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Cargas en un triángulo equilatero
Desarrollo
Fórmulas
Enunciado
di cultad
Dado el sistema de cargas de la gura, determina el valor de la fuerza que experimenta q3 sabiendo
que las tres cargas se encuentran en el vacío.
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Solución
Datos
K = 9·109 N·m2/C2
r13 = r12 = r23 = 50 cm = 0.5 m
q1 = -2 µC = -2·10-6 C
q2 = -6 µC = -6·10-6 C
q3 = 4 µC = 4·10-6 C
Resolución
Antes de comenzar a resolver el ejercicio, lo ideal es elegir un sistema de referencia y situar dichas
cargas dentro del sistema. Por simplicidad, posionaremos el origen de coordenadas encima de q1.
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Si observamos la gura nos daremos cuenta de que la posición de q1 y q2 es:
q1 (0,0) m
q2 (0.5,0) m
Sin embargo, calcular la posición de q3 no es algo tan trivial. La componente x será la mitad de la
distancia entre q1 y q2 (x = 0.25 m) y para calcular la componente y tendremos que hacer uso de la
de nición de coseno (o alternativamente del teorema de pitágoras) teniendo en cuenta que en un
triángulo equilatero todos sus ángulos poseen 60º y que cada triángulo equilatero se puede
descomponer en dos triángulos rectángulos. Girando uno de ellos obtenemos:
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De esta forma para calcular la altura (b) a la que se encuentra la carga q3, basta con aplicar la
de nición de coseno:
b
cos 30º =
⇒
0.5 m
b = 0.5 m ⋅ cos 30º ⇒
b = 0.43 m
Por tanto la posición de nuestras cargas es:
q1 (0,0) m
q2 (0.5,0) m
q3 (0.25,0.43) m
Aplicando el principio de superposición de fuerzas eléctricas, la fuerza (F3) que actúa sobre q3 será
la suma vectorial de:
la fuerza que ejerce q1 sobre q3 (
→
→
F
F
1,3
). Como q1 y q3 tienen distinto signo,
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1,3
será
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la fuerza que ejerce q1 sobre q3 (
). Como q1 y q3 tienen distinto signo,
será
atractiva.
→
la fuerza que ejerce q2 sobre q3 (
→
F
2,3
F
2,3
). Como nuevamente q2 y q3 tienen distinto signo,
será atractiva.
→
F
→
3
= F
→
1,3
+ F
2,3
Estudiando cada fuerza por separado tenemos que:
Fuerza
→
F
1,3
→
F
1,3
= K ⋅
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q1 ⋅ q3
r1,3
2
→
⋅ u 1,3
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→
De todos los valores que necesitamos para calcular
que
→
u 1,3
es un vector unitario de
→
r 1,3
F
1,3
, nos falta
→
u 1,3
. Sin embargo sabemos
, por lo que:
→
u 1,3 =
→
r 1,3
r1,3
Como conocemos la posición de q1 y q3, conocemos los puntos extremo y origen del vector
→
r 1,3
.
Aplicando el concepto de vector:
→
→
→
r 1,3 = (q3x − q1x ) ⋅ i + (q3y − q1y ) ⋅ j
⇒
→
→
→
r 1,3 = (0. 25 − 0) ⋅ i + (0. 43 − 0) ⋅ j
⇒
→
→
→
r 1,3 = 0. 25 ⋅ i + 0. 43 ⋅ j
De aquí sabemos que:
→
u 1,3 =
→
→
r 1,3
0. 25 ⋅ i
→
+ 0. 43 ⋅ j
=
r1,3
⇒
0. 5
→
→
→
u 1,3 = 0. 5 ⋅ i + 0. 86 ⋅ j
Por tanto:
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Por tanto:
→
F
→
F
9
= 9 ⋅ 10
1,3
r1,3
−2 ⋅ 10
⋅
q1 ⋅ q3
= K ⋅
1,3
−6
⋅ 4 ⋅ 10
2
→
⋅ u 1,3
⇒
−6
→
⋅ (0. 5 ⋅ i
2
→
+ 0. 85 ⋅ j ) ⇒
0. 5
→
F
Fuerza
→
1,3
= −0. 14 ⋅ i
→
− 0. 24 ⋅ j
N
→
F
2,3
Aplicando los mismos pasos que para la fuerza anterior:
→
F
q2 ⋅ q3
= K ⋅
2,3
r2,3
→
F
q2 ⋅ q3
= K ⋅
2,3
r2,3
→
⋅ u 2,3 ⇒
2
2
→
r 2,3
⋅
⇒
r2,3
→
→
F
9
2,3
= 9 ⋅ 10
−6 ⋅ 10
−6
⋅ 4 ⋅ 10
⋅
(0. 25 − 0. 5) ⋅ i
−6
⋅
2
⇒
0. 5
0. 5
→
F
→
+ (0. 43 − 0) ⋅ j
→
2,3
= 0. 43 ⋅ i
→
− 0. 74 ⋅ j N
Una vez que hemos calculado ambas fuerzas, ya estamos en disposición de calcular la fuerza
resultante que ejercen q1 y q2 sobre q3:
→
F
3
→
= F
→
F
→
1,3
+ F
2,3
⇒
→
(
0 14 + 0 43)
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i
→
+(
0 74
0 24)
j
⇒
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F
3
= (−0. 14 + 0. 43) ⋅ i
→
F
3
+ (−0. 74 − 0. 24) ⋅ j
→
= 0. 29 ⋅ i
⇒
→
− 0. 98 ⋅ j
N
Por ultimo, para obtener su valor numérico calcularemos su módulo:
−
−−−−−−−−−−−−
−
2
F3 = √ 0. 29
F3
2
+ (−0. 98)
⇒
= 1. 02 N
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Apartado Ley de Coulomb con Más de Dos Cargas
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