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Enkvist, I. (2014). La base empírica de los métodos de enseñanza de las matemáticas en la escuela
primaria. Revista de evaluación educativa, 3 (1). Consultado el día de mes de año en:
http://revalue.mx/revista/index.php/revalue/issue/current
La base empírica de los métodos de enseñanza de las
matemáticas en la escuela primaria
Inger Enkvist
Universidad de Lund, Suecia
Bo Johansson es un investigador sueco que ha dedicado treinta años a
investigar cómo aprenden los niños pequeños las matemáticas. Ha trabajado
en la formación docente y ha dirigido muchas tesis de máster de didáctica de
las matemáticas. Sus estudios abarcan no sólo su propia investigación
empírica y la de sus estudiantes sino también la historia de la didáctica, los
planes de estudio y los manuales, todo dentro del campo de las matemáticas.
Vale la pena familiarizarse con sus conclusiones porque cuestionan ciertas
teorías que están de moda. Sus investigaciones se han realizado en Suecia,
pero es probable que los profesores e investigadores de otros países puedan
sacar provecho de sus resultados. Ya que sus libros sólo están publicados en
sueco y por eso inaccesibles para muchos lectores, se dará a continuación una
síntesis de sus resultados, basada en los dos libros citados en la bibliografía.
Se colocará entre paréntesis la traducción al inglés de los conceptos clave para
que no haya confusión terminológica.
En la literatura didáctica, se desprecia una enseñanza “de transmisión” y hay
“verdades” no comprobadas como la idea de que sería más fácil, más
“cotidiano” y más conectado con la vida del alumno el uso de objetos para
calcular. El autor constata que los alumnos más “flojos” son los más
perjudicados por el uso de ese enfoque. Johansson (2011) afirma que ha sido
un error disminuir el recitado de la serie o la secuencia numérica (ingl. the
number word sequence). Como una parte del desprecio por los conocimientos
memorísticos, se ha despreciado también el conocimiento del niño de la
secuencia numérica. En eso, el autor ve una similitud con la discusión sobre el
aprendizaje de la lectura entre si es mejor el método global o el método
fonológico. Johansson también critica que, en los manuales modernos, se
presenten varios métodos como equivalentes. Supuestamente los alumnos
deben elegir el método que más les guste. Esta actitud supone que todos los
métodos arrojen el mismo porcentaje de respuestas correctas, lo cual no es el
caso.
Al revés, el investigador ha constatado repetidamente las relaciones siguientes:
los alumnos a los que más tarde les va bien en aritmética son los que a la edad
de 7 años saben contar por ejemplo hasta 50 o incluso hasta 100, contar al
revés, “saltar” (ingl. Jump) por ejemplo de 2 a 4 a 6 y sumar algunos dobles
Fecha de recepción: 30 de abril 2014
Fecha de aceptación: 18 de julio 2014
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(ingl. doubles) como 2+2, 3+3 y 4+4 sin usar los dedos. Aprender a contar se
puede ver como una preparación a la descontextualización que significa la
aritmética. El autor compara esta preparación a la aritmética con la preparación
a la lectura. Cuando el niño aprende a observar los sonidos, a encontrar rimas
y a identificar si una palabra es larga o corta, aprende a distinguir entre la forma
y el contenido, lo cual le prepara para entrar en el mundo de la lectura.
Es fundamental que el niño aprenda a contar. Cuando el niño es muy pequeño
ve el número como una cantidad de objetos, como un número cardinal. Sin
embargo, puede ver el número también como ordinal, y no le cuesta nada ir de
una perspectiva a otra. Muchos hablan de la necesidad de lo concreto pero el
autor indica una posible nueva interpretación de la palabra concreto, y es que
se podría considerar que una cifra es concreta. El alumno puede ver cada
número como un elemento en una serie, lo cual le permite avanzar o retroceder
en la secuencia y más tarde saltar. La secuencia numérica permite explicar
cómo el niño puede pasar de ver el número como una cantidad a ver el número
como un elemento de una secuencia para más tarde trabajar con el número
como una cifra. Johansson propone que no se hable de abstracción en ese
caso sino de dos maneras de concebir el número.
Un estudio sobre la sustracción en la primaria
En uno de sus estudios, Johansson ha investigado a alumnos de siete a diez
años de edad, basándose en tareas de sustracción de cuatro tipos:
1.
2.
3.
4.
Sin “llevar” (ingl. no regrouping required) y fáciles: 5-3; 14-2; 9-7
Sin “llevar” pero difíciles: 18-11; 37-4; 47-24
”Llevando” en número de dos dígitos: 23-14; 26-17; 63-37
”Llevando” en números de tres dígitos: 456-328; 345-267; 304-237
Después ha analizado los aciertos y los errores y ha entrevistado a los
alumnos. Ha identificado varios métodos utilizados por los alumnos:
1. Contar (ingl. count-based method). Para calcular 8-3, los alumnos
cuentan hasta 8, utilizando los dedos. Después doblan tres dedos y
vuelven a contar los dedos que quedan, empezando desde el principio
Es un método elemental que funciona desde una edad muy temprana.
2. La estrategia del “tipo de unidad” (ingl. place value / decompose in tens
and single-digit numerals). Enfoca si la cifra representa una unidad, una
decena o una centena.
3. El escribir los números en cuestión de manera vertical (ingl. vertical
algorithm), por ejemplo 34-17. Este método solía usarse mucho pero
desde hace unas décadas se introduce más tarde y muchos profesores
dedican menos tiempo a practicarlo.
4. Saber cómo es (ingl. recall). Es el “método” de haber aprendido
diferentes tablas y saber encontrar la respuesta de manera automática,
“sin pensar”.
5. El “método del salto” (ingl. jump strategy). Para calcular 13-4 el alumno
descompone el 4 en 3+1, quita el 3 de 13, obteniendo 10. Le falta quitar
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1 y llega así a 9. El método del salto “salta” sobre el 10, buscando
siempre los “compañeros de diez” (ingl. sums to ten). El alumno se
encuentra así con unos números con los que está familiarizado. Se
puede contar como parte del “método del salto” el apoyarse en los
dobles como 3+3, 4+4 y 5+5, etcétera.
Estudiando después los errores de los alumnos, el investigador se ha
preguntado qué tipo errores han cometido los alumnos y si ciertos métodos
llevan a menos errores que otros. Identifica tres grupos generales de errores:
errores de cálculo, errores de “empezar con el número más alto” y errores de
“llevar”.
1. El contar usando los dedos u otra ayuda concreta produce errores en
particular con los números altos porque los niños pueden equivocarse,
terminando de contar justo antes o después de la buena respuesta. El
autor cree que ha sido negativo introducir dibujos de objetos en los
manuales invitando a los alumnos a contar los objetos en vez de usar las
cifras.
2. La estrategia de “los tipos de unidad” se puso de moda por los años 80 y
90 y produce errores si se utiliza como “atajo” cuando los alumnos
todavía no dominan el “llevar”. Algunos profesores introducen problemas
como 240 – 110, tratando las unidades, las decenas y las centenas
como cálculos separados. En el ejemplo citado de 240 – 110 sería tratar
el problema como tres cálculos separados: 2-1, 4-1 y 0-0. Hasta hay
profesores que enseñan a los alumnos que pueden empezar desde la
izquierda y continuar hacia la derecha. En los casos sencillos como el
expuesto, se llega a la respuesta esperada pero por ejemplo con 240 195 no. Los alumnos habrán aprendido un método que les da resultados
equivocados en muchos casos. En conexión con este método surge a
veces el error de “primero el más grande”. Cuando se calcula 26-17, el
alumno que no sabe qué hacer con 6-7 “prefiere pensar” que podría
calcular 7-6, es decir, da vuelta a las cifras porque no maneja bien el
“llevar”.
3. El sistema de colocar los números de manera vertical, el uno bajo el
otro, para realizar el cálculo da buen resultado en particular para los
números de tres dígitos, pero hace falta que los alumnos practiquen el
método para que les salga bien.
4. Funciona bien el “método” de “saber” la respuesta, es decir, de haber
aprendido las tablas de adición, sustracción y multiplicación.
5. El método del salto es eficaz.
En otras palabras, ¿qué métodos enseñar según esta investigación? Son
negativos los métodos que se apoyen en contar objetos, y en particular para los
alumnos más flojos. Es eficaz aprender a ver mentalmente la secuencia de
números para poder “saltar”. Los métodos más eficaces son el salto y la
colocación vertical, además del método de “saber”. El método del salto se
enseña de manera muy consciente en países como Holanda, Japón y Corea
que tienen buenos resultados. Varias investigaciones subrayan que para poder
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resolver problemas complejos más tarde, la aritmética tiene que funcionar con
casi un 100 % de respuestas correctas.
La secuencia numérica mental como instrumento didáctico
Johansson (2013) nos recuerda que los adelantos de la Medicina se basan en
comparar la eficacia de diferentes métodos y, por eso, lamenta la poca base
empírica de las propuestas de diferentes métodos de enseñanza. El resultado
fundamental al que ha llegado él es que el uso de la secuencia mental de
números es fundamental para poder usar las matemáticas y que ningún
método que no se base en ella funciona bien. El énfasis en lo concreto ha sido
un callejón sin salida en particular para los alumnos con problema.
Johansson insiste en que la secuencia numérica permite explicar cómo llega un
niño a crear conceptos. Primero ve un número como cierta cantidad pero
después aprende a ver una cifra como un elemento que pertenece a una
secuencia ordenada, lo cual es el verdadero comienzo del aprendizaje. Cuando
el niño domina la secuencia numérica se le abre la posibilidad de usar el
método del salto. El método del salto se caracteriza por:
- Dejar uno de los números intacto.
- El otro número se descompone para “saltar” sobre el 10.
- Los números se ven como cifras.
- La atención está en las cifras y en la relación entre ellas.
Si el alumno entiende esto, tiene una base para trabajar con los números como
conceptos.
Johansson ha oído decir una y otra vez a las maestras del nivel preescolar que
las cifras son difíciles. No, dice él, no son difíciles. Esta creencia falsa hace que
se retrase el aprendizaje. También ha oído que el saber enumerar la secuencia
numérica no significa necesariamente que el alumno entienda lo que está
diciendo y que, por eso, es inútil practicar esa destreza. Error, dice Johansson.
Cuanto mejor sepa contar la secuencia numérica y cuanto antes sepa escribir
las cifras, mejor le irá al alumno en matemáticas. Es falso que las cifras sean
difíciles, es falso que sea inútil practicar la secuencia numérica y es falso que
sea más natural y provechoso para los alumnos ver los números como
cantidades y no posiciones en una serie. Al revés, constata, saber las tablas de
adición, sustracción y multiplicación es fundamental para el avance del alumno
porque el alumno calcula de manera más rápida, comete menos errores y sabe
realizar cálculos más complejos. Johansson da cuenta de varios proyectos que
muestran que si el profesor trabaja conscientemente para enseñar la secuencia
numérica y los saltos, los alumnos progresan rápidamente y los más flojos son
los que más avanzan.
El método del salto fue el método más utilizado en el siglo XIX pero alrededor
de 1900 se lanzó la idea de que sería más fácil para el niño aprender en
conexión con lo concreto y lo cotidiano. Por los años 60 y 70 se añadió la
tendencia a dar énfasis al “tipo de unidad”. Sin embargo, los nuevos métodos
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introducidos han supuesto un retraso en particular para los niños con problema.
El investigador se asombra de la insistencia en lo cotidiano y lo concreto
porque eso corresponde a lo que el niño ya sabe y no a lo que el niño necesita
aprender. En términos de Vygotsky, se debería buscar la zona del próximo
desarrollo y no la del aprendizaje ya realizado. Además, no solo se busca la
habilidad de resolver problemas sino también la comprensión de los conceptos.
El investigador resalta que sus resultados son unívocos y estables: conocer las
cifras y la secuencia numérica es la base del aprendizaje. No importa la edad
del niño ni su “maduración” sino si ha aprendido o no. Además, los niños que
manejan la secuencia numérica se acuerdan mejor de diferentes números, lo
cual a su vez mejora su capacidad matemática. Johansson rechaza que el
placer deba ser el motor del aprendizaje. Al revés, el placer aparece cuando el
niño domina el método en cuestión.
Reflexiones
¿Cómo se ha llegado a la situación actual? Johansson cree que una razón es
que se ha considerado que la didáctica debía modernizarse y democratizarse,
introduciendo nuevos métodos que supuestamente iban a permitir un
aprendizaje más fácil y más igualitario. Los pedagogos que introdujeron los
métodos no tenían un entrenamiento sólido ni en las matemáticas ni en la
estadística y prefirieron evaluar sus proyectos según si los profesores y
alumnos estaban contentos y no según si había mejorado el resultado. Más
bien, se decía que el resultado buscado era que los alumnos tuvieran una
actitud positiva hacia la escuela. Además se buscaba que todos tuvieran un
resultado similar y no que avanzaran todos lo más posible. Johansson subraya
que si la escuela quiere obtener resultados debe proceder como las ciencias
exitosas.
Curiosamente había en Suecia alrededor de 1840 algo llamado una escuela
para niños pequeños (ingl. infant school). En esa escuela había una enseñanza
basada en la secuencia numérica. Llegaron a aprender mucho los niños, pero
eso mismo disgustó a algunos pedagogos que consideraban que se forzaba
demasiado el aprendizaje y que los niños debían aprender “a su propio ritmo”.
Fue tan criticada la escuela para niños pequeños que desapareció. Desde
entonces, la mantra mil veces repetida es que la enseñanza debe ser concreta
y cotidiana y basarse en las observaciones y preguntas formuladas por los
propios niños. Esta manera de ver ha sido tan dominante que ni siquiera se
denomina con un término especial. Cuando alrededor de 1970 se empieza a
hablar del constructivismo se trata de una continuación de este pensamiento.
Una manera “gramatical” de describir las diferencias entre el método
constructivista y el que propone Johansson sería hablar de los números como
adjetivos o como sustantivos. Cuando se quiere ser concreto y contar usando
los dedos, unos bloques de madera o unas ovejas dibujadas, el número se usa
como adjetivo. Lo principal de la atención se enfoca en los dedos, los bloques o
las ovejas. El contar usando los números como cifras en una secuencia es usar
los números como sustantivos. Las cifras se bastan a sí mismas y constituyen
el centro de la atención.
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La base empírica de los métodos de enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria.
Johansson subraya que la secuencia numérica y la consiguiente posibilidad de
saltar explican el camino del alumno hacia los conceptos matemáticos. El
constructivismo no sabe explicar cómo pasa el alumno de los bloques de
madera al cálculo con números elevados. La explicación de Johansson es la
siguiente. Cuando un alumno entiende los números de la secuencia sin
referencia a una situación concreta está formando conceptos. Cuando entiende
que 4+5 son 9 porque con 4+4 tiene 8 y debe añadir 1 más y así obtiene 9, ha
entendido cómo son los números y ha entendido que podría realizar el cálculo
empezando con 5+5, que son 10, y después quitar 1. De ahí, es sólo un paso
para entender que 40 + 50 se calcula del mismo modo. Johansson dice que lo
que hace el alumno es usar la reflexión y que para reflexionar hace falta
precisamente haber elaborado conceptos. Pensar es usar conceptos; es partir
de un concepto para ir a otro. Pensar es manipular conceptos mentalmente. En
la aritmética, esto significa dejar atrás los dedos, los bloques de madera y los
dibujos de ovejas y centrarse en las cifras. Así, el alumno está preparado para
el pensamiento hipotético en otras áreas y así la enseñanza de matemáticas
sirve de instrumento intelectual más allá de los límites de la propia matemática.
Para concluir, Johansson cree que el constructivismo ha sido negativo para el
aprendizaje de las matemáticas. Sus resultados dicen claramente que el
aprender a contar y a usar la secuencia numérica es lo decisivo para el éxito y
no lo concreto ni lo cotidiano ni la iniciativa del propio alumno.
Bibliografía
Johansson, Bo. Matematik i förskola och förskoleklass. Den mentala talraden
som didaktiskt verktyg. Stockholm, Kunskapsföretaget, 2013.
___. Varför är subtraktion svårt? Orsaker och förslag till åtgärder. Stockholm,
Kunskapsföretaget, 2011
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