Guía Ecuación de la recta, paralelismo y perpendicularidad

GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
Ecuación de la recta, paralelismo
y perpendicularidad
Matemática
Programa Entrenamiento
Desafío
En un sistema de ejes coordenados, las rectas L1: 2y + x = 14 y L2: 2x – y = 3 son los ejes de
simetría de un rombo. Si uno de los lados del rombo se encuentra sobre el eje de las ordenadas,
entonces el área del rombo es
A) 40
B) 48
C) 60
D) 80
E)96
Mis observaciones
GUICEN030MT22-A16V1
Resolución
1
Programa Entrenamiento - Matemática
Marco teórico
Elementos del plano cartesiano
y
Eje de las
ordenadas
5
4
Segundo
cuadrante
3
Primer
cuadrante
2
Origen (0, 0)
1
x
–5
–4
–3
–2
Tercer
cuadrante
–1
–1
–2
–3
1
3
2
4
Eje de las
abscisas
5
Cuarto
cuadrante
–4
–5
La medida de AB es
�(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
Sea un segmento AB en el plano
tal que A(x1, y1) y B(x2, y2)
El punto medio de AB es
x1 + x2
y1 + y2
,
2
2
(
)
La pendiente de AB es
y2 – y1
=m
x2 – x1
2
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
Ecuación de la recta
Toda recta de la forma x = a
(a ∈ IR) corresponde a una recta
vertical (pendiente infinita) que
intersecta al eje X en (a, 0).
Toda expresión de
la forma y = mx + n
representa una recta
en el plano.
m es la pendiente y se asocia
a la inclinación de la recta.
Si m > 0, la recta es creciente.
Si m = 0, la recta es horizontal.
Si m < 0, la recta es decreciente.
n es el coeficiente de posición
y corresponde a la intersección
de la recta con el eje Y.
La intersección de la recta
con el eje X corresponde
–n
al punto m , 0
(
Si n = 0, entonces la
recta pasa por el origen.
).
¿Cómo determinar la
ecuación de una recta?
Sean los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2)
pertenecientes a la recta y = mx + n
La pendiente es
y2 – y1
m=
x2 – x1
El coeficiente
de posición es
n = y1 – m • x1
La ecuación de la
recta es
y = m • (x – x1) + y1
3
Programa Entrenamiento - Matemática
Relaciones entre rectas
Se dice que las rectas son …
Sean L1 : y = m1 ⋅ x + n1
L2 : y = m2 ⋅ x + n2
Paralelas (L1 // L2),
si m1 = m2 y n1 ≠ n2
No tiene solución
Coincidentes,
si m1 = m2 y n1 = n2
Infinitas soluciones
Perpendiculares (L1 ⊥ L2),
si m1 ⋅ m2 = – 1
Solución única
Oblicuas, si m1 ⋅ m2 ≠ – 1
4
La intersección de las rectas
es la solución del sistema…
y = m1·x + n1
y = m2·x + n2
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
Ejercicios PSU
1.
En la figura, el área del triángulo PQR es
y
A)
4
B)
3�2
C)
6
D)
8
E)12
3
2
1
–3 –2 –1
P
–1
–2
R
1
2
3
x
Q
–3
2.
Un triángulo ABC está formado por los vértices A(– 3, 3), B(– 1, 1) y C(1, 3). La longitud de la
transversal de gravedad del triángulo que cae sobre el lado AB es
A)
�3
B)2
C)2�2
D)
�10
E)2�3
3.Sea ABC un triángulo rectángulo en A tal que B(6, 9) y C(– 2, – 6). Si P es el punto medio del
segmento BC, entonces AP mide
A)
12
5
B)
5
2
5
C)
120
D)
17
E)
17
2
5
Programa Entrenamiento - Matemática
4.
x
Una circunferencia tiene su centro en el punto A(10, 0) y es tangente a la recta L1: y = . El radio
3
de la circunferencia es
A)
3
B)
�10
C)
10
3
D)
5
E)
6
5.
Sea el segmento AB definido por los puntos A(2p, – p) y B p,
( )
afirmar que
6
I)
el punto medio de AB es
II)
la longitud de AB es
III)
la pendiente de AB es
Es (son) verdadera(s)
A)
B)
C)
D)
E)
solo I.
solo II.
solo III.
solo I y III.
solo II y III.
(
p�13
.
2
3
.
2
)
3p – p
.
,
2 2
p
, con p ≠ 0. Siempre es correcto
2
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
6.
Una recta L pasa por el punto (– 6, 5) y su pendiente es dos unidades menor que su coeficiente
de posición. La pendiente de la recta L es
– 11
A)
2
B)
–4
3
C)
–3
5
D)
E)
7.
1
7
5
En un cuadrado ABCD de diagonales AC y BD, se conocen los puntos A(3, – 6) y C( – 7, 8). La
pendiente de BD es
–7
A)
5
–5
B)
7
C)
5
7
1
D)
E)
7
5
7
Programa Entrenamiento - Matemática
8.
Si (4, − 3) es un punto de la recta de ecuación 5x + ky = 25, entonces k es igual a
A)
10
B)
8
C)
2
−3
D)
5
−5
E)
3
9.
La ecuación de la recta cuya pendiente es – 5 y pasa por el punto (– 4, 1) es
A)
y = – 5x + 21
B)
y = – 5x + 5
C)
y = – 5x – 3
D)
y = – 5x – 5
E)
y = – 5x – 19
10. La ecuación de la recta que pasa por los puntos (– 3, 2) y (3, – 10) es
A)
y=
–1
x–4
2
B)
y=
–1
x+5
2
C)
y = – 2x – 4
D)
y = – 2x + 5
8
E)
ninguna de las ecuaciones anteriores.
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
11. La ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B es
A) B) C) D) E) y = – 4x – 12
y = – 4x + 12
y = 4x – 12
y = 4x + 12
ninguna de las ecuaciones anteriores.
y
B
–3
x
– 12
A
12.Sea AB un segmento tal que A(5, 2) y B(9, – 4). Si L1 corresponde a la simetral de AB , entonces
la ecuación de la recta L1 es
A)
y=
– 2x + 11
3
B)
y=
2x – 17
3
C)
y=
2x + 23
3
D)
y=
– 3x + 19
2
E)
y=
3x – 23
2
13. En la figura, ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
La pendiente de la recta es igual a 2.
El punto (3, 12) pertenece a la recta.
La ecuación de la recta es y = 2x − 4.
A)
B)
C)
D)
E) Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
Solo I y III
y
4
−2
x
9
Programa Entrenamiento - Matemática
14. Una circunferencia tiene un diámetro AB tal que A(– 3, – 6) y B(5, 2). Si L es una recta que pasa
por el centro de la circunferencia e intersecta al eje X en el punto (9, 0), entonces la ecuación de
la recta de L es
A)
y=
1
• (x – 9)
4
B)
y=
x
+9
4
C)
y=
1
• (– x + 9)
4
D)
y=
–x
+9
4
E)
ninguna de las ecuaciones anteriores.
15. El gráfico que mejor representa a la recta de ecuación 3x + 4y = 5 es
A)y
y
B)
5
4
3
y
D)
–3
4
5
4
x
–3
x
y
E)
5
4
y
5
4
x
3
10
C)
5
3
x
x
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
16. En la recta L de la figura, ¿cuál es el valor numérico de p?
y
3
A)
5
B)
L
5
1
2
5
C)
4
1
4
D)
3
–1
p
2
x
11
E)
4
3
x – 6 intersecta al eje X en el punto A y al eje Y en el punto B. Si O es
4
el origen del sistema de ejes coordenados, entonces ¿qué punto representa al circuncentro del
17. La recta de ecuación y =
triángulo OAB?
A)
(0, 0)
B)
(2, – 2)
C)
(4, – 3)
(
)
16
D) , – 4
3
E)
Ninguno de los puntos anteriores.
18. Sea un triángulo ABC tal que A(a, 0), B(0, b) y C(0, 0), con a y b números reales positivos.
¿Cuál(es) de los siguientes puntos del triángulo ABC pertenece(n) siempre a la recta y = x?
I)Incentro.
II) Centro de gravedad.
III)Ortocentro.
A)
B)
C)
D)
E)
Solo II
Solo III
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
11
Programa Entrenamiento - Matemática
19. Con respecto a la recta y − x − 1 = 0, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) La recta intersecta al eje Y en el punto (0, 1).
II) La recta intersecta al eje X en el punto (1, 0).
III) La pendiente de la recta es positiva.
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo III
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
20. En la figura, L1 ⊥ L2. Entonces la ecuación de la recta L2 es
A)
y=
–4
(x – 1)
3
B)
y=
4
x–1
3
C)
y=
4
(x – 1)
3
D)
y=
3
(x – 1)
4
E)
y
L1
3
1
L2
ninguna de las ecuaciones anteriores.
21. Sean las rectas L1: x + y = 1 ; L2: x – 2y = 2. Es correcto afirmar que L1 y L2
12
A)
B)
C)
D)
E)
son paralelas.
se intersectan en el segundo cuadrante, en un ángulo de 90°.
se intersectan en el segundo cuadrante, en un ángulo distinto de 90°.
se intersectan en el cuarto cuadrante, en un ángulo de 90°.
se intersectan en el cuarto cuadrante, en un ángulo distinto de 90°.
4
x
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
22.Sea ABCD un paralelógramo de diagonales AC y BD . Si la pendiente de AC corresponde al
inverso multiplicativo de la pendiente de BD, entonces ABCD podría ser un
I)rombo.
II)romboide.
III)rectángulo.
Es (son) verdadera(s)
A)
B)
C)
D)
E)
solo I.
solo III.
solo I y II.
solo II y III.
ninguna de ellas.
23. Sean dos rectas L1: y = m • x + n y L2: y = a • x + b, con a, b, m y n números reales tales que
b • n < 0, b • m > 0 y a • n < 0. Entonces, L1 y L2 NO podrían ser
I)paralelas.
II)perpendiculares.
III)coincidentes.
Es (son) verdadera(s)
A)
B)
C)
D)
E)
solo II.
solo I y II.
solo II y III.
I, II y III.
ninguna de ellas.
24. ¿Cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones está representado en el gráfico adjunto?
A)– x – 2y = 0 ;
B)
x – 2y = – 1 ;
C)2x + y = 2
;
D)
x + 2y = – 2 ;
E) – 2x + y = – 1 ;
y
x + 2y = 0
x + 2y = 1
x + 2y = – 1
2x + y = 2
x+y=2
2
–2
–1
1
x
13
Programa Entrenamiento - Matemática
25. Según la figura, el punto de intersección de ambas rectas es
A)
B)
C)
D)
E)
y
(– 3, 2)
(– 2, – 3)
(– 2, 3)
(2, – 3)
ninguno de los puntos anteriores.
1
1
2
x
8
–4
26. Respecto a la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
La recta L1 es perpendicular a la recta L2.
La ecuación de la recta L2 es y = x + 3.
Las rectas L1 y L2 se intersectan en el punto (1, 2).
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
y
L1
L2
3
1
–1
27. Se puede determinar el valor numérico de la pendiente de la recta y = mx + 3 si:
(1)
(2)
La recta pasa por el punto (10, 9).
La recta corta al eje de las abscisas en − 5.
A) B) C)
D) E) (1) por sí sola.
(2) por sí sola.
Ambas juntas, (1) y (2).
Cada una por sí sola, (1) ó (2).
Se requiere información adicional.
28. Se puede determinar la ecuación de la recta L si:
14
(1)
(2)
La recta L pasa por el punto (2, – 6).
El coeficiente de posición de la recta L es 10.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola.
(2) por sí sola.
Ambas juntas, (1) y (2).
Cada una por sí sola, (1) ó (2).
Se requiere información adicional.
x
3
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
29. En la ecuación de la recta y = a • (x – 1), con a ≠ 0, se puede determinar el valor numérico de a si:
(1)
(2)
La recta intersecta al eje X en el punto (1, 0).
La recta intersecta al eje Y en el punto (0, – 3).
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola.
(2) por sí sola.
Ambas juntas, (1) y (2).
Cada una por sí sola, (1) ó (2).
Se requiere información adicional.
30. Se puede determinar que las rectas L1 y L2 NO se intersectan si:
(1)
L1 tiene pendiente – 2 y pasa por el punto (3, 2).
(2)
L2 es paralela a L1 y pasa por el origen.
A)(1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
15
Programa Entrenamiento - Matemática

Tabla de corrección
Item
Alternativa
Habilidad
1
ASE
2
ASE
3
ASE
4
ASE
5
Aplicación
6
Aplicación
7
Aplicación
8
Aplicación
9
Aplicación
10
Aplicación
11
Aplicación
12
Aplicación
13
Aplicación
14
ASE
15
Aplicación
16
Aplicación
17
ASE
18
ASE
19
ASE
20
Aplicación
21
Aplicación
22
ASE
23
ASE
24
ASE
25
Aplicación
26
ASE
27
ASE
28
ASE
29
ASE
30
ASE
Registro de propiedad intelectual de Cpech.
Prohibida su reproducción total o parcial.
16