IES Mediterráneo de Málaga
Solución Junio 2011
Juan Carlos Alonso Gianonatti
Opción A
 x + 2 y + 3 z = −1

Ejercicio A.1- Se considera el sistema de ecuaciones lineales: 2 x + 5 y + 4 z = −2
 x + 3y + m2 z = m

a) Discutir su compatibilidad en función del parámetro m
b) Resolver el sistema para m = 0
a)
1 2 3
A = 2 5 4 = 5m 2 + 8 + 18 − 15 − 12 − 4m 2 = m 2 − 1 ⇒ Si A = 0 ⇒ m 2 − 1 = 0 ⇒ m 2 = 1
1 3 m2
m = −1
m=± 1⇒
⇒
 m =1
∀m ∈ ℜ − {− 1 , 1} ⇒ A ≠ 0 ⇒ rang ( A ) = 3 = Número de incognitas ⇒ Sist . Compatible Deter min ado
Si m = −1
 1 2 3 − 1   1 2 3 − 1  1 2 3 − 1

 
 

 2 5 4 − 2  ≡  0 1 − 2 0  ≡  0 1 − 2 0  ⇒ Sistema Compatible In det er min ado
 1 3 1 −1  0 1 − 2 0   0 0 0 0 

 
 

Si m = 1
 1 2 3 − 1   1 2 3 − 1  1 2 3 − 1

 
 

2
 2 5 4 − 2  ≡  0 1 − 2 0  ≡  0 1 − 2 0  ⇒ 0 z = 2 ⇒ z = ⇒ Sistema Incompatible
0
1 3 1 1  0 1 − 2 2  0 0 0 2 

 
 

Cuando m = 0 ⇒ Sistema Compatible Deter min ado
 1 2 3 − 1   1 2 3 − 1  1 2 3 − 1

 
 

 2 5 4 − 2  ≡  0 1 − 2 0  ≡  0 1 − 2 0  ⇒ − z = 1 ⇒ z = −1 ⇒ y − 2 ⋅ (− 1) = 0 ⇒ y = −2 ⇒
1 3 0 0  0 1 − 3 1  0 0 −1 1 
 
 


x + 2 ⋅ (− 2 ) + 3 ⋅ (− 1) = −1 ⇒ x − 4 − 3 = −1 ⇒ x = 6 ⇒ Solución (x , y , z ) = (6 , − 2 , − 1)
1
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Solución Junio 2011
 x = 3+t

Ejercicio A.2.- Sean r y s las rectas r ≡  y = −4 + 3t
 z =0

Juan Carlos Alonso Gianonatti
x + y − 2 z = 1
, s≡
 x − y = −6
Hallar la ecuación de la recta perpendicular a las rectas r y s y tal que contenga el punto
P = (3 , -1 , 2)
Estudiaremos que posición ocupan las rectas, si sus vectores directores son iguales o proporcionales son
paralelas o coincidentes, siendo esta última su posición si tiene algún punto común. De no serlo
estudiaremos se cortaran o son secantes si tienen algún punto común y de no ser así son rectas que se
cruzan en el espacio

 x = −6 + λ
7

s ≡ x = y − 6 ⇒ y − 6 + y − 2z = 1 ⇒ 2 y − 2z = 7 ⇒ z = y − ⇒ s ≡  y = λ ⇒
2

7
 z = − 2 + λ
v r = (1 , 3 , 0 ) 1 3
⇒ ≠ ⇒ No son coincidentes ni paralelas

1 1
 v r = (1 , 1 , 1)
Veamos si tiene un punto común

7

λ=
3 + t = −6 + λ 
5
7
11
5
2
⇒ 3 + ≠ −6 + ⇒
≠− ⇒
 − 4 + 3t = λ ⇒ 
7
7
15
5
2
2
2
2
 0 = −7 +λ
− 4 + 3t = ⇒ 3t = + 4 =
⇒t =
2
2
2
2


2
No se cor tan en un punto , por lo tan to se cruzan en el espacio
Llegados a este punto analizaremos si es la recta que une perpendicularmente (solo hay una) a las dos
rectas y si es la que se busca que contendrá al punto P, de no serlo es una recta cualquiera que es
perpendicular a las dos y que pasa por el punto P

7

 7
 
v rs ≡ 3 + t − (− 6 + λ ) , − 4 + 3t − λ , 0 −  − + λ  ≡  9 + t − λ , − 4 + 3t − λ , − λ 
2

 2
 


7


v rs ⊥ v r ⇒ v rs ⋅ v r = 0 ⇒  9 + t − λ , − 4 + 3t − λ , 2 − λ  ⋅ (1 , 3 , 0 ) = 0  9 + t − λ − 12 + 9t − 3λ = 0


7
⇒

7

 v rs ⊥ v s ⇒ v rs ⋅ v s = 0 ⇒  9 + t − λ , − 4 + 3t − λ , − λ  ⋅ (1 , 1 , 1) = 0
9 + t − λ − 4 + 3t − λ + 2 − λ = 0

2


 10t − 4 λ − 3 = 0
 10 − 4 3   10 − 4 3   10 − 4 3 
10t − 4λ − 3 = 0  10t − 4λ = 3


≡
≡
⇒
⇒ 
4t − 3λ + 17 = 0 ⇒ 
8t − 6 λ + 17 = 0 8t − 6 λ = − 17  8 − 6 − 17   − 40 30 85   0 14 97 


2
97
97
194 215
43
14λ = 97 ⇒ λ =
⇒ 10t − 4 ⋅
= 3 ⇒ 10t = 3 +
=
⇒t =
⇒
14
14
7
7
14
43 97
43 97 7 97   72
24
48 

v rs ≡  9 +
,− 4 + 3⋅
, −
, −  ≡ (72 , − 24 , − 48 ) ≡ (3 , − 1 , − 2 )
−
−
 ≡  ,−
14 14
14 14 2 14   14
14
14 

43 85
85


 x = 14 + 3µ
 x = 3 + 14 = 14


43 73
73
⇒ Re cta rs perpendicular a las dos y que corta a ambas ≡  y =
−µ
R  y = −4 + 3 ⋅
=
14 14
14


z =0
 z = −2µ



2
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Continuación del Ejercicio A.2
Veamos si el punto P pertenece a la recta rs perpendicular a las dos y que corta a ambas
85
85 42 − 85 43
43

3 = 14 + 3µ ⇒ 3µ = 3 − 14 = 14 = 14 ⇒ µ = 42

73
73
87
⇒ P no pertenece a la recta rs
−1=
−µ⇒µ=
+1=

14
14
14

2

2 = −2µ ⇒ µ = − = −1
2

Por lo tanto es una recta t perpendicular a las dos rectas y que pasa por el punto P.
Su vector dirección ya ha sido hallado pero también se puede hallar como el producto vectorial de los
vectores directores de las rectas (lo comprobaremos)
i j k
v r = (1 , 3 , 0 )
⇒ v t = v r × v s = 1 3 0 = 3i + k − 3k − j = 3i − i − 2k ⇒ v t = (3 , − 1 , − 2 )

 v s = (1 , 1 , 1)
1 1 1
( ya hallado )
 x = 3 + 3α

t ≡  y = −1 − α
 z = 2 − 2α

3
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Ejercicio A.3.- Sea la función f(x) = x2e-2x
a) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento
b) Estudiar sus máximos y sus mínimos y trazar un bosquejo de su gráfica
a)
f ' (x ) = 2 xe − 2 x − 2 x 2 e − 2 x = 2 xe − 2 x (1 − x ) ⇒ Crecimiento ⇒ f ' (x ) > 0 ⇒ 2 xe − 2 x (1 − x ) > 0 ⇒
2 > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ


x > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ / x > 0


e − 2 x > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ

1 − x > 0 ⇒ − x > −1 ⇒ x < 1 ⇒ ∀x ∈ ℜ / x < 1
0
−∞
2>0
x>0
x<1
−∞
1
e −2 x > 0
(+)
(-)
(+)
(+)
(+)
(+)
(+)
(+)
(+)
(+)
(-)
(+)
Solución
(-)
(+)
(-)
Decrecimiento ∀x ∈ ℜ / ( x < 0 ) ∪ ( x > 1)
Crecimiento ∀x ∈ ℜ / 0 < x < 1
b)
Máximo relativo en x = 1 f (1) = 1 e
2
Mínimo relativo en x = 0
crecimiento)
− 2⋅1
1
(porque de crecimiento pasa a decrecimiento)
e2
= 0 ⋅ e 0 = 0 ⋅ 1 = 0 (porque de decrecimiento pasa a
= e −2 =
f (0 ) = 0 2 e −2⋅0
4
Y
3
2
1
X
0
-1
0
1
2
3
4
4
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Ejercicio A.4.- Calcular la integrales indefinidas que siguen
Juan Carlos Alonso Gianonatti
∫ x ln (x ) dx , ∫ x sen (2 x ) dx explicando el
método seguido para el cálculo
El método utilizado es el de integración por partes que resulta de aplicar el siguiente teorema:
Se descompone el integrando en dos partes, u y dv, y utilizamos la fórmula:
∫ u dv = u ⋅ v − ∫ v du
Seleccionamos u de manera que se simplifique al derivar, y dv que sea fácilmente integrable. En caso de
reiterar el método, elegimos los mismos tipos de funciones en cada paso.
x2
x 2 dx x 2
1
x2
1 1
⋅ ln ( x ) − ∫ ⋅ =
⋅ ln ( x ) − ∫ x dx =
⋅ ln ( x ) − ⋅ ⋅ x 2
2
2 x
2
2
2
2 2
dx

 u = ln ( x ) ⇒ du = x

2
dv = x dx ⇒ v = x dx = x
∫
2

2
x 
1
⋅ ln ( x ) −  + K
I 1 = ∫ x ln ( x ) dx =
2 
2
I 1 = ∫ x ln ( x ) dx =
x cos 2 x 1
1
 1
+ ∫ cos 2 x dx
I 2 = ∫ x sen (2 x ) dx = x ⋅  −  ⋅ cos 2 x − ∫ − ⋅ cos 2 x dx = −
2
2
2
 2
u = x ⇒ du = dx

dv = sen (2 x ) dx ⇒ (1) v = sen (2 x ) dx = − 1 ⋅ cos 2 x
∫

2
(1)∫ sen (2 x ) dx = ∫ sen t dt = 1 ∫ sen t dt = 1 ⋅ (− cos t ) = − 1 ⋅ cos 2 x
2 2
2
2
dt
2 x = t ⇒ 2 dx = dt ⇒ dx =
2
x cos 2 x 1
x cos 2 x 1
x cos 2 x 1
dt
+ ∫ cos t
=−
+ ∫ cos t dt = −
+ ⋅ sen t
I 2 = ∫ x sen (2 x ) dx = −
2
2
2
2
4
2
4
x cos 2 x 1
+ ⋅ sen (2 x ) + K
I 2 = ∫ x sen (2 x ) dx = −
2
4
5
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Ejercicio A.5.- Las suma de 30 múltiplos consecutivos de 7 es igual a 9345. ¿Cuál es el primer y último
numero de esta serie de múltiplos?. Razonar la respuesta
d =7


(a + a30 ) ⋅ 30

n = 30
9345 = 1

Sabemos que es una progresión aritmética donde 
⇒
⇒
(a1 + a n )n

2
S
=

 a 30 = a1 + (30 − 1) ⋅ 7
2
a = a + (n − 1)d
1
 n
18690

(a1 + a 30 ) ⋅ 30 = 18690
a1 + a 30 = 623
a1 + a 30 =
⇒
⇒2 ⋅ a 30 = 623 + 203 ⇒


30 ⇒ 
a
−
a
=
203
30
1
 a 30 = a1 + 29 ⋅ 7

 a 30 − a1 = 203
826
a 30 =
= 413 ⇒ 413 − a1 = 203 ⇒ a1 = 413 − 203 = 210
2
6
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Opción B
α
1 0


Ejercicio B.1- Dada la matriz A  α 0
− 1
2 −1 1 


a) Contestar razonadamente a la siguiente pregunta ¿existe algún valor de α ∈ ℜ tal que A no tenga
inversa para ese valor?
b) Calcular, en caso de que sea posible, la matriz inversa de A2 para α = 0
a)
La condición necesaria para que exista la inversa de una matriz es que el determinante de dicha matriz no
sea nulo
α
1 0
A = α 0 − 1 = −α 2 − 1 = − α 2 + 1 ⇒ Si A = 0 ⇒ − α 2 + 1 = 0 ⇒ α 2 + 1 = 0 ⇒ α 2 = −1 ⇒
2 −1 1
(
)
(
)
α = ± − 1 ⇒ Sin solución ⇒
Para todo α ∈ ℜ ⇒ A ≠ 0 ⇒ Existe A −1
b)
( )
A = −0 2 − 1 = −1 ⇒ A 2 = A ⋅ A = (− 1) ⋅ (− 1) = 1 ≠ 0 ⇒ Existe A 2
0  1 0
0   1
0
1 0

 
 
A =  0 0 − 1 ⋅  0 0 − 1 =  − 2 1
2 − 1 1  2 − 1 1   4 − 1

 
 
 1 0 0
 1 0


1 
2 t
2 −1
= ⋅ 0 2
adj A =  0 2 1  ⇒ A
1 
 − 2 1 1


− 2 1
2
( )
( )
−1
( )
⇒ A2
−1
=
1
A
2
[
( ) ]⇒
⋅ adj A 2
t
1 − 2 4 


=  0 1 − 1 ⇒
0 − 1 2 


0  1 0 0
 

1 =  0 2 1
1   − 2 1 1 
0 

− 1 ⇒ A 2
2 
( )
t
7
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Juan Carlos Alonso Gianonatti
Ejercicio B.2.- Sea π el plano de ecuación x - y + z = 0 y sea P el punto (2 , 1 , 3)
Calcular el punto simétrico de P respecto a π , explicando el proceso seguido para dicho cálculo.
Para hallar P’ hallaremos una recta r que pase por el punto P perpendicular al plano π . Para ello
utilizaremos el vector director del plano, que es perpendicular a él, y el punto P.
Una vez hallada la recta calcularemos el punto de intersección Q de esta con el plano π que es el punto
medio entre P y P’
x = 2 + λ

v r = v π = (1 , − 1 , 1) ⇒ r ≡  y = 1 − λ ⇒ (2 + λ ) − (1 − λ ) + (3 + λ ) = 0 ⇒ 2 + λ − 1 + λ + 3 + λ = 0 ⇒
z = 3 + λ


 4 2
x = 2 +  − 3  = 3



4
4

2 7 5
 7

4 + 3λ = 0 ⇒ 3λ = −4 ⇒ λ = − ⇒ Q  y = 1 −  −  = ⇒ Q , ,  ⇒
3
3 3 3
 3 3

4
5



 z = 3 +  − 3  = 3

x P + x P'
2 2 + x P'
2

x
=
⇒
=
⇒ 4 = 6 + 3 x P' ⇒ 3 x P' = −2 ⇒ x P' = −
Q

2
3
3
2

y P + y P'
7 1 + y P'
11
 2 11 1 
, 
⇒ =
⇒ 14 = 3 + 3 y P' ⇒ 3 y P' = 11 ⇒ y P' =
⇒ P'  − ,
 yQ =
2
3
2
3
 3 3 3

 z = z P + z P' ⇒ 5 = 3 + z P' ⇒ 10 = 9 + 3 z ⇒ 3 z = 1 ⇒ z = 1
Q
P'
P'
P'
2
3
2
3

Ejercicio B.3.- Sea f(x) = x3 + a x2 + bx + c
Encontrar los valores de a, b y c de forma que la gráfica de f contenga al punto (0 , 1) y las rectas tangentes
a f en los puntos x = 0 y x = 1 sean ambas paralelas a la recta y = 3x + 5
f ' (x ) = 3 ⋅ x 2 + 2a ⋅ x + b

f (0 ) = 1 ⇒ 0 3 + a ⋅ 0 2 + b ⋅ 0 + c = 1 ⇒ c = 1


m = 3 ⇒ f ' (0 ) = 3 ⇒ 3 ⋅ 0 2 + 2 a ⋅ 0 + b = 3 ⇒ b = 3
⇒


3
2
m = 3 ⇒ f ' (1) = 3 ⇒ 3 ⋅ 1 + 2 a ⋅ 1 + b = 3 + 2 a + 3 = 3 ⇒ 2 a = −3 ⇒ a = − 2
f (x ) = x 3 −
3 2
x + 3⋅ x +1
2
8
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Juan Carlos Alonso Gianonatti
Ejercicio B.4.- Sean f y g las funciones f(x) = x2 + 3x +2 y g(x) = - x2 - 3x + 10
a) Trazar un esquema gráfico de ambas funciones
b) Calcular el área de la región del plano limitada por ambas funciones
a)

f (x ) = 0 ⇒ x 2 + 3 x + 2 = 0 ⇒ ∆ = 3 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 2 = 1
Puntos de corte funciones con eje OX ⇒ 
2
2
 g (x ) = 0 ⇒ − x − 3 x + 10 = 0 ⇒ ∆ = (− 3 ) − 4 ⋅ (− 1) ⋅ 10 = 49

−3+1

=
= −1
x
 2

−3± 1
2
⇒
 x + 3x + 2 = 0 ⇒ x =
−3 −1
2 ⋅1

x =
= −2

2


3 +7


= −5
x=

±
3
49
−2
− x 2 − 3 x + 10 = 0 ⇒ x =
⇒
3 −7

2 ⋅ (− 1)
x=
=2

−2


Puntos de corte entre funciones ⇒ f (x ) = g (x ) ⇒ x 2 + 3 x + 2 = − x 2 − 3 x + 10 ⇒ 2 x 2 + 6 x − 8 = 0 ⇒
−3+5

 x = 2 =1
− 3 ± 25
⇒
x + 3 x − 4 = 0 ⇒ ∆ = 3 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 4 ) = 25 ≥ 0 ⇒ x =
−3−5
2 ⋅1
x =
= −4
2

2
2
15
Y
14
13
g(x)
12
11
f(x)
10
9
8
7
6
5
4
3
X
2
1
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
9
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Juan Carlos Alonso Gianonatti
Continuación del Ejercicio B.4
−2
A=
∫ (− x
2
−2
)
− 3 x + 10 dx −
−4
∫ (− x
−4
)
1
+
2
−
∫ (x
2
−2
2
)
1
(
(
−1
)
2
∫ (x
−2
)
∫ (− x
1
+ 3 x + 2 dx =
2
−4
)
1
(
−2
)
2
)
+ 3 x + 2 dx +
−2
(
)
− 3 x + 10 dx − ∫ x 2 + 3 x + 2 dx −
−4
)
1
(
)
+ 3 x + 2 dx − ∫ x + 3 x + 2 dx = ∫ − x − 3 x + 10 dx − ∫ x 2 + 3 x + 2 dx
2
−1
∫ (− 2 x
−4
)
−1
1
A=
∫ (x
−1
+ 3 x + 2 dx + ∫ − x − 3 x + 10 dx +
1
− 3 x + 10 dx −
−1
−1
∫ (x
2
2
−4
[ ]
)
1
− 6 x + 8 dx = −2 ⋅ ⋅ x 3
3
[
2
] [
1
−4
−4
[ ]
1
− 6 ⋅ ⋅ x2
2
1
−4
+ 8 ⋅ [x ]−4
1
]
2
2
3
2
A = − ⋅ 13 − (− 4 ) − 3 ⋅ 12 − (− 4 ) + 8 ⋅ [1 − (− 4 )] = − ⋅ (1 + 64 ) − 3 ⋅ (1 − 16 ) + 8 ⋅ (1 + 4 )
3
3
130
130
125 2
A=−
+ 45 + 40 = −
+ 85 =
u
3
3
3
Ejercicio B.5.- Ane, Berta y Carlos están jugando a un juego que consiste en lanzar dos dados
al mismo tiempo. Ane suma los resultados de los dos dados, mientras que Berta calcula la diferencia entre
la mayor puntuación y la menor y Carlos multiplica las puntuaciones.
Ane apuesta por el 6, Berta por el 2 y Carlos por el 4.
¿Son equilibradas estas apuestas o alguno de los tres tiene ventaja? Razona la respuesta
El número de posibles resultados son
VR62 = 6 2 , siendo los valores los siguientes:
Tiradas
Dado 1
Dado 2
Suma
Diferencia
Producto
1
1
1
2
0
1
2
1
2
3
1
2
3
1
3
4
2
3
4
1
4
5
3
4
5
1
5
6
4
5
6
1
6
7
5
6
7
2
1
3
1
2
8
2
2
4
0
4
9
2
3
5
1
6
10
2
4
6
2
8
11
2
5
7
3
10
12
2
6
8
4
12
13
3
1
4
2
3
14
3
2
5
1
6
15
3
3
6
0
9
16
3
4
7
1
12
17
3
5
8
2
15
18
3
6
9
3
18
19
4
1
5
3
4
20
4
2
6
2
8
10
IES Mediterráneo de Málaga
Solución Junio 2011
Juan Carlos Alonso Gianonatti
21
4
3
7
1
12
22
4
4
8
0
16
23
4
5
9
1
20
24
4
6
10
2
24
25
5
1
6
4
5
26
5
2
7
3
10
27
5
3
8
2
15
28
5
4
9
1
20
29
5
5
10
0
25
30
5
6
11
1
30
31
6
1
7
5
6
32
6
2
8
4
12
33
6
3
9
3
18
34
6
4
10
2
24
35
6
5
11
1
30
36
6
6
12
0
36
Así, pues, Ane acierta 5 veces sus posibilidades son
Berta acierta 8 veces sus posibilidades son
Carlos acierta 4 veces sus posibilidades son
5
36
8 2
=
36 9
4 1
=
36 9
Por lo tanto no son apuestas equilibradas, siendo la mayor la de Ane y la menor la de Carlos
11
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Solución - IES Francisco Ayala