S01.MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS) Cinemática del MAS. Sistema masa resorte, péndulo simple, péndulo de torsión y péndulo físico. LOGRO Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve problemas del movimiento armónico simple (MAS), péndulo simple, péndulo de torsión y péndulo físico; de forma correcta, con orden y precisión en el cálculo. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE MAS El MAS es aquel movimiento periódico, oscilatorio, rectilíneo y que esta gobernada por fuerza recuperadora en una superficie libre de asperezas. Esta fuerza recuperadora es proporcional a su desplazamiento. 𝑘 𝑎=− 𝑥 𝑚 CANTIDADES FÍSICAS EN EL MAS Periodo(T): el tiempo que tarda el móvil en describir una oscilación completa. Frecuencia(ƒ): el número de oscilaciones completes efectuadas en la unidad de tiempo. f = 1/T Elongación: en un instante dado es la posición de la partícula respecto de la posición de equilibrio. Amplitud(A) :es el valor máximo de la elongación. Frecuencia angular(w): se define como. w = 2pƒ CARACTERÍSTICAS DEL M.A.S. El MAS, tiene las siguientes características : a. La fuerza y aceleración son cero en la posición de equilibrio, la velocidad es máxima en este punto. b. La fuerza y aceleración son máximos en los extremos ( x = A) y la velocidad es cero en este punto. Posición de equilibrio Periodo F kx Amplitud a – máxima F- máxima v=0 a – máxima F- máxima v=0 a=0 F=0 v máxima F F x A x A ECUACIONES DEL MAS Siempre que la aceleración de un Reemplazando la expresión objeto es proporcional a su de la aceleración, se obtiene desplazamiento, el objeto se 𝑑2 𝑥 2. 𝑥 = −𝜔 mueve con MAS. 𝑑𝑡 2 Por la Segunda Ley de Newton Una de las soluciones de la ecuación diferencial ,es : 𝑘 𝑎=− 𝑥 𝑚 Considerando que la frecuencia angular es 𝜔2 𝑘 = 𝑚 𝑥 𝑡 = 𝐴. 𝑐𝑜𝑠 𝜔. 𝑡 + 𝛿 𝜔= 𝑘 𝑚 1 𝑘 𝑓= 2𝜋 𝑚 𝑚 𝑇 = 2𝜋 𝑘 FASE Y ÁNGULO DE FASE 𝑥 𝑡 = 𝐴. 𝐶𝑜𝑠 𝜔. 𝑡 + 𝛿 𝐴, 𝜔 y 𝛿 son constantes 𝐴 es la amplitud, es el máximo alejamiento respecto a la posición de equilibrio. El argumento de la función coseno, (𝜔. 𝑡 + 𝛿) se denomina fase y la constante 𝛿 es el ángulo de fase. POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN EL MAS 𝑥 𝑡 = 𝐴. 𝑐𝑜𝑠 𝜔. 𝑡 + 𝛿 𝑥𝑚𝑎𝑥. = 𝐴 𝑣 𝑡 = −𝐴. 𝜔. 𝑠𝑒𝑛 𝜔. 𝑡 + 𝛿 𝑣𝑚𝑎𝑥. = 𝐴. 𝜔 𝑎 𝑡 = −𝐴. 𝜔2 . 𝑐𝑜𝑠 𝜔. 𝑡 + 𝛿 𝑎𝑚𝑎𝑥. = 𝐴. 𝜔2 EJERCICIO 1 La posición en función del tiempo, de una masa de 1,5 kg, adherida a un resorte, está dado por la siguiente ecuación: 𝑥(𝑡) = 7,40. 𝑐𝑜𝑠(4,16. 𝑡 − 2,42) Calcule: (a) el tiempo que tarda una vibración completa (b) la constante de rigidez del resorte (c) la rapidez máxima de la masa (d) la fuerza máxima que actúa sobre la masa (e) la posición, rapidez y aceleración de la masa en t = 1 s. ENERGÍA DE UN OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE La fuerza de los resortes son fuerzas conservativas; es decir, tienen asociado su energía potencial. Su expresión matemática se deduce de la gráfica Fuerza-deformación. F 𝑈𝐸𝑙. 𝐹 = 𝑘. 𝑥 1 = 𝑘. 𝑥 2 2 x Fuerza aplicada sobre el móvil por parte del resorte La energía potencial elástica puede ser agregada a los demás tipos de energía en el balance de la conservación de la energía. En el caso del oscilador armónico, el balance energético tiene lugar entre la energía cinética y potencial elástica. 1 1 2 𝑚. 𝑣 + 𝑘. 𝑥 2 = Const. 2 2 ENERGÍA DE UN OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE EJERCICIO 2 Un deslizador de 0,5 kg, conectado al extremo de un resorte ideal con constante de fuerza 𝑘 = 450 N/m, desarrolla un MAS, con una amplitud de 0,04 m. Calcule: a) la rapidez máxima del deslizador b) su rapidez cuando 𝑥 = −0,015 m c) su aceleración máxima y d) la energía mecánica total en cualquier punto de la trayectoria. SISTEMA PÉNDULO SIMPLE Objeto cuya masa se considera concentrada en un punto a una distancia 𝐿 (longitud del péndulo inextensible y masa despreciable) del punto de suspensión o centro de rotación La fuerza recuperadora sobre la masa pendular es: 𝑚. 𝑔. 𝑆𝑒𝑛𝜃 = 𝑚. 𝑎 Pero, 𝑑2 𝜃 𝑎 = 𝛼. 𝑅 = 𝛼. 𝐿 = 2 𝑑𝑡 SISTEMA PÉNDULO SIMPLE Ecuación diferencial del movimiento del péndulo simple. 𝑑2 𝜃 𝑔 + . 𝑆𝑒𝑛𝜃 = 0 2 𝑑𝑡 𝐿 Donde la frecuencia natural y el periodo de oscilación están dadas por: 𝜔= Pero, se sabe que para ángulos pequeños (≈ 10°) 𝑆𝑒𝑛𝜃 ≈ 𝜃 Se concluye que la ecuación finalmente tiene la siguiente forma: 𝑑2 𝜃 𝑔 + .𝜃 = 0 2 𝑑𝑡 𝐿 𝑔 𝐿 𝐿 𝑇 = 2𝜋 𝑔 EJERCICIO 3 Calcula la longitud de un péndulo simple, si el periodo del péndulo es 5 s en un lugar en que la aceleración de la gravedad es 9,81 m/s2. SISTEMA PÉNDULO DE TORSIÓN La rueda de balance de un reloj mecánico tiene un momento de inercia 𝐼 alrededor de su eje. 𝜏𝑧 = −𝑘. 𝜃 El resorte ejerce un momento de torsión proporcional al desplazamiento angular respecto a la posición de equilibrio. −𝑘. 𝜃 = 𝐼. 𝛼 La segunda ley de Newton para el cuerpo rígido es: 𝑑2 𝜃 𝑘 + .𝜃 = 0 2 𝑑𝑡 𝐼 SISTEMA PÉNDULO DE TORSIÓN cuya solución es: 𝜃 𝑡 = Θ. 𝐶𝑜𝑠 𝜔. 𝑡 + 𝜑 Donde 𝜔 es la frecuencia angular del péndulo de torsión: 𝜔= 𝑘 𝐼 Cuyo periodo es: 𝐼 𝑇 = 2𝜋 𝑘 TABLA 1: MOMENTOS DE INERCIA EJERCICIO 4 Un disco metálico delgado cuya masa es de 2 × 10−3 kg y de radio 2,20 cm se une en su centro a una fibra larga. Si se tuerce y suelta, oscila con un periodo de 1 s. Determine la constante de la fibra. 𝐼 𝑇 = 2𝜋 𝑘 ⟹ 2𝜋 𝑘=𝐼 𝑇 2 𝑇 2𝜋 2 𝐼 = 𝑘 4. 𝜋 2 = 2 .𝐼 𝑇 4. 𝜋 2 1 𝑘 = 2 . . 𝑚. 𝑅2 𝑇 2 𝑘 = 1,91 × 10−5 𝑁. 𝑚 𝑟𝑎𝑑 EJERCICIO 5 Un péndulo de torsión, consiste de un bloque de madera de forma rectangular de dimensiones 8 cm x 12 cm x 3 cm y cuya masa es de 0,5 kg, está suspendido por medio de un alambre que pasa por su centro, de tal modo que el lado más corto es vertical. El periodo de las oscilaciones torsionales es 24 s. Determine la constante de torsión del alambre. 4. 𝜋 2 𝑘 = 2 .𝐼 𝑇 4. 𝜋 2 1 𝑘 = 2 . . 𝑚. 𝑎2 + 𝑏 2 𝑇 12 𝑘 = 5,94 × 10−5 𝑁. 𝑚 𝑟𝑎𝑑 SISTEMA PÉNDULO FÍSICO Un péndulo físico es cualquier péndulo real, que usa un cuerpo de tamaño finito en contraste con el modelo idealizado del péndulo simple. De acuerdo con la figura, se observa que existe un torque restaurador, cuya expresión está dada por: 𝜏𝑧 = − 𝑚. 𝑔 . 𝑑. 𝑆𝑒𝑛𝜃 Pero, para ángulos pequeños (≈ 15°) 𝜏𝑧 = − 𝑚. 𝑔. 𝑑 . 𝜃 Por otro lado, la ecuación del torque es: Σ𝜏 = 𝐼. 𝛼 SISTEMA PÉNDULO FÍSICO Escribiendo la expresión del torque en la ecuación del torque y la aceleración angular . 𝑑2𝜃 𝐼 2 = − 𝑚. 𝑔. 𝑑 . 𝜃 𝑑𝑡 ⟹ 𝑑2𝜃 𝑚. 𝑔. 𝑑 + .𝜃 = 0 2 𝑑𝑡 𝐼 Definiendo la frecuencia angular. 𝜔= 𝑚. 𝑔. 𝑑 𝐼 De donde se obtiene el periodo de oscilación del péndulo físico. 𝐼 𝑇 = 2𝜋 𝑚. 𝑔. 𝑑 EJERCICIO 6 Queremos colgar un aro delgado de un clavo horizontal y lograr que tenga una oscilación completa con un ángulo pequeño, una vez cada 2 s. Calcule el radio que debe tener el aro. Por teorema de ejes paralelos 𝐼 = 𝑚. 𝑅 2 + 𝑚. 𝑅 2 = 2. 𝑚. 𝑅 2 Reemplazando en el la ecuación del periodo: 𝐼 𝑇 = 2𝜋 𝑚. 𝑔. 𝑑 𝑇 2𝜋 2 2. 𝑚. 𝑅 2 ⟹ 𝑇 = 2𝜋 𝑚. 𝑔. 𝑅 2. 𝑅 = 𝑔 ⟹ 𝑔. 𝑇 2 𝑅= 8. 𝜋 2 𝑅 = 0,496 𝑚 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS R. Serway, J. Jewett. Física para Ciencias e Ingeniería. 7° edición. Ed.Cengage Learning. J. Wilson, A. Buffa. Física. 6° edición. Ed. Pearson Educación. Sears Zemansky. Física Universitaria. 12° edición. Ed. Pearson Educación.
