SOLUCIÓN: EXAMEN DE ESTADÍSTICA I 12 de enero de 2005

SOLUCIÓN: EXAMEN DE ESTADÍSTICA I
12 de enero de 2005
1) El número de volúmenes prestados en una biblioteca durante una semana ha sido el siguiente:
Días laborables (l)
Fin de semana (f)
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo
200
220
190
175
210
100
50
A) Obtenga el número medio de volúmenes prestados durante los días laborables y durante el fin de
semana. A partir de estos dos valores, obtenga el número medio de volúmenes prestados por semana.
200 + 220 + 190 + 175 + 210 995
=
= 199
5
5
xl =
xf =
100 + 50 150
=
= 75
2
2
N l ⋅ x l + N f ⋅ x f 5 ⋅199 + 2 ⋅ 75 995 + 150 1.145
=
= 163,571
=
=
N
7
7
7
B) ¿Qué promedio le parece más representativo el de día laborable o el de fin de semana?
S l 15,620
=
= 0,07849497
xl
199
Vl =
n
s 2l
=
2
∑ xl
i =1
N
n
2
f
s =
i =1
N
S f 25
= = 0,333
x f 75
− x l2 =
199.225
200 2 + 220 2 + 190 2 + 175 2 + 210 2
2
− (199 ) =
− 39.601 = 244 ⇒ s l = 15,620
5
5
− x f2 =
100 2 + 50 2
12.500
− (75)2 =
− 5.625 = 625 ⇒ s f = 25
2
2
2
∑ xf
Vf =
El promedio más representativo es el correspondiente a los días laborables ya que su coeficiente de
variación de Pearson es inferior.
2) Dada la siguiente distribución de rentas mensuales:
Renta
Nº trabajadores
1.000 1.200 1.500 2.000
20
40
30
10
A) Calcule el índice correspondiente a la concentración de rentas.
Xi
1.000
1.200
1.500
2.000
ni
20
40
30
10
Xi ni
Ni
ui
pi
qi
pi- qi Σpi- qi
20.000 20 20.000 20,00 15,04 4,96
4,96
48.000 60 68.000 60,00 51,13 8,87 13,83
45.000 90 113.000 90,00 84,96 5,04 18,87
20.000 100 133.000 100,00 100,00 0,00 18,87
n −1
IG =
∑ (pi − qi )
i =1
n −1
∑ pi
=
18,87
= 0,111 . El índice es muy cercano a cero lo que indica una gran
20 + 60 + 90
i =1
equidistribución de la renta y por tanto un nivel de concentración de rentas muy bajo.
B) Calcule el coeficiente de asimetría de Bowley.
C3 + C1 − 2Me 1.500 + 1.200 − 2 ⋅ 1.200 2.700 − 2.400 1 El coeficiente es mayor que cero por lo
=
=
=
1.500 − 1.200
300
C3 − C1
que indica una asimetría positiva o a derechas, para el 50 % de las observaciones centrales.
N 100
3 ⋅ 100
100
Me ⇒ =
= 50 ⇒ xi = 1.200
= 75 ⇒ xi = 1.500
= 25 ⇒ xi = 1.200
C3 ⇒
C1 ⇒
2
2
4
4
AB =
3) En una oficina de la agencia tributaria se reciben, durante el periodo de liquidación de un impuesto,
4.000 declaraciones. De estas, 1.000 corresponden a pequeñas empresas, 2.500 a medianas empresas y
500 a grandes empresas. Se sabe que el porcentaje de declaraciones presentadas por Internet, es para
cada tipología de empresas, pequeñas empresas, medianas empresas y grandes empresas, la siguiente:
5 %, 20%, 40%.
1.000
= 0,25
4.000
P(Internet / E.pequeña) = 0,05
P(E. pequeña) =
2.500
= 0,625
4.000
P(Internet / E.mediana) = 0,20
P(E. mediana) =
500
= 0,125
4.000
P(Internet / E.grande) = 0,40
P(E. grande) =
A) Calcule la probabilidad de que seleccionada una declaración al azar haya sido presentada por Internet.
P(Internet) = P(E. pequeña) ⋅ P(Internet / E.pequeña) + P(E. mediana) ⋅ P(Internet / E.mediana) +
P(E. grande) ⋅ P(Internet / E.grande) = 0,25 ⋅ 0,05 + 0,625 ⋅ 0,20 + 0,125 ⋅ 0,40 = 0,0125 + 0,125 + 0,05 = 0,1875
B) Si la solicitud se ha presentado por Internet, calcule la probabilidad de que corresponda a una empresa
mediana.
P(Internet I E.Mediana) P (E.Mediana)⋅ P (Internet / E.Mediana) 0,625 ⋅ 0,20 0,125 2
P (E.Mediana / Internet ) =
=
=
=
=
P(Internet )
P (Internet )
0,1875
0,1875 3
4) Dada la variable aleatoria discreta:
Xi
1 3 5 7 9
P(Xi) 0,1 0,3 0,2 0,2 0,2
A) Se define la variable Y=x-7. Obtenga la esperanza y la varianza de la variable x y a partir de éstas las
de la variable Y, aplicando las propiedades de las transformaciones lineales.
n
E(x ) = α 1 = ∑ x i p i = 1⋅ 0,1 + 3 ⋅ 0,3 + 5 ⋅ 0,2 + 7 ⋅ 0,2 + 9 ⋅ 0,2 = 0,1 + 0,9 + 1 + 1,4 + 1,8 = 5,2
i =1
V (x ) = α 2 − α 12 = 33,8 − (5,2) = 33,8 − 27,04 = 6,76
2
n
α 2 = ∑ x i2 p i = 1⋅ 0,1 + 9 ⋅ 0,3 + 25 ⋅ 0,2 + 49 ⋅ 0,2 + 81⋅ 0,2 = 0,1 + 2,7 + 5 + 9,8 + 16,2 = 33,8
i =1
E(y ) = E(x − 7) = E(x ) − 7 = 5,2 − 7 = −1,8
V (y ) = V (x − 7) = V (x ) = 6,76
B) Calcule las siguientes probabilidades, a partir de la función de distribución:
P(x < 3) ; P(x > 5 ) ; P(x ≥ 3) ; P(3 < x ≤ 7 ) ; P(3 ≤ x < 7) ; P(3 < x < 7 ) ; P(3 ≤ x ≤ 7 )
Xi
1 3 5 7 9
P(Xi) 0,1 0,3 0,2 0,2 0,2
F(Xi) 0,1 0,4 0,6 0,8 1
P(x < 3) = F(1) = 0,1 P(x > 5) = 1 − P(x ≤ 5) = 1 − F(5) = 1 − 0,6 = 0,4 P(x ≥ 3) = 1 − F(1) = 1 − 0,1 = 0,9
P(3 < x ≤ 7) = F(7) − F(3) = 0,8 − 0,4 = 0,4 P(3 ≤ x < 7) = F(5) − F(1) = 0,6 − 0,1 = 0,5
P(3 < x < 7) = F(5) − F(3) = 0,6 − 0,4 = 0,2 P(3 ≤ x ≤ 7) = F(7) − F(1) = 0,8 − 0,1 = 0,7
5) En una oficina de atención al ciudadano de un ayuntamiento se reciben en promedio 10 consultas
diarias sobre las condiciones para poder acceder a las residencias de ancianos. Suponiendo que el
número de consultas diarias sigue una distribución de Poisson, calcule:
A) La probabilidad de recibir más de 3 consultas y menos de 7, durante un día.
 10 4 10 5 10 6 
+
+
P (3 < x < 7 ) = P(x = 4 ) + P (x = 5 ) + P (x = 6 ) = e −10 ⋅ 
 = 0,00004539992976⋅ 2.638,88 ≅ 0,1198
5!
6! 
 4!
B) La probabilidad de recibir durante una semana más de 40 consultas, considerando que en la oficina se
trabaja de lunes a viernes.
λ ′ = 5 ⋅ λ = 5 ⋅10 = 50
P(X > 40 ) = P(X = 41) + P(X = 42 ) + ... + P(X = ∞ ) Probabilidad bajo la D. de Poisson
En este caso como λ = 50 podemos realizar la aproximacion mediante la D.Normal con los siguientes parametros :
µ = 50; σ = 50 ≅ 7,07 de forma que :
40,5 − 50 
− 9,5 


P(X > 40,5 ) = P Z >
 = P(Z > −1,343 ) ≅ P(z > −1,34 ) = P(z < 1,34 ) = 0,90988
 = P Z >
7,07 
7,07 


6) Un Ayuntamiento dispone de 3 equipamientos deportivos para los que se sabe que el número de
usuarios diarios, respectivamente, sigue las siguientes distribuciones:
X 1 ≈ N(500, 20)
Equipamiento 1:
Equipamiento 2:
X 2 ≈ N(700, 30)
Equipamiento 3:
X 3 ≈ N(800, 25)
A) Calcule la probabilidad de que en un día acudan a los equipamientos deportivos más de 1.950
usuarios.
Sea W = x 1 + x 2 + x 3
E(W ) = E(x 1 + x 2 + x 3 ) = E(x 1 ) + E(x 2 ) + E(x 3 ) = 500 + 700 + 800 = 2.000
V (W ) = V (x 1 + x 2 + x 3 ) = V (x 1 ) + V (x 2 ) + V (x 3 ) = 20 2 + 30 2 + 25 2 = 400 + 900 + 625 = 1.925 ⇒ σ(W ) ≅ 43,87
W ≈ N(2.000, 43,87)
1.950 − 2.000 
− 50 


P(w > 1.950) = P z >
 = P z >
 ≅ P(z > −1,14 ) = P(z < 1,14 ) = Φ (1,14 ) = 0,8729
43,87
43,87 



B) Calcule la probabilidad de que el número de usuarios en el equipamiento 1, este comprendido entre
2.400 y 2.600 usuarios, durante 5 días.
Sea W = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 donde xi i.i.d X ≈ N(500,20)
E(W ) = E(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) = E(x 1 ) + E(x 2 ) + E(x 3 ) + E(x 4 ) + E(x 5 ) = 5 ⋅ 500 = 2.500
V (W ) = V (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) = V (x 1 ) + V (x 2 ) + V (x 3 ) + V (x 4 ) + V (x 5 ) = 5 ⋅ 20 2 = 2.000
(
W ≈ N 2.500, 2.000
)
 2.400 − 2.500
2.600 − 2.500   − 100
100 
 = P
P(2.400 < w < 2.600) = P
<z<
<z<
 ≅ P(− 2,24 < z < 2,24 ) =
44,72 
2.000
2.000   44,72

P(z < 2,24) − P(z < −2,24) = Φ (2,24 ) − 1 − Φ (2,24 ) = 0,98745 − 0,01255 = 0,9749
[
]