Pratiksan

“Pratik Bilgi” Sanılan Ezberler -1
Ç ö z ü m ü n A r d ın d a n …
E z b e r Ö r n e ğ i- 1
Şimdi; burada yapılan nedir?
D
Büyük bir olasılıkla; öğretmen, geometrinin
sınırsız sayıdaki şekillerinden biri ile ilgili bir
bağıntı vermiş, bunun ispatını da yapmış ve
“Bunu bilin. Sorulabilir.” demiştir.
C
c
S
F
Yaptığı bir sınavda da, sözünde durarak
sormuş ve cevabını da, tam istediği gibi,
almıştır.
a
b
A
E
B
Öğrenci, öğretmeninin sınavda soracağını
düşündüğü bu bağıntıyı ezberlemiş, sınavda
da, tam istenildiği gibi cevabını vermiştir.
ABCD paralelkenar, E  [AB] ve F  [BC] ’dir.
A(⊿ ADE)  a , A(⊿ BEF)  b ,
A(⊿ CDF)  c ve
İspatı ile, biraz da karışık ise, hiç ilgilenmemiştir.
A(⊿DEF)  S ise bu alan ölçüleri arasında,
Buradaki matematik eğitim
öğrenciye ne kazandırmıştır?
S2  (a  b  c)2  4ac
bağıntısı vardır.
ve
öğretimi
Hiçbir şey!
Çünkü; böyle bir soru ile, bu bağıntıyı ezbere
bilmesini gerektirecek biçimde, hiçbir sınavda
karşılaşmayacaktır.
U y g u la m a - 1 .1
Aksine; öğrenci çok zarara sokulmuştur:
Kısa
sürede
unutacağı,
hiçbir
işine
yaramayacak bir formülü ezberlemek için
zaman harcamıştır;
C
D
(2)
S
(3)
A
Muharrem Şahin
F
Zihnini, en etkin döneminde, ezberlemenin
hizmetine verdiği için düşünme yeteneği
azalmıştır;
(1)
E
B
Öğrenebileceği çok şeyden uzak kalmıştır.
Bu bir fikir tartışması değildir.
ABCD paralelkenar, E  [AB] ve F  [BC] ’dir.
Böyle bir formülün ezberlenmesini önermek
büyük bir eğitim-öğretim yanlışıdır.
A(⊿ADE)  3 br2 , A(⊿BEF)  1 br2 ve
A(⊿CDF)  2 br2 olduğuna göre,
Bir
matematik
öğretmeni
öğrencisine,
düşünmeyi öğretmeye çalışmalıdır.
A(⊿DEF)  S kaç birimkaredir?
Az öğrenebilene az; çok öğrenebilene çok.
Ama; amaç, kesinlikle, düşünmeyi öğretmek
olmalıdır. “Bu düşünemiyor. Ezberlesin bari.”
demek , zararı katlamak demektir.
Ç ö zü m
S2  (a  b  c)2  4ac
Şurası doğru anlaşılmalıdır:
 S2  (3  1  2)2  4  3  2
 S  2 3 br2
Savunduğumuz, matematik değil; öğrencinin
yararıdır.
B u y a k la ş ım , b e y in k ö r e ltm e n in e n
e tk in y o lu d u r !
Ayrıca; burada ele aldığımız
“İşlemsel
ve
kavramsal
tartışmalarıyla hiç ilgisi yoktur.
1
durumun,
öğrenme”
“Pratik Bilgi” Sanılan Ezberler -1
Muharrem Şahin
(1) ve (2) taraf tarafa toplanırsa,
D o ğ r u s u n u y a p m a y a ç a lış a lım :
z
t
2b
2c



zt zt Sbca Sb c a
2b(S  b  c  a)  2c(S  b  c  a)
1
(S  b  c  a)(S  b  c  a)
Ö r n e k P r o b le m - 1
D
 S2  a2  b2  c2  2ab  2bc  2ac
C
 S2  a2  b2  c2  2ab  2bc  2ac  4ac
c
 S2  (a  b  c)2  4ac
S
F
elde edilir.
a
b
A
B
E
U y g u la m a - 1 .2
ABCD paralelkenar, E  [AB] ve F  [BC] ’dir.
A(⊿ ADE)  a , A(⊿ BEF)  b ,
D
A(⊿ CDF)  c ve
C
(15)
A(⊿DEF)  S olduğuna göre, bu alan ölçüleri
arasındaki bağıntıyı bulunuz.
S
F
(15)
Ç ö zü m
A
D
x
y
A(⊿DEF)  S kaç birimkaredir?
z
b
E
A(⊿CDF)  15 br2 olduğuna göre,
F
a
A
A(⊿ADE)  15 br2 , A(⊿BEF)  4 br2 ve
t
S
B
E
ABCD paralelkenar, E  [AB] ve F  [BC] ’dir.
C
c
(4)
B
Ç ö zü m
AE  x , EB  y , BF  z ,
1. yol
FC  t olsun.
z
A(⊿BEF)

z  t A(⊿ BEC)
z
b


S

a

bc
zt
a
2
z
2b


(1)
z t Sbca
BF
BC
FC
BC
t
A(⊿ DCF)

z  t A(⊿ BCD)
t
c


z t Sabc
2
t
2c


z  t S b  c a
BF

A(⊿BEF)

A(⊿BEC)
BC

A(⊿ CFD)

A(⊿ BCD)
BC
4
S  34
 15
2
BF
8


(1)
BC
S4
FC

15
S  34
2
FC
30


BC
S  34

(2)
(1) ve (2) taraf tarafa toplanırsa,
(2)
1
2
8
30

 S  16 br 2 bulunur.
S  4 S  34
“Pratik Bilgi” Sanılan Ezberler -1
Muharrem Şahin
2. yol
Ç ö zü m
Buna benzer bir problem, kısa süreli bir test
sınavında sorulursa, cevap seçenekleri de
sabit sayılar olarak verilirse, mantık kuralları
içinde şöyle düşünülebilir:
1. yol
D
S
3k
“Her zaman doğru olan, özel bir durumda da
doğrudur.”
F
2S  21
A
k
B
E
BF  k dersek, FC  2k ve AD  3k olur.
A(⊿CDF)  S ise
EB  BF  2 2 olur.
A(ABCD)  3S , A(⊿DCE) 
AE  FC  x dersek, AD  x  2 2 olur.
A(⊿ ADE) 
2k
(12)
(9)
Rast gele bir ABCD paralelkenarında doğru
olan, ABCD paralelkenarı bir kare olarak
seçildiğinde de doğru olacaktır. Bu problemde
verilen
bilgiler,
dörtgeni
kare
olarak
seçmemize engel değildir.
ABCD bir kare iken,
C
3S
ve
2
A(⊿BEF)  2S  21 olur.
AE  AD
2
BF
x  (x  2 2)
 15 
2
BC
x3 2
 A(ABCD)  50
 A(⊿DEF)  16 br2
bulunur.

A(⊿ BEF)
k
2S  21


3S
A(⊿ BEC)
3k
9
2
1 4S  42
 
3 3S  18
 S  12 br2 bulunur.
“ E z b e r Ö r n e ğ i- 1 ” in tu ts a ğ ı o la n b ir
b e y in , “ U y g u la m a - 1 .3 ” ü n ç ö z ü m
y o lu n u g ö r m e d e ç o k z o r la n ır .
2. yol
D
C
U y g u la m a - 1 .3
S
D
H
C
F
(12)
K
(5)
S
A
2k
(8)
(4)
F
(4)
k
E
B
(9)
A
E
B
HF   AB çizelim.
A(⊿ EKF)  4 , A(⊿DKF)  8 ve
ABCD paralelkenar, E  [AB] ve F  [BC] ’dir.
A(⊿DHK)  4 olur. (⊿ DHK  ⊿DAE)
A(⊿ADE)  9 br2 , A(⊿DEF)  12 br2 ve
HFCD paralelkenarında, S  12 br2 bulunur.
CF  2  BF olduğuna göre,
A(⊿CDF)  S kaç birimkaredir?
3
“Pratik Bilgi” Sanılan Ezberler -1
E z b e r Ö r n e ğ i- 2
Muharrem Şahin
Ayrıca; böyle bir ezbere zihnini tutsak eden
biri, problemin güzel çözümünün kendine
sağlayacağı
“kavramlarla
yakınlaşma”
olanağından yararlanamamış olacaktır.
y  ax2  bx  c parabolüne başlangıç nokta-
sından çizilen teğetlerin birbirine dik olması
için   b2  4ac  1 olmalıdır.
P r o b le m le r i ç ö z e b ilm e k iç in , e ld e
e d ile c e k b a ğ ın tın ın e z b e r le n m e s i
d e ğ il, b u b a ğ ın tın ın n a s ıl e ld e
e d ild iğ in in k a v r a n m a s ı g e r e k ir .
U y g u la m a - 2 .1
y  x2  k  x  3 parabolüne başlangıç nokta-
sından çizilen teğetlerin birbirine dik olması
için k kaç olmalıdır?
Ö r n e k P r o b le m - 2
Ç ö zü m
y  ax2  bx  c parabolüne başlangıç nokta-
  b2  4ac  1
 k 2  4  1  3  1
sından çizilen teğetlerin birbirine dik olması
için a, b, c kat sayıları arasında nasıl bir
bağıntı olmalıdır?
 k   11 veya k  11 bulunur.
B u y a k la ş ım z a r a r lıd ır !
Ç ö zü m
Ç ö z ü m ü n A r d ın d a n …
y  ax2  bx  c parabolüne başlangıç nokta-
“Ezber Örneği-2” olarak verdiğimiz,
sından çizilen bir teğet y  mx olsun.
bir problem ve sonucudur.
Parabol ile doğrunun kesim noktalarının
apsislerini veren denklemin iki kat kökü
olmalıdır.
Bir kere sorulmuş ve sonucu alınmıştır.
Artık; problem olmaktan çıkmıştır.
ax2  bx  c  mx
Birçok kaynakta bu ezberlenmiş sonucun
değiştirilmiş
kat
sayılarla
uygulanması,
öğrencinin problem çözme becerisine en
küçük bir katkı yapmaz. Öğrenci “Bir 2.
derece denkleminin diskriminantını bulma.”
alıştırmalarını pekiştirir durur.
 ax2  (b  m)x  c  0
(1)
(1) denkleminin diskriminantı sıfır olmalıdır.
  (b  m)2  4ac  0
 m2  2bm  b2  4ac  0
Gireceği önemli sınavlarda da bu soru ile bu
biçimiyle karşılaşmaz.
(2)
(2) denkleminin kökleri, parabole teğet olan
y  mx
doğrularının
eğimlerini
verir.
Dikkat ediniz!
Teğetlerin birbirine dik olması istendiğine
göre, denklemin köklerinin çarpımı -1
olmalıdır.
Hiçbir “Üniversite Giriş Sınavı”nda, önceki
yılların
ezberlenmiş
soru
kalıpları
ile
karşılaşmayız. Önce orada sorulur; sonra,
yüzlerce benzeri üretilir.
m1  m2 
Yani; öğrenci, gelecek sınavlarda, sonuçlarını
ezberlediği problemlerin hiçbiri ile karşılaşmayacaktır. Orada, olabildiğince, kavramları
uygulayabilme becerileri ölçülmektedir.
c
a
 b2  4ac  1
   1
elde edilir.
4
“Pratik Bilgi” Sanılan Ezberler -1
Muharrem Şahin
“ E z b e r Ö r n e ğ i- 2 ” y i k u lla n a n b ir
ö ğ r e n c i, “ U y g u la m a - 2 .2 ” n in ç ö z ü m
y o lu n u g ö r m e d e ç o k z o r la n ır .
Ç ö zü m
U y g u la m a - 2 .2
x  y  6 ve y  2x
 x  2 ve y  4 bulunur.
T’nin en büyük değerini aldığı durumda,
x y

1 2
y  k  x2  x  2 parabolüne A(2,1) nokta-
 y  2x olur.
T  x  y2 ’nin en büyük değeri 32 olur.
sından çizilen teğetlerin birbirine dik olması
için k kaç olmalıdır?
B u e z b e r e k e n d in i k a p tır a n ö ğ r e n c i,
tu z a k la r a d ü ş e b ilir !
Ç ö zü m
Y a p ıla c a k is p a t e z b e r le m e y i h a k lı
g ö s te rm e z .
y  k  x2  x  2 parabolüne A(2,1) nokta-
sından çizilen teğetin eğimi m olsun.
Teğetin denklemi,
y  1  m(x  2)  y  mx  2m  1 olur.
Ö r n e k P r o b le m - 3
Parabol ile doğrunun kesim noktalarının
apsislerini veren denklemin iki kat kökü
olmalıdır.
x ve y birer pozitif gerçek sayı ve k bir gerçek
sayı olmak üzere; x  y  k ise,
ifadesini en büyük yapan x ve y değerleri,
m ve n değerleri ile doğru orantılıdır.
kx2  x  2  mx  2m  1
 kx2  (m  1)x  2m  1  0
T  xm  yn
İspatlayınız.
(1)
(1) denkleminin diskriminantı sıfır olmalıdır.
Ç ö zü m
  (m  1)2  4k(2m  1)  0
 m2  (8k  2)m  1  4k  0
(2) denkleminin
olmalıdır.
köklerinin
1  4k  1  k 
T  xm  yn ve x  y  k
(2)
çarpımı
 T  xm  (k  x)n
-1
 T  mxm 1  (k  x)n  xm  n(k  x)n 1
 T  xm 1  (k  x)n 1  [m  (k  x)  n  x]
1
bulunur.
2
T(x) fonksiyonunun ekstremum yaptığı yerde
T (x)  0 olmalıdır.
E z b e r Ö r n e ğ i- 3
T  0
 xm 1  (k  x)n 1  [m  (k  x)  n  x]  0
mk
 x1  0, x2  k, x3 
bulunur.
mn
x ve y birer pozitif gerçek sayı ve k bir gerçek
sayı olmak üzere; x  y  k ise,
T  xm  yn
ifadesini en büyük yapan x ve y değerleri,
m ve n değerleri ile doğru orantılıdır.
T(x1)  0 ve T(x2 )  0 olduğundan
T(x3 ) değeri T 'nin en büyük değeridir.
U y g u la m a - 3 .1
T(x)'i en büyük yapan x 
x ve y birer pozitif gerçek sayı olmak üzere;
x  y  6 ise,
için y 
T  x  y2 ifadesinin alabileceği
nk
olduğundan,
mn
x m

bulunur.
y
n
en büyük değeri bulunuz.
5
mk
değeri
mn
“Pratik Bilgi” Sanılan Ezberler -1
Muharrem Şahin
T(5)  0 ve T( 5)  400 5 olduğundan
U y g u la m a - 3 .2
T( 5)  400 5
değeri T 'nin en büyük değeridir.
x ve y birer pozitif gerçek sayı olmak üzere;
2x  y  6 ise,
T  x  y2 ifadesinin alabile-
ceği en büyük değeri bulunuz.
E z b e r Ö r n e ğ i- 4


 sin3x  4  sin x  sin(  x)  sin(  x)
3
3


 cos 3x  4  cos x  cos(  x)  cos(  x)
3
3


 tan3x  tan x  tan(  x)  tan(  x)
3
3
Ç ö zü m
T  x  y2 ve 2x  y  6
 T  x  (6  2x)2
T(x) fonksiyonunun ekstremum yaptığı yerde
T (x)  0 olmalıdır.
Bu özdeşlikler, klasik trigonometri derslerinde
2
T  (6  2x)  2  2  (6  2x)  x  0
 T  (6  2x)  (6  2x  4x)  0
 x1  3 ve x2  1
ispatlanması istenen özdeşliklerdir.
ezberletip, örneğin;
T(3)  0 ve T(1)  16 olduğundan
T(1)  16 değeri T 'nin en büyük değeridir.
gibi bir ifadenin hesaplanmasında kullanılmasını önermek hiç doğru değildir.
sin20  sin 40  sin 60  sin80  ?
Böyle bir soru, klasik sınavlarda söz konusu
olabilir. (Tabii; bir de pek düşünülmeden
hazırlanmış test kitaplarında.) Öğrencinin,
gireceği bilinçli hazırlanmış sınavlarda, bu tür
kalıplara hiç ihtiyacı olmayacaktır. Öğrenci
için, bu özdeşliklerin nasıl elde edildiği
önemlidir.
“ E z b e r Ö r n e ğ i- 3 ” , “ U y g u la m a - 3 .2 ”
tü r ü n d e n s o r u la r a d a u y g u la b ile c e k
b iç im d e y o r u m la n a b ilir .
A m a ; s o r u la r ı ç e ş itle n d ir m e d e s ın ır
y o k tu r:
B u ö r n e k le r ç o ğ a ltıla b ilir …
U y g u la m a - 3 .3
Ş im d ilik ş u n u d a s ö y le y ip b itir e y im :
x ve y birer pozitif gerçek sayı olmak üzere;
x2  y  25 ise,
Bunları
B iz ö ğ r e tm e n le r , b ir k ıs ım te s t
k ita p la r ın ın s o r u la r ın a y a d a b ir
k ıs ım d e r s a n e le r in ç a n a k s o r u la r ın a
ö ğ r e n c i h a z ır la m ıy o r u z . Ö ğ r e n c in in
h a z ır la n d ığ ı
a s ıl
s ın a v d a
bu
e z b e r le r in h iç b ir y a r a r ı y o k tu r .
T  x  y2 ifadesinin alabile-
ceği en büyük değeri bulunuz.
Ç ö zü m
T  x  y2 ve x2  y  25
 T  x  (25  x2 )2
H e le ; h a y a ta h a z ır la r k e n d ü ş ü n m e y i
ö ğ r e tm e m iz g e r e k e n ö ğ r e n c iy e , b u
e z b e r le r i ö n e r m e k le b ü y ü k z a r a r
v e r iy o r u z .
T(x) fonksiyonunun ekstremum yaptığı yerde
T (x)  0 olmalıdır.
T  (25  x2 )2  2(2x)  (25  x2 )  x  0
 T  (25  x2 )  (25  x2  4x2 )  0
 x1  5 ve x2  5
6