Matemática para ingresantes universitarios

Prof. Analía V. Giménez
Módulo de Matemática
Mgter. Ana Rubio Duca
Módulo de Matemáticas
Material seleccionado por Mg. Ana Rubio Duca y Prof. Analía V. Gimenez.
Tema 1: Lógica y Conjuntos
La mayoría de los estudiantes no se dan cuenta de que gran parte de la notación algebraica
que se usa en los textos de álgebra tiene menos de 400 años.
El más grande matemático francés del siglo XVI fue François Viète (1540-1603), abogado y
miembro del Parlamento, quien dedicó la mayor parte de su tiempo libre a las matemáticas.
Escribió muchas obras sobre álgebra, geometría y trigonometría, la mayoría de las cuales
imprimió y distribuyó por su propia cuenta. La obra más famosa de Viète, In Artem,
hizo avanzar en forma signi…cativa la notación algebraica. Antes del trabajo de Viéte era
una práctica común utilizar diferentes símbolos para representar varias potencias como x,
x2 ; x3 etcétera. Viète, que sabía escribir en latín, utilizó la misma letra cali…cada en forma
apropiada para estas potencias: x, x quadratum (cuadrado), x cubum (cubo), etcétera.
Además, extendió el uso de las letras del alfabeto para representar no sólo las variables sino
también los coe…cientes constantes. La nueva notación de Viète aclaró las operaciones que
emplearon para construir una serie completa de términos.
En este tema se presentan los conceptos fundamentales sobre lógica y conjuntos.
Enunciados y valor de verdad
Lógica: La lógica es la rama del conocimiento que trata los métodos de razonamiento
mediante reglas y técnicas, con el …n de determinar si un argumento es válido. El tema
que nos ocupa es el de la lógica usada en matemática. Aquí trabajamos con elementos
básicos llamados proposiciones.
De…nición 1: Proposiciones Una proposición es un enunciado u oración declarativa
de la cual se puede a…rmar que es falsa o verdadera, pero no ambas cosas a la vez.
De…nición 2: Valor de verdad La veracidad o falsedad de una proposición es lo que se
llama su valor de verdad.
N Ejemplo 1: Proposiciones La expresión “la Tierra es redonda” es una proposición.
Puede notarse que su valor de verdad es verdadero, ya que se conoce con certeza que la
Tierra es redonda.H
N Ejemplo 2: Proposiciones y valor de verdad verdadero La expresión “2+3 = 5”,
que se lee “dos más tres es igual a cinco”, es una proposición con valor de verdad verdadero,
ya que en el sistema numérico decimal (que usa el número 10 como referencia) se conoce con
certeza que 2 + 3 = 5.H
N Ejemplo 3: Proposiciones y valores de verdad La expresión “1 + 1 = 5”, que se
lee “uno más uno es igual a cinco”, es una proposición con valor de verdad falso, ya que se
conoce con certeza que 1 + 1 6= 5 (6= se lee "diferente o distinto de").
¿Por qué la expresión 3 x = 5 es una oración declarativa, pero no es una proposición?
3 x = 5 no es una proposición porque no sabemos su valor de verdad a menos que asignemos
un valor a la variable x. Si asignamos a x el valor 2, entonces 3 x = 5 se convierte en
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una proposición con valor de verdad verdadero, ya que 3 ( 2) = 3 + 2 = 5. Pero si le
asignamos el valor 6, por ejemplo, entonces 3 x = 5 se convierte en una proposición con
valor de verdad falso, ya que 3 6 6= 5.
¿Por qué la expresión “¿Habla usted español?”no es una proposición? La expresión, “¿habla
usted español?”no es una proposición porque no es un enunciado declarativo sino interrogativo.
¿Por qué la expresión “tome dos aspirinas” no es una proposición? Porque se trata de un
enunciado imperativo, es una orden, no es un enunciado declarativo.H
Axiomas y Teoremas
De…nición 3: Axioma Un axioma o postulado es una proposición inicial que se presupone verdadera. El conjunto de postulados de los cuales se desprenden las demás proposiciones de un sistema se llama conjunto de postulados del sistema. En éste, uno de los
axiomas no debe ser deducible de los otros.
N Ejemplo 4: Axiomas Uno de los postulados de la geometría euclidiana es el de la recta:
“Dados dos puntos distintos cualesquiera, hay exactamente una recta que los contiene”. Este
postulado o axioma forma parte de un conjunto de postulados del sistema que plantea la
geometría de Euclides.H
N Ejemplo 5: Axiomas En nuestro estudio de geometría aceptamos cierta la proposición:
“Dos rectas no pueden cortarse en más de un punto”. Éste es otro ejemplo de los postulados
o axiomas sobre los que se apoya el sistema geométrico euclidiano.H
La característica básica de un axioma es el hecho de ser independiente de otras proposiciones.
De…nición 4 Teorema Un teorema es cualquier proposición que se desprende de otra
proposición o proposiciones dadas por supuestas o previamente demostradas dentro del sistema. Así, un teorema es una proposición cuya veracidad requiere ser demostrada a partir
de otras.
N Ejemplo 6: Teorema El teorema del triángulo isósceles establece que “si dos lados de
un triángulo son congruentes, entonces los ángulos opuestos a estos lados son congruentes”.
Este teorema se demuestra a partir de otras proposiciones, entre las cuales se cuenta uno de
los postulados para congruencia de triángulos (lado-ángulo-lado, L]L).H
Proposiciones simples y compuestas
Sin pretender dar una de…nición precisa de variable podemos a…rmar que en matemática se
usan las letra x, y, t, . . . para representar números reales, y estas letras se llaman variables.
Las variables pueden combinarse mediante las operaciones corrientes para producir otras
expresiones variables más complejas. En lógica, las letras p, q, r,. . . denotan variables que
pueden sustituirse con proposiciones.
N Ejemplo 7: Variables La variable proposicional p puede sustituirse con la proposición
“El sol brilla todo el día”; en este caso:
p: El sol brilla todo el día
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y la variable proposicional q puede reemplazarse con la proposición “Hace frío”; aquí:
q: Hace frío
H
De…nición 5: Conectivos lógicos Los conectivos lógicos son símbolos usados para
combinar proposiciones, con lo que se producen otras, llamadas proposiciones compuestas.
CONECTIVOS FUNDAMENTALES
Los conectivos que usamos son
negación
^ conjunción
_ conjunción incluyente
Y conjunción incluyente
=) condicional
() bicondicional
Negación La negación de una proposición es una nueva proposición que tiene un valor
de verdad opuesto, es decir, si p es verdadera, la negación de p es falsa. Se denota con p
y se lee no p.
N Ejemplo 8: Negación
Si p: El río está sucio, entonces
p: No es verdad que el río está sucio
o simplemente:
p: El río no está sucio.H
La característica fundamental de la negación es que es una proposición cuyo valor de verdad es
contrario al valor de verdad de la proposición dada. Así, si la proposición p es verdadera, entonces
p es falsa y viceversa.
Conjunción La conjunción es la proposición compuesta que resulta de conectar dos
proposiciones p y q mediante la conjunción (^). Esta proposición se denota con p ^ q y se
lee “p y q”.
N Ejemplo 8: Conjunción Si p: “La silla es alta”y q: “El mantel es blanco”, entonces
la proposición “La silla es alta y el mantel es blanco”se expresa así: p ^ q.H
Es natural que el valor de verdad de una proposición compuesta dependa de los valores
de verdad de las proposiciones simples que la forman. La característica fundamental de la
conjunción es que su valor de verdad es verdadero sólo en el caso en que las proposiciones
simples que la forman tengan valor de verdad verdadero.
Disyunción inclusiva La disyunción inclusiva es la proposición compuesta que resulta
de conectar dos proposiciones p y q mediante la disyunción inclusiva (_). Esta proposición
se representa p _ q y se lee “p o q”.
N Ejemplo 9: Disyunción inclusiva Si p: “Está lloviendo” y q: “3 < 5”, entonces la
proposición “Está lloviendo o 3 < 5”se expresa p _ q.H
La característica fundamental de la disyunción inclusiva es que su valor de verdad es falso
sólo en el caso en que las dos proposiciones simples que la forman tengan valor de verdad
falso. En todos los otros casos la disyunción inclusiva tiene valor de verdad verdadero.
Disyuncion exclusiva La disyunción exclusiva es la proposición compuesta que resulta
de conectar dos proposiciones p y q mediante la disyuntiva exclusiva (Y). Esta proposición
se denota por p Y q y se lee “o p o q”.
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N Ejemplo 10: Disyunción exclusiva Si p: “El vaso es bonito” y q: “La leche está
adulterada”, entonces la proposición “O el vaso es bonito o la leche está adulterada”, se
expresa p Y q.H
La característica fundamental de la disyunción exclusiva es que su valor de verdad es verdadero sólo cuando las proposiciones que la componen tienen valores de verdad contrarios.
En los otros casos la disyunción exclusiva tiene valor de verdad falso.
Condicional El condicional es la proposición compuesta que resulta de conectar dos
proposiciones p y q mediante el símbolo (); o !). Esta proposición se denota por p ) q o
p ) q y se lee “si p entonces q”.
N Ejemplo 11: Condicional Si p: “2 + 3 = 5” y q: “La universidad es bonita”, la
proposición “si 2 + 3 = 5, entonces la universidad es bonita”, se expresa con p ! q.H
En la estructuras p ! q, la proposición que está antes de la ‡echa se llama el antecedente
y la que está después de la ‡echa se llama el consecuente.
La característica fundamental del condicional es que su valor de verdad es falso sólo cuando
el consecuente es falso y el antecedente es verdadero. En los demás casos la condicional es
verdadera.
Bicondicional El bicondicional es la proposición compuesta que resulta de conectar dos
proposiciones p y q mediante el símbolo (() o $). La proposición resultante se representa
con p , q o p $ q y se lee “p si y sólo si q”.
N Ejemplo 12: Bicondicional Si p: “El triángulo es equilátero”, y q: “El triángulo es
equiángulo”, entonces la proposición “El triángulo es equilátero si y sólo si es equiángulo”,
se expresa p $ q.H
La característica fundamental del bicondicional es que su valor de verdad es verdadero sólo
en los casos en que p y q tengan valores de verdad iguales (ambos V o ambos F). En los
demás casos el bicondicional es falso.
Las proposiciones compuestas pueden combinarse o conectarse con otras para formar proposiciones aún más complejas. Es claro que el valor de verdad de una proposición, por compleja
que sea, depende de los valores de verdad de las proposiciones que las componen en sus
formas más simples.
Conjuntos y elementos
La primera formulación de la teoría de conjuntos aparece con los trabajos de George Cantor
(1845-1918), quien desarrolló la parte principal de la teoría como un subproducto de sus
investigaciones sobre series trigonométricas. La teoría de conjuntos trajo claridad y precisión a la exposición de muchas teorías y áreas de la matemática, como la teoría de las
probabilidades, la topología, la teoría de los grupos, etcétera.
Supóngase que el proceso mental que une objetos según una característica particular brinda
un conocimiento intuitivo adecuado de lo que entendemos por conjunto. Los objetos reunidos
de esta manera se llaman elementos y decimos que éstos pertenecen al conjunto.
En general representamos los elementos con letras minúsculas a, b, c, . . . , x, y, z y los
conjuntos con letras mayúsculas A, B, . . . Cuando un elemento a pertenece al conjunto A
se denota por:
a 2 A (“a pertenece a A”)
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El símbolo 2 representa la relación fundamental de la teoría de conjuntos, la relación de
pertenencia. Ésta es la relación entre un elemento y un conjunto. Para expresar que el
elemento a no pertenece al conjunto A se representa con:
a2
= A (“a no pertenece a A”)
De…nición 6: Conjuntos y elementos Un conjunto es una colección bien de…nida de
objetos, llamados sus elementos. Los conjuntos se simbolizan con letras mayúsculas A, B, . . .
Los objetos que componen el conjunto se denominan elementos o miembros y se denotan
con letras minúsculas a, b, . . .
Si la característica particular que observamos en una colectividad es la de estar en el mismo
curso de matemática, entonces esa colectividad constituye un conjunto y cada uno de los
compañeros de clase de matemática es un elemento del conjunto.
Hay dos formas de escribir los conjuntos; la primera de ellas sigue el principio de extensión,
por el cual podemos determinar el conjunto enumerando todos sus elementos. La segunda
sigue el principio de comprensión o abstracción, por el cual es posible determinar un
conjunto identi…cando sus elementos mediante una propiedad común a ellos.
De…nición 7: Descripción de un conjunto por extensión y por comprensión Para
escribir un conjunto por extensión, se enumeran todos sus elementos separándolos con
comas y luego se encierran entre llaves f:::g. Para escribir un conjunto por comprensión
se elige un elemento arbitrario x y se señala que cumple la propiedad P(x). Finalmente, se
encierra toda la expresión entre llaves:
A = fx j x cumplen la propiedad P g
que se lee “A es el conjunto de todos los elementos x tales que los x cumplen la propiedad
P” ( j se lee “tal que”).
N Ejemplo 13: Conjuntos El conjunto de los primeros cinco números enteros positivos
puede escribirse por extensión
A = f1; 2; 3; 4; 5g
pero también se puede escribir por comprensión:
A = fx j x es uno de los primeros cinco enteros positivosg H
Escribimos un conjunto por extensión cuando tiene un número reducido de elementos, y
lo escribimos por comprensión cuando tiene un número grande de elementos.
N Ejemplo 14: Notación de conjuntos por extensión Escriba por extensión el conjunto
A = fx j x es una vocal del españolg
Solución:
A = fa; e; i; o; ug H
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N Ejemplo 15: Escriba por comprensión el conjunto
A = f2; 4; 6; 8; 10g
Solución:
A = fx j x es un número natural par menor que 12g H
De…nición 8: Conjuntos iguales Decimos que dos conjuntos A y B son iguales si tienen
los mismos elementos. Para indicar A y B son iguales se escribe:
A=B
N Ejemplo 16: Conjuntos iguales Los conjuntos
A = x j x2 = 4
y
B = fx j x es un número par distinto de cero entre
3 y 3g
son iguales, ya que tienen los mismos elementos: A = f 2; 2g ; b = f 2; 2g ; A = B:H
Por razones técnicas de las aplicaciones se hace necesario considerar el conjunto que carece
de elementos. Este conjunto se llama el conjunto vacío y se denota por fg o ?.
N Ejemplo 17: Conjunto vacío El conjunto
B = fx j x es un profesor con más de 300 añosg
carece evidentemente de elementos. Por tanto, B es un conjunto vacío, es decir
B = fg o B = ? H
De…nición 9: Subconjuntos Si cada elemento de un conjunto A es también elemento de
un conjunto B, entonces se dice que A es un subconjunto de B. Se dice también que A está
contenido en B o que B contiene a A. La relación de subconjunto viene dada por:
A
B:
Si A = B, entonces A B y B A son verdaderos.
Si A es un subconjunto de B, pero A y B no son iguales, entonces decimos que A es un
subconjunto propio de B.
Si A no es un subconjunto de B, es decir, si al menos un elemento de A no pertenece a B,
escribimos A * B.
N Ejemplo 18: Subconjuntos Considere los conjuntos A = f1; 3; 4; 5; 8; 9g ; B =
f1; 2; 3; 5; 7g y C = f1; 5g
Observe que todos los elementos del conjunto C están en el conjunto A; por tanto C A.
Asimismo, podemos observar que C
B. Sin embargo, no todos los elementos de B están
en A, por lo que podemos decir que B * A. Además, A * B, A * C y B * C.H
En los conjuntos dados en el ejemplo anterior, se advierte que C
embargo tenemos que:
B, pero B * C. Sin
B * A y A * B
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es decir, B no es un subconjunto de A ni A es subconjunto de B. En este caso decimos que
los conjuntos A y B son no comparables.
En muchos casos se usa A B para indicar simplemente que A es un subconjunto de B y
A B para denotar que A es un subconjunto propio de B.
Para conjuntos A y B cualesquiera se tiene:
a) ? A
b) A A
c) Si A B y B C, entonces A C:
d) A = B si y solo si A B y B A:
Si A y B no tienen elementos en común, entonces se dice que A y B son disjuntos.
Para conjuntos A y B no vacíos se tiene que:
a) A = B signi…ca que para todo x, x 2 A , x 2 B
b) A B signi…ca que para todo x, x 2 A ) x 2 B
Una representación grá…ca de los conjuntos y de las relaciones entre ellos se lleva a cabo
con los llamados diagramas de Venn (…guras 1, 2) En estos diagramas, normalmente, se
representa el conjunto de referencia con un rectángulo y los otros conjuntos mediante discos
incluidos en el rectángulo.
F ig:1 : A
B
F ig:2 : A y B disjuntos
Operaciones con conjuntos
Uno de los hechos más interesantes acerca de la teoría de conjuntos es que las operaciones
básicas de esta teoría se corresponden de forma muy estrecha con las estructuras lógicas que
obtenemos al utilizar conectivos.
Intersección de conjuntos La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto
formado por todos los elementos comunes a los dos conjuntos. La intersección de A y B se
denota por A \ B, y en lenguaje lógico el conjunto puede escribirse como:
A \ B = fx j x 2 A ^ x 2 Bg
La operación de intersección de conjuntos comparte muchas propiedades con el conectivo ^.
En los diagramas de Venn, la intersección de A y B se representa por la región sombreada
en la …gura.
Propiedades de la intersección de conjuntos
a) A \ B = B \ A propiedad conmutativa.
b) (A \ B) \ C = A \ (B \ C) = A \ B \ C; propiedad asociativa.
c) A \ ? = ?
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N Ejemplo 19: Intersección de conjuntos Dados los conjuntos A = f1; 2; 3; 4; 5g ; B =
f2; 3; 5; 7; 9; 11g determine el conjunto intersección de A y B.
Solución: Los elementos que están o pertenecen tanto a A como a B son 2, 3, 5 ; por tanto
A \ B = f2; 3; 5g
En la …gura se muestra la intersección de estos conjuntos.
Observe que la parte sombreada contiene precisamente los elementos que pertenecen a A y
B.H
Si A
B, entonces A \ B = A, como puede notarse en la …gura.
Muchas veces es necesario calcular la intersección de tres conjuntos A, B, C. Sin embargo,
es bueno que se destaque que la operación de intersección siempre se lleva a cabo entre
dos conjuntos; para realizar la intersección de tres conjuntos, es decir, para determinar el
conjunto formado por los elementos comunes de A, B y C, primero se busca la intersección
de A y B; el resultado buscado es la intersección de A \ B con C. Si D = A \ B, entonces,
A \ B \ C = (A \ B) \ C = D \ C
N Ejemplo 20: Intersección de conjuntos Dados los conjuntos A = fb; c; d; eg ; B =
fc; e; h; f; kg y C = fa; b; e; hg ; determine A \ B \ C:
Solución: Primero se busca A \ B:
D = A \ B = fc; eg
Luego se calcula A \ B \ C = D \ C = feg. Por tanto,
A \ B \ C = feg H
Grá…camente la solución es:
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Unión de conjuntos La unión de dos conjuntos A y B consta de todos los elementos que
pertenecen a A o a B. La unión de A y B se denota por A [ B. En lenguaje lógico podemos
escribir:
A [ B = fx j x 2 A _ x 2 Bg
La representación grá…ca de A [ B se expresa por una de las situaciones descritas en las
siguientes …guras, en las que la región sombreada en cada caso corresponde al conjunto
A [ B.
N Ejemplo 21: Unión de conjuntos Dados los conjuntos A = fa; b; c; d; eg ; B =
fb; c; f; g; kg determine el conjunto A [ B:
Solución Puesto que en A [B deben estar representados tanto los elementos de A como los
de B, tenemos que A [ B es la uni…cación de A con B, es decir, ponemos juntos los elementos
de A con los de B:
A [ B = fa; b; c; d; e; f; g; hg H
La situación grá…ca del ejemplo anterior es la siguiente:
Propiedades de la unión de dos conjuntos
a) A [ B = B [ A propiedad conmutativa.
b) (A [ B) [ C = A [ (B [ C) ; propiedad asociativa.
c) A [ ? = A
En muchas circunstancias necesitamos obtener la unión de más de dos conjuntos; pero la
unión es una operación entre dos conjuntos, de ahí que necesitemos recurrir a la propiedad
asociativa para poder obtener un conjunto A [ B [ C, cuando A, B y C son conjuntos dados.
Para calcular A [ B [ C, primero obtenemos A [ B y luego unimos este resultado con el
conjunto C. Si
D =A[B
entonces A [ B [ C = (A [ B) [ C = D [ C.
N Ejemplo 21: Unión de conjuntos Dados los conjuntos A = f0; 1; 2; 3; 5g ; B =
f1; 3; 5; 7g y C = f2; 6; 8g, determine A [ B [ C.
Solución Primero calculamos D = A [ B = f0; 1; 2; 3; 5; 7g y luego calculamos D [ C para
obtener A [ B [ C
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 9
A [ B [ C = (A [ B) [ C = D [ C = f0; 1; 2; 3; 5; 6; 7; 8g H
En la …gura se muestra la representación grá…ca correspondiente.
Bibliografía
Zill, Dennis G., Dewar Jacqueline M. "Algebra, trigonometría y geometría analítica"
3er edición. McGraw-Hill (2012)
Stewart, James, Redlin, Lothar, Watson, Saleem, "Precálculo Matemáticas para el
cálculo" 6ta edición. Cengage Learning (2012)
Angel, Allen R. "Algebra Intermedia" 7ma edición Pearson Education (2008)
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 10
TEMA 2
TEORIA
INGRESO FQByF
TEMA 2: CONCEPTOS FUNDAMENTALES
En este tema repasamos los números reales, las operaciones y sus propiedades. Es probable que el lector ya
se encuentre familiarizado con estos conceptos, pero es útil ver de nuevo cómo funcionan estas ideas para
resolver problemas y modelar (o describir) situaciones prácticas. A medida que el lector avance en este texto
y pase a cursos más avanzados en matemáticas, o a campos de actividad donde se utilizan matemáticas,
estará cada vez más consciente de la importancia y poder de las técnicas algebraicas .
2.1: LOS NÚMEROS REALES
Los números reales se usan en toda la matemática y el estudiante debe estar familiarizado con los símbolos
que los representan, por ejemplo
73⁄ ,
1,
√5,
−2 ,
0,
0,3333. . .,
𝜋
15
y otros. Los enteros positivos, o números naturales, son
ℕ = {1, 2, 3, 4; … }
Los enteros no negativos son los números naturales combinados con el número 0. Los enteros se escriben
como sigue
ℤ = {… , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … }
En todo este texto, las letras minúsculas a, b, c, x, y,… representan números reales arbitrarios (también
llamados variables). Si a y b denotan el mismo número real, escribimos 𝑎 = 𝑏, que se lee “a es igual a b” y
se denomina igualdad. La notación 𝑎 ≠ 𝑏 se lee “a no es igual a b”.
Si a, b y c son enteros y 𝑐 = 𝑎𝑏, entonces a y b son factores, o divisores, de c. Por ejemplo, como
6 = 2 ∙ 3 = (−2)(−3) = 1 ∙ 6 = (−1)(−6)
Sabemos que 1, −1 , 2, −2 , 3, −3 , 6, −6, son factores de 6.
Un entero positivo p diferente de 1 es primo si sus únicos factores positivos son 1 y p. Los primeros números
primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 y 19. El teorema fundamental de la aritmética expresa que todo entero
positivo diferente de 1 se puede expresar como el producto de números primos en una forma y sólo una
(excepto por el orden de los factores). Algunos ejemplos son
126 = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 7,
540 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5
Un número racional es un número real que se puede expresar en la forma 𝑎⁄𝑏, donde a y b son enteros y
𝑏 ≠ 0. Note que todo entero a es un número racional, dado que se puede expresar en la forma 𝑎⁄1 . Todo
número racional se puede expresar como decimal, y las representaciones decimales para números racionales
son finitas o no finitas y periódicas. Por ejemplo,
5
= 1,24
4
Decimal finito
177
= 3,218181818 …
55
Decimal periódico
̅̅̅̅).
donde los dígitos 1 y 8 en la representación se repiten indefinidamente (a veces se escribe como 3,218
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12 = 2 ∙ 2 ∙ 3,
TEMA 2
TEORIA
INGRESO FQByF
Los números reales que no son racionales son números irracionales. Las representaciones decimales para
números irracionales son siempre no finitas y no periódicas. Un número irracional común, denotado por 𝜋. A
veces usamos la notación 𝜋 = 3,1416 para indicar que 𝜋 es aproximadamente igual a 3,1416.
El sistema de números reales está formado por todos los números racionales e irracionales. Las relaciones
entre los tipos de números empleados en álgebra están ilustradas en el diagrama de la siguiente figura.
Los números reales son cerrados con respecto a la operación de adición (denotada por +); esto es, a todo
par a, b de números reales le corresponde exactamente un número real 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 llamado suma de a y b.
Los números reales son también cerrados con respecto a la multiplicación (denotada por × ); esto es, a todo
par a, b de números reales le corresponde exactamente un número real 𝑑 = 𝑎 × 𝑏 (también denotado por
𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎𝑏) llamado producto de a y b.
Terminología
Caso general
Significado
(1) La adición es conmutativa.
𝑎+𝑏 =𝑏+𝑎
El orden es indiferente cuando se suman
dos números.
(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐)
La agrupación es indiferente cuando se
suman tres números.
(3) 0 es la identidad aditiva o
neutro.
𝑎+0 =𝑎
La suma de 0 con cualquier número da
el mismo número.
(4) – 𝑎 es el inverso aditivo, u
opuesto, de a.
𝑎 + (−𝑎) = 0
La suma de un número y su opuesto da
0.
(2) La adición es asociativa.
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 12
Módulo de Matemática
Importantes propiedades de la adición y multiplicación de números reales aparecen en la tabla siguiente.
TEMA 2
TEORIA
INGRESO FQByF
(5) La multiplicación es
conmutativa.
𝑎𝑏 = 𝑏𝑎
(6) La multiplicación es
asociativa.
𝑎(𝑏𝑐) = (𝑎𝑏)𝑐
La agrupación es indiferente cuando se
multiplican tres números.
(7) 1 es la identidad
multiplicativa o neutro.
𝑎∙1=𝑎
La multiplicación de cualquier número
por 1 da el mismo número.
1
𝑎( ) = 1
𝑎
La multiplicación de un número distinto
de cero por su recíproco da 1.
(8) Si 𝑎 ≠ 0,
1
𝑎
es el inverso
multiplicativo, o recíproco, de
a.
(9) La multiplicación es
distributiva sobre la adición
𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐
(𝑎 + 𝑏)𝑐 = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐
El orden es indiferente cuando se
multiplican dos números.
La multiplicación de un número a por la
suma de dos números (b +c), es igual a
multiplicar en primera instancia el número
a por b y en segunda instancia el número
a por c y posteriormente sumar ambos
productos.
Como a + (b + c) y (a + b) + c son siempre iguales, podemos usar a + b + c para denotar este número real.
Usamos abc por a(bc) o (ab)c. Del mismo modo, si cuatro o más números reales a, b, c, d se suman o
multiplican, podemos escribir a + b + c + d para su suma y abcd para su producto, cualquiera que sea la forma
en que los números se agrupen o intercambien.
Ejemplo 1:
Propiedad
Caso general
Ejemplo
7+5 =5+7
(1) La adición es conmutativa.
1
1
+6 =6+
5
5
𝑎+𝑏 =𝑏+𝑎
3
3
√4 + 1 = 1 + √4
(2) La adición es asociativa.
(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐)
1
1
5,3 + ( + 6) = (5,3 + ) + 6
5
5
3
3
(1 + √4) + 𝜋 = 1 + (√4 + 𝜋)
7+0=7
(3) 0 es la identidad aditiva o
neutro.
1
1
+0=
5
5
𝑎+0 =𝑎
3
3
√4 + 0 = √4
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 13
Módulo de Matemática
3 + (7 + 5) = (3 + 5) + 7
TEMA 2
TEORIA
INGRESO FQByF
7 + (−7) = 0
(4) – 𝑎 es el inverso aditivo, u
opuesto, de a.
1
1
+ (− ) = 0
5
5
𝑎 + (−𝑎) = 0
3
3
√4 + (−√4) = 0
7∙5 =5∙7
(5) La multiplicación es
conmutativa.
1
1
∙6=6∙
5
5
𝑎𝑏 = 𝑏𝑎
3
3
√4 ∙ 1 = 1 ∙ √4
3 ∙ (7 ∙ 5) = (3 ∙ 7) ∙ 5
(6) La multiplicación es
asociativa.
𝑎(𝑏𝑐) = (𝑎𝑏)𝑐
1
1
5,3 ∙ ( ∙ 6) = (5,3 ∙ ) ∙ 6
5
5
3
3
(√4 ∙ 1) ∙ 𝜋 = √4 ∙ (1 ∙ 𝜋)
7∙1 = 7
(7) 1 es la identidad
multiplicativa o neutro.
1
1
∙1 =
5
5
𝑎∙1=𝑎
3
3
√4 ∙ 1 = √4
7∙
(8) Si 𝑎 ≠ 0,
1
𝑎
es el inverso
multiplicativo, o recíproco, de
a.
1
=1
7
6 1
∙ =1
5 6
5
1
𝑎( ) = 1
𝑎
1
√4 ∙ 3 = 1
√4
3
3 ∙ (5 + 7) = 3 ∙ 5 + 3 ∙ 7
(9) La multiplicación es
distributiva sobre la adición
𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐
(𝑎 + 𝑏)𝑐 = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐
1
1
5,3 ∙ ( + 6) = 5,3 ∙ + 5,3 ∙ 6
5
5
3
3
Ejemplo 2: Uso de la propiedad distributiva: Observemos
2(3 + 5) = 2 ∙ 8 = 16
y
así que
2 ∙ 3 + 2 ∙ 5 = 6 + 10 = 16
2(3 + 5) = 2 ∙ 3 + 2 ∙ 5
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 14
Módulo de Matemática
(√4 + 1) ∙ 𝜋 = √4 ∙ 𝜋 + 1 ∙ 𝜋
TEMA 2
TEORIA
INGRESO FQByF
Área de la parte izquierda 2 ∙ 3 = 6, área de la parte derecha 2 ∙ 5 = 10.
Área del rectángulo total es 2(3 + 5) = 16∎
Ejemplo 3: Nombra la propiedad que se ilustra
a) 7 ∙ 𝑤 = 𝑤 ∙ 7
b) (𝑏 + 5) + 3𝑐 = 𝑏 + (5 + 3𝑐)
c) 8𝑛 + 9𝑝 = 9𝑝 + 8𝑛
d) 3𝑥(7 + 𝑡) = 3𝑥 ∙ 7 + 3𝑥 ∙ 𝑡
e) 9 ∙ 1 = 9
f) 𝑦 + 0 = 𝑦
g) 51 + (−51) = 0
h) 1(𝑎𝑥) = 𝑎𝑥
Solución:
a) Propiedad conmutativa de la multiplicación; cambio de orden.
b) Propiedad asociativa de la suma; cambio en la agrupación.
c) Propiedad conmutativa de la suma; cambio de orden.
d) Propiedad distributiva; 3x es distribuido.
e) Propiedad de la identidad de la multiplicación.
f) Propiedad de la identidad aditiva.
g) Propiedad del inverso aditivo u opuesto.
h) Propiedad de la identidad de la multiplicación.
∎
Ejemplo 4: Escribe el inverso aditivo u opuesto y el inverso multiplicativo o recíproco de cada ítem:
a) −7
4
5
b)
Solución
a) El inverso aditivo es 7. El inverso multiplicativo es
4
5
1
−7
b) El inverso aditivo es − . El inverso multiplicativo es
=−
1
4
5
1
7
5
=4
∎
Si 𝑎 = 𝑏 y c es cualquier número real, entonces
Propiedades de la igualdad
(𝟏 ) 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐
(𝟐) 𝑎𝑐 = 𝑏𝑐
Las propiedades 1 y 2 expresan que el mismo número puede sumarse a ambos lados de una igualdad, y ambos
lados de una igualdad pueden multiplicarse por el mismo número. Haremos amplio uso de estas propiedades
en todo el texto para ayudar a hallar soluciones de ecuaciones
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 15
Módulo de Matemática
Las siguientes son propiedades básicas de la igualdad.
TEMA 2
TEORIA
INGRESO FQByF
(1) 𝑎 ∙ 0 = 0 para todo número real a.
(2) 𝑎𝑏 = 0 si y solo si 𝑎 = 0 𝑜 𝑏 = 0.
Productos que involucran el cero
Cuando usamos la palabra o como hicimos en (2), queremos decir que al menos uno de los factores a o b es 0.
Nos referiremos a (2) como el teorema del factor cero en un trabajo futuro.
Ejemplo 5:
a) −7 ∙ 0 = 0
b) 0 ∙ (7⁄11) = 0
c) 0 ∙ (4,15) = 0
d)
e) 9(5)(−2,47)(0)(−4) = 0
𝜋∙0=0
Pues al menos uno de los factores es 0
∎
Algunas propiedades de los negativos aparecen en la tabla siguiente.
Ejemplo
Propiedad
(1) −(−𝑎) = 𝑎
−(−7) = 7
(2) (−𝑎)𝑏 = −(𝑎𝑏) = 𝑎(−𝑏)
(−5)7 = −(5 ∙ 7) = 5(−7)
(3) (−𝑎)(−𝑏) = 𝑎𝑏
(−5)(−7) = 5 ∙ 7
(4) (−1)𝑎 = −𝑎
(−1)7 = −7
El recíproco 1⁄𝑎 de un número real a diferente de cero se suele denotar como 𝑎−1 , como en la tabla siguiente
Ejemplo
Definición
1
7
−1
5
1
7
( ) =
=
5
7
⁄7 5
25 −1 100
(0,25)−1 = (
) =
=4
100
25
Si 𝑎 ≠ 0, entonces 𝑎−1 =
1
𝑎
Note que si 𝑎 ≠ 0, entonces
1
𝑎 ∙ 𝑎−1 = 𝑎 ( ) = 1
𝑎
(𝑎−1 )−1 = 𝑎
Las operaciones de sustracción (−) y división (÷) se definen de la siguiente manera:
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 16
Módulo de Matemática
7−1 =
TEMA 2
TEORIA
Significado
Definición
𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏)
1
𝑎 ÷ 𝑏 = 𝑎 ∙ ( ) = 𝑎 ∙ 𝑏 −1 , 𝑏 ≠ 0
𝑏
Usamos 𝑎/𝑏 o
𝑎
INGRESO FQByF
Ejemplo
Para restar un número de otro,
sume el opuesto
Para dividir un número entre otro
distinto de cero, multiplique por
el recíproco
5 − 7 = 5 + (−7)
1
5 ÷ 7 = 5 ∙ ( ) = 5 ∙ 7−1
7
por 𝑎 ÷ 𝑏 y nos referimos a 𝑎/𝑏 como el cociente de a y b o la fracción a sobre b. En el
𝑏
cociente 𝑎/𝑏, de números reales, a se llama el dividendo y b se llama el divisor. Como 0 no tiene inverso
multiplicativo 𝑎/𝑏 no está definido si 𝑏 = 0; es decir, la división entre cero no está definida.
¡¡¡¡¡¡Atención!!!!!!
𝑎÷0=
𝑎
0
𝑁𝑂 𝐸𝑆𝑇Á 𝐷𝐸𝐹𝐼𝑁𝐼𝐷𝐴, 𝑎 ≠ 0
0÷0=
0
0
𝑁𝑂 𝐸𝑆𝑇Á 𝐷𝐸𝐹𝐼𝑁𝐼𝐷𝐴
Note que
1
= 𝑏 −1 𝑠𝑖 𝑏 ≠ 0
𝑏
La sustracción y la división no son asociativas, porque agrupados de forma diferente, dan resultados
diferentes, por ejemplo
1÷𝑏 =
(8 − 4) − 2 = 4 − 2 = 2
pero
8 − (4 − 2) = 8 − 2 = 6
(8 ÷ 4) ÷ 2 = 2 ÷ 2 = 1
pero
8 ÷ (4 ÷ 2) = 8 ÷ 2 = 4
La sustracción y la división no son conmutativas, porque al hacer estas operaciones en orden
diferente, dan resultados diferentes, por ejemplo
pero
8÷4 =2
pero
4 − 8 = −4
4÷8 =
1
2
Las siguientes propiedades de las divisiones son verdaderas, siempre que todos los divisores sean números
reales distintos de cero:
Ejemplo
Propiedad
(1)
(2)
(3)
𝑎
𝑏
𝑎𝑑
𝑏𝑑
−𝑎
𝑏
𝑐
=𝑑
si 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐
𝑎
=𝑏
𝑎
𝑎
= −𝑏 = − 𝑏
5
15
= 21
7
porque 5 ∙ 21 = 7 ∙ 15
15 5 ∙ 3 5
=
=
21 7 ∙ 3 7
−5
5
5
=
=−
7
−7
7
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 17
Módulo de Matemática
8−4 =4
TEMA 2
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
TEORIA
𝑎
𝑐
𝑎+𝑐
𝑎
𝑐
𝑏
𝑎𝑑+𝑏𝑐
+𝑏=
𝑏
𝑏
𝑎
+𝑑 =
𝑐
∙ =
𝑏
5 4 5+4 9
+ =
=
7 7
7
7
5 4 5 ∙ 7 + 4 ∙ 3 47
+ =
=
3 7
3∙7
21
5 4 5 ∙ 4 20
∙ =
=
3 7 3 ∙ 7 21
5 4 5 7 35
÷ = ∙ =
3 7 3 4 12
𝑏𝑑
𝑎𝑐
𝑏 𝑑
𝑏𝑑
𝑎
𝑐
𝑎 𝑑
÷ = ∙ =
𝑑
𝑏
𝑐
INGRESO FQByF
𝑎𝑑
𝑏𝑐
0
0 ÷ 17 = 0⁄17 = 0
0÷𝑏 =𝑏 =0
Cualquier número distinto de cero dividido por sí
mismo es 1
Cualquier número dividido por 1 es el mismo
número
𝑎
=1
𝑎≠0
𝑎
𝑎
=𝑎
1
El número a que está asociado con un punto A en l es la coordenada de A. Nos referimos a estas coordenadas
como un sistema de coordenadas y a l la llamamos recta coordenada o recta real. Se puede asignar una
dirección a l al tomar la dirección positiva a la derecha y la dirección negativa a la izquierda. La dirección
positiva se denota al colocar una punta de flecha en l, como se ve en la figura anterior. Los números que
corresponden a puntos a la derecha de O en la figura son números reales positivos. Los números que
corresponden a puntos a la izquierda de O son números reales negativos. El número real 0 no es ni positivo
ni negativo. Note la diferencia entre un número real negativo y el negativo de un número real. En particular,
el negativo de un número real a puede ser positivo. Por ejemplo, si a es negativo, digamos 𝑎 = −4 , entonces
el negativo de a es −𝑎 = −(−3) = 3, que es positivo. En general, tenemos las siguientes relaciones.
Relaciones entre
𝒂 y −𝒂
(1) Si a es positiva, entonces −𝑎 es negativa
(2) Si a es negativa, entonces −𝑎 es positiva
En la tabla siguiente definimos las nociones de mayor que y menor que para números reales a y b. Los
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 18
Módulo de Matemática
Los números reales pueden estar representados por puntos en una recta l de manera que a cada número real a
le corresponde exactamente un punto en l y a cada punto P en l le corresponde un número real. Esto se llama
correspondencia uno a uno (o biunívoca). Esto es lo que se ve en la figura siguiente donde el número a está
asociado con un punto A y el número b está asociado con el punto B.
Para graficar la recta numérica, primero escogemos un punto arbitrario O, llamado el origen y lo asociamos
con el número 0. Los puntos asociados con los enteros se determinan entonces al trazar sucesivos segmentos
de recta de igual longitud a ambos lados de O, es decir si nos paramos en 0 y tomamos una distancia para
escribir/dibujar/anotar el número 1 hacia la derecha, entonces tomaremos una distancia igual para
escribir/dibujar/anotar el -1 hacia la izquierda, como se ve en la figura siguiente. El punto correspondiente a
un número racional, por ejemplo 23/5, se obtiene al subdividir estos segmentos de recta.
TEMA 2
TEORIA
INGRESO FQByF
símbolos > y < son signos de desigualdad, y las expresiones 𝑎 > 𝑏 y 𝑎 < 𝑏 se llaman desigualdades
(estrictas).
Notación
Definición
Terminología
𝑎>𝑏
𝑎 − 𝑏 es positivo
a es mayor que b
𝑎<𝑏
𝑎 − 𝑏 es negativo
a es menor que b
Si los puntos A y B en una recta coordenada tienen coordenadas a y b, respectivamente, entonces 𝑎 > 𝑏 es
equivalente al enunciado “A está a la derecha de B”, mientras que 𝑎 < 𝑏 es equivalente a “A está a la izquierda
de B”.
Ejemplo 6: Mayor que (>) y menor que (<)


5 > 3, 5 es mayor que 3, porque 5 − 3 = 2 es positivo.
−6 < −2, −6 es menor que −2, porque −6 − (−2) = −6 + 2 = −4, es negativo.

1


7 > 0, porque 7 − 0 = 7 es positivo.
−7 < 0, porque −7 − 0 = −7 es negativo.
3
1
1
33
3
3
100
> 0,33, porque − 0,33 = −
=
1
300
es positivo.
∎
La siguiente ley hace posible comparar, u ordenar, dos números reales cualesquiera:
Ley de tricotomía
Si a y b son números reales, entonces exactamente una de las
siguientes expresiones es verdadera
𝑎 < 𝑏,
𝑎=𝑏
𝑜 𝑎>𝑏
Ley de los signos
(1) Si a y b tienen el mismo signo, entonces 𝑎𝑏 y 𝑎⁄𝑏 son positivos
(2) Si a y b tienen signos contrarios, entonces 𝑎𝑏 y 𝑎⁄𝑏 son negativos
Ejemplo 7: Multiplique: (a) −4 (−9)
(b) 84 (−4)
Solución
(a) El producto de dos números con el mismo signo es positivo
(b) El producto de dos números con signos contrarios es negativo
−4 (−9) = 36
84 (−4) = −336 ∎
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 19
Módulo de Matemática
Nos referimos al signo de un número real como positivo si el número es positivo, o negativo si el número es
negativo. Dos números reales tienen el mismo signo si ambos son positivos o ambos son negativos. Los
números tienen signos contrarios si uno es positivo y el otro es negativo. Se pueden probar los siguientes
resultados acerca de los signos de productos y cocientes de dos números reales a y b, usando propiedades de
negativos y cocientes.
TEMA 2
TEORIA
INGRESO FQByF
Los recíprocos 1 de las leyes de signos también son verdaderos. Por ejemplo, si un cociente es negativo,
entonces el numerador y el denominador tienen signos contrarios.
Existen dos tipos de desigualdades, las desigualdades estrictas ( 𝑎 > 𝑏 o 𝑎 < 𝑏) y las desigualdades no
estrictas (𝑎 ≥ 𝑏 o 𝑎 ≤ 𝑏) note que se incluye el signo de igualdad en esta última.
La notación 𝑎 ≥ 𝑏 se lee “a es mayor o igual a b”, significa que 𝑎 > 𝑏 o que 𝑎 = 𝑏 (pero no ambos). El
símbolo 𝑎 ≤ 𝑏, que se lee “a es menor o igual a b”, significa que 𝑎 < 𝑏 o que 𝑎 = 𝑏. Expresiones de la
forma 𝑎 ≥ 𝑏 y 𝑎 ≤ 𝑏 se denominan desigualdades no estrictas, porque a puede ser igual a b.
Al igual que con el símbolo de igualdad, podemos negar cualquier símbolo de desigualdad al poner una raya
diagonal sobre ella, es decir, ≯ significa no mayor que.
Una expresión de la forma 𝑎 < 𝑏 < 𝑐 se denomina desigualdad continua y significa que
𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐;
decimos “b está entre a y c”.
Ejemplo 8: Orden de tres números reales
−7 < 1⁄2 < √7
1 < 4 < 23⁄3
−5 < −√2 < 0∎
Hay otros tipos de desigualdades, por ejemplo
𝑎<𝑏≤𝑐
Significa 𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 ≤ 𝑐
𝑎≤𝑏<𝑐
Significa 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐
𝑎≤𝑏≤𝑐
Significa 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 ≤ 𝑐
Ejemplo 9: Determinación del signo de un número real
Si 𝑥 > 0 y 𝑦 < 0, determine el signo de
𝑥
𝑦
+ 𝑥.
𝑦
Solución: Como x es un número positivo y y es un número negativo, x y y tienen signos contrarios. Entonces
x/y y y/x son negativos. La suma de dos números negativos es un número negativo, de modo que el signo de
𝑥 𝑦
+
𝑦 𝑥
es negativo. ∎
La recta numérica se puede usar para medir la distancia de un número a otro. Por ejemplo, sobre la recta
numérica siguiente, podemos ver que la distancia del 0 al −4 es 4 unidades y la distancia del 0 al 3 es 3
unidades.
Si un teorema se escribe en la forma “si P, entonces Q,” donde P y Q son enunciados matemáticos llamados la
hipótesis y conclusión, respectivamente, entonces el recíproco del teorema tiene la forma “si Q, entonces P.” Si el
teorema y su recíproco son verdaderos, con frecuencia escribimos “P si y sólo si Q” (que se denota P ⟺ Q).
1
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 20
Módulo de Matemática
2.2 VALOR ABSOLUTO
TEMA 2
TEORIA
INGRESO FQByF
Para expresar la distancia a la que un número se encuentra del 0 sobre la recta numérica, podemos usar el valor
absoluto.
Para indicar el valor absoluto de un número, escribimos el número entre dos barras verticales, | |.
Si a es un entero, entonces es la coordenada de algún punto A en una recta coordenada, y el símbolo denota el
número de unidades entre A y el origen, cualquiera que sea la
dirección. El número no negativo |𝑎| se llama valor absoluto de
a. En la figura, vemos que para el punto con coordenada −4
tenemos |−4| = 4. Análogamente, |−4| = 4. En general, si a es
negativo, cambiamos su signo para hallar |𝑎|; si a es no negativo, entonces |𝑎| = 𝑎. La siguiente definición
extiende este concepto a todo número real.
Definición de valor absoluto
El valor absoluto de un número real a, denotado por |𝑎|, se define
como:
(1) Si 𝑎 ≥ 0, entonces |𝑎| = 𝑎.
(2) Si 𝑎 < 0, entonces |𝑎| = −𝑎.
Como a es negativo en la parte (2) de la definición, −𝑎 representa un número real positivo. Algunos casos
especiales de esta definición se dan en el siguiente ejemplo:
Ejemplo 10: Valor Absoluto
a)
b)
c)
d)
e)
|7| = 7, porque 7 > 0.
|−7| = 7, porque −7 < 0.
|0| = 0, porque 0 = 0.
|4 − 7| = −(4 − 7), porque 4 − 7 < 0, entonces |4 − 7| = 3.
|7 − 4| = 7 − 4, porque 7 − 4 > 0, entonces |7 − 4| = 3.
7
5
7
5
f) |− | = , ya que la distancia de −
7
5
7
5
al 0 es .
g) |37,5| = 37,5, ya que la distancia de 37,5 al 0 es 37,5. ∎
En el ejemplo precedente |7| = |−7|, |4 − 7| = |7 − 4|. En general tenemos lo siguiente
|𝑎| = |−𝑎|,
para todo número real a
Cuando trabajamos con valores absolutos, utilizamos las siguientes propiedades:
Descripción
Ejemplo
(1) |𝑎| ≥ 0
El valor absoluto de un número
siempre es positivo o cero, ya
que expresa una distancia
(2) |𝑎| = |−𝑎|
Un número y su opuesto tienen el
mismo valor absoluto
|−17| = |17|
(3) |𝑎𝑏| = |𝑎| |𝑏|
El valor absoluto de un producto
es el producto de los valores
absolutos
|−3 ∙ 17| = |−3| |17|
|−17| = 17 ≥ 0
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 21
Módulo de Matemática
Propiedad
TEMA 2
(4)
TEORIA
𝑎
|𝑎 |
𝑏
𝑏|
| |=|
INGRESO FQByF
El valor absoluto de un cociente
es el cociente de los valores
absolutos
|
|3|
3
|=
|−17|
−17
2.3 EXPRESIONES EXPONENCIALES
En la expresión 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3, el número 3 se repite como un factor cinco veces. Podemos usar la notación
exponencial para escribir este producto en una forma más compacta.
Un exponente (mayor que uno) se usa para indicar multiplicaciones
repetidas. Dice cuántas veces la base es usada como factor.
Exponente y Base
El exponente, o potencia, es 5
3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 35
El 3 se repite como factor 5 veces
La base es 3
Ejemplo 11: Reescribir cada producto en forma exponencial
b) (−7) ∙ (−7)
a) 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6
Solución:
a) 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 = 64
b) (−7) ∙ (−7) = (−7)2
∎
También podemos evaluar expresiones exponenciales
Ejemplo 12: Evaluar
4 3
5
c) −24
b) (− )
Solución:
a)
32 = 3 ∙ 3 = 9
4 3
5
4
5
4
5
4
5
b)
(− ) = (− ) (− ) (− ) = −
c)
−24 = −1 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = −16
64
.
125
El signo negativo se incluye en el paréntesis.
4
− 5 aparece como factor 3 veces
El signo negativo no está incluido en el paréntesis. La base
es 2, así que el exponente 4 se aplica solo al 2
∎
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 22
Módulo de Matemática
a) 32
TEMA 2
TEORIA
INGRESO FQByF
Expresiones como 𝑠2 y 𝑠3 usualmente se leen como “s al cuadrado” y “s al cubo”, respectivamente. Esto
deriva del hecho que un cuadrado con lados de longitud s tiene área A dada por 𝐴 = 𝑠 2 y un cubo con lados
de longitud s tiene un volumen V dado por 𝑉 = 𝑠3 .
Para determinar lo que significa el exponente 1, busquemos un patrón en lo siguiente:
7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 = 74
7 ∙ 7 ∙ 7 = 73
7 ∙ 7 = 72
Dividimos por 7 cada vez
7 = 7?
El exponente decrece por 1 en cada paso, para continuar con el patrón, deberíamos tener
7 = 71
Entonces no es necesario escribir el exponente 1. Siempre que se encuentre un valor numérico o una variable
sin exponente, se asume, que tiene un exponente igual a 1. Es decir, 3 significa 31 , 𝑥 significa 𝑥 1 , 𝑥 2 𝑦
significa 𝑥 2 𝑦 1.
Se acepta generalmente que hay algunas habilidades en la aritmética que cada uno debe tener para poder
adquirir otras habilidades de las matemáticas. Saber los hechos básicos de la multiplicación, por ejemplo, es
esencial para aprender cómo sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones así como cómo realizar muchas
otras operaciones en aritmética y álgebra. Del mismo modo, la memorización de potencias de ciertas bases es
necesaria para aprender a aplicar las reglas de los exponentes y para trabajar con los radicales. Por lo tanto,
las potencias enumeradas aquí deben ser memorizadas para tener éxito en los temas antes mencionados, así
como en otros temas. A lo largo de este libro, se supone que los estudiantes conocen estas potencias:
=2
2
2 =4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
31
=3
2
3 =9
33 = 27
34 = 81
41
=4
2
4 = 16
43 = 64
51 = 5
52 = 25
53 = 125
61 = 6
62 = 36
81 = 8
82 = 64
101 = 10
102 = 100
103 = 1000
71 = 7
72 = 49
91 = 9
92 = 81
111 = 11
112 = 121
121 = 12
122 = 144
Con frecuencia los estudiantes evalúan de manera incorrecta expresiones, confunden la expresión −72 , con
la expresión (−7)2 .
−72 = −1 ∙ 7 ∙ 7 = −49
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 23
Módulo de Matemática
Potencias para memorizar
21
TEMA 2
TEORIA
INGRESO FQByF
un número negativo. En cambio
(−7)2 = (−7) ∙ (−7) = 49
es un número positivo.
Ejemplo 13: Resuelve: −52 + (−5)2 − 43 + (−4)3 .
Solución: Primero, resolvemos cada expresión exponencial. Después sumamos o restamos, trabajando de
izquierda a derecha
−52 + (−5)2 − 43 + (−4)3
= −(52 ) + (−5)2 − (43 ) + (−4)3
= −25 + 25 − 64 + (−64)
= −25 + 25 − 64 − 64
= −128
∎
Si observamos los ejemplos anteriores podemos llegar a la siguiente generalización.
Signo de una expresión exponencial
El producto de un número impar de factores es negativo
El producto de un número par de factores es positivo
2.4 ORDEN DE LAS OPERACIONES
¿Cómo debe calcularse 4 + 2 × 5? Si multiplicamos 2 por 5 y entonces sumamos 4, el resultado es 14. Si
sumamos 2 y 4 primero y entonces multiplicamos por 5, el resultado es 30. Ya que estos resultados son
distintos, el orden en el cual se realizan las operaciones es importante. Si se usan símbolos de agrupamiento
tales como paréntesis ( ), corchetes [ ], llaves { }, barras de valor absoluto | |, o líneas de fracción, se
deben resolver primero. Por ejemplo
(4 + 2) × 5
indica 6 × 5,
el resultado es 30
4 + (2 × 5)
indica 4 + 10,
el resultado es 14
y
Regla para el orden de las operaciones
1. Calcular dentro de los símbolos de agrupación más internos, ( ), [ ], { }, | |, y sobre y bajo
las líneas de fracción
2. Simplifique todas las expresiones exponenciales.
3. Realice todas las multiplicaciones y divisiones, trabajando de izquierda a derecha.
4. Realice todas las adiciones y sustracciones, trabajando de izquierda a derecha.
Ejemplo 14: Simplifique: 15 − 2 ∙ 5 + 3
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 24
Módulo de Matemática
Además de los símbolos de agrupamiento, existen convenciones para determinar el orden en que se realizan
las operaciones.
La forma correcta de evaluar 4 + 2 × 5 es primero multiplicar 2 por 5 y entonces sumar 4. El resultado es 14.
TEMA 2
TEORIA
INGRESO FQByF
Solución: Cuando no aparecen símbolos de agrupamiento o exponentes, siempre multiplicamos o dividimos
antes de sumar o restar:
multiplicamos
15 − 2 ∙ 5 + 3 = 15 − 10 + 3
Restamos y sumamos
=5+3
de izquierda a derecha ∎
=8
Calcule siempre paréntesis primero. Cuando hay exponentes y no hay paréntesis, simplifique las potencias
antes de multiplicar o dividir.
(a) (3 ∙ 4)2 ;
Ejemplo 15: Simplifique:
Solución:
a) (3 ∙ 4)2
b)
3 ∙ 42
(b) 3 ∙ 42
= (12)2
= 144
Primero calculamos dentro del paréntesis
= 3 ∙ 16
= 48
Simplificamos la potencia
multiplicamos
Note que (3 ∙ 4)2 ≠ 3 ∙ 42 .
¡¡¡¡¡¡Atención!!!!!!!
∎
Este ejemplo muestra que, en general
(𝑎𝑏)2 ≠ 𝑎𝑏 2
Ejemplo 16: Simplificar:
a) 3 ∙ 23 − 4
b) −30 − 4 ∙ 5 + 9
d) 160 − 4 + 6(−2)(−3)
c) 24 ÷ 6 ∙ 2
= 24 − 4
Hacemos la multiplicación 3 ∙ 8 = 24
= 20
Hacemos la sustracción.
b) La expresión involucra sustracción, multiplicación y adición. El orden de las operaciones nos dice que
debemos multiplicar primero.
−30 − 4 ∙ 5 + 9
= −30 − 20 + 9
Realizamos la multiplicación: 4 ∙ 5 = 20
= −50 + 9
Trabajamos de izquierda a derecha, sustraemos: −30 − 20 = −50
= −41
Realizamos la adición
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 25
Módulo de Matemática
Solución: Vamos a analizar la expresión para determinar que operaciones es necesario realizar. Luego
realizaremos esas operaciones, una por una, siguiendo las reglas del orden de las operaciones (si no seguimos
el orden correcto para realizar las operaciones podemos obtener más de un valor).
a) Necesitamos realizar tres operaciones para resolver esta expresión: multiplicación, elevar a una
potencia, y sustracción. Por el orden de las operaciones, primero evaluamos 23 .
Evaluamos la expresión exponencial 23 = 8
3 ∙ 23 − 4 = 3 ∙ 8 − 4
TEMA 2
TEORIA
INGRESO FQByF
c) Como no existen cálculos entre paréntesis ni exponentes, realizamos las multiplicaciones y divisiones,
en el orden que aparecen de izquierda a derecha. La división aparece antes que la multiplicación, así
que debemos realizarla primero.
24 ÷ 6 ∙ 2 = 4 ∙ 2
=8
Trabajando de izquierda a derecha, primero hacemos la división: 24 ÷ 6 = 4
Hacemos la multiplicación
d) Aunque esta expresión contiene paréntesis, no hay operaciones en su interior. Ya que no hay
exponentes, realizamos las multiplicaciones a medida que aparecen de izquierda a derecha.
160 − 4 + 6(−2)(−3) = 160 − 4 + (−12)(−3)
= 160 − 4 + 36
Multiplicamos, de izquierda a derecha 6(−2) = −12
Completamos la multiplicación (−12)(−3) = 36
Trabajamos de izquierda a derecha, hacemos la
= 156 + 36
sustracción antes que la adición
Realizamos la adición
= 192
∎
Cuando se usan varios símbolos de agrupamiento, comenzamos por es símbolo más interno y trabajamos hacia
afuera.
Ejemplo 17: Simplificar:
8 ÷ 4 + 3[9 + 2(3 − 5)3 ].
Solución:
8 ÷ 4 + 3[9 + 2(3 − 5)3 ] = 8 ÷ 4 + 3[9 + 2(−2)3 ]
= 8 ÷ 4 + 3[9 + 2(−8)]
Calculamos el paréntesis primero
(−2)3 = (−2)(−2)(−2) = (−8)
= 8 ÷ 4 + 3[9 + (−16)]
= 8 ÷ 4 + 3[−7]
Completamos los cálculos en el corchete
= 2 + (−21)
Dividimos y multiplicamos de izquierda a derecha
= −19
Ejemplo 18:
Calcular
∎
12 (9 − 7) + 4 ∙ 5
24 + 32
Solución: Una expresión equivalente con corchetes es
[12(9 − 7) + 4 ∙ 5] ÷ [24 + 32 ]
12(9 − 7) + 4 ∙ 5 12(2) + 20 24 + 20 44
=
=
= .
24 + 32
16 + 9
25
25
∎
Ejemplo 19: Simplificar 10|9 − 15|
− 25
Solución: Las barras de valor absoluto son un símbolo de agrupamiento, entonces realizamos la operación
dentro de las barras primero.
10|9 − 15| − 25
= 10|−6| − 25
Sustraemos: 9 − 15 = −6
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 26
Módulo de Matemática
En efecto, necesitamos simplificar el numerados y el denominador y entonces dividir los resultados.
TEMA 2
TEORIA
= 10(6) − 25
Encontramos el valor absoluto: |−6| = 6
= 10(6) − 32
Calculamos la expresión exponencial: 25 = 32
= 60 − 32
Hacemos la multiplicación: 10(6) = 60
= 28
Hacemos la sustracción.
INGRESO FQByF
∎
Ejemplo 20: Resuelve:
1
+ 5|3 − 7|
2
1 − (5 − 3) ÷ 2
Solución: Recuerda que la barra de fracción actúa como símbolo de agrupamiento. Trabajamos de manera
separada arriba y debajo de la barra de fracción. Arriba tenemos un valor absoluto que resolver primero y abajo
tenemos paréntesis.
1
1
6 ÷ + 5|3 − 7|
6 ÷ + 5|−4|
2
2
=
1 − (5 − 3) ÷ 2
1 − (2) ÷ 2
6÷
=
12 + 20
1−1
32
0
Como la división entre cero no es posible, la expresión original no está definida.
=
∎
2.5 EXPONENTES ENTEROS
Recordemos que usamos exponentes para escribir productos de factores repetidos. Por ejemplo
35 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 243
El número 5, el exponente, muestra que la base 3 aparece como factor 5 veces. La cantidad 35 se llama
potencia. Leemos 35 como “3 a la quinta potencia” o “3 a la cinco”.
Consideremos el producto 35 ∙ 32 , el cual se puede simplificar como:
𝟓+𝟐=𝟕
35 ∙ 32 = (3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3)(3 ∙ 3) = 37
Regla del producto para exponentes
Si m y n son dos números naturales y a es cualquier número real,
entonces
𝒂𝒎 ∙ 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏
Es decir, cuando multiplicamos potencias de igual base,
mantenemos la misma base y sumamos los exponentes
Para ver que la regla es cierta, usemos la definición de exponente:
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 27
Módulo de Matemática
Este resultado, que el producto de expresiones exponenciales con la misma base se encuentra sumando los
exponentes, se generaliza como la regla del producto para exponentes.
TEMA 2
TEORIA
INGRESO FQByF
𝑎𝑚 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ … ∙ 𝑎
𝑎𝑛 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ … ∙ 𝑎
a aparece como factor m veces
a aparece como factor n veces
𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ … ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ … ∙ 𝑎
m factores
n factores
=𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ … ∙ 𝑎
𝑚 + 𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛
Ejemplo 21: Uso de la regla del producto para exponentes
Aplique, si es posible, la regla del producto para exponentes
No multiplique las bases. Mantenga la misma base
a) 34 ∙ 37 = 34+7 = 311
b) 34 ∙ 3 = 34 ∙ 31 = 34+1 = 35
c) 34 ∙ 43 No es posible aplicar la regla del producto porque las bases no son iguales.
∎
Definición del exponente 0 y los exponentes negativos
Consideremos lo siguiente, donde la regla del producto se aplica a un exponente que no es un número natural.
43 ∙ 40 = 43+0 = 43
Para que la regla del producto se cumpla, 40 debe ser igual a 1, así que definimos 𝑎0 de éste modo para
cualquier número real distinto de cero a.
Si a es un número real distinto de cero, entonces
Exponente cero
¡¡¡¡¡¡Atención!!!!!!
La expresión 𝟎𝟎 no está definida, se llama forma indeterminada
Ejemplo 22: Usando el 0 como un exponente
Resuelva:
a) 150 = 1
b) (−15)0 = 1
Aquí la base es −15
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 28
Módulo de Matemática
𝒂𝟎 = 𝟏
TEMA 2
TEORIA
INGRESO FQByF
Aquí la base es 15, no −15
c) −150 = −(150 ) = −(1) = −1
d) −(−15)0 = −1
e) 150 + 140 = 1 + 1 = 2
f) (4𝑘)0 = 1,
𝑘 ≠ 0.
g) 150 − 140 = 1 − 1 = 0
∎
Para definir exponentes negativos, extendemos la regla del producto de la siguiente forma
82 ∙ 8−2 = 82+(−2) = 80 = 1
O sea 8−2 es el recíproco de 82 . Pero
Por lo tanto, 8−2 =
1
.
82
1
82
es el recíproco de 82 , y un número puede tener un único recíproco.
Podemos generalizar este resultado
Para cualquier número natural n y cualquier número real a distinto de
cero,
𝟏
𝒂−𝒏 = 𝒏
𝒂
Exponente negativo
¡¡¡¡¡Atención!!!!! Un exponente negativo no indica que una expresión represente un número negativo. Los
exponentes negativos llevan a los recíprocos.
1
1
1
1
8−2 = 2 =
𝑁𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
− 8−2 = − 2 = −
𝑁𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
8
64
8
64
Ejemplo 23: Uso de exponentes negativos. Escribir usando solamente exponentes positivos:
2−3 =
1
23
𝑎−𝑛 =
−3
5 ∙ (⏟
2) = 5
𝑏𝑎𝑠𝑒
1
𝑎𝑛
−7−5 = −
1
23
−3
(⏟
5 ∙ 2) =
𝑏𝑎𝑠𝑒
1
75
1
(5 ∙ 2)3
∎
𝑎) 3−1 + 4−1
=
=
1 1
+
3 4
𝑏) 7−1 − 2−1
Definición de exponente negativo
4
3
+
12 12
1 4
4 1 3
3
∙ =
, ∙ =
3 4 12 4 3 12
7
12
𝑎 𝑏 𝑎+𝑏
+ =
𝑐 𝑐
𝑐
=
=
=
1 1
−
7 2
2
7
−
14 14
=−
5
14
Definición
negativo
de
exponente
Común denominador
𝑎 𝑏 𝑎+𝑏
+ =
𝑐 𝑐
𝑐
∎
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 29
Módulo de Matemática
Ejemplo 24: Resuelva:
TEMA 2
TEORIA
¡¡¡¡Atención!!!!
INGRESO FQByF
Note que 3−1 + 4−1 ≠ (3 + 4)−1 Cuando simplificamos la expresión
7
, como
12
1
7−1 , o .
7
3−1 + 4−1 , obtenemos
(3 + 4)−1 obtenemos
se mostró en el ejemplo anterior, mientras que si simplificamos
Ejemplo 25: Simplificar
1
1
1
23
=
= 1÷ 3 = 1∙
= 23 = 8
−3
1
2
2
1
23
Multiplicamos por el recíproco del divisor
∎
Ejemplo 26: Simplificar
1
3−2 32
1
1
1 23 23 8
=
=
÷
=
∙
= 2=
1
2−3
32 23 32 1
3
9
23
∎
Estos últimos ejemplos nos sugieren la siguiente generalización
Si 𝑎 ≠ 0 𝑦 𝑏 ≠ 0, entonces
Reglas para los exponentes
negativos
𝟏
= 𝒂𝒏
𝒂−𝒏
𝒂−𝒏 𝒃𝒎
=
𝒃−𝒎 𝒂𝒏
Regla del cociente para exponentes
Simplificamos un cociente, como
𝑎5
𝑎3
, de la misma manera que un producto. (En todos los cocientes de este
tipo, asumiremos que el denominador es distinto de cero). Consideremos el siguiente ejemplo
𝑎5 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎
=
= 𝑎 ∙ 𝑎 = 𝑎2
𝑎3
𝑎∙𝑎∙𝑎
Notemos que 5 − 3 = 2. De la misma forma podemos simplificar
𝑎3
.
𝑎5
Si a es un número real distinto de cero y m y n son enteros, entonces
Regla del cociente para
exponentes
𝒂𝒎
= 𝒂𝒎−𝒏 .
𝒂𝒏
Es decir, cuando dividimos potencias de igual base, mantenemos la
base y restamos los exponentes.
Ejemplo 27: Aplicar la regla del cociente, si es posible, y escribir cada resultado solo con exponentes positivos
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 30
Módulo de Matemática
𝑎3
𝑎∙𝑎∙𝑎
1
1
=
=
=
= 𝑎−2
𝑎5 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 𝑎 ∙ 𝑎 𝑎2
Aquí 3 − 5 = −2. Estos ejemplos sugieren regla de los exponentes para cocientes
TEMA 2
TEORIA
INGRESO FQByF
a)
Exponente del numerador
Exponente del denominador
37
= 37−2 = 35
2
3
Símbolo de sustracción
b)
𝑑8
= 𝑑 8−3 = 𝑑 5 ,
𝑑3
c)
𝑑≠0
ℎ7
1
= ℎ7−17 = ℎ−10 = 10 ,
17
ℎ
ℎ
ℎ≠0
d)
37
= 37−(−2) = 37+2 = 39
−2
3
Use paréntesis para
evitar errores
e)
g)
11−5
1
−5−4
−9
=
11
=
11
=
114
119
𝑡 −5
= 𝑡 −5−(−8) = 𝑡 3 , 𝑡 ≠ 0
𝑡 −8
Tenga cuidado con los
f)
9
91
=
= 91−(−1) = 92
9−1 9−1
h)
𝑎3
, 𝑏≠0
𝑏4
Esta expresión no se puede simplificar, porque
signos
no se puede aplicar la regla del cociente ya que
las bases son diferentes
∎
Reglas de la potencia para exponentes
Podemos simplificar (54 )2 como sigue
Notemos que 4 ∙ 2 = 8. Este ejemplo sugiere la primera regla de la potencia para exponentes, las otras reglas
se pueden mostrar con ejemplos similares.
Si a y b son números reales y m y n son números enteros, entonces
Reglas de la potencia para
exponentes
𝒂 𝒎 𝒂𝒎
𝑎) (𝒂𝒎 )𝒏 = 𝒂𝒎𝒏 , 𝑏) (𝒂𝒃)𝒎 = 𝒂𝒎 𝒃𝒎 , 𝑐) ( ) = 𝒎 , 𝑏 ≠ 0
𝒃
𝒃
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 31
Módulo de Matemática
(54 )2 = 54 ∙ 54 = 54+4 = 58
TEMA 2
TEORIA
INGRESO FQByF
Es decir, a) para elevar una potencia a una potencia, multiplique los exponentes, b) para elevar un producto a
una potencia, eleve cada factor a la potencia y c) para elevar un cociente a una potencia, eleve el numerador y
el denominador a la potencia.
Ejemplo 27: Simplifique, usando las reglas de la potencia.
a)
(𝑝 8 )3
3 4
c) ( )
2
b) (5𝑞)4
= 𝑝 8∙3
= 54 𝑞 4
Regla a)
= 𝑝24
34
24
81
=
16
Regla b)
Regla c)
=
= 625𝑞 4
3
d)
(4𝑝 8 )3
e)
= 43 𝑝 8∙3
Regla b)
= 43 𝑝 24
Multiplicamos los exponentes
= 64𝑝 24
El cubo de 4
−2𝑚5
(
)
𝑧
(−2𝑚5 )3
=
𝑧3
(−2)3 𝑚5∙3
=
𝑧3
−8𝑚15
=
𝑧3
𝑧≠0
Regla c)
Regla b)
simplifique
∎
El recíproco de 𝑎𝑛 es
1
𝑎𝑛
1 𝑛
𝑎
= ( ) . También, 𝑎𝑛 y 𝑎−𝑛 son recíprocos.
1
𝑎𝑛 ∙ 𝑎−𝑛 = 𝑎𝑛 ∙ ( 𝑛 ) = 1
𝑎
1 𝑛
𝑎
Ya que, tanto ( ) como 𝑎−𝑛 son recíprocos de 𝑎𝑛 , se sigue que
1 𝑛
𝑎−𝑛 = ( )
𝑎
Algunos ejemplos de este resultado son
Reglas para
negativos
los
exponentes
1 −4
( ) = 54
5
Si 𝑎 ≠ 0 y 𝑏 ≠ 0 y n es un entero, entonces
𝟏 𝒏
𝒂 −𝒏
𝒃 𝒏
𝒂−𝒏 = ( )
( ) =( )
𝒂
𝒃
𝒂
Es decir, cualquier número no negativo elevado a una n-potencia negativa es igual al recíproco del número
elevado a la n-potencia.
Ejemplo 28: Escriba con exponentes positivos y simplifique.
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 32
Módulo de Matemática
1 3
7−3 = ( )
7
TEMA 2
TEORIA
INGRESO FQByF
3 −2
7 2 49
( ) =( ) =
7
3
9
a)
Cambie la fracción por su recíproco y cambie el
signo del exponente
b)
4𝑥 −3
5 3
53
125
( ) =( ) = 3 3=
5
4𝑥
4 𝑥
64𝑥 3
𝑥≠0
∎
Las definiciones y reglas dadas hasta ahora las podemos reunir en el siguiente cuadro
Para todos los enteros m y n y todos los reales a y b:
𝒂𝒎 ∙ 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏
Regla del producto
𝒂𝒎
= 𝒂𝒎−𝒏
𝒂𝒏
Regla del cociente
𝒂𝟎 = 𝟏
Exponente cero
Exponente negativo
𝒂−𝒏 =
Reglas de la potencia
𝑎)
(𝒂 ≠ 𝟎)
( 𝒂 ≠ 𝟎)
𝟏
𝒂𝒏
( 𝒂 ≠ 𝟎)
(𝒂𝒎 )𝒏 = 𝒂𝒎𝒏
𝑏) (𝒂𝒃)𝒎 = 𝒂𝒎 𝒃𝒎 ,
𝒂 𝒎 𝒂𝒎
𝑐) ( ) = 𝒎 , (𝒃 ≠ 𝟎)
𝒃
𝒃
𝟏
( 𝒂 ≠ 𝟎)
= 𝒂𝒏
𝒂−𝒏
𝟏 𝒏
( 𝒂 ≠ 𝟎)
𝒂−𝒏 = ( )
𝒂
Reglas especiales
𝒂−𝒏 𝒃𝒎
(𝒂, 𝒃 ≠ 𝟎)
=
𝒃−𝒎 𝒂𝒏
𝒂 −𝒏
𝒃 𝒏
(𝒂, 𝒃 ≠ 𝟎)
( ) =( )
𝒃
𝒂
Ejemplo 29: Simplifique las expresiones exponenciales siguientes, usando las definiciones y reglas dadas:
32 ∙ 3−5
22 ∙ 2−5 ∙ 2−2
= 32+(−5)
Regla del producto
= 22+(−5)+(−2)
Regla del producto
= 3−3
Sumo exponentes
= 2−5
Sumo exponentes
=
c)
b)
1
1
=
33 27
𝑎−𝑛 =
1
𝑎𝑛
=
1
1
=
25 32
𝑎−𝑛 =
1
𝑎𝑛
(4−2 )−5
= 4(−2)(−5)
Regla de la potencia a)
= 410
Multiplique exponentes
∎
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 33
Módulo de Matemática
a)
TEMA 2
TEORIA
INGRESO FQByF
2.6 NOTACIÓN CIENTÍFICA
En las ciencias es frecuente trabajar con números muy grandes o muy pequeños y comparar las magnitudes
relativas de cantidades muy grandes o muy pequeñas. Por ejemplo, la distancia de la Tierra al Sol es
aproximadamente 150 000 000 kilómetros. El virus de la influenza, que causa los síntomas de la tos, dolor de
garganta y dolor de cabeza, tiene un diámetro de 0,0000065 centímetros.
Los números 150 000 000 y 0,0000065 están en notación estándar o decimal. Como contienen muchos ceros
son difíciles de leer y es complicado trabajar en los cálculos. Ahora, vamos a discutir una forma más
conveniente en la que podemos escribir tales números. La notación científica provee una forma compacta de
escribir números muy grandes o muy pequeños. En la notación científica, un número se escribe con la coma
decimal después del primer dígito diferente de cero y se multiplica por una potencia de 10.
Un número se escribe en notación científica cuando se expresa en la forma
Notación Científica
𝒂 × 𝟏𝟎𝒏 , donde 𝟏 ≤ |𝒂| < 𝟏𝟎 y n es un entero.
Multiplicar |𝑎| por una potencia positiva de 10 dará como resultado un número que es mayor que |𝑎| .
Multiplicar |𝑎| por una potencia negativa de 10 dará como resultado un número que es menor que |𝑎|.
1 ≤ |𝑎| < 10 significa que a es un número que tiene un digito distinto de cero a la izquierda de la coma
decimal.
Por ejemplo
Se acostumbra usar ×, en vez de ∙ para la multiplicación
No están en notación científica
0,235 × 104
35,4 × 10−5
0,235 es menor que 1
35,4 es mayor que 10
Para escribir números en notación científica, debemos estar familiarizados con las potencias de 10, como las
dadas en la siguiente tabla:
Potencia
de 10
Valor
104
103
102
101
100
10 000
1000
100
10
1
10−1
10−2
10−3
10−4
1
= 0,1
10
1
= 0,01
100
1
= 0,001
1000
1
= 0,0001
10000
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 34
Módulo de Matemática
Está en notación científica
8500 = 8,5 × 1000 = 8,5 × 103
TEMA 2
TEORIA
INGRESO FQByF
Para escribir un número en notación científica, seguimos los siguientes pasos. (Si el número es negativo,
ignoramos el signo negativo, seguimos los siguientes pasos, y entonces agregamos el signo negativo al
resultado).
Conversión de un número positivo a notación científica
Paso 1
Colocar la coma decimal. Coloque un cursor, ^, a la derecha del primer dígito distinto de cero,
donde se colocará la coma decimal.
Paso 2
Determine el número para el exponente. Cuente el número de dígitos desde la coma decimal
hasta el cursor. Este número da el valor absoluto del exponente en 10.
Paso 3
Determine el signo para el exponente. Decida si al multiplicar por 10𝑛 debe hacer que el
resultado del paso 1 sea mayor o menor. El exponente debe ser positivo para hacer el resultado
grande y debe ser negativo para hacer el resultado pequeño.
Es útil recordar que, para
𝒏 ≥ 𝟏,
𝟏𝟎−𝒏 < 𝟏
y
𝟏𝟎𝒏 > 𝟏𝟎
Ejemplo 30: Escriba cada número en notación científica:
a) 820.000
Ubiquemos un cursor a la derecha del 8 (el primer digito distinto de cero) para marcar la
Paso 1
nueva ubicación de la coma decimal
8∧ 2 0 .0 0 0
Paso 2
Contemos desde la coma decimal, la cual se sobreentiende que está después del último
0, al cursor
8,2 0. 0 0 0, ← 𝑐𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙
Contamos 5 lugares
Paso 3
Ya que el número 8,2 es un número debe ser grande, el exponente de 10 es positivo
820.000 = 8,2 × 105
b) 0,0000072
𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎
6 lugares
Ya que el número 7,2 debe ser pequeño, el exponente de 10 es negativo.
0,0000072 = 7,2 × 10−6
c) −0,000495 = −4,95 × 10−4 recuerde el signo negativo
∎
Convirtiendo un número en notación científica a notación estándar
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 35
Módulo de Matemática
0,000007∧ 2
TEMA 2
TEORIA
INGRESO FQByF
Multiplicar un número positivo por una potencia positiva de 10 hace el número grande, así que movemos la
coma decimal a la derecha si n es positivo en 10𝑛 .
Multiplicar un número positivo por una potencia negativa de 10 hace el número pequeño, así que movemos
la coma decimal a la izquierda si n es negativo.
Si n es 0, dejamos la coma decimal donde está.
Ejemplo 31: Convertir de notación científica a notación estándar.
a) 6,78 × 107
6, 7 8 0 0 0 0 0
𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔𝑢𝑒 0 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑎𝑟𝑖𝑜
7 lugares
Movemos la coma decimal 7 lugares a la derecha. (Tuvimos que agregar 5 ceros)
6,78 × 107 = 67.800.000
b) 7,4 × 10−3
0 0 7,4
𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔𝑢𝑒 0 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑎𝑟𝑖𝑜
3 lugares
Movemos la coma decimal 3 lugares a la izquierda
7,4 × 10−3 = 0,0074
c) −1,037 × 100 = −1,037 × 1 = −1,037
∎
Ejemplo 32: Notación Científica
a) 351 = 3,51 × 102
b) 3,51 = 3,51 × 100
c) 35.100.000 = 3,51 × 107
d) 35.100 = 3,51 × 104
e) 0,000 000 000 35 = 3,5 × 10−10
f) 0,000 351 = 3,51 × 10−4
∎
Ejemplo 33: Resolver
1.920.000 × 0,0015
0,000032 × 45.000
No
pare
aquí
Exprese los números en notación científica
=
1,92 × 1,5 × 106 × 10−3
3,2 × 4,5 × 10−5 × 104
Propiedad conmutativa
=
1,92 × 1,5 × 103
3,2 × 4,5 × 10−1
Regla del producto
=
1,92 × 1,5
× 104
3,2 × 4,5
Regla del cociente
= 0,2 × 104
simplifique
= (2 × 10−1 ) × 104
Escriba 0,2 en notación científica
= 2 × 103
Regla del producto
= 2000
Notación estándar
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 36
Módulo de Matemática
1,92 × 106 × 1,5 × 10−3
=
3,2 × 10−5 × 4,5 × 104
TEMA 2
TEORIA
INGRESO FQByF
Ejemplo 34: a) La distancia del Sol a la Tierra es aproximadamente de 150.000.000 𝑘𝑚 = 1,5 × 108 .
b) Un único rinovirus mide 0,00002 mm de ancho.
0,00002 𝑚𝑚 = 2 × 10−5 𝑚𝑚
∎
Conclusión: las siguientes formas se utilizan cuando se convierten los números de la forma estándar a la
notación científica.
Para números reales entre 0 y 1
× 10𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
Para números reales que sean al menos 1, pero menores que 10
× 100
Para números reales mayores o iguales que 10
× 10𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜
Cálculos con notación científica
Otra ventaja de la notación científica se hace evidente cuando evaluamos productos o cocientes que involucran
números muy grandes o pequeños. Si expresamos esos números en notación científica, podemos usar reglas
para que los exponentes hagan los cálculos más fáciles.
Para multiplicar dos números escritos en notación científica, usamos la siguiente regla:
(𝒂 × 𝟏𝟎𝒎 )(𝒃 × 𝟏𝟎𝒏 ) = (𝒂 ∙ 𝒃) × 𝟏𝟎𝒎+𝒏
Ejemplo 35 : Astronomía: Excepto por el Sol, la estrella visible más cercana visible a simple vista es Sirio. La
luz de Sirio alcanza la tierra en aproximadamente 70.000 horas. Si la luz viaja a aproximadamente
1 080 000 000 𝑘𝑚/ℎ. ¿A qué distancia está Sirio de la Tierra?
Estrategia: Podemos usar la fórmula 𝑑 = 𝑣𝑡 para encontrar la distancia de Sirio a la Tierra. Porque conocemos
la velocidad a la cual viaja la luz y el tiempo que toma para viajar de Sirio a la Tierra.
Solución: La velocidad a la que viaja la luz es 1.080.000.000 km/h y el tiempo que tarda es 70.000 horas. Para
encontrar la distancia procedemos de la siguiente forma:
𝑑
= 𝑣𝑡
Esta es la fórmula de la distancia recorrida
𝑑
= 1.080.000.000(70.000)
Sustituimos v por 1.080.000.000, y t por 70.000
= (1,08 × 109 )(7 × 104 )
Escribimos los números en notación científica
= (1,08 ∙ 7) × (109 × 104 )
Agrupamos los decimales por un lado y las potencias de 10 por otro
= 7,56 ×
1013
Usamos la regla del producto para encontrar 109 × 104. Mantenemos la
base, 10, y sumamos los exponentes
Realizamos la multiplicación y la adición.
Sirio está a aproximadamente 7,56 × 1013 o 75.600.000.000.000 km de la Tierra.
∎
Para dividir dos números en notación científica, usamos la siguiente regla:
𝒂 × 𝟏𝟎𝒎 𝒂
= × 𝟏𝟎𝒎−𝒏
𝒃 × 𝟏𝟎𝒏 𝒃
Ejemplo 36 : Como ejemplo de cómo se usa la notación científica en química, podemos aproximar el peso (en
gramos) de un átomo de uranio evaluando la siguiente expresión.
2,4 × 102
6 × 1023
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 37
Módulo de Matemática
= (1,08 ∙ 7) × 109+4
TEMA 2
TEORIA
Solución:
2,4 × 102
6 × 1023
2,4 102
× 23
6
10
2,4
=
× 102−23
6
INGRESO FQByF
Divida los decimales y las potencias de 10 por separado
=
Para las potencias de 10 use la regla del cociente, mantenga la base, 10, y
reste los exponentes.
Divida los decimales. Reste los exponentes. El resultado no está en notación
= 0,4 × 10−21
científica.
= 4 × 10−1 × 10−21
Escriba 0,4 en notación científica como 4 × 10−1.
Use la regla del producto para encontrar 10−1 × 10−21 . Mantenga la base, 10,
= 4 × 10−22
y sume los exponentes.
Un átomo de uranio pesa 4 × 10−22 gramos o 0,000 000 000 000 000 000 000 4 gramos
∎
2.7 RAÍCES CUADRADAS Y RAÍCES DE ORDEN SUPERIOR
Cuando un número es multiplicado por sí mismo, decimos que el número está al cuadrado. Si podemos
encontrar un número cuyo cuadrado es algún valor a, llamamos a ese número raíz cuadrada de a.
El número b es la raíz cuadrada de a si 𝑏 2 = 𝑎
Raíz cuadrada
Se acostumbra
escribir √
en vez
√36 = 6,
de √ .
2
porque
62 = 36
El símbolo que se usa para expresar una raíz, √ , se denomina signo radical. El número o expresión dentro
del signo radical se llama radicando. En √36, el radicando es 36. La raíz cuadrada principal o positiva de
un número positivo a, escrita √𝑎, es un número positivo que multiplicado por sí mismo da a. Por ejemplo la
raíz cuadrada principal de 9 es 3, escrita √9 = 3, porque 3 ∙ 3 = 9. En general, √𝑎 = 𝑏 si 𝑏 ∙ 𝑏 = 𝑎. Siempre
que usemos la palabra raíz cuadrada, se estará haciendo referencia a la raíz cuadrada principal.
Atención: Un error común es asumir que √36 tiene dos valores. Esto no es correcto. Por definición de raíz
principal, √36 = 6. Si queremos referirnos a la raíz negativa, escribimos −√𝑎. Así, −√36 = −6, −√64 =
Ejemplo 37: Simplifique
25
36
a) √25
b) √
c) −√36
d) √0,0049
e) √1
f) √0
Solución:
a) √25 = 5
√
indica la raíz cuadrada principal. Note que √25 ≠ −5.
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 38
Módulo de Matemática
−8, −√49 = −7.
TEMA 2
25
36
b) √
TEORIA
=
5
6
5 2
INGRESO FQByF
25
ya que (6) = 36
c) −√36 = −6
ya que √36 = 6,
d)
(0,07)(0,07) = 0,0049. Observe también que
√0,0049 = 0,07
− √36 = −1 ∙ √36 = −1 ∙ 6 = −6.
√0,0049 = √
49
7
=
= 0,07.
10000 100
e) √1 = 1
f) √0 = 0
∎
Un número, tales como 81, 36, 25/49, 0,0049, que es el cuadrado de algún número racional, se llaman
cuadrados perfectos. Y sus raíces son números racionales.
Si un número positivo no es un cuadrado perfecto, su raíz cuadrada es un número irracional. Por ejemplo, √23
es un número irracional porque 23 no es un cuadrado perfecto. Ya que √23 es irracional, su representación
decimal es infinita y no periódica. Podemos encontrar una aproximación usando la calculadora
√23 = 4,795831523 …
Atención!!!!!!
Las raíces cuadradas de números negativos no son números reales
Por ejemplo, √−16 no es un número real, porque ningún número real al cuadrado es igual a −16. Las raíces
cuadradas de números negativos forman un conjunto llamado números imaginarios, los cuales no trataremos
en este texto.
Ejemplo 38: En electrónica, la frecuencia de resonancia f de un circuito se puede encontrar con la fórmula
1
𝑓=
2𝜋√𝐿𝐶
donde f es en ciclos por segundo, L es en henry, y C es en faraday (unidades de medida en electrónica)
Encuentre la frecuencia de resonancia f si 𝐿 = 5 × 10−4 henry y 𝐶 = 3 × 10−10 faraday. Dar la respuesta al
milésimo más cercano.
Solución: Debemos encontrar el valor de f cuando 𝐿 = 5 × 10−4 y 𝐶 = 3 × 10−10 .
1
Dada la fórmula
2𝜋√𝐿𝐶
1
=
Sustituimos L y C.
2𝜋√(5 × 10−4 )(3 × 10−10 )
Usamos una calculadora
≈ 411.000
La frecuencia de resonancia f es aproximadamente 411.000 ciclos por segundo.
∎
3
4
Extendemos esta discusión a raíces cúbicas √ , raíces cuartas √
y raíces mayores
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 39
Módulo de Matemática
f =
TEMA 2
TEORIA
INGRESO FQByF
𝑛
La raíz enésima de a, escrita √𝑎, es un número cuya enésima potencia es igual
a a. Es decir,
𝑛
√𝑎 = 𝑏 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑏 𝑛 = 𝑎.
Raíz enésima
𝑛
El número a es el radicando, n es el índice u orden, la expresión √𝑎 es una raíz.
Ejemplo 39: Simplificar
3
b) √−125 = −5, 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 (−5)3 = −125
4
d) √
3
a) √64 = 4, 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 43 = 64
5
c) √16 = 2, 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 24 = 16
3
e) √−
8
27
=−
2
3
2 3
8
3
27
𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 (− ) = −
f)
1
32
1
2
=
1 5
2
𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 ( ) =
1
32
4
√0,0001 = 0,1 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 0,14 = 0,0001
∎
¡¡¡Atención!!!
Las raíces de índice par de números negativos no son números reales
En resumen
Para cualquier número positivo a y cualquier índice par n,
𝑛
la enésima raíz principal de a es √𝑎.
𝑛
𝑝𝑎𝑟
√𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 = 𝑟𝑎í𝑧 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 (𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎)
𝑝𝑎𝑟
la enésima raíz negativa de a es − √𝑎. − √𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 = 𝑟𝑎í𝑧 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎
Para cualquier número a y cualquier índice impar n,
𝑛
hay exactamente una raíz enésima real de a, √𝑎
𝑝𝑎𝑟
√𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 = 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑎í𝑧 𝒓𝒆𝒂𝒍
𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
√𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜
= 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑎í𝑧
En la siguiente tabla se muestran raíces de potencias perfectas. El conocimiento de estas raíces es muy útil
cuando simplifica expresiones radicales.
Raíz cuadrada
Raíz cúbica
√36 = 6
3
√4 = 2
√49 = 7
3
√9 = 3
√64 = 8
√1 = 1
√1 = 1
√8 = 2
3
√27 = 3
Raíz cuarta
Raíz quinta
4
5
√1 = 1
4
√16 = 2
4
√81 = 3
√1 = 1
5
√32 = 2
5
√243 = 3
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 40
Módulo de Matemática
Para cualquier número negativo a y cualquier índice par n,
no existe enésima raíz real de a
TEMA 2
TEORIA
√16 = 4
√25 = 5
4
3
√81 = 9
√64 = 4
√256 = 4
4
3
√100 = 10
INGRESO FQByF
√125 = 5
√625 = 5
Sean a y b dos números reales cualesquiera o expresiones para las cuales las
raíces dadas existen. Para números naturales cualesquiera m y n (𝑛 ≠ 1)
𝑛
𝑛
𝑛
1. √𝑎 ∙ √𝑏 = √𝑎𝑏
𝑛
√𝑎
𝑛 𝑎
(𝑏 ≠ 0)
2. √ = 𝑛
𝑏
√𝑏
Propiedades de las raíces
𝑛
𝑛
3. √𝑎𝑚 = ( √𝑎)
𝑚
Ejemplo 40: Simplifique cada una de las siguientes expresiones
a)
√3 ∙ √12 = √3 ∙ 12 = √36 = 6
Uso de la propiedad 1
b)
√50 = √25 ∙ 2 = √25 ∙ √2 = 5√2
Uso de la propiedad 1
3
c)
d)
3 250
3 125 ∙ 2
3 125
5
=√
=√
=√
=
54
27 ∙ 2
27
3
√54
√250
Uso de la propiedad 2
3
3
5
Uso de la propiedad 3.
3
√85 = (√8
) = (2)5 = 32
∎
Raíces enésimas de enésimas potencias
Si consideramos la expresión √𝑎2 . A primera vista, podemos pensar que es equivalente a a. Sin embargo esto
no es necesariamente cierto. Por ejemplo, consideremos lo siguiente.
Si 𝑎 = 7,
Si 𝑎 = −7,
entonces √𝑎2 =
entonces
√𝑎2
=
√72
√(−7)2
= √49 = 7.
= √49 = 7. ← 𝐸𝑛 𝑣𝑒𝑧 𝑑𝑒 − 7, 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 7, 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑒 − 7.
Ya que el símbolo √𝑎2 representa la raíz cuadrada no negativa, expresamos √𝑎2 con barras de valor absoluto,
como |𝑎|, porque a puede ser un número negativo.
√𝒂𝟐 = |𝒂|
Para cualquier número real a,
Es decir, la raíz cuadrada principal de 𝑎2 es el valor absoluto de a.
Ejemplo 41: Simplificar las raíces cuadradas usando valor absoluto.
Encontrar cada raíz cuadrada:
a) √62 = |6| = 6
b) √(−6)2 = |−6| = 6
c) √1,32 = |1,3| = 1,3
d) √(−1,3)2 = |−1,3| = 1,3
e) √𝑘 2 = |𝑘|
f) √(−𝑘)2 = |−𝑘 | = |𝑘|
∎
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 41
Módulo de Matemática
√𝒂𝟐
TEMA 2
TEORIA
INGRESO FQByF
Ahora podemos generalizar esta idea a cualquier raíz enésima.
𝒏
√𝒂𝒏 = |𝒂|
Si n es un número natural par, entonces
𝒏
√𝒂𝒏
𝒏
√𝒂𝒏 = 𝒂
Si n es un número natural impar, entonces
Es decir, usamos el símbolo de valor absoluto cuando n es par, y no usamos el
valor absoluto cuando n es impar
Ejemplo 42: Simplificar las raíces usando valor absoluto.
Encontrar cada raíz.
7
a) √(−3)7 = −3
n es impar
8
b) √(−3)8 = |−3| = 3
c)
8
− √(−3)8
n es par. Usamos el valor absoluto.
= −|−3| = −3
7
d) − √(−3)7 = −(−3) = 3
n es par. Usamos el valor absoluto.
n es impar
∎
2.8 EXPONENTES RACIONALES
Ahora explicaremos la relación entre radicales y exponentes racionales (exponentes fraccionarios). Algunas
veces, cambiar entre estas dos formas hace más fácil simplificar expresiones. Lo que queremos es que las
propiedades para exponentes enteros se cumplan también para los exponentes racionales. Por ejemplo,
debemos tener
2
(31/2 ) = 31/2 ∙ 31⁄2 = 31⁄2+1⁄2 = 31 = 3
También, por definición,
2
(√3) = √3 ∙ √3 = 3
2
2
Ya que tanto (31/2 ) , como (√3) son iguales a 3, parece razonable definir
31/2 = √3.
Esto sugiere la siguiente generalización.
𝑛
Si √𝑎 es un número real, entonces
𝟏⁄
𝒏
𝒂
4
3
41/2 = √4
𝒏
= √𝒂
81/3 = √8
161/4 = √16
Observe que el denominador del exponente racional es el índice del radical.
Cuando escribimos
el mismo
𝟏⁄
𝒏
𝒂
=
𝒏
√𝒂
Ejemplo 43: Simplifique
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 42
Módulo de Matemática
𝟏
𝒂 ⁄𝒏
TEMA 2
TEORIA
INGRESO FQByF
El denominador es el índice √
significa √
2
El denominador es el índice
3
641/3 = √64 = 4
a)
1001/2 = √100 = 10
b)
4
c) −2561⁄4 = − √256 = −4
4
d) (−256)1⁄4 = √−256
no es un número real, porque el radicando, −256, es un número negativo y el índice es par.
5
(−32)1⁄5 = √−32 = −2
e)
1 1⁄3 3 1 1
( )
=√ =
8
8 2
f)
∎
Definición y uso de expresiones de la forma
𝒂𝒎⁄𝒏
3
Sabemos que 81/3 = √8. Podemos definir un número como 82⁄3 , donde el numerador del exponente no es 1.
Para que las reglas anteriores de exponentes sean válidas,
82⁄3 = 8(1⁄3)∙2 = (81⁄3 )
2
3
Ya que 81/3 = √8,
3
2
82/3 = (√8) = 22 = 4.
Generalizando desde este ejemplo, podemos definir 𝑎𝑚⁄𝑛 como sigue:
Si m y n son entero positivos con 𝑚/𝑛 en su expresión simplificada, entonces
𝒎
𝒂𝒎⁄𝒏 = (𝒂𝟏⁄𝒏 ) ,
𝒂𝒎⁄𝒏
Siempre que 𝑎1⁄𝑛 sea un número real. Si 𝑎1⁄𝑛 no es un número real, entonces
𝑎𝑚⁄𝑛 no es un número real.
𝒏
Forma exponencial de √𝒂𝒎
Para cualquier número a no negativo, y enteros m y n
𝒏
𝒏
𝒎
√𝒂𝒎 = ( √𝒂) = 𝒂𝒎⁄𝒏
Potencia
𝑛
√𝑎𝑚 = 𝑎𝑚⁄𝑛
índice
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 43
Módulo de Matemática
Usando la definición de exponentes racionales, podemos simplificar muchos problemas que involucran
radicales convirtiendo los radicales en números con exponentes racionales.
TEMA 2
TEORIA
INGRESO FQByF
Ejemplo 44: Simplificar cada expresión exponencial.
Piense
361⁄2
a)
Piense
= √36 = 6
1251⁄3
3
2
b)
363⁄2 = (361⁄2 ) = 63 = 216
3
= √125 = 5
125 2⁄3 = (1251⁄3 ) = 52 = 25
Cuidado. La Base es 4
5
c)
−45⁄2 = −(45⁄2 ) = −(41⁄2 ) = −(2)5 = −32
Porque la base aquí es 4, el signo negativo no está afectado por el exponente.
d)
(−27)2⁄3 = [(−27)1⁄3 ] = (−3)2 = 9
2
Note que en la parte c) primero evaluamos la exponencial y entonces encontremos el negativo. En la
parte d), el signo – es parte de la base, −27.
e)
(−100)3⁄2 = [(−100)1⁄2 ]
número real.
3
que no es un número real, ya que (−100)1⁄2 = √−100, que no es un
∎
Cuando el exponente racional es negativo, se aplica la misma interpretación que antes
Si 𝑎𝑚⁄𝑛 es un número real, entonces
𝒂−𝒎⁄𝒏
𝒂−𝒎⁄𝒏 =
𝟏
𝒂𝒎⁄𝒏
(𝒂 ≠ 𝟎)
Ejemplo 45: Simplifique cada expresión con exponente racional negativo:
a)
16−3⁄4 =
1
1
1
1
1
=
=
= 3=
3
⁄
⁄
3
4
1
4
3
4
(16 )
2
8
16
( √16)
1
1
1
1
1
=
=
= 3=
3
⁄
⁄
3
2
1
2
3
(25 )
5
125
25
(√25)
b)
25−3⁄2 =
c)
8 −2⁄3
( )
=
27
1
(
8
)
27
2⁄3
=
1
3 8
(√ )
27
2
=
1
2
( )
3
2
=
1
9
=
4
4
9
1
4
9
=1÷ =1∙
4
9
4
9
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 44
Módulo de Matemática
El denominador de 3/4 es el índice y el numerador es el exponente
TEMA 2
TEORIA
𝑏 −𝑚
𝑎
También podemos usar aquí la regla ( )
INGRESO FQByF
𝑎 𝑚
𝑏
= ( ) , de la siguiente manera
2
3 27
8 −2⁄3
27 2⁄3
3 2 9
( )
=( )
= (√ ) = ( ) =
27
8
8
2
4
Tome el recíproco de la base únicamente, no el del exponente
∎
Atención: Tenga cuidado al distinguir entre las expresiones exponenciales como las siguientes
1
, −161⁄4 , que es igual a −2 y −16−1⁄4 , que es igual a
16−1⁄4 , que es igual a
2
−
1
2
Un exponente negativo no da necesariamente un resultado negativo. Los exponentes negativos dan
recíprocos.
𝑛
La forma exponencial de √𝑎𝑛 sera:
𝑛
√𝑎𝑛 = 𝑎𝑛⁄𝑛 = 𝑎
𝑛
√𝑎𝑛 = 𝑎𝑛⁄𝑛 = |𝑎|
7
√(−5)7 = (−5)7⁄7 = −5
Si n es impar
6
Si n es par
√(−5)6 = |−5| = 5
La definición de exponentes racionales nos permite aplicar las reglas de los exponentes
Sean r y s números racionales. Para todos los números reales a y b para los cuales la expresión indicada
exista, se cumplen las siguientes reglas.
𝟏
𝒂𝒓
𝒂 −𝒓 𝒃𝒓
𝒓−𝒔
𝒂𝒓 ∙ 𝒂𝒔 = 𝒂𝒓+𝒔
𝒂−𝒓 = 𝒓
=
𝒂
(
) = 𝒓
𝒂
𝒂𝒔
𝒃
𝒂
𝒓
𝒓
𝒂
𝒂
𝟏 𝒓
−𝒓
(𝒂𝒓)𝒔 = 𝒂𝒓𝒔
(𝒂𝒃)𝒓 = 𝒂𝒓 𝒃𝒓
( ) = 𝒓
𝒂 =( )
𝒃
𝒃
𝒂
Ejemplo 46: Escriba solamente con exponentes positivos.
21⁄2 ∙ 21⁄4
= 21⁄2+1⁄4
= 23⁄4
b)
Regla del producto
Sume exponentes
72⁄3
77⁄3
= 72⁄3−7⁄3
= 7−5⁄3
1
= 5⁄3
7
Regla del cociente
Reste exponentes
𝑎−𝑟 =
1
𝑎𝑟
∎
2.9 LOGARITMOS
Los logaritmos son importantes en muchas aplicaciones en biología, química, ingeniería, economía y ciencias
sociales.
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 45
Módulo de Matemática
a)
TEMA 2
TEORIA
INGRESO FQByF
Cuando tenemos tres números 𝑎, 𝑏, 𝑥 ∈ ℝ relacionados en una expresión de la forma
𝑎 𝑥 = 𝑏,
𝑐𝑜𝑛 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑏 > 0
dados dos de ellos, podemos encontrar el tercero, es decir:


dados 𝑎 = 2 𝑥 = 3 calculamos 𝑏 = 23 = 8
dados 𝑏 = 36 𝑥 = 2 calculamos 𝑎 = √36 = 6
y si los datos son 𝑎 = 5 𝑦 𝑏 = 125 ¿Cómo calculamos 𝑥?, es decir: 5𝑥 = 125.
La respuesta nos la da el logaritmo:
Sean 𝑎 y b números positivos con 𝑎 ≠ 1. El logaritmo con base 𝑎 se denota por
log 𝑎 , y se define:
Logaritmo
𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒃 = 𝒙 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝒂𝒙 = 𝒃
Así, log 𝑎 𝑏 es el exponente al que hay que elevar la base 𝑎 para obtener 𝑥.
Se lee logaritmo en base a de b es x. Cuando se usa la definición de logaritmos para intercambiar entre la
fórmula logarítmica (log 𝑎 𝑏 = 𝑥) y la fórmula exponencial (𝑎 𝑥 = 𝑏) es útil observar que en ambas formas la
base es la misma:
Forma logarítmica
Forma exponencial
𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒
log
⏟
𝑎
𝑏=
⏞
𝑥
𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒
⏟
𝑎
𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒
⏟
2
=𝑏
𝑏𝑎𝑠𝑒
𝑏𝑎𝑠𝑒
log
⏞
𝑥
8=
⏞
3
⏟
2
⏞
3
=8
𝑏𝑎𝑠𝑒
𝑏𝑎𝑠𝑒
Las formas logarítmica y exponencial son ecuaciones equivalentes, si una es cierta entonces la otra también
lo es. Por lo tanto se puede intercambiar de una forma a la otra.
Forma logarítmica
a)
log 3 243 = 5
b)
1
log 1
=6
64
2
c)
1
log 2 = −3
8
Forma exponencial
243 = 35
1
1 6
=( )
64
2
2−3 =
1
8
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 46
Módulo de Matemática
Ejemplo 47: Emplea la definición de logaritmo para transformar las siguientes expresiones en su forma
exponencial:
TEMA 2
TEORIA
d)
1
log 1
=3
3 27
e)
log10 1 = 0
INGRESO FQByF
1 3
1
( ) =
3
27
100 = 1
∎
Ejemplo 48: Transforma las siguientes expresiones exponenciales en expresiones logarítmicas:
Forma exponencial
Forma logarítmica
log √2 𝑁 = 3
3
a)
𝑁 = (√2)
b)
1
= 5−3
125
c)
(√5) = 25
d)
𝑥𝑝 = 𝑦
log 𝑥 𝑦 = 𝑝
e)
41 = 4
log4 4 = 1
log 5
1
= −3
125
log √5 25 = 4
4
∎
En los siguientes ejemplos se aplica la definición de logaritmo para encontrar el valor de la incógnita.
Ejemplo 49: a) Encuentra el valor de 𝑎 en la expresión: log 𝑎 216 = 3.
Solución:
Se escribe el logaritmo en su forma exponencial y se despeja la incógnita:
log 𝑎 216 = 3 → 216 = 𝑎3 →
3
√216 = 𝑎 → 6 = 𝑎
Por consiguiente, el resultado es: 𝑎 = 6
b) Encuentra el valor de 𝑚 en log √2 𝑚 = 3.
Solución:
3
2
log √2 𝑚 = 3 → 𝑚 = (√2) = (√2) √2 = 2√2
Por lo tanto, el resultado es 𝑚 = 2√2
c) Determina el valor de 𝑥 en la expresión: log 3
1
729
= 𝑥.
Solución:
La expresión se transforma a la forma exponencial.
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 47
Módulo de Matemática
Se transforma a la forma exponencial la expresión y se desarrolla el exponente:
TEMA 2
TEORIA
log 3
1
=𝑥
729
→
INGRESO FQByF
3𝑥 =
1
729
El número 729 se descompone en factores primos y la ecuación se expresa como:
3𝑥 =
1
1
→ 3𝑥 = 6 → 3𝑥 = 3−6
729
3
De la última igualdad se obtiene: 𝑥 = −6
∎
Los logaritmos se utilizaron como ayuda para el cálculo numérico durante cientos de años. Hoy en día, el uso
generalizado de calculadoras ha hecho obsoleto el uso de logaritmos para el cálculo. Sin embargo, los
logaritmos son todavía muy importantes en las aplicaciones y en el trabajo futuro en matemáticas.
Los logaritmos tienen unas propiedades muy útiles que se pueden deducir en forma directa de la definición y
de las leyes de los exponentes.
Primeras propiedades: Sea a un número positivo con 𝑎 ≠ 0.
log 𝑎 1 = 0
porque
𝑎0 = 1
se debe elevar 𝑎 a la potencia 0 para obtener 1
log 𝑎 𝑎 = 1
porque
𝑎1 = 𝑎
se debe elevar 𝑎 a la potencia 1 para obtener 𝑎
Dos propiedades especiales involucran tanto expresiones exponenciales como logarítmicas. Sea a un número
positivo con 𝑎 ≠ 0.
log 𝑎 𝑎𝑏 = 𝑏
𝑎log𝑎 𝑏 = 𝑏 𝑏 > 0
porque
se debe elevar 𝑎 a la potencia 𝑏 para obtener 𝑎𝑏
porque
log 𝑎 𝑏 es la potencia a la cual se debe elevar 𝑎 para obtener 𝑏.
Para probar la segunda afirmación, sea 𝑦 = log 𝑎 𝑏.
= log 𝑎 𝑏
𝑎𝑦
=𝑏
Escribimos en forma exponencial
𝑎log𝑎 𝑏
=𝑏
Reemplazamos a y por log 𝑎 𝑏
La demostración de la primera afirmación es similar.
Ejemplo 50:
log 5 1 = 0
pues
50 = 1
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 48
Módulo de Matemática
𝑦
TEMA 2
TEORIA
INGRESO FQByF
log 5 5 = 1
pues
51 = 5
log 5 58 = 8
pues
58 = 58
5log5 12 = 12
pues
log 5 12 es el exponente al que debo elevar 5 para que me de 12
∎
Existen dos tipos importantes de logaritmos cuya notación difiere de otros logaritmos. Como nuestro sistema
numérico está basado en el número 10, con frecuencia utilizamos logaritmos con base 10, a los cuales llamamos
logaritmos comunes.
Logaritmo decimal
El logaritmo con base 10 se llama logaritmo decimal, común o de Briggs.
Y se denota omitiendo la base
𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠 𝒙
𝑥>0
Los logaritmos utilizados en las aplicaciones son a menudo logaritmos naturales, que tienen como base el
número e. El número e, como 𝜋, es una constante universal. La letra e fue elegida para honrar a Leonhard
Euler, que publicó extensos resultados sobre el número en 1748. Puesto que es un número irracional, su
expansión decimal nunca termina y nunca se repite.
𝑒 ≈ 2,71828182846 …
e
Los logaritmos con base e se llaman logaritmos naturales porque ocurren en situaciones naturales que
implican crecimiento o decaimiento.
El logaritmo con base e se llama logaritmo natural, y se denota por 𝑙𝑛:
Logaritmo natural
𝐥𝐧 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠 𝒆 𝒙
ln 𝑥 = 𝑦
↔
𝑥>0
𝑒𝑦 = 𝑥
De nuevo, el logaritmo natural se denota ln x, y se lee ele ene de x. (es una ele no una i mayúscula).
Propiedad 1
log 1 = 0
ln 1 = 0
Propiedad 2
log 10 = 1
ln 𝑒 = 1
Propiedad 3
log 10𝑥 = 𝑥
ln 𝑒 𝑥 = 𝑥
Propiedad 4
10log 𝑥 = 𝑥
𝑒 ln 𝑥 = 𝑥
Resto de las propiedades: Una manera en la cual los logaritmos simplifican problemas es cambiando un
problema de multiplicación por uno de adición. Sabemos que log2 4 = 2, log2 8 = 3, y log2 32 = 5.
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 49
Módulo de Matemática
Reescribamos las propiedades vistas hasta ahora para los logaritmos comunes y naturales
TEMA 2
TEORIA
INGRESO FQByF
log2 32 = log2 4 + log2 8
5 =2+3
log2 (4 ∙ 8) = log2 4 + log2 8
32 = 4 ∙ 8
Este es un ejemplo de la siguiente regla
Si 𝑀, 𝑁, 𝑎 son números reales positivos con 𝑎 ≠ 1, entonces se
cumple lo siguiente
Regla del producto para
logaritmos
𝐥𝐨𝐠 𝒂 (𝑴. 𝑵) = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝑴 + 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝑵
Es decir, el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de
los factores.
Observación: El enunciado de la regla del producto puede ser reformulado reemplazando “logaritmo” con
“exponente”. La regla entonces se convierte en la regla familiar para multiplicar expresiones exponenciales:
El exponente de un producto es la suma de los exponentes de los factores.
Para probar esta regla, sean 𝑚 = log 𝑎 𝑀 y 𝑛 = log 𝑎 𝑁, y recordemos que
log𝑎 𝑀 = 𝑚 significa 𝑎𝑚 = 𝑀
log𝑎 𝑁 = 𝑛 significa 𝑎𝑛 = 𝑁
y
Ahora consideremos el producto de MN.
𝑀𝑁
= 𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛
Sustituimos
𝑀𝑁
= 𝑎𝑚+𝑛
Regla del producto para exponentes
log 𝑎 (𝑀. 𝑁)
=𝑚+𝑛
Convertimos en forma logarítmica
log 𝑎 (𝑀. 𝑁)
= log𝑎 𝑀 + log𝑎 𝑁
Sustituimos
La última afirmación es el resultado que queríamos probar.
Ejemplo 51: Usar la regla del producto
pues 32 = 9, 33 = 27, 35 = 243
b) log 4 2 + log 4 32 = log 4 (2 ∙ 32) = log 4 64 = 3
𝑝𝑢𝑒𝑠
43 = 64
La regla del cociente para logaritmos es similar a la regla de la multiplicación
Si 𝑀, 𝑁, 𝑎 son números reales positivos con 𝑎 ≠ 1, entonces se cumple
lo siguiente
Regla del cociente para
logaritmos
𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝑴
= 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝑴 − 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝑵
𝑵
Es decir, el logaritmo de un cociente es la diferencia entre el logaritmo
del numerador y el logaritmo del denominador.
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 50
Módulo de Matemática
a) log3 243 = log3 (9 ∙ 27) = log3 9 + log3 27 = 2 + 3 = 5
TEMA 2
TEORIA
INGRESO FQByF
La demostración de esta regla es similar a la demostración de la regla del producto.
Ejemplo 52: Uso de la regla del cociente.
8
√2
1
2
a) log2 ( ) = log2 8 − log2 √2 = 3 − =
5
2
80
5
b) log 2 80 − log 2 5 = log 2 ( ) = log 2 16 = 4
∎
Una expresión exponencial como 23 significa 2 ∙ 2 ∙ 2. La base se usa como factor tres veces. Similarmente,
la regla del producto se puede extender para reescribir el logaritmo de una potencia como el producto del
exponente y el logaritmo de la base.
log4 53
log5 74
= log4 (5 ∙ 5 ∙ 5)
= log5 (7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7)
= log4 5 + log4 5 + log4 5
= log5 7 + log5 7 + log5 7 + log5 7
= 3 log4 5
= 4 log5 7
Estos ejemplos sugieren la siguiente regla
Si 𝑀 y 𝑎 son números reales positivos con 𝑎 ≠ 1, y si r es cualquier
número real, entonces se cumple lo siguiente
Regla de la potencia para
logaritmos
𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝑴𝒓 = 𝒓 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝑴
Es decir, el logaritmo de un número a una potencia es igual al
exponente veces el logaritmo del número.
Ejemplo 53: Uso de la regla de la potencia
a) log3 27 = log3 33 = 3 log3 3 = 3
b) log6 2164 = 4 log6 216 = 4 ∙ 3 = 12
∎
Para probar esta regla, sea log𝑎 𝑀 = 𝑚.
𝑎𝑚 = 𝑀
(𝑎𝑚 )𝑟 = 𝑀𝑟
𝑎𝑚𝑟 = 𝑀𝑟
Convertimos en forma exponencial
Elevamos la potencia r
Regla de la potencia para exponentes
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 51
Módulo de Matemática
c) ln 𝑒 6 − ln 𝑒 2 = 6 ln 𝑒 − 2 ln 𝑒 = 6 − 2 = 4
TEMA 2
TEORIA
log𝑎 𝑀𝑟 = 𝑟𝑚
INGRESO FQByF
Convertimos a la forma logarítmica, propiedad conmutativa
log𝑎 𝑀𝑟 = 𝑟 log𝑎 𝑀
Sustituimos m por log 𝑎 𝑀 = 𝑚
Así la afirmación queda demostrada.
1
𝑝
Como un caso especial de la regla de la potencia, sea 𝑟 = , así que
𝑝
log𝑎 √𝑀 = log𝑎 𝑀 1⁄𝑝 =
1
log 𝑀.
𝑝 𝑎
Ejemplo 54: Uso de la regla de la potencia.
1
3
a) − log 2 64 = log 2 64−1⁄3 = log 2 3
1
√64
3
1
1
3
3
b) log √10 = log 101⁄3 = log 10 =
1
4
= log 2 = −2
Errores comunes
log𝑎 𝑀𝑁 ≠ (log𝑎 𝑀)(log𝑎 𝑁)
log𝑎 (𝑀 + 𝑁) ≠ log𝑎 𝑀 + log𝑎 𝑁
log𝑎
𝑀 log𝑎 𝑀
≠
𝑁 log𝑎 𝑁
𝑟
(log𝑎 𝑀) ≠ 𝑟 log𝑎 𝑀
El logaritmo de un producto no es el producto de los logaritmos
El logaritmo de una suma no es la suma de los logaritmos
El logaritmo de un cociente no es el cociente de los logaritmos
La potencia de un logaritmo no es el exponente veces el
logaritmo
Cambio de base
Regla para el cambio de
base
Si 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑏 > 0, 𝑏 ≠ 1 y 𝑥 > 0, entonces se cumple lo siguiente
𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒙 =
𝐥𝐨𝐠 𝒃 𝒙
𝐥𝐨𝐠 𝒃 𝒂
Como la calculadora trae las teclas 𝑙𝑜𝑔 y 𝑙𝑛 , para calcular logaritmos podemos recurrir a la fórmula de
cambio de base,
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 52
Módulo de Matemática
Para algunos propósitos, es útil cambiar la base de los logaritmos. Supongamos que se da log 𝑏 𝑥 y se quiere
hallar log 𝑎 𝑥.
TEMA 2
TEORIA
log 𝑎 𝑥 =
INGRESO FQByF
log 𝑏 𝑥 log 𝑥 ln 𝑥
=
=
log 𝑏 𝑎 log 𝑎 ln 𝑎
Ejemplo 55:
log16 8 =
log 2 8
log 8
ln 8
3
=
=
=
log 2 16 log 16 ln 16 4
∎
Para obtener la regla del cambio de base, sea log 𝑎 𝑥 = 𝑚.
log 𝑎 𝑥
𝑎𝑚
=𝑚
Cambiando a forma exponencial
=𝑥
Si todas las variables son positivas y si 𝑥 = 𝑦 entonces log𝑏 𝑥 = log𝑏 𝑦 (propiedad biunívoca, su
justificación se verá en cursos posteriores de matemática)
log𝑏 (𝑎𝑚 )
= log𝑏 𝑥
Tomando logaritmo en cada lado
𝑚 log𝑏 𝑎
= log𝑏 𝑥
Regla de la potencia
Sustituimos m
(log 𝑎 𝑥)(log𝑏 𝑎) = log𝑏 𝑥
log𝑎 𝑥
=
log𝑏 𝑥
Dividimos por log 𝑏 𝑎
log𝑏 𝑎
Los logaritmos son una herramienta excelente para la solución de problemas propios de las ciencias, a
continuación se ejemplifica su uso:
 QUÍMICA
En química los logaritmos se emplean para calcular la acidez de las soluciones.
𝑝𝐻 = − log[𝐻 + ]
Dónde:
𝑝𝐻 = acidez de una solución.
Problema 1: Determina el 𝑝𝐻 de una solución, que tiene una concentración de iones de hidrógeno de
10−8 iones-g/lt.
Solución:
La concentración de iones de hidrógeno en la solución es de:
[𝐻 + ] = 10−8 𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 − 𝑔/𝑙𝑡
Se sustituye este valor en la fórmula y se obtiene:
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 53
Módulo de Matemática
[𝐻 + ] = concentración de iones de hidrógeno en iones-gramo equivalentes por litro.
TEMA 2
TEORIA
INGRESO FQByF
𝑝𝐻 = − 𝑙𝑜𝑔[𝐻 + ]
Regla de la potencia para logaritmos
𝑝𝐻 = − 𝑙𝑜𝑔[10−8 ]
𝑝𝐻 = −(−8) 𝑙𝑜𝑔[10] = (8)(1)
𝑝𝐻 = 8
Problema 2: Encuentra la concentración de iones de hidrógeno de una solución, si su pH es de 7.
Solución:
Se sustituye 𝑝𝐻 = 7 en la fórmula y se despeja [𝐻 + ]
𝑝𝐻 = − log[𝐻 + ]
7 = −log[𝐻 + ]
−7 = log[𝐻 + ]
10−7 = [𝐻 + ]
Luego, la concentración de iones de hidrógeno de una solución es: [𝐻 + ] = 10−7 iones-g/lt.
Módulo de Matemática
∎
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 54
TEMA 3
TEORIA
INGRESO FQByF
TEMA 3: INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA
La palabra álgebra viene del título de un libro de un matemático persa, Muhammad ibn Musa al-Juarizmi, que
nació alrededor de 780. Su libro, Kitab al-Jabrwa-l-Muqabala, describe cómo resolver ecuaciones lineales y
cuadráticas. Una copia de este libro viajó a Europa y fue traducida al latín. Su título en latín fue Liber algebrae
et almucabala. Algebrae en latín es "de álgebra" en español.
Ahora, unos 1200 años desde el tiempo de al-Juarizmi, el álgebra sigue siendo la puerta de entrada al estudio
de las matemáticas más allá de la aritmética. En este tema, comenzamos por aprender el vocabulario y los
conceptos de álgebra.
3.1 VARIABLES Y EXPRESIONES ALGEBRAÍCAS
Al terminar de leer este tema, trabajar los problemas prácticos y completar los ejercicios, debería ser capaz
de:
Identificar un coeficiente, una constante, una variable y un término.
Simplificar una expresión algebraica.
Variables, términos y expresiones.
Una expresión numérica o aritmética incluye números y puede incluir operaciones. Nosotros resolvemos
expresiones numéricas tales como 4 + 2 × 5 . Una variable es un símbolo que representa un número
desconocido. Las variables son frecuentemente nombradas con las letras x, y, z, t. Una expresión algebraica
incluye variables y puede incluir números u operaciones. Nosotros simplificamos expresiones algebraicas.
Un término es un producto o cociente de números y/o variables. Un número o variable solos, también son
términos. Ejemplos de términos son:
3
4, 𝑦, 5𝑟, 7,5𝑥 4 ,
, − 17𝑎𝑏 2
𝑛
Los términos están separados por los signos de adición (+) o sustracción (−). En la expresión
5𝑥 + 𝑦 − 3
existen tres términos 5𝑥, 𝑦, 3. Un término como 3 que solo es un número es una constante. Cuando un
término es un producto de un número y una o más variables, el número es el coeficiente del término. En el
término 5𝑥, el coeficiente es 5 y la variable es 𝑥. En el término 𝑦, el coeficiente es 1 porque 𝑦 = 1𝑦.
Ejemplo 1:
La expresión
puede escribirse como
3𝑥 2 − 6𝑥 − 2
3𝑥
⏟2 + (−6𝑥)
+ (−2)
⏟
⏟
𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟
𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜
𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜
𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜
𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟
𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜
o sea, tiene tres términos. Recordemos que la sustracción puede escribirse como la adición del opuesto.
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 55
Módulo de Matemática
Aritmética
Algebra
En aritmética, expresamos ideas usando expresiones aritméticas.
6 + 53
6+𝑥
¿Cómo expresamos nuestras ideas en álgebra? Usamos expresiones
3,2 − 7
3,2 − 𝑦
algebraicas, las cuales contienen las variables x, y, z, etc. Por
7
×
5,5
7
×
𝑧 𝑜 7𝑧
ejemplo 3𝑥 − 8, 2𝑧 + 3𝑥, y 4𝑦 + 5𝑧 + 5 son expresiones
𝑎
5
algebraicas. Veamos un cuadro comparativo.
𝑏
7
En álgebra es mejor escribir 7𝑧 en lugar de 7 × 𝑧 porque el signo
de multiplicación × se puede confundir fácilmente con la letra x. Además, mira la confusión que se produciría
si escribimos 𝑥 multiplicado por 𝑥 como 𝑥 × 𝑥! (Usted probablemente sabe que 𝑥 × 𝑥 se escribe como 𝑥 2 ). A
partir de ahora, vamos a tratar de evitar el uso de × para indicar la multiplicación.
TEMA 3
TEORIA
INGRESO FQByF
Expresiones
1 2
𝑥 − 3𝑥 − 7
2
−5𝑥 3 + 3𝑥 2 𝑦 − 2
4(𝑥 + 3) + 2𝑥 + 0,2(𝑥 − 2) + 1
Términos
1 2
𝑥 ,
2
−5𝑥 3 ,
4(𝑥 + 3),
−3𝑥,
−7
3𝑥 2 𝑦,
2𝑥,
−2
0,2(𝑥 − 2),
1
∎
Ejemplo 2:
Término
Coeficiente
𝑥 =1∙𝑥
1
−𝑏 2 = −1 ∙ 𝑏 2
−1
5𝑘 5
= 𝑘
7
7
−3𝑥𝑦𝑧
3
= − ∙ 𝑥𝑦𝑧
7
7
7
5
7
3
−
7
7
−17𝑎𝑏 2
−17𝑏 2 𝑎.
Notación: Por la propiedad conmutativa de la multiplicación, 6𝑤 = 𝑤6 y
=
usualmente escribimos el factor numérico primero y los factores variables en orden alfabético.
∎
Sin embargo,
Ejemplo 3: Dada la expresión 8𝑥 − 7𝑏 + 𝑧 + 4
¿Cuántos términos tiene esta expresión? Identifique los coeficientes, las constantes y las variables.
Ejemplo 4: ¿La m se usa cómo un factor o cómo un término en cada expresión? a) 𝑚 + 6 b) 8𝑚
Estrategia: comenzamos determinando si m está involucrada en una adición o en una multiplicación. Porque
el símbolo de adición separa la expresión en términos. Un factor es un número que está siendo multiplicado.
Solución: a) como m esta sumada a 6, m es un término de m+6.
b) como m esta multiplicada por 8, m es un factor de 8m.
∎
Los términos semejantes son términos que tienen exactamente las mismas variables con los mismos
exponentes en cada variable (excepto posiblemente sus coeficientes o el orden en el cual se multiplican los
factores). Las constantes son también consideradas términos semejantes. Por ejemplo, 3x y 5x son términos
semejantes, 2𝑥 2 y −3𝑥 2 son términos semejantes, y 3𝑥 2 𝑦 y −2𝑥 2 𝑦 son términos semejantes. Los términos
que no se parecen se conocen como términos no semejantes.
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 56
Módulo de Matemática
Solución: Existen cuatro términos en esta expresión 8𝑥, −7𝑏, 𝑧, 4.
Como 𝑧 se puede reescribir como 1𝑧, los coeficientes son 8, −7 y 1; la constante es 4; y las variables son
𝑥, 𝑦, 𝑧.
∎
Es importante ser capaz de distinguir entre los términos de una expresión y los factores de los términos.
TEMA 3
TEORIA
Términos semejantes
Si los términos incluyen variables, las variables son
las mismas. Si una variable tiene un exponente, es el
mismo en cada término, solo los coeficientes pueden
ser diferentes. Las constantes son términos
semejantes
5𝑥
10𝑥
7
3𝑥
−4𝑥 7
2𝑎𝑥
9𝑎𝑥
11
3
INGRESO FQByF
Términos no semejantes
Si una variable no es la misma en los términos, o si
teniendo la misma variable esta tiene distinto
exponente.
5𝑥
3𝑥 7
2𝑎3 𝑥
2𝑎𝑥 2
10𝑦
3𝑥 4
2𝑎𝑥
3𝑎2 𝑥
PROPIEDADES DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Ahora repasemos las propiedades que dimos en el tema 2. Las propiedades de los números reales son
especialmente útiles cuando trabajamos con expresiones algebraicas. Para cada una de las propiedades dadas
en la siguiente tabla, a, b y c representan números reales, variables o expresiones algebraicas.
Terminología
Caso general
𝑎+𝑏 =𝑏+𝑎
La adición es conmutativa.
Ejemplo
13𝑥 + 5 = 5 + 13𝑥
2𝑥 + 7𝑦 = 7𝑦 + 2𝑥
(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐)
3 + (8 + 𝑥) = (3 + 8) + 𝑥 = 11 + 𝑥
𝑎𝑏 = 𝑏𝑎
𝑥 ∙ 7 = 7𝑥
La multiplicación es asociativa.
𝑎(𝑏𝑐) = (𝑎𝑏)𝑐
−2(3𝑥) = (−2 ∙ 3)𝑥 = −6𝑥
La multiplicación es distributiva
sobre la adición
𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐
5(3𝑥 + 7) = 5 ∙ 3𝑥 + 5 ∙ 7 = 15𝑥 + 35
La adición es asociativa.
La multiplicación es
conmutativa.
Propiedad
Significado
Ejemplo
𝑎(𝑏 − 𝑐) = 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐
La multiplicación distribuye
sobre la sustracción
5(3𝑥 − 7) = 5 ∙ 3𝑥 − 5 ∙ 7 = 15𝑥 − 35
𝑎(𝑏 + 𝑐 + 𝑑) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑
La multiplicación distribuye
sobre tres o más términos
(𝑏 + 𝑐)𝑎 = 𝑏𝑎 + 𝑐𝑎
La multiplicación sobre la
derecha distribuye sobre la
adición o sustracción.
4(𝑥 + 3𝑦 + 10)
= 4𝑥 + 4 ∙ 3𝑦 + 4 ∙ 10
= 4𝑥 + 12𝑦 + 40
(𝑥 + 7)9 = 𝑥 ∙ 9 + 7 ∙ 9 = 9𝑥 + 63
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 57
Módulo de Matemática
Otras formas de la propiedad distributiva
TEMA 3
TEORIA
INGRESO FQByF
Simplificar una expresión significa reducir (o combinar) todos los términos semejantes de dicha expresión.
Para esto trabajamos de izquierda a derecha sumando o restando los coeficientes de los términos semejantes;
y sumamos o restamos las constantes.
3𝑥
𝑥+𝑥+𝑥
2𝑥 2
+
5𝑥
+ 𝑥+𝑥+𝑥+𝑥+𝑥
+ 𝑥2 + 𝑥2 + 𝑥2 + 𝑥2
= 8𝑥
= 𝑥+𝑥+𝑥+𝑥+𝑥+𝑥+𝑥+𝑥
4𝑥 2
+
𝑥2 + 𝑥2
(3 + 5)𝑥
=
=
(2 + 4)𝑥 2
= 6𝑥 2
= 𝑥2 + 𝑥2 + 𝑥2 + 𝑥2 + 𝑥2 + 𝑥2
La propiedad distributiva
𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐
nos permite sumar y restar términos semejantes. Para ello, generalmente aplicaremos la propiedad en la forma
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 = (𝑎 + 𝑏)𝑥
¿Cómo combinamos −3𝑥 con −2𝑥? Primero escribimos
−3𝑥
+
(−2𝑥)
(−𝑥) + (−𝑥) + (−𝑥) + (−𝑥) + (−𝑥)
Así,
−3𝑥 + (−2𝑥) = [−3 + (−2)]𝑥 = −5𝑥
Observe que escribimos la adición de −3𝑥 y −2𝑥 como −3𝑥 + (−2𝑥), usando paréntesis alrededor de −2𝑥.
Hacemos esto para evitar la confusión de escribir
−3𝑥 + −2𝑥
Nunca use dos signos de operación juntos sin paréntesis.
Ejemplo 5: Simplificar: 9𝑥 + 𝑥 − 4𝑥
Solución:
9𝑥 + 𝑥 − 4𝑥 = 9𝑥 + 1𝑥 − 4𝑥
Reescribimos 𝑥 como 1𝑥
= 10𝑥 − 4𝑥
Combinamos términos semejantes (sumamos coeficientes 9 + 1)
= 6𝑥
Combinamos términos semejantes (restamos coeficientes 10 − 4)
5𝑦 + 2𝑦 + 9𝑧 − 𝑧 + 8 = 5𝑦 + 2𝑦 + 9𝑧 − 1𝑧 + 8
Identificamos los términos semejantes; −𝑧 = −1𝑧
Combinamos términos semejantes.
= 7𝑦 + 8𝑧 + 8
∎
Algunos estudiantes identifican los términos semejantes dibujando la misma forma alrededor.
Ejemplo 7: Simplificar 12𝑥 2 + 3𝑥 − 9 + 4𝑥 2 − 5𝑥 − 2
Solución:
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 58
Módulo de Matemática
∎
Ejemplo 6: Simplifique 5𝑦 + 2𝑦 + 9𝑧 − 𝑧 + 8
Solución:
TEMA 3
TEORIA
12𝑥 2 + 3𝑥 − 9 + 4𝑥 2 − 5𝑥 − 2
= 12𝑥 2 + 3𝑥 − 9 + 4𝑥 2 − 5𝑥 − 2
= 12𝑥 2 + 3𝑥 − 9
INGRESO FQByF
Identificamos
los
términos
semejantes
Combinamos
los
términos
semejantes
∎
Multiplicación de términos
Hemos sumado y restado solamente términos semejantes. Sin embargo podemos multiplicar términos no
semejantes tales como 4𝑤 y 7𝑡. Se multiplican los coeficientes y se multiplican las variables. Reescribimos
los productos de la misma base en notación exponencial.
Ejemplo 8: Simplificar: 4𝑤 ∙ 7𝑡
Solución:
4𝑤 ∙ 7𝑡 = 28𝑤𝑡
Multiplicamos coeficientes, multiplicamos variables
∎
En el próximo ejemplo, podemos encontrar y simplificar factores comunes en el numerador y denominador
antes de multiplicar. La expresión ℎ ∙ ℎ se reescribe en notación exponencial como ℎ2 .
2
3
1
6
Ejemplo 9: Simplificar (− ℎ) ( ℎ𝑘)
Solución:
2
1
2
1
(− ℎ) ( ℎ𝑘) = (− ℎ) (
ℎ𝑘)
3
6
3
2∙3
1
= − ℎ2𝑘
9
2
Encontramos factores comunes 2 = 1
Multiplicamos coeficientes; multiplicamos variables (ℎ)(ℎ) = ℎ2
∎
Muchas de las propiedades de la multiplicación estudiadas en el tema anterior son útiles para simplificar
expresiones algebraicas. En la siguiente tabla a representa un número real, una variable o una expresión
algebraica.
Propiedad
Significado
Ejemplo
1 puede ser eliminado de un producto
1 es la identidad
multiplicativa.
1𝑥 = 𝑥
𝑎∙1 = 𝑎
1(3𝑥 − 5) = 3𝑥 − 5
1∙𝑎 =𝑎
Inverso multiplicativo
1
𝑎∙ =1
𝑎
1
∙𝑎 = 1
𝑎
Multiplicación por −1
Doble negativo
−1 ∙ 𝑎 = −𝑎
𝑎 ∙ (−1) = −𝑎
−(−𝑎) = 𝑎
3𝑥 ∙
1
= 1 𝑠𝑖 𝑥 𝑛𝑜 𝑒𝑠 0
3𝑥
1
∙ (𝑦 − 3) = 1 𝑠𝑖 𝑦 𝑛𝑜 𝑒𝑠 3
𝑦−3
−1𝑥 = 𝑥
−(𝑥 + 4) = −1(𝑥 + 4) = −𝑥 − 4
−(−7𝑦) = 7𝑦
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 59
Módulo de Matemática
Si a no es 0
TEMA 3
TEORIA
INGRESO FQByF
Simplificación de expresiones algebraicas
Para resolver la expresión numérica 3(6 + 4) seguimos el orden de las operaciones, primero resolvemos el
paréntesis, sumamos 6 + 4. En la expresión algebraica 3(6𝑥 + 4), no podemos combinar 6𝑥 y 4 porque no
son términos semejantes.
Necesitamos usar primero la propiedad distributiva, 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐, para eliminar los paréntesis.
Ejemplo 10: Simplificar 3(6𝑥 + 4) + 9
Solución:
Propiedad distributiva
3(6𝑥 + 4) + 9 = 3(6𝑥) + 3(4) + 9
= 18𝑥 + 12 + 9
Simplificamos; identificamos términos semejantes
= 18𝑥 + 21
Combinamos términos semejantes
∎
Ejemplo 11: Simplifique 5𝑥 − 9 + 2(4𝑥 + 5).
Solución:
5𝑥 − 9 + 2(4𝑥 + 5)
= 5𝑥 − 9 + 8𝑥 + 10 = 13𝑥 + 1
Usamos la ley distributiva
Combinamos los términos semejantes
∎
Ejemplo 12: Simplifique 7𝑥 2 + 3(𝑥 2 + 2𝑥) − 5𝑥
Solución:
7𝑥 2 + 3 (𝑥 2 + 2𝑥) − 5𝑥 = 7𝑥 2 + 3𝑥 2 + 6𝑥 − 5𝑥 = 10𝑥 2 + 𝑥
Combinamos los términos semejantes
∎
Para evitar signos incorrectos, use paréntesis cuando multiplique números negativos.
Ejemplo 13: Escribir una expresión equivalente a −(3𝑥 + 2𝑦 − 4) sin usar paréntesis.
Solución:
−(3𝑥 + 2𝑦 − 4) = −1(3𝑥 + 2𝑦 − 4) = −1(3𝑥) + (−1)2𝑦 + (−1)(−4) = −3𝑥 − 2𝑦 + 4
Eliminamos paréntesis y cambiamos los signos de cada uno de los términos interiores
3𝑥 − (4𝑥 + 2) = 3𝑥 − 4𝑥 − 2 = −𝑥 − 2
Combinamos términos semejantes
∎
Ejemplo 15: Simplifique:
5𝑡 2
− 2𝑡
− (4𝑡 2
− 9𝑡).
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 60
Módulo de Matemática
∎
Ejemplo 14: Simplifique: 3𝑥 − (4𝑥 + 2).
Solución:
TEMA 3
TEORIA
INGRESO FQByF
Solución:
Eliminamos paréntesis y cambiamos los signos de cada uno de los términos interiores
5𝑡 2 − 2𝑡 − (4𝑡 2 − 9𝑡) = 5𝑡 2 − 2𝑡 − 4𝑡 2 + 9𝑡 = 𝑡 2 + 7𝑡.
Combinamos términos semejantes
∎
7𝑥 3
[5(𝑥 3
Ejemplo 16: Simplificar
+2−
− 1) + 8]
Solución
7𝑥 3 + 2 − [5(𝑥 3 − 1) + 8] = 7𝑥 3 + 2 − [5𝑥 3 − 5 + 8]
Eliminamos paréntesis
= 7𝑥 3 + 2 − [5𝑥 3 + 3]
= 7𝑥 3 + 2 − 5𝑥 3 − 3
Eliminamos corchetes
= 2𝑥 3 − 1
Combinamos términos semejantes
∎
Pregunta: ¿Necesito usar la propiedad distributiva para simplificar una expresión algebraica tal como
4 (3𝑥 + 5𝑥) que contiene términos semejantes dentro de los paréntesis?
Respuesta: Se usa la propiedad distributiva para eliminar paréntesis cuando los términos dentro del paréntesis
no son términos semejantes:
4(3𝑥 + 5𝑦) = 4 ∙ 3𝑥 + 4 ∙ 5𝑦 = 12𝑥 + 20𝑦
3𝑥 y 5𝑦 no son términos semejantes
No es necesario usar la propiedad distributiva para eliminar paréntesis cuando los términos dentro del
paréntesis son semejantes
4(3𝑥 + 5𝑥) = 4(8)𝑥 = 32𝑥
Mentalmente aplicamos la
3𝑥 y 5𝑥 son términos semejantes y se pueden
propiedad asociativa:
combinar: 3𝑥 + 5𝑥 = 8𝑥
4(8𝑥) = (4 ∙ 8)𝑥 = 32𝑥
Es importante que distinga entre simplificar una expresión y resolver una ecuación. Por ahora no resolvemos
ecuaciones, solo simplificamos expresiones. Más adelante comenzaremos a resolver ecuaciones.
Evaluación de expresiones algebraicas
Ejemplo 17: Evaluar la expresión dada para 𝑥 = 10 y para 𝑦 = 5
𝑥
a) 𝑥 + 𝑦
b) 𝑥 − 𝑦
c) 4𝑦
d)
e) 3𝑥 − 2𝑦
𝑦
Solución:
a) Sustituimos la variable x por 10 y a la variable y por 5 en la expresión 𝑥 + 𝑦.
Obtenemos: 𝑥 + 𝑦 = 10 + 5 = 15.
El número 15 se llama el valor de 𝑥 + 𝑦.
b)
𝑥 − 𝑦 = 10 − 5 = 5
c) 4𝑦 = 4(5) = 20
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 61
Módulo de Matemática
Como hemos visto, una expresión algebraica contiene variables, signos de operación y números. Si sustituimos
una o más variables por un número dado, decimos que estamos evaluando la expresión. Veamos cómo
funciona esto con varios ejemplos.
TEMA 3
d)
TEORIA
𝑥 10
=
=2
𝑦
5
e) 3𝑥 − 2𝑦
INGRESO FQByF
= 3(10) − 2(5)
= 30 − 10
= 20
∎
Ejemplo 18: Evaluar la expresión dada para 𝑥 = 3 y para 𝑦 = −4
a) 𝑦 3 + 𝑦 2
b) −𝑦 − 𝑥
c) |5𝑥𝑦 − 7|
d)
𝑦−0
𝑥−(−1)
Estrategia: reemplazamos cada x y cada y en las expresiones con los valores dados para las variables, y
resolvemos siguiendo el orden de las operaciones.
¿Por qué? Evaluar una expresión significa encontrar su valor numérico, una vez que conocemos el valor de
sus variables.
Solución:
𝑦 3 + 𝑦 2 = (−4)3 + (−4)2
b)
c)
d)
−𝑦 − 𝑥
base de cada expresión exponencial.
= −64 + 16
Resolvemos cada expresión exponencial
= −48
Sumamos
Sustituimos 𝑦 por −4 y 𝑥 por 3. No nos olvidemos de escribir el signo –
= −(−4) − 3
delante de (−4).
=4−3
Simplificamos: −(−4) = 4
=1
Restamos
|5𝑥𝑦 − 7| = |5(3)(−4) − 7|
𝑦−0
𝑥 − (−1)
Sustituimos cada 𝑦 por −4. Escribimos −4 entre paréntesis para que sea la
Sustituimos 𝑦 por −4 y 𝑥 por 3.
= |−60 − 7|
Multiplicamos 5(3)(−4) = −60
= |−67|
Restamos−60 − 7 = −67
= 67
Encontramos el valor absoluto de −67
=
(−4) − 0
(3) − (−1)
Sustituimos 𝑦 por −4 y 𝑥 por 3.
=
−4
4
En el denominador hacemos la sustracción 3 − (−1) = 4
= −1
Simplificamos la fracción
∎
Ejemplo 19: Evalúa −𝑥 3 − 𝑥𝑦 − 𝑦 2 cuando 𝑥 = −2, 𝑦 = 5.
Solución:
−𝑥 3 − 𝑥𝑦 − 𝑦 2
= −(−2)3 − (−2)(5) − (5)2
= −(−8) − (−10) − 25
= 8 + 10 − 25
= −7
∎
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 62
Módulo de Matemática
a)
TEMA 3
TEORIA
INGRESO FQByF
Ejemplo 20: Volumen de una capsula: Las cápsulas tienen la forma de un cilindro de 12
milímetros de largo con dos medias esferas con un diámetro de 2 milímetros en cada extremo.
¿Cuál es el volumen de la cápsula? Utiliza 3.14 para 𝜋 y redondea la respuesta a la centésima
más cercana de un milímetro cúbico.
Solución: Tenemos que encontrar el volumen V formado por el volumen del cilindro más el
volumen de dos medias esferas (que forman una esfera entera), ver figura.
El volumen del cilindro es
𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝜋 ∙ 𝑟 2 ∙ ℎ
Donde 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 = 𝑟 = 1 𝑚𝑚, 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = ℎ = 12 𝑚𝑚, entonces
𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜
= 3,14 ∙ (1 𝑚𝑚)2 ∙ (12 𝑚𝑚)
= 37,68 𝑚𝑚3
El volumen de la esfera es
𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
4
∙ 𝜋 ∙ 𝑟3
3
4
= ∙ 3,14 ∙ (1 𝑚𝑚)3
3
≈ 4,19 𝑚𝑚3
=
Entonces el volumen buscado es
𝑉 = 𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 + 𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = 37,68 + 4,19 = 41,87𝑚𝑚3 .
∎
ECUACIONES EN UNA VARIABLE
Los siguientes problemas revisan algunas habilidades básicas que se necesitan
cuando se resuelven ecuaciones. Llene los espacios en blanco.
7
1)
8
8=0
2)
−1,6
4)
3
1
=1
3
5)
2
−
5
1,6 = 0
=0
3)
=1
9
6) − ( ) = 1
8
En esta sección introducimos las propiedades fundamentales para resolver ecuaciones. Pero antes, ¿qué es una
ecuación?
En nuestro trabajo previo, vimos las expresiones algebraicas:
𝑥2 𝑦
8𝑥 + 7,
𝑦 − 4,
𝑠𝑜𝑛 𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑎𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎𝑖𝑐𝑎𝑠.
𝑧
Las ecuaciones e inecuaciones comparan expresiones algebraicas, exactamente igual como una balanza
compara los pesos de dos cosas. Una ecuación es una afirmación de que dos expresiones algebraicas son
iguales. Una ecuación siempre contiene un símbolo igual (=), mientras que una expresión no. Algunos ejemplos
Ejemplo 21:
6𝑥 + 16 = 46,
4𝑦 2 + 2 = 2𝑦 − 3
2(𝑧 + 1)
=1
5(𝑧 − 3)
lado
lado
izquierdo
derecho
Ecuación
(resolver)
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 63
Módulo de Matemática
¿Estás preparado?
TEMA 3
TEORIA
INGRESO FQByF
Las ecuaciones, como son una afirmación, es decir una proposición numérica, pueden ser verdaderas, falsas o
ni verdaderas ni falsas.
Ejemplo 22: Determine si cada ecuación es verdadera, falsa o ninguna
a) 8 ∙ 4 = 32
Solución:
a) 8 ∙ 4 = 32
b) 7 − 3 = 5
c) 𝑥 + 3 = 7
La ecuación es verdadera
b)
7−3 =5
La ecuación es falsa
c)
𝑥+3 = 7
La ecuación no es verdadera ni falsa, porque no sabemos qué valor representa x.
∎
Una ecuación que contiene una variable se puede hacer verdadera o falsa sustituyendo la variable por un
número. Si sustituimos 𝑥 por 4 en 𝑥 + 3 = 7, la ecuación que resulta es verdadera: 4 + 3 = 7. Si sustituimos
la variable x por 2, la ecuación que resulta es falsa: 2 + 3 = 7. Un número que hace una ecuación verdadera
cuando es reemplazado por la variable se llama una solución y se dice que satisface la ecuación. Por lo tanto,
4 es una solución de 𝑥 + 3 = 7, y 2 no lo es. El conjunto solución de una ecuación es el conjunto de todos
los números reales que hacen la ecuación verdadera.
Ejemplo 23: Determinar si 9 es solución de 3𝑦 − 1 = 2𝑦 + 7.
Estrategia: Sustituimos cada y por 9 en la ecuación y evaluamos la expresión sobre el lado izquierdo y la
expresión sobre el lado derecho en forma separada.
Por qué: Si resulta una afirmación verdadera, 9 es una solución de la ecuación. Si obtenemos una afirmación
falsa, 9 no es una solución.
Solución:
Evaluamos la
expresión del
lado izquierdo
3𝑦 − 1
3(9) − 1
27 − 1
26
=
=?
=?
=
2𝑦 + 7
2(9) + 7
18 + 7
25
Evaluamos la
expresión del
lado derecho
Leemos =? como
“posiblemente igual a”
Como 26 = 25 es falso, 9 no es solución de 3𝑦 − 1 = 2𝑦 + 7.
∎
Estrategia: Sustituimos cada y por 8 en la ecuación y evaluamos la expresión sobre el lado izquierdo y la
expresión sobre el lado derecho en forma separada.
Por qué: Si resulta una afirmación verdadera, 8 es una solución de la ecuación. Si obtenemos una afirmación
falsa, 9 no es una solución.
Solución:
Evaluamos la
expresión del
lado izquierdo
3𝑦 − 1
3(8) − 1
24 − 1
23
=
=?
=?
=
2𝑦 + 7
2(8) + 7
16 + 7
23
Evaluamos la
expresión del
lado derecho
Como 23 = 23 es verdadera, 8 es solución de 3𝑦 − 1 = 2𝑦 + 7.
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 64
Módulo de Matemática
Ejemplo 24: Determinar si 8 es solución de la ecuación del ejemplo anterior.
TEMA 3
TEORIA
INGRESO FQByF
La igualdades poseen las siguientes propiedades:
Para todos los números reales a, b y c:
1. 𝑎 = 𝑎
2. Si 𝑎 = 𝑏, entonces 𝑏 = 𝑎.
3. Si 𝑎 = 𝑏 y 𝑏 = 𝑐, entonces 𝑎 = 𝑐
Propiedades de la
igualdad
Propiedad Reflexiva
Propiedad Simétrica
Propiedad Transitiva
Ejemplo 25:
5=5
Propiedad Reflexiva
2+𝑥 =2+𝑥
Propiedad Reflexiva
𝑆𝑖 𝑥 = 7, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 7 = 𝑥
Propiedad Simétrica
𝑆𝑖 𝑧 = 𝑦 + 3, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑦 + 3 = 𝑧
Propiedad Simétrica
𝑆𝑖 𝑥 = 5𝑧 y 𝑧 = 3𝑡, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 = 5(3𝑡) = 15𝑡
Propiedad Transitiva
𝑆𝑖 𝑦 − 𝑥 = 𝑧 y 𝑧 = −𝑡, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑦 − 𝑥 = −𝑡
Propiedad Transitiva
∎
En adelante esta propiedades se utilizaran con frecuencia, pero no haremos referencia a ellas por su nombre.
No podemos probar todos los números reales para encontrar el conjunto solución de cada ecuación que nos
den. Para resolver una ecuación necesitamos un método más sistemático que nos lleve a encontrar la solución,
si la hubiere, para cualquier tipo de ecuación.
Resolver una ecuación significa encontrar todos los valores de la variable
que hacen la ecuación verdadera.
Podemos comprender cómo resolver ecuaciones haciendo referencia a las
balanzas mostradas a la derecha.
La primer balanza representa la ecuación 𝑥 − 2 = 3. La expresión del
lado izquierdo es igual a la expresión del lado derecho. La ecuación está
“balanceada”. Para encontrar x debemos sumar 2 al lado izquierdo, para
mantener la balanza en equilibrio, también debemos sumar 2 al lado
derecho. Después de hacer esto observamos que la balanza está en
equilibrio cuando x es 5. Entonces decimos que hemos resuelto la
ecuación 𝑥 − 2 = 3 y que su solución es 5. (Ver ejemplo 26, a
continuación)
Ecuaciones equivalentes
Las ecuaciones con el mismo conjunto solución se llaman ecuaciones
equivalentes.
El procedimiento que usamos recién sugiere la siguiente propiedad de igualdad.
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 65
Módulo de Matemática
En éste ejemplo, resolvimos 𝑥 − 2 = 3 transformandola en una ecuación equivalente más simple 𝑥 = 5.
TEMA 3
TEORIA
Propiedad de la adición para la
igualdad
INGRESO FQByF
Sumar el mismo número a ambos lados de una ecuación no cambia
su solución.
Para números reales cualesquiera a, b, c
𝑆𝑖 𝒂 = 𝒃,
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝒂 + 𝒄 = 𝒃 + 𝒄
Cuando usamos esta propiedad, la ecuación resultante es equivalente a la original.
Resolvemos ecuaciones escribiendo una serie de pasos que resultan en una ecuación equivalente de la forma
𝑥 = 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜
o
𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 = 𝑥
Decimos que la variable es aislada o despejada de un lado de la ecuación. Aislada significa sola o por si
misma.
Ahora mostraremos como se usa para resolver algebraicamente la ecuación 𝑥 − 2 = 3.
Ejemplo 26: Resolver 𝑥 − 2 = 3
Estrategia: Usaremos una propiedad de la igualdad para aislar la variable en un lado de la ecuación.
Por qué: Para resolver la ecuación original, queremos encontrar una ecuación equivalente más simple de la
forma 𝑥 = 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜, cuya solución es obvia.
Solución:
𝑥−2 =3
𝑥−2+2 =3+2
𝑥+0 =5
𝑥
=5
Esta es la ecuación a resolver
Usamos la propiedad de la adición de la igualdad para aislar la x del lado izquierdo de
la ecuación. Deshacemos la sustracción de 2 sumando 2 a ambos lados
La suma de un número y su opuesto es cero: −2 + 2 = 0
Cuando se suma cero a un número, el resultado es el mismo número
Como 5 es obviamente la solución de la ecuación equivalente 𝑥 = 5, la solución de la ecuación original,
𝑥 − 2 = 3, también es 5. Para verificar este resultado, sustituimos 𝑥 por 5 en la ecuación original y
simplificamos.
𝑥−2 = 3
Esta no es la
Sustituimos 𝑥 por 5
5 − 2 =? 3
solución
Verdadera
3 = 3
Estrategia: Usaremos una propiedad de la igualdad para aislar la variable en un lado de la ecuación.
Por qué: Para resolver la ecuación original, queremos encontrar una ecuación equivalente más simple de la
forma 𝑦 = 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 o 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 = 𝑦, cuya solución es obvia.
Solución:
a)
−19 = 𝑦 − 7
−19 + 7 = 𝑦 − 7 + 7
−12 = 𝑦
Esta es la ecuación a resolver
Usamos la propiedad de la adición de la igualdad para aislar la y del lado derecho de la
ecuación. Deshacemos la sustracción de 7 sumando 7 a ambos lados
La suma de un número y su opuesto es cero: −7 + 7 = 0
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 66
Módulo de Matemática
Como la afirmación resultante es verdadera, 5 es solución de 𝑥 − 2 = 3. Una manera más formal de presentar
éste resultado es escribir la solución entre llaves como conjunto solución {5}.
∎
Ejemplo 27: Resolver: a) −19 = 𝑦 − 7
b) −27 + 𝑦 = −3
TEMA 3
TEORIA
Verificación
INGRESO FQByF
Esta es la ecuación original
−19 = 𝑦 − 7
−19 =? −12 − 7
−19 = −19
Sustituimos 𝑦 por −12
Verdadera
Como la afirmación resultante es verdadera, la solución es −12. El conjunto solución es {−12}.
b)
−27 + 𝑦
Esta es la ecuación a resolver
= −3
−27 + 𝑦 + 27 = −3 + 27
𝑦
Eliminamos −27 del lado izquierdo sumando su opuesto a ambos lados.
La suma de un número y su opuesto es cero: −27 + 27 = 0
= 24
−27 + 𝑦
Verificación
Para aislar y del lado izquierdo usamos la propiedad de la adición de la igualdad.
=
−3
−27 + 24 =? −3
−3 = −3
Esta es la ecuación original
Sustituimos 𝑦 por −12
Verdadera
La solución es 24. El conjunto solución es {24}.
∎
Como cualquier sustracción se puede escribir como una adición sumando el opuesto del número a ser sustraído,
la siguiente propiedad es una extensión de la propiedad de adición para la igualdad.
Restar el mismo número a ambos lados de una ecuación no cambia
su solución.
Para números reales cualesquiera a, b, c
𝑆𝑖 𝒂 = 𝒃,
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝒂 − 𝒄 = 𝒃 − 𝒄
Propiedad de la sustracción
para la igualdad
Cuando usamos esta propiedad, la ecuación resultante es equivalente a la original.
7
8
4
b) 54,9 + 𝑥 = 45,2
Estrategia: Usaremos una propiedad de la igualdad para aislar la variable en un lado de la ecuación.
Por qué: Para resolver la ecuación original, queremos encontrar una ecuación equivalente más simple de la
forma 𝑥 = 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜, cuya solución es obvia.
Solución:
1
7
Esta es la ecuación a resolver
a)
𝑥+
=
8
4
Para aislar x usamos la propiedad de la sustracción de la igualdad. Deshacemos la
1 1
7 1
1
1
𝑥+ −
= −
adición de restando a ambos lados.
8 8
4 8
8
8
13
1 1
La suma de un número y su opuesto es cero: − = 0.
𝑥 =
8 8
8
Verificamos que
b)
13
8
es la solución sustituyendo la 𝑥 en la ecuación original y simplificando.
54,9 + 𝑥 = 45,2
54,9 + 𝑥 − 54,9 = 45,2 − 54,9
𝑥 = −9,7
Esta es la ecuación a resolver
Para aislar x usamos la propiedad de la sustracción de la igualdad.
Deshacemos la adición de 54,9 restando 54,9 a ambos lados.
Del lado izquierdo: 54,9 − 54,9 = 0.
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 67
Módulo de Matemática
1
Ejemplo 28: Resolver: a) 𝑥 + =
TEMA 3
TEORIA
54,9 + 𝑥
54,9 + (−9,7)
45,2
Verificación
=
=?
=
INGRESO FQByF
Esta es la ecuación original
45,2
45,2
45,2
Sustituimos 𝑥 por −9,7
Verdadera
La solución es −9,7. El conjunto solución es {−9,7}. ∎
Para desarrollar otra propiedad de la igualdad, consideremos primero la
𝑥
balanza mostrada en la figura que representa la ecuación = 25. La
3
balanza está en equilibrio porque los pesos sobre el lado izquierdo y derecho
son iguales. Para encontrar x, debemos triplicar (buscar el triple es
multiplicar por 3) el peso sobre el lado izquierdo. Para mantener la balanza
en equilibrio, también debemos triplicar el peso sobre el lado derecho.
Después de hacer esto, vemos en la segunda ilustración que 𝑥 esta
“balanceado” con 75. Por lo tanto, 𝑥 debe ser 75.
El procedimiento que usamos para mantener la balanza en equilibrio
sugiere la siguiente propiedad de igualdad.
Multiplicar ambos lados de una ecuación por el mismo número distinto de
cero no cambia su solución.
Para números reales cualesquiera a, b, c, donde c no es 0
𝑆𝑖 𝒂 = 𝒃,
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝒄𝒂 = 𝒄𝒃
Propiedad de la
multiplicación para la
igualdad
Cuando usamos esta propiedad, la ecuación resultante es equivalente a la original. Ahora mostraremos como
la usamos para resolver
Ejemplo 29: Resolver
𝑥
3
𝑥
3
= 25 algebraicamente.
= 25
𝑥
= 25
3
3∙
𝑥
= 3 ∙ 25
3
Esta es la ecuación a resolver
Para aislar x usamos la propiedad de la multiplicación de la igualdad. Deshacemos la
división entre 3 multiplicando a ambos lados por 3.
3𝑥
3
= 75
Hacemos la multiplicación
1𝑥
= 75
Simplificamos 3 ÷ 3 = 1
𝑥
= 75
El coeficiente 1 no necesita escribirse.
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 68
Módulo de Matemática
Estrategia: Usaremos una propiedad de la igualdad para aislar la variable en un lado de la ecuación.
Por qué: Para resolver la ecuación original, queremos encontrar una ecuación equivalente más simple de la
forma 𝑥 = 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜, cuya solución es obvia.
Solución:
TEMA 3
TEORIA
Si sustituimos la 𝑥 por 75 en
𝑥
3
INGRESO FQByF
= 25, obtenemos una afirmación verdadera 25 = 25. Esto confirma que 75
es la solución. El conjunto solución es {75}. ∎
Como el producto de un número y su recíproco (o inverso multiplicativo) es 1, podemos resolver ecuaciones
2
3
tales como 𝑥 = 6, donde el coeficiente de la variable es una fracción, de la siguiente forma:
Ejemplo 30: Resolver
2
𝑥
3
a)
=6
b) −
5𝑥
4
=
3
16
Estrategia: Usaremos una propiedad de la igualdad para aislar la variable en un lado de la ecuación.
Por qué: Para resolver la ecuación original, queremos encontrar una ecuación equivalente más simple de la
forma 𝑥 = 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜, cuya solución es obvia.
2
3
Solución: a) Como el coeficiente de x es , podemos aislar x multiplicando ambos lados de la ecuación por
2
3
3
2
el recíproco de , el cual es .
=6
Esta es la ecuación a resolver
3 2
∙ 𝑥
2 3
=
3
∙6
2
Para deshacer la multiplicación por
3 2
( ∙ )𝑥
2 3
=
3
∙6
2
Usamos la propiedad asociativa de la multiplicación para agrupar
=9
Sobre el lado izquierdo
𝑥
=9
El coeficiente 1 no necesita escribirse ya que 1𝑥 = 𝑥.
2
𝑥
3
2
(9)
3
6
5𝑥
4
=
3
16
5
− 𝑥
4
=
3
16
−
=−
=
6
Esta es la ecuación original
=?
6
Sustituimos 𝑥 por 9 en la ecuación original
=
6
Sobre el lado izquierdo
2
3
∙9=
18
3
18
2
= 9.
= 6.
5𝑥
5
Escribimos − 4 como − 4 𝑥.
3
20
Comprobar que la solución es −
= 1, sobre el lado derecho ∙ 6 =
Esta es la ecuación a resolver
4
5
4 3
− ∙ (− 𝑥) = − ∙ ( )
5
4
5 16
𝑥
3 2
y .
2 3
3
2
1𝑥
Verificación
b)
3 2
∙
2 3
3
2
multiplicando a ambos lados por el recíproco .
2
3
5
Para aislar x, deshacemos la multiplicación por − 4 multiplicando a ambos lados por
4
el recíproco − .
5
Sobre el lado izquierdo −
3
,
20
4
3
3
∙ (− 54) = 1, sobre el lado derecho − 45 ∙ 16
= − 20
.
5
haciendo la verificación. ∎
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 69
Módulo de Matemática
2
𝑥
3
TEMA 3
TEORIA
INGRESO FQByF
Ya que cualquier división se puede reescribir como una multiplicación, multiplicando por el recíproco, la
siguiente propiedad es una extensión natural de la propiedad de la multiplicación para la igualdad.
Propiedad de la división
para la igualdad
Dividir ambos lados de una ecuación por el mismo número distinto de cero
no cambia su solución.
Para números reales cualesquiera a, b, c, donde c no es 0
𝒂 𝒃
𝑆𝑖 𝒂 = 𝒃,
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
=
𝒄 𝒄
Cuando usamos esta propiedad, la ecuación resultante es equivalente a la original.
Ejemplo 31: Resolver: a) 2𝑡 = 80
b) −6,02 = −8,6𝑡
Estrategia: Usaremos una propiedad de la igualdad para aislar la variable en un lado de la ecuación.
Por qué: Para resolver la ecuación original, queremos encontrar una ecuación equivalente más simple de la
forma 𝑡 = 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 o 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 = 𝑡, cuya solución es obvia.
Solución:
a)
Ya que la división por 2 es lo mismo que
1
multiplicar por , también podríamos
2
resolver 2𝑡 = 80 usando la propiedad de la
Esta es la ecuación a resolver
2𝑡
= 80
2𝑡
2
80
=
2
de la división de la igualdad. Deshacemos la
𝑡
= 40
Simplificamos:
Para aislar t del lado izquierdo, usamos la propiedad
multiplicación. Podemos aislar la variable t
multiplicación por 2 dividiendo ambos lados de la
multiplicando ambos lados por el inverso de
1
1
1
2, que es :
∙ 2𝑡 = ∙ 80
2
2
2
ecuación por 2.
2𝑡
2
2
80
2
2
= 𝑡 = 1𝑡 = 𝑡,
= 40.
Si sustituimos la 𝑡 por 40 en la ecuación 2𝑡 = 80, obtenemos una afirmación verdadera 80 = 80. Esto verifica
que la solución es 40. El conjunto solución es {40}.
−6,02 = −8,6𝑡
b)
−6,02
−8,6𝑡
=
−8,6
−8,6
Esta es la ecuación a resolver
Para aislar t del lado derecho, usamos la propiedad de la división de la
igualdad. Deshacemos la multiplicación por -8,6 dividiendo ambos lados de la
ecuación por −8,6.
Hacemos la división −6,02 ÷ (−8,6) = 0,7.
0,7 = 𝑡
Corrobore que la solución es 0,7, realizando la verificación.
∎
Estrategia: La variable 𝑥 no está aislada porque existe un signo – delante de ella. Como el término −𝑥 tiene el
coeficiente −1, la ecuación se puede reescribir como −1𝑥 = 3. Necesitamos seleccionar una propiedad de la
igualdad y usarla para aislar la variable de un lado de la ecuación.
Por qué: Para resolver la ecuación original, queremos encontrar una ecuación equivalente más simple de la
forma 𝑥 = 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜, cuya solución es obvia.
Solución: Para aislar x, podemos multiplicar o dividir ambos lados por −1.
Multiplicamos ambos lados por −𝟏:
−𝑥
=3
La ecuación a resolver
Dividimos ambos lados por −𝟏:
−𝑥
=3
La ecuación a resolver
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 70
Módulo de Matemática
Ejemplo 32: Resolver −𝑥 = 3
TEMA 3
TEORIA
−1𝑥
(−1)(−1𝑥)
=3
Escribimos −𝑥 = −1𝑥
= (−1)3
1𝑥
= −3
𝑥
= −3
1𝑥 = 𝑥
INGRESO FQByF
−1𝑥
=3
−1𝑥
−1
=
Escribimos −𝑥 = −1𝑥
3
−1
1𝑥
= −3
Sobre el lado izquierdo
𝑥
= −3
1𝑥 = 𝑥
−1
−1
=1
De cualquier manera, obtenemos el mismo resultado, −3.
−𝑥
−(−3)
3
Verificación
=
=?
=
3
3
3
Esta es la ecuación original
Sustituimos 𝑥 por −3
Verdadera
Como la afirmación resultante es verdadera, la solución es −3. El conjunto solución es {−3}. ∎
MÁS ACERCA DE RESOLVER ECUACIONES
¿Estás listo?
Los siguientes ejercicios repasan habilidades básicas que se necesitan para resolver
ecuaciones.
1)
Simplificar:
4𝑥 − 12 − 4𝑥
4)
Multiplicar:
3
5 ( 𝑥)
5
2)
Simplificar:
2𝑧 + 2 − 2
5)
Multiplicar:
4
18 ( 𝑡)
3
3)
Simplificar:
5𝑦 − 3(4𝑦 − 6)
6)
Multiplicar:
100 ∙ 0,08
Ya hemos resuelto ecuaciones simples usando las propiedades de la igualdad. Ahora queremos expandir
nuestras habilidades para resolver ecuaciones más complicadas. Queremos desarrollar una estrategia general
que se pueda usar para resolver cualquier clase de ecuación lineal en una variable.
Una ecuación lineal en una variable se puede escribir como
𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝒄
donde a, b, c son números reales y 𝑎 ≠ 0.
Algunos ejemplos de ecuaciones lineales son:
Ecuaciones lineales en una variable (x):
3𝑥 + 1 = 4
5
− 𝑥−7 =0
3
Pensar como 3𝑥1 + 1 = 4
5
3
Pensar como − 𝑥1 − 7 = 0
Leer ≠ como “no es igual a 0”
Ecuaciones no lineales en una variable:
𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0
1 3
+ =4
2 𝑥
El exponente de x no es 1
x está en el divisor
Uso de más de una propiedad para resolver ecuaciones.
Algunas veces debemos usar varias propiedades de la igualdad para resolver una ecuación. Por ejemplo, en el
lado izquierdo de 2𝑥 + 6 = 10, la variable x está multiplicada por 2, y entonces se le suma 6 al producto. Para
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 71
Módulo de Matemática
Ecuación lineal en
una variable
TEMA 3
TEORIA
INGRESO FQByF
aislar la variable x, debemos usar el orden de las operaciones en reversa. Primero, deshacemos la adición de
6, y entonces deshacemos la multiplicación por 2.
Recuerde que
Esta es la ecuación a resolver
2𝑥 + 6 = 10
 La resta deshace la
suma.
 La suma deshace la
resta.
 La división deshace la
multiplicación.
 La multiplicación
deshace la división.
2𝑥 + 6 − 6 = 10 − 6
2𝑥
=4
2𝑥
2
=
Para deshacer la adición de 6, restamos 6 de ambos lados
Restamos
4
2
Para deshacer la multiplicación por 2, dividimos ambos
lados por 2.
Dividimos
𝑥 =2
La solución es 2.
Ejemplo 33: Resolver −12𝑥 + 5 = 17
Estrategia: Primero usamos una propiedad de la igualdad para aislar el término variable (es el término que
contiene la variable) de un lado de la ecuación. Entonces usamos una segunda propiedad de la igualdad para
aislar la variable misma.
Por qué: Para resolver la ecuación original, queremos encontrar una ecuación equivalente más simple de la
forma 𝑥 = un número, cuya solución es obvia.
Solución: Sobre el lado izquierdo de la ecuación, x está multiplicada por −12, y entonces se le sumo 5 al
producto. Para aislar x, deshacemos las operaciones en el orden opuesto.
Para aislar el término variable, −12𝑥, restamos 5 de ambos lados para deshacer la adición de 5.
Para aislar la variable, x, dividimos ambos lados por −12 para deshacer la multiplicación por −12.
−12𝑥 + 5 = 17
−12𝑥 + 5 − 5 = 17 − 5
−12𝑥
= 12
−12𝑥
−12
=
𝑥
12
−12
= −1
Esta es la ecuación a resolver
Usamos la propiedad de la sustracción para la igualdad. Restamos 5 a ambos
lados para deshacer la adición y aislar el término variable, −12𝑥.
Restamos 5 − 5 = 0,
Usamos la propiedad de la división para la igualdad. Dividimos ambos lados
por −12 para deshacer la multiplicación y aislar la variable x.
Dividimos
Verificación
Cuando verificamos
soluciones, siempre
usamos la ecuación
original.
17 − 5 = 12.
−12𝑥 + 5
=
17
Esta es la ecuación original
−12(−1) + 5
=?
17
Sustituimos x por −1.
12 + 5
=?
17
Multiplicamos del lado izquierdo.
17
=
17
Verdadera
Ya que la afirmación resultante es verdadera, la solución es −1. El conjunto solución es {−1}.
Ejemplo 34: Resolver
5
𝑧
8
∎
− 2 = −12
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 72
Módulo de Matemática


TEMA 3
TEORIA
INGRESO FQByF
Estrategia: Usaremos las propiedad de la igualdad para aislar la variable de un lado de la ecuación.
Por qué: Para resolver la ecuación original, queremos encontrar una ecuación equivalente más simple de la
forma 𝑧 = un número, cuya solución es obvia.
5
8
Solución: Notemos que el coeficiente de 𝑧 es y procedemos como sigue
5
8

Para aislar el término variable, 𝑧, sumamos 2 de ambos lados para deshacer la sustracción de 2.

Para aislar la variable, z, multiplicamos ambos lados por para deshacer la multiplicación por .
8
5
5
𝑧 − 2 = −12
8
5
𝑧 − 2 + 2 = −12 + 2
8
5
𝑧
8
= −10
8 5
8
( 𝑧) = (−10)
5 8
5
𝑧
= −16
5
8
Esta es la ecuación a resolver
Usamos la propiedad de la adición para la igualdad. sumamos 2 a ambos lados
para deshacer la sustracción y aislar el término variable,
sumamos −2 + 2 = 0,
5
8
𝑧.
− 12 + 2 = −10.
Usamos la propiedad de la multiplicación para la igualdad. Multiplicamos
ambos lados por
8
5
Del lado izquierdo
5
(que es el recíproco de ) para aislar la variable, z.
8
8 5
( )=1
5 8
La solución es −16. Verificarlo. El conjunto solución es {−16}.
y 1𝑧 = 𝑧. Del lado derecho
8
5
(−10) = −16.
∎
Ejemplo35: Resolver −0,2 = −0,8 − 𝑦
Estrategia: Primero usamos una propiedad de la igualdad para aislar el término variable de un lado de la
ecuación. Entonces usamos una segunda propiedad de la igualdad para aislar la variable misma.
Por qué: Para resolver la ecuación original, queremos encontrar una ecuación equivalente más simple de la
forma un número = 𝑦, cuya solución es obvia.
Solución:
−0,2 + 0,8
0,6
Esta es la ecuación a resolver
= −0,8 − 𝑦
= −0,8 − 𝑦 + 0,8
= −𝑦
Para aislar el término variable −𝑦 sobre el lado derecho,
eliminamos −0,8 sumando 0,8 a ambos lados.
Sumamos
Como el término −𝑦 tiene el coeficiente igual a −1, la ecuación se puede escribir como 0,6 = −1𝑦. Para aislar
y, podemos multiplicar o dividir ambos lados de la ecuación por −1.
También podemos multiplicar
ambos lados de la ecuación por
−1 para despejar y:
−1(0,6)
−0,6
= −1(−1𝑦)
=𝑦
0,6 = −1𝑦
Si es de ayuda, escribimos −𝑦 como −1𝑦.
0,6
−1𝑦
=
−1
−1
Para aislar la y, deshacemos la multiplicación por −1
dividiendo ambos lados por −1.
−0,6 = 𝑦
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 73
Módulo de Matemática
−0,2
TEMA 3
TEORIA
INGRESO FQByF
La solución es −0,6. Verificarlo sustituyendo −0,6 en la ecuación original. El conjunto solución es {−0,6}.∎
Otra forma de resolver ecuaciones con el término variable negativo: en el primer paso sumar a ambos lados
de la ecuación el término variable. Volvamos al ejemplo 33.
Esta es la ecuación a resolver
−12𝑥 + 5 = 17
−12𝑥 + 5 + 12𝑥
Usamos la propiedad de la adición para la igualdad. Sumamos 12x a ambos
= 17 + 12𝑥
lados.
5 = 17 + 12𝑥
5 − 17
−12𝑥 + 12𝑥 = 0,
5+0 = 5
Usamos la propiedad de la sustracción para la igualdad. Restamos 17 a
= 17 + 12𝑥 − 17
ambos lados para deshacer la adición y aislar el término variable, 12𝑥.
−12 = 12𝑥
Restamos
−12
12𝑥
=
12
12
Usamos la propiedad de la división para la igualdad. Dividimos ambos
lados por 12 para deshacer la multiplicación y aislar la variable x.
Dividimos
−1 = 𝑥
Obtenemos la misma solución. Este método, ayudara en el futuro cuando debamos resolver ecuaciones más
complicadas o inecuaciones. En las primeras evita perder soluciones, en las segundas evita errores en el
conjunto solución. La idea principal es tratar de que el coeficiente del término variable sea positivo mediante
la propiedad de la adición para la igualdad.
Simplificación de expresiones para resolver ecuaciones
Cuando resolvemos ecuaciones, debemos simplificar las expresiones que conforman los lados izquierdo y
derecho antes de aplicar cualquier propiedad de igualdad. A menudo, esto implica el uso de la propiedad
distributiva para eliminar paréntesis y/o combinar términos semejantes.
Ejemplo36: Resolver
a) 3(𝑘 + 1) − 5𝑘 = 0
b) 10𝑧 − 2(2𝑧 − 7) = 68
a)
3(𝑘 + 1) − 5𝑘
=0
Esta es la ecuación a resolver
3𝑘 + 3 − 5𝑘
=0
Distribuimos la multiplicación por 3
−2𝑘 + 3 = 0
−2𝑘 + 3 + 2𝑘
= 0 + 2𝑘
Combinamos los términos semejantes 3𝑘 − 5𝑘 = −2𝑘.
Para aislar el término variable, sumamos 2k a ambos lados
3 = 2𝑘
Sumamos −2𝑘 + 2𝑘 = 0
3
2𝑘
=
2
2
Para aislar o despejar la variable, dividimos ambos lados por 2
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 74
Módulo de Matemática
Estrategia: Usaremos la propiedad distributiva junto con el proceso de combinar términos semejantes para
simplificar el lado izquierdo de cada ecuación.
Por qué: es mejor simplificar cada lado de la ecuación antes de usar las propiedades de la igualdad.
Solución:
TEMA 3
TEORIA
3
=𝑘
2
Simplificamos la fracción
2
2
=1
=
0
Esta es la ecuación original
3
3
3 ( + 1) − 5 ( ) =? .
2
2
0
Sustituimos k por
5
3
3 ( ) − 5 ( ) =? .
2
2
0
Sumamos dentro del paréntesis
15 15
=? .
−
2
2
0
multiplicamos
0
0
verdadera
3(𝑘 + 1) − 5𝑘
Verificación
Siempre
INGRESO FQByF
verifica tu
trabajo
3
2
=
3
2
3
2
La solución es y el conjunto solución es { }.
b)
10𝑧 − 2(2𝑧 − 7) = 68
10𝑧 − 4𝑧 + 14 = 68
6𝑧 + 14 = 68
6𝑧 + 14 − 14 = 68 − 14
Esta es la ecuación a resolver
Distribuimos la multiplicación por −2
Combinamos los términos semejantes 10𝑧 − 4𝑧 = 6𝑧.
Para aislar el término variable, restamos 14 a ambos lados
6𝑧 = 54
Restamos 68 − 14 = 54
6𝑧
54
=
6
6
Para aislar o despejar la variable, dividimos ambos lados por 6
𝑧 =9
dividimos
Haga la verificación para comprobar que la solución es 9. ∎
Cuando resolvemos una ecuación, si la variable aparece en ambos lados, podemos usar las propiedades de
adición o sustracción de la igualdad para conseguir que todos los términos variables queden de un lado de la
ecuación y todos los términos constantes del otro.
Estrategia: Tenemos términos variables (3𝑥 y 4𝑥) en ambos lados de la ecuación. Eliminaremos 3𝑥 del lado
izquierdo de la ecuación restando 3𝑥 de ambos lados.
Por qué: para resolver para 𝑥 todos los términos que contienen 𝑥 deben estar del mismo lado de la ecuación.
Solución:
Podríamos haber eliminado 4x del lado
derecho restando 4x de ambos lados.
3𝑥 +15 = 4𝑥 + 36
Se obtiene la misma solución.
3𝑥 − 15 − 4𝑥 = 4𝑥 + 36 − 4𝑥
−𝑥 − 15 = 36
Sin embargo, es usualmente más fácil
Esta es la ecuación para resolver
Restamos 3x de ambos lados
3𝑥 − 15 − 3𝑥
= 4𝑥 + 36 − 3𝑥
para aislar el término variable
del lado derecho
despejar el término variable sobre el
lado que resulte con coeficiente
positivo.
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 75
Módulo de Matemática
Ejemplo 37: Resolver 3𝑥 − 15 = 4𝑥 + 36
TEMA 3
TEORIA
INGRESO FQByF
Combinamos los términos
−15 = 𝑥 + 36
semejantes: 3𝑥 − 3𝑥 = 0 y 4𝑥 −
3𝑥 = 𝑥
Para aislar o despejar x,
−15 − 36 = 𝑥 + 36 − 36
restamos 36 de ambos lados.
−51 = 𝑥
3𝑥 − 15
=
4𝑥 + 36
La ecuación original
3(−51) − 15
=?
4(−51)
+ 36
Sustituimos x por −51
−153 − 15
=?
−204 + 36
multiplicamos
−168
=
−168
verdadera
Verificación
La solución es −51 y el conjunto solución es {−51} ∎
Las ecuaciones son usualmente más fáciles de resolver si no involucran fracciones. Podemos usar la propiedad
de la multiplicación para la igualdad para eliminar todas las fracciones multiplicando ambos lados de la
ecuación por el mínimo común denominador (mínimo común múltiplo) de todas las fracciones que aparecen
en la ecuación.
Ejemplo38: Resolver
1
𝑥
6
5
2
+ =
1
3
Estrategia: Para eliminar las fracciones de la ecuación, multiplicamos ambos lados por el mínimo común
denominador de todas las fracciones en la ecuación.
Por qué: es más fácil resolver ecuaciones que involucren solamente números enteros.
Solución:
1
1
5
=
𝑥+
3
6
2
Esta es la ecuación para resolver.
Multiplicamos ambos lados por el mínimo común
1
1
5
6( 𝑥 + ) = 6( )
3
6
2
múltiplo de 6, 2 y 3, el cual es 6. No nos olvidemos los
paréntesis del lado izquierdo
1
5
1
6 ( 𝑥) + 6 ( ) = 6 ( )
6
2
3
Sobre el lado izquierdo, distribuimos la multiplicación
Multiplicamos:
𝑥 + 15 = 2
5
y
1
6 (3) = 2.
Las fracciones fueron eliminadas
Restamos 15 de ambos lados
𝑥 + 15 − 15 = 2 − 15
𝑥
1
6 (6) = 1, 6 (2) = 15
= −13
Verificar la solución sustituyendo −13 por 𝑥 en
1
𝑥
6
5
2
+ =
1
3
∎
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 76
Módulo de Matemática
por 6
TEMA 3
TEORIA
INGRESO FQByF
Si una ecuación contiene números decimales y la solución es un número decimal, usualmente no reescribimos
la solución como una fracción.
0,04(12) + 0,01𝑥 = 0,02(12 + 𝑥)
Ejemplo 39: Resolver
Solución:
0,04(12) + 0,01𝑥
= 0,02(12 + 𝑥)
Ecuación a resolver
0,48 + 0,01𝑥
= 0,24 + 0,02𝑥
Propiedad distributiva
0,48 + 0,01𝑥 − 0,01𝑥
0,48 − 0,24
= 0,24 + 0,02𝑥 − 0,01𝑥
= 0,01𝑥 + 0,24 − 0,24
0,24
= 0,01𝑥
0,24
0,01
=𝑥
24
=𝑥
Agrupamos los términos variables de un lado de la
ecuación
Agrupamos los términos constantes del otro lado de la
ecuación
Despejamos x
La solución es 24. Verificarlo sustituyéndolo en la ecuación original.∎
Ejemplo 40: Resolver 4(𝑥 − 3,1) = 2,1(𝑥 − 4) + 3,5𝑥
Solución:
4(𝑥 − 3,1)
4𝑥 − 4(3,1)
= 2,1(𝑥 − 4) + 3,5𝑥
= 2,1𝑥 − 2,1(4) + 3,5𝑥
Propiedad distributiva
4𝑥 − 12,4 = 2,1𝑥 − 8,4 + 3,5𝑥
4𝑥 − 12,4 = 5,6𝑥 − 8,4
4𝑥 − 12,4 + 8,4 = 5,6𝑥 − 8,4 + 8,4
Reduce términos semejantes
Suma 8,4 en ambos lados
4𝑥 − 4 = 5,6𝑥
4𝑥 − 4 − 4𝑥
Resta 4x en ambos lados
= 5,6𝑥 − 4𝑥
Divide ambos lados por 1,6
−4
1,6𝑥
=
1,6
1,6
−2,5 = 𝑥
La solución es −2,5. ∎
Ahora veamos un ejemplo que contiene paréntesis anidados.
Ejemplo 41: Resolver 7𝑧 − 15 = −2[6(𝑧 − 3) − 4(2 − 𝑧)].
Solución:
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 77
Módulo de Matemática
−4 = 1,6𝑥
TEMA 3
TEORIA
INGRESO FQByF
7𝑧 − 15
= −2[6(𝑧 − 3) − 4(2 − 𝑧)]
7𝑧 − 15
= −2[6𝑧 − 18 − 8 + 4𝑧]
Propiedad distributiva
7𝑧 − 15
= −2[10𝑧 − 26]
Reduce términos semejantes
7𝑧 − 15
= −20𝑧 + 52
Propiedad distributiva
= −20𝑧 + 20𝑧 + 52
suma 20z en ambos lados
7𝑧 + 20𝑧 − 15
27𝑧 − 15
27𝑧 − 15 + 15
= 52
Suma 15 en ambos lados
= 52 + 15
27𝑧
= 67
27𝑧
27
=
67
27
𝑧
=
67
27
Divide ambos lados por 27
∎
Los ejemplos previos sugieren la siguiente estrategia para resolver ecuaciones. Es importante notar que no se
necesitan todos los pasos para resolver todas las ecuaciones.
Paso 1. Elimina las fracciones. Si la ecuación contiene fracciones, elimínalas
multiplicando ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador.
Paso 2. Simplifica cada lado por separado. Simplifica cada lado de la
ecuación tanto como sea posible. Usa la propiedad distributiva para eliminar los
paréntesis y reduce los términos semejantes cuando sea necesario.
Estrategia para
resolver ecuaciones
lineales en una
variable
Paso 3. Aísla el término variable de un solo lado. Utiliza la propiedad de la
adición o sustracción para acomodar todos los términos con variables de un lado
de la ecuación y todos los términos constantes del otro lado.
Paso 4. Despeja la variable. Utiliza la propiedad de la multiplicación o división
para obtener una ecuación que contenga solo la variable (con un coeficiente de
1) en un lado.
Ejemplo 42: Resolver: a)
7𝑦+5
5
= −4𝑦 + 1
b)
𝑥+7
6
+
2𝑥−8
2
= −4
Estrategia: Seguiremos los pasos de la estrategia para resolver ecuaciones para resolver la ecuación
Por qué: Esta es la forma más eficiente para resolver ecuaciones lineales en una variable.
Solución: a)
7𝑦 + 5
= −4𝑦 + 1
5
Esta es la ecuación que tenemos que resolver
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 78
Módulo de Matemática
Paso 5. Verifica. Verifica la solución sustituyendo los valores obtenidos en el
paso 4 en la ecuación original para ver si resulta una afirmación verdadera.
TEMA 3
TEORIA
7𝑦 + 5
5(
) = 5(−4𝑦 + 1)
5
Paso 1
INGRESO FQByF
Eliminamos la fracción de la ecuación multiplicando ambos
lados por 5
Del lado izquierdo, simplificamos el factor 5 del numerador y
el denominador. Del lado derecho, aplicamos la propiedad
7𝑦 + 5 = −20𝑦 + 5
Paso 2
distributiva.
7𝑦 + 5 + 20𝑦
Paso 3
= −20𝑦 + 5 + 20𝑦
Para eliminar el término −20𝑦, del lado derecho, sumamos 20y
de ambos lados.
Combinamos términos semejantes: 7𝑦 + 20𝑦 = 27
27𝑦 + 5 = 5
−20𝑦 + 20𝑦 = 0
Para aislar o despejar el término variable 27y, restamos 5 de
27𝑦 + 5 − 5 = 5 − 5
Paso 4
27𝑦
=0
27𝑦
27
=
𝑦
Paso 5 Sustituimos 𝑦 por 0 en
b)
𝑥+7
6
+
Paso 1
Paso 2
2𝑥−8
2
ambos lados
restamos
0
27
Para aislar y, dividimos ambos lados por 27.
0 dividido cualquier número es 0.
=0
7𝑦+5
5
= −4𝑦 + 1 para verificar que la solución es 0.
= −4
𝑥 + 7 2𝑥 − 8
6(
+
) = 6(−4)
6
2
𝑥+7
2𝑥 − 8
6(
)+6(
) = 6(−4)
6
2
𝑥 + 7 + 3(2𝑥 − 8)
Eliminamos las fracciones. Multiplicamos cada lado
por el mínimo común múltiplo, 6
Propiedad distributiva
= −24
Propiedad distributiva
𝑥 + 7 + 3(2𝑥) + 3(−8) = −24
𝑥 + 7 + 6𝑥 − 24 = −24
Paso 3
Paso 4
7𝑥 − 17 + 17 = −24 + 17
7𝑥
= −7
7𝑥
7
=
𝑥
−7
7
Sumamos 17
Combinamos términos semejantes
Dividimos por 7
= −1
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 79
Módulo de Matemática
Combinamos términos semejantes
7𝑥 − 17 = −24
TEMA 3
TEORIA
Paso 5 Verificación
𝑥 + 7 2𝑥 − 8
= −4
+
6
2
−1 + 7 2(−1) − 8
=? − 4
+
6
2
6 −10
=? − 4
+
6
2
1 − 5 =? − 4
−4 = −4
INGRESO FQByF
Sea 𝑥 = −1
Operamos en los numeradores
Simplificamos cada fracción
Verdadera
El conjunto solución es {−1}. ∎
IDENTIDADES Y CONTRADICCIONES
Cada una de las ecuaciones que resolvimos en los ejemplos anteriores tenía exactamente una solución, se las
llama ecuaciones condicionales. Sin embargo, no toda ecuación lineal en una variable tiene una única
solución. Algunas ecuaciones son verdaderas para cualquier valor con que se remplace la variable. Tales
ecuaciones se llaman identidades, por ejemplo
Si sustituimos x por 10, obtenemos una afirmación verdadera, si la
𝑥 + 𝑥 = 2𝑥
sustituimos por −20, también.
Ya que podemos remplazar x con cualquier número y la ecuación será verdadera, todos los números son
solución de 𝑥 + 𝑥 = 2𝑥. Esta ecuación tiene infinitas soluciones.
Otro tipo de ecuación, llamada contradicción, es falsa para cualquier valor con que se remplace la variable.
Por ejemplo
Ningún número es igual a 1 más el mismo
𝑥 =𝑥+1
Como esta ecuación es falsa para cualquier valor de 𝑥, no tiene solución.
Ejemplo 43: Resolver: 3(𝑥 + 8) + 5𝑥 = 2(12 + 4𝑥)
En este paso
3(𝑥 + 8) + 5𝑥
= 2(12 + 4𝑥)
Esta es la ecuación que debemos resolver
3𝑥 + 24 + 5𝑥
= 24 + 4𝑥
Propiedad distributiva
sabemos que la
ecuación es una
8𝑥 + 24 = 24 + 8𝑥
identidad porque
ambos lados son
exactamente
iguales
8𝑥 + 24 − 8𝑥
= 24 + 8𝑥 − 8𝑥
24 = 24
Combinamos los términos semejantes. Note que
ambos lados de la ecuación son idénticos
Para eliminar el término 8x del lado derecho,
restamos 8x de ambos lados
Combinamos los términos semejantes 8𝑥 − 8𝑥 = 0
En este caso, los términos que involucran x no aparecen y el resultado es cierto. Esto significa que cualquier
número sustituido en el lugar de la x, en la ecuación original dará una afirmación verdadera. Por lo tanto, todos
los números reales son soluciones y esta ecuación es una identidad. Su conjunto de soluciones se escribe como
{todos los números reales} o usando el símbolo ℝ. ∎
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 80
Módulo de Matemática
Estrategia Seguiremos los pasos de la estrategia para resolver ecuaciones para resolver la ecuación
Por qué: Esta es la forma más eficiente para resolver ecuaciones lineales en una variable.
Solución:
TEMA 3
TEORIA
INGRESO FQByF
Ejemplo 44: Resolver 3(𝑤 + 7) − 𝑤 = 2(𝑤 + 10)
Estrategia Seguiremos los pasos de la estrategia para resolver ecuaciones para resolver la ecuación
Por qué: Esta es la forma más eficiente para resolver ecuaciones lineales en una variable.
Solución:
3(𝑤 + 7) − 𝑤
= 2(𝑤 + 10)
Ecuación para resolver
3𝑤 + 21 − 𝑤
= 2𝑤 + 20
Propiedad distributiva
Combinamos los términos semejantes
2𝑤 + 21 = 2𝑤 + 20
2𝑤 + 21 − 2𝑤
= 2𝑤 + 20 − 2𝑤
21 = 20
Para eliminar el término 2w del lado derecho,
restamos 2w de ambos lados
Combinamos los términos semejantes 2w-2w=0
En este caso, los términos que involucran w no aparecen y el resultado es falso. Esto significa que cualquier
número sustituido en el lugar de w, en la ecuación original dará una afirmación falsa. Por lo tanto, esta ecuación
no tiene solución y es una contradicción. Su conjunto de solución es el conjunto vacío el cual se escribe como
{ } o usando el símbolo ∅. ∎
En resumen:
Tipo de ecuación lineal
Número de soluciones
Cuando resolvemos llegamos a
Condicional
una
Línea final 𝑥 = 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜
Identidad
Infinitas; el conjunto solución
{todos los números reales}
Contradicción
Ninguna, conjunto solución ∅
Línea final es verdadera, como, por
ejemplo 24 = 24 (ejemplo 43)
Línea final falsa, como, por ejemplo
21 = 20 (ejemplo 44).
Los números o variables que aparecen en la ecuación no afectan los procedimientos para resolver las
ecuaciones. En el siguiente ejemplo resolveremos la ecuación usando los conceptos y procedimientos hasta
ahora mostrados.
Ejemplo 45 En la siguiente ecuación, supongamos que ⊙ representa la variable que queremos resolver y
que el resto de los símbolos representan números reales diferentes de cero. Resuelve la ecuación para ⊙ .
Solución Para despejar ⊙ necesitamos aislarla. Para lo cual usaremos las propiedades de la suma y la
multiplicación.
⊡⊙ +⋈ = #
⊡⊙ +⋈ −⋈ = #−⋈
Restar ⋈ de ambos lados
⊡⊙ = #−⋈
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 81
Módulo de Matemática
⊡⊙ +⋈= #
TEMA 3
TEORIA
#−⋈
⊡⊙
=
⊡
⊡
⊙ =
Por lo tanto la solución es ⊙=
#−⋈
⊡
INGRESO FQByF
Dividimos ambos lados por ⊡
#−⋈
⊡
∎
DESPEJAR UNA VARIABLE DE UNA ECUACIÓN O FÓRMULA
¿Estás listo?
1)
2)
Los siguientes ejercicios repasan algunas conceptos básicos que necesitaremos
cuando trabajemos con fórmulas:
1
4
3)
Multiplicar: 4 ∙ 𝑥
a) 4𝑥 + 3 = 15
4)
Multiplicar: 𝑐(8 − 𝑥)
b) 𝑃 = 2𝑙 + 2𝑤
5)
¿Si 2 = 𝑡, es también cierto que 𝑡 = 2?
6)
Simplificar:
¿Qué cantidad de variables contiene cada ecuación?
Simplificar:
𝑘+ℎ−𝑘
𝑏
𝑏
Un modelo matemático es una ecuación o inecuación que describe una situación real. Ya existen modelos
para muchos problemas aplicados, llamados fórmulas. Una fórmula es una ecuación en la cual se usan las
variables para describir una relación. Por ejemplo, la fórmula para encontrar el área A de un triángulo es
1
𝒜 = 𝑏ℎ
2
Aquí, b es la longitud de la base y h es la altura.
En muchas ocasiones podrías tener una ecuación o una fórmula con tenga la variable despejada; sin embargo,
querrás despejar una variable diferente. Tomando en cuenta que las fórmulas son ecuaciones, usaremos el
mismo procedimiento usado para despejar una variable de una ecuación en una fórmula.
Cuando tengas una ecuación (o fórmula) con una variable despejada y quieras despejar para otra variable, trata
cada variable de la ecuación, excepto la que quieras despejar, como si fueran constantes. Entonces aísla la
variable que requieras despejar usando los procedimientos similares a los que se usan para resolver ecuaciones.
b) 6𝑥 − 4𝑦 = 7.
Solución: a) Despejaremos la variable y aislando el término que contiene a y del lado izquierdo.
3𝑥 + 𝑦
=8
3𝑥 + 𝑦 − 3𝑥
= 8 − 3𝑥
Restamos 3𝑥 de ambos lados
𝑦
= 8 − 3𝑥
Combinamos términos semejantes 3𝑥 − 3𝑥 = 0
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 82
Módulo de Matemática
Ejemplo 46: Despejar y de las siguientes ecuaciones: a) 3𝑥 + 𝑦 = 8
TEMA 3
TEORIA
𝑦
INGRESO FQByF
Propiedad conmutativa
= −3𝑥 + 8
b) Despejaremos la variable y aislando el término que contiene a y del lado izquierdo
6𝑥 − 4𝑦
=7
6𝑥 − 4𝑦 + 4𝑦
= 7 + 4𝑦
6𝑥
= 7 + 4𝑦
Sumamos 4𝑦 de ambos lados para que el coeficiente de la variable
que queremos aislar sea positivo
Combinamos términos semejantes 4𝑦 − 4𝑦 = 0
Restamos 7 a ambos lados, para aislar el término variable 4𝑦
6𝑥 − 7 = 7 + 4𝑦 − 7
6𝑥 − 7 = 4𝑦
4𝑦
6𝑥 − 7
=
4
4
Dividimos ambos lados por 4 para aislar la variable 𝑦
3
7
=𝑦
𝑥−
2
4
Propiedad distributiva
6𝑥 − 7 6𝑥 7 3
7
=
− = 𝑥−
4
4 4 2
4
𝑦
=
3
7
𝑥−
2
2
Propiedad simétrica
∎
1
2
4
3
Ejemplo 47: Despejar x de la siguiente ecuación 𝑥 + 𝑦 = 5
Solución: Para eliminar las fracciones, multiplicamos ambos lados por el mínimo común múltiplo, 12.
=5
1
2
12 ( 𝑥 + 𝑦) = 12(5)
4
3
Propiedad de la multiplicación para la igualdad
1
2
12 ∙ 𝑥 + 12 ∙ 𝑦
4
3
= 60
Propiedad distributiva
3𝑥 + 8𝑦
= 60
simplificamos
3𝑥 + 8𝑦 − 8𝑦
= 60 − 8𝑦
Restamos 8y de ambos lados
3𝑥
= 60 − 8𝑦
Combinamos términos semejantes
3𝑥
3
=
60 − 8𝑦
3
Dividimos ambos lados por 3 para aislar la variable x
𝑥
=
60 8
− 𝑦
3 3
Propiedad distributiva.
𝑥
8
= − 𝑦 + 20
3
Simplificamos. Propiedad conmutativa
∎
1
2
Ejemplo 48: Despejar y de la ecuación 2𝑦 − 3 = (𝑥 + 3𝑦)
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 83
Módulo de Matemática
1
2
𝑥+ 𝑦
4
3
TEMA 3
TEORIA
INGRESO FQByF
Solución: Comenzamos multiplicando ambos lados de la ecuación por el mínimo común múltiplo, 2.
1
2𝑦 − 3 = (𝑥 + 3𝑦)
2
2(2𝑦 − 3)
1
= 2 [ (𝑥 + 3𝑦)]
2
Multiplicamos ambos lados por 2
Propiedad distributiva
4𝑦 − 6 = 𝑥 + 3𝑦
4𝑦 − 6 − 3𝑦
Restamos 3y de ambos lados
= 𝑥 + 3𝑦 − 3𝑦
Combinamos términos semejantes
𝑦−6 =𝑥
Sumamos 6 de ambos lados
𝑦−6+6 =𝑥+6
𝑦
∎
=𝑥+6
Ahora despejaremos variables de fórmulas. Cuando usamos fórmulas para resolver problemas aplicados, es
común tener que despejar alguna variable.
Ejemplo 49: La fórmula 𝐷 =
𝑀
𝑉
representa la relación entre la densidad D, la masa M, y el volumen V.
Despejar M.
Solución: De la ecuación 𝐷 =
𝑀
𝑉
debemos despejar M.
𝐷
=
𝑀
𝑉
𝑉∙𝐷
=𝑉∙
𝑉𝐷
=𝑀
Necesitamos aislar M
𝑀
𝑉
Multiplicamos ambos lados por V
Simplificamos. M queda aislada.
Como leemos de izquierda a derecha, a menudo reescribimos la fórmula con la variable aislada esté del lado
izquierdo y cambiamos el orden del lado derecho de forma que las variables de la fórmula queden en orden
alfabético.
𝑀 = 𝑉𝐷
Reescribimos con la variable aislada del lado izquierdo
𝑀 = 𝐷𝑉
Cambiamos el orden, D esta antes que V en el alfabeto
Ejemplo 50: Cuando las ballenas migran desde el Mar de Bering a Baja California, nadan unas 20 horas cada
día, cubriendo una distancia de 120 km aproximadamente. Estime la velocidad a la que nadan en kilómetros
por hora.
Estrategia: Para encontrar la velocidad, sustituimos los valores dados en la fórmula 𝑑 = 𝑣𝑡 y despejamos v.
(d: distancia, v: velocidad, t: tiempo).
Por qué: la variable v en la fórmula representa la velocidad desconocida.
Solución: Las ballenas nadan 120 km (la distancia d) en 20 horas (el tiempo t). Para encontrar su velocidad,
procedemos de la siguiente forma.
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 84
Módulo de Matemática
∎
TEMA 3
TEORIA
= 𝑣𝑡
Esta es la fórmula de la distancia recorrida
120
= 𝑣(20)
Sustituimos d por 120 y t por 20
120
20
20𝑣
=
20
Para despejar v, dividimos ambos lados por 20.
𝑑
60 = 𝑣
INGRESO FQByF
Cuando usamos la fórmula 𝑑 = 𝑣𝑡,
debemos asegurarnos que las
unidades sean consistentes. Por
ejemplo, si la velocidad está en
kilómetros por hora, el tiempo debe
estar expresado en horas.
Dividimos
La velocidad a la que nadan las ballenas es 6 km/h.
∎
Una fórmula para convertir temperaturas. En Estados Unidos la temperatura se mide en grados Fahrenheit.
Los grados Celsius se usan para medir la temperatura en el sistema métrico. La fórmula que relaciona una
temperatura en °F con una temperatura en °C es:
𝐶=
5
(𝐹 − 32)
9
Ejemplo 51: Convertir la temperatura mostrada en la imagen a grados
Fahrenheit.
Estrategia: Para encontrar la temperatura en grados Fahrenheit, sustituimos los grados Celsius que leemos en
5
9
el cartel en la fórmula 𝐶 = (𝐹 − 32) y despejamos F.
Por qué: La variable F representa la temperatura que desconocemos en grados Fahrenheit.
Solución: La temperatura del cartel es 30°C, es decir es el valor de C; entonces procedemos de la siguiente
manera para encontrar F:
𝐶
5
= (𝐹 − 32)
9
Esta es la fórmula para la conversión de temperaturas
5
30 = (𝐹 − 32)
9
Sustituimos C por 30, la temperatura en Celsius
9
9 5
∙ 30 = ∙ (𝐹 − 32)
5
5 9
Multiplicamos ambos lados por el recíproco de
5
9
simplificamos
54 = 𝐹 − 32
Para despejar F, sumamos 32 a ambos lados
54 + 32 = 𝐹 − 32 + 32
86 = 𝐹
Muchas fórmulas incluyen subíndices. Un subíndice es un pequeño número o letra escrita en la parte inferior
derecha de una variable que forma parte del nombre de la variable. Por ejemplo, en la fórmula 𝑉𝑓 = 𝑉𝑖 + 𝑎𝑡,
la variable 𝑉𝑓 representa la velocidad final, y 𝑉𝑖 representa la velocidad inicial. Los subíndices muestran que
ellas son dos variables diferentes. Decimos V sub f.
Ejemplo 52: La fórmula 𝑉𝑓 = 𝑉𝑖 + 𝑎𝑡 representa la relación entre: la aceleración constante a, el tiempo t, la
velocidad inicial 𝑉𝑖 , y la velocidad final 𝑉𝑓 . Despejar t.
Solución:
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 85
Módulo de Matemática
30°C es equivalente a 86°F. ∎
TEMA 3
TEORIA
𝑉𝑓
INGRESO FQByF
= 𝑉𝑖 + 𝑎𝑡
𝑉𝑓 − 𝑉𝑖
= 𝑉𝑖 + 𝑎𝑡 − 𝑉𝑖
𝑉𝑓 − 𝑉𝑖
= 𝑎𝑡
𝑉𝑓 − 𝑉𝑖
𝑎
=
𝑉𝑓 − 𝑉𝑖
𝑎
=𝑡
𝑎𝑡
𝑎
Reescribimos con la variable aislada a la izquierda 𝑡 =
𝑉𝑓 −𝑉𝑖
𝑎
∎
Algunas veces debemos usar la propiedad distributiva para despejar de una fórmula una variable en paricular.
Ejemplo 53: Despejar h de la fórmula 𝑆 = 2𝜋(𝑟 2 + 𝑟ℎ).
Estrategia: Para despejar h, la tratamos como si fuese la única variable en la ecuación y la aislamos de un
lado.
Por qué: despejar una variable específica significa aislarla de un lado de la ecuación.
Solución: Aislaremos h del lado derecho de la ecuación. Para comenzar usaremos la propiedad distributiva.
𝑆 = 2𝜋(𝑟 2 + 𝑟ℎ)
La fórmula dada.
𝑆 = 2𝜋𝑟 2 + 2𝜋𝑟ℎ
Distribuimos 2𝜋
𝑆 − 2𝜋𝑟 2
= 2𝜋𝑟 2 + 2𝜋𝑟ℎ − 2𝜋𝑟 2
Restamos 2𝜋𝑟 2 de ambos lados
𝑆 − 2𝜋𝑟 2
= 2𝜋𝑟ℎ
Combinamos los términos semejantes
𝑆 − 2𝜋𝑟 2
2𝜋𝑟
=
𝑆 − 2𝜋𝑟 2
2𝜋𝑟
=ℎ
ℎ =
2𝜋𝑟ℎ
2𝜋𝑟
𝑆 − 2𝜋𝑟 2
2𝜋𝑟
2𝜋𝑟 2 − 2𝜋𝑟 2 = 0
2𝜋𝑟ℎ significa 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ ℎ. Para aislar h, debemos dividir ambos
miembros por 2𝜋𝑟.
Simplificamos
2𝜋𝑟ℎ
2𝜋𝑟
=ℎ
Invertimos los lados para que h quede a la izquierda.∎
¿Estás listo?
Los siguientes problemas repasan algunas habilidades básicas que se necesitan para
resolver las desigualdades.
1. Completar: El símbolo < significa ______________
2. ¿es −5 > −6 una afirmación verdadera o falsa?
3. Graficar sobre la recta numérica cada número del conjunto {−4; −1,7; 2;
13
}
4
.
4. Expresar 10 > 0 usando un símbolo <.
En nuestra vida diaria, a menudo hablamos de un valor que es mayor que o menor que otro. Por ejemplo, Un
niño enfermo puede tener una temperatura mayor que 38°C o un alimento puede contener menos de 2 gramos
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 86
Módulo de Matemática
DESIGUALDADES LINEALES
TEMA 3
TEORIA
INGRESO FQByF
de grasa. En matemáticas, usamos desigualdades para mostrar que una expresión es mayor que o es menor que
otra expresión.
Determinar si un número es solución de una desigualdad.
Una desigualdad o inecuación es una afirmación que contiene uno o más de los siguientes símbolos.
Símbolos de
desigualdad
≠ distinto o no igual que
< menor que
> mayor que
≤ menor o igual que
≥ mayor o igual que
Una desigualdad puede ser verdadera, falsa o ninguna de las dos. Por ejemplo:
 9 ≥ 9 es verdadera porque 9 = 9.
 37 < 25 es falsa.
 𝑥 + 1 > 5 no es ni verdadera ni falsa, porque no sabemos qué número representa x.
Una desigualdad que contiene una variable se puede hacer verdadera o falsa
dependiendo del número por el que se sustituye la variable. Si sustituimos la
x por 10 en 𝑥 + 1 > 5, la desigualdad que resulta es verdadera: 10 + 1 > 5.
Si sustituimos la x por 1, la desigualdad que resulta es falsa: 1 + 1 > 5. Un
número que hace cierta una desigualdad se llama solución de la desigualdad,
y decimos que el número satisface la desigualdad. Así, 10 es solución de 𝑥 +
1 > 5 y 1 no lo es.
Ahora encontraremos soluciones de desigualdades lineales en una variable.
Como < requiere que un número
sea estrictamente menor que
otro número y
> requiere que
un número sea estrictamente
mayor que otro número,
<y>
se llaman desigualdades
Una desigualdad lineal en una variable se puede escribir es alguna de las siguientes
formas, donde a, b y c son números reales y 𝑎 ≠ 0.
Desigualdades
lineales en una
variable
𝑎𝑥 + 𝑏 > 𝑐
𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 𝑐
𝑎𝑥 + 𝑏 < 𝑐
𝑎𝑥 + 𝑏 ≤ 𝑐
Ejemplo 54: ¿Es 9 solución de 2𝑥 + 4 ≤ 21?
Estrategia: Sustituimos la x por 9, y evaluamos la expresión del lado izquierdo.
Por qué: Si resulta una afirmación verdadera, 9 es solución de la desigualdad. Si obtenemos una afirmación
falsa, 9 no es solución.
Solución:
Una desigualdad lineal en una
2𝑥 + 4 ≤ 21
?
?
variable
es similar a una ecuación
Sustituimos
x
por
9.
Leemos
≤
como
“es
2(9) + 4 ≤ 21
18 + 4
22
≤
21
21
multiplicamos
lineal en una variable excepto que
el símbolo igual es reemplazado con
un símbolo de desigualdad.
Esta desigualdad es falsa.
La afirmación 22 ≤ 21 es falsa porque ni 22 < 21 ni 22 = 21. Por
lo tanto, 9 no es solución de 2𝑥 + 4 ≤ 21. ∎
ecuación
inecuación
2𝑥 + 1 = 9
2𝑥 + 1 > 9
Graficación del conjuntos solución y uso de la notación de intervalo.
El conjunto de soluciones de una desigualdad es el conjunto de todos los números que hacen que la desigualdad
sea verdadera. Algunos conjuntos de soluciones son fáciles de encontrar. Por ejemplo, si reemplazamos la
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 87
Módulo de Matemática
posiblemente menor o igual que”
≤?
TEMA 3
TEORIA
INGRESO FQByF
variable en 𝑥 > −3 por un número mayor que −3, la desigualdad resultante será verdadera. Debido a que hay
infinitos números reales mayores que −3, se deduce que tiene infinitas soluciones.
Dado que hay demasiadas soluciones para enumerar, usamos la notación constructiva de conjuntos para
describir el conjunto de soluciones.
{𝑥 | 𝑥 > −3}
Se lee como “el conjunto de todos los x
tales que
x es mayor que −3
Podemos ilustrar el conjunto solución graficando la desigualdad sobre la recta numérica. Para graficar 𝑥 >
−3, se dibuja un paréntesis o un círculo abierto en el extremo −3 para indicar que −3 no es parte del gráfico.
Luego sombreamos todos los puntos en la línea numérica a la derecha de −3. La flecha derecha también está
sombreada para mostrar que las soluciones continúan para siempre a la derecha.
Método 1: Paréntesis
Método 2: círculo abierto
Todos los números reales mayores que −3
El paréntesis se abre en la dirección
del sombreado e indica que un punto
final no está incluido en el intervalo
sombreado.
La gráfica de 𝑥 > −3 es un ejemplo de un intervalo sobre la recta numérica. También podemos escribir
intervalos en forma compacta llamada notación de intervalos.
La notación de intervalos que representa la gráfica de 𝑥 > −3 es (−3, ∞). Al igual que en la recta numérica,
se escribe un paréntesis izquierdo junto a −3 para indicar que no está incluido en el intervalo. El símbolo de
infinito positivo ∞ que sigue indica que el intervalo continúa sin fin a la derecha. Con esta notación, siempre
se utiliza un paréntesis al lado de un símbolo de infinito.
La siguiente ilustración muestra la relación entre los símbolos utilizados para graficar un intervalo y la
correspondiente notación de intervalo. Si empezamos en −3 y nos movemos hacia la derecha, la punta de
flecha sombreada en el gráfico indica que el intervalo continua hacia el infinito positivo.
Piense en la notación de
El símbolo de infinito positivo no
intervalo como una forma de
representa un número real.
decirle a alguien cómo dibujar el
gráfico, de izquierda a derecha,
Indica que un intervalo se
dándoles sólo una instrucción
Ahora tenemos tres formas de describir el conjunto solución de una desigualdad.
Notación de conjuntos
{𝑥|𝑥 > −3}
Gráfico sobre la recta numérica
Notación de intervalo
(−3, ∞)
Ejemplo 55: Graficar: 𝑥 ≤ 2
Estrategia: Necesitamos determinar cuáles son los números reales, que sustituidos en el lugar de x hacen que
la desigualdad sea verdadera.
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 88
Módulo de Matemática
"start" y una "stop".
TEMA 3
TEORIA
INGRESO FQByF
Por qué: para graficar 𝑥 ≤ 2 significa dibujar una imagen de todos los valores de x que hacen la desigualdad
verdadera.
Solución: Si reemplazamos x con un número que es menor o igual que 2, la desigualdad que resulta será
verdadera. Para graficar el conjunto solución, en el extremo 2 graficamos un corchete o un círculo cerrado para
indicar que 2 es parte de la gráfica. A continuación, sombremos todos los puntos en la recta numérica a la
izquierda de 2.
Método 1: corchete
Método 2: círculo cerrado
Todos los números reales menores o iguales que 2
El intervalo lo escribimos (−∞, 2]. El corchete a la derecha indica que 2 está incluido en el intervalo. El
símbolo infinito negativo, o menos infinito, muestra que el intervalo continúa para siempre a la izquierda. La
siguiente ilustración muestra la relación entre los símbolos usados para graficar el intervalo y la notación de
intervalos correspondiente.
El corchete se abre en la
dirección del sombreado e indica
que un punto final está incluido
en el intervalo sombreado.
∎
El conjunto de todos los números reales se escribe en notación de intervalos como (−∞, ∞).
RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES LINEALES
Resolver una desigualdad lineal significa encontrar todos los valores de la variable que hacen cierta la
desigualdad. Como con las ecuaciones, existen propiedades que podemos usar para resolver desigualdades.
Propiedades de la
adición y sustracción
para las desigualdades
Sumar o restar el mismo número a ambos lados de una desigualdad, no cambia
sus soluciones.
Para números reales cualesquiera, a, b y c,
Si 𝒂 < 𝒃, entonces 𝒂 + 𝒄 < 𝒃 + 𝒄.
Si 𝒂 < 𝒃, entonces 𝒂 − 𝒄 < 𝒃 − 𝒄.
Después de aplicar una de estas propiedades, la desigualdad resultante es equivalente a la original.
Desigualdades equivalentes tienen el mismo conjunto solución.
Como con las ecuaciones, las desigualdades se resuelven aislando la variable de un lado.
Ejemplo 56: Resolver x+3>2. Escribir el conjunto solución en notación de intervalo y gráficamente.
Estrategia: Usaremos una propiedad de las desigualdades para aislar la variable de un lado.
Por qué: para resolver la desigualdad original, queremos encontrar una desigualdad simple y equivalente a la
original de la forma 𝒙 > 𝐮𝐧 𝐧ú𝐦𝐞𝐫𝐨 o 𝒙 < 𝐮𝐧 𝐧ú𝐦𝐞𝐫𝐨, cuya solución es obvia.
Solución: Usaremos la propiedad de la sustracción, para aislar x del lado izquierdo de la desigualdad. Es decir,
restaremos 3 de ambos lados.
Esta es la desigualdad que queremos resolver
𝑥+3 >2
Restamos 3 de ambos lados
𝑥+3−3 >2−3
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 89
Módulo de Matemática
Afirmaciones similares se pueden hacer para los símbolos ≤, > 𝑦 ≥.
TEMA 3
TEORIA
𝑥
Resolvemos inecuaciones lineales
> −1
INGRESO FQByF
Restamos 3 − 3 = 0 y 2 − 3 = −1
escribiendo una serie de pasos que resultan
Todos los números reales mayores que −1 son soluciones de
𝑥 + 3 > 2. El conjunto solución se puede escribir el notación
de conjuntos como {𝑥|𝑥 > −1} y en notación de intervalos
como (−1, ∞). La gráfica del conjunto solución es la siguiente
en una desigualdad equivalente de la forma
x> un número o x< un número
Afirmaciones similares se aplican a las
desigualdades lineales que contengan ≤ 𝑦 ≥
Ya que existen infinitas soluciones, no podemos verificarlas a todas. Informalmente, podemos tomar algunos
números en la gráfica, por ejemplo 0 y 30, sustituirlos en el lugar de la x en la ecuación original, y ver si
obtenemos una afirmación verdadera.
Verificación
𝑥+3 > 2
Sustituimos x por 0
0 + 3 >? 2
Verdadera
3 > 2
El conjunto solución parece ser el correcto.∎
𝑥+3
30 + 3
33
>
>?
>
2
2
2
Sustituimos x por 30
Verdadera
Como con las ecuaciones, existen propiedades para multiplicar y dividir ambos lados de una desigualdad por
un mismo número. Para desarrollar lo que se llama la propiedad de multiplicación de la desigualdad,
consideramos la afirmación verdadera 2 < 5. Si ambos lados se multiplican por un número positivo, como 3,
se obtiene otra desigualdad verdadera.
Esta desigualdad es verdadera
2 <5
Multiplicamos ambos lados por 3
3∙2 <3∙5
Esta desigualdad es verdadera.
6 < 15
Sin embargo, si multiplicamos ambos lados de 2 < 5 por un número negativo, tal como −3, la dirección del
símbolo de desigualdad debe ser invertido para producir una desigualdad verdadera.
2 <5
−3 ∙ 2 > −3 ∙ 5
−6 > −15
Esta desigualdad es verdadera
Multiplicamos ambos lados por -3 e invertimos la dirección de la desigualdad.
Esta desigualdad es verdadera.
La desigualdad −6 > −15 es verdadera porque −6 está a la derecha de −15 sobre la recta numérica.
Dividir ambos lados de una desigualdad por un número negativo, también requiere que la dirección del símbolo
de desigualdad se invierta.
Esta desigualdad es verdadera
Dividimos ambos lados por -2 y cambiamos < por >
Esta desigualdad es verdadera.
Estos ejemplos ilustran las propiedades de la multiplicación y división para las desigualdades.
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 90
Módulo de Matemática
−4 < 6
−4
6
>
−2
−2
2 < −3
TEMA 3
TEORIA
INGRESO FQByF
Multiplicar o dividir ambos lados de una desigualdad por el mismo número
positivo, no cambia sus soluciones.
Para números reales cualesquiera, a, b y c, donde c es positivo
Si 𝒂 < 𝒃, entonces 𝒂𝒄 < 𝒃𝒄.
Propiedades de la
multiplicación y división
para las desigualdades
Si 𝒂 < 𝒃, entonces
𝒂
𝒄
<
𝒃
𝒄
.
Si multiplicamos o dividimos ambos lados de una desigualdad por el mismo
número negativo, la dirección del símbolo de desigualdad se debe invertir para
tener las mismas soluciones.
Para números reales cualesquiera, a, b y c, donde c es negativo
Si 𝒂 < 𝒃, entonces 𝒂𝒄 > 𝒃𝒄.
Si 𝒂 < 𝒃, entonces
𝒂
𝒄
>
𝒃
𝒄
.
Afirmaciones similares se pueden hacer para los símbolos ≤, > 𝑦 ≥.
Si no invertimos el símbolo de desigual cuando multiplicamos (o dividimos) ambos lados de
una desigualdad verdadera por un número negativo, el resultado es una afirmación falsa. Por
ejemplo
verdadera
−2 < 7
−3 ∙ (−2) < −3 ∙ 7
falsa
6 < −21
Lo mismo es cierto si dividimos ambos lados por un número negativo.
Ejemplo 57: Resolver cada desigualdad. Escribir el conjunto solución en notación de intervalo y graficarlo.
3
a. − 𝑡 ≥ −12
b. −5𝑡 < 55
2
Estrategia Usaremos una propiedad de las desigualdades la variable del lado izquierdo.
Por qué Para resolver la desigualdad original, queremos encontrar una desigualdad equivalente más simple,
cuya solución es obvia.
3
2
2
3
Solución: a. Para deshacernos de − , multiplicamos ambos lados por el recíproco, el cual es − .
𝑡
≥ −12
Esta es la desigualdad que queremos resolver
2
≤ − (−12)
3
Multiplicamos ambos lados por
≤8
Multiplicamos:
2
3
negativo, invertimos la dirección del símbolo ≥
2
3
3
2
− . Ya que multiplicamos ambos lados por un número
− (− ) = 1
y
2
3
− (−12) = 8.
El conjunto solución es (−∞, 8] y su gráfica es la siguiente
b. Para despejar la variable dividimos ambos lados por −5
−5𝑡
< 55
Esta es la desigualdad que queremos resolver
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 91
Módulo de Matemática
3
− 𝑡
2
2
3
− (− ) 𝑡
3
2
TEMA 3
TEORIA
−5𝑡
−5
𝑡
55
−5
> −11
>
INGRESO FQByF
Para aislar t, dividimos ambos lados por -5. Como estamos dividiendo ambos lados
por un número negativo, cambiamos
< por >.
El conjunto solución es (−11, ∞) y su gráfica es la siguiente
∎
Ejemplo 58: Resolver −5 > 3𝑥 + 7. Dar la solución en notación de intervalo y graficarla.
Estrategia Primero usaremos una propiedad de la desigualdad para aislar el término variable de un lado.
Entonces usaremos una segunda propiedad de la desigualdad para aislar la variable.
Por qué para resolver la desigualdad original, queremos encontrar una desigualdad más simple y equivalente
a la original de la forma 𝒙 > 𝐮𝐧 𝐧ú𝐦𝐞𝐫𝐨 o 𝒙 < 𝐮𝐧 𝐧ú𝐦𝐞𝐫𝐨, cuya solución es obvia.
Solución:
Esta es la desigualdad que queremos resolver
−5 > 3𝑥 + 7
−5 − 7 > 3𝑥 + 7 − 7
Para aislar el término variable 3x del lado derecho, restamos 7 de ambos lados
Restamos: −5 − 7 = −12,
−12 > 3𝑥
−12
3𝑥
>
3
3
−4 > 𝑥
7−7 = 0
Para aislar x, dividimos ambos lados por 3.
Para determinar el conjunto solución, es útil reescribir la desigualdad −4 > 𝑥 en una forma equivalente con la
variable del lado izquierdo
𝑥 < −4
Si -4 es más grande que x, se sigue que x debe ser menor que -4.
El conjunto solución es (−∞, −4) y su gráfica es
∎
Ejemplo 59: Resolver 5,1 − 3𝑘 < 19,5. Dar la solución en notación de intervalo y graficarla.
Estrategia Usaremos propiedades de la desigualdad para aislar la variable de un lado.
Por qué para resolver la desigualdad original, queremos encontrar una desigualdad más simple y equivalente
a la original de la forma 𝒌 > 𝐮𝐧 𝐧ú𝐦𝐞𝐫𝐨 o 𝒌 < 𝐮𝐧 𝐧ú𝐦𝐞𝐫𝐨, cuya solución es obvia.
Solución:
5,1 − 3𝑘 < 19,5
Esta es la desigualdad que queremos resolver
−3𝑘
−3𝑘
−3
𝑘
< 14,4
14,4
>
−3
> −4,8
Para aislar el término variable 3x del lado izquierdo, restamos 5,1 de ambos lados
Restamos
Para aislar x, dividimos ambos lados por -3. Cambiamos
< por >
El conjunto solución es (−4,8 ; ∞), y su gráfica es
∎
Las estrategias de resolución de ecuaciones del Tema 2 pueden aplicarse a las desigualdades. Sin embargo, al
resolver las desigualdades, debemos recordar invertir la dirección del símbolo de desigualdad al multiplicar o
dividir ambos lados por un número negativo.
Ejemplo 60: Resolver 8(𝑦 + 1) ≥ 2(𝑦 − 4) + 𝑦 . Dar el conjunto solución en notación de intervalo y
gráficamente.
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 92
Módulo de Matemática
5,1 − 3𝑘 − 5,1 < 19,5 − 5,1
TEMA 3
TEORIA
INGRESO FQByF
Estrategia: seguiremos los pasos de la estrategia para resolver ecuaciones adaptándolos a desigualdades.
Por qué Esta es la forma más eficiente de resolver una desigualdad lineal es una variable.
Solución:
8(𝑦 + 1)
≥ 2(𝑦 − 4) + 𝑦
Esta es la desigualdad que queremos resolver
8𝑦 + 8 ≥ 2𝑦 − 8 + 𝑦
Aplicamos la propiedad distributiva
8𝑦 + 8 ≥ 3𝑦 − 8
Combinamos los términos semejantes: 2𝑦 + 𝑦 = 3𝑦
8𝑦 + 8 − 3𝑦
≥ 3𝑦 − 8 − 3𝑦
Restamos 3y de ambos lados, para tener la variable de un solo lado.
Combinamos los términos semejantes: 8𝑦 − 3𝑦 = 5𝑦
5𝑦 + 8 ≥ −8
5𝑦 + 8 − 8 ≥ −8 − 8
3𝑦 − 3𝑦 = 0.
Restamos 8 de ambos lados para aislar el término variable.
Restamos: 8 − 8 = 0 − 8 − 8 = −16
≥ −16
−16
Para aislar y, dividimos ambos lados por 5.
≥
5
16
𝑦 ≥−
5
16
El conjunto solución es [− , ∞) y su gráfica es
5𝑦
5𝑦
5
5
∎
3
4
𝑥
2
6
7
Ejemplo 61: Resolver + > . Dar el conjunto solución en notación de intervalo y gráficamente.
Estrategia: El primer paso de la estrategia para resolver ecuaciones adaptado a desigualdades es eliminar las
fracciones multiplicando ambos lados por el mínimo común múltiplo.
Por qué Es más fácil resolver desigualdades que involucres solo números enteros.
Solución:
3 𝑥
6
Esta es la desigualdad que queremos resolver
+
>
4 2
7
3 𝑥
6
Eliminamos las fracciones multiplicando ambos lados por el mínimo común múltiplo
28 ( + ) > 28 ( )
de 4,2 y 7, que es 28.
4 2
7
3
𝑥
6
Del lado izquierdo aplicamos la propiedad distributiva.
28 ( ) + 28 ( ) > 28 ( )
4
2
7
Simplificamos
> 24
21 + 14𝑥 − 21 > 24 − 21
14𝑥
>3
14𝑥
14
>
𝑥
3
14
3
>
14
El conjunto solución es (
3
, ∞)
14
Para aislar el término variable del lado izquierdo restamos de ambos lados 21
21 − 21 = 0 24 − 21 = 3
Para aislar x, dividimos ambos lados por 14
y su grafica es
∎
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 93
Módulo de Matemática
21 + 14𝑥
TEMA 3
TEORIA
INGRESO FQByF
RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES COMPUESTAS
La palabra compuesto
significa compuesta de
dos o más partes.
Por ejemplo, una
desigualdad compuesta
tiene tres partes.
Otros ejemplos son:
una oración compuesta,
Podemos combinar dos desigualdades en una desigualdad compuesta para mostrar
que una expresión puede estar entre dos valores fijos. Por ejemplo, −2 < 𝑥 < 3 es
una combinación de
−2 < 𝑥
y
𝑥<3
Indica que x es mayor que −2 y que x es también menor que 3. El conjunto solución
de −2 < 𝑥 < 3 consiste en todos los números que están entre −2 y 3, escribimos
esto como el intervalo (−2,3) . La gráfica de la desigualdad compuesta es la
siguiente
una fractura compuesta
Ejemplo 62: Graficar −4 ≤ 𝑥 < 0 y escribir el conjunto solución en notación de intervalo.
Estrategia: Necesitamos determinar cuáles son los números reales que reemplazados en el lugar de la x hacen
que −4 ≤ 𝑥 < 0 sea una afirmación verdadera.
Por qué Graficar −4 ≤ 𝑥 < 0 significa dibujar una "imagen" de todos los valores que hacen que la
desigualdad compuesta sea verdadera.
Solución: Si reemplazamos la variable en −4 ≤ 𝑥 < 0 con un número entre −4 y 0, incluyendo el −4, la
desigualdad que resulte será verdadera. Por lo tanto, el conjunto solución es el intervalo [−4, 0).
Para graficar el intervalo, dibujamos un corchete en −4, un paréntesis en 0, y sombreamos entre ellos como
muestra la figura
Para verificar, elegimos un número en la gráfica, tal como −2 y vemos si satisface la desigualdad. Ya que
−4 ≤ −2 < 0 es verdadera, la respuesta es correcta.∎
Para resolver este tipo de desigualdades compuestas, aislamos la variable en la parte del medio de la
desigualdad. Para esto aplicamos las propiedades de la desigualdad a las tres partes de la inecuación, la
izquierda, el medio y la derecha.
Ejemplo 63: Resolver −4 < 2(𝑥 − 1) ≤ 4. Escribir el conjunto solución en notación de intervalo y graficarlo.
Estrategia: Usaremos las propiedades de la desigualdad para aislar la variable en la parte del medio de la
desigualdad.
Por qué Para resolver la desigualdad original, queremos encontrar una desigualdad más simple y equivalente
a la original de la forma 𝐮𝐧 𝐧ú𝐦𝐞𝐫𝐨 < 𝒙 ≤ 𝐮𝐧 𝐧ú𝐦𝐞𝐫𝐨, cuya solución es obvia.
Solución:
−4 < 2𝑥 − 2 ≤ 4
−4 + 2 < 2𝑥 − 2 + 2 ≤ 4 + 2
−2 < 2𝑥 ≤ 6
−2 2𝑥 6
<
≤
2
2
2
−1 < 𝑥 ≤ 3
Esta es la desigualdad que queremos resolver
En el medio, aplicamos la propiedad distributiva
Para aislar el término 2x, sumamos 2 a las tres partes
Sumamos
Para aislar x, dividimos las tres partes por 2
El conjunto solución es (−1, 3] y su gráfica es
∎
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 94
Módulo de Matemática
−4 < 2(𝑥 − 1) ≤ 4
TEMA 3
TEORIA
INGRESO FQByF
Ejemplo 64: Resolver −2 ≤ −3𝑥 − 1 ≤ 5. Dar el conjunto solución en notación de intervalo y graficarlo.
Solución:
−2 ≤ −3𝑥 − 1 ≤ 5
−2 + 1 ≤ −3𝑥 − 1 + 1 ≤ 5 + 1
−1 ≤ −3𝑥 ≤ 6
−1 −3𝑥
6
≥
≥
−3
−3
−3
1
≥ 𝑥 ≥ −2
3
1
−2 ≤ 𝑥 ≤
3
sumamos 1 a las tres partes
dividimos las tres partes por 2
invertimos los símbolos de desigualdad
Reescribimos en el orden de la recta numérica
1
3
El conjunto solución es [−2, ], y su gráfica es
∎
Resumiendo, los conjuntos solución para las igualdades y desigualdades lineales que podemos obtener son
Ecuación o inecuación
Conjunto solución típico
Ecuación lineal
5𝑥 + 4 = 14
{2}
Desigualdad lineal
5𝑥 + 4 < 14
o
5𝑥 + 4 > 14
Desigualdad compuesta
−1 ≤ −5𝑥 + 4 ≤ 14
Gráfica del conjunto solución
(−∞, 2)
(2, ∞)
[−1,2]
ECUACIONES CUADRÁTICAS
Ejemplos
𝑥 2 = 24
𝑥 = ±√24
(𝑥 − 3)2 = 81
𝑥 − 3 = ±√81
𝑥 = 3 ± √81
𝑥 = 3 + 9 = 12
𝑥 = 3 − 9 = −6
Para resolver ecuaciones cuadráticas en x Resolver: 3𝑥 2 − 2𝑥 − 2 = 0
usando la fórmula cuadrática o teorema Aquí, 𝑎 = 3, 𝑏 = −2, 𝑐 = −2
de Bhaskara.
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 95
Módulo de Matemática
Definiciones y Conceptos
Podemos usar la propiedad de la raíz
cuadrada para resolver ecuaciones de la
forma 𝑥 2 = 𝑐, donde 𝑐 > 0 . Las dos
soluciones son
o
𝑥 = √𝑐
𝑥 = −√𝑐
Podemos escribirlo en forma compacta
como
𝑥 = ±√𝑐
TEMA 3
TEORIA
INGRESO FQByF
1. Escribimos la ecuación en forma
estandar:
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
2. Identificamos a, b y c.
3. Sustituimos los valores de a, b y c
en la fórmula
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
y evaluamos el lado derecho para
obtener las soluciones.
𝑥=
1+√7
3
Las soluciones exactas son
y
1−√7
.
3
Podemos usar una
calculadora y aproximarlas, obteniendo 1,22 y −0,55.
Cuando se resuelve una ecuación
cuadrática usando la fórmula cuadrática, a
menudo podemos simplificar los cálculos
resolviendo una ecuación equivalente que
no involucre fracciones o decimales, y
cuyo coeficiente inicial sea positivo.
Antes de resolver
−3𝑥 2 + 5𝑥 − 1 = 0
7
1
𝑥2 + 𝑥 − = 0
8
2
60𝑥 2 − 40𝑥 + 90 = 0
0,05𝑥 2 + 0,16𝑥 + 0,01 = 0
Hacemos esto
Multiplicamos
ambos lados por
−1
Multiplicamos
ambos lados por 8
Dividimos ambos
lados por 10
Multiplicamos
ambos lados por
100
Para obtener
3𝑥 2 − 5𝑥 + 1 = 0
8𝑥 2 + 7𝑥 − 4 = 0
6𝑥 2 − 4𝑥 + 9 = 0
5𝑥 2 + 16𝑥 + 7 = 0
POLINOMIOS
Definiciones y Conceptos
Ejemplos
Un polinomio es un solo término o una suma
finita de términos en la que todas las variables
tienen exponentes enteros positivos y ninguna
variable aparece en un denominador.
Polinomios: 32, −5𝑥 2 𝑦 3 , 7𝑝 3 − 14𝑞 3
7
𝑥
No polinomios: 𝑦 5 − 𝑦 −2 , 4𝑥 2 − + 2𝑥
El grado de un término de un polinomio en
una variable es el valor del exponente de la
variable. Si el polinomio tiene más de una
variable, el grado de un término es la suma de
los exponentes de las variables.
El grado de una constante no nula es 0
El grado de un polinomio es igual al mayor
grado de cualquier término del polinomio.
Un monomio es un polinomio con un término.
Término
6𝑤 7
−7,3𝑥 2 𝑧 11
32
Coeficiente
6
−7,3
32
Polinomio
− 4𝑤 2 + 5𝑤 − 8
1 4
2
𝑥 𝑦 + 𝑥 2𝑦 4
2
3
7𝑤 3
32,
Grado
7
2 + 11 = 13
0
Grado del polinomio
3
2+4= 6
−5𝑥 2 𝑦 3
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 96
Módulo de Matemática
El coeficiente de un término es su factor
numérico.
TEMA 3
TEORIA
INGRESO FQByF
Un binomio es un polinomio con dos términos.
4𝑥 2 − 2𝑥,
Un trinomio es un polinomio con tres términos.
4𝑥 2 − 2𝑥 + 7
87𝑡 − 25
4𝑝𝑞 − 8𝑝 + 𝑞
−2𝑥 + 7
Un polinomio es lineal si es de grado 0 o 1.
Un polinomio con una variable es cuadrático si
es de grado 2.
Un polinomio con una variable es cúbico si es
de grado 3.
4𝑥 2 − 2𝑥 + 7
4𝑥 3 − 2𝑥 − 5
Para evaluar un polinomio para un valor dado, Evaluar 3𝑥 2 − 4𝑥 + 2 para 𝑥 = 2
sustituimos el valor en el lugar de la variable y
3𝑥 2 − 4𝑥 + 2 = 3(2)2 − 4(2) + 2
hacemos las cuentas siguiendo el orden de las
= 3(4) − 8 + 2
operaciones.
=6
Para simplificar un polinomio combinamos
términos semejantes
Para sumar polinomios, combinamos sus
términos semejantes
Simplificar:
3𝑟 4 − 4𝑟 3 + 7𝑟 4 + 8𝑟 2
= 10𝑟 4 − 4𝑟 3 + 8𝑟 2
(4𝑥 2 + 9𝑥 + 4) + (3𝑥 2 − 5𝑥 − 1)
= (4𝑥 2 + 3𝑥 2 ) + (9𝑥 − 5𝑥) + (4 − 1)
= 7𝑥 2 + 4𝑥 + 4
Para sustraer dos polinomios, cambiamos los
signos de los términos del polinomio
sustraendo, eliminamos paréntesis , y
combinamos términos semejantes
Para
multiplicar
dos
monomios,
multiplicamos los factores numéricos (los
coeficientes) y entonces multiplicamos los
factores variables
(8𝑎3 𝑏 − 4𝑎𝑏 2 ) − (−3𝑎3 𝑏 + 9𝑎𝑏 2 )
= 8𝑎3 𝑏 − 4𝑎𝑏 2 + 3𝑎3 𝑏 − 9𝑎𝑏 2
= 11𝑎3 𝑏 − 13𝑎𝑏 2
(5𝑥 6 )(2𝑥 5 ) = (5 ∙ 2)(𝑥 6 ∙ 𝑥 5 )
= 10𝑥 11
Para multiplicar un monomio por un
polinomio, multiplicamos cada término del
polinomio por el monomio (usamos la
propiedad distributiva)
Módulo de Matemática
Para multiplicar dos polinomios usamos la
propiedad distributiva reiteradamente
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 97
TEMA 3
TEORIA
Los siguientes productos especiales se usan
muy frecuentemente por lo que conviene
aprender sus formas
Cuadrado de un binomio
(𝐴 + 𝐵)2 = 𝐴2 + 2𝐴𝐵 + 𝐵2
Este es el cuadrado de una suma
(𝐴 − 𝐵)2 = 𝐴2 − 2𝐴𝐵
(𝑛 + 4)2
INGRESO FQByF
𝑛2
=
2(𝑛)(4)
+
El cuadrado del
primer término
=
(5𝑎 − 14)2
+ 𝐵2
El cuadrado
del segundo
término
𝑛2 + 8𝑛 + 16
= (5𝑎)2
+
El cuadrado
del primer
término
Este es el cuadrado de una diferencia
42
+
Dos veces el
producto
de
ambos términos
2(5𝑎)(−1)
Dos veces el
producto
de
ambos términos
+
(−1)2
El cuadrado
del segundo
término
= 25𝑎2 − 10𝑎 + 1
(𝑥 + 8)(𝑥 − 8)
Multiplicando la suma y la diferencia de los
mismos dos términos
(𝐴 + 𝐵)(𝐴 − 𝐵) = 𝐴2 − 𝐵2
=
𝑥2
−
El cuadrado del
primer término
82
El cuadrado del
segundo término
= 𝑥 2 − 82
Para dividir monomios, usamos el método de
simplificar fracciones y/o la regla del cociente para
exponentes
Para dividir un polinomio por un binomio,
dividimos cada término del numerador por el
denominador
El factoreo es la multiplicación invertida.
Factorizar un polinomio significa expresarlo
como un producto de dos (o más) polinomios.
Factorizar un número, es escribirlo como el
producto de números primos
Ejemplos
Multiplicación: Dado los factores, encontramos el polinomio
2
⟶
2𝑥(5𝑥 + 3) = 10𝑥 + 6𝑥
⟵Factorizar: Dado el polinomio, encontramos los factores.
28 = 2 ∙ 2 ∙ 7 = 22 ∙ 7
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 98
Módulo de Matemática
FACTOREO
Definiciones y Conceptos
TEMA 3
TEORIA
INGRESO FQByF
Para encontrar el mayor factor común, MFC de
una lista de términos
1. Escribimos cada coeficiente como Encontrar el MFC de 35𝑥 4 , 63𝑥 3 y 42𝑥 2
producto de factores primos
2. Identificamos los factores numéricos y
variables comunes a cada término.
3. Multiplicamos los factores numéricos y
variables comunes identificados en el
paso 2 para obtener el MFC. Si no
existen factores comunes, el MFC es 1.
El primer paso para factorizar un polinomio es
ver si los términos del polinomio tienen un factor
común. Si lo tienen, extraer el MFC.
Se puede usar la propiedad distributiva para verificar la
factorización
Muchos trinomios se factorizan como el producto Factorizar: 2𝑥 2 − 5𝑥 − 12
de dos binomios. Para factorizar un trinomio de Mediante la fórmula cuadrática, obtenemos
3
la forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , encontramos las
𝑥1 = 4,
𝑥2 = −
soluciones o raíces reales mediante la fórmula
2
−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐
Entonces
cuadrática 𝑥1,2 =
. Luego
2𝑎
3
2
2𝑥 2 − 5𝑥 − 12 = 2(𝑥 − 4) (𝑥 − (− ))
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 )
2
Si las soluciones o raíces no son reales, se dice Se puede verificar este resultado aplicando la propiedad distributiva.
que el trinomio es primo.
Antes de factorizar un polinomio es conveniente
7𝑥 − 𝑥 2 − 6 = −𝑥 2 + 7𝑥 − 6
escribirlo en potencias descendentes.
Un
polinomio
queda
completamente
factorizado cuando ningún factor puede volver a
factorizarse. Decimos que los factores son
primos.
Siempre se aplica primero factor común.
Los trinomios que son cuadrados de un binomio
se llaman trinomios cuadrados perfectos.
Podemos factorizarlos aplicando las reglas de los
productos especiales a la inversa.
𝐴2 + 2𝐴𝐵 + 𝐵2 = (𝐴 + 𝐵)2
Para factorizar la diferencia de dos cuadrados,
usamos
𝐴2 − 𝐵2 = (𝐴 + 𝐵)(𝐴 − 𝐵)
En general, la suma de dos cuadrados (sin
factores comunes aparte del 1) no puede
factorizarse usando números reales.
𝑥 2 + 25 y 36𝑥 2 + 49 son polinomios primos
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 99
Módulo de Matemática
𝐴2 − 2𝐴𝐵 + 𝐵2 = (𝐴 − 𝐵)2
TEORIA
INGRESO FQByF
PROPORCIONALIDAD
Definiciones y Conceptos
Una razón es el cociente de dos números o dos
cantidades.
2
,
3
Una proporción es una afirmación de que dos
𝒂
𝒄
razones son iguales. En la proporción = , a y d
𝒃
𝒅
son los extremos y b y c son los medios.
4 28
=
9 63
En cualquier proporción, el producto de los extremos
es igual al producto de los medios. (Los productos
cruzados son iguales.)
4 28
=
9 63
Para resolver una proporción, escriba el producto
de los extremos igual al producto de los medios y
resuelva la ecuación resultante.
Las palabras y varia directamente con x o y es
directamente proporcional a x significa que 𝒚 = 𝒌𝒙
para alguna constante no nula 𝑘, llamada constante
de variación o razón.
Las palabras y varia inversamente con x o y es
𝒌
inversamente proporcional a x significa que 𝒚 =
𝒙
para alguna constante no nula 𝑘.
Estrategia para resolver problemas de variación
1. Traduzca el modelo verbal en una ecuación.
2. Sustituir el primer conjunto de valores en la
ecuación del paso 1 para determinar el valor
de k.
3. Sustituya el valor de k en la ecuación del
paso 1.
4. Sustituya el conjunto de valores restantes
en la ecuación del paso 3 y resuelva para la
incógnita.
3
2
Resolver =
Ejemplos
1
, 𝑜 2: 3
65
Extremos 4 y 63
Medios 9 y 28
4 ∙ 63 = 252
9 ∙ 28 = 252
𝑥
10
3 ∙ 10 = 2 ∙ 𝑥
30 = 2𝑥
15 = 𝑥
El tiempo empleado y la distancia que se va a
recorrer.
El tamaño de una pared y la pintura que se va a usar
al pintar.
En un espacio cerrado, el volumen decrece cuando
aumenta la presión.
Al recorrer una distancia constante, el tiempo varía
en forma inversamente proporcional a la velocidad.
Supongamos que d varía inversamente con h. Si 𝑑 =
5 cuando ℎ = 4, encontrar d cuando ℎ = 10
1. La frase d varía inversamente con h se
𝑘
ℎ
traduce como 𝑑 = .
2. Sustituimos d por 5, y h por 4, obtenemos
𝑘
5=
4
Constante de variación
20 = 𝑘
3. Como 𝑘 = 20 , la ecuación de variación
inversa es 𝑑 =
20
ℎ
.
4. Para responder a la pregunta final,
sustituimos h por 10 en el modelo de
variación inversa:
20
𝑑=
=2
10
Variación conjunta: Una variable varía como el Por ejemplo en la ecuación del gas ideal
producto de varias variables.
𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇
La presión P varía en forma inversa con el volumen
V, y el forma directa con la temperatura T.
La regla de tres es un procedimiento para resolver En la librería compré 7 cuadernos por $63.
situaciones de variación proporcional entre dos ¿Cuánto dinero necesitaré para comprar 15
magnitudes.
cuadernos? ¿Más o menos dinero?
La operación matemática consiste en calcular el Este es un caso de variación proporcional entre dos
valor de una magnitud, conocidos tres valores, dos magnitudes: cuadernos y cantidad de dinero.
de ellos de la misma magnitud.
Puede ser simple o compuesta.
Si en la regla de tres intervienen solo dos magnitudes ∗Cinco litros de leche cuestan $ 100, ¿cuánto costarán dos litros
diferentes, entonces se llama regla de tres simple. de leche?
Si la variación es directa, se llama regla de tres
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 100
Módulo de Matemática
TEMA 3
TEMA 3
TEORIA
simple directa pero, si la variación es inversa se dice
regla de tres simple inversa.
INGRESO FQByF
Solución. La cantidad de leche a comprar y el precio a pagar son
magnitudes directamente proporcionales porque, si se compra
menos leche, se pagará menos dinero.
Esta variación se visualiza mejor así:
5 litros de leche cuestan $ 100
2 litros de leche cuestan $ x
Que planteada como una proporción sería:
5 100
=
2
𝑥
donde el valor de x sería:
2 ∙ 100
𝑥=
= 20
5
Dos litros de leche cuestan $ 40.
∗15 obreros de la construcción hacen una pared en 3 días, ¿en
cuántos días harán la pared 9 obreros, en las mismas
condiciones?
Solución.En esta situación el razonamiento es el siguiente: más
obreros harán la obra en menos días, por tanto las magnitudes
son inversamente proporcionales.
Si en la regla de tres intervienen tres o más
magnitudes diferentes, entonces se llama regla de
tres compuesta. Puede ser:
Directa: si las magnitudes que intervienen son
directamente proporcionales.
Inversa: si por lo menos un par de las magnitudes
que intervienen son inversamente proporcionales.
días
3
x
15 ∙ 3 = 9 ∙ 𝑥
𝑥=5
9 obreros tardaran 5 días.
12 obreros abren una zanja de 90 m trabajando durante 5 días.
¿Cuántos días tendrán que trabajar 10 obreros si quieren abrir
una zanja de 30m?
Solución: Primero identificamos las variables
obreros
longitud
días
12
90
5
10
30
x
Después establecemos la variación proporcional entre cada par
de magnitudes, manteniendo constante la tercera magnitud:
a) Manteniendo constante la longitud: 12 obreros abren
la zanja en 5 días, menos obreros abrirán la zanja en
más días. Es una proporcionalidad inversa.
b) Manteniendo constante el número de obreros: Los
obreros abren la zanja de 90 m en 5 días, los mismos
obreros abrirán una zanja de menos metros en menos
días. Es una proporcionalidad directa.
Haciendo el análisis siguiente: si la variación es directa con
respecto a la variable "x", escribimos un (+) abajo y un (-) arriba
pero, si es inversa escribimos un (+) arriba y un (-) abajo; arriba
de la incógnita siempre escribimos (+).
obreros
longitud
días
+
+
−
12
90
5
10
30
x
+
−
Entonces
5 ∙ 12 ∙ 30
𝑥=
=2
10 ∙ 90
Se necesitan 2 días para abrir la zanja.
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 101
Módulo de Matemática
obreros
15
9
Entonces
TEMA 3
TEORIA
INGRESO FQByF
PORCENTAJE
Definiciones y Conceptos
La palabra por ciento significa partes por cien.
Ejemplos
93
El 93% o 0,93 o
,
100
de la figura está
sombreada
Para resolver problemas de porcentaje, usamos los
enunciados del problema para escribir una oración
de la forma:
¿
𝑒𝑠 𝑒𝑙
% 𝑑𝑒
?
Traducimos la oración a símbolos matemáticos: es el
se traduce a un símbolo = y de significa multiplicar.
Luego se resuelve la ecuación.
Para encontrar el porcentaje de aumento o el
porcentaje de disminución, determine qué
porcentaje del aumento o disminución es de la
cantidad original.
¿648
↓
648
es el
↓
=
30%
↓
30%
de
↓
∙
qué número?
↓
𝑥
648 = 0,30𝑥
648
0,30𝑥
Así, 648 es el 30% de
=
2160
0,30
0,30
2160 = 𝑥
Para encontrar el porcentaje de disminución cuando
el precio de un producto se reducen de $ 489 a $ 425,
primero encontramos la cantidad de disminución:
489-425=64. Entonces determinamos qué porcentaje
de 489 (el precio original) es 64.
¿64
↓
64
es el
↓
=
de
↓
∙
489?
↓
489
Así, el porcentaje de
decrecimiento es 13%.
Módulo de Matemática
64 = 489𝑥
64
489𝑥
=
489
489
0,13 ≈ 𝑥
cuál%
↓
𝑥
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 102
TEMA 4
TEORIA
INGRESO FQByF
TEMA 4: TRIGONOMETRÍA
La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es “la medición de los
triángulos”. Deriva de los términos griegos trigonon ´triángulo´ y metron ´medida´.
Teniendo en cuenta este significado etimológico, se parte de la definición de ángulo junto con su
clasificación y las distintas formas de medición que se utilizarán. Se recordará el Teorema de Pitágoras,
como herramienta, para resolver problemas donde se necesiten aplicar las razones trigonométricas.
4.1: ÁNGULO
4.1.1: Definición de ángulo
Ángulo
Un ángulo se define como el conjunto de puntos determinados por
dos rayos, o semirrectas, l1 y l2, llamados lados, que tienen el mismo
punto extremo O, llamado vértice.
NOTA: Si A y B son puntos en l1 y l2, respectivamente, se puede denotar a un ángulo de la siguiente
manera:
AOB,
BOA, AÔB, BÔA
Observe que la letra correspondiente al vértice se coloca en medio.
Otra manera muy común de llamar a los ángulos es con letras griegas minúsculas como α (alfa), β (beta), γ
(gamma), etc.
4.1.2: Sistemas de Medidas
Grados Sexagesimales
Grados Sexagesimales
Se llama grado sexagesimal a cada una de las partes del resultado de
dividir en 360 partes iguales, a una rotación completa de un rayo.
Un grado sexagesimal se denota con el símbolo: °
Las subunidades del grado sexagesimal son:
 El minuto sexagesimal
1’
 El segundo sexagesimal 1’’
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 103
Módulo de Matemática
Una de las medidas angulares más usada es los grados sexagesimales.
TEMA 4
TEORIA
Sus equivalencias son:
INGRESO FQByF
1° = 60’
1’ = 60’’
1° = 3600’’
El sistema sexagesimal es aplicado en actividades como: topografía, navegación y construcción de equipos
mecánicos. Además de éste sistema se encuentra el sistema circular que es empleado en aplicaciones
científicas ya que la ventaja de este sistema es que medimos los ángulos en radianes, que son números
reales.
Radianes
Es la unidad de medida de ángulo que se define como: el ángulo
central de una circunferencia que subtiende un arco cuya longitud es
igual al radio.
En la figura se muestra un ángulo que mide un radián.
El radián se abrevia como rad.
Radián
Como el radio cabe 2π veces en el perímetro de la circunferencia, tenemos que 2π rad = 360°
Entonces, para hacer la conversión de grados a radianes o viceversa aplicaremos un factor de conversión.
Este factor de conversión es una fracción que es igual a “1”, lo que significa que su numerador y
denominador son equivalentes.
Como sabemos: 360° = 2π rad
Si simplificamos esa expresión: 180° = π rad
 Para convertir grados en radianes se utiliza:
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180
 Para convertir radianes en grados se utiliza:
Ejemplo 1: ¿Cuántos grados hay en un ángulo de
?
Solución:
Se utilizará el factor de conversión necesario para eliminar los radianes y que la unidad resultante sea en
grados.
Por lo tanto, al ángulo en radianes se lo multiplicar por
, porque tiene los radianes en el denominador y
se cancelarán.
36°
(
)
36°
𝜋
𝑟𝑎𝑑
5
36
1
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 104
Módulo de Matemática
180
𝜋 𝑟𝑎𝑑
TEMA 4
TEORIA
INGRESO FQByF
Ejemplo 2: Convertir 20° en radianes
Solución:
Se utilizará el otro factor de conversión, ya que se quiere eliminar los grados para que quede en radianes.
1
20
(
)
20° =
𝜋 𝑟𝑎𝑑
9
Se puede expresar de
ambas formas
Usando esta técnica se puede obtener la siguiente tabla, que representa las medidas correspondientes a
radianes y grados de ángulos especiales.
Radianes
0
Grados
0°
30°
45°
60°
90°
Ángulo Recto
Ángulo que se forma cuando dos rectas se cortan formando cuatro
ángulos de la misma medida. Es decir, equivale a 90°.
Ángulo Agudo
Ángulo cuya medida es menor a la de un ángulo recto. Es decir,
mayor de 0° y menor de 90°.
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 105
Módulo de Matemática
4.1.3: Clasificación de ángulos
TEMA 4
Ángulo Llano
Ángulo Obtuso
Ángulo Nulo
TEORIA
INGRESO FQByF
Ángulo cuya medida es igual a la de dos ángulos rectos. Es decir,
equivale a 180°.
Ángulo cuya medida es mayor a la de un ángulo recto pero menor a la
de un ángulo llano. Es decir, mayor de 90° y menor de 180°.
Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto
su abertura es nula, es decir, de 0°.
4.2: Ángulos orientados
Si se introduce un sistema de coordenadas rectangulares, entonces la posición estándar de un ángulo se
obtiene al colocar el vértice en el origen y hacer que el lado inicial coincida con el eje x positivo. Si el lado
terminal se hace girar en dirección contraria al giro de las manecillas de un reloj, el ángulo se considera
positivo. Si el lado terminal se hace girar en dirección de las manecillas, el ángulo es negativo.
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 106
Módulo de Matemática
En trigonometría con frecuencia se interpretan a los ángulos como rotaciones de rayos. Se inicia con un rayo
fijo l1, que tiene punto extremo O, y se gira alrededor de O, en un plano, a una posición especificada por el
rayo l2. Se llama a l1 el lado inicial, l2 es el lado terminal y O es el vértice.
Se podría considerar que el lado terminal hace varias revoluciones en cualquier dirección alrededor de O
antes de llegar a la posición final. Así, muchos ángulos diferentes tienen los mismos lados iniciales y
terminales.
TEMA 4
TEORIA
Ángulo Positivo
INGRESO FQByF
Ángulo Negativo
4.1.4: Pares de ángulos
Ángulos Consecutivos
Ángulos Complementarios
Son aquellos que sólo tienen en común vértice y un lado.
Dos ángulos α y β son complementarios si la suma de sus medidas es
igual a la medida de un ángulo recto.
α + β = 90°
Solución:
α y β 25°+65°=90°
αyδ
γyδ
γyβ
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 107
Módulo de Matemática
Ejemplo 3: Identifique cada par de ángulos complementarios.
TEMA 4
TEORIA
INGRESO FQByF
Ejemplo 4: Obtenga la medida del complemento de un ángulo de 39°.
90° - 39° = 51°
La medida del complemento es de 51°.
Ángulos Suplementarios
Dos ángulos α y β son suplementarios si la suma de sus medidas es
igual a la medida de un ángulo llano.
α + β = 180°
Ejemplo 5: Obtenga la medida del suplemento de un ángulo de 112°.
180° - 112° = 68°
La medida del suplemento es de 68°
Ángulos Opuestos por el
Vértice
Dos ángulos α y β son opuestos por el vértice si tienen el vértice en
común y los lados son semirrectas opuestas.
De la figura es evidente que: β + ω = 180°, y también que:
α + ω =180°.
Esto nos permite igualar:
β+ω=α+ω
Restando ω de ambos lados obtenemos:
β=α
Ejemplo 6: Identifique cada par de ángulos opuestos por el vértice.
α y β son ángulos opuestos por el vértice.
γ y δ son ángulos opuestos por el vértice.
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 108
Módulo de Matemática
NOTA: Los ángulos opuestos por el vértice tienen la misma medida.
TEMA 4
TEORIA
INGRESO FQByF
Ejemplo 7: Calcular el valor de φ
Solución:
3x + 10 = 2x + 40
3x – 2x = 40 – 10
x = 30
Una vez encontrado el valor de x, reemplazamos y calculamos:
2.30 + 40 = φ
60 + 40 = φ
100 = φ
Por lo tanto, φ = 100°
4.2: TRIÁNGULOS
Un triángulo es un polígono de tres segmentos o lados que determinan tres puntos del plano no colineales,
los cuales se denominan vértices del triángulo.
4.2.1: Clasificación de triángulos

Los triángulos se clasifican según sus lados en:
Equiláteros: Todos sus lados tienen la misma longitud.
Isósceles: Por lo menos dos de sus lados tienen la misma longitud.
Escalenos: Todos sus lados tienen longitudes diferentes.

Los triángulos se clasifican según sus ángulos en:
Rectángulo: Uno de sus ángulos es un ángulo recto.
Obtusángulo: Uno de sus ángulos es un ángulo obtuso.
Acutángulo: Los tres ángulos son agudos.
4.2.2: Teorema de Pitágoras
Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las
longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la
hipotenusa.
Algebraicamente, si a y b son las longitudes de los catetos del
triángulo rectángulo y c es la longitud de su hipotenusa, entonces se
cumple:
a2 + b2 = c2
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 109
Módulo de Matemática
En trigonometría, uno de los teoremas más importantes es el teorema de Pitágoras porque se aplica muy
frecuentemente para resolver problemas.
El teorema de Pitágoras se define en triángulos rectángulos, un triángulo rectángulo es aquel que tiene un
ángulo recto. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.
TEMA 4
TEORIA
INGRESO FQByF
Ejemplo 8: Obtenga la medida de cada lado desconocido
a)
Por Teorema de Pitágoras tenemos:
72 + 242 = x2
49 + 576 = x2
625 = x
25 = x
x
7
24
La medida de la hipotenusa es 25
b)
40
Por Teorema de Pitágoras tenemos:
402 + y2 = 412
1600 + y2 = 1681
y2 = 1681 – 1600
y = 81
y=9
y
41
La medida del cateto faltante es 9
c)
Por Teorema de Pitágoras tenemos:
102 + 32 = z2
100 + 9 = z2
109 = z Respuesta exacta
10,44 ≈ z Respuesta aproximada
10
z
3
La medida de la hipotenusa es 10,44
Ejemplo 9: Verifique si el triángulo cuyos lados miden: 77cm, 36cm y 85cm, es un triángulo rectángulo.
a2 + b2 = c2
362 + 772 = 852
1296 + 5929 = 7225
 7225 = 7225
Como las longitudes de los lados del triángulo satisfacen el Teorema de Pitágoras, se trata de un triángulo
rectángulo.
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 110
Módulo de Matemática
Solución:
Para poder verificar que el triángulo es rectángulo se utilizará el Teorema de Pitágoras.
Como el lado de mayor longitud siempre es la hipotenusa, en este caso el lado de 85cm es el que se plantea
como hipotenusa.
Se verifica de esta manera si se trata de un triángulo rectángulo:
TEMA 4
TEORIA
INGRESO FQByF
Ejemplo 10: Una escalera de 12m está apoyada en un edificio. La parte baja de la escalera se encuentra a 7m
del edificio. ¿A qué altura se encuentra la parte alta de la escalera?
Solución:
Si se reemplazan los datos en la ecuación pitagórica se
obtiene:
72 + h2 = 122
Ahora resolvemos:
49 + h2 = 144
h2 = 144 – 49
h = 95
Respuesta exacta
h ≈ 9,7 m
Respuesta aproximada
12m
h
7m
4.3: TRIGONOMETRÍA
El objetivo de la trigonometría es establecer las relaciones matemáticas entre las medidas de las longitudes
de los segmentos que forman los lados de un triángulo con las medidas de las amplitudes de sus ángulos, de
manera que resulte posible calcular unas medidas usando las otras.
4.3.1: Razones trigonométricas
Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo
rectángulo. Es decir, la comparación por su cociente de sus tres lados a, b y c
Dado cualquier triángulo rectángulo ABC, se
pueden considerar las siguientes razones entre los
lados del triángulo:
a
c
,
b
c
,
a
b
Las razones dadas, no dependen de la longitud
de los lados, sino de la medida del ángulo.
Sea α uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo, se definen las razones trigonométricas de la
siguiente manera:
Hipotenusa
Cateto Opuesto
Cateto Adyacente
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 111
Módulo de Matemática
4.3.2: Definición de razones trigonométricas
TEMA 4
TEORIA
INGRESO FQByF
El seno de un ángulo α se define como la razón entre la medida del cateto opuesto (a) y la medida de la
hipotenusa (c).
a
El coseno de un ángulo α se define como la razón entre la medida del cateto adyacente (b) y la medida de la
hipotenusa (c).
La tangente de un ángulo α se define como la razón entre la medida del cateto opuesto (a) y la medida del
cateto adyacente (b).
NOTA: Hay otras tres razones trigonométricas, pero no se tratarán aquí.
Ejemplo 11: Calcular las tres razones trigonométricas
Utilizando las definiciones de razones trigonométricas se
obtiene:
12
𝑠𝑒𝑛 𝛼
13
5
𝑐𝑜𝑠 𝛼
13
12
𝑡𝑎𝑛 𝛼
5
Ejemplo12: Encontrar el valor de cada una de las tres razones trigonométricas.
Solución: Para encontrar la longitud del cateto desconocido se utiliza el Teorema de Pitágoras.
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 112
Módulo de Matemática
Solución:
Primero se observa el ángulo y se determina la hipotenusa y
los catetos.
Hip: 13
C.A.: 5
C.O.: 12
TEMA 4
TEORIA
b2 – c2 = a2
b2 = c2 + a2
25 – 9 = a2
INGRESO FQByF
Se reemplaza con los datos y se calcula
16 = a
Se aplica la raíz cuadrada a ambos miembros
a = 4cm
Teniendo el valor del cateto opuesto se puede calcular las tres razones trigonométricas:
4
5
3
5
4
3
Ejemplo 13: Resuelve el siguiente triángulo rectángulo a partir de la información dada.
Solución:
Se comienza calculando el ángulo agudo desconocido.
Dado que la suma de la medida de los tres ángulos internos de todo triángulo es 180° y uno de ellos es
un ángulo recto, se tiene que:
35° + α = 90°
α = 90° - 35° = 55°
Para calcular las longitudes de los lados se aplica la definición de las razones trigonométricas cos β y
sen β:
𝑥
Cos β = 4
x = 4cosβ
x = 4cos35° ≈ 3,2766
Se calcula el valor de y:
y= 4sen35° ≈ 2,2943
Ejemplo 14: Un cierto día de primavera, un edificio de 100m de altura proyectó una sombra de 16,5m de
largo. ¿Cuál era el ángulo de elevación del sol?
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 113
Módulo de Matemática
𝑦
Senβ = 4
TEMA 4
TEORIA
INGRESO FQByF
Solución:
Se comienza dibujando la situación planteada.
Se debe calcular el ángulo θ, para ello aplicamos las razones
trigonométricas.
Dado que los datos proporcionados son los catetos, se utilizará
Tan θ:
Tan θ =
6,
θ = tan-1
6,
= 86° 31’ 54,37’’
Por lo tanto, el ángulo de elevación del sol es de 86° 31’ 54,37’’
4. 3. 3: Valores exactos de las razones trigonométricas para ángulos particulares
Angulo en grados
0°
30°
45°
60°
0
1
2
2
2
1
3
2
2
2
3
2
1
2
0
3
3
1
3
90°
180°
1
0
0
-1
No está
definida
0
4.3.4: Identidades fundamentales
1° Identidad: Está relacionada con el Teorema de Pitágoras
1
1
NOTA: El
y
ángulo de 0° a 90°
crecen al crecer el ángulo de 0° a 90°. En cambio el
decrece al crecer el
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 114
Módulo de Matemática
2° Identidad: Está relacionada con la razón trigonométrica tangente
TEMA 5
TEORIA
INGRESO FQByF
TEMA 5: FUNCIÓN LINEAL
En esta unidad se trabajará con los siguientes temas: identificar cuándo una relación entre dos
conjuntos es una función, visualizar una función a través de distintos métodos, obtener
información de esa representación y reconocer ciertos conjuntos asociados a las funciones tales
como el dominio y la imagen.
Se hará hincapié en que una función puede representarse de diferentes modos: mediante una
ecuación, con una gráfica, o con palabras.
Más adelante se introducirá en las funciones lineales, cuyas representaciones gráficas son las
más simples: las rectas.
Finalmente, se verá cómo resolver problemas usando sistemas de dos ecuaciones lineales,
tratando de no perder de vista el significado geométrico del problema.
5.1: LOCALIZAR PUNTOS EN EL SISTEMA DE COORDENADAS
CARTESIANAS
El eje horizontal se denomina eje x o eje de las abscisas. El eje vertical se denomina eje y o eje
de las ordenadas. El punto de intersección de los dos ejes se llama origen. Iniciando en el
origen y moviéndose sobre el eje horizontal hacia la derecha, los números crecen; moviéndose
hacia la izquierda, los números decrecen. En cambio, si nos movemos por el eje vertical hacia
arriba los números crecen, y si nos movemos hacia abajo decrecen. Para indicar el sentido de
crecimiento de los ejes se coloca una flecha en los extremos.
Observe que el eje x y el eje y sólo son rectas numéricas, una horizontal y la otra vertical.
Un par (pareja) ordenado (x, y) se utiliza para dar las dos coordenadas de un punto. La
coordenada x siempre es la primera coordenada en el par ordenado. Si, por ejemplo, la
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 115
Módulo de Matemática
Una gráfica es una imagen que muestra la relación entre dos o más variables en una ecuación.
Antes de aprender cómo construir una gráfica, debemos conocer el sistema de coordenadas
cartesiano.
El Sistema de Coordenadas Cartesianas (o Rectangular), nombrado en honor del matemático
y filósofo francés René Descartes (1596-1650), consiste en dos ejes (o rectas numéricas) en un
plano, dibujado de forma perpendicular una de la otra.
Se puede observar cómo los dos ejes determinan cuadrantes, etiquetados con números romanos
I, II, III y IV.
TEMA 5
TEORIA
INGRESO FQByF
coordenada x de un punto es 2 y la coordenada y es 3, el par ordenado que representa a ese
punto es (2, 3). Como muestra la imagen vemos “el punto (2, 3)”
Ejemplo 1:
Ubicar los siguientes puntos:
𝐴 (−2, 3)
𝐵 (0, 2)
𝐶 (4, −1)
𝐷 (−4, 0)
Para ubicar un punto, se debe encontrar la
coordenada x en el eje x y la coordenada y en el eje
y, luego trazar una recta vertical perpendicular al eje
x que pase por la coordenada x y una recta horizontal
perpendicular al eje y que pase por la coordenada y;
el punto se encuentra donde se intersequen las dos
rectas.
5.2: LECTURA E INTERPRETACIÓN DE GRÁFICAS DE CURVAS
Ejemplo 2:
La gráfica describe la temperatura ambiente, en
un cierto lugar, en cada instante de un día.
Sobre el eje horizontal los valores representan la
variable tiempo, medida en horas, y en el eje
vertical la temperatura, en °C.
A las 0 horas (12 de la noche) la temperatura fue
de 10°C, a las 8 de la mañana un poco menos de
15°C, a las 14 de 25°C.
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 116
Módulo de Matemática
Las gráficas de curvas se usan con frecuencia para mostrar un cambio en el tiempo, así como
para indicar patrones o tendencias.
TEMA 5
TEORIA
INGRESO FQByF
Ejemplo 3:
La siguiente gráfica de líneas muestra el número de
casas nuevas vendidas, en miles, durante un periodo
reciente de 12 meses. La línea dentada en la base de la
escala vertical indica una porción innecesaria de la
escala. Note que la escala vertical es diferente de la
escala horizontal, de manera que los datos se
representan fácilmente.
El mayor número de casas nuevas vendidas fue de
aproximadamente 825 mil en el mes 1.
5.3: FUNCIÓN
Las funciones sirven para describir fenómenos físicos, económicos, biológicos, sociológiccos o
para expresar relaciones matemáticas.
Es una relación entre dos conjuntos, llamados dominio e
imagen, de tal manera que a cada elemento del dominio le
corresponda un único elemento de la imagen.
Función
Se utiliza un sistema de coordenadas cartesianas para su representación gráfica. Sobre el eje
horizontal, eje de abscisas, se representa la variable independiente. Sobre el eje vertical, eje de
ordenadas, se representa la variable dependiente.
Ejemplo 4: ¿Cuándo un gráfico representa una función y cuándo no?
a)
b)
c)
d)
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 117
Módulo de Matemática
Para identificar cuándo una gráfica representa una función se debe verificar que se cumple la
condición que dice: “para cada valor del dominio le corresponde un único valor de la
imagen”.
Si no se cumple esta condición entonces se trata de una relación que no es una función.
TEMA 5
TEORIA
INGRESO FQByF
Solución:
a) No es una función, porque para algunos valores de x, por ejemplo para 𝑥 = 2 le corresponden
varios valores de y.
b) La gráfica representa una función, porque para cada x le corresponde un único y.
c) El gráfico de una circunferencia no es función.
d) Si es una función, para cada x hay un único y.
NOTA: Para diferenciar el gráfico de una función del gráfico de una relación que no es
función, se utiliza el criterio de la línea vertical. O sea, si al dibujar una recta vertical sobre la
gráfica ésta corta o interseca el dibujo en dos puntos, entonces la relación no es función.
En otras palabras:
Un gráfico representa una función si dada
cualquier recta r paralela al eje y, ésta corta al
gráfico en un único punto.
Notación Funcional:
Si f es una función, el símbolo f(x) (se lee f de x) representa la operación que debe hacerse con x
para obtener y o sea f(x) = valor de f en el número x. NOTA: no dice f por x.
Ejemplo 5:
𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 + 4
𝑔(𝑥) = 5𝑥 – 1
para 𝑥 = 2 ;
𝑓(2) = 3 ∙ 22 + 4 = 16
para 𝑥 = − 1;
𝑔(−1) = 5 ∙ (−1) – 1 = −6
Se puede imaginar a una función como una máquina que transforma números. Si se le da un
número, esta máquina nos devuelve otro número (único).
No es posible que al darle un valor a la función nos devuelva dos o más valores, pero sí es
posible que al darle un valor, la función no nos pueda devolver valor alguno.
En este último caso se dice que el valor que se le dió a la función no pertenece al dominio,
precisamente porque no lo puede transformar.
El siguiente diagrama puede ayudar a entender mejor el concepto de función:
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 118
Módulo de Matemática
ℎ(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 2 – 3𝑦 + 𝑥 para (𝑥, 𝑦) = (2,1) ;
ℎ(2,1) = 2 ∙ 12 – 3 ∙ 1 + 2 = 1
TEMA 5
TEORIA
INGRESO FQByF
5.4:FUNCIÓN LINEAL
Toda función de la forma
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝒎𝑥 + 𝒃
con 𝒎 𝜖 ℝ , 𝒃 𝜖 ℝ
recibe la donominación de función lineal.
Ejemplo 6:
Funciones lineales
𝑦 = 7𝑥
𝑦 = 0,4𝑥 + 2
3
𝑦 = 𝑥
5
𝑦 = −𝑥 + 10
𝑦 = 5
1
𝑦 = √3 𝑥 +
4
Funciones no lineales
y = 6x3 -1
y = √2𝑥 + 3
y = x2 – x
y = x (3+ x)
4
𝑥
y= −1
Denominaremos pendiente a la
constante m.
Denominaremos ordenada al origen a la
constante b.
Expresa la variación de la variable y
cuando x aumenta una unidad.
La recta corta al eje y en el punto (0, b)
 El dominio de la función lineal es todo el conjunto de los números reales.
Ejemplo 7:
Determinar la pendiente y la ordenada al origen
𝑦 =
1
3
𝑥– 6
pendiente 𝑚 =
1
3
; ordenada al origen 𝑏 = − 6
 𝑦 = √5 𝑥
pendiente 𝑚 = √5 ; ordenada al origen 𝑏 = 0
 2𝑥 – 𝑦 = 5
Primero se debe expresar de la forma: 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃
−𝑦 = −2𝑥 + 5
𝑦 = 2𝑥 – 5
pendiente 𝑚 = 2 ; ordenada al origen 𝑏 = − 5
 𝑦 = 3
pendiente 𝑚 = 0 ; ordenada al origen 𝑏 = 3
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 119
Módulo de Matemática

TEMA 5
TEORIA
INGRESO FQByF
Ejemplo 8:
Graficar las siguientes funciones usando la pendiente y ordenada al origen
 𝑦 = 𝑥– 4
Pendiente 𝑚 = 1
Indica que cuando la abscisa aumenta 1 unidad, la ordenada
también aumenta 1 unidad.
Ordenada al Origen 𝑏 = − 4
Indica donde corta al eje de las ordenadas.
 𝑦 = −3𝑥 + 2
Pendiente 𝑚 = −3
Indica que cuando la abscisa aumenta 1 unidad, la ordenada
disminuye 3 unidades.
Ordenada al Origen 𝑏 = 2
Indica donde corta al eje de las ordenadas.
 𝑦 = 2
Pendiente 𝑚 = 0
Indica que cuando la abscisa umenta 1 unidad, la ordenada no
aumenta ni disminuye.
Ordenada al Origen 𝑏 = 2
Indica donde corta al eje y.
La pendiente está determinada por el cociente entre la variación de y y la variación de x.
 La gráfica de 𝑦 = 𝑏 es una línea horizontal.
 La gráfica de 𝑥 = 𝑎 es una línea vertical. (la pendiente no esta definida en este caso)
En el siguiente cuadro se clasifican las funciones lineales según el valor de la pendiente:
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 120
Módulo de Matemática
NOTA:
La inclinación de cada recta está directamente relacionada con el signo de su pendiente.
TEMA 5
TEORIA
INGRESO FQByF
5.4.1: ECUACIÓN DE LA RECTA
La ecuación de la recta puede tomar distintas formas:
A la expresión
Forma Explícita de la
Ecuación de la Recta
𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃,
donde 𝒎, 𝒃 𝜖 ℝ son constantes, la denominamos forma
explícita de la ecuación de la recta.
Forma Implícita de la
Ecuación de la Recta
Para 𝒂, 𝒃, 𝒄 𝜖 ℝ constantes,
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎
es la forma implícita de la ecuación de la recta.
Para 𝑎, 𝑏 𝜖 ℝ constantes,
𝒙
𝒂
+
𝒚
𝒃
=𝟏
donde (a, 0) es el punto de corte en el eje x y (0, b) es el
punto de corte en el eje y.
5.4.2: ECUACIÓN DE LA RECTA SI SE CONOCE UN PUNTO Y LA
PENDIENTE
Si se conoce uno de los puntos pertenecientes a la recta (𝑥0 , 𝑦0 ) y la pendiente m, se puede
obtener la expresión de su ecuación.
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 121
Módulo de Matemática
Forma Segmentaria de
la Ecuación de la
Recta
TEMA 5
TEORIA
INGRESO FQByF
ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE
𝒚 – 𝒚𝟎 = 𝒎 (𝒙 – 𝒙𝟎 )
Ejemplo 9:
 Dar la ecuación de la recta que pasa por (2, 3) y tiene pendiente 𝑚 = 4.
Se usa la forma PUNTO-PENDIENTE, donde (x0, y0) = (2, 3) y 𝑚 = 4
𝑦 – 3 = 4( 𝑥 – 2 )
𝑦 – 3 = 4𝑥 – 8
𝑦 = 4𝑥 – 8 + 3
𝑦 = 4𝑥 – 5
 Dar la ecuación de la recta que pasa por (−1, −2) y tiene pendiente 𝑚 = −
Se toma a como (𝑥0 , 𝑦0 ) = (−1, −2) y 𝑚 = −
1
3
1
3
1
( 𝑥 – (−1))
3
1
𝑦 + 2 = − (𝑥 + 1)
3
1
1
𝑦 = − 𝑥 − –2
3
3
𝑦 − (−2) = −
Otra forma de encontrar la ecuación de una recta del ejercicio anterior es utilizando la forma
general de la recta, es decir: 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃
Primero se reemplaza m quedando:
1
𝑦 = − 𝑥 + 𝑏
3
Luego, utilizando el punto dado se lo reemplaza en x e y
1
– 2 = − (−1) + 𝑏
3
1
–2 =
+ 𝑏
3
1
–2 − = 𝑏
3
7
− = 𝑏
3
Finalmente, la ecuación de la recta es:
1
7
𝑦 = − 𝑥 −
3
3
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 122
Módulo de Matemática
1
7
𝑦 = − 𝑥 −
3
3
TEMA 5
TEORIA
INGRESO FQByF
5.4.3: ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS
Para determinar la ecuación de una recta conociendo dos puntos (x0, y0) y (x1, y1) pertenecientes
𝑦 −𝑦
a ella, se debe calcular la pendiente 𝑚 = 1 0 siempre que x1 ≠ x0 , luego usando la ecuación
𝑥1 −𝑥0
PUNTO-PENDIENTE se obtiene:
ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS
y – y0 =
𝒚𝟏 − 𝒚 𝟎
𝒙𝟏 −𝒙𝟎
(x – x0) si x1 ≠ x0
Ejemplo 10:
Obtener la ecuación de la recta que pasa por 𝑃(1, −2) y 𝑄(3,4)
Solución:
Se toma (x0, y0) = (1, −2) y (x1, y1) = (3, 4)
Primero, se resuelve la pendiente:
𝑚=
4−(−2)
3−1
=
4+2
2
=
6
2
=3
m=
3
Luego la ecuación es:
𝑦 – (− 2) = 3 (𝑥 – 1)
𝑦 + 2 = 3𝑥 – 3
𝑦 = 3𝑥 – 5
5.4.4: RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES
Rectas Paralelas
Dos rectas y = m1x + b1 y y = m2x + b2 no verticales son
paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente.
m1=m2
Rectas
Perpendiculares
Dadas dos rectas y = m1x + b1 y y = m2x + b2 con pendientes
m1 y m2 son perpendiculares si y sólo si
m1 . m2 = – 1 , o sea
m1 = −
𝟏
𝒎𝟐
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 123
Módulo de Matemática
En la figura se observa que las rectas N y T tienen la misma
inclinación, no se cortan, es decir, son paralelas.
En cambio, M y T forman, al cortarse, un ángulo recto, es decir, son
perpendiculares. Lo mismo M y N.
TEMA 5
TEORIA
INGRESO FQByF
Ejemplo 11:
Las siguientes ecuaciones 𝑦 = 4𝑥 + 2 y 𝑦 = 4𝑥 −
2
5
corresponden a rectas paralelas.
Ambas tienen pendiente 𝑚 = 4.
Ejemplo 12:
Dada la recta 𝑦 = 𝑥 – 1, determinar la ecuación de la recta paralela a ella que pasa por 𝑃(3, −2)
Solución:
La pendiente de la recta dada es 𝑚 = 1
Luego, se reemplaza en la ecuación PUNTO-PENDIENTE :
𝑦 − (−2) = 1(𝑥 − 3)
𝑦 + 2 = 𝑥− 3
𝑦 = 𝑥− 5
Ejemplo 13:
1
3
Las siguientes ecuaciones 𝑦 = 3𝑥 − 1 y 𝑦 = − 𝑥 + 5 corresponden a rectas
perpendiculares. Ya que el producto de sus pendientes es – 1.
1
3 ∙ (− ) = −1
3
Ejemplo 14:
Dada la recta 𝑦 =
2
𝑥
3
+ 1, determinar la ecuación de la recta perpendicular a ella que pasa por
𝑃(6, −1)
Solución:
La pendiente de la recta dada es 𝑚 =
ella es 𝑚 =
3
− .
2
2
3
, por lo tanto la pendiente de la recta perpendicular a
Se puede comprobar que:
2
∙
3
3
2
( − ) = −1 .
Luego, se reemplaza en la ecuación PUNTO-PENDIENTE:
3
𝑦 – (−1) = − ( 𝑥 − 6 )
2
3
𝑦 + 1 = − 𝑥 + 9
2
5.5: SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
Los sistemas lienales aparecen frecuentemente en situaciones de la física química, ciencias
naturales, etc. como también en ciencias humanas y sociales, (economia, psicología, sociología).
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es de la forma:
𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 = 𝑪
{
𝑨´𝒙 + 𝑩´𝒚 = 𝑪´
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 124
Módulo de Matemática
3
𝑦 = − 𝑥 + 8
2
TEMA 5
TEORIA
INGRESO FQByF
Como la gráfica de cualquier ecuación lineal 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝒄 es una recta, un sistema de
ecuaciones lineales con dos incógnitas es representado geométricamente por dos rectas, por lo
tanto, la solución del mismo da la posición relativa de las dos rectas en el plano.
Exactamente uno de los tres casos citados en la tabla siguiente se cumple para cualquier sistema
de dos de tales ecuaciones.
GRÁFICAS
REPRESENTACIÓN
GEOMÉTRICA
NÚMERO DE SOLUCIONES
Una solución
Rectas no paralelas
Rectas coincidentes
Número infinito de soluciones
Sin solución
Rectas paralelas
5.5.1: MÉTODOS DE SOLUCIÓN
IGUALACIÓN
1. Despejar una incógnita (cualquiera de las dos) EN LAS DOS ecuaciones.
2. Igualar las dos incógnitas despejadas.
3. Resolver la ecuación que queda.
4. Calcular la otra incógnita.
Ejemplo 15:
Resolver el siguiente Sistema de Ecuaciones:
2𝑥 + 3𝑦 = 7
{
5𝑥 − 𝑦 = 9
Solución:
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 125
Módulo de Matemática
Para hallar las soluciones de un sistema, podemos manipular las ecuaciones hasta que
obtengamos un sistema equivalente de ecuaciones más sencillas, para las cuales las soluciones
se puedan hallar fácilmente. Existen diversos métodos: Igualación, Sustitución, Regla de
Cramer o Determinantes, Eliminación o Reducción, Gráfico.
TEMA 5
TEORIA
INGRESO FQByF
1. Despejar una incógnita en las dos ecuaciones: (puede ser x o y pero tiene que ser la misma en
las dos)
2𝑥 + 3𝑦 = 7
3𝑦 = 7 – 2𝑥
2𝑥 + 3𝑦 = 7
{
5𝑥 − 𝑦 = 9
𝑦 =
5𝑥 – 𝑦 = 9
– 𝑦 = 9 – 5𝑥
7 − 2𝑥
3
𝑦 = – 9 + 5𝑥
2. Al ser las dos ecuaciones iguales a “y”, decimos que también son iguales entre sí.
Por lo tanto quedaría:
7 − 2𝑥
– 9 + 5𝑥 =
3
3. Resolver la ecuación que nos quedó:
3( – 9 + 5𝑥) = 7 – 2𝑥
– 27 + 15𝑥 = 7 – 2𝑥
15𝑥 + 2𝑥 = 7 + 27
17𝑥 = 34
𝑥=
34
𝒙 = 𝟐
17
4. Hallar el valoress de la otra incógnita:
Tomamos una (cualquiera) de las dos ecuaciones originales: 2𝑥 + 3𝑦 = 7
Reemplazamos x por 2:
2 ∙ 𝟐 + 3𝑦 = 7
4 + 3𝑦 = 7
3y = 7 – 4
3
𝒚 = 𝟏
y=
3
SUSTITUCIÓN
1. Despejar una incógnita (x o y) en una de las dos ecuaciones (cualquiera de las dos)
2. Sustituirla en la otra ecuación.
3. Resolver la ecuación que nos queda.
4. Con el resultado obtenido en el paso 3 reemplazarlo en una de las ecuaciones originales
y hallar la otra incógnita.
Ejemplo 16:
Resolver el siguiente Sistema de Ecuaciones:
2𝑥 + 3𝑦 = 7
{
5𝑥 − 𝑦 = 9
Se usará el mismo sistema en todos
los métodos para demostrar que no
importa el método que se utilice
siempre dará el mismo resultado.
Solución:
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 126
Módulo de Matemática
Finalmente, las soluciones del sistema son: 𝑥 = 2 , 𝑦 = 1.
TEMA 5
TEORIA
INGRESO FQByF
1. Despejar una incógnita en una ecuación:
(En este caso, se eligió la primera ecuación despejando “x” , pero se podría haber elegido
despejar “y”, de la misma manera para la segunda ecuación)
2𝑥 + 3𝑦 = 7
{
5𝑥 − 𝑦 = 9
2x + 3y = 7
2x = 7 – 3y
Tomamos la primera
ecuación y despejamos
“x”
x=
7−3𝑦
2
2. Sustituir
2𝑥 + 3𝑦 = 7
{
5𝑥 − 𝑦 = 9
En la otra ecuación, en donde dice x, se
sustituye por lo obtenido en el paso anterior.
𝟕−𝟑𝐲
)
𝟐
5. (
–y=9
3. Resolver la ecuación que quedó:
𝟕−𝟑𝐲
)–y=9
𝟐
35−15𝑦
–y=9
2
35−15𝑦
5. (
=9+y
2
35 – 15y = 2.(9 + y)
35 – 15y = 18 + 2y
– 15y – 2y = 18 – 35
– 17y = – 17
y=
−17
−17
𝒚 = 𝟏
4. Hallar el valos de la otra incógnita: Tomamos una (cualquiera) de las dos ecuaciones:
5x – y = 9
Reemplazamos y por 1:
5x – 1 = 9
5x = 9 + 1
x=
10
5
𝒙 = 𝟐
REGLA DE CRAMER O DETERMINANTES
1. Hallar el valor del discriminante D
2. Hallar el valor de x y de y
Un determinante de 2𝑥2 se representa como un arreglo de la siguiente forma:
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 127
Módulo de Matemática
Obviamente igual que en el caso anterior, la respuesta es: x = 2, y = 1.
TEMA 5
TEORIA
INGRESO FQByF
Dado un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas:
Se resuelve por Determinantes o Regla de Cramer, donde los valores de las incógnitas están
dados por:
Donde
representa el discriminante del sistema.
Ejemplo17:
Resolver el siguiente Sistema de Ecuaciones:
2𝑥 + 3𝑦 = 7
{
5𝑥 − 𝑦 = 9
Solución:
1. Hallar el valor del discriminante D
D=|
2 3
| = 2.(-1) – 3.5 = – 2 – 15 = – 17
5 −1
2. Hallar el valor de x e y
3|
|7
9 −1
−17
=
y=
|2 7|
5
9
−17
=
7.(−1)−3.9
−17
2.9 − 7.5
−17
=
=
−7 − 27
−17
18 − 35
−17
−34
= −17 = 2
−17
= −17 = 1
ELIMINACIÓN O REDUCCIÓN
Este método cosiste en eliminar una de las incógnitas al sumar las dos ecuaciones y obtener una
ecuación de primer grado.
1. Multiplicar una ecuación, las dos, o de no ser necesario, ninguna, por un número, para
poder restarlas o sumarlas.
2. Restar o sumar las ecuaciones.
3. Resolver la ecuación que nos queda.
4. Calcular la otra incógnita.
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 128
Módulo de Matemática
x=
TEMA 5
TEORIA
INGRESO FQByF
Ejemplo 18:
Resolver el siguiente Sistema de Ecuaciones:
2𝑥 + 3𝑦 = 7
{
5𝑥 − 𝑦 = 9
Solución:
1. Muliplicar por un número:
3∙ ( 5x – y = 9 )
Si se observan las dos ecuaciones, se puede ver que
multiplicando todos los números de la segunda
ecuación por 3, van a quedar en las dos ecuaciones 3y.
15x – 3y = 27
Aplicar distributiva
El sistema equivalente obtenido es:
2𝑥 + 3𝑦 = 7
{
15𝑥 − 3𝑦 = 27
2. Sumar o restar las ecuaciones:
+
2𝑥 + 3𝑦 = 7
15𝑥 − 3𝑦 = 27
17𝑥 + 0𝑦 = 34
3. Resolver la ecuación que quedó:
17x + 0y = 34
17x = 34
x=2
4. Hallar el valor de la otra incógita:
Tomamos una (cualquiera) de las dos ecuaciones originales: 2x + 3y = 7
Reemplazamos x por 2:
2. 2 + 3y = 7
4 + 3y = 7
3y = 7 – 4
y=1
1. Despejar “y” en las dos ecuaciones.
2. Graficar las dos ecuaciones en un mismo sistema de coordenadas cartesianas.
Ejemplo 19:
Resolver el siguiente Sistema de Ecuaciones:
2𝑥 + 3𝑦 = 7
{
5𝑥 − 𝑦 = 9
Solución:
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 129
Módulo de Matemática
GRÁFICO
TEMA 5
TEORIA
INGRESO FQByF
2x + 3y = 7
3y = 7 – 2x
1.Despejar “Y”
2𝑥 + 3𝑦 = 7
{
5𝑥 − 𝑦 = 9
y=
5x – y = 9
-y = 9-5x
y=
7−2𝑥
3
2
7
3
3
y=− 𝑥+
9−5𝑥
−1
y = 5x – 9
2.Graficar las ecuaciones obtenidas
Como se puede observar en la gráfica la solución es: x = 2, y = 1; es decir, el punto (2,1)
Ejemplo 20:
Resolver el siguiente sistema:
3𝑥 + 𝑦 − 5 = 0
{
8𝑥 − 3𝑦 = 2
Solución:
Se resolverá por el método de determinantes:
1. Discriminante “D”
Antes de calcular el determinante se debe tener las dos ecuaciones de la forma: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
3𝑥 + 𝑦 − 5 = 0
{
8𝑥 − 3𝑦 = 2
D=|
3
8
3𝑥 + 𝑦 = 5
{
8𝑥 − 3𝑦 = 2
1
| = 3. (-3) – 1. 8 = – 9 – 8 = – 17
−3
x=
1|
|5
2 −3
−17
=
5 .(−3)−1.2
−17
=
−15−2
−17
=1
y=
5|
|3
8
2
−17
=
3 .2 −5.8
−17
=
6−40
−17
=2
Se puede decir que las ecuaciones que forman el
sistema son dos recta no paralelas, que se cortan en
(1,2)
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 130
Módulo de Matemática
2. Hallar el valor de x e y
TEMA 5
TEORIA
INGRESO FQByF
Ejemplo 21:
Resolver el siguiente sistema:
4𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0
{
2𝑥 − 𝑦 − 7 = 0
Solución:
Se resolverá por el método de sustitución
De la ecuación
2x – y – 7 = 0
y = 2x – 7
se despeja la y
Luego, en la ecuación que no se despejó, se sustituye la ecuación obtenida
4x – 2y – 3 = 0
4x – 2. (2x – 7) – 3 = 0
4x – 4x + 14 – 3 = 0
0x = -11
No existe número real x que
multiplicado por 0 de -11.
En consecuencia, el sistema no tiene solución, pues no existen valores de x e y que verifiquen
simultáneamente ambas ecuaciones.
Gráficamente, vemos que las rectas no tienen punto en común,
por lo tanto, son paralelas no coincidentes.
Ejemplo 22:
Resolver el siguiente sistema:
4𝑥 − 2𝑦 = 14
{
−𝑦 + 2𝑥 − 7 = 0
Se despeja “y” de ambas ecuaciones
4x – 2y = 14
-2y = 14 – 4x
y=
14−4𝑥
−2
-y + 2x – 7 = 0
-y = 7 – 2x
y = 2x - 7
Se iguala las dos ecuaciones:
Material de Estudio para Ingreso a carreras de la FQByF-UNSL 131
Módulo de Matemática
Solución:
Se resuelve por el método de igualación
TEMA 5
TEORIA
14−4𝑥
−2
INGRESO FQByF
= 2x – 7
14 – 4x = -2. (2x –7)
14 – 4x = – 4x + 14
4x – 4x = 14 – 14
0x = 0
Cualquier número real x
multiplicado por 0 da 0. Es
decir,
existen
infinitos
valores de x e y que verifican
ambas ecuaciones.
Módulo de Matemática
La representación gráfica del sistema son dos rectas
paralelas coincidentes.
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