Seminario de Análisis A: Métodos Variacionales Semestre

Seminario de Análisis A: Métodos Variacionales
Semestre 2016-2
Tarea 6: Simetrías y compacidad
Límite de entrega: Viernes 1 de abril de 2016, 10:00 horas.
un dominio exterior G-invariante en RN .
Sean G un subgrupo cerrado de O(N ) y
1. Prueba que, si #G(x) < 1 para algún x 2 RN r f0g; la inclusión H01 ( )G ,! Lp ( )
no es un operador compacto.
2. Sea N = n1 +
+ nm con ni 2 N. Prueba que G := O(n1 )
O(nm ) satisface
( ) para cada x 2 RN con jxj = 1 existe un subespacio vectorial Wx de RN de dimensión 2 tal que
S1 Wx := fz 2 Wx : jzj = 1g Gx;
si y sólo si ni
2 para todo i = 1; :::m:
3. Sea : G ! Z=2 := f1:
u : ! R de…nimos
(g
(a) Prueba que g
1g un homomor…smo de grupos. Si
u) (x) := (g)u(g 1 (x))
es G-invariante y
8x 2 ; 8g 2 G:
u 2 H01 ( ) para todo u 2 H01 ( ):
(b) Prueba que la función G ! Iso(H01 ( )) que a cada g le asocia g
H01 ( ) está bien de…nida y es una acción de G en H01 ( ):
: H01 ( ) !
(c) Prueba que la función
J(u) :=
1
kuk21
2
1 p
juj
p p
es G-invariante para esta acción.
4. Si 2m
O(m)
N con m 2 N consideramos el subgrupo G de O(N ) generado por K :=
O(m) O(N 2m) y por la re‡exión 2 O(N ) dada por
(x; y; z) := (y; x; z)
Sea
por
8(x; y; z) 2 Rm
Rm
RN
2m
RN :
: G ! Z=2 el homomor…smo de grupos cuyo valor en los generadores está dado
1 si g 2 K;
1 si g = :
(g) :=
(a) Prueba que
está bien de…nido y que ker = K:
(b) Prueba que la inclusión H01 (RN ) ,! Lp (RN ) es un operador compacto si y sólo
si m 2 y N 2m 2; donde
H01 (RN ) := fu 2 H01 ( ) : g
u = u 8g 2 Gg:
(c) Prueba que el espacio H 1 (RN ) tiene dimensión in…nita.
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