Se desarrollará una ecuación que relaciona la distribución del esfuerzo en una viga con el momento flexionante resultante interno que actúa en la sección transversal de esa viga. Para ello se supondrá que el material se comporta en forma elástica lineal y, por lo tanto, una variación lineal de la deformación normal figura 1, debe ser resultado de una variación lineal en el esfuerzo normal, figura 2. Por consiguiente, al igual que la variación de la deformación normal, s variará desde cero en el eje neutro del elemento hasta un valor máximo, 𝜎máx, en la distancia c más alejada del eje neutro. La posición del eje neutro de la sección transversal puede localizarse al cumplir la siguiente condición: la fuerza resultante producida por la distribución del esfuerzo sobre el área de la sección transversal debe ser igual a cero. Como se puede ver en la figura 3 se tiene 𝜎𝑚𝑎𝑥⁄ 𝑐 no es igual a cero, entonces ∫ 𝑦 𝑑𝐴 = 0 𝐴 El primer momento del área transversal del elemento con respecto al eje neutro debe ser igual a cero. Esta condición sólo puede Figura 3 cumplirse si el eje neutro también es el eje centroidal horizontal de la sección transversal. En consecuencia, una vez determinado el centroide del área de la sección transversal del elemento, se conoce la ubicación del eje neutro. Entonces se tiene: 𝑀= 𝜎𝑚á𝑥 ∫ 𝑦 2 𝑑𝐴 𝑐 𝐴 𝐸𝑐. 1 La integral representa el momento de inercia del área de la sección transversal respecto al eje neutro. Su valor se simbolizará con I. Por consiguiente, se puede despejar 𝜎𝑚á𝑥 de la ecuación 1 y escribir 𝜎𝑚á𝑥 = 𝑀 𝐼⁄ 𝑐 𝐸𝑐. 2 Aquí 𝝈𝒎á𝒙 = el esfuerzo normal máximo en el elemento, que se produce en el punto sobre el área de la sección transversal que está más alejado del eje neutro. 𝑴 = el momento interno resultante, determinado a partir del método de las secciones y de las ecuaciones de equilibrio; se calcula respecto al eje neutro de la sección transversal. 𝐜 = la distancia perpendicular desde el eje neutro hasta el punto más alejado del eje neutro. Aquí es donde actúa 𝜎máx . I = el momento de inercia del área de la sección transversal respecto al eje neutro. El cociente I/c se llama modulo de resistencia de la seccion o simplemente, modulo de seccion, y se suele designar por S, por lo que la formula de la flexion adquiere la forma: 𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝑀 𝑀 = 𝐼⁄ 𝑐 𝑆 Figura 4 Módulos de resistencia de varias formas de sección transversal PERFILES COMERCIALES La formula de flexión, 𝑀 = 𝜎𝐼/𝑐 , muestra que si el área de la seccion rectangular (figura 5a) pudiera distribuirse de manera que la viga siguiera teniendo la misma altura, pero con la forma indicada en la figura 5b, el momento de inercia aumentaria muchisimo por lo que el momento flexionante que podria soportar seria mucho mayor. La figura 5c representa una seccion I de ala ancha (que suele llamarse H). Es uno de los perfiles mas eficientes, ya que no solo tiene gran resistencia trabajando a la flexion como viga, sino tambien como columna. Otro tipo de perfil laminado es el I normal, figura 5d, mas antiguo que el de ala ancha y que al no ser tan eficiente tiende a ser sustituido por aquel. Al escoger una determinada sección para aplicarla como viga es innecesario decir que el momento que puede resistir, 𝑀𝑟 = 𝜎𝐼/𝑐 = 𝜎𝑆, debe ser igual o mayor que el momento flexionante maximo aplicado M. Esta condicion puede expresarse por la desigualdad: 𝑆> 𝑀 𝜎 Que indica que la seccion debe elegirse de manera ue su módulo resistente sea igual o mayor que la relacion del momento flexionante al esfuerzo admisible.
