CONDICIONES DE CONTORNO BOMBA DE ARIETE. Autor: Cand. Ingeniero Civil Mecánico Alberto Hidalgo. Departamento de Mecánica UTFSM Universidad Técnica Federico Santa María. www.gea.usm.cl INTRODUCCION Para resolver el problema del golpe de ariete, y con esto determinar el comportamiento de la bomba de ariete UTFSM, es necesario conocer las funciones que manejan las condiciones de contorno en los extremos de la tubería y las condiciones iniciales (t=0) para el caudal y la presión en el sistema. A continuación se presentarán las expresiones que se utilizarán en la modelación. DESARROLLO. El sistema a tratar consta de varios problemas, el primero es la condición de contorno en el extremo superior. Por simplicidad se asumirá que la variación en la altura será sinusoidal y variará desde la altura Ho mostrada en el diagrama 1. amplitud de la altura, y si además sabemos que cuando el pulso recorre una distancia de 4L se cumple un ciclo, por lo 4L . Con esto se diseñó el tanto Τ = a primer programa para la resolución de la condición de contorno en el extremo superior. En la siguiente figura se muestra la interfaz grafica de entrada de datos. Figura 1. Esquema bomba de ariete. La variación de la altura será entonces Ho(t ) = Ho + A * sen( wt ) con 2π w= a donde a es la velocidad con 4L que se mueve el pulso de presión y A es la Figura 2. interfaz extremo superior. Al programa se le entregará la profundidad del agua en el estanque además de la amplitud de la oscilación. La altura de que hay entre la base del estanque y el suelo esta determinado. El resultado se muestra en la figura 3. Figura 3. Grafico altura-tiempo. En la figura 3 se observa la variación de altura con respecto al tiempo en el estanque de descarga para una altura de 2,1 [m] una amplitud de 0.01 [m] y un intervalo de tiempo de 0.1 [s]. El programa se muestra a continuación. % --------------------------------------------% velocidad del sonido en el agua [m/s] a=sqrt(K/(Ro*(1+(K*De/(E*e))))); % intervalo de tiempo [s] deltaT=deltaX/a; % vector tiempo [s] t=[0:deltaT:2]; % frecuencia angular w=2*pi*a/(4*L); % ---------------------------------------------% altura [m] H1=Ho+Hob+Ao*sin(w*t); J=[deltaT;a]; % ---------------------------------------------% archivo de salida H save CCES.out H1 -ASCII; % archivo de salida J save RESULTADOS1.out J -ASCII; % ---------------------------------------------- Los archivos CCES.out y RESULTADOS1.out son los archivos en los cuales se guardarán el vector de alturas y en vector con propiedades a ocupar en forma posterior, respectivamente. En el caso del extremo inferior de la tubería se tienen dos casos importantes para analizar. En primer lugar se tiene el caso en que el tiempo de cierre y la velocidad antes del cierre en la tubería son ingresados. En segundo lugar se tiene el caso en que se quiere determinar tanto el tiempo de cierre como la velocidad antes del cierre. A continuación se verá el primer caso. Tanto el tiempo de cierre como la velocidad del flujo se ingresarán mediante la interfaz grafica mostrada en la siguiente figura. Figura 4. Interfaz grafica tiempo velocidad. La ecuación con la que se modelará el cierre es la siguiente. Q(t ) = Q0 e − kt Q0 = AV0 A es el área de la Donde tubería y Vo es la velocidad ingresada mediante la interfaz. K es el factor de que determina la rapidez con que decae el caudal. Dado que la exponencial no llega nunca a cero se consideró un valor final para el caudal de 10-4. Luego K= log(10 −4 ) Tc En el caso en que se tiene que determinar el caudal de cierre y el tiempo de cierre el proceso es el mismo, con la salvedad de que se tienen que encontrar los valores que anteriormente fueron ingresados mediante la interfaz grafica. El calcula a realizar se muestra a continuación. De la ecuación movimiento save CCEI.out T -ASCII; save RESULTADOS2.out J -ASCII; La salida del programa es guardada en los archivos CCEI.out para el caudal y el tiempo, y RESULTADOS2.out para datos que se utilizarán posteriormente. Figura 5. Grafico Q(t). cantidad de LV 2 γAL ∂V = γA Ho − f 2 gD g ∂t Te ∫ dt = 0 El programa se muestra a continuación. Ae=pi*De^2/4; Qo=Ae*V; t=[0:deltaT:Tc]; K=-log(1e-4)/Tc; Q=Qo*exp(-K*t); T(1,:)=t; T(2,:)=Q; J=[Tc;V;Qo]; de t= LV02 V dV 2 gHo ∫0 V02 − V 2 LV0 V0 + V ln 2 gHo V0 − V Ec. 14 Donde t: Tiempo [s] Vo: Velocidad en el estado estacionario [m/s] L: Largo de la tubería [m] g: Aceleración de gravedad [m/s2] Ho: Altura de agua [m] V: Velocidad en un instante [m/s2] LV0 V0 + V donde ln 2 gHo V0 − V L es la longitud de la tubería Ho es la altura de la descarga, g es la aceleración de gravedad, Vo es la velocidad en el estado estable (Torricelli) V es una velocidad cualquiera y t es el instante en que se encuentra esta velocidad. Se tiene que t = V0 = 2 gHo La pregunta a resolver es ¿Cuál es la velocidad necesaria para el cierre? La velocidad de cierre es la necesaria para superar la presión ejercida por la válvula de cierre, ésta es Donde Mv es la masa de la válvula, ρ es la densidad del agua y Kv es una constan de perdida que se determinará de forma empírica mediante un ensayo. Ahora bien, para cerrar la válvula se resolverá la suma de fuerzas sobre el plato de la válvula. Como se muestra en la siguiente figura. Figura6. DCL plato válvula. ∑F y = M va Pv Ae − M v g = M v a a= Pv Ae −g Mv a= k v ρAe 2 U −g 2M v a= k v ρAe 2 U −g 2M v Y= 1 2 at 2 Si la velocidad varía en función del tiempo como 2 gHo α= LVo ( − 1) V = Vo e (e + 1) αt αt Entonces lo que se hará es dar incrementos de tiempo calculando la velocidad V con la cual se calculará la aceleración a para obtener el recorrido Y, Uo = 2M v g ρAe k v cuando Y sea igua a la carrera de la válvula se habrá obtenido el tiempo de cierre de la válvula Tc. Para el cálculo del tiempo de cierre se construyó la función CIERREVALVULA.m que se muestra a continuación. function [X]=CIERREVALVULA(carr,X1) %X1=[Ro,Uo,L,g,Mv,Ae,kv,Ho]; g=X1(1,4); L=X1(1,3); Uo=X1(1,2); kv=X1(1,7); Ro=X1(1,1); Ae=X1(1,6); Mv=X1(1,5); Ho=X1(1,8); Vo=sqrt(2*g*Ho); alfa=2*g*Ho/(L*Vo); Te=L*Vo*log((Vo+Uo)/(Vo-Uo))/(2*g*Ho); tol=1; t=0; i=1; while tol>1E-6, t=t+0.00001; U=Vo*(exp(alfa*(t+Te))1)/(exp(alfa*(t+Te))+1); av=(kv*Ro*Ae*U^2/2-Mv*g)/Mv; ca=av*t^2/2; tol=carr-ca; end X=[Te,t,U]; La entrada al programa es la carrera de la válvula y un vector de propiedades. Estas son, respectivamente, [densidad, velocidad de cierre, longitud de la tubería, aceleración de gravedad, masa de la válvula, área de la tubería, factor de pérdida, altura de descarga]. La salida del programa es el tiempo de establecimiento de flujo (tiempo para lograr la velocidad de cierre), el tiempo de cierre y la velocidad final en el cierre. La interfaz grafica para el ingreso de datos se muestra en la figura 7. En este caso, además de ingresar los datos de la válvula de impulso, se ingresarán los datos del tanque de acumulación. El proceso de cierre de la válvula es independiente del tanque por lo que se realizará el mismo cálculo hecho anteriormente para obtener el tiempo de cierre. Ahora bien, el decaimiento del flujo en la válvula se verá influenciado por el ingreso de flujo al estanque de acumulación, por lo que se asumirá superposición y ambos caudales se sumarán. El caudal en la válvula de impulso viene dado por Q(t ) = Q0 e − kt , determinada anteriormente, y la función que gobierna el ingreso de flujo se obtendrá mediante ensayo siendo el modelo como sigue. Q(t ) = A t Figura7. DCL plato válvula M es la masa de la válvula y X es la carrera de apertura de la válvula. Igualmente al caso anterior la salida del programa será guardada en los archivos CCEI.out y RESULTADOS2.out. En el caso en que se considera el tanque de acumulación se tiene la siguiente interfaz. Donde Q es el caudal en m3/s, A es un coeficiente determinado en el ensayo y t es el tiempo. Esta ecuación es valida si y solo si t es distinto de cero, por lo cual en la interfaz se pide la altura de descarga deseada para estimar el instante en que el sistema está funcionando, con esto se hace un desplazamiento para que la ecuación del tanque y la ecuación de la válvula (que se evalúa desde t=0 hasta t= tiempo de cierre) ocurran en un tiempo equivalente. De acuerdo a los valores obtenidos en el ensayo se aproximó la siguiente ecuación t = 0.0427 * H ^ 2 + 0.47 * H − 10.208 Luego conocido t se correrá a un intervalo t-Tc donde Tc es el tiempo de cierre y con esto las ecuaciones son compatibles. La grafica obtenida para el decaimiento del caudal se aprecia en el siguiente grafico. H i = H ob + H 1 − hi H 1 = H 0 − H ob − Como se aprecia en la curva el caudal de ingreso al tanque no afecta prácticamente en nada al caudal de cierre. Esto se explica por que como se ve en la figura el caudal de cierre es del orden de 10-3 y el caudal de ingreso es del orden de 10-5 por lo tanto hay dos ordenes de magnitud de diferencia (ver ensayo). Por ultimo, para la resolución del problema del ariete es necesario, además de conocer las condiciones de contorno inferior y superior, conocer las condiciones iniciales del sistema, esto es, la presión y el caudal en t=0. La condición inicial para el caudal se conoce a partir de la condición de contorno en el extremo inferior, debido a que la compresibilidad no se produce hasta que se produce el golpe. En el caso de la condición inicial para la altura de presión, se calculará a partir de la ecuación de energía o Bernoulli como sigue. hi = H ob − U2 2g H ob ∆x L Reemplazando y despejando para Hi se obtiene la altura de presión inicial del sistema. Las presiones son manométricas. El caudal en la tubería es el mismo a lo largo de la misma puesto que los efectos de la compresibilidad no se presentan hasta después del golpe. CONCLUSIONES. La primera conclusión importante es que la utilización de ensayos para la aproximación de las condiciones de contorno simplificó de sobremanera el cálculo, puesto que estas, las condiciones de contorno, son funciones implícitas ya que dependen de la presión y caudal que se genera en la tubería producto del golpe de ariete. Otro aspecto importante es el hecho de que la variación de las propiedades en la válvula de impulso son las mas relevantes en el problema del ariete, puesto que por una parte nos indican la presión máxima teórica que se puede alcanzar, con esto podemos ver que factores disminuyen la eficiencia de la bomba. Se puede decir con esto que la válvula antirretorno ubicada en la base del tanque de acumulación no trabaja de forma deseable puesto que es debida a esta que no se alcanzan las presiones teóricas. Si comparamos las graficas de altura de sobre presión con las graficas obtenidas en el ensayo nos daremos cuenta que la presión teórica sobrepasa por aproximadamente 20 [m] la presión obtenida, lo que eventualmente podría ser mejorado. Por ultimo se puede decir que en el funcionamiento de la bomba no existe relación alguna entre el cierre de la válvula de impulso y el tanque de acumulación, esto es, no es posible apreciar una variación importante entre un cambio de masa en la válvula de impulso y el caudal de entrada al estanque de acumulación, por lo que en términos generales no debiera reflejarse un aumento de eficiencia en el equipo. Distinto es el caso de una variación en la altura de descarga a la cual trabaja la bomba; no es lo mismo hacer trabajar la bomba a 10 [m] que a 40[m], esto provoca una disminución en el caudal de descarga, aprovechable, lo que además provoca una disminución en la eficiencia de la misma. Se propondrá a los constructores del equipo probar nuevas válvulas antirretorno para mejorar el hermetismo que debe existir entre el tanque de acumulación, el cual contiene agua a presión) y la tubería de descarga del sistema, que es la que mueve la válvula de impulso. Otro punto de mejora podría ser el cambio de la geometría del tanque de acumulación, pero el problema es potencialmente mas complicado puesto que habría que probar, esto significa, construir y ensayar cada uno de los modelos a desarrollar, lo que implicaría un costo tanto en materiales, mano de obra y tiempo que supera por mucho el costo de probar distintas válvulas antirretorno, que es un dispositivo barato, simple y fácil de modificar. Más información: www.gea.usm.cl www.usm.cl www.mec.usm.cl BIBLIOGRAFÍA. • • • • • • • • • • • • • Shames “Mecánica de Fluidos” Streeter “Mecánica de Fluidos” Fernández “Introducción a la Mecánica de fluidos” Cengel “Termodinámica tomo 1 y 2” Parmakian “Waterhammer Análisis” Mathews-Kurtis “Métodos numéricos con Matlab” Tagle-Saff “Ecuaciones Diferenciales” Benavente “Selección de software para modelación de transientes hidráulicos”(tesis Ing. 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