LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO MAGNETICO

LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO MAGNETICO
Con la aplicación de las matemáticas a diversos ámbitos de la ciencia se potenciaron
enormemente las herramientas de diseño y cálculo científico, así como los métodos de
elaboración de los modelos teóricos. En el marco de la física, colaboró decisivamente a este
proceso de sistematización matemática el alemán Carl Friedrich Gauss, que desarrolló la
noción y las propiedades de campo para explicar los fenómenos físicos de la naturaleza.
La ley de Gauss establece que el flujo eléctrico neto c, a través de cualquier
superficie gaussiana es igual a la carga neta encerrada en la superficie dividida por "0”
Utilizando la ley de Gauss, fácilmente se puede calcular el campo eléctrico debido a
varias distribuciones de carga simétricas.
Al igual que en el Campo Eléctrico, existe una Ley de Gauss para el Campo
Magnético, y que se puede expresar tanto en su forma integral como en su forma
diferencial. La ley de Gauss para el campo magnético expresa la ausencia o inexistencia de
los monopolos magnéticos o de cargas magnéticas debido a que como en el campo
magnético las líneas de campo son cerradas, el flujo del campo magnético a través de una
superficie cerrada es nulo, es decir, el flujo entrante en cualquier superficie cerrada es igual
al flujo saliente de dicha superficie.
La Ley de Gauss para el campo magnético se puede expresar tanto en su forma
integral como en su forma diferencial, como se muestra a continuación:
Ejercicios Propuestos
1.- Una espira de alambre cuadrada de 10 cm. de lado yace en el plano XY tal como se muestra en
la figura. Se aplica un campo magnético paralelo al eje Z, que varía a lo largo del eje X de la forma
B=0.1 x T (donde x se expresa en metros).
Calcular el flujo del campo magnético que atraviesa la espira y la fuerza (módulo, dirección y
sentido) sobre cada uno de los lados de la espira.
2.- Un conductor sólido de sección transversal circular está hecho de material homogéneo
no magnético. Si su radio a= 1mm, el eje del conductor está sobre el eje z y la corriente en
la dirección az sería de 20 A, encontrar: a) HФ en ρ= 0.5mm; b) BФ en ρ= 0.8mm; c) el flujo
magnético total por unidad de longitud dentro del conductor; d) el flujo total para ρ<
0.5mm; e) el flujo magnético total fuera del conductor.
Ejercicio resuelto:
Dada la siguiente distribución de carga:
a) Calcular las distribuciones de potencial y campo en función de r (A = 10 C/m, R0 = 3 cm
;
b) Suponiendo la carga existente a partir de una distancia r = R, calcular el valor de R para
que la relación entre el campo calculado en a) y b) sea Eb = 0,9.Ea a una distancia r = 10 cm
del centro de la distribución.
Respuesta
Para resolver este problema vamos a obtener primero el campo eléctrico y para ello
consideraremos independientemente las dos densidades de carga, es decir, que
desglosaremos el problema en dos.
1º) Calcularemos el campo eléctrico para una distribución de carga dada por :
2º) Calcularemos el campo eléctrico para una distribución de carga dada por :
Para el primer caso, tomando una esfera de radio r y aplicando el teorema de Gauss,
tenemos
:
de donde se deduce con facilidad que el campo eléctrico viene dado por :
y la expresión se cumple para puntos en los que r es estrictamente menor que R 0.
Análogamente, para puntos en los que r es mayor o igual que R0 se obtiene:
Y en este caso el campo eléctrico valdrá:
Si consideramos la segunda distribución, para los puntos en que r es estrictamente menor
que R0 obtenemos que el campo es nulo por serlo la densidad de carga en esa región. Para
los puntos en los que r es mayor o igual que R0 se tiene:
y a partir de ahí resulta :
Considerando que el problema tiene simetría radial podemos sumar las soluciones
obtenidas con cada distribución para llegar a:
Para calcular el potencial hacemos de igual modo (desglosar en dos el problema inicial) y
aplicamos la ecuación de Poisson en coordenadas esféricas, teniendo en cuenta que la
distribución de carga solo depende de r. Para la primera distribución, en r menor que R0:
Para
la
segunda
distribución
de
carga,
en
r
mayor
o
igual
que
R0:
La solución al problema para el caso del potencial vendrá dada por la suma de las dos
soluciones parciales. Para obtener el valor de las constantes tenemos en cuenta que el
gradiente cambiado de signo del potencial es igual al campo eléctrico y, por tanto en r
menor
Y
que
,
análogamente,
en
r
R0:
mayor
o
igual
que
R 0:
Según eso podemos poner :
Para determinar las constantes C3 y C4 necesitamos dos condiciones pero no podemos hacer
uso del hecho de que el potencial tiende a cero cuando r tienda a infinito puesto que
tenemos un término de la forma Ln r. Solo podemos considerar, entonces, que el potencial
ha de ser continuo en r = R0 y obtener una de las constantes a partir de la otra.
Dándole a C2 el valor 0 resulta para C4:
y, finalmente:
Para
y
calcular
puesto
que
el
campo
Eb
se
ha
cumplir
de
aplicamos
y haciendo operaciones resulta R = 189,3 cm.
que
el
Eb
teorema
=
0,9.Ea
de
Gauss:
tendremos
:
Referencias bibliográficas:
http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Gauss
http://www.mitecnologico.com/Main/LeyDeGauss
http://www.matematicasypoesia.com.es/ProbElgMag/problema103.htm