo trayecto directo.
Trayectos directos:
T1  G 3 G 8 G 2 G 5 G 1
Lazos:
 1  G 3 G 8 G 2 G 5 G 1
 2  G 8 G 7 G 6
 3  G 8 G 2 G 5 G 4 G 6
  i   1   2   3  G 3 G 8 G 2 G 5 G 1  G 8 G 7 G 6  G 8 G 2 G 5 G 4 G 6
No existen lazos disjuntos.
  1    i  1  1   2   3  1  G 3G 8 G 2 G 5G1  G 8 G 7 G 6  G 8 G 2 G 5G 4 G 6
1  1
C(s)
 M (s ) 
R (s)
k Tk  k


G 3G 8 G 2 G 5G1
1  G 3G 8 G 2 G 5G 1  G 8 G 7 G 6  G 8 G 2 G 5G 4 G 6
EJERCICIO 2.6.
Calcular la función de transferencia
C( s )
del siguiente flujograma:
R (s )
-H2
R(s) 1
1
G1
G2
G3
1
C(s)
H1
-1
Trayectos Directos:
P1  G1G 2G 3
Lazos Independientes:
L1  G1G 2 H1
L 2  G 2 G 2 H 2
L3  G1G 2G 3
Determinante:
  1   La   L b Lc   Ld Le Lf  ...
15
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
  1  G1G 2 H1  G 2G 3H 2  G1G 2G 3 
P1  G1G 2G 3
Cofactor:
1  1
Entonces:
1
 Pk  k
 k
M (s ) 
M (s ) 
G 1G 2 G 3
1  G 1G 2 H 1  G 2 G 3 H 2  G 1G 2 G 3
EJERCICIO 2.7.
Calcular la función de transferencia
Y (s )
del siguiente flujograma:
R (s )
6
R(s) 1
1
1
s+1
-4
1
-3
s
s+2
3
-5
Trayectos Directos:
P1 
3s
(s  1)(s  2)
P2 
4
(s  1)
P3  6
Lazos Independientes:
L1 
3
(s  1)
L2 
 5s
(s  2 )
Pares de lazos:
L1 L 2 
Determinante:
15s
(s  1)(s  2)
  1   La   L b Lc   Ld Le Lf  ...
16
1 Y(s)
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
 3
5s 
15s
 
  1  

 (s  1) (s  2)  (s  1)(s  2)
Cofactores:
P1 
3s
(s  1)(s  2)
1  1
P2   4 (s  1)
5s
2  1 
(s  2)
P3  6
 3
5s 
15s
 
 3  1  

 (s  1) (s  2)  (s  1)(s  2)
Entonces:
M (s ) 
1
 Pk  k
 k




5s 
3s
3
5s
15s
  4 



1  
 61 
1 
(s  2) 
(s  1)(s  2) 
(s  1) (s  2) (s  1)(s  2) 
 s  1 
M (s )  
 
 3
 3
5s 
15s
5s 
15s
1  


1  
 
 
 (s  1) (s  2)  (s  1)(s  2)
 (s  1) (s  2)  (s  1)(s  2)
M (s ) 
36s 2  135s  40
6s 2  26s  8
EJERCICIO 2.8.
Calcular la función de transferencia del siguiente flujograma:
H1
R(s) 1
G1
G5
G2
H2
G3
H3
G6
H4
G7
17
G4
1 C(s)
G8
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
Trayectos Directos:
P1  G1G 2G 3G 4
P2  G 5G 6 G 7 G 8
Lazos Independientes:
L1  G 2 H1
L 2  G 3H 2
L3  G 6 H 3
L4  G 7H4
Pares de lazos:
L1L 4  G 2 H1G 7 H 4
L 2 L 3  G 3H 2 G 6 H 3
Determinante:
  1   La   L b L c   Ld L e Lf  ...
  1  G 2 H1  G 3H 2  G 6 H 3  G 7 H 4   G 2 H1G 7 H 4  G 3H 2G 6 H 3 
Cofactores:
P1  G1G 2G 3G 4
1  1  G 6 H 3  G 7 H 4 
P2  G 5G 6 G 7 G 8
 2  1  G 2 H1  G 3H 2 
Entonces:
M (s ) 
M (s ) 
1
 Pk  k
 k
(G G G G )(1  (G H  G H ))  (G G G G )(1  (G H  G H ))
1 2 3 4
6 3
7 4
5 6 7 8
2 1
3 2
1  (G H  G H  G H  G H )  (G H G H  G H G H )
2 1
3 2
6 3
7 4
2 1 7 4
3 2 6 3
EJERCICIO 2.9.
Calcular las funciones de transferencia indicadas para el siguiente flujograma:
18
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
-4
R1(s) 1
R2(s) 1
1
s
1 C1(s)
s
s+2 10
1 C2(s)
1
s+3
T11 
C 1 (s)
R 1 (s )
T21 
C 2 (s )
R 1 (s )
T21 
C 1 (s )
R 2 (s )
T22 
C 2 (s )
R 2 (s )
1- T11  C1 (s) R1 (s)
-4
R1(s) 1
1
s
1 C1(s)
s
s+2 10
1
s+3
 10 
 s 
1

1  
s2
 s(s  3) 
T11 (s) 
  4s    40 
1 

  
 s  2   s(s  3) 
T11 (s) 
s 3  3s 2  10s  20
5s 3  17s 2  46s  80
2- T21  C 2 (s) R1 (s)
-4
R1(s) 1
1
s
s
s+2 10
1 C2(s)
1
s+3
 1 

1
s(s  3) 

T21 (s) 
  4s    40 
1 

  
 s  2   s(s  3) 
19
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
T21 (s) 
s2
3
5s  17s 2  46s  80
3- T21  C1 (s) R 2 (s)
-4
1
s
R2(s) 1
1 C1(s)
s
s+2 10
1
s+3
 10 

1
(s  3) 

T12 (s) 
  4s    40 
1 

  
 s  2   s(s  3) 
T12 (s)
10s 2  2s
5s 3  17s 2  46s  80
4- T22  C 2 (s) R 2 (s)
-4
R2(s) 1
1
s
s
s+2 10
1 C2(s)
1
s+3
 1 
 40 

1 

(s  3) 
s(s  3) 

T22 (s) 
  4s    40 
1 

  
 s  2   s(s  3) 
T22 (s) 
5s 2  2s
5s 3  17s 2  46s  80
EJERCICIO 2.10.
Calcular las funciones de transferencia del siguiente flujograma:
20
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
R2(s)
1
s
-2
R1(s) 1
1
R3(s)
1
6
-4
1 1
1 Y1(s)
s
-3
Y2(s)
T11 
Y1 (s)
R 1 (s )
T12 
Y1 (s)
R 2 (s )
T13 
Y1 (s)
R 3 (s )
T21 
Y2 (s)
R 1 (s )
T22 
Y2 (s)
R 2 (s )
T23 
Y2 (s)
R 3 (s )
1- T11  Y1 (s) R1 (s)
1
s
-2
R1(s) 1
6
-4
1
s
-3
1 Y1(s)
 6
 2  1
s 
T11 (s) 
2 3 24 6
1  

s s
s s2
T11 (s) 
6
s  29s  6
2
2- T12  Y1 (s) R 2 (s)
R2(s)
1 1
s
6
-2
1
s
-3
-4
1 Y1(s)
6
  1
s
T11 (s) 
2 3 24 6
1  

s s
s s2
T11 (s) 
6s
s  29s  6
2
21
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
3- T13  Y1 (s) R 3 (s)
R3(s)
1
s
-2
1 1
1 Y1(s)
s
-3
6
-4
1 1  2 
T13 (s) 
s

2 3 24 6
1  

s s s s2
T13 (s) 
s( s  2 )
s 2  29s  6
4- T21  Y2 (s) R1 (s)
1
s
-2
R1(s) 1
1
6
-4
1
s
-3
Y2(s)
1 1  3  24 
T21 (s) 

s
s 
2 3 24 6
 

s s
s s2
1
T21 (s) 
s(s  27)
s 2  29s  6
5- T22  Y2 (s) R 2 (s)
R2(s)
1
1 1
s
6
-2
-4
1
s
-3
Y2(s)
 2  1  3 
T22 (s) 
s

2 3 24 6
1  

s s
s s2
22
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
T22 (s) 
 s( 2s  6)
s 2  29s  6
6- T23  Y2 (s) R 3 (s)
R3(s)
1
s
-2
1
6
-4
Y2(s)
T23 (s) 
1 1
s
-3
81
2 3 24 6
 

s s s s2
1
T23 (s) 
8s 2
s 2  29s  6
EJERCICIO 2.11.
La función de transferencia G(s) viene definida por el siguiente diagrama de flujo:
Donde:
G1 = 1
G2 = 1/s
G3 = 1/s
G4 = 1/s
G5 = 4
G6 = 1
G7 = -1
G8 = -2
G9 = -3
G10 = 1
G11 = 2.
Calcular, mediante Mason, la función de transferencia de G(s).
G (s) 
1
 TK   K
 K
Trayectos directos:
1 1 1
4
T1  G1  G 2  G 3  G 4  G 5  G 6  1     4  1  3
s s s
s
1
1
T2  G 1  G 2  G 10  G 6  1   1  1 
s
s
23
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
1 1
2
T3  G1  G 2  G 3  G11  G 6  1    2  1  2
s s
s
Determinante del sistema:
  1   La   L b Lc ...
1 2 3
  1  G 2  G 7  G 2  G3  G8  G 2  G3  G 4  G9  1   2  3
s s
s
Cofactores:
1  1
2  1
3  1
Función de transferencia:
4  2s  s 2
4 1 2
  2
3
3
s s
 3 2s
G (s)  s
1 2 3
1   2  3 s  s  2s  3
s s
s
s3
G (s) 
s 2  2s  4
s3  s 2  2s  3
EJERCICIO 2.12.
Calcular la función de trasferencia del sistema de la figura mediante la aplicación de la
regla de Mason:
Y(s)
R(s) +
-
G2(s)
G1(s)
+
-
G5(s)
G4(s)
G3(s)
+
+
G6(s)
G7(s)
G8(s)
1
s2
1
G 5 (s) 
s
G1 (s) 
G 2 (s)  (s  1)
G 3 (s)  5
G 6 (s)  1
G 7 (s) 
T (s) 
 Tn  n

Trayectos:
T1  G 3G 8G 5G 2G1
24
1
s 1
G 4 (s)  s
G 8 (s)  s
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
Lazos:
L1  G 3G 8G 5G 2G1
L 2   G 8G 5G 2 G 4 G 6
L 3  G 8G 7 G 6
  1  (G 3G 8G 5G 2G1  G 8G 5G 2G 4G 6  G 8G 7 G 6 )
T (s ) 
G 3G 8 G 5G 2 G1
1  ( G 3 G 8 G 5 G 2 G 1  G 8 G 5 G 2 G 4 G 6  G 8 G 7 G 6 )
1
1
5  s   (s  1)  2
s
s
T (s ) 
1
1
1
1


1    5  s   (s  1)  2  s   (s  1)  s  1  s 
 1
s
s
s 1 
s

T (s ) 
5(s  1) 2
s 5  2s 4  3s 3  6s 2  10s  5
EJERCICIO 2.13.
G(s) está definida por el diagrama de flujo:
3
U(s)
2
1/s
1
1/s
-4
-5
Obtener la función de transferencia.
Aplicando la regla de Mason:
T
Trayectos directos:
Lazos independientes:
 Tn  n

T1 
3
s
1  1
T2 
2
s2
2  1
L1  
25
4
s
Y(s)
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
L2  
  1
5
s2
4 5

s s2
3 2
3s  2
 2
2
3s  2
s s
 2 s
 2
G (s ) 
4 5
1   2 s  4s  5 s  4s  5
s s
s2
G (s ) 
3(s  0.66)
s 2  4s  5
EJERCICIO 2.14.
Obtener la función de transferencia de una planta que viene definida por el siguiente
flujograma:
1
R'(s)
4
31
1
2 /(s+1) /(s+1)
7
6
1
5
C'(s)
La relación entre la salida C'(s) y la entrada R'(s), viene dada por:
C' (s)
 M ' (s) 
R ' (s)
k Tk  k

T1  2  5  10
1  1
T2  3  6  18
2 1
T3  4  7  28
3  1
26
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
Bucles:
T4  2 
1
12
6
s 1
s 1
4 1
T5  2 
1
1
14

7 
s 1 s 1
(s  1) 2
5  1
T6  3 
1
21
7 
s 1
s 1
6  1
No hay
Bucles disjuntos: No hay.
Luego, sustituyendo:
. = 1-i+ij-ijk+… = 1 - 0= 1
Se tiene entonces:
M ' (s) 
k Tk  k

M ' (s)  10  18  28 
M ' (s) 

T11  T2  2  ...  T6  6
1
12
14
21
33
14


 56 

2
s  1 (s  1)
s 1
s  1 (s  1) 2
56 s 2  112 s  56  33 s  33  14
(s  1) 2
M ' (s) 
56 s 2  145 s  103
(s  1) 2
EJERCICIO 2.15.
Para el sistema del ejercicio 1.14. hallar la función de transferencia que relaciona la altura
del líquido en el depósito h(t) y la tensión de referencia u(t), mediante la técnica de
flujogramas. En el ejercicio 1.14. el sistema quedó definido por el siguiente diagrama de
bloques:
F(s)
U(s)
E(s)
Qe(s)
1 H(s)
 0.2  V(s)
10
101 

+_
+_
s
s 

Qs(s)
0.009
27
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
Obtener en primer lugar el flujograma correspondiente al diagrama de bloques mostrado en
la figura.
U
1
E
 0.2 
10  1 

s V

10
1
s
Qe
H
-0.009
-1
Aplicando la Regla de Mason se obtendrá la función de transferencia:
T
 Tn  n

  1   L1   L 2  
1
 0.2 
T1  10  1 
  10 
s 
s

1  1
1
 0.2 
L1  101 
  10   (1)
s 
s

1
L 2  (0.009)
s

  0.2 
1
1
  1  101 
  10   (1)  (0.009)
s 
s
s

 
s  0.2
H(s)
s2

T
s  0.2 0.009
U(s)
1  100 2 
s
s
100
T
H(s)
100(s  0.2)
 2
U(s) s  100s  20  0.009s
T
H(s)
100(s  0.2)
 2
U(s) s  100.009s  20
28
1
H
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
EJERCICIO 2.16.
Dado un sistema de control representado por el siguiente diagrama de bloques:
R2(s)
R1(s)
Y(s)
G2(s)
G1(s)
+
-
H1(s)
+
H2(s)
+
H3(s)
1.- Dibujar el flujograma correspondiente.
2.- Si se hace R2(s) = 0, hallar mediante la regla de Mason,
Y(s)
 M (s)
R1 (s)
1
1
.
; G1(s) = K y G2(s) =
( s  4)( s  6)
s
Obtener la función de transferencia G3(s) para que M(s) sea equivalente al sistema de la
figura:
3.- Si en M(s), hacemos H2(s) = H3(s) = 1; H1(s) =
C(s)
R(s)
G3(s)
+
-
1
s
1. Flujograma: Sustituyendo el diagrama de bloques:
R2(s)
0
1
1
G1(s)
2
R1(s)
1
-1
3
-1
-H1(s)
G2(s)
5
H2(s)
4
-H3(s)
2- Ahora R2(s) = 0. La función de transferencia global del sistema será:
M (s) 
Y(s)

R1 (s)
29
 TK   K

1
6
Y(s)
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
Trayectos directos: 0 – 1 – 2 – 3 – 5 – 6 : G1(s)G2(s)
Bucles:
B1:
1 – 2 – 3 – 5 – 1 : G1(s)G2(s)[-H3(s)]
B2:
1 – 2 – 3 – 5 – 4 – 1: G1(s)G2(s)[-H1(s)]H2(s)
B3:
2 - 3 – 5 – 4 –2 : G2(s)[-H2(s)]
Bucles disjuntos: No hay.
Luego, sustituyendo:
. = 1 – [G1(s)G2(s)[-H3(s)] + G1(s)G2(s)[-H1(s)]H2(s) +G2(s)[-H2(s)]] + 0 =
= 1 + G2(s)[G1(s)[-H3(s)] + G1(s)[-H1(s)]H2(s) + H2(s)]
K = 1 = 1 – 0 = 1
T1 = G1(s)G2(s)
Se tiene entonces:
M (s) 
Y(s)

R1 (s)
 TK   K 

G1 (s)  G 2 (s)
1  G 2 (s)  G1 (s)  H 3 (s)  G1 (s)  H1 (s)  H 2 (s)  H 2 (s)
1
1
3. Ahora, H 2 (s)  H 3 (s)  1; H1 (s)  ; G1 (s)  K; G 2 (s) 
s
(s  4)(s  6)
sustituyendo en la ecuación anterior de M(s), se tiene:
K
Ks
Ks
(s  4)(s  6)
M (s) 

 3
2
1
K
1
 (K   1) s(s  4)(s  6)  s(K  1)  K s  10s  (25  K )s  K
(s  4)(s  6)
s
R1(s)
Ks
3
2
s  10 s  (25  K ) s  K
Y(s)
R(s)

C(s)
G3(s)
1
s
M(s)
30
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
G 3 (s)
M (s) 
1  G 3 (s) 
1
s

s  G 3 (s)
s  G 3 (s)
 G 3 (s) 
s  M (s)
K
 2
s  M (s) s  10s  (25  K )
Luego la función de transferencia en lazo abierto del nuevo sistema, teniendo en cuenta
que K = 1000, será:
1
F.T.L.A.'   K  G 3 (s)
s
F.T.L.A.' 
1000
s(s 2  10s  1025)
EJERCICIO 2.17.
G(s) es la función de transferencia de una planta, de la que se conoce su flujograma, que es
el siguiente:
-4
1
s 1
1
+1
2
s2
1
2
s s
2
-s
4
3
3
s3
5
+1
+10
6
1
s 4
8
s8
2
9
1
s
8
-7
1
s
10
-6
Calcular la función de transferencia de la planta, aplicando la regla de Mason.
Trayectos directos:
31
7
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
1  2  3  4  9  10  6  7  P1 
1  2  8  9  10  6  7  P2 
Lazos disjuntos:
L1 
1 1
10
1
1
 2
 10    2 2
s s s (s  s)(s  1)
s 1 s  s
1
8 1 1
8

   2 2
s  4 s  8 s s s (s  4)(s  8)
2
4
 56
8
1 6
; L 2  s; L3  7 

; L 4  6  
;
s8 s8
s
s
s s
1 1 3
s
30


L5  10   
s s s  3 s  2 s(s  2)(s  3)
2
Determinante del flujograma:
  1  L1  L 2  L 3  L 4   L1 L 2  L1 L 3  L1 L 4  L 2 L 3  L 2 L 4   L1 L 2 L 3  L1 L 2 L 4 
56
6    4( s)    4( 56)    4( 6) 
 4


 1  2
s
  2

s  8 s   s  s   (s 2  s)(s  8)   s(s 2  s) 
s s
 6
 56
4
  s( 56) 
  s( 6 ) 
 4
 ( s ) 
 2
 ( s ) 

  
   2

s8 s s
s 
s s
 s8 
 s 

s 5  72s 4  193s 3  450s 2  520s  192
s 2 (s  1)(s  8)
Cofactores:
1  1  L 2  1  (s)  1  s
3
2
  4s  s  2s  5s  4
 4

 (s)    2
 2  1  (L1  L 2 )  L1  L 2  1   2

s(s  1)
 s s
s s
Luego,
G (s ) 
P1   1  P2   2

Y sustituyendo los valores queda:
G (s ) 
18s 3  96s 2  80s  352
s(s 2  4)(s 5  72s 4  193s 3  450s 2  520s  192)
32