Tratado de cálculo

1
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TRATADO DE CALCULO
DEDIC",DQ
BOGOTÁ.
JllPRBNTA
DE
11
EL alOSAICO."
1866.
BANCO DE LA ~::r:'UJLiCA
81BlIOTECA
LUIS-ANSi:L .4RJ'.i JGO
CA'PA1...~T:ON
PATENTE DE PRIVILEJIO.
El Presidente de les l'atados llllldos de ~lo.lIl.
llAC!l: ¡¡ABEa:
Que el 8eñor Alejo Po •• e MarUnez se ha preMntado
••t. Poder EJecuU,·o 8olioilando
pri~lIeJio eeeloeivo rara publioar i vender uu" obra de 8U propiedad, lllulada:
••TIl.lTADO D" CALCULO;
, ¡hablenjo
pre8lado el Juramento requerido, pongo por] ••••,,_entll8 al C8presndo señor Alejo Posse M8I11nez en p08C1liod del privllejio por el Ulrmino de
quince alIoo, cuyo der8<\bo le eoueede la lel 1,' parte l,'tratado
8.· de la Reeopnaelon
Granadina, Que asegura por cierto tiempo la propiedad de las produ<ÍélonC8 lIlerariaa l
algunll8 otru.
Dad05Jl.B~0l4,
a U de mano de 18Gll.
M. MURILLO.
[L, S.]
El Secretario
de lo Interior
¡Belllelonee
E.lerlore8,
ANTONIO I>&L ¡(IUL,
PROLOGO.
~l StfiDr ~trmlllt !tata.
Bogotá, marzo U de 186:1.
:Mui estimado señor i amigo:
Cuando .en 1858 trabajábamos ámbos como profesores en
el Colejio de Boyacá, tuve conocimiento del sistema adoptado'
por usted para la enseñanza de las cuatro principales opel'aciones de la aritmética; i desde entónees mi antigua afieion a los
números se· trocó en una especie de monomanía que me ha hecho seguir adelante i sin cansancic en el estudio de sus difereJl~
tes combinaciones. Con a~uellos conocimientos vine a Bogotá,
i ayudado por algunas obsel'vacione¡¡ de usted, por algunas qUQ
me ha comunicado nuer.;tro apreciable amigo el señor Ru})erto
G6mez, i por la pr-áctica que he adquirido en la enseñanza de la
aritmética, principalmente por este sistema, en la Academia
:Mútis i en los Colejios de S:lnto 'Tomas de Aquino, San Luis
Gonzaga, las Hijas de María i algunos otros, he llegado a persuadirme de que no hui un método mas apropósito para la enseñanza de la aritmética que el que suministran los ejercicios i
las abreviaciones del C¡noulo de memoria. Tal pcrsuasioll ba _
hecho crear en mí este pensamiento: "El estudio de las matemáticas, i aún el de las demas cieneias i artestomaria
un
gran vuelo si en-la enseñanza de la uritmética se abanuommlo
el antiguo ¡;istema i se reemplu7.ara pOI' este," l~Il efecto: por
medio de l\ues~ros procedimientos se desarrolla)! las faculta<les
intelectuales de los niiios maravil!osamelltC', i se acostuJIIln:¡n
estos a analizarlo tallo, a observar hast:1.hls mas remotas semejanzas que existen entre las cosas i, en fin, a estudiado tOllo, no
con el objeto de s3berlo de memoria, sillo con el de coq¡preu.
derlo en sí í en sus diferentes relaciones.
\
-4De este pensamiento surjió en mí la idea de escribir un
texto completo de aritmética, basado sobre los principios del
Cálculo, con el cual pudieran los profesore¡J ,en.señar aquella
ciencia por tan vcntajosísimo sistcma¡- i I!in que hubiera ya en
los Col~jios clases en que se enscfi:u·a la aritmética por el anti.
guo método; i echar de este modo por tierra la vieja rutina
con todas SIlS demostraciones i con toda su iunumerable multitud de cifr\s.
Pero he reflexionlldo luego que los proccd~mient~ dclCálculo tienen entre nosotros, lo mismo que In homeopatía, muchos adversal'¡os; los cU:lles, no pudiendo negar, en fuerza
de los hechos, sus grandes ventajas, se contentan con tratar de
desprestijiarros con sofi¡;¡mas que tocan en lo absurdo. Esta
<>posicion me hizo creer .que mi texto de aritmética no seria
l\doptado jeneralmente en todos 108 Colejios, i me he resuelto,
por lo mismo, a publicar ántes este pequeño trabajo como para
qne sirva de muestra de lo que pudiera ser mi obra completa.
Si él fuere aceptado por nuestros coprofesores granadinos, ya
110 temeré llevar a cabo mi primer prop6sito.
N o comprendo de qué puede servir, en el curso ordinario de
la vida, el saber definiciones repletas de términos técnicos, i de!1lOstraciones llenas de n~meros i de signos: bál"tale a un co·
merciante, por ejemplo, estar seguro de que por medio de cierto
procedimiento halla un resultado exacto en tal o cual operacioD;
i de que los procedimientos del CálculO' le dan este resultado
debe estar persuadido luego que la esperiencia se lo enseñe; i
UD niño que baya aprendido la aritmética
por este sistema,
adquiere aquella certidumbre desde sus primeros pasos en la
ciencia.
N o ha faltado quien me haga el argllIDento de que yo mismo
ejecuto tal vel; algunas operaciones segun el antiguo sil"tema,
a lo cual he contestado que este argumento está a favor del
Cálculo; l)or qué? p<>rque yo estoi contaminado con aquel
método; pero desde el momento en que DO Be les hable de él
a los niños, el mal quedará remediadO'.
-5:Uated notará, al examinar este tratado:
1.0 Que faltan en
~ltodas'¡as operaciones con n(lmeros denominados i muchos
casos en las demas operacioues; i 2.° <lne en muchos de los
cai,ítulos he suprimido gran parte de las definiciones i esplica.
ciones teóricas que se usan en las cla.ses. A lo primero le diré,
que siendo este trata<1o apénas \lna muestra, como ya he i~
dicado, del texto de aritmética que pienso puulicar, seria en
vuno pretende¡' encontrar en él toJo lo qne debe contener el
otro; i a lo segunJo, que precisamente este !\istema tiendc a
suprimir tales esplicacioncs. Crco que \lsted est:mi de acuerdo
con esta idea.
Pero sillembargo de estas f:llta.s, si es qne pneden ser tales
apesar de las razones aducidas, sí debo decir qlle el presente
tratado es el mas completo qne existe cntre nosotros conforme
a est-esifitema. Yo, aun despues de grandes investigl\cione~
no h~ podido eneontrar sino tres trabajos de esta claso. EL
primer~, que apénas ví rápidamente, el; un estensísil1lo artíenlo,
inserto en un almanaque ilustrado, publicado en I,óndrcs en
1844, por M. Augllst~ de ~lorgan, profesor de matemáticas en
dColcjio de la UnÍ\rel'sidad de L6ndres. Este seDor csplica el
sistema seguido por [;1, i lo propone a los profesores ingleses,
:¡,duciendo en favor de su método las mas pr,derosas razones
para que sea prefi.~rido al ordinario. El sistema de 1'1. de Mor
gan se reduce ÚniC:llllel:tea!:ls operaciones de nÚmeros enteros
i de estas reglas deduce otras para los cuadrados i cubos.
w
El segundo el>el de M.'Jorje H. Pcrkirrs, director i profasor de ~atemátieag cn la escuela normal del Estado de Nueva
York, pu blieado en 1857 con el título de "LcQcione8 de aritmét.ica elemental basadas en el nuevo sistr:ma mental i p'l'á8~
tieo &.'" Es~e tratado, aunque solamente contienc los entero~
los quebrados í algo de decimales, es bien importanse i curioso,
sobre touo por la multitud dc ejemplos i cuestiones que contiene; cllestiones i ejemplos que, cn su mayor parte, no resuelve, sino que dl.·ja iniciados para que los niños, por medio dc las
reglas ya dadas, se ejerciten cn su reso]ucioD, la. cuat en el mayor número de casos, ha de ser mental.
-6El tercero es el publicado l)or usted en " El Libro del Estudiante," en el cual he encontrado, ademas de la esplicacion
del sistema, ejercicios mui aprop6sito para el desarrollo de las
facultad~s intelectuales de los niños, l~ mismo que abreviaciones importantísimas para muchas de las operaciones de la aritmética; pero usted tampoco quiso pasar de los euteros, agregando algo !lobre los quebrados i los cuadrados.
De estos trabajos el suyo es, sin duda, el mas interesante, por
Rer el mas completo; i t6cale a usted, ademas, el honor de baber
sido el primero que en la N neva Granada haya querido hacer conocer i jeneralizar este utilísimo sistema; esto solo le daría derecho a usted, si ya antes no lo tuviera por la fina amistad que
siempre me ha dispensado, a qne yo ponga su nombre al frente
de mi pequeño trabajo, cemo el de la persona a quien dedico
el resultado de mis largos años de fatigas en este estudio..
Acepte, pues, usted esta pequeña muestra del aprecio que
le profeso, i vea en esta dedicatoria tan solo el fruto de la somilla que usted sembró.
Soi siempre su afectísimo amigo i servidor,
TRATADO DE CALCULO.
CAPITULO 1.
0
PRINCIPIOS JENERALES.
Oiencia es el conocimiento exacto de las cosas por medio
do principios ciertos i demostrables.
Arte es la coleccion de reglas paJ'a hacer una cosa bien.
Aritmética ,es la ciencia qne ensei'ia los procediJnicnto8
del cálculo, i ademas la razon, la demostracion de tales
procedimientos.
Oálculo es el arte que nos enseña a practicar las operaciones de la aritmética, sin dar la J'azon ni la demostracion
de tales procedimientos.
El Oálculo f?edesarrolla por la eomposicion i descomposicion de las cantidades, i tambien por medio de sn comparacion. Cnando se hace la composlCion do los números
se ejecuta la operacion que los aritméticos llaman suma o
adicion, i cnando so descomponen se ejecuta la resta o snstraccion: de estas operacioncs resultan la mnltiplicacion i
la. division.
,
Oantidad so llama todo lo qne es capaz de aumentar o
disminuir, i pnede ser determina.da o indeterminada. Se
llama determinada la que señala el número de unidaclcs
que la componen, como 10 pesos; indeterminada la. qne
no seflala tal número, como un poco de trigo o de agua, &.a
Unidad es la cantidad elejida para comparar con ella
todas las demas de la misma especie, como un peso, un niño.
Número es el resultado de la comparacioll de la canti-
-8dad a su unidad. El número puede dividirse en varias
clases, que son: entero, quebrado, mixto, abstracto, concreto, complejo, incomplejo, par, impar, simple i compuesto.
Número entero es la reunion de muchas unidades enteras, como 20, 40, 80..
Número quebrado es el que cspresa únicamente' partes
de una unidad, como la mitad de UIT. ~,
la. tercera parte
de una vara.
Número mixto es el que se compone de un número
entero i l!n número quebrado, como 20 pesos i medio.
Número abstracto es ell1ue no determina la especie no
que pertenece la cantidad, como 6, 4, 9.
Número concreto es el que determina la especie a que
pertenece la cantidad, como 18 varas.
NÚJmero compl4jo, o denominado, es el que consta. de
diferentes cantidades que pueden reducirse a un solo jéne1'0, como 2 quintales, 3 arrobas, 6 libras, que pueden reducirse a libras.
Número incomplqjo es el que consta de diferentes cantidades; pero que no pueden reducirse a un 6010 jénero,
como 2 pesos,. (; varas.Número pal' es el que se puede div.idir exactamente
por 2 sin que dejo resta, como 2, 4, (), 8, &.- __
Núm~ro impa't' es el qne diVidido _por 2 deja resta,
como 1, 3, 5, &."
NÚmero simple es el que consta de una. sola -cifra,
como 8, 6, &."
J.YÚmerocompuesto es el que consta de dos o mas cifras,
como 25, 18, 164-, &."
CAPITU 1,0 2.0
DE LA Nl"MERACION.
Se entiende por numeracion el arte d~ formar números,
de lcerlos i do representarlos con unas pocas figuras o palal)ras. 1-,asfiguras con que se representan los números se
llaman cifras, i son:
I
"
3
.•
:i
6
7
8
9
O
uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve, cero.
-9Para. formar los números se junta la unidad ala. nnidi\U,
i se tiene el número 2; se anade luego la unidad al 2, i sc
tiene el número; 3 ; i 8SÍ se continúa arl.adicndo siempre la.
unidad al númcro que se acaba de formal',
Aí1a'diendo una unidad al 9 se forma el diez, o una decena; se juntan las unidades de diez a las nnidades de
diez, 8e eilCnta por decenas como se contó por unidades;
así, una deGona o diez, dos decenas o veinte .. ,. llueve decenas o noventa.
l-,os núJiHjros comprendidos entre daR decenas COnSOOHti vas se I10mhran afíadicndo a la. primera de didHls decenas los nombres de los nneve primeros números, con escepcion de los cinco primeros números que siguen a la primera
decena, once, doce, trece, catorce, quince, de ahí para adelante diez i seis, diez i siete &."
AñadiendD una uñidad a no\-enta i nueve so forma una
coleccion de diez decenas qne se llama ciento, eent('na, iso
cuenta por centenas como por decenas i por unidades;
diciendo:
nna centena o ciento;
das centenas
o doscÍl;ntos &."
Para enunciar los números comprendidos entre dos centenas consecutivas, se nombran, dcspues de la primera, los
DOlO bres do los primeros noventa i nucve números;
diciendo: ciento uno, ciento dos, &." hasta novecicntos noventa i
llueve: este Último número aumentado do una unidad forma diez centenas o mil. Así Be continÚa hasta lleg-ar ri.
novecientos noventa i nueve mil, novecicnt(/s nm"enta i
1mcvc, el cual con una unidad mas, forma nJiI I'liles, o nn
millon.
Se cnenta por millones como por miles i hai unidades, decenas i centenas de roillOll.
De toda esta doctrina se signc qne diez unidades de un
(¡rden cualquicra forman una unidad de nn {n'den superior.
Este sistema de nUll1el'acion 'tiene por base diez, i por eso
se llama décuplo o decimal.
Antes de pasar a eserihil' cantidades
cs preciso que el
maestro ineulquc a los nií10s la idea de que las (:ifms numóricas no deben considemrse pOI' su fignra sino pOI' el conjunto de unidades que representan.
Así, el 5, por e.iemplo,
no es 5 porque se haga de este o del otro modo, sino porque
es In. rennion de cinco uni'dades, es decir, de cinco cosas,
cnalesqniem
qne ellas sean; i así deherá hacer qne 10!~
alnmnos represcnten por algnn tiempo los nÚmeros en el
tablcro por medio de pnntos o rayas, ántcs de llacérselo::!
represental' por medio de cifras.
-10-
Para escribir los números qnc comprenden muchos órdenes de unida.des, se conviene en qne toda. cifra colocada a
la izquierda de otra, represente unidades diez veces mayores, i en que la pdmera cifra de la derecha represente un~dades Boocillns. Segun esto el número 4,865 espresa cuatro
unidades de mil, ocho centenas, seis decenas i ci~co unidades simples ..
Por esto se conoce que cada cifra tiene un valor propio
que depende dell1úmero de unidades que lo forman, i nn
valor relativo qtlC depende del lugar que' ocnpa. Así en
500, el valor propio de la cifra. 5 es cinco, i qnini~ntos Sil
valor relativo.
" Si el número qne va a escribirse no contiene todos los
órdenes consecutivos de unidades, contando desde el órden
mas alto, se reemplaza el órden que falta por la cifl'a cero
que no tiene valor ningnno, pero que sirve pal'a hacer
ocupar a las cifras que están a su izquiCl'da el lugar que
les pertenece: de ma!leraque cada clase de unidades, millares i millones, &."~ha de quedar representada siempre
por tres cifras, a saber: unidad, decena i centena. "
Por eso el número seis millones, ochenta i cuatro, quo no
contiene centenas, decenas ni unidades de mil, ni centenas
simples, se escribirá así: 6,000,084; si no se hubieran puesto los cuatro ceros, se tendria. 684; el seis hubiera. representado centenas sencillas en lugar de unidades de millon ;
pero el ochenta i cuatro que se halla a la derecha de los
ceros, "omitidos estos no habria sufrido cambio alguno.
Para leer un número escrito con cifras, es preciso:
1.0 Dividir el guarismo en por'liones de a tres cifras, comenzando por la derecha; aunque la última. porcion de la.
izquierda contenga ménos de tres números. La primera
porcion a la derecha repl'esenta las unidades de primera
clase, la siguiente las de segunda, i así las demas. 2.· Leer,
comenzando pOI' la izquim'da, cada. porcion como si estuviera sola, cuiuando de d¡u' a cada pOl'cion que se iee el
nombre de la dase ~ que pertenece. Segun esto, la cantidad 80-1.930,072 se le"el'á: ochocientos cuatro millones, novecientos treinta mil, setenta i uos."
"
"Para escribil' un número que otro dicte, es preciso representar sucesivamente cada clase, comenzando por las unidades mas altas, por medio' de una porcion qne debe ser de
tres cifras para todas las clases, escepto para la mas elevada que pucJe no conteTlCl"sino uno o dos órdenes de llDi<.lades.
-11-
El maestro puede hacer uso del siguiente cuadro como
del mejor Qusiliar para. ensefiar a escribir las cantidades.
100, 200, 300, 400, 500, 600, ~OO, 800, 900 3."' lugar o centenas.
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St:~
40,
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90 2.0 lugar o decenas.
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7,
8,
9 1." lugar o unidades.
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100, 200, 300, 400, 500, 600, ~OO, 800, 900 3." lugar o centenas.
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10,
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1,
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90 2.· lugar o decenas,
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9 1." lugaro·unidados.¡
100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900 3," lugar o centenas.
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100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900 3." lugar o cent{lpas.l
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8,
9 1." lugar o unidades.
100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900 3." lugar o centenas.
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1,
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3,
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4,
50,
5,
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~O,
80,
90 2.· lugar o decenas'l
6,
'T,
8,
9 1." lugar o unidades.
100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900 3." lugllr o cen tenas.l
10,
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40,
50,
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5,
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70,
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80,
90 2.° lugar o deceuas'l
8,
D 1." lugar o unidades.,
'<'='
'0
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0'0
t'l""
1('"
I PSg
:r.
~
j2..,
.,,:-l
'"El
~o
'
t:1
o
Observatlones.
F,í.cilmente se comprende que íráulos números a la primera columna. o lu¡2;arde las unidades, cuando so enuncien del mismo mouo que est/in en la columna de las unidades, a saber: uno, do~, tres, &.j. Irán lila segunda columna
o lugar do las deeenlls, cuando se enuncien de es~c modo: diez, veinte, treinta, &.' Igualmente irán u la tercera columna o hlgar de las centenas, CU3IJUO so
enuncien así: ciento, dóscientOll, trescientos, &.' Como se vé en el cuadre>, en
cada período ha de haber trel! cifras,.por conSiguiente debo ponerso cero en
aquellos lugares en que no Be enuncie nada; i no se poudrá cero ningur.Q
eunudo OD cada período se den las tres cifras necesarias.
-12CAPITULO
3.°
~
.
EJERCICIOS PREPARATORIOS PARA LA SUMA l· LA J1:tSTA.
1.° Hágase componer a cada alumr\ú con el número 1
clicie~do con prontitud 1, 2,3,4 &.a hasta llegar a 100, luego el mismo ejcrcicio con el 2, dieiendo: 2,4, 6, 8,10 &. a
despues-eon el número 3, así: 3,. 6, .9, 12. 15 &." h.asta
]02; luego con el 4 i así con cada uno de 106 nÚI~lcros díjitos; pero no basta una vez, ni dos, sino cuanto tiempo Sel\
necesario para qne cada alumno componga cualqnier númem con la :misma exactitnd, celeridad i soltura, que si
f~1Crael m,lO, ~enie.ndo por punto de ~I:ror cua~quiera detenClOno vac¡}acl<.n, 1 cnalqUlcra. rcpetlClOn qne II1terrliili}1a la
serie de composicion que se haya emprendido, debiendo en
cualqlliCl'a de estos casos, venir inmediatamente
la correccion de cualquier otro alumno; pues todos deben tener en
la clase la facultad de corr~jir sin espenll' insinllRcion alguna; i esto no solo en el presente ejel;cicio sino en todos los
demas; con 10 cllal se consignc qnc todos tengan fija la.
atcncion a lo que se diga (,n la clase, evitando las distracciones tan frecuentes en los niños.
2, o Cuando el maestro esté convencido de que ya todos
los alumnos componen perfectamente
todos los, núme¡'os
dí,iítos, dcbCl'ú' empeZl\I' la de~(,(lmp~sjcíon d.e los mismos
numeros, cmpleando doble ellJ<lado 1 doble tlCmpo po)' ser
esta operaciou mas dclicada i sujeta a errores mas frecucntes. llaga, pues, qne caela alnmno diga, primero despacio,
poro eonllllifonnidad
de tiempo en la série: 100, 99, 98,
!J7, 96, 9;\ &.~hasta llegar a 1. Seguirá dC8pUe8 POI' el
llÚmero 2, diciendo:
100, 98, 96, 94, 92, 90, &.& hasta 2,
Lnego con el 3: 100, 97, 94:, 91, &,"' hasta 1. 1 así sucesi\'Itrllente se hará la deseomposicion de todos los númcros
díjitos, comonzando siempre a rebl\iar desde 100.
3.• Hágase ahora la composicion de dos nÚmeros simples pero desiguales, i fijándose solamúnte en las unidades
de la suma, de este modo:
El maestro pregunta:
Cada niño responde:
Si4L
debiondo
6 i 7?
li6'?
Si9?
correjil' inmcdiatamente
2
3
7
7
uno
do los
a.lumnos de'
-13mas ba.i~ pncsto en la cla8~, ~~ando el pregunta.do vacile
o se eqmvoque ..
4.0 Esto mismo se hace en la descomposicion, para hallar las unidades de la diferencia, considerando la primera
cifra como las unidades de un minuenrlo cualquiera, i la
segunda como las del 8ustraendo;
teniendo cuidado de
agre~ar diez a la primera, cnando· sea. mayor que la segunda. ..
8 inénos 61
2
7
5
3L
4
-
8?
· 7
3 -
41
9
Estos dos ejercicios pueden hacerse con númm:?s compnestos, pues el objeto de ellos es solamente el de fiJarse en
las unidades de la suma, o de la diferencia;
ejemplos:
o rcstando
38 mas 24-? .•.•.........
136 mas 485? ......•.....
247 mas 343 ? .•••..••••••
2
1
O
78 ménos 15 L
49 ménos 17 ? ••••••••••
781 méno8 436 ~....•.....•
3
2
5
:
5.° Dicte el maestro una cantidad de dos, tres i mss
cifras sncesivamente para qnc cada niño dé la suma entera.
de las cifras que la. componen;
v. g:
48
86
135
876
L
L
1
L
12
14
9
21
6.° Pónganse dos o mas nífios con la espalda. vuelta háoía el tablero, i coloqne el maestro en este, i desordenadamente, varios números simples: a. la voz del maestro vnelven la. ca.ra i empiezan la snma, sintiéndose cada uno con
el deseo de sobrepujar a 108 otros en celeridad i exactitud.
Cuando los ninos ya estén diestros en hallar la. suma con
números díjitos, debe hacerse este ejercicio con números
compuestos.
\
7.° Hágase el mismo ejercicio anterior, pero restando,
para lo cual 8e colocan sola.mente dos números; primero el
uno debajo del otro, i luego desordenadamente.
-14-
CAPITULO 4.°
CONTlNU AN LOS !rISMOS EJERCICI08.
R.O Hágase en una 6010. serie denúmeroB el ejercicio de
composicion i descomposicioll, primero colocálldolos en el
tablero con los signos respectivos, i luego de memoria;
haciendo notar ántes a los uijjos que los rosultados son positi\'os, cuando es mayor el valor de los números a los cuales precede el signo + (mas), i negativos cuando es mayor
el valor de los números precedidos por el signo - (méllos)
que por lo mismo deben juntar primero todos 106 que tengan un signo, i luego los qne tengan otro; i la. diferencia
cntre los dos es el resultado, que será positivo o negativo
segnn el caso.
~empfu:
6+8-5+4-7+6+3-9=6
-5+7+8-4+1-6+3-8=-4
6+5-3-8-6+4+2
=0
9.° Ejercítese a los niños en hallar rápidamente el duplo'
de cualquiera cantiJad, primcro de números simples i desvucs ~ números compuestos empezando por la izquierda,
para lo cual dése1es la siguiente regla: se duplica cada cifra, pero ánte6 de decir o de escribir el resultado se yé si
la cifra que le sigue a la derecha pasa de 4, en cuyo caso
hai que agregar una unidad al duplo de la que se cstá duplicando. Ejemplo:
2.465,119
El duplo cs 4.l)30,358
Para halladQ dijimos: el duplo de 2 es 4 que lo escri
uo porqne la cifra siguiente no pasa de 4; el de 4: N S
J)C1'O como la cifra siguiente pasa de 4, pongo 9; el duplo
de 6 I'omatacll 2, pero como la cifra siguiente es 5, pongo
S; el de 5 a~aba en O, que lo pongo por ser 1 la cifra siguiente; el de 1 es 2, pero como la cifra siguiente es 7,
pongo 3 : el de 7 aeaba en 4, pcro la cifra. sig~icntc es 9,
pongo 5; i finalmente el de 9 acaba en 8, que lo escribo.
Contillúese con cmpeíJo cste ejercicio por medio de 1'1'0gresioncs duplas, comcnzando desde cualquier número; i
suhiendo al primer puesto el alumno que diga de memoria
ma;yor 'número dc duplos. Ejemplos:
1-2-4-8-16-32-64-128-256-512-1,024-2,048 &."
7-14-28-56-112-224-44-8-896-1,792-3,584
&.a.
-1510. Se 111lmacomplemento aritmétíco de una cantidad
lo que le falta para completar una unidad de especie superior; de modo que si el número es simple su complemento
es lo que le falta para llegar a. 10, si tiene decenas lo que
le falta para llegar a. 100, si tiene centenas lo que le falta
para llegar a 1,000, i así sucesivamente. Se halla por escrito, o de memoria, el complemento de una cantidad, c.omenzando a completar por la izquierda, cada cifra hasta 9
i la última significativa hasta 10. Ejemplo:
0
630,480
Su complemento 369,520, que C6 precisamente lo que le
falta para. completar una unidad de especie suveríor, es decir, un milIon.
Adiéstrese con particular csmero a los alumnos en este
ejercicio, hasta lograr, si es posible, que en cada cantidad
vean imajinativamente dos, la que está cecrita i el complemento; pues en este cónocimiento estriban muchas de las
abreviaciones que daremos mas adelante.
CAPITULO
5.°
SU~{A.1 RESTA. DE ND1EROS ENTEROS.
Los ejercicios anteriores hechos con la suficiente detencion, ponen a los al.nmnos en estado de emprender con
provecho las principales operaciones de la aritmética, que
son: sumar, restar, multiplicar iJ)artir .
.
Por medio de la composicion e las cantidades se reune
en una Bolael 'Valor de muchas, i esto es lo que se llama
suma o adiciono
.
Para.hacer la suma de los números enteros se colocan
nnos debajo de otros, de manera que las unidades de cada
clase se correspondan: despues, empezando por la derecha,
se suma la primera columna, si esta suma no contiene decenas, se coloca íntegramente debajo de la primera columna, pero si contiene, se ponen úniCamente las 11l1idudesi se
llevan la decena o decenas para juntadas con la columna
siguiente; en la cual i en las restantes se hRee lo mismo
-16que en la 'Primera. Los números que a~ s.um~~ Si} lll,UllaD.
6U~do8 o_partidas, i lo que resulta totál. Ejémplo:
S,439
2,600
3-,418
2;523
16,985
Es preciso acostumbrarse a no mentar los números que
se van juntando; así en este ejemplo ac dirá, en la primera columna: 14-, 22, 25; en cnya 8uma. hai d08 decpnas
i cinco unidades: estas se colocan debajo, i aquellas aQ
llevan a la segunda columna, en la cual se dice: (), 6., 8;
. en cnya suma, como &;6 vé, no hai sino decenll.s,.las cuales
se colocan debajo, sin que haya que llevar a la siguiente.
Tercera columna, 10, 14, 19; en cuya flum~ hai una unidll4
de mil i nueve eentenas simplefl, coloílo estAs i llevo aquQlla, i digo en la cuarta columna: 9, 11, 14, 16, liIijm~que
coloco íntegra por no haber mas columnas.
Para cerciorarse de la exactitud con que está hecha una
8uma, basta vol ver a hacerla j untando las cifras de cada.
columna en el órden inverso, es decir, de abajo para arriba; si salen los mismos resultados la operacion está bien
hecha.
Por medio de la descomposicion de los números se halla la diferencia que hai entre dos cantidades, i esto es lo
que se llama resta o s\lstraccion.
Para restar los números enteros se escribe la cantidad
mayor, que se llama 1Uinuen~o, i dcbajó la menor, su&traendo; i 8e empieza a restar por la. izquierda, cada cura
del sustraendo de la que le corresponde en el miiluendo,
cuidando de rebajar una unidad a uUa diferencia parcial
cuando la cifra inmediata de llloderecha en el minucndo
sea menor que la del sustl'aendo, aunque hai veces que
debe llevarse la vista a un lugar mas retirado cuando las
cifras inmediatas del minuendo i eustracndo son iguales.
Lo que resulta de la resta. se llama diferencia o residuo.
Ejemplos:
1.0 8,436 minuendo.
2.° 58,004: minucndo,
2,358 sustraen do.
29,006 sustraendo.
6,078_ diferencia.
28,998 diferencia.
- 17 •..•.
En el ejemplo 1.0 digo: 8-2==6; 4-3=1, pero como
la cifra siguiente 3 es menor que In.que le corresponde,
pongo O; 3-5=8, pero como la cifra siguiente del mi·
nuendo eg menor que la del sustraendo, pongo 7; i últi·
mamente 6~8--8 qne pongo en su lugar.
En el ejemplo 2.° digo. 5-2=3, peto como la cifra si·
guiente es menor en el minuendo que en el sustraen do,
pongo 2) 8-9~9, pero observo que las dos cifras siguicn.
tes son iguales en el minucndo i sustracndo, i la que siguo
despues de ellas menor la de arriba. que la de abaJo, luego
en vez de 9 debo poner 8; haciendo igual reflcccion en
las dos siguientes, conozco que debo poner en ámbas 9; i
. finalmente 4-6,=8 que lo escribo.
Despues de hacer algunos ejemplos escribiendo los re·
sultados, podrán 108 alumnos dar estos sin necesidad de
escribirloB.
Una resta está bien hecha si snmando la diferencia. con
el sUBtraendo, resulta el minuendo, cuya suma se hace de
abajo para arriba, i deben encontrarso los totales parcialcs
en cada cifra dcl min Hondo.
CAPITULO' 6.°
E..-ERCICIOS 80BRE
LA
snu
1 LA. RESTA.
1.° Cuando haya qn~ Bumar una Bcriede duplos basta,
paTa hallar el total, duplicar la última cantidad, i de este
duplo quitar la primera. Ejemplo;
24:
48
96
19:1
38!
768-24=74±
Digo: el duplo
'144:que es la snma.
de 884 es 76S-2± (primera cantidad)
**
-18-
2. Recuérdese que una cantidad cualquiera con sn complemento hace una unidad de especie superior, de manera
que en nna serie de cantidades, cada una con su respectivo
complemento, habrá. tantas unidades superiores como
pares de cantidades haya; i que, por lo mismo, la suma
será el número de pares de cantidades, con tantos ceros
a la derecha como cifras tengan las mismas cantidades.
Ejemplo:
0
6,438
3,562
7,421
2,579
5,431
4,569
30,000
Se vc que la 2.· cantidad es complemento de la 1,· la
·1." de la 3," la 6." de la 5," hai, pues, tres parc8 de cantidades, i cada uno de ellos hace diez mil, luego la. suma cs
30,000.
3.° Cuando alguna de las cantidades no tenga Sll complemento, i las otra8 sí, el número de pares de cantidades
que haya con complemento, se le antepone a la que no tiene, i esa es la snma. Ejemplo:
72,874
54,136
92,408
27,126
45,864
292,408
En este ejemplo veo que la 4." es complemento de la 1,·
la 5." de la 2.· i que la de enmedio no tiene complemento;
hai, pues, dos pares de cantidades con complemento; este
número 2 se lo antepongo a la que no tiene, i digo que la
suma es 292,408.
4.° Dada una cantidad, qne hagan dos alumnos distintas sumas, i que la snma de las dos sea igual a la cantidad
primitiva. Ejemplo:
-19-
Cantidad pedido.
4,862
1."" alumno
2.° alumno
431
674
845
789
564
431
326
155
211
436
3,303
+
1,559 = 4,862 cantidad
pedida.
Para hRcer esta opemcion atiéndase a las siguientes reglas: 1.a Cada alumno debe poner tantas cantidades como
unidades tenga la cifra saperior de la cantidad pedida i una.
mas; 2.a Las cantidades qne pongan los alumnos deben
tener unn. cifrn. ménos de las que tenga toda la cantidad
pedida; 3.a Divídase esta cantidad, con escepcion de la
primera cifra, en dos partes, i cada alumno ponga en su lugar una de estas partes; 4.a Escriba el primer alumno debajo de 11J. ca.ntidad quc ya tiene, el número de cantidades
que le falte, segnn la 1.a regla; miéntrns tanto el segundo
alumno irá ponicndo debnjo de la cantidad <¡acya tiene, el
comp,lemento de las cantidades que "aya poniendo su compañero; 5.a Sume cada cual su colnmna, junten esas dos
snmas, i tendrán la cantidad que se desea. Analí~ese el
ejemplo que queda hecho arriba, i se vcrán observadas.en
él todas estas reglas.
5.0 Hacer dos alumnos cada llIlO una suma, i dar cada
cual el resultado de Sil contrario.
Para esto es preciso que el segundo alumno escriba los
complementos de las cantidades que escriba el primero;
que eada 1lI1O haga su suma, i esta suma la reste del total
que obtendria all\nmar sus eantidaucs con los complementos de ellas. Ejemplo:
I>l'imer alumno
6,584
7,398
1,4S1
Segundo alumno.
3,416
2,602
8.,519
15,463
30,000
14,537
Suma del
segundo .... 14,537
Suma del
primero .... 15,463
30,000
-206. La resta puede hacerse sumando siempre qne se
tenga cuidado de poMr debajo del minuendo no el SURtraen do,. sino el complemento de este; i luego snmar i suprimir la unidad superior. Ejemplo.
0
Sumando.
Restando.
84,125 minuendo.
32,864 sustraen do.
84,125 minuendo.
67,136 complemto. del sustrdo.
51 261 diferenci~.=< 51 261 { SUl?a, quitad~ la
,
,
umdad superlor.
7.0 Cuando el sustraendo sea complemento del minuendo, basta duplicar este i rebajar la unidad superior.
Ejemplo:
6,184 minuendo.
3,816 sustraendo.
6,184
2,368 duplo del minuendo
quitada la unidad.
2,368 diferencia.
Otro ejemplo:
8,907 -1,093
= 7,814
duplo del minuendo
quitada. la unidad superior.
CAPITULO
7.
0
:MULTIPLIC.ACIOX.
La multiplicacion es una. operacion por la cual se toma
nn número las veces que indique otro; es decir, que viene
a.ser otro método de composicion, pues si compongo el 6,
por ejemplo, 3 veces, tenaré 6 + 6 + 6=18; i si digo 6 multiplicado por 3, será tambien 18 (6x3=18).
•
(No siendo nuestro objeto escribir un tratado de Aritmética, nos limitamos a las reglas i ejercicios que puedan
servir para. abreviar la pl'áctica de las operaciones).
-,- 21 -
J.>iclllos alumnos es la
Lo pl'inicl'o que deben aprender
siguiente tabla:
1Xl=1
1 2
2
1 :~ 3
1 4
4[)
[)
1
1 6
6
1 7
7
1 8
8
1 9
9
1 10 10
----
2 X 1 = 2
2
4
'"
')
2
'>
v
2
4
5-
2
2
2
6
8
2
8
2
{)
10
12
14
16
18
2
10
20
6
7
---3Xl
3
'>-
D
3
3
3
3
3
= 3
2
6
3
9
4
12
5
15
G
18
7
21
S
24
3
9
3 10
4X1=4
4 2
4
3
4
4
45
1Xl
8
G
4
4
7
4
4
8
9
4
10
.
----
12
16
20
2428
39
'"
36
40
[)X 1 = 5
5 2
10
¡¡
15
3
{)
4
20
5
5 25
()
5
30
5
7 35
1)
8 40
"
9
45
5
10
50
---6Xl=G
6
2
6 3
G
4
G
6
G
6
1)
6
7
8
27
6
9
30
6
10
12
18
24
30
3G
42
48
54
(lO
C)
7
'{
"
G
7
'{
7
42
49
"
"7
S
56
9
63
10
70
---S xl
\
[)
= 1
2
14
" 21
4
28
5 35
-----
= 8
2
16
3
24
8
S
8
4
32
S
5
40
8
6
48
8
7
56
8
S
64
9
8
8 10
72
----
10 X 1 = 10
10
2
20
10 3
30
10 4 40
10 5
50
10 6
60
10 7
70
10 8
80
10 9
90
10 10 100
SO
9 X 1 = 9
9
2
18
9
3
27
9 4
36
;:;
45
9
\)
G
M
9
7
63
9
9
8
9
72
81
9
10
00
11Xl=l1
22
2
33
3
11 4r
4-1
11
11
11 5
55
11 6
66
11 '7
77
11 8
88
11 9
99
11 10 110
-----
12 X 1 = 12
12 2
24
12 3
3G
12 4
48
12 5
60
12 6
72
,...
12
1
84
12
8
96
12 9 108
12 10 120 I
-22-
Debe el maestro adestrar a losniíios no solo en qtte den
con exactitud i rapidez los productos de dos números, sino
tambien en que den los factores, dado nn total. Ejemplo:
48 L
72 ? •.•••..•
56 ? .....
"
6 i 8
S i 9
1 i 8
Luego qne sepan bien la tabla los niños, cjereíteselcs
en las siguientes abreviaciones,
primero por escrito, i luego de melllol'ia.
l." Pal':l. multiplicar por 5 se agrega un cero.i se toma
la mitad. Ejemplo:
64><5=(640:
2)=320.
2." Por 15, se agrega un cero al multiplicando,
se toma
la mitad, i se suman estas dos cantidades. Ejemplo:
48 x 15=(480+240)=720
3."
rOl'
225, se multiplica
dos veces por 15. Ejemplo:
36 x 225=(3GO+180)=(540 x lS)=5,400+2,700=~,100
4." Por 75, se toma la mitad del multiplicando,
i la.
mitad de esta, 6e suman estas d03 cantidades i a la suma.
se le agregan dos cer08. Ejemplo:
32 x 75=16+8=24
O bien,;;e
con dos oeros=2,400
divide por 4, scmultiplica
dos ceros. Ejemplo:
32x75=(32:
por 3ise
agregan
'
4)=8x3=24
con dos ceros =2,400
5." Por 105, se toma la, mitad empezando por la izquierda, esa mitad se col oea avanzando un lugar hácia la derecha, 60 6uma i se agrega nn cero. Ejemplo:
486 x l05
486
243
51,030
Digo: la mitad de 4, 2, debajo del 8; de 8, 4, debajo
del 6; de 6, 3, afuera, 6umo i agrego un Cel·O.
,
-236.&Por 101 un número de dos cifras, se pone dos veces
el multiplicando. Ejemplo:
34 x 101=3,434
7." Por 11, si es un número de dos cifras, se suman
estas i la suma se coloca cilla mitad; si la suma de las dos
cifras pasa de diez, se pone en medio la unidad, i la decena se junta con las decenas del multiplicando. Ejemplos:
1.o 45 x 11-495
2.o 86x 11=946
En el primer ejemplo digo: 4+5=9, qne pongo en
medio.
En el segundo ejemplo digo: 8+6=14, pongo en medio el 4 i el 1 lo.i unto eon el 8.
8.0. Si el número que se ha de mu1tipli~ar por 11 tiene
mas de dos cifras, se coloca la primera cifra de la derecha
debajo de sí misma, despues se suma la misma primera cifra con la segunda, luego la segunda con la tercera, &."
cuidando de juntar con la cifra siguiente la decena, si ha
resultado alguna, de la suma anterior. Ejemplo:
2,489 x 11=27,379
27,379
Diré: 9 debajo del 9; 9 + 8=17, pongo el 7 i llevo 1 ;
1+8+4=13, pongo el3 i llevo 1; 1+4+2=7, que lo pongo, i finalmente el 2.
9.a POI' 111, 1,111, 11,111 &.a se pone sola la primera
cifra a la derecha, despues la !:'umade esta con la segunda,
1uego estas dos con la tercera, hasta tomar tantas eilra¡:¡en
cada surn.a como unos tenga el multiplicado!": en llegando
n la última cifra de la izquierda se va rebajando en cada.
suma una cifra, hasta que quede la última de la izquierda
que se coloca, sola, o con las decenas 1ue vengan de la
8u~a anterior. Ejemplo:
48,679x 1,111=54.082,369
, 51.082,369
Digo así: 9 que coloco debajo del 9; 9 + 7 = 16, pongo
el 6 i llevo 1; 1+ 9+ 7 + 6=23, pongo el 3 i llevo 2;
2+9+7 +6+8=32, pongo 2 i llevo 3; 3+7 +6+8 +4=28,
pongo 8 i llevo 2; 2+6+8+4=2u, pongo O i llevo 2;
2+8+4=14, pongo 4 i llevo 1, i últimamente 1+4=5.
-2t-
10." Poi' 22, 222, 2,222, 33, 333, 3,333, 44,444, 4,444;
i en joneral por cualquier núinero compuesto de cifras
iguales, se multiplica primero por 11]) número formado de
tantos, unos, como oifras iguales tiene el multiplieador,' i
ese produoto se mult¡'pliea por 2, 3,4, &.'" Ejemplo:
5G8)(44=5G8 x 11 x 4=24,992
Oonforme a la regla multiplico 568 por 11, sale 6,248,
i esto lo multiplico por 4.
11.~Ollando el nÚmero esté formado por nueves, adomas de esta regla, pueden aplicarse las siguientes, quo son
mas sencillas.
Primera: si hai igual número de eifl'l\s en el multiplicando i multip1icador, so rebaja a aquel una unidad i se le
:pone a la derecha el complemento de la cantidad l)rimiti.
n. Ejemplo:
845x 9lf9=844,155
Es dooil", le rebajo al multiplicando una UJlidad, i pongo
844, i lo agrego a la derccha 155, que es el complemento
<le 845.
Segnnda: si hai mas nueves en el multiplicador qne
cifras en 01 multiplicando se hace lo mismo, pel'o teniend()
cuidado de poner entl'e el multiplicando i su (.'Omplemento
los nueves que haya de mas. Ejemplo:
683 x 90,99!J=GS.2D9,317
Puse, pnCB, el multiplicando rebajado de UDS unidad,
despucs dos mlCVcs.,por tener cinco el multiplicador, i solo
tres cifras el multiplicando, i por último el complemento
del mismo multiplicando.
Tercera: si hai ménos nuoves en el multiplieador que
eifms en el multiplic-ando, se agregan a este tantos ceros
como nueves tenga el multipHcadol', i do-esto se quita. el
multiplicando primitivo. Ejemplo:
SG4 x 09=86,400-864=85,536
12." Para multiplicar dos números que tengan iguales
decenas o iguales unidades, se hará lo siguiente: 1.° se mtl!~
tiplican las unidades; 2.° se i>umau los números. dcsigual~8
-25i esta snmB se ~ultip1ica por uno de los dos números igua-
le&; i 3.° se multiplican las decenas, teniendo cuidado de
ngregar en cada producto las decenas quc hayan resnltado
del anterior. Ejemplos:
1. o 24 x 28= G72
2. o 3:1:x 54=1 ,83G
En el primer ejemplo dig-o: 4 x 8=B2, pongo el 2 i
llevo 3; 4+8=12 x 2=24+3=27,
pongo 7 i llevo 2;
2 x 2=4+2=(;.
En el segundo ejemplo: 4 x 4=16, pongo (j i 11e\'o 1;
5+3=8 x4=:J2+1=33,pongo;) i 110\'0 3; 3 x 5=15+3=1~.
13." Paro. multiplicl1.r dos eantiuaucs que tengan ignal
l1úmo!'o de cifras en el multiplicando i en el multiplicador,
obsérvese la siguiente rcgla: súmense las uos cantidades,
rchájese de eSlLsuma la unidad superior, i a la derecha de
lo quc queda póngase el prodncto de los dos complementos; es decir del multiplicando i multiplicado!'. Ejelllplo;
76xV2=6,992
Sumados 7G i 92 dan 168, al clla.l1c quito e~ 1: lnego
multiplico 2:1:, complemento del multiplicando, por 8, com))lemcnto Jcllllultiplíeado!', i sale 192; pero como el producto no Plledo tener Illas de cuatro cifms, por tencr dos el
lIlultiplicando i dos el mnltiplicl1.dol',tengo que juntar el1
de este último producto con el S del I)roductú antcrior.
Otro ejemplo:
780 X 99-1:
\IV!
Complcmento del nm1tiplicando
Id.
uolmultiplieador
211
l)
1,26G
'183
1,2()(l
784,2Gu
14:. Podemos ¡;ervirnos de la mu1tiplicacioll para hallar
la suma de una serie de dnplos sin necesidad de sacar estos,
pl\l'a lo cllal Be multiplica la cantidad dada por la suma de
ulla serie igual de dllplos comenzando c1e¡¡dc 1. Así, si qneremos avcriguar cuáuto 6UmUl'll el númcro 146 con tl'OS
A
-26-
(luplos, es decir cnatro cantidades~dirémos: 1 + 2+4+8=15;
i multiplicando a 146 por 15 tendrém9s la suma pedida.
146x15
1,460
'i30
Compl'obacion:
2,190
Duplo de la Última
1," Cantidad
146 '
292
584
1,168
2,336
146
2,190
CAPITULO
S.o
DIYISION.
Sirve ladivision para averiguar cuántas yeces lll] númcro contiene a otro.
(1\os limitamos, por la razon cspuesta al tratar de la
mllltiplicacion, a dar algunas reglas para abreviar esta
operacion ),
Ejercítese a los nií10s en sacar la mitad, tercera, cuarta,
quinta, &.a partes de un nÚmero, por supuesto sin escr'ibir'
el divisor i hacielildo mentálmente las multiplieaciones i
restas. l>uede el maestl'O dictar una cantidad para divioir'la sllcesintmente por cada uno de los números díjitos.
Ejemplo:
,1.354,560
Di vision por 2 2.177,280
,.
por 3 725,7GO
"
por 4: 181,44-0
"
por;)
36,288
"
"
"
"
por G
por 7
por 8
por 9
6,048
864
lOS
12
Téngase presente qne:
Una cantidad es divisible por 2, cuando termina en
númcro par, v. g. 28.
Una cantidad es divisible exactamente por 3, cllando
sumados todos los guarismos que la componen, como unidades simplcs, dan 3 o un múltiplo de 3, como 846, por(lile 8+4+6=18,
prod neto de {;x 3.
Es por 4, c.l1andodecenas i unidades fOl'man un múlti/
-27}>10de 4, como 7,528: se ve que 28 es el producto de 7 x 4 •
. Es por 5, cuando termina. por 5, como 645.
Es por 6, cuando es al mismo tiempo por 2 i por 3, como
468, que Xs p~r 2 porque acaba en par, i por o porque la
suma de sus cifras es 18.
Es por S: 1.° cuando siendo las centenas pares, las
unidades i las decenas son un múltiplo de H, como 2G4; i
2.° cnando siendl) las centenas impares, decenas i unidades
divididas por 8, dejan un residuo de 4, como 12S.
Es por 9, cuando sumadas las dfras qne la componcn,
dan g o múltiplo de V, COIllOR,V73.
Es pOI' lO, cuando termina en O, como 2!0.
Es por 11, cuando b S\llllli de los gnarismos (pe cst:in
en los lugares imparcs, empezando por la del"(~cha, es decir
el primero, el teroel'o, el quinto, &,~ es igual a la de los que
están en los lugares pares, quc s(,n el segnndo, el cuarto,
el sesto, &,a C0l110 2,871. 2+7-~~0, S+l=U.
Es por 12, cuando es al mismo tiempo por 3 i por 4,
como 864.
Es por 15, cuando es al mismo tiempo por 3 i por 5,
como 645.
Es por 18, cnando sea al mismo tiempo por 2 i por 9,
como 6,714.
Es por 20, cuando acaba en O, i la última cifra significativa sea par, como 520.
rara dividir abl'eviadamentc
por 5, se duplica i 8e separa una cifra a la derecha, como decimal:
ejemplo:
24S
cociente 40,6
rOl' 15 se separa nna cifra como decimal, i a lo que rcsulta, se le (luita la tercera parte: ejemplo:
vio:
15=57,6
lH,2
cociente
38,4
Por 11 se empieza por la izquierda colocando la primera
cifra dcba;jo de la segunda; la diferencia de estas dos debajo de la. tercera; la difcreneia de estas últimas debajo de
la cuarta, i así sucesi vamcnte hasta lIc~al' a la Última de la
derecha, cuya diferencia eOIl la. que se !la puesto deulljo es
-28-
el numerador
del quebrado
resíduo, el cualllevs
por deno-
minador el divisor 11; pero téngase presente que debe
l'eoajarse una unidad a la primera cifl'a de la jzquierda,
siempre que sea maj'or que la q1Je le Biga a la derecha, i a
esta considerada con diez ma:>. Ejemplos:
1.0
Cociente
2.0
2,863: 11
Cociente 260+i'T
3,589: 11
326+,,;.
3.°
Cociente
4,584 : 11
416+T8y
CAPITULO
9.°
.lILGO ::IlAS SOBRE LA. Mt:L'l'IPLICACION
1 DIYIElON.
Cuestiones.
:Mui sal)ido es que para multiplicar por 10, por 100 o
por 1,000 oasta agregar uno, dos o tres ccros. De esta rcgla se deduce la siguiente:
Pura multiplical' por los submultÍplices o partes aHcuo-
las de 10, 100 o 1,000 basta agregar uno, dos o tres ceros,
segun el caso, i tamal' la parte que indica 01 snbmultípliee.
Los submultíplicc3
de aquellos
números
son los si-
guientes:
10 : 2=5
10: 3=3t
10 . 4=2!
10 ; 5=2"10: ú=l¡
10' '7=h
10; 8=11
10 : 9=lf
100: 2=50
100 : i.l=33t
100 : 4=25
100: 5=20
100 : 6=16%
100: 7=14 .•.
100 : 8=12i
,100 : 9=11~
1,000: 2=500
1,000 : 3=333-!
1,000.4=250
1,000 : 5=200
1,000 ; G=166i
1,000: 7=142f
1,000 : 8=125
1,000 : 9=111~
Así, pues, si quiero saber cuánto importan 48 varas ue
lénero a $ 2 t, le agrego a ,18 un O i divido por 4, que son
las vcces que 2 i f'stá ('ontcnido en 10, i saldrán 120 pesos.
De la miRma manera,
si quiero
comprar
64 quintales
de pólvol'U a $ 12 t, le agrego a 64 dos ceros, divido por 8,
que son las veces que 12}-está contenido en 100, i tendré
$ 800 ..
Igualmente,
sí cada uno de 36 individuos
contribuJo
-29-
con $ 500 para una empresa, le agl'ego a 3(l trcs ceros, tomo
la mitad, i sabré qne entre todos dlln $ 18,000.
Al contrario, para dividir por los citados submnltip1i.
cee se multiplica por el número qne :indica el submultíplico, i se separan nnn, dos o tres cifras, scgnn el caso. Ej:
Habiendo dado 28 pesos por 3 varas i t de vara i deseando saber 1\ cómo sale cada vara, multiplico 28 por 3
qne son las veces qne 3 i"¡' está contenido en 10, i separando luego una cifra a la derecha tendré; $ 8, 4: valor de
cada vara.
Si quiero repal·tir 432 pesos entre 25 individuos mnltiplico 432 por 4, i separando dos cifras de la derecha, tendré 17,28 que scrá lo que le toca a cada nno.
Si habiendo dado por 142 .g. varas, 325 pesos deseo sabor a cómo sale la vara, multiplicaré 325 por 7 i separando
luego tres citras veré que me cuesta cada vara $ 2,275.
Cuando una cantidad deba ser multiplicada por nn número i dividida por otro i que e~tos dos nÚmeros guarden
entre sí una razon multiplice o submultíplicc,5c abrevia la
operacion multiplicando solamento la eantidad por las Vúces que el mayor de dichos números contenga al menor, ¡;i
el mayor es el multiplicador, i dividiéndolo si el mayor es
el diVIsor. Ejemplo8;
1. 48 x24: 6=48><4=192
2. 36x 8: 24=36; 3= 12
0
0
CAPITULO 10.
FRACCIONES
DECThL\LRS.
tnestloaes.
Todas las abreviaciones es}?1icadaehasta aquí tienen la
misma aplicacion en las fraccIOne8decimales, debiendo advertir que donde quiera que hemos mandado agregar uno,
dos tres ceros en los decimales basta correr la coma uno,
dos o tres 1l1gnreshácia la derecha respectivamente. Con
esta indicacion entrarémos en la resolucion de algunas
cucstiones.
1." Se quiere mu1tiplicRr el número 72,24 por 25.
Corro la coma dos lugares a la derecha i quedara 7224:,
que lo divido por 4 i saldrá 1,806 que es el producto.
°
-30-
2. Quiero multiplicar 64-,86 por 15. Corro la coma 11n
lugar a la derecha i tengo 648,6 que sumado con su mitad
dá 972,9.
3.a Deseo dividir 128,48 por 12,5. Multiplico 128,48
por 8 i separo cnatro cifras, es decir, dos decimales que
tiene el dividendo idos pOl' ser el divisor Bubmnltíplice de
100, i tendré 10,2784.
4.' Para dividir 32,8 por 125 multiplico 32,8 por8, que
son las veces que 125 está contenido en 1,000, iseparo enatl'O cifms, es decil', una decimal que hai en el dividendo i
tres por ser el divisor sllomultíplice de 1,000, i sale 0,2624:.
B
CAPITULO 11.
Ql;EBRADOS CmW.NES.
Para snmar dos quebrados que tengan un mismo numerador i diferentes denominadores se suman los denominadores, esta sllma se multiplica pór el numerador comnn, i
a este resultado se le pone por denominador el producto de
los denominadores, Ejemplo:
.
Para ohtener la diferencia de dos quebrtldos en el mismo caso se restan los denominadores, i eulo qemas se procede como para. la. Sllllla. Ejemplo:
3
3
4
6
6-4X3
6
Para multiplicar uos fracciones en qne haya un término comnn, pCl'O encontrado, es decir en la una por n\lmemijor i en la otra por denominador, se 'Obtiene el prodncto
formando una nnc\'a fraecioB COIl los dos términos desiguales. Ejemplos:
1.0 a x ·~-=t·
2.° i x ~=t
Para multiplica¡' \In número entero POI' nn quebrado
<¡notenga 5 1301' numerado¡' 8e le a~!'ega ·\l1l cero i se divide por el duplo del denominador . .t:jemplo:
48X!=480:
12=40
-31-
Pero si es 5 el denominador se multiplica. por el duplo
del numerador, i S8 separa una cifra de la derecha.
Ejomplo :
56X¡=56X4: 10=22,4
Para dividir una fraccion por otra teniendo ámbas
iguales numeradorcs, se divide el scgundo denominador
por el primero. Ejemplo:
Si son ignalcs los denominadores se divide el primer
numerador pOl' él segundo. Ejemplo:
Para dividir por un quebrado que tenga 5 por numera<lar se multiplica por el duplo del denominador i se separa
llna <:ifraa la derecha. Ejemplo:
28 :
t = 28 x 16 : 10 = 44,8
I si es 5 el denominador se agrega un cero
por el duplo del numerador. Ejemplo:
84 :
se divide
i = 840 : 4 = 210
CAPITULO 12.
CUADRADOS-RAIZ
CÚBICA,
Se llama cuadrado de un número el producto que resulta de multiplicarlo por sí mismo una vez. Por lo mismo
los cuadrados de los numeros díjitos soulos siguientes:
1-2-3-4-5-6-7 -8-9
1--4-9-1G-25-3G-49-6±-81
Vamos ahora a dar algunas reglas para formar los cuadrados !lusta 100, con las cuales puedan los nilíos dar de
memoria el cuadrado de cualquier número qne contenO'a
deceuas i unidades:
lo" Si el número acaba en O, se cuadran las decenas i
se agregan dos ceros. Ejemplo: el cuadrado de 40 será,
4X. 4= 16, con dos ceros, 1,(;00.
'
b
-32-
2.~ Si el numero acaba. en 5, se multiplican las decenas
i)or nn número una V~ mayor, i a la derecha se agrega 25:
Ejemplo: En 65 multiplico las decenas 6 por 7, sou 42, i
le pongo a la del'ccha 2ó, Lda; 4,225.
3.a El cuadrado de los nú.mel'Oscomprendidos entre 10
i 20 se halla sumando el mismo número con sus unidades,
i poniendo a la derecha el cuadmdo de las mismas unidades. Ejemplo:
El cuadrado de 13 fleI'á: 13+3=16 i 9, cuadrado de 8
a la derecha, es decir, 169.
Pcro si el cuadrado de las unidades tiene dos cifras,
debe cuidarse de juntar las decenas de este cuadrado con
la Última cifra qne se tenga en la suma que se haya hecho
primero. Ejemplo:
8X8=64
18
18+5=26
64
324
-l.a El de log números comprendidos entre 20 i 30 so
forma poniendo 4 por centenas; por decenas el producto
del mismo 4 por las unidades, i por unidadQs el cuadrado
de las unidades; así, en 28 pondrémoB
por centenas ..............•.....
4 .•
por decenas el producto del mismo 4
por las unidades S .........•.
'
32.
i por unidades el cuadrado de eetas. 64
784
5.a El de 108 números comprendido!! entre 30 i 75 sc
halla así: se le quitan 3 a.las decenas; se le agregan 5 ll.
la.s unidades, i a la derecha se agrega el cuadrado del
complemento hasta 50. Ejemplo;
Para hallar el cuadrado de 42 le quito :.l al 4-, queda 1 ¡
le agrego 5 al 2 son 7, i a la del'ccba agrego el cuadrado
de 8, que es el complemento hasta 50, i saldrá, pues,1,7M.
Con 64:: le quito 8 al 6, quedan 3; le agrego 5 al 4 i
son 9; 39, pues, para centena8j i para decenas i unidades
el cuadrado de 14, que es 196; agregando, porsupuesto,
"la centena de este número a139 que teniamos ántes, i así
resultará 4,096.
u.a
De5dc 75 haeta 100 se forma duplicando
elllÚmel'O,
-33-
<1tlitando de este duplo la unidad superior, i agregando
derecha el cuadmuo del complemento hasta 100.
El de 96 lo formarémos
ala
l
así:
Dupio de 96, quitada la lmidad superior
Cuadrado del complemento de 9G
92
16
9,2Hi
El de 87 así:
Duplo de 87, quitada la unidad superior
Cuadrado del complemento de 87
74:
169
7,56n
7.n Cuando se conoce el cuadrado de un número, se
hallará el del número inmediato superior añadiendo al
cuadrado del primcl'o, el duplo de su raíz Jllas la "unidad.
Ejemplo:
el cuadrado de 48 cs 2,304, luego el de 49
será, 2,a04+4S x 2+1=2,401.
8.n. Si el cuadrado conocido cs el del mayor, so hallará
el del menor quitando al primero el duplo de Ell l'aiz ménos 1, o el duplo de la l'a.lZ del menor mas 1. Ejemplo:
El cuadrado de 20 es 400, luego el do 19 será 400-20
X2-1=361.
n.a El producto de dos números equidistantes de otro
se halla cuadrando el término medio, i deduciendo el cuadrado de la diferencia entre este término i un estl'emo. Así:
20 X 28=24
X 24-16=560.
Para estraer una raíz cúLica exacta i de dos cifras se divide el cubo en porciones de a tres cifras, empezando por
la derecha; se estrae luego la raiz <le la prímera porcion de
la izquierda i esta constituye las decollas <le la raiz, i por
lmidades so le vone el mismo nÚmero de las unidades del
cubo, si estas son uno do los nÚmeros 1, 4, 5,6,9; pero si es
otro número-se ponclor
unidades el complemento
de las
unidades <lel cubo.
sí, si me dan el cubo 262,144 lo divídiré en dos porciones; veo que la l'aiz cúbica de la última porcion de la izquierda es 6, que lo pongo por decenas
-34-
de la raiz, i por unidades las mismas del cubo dado, i resultará 64.
La raiz de esta cantidad 79,507 será:
Para decenas la raiz de la primera porcion
4
:Para unidades el complemento de las del cubo
3
l'aiz 43
CAPITULO 13.
PROPORCIO~'"E8.
A1JrevlaeloBes:
1.& Para hallar un término qne falte en nna-proporcion
aritmé.tica de mayor desigualdad, se restan los dos primeros i la diferencia se quita del tercero. Ejemplo:
12 . 9 : 14. X
12-9= 3
14-3=11 cuarto término.
2.& Si es de menor desigualdad la diferencia entre los
dos primeros términos, se suma con el tercero. Ejemplo:
4: . 9 : 12. X
9-4= 5
5+12=17
cuarto término.
3." Para hallar el cuarto término de una proporcion
jeométrica de mayor desigualdad, se diyide el primer término por el segundo, i por este cociente se divide el tercero. Ejemplo:
24 : 6: :32 : X
24 : 6= 4:
32 : 4=8 cuarto término.
4." Si la proporcion jeométrlca es-de menor designaldad, se divide el segundo término por el primero, i este
cociente se lliultiplic~ por el tercero. Ejemplo:
8:48::16:X
48:
8= 6
6x16=96 cuarto término .
•
-35-
CAPITULO
14.
REGLA DE TRES.
La regla. de tres simple no es mas que nna proporcion
jeométrica en que falta \lll término; por consiguiente su
resolneion se reduce a una de las dos reglas csplicauas ya.
Pero ántes de pasar a resolver ejemplos debemos advertir que la regla de tres tanto simple como compuesta pnede ser directa o invcrsa. En las cuestiones ordinarias i comunes de esta regla va a buscarse r~gulal'mellte ulla de
estas especies: varas de trabajo, pesos de ganancia, hombres o tiempo que se necesiten para hacer una obm. Cuando va a buscarse varas o pesos la. regla es directa, sea
simple o compuesta. Si va a buscarse hombres o ticmpo
la. regla es inversa i entónces en la simple se pOlle el primer término en 1IIO'ardel tercero, i este en lugar de aquel;
i en la compucsta los números que representen cn la pri~
mera parte homhres o tiempo oellcn cambial'se por los
mismos de la segunda parte, esceptu!~ndo la incÓgnita i SR
homólogo.
Despues de los camhios dichos, si la regla de tres es
simple, se l'csuel ve, como ya dijimos, lo mismo que una
proporcion jeométrica; pero si es compuesta, la incógnita
será igual a su homólogo, multiplicado pOlO todos los términos de la segunda parte, i esto dividido por el prodlldo
de todos los de la primera parte, lllénos el homólogo con
la incógnita. Clal'o es que estas multiplicacioncs i divisiones se formularán pl'illlcro con SIlSrespecti\"os signos para
poder así simplifical' por medio de divisiones los términos
comunes que se encuentren.
Cuestiones
I
1.1l Si 96 h.)mbres han gana.do 16 pesos, se pregunta
86 hombres cuánto ganarán?
Como se Ye, esta cllestion es simple í directa, i sc resuclve como proporeion jeométrica de mayor desigualdad, así:
96: 16::36: X
96: 16=6
36: 6=6 pesos.
2." Si '72 hombres han hecho una obra en 8 días,
pregunta., 48 hombres en cuántos dias la harán ~
86
-36-
Esta cuestion es simple tam bien; pero inversa, porqne
- se va a buscar tiempo, por lo cnal se plantea así:
48 : 8:: 72 : X
48 : 8=6
72 : 6=12 días.
3.n Si 12 hombres, en S dias, trabajando (; horas al dia,
han heeho 240 varas de obra, se pregunta, cuántas varas
harán 36 hombres, en 12 dias, trabajando 3 horas cada dia?
E"ta cuestion cs compnesta, i <lit'ccta porque va a buscarse varas: la fórmula, conforme a la regla cstablecida,
será. :
240X36X12X3
.•
Y=--' --12X8X6
Hechas las simplificaciones, borrando los númcros iguales qne }¡ai encima i debajo de la raya, i dividiendo uno de
encima i otro de debajo por un' mismo número, viene a
quedar la fórmula reuucida a
30X6X3=540 varas.
4. Si 18 hombres han ganado 'T2 pesos, en 12 dias,
trabajando S horas cada día, se pregunta, cuÚntas horas
deben tmbajar cada dia 24 hombres, pam qnc en 20 dias,
ganen 96 pesos?
'
Como csta cnostion es inversa porque se v'a a buscar
tiempo, debo cambiar los hombres i los dias de la primera
parte por los hombrcs i los dias de la scgnnda; i hechos
estos cambios: la formulo así:
11
8X18x12x96
X=-----24X72X20
Hechas las simplificaciones queda así:
2;
=4+~
horas de trabajo.
-37CAPITULO
15.
JmGLA DE JNTERES.
Esta rcgla determina el 111000de l!fillar las ganancias
que produce un capital en cierto ticmpo, o el capital que
ha producillo tal ganancia, o el tanto por cicnto a (PlC estaua impuesto el capital (IlIC produjo la ganancia .
.En el primer caso se IJlultiplica el capital por el ttmt.o
por ciento i se sepal'Un dos cifras; pero si el proolleto acaha cn CCl'0S,cn luga¡· de sepal'arlos S(~ llorrall. Ejemplo:
Queriendo averiguar qué ganancia produzca el capital
2,400 pesos en nn alío, al 5 uZo anual, le IlolTo al capital
los dos ceros en que termina, i lo que (lueda lo multiplico
por 5:
24 X 5 = 120, ganancia.
Si la ganancia que se quiere a\'criguar no es de un año
sino de varios, se l1lUltiplica el nílll1CI'Odc Hiío,;por el tanto
por ciento, i por este prvducto se lI1ultipliea el capital, i
I'C separan
dos cifras o se uorran dus ceros ¡;i lo,; tiene.
Ejemplo:
En 4 años, al 5 °20' (lué ganancia llabrii pruducido el
capital 2,500?
llesolncion:
4X5X25=500,
gananeia.
Si la ganancia qne ¡::equiere lI:l11:u' c,; I:t de cierto número de meses, se lllultiplieH el c:Jpital ]>01' clnÍlmel'o
de
JJleses, por el tanto por ciento, se uOlTun dus ceros i se divide por doce. Ejemplo:
3,200 al 5 °10 annal, cuánto prodncid.u
llesolucion:
en 7 meses ~
32 x 7x 5
---=93 -} ganancia.
12
Para a\'(~rignar la ganancia en 111111ÍlmCl'O de dias, se
lnnltipliea el capital pOI' los días, por el tanto por ciento,
se borran dus ceros i se divide pUl' ,'3(jO. Cu)ílltn prodllcil'Ú1I,por ejemplo, 1,200 peso,; en ~-lO dias al tí °10 anual?
Rcsolucion:
] 2 x 240 x [)
-----=
3(~·)
40 ganancia.
-~8Para hallar el capital que ha producido cierto intere8.
se agregan d08 ceros al interes dado, i se divide por el
tanto por 'Ciento. Ejemplo:
Qué capital habrá producido la ganancia 240 pesos al
8 °10 anual, en un año?
Resolucion:
24,000
8
=,3000
·t 1
capl a.
Para hallar el tanto por ciento, conocido el capItal i el
interes qne ha producido en un afío, se agregan dos ceros
a la ganancia, i esto se divido por el capitaL Ejemplo:
i A cómo estaria impnesto el capital de 3,000 pesos que
lla producido 240 de ganancia en un afío 1
llesolueion:
En
primer
llueva
mero,
nancia
~4,000
3,000
= 801
l)
el interes compuesto o doble, conocido el interes del
ano, este se suma con el capital i esa SUTl1!~
es un
capital con el cual se hace 10 mismo que con el prii asi se cOlltinúa segun cl número de anos cuya gase (lt1iere averiguar.
CAPITULO 16.
PRE:\HOS
1 DESCUENTOS.
Se llama premio en el comercio el que se concede sobre cierta clase de moncdas, letras de ca:mbio o pagarés no
cumplidos.
El prclllio de moneda se concede sobre cada cien unidades de la dase de moneda "Iue 10 obtiene;
i se resuelve
multiplicando
el tanto por ciento por el capital, separando
dos cifras, o biell bOlTallUO dos ceros si los hai, i sumando
esto con el capital prillliti\"o.
Si os de descnento, se procede de la misma manera;
pero en lugar de SlIInll.r se resta. Ejemplo:
Si qncl'Ómos c:ulluiar 3,000 pesos qne tengamos en
fllerteg, POI" reales, alJOllándollos el 3 020' resol verémos esta.
cuestioll así:
30x3=90+3,OOO=3,090
pesos qne scrá 10 que nos dan
en reales pUl' los 3,000 ell fuerte.:;.
-39-
Pero si qneremos cambiar los 3,000 pesos en reales por
fuertes, el 90 lo restaremos de 3,000 i quedarán 2,910 pesos
que será lo que recibimos.
Si 'debiéndonos pa~ar 2,400 pesos en cierta fecha, nos
los ofrecen tres meses antes del plazo con tal de que abone.
mos un 6 010 anual por el adelanto, establecerémos la siguiente fórmula:
24 x 3 x 6
12
10 cual simplificado
así: 2 x 3 x 6=36 ql1e~restado de 2,400 deja 2,3H4.
Es decir que le borramos al capital dos ceros i multiplicamos por el tanto por ciento, i por el número de meses, di"idimos por 12 i restamos del capital.
Si en lugar de pa~arnos tres meses ántes nos pagaran
tres meses despnes, 1 exijiéramos el 6 0l" anual, sumariamas los 36 con 2,400 i el total seria lo que nos habian de
pagar, e6 decir, 2,436 pesos.
(tueda
CAPITULO 17,
REGLA DE cO~AÑíA.
Se suman los capitales, esta suma se pone por denominador de la ganancia o pérdida, se simplifica cste quebrado
i se U111ltiplicacada puesta por el numerador, i este producto se parte por el denominador. Si la regla es compuesta, despues de multiplicar cada capital por el tiempo
que ha cstado en el fondo, se hace lo mismo que en la simple, considerando, se entiende, los prodnctos corno puestas.
Ejemplos:
1
1.o TI'es indi vid nos se rennieron en compaiíía i habiendo puesto el primero 360 pesos; el segundo 520 iel tercero
840, i habiendo ganado ti,880 pesos cuánto le toca a cada
11110 ~
ResoluciOll: Snmadas las puestas pongo la suma 1,720
por denominador de la ganancia; simplificado el quebrado
a o}, i la operacion reducida. a multiplicar cada puesta por
4-, de donde resulta qne al fl'imcro le tocarán de ganancia
1,440, al scgundo 2,080 i a tercero :3,360 cuyas ganancias
sumadas hacen la ganancia jeneral. Si no hemos di,'idido
por el denominador depende Jc que este es 1, i la unidad
no multiplica ni divide.
-40-
2,0 En una compaílÍa en que un individno habia pnesto
120 pesos por 4 meses; otro 350 por 5 meses, i otro 74:0
por 6 mcses, se perdieron 2,668: cu{tnto pierde cada uno?
Hesolucion: Dcspnes de multiplicar cada capitdl por el
tiempo, pon~o la suma de los prod~lctos 6,670, por denominador dc la pérdicJn. .iencral: simplificado este quebrado
vicne a quedar reducido a ~ i entóncos multiplico cada producto pOI' 2 i lo di vido por 5 i da los siguientes rcsultados:
120x4=
480x2: 5= 192
350 x 5=1,750 x:3 : 5= 700
7'10 x G=±,HO x 2: 5=1,776
2,668 pérdida
total.
CAPITULO 18.
REGLA
CON,JUNTA.
E3ta regla so simplifica mnchísimo cuando, dcspncs de
haber pne3to todos los antece(lentes en una colnmna i los
consecnentes en otm, se va dividiendo un término de la
primera columna i un término de la segnncla por un mismo número, qneda la operacion reducida a multiplica!' el
térlll ino conocido ell b pregn n fa por el prod llcto de los
consecncntes, i dividirlo por el producto de los antecedentes. Ejemplo:
Si pOI' 24 varas <le.iGnero me dan S libras de azúcar,
por 16 libras de azúeuI' 12 pesos, i por 60 l?esos 480 reales,
se pregnnta:
por 56 varas de .iGnero <:llantos rcales me
darán?
n~.
~+:
lihs. 16:
ps.
l¡lis.
vrs.
8
'
12 ps. 56:
ÚO: 480
t
1'S.
rls.
X
~
Para simplificar hago nso del signiente proc-cdimiento:'
en primer lugar borro el O de! 60 de la primera columna i
el O del,480 en la segnnda; divido luego a 6 i a 48 por 6 i
qnedara en la primera columna O en lugar del 6 i en la segunda 8 en lugar de 48; divido igualmente el 24 de la
lrim?l'U Collll;lIla i 0112 de la scg~m.da por 12, i que?a en
}a "{ll'ltl1erfl.2 1 en In. segunda O: dIVIdo el 2 de la pl'lmera
columna i el 8 de la segunda por 2 i queda O en la primera
-41-
columna i 4: en la segunda.; divido e11G de la primera columna i. el 8 de la segunda por 8, i queda en la primera 2
i en la segunda O; divido finalmente el "2 de la primera
columna i el 4 de la segunda por 2 i queda en la primera
O i en la segunda 2; i pasando a la resoluéion queda:
",,1"":.::56x 2=112 reales.
Cualquiera. comprende q ne hemos puesto cero en don dI)
qniera que el divisor éahe lllll. vez en el cliyidcIHlo, porcllw
clebÍC'nuo sel' multip1icado~ c~os cocientes cn é:ula columna, i no multiplicando
la unillad era inÚtil poner ese lo
Otro e.iClllplo :
} Si por 48 pesos pnedo compl'ar 12 varas, i por 18 varns (
1I1edan 4 al'l'obas, i por 25 anobas me dan 30 libros, se
preglluta, por 60 pesos cuántos libros me darÚn?
S
S lihros.
\s.
48-12 vs.
}
Vs. 18- 4 @
~ GO: x
@ 25-30 lbos. }
Hechas las simplificaciones por el mismo métouo
dan los términos reducidos a los siguientes:
o-o
3-0
que-'
I( GO: x
5-0 )
Hesuelta:
x
=
(;0 x O : 15
=4
libros.
CAPITCLO 1D.
REGLA. DE TESTA1IEXTO.
,En esta regla se reducen los quebrados si los hai a 11ll
comun denominado)', i sin hacel' caso de este se ltace todo
10 demas como en la regb de compai;ía. Considerando los
nurnerauI)res como las puestas de los socios, i el capital que
se reparte como la ganancia comun. Ejemplo:
Deseando repartir 1D4 pesos en pal'tes proporcionales l1.
los quebrados h t i ~usarémos el siguiente pl'ocedimiento:
reducidos los quebrados a un comun denominador i sumados los numeradores 12, 40 i 45 hallo la suma :J7, (pie la
pongo por denominador <.le194:; simplificado este quehra<iD queda rcduci';o ~~ i ~n_tónccs;IY}laimas qne hacer qne
P N.__~, U: L/~ ¡~:tI-'J0l.iU,
5 ii3LIOTE:'.Ji
lU¡S-AN":~L
I.rf.i-:GC)
-42-
mnltiplicar estos mismos numeradores por el nnmerador 2
i salen los productos 24, 80 i 90 que sumados llacen 194
pesos que íbamos a distribuir.
Si el capital ee va.a distribuir en partes proporcionales'
a números enteros, estos mismos numeras se consideran
como las puestas de los socios i en lo demas se procede
como en el ejemplo anterior.
CAPITULO 20.
REGLA DE ALIGACION.
Para resolver esta regla cuando cs simple sc coloca. la
espccie mayor arriba, la mcnor debajo i la mcdia cntre las
dos; desplles se rcsta la especie menor de la media i su diferencia se J)OI1C al lado derecho de la mayor: se resta
luego la me ia de la mayor i la diferencia se pone al lado
d61'echo de la menor; i en lo demas tie procede como en la
de compafiía considerando las diferencias como el capital
de cada socio i la cantidad del mixto como la ganancia comun. Ejemplo:
Tiene un artillero pólvora que arroja la bala a la distancia de 80 varas, i pólvora que la arroja a la.de 20 varas, i se le piden 40 arrobas de pólvora que arroje la bala
a. la distancia de 40 varas.
80-20-13
t
H=~--40
20-40-26 ~
60
20x2: 3=13 J
40X2
: 3=26 ~
Colocadas las especies como se ha ensefiado i como so
ve 011el ejemplo, resto la especie menor de la media i su
diferencia 20 la coloco al lado derecho de la mayor; resto
igualmente la especie media de la mayor, i Sil diferencia
40 la coloco alIado deI'echo de la mayor: sumo cstas diferencias, i la snma (;0 la pongo debajo de la cantidad del
mixto 40, simplificado el qucbrado H <}llCdareducido a ~;
ahora multiplico cada difereneia por 2 i la divido por 3, i
de ahí vienen los resultados 13 t i 26 ~ que, sumados, dan
40, cantidad pcdida.
-43-
Cuando la reglá es compuesta, es decir, qne se junten
mas de dos especies, se colocan estas en una columna do
mayor a menor, poniendo enmedio la especie media; teniendo cuidado de suplir con ceros alguna cspecie que falte: hecho esto se restan todas las especies de la media, i
las diferencias se ponen cambiadas, de manera qne la diferencia entre la mayor de todas i la media quede al lado
derecho de la menor de todas i vico-versa, i despues se
proccde como en el ejemplo anterior.
Hai agnardiente de 36, de 30, de 22 i de 9.0grados, i
se pidcn 18 botellas de 24 grados.
36- 4=-3
30- 2=.1t
H=]---24
22- 6=4 t
20-12=9
2:1:
18 botellas.
CAPITULO 21.
REGLA DE SCPOSICION.
Como son de tan diferente naturaleza las cuestiones do
esta regla, nos limitamos a presentar algnnos ejemplos,
dando en su resolncion las reglas para ahreYÍarla.
(No debe olvidar el profesor qne lca este capítnlo, qne
pOI' el método ordinario la resolucion de las cuestiones de
esta regla es snmamente hu'ga),
Ejemplo V
Si aiíado
11
la de un padro
La edad del hijo,
)[e da por resllltado
Setenta ¡cinco;
Pero rcstando
Hallo por difúrcncia
Cnal'onta i cnatro.
R\lsohwion: Cucst.ioncs como esta sc resueh'en snmando los dos númcl'os dados, i la mitad de Cl-;taSUllia es el
JlÚmC10 mayor.
Así cn el ejemplo citado, dirémos:
75+:1:4=119
-44-
Mitad de la sUllla: 5D1- número
mayor, luego el mellor será
75-5H~=15t
O bien restando el uno del otro, i la mitad de esa resta
es el número menor: resol\'iéndolo así, diríamos:
75-44=31
15t número
:Mitad de la diferencia:
mayor será:
Ej empl0 2, o
menor,
luego el
75-1Gt=5!.l}
Eu ea~a
t.ell~O
una alberca
1 entra el agua por dos eaiíoo,
La lleua
0111110
on dos horus,
.I 01 otro la llena en onatro;
¿ Eu eu,intas la llena1'lin
EHtalldo ámbos destapados?
Resolucion:
Púngasea
los dos números (2 i 4) la unidad pOI' numerador, sÚmense los dos quebrados, i al quel¡¡'ado de ]a suma cÚmbicllscle ]os túrminos, i este nuevo
quebrado esprcsa las horas en que se llena la alberca, Así:
~+1=~
cambiados
los t{~rmiIlos=J=l
t
hOl'as.
Ejemp]o 3,0 A un individuo Ic preguntaron
culÍnto
valia sn caballo i dijo: si el valor de mi caballo fi() multiplica pOI' a, si a cste produeto se le (p¡itan 20, si ]a difercnda se snllla con .JS, i esta sUllla se pal'LC por 4, el cociente será igua] a 1S7,
Hesolucion:
Estableccrú
la siguiente
fúr.1llu]a:
XxG-20+!S : 4=187
Comenzando por la derecha, haré con 187 lo contrario
de lo que ]0;3 signos indican, i entÓ¡H;eS la fórmula anteriOl'
se calll Lía cn csta:
187x-!-·!S+20 : G=X=BO
Efectuadas Ins opcracioncs rcsn]ta 120 pesos va]or de]
caballo.
Ejcmplo 4-.0 Se pide un nÚmcI'o que, sumado con sus ~.
dé una ¡;Ullllt igual allllismo nÚmero lilas 2U, es decir:
X+:t=X+20
-4;',-
Para sabor cuál sea el número pedido, multiplico el 20
por el denominador i divido por el numerador. Así:
20x5 : 2=50
, Los ~ de 50 son 20, que sumado con 30 U;1 70, qne es
el mismo 50+20.
CAPITULO 22.
CONCL l:srox.
Pondrémos fin a este compendio haciendo algunas arlyel'tencias necesarias para pOller ell práctica con provecho
los ejercicios de que nos hemos ocupado.
1.a Supongamos que comienza un profesor una clase de
Cálculo con veinte alumnos: a pocas lecciones no mas habrá comprcndido cuáles tienen aflcion a este estudio, i dedíqucse csc~usiramente a estos, porque si en todas las ciencias i artcs se necesita una voluntad decidida para poder
adelantar, en esta soure todo es una condicion indispensable. Aquellos niños que no se interesan por nada, qne]o
miran todo con indiferencia, que aborrecen el estudio a la
primera dificultad que se les presenta; aquellos niños, en
fin, a quienes se les llama metafóricamente petacas, no
pueden adelantar nada. en una clase de Cálculo.
2,3 No se canse el maestro, por nada, en repetir diez,
doce, o veinte, o mas veces un mismo ejercicio con cada
alumno: el maestro que no tenga la suficiente paciencia
para sufrir esta monotoní!\ no puede enseñar Cálculo.
3." Cuídese escruputosamente de arrancar de los nifios
aquellos tnalos hábitos contraidos en otras clases, tales
como el de cantal' en los dedos, repetir la pregunta que se
les acaba de hacer, cambiar los factores en las multiplicaciones que hagan de memoria, apnntar las unidades de especie superior que tienen que Hevar en cada suma o producto parcial, escribir el multiplicador o el divisor cuando
consten solo de una cifra, señalar con el lápiz o con el dedo
cada cifra que van sumando, restando o multiplicando,
porque entónees el pensamiento queda sujeto al movimiento de la mano, que es mónos rápido.
4." Exítese que el niño nombre cada eifm que va sumando, restando o multiplicando, i en jeneral toda palabra
-46-
inútil; i téngase en cuenta que solamente son útiles aqnellas que espresan un resultado final. En la suma de .esta
colttmna, por ejemplo, deberá proceder así el alumno:
8
6-catoI'ce
9-veinte i tres
7-treinta
5-trcintn. i cinco
35
Pero únicamente nombrará el alumno el último rcsultado.
5." La mejor recomendacion de cste sistema es la que
nos ha proporcionado la práctica de largos años de constante trabajo, i consiste en poder asegurar que los estudiantes mas aprovechados en todas las clases son aquellos
que eonCl1l'rena las de Oálculo, lo cual quiere decir qne su
influencia provechosa 8e estiende no solo a las ciencias numéricas, sino tambien a todos los domas ramos del saber
humano.
6.a Ojalá llegue el dia en que todos los profesores i padres de familia se convenzan de que el Oálculo es ARTE i
que debe enseñarse como tal, suprimiendo definiciones i
demostraciones que a nada conducen en la práctica; sepa
un niño hacer sus operaciones con velocidad i exactitud,
aplicando a cad!\ caso la regla correspondiente, para 10
cual basta la rcficxion, i déjese de teorías que le llenarán
la cabeza sin mas fruto qne su propia confusioll ..
Enséñese, pues, el Oálculo, lo mismo qne 8e ensefia la
jimnástíca, por ejemplo: mándesele al niño que marche,
que corra, que salte, que luche, i déjeBcle quo defina o
analice luego que pueda 10 que son la marcha, la carrera,
el salto o la lucha.
FUI.
Capltuloo.
P.aÓLOGO ••••••••••••••••••••••••
I-Principiosjcncralcs
TI-De
, ••••••••
.............•..........
los mismos ejercicios
vi-Ejercicios
VIII-Division
17
..•.•.....................•..
20
26
mas sobre la multiplieacion i divisiou ....
decimale5 ..•• ; .•••.•••..••...•..
XI-Quebrados
comunes
XII-Cuadrados-Raiz
Xli-Proporciones
'"
cúbica
30
81
......•...............
,
de tres .•..........•........
. XV-Regla
de interes ..........................•
XVI-Premios
28
29
, .....•
XIV-Regla
XXI-Regla
15
.....................•.........••.
X-Fracciones
XX-Regla
14
sobre la suma i la resta ..•. '"
VII-Multiplicaeion
XIX-Regla
oo
i resta de números enteros
V-Suma
IX-Algo
8
preparatorios para la suma i la resta. 12
IV-Continúan
XVIII-Regla
7
la numeracionoo, ................••.....
III-Ejercicios
XVII-Regla
Pájlnnf.
3
34
, ..••....
35
37
i descuentos .•..•..................
38
de compañía .....•.•...............
39
conjunta ••••............
40
,
de testamento
41
de aligacion
, ...•
de suposicion
XXII-Conclusion
'.' ..•..
42
43
,
,
,
45