MATEMATICA
Guía de estudio
B
Educación Adultos 2000
0800-999-33822
www.buenosaires.gov.ar/educacion/comunidad/adultos2000
Material de distribución gratuita
gobBsAs
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN
Programa Educación Adultos 2000
Coordinador pedagógico:
Lic. Roberto Marengo
Equipo técnico-pedagógico:
Lic. Valeria Cohen
Lic. Daniel López
Lic. Norma Merino
Lic. Noemí Scaletzky
Lic. Alicia Zamudio
Matemática B
Coordinadores:
Prof. Dora Guil
Prof. Ernesto Maqueda
Equipo docente:
Prof. Carlos Battilana
Prof. Matías Bruzzoni
Prof. Silvia García Bonelli
Prof. Nora Di Lascio
Prof. Gerardo Feres
Prof. Claudio Mayayo
Prof. Claudia Mazzeo
Prof. Susana Muñoz
Prof. Gabriela Otero
Asesores de alumnos:
María Alem
Fernando Piquero
Guía de estudios Matemática B
Coordinación de la producción y edición:
Lic. Norma Merino
Lic. Noemí Scaletzky
Especialistas en contenidos:
Prof. Dora Guil
Prof. Ernesto Maqueda
Procesamiento didáctico:
Lic. Betina Akselrad
Lic. Alejandra Amantea
Supervisión legal:
Dra. Fabiana Leonardo
Diseño gráfico y diagramación:
Juan Carlos Badino
MATEMATICA
Guía de estudio
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Material de distribución gratuita
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SECRETARÍA DE EDUCACIÓN
Nuestro sincero recuerdo y agradecimiento a Beatriz Marelli,
con quien tuvimos el placer de compartir tantos años de trabajo y aprendizajes.
Agradecemos también los aportes realizados por el equipo docente y nuestros alumnos.
2
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
ÍNDICE
MATEMATICA
PRESENTACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Presentación de la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
¿Cómo estudiar? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
¿Qué es necesario saber para trabajar con los contenidos de Matemática B? . . . . . . . . . 7
Actividades de anticipación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Orientaciones sobre las actividades de anticipación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Programa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
UNIDAD 1 :
FUNCIÓN LINEAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Propósitos de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Actividad N° 1: “Control de la temperatura de una sustancia" . . . . . . . .
En términos Matemáticos: Ceros, Intervalos de Positividad y
de Negatividad de una Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Actividad N° 2: “Trabajando con el libro". . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Actividad N° 3: “La temperatura en la ciudad de Mar del Plata” . . . . . .
Actividad N° 4: “Mantenimiento de Piletas de Natación" . . . . . . . . . . . .
En términos Matemáticos: “Ecuación de una recta Función lineal”
Actividad Nº 5: “Trabajando con el libro" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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UNIDAD 2 :
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS. . . . . . . . . . . . . . . . 35
Propósitos de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Actividad N° 1: “Nuevas instrucciones para construir diseños de estampados" . . . . . 35
En términos Matemáticos: Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos Incógnitas. . 38
En términos Matemáticos: Clasificación de sistemas de Ecuaciones Lineales. . . 43
Actividad N° 2: “Trabajando con el Libro" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
UNIDAD 3 :
PROPORCIONALIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Propósitos de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Actividad N° 1: “Los precios en los puestos de la Feria" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
En términos Matemáticos: Proporcionalidad directa. Constante de
proporcionalidad. Función de proporcionalidad directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Actividad N° 2: “Llenado de tanques de combustible" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Actividad N° 3: “Trabajando con el libro". . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Actividad N° 4: “En la Fábrica de jarabes" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
En términos Matemáticos: Proporcionalidad inversa. Constante de proporcionalidad inversa. Función de proporcionalidad inversa" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
En términos Matemáticos: Función racional. Asíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Matemática B • PRESENTACIÓN
1
UNIDAD 4 :
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Propósitos de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Actividad N° 1: “Fichas para juegos infantiles" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
En términos Matemáticos: Figuras semejantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Actividad N° 2: “El recorrido de Martín el cartero" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
En términos Matemáticos: Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Actividad N° 3: “Trabajando con el Libro" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Actividad Nº 4: “La fábrica de juguetes: un recurso para diseñar los moldes" .
En términos Matemáticos: Homotecia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
En términos Matemáticos: Homotecia y semejanza . . . . . . . . . . . . . . . .
Actividad Nº 5: “Postes para construir un quincho" . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
En términos Matemáticos: Teorema de Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Actividad Nº 6: “Postes para la TV por cable " . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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UNIDAD 5 :
FUNCIÓN CUADRÁTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Propósitos de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Actividad N° 1: “Presupuestos en un taller de artesanías" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
En términos Matemáticos: Fórmula cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
En términos Matemáticos: Cuadrado de un Binomio. Trinomio cuadrado
perfecto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Actividad N° 2: “Análisis de la temperatura de una barra metálica" . . . . . . . . . . . . . 93
En términos Matemáticos: Función cuadrática. Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
En términos Matemáticos: Vértice de una parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Actividad N° 3: “Trabajando con el Libro" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
En términos Matemáticos: Forma factorizada de una fórmula cuadrática . . . . 101
UNIDAD 6 :
FUNCIONES POLINÓMICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Propósitos de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Actividad N° 1: “Fabricación de dados" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
En términos Matemáticos: Polinomio de grado 3. Funciones Polinómicas
de grado 3. Monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
En términos Matemáticos: Funciones Polinómicas de grado n. Polinomios
de grado n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Actividad N° 2: “El taller de artesanías cambia sus precios". . . . . . . . . . . . . . . .
En términos matemáticos: Teorema del resto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
En términos matemáticos: Divisibilidad de polinomios. Factorización de
polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Actividad N° 3: “Trabajando con el Libro" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
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UNIDAD 7:
ESTADÍSTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Propósitos de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Actividad N° 1: “Estudio de mercado de la fábrica de chicles" . . . . . . . . . . . . . . .
En términos matemáticos: Población. Muestra. Observación. Representación
gráfica de los datos. Distribución de frecuencias. Frecuencia absoluta.
Frecuencia relativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
En términos matemáticos: Frecuencia acumulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
En términos matemáticos: Medidas de centralización: media, mediana
y moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
En términos matemáticos: Desviación. Medidas de dispersión: varianza
y desvío estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
En términos matemáticos: Intervalos de clase. Marca de clase. Histograma.
Polígono de frecuencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Actividad N° 2: “Trabajando con el libro" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
En términos matemáticos: Distribuciones simétricas y asimétricas . . . . . . . .
Actividad N° 3: “Pesos y medidas en el fútbol infantil" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
En términos matemáticos: Tipos de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Actividad N° 4: “Trabajando con el libro" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matemática B • PRESENTACIÓN
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EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
Presentación de la materia
MATEMATICA
Al iniciar el trabajo con esta Guía usted ya ha transitado un camino de aprendizaje de nociones matemáticas: ha concluido la escolaridad primaria y ha
aprobado Matemática A en Educación Adultos 2000 o su equivalente. Esto
significa que no se acerca ahora a la Matemática por primera vez. Sin embargo sus experiencias al respecto pueden ser muy variadas.
Quienes diseñamos la propuesta de enseñanza de Matemática en Adultos 2000,
partimos de algunas ideas generales a partir de las cuales construimos un
modo de trabajo que intenta favorecer el estudio de esta materia y consideramos fundamental compartirlas con nuestros alumnos desde el inicio.
Por esto le presentamos aquí las ideas que orientan nuestro trabajo como
docentes de Matemática:
• Seguramente usted utiliza en su vida diaria una gran cantidad de nociones
matemáticas sin darse cuenta; las usa eficientemente y de manera tal que
le permiten resolver diferentes situaciones relativas a su vida cotidiana.
• Partiendo de esta "experiencia matemática" incorporada a su vida diaria es
posible avanzar hacia la interpretación de los conceptos matemáticos que
allí entran en juego y trasladarlos a situaciones más complejas.
• Cada nuevo concepto matemático que se aprende se apoya en otros ya
adquiridos como si se tratara de hileras de ladrillos que se asientan unas en
otras para que la pared que se construye sea sólida.
• Cada adquisición pasa por una serie de etapas que van desde lo más concreto y ligado a nuestra experiencia cotidiana, hacia niveles de complejidad
y abstracción cada vez mayores.
• En tanto la Matemática se expresa a través de un sistema de símbolos y
representaciones gráficas que le es propio, es necesario hacer comprensible
este lenguaje desde su significado matemático y su relación con situaciones concretas.
• Si favorecemos que estas etapas se cumplan sin saltear ninguna, respetando los ritmos de avance de cada alumno, usted podrá aprender Matemática
aún cuando sus experiencias anteriores con esta materia no le hayan ofrecido esta sensación.
En resumen, le proponemos aprender Matemática de una manera semejante a
la que el hombre ha seguido en la creación de las ideas matemáticas: descubriendo los conceptos a partir de situaciones que podrían presentarse en la realidad o de problemas pertenecientes a otras ciencias que utilizan conceptos
matemáticos para resolverlos.
Conociendo cuáles son nuestros puntos de partida, le será más sencillo comprender el modo de trabajo que le proponemos desarrollar.
Matemática B • PRESENTACIÓN
5
¿Cómo estudiar?
MATEMATICA
A partir de estas ideas hemos pensado este material de enseñanza como un
recurso a través del cual usted pueda aprender conceptos matemáticos y el lenguaje que los expresa.
En cada Unidad usted encontrará:
• Una presentación en la que se describen las principales nociones y contenidos que se abordarán y los Propósitos a alcanzar en relación con esas nociones y contenidos.
• Actividades que presentan situaciones de trabajo y problemas concretos
para resolver y analizar. Cada una de ellas representa un camino hacia los
conceptos matemáticos y al lenguaje que los expresa. Muchas de estas actividades tienen distintas Partes. Algunas de estas Actividades o Partes serán
indicaciones para leer los textos recomendados. Estas le señalarán qué
páginas de los textos deberá consultar y qué actividades propuestas en los
libros deberá resolver.
• Comentarios bajo el título Orientaciones, que lo invitan a reflexionar sobre
su trabajo y a verificar su camino de resolución de las diferentes partes de las
actividades.
• Indicaciones para retomar conceptos, en aquellos casos en los que la resolución de la actividad requiera que recuerde algunos conceptos matemáticos
aprendidos en una etapa anterior.
• Apartados especiales denominados En términos matemáticos, destinados a
formalizar los conceptos que usted vaya construyendo a partir de su trabajo en
las distintas partes de cada Actividad. En estos apartados presentaremos también el lenguaje que utiliza la Matemática para expresar dichos conceptos.
• Ejercicios de integración, que deben resolverse al finalizar cada unidad.
Permiten sintetizar los temas trabajados, aplicar los conceptos y la simbología estudiados a la resolución de nuevas situaciones, vincular entre sí los
conceptos trabajados en la unidad y estudiar algún otro aspecto de los mismos que aún no fue trabajado. La resolución de estos ejercicios le dará la
oportunidad de decidir si está en condiciones de continuar avanzando con
el estudio de la unidad siguiente o todavía necesita detenerse un tiempo más
en la unidad que está estudiando, retomando aquellas cuestiones que no
haya podido resolver. No deje de realizarlos. Se encuentran en el anexo de
ejercicios que se le entregó junto con la Guía.
• Actividades de Autoevaluación, que se presentarán al concluir el desarrollo de las siete unidades y le permitirán evaluar su propio recorrido de aprendizaje de los conceptos y la adquisición del lenguaje matemático correspondiente. Estas actividades también se encuentran en el anexo que se le entregó
junto con la Guía.
6
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
La Guía de estudio constituye la herramienta fundamental para el aprendizaje de los contenidos. Por lo tanto, un uso adecuado de la misma favorecerá su
proceso de aprendizaje. Para ello tenga en cuenta las siguientes recomendaciones:
• Respete el orden de presentación de los temas y las actividades.
• Resuelva cada una de las actividades a medida que se van presentando.
• No se anticipe leyendo las Orientaciones o los apartados En términos
matemáticos. Estos sólo tendrán sentido para usted si previamente realizó
la actividad propuesta.
• Recurra al trabajo con los textos cada vez que la Guía lo señala.
• No dude en asistir a las consultorías si lo necesita. Tenga en cuenta que
éstas le ofrecen un espacio de consulta y orientación al tiempo que le permiten intercambiar y compartir el trabajo con otros alumnos.
• Si no puede asistir a consultorías presenciales, puede acercarnos sus dudas
a través del correo electrónico, el buzón de actividades o las consultorías
telefónicas.
• Utilice un cuaderno o carpeta para resolver por escrito las actividades propuestas en la Guía, escribir sus dudas y realizar anotaciones vinculadas con
la lectura de los textos recomendados. Tenga en cuenta que las actividades propuestas deben ser resueltas por usted mismo y este trabajo le irá
indicando qué ha comprendido y cuáles son sus dificultades. Tener registro de esto facilitará su tarea y le resultará un material fundamental para
trabajar en las consultorías.
• Vaya registrando de algún modo que a usted le resulte útil, toda la simbología matemática que la Guía vaya presentando, de modo que pueda tenerla presente siempre que sea necesario.
¿QUÉ ES NECESARIO SABER PARA TRABAJAR CON LOS CONTENIDOS DE MATEMÁTICA B?
Al presentar la materia sosteníamos que:
• Cada nuevo concepto matemático que se aprende se apoya en otros ya
adquiridos como si se tratara de hileras de ladrillos que se asientan unas en
otras para que la pared que se construye sea sólida.
• Al iniciar el trabajo con esta Guía usted ya ha transitado un camino de
aprendizaje de nociones matemáticas.
Matemática B • PRESENTACIÓN
7
En Matemática B usted aprenderá una serie de conceptos que se apoyan en
otros que deberían formar parte de sus adquisiciones previas. Por esto es
importante asegurarse el manejo de algunas nociones que resultan necesarias
para la "construcción" de los nuevos conceptos que aprenderá.
Las nociones previas fundamentales para comenzar con el estudio de
Matemática B son Ecuaciones, Relaciones y Funciones. Pero no se preocupe si considera que "recuerda poco" de lo que aprendió en una etapa anterior,
o que nunca trabajó con estos temas. Lo acompañaremos y orientaremos para
que pueda hacerlo ahora.
Le proponemos empezar el trabajo tratando de realizar las "Actividades de
anticipación". Este primer trabajo le servirá como un ensayo para "entrar en
tema". Su realización es fundamental para poder empezar a abordar los contenidos de esta materia. Por eso, no las pase por alto.
Es importante que para realizarlas tenga en cuenta las siguientes sugerencias:
• Trate de resolverlas con los elementos que recuerda, o bien con sus propias
intuiciones matemáticas.
• No intente ir primero a buscar información en un libro de niveles anteriores.
Si lo hace no podrá evaluar qué actividades está en condiciones de resolver con
sus propios recursos y qué necesitará revisar para avanzar con el trabajo.
• No se preocupe por las cuestiones que no pueda resolver. Justamente el sentido de este trabajo es que usted pueda detectar aquello que es necesario revisar. A través de la Guía de Estudio, lo orientaremos en el camino a seguir,
teniendo en cuenta las dificultades que se le puedan presentar.
• El hecho de tener que revisar algunos conceptos previos no significa que
usted se "atrase". Por el contrario, afianzar algunas nociones que son básicas
para transitar el programa le permitirá asegurarse la posibilidad de acceder a
nociones nuevas. Como en el ejemplo que utilizamos en la presentación, si
el albañil pone de manera desordenada los ladrillos de la primera hilera del
muro porque trabaja rápido sólo conseguirá al final de la obra una pared torcida que a la larga le requerirá mucho más tiempo y el doble de trabajo:
deberá, en definitiva, hacerla nuevamente.
Ponga atención a las consignas de las siguientes Actividades de anticipación
y después de responderlas siga las orientaciones que se le presentan en relación
con cada resolución.
8
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
ACTIVIDADES DE ANTICIPACIÓN
Actividad Nº 1
1. En una fábrica de galletitas se elaboraron 1230 galletitas en un día. Con ellas se armaron paquetes de 20 galletitas y sobraron 10. ¿Qué cantidad de paquetes de galletitas
se armaron en ese día en la fábrica? Escriba todos los cálculos que realice para responder.
Para resolver la actividad anterior usted puede haber usado diferentes
caminos. Uno de ellos es plantear la ecuación que traduce el enunciado
dado, y hallar la cantidad de paquetes que se armaron a través de la resolución de dicha ecuación. No se preocupe si usted respondió de otra
forma. En situaciones sencillas como ésta, es posible resolver el problema
sin utilizar una ecuación. Ambos caminos son igualmente válidos. Pero
cuando la situación se hace más compleja, resulta conveniente recurrir al
planteo y resolución de una ecuación para poder dar respuesta al problema. Incluso hay situaciones que son imposibles de resolver sin el planteo y resolución de una ecuación. Por esta razón es importante que usted
sepa plantear y resolver ecuaciones.
2. Si no lo hizo antes, plantee la ecuación que traduce al enunciado de la actividad. Si
no puede hacerlo no se preocupe. Al finalizar las actividades de anticipación le daremos indicaciones para que pueda trabajar este tema con la Guía de Matemática A
antes de comenzar con el estudio de Matemática B.
3. Resuelva la ecuación que planteó en el ítem 2. y compare su respuesta con la que
obtuvo al responder el ítem 1.. Si no puede resolverla no se preocupe. También le
indicaremos dónde trabajar el tema para que pueda aprender a resolver ecuaciones
antes de comenzar el estudio del Matemática B.
Actividad N° 2
Se desea saber la cantidad x de entradas que se ponen a la venta en un estadio de fútbol. Para averiguarlo se cuenta con la siguiente información:
Para presenciar un partido se venden todas las localidades (entre plateas y entradas
generales) disponibles en un estadio. Las 3/7 partes de las entradas vendidas corresponden a plateas y 23700 son entradas generales.
1. Sólo una de las ecuaciones que se dan a continuación traduce la situación anterior.
Seleccione la ecuación correcta.
Matemática B • PRESENTACIÓN
9
x + x = 23700
x:
+ 23700 = x
x + 23700 = x
x:
+ x = 23700
2. Resuelva la ecuación que seleccionó en el ítem anterior. Si no puede resolverla encontrará, al finalizar las actividades de anticipación, las indicaciones necesarias para estudiar la forma de resolución de este tipo de ecuaciones.
Actividad Nº 3
El siguiente gráfico representa la temperatura y de una sustancia en cada instante x (en
horas), mientras se realizaba un experimento, entre la hora cero y la hora 3.
Parte A
1. ¿Qué temperatura tiene la sustancia en la hora x = 1?
2. ¿En qué hora x la sustancia tiene 2,5 ° C?
3. El par (3 ; 1,5), ¿pertenece al gráfico?
4. ¿Qué significa de acuerdo con la situación concreta planteada que el par (0 ; 1) pertenezca al gráfico?
Parte B
Si interpretamos el gráfico dado anteriormente como una relación
f: [0 ; 3] R:
1. La relación f, ¿es función?
2. ¿Cuál es el dominio de f?
3. ¿Cuál es el conjunto imagen de f?
4. Encuentre f(1) y f -1(2,5)
10
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
Una vez que haya intentado resolver las consignas planteadas, recurra a
las orientaciones que le presentamos a continuación.
¡No se haga trampas! Intente primero su propio camino y luego controle
sus respuestas. Según cual sea la dificultad que se le haya presentado en
cada resolución siga las indicaciones que le proponemos.
ORIENTACIONES SOBRE LAS ACTIVIDADES DE ANTICIPACIÓN
Las actividades que acaba de realizar se centran en el manejo de ecuaciones y
funciones. A continuación le damos las respuestas a dichas actividades.
Controle sus respuestas con las que le presentamos.
Actividad Nº 1
La ecuación que traduce el enunciado dado es 20 x + 10 = 1230
La solución de esta ecuación es x = 61 . Es decir que ese día se armaron 61 paquetes de
galletitas.
Actividad Nº 2
La ecuación correcta es
x + 23700 = x
La solución de la ecuación es x = 41475. Es decir, se venden 41475 entradas.
Actividad Nº 3
Parte A
1. La temperatura de la sustancia en la hora x = 1 es de 2º C.
2. La sustancia tiene 2,5º C de temperatura en la hora 2.
3. No, el par (3 ; 1,5) no pertenece al gráfico.
4. De acuerdo con la situación concreta que expresa el gráfico, si el par (0 ; 1) pertenece al gráfico, significa que en la hora cero la sustancia tenía 1º C de temperatura.
Parte B
1. La relación f es función porque, teniendo en cuenta la situación concreta planteada,
en cada instante la sustancia tiene una temperatura y ésta es única. También se nota
en el gráfico que cada punto del dominio tiene una y sólo una imagen.
2. Dom f = [0 ; 3].
3. Im f = [1; 2,5].
4. f(1) = 2 y f
-1
(2,5) = 2
Matemática B • PRESENTACIÓN
11
• Si resolvió sin mayores dificultades los ejercicios propuestos y comprobó que
sus respuestas son correctas, puede iniciar el trabajo con la guía de
Matemática B. Comience a trabajar con la Unidad 1.
• Si en cambio no logró resolver satisfactoriamente todos los ejercicios anteriores, es conveniente que revise los temas correspondientes en Matemática A.
Utilice para ello las indicaciones que le damos a continuación:
• Si no pudo plantear y/o resolver las ecuaciones de las
Actividades Nº 1y Nº 2, comience el estudio de la materia
trabajando con la Unidad 3 de Matemática A. Puede solicitar
en los Centros de Recursos Multimediales de las sedes la Guía
y la Bibliografía recomendada para su estudio.
• Si no pudo resolver la Actividad Nº 3 correspondiente a relaciones y funciones, comience el estudio de la materia trabajando con la Unidad 4 de Matemática A. Puede solicitar en los
Centros de Recursos Multimediales de las sedes la Guía y la
Bibliografía recomendada para su estudio.
12
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
Programa
MATEMATICA
Le presentamos el Programa correspondiente a Matemática B. El conjunto de
contenidos está distribuido en siete Unidades con la siguiente secuencia:
UNIDAD 1:
FUNCIÓN LINEAL
Relaciones y funciones.
Ceros, positividad, negatividad, crecimiento, decrecimiento, máximos y
mínimos de funciones.
Funciones lineales.
UNIDAD 2:
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales.
Métodos analíticos de resolución: Igualación y sustitución.
Interpretación gráfica.
UNIDAD 3:
PROPORCIONALIDAD
Noción de proporcionalidad.
Proporcionalidad directa e inversa.
Función de proporcionalidad directa e inversa.
Porcentaje.
Interés.
Función racional.
Asíntotas.
UNIDAD 4:
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
Semejanza de figuras geométricas.
Concepto de vector.
Operaciones con vectores.
Componentes cartesianas de un vector.
Aplicaciones: Homotecias.
Teorema de Thales.
Matemática B • PRESENTACIÓN
13
UNIDAD 5:
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Fórmula cuadrática.
Forma general de una función cuadrática.
Representación gráfica de una función cuadrática.
Ceros, vértice, eje de simetría de una parábola.
Distintas formas de expresar la fórmula de una función cuadrática.
UNIDAD 6:
FUNCIONES POLINÓMICAS
Funciones polinómicas.
Operaciones con expresiones polinómicas.
Teorema del resto.
Factorización de expresiones polinómicas.
UNIDAD 7:
ESTADÍSTICA
Población y muestra.
Tablas y gráficos estadísticos.
Medidas de centralización.
Medidas de variabilidad o dispersión.
Bibliografía
Como ya lo hemos señalado al explicar la organización de la Guía, en algunas
ocasiones usted deberá abordar los temas del Programa trabajando con los textos recomendados a los que tendrá que recurrir cada vez que se lo indiquemos
en la Guía. Con estos textos usted estudiará los temas que no son tratados por
la Guía de Estudio.
Los textos que hemos seleccionado para trabajar con esta Guía son:
• Camuyrano, Beatriz y otros: Matemática 1 (Polimodal), Editorial Estrada.
• López A. y Pellet M.: Matemática en Red 8 EGB, A-Z editora.
Este último texto es el mismo que utilizamos para el estudio de los contenidos de Matemática A. En Matemática B, lo utilizaremos para el estudio de la
Unidad 3.
Un buen manejo de la relación entre la Guía de Estudio y el texto es fundamental para el aprendizaje de los contenidos del Programa. Por eso le recomendamos estar atento a las indicaciones que le presentaremos al respecto.
14
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
1
Función lineal
En esta unidad retomaremos las ideas de relación y función que ya abordamos
en Matemática A. Nos interesa ahora profundizar esas nociones e incorporar
conceptos nuevos vinculados a ellas como ceros, positividad y negatividad,
crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos de funciones.
A lo largo de toda la Guía iremos presentando distintos tipos de funciones que
la Matemática utiliza para modelar situaciones de la realidad. En esta unidad
presentaremos a las funciones lineales, que tienen una importancia especial
por estar estrechamente vinculadas a diferentes procesos de la vida cotidiana,
de la Economía, de la Física, etc.
UNIDAD 1
UNIDAD
Propósitos de la unidad
En relación con los contenidos de esta Unidad le proponemos que:
• Distinga relaciones funcionales expresadas a través de gráficos, tablas o fórmulas.
• Reconozca, interprete y utilice la simbología matemática asociada a las
relaciones funcionales.
• Reconozca, en una función dada en forma gráfica, ceros, intervalos de
positividad y negatividad, intervalos de crecimiento y decrecimiento,
máximos y mínimos.
• Reconozca los procesos que pueden modelarse a través de una función
lineal.
• Reconozca la ecuación de una recta, su pendiente y ordenada al origen.
• Represente gráficamente una recta conocida su fórmula.
• Escriba la ecuación de una recta conocida su representación gráfica.
• Describa situaciones concretas utilizando funciones lineales.
• Reconozca los ceros e intervalos de positividad y negatividad de una función lineal a partir de su representación gráfica y de su fórmula.
ACTIVIDAD n° 1:
Matemática B • UNIDAD 1
15
ACTIVIDAD Nº 1: “CONTROL DE LA TEMPERATURA DE UNA SUSTANCIA”
En un laboratorio se controla la evolución de la temperatura de una sustancia mientras
es sometida a un proceso. Daremos el nombre de “hora cero” a la hora de inicio del
proceso.
Los datos registrados se volcaron en una tabla o planilla.
En el transcurso del proceso, el encargado de medir las temperaturas se distrajo un poco,
y, como consecuencia de ello, obtuvo los siguientes datos:
Planilla de registros de la temperatura de la sustancia
Tiempo en horas
0
1
2
Temperatura de la
sustancia en º C
-2
-1
0
3
4
2
Parte A
Lea la planilla de registros de temperatura como si leyera una revista o un diario y, a
partir de ella, responda las preguntas que siguen. Tenga en cuenta que no necesita usar
lenguaje matemático para responder.
1. ¿En qué horas se ha previsto realizar los registros de temperatura?
2. ¿En qué horas se concretó el registro?
3. ¿Cuáles fueron las temperaturas registradas?
4. ¿Para qué hora/s de la tabla no se obtuvo registro?
5. ¿Qué temperatura tenía la sustancia al iniciarse el proceso?
6. ¿Qué temperatura tenía la sustancia en la hora 4?
7. ¿Para qué hora la temperatura era de 0º C?
Para responder las preguntas anteriores, no necesitó utilizar términos
matemáticos ni simbología especial. Trate ahora de responder las preguntas
que siguen en la Parte B de la actividad. Si tiene dificultades para hacerlo o
la simbología utilizada no le resulta familiar, no se preocupe, siga leyendo y
encontrará al finalizar la Parte B las indicaciones que lo orientarán para revisarlas y retomarlas en la Guía correspondiente a Matemática A.
16
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
PARTE B
Llamaremos h a la relación establecida a partir de la planilla de registros de la temperatura de la sustancia. Es decir, h es la relación que vincula al conjunto de las horas t que es
{0; 1; 2; 3; 4} con el conjunto de las temperaturas y de la sustancia, o sea {-2 ; -1 ; 0 ; 2} .
Simbólicamente escribimos:
h : {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4} {-2 ; -1 ; 0 ; 2}
Para la relación h, responda:
1. ¿Cuál es el conjunto de partida?
2. ¿Cuál es el dominio?
3. ¿Cuál es el conjunto imagen?
4. ¿Existe h(3)? En caso afirmativo, indique a qué es igual.
5. ¿A qué es igual h(0)?
6. ¿Existe h(4)? Si existe, indique su valor.
-1
7. ¿Existe h (0)? En caso afirmativo, indique su valor.
8. ¿Cuáles son los pares ordenados que definen a esta la relación? Escríbalos.
9. ¿Cuál es la representación gráfica que describe a esta relación? Represéntela en
un sistema coordenado cartesiano.
10. Elija, entre las siguientes fórmulas, aquella que describe a esta relación. Es decir,
la fórmula que expresa la temperatura y que tiene la sustancia en cada hora t:
• y = 2. t – 2
• y = -2. t + 1
•y = t–2
11. La relación h ¿es función?
Si no ha podido responder las preguntas de la Parte B, ha tenido dificultades para hacerlo o la simbología utilizada no le resulta familiar, le sugerimos que retome estos contenidos y las actividades propuestas en la Unidad N° 4 de Matemática A. No deje de hacerlo ya que es necesario para
la comprensión de los contenidos de esta materia que usted tenga un buen manejo de los conceptos de relación y función así como del lenguaje asociado a ellos. Estos conceptos constituyen
la “columna vertebral” del programa de esta materia.
ORIENTACIONES
Si comparamos las respuestas a las preguntas 1. a 7. de la Parte A con las de
las preguntas 1. a 7. de la Parte B, veremos que están estrechamente vinculadas. Por ejemplo:
• La respuesta a la pregunta 1. de la Parte A es: Las horas en que se ha previsto realizar los registros de temperatura, de acuerdo con la planilla confeccionada, son las horas 0, 1, 2, 3 y 4.
• La respuesta a la pregunta 1. de la Parte B es: El conjunto de partida de
la relación h es {0; 1; 2; 3; 4}.
Matemática B • UNIDAD 1
17
Observe que en el primer caso se pregunta y se responde en términos de
la situación planteada, mientras que en el segundo se pregunta y se responde usando términos y simbología matemática. A usted seguramente
le resulta más familiar expresarse en términos de la situación, pero es
necesario además que pueda entender y expresarse en el lenguaje que
utiliza la Matemática. Quizá piense que este lenguaje es demasiado complejo para aprenderlo pero, asociándolo a situaciones ya conocidas es probable que le resulte más sencillo hacerlo.
Para poder incorporar el lenguaje matemático, del mismo modo que
cuando usted se dispone a aprender cualquier otro lenguaje, deberá usarlo. A partir de ello, puede reflexionar sobre cómo y para qué lo usa, qué
palabras y símbolos nuevos va aprendiendo, puede asociarlos a situaciones concretas que le resulten familiares, darle nombre a los conceptos y
escribirlos con su expresión simbólica. Este trabajo le permitirá familiarizarse progresivamente con los conceptos y el lenguaje asociado a ellos.
A continuación le presentamos un cuadro para que compare lo que usted respondió en las Partes A y B, y para ejemplificar lo que acabamos de decir respecto del lenguaje simbólico.
Cuadro comparativo de las Partes A y B en términos de la situación
concreta y en términos matemáticos
18
ítem
En la Parte A.
“En términos de la situación concreta”
En la Parte B.
“En términos matemáticos”
2
Se concretó el registro en las horas 0, 1,
2 y4
El dominio de h, es decir, el conjunto
formado por los elementos del conjunto de partida que tienen imagen, es:
Dom h = {0; 1; 2; 4}
3
Las temperaturas registradas en grados
centígrados fueron -2, -1, 0, 2
El conjunto imagen de la relación h, es
decir, el formado por los elementos del
conjunto de llegada que son imágenes,
es:
Im h = { -2; -1; 0; 2}
4
No se obtuvo registro para la hora 3
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
La imagen de 3 no existe.
Simbólicamente:
h(3) no existe
5
Al iniciarse el proceso, en la hora cero, la
sustancia tenía –2° C de
temperatura
La imagen de cero a través de
h es –2. Simbólicamente:
h(0) = -2
6
A la hora 4 la sustancia tenía una temperatura de 2° C
Existe h(4) y h(4) = 2
7
La sustancia tenía 0º C a la hora 2
La preimagen de 0 a través de h
existe y es 2. Simbólicamente:
h-1 (0) = 2
Podemos expresar la forma en que se establece la relación entre los elementos
del conjunto de partida y los elementos del conjunto de llegada de diferentes
formas: a través del conjunto de sus pares ordenados, a través de una tabla, a
través de un gráfico, a través de una fórmula.
• El conjunto de los pares ordenados de la relación h es:
{ (0 ; -2) ; (1 ; -1) ; (2 ; 0) ; (4 ; 2) }
• El gráfico que describe a la relación h es:
y (ºC)
t (horas)
• La fórmula que describe a la relación h es: y = t – 2
Porque si reemplazamos en ella a t por todas las horas en las que se realizó
el registro de temperatura, obtenemos todos los valores de temperaturas
indicados en la tabla:
Para t = 0
Para t = 1
Para t = 2
Para t = 4
y = 0 – 2 = -2
y = 1 – 2 = -1
y=2–2=0
y=4–2=2
Matemática B • UNIDAD 1
19
Si elegimos, por ejemplo, describir a la relación h a través de su fórmula, nos
queda:
h: {0; 1; 2; 3; 4} {-2 ; -1 ; 0 ; 2} / h ( t ) = t – 2
Es decir, la relación h tiene al conjunto {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4} como conjunto de
partida; al conjunto {-2 ; -1 ; 0 ; 2} como conjunto de llegada y el vínculo
entre ambos se establece a través de la fórmula h ( t ) = t – 2.
PARTE C
Después de muchas observaciones y cálculos, en el laboratorio pudieron comprobar que
en la hora t = 3, en la que el encargado de los registros se distrajo, la temperatura evolucionó del mismo modo que en las otras horas. Por lo tanto, la temperatura y para cada
hora t (incluyendo la hora 3) puede expresarse con la fórmula y = t – 2.
Puede entonces describirse la situación con la siguiente relación:
p : {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4} {-2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2} / p ( t ) = t – 2
Responda las siguientes consignas:
1. Escriba los pares ordenados de la relación p.
2. Escriba el conjunto de partida y el dominio de la relación p.
3. Represente gráficamente la relación p.
4. ¿La relación p es función?
5. Observe los pares ordenados de las relaciones h y p. A partir de ello, ¿diría que
estas relaciones son iguales entre sí? ¿Por qué?
6. ¿En qué se parecen y en qué se diferencian las relaciones h y p? Para responder tenga
en cuenta los pares que observó en la pregunta anterior, los conjuntos de partida y
de llegada de cada una de las relaciones, y la forma de expresar a cada una de ellas.
ORIENTACIONES
Las relaciones que hay que comparar son:
• h: {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4} {-2 ; -1 ; 0 ; 2}, dada originalmente por la tabla,
cuyos pares ordenados son: (0 ; -2); (1 ; -1); (2 ; 0); (4 ; 2)
• p: {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4} {-2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2} de fórmula p ( t ) = t – 2 cuyos
pares ordenados son: (0 ; -2); (1 ; -1); (2 ; 0); ( 3 ; 1); (4 ; 2)
Las relaciones son diferentes ya que no tienen los mismos pares ordenados. Si
bien algunos de ellos son comunes a ambas relaciones debido a que coinciden los
20
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
conjuntos de partida y que la fórmula que las describe es la misma, la diferencia
en el conjunto de llegada determinó que los pares no fuesen los mismos.
Además la relación h no es función y la relación p sí lo es.
La relación h no es función ya que el 3 del conjunto de partida no tiene imagen en el conjunto de llegada. En términos de la situación: porque no hubo
registro de temperatura a la hora 3.
La relación p es función ya que cada elemento del conjunto de partida tiene imagen en el conjunto de llegada y esta imagen es única. En esta relación coinciden
el conjunto de partida y el dominio, debido a que cada elemento del conjunto
de partida tiene imagen en el conjunto de llegada y el dominio es el conjunto formado por todos aquellos elementos del conjunto de partida que tienen imagen.
Esta afirmación es válida para cualquier relación que resulte ser función.
PARTE D
Responda las siguientes consignas:
1. Escriba los pares de la función:
r : {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4} {-5 ; -4 ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} / y = t – 2
2. Esta función r y la función p que hemos venido analizando, ¿son iguales?
3. La función r, ¿puede describir la situación de la temperatura de la sustancia sometida al proceso industrial que describe la función p?
4. ¿Cómo resultarían entre sí las representaciones gráficas de las funciones r y p?
ORIENTACIONES
Si bien las funciones p y r son expresadas por el mismo conjunto de pares
ordenados y el mismo gráfico, se trata de funciones diferentes por tener distintos conjuntos de llegada. De todos modos, las dos pueden describir la
situación de la temperatura de la sustancia en función del tiempo dada anteriormente. Para que dos funciones sean iguales deben coincidir su conjunto
de partida, su conjunto de llegada y la forma en que se vinculan los elementos de uno con otro conjunto.
Observe además, como ocurre en la función r, que en una función, el conjunto de llegada puede tener más elementos que el conjunto imagen.
Matemática B • UNIDAD 1
21
PARTE E
En el laboratorio, siguieron estudiando el comportamiento de la temperatura de la sustancia. Pudieron comprobar que en cualquier instante t del intervalo de tiempo entre la
hora 0 y la hora 4, durante el cual se analiza el proceso, puede calcularse la temperatura de la sustancia con la fórmula o cuenta:
y=t–2
Responda las siguientes consignas a partir de la información anterior:
1. Escriba simbólicamente una función s que describa la situación para cualquier instante t del intervalo de tiempo en el que es analizado el proceso.
2. Observe el conjunto de partida de la función s que escribió en el ítem anterior.
Dicho conjunto, ¿permite calcular la temperatura de la sustancia en cualquier instante t del intervalo de tiempo entre la hora 0 y la hora 4? Por ejemplo, ¿permite
calcular la temperatura de la sustancia en t = 0,5 ó en t = 3,7?
3. Si su respuesta es negativa, describa el conjunto de partida de modo que la función s permita calcular la temperatura en cualquier instante t del intervalo entre
la hora 0 y la hora 4.
4. Represente gráficamente la función s.
ORIENTACIONES
Para que la función s describa el proceso analizado en cualquier instante t del
intervalo de tiempo entre la hora 0 y la hora 4, el conjunto de partida debe
incluir a cualquier número real entre 0 y 4. Este conjunto se representa de la
siguiente forma: [0 ; 4].
Si no reconoce esta notación, le recordamos que [0 ; 4] es un intervalo cerrado, es
decir, es el conjunto de los números reales (R) entre 0 y 4. En símbolos:
[0 ; 4] = {x
R/0
x
4}
Este tema fue trabajado en los Ejercicios de integración de la Unidad N° 2 de
Matemática A. Si le resulta necesario vaya a ver lo dicho allí al respecto.
De este modo, una función posible s capaz de describir la situación planteada es:
s : [0 ; 4] R / s ( t ) = t – 2.
Decimos que es una función posible porque podríamos cambiar el conjunto de
llegada por cualquier otro con tal de que contenga al conjunto imagen. En este
caso elegimos el más grande posible, porque pusimos al conjunto R de los
números reales.
Recuerde que este conjunto está integrado por todos los números que pueden
ser expresados como fracciones y por los números irracionales.
22
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
La representación gráfica de s es:
y (ºC)
t (horas)
Tenga en cuenta que como la función s describe lo que ocurre con la temperatura de la sustancia en cualquier instante t entre 0 y 4, su representación
gráfica no es un conjunto de puntos aislados como en el caso de las funciones
p y h, sino que resulta una línea continua.
PARTE F
Responda las siguientes preguntas teniendo en cuenta la representación gráfica de la
función s. Si le hace falta, vuelva a observar la tabla de registros de la temperatura de
la sustancia realizada en el laboratorio.
1. ¿A qué hora la temperatura de la sustancia fue de 0° C?
2. ¿En qué período de tiempo la temperatura de la sustancia se mantuvo por debajo de los 0° C?
3. ¿En qué período de tiempo la temperatura de la sustancia fue superior a los 0° C?
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: CEROS, INTERVALOS DE POSITIVIDAD Y DE
NEGATIVIDAD DE UNA FUNCIÓN
• La temperatura de la sustancia fue de 0° C en t = 2. A este valor de t lo
llamamos cero de la función s. Gráficamente, es el valor de t en el que la
representación gráfica de la función s corta al eje x.
En general, un cero de una función f es el valor de x en el que el valor de y
es cero.
Para buscar los ceros de una función f utilizando su fórmula, debemos
resolver la ecuación f(x) = 0.
Matemática B • UNIDAD 1
23
Para buscar los ceros utilizando la gráfica de la función tenemos que determinar las abscisas de los puntos en los que el gráfico de f corta al eje x.
Al conjunto formado por todos los ceros de la función lo simbolizamos C0.
En el caso de la función s, C0 = { 2 }.
• A partir de la segunda hora y hasta la cuarta hora la temperatura de la sustancia fue superior a 0° C. A este período de tiempo en el que la temperatura de la sustancia es superior a 0° C lo llamamos conjunto de positividad
de la función s.
En general, llamamos conjunto de positividad de una función f, al conjunto de valores de x pertenecientes al dominio de la función cuyas imágenes son positivas.
Para buscar el conjunto de positividad de una función f utilizando su fórmula debemos resolver la inecuación f(x) > 0.
Para buscar el conjunto de positividad utilizando la gráfica de la función
tenemos que determinar las abscisas de los puntos en los que el gráfico está
por encima del eje x.
Al conjunto de positividad de una función lo simbolizamos: C +.
En la función s, C + = (2; 4].
• Durante las dos primeras horas la temperatura de la sustancia se mantuvo
por debajo de los 0° C, es decir, fue negativa. Al período de tiempo en el que
la temperatura de la sustancia se mantuvo por debajo de los 0° C lo llamamos conjunto de negatividad de la función s.
En general, llamamos conjunto de negatividad de una función f, al conjunto de valores de x pertenecientes al dominio de la función cuyas imágenes son negativas. Para buscar el conjunto de negatividad de una función f
utilizando su fórmula, debemos resolver la inecuación f(x) < 0.
Para buscar el conjunto de negatividad de una función utilizando su gráfica
tenemos que determinar las abscisas de los puntos en los que el gráfico está
por debajo del eje x.
Al conjunto de negatividad de una función lo simbolizamos: C –.
En la función s, C – = [0; 2).
Los conjuntos (2 ; 4] y [0 ; 2) son intervalos de números reales que se denominan
intervalos semiabiertos o semicerrados.
El primero está formado por todos los números reales mayores que 2 y menores o
iguales que 4. El segundo está formado por todos los números reales mayores o
iguales que cero y menores que 2.
Si necesita revisar este tema hágalo utilizando los Ejercicios de integración correspondientes a la Unidad 2 de Matemática A.
24
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
En la próxima actividad le propondremos que trabaje con el libro. Antes de
que comience a realizar este trabajo queremos hacerle algunas sugerencias
que consideramos lo ayudarán en esta tarea:
• No es conveniente que se extienda en la lectura más allá de lo indicado.
• Resuelva sólo aquellas actividades que le indiquemos. Si intenta trabajar con actividades no indicadas podría encontrarse con situaciones que
todavía no está en condiciones de resolver o con dificultades mayores que
las requeridas.
• Señale, de algún modo que a usted le resulte cómodo, aquello que le
indicamos para leer y resolver de modo que pueda restringir su trabajo en
forma anticipada.
Tenga en cuenta estas sugerencias cada vez que le propongamos que trabaje con el libro.
ACTIVIDAD N° 2: “TRABAJANDO CON EL LIBRO"
En esta actividad lo orientaremos para que trabaje algunos contenidos de la unidad
utilizando el libro Matemática 1 de Camuyrano, B. y otros, editorial Estrada.
El abordaje de estos temas se realizará únicamente en base a la lectura y a la resolución de las actividades que le indicaremos en los siguientes párrafos.
¿Listo para comenzar su trabajo con el libro? Le indicaremos paso a paso el camino que
debe seguir con él.
En el Capítulo 1 - Las funciones:
1. Lea, en las páginas 23 a 25, "Crecimiento y decrecimiento de funciones". Resuelva, a
medida que va leyendo, la Ejercitación que le propone el libro en estas páginas.
2. Lea, en las páginas 29 y 30, "Intervalos de crecimiento y decrecimiento".
3. Lea, en las páginas 30 y 31, "Máximos y mínimos locales" y "Máximos y mínimos
absolutos".
4. Resuelva los ejercicios N° 1 y 2 de la Ejercitación propuesta en la página 34.
Matemática B • UNIDAD 1
25
ACTIVIDAD N° 3: “LA TEMPERATURA EN LA CIUDAD DE MAR
DEL PLATA"
La función f graficada a continuación representa las temperaturas registradas en la ciudad de Mar del Plata durante las 24 hs de un día del mes de Mayo:
Responda las siguientes consignas a partir de la observación del gráfico y teniendo en
cuenta todo lo realizado en las actividades anteriores:
1. ¿Cuál es el dominio de la función f?
2. Indique el conjunto imagen de la función.
3. ¿Qué temperatura se registró en la ciudad a las 7 hs?
4. ¿A qué hora se registró una temperatura de 15° C?
5. ¿En algún momento del día la temperatura fue de 0° C? Si su respuesta es afirmativa indique dicho/s instante/s.
6. Exprese lo pedido en los ítems 3., 4. y 5. en lenguaje simbólico.
7. Determine los intervalos de positividad y negatividad de la función f. Escriba su respuesta en lenguaje simbólico.
8. Exprese lo pedido en el ítem 7. en términos de la situación que representa la función f?
9. ¿Cuáles fueron las temperaturas máxima y mínima de la ciudad en ese día? ¿A qué
hora se registró cada una de ellas?
10.¿En qué intervalos de tiempo la temperatura estuvo bajando?
11.¿En qué intervalos de tiempo la temperatura estuvo subiendo?
12.Escriba las preguntas de los ítems 9., 10. y 11. utilizando lenguaje matemático.
26
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
ACTIVIDAD N° 4: “MANTENIMIENTO DE PILETAS DE NATACIÓN”
La empresa “Celeste S.A” brinda un servicio de mantenimiento de piletas de natación
en un barrio del conurbano. Este año, al iniciar la temporada, el gerente decidió realizar un registro del trabajo realizado por la empresa para algunos de sus clientes, con el
objetivo de poder hacer ciertas previsiones al inicio de la próxima temporada. A partir
de los registros realizados por sus empleados, construyó las representaciones gráficas de
las funciones que expresan la cantidad de hectolitros de agua que tuvo cada pileta, instante a instante, durante un período de 5 horas de trabajo. Llamó “hora cero” a la hora
en que la empresa comenzó su trabajo en las piletas. Las representaciones realizadas por
el gerente son:
y=h(t)
(EN MILES DE HL)
(EN MILES DE HL)
y=g(t)
(EN MILES DE HL)
y=f(t)
t (horas)
t (horas)
t (horas)
Pileta nº 1
f: [0; 5] R/y = f(t)
Pileta nº 2
g: [0; 5] R/y = g(t)
y=m(t)
(EN MILES DE HL)
(EN MILES DE HL)
y=k(t)
(EN MILES DE HL)
y=j(t)
Pileta nº 3
h: [0; 5] R/y = h(t)
t (horas)
Pileta nº 4
j: [0; 5] R/y = j(t)
t (horas)
Pileta nº 5
k: [0; 5] R/y = k(t)
t (horas)
Pileta nº 6
m: [0; 5] R/y = m(t)
Matemática B • UNIDAD 1
27
(EN MILES DE HL)
y=q(t)
(EN MILES DE HL)
y=p(t)
(EN MILES DE HL)
y=n(t)
t (horas)
Pileta nº 7
n: [0; 5] R/y = n(t)
t (horas)
t (horas)
Pileta nº 8
p: [0; 5] R/y = p(t)
Pileta nº 9
q: [0; 5] R/y = q(t)
PARTE A
Le pedimos que observe las dos primeras representaciones gráficas y que a partir de ellas
responda:
1. Las piletas que representan estos gráficos, ¿se estuvieron llenando o vaciando?
2. ¿Qué cantidad de hectolitros tenía cada una de ellas al iniciar el trabajo?
3. ¿Qué cantidad de hectolitros tuvo cada una de ellas al finalizar la primera hora de
trabajo? ¿Y al finalizar la segunda hora? ¿Y al finalizar la tercera hora?
4. Complete la siguiente tabla:
Tiempo t , en horas
0
1
2
3
4
5
Cantidad y de hectolitros
de agua en la pileta nº 1
Cantidad y de hectolitros
de agua en la pileta nº 2
5. A partir de la tabla anterior indique: ¿qué cantidad de hectolitros ingresó en cada
una de las piletas durante la primera hora de trabajo? ¿Y durante la segunda hora?
¿Y durante la tercera hora?
6. ¿Qué diferencia observa en la forma en que se llenó la pileta Nº 1 respecto de la
forma en que se llenó la pileta Nº 2? Describa esa diferencia con sus palabras.
28
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
ORIENTACIONES
En la primera pileta ingresó la misma cantidad de hectolitros por hora, es decir,
el contenido de la pileta aumentó un valor constante por unidad de tiempo o
aumentó a una velocidad constante de 2 hl/h (dos hectolitros por hora).
PARTE B
1. Considere los gráficos correspondientes a las piletas que se estuvieron llenando
durante todo el período de trabajo y responda:
a) ¿Cuáles de los gráficos muestran que el contenido de la pileta aumentó un valor
constante por unidad de tiempo? ¿Qué característica tienen estos gráficos?
b) ¿Qué característica observa en los gráficos que corresponden a piletas cuyo contenido no aumentó a velocidad constante?
2. Identifique ahora los gráficos de las piletas que se están vaciando durante todo el
período de trabajo y observe:
a) ¿En cuáles sale del tanque la misma cantidad de hectolitros por hora durante el
período analizado? Es decir, ¿cuáles tienen velocidad de disminución constante?
¿Qué características tienen estos gráficos?
b) ¿Qué característica observa en los gráficos que corresponden a piletas cuyo contenido no disminuyó a velocidad constante?
PARTE C
En principio, el gerente decide analizar sólo los gráficos correspondientes a piletas que
variaron su contenido a velocidad constante durante todo el período de control. A partir de estos gráficos responda las siguientes preguntas:
1. ¿Cuál de ellos muestra que el contenido de la pileta aumentó a razón de 0,5 hectolitros por hora? O, dicho de otra forma, ¿en qué caso la velocidad con que varía el
contenido de la pileta es de 0,5 hl/h?
2. ¿En cuál de las piletas el contenido disminuyó a razón de 2 hl/h?
3. Encuentre otra pileta que se haya llenado a velocidad constante y determine el
número que indica dicha velocidad.
4. Encuentre otra pileta que se haya vaciado a velocidad constante y determine el
número que expresa dicha velocidad.
5. Trate de formular, lo más precisamente que pueda, lo que se debe observar y/o calcular para poder determinar, en los gráficos que estamos analizando, cuál es el
número que indica la velocidad a la que está ocurriendo el proceso.
Matemática B • UNIDAD 1
29
ORIENTACIONES
En las piletas n° 1, n° 4, n° 6, y n° 9 el contenido se modificó en un valor
constante por unidad de tiempo es decir, todas ellas variaron su contenido
a velocidad constante.
La representación gráfica de la cantidad de hectolitros que contiene cada una
en cada instante del tiempo de trabajo es un segmento de recta.
Podemos observar a través de sus representaciones gráficas que en la pileta n°
9 el contenido aumentó a razón de 0,5 hl/h y que en la pileta n° 6 el contenido del tanque disminuyó a razón de 2 hl/h. Para señalar que la cantidad de
hectolitros que contiene la pileta nº 6 está disminuyendo diremos que su velocidad es de –2 hl/h.
En la pileta nº 7, el contenido del tanque se mantuvo constante. Podemos
decir que el contenido no se modificó, la velocidad es de 0hl/h
PARTE D
1. Vuelva a mirar el gráfico correspondiente a la pileta n° 9 y complete la tabla que le
damos a continuación, formulándose previamente las siguientes preguntas:
• ¿Cuál es la velocidad con que varía su contenido?
• ¿Qué cantidad de hectolitros tenía la pileta al iniciar el control?
• ¿Qué puede decirse de su contenido una hora después de iniciado el control? ¿Y
dos horas después?
Tiempo t , en horas
0
1
2
3
4
5
Cantidad y de hectolitros
de agua en la pileta nº 9
2. De acuerdo con los datos que le proporcionan sus respuestas a las preguntas anteriores y teniendo en cuenta la tabla que acaba de completar, escriba una cuenta o
fórmula que permita calcular la cantidad y de hectolitros de agua que contiene la
pileta n° 9 en cada instante t. Complete la siguiente igualdad:
y = …........................
3. Repita lo que analizó para la pileta n° 9 en el ítem anterior, para las piletas n° 1, 4 y
6. Es decir, encuentre en cada caso una fórmula que le dé la cantidad y de hectolitros
de agua que tiene cada pileta en cada instante t del período de trabajo.
30
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
PARTE E
Para sistematizar la información recibida, el gerente de la empresa, confeccionó una
tabla con las fórmulas que él obtuvo.
1. Controle las fórmulas que usted escribió al resolver la Parte D comparándolas con las
del gerente.
PILETA nº
1
4
6
9
Fórmula que da
la cantidad y de hl de agua
para cada instante t
2. En cada una de las fórmulas que usted y el gerente determinaron:
• ¿Dónde aparece expresado el valor de la velocidad de variación del contenido de
la pileta? Señálelo en cada una de las fórmulas.
• ¿Dónde aparece expresada la cantidad de hectolitros que tiene la pileta en el
momento de iniciar el trabajo? Señálelo en cada una de las fórmulas.
3. Si la fórmula que da la cantidad de hectolitros y que contiene “una pileta cualquiera” cuyo contenido varía a velocidad constante en cada instante t es y = m t + b,
• ¿Qué indica m?
• ¿Qué indica b?
ORIENTACIONES
La fórmula o ecuación que da la cantidad y de hectolitros de agua para cada
instante t, por ejemplo en la pileta n° 6, es y = - 2 t + 10.
En esta fórmula aparece expresado el valor de la velocidad de variación del
contenido de la pileta en el número –2, ya que esta pileta se estuvo vaciando
a razón de 2 hl por hora.
El número 10 expresa la cantidad de hectolitros de agua que contiene la pileta en el momento inicial, es decir en t = 0.
Matemática B • UNIDAD 1
31
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: ECUACIÓN DE UNA RECTA.
FUNCIÓN LINEAL
Cualquiera de las fórmulas anteriores es de la forma y = m t + b. Cada una de
ellas indica la cantidad y de hectolitros de agua en cada instante t, cuando el
contenido de cada pileta está variando en forma constante o a velocidad constante m.
Fuera de la situación concreta, una función definida por una ecuación de la
forma y = m . t + b, admite a cualquier número real en su dominio. En ese
caso la función definida es de la forma:
f: R R / y = f(t) = m t + b
y se la llama función lineal. La representación gráfica de una función lineal
es una recta.
y
y=mt+b
b
t
Al número m lo llamaremos pendiente de la recta y al número b, ordenada
al origen.
Las representaciones gráficas de las funciones que expresan la cantidad de hectolitros que contiene cada pileta en el período de trabajo resultan ser segmentos de recta porque el dominio de cada una de ellas, en el contexto de la situación concreta presentada, es el intervalo [0;5].
ACTIVIDAD N° 5: “TRABAJANDO CON EL LIBRO”
En esta actividad nuevamente lo orientaremos para que trabaje algunos contenidos utilizando el
libro Matemática 1 de Camuyrano B. y otros, editorial Estrada. No se olvide de las sugerencias que
le hicimos en la Actividad N° 2 respecto del manejo del libro y de la información que él puede brindarle.
32
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
En el Capítulo 2 – Funciones lineales:
1. Lea, en las páginas 43 a 48, “Pendiente y ordenada al origen”. Resuelva, a medida
que va leyendo, la Ejercitación que le propone el libro en estas páginas.
2. Lea, en las páginas 48 y 49, “Gráficos de rectas según m y b”. Resuelva la Ejercitación
propuesta en la página 49.
3. Lea, en las páginas 50 a 52, los ítems a) y b) bajo el título “Formas de la ecuación de
una recta”.
4. Resuelva los ejercicios 1 y 2 de la Ejercitación propuesta en la página 53.
5. Lea, en las páginas 53 a 57, “Rectas paralelas y perpendiculares”. Resuelva, a medida que va leyendo, la Ejercitación que le propone el libro en estas páginas.
En la Ejercitación propuesta en la página 57, hay un error en el ejercicio 3:
Donde dice: tenga ordenada al origen y0 = (5 ; 1); debe decir: tenga ordenada al origen y0 = 5
6. Resuelva, en las páginas 64 y 65, las actividades N° 1, 2, 3, 5, 6 y 7 de las Actividades
de síntesis del capítulo. Puede controlar sus respuestas con las que le presenta el libro
en la página 371.
Antes de comenzar a estudiar la próxima unidad, usted debe realizar los ejercicios de integración correspondientes a la Unidad 1. Su realización es imprescindible. Al resolverlos trabajará aspectos de los contenidos de la unidad que
no fueron trabajados en las actividades que resolvió hasta este momento.
También podrá integrar los distintos contenidos de la unidad y autoevaluar si
ya se encuentra en condiciones de pasar a estudiar la próxima unidad. No deje
de realizarlos. Sus enunciados se encuentran en el anexo que se le entregó
junto con la guía de estudio.
Matemática B • UNIDAD 1
33
34
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
2
Sistemas de ecuaciones lineales
con dos incógnitas
Antes de comenzar recordemos que podemos utilizar funciones lineales como
modelos para describir el comportamiento de muchas situaciones de la realidad. En esta unidad seguiremos trabajando con funciones cuya fórmula es la
ecuación de una recta. Nos interesa ahora poder determinar el (o los) puntos
de intersección entre dos rectas en forma gráfica y analítica; e interpretar su
significado en diversas situaciones concretas.
UNIDAD 2
UNIDAD
Propósitos de la Unidad
En relación con los contenidos de esta Unidad, le proponemos que:
• Reconozca las características de los sistemas de ecuaciones lineales con dos
incógnitas.
• Clasifique estos sistemas de acuerdo con el tipo de solución.
• Adquiera habilidad para utilizar los métodos de igualación y de sustitución
para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
• Reconozca qué situaciones problemáticas pueden resolverse a través de
dichos sistemas.
• Escriba correctamente el conjunto solución de un sistema de ecuaciones.
• Interprete el conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales desde
el punto de vista gráfico.
Para trabajar los contenidos de esta unidad es indispensable haber comprendido los
conceptos trabajados en la Unidad 1. Si le ha quedado alguna duda, o no recuerda
algún tema, es conveniente que los revise antes de comenzar el estudio de la presente Unidad.
ACTIVIDAD Nº 1: “NUEVAS INSTRUCCIONES PARA CONSTRUIR
DISEÑOS DE ESTAMPADOS”
¿Recuerda la Actividad Nº 3 de la Unidad 4 de Matematica A: “Diseños de estampados
con ayuda de una computadora”?
Retomaremos dicha actividad recordando la información de cómo se usa la computadora que leyó Juan en el manual. Dicha información es la siguiente:
Matemática B • UNIDAD 2
35
• Se inicia el trabajo pintando algunos puntos que servirán de guía para el trazado del
dibujo.
• Las figuras o dibujos se hacen por partes.
• En una pantalla se visualiza lo que se va creando y lo que resultará luego en la tela.
• Para ubicar los puntos a pintar, la computadora utiliza un sistema de referencia que
ocupa toda la pantalla. El sistema es como el que sigue:
Le proponemos analizar el trabajo de uno de los diseñadores de esta empresa.
Horacio trabaja como diseñador de figuras para estampar sobre telas y utiliza para ello
el sistema computarizado que utilizaba Juan. Inicia el trabajo dando las siguientes órdenes a la computadora:
• Pintar de color amarillo todos los puntos dados por la siguiente instrucción:
• Pintar de color azul todos los puntos dados por la instrucción:
En respuesta a estas instrucciones la pantalla muestra lo siguiente:
36
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
Como interesa observar especialmente lo que ocurre en un cuadrado de 6 unidades de
lado, el diseñador se lo indica a la computadora, y ésta lo destaca con líneas punteadas,
de la siguiente forma:
PARTE A
1. Imagine por un momento que no puede observar la pantalla y necesita saber si algunos puntos fueron pintados o no. El dato de que dispone es la instrucción que
Horacio dio a la computadora, esto es:
• Pintar de color amarillo todos los puntos dados por la siguiente instrucción:
• Pintar de color azul todos los puntos dados por la instrucción:
Utilizando las instrucciones que Horacio dio a la computadora:
Responda las siguientes consignas:
a. El punto de coordenadas (6 ; 5):
¿fue pintado de amarillo, de azul, o no fue pintado de acuerdo con las instrucciones dadas? ¿Por qué?
Escriba todas las cuentas que necesita para justificar su respuesta. (Tenga en cuenta que el primer valor del par representa un valor de x, y el segundo un valor de y,
en este caso x = 6 e y = 5).
b. Los puntos de coordenadas (0 ; 6), (4 ; 3) y (3 ; 4):
¿fueron pintados de amarillo, de azul, o no fueron pintados de acuerdo con las instrucciones dadas? Como lo hizo en el ítem anterior, escriba todas las cuentas que
necesita para justificar su respuesta.
2. Mirando la pantalla y teniendo en cuenta sólo el cuadrado de observación que determinó el diseñador, responda:
a. ¿Hay algún punto de los indicados arriba que esté pintado de los dos colores? Si la
respuesta es afirmativa, indique sus coordenadas.
Matemática B • UNIDAD 2
37
b. ¿Cuántos puntos estarán pintados de los dos colores, teniendo en cuenta las instrucciones dadas? ¿Por qué?
3. ¿Qué puede observarse en las instrucciones dadas a la computadora al reemplazar
en ambas por las coordenadas del punto que está pintado de los dos colores?
ORIENTACIONES
El punto de coordenadas (6 ; 5) está pintado de azul porque responde a la ins1
1
trucción y = x + 3 , dado que 5 = . 6 + 3 .
3
3
El punto de coordenadas (0 ; 6) está pintado de amarillo porque responde a
2
2
la instrucción y = – x + 6 ya que 6 = – . 0 + 6 .
3
3
El punto de coordenadas (4 ; 3) no está pintado porque no verifica ninguna
de las dos instrucciones dadas.
El punto de coordenadas (3 ; 4) quedó pintado de verde porque fue alcanzado por la pintura azul y la amarilla. Pues (3 ; 4) verifica las dos instrucciones:
1
2
.3+3=1+3
4=– .3+6=–2+6
y
4=
3
3
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS:
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
En la situación que estamos trabajando, (x ; y) = (3 ; 4) es el único par que
satisface a las dos ecuaciones.
Si tenemos en cuenta las representaciones gráficas de las instrucciones dadas a
la computadora, (3 ; 4) son las coordenadas del único punto que queda pintado de verde.
En la situación que estamos trabajando, (x ; y) = (3 ; 4) es el único par que
satisface a las dos ecuaciones.
Para indicar que necesitamos encontrar cuáles son los valores de x y de y que
satisfacen a las dos ecuaciones lo indicaremos así:
y lo llamaremos sistema de ecuaciones.
38
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
Diremos que el conjunto S = {(3 ; 4)} es el conjunto solución del sistema de
ecuaciones dado.
En general, diremos que:
es un sistema de ecuaciones.
En particular, como estas ecuaciones son lineales y tienen las incógnitas x e y, diremos que es un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
La resolución de un sistema de ecuaciones de este tipo consiste en encontrar todos
los pares (x ; y) cuyas coordenadas verifiquen las dos ecuaciones simultáneamente.
Al conjunto formado por los pares (x ; y) que verifiquen las dos ecuaciones lo llamaremos conjunto solución de dicho sistema y lo escribiremos simbólicamente:
S = {(x ; y)}
Si tenemos en cuenta que la representación gráfica de cada ecuación lineal es
una recta, el conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales está formado por todos los puntos que tienen en común ambas rectas.
PARTE B
Represente, como en la pantalla de la computadora, las siguientes instrucciones (como
siempre dé valores a x y encuentre los valores de y correspondientes):
•
•
3y + 2x = 18
ORIENTACIONES
Habrá observado que en la pantalla quedó representada una única recta. Esto
2
es porque la ecuación y = – — x + 6 y la ecuación 3y + 2x = 18 expresan
3
los mismos puntos del plano, o de la tela. Para probarlo podemos despejar y
de la segunda ecuación.
Así:
3y + 2x = 18
3y = -2x + 18
– 2x + 18
y=
3
y=–
2
2x
18
+
=–
x+6
3
3
3
Si aún no está en condiciones de resolver una ecuación como la anterior debe revisar este tema en la Unidad 3 de Matemática A antes de seguir avanzando con el desarrollo de esta unidad.
Matemática B • UNIDAD 2
39
PARTE C
En tres oportunidades distintas, el diseñador usó fórmulas lineales como instrucciones
para la máquina diseñadora.
En cada una de estas oportunidades, el diseñador introdujo dos instrucciones, con la
indicación de que los puntos obtenidos con una de ellas se pinten de color amarillo y los
puntos obtenidos con la otra se pinten de color azul.
Como en cada oportunidad se introdujeron instrucciones distintas, se observaron diferentes diseños en la pantalla:
• En la primera oportunidad no hubo puntos verdes.
• En la segunda oportunidad hubo infinitos puntos verdes.
• Y, en la tercera hubo un único punto verde.
Responda las siguientes consignas:
1. Teniendo en cuenta que cada instrucción es una fórmula lineal, ¿qué tipo de representación gráfica resultará con cada instrucción?
2. Cada par de instrucciones dadas a la computadora determinó diferencias en la cantidad de puntos verdes obtenidos en cada oportunidad. Construya los gráficos que
representarían cada una de las situaciones descriptas, tal como usted los imagina.
3. De acuerdo con el tipo de instrucciones que da el diseñador a la máquina, ¿existe
algún otro par de instrucciones posible que dé como resultado una cantidad de puntos verdes diferente a las señaladas en las tres oportunidades anteriores? Si su respuesta es afirmativa, construya un gráfico que represente a la situación tal como
usted la imagina. Si su respuesta es negativa, trate de explicar con sus palabras el por
qué de su decisión.
PARTE D
Las instrucciones dadas por el diseñador en cada una de las tres oportunidades anteriores fueron:
• 2y - x = 6
•y–
1
2
x=3
•y-x=1
• 3y - x = 6
•y+x=5
•y–
1
3
x = 12
Responda las siguientes consignas:
1. Para cada uno de los pares de instrucciones dados represente el diseño que resulta
en pantalla y determine:
• Si hay un único punto verde.
40
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
• Si hay infinitos puntos verdes.
• Si no hay puntos verdes.
2. Describa qué ocurre con las representaciones gráficas de cada par de ecuaciones para
que haya:
• un único punto verde.
• infinitos puntos verdes.
• ningún punto verde.
3. Para cada uno de los sistemas de ecuaciones dados a continuación indique:
a. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto solución?
b. ¿Cuál es el conjunto solución?
ORIENTACIONES
• Al representar gráficamente las dos ecuaciones del sistema
observamos que resultan rectas que coinciden en todos sus puntos. Es
decir, que cada par (x ; y) que verifica una ecuación, también verifica la
otra. Por ejemplo el par (-4 ; 1) verifica ambas ecuaciones porque
1
2 • 1 - (-4) = 6 y 1 - –– • (-4) = 3
2
5
Lo mismo ocurre con el par (1 ; — ) y con infinitos pares más. Por eso hay
2
infinitos puntos verdes y decimos que el sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones.
1
En este caso, el conjunto solución es: S = {(x ; y) R2 / y –
x = 3}
2
siendo R2 el conjunto de todos los pares de números reales. O también
S = {(x ; y) R2 / 2y – x = 6}.
Es decir, que el conjunto solución está formado por todos aquellos puntos del
1
plano que pertenecen a la recta cuya ecuación es y – x = 3 ó 2y – x = 6.
2
Matemática B • UNIDAD 2
41
Este sistema de ecuaciones interpretado gráficamente es:
y
x
• Cuando representamos gráficamente las dos ecuaciones del sistema
, observamos que se cortan en un único punto que resulta pintado de verde.
Las dos rectas coinciden en el punto de coordenadas (2 ; 3). Este es el único
par cuyas coordenadas verifican ambas ecuaciones. Por eso decimos
que el sistema de ecuaciones
tiene una única solución, su
conjunto solución es S = {(2 ; 3)}.
La interpretación gráfica es:
y
x
• El sistema de ecuaciones
42
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
no tiene solución.
Las representaciones gráficas de sus ecuaciones no tienen puntos en común,
o sea que no hay puntos verdes. Es decir que no hay puntos cuyas coordenadas verifiquen ambas ecuaciones.
Por lo tanto, el conjunto solución es el conjunto vacío, en símbolos: S =
Se trata de rectas paralelas. Su interpretación gráfica es:
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS
DE ECUACIONES LINEALES
A los sistemas de ecuaciones que tienen:
• una única solución los llamaremos compatibles determinados.
• infinitas soluciones los llamaremos compatibles indeterminados.
• como solución al conjunto vacío los llamaremos incompatibles.
PARTE E
Responda las siguientes consignas:
1. Represente gráficamente las ecuaciones del siguiente sistema:
2. De acuerdo con el tipo de solución, ¿cómo clasificaría a este sistema?
3. Escriba el conjunto solución del sistema.
Matemática B • UNIDAD 2
43
ORIENTACIONES
El sistema de ecuaciones dado anteriormente es compatible determinado: el
sistema tiene una única solución pues se trata de la intersección de dos rectas
que no son ni paralelas ni coincidentes.
¿Pudo escribir el conjunto solución?
Cualquiera sea su respuesta tenga en cuenta que con sólo mirar el gráfico es
imposible leer con precisión las coordenadas del punto de intersección de las
rectas que forman el sistema. Por eso, la Matemática, sólo usa el recurso gráfico para visualizar o para verificar un resultado, pero no para obtenerlo en
forma precisa o exacta.
ACTIVIDAD Nº 2: “TRABAJANDO CON EL LIBRO”
PARTE A
En esta parte de la actividad lo orientaremos para que trabaje,, dos de los recursos o métodos no gráficos que tiene la Matemática para obtener la solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con
dos incógnitas. El abordaje de estos contenidos sólo se realizará utilizando el libro Matemática 1 de
Camuyrano B. y otros, editorial Estrada
No se olvide de las sugerencias que le hicimos en la Unidad 1 respecto del
manejo del libro y de la información que él puede brindarle.
En el Capítulo 2 – Funciones lineales:
1. Lea, en las páginas 61 a 63, “Sistemas de ecuaciones lineales”.
2. Resuelva el Ejercicio 1 de la Ejercitación propuesta en la página 63.
3. Resuelva los ejercicios 10, 12, 13 y 14 de los Ejercicios de síntesis de la página 65.
Verifique sus respuestas en la página 371.
PARTE B
Resuelva el sistema de ecuaciones dado en la Parte E de la Actividad Nº 1 usando los dos
métodos analíticos (o no gráficos) que estudió del libro.
Antes de comenzar a estudiar la próxima unidad, usted debe realizar los ejercicios de integración correspondientes a la Unidad 2. Su realización es imprescindible. Al resolverlos trabajará aspectos de los contenidos de la unidad que
no fueron trabajados en las actividades que resolvió hasta este momento.
También podrá integrar los distintos contenidos de la unidad y autoevaluar si
ya se encuentra en condiciones de pasar a estudiar la próxima unidad. No deje
de realizarlos.
44
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
3
Proporcionalidad
En la vida cotidiana y en la economía diaria con mucha frecuencia utilizamos
en forma intuitiva algunas funciones. Nos referimos a las funciones de proporcionalidad directa e inversa. En esta unidad analizaremos sus características y las formas en que se denominan en su uso cotidiano.
A partir de las funciones de proporcionalidad inversa, presentaremos, a las
funciones racionales y estudiaremos sus características especiales.
Propósitos de la Unidad
UNIDAD 3
UNIDAD
En relación con los contenidos de esta Unidad le proponemos que:
• Reconozca la función de proporcionalidad directa y la función de proporcionalidad inversa en fórmulas, tablas y gráficos cartesianos.
• Reconozca, frente a un problema que describa una situación concreta, si
dicha situación puede expresarse o no como una función de proporcionalidad directa o una función de proporcionalidad inversa.
• Resuelva problemas que pueden traducirse con una función de proporcionalidad directa.
• Resuelva problemas que pueden interpretarse con funciones de proporcionalidad inversa.
• Reconozca los problemas de interés, porcentaje, descuentos, recargos,
bonificaciones, etc., como situaciones cotidianas que pueden interpretarse o traducirse con una función de proporcionalidad directa.
• Represente funciones racionales y reconozca sus asíntotas a partir de su
representación gráfica.
En esta Unidad seguiremos trabajando con conceptos, términos y simbología relacionados con funciones y funciones lineales trabajados en la Unidad 1.
ACTIVIDAD Nº 1: “LOS PRECIOS EN LOS PUESTOS DE LA
FERIA”
En la feria del barrio hay varios puestos que venden frutas. En algunos de esos puestos
se hacen ofertas por compras de grandes cantidades. Cada puestero, Don Manuel, Don
José y Doña Perla van registrando las compras que hacen sus clientes. Anotan la cantidad de mercadería que venden en cada oportunidad y el dinero que cobran. Las siguientes tablas muestran lo que registró cada uno:
Matemática B • UNIDAD 3
45
Puesto de Don Manuel
x (kg de manzanas) 0,5
1
1,5
2,5
3
4
5
10
15
y ($)
2
3
5
6
8
10
20
30
1
Puesto de Don José
x (kg de peras)
0,5
1
2
4
8
10
y ($)
0,75
1,5
3
5
10
12
Puesto de Doña Perla
x (kg de duraznos)
y ($)
1
2
4
10
20
2,5
4,5
8
18
35
Parte A
Usando la información anterior, responda las siguientes preguntas:
1. a. Cualquiera sea la cantidad de manzanas vendida en el puesto de Don Manuel: ¿se
venden al mismo precio por kilogramo?
b. Cualquiera sea la cantidad de kilogramos de peras vendida en el puesto de Don
José, ¿se cobra el mismo precio por kilo?
c. Cada kilogramo de duraznos vendido en el puesto de Doña Perla, ¿vale lo mismo?
2. Teniendo en cuenta lo respondido en el ítem 1., ¿en cuál o cuáles de los puestos se
hacen ofertas por la venta de grandes cantidades de frutas?
3. a. ¿Es posible calcular el precio de venta del kilogramo de fruta para cualquier venta
en cada puesto?
b. ¿En qué puesto o puestos es posible calcular el precio de venta del kilogramo de
fruta para cualquier venta? ¿En cuál o cuáles no es posible?
c. Fundamente las respuestas que dio en el ítem b..
4. a. Represente en un sistema de ejes coordenados los puntos que expresan el precio y
a pagar en función de la cantidad x de kg de manzanas que se compren en el
puesto de Don Manuel.
b. Represente en un sistema de ejes coordenados los puntos que expresan el precio y
a pagar en función de la cantidad x de kg de peras que se compren en el puesto
de Don José.
46
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
c. Represente en un sistema de ejes coordenados los puntos que expresan el precio y
a pagar en función de la cantidad x de kg de duraznos que se compren en el puesto de Doña Perla.
Haga las representaciones con lápiz y con cuidado porque a partir de ellas
deberá sacar algunas conclusiones. Si aún tiene dificultades para representar funciones retome este tema en la Unidad 4 de Matemática A y en
la Unidad 1 de esta Guía.
5. Responda las siguientes consignas a partir de los gráficos realizados en el ítem 4.:
a. ¿Que diferencia observa entre ellos?
b. ¿En qué caso o casos la fórmula que representa a los puntos del gráfico es lineal?
c. En aquellos casos en que la fórmula sea lineal, escriba dicha fórmula.
d. ¿Cómo interpreta la fórmula lineal obtenida en el punto c. relacionándola con la
situación de las ventas de los puesteros de la feria?
6. ¿Cuánto vale el kilogramo de manzanas en el puesto de Don Manuel?
7. a. Realice las divisiones entre el precio de la compra y la cantidad de kilogramos comprados, es decir, las divisiones y : x, para todos los ejemplos dados de los puestos de
Don Manuel, Don José y Doña Perla.
b. ¿En qué caso o casos todas las divisiones dan el mismo resultado?
c. ¿Cuál es ese resultado para los casos en que las divisiones dan siempre lo mismo?
d. ¿Qué significado tiene ese resultado en términos de las ventas de los puesteros en
la feria?
ORIENTACIONES
En el puesto de Don Manuel, cualquiera sea la compra que se haga, el cliente debe pagar $ 2 por cada kilogramo de manzanas.
En los otros dos puestos, se hacen ofertas por compras de grandes cantidades.
Es decir que, si un cliente compra mucha fruta, paga menos por cada kilogramo.
Cuando representamos en R2 las posibles compras en el puesto de Don
Manuel, observamos que los puntos quedan alineados entre sí. En cambio, los
puntos que representan las posibles compras en los otros dos puestos no quedan alineados entre sí.
Matemática B • UNIDAD 3
47
Cuando realizamos las divisiones y : x para las posibles compras en el puesto de
Don Manuel, los resultados dan todos 2 (que es el precio de 1 kg de manzanas).
En cambio, al hacer lo mismo con las posibles compras en los otros puestos,
de Don José y de Doña Perla, los cocientes dan distintos valores ya que el precio de 1 kg de fruta no es siempre el mismo. Si se compran grandes cantidades, cada kilogramo vale menos.
La fórmula que permite calcular el precio y a pagar por la compra de x kg de
frutas, resulta una fórmula lineal sólo en el caso del puesto de Don Manuel.
La fórmula es y = 2 . x.
En los casos de los otros dos puestos, no hay una fórmula sencilla que permita calcular el precio y a pagar por x kg de frutas.
Parte B
Las siguientes tablas muestran posibles compras de frutas en otros puestos:
Puesto de Doña Rosa
x (kg de naranjas)
y ($)
2
3
4
5
6
2,5
3,75
5
6,25
7,5
Puesto de Don Carlos
x (kg de pomelos)
y ($)
48
2
3
4
5
6
3,5
5,25
6,75
8
9
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
Usando la información de estas tablas, responda las siguientes preguntas:
1. ¿En cuál de estos dos puestos se cobra siempre lo mismo por cada kilogramo de frutas?
2. Represente en R2 los puntos que expresan el precio a pagar en función de las cantidades de kg de frutas vendidas en estos dos puestos.
3. Para el puesto en que se cobra siempre lo mismo por cada kilogramo de frutas:
a. ¿Cuánto vale cada cociente y : x?
b. Desde el punto de vista de la situación planteada de estos dos puestos, ¿con qué
valor coincide dicho cociente?
c. Escriba la fórmula que le permite calcular el precio y que se debe pagar por comprar x kg de fruta en ese puesto.
Parte C
1. Defina una función f que permita describir las ventas registradas en el puesto de Don
Manuel.
2. Defina una función g que permita describir las ventas registradas en el puesto de
Doña Rosa.
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: PROPORCIONALIDAD DIRECTA.
CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD. FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA.
En los puestos de Don Manuel y Doña Rosa, el precio de cada kilogramo de fruta
es el mismo cualquiera sea la cantidad que se compre. En estos casos, decimos que
el precio y a pagar es directamente proporcional al peso x de la fruta comprada.
O también podemos decir que hay proporcionalidad directa entre el precio
y el peso.
Como observamos, en estos dos casos, al realizar los cocientes y : x, estos resultan constantes. Al valor obtenido en cada caso, que coincide con el precio de
1 kg de fruta, lo llamamos constante de proporcionalidad.
Por ejemplo, en el puesto de Don Manuel la constante de proporcionalidad es
2 y en el puesto de Doña Rosa es 1,25. En general, si identificamos con k a la
constante de proporcionalidad, resulta y : x = k.
En estos dos casos, las fórmulas que permiten calcular el precio y a partir del
peso x de fruta comprada son lineales. Son fórmulas del tipo y = k . x, donde
k es la constante de proporcionalidad. Por lo tanto, en la representación gráfica en R2, los puntos que expresan posibles compras, quedan alineados entre
sí y con el origen de coordenadas.
Matemática B • UNIDAD 3
49
La función f : {0,5; 1; 1,5; 2,5; 3; 4; 5; 10; 15} R / y = 2x modela
matemáticamente las ventas de manzanas registradas en el puesto de Don
Manuel. La función g : {2; 3; 4; 5; 6} R / y = 1,25x expresa las ventas de
naranjas registradas en el puesto de Doña Rosa. Ambas son ejemplos de funciones de proporcionalidad directa. Las representaciones gráficas de estas
funciones son:
En general, llamos función de proporcionalidad directa a una función del
tipo f : A R / y = k . x . En ella, el dominio A es un subconjunto de números reales adecuado a cada situación y k es la constante de proporcionalidad y
es un número real distinto de cero.
ACTIVIDAD Nº 2: “LLENADO DE TANQUES DE COMBUSTIBLE"
En una empresa llenan semanalmente dos tanques con combustible para el uso de sus
maquinarias.
Cada tanque tiene una capacidad de 9 hectolitros (hl).
Para llenar uno de los tanques se usa una bomba denominada HTK y el otro se llena con
la bomba FPD.
Quieren controlar el funcionamiento de ambas bombas.
A José le encargaron tomar la información de la bomba HTK y a Pedro de la bomba FPD.
Entre José y Pedro acordaron en llenar simultáneamente los dos tanques, llamar t = 0
horas al instante inicial y registrar la cantidad de combustible que contenía el tanque
cada media hora.
Al terminar, cada uno presentó un informe. Los informes son los siguientes:
50
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
Bomba HTK
En la siguiente tabla se describe la cantidad y de hl de
combustible que tenía en el tanque, en los instantes t
(en horas) en que se observó:
t
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
y
0
0,25
1
2,25
4
6,25
9
A partir de la tabla, se representó gráficamente lo que
ocurrió en el transcurso de las tres horas en que se llenó
el tanque. El gráfico es el dado a la derecha:
Bomba FPD
En la siguiente tabla se describe la cantidad y de hl de
combustible que tenía en el tanque, en los instantes t
(en horas) en que se observó:
t
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
y
0
1,5
3
4,5
6
7,5
9
A partir de la tabla, se representó gráficamente lo que
ocurrió en el transcurso de las tres horas en que se llenó
el tanque. El gráfico es el dado a la derecha:
Parte A
1. Teniendo en cuenta lo que puede observar en cada tabla y su respectivo gráfico,
¿usted diría que los tanques se llenaron de la misma "forma"? ¿Por qué? Explíquelo
con sus palabras.
2. El jefe de José y Pedro les hizo algunas preguntas respecto de la forma en que se llenaron los tanques, o de la forma en que actuaron las bombas para llenarlos.
a. Para cada pregunta responda lo que diría José respecto del llenado del tanque con
la bomba HTK y lo que diría Pedro respecto de cómo se llenó el tanque con la
bomba FPD.
•
¿Qué cantidad de hectolitros de combustible entró en el tanque durante la primera media hora de funcionamiento de la bomba?
• ¿Y durante la segunda media hora?
• ¿Y durante la tercera media hora?
Usted ya hizo este tipo de trabajo en la Unidad 1. Si lo necesita, revea cómo trabajó
allí.
Matemática B • UNIDAD 3
51
b. ¿Podría usted decir que en cada tanque entró la misma cantidad de hectolitros de
combustible por cada media hora que iba transcurriendo?
c. Para responder la siguiente pregunta observe cada tabla y cada gráfico: ¿Podría
decir que entró la misma cantidad de hectolitros de combustible en cada tanque
por cada hora transcurrida? Por ejemplo, entre las 0,5 horas y las 1,5 horas, ¿entró
la misma cantidad que entre las 2 horas y las 3 horas? Indique qué cantidad fue la
que entró a cada tanque en cada una de esas horas. Para responder esta pregunta complete la siguiente tabla:
Tanque llenado por la Tanque llenado por la
bomba FPD
bomba HTK
Entre las 0,5 horas y las 1,5 horas
Entre las 2 horas y las 3 horas
3. A continuación, en el cuadro, hacemos ciertas afirmaciones que usted deberá comprobar si pueden ser aplicadas o no a cada una de las bombas.
Para responder debe basarse sólo en lo que pueda deducir de la situación planteada.
Si alguna expresión le resulta muy desconocida, trate de encontrarle sentido de
acuerdo con el contexto de la situación. Para contestar, complete el cuadro.
¿Puede ser aplicada a la
Frase
bomba HTK?
La bomba llenó el tanque, es decir que a medida
que pasaba el tiempo también aumentaba la
cantidad de combustible que había en el tanque.
La bomba llenó el tanque en tres horas
La bomba llenó el tanque de tal forma que: la
relación entre el tiempo t y la cantidad y de hl
que hay en el tanque puede expresarse mediante una función.
La bomba llenó el tanque a velocidad constante.
La bomba llenó el tanque a razón de 3 hl por
hora.
52
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
bomba FPD?
¿Puede ser aplicada a la
Frase
bomba HTK?
bomba FPD?
La bomba llenó el tanque en forma proporcional al tiempo. Es decir, por ejemplo: si en 1 hora
llenó 3 hl, en 2 horas llenó 6 hl. Porque 3 es a 1
como 6 es a 2. (Esto se escribe así:
)
La bomba llenó el tanque en forma proporcional al tiempo porque, por ejemplo, para cualquier tiempo t, si la cantidad de tiempo t se cuadruplica, también se cuadruplica la cantidad y
de hectolitros que hay en el tanque
La bomba llenó el tanque de manera que, cualquiera sea la cantidad y de hectolitros dividida
por el tiempo t correspondiente, en la función
que describe el llenado, se mantiene constante,
es decir:
(para t distinto de cero)
La función que vincula a la cantidad de hectolitros
en el tanque con el tiempo es una función de proporcionalidad directa.
La bomba llenó el tanque de manera que la cantidad y de hectolitros se puede obtener a partir
del tiempo t con la fórmula y = 3.t
ORIENTACIONES
En el tanque llenado por la bomba FPD, la cantidad de hectolitros de combustible aumenta a velocidad constante. Es decir, en dicho tanque entra la
misma cantidad de combustible en una hora y esto ocurre en cualquier hora
que se considere.
En los gráficos en R2 de las dos funciones que describen el llenado de los tanques, observamos que para el tanque llenado con la bomba FPD resultan puntos alineados con el origen de coordenadas. En cambio, en el gráfico correspondiente al llenado del tanque con la bomba HTK, los puntos no quedan
alineados.
Matemática B • UNIDAD 3
53
También se puede observar que, en el tanque llenado con la bomba FPD, resulta que al calcular las divisiones y : t los cocientes resultan todos iguales a 3.
Es decir, resulta y : t = 3. Esta constante expresa la cantidad de hectolitros de
combustible que entran al tanque por hora. Además la fórmula que permite
obtener la cantidad y de hectolitros en cada instante t es y = 3 . t.
Por lo tanto, podemos decir que en el llenado del tanque FPD, la cantidad de
hectolitros es directamente proporcional al tiempo.
En cambio, en el tanque HTK, la cantidad de hectolitros no es directamente
proporcional al tiempo.
ACTIVIDAD Nº 3: “TRABAJANDO CON EL LIBRO
En esta actividad lo orientamos para que trabaje algunos contenidos utilizando el
libro Matemática en Red 8 EGB de López A. y Pellet M., editorial A-Z.
No se olvide de las sugerencias que le hicimos en las unidades anteriores
respecto del manejo del libro y de la información que él puede brindarle.
En el Capítulo 8 - Proporcionalidad:
1.
Lea, en la página 194, “Proporcionalidad”.
2.
Lea, en las páginas 195 y 196, “Proporción” y “Propiedades de las proporciones”. No
deje de leer los recuadros de las páginas 195 y 196.
3.
Lea, en la página 197, “Magnitudes directamente proporcionales”.
4.
Resuelva las Actividades 1), 2) y 3) de la página 197. Puede comparar sus respuestas
con las de la página 269 del libro.
5.
Lea, en las páginas 198 y 199, “Funciones de proporcionalidad directa”.
6.
Resuelva las Actividades 4), 5), 6) y 7) de la página 199. Puede comparar sus respuestas con las de la página 269 del libro.
7.
Lea, en las páginas 200 y 201, “No todo es proporcionalidad”y “Proporcionalidad,
pero dentro de ciertos límites”.
8.
Resuelva las Actividades 8), 9), 10), 11) y 12) de la página 201. Compare sus respuestas con las de la página 269.
9.
Lea, en las páginas 202 y 203, “Porcentaje”.
10. Resuelva las actividades 13), 14), 15), 16) y 17) de la página 203. Puede comparar sus
respuestas con las de la página 269.
11. Lea, en las páginas 204 y 205, “Escalas”.
54
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
12. Resuelva las Actividades 18), 19), 20), 21) y 23) de la página 205. Busque, en la página 270, las respuestas para compararlas con las suyas.
13. Lea, en la página 214, “Repartos proporcionales”.
14. Resuelva las actividades 36) y 38) de la página 215. Las respuestas están en la página 270.
ACTIVIDAD Nº 4: "EN LA FÁBRICA DE JARABES"
Martín es empleado en una fábrica de jarabes. En esa fábrica se producen 12 litros de
jarabe por hora. La producción de jarabe de cada hora se envasa en recipientes de distintos tamaños según el uso que se le vaya a dar.
Martín es el encargado de decidir cuántos recipientes se van a usar para el envasado.
Parte A
1. La producción de la primera hora de trabajo de un día debe envasarse en recipientes
de 2 litros cada uno. ¿Cuántos recipientes se necesitan?
2. La producción de la segunda hora se envasa en recipientes de 1 litro cada uno.
¿Cuántos recipientes se necesitan?
3. La producción de la tercera hora va en recipientes de ½ litro cada uno. ¿Cuántos recipientes hacen falta?
4. Martín confeccionó la siguiente tabla para organizar la información de cuántos recipientes necesita para envasar la producción de jarabe de una hora según la capacidad de cada uno de ellos. Complétela.
x (capacidad de cada
recipiente en litros)
2
1
y (cantidad de recipientes)
6
12
3
4
6
12
24
5. Para poder prever la cantidad y de recipientes que debe disponer para envasar la
producción de una hora si la capacidad de cada uno es de x litros, Martín decidió buscar una fórmula que le permita calcular y a partir de conocer x.
Le pedimos que dé la fórmula hallada por Martín, teniendo en cuenta los cálculos
que hizo para completar la tabla anterior.
6. Teniendo en cuenta los pares de valores obtenidos en la tabla anterior, represente
en un sistema de ejes coordenados cartesianos los puntos que expresan la cantidad y
de recipientes necesaria para envasar x litros de jarabe.
Matemática B • UNIDAD 3
55
1
litro y el más grande de 12 litros.
10
Además, suponga, que es posible tener recipientes de cualquier capacidad entre las
dos anteriores. Teniendo en cuenta esta información, defina una función f que describa la situación planteada.
7. El recipiente más chico tiene una capacidad de
8. Represente la función f que definió en el ítem anterior en un sistema de ejes coordenados cartesianos.
Parte B
Teniendo en cuenta la tabla que completó en el ítem 4. de la Parte A, indique cuáles de
las siguientes frases son verdaderas:
1. Al aumentar la capacidad de cada recipiente, disminuye la cantidad de recipientes
necesaria.
2. Si la capacidad de los recipientes se reduce a la mitad, la cantidad de recipientes
necesaria se duplica.
3. Al multiplicar la cantidad y de recipientes necesaria por la capacidad x de cada uno
de ellos, se obtiene siempre el mismo resultado.
4. Si se triplica la capacidad del recipiente, la cantidad de recipientes necesaria se reduce a la tercera parte.
5. En cualquier caso se verifica que x . y = 12.
6. Para calcular la cantidad y de recipientes necesaria para envasar los 12 litros de jarabe que se producen por hora, en recipientes de x litros se usa la fórmula y = 12 .
x
ORIENTACIONES
Todas las frases anteriores son verdaderas. Decimos que la cantidad de recipientes es inversamente proporcional a la capacidad de cada uno.
Parte C
Por su trabajo, Martín cobra $ 600 por mes. En marzo, ha logrado organizarse de manera que, en los 6 primeros días después de cobrar, gasta $ 20 por día.
Teniendo en cuenta la información anterior, responda:
1. Complete la siguiente tabla:
56
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
x (días después del cobro)
y (dinero que le queda)
1
2
580
560
3
4
5
6
2. Entre las siguientes fórmulas, elija la que permite calcular el dinero y que le queda a
Martín x días después de haber cobrado.
• y = 600 + 20x
• y=
600
x
• y = 600 - 20x
3. Defina una función g que describa lo que ocurre con el dinero de Martín en los 6 primeros días después del cobro.
4. Represente la función g que definió en el ítem anterior en un sistema de ejes coordenados cartesianos.
Parte D
En el mes de abril, gastó el dinero de su sueldo de manera que la cantidad y que le
queda después de x días del cobro está indicada en la siguiente tabla:
x (días después del cobro)
y (dinero que le queda)
1
2
3
4
5
6
600
300
200
150
120
100
1. Entre las siguientes fórmulas, elija la que permite calcular el dinero y que le queda a
Martín x días después de haber cobrado.
600
• y = 600 - 20x
x
2. Defina una función h que describa lo que ocurre con el dinero de Martín en los 6 primeros días después del cobro.
• y = 600 + 20x
• y=
3. Represente la función h que definió en el ítem anterior en un sistema de ejes coordenados cartesianos.
Parte E
A continuación hacemos ciertas afirmaciones que usted deberá comprobar si pueden ser
aplicadas o no a la forma en que gastó su dinero Martín en marzo y en abril. Para responder debe basarse sólo en lo que pueda deducir de la situación planteada. Para contestar, complete el siguiente cuadro.
Matemática B • UNIDAD 3
57
Frase
¿Puede ser aplicada a la forma en
que Martín gastó su dinero en
marzo?
abril?
Al pasar los días, disminuye la cantidad de dinero de Martín.
Si la cantidad de días transcurridos se duplica, el
dinero de Martín se reduce a la mitad.
Al multiplicar la cantidad y de dinero de Martín
por la cantidad x de días transcurridos desde el
cobro, se obtiene siempre el mismo resultado.
Martín gastó su dinero de forma que cualquiera
sea la cantidad y de dinero que le queda y la cantidad x de días desde su cobro, se verifica que
x . y = 600.
Para calcular la cantidad y de dinero que tiene
Martín x días después de cobrar, se usa la fórmula
y=
600
x
Martín gastó su dinero en forma inversamente
proporcional al tiempo transcurrido desde su
cobro.
ORIENTACIONES
Para la forma en que Martín gastó su dinero en marzo, solo la primera frase es
verdadera. En este caso, a pesar de que al aumentar los días, disminuye la cantidad de dinero que le queda, no hay proporcionalidad inversa entre la cantidad
de dinero que le queda y el tiempo transcurrido porque son falsas las otras frases.
En cambio, en abril hay proporcionalidad inversa entre la cantidad de dinero que le queda a Martín y la cantidad de días transcurridos desde su cobro
porque todas las frases de la tabla anterior son verdaderas.
58
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: PROPORCIONALIDAD INVERSA.
CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD INVERSA. FUNCIÓN DE
PROPORCIONALIDAD INVERSA.
En el caso del envasado de jarabes y en el del dinero que le queda a Martín en
abril, las magnitudes que intervienen se relacionan de manera que al multiplicar x . y el resultado es siempre el mismo, es decir, es constante. Cuando
esto ocurre, decimos que las magnitudes son inversamente proporcionales
entre sí. La constante obtenida se llama constante de proporcionalidad. En
el caso del envasado de jarabes, dicha constante es 12 y expresa la cantidad de
litros de jarabe producidos por hora. En el caso de la cantidad de dinero que
le queda a Martín en abril, la constante es 600 y expresa su sueldo mensual.
La función
, que describe la situación del enva-
sado de jarabe, y la función
que describe
lo que ocurre con el dinero de Martín en los 6 primeros días del mes, son funciones de proporcionalidad inversa.
En general, llamamos función de proporcionalidad inversa a aquella de la
forma
(donde el conjunto A es un dominio adecuado
a cada situación, c es la constante de proporcionalidad y x es un número real
distinto de cero).
Si se representa una función de proporcionalidad inversa en R2, se obtienen
puntos que están sobre una curva llamada hipérbola. Por ejemplo, la representación gráfica de la función
es la siguiente:
Matemática B • UNIDAD 3
59
Parte F
En la Parte A, usted definió la función
para describir lo obser-
vado en el envasado de jarabes. También representó esa función. Retomaremos, ahora,
esa actividad.
1. Vamos a imaginar que se pueden tener recipientes todo lo chicos que uno desee.
Teniendo en cuenta esto, responda las siguientes consignas:
a. Si el recipiente tiene una capacidad de 0,05 litros, ¿cuántos recipientes se necesitan para envasar los 12 litros de jarabe?
b. Si en cada recipiente caben 0,01 litros, ¿cuántos recipientes se necesitan?
c. Complete la siguiente tabla en la que se tienen en cuenta recipientes de capacidades cada vez más chicas.
x (capacidad de cada recipiente en litros)
0,05
0,01
0,005 0,001 0,0005 0,0001
y (cantidad de recipientes)
d. Imagine qué pasaría con la cantidad de recipientes necesaria para envasar el jarabe si se consiguieran recipientes aún más pequeños. Explique con sus palabras lo
que supone que ocurriría.
e. Vuelva al gráfico que hizo en el ítem 8. de la Parte A. Complételo, teniendo en
cuenta los pares de valores que calculó en la tabla del ítem c..
f. Describa, con sus palabras, lo que observa en el gráfico respecto de la curva y el eje y.
2. Vamos a suponer, ahora, que se pueden tener recipientes todo lo grande que uno
desee. Teniendo en cuenta esto, responda las siguientes consignas:
a. Si el recipiente tiene una capacidad de 24 litros, ¿qué fracción del recipiente se
ocupa con 12 litros de jarabe?
b. Si en cada recipiente caben 100 litros, ¿qué fracción del recipiente se ocupa?
c. Complete la siguiente tabla en la que se consideran recipientes de capacidades
cada vez mayores.
x (capacidad de cada recipiente en litros)
24
100
1000
10000
y (fracción de recipiente)
d. Si se consiguieran recipientes aún más grandes para envasar el jarabe, imagine qué
pasaría con la fracción del recipiente que se ocupa.
60
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
e. Vuelva al gráfico que comenzó a completar en el ítem 1. e. de esta Parte de la
Actividad. Complételo, teniendo en cuenta los pares de valores que calculó en la
tabla del ítem 2.c..
f. Describa, con sus palabras, lo que observa en el gráfico respecto de la curva y el eje x.
3. a. ¿Puede un recipiente tener 0 litros de capacidad?
b. ¿Qué pasa si hace la cuenta 12 : 0 en su calculadora?
4. a. Defina una función k que describa la nueva situación. Es decir, debe ser una función que tenga en cuenta recipientes de cualquier capacidad.
b. Represente gráficamente la función k que definió en el ítem a..
5. Por más que fuerce su imaginación, no se puede hablar de recipientes con capacidad
negativa. Por ello, trabajaremos una función m que tiene la misma fórmula que la
función k del ítem 4., pero a la que no asociaremos a una situación concreta. Antes
de definir la función m le pedimos que responda las siguientes preguntas:
a. Teniendo en cuenta lo que contestó en el ítem 3., la cuenta expresada por la fórmula
, ¿se puede hacer con cualquier valor de x?
b. Teniendo en cuenta su respuesta al ítem anterior, elija el dominio de la función m
entre las siguientes opciones:
• R (o conjunto de números reales)
• R > 0 (o conjunto de números reales positivos)
• R
0
= R - {0} (o conjunto de números reales excepto el cero)
Por lo tanto, definimos la función
c. Complete la siguiente tabla de la función m para obtener algunos pares de valores con x negativos.
X
-4
-3
-2
-1
-6
-12
-0,5
-24
-100
-0,1
d. Teniendo en cuenta la gráfica de la función k que hizo en el ítem 4. y los pares de
valores (x ; y) que calculó en el ítem anterior, represente la función m en un sistema de ejes coordenados cartesianos.
Matemática B • UNIDAD 3
61
ORIENTACIONES
La función con la que trabajó en el ítem 5. tiene como dominio al conjunto
formado por todos los números reales excepto el cero (o R - {0}). Su representación gráfica es la siguiente:
En la representación gráfica se puede observar que, a medida que se toman
valores de x cada vez mayores, la curva se va acercando al eje x. Lo mismo ocurre si se consideran valores de x cada vez menores.
También se puede observar que cuando x toma valores cada vez más cercanos
a cero (x = 0,01; x = 0,001; … ó x = -0,01; x = -0,001; …), la curva se acerca al eje y.
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: FUNCIÓN RACIONAL. ASÍNTOTAS.
La función
, con la que trabajó en el ítem 5., es
una función racional.
La representación gráfica de este tipo de funciones es una curva llamada
hipérbola.
Como hemos observado, la hipérbola que representa a la función m se va acercando a una recta horizontal cuando x toma valores cada vez más grandes o
cada vez más chicos. En este caso, esa recta horizontal es el eje x. Dicha recta
se llama asíntota horizontal. La ecuación de esta asíntota, para el caso de la
función m, es y = 0.
62
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
Como también observamos, la hipérbola que representa a la función m
además se acerca a una recta vertical cuando x se acerca a un determinado
valor. En el caso de la función m, esa recta vertical es el eje y. Dicha recta se
llama asíntota vertical. La ecuación de esta asíntota, para el caso de la función m, es x = 0.
Trabajaremos con funciones racionales del tipo
,
donde a, b y c son números reales y a no es cero (en símbolos a 0). El dominio A de estas funciones debe tener en cuenta que el divisor no puede ser cero.
Como dijimos, la representación gráfica en R2 de este tipo de funciones son
hipérbolas en las que ocurre lo que observamos para la gráfica de la función m.
Es decir, estas hipérbolas se acercan a alguna recta horizontal cuando x toma
valores cada vez más grandes o cada vez más chicos. Es decir, todas estas hipérbolas tienen una asíntota horizontal.
Además, estas hipérbolas se acercan a alguna recta vertical cuando x se acerca
a algún valor determinado. Es decir, todas estas hipérbolas tienen una asíntota vertical.
Parte G
En esta parte de la actividad nuevamente lo orientaremos para que trabaje algunos contenidos utilizando el libro Matemática en Red 8 EGB de López A. y Pellet M., editorial A-Z.
En el Capítulo 8 – Proporcionalidad
1. Lea, en las páginas 206 y 207, “Magnitudes inversamente proporcionales”:
2. Resuelva las Actividades 24), 25), y 26) de la página 207. Verifique sus respuestas en
la página 270.
Antes de comenzar a estudiar la próxima unidad, usted debe realizar los ejercicios de integración correspondientes a la Unidad 3. Su realización es imprescindible. Al resolverlos trabajará aspectos de los contenidos de la unidad que
no fueron trabajados en las actividades que resolvió hasta este momento.
También podrá integrar los distintos contenidos de la unidad y autoevaluar si
ya se encuentra en condiciones de pasar a estudiar la próxima unidad. No deje
de realizarlos.
Matemática B • UNIDAD 3
63
64
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
4
Proporcionalidad de segmentos
En esta unidad trabajaremos contenidos de geometría que están relacionados
con la idea de proporcionalidad que hemos estudiado en la unidad anterior.
Nos interesa que reconozca cuándo dos figuras son semejantes entre sí y que
utilice el teorema de Thales en la resolución de situaciones concretas. Además,
estudiaremos a los vectores que son un modelo matemático muy utilizado por
la Física para representar a cierto tipo de magnitudes.
Propósitos de la Unidad
UNIDAD 4
UNIDAD
En relación con los contenidos de esta Unidad le proponemos que:
• Reconozca las características de dos figuras semejantes.
• Identifique situaciones que requieren ser representadas utilizando vectores.
• Realice operaciones con vectores utilizando sus coordenadas cartesianas y
en forma gráfica.
• Aplique las operaciones con vectores para la resolución de problemas.
• Describa y aplique las condiciones que cumplen los triángulos semejantes
entre sí.
• Reconozca la propiedad que enuncia el teorema de Thales y las que se
deducen de ella para aplicarla en distintas situaciones.
ACTIVIDAD N° 1: “FICHAS PARA JUEGOS INFANTILES”
En una fábrica de juguetes infantiles se disponen a confeccionar las fichas de un
juego.
El juego tiene cinco fichas básicas, que se muestran a continuación en el siguiente
gráfico:
1
2
4
3
5
Matemática B • UNIDAD 4
65
El juego también tiene un conjunto de fichas de distintos colores, que se obtienen
variando el tamaño de las fichas básicas, pero sin que se deformen. Es decir, que son más
grandes o más pequeñas, pero mantienen la forma o las proporciones de las fichas
básicas.
La fábrica cuenta con moldes para confeccionar las fichas. Algunos de dichos moldes
son:
A
D
G
C
B
H
E
F
I
J
N
L
K
M
Ñ
P
Q
O
66
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
Parte A
Si usted trabajara en la fábrica de juguetes y participara en la confección de las fichas,
teniendo en cuenta que los moldes deben respetar las formas y proporciones de las
fichas básicas, ¿cuáles de los moldes mostrados anteriormente elegiría para confeccionar las fichas de este juego?
Exprese brevemente, con sus palabras, qué tiene en cuenta para tomar la decisión.
Parte B
Tenga en cuenta las fichas básicas y los moldes correspondientes a cada ficha básica.
Observe el siguiente gráfico, detenga su atención en la ficha básica 2 y los moldes utilizables correspondientes a ella:
A
C
D
B
E
G
F
C’
D’
A’ B’
E’
C’’
F’
A’’ B’’
D’’
E’’
F’’
G’
G’’
Observe y compare los ángulos de la ficha básica 2 y de los respectivos moldes. Para ello,
puede calcar las figuras y superponer los ángulos. A partir de dicha observación responda las siguientes preguntas:
1. ¿Cómo son entre sí las medidas de los ángulos A, A’ y A’’ de las figuras que representan las fichas?
2. Compare el ángulo C con sus correspondientes C’ y C’’ en los respectivos moldes:
¿Cómo son entre sí las medidas de dichos ángulos?
3. Cuando se achica o se agranda la figura básica, sin perder la forma, ¿cómo resultan
entre sí las medidas de los ángulos correspondientes?
Matemática B • UNIDAD 4
67
ORIENTACIONES
A continuación representamos la ficha básica 2 y los moldes superpuestos:
Usted habrá podido observar al resolver la Parte B que las medidas de los
ángulos interiores correspondientes son iguales entre sí, pues al ser los lados
de las figuras respectivamente paralelos, si se superponen los ángulos entre sí,
éstos resultan coincidentes. La igualdad de las medidas de los ángulos correspondientes se escribe simbólicamente así:
Parte C
A partir de lo observado para la ficha básica 2 y sus moldes, verifique que la igualdad
de los ángulos correspondientes también es válida para las demás fichas básicas y sus respectivos moldes.
En cada caso, calque las figuras como le propusimos en la Parte B, y superponga los
ángulos correspondientes.
Parte D
En la fábrica deciden hacer más moldes a partir de la ficha básica 2. En el siguiente gráfico le presentamos dicha ficha básica y el diseño incompleto de uno de esos moldes.
C
D
D’
C’
B
F
E
A
G
68
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
A’ B’
E’
1. En la fábrica de juguetes le piden que:
a. Sobre el gráfico incompleto que presentamos, complete el diseño del molde,
teniendo en cuenta las características que deben tener las fichas de este juego. A
este molde que usted va a completar lo llamaremos Molde 1.
b. En la siguiente tabla, complete las medidas (en cm) del Molde 1 que usted diseñó
a partir de la ficha básica 2.
Medidas, en cm,
de la Ficha Básica
Medidas, en cm,
del Molde 1
1
1,5
0,5
0,75
2
1,5
2
3
4
2. A un compañero suyo le pidieron diseñar el Molde 2 a partir de los datos que se
encuentran en la tabla. Le solicitan a usted, así como lo hizo para el Molde 1, que
complete en la siguiente tabla las medidas (en cm) del Molde 2 faltantes:
Medidas, en cm,
de la Ficha Básica
Medidas, en cm,
del Molde 2
1
1,5
2
1,5
2
3
4
2
3. Le dicen que el Molde 3 es de mayor tamaño que la ficha básica, de tal manera que
cada lado se triplica, ¿puede usted determinar cuánto miden los lados C’D’ y G’A’ del
Molde 3?
En lo que acaba de realizar se está utilizando un concepto estudiado en la Unidad 3: el concepto
de proporcionalidad. Si no le resulta familiar, le recomendamos revisar o estudiar nuevamente
dicha unidad, porque lo necesitará para resolver las actividades que siguen.
4. Ahora le piden que diseñe el Molde 4 de tal manera que
A’B’ B’C’
=
= 4. ¿De
BC
AB
qué
medida deberá dibujar el lado D’E’ del Molde 4?
5. El Molde 5 es de menor tamaño que la ficha básica, de tal manera que cada lado se
reduce a la cuarta parte, es decir que la constante de proporcionalidad es igual a
0,25. ¿Cuánto miden los lados C’D’ y G’A’ del Molde 5?
Matemática B • UNIDAD 4
69
ORIENTACIONES
En los cinco casos trabajados en la Parte D observamos que las medidas de
los lados de cada uno de los moldes son proporcionales a las medidas de los
lados correspondientes de la figura básica. Además, en la Parte B, habíamos
observado que las medidas de los ángulos de cada uno de los moldes son iguales a las medidas de los ángulos correspondientes en cada ficha básica.
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: FIGURAS SEMEJANTES
En casos como el anterior, decimos que cada ficha básica es semejante a cada
uno de los moldes y recíprocamente.
En general, se dice que dos figuras son semejantes entre sí, si cumplen con las
siguientes condiciones:
•
Las medidas de los ángulos correspondientes son iguales.
•
Las medidas de los lados correspondientes son proporcionales.
Por ejemplo, las figuras geométricas ABCD y A’B’C’D’ representadas a continuación:
D
A
B
C
A’
D’
B’
C’
son semejantes entre sí porque cumplen las dos condiciones enunciadas.
Simbólicamente:
70
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
ACTIVIDAD N° 2: "EL RECORRIDO DE MARTÍN EL CARTERO”
Esa mañana, Martín, el cartero, llegó al correo del pueblo para empezar con su trabajo
diario. Después de los saludos, su jefe le dijo: “Mire, Martín, hoy le toca ir hasta la esquina donde se juntan las calles 1, 20, 30 y 200. De ahí, debe ir a seis casas. Una de ellas está
sobre la calle 1 a 150 metros al este de la esquina. Otra está a 50 metros por la calle 30.
Por la calle 200, yendo hacia el noreste, tiene que entregar correspondencia en dos
casas: una a 100 metros y otra a 300 metros. Otra casa está sobre la calle 1 a 250 metros
al oeste y la sexta casa está sobre la calle 20 a 150 metros de la esquina”.
lle
20
0
Calle 30
Martín siguió la explicación de su jefe con mucha atención, pero pensó que se iba a olvidar de tantas indicaciones. Buscó un plano del pueblo y representó lo siguiente:
Ca
N
G
E
D
F
E
O
Calle 1
C
A
B
S
Correo
Ca
lle
20
Responda las siguientes preguntas teniendo en cuenta la conversación de Martín y su jefe:
1. La representación hecha por Martín, ¿expresa lo indicado por su jefe?
2. ¿Con qué letra se identifica cada casa descripta en las instrucciones del jefe?
3. Si consideramos que todas las flechas que dibujó Martín empiezan en el punto A:
a. ¿Qué observa sobre las flechas que unen A con B y A con C? ¿Con qué aspecto de
lo indicado por el jefe relaciona esta observación?
b. ¿Qué observa sobre las flechas que unen A con D y A con C? ¿Con qué aspecto de
lo indicado por el jefe relaciona esta observación?
Matemática B • UNIDAD 4
71
c. ¿Qué observa sobre las flechas que unen A con F y A con G? ¿Con qué aspecto de
lo indicado por el jefe relaciona esta observación?
d. Por la calle 200, una de las casas está a 100 metros de A y otra a 300 metros.
¿Cómo se manifiesta este aspecto en las flechas?
ORIENTACIONES
•
Las flechas que representó Martín en el plano del pueblo le brindan la
misma información que le dio su jefe en forma oral o coloquial. Cada una
de ellas le indica cuántos metros deberá desplazarse para llegar a cada casa
desde la esquina representada con el punto A, sobre qué calle deberá desplazarse y hacia qué lado deberá hacerlo.
•
Las flechas que unen A con B y A con C tienen la misma medida ya que
Martín debe desplazarse la misma cantidad de metros para ir desde la esquina representada con la letra A hasta las casas representadas con las letras B y
C.
•
Las flechas que unen A con D y A con C están incluidas en la misma recta.
Tienen sentidos contrarios porque las casas representadas con las letras D y
C se encuentran sobre la misma calle, pero una al oeste y la otra al este de
la esquina representada con la letra A.
•
Las flechas que unen A con F y A con G también están incluidas en la
misma recta. En este caso tienen el mismo sentido porque ambas casas se
encuentran hacia el noroeste por la calle 200. Tienen distinta medida porque deberá desplazarse distinta cantidad de metros para llegar a cada una de
las casas en las que debe entregar correspondencia.
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: “VECTORES”
En Matemática, a flechas como las dibujadas por Martín las llamamos vectores.
Los vectores tienen:
• una longitud llamada módulo. En este caso, el módulo indica cuántos
metros debe desplazarse Martín.
• una dirección. En este caso indica sobre qué calle debe desplazarse.
• un sentido. En este caso, el sentido del vector le indica a Martín hacia qué
lado debe desplazarse en una calle.
72
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
ACTIVIDAD Nº 3:"TRABAJANDO CON EL LIBRO”
En esta actividad nuevamente lo orientaremos para que trabaje algunos contenidos
utilizando el libro Matemática 1 de Camuyrano B. y otros, editorial Estrada.
El abordaje de estos contenidos sólo se realizará en base a la lectura y a la
resolución de las actividades que le indicamos en los siguientes párrafos.
No se olvide de las sugerencias que le hicimos en las unidades anteriores
respecto del manejo del libro y de la información que él puede brindarle.
En el Capítulo 9 - Vectores en el plano:
1. Lea, en las páginas 202 a 204, la Situación 1: por la ruta.
2. Lea, en las páginas 205 y 206, “Qué son las magnitudes vectoriales”.
3. Lea, en las páginas 208 a 210, “Los vectores y sus características: dirección, sentido y
módulo” y resuelva el Ejercicio 1 de la Ejercitación propuesta en la página 210.
4. Lea, en la página 211, la Situación 3: mosaicos.
5. Lea, en las páginas 211 y 212, “Vectores equipolentes”.
6. Resuelva el Ejercicio 2 de la Ejercitación propuesta en la página 213 y lea lo dicho en
el Ejercicio 3 de la misma Ejercitación.
7. Lea, en las páginas 213 y 214, la Situación 4: desplazamientos.
8. Lea, en las páginas 216 y 217, “Vectores en un sistema de coordenadas cartesianas.
Representante canónico”. Resuelva los Ejercicios 1, 2 y 3 de la Ejercitación propuesta en esas mismas páginas.
9. Lea, en las páginas 217 y 218, la Situación 5: en automóvil hasta el recuadro celeste
inclusive.
10. Lea bajo el título “Coordenadas cartesianas y polares de un vector”, en la página
220, el párrafo referido a coordenadas cartesianas de un vector, es decir: los dos primeros renglones de la hoja, el primer recuadro celeste y los dos renglones siguientes a éste.
En el Capítulo 10 - Operaciones con vectores: suma y producto por un número
1. Lea, en las páginas 224 y 225, “Suma de vectores” y la Situación 1: velocidades.
2. Lea, en las páginas 225 y 226, “Cómo sumar vectores gráficamente”.
3. Resuelva la Ejercitación propuesta en la página 227.
4. Lea, en la página 228, la Situación 2: en equilibrio y en la página 229, “La regla de
la poligonal”.
Matemática B • UNIDAD 4
73
5. Resuelva el Ejercicio 2 de la Ejercitación propuesta en las páginas 229 y 230.
6. Lea, en las páginas 230 a 232, la Situación 3: traslaciones.
7. Resuelva la Ejercitación propuesta en la página 233.
8. Lea, en la página 233, “Cómo sumar vectores en un sistema de coordenadas”.
9. Resuelva el Ejercicio 1 de la Ejercitación propuesta en la página 234.
10. Lea, en las páginas 234 a 236, “Producto de un vector por un número” y la Situación
4: peces y pájaros.
11. Lea, en las páginas 236 y 237, “Cómo realizar el producto de un vector por un número” y resuelva la Ejercitación propuesta en la página 237.
12. Lea de la Situación 5: el tobogán y la red de paralelogramos, sólo los ítems b) y c) en
la página 239.
13. Lea, en la página 240, “Combinación lineal de vectores” hasta la frase que comienza diciendo: “En este caso ....”.
14. Resuelva las Actividades N° 2, 5, 6 y 8 de las Actividades de síntesis propuestas en las
páginas 242 y 243. Verifique sus respuestas en la página 376.
ACTIVIDAD Nº 4: “LA FABRICA DE JUGUETES: UN RECURSO PARA DISEÑAR
LOS MOLDES”
Retomaremos la Actividad Nº 1 “Fichas para juegos infantiles”. Uno de sus directivos
llegó un día con un recurso para diseñar los moldes de las fichas básicas y convocó a sus
empleados para contarles en qué consistía.
Preste atención a los pasos realizados a continuación por el directivo de la fábrica de
modo tal que usted pueda utilizar el recurso que va a describir.
Si por ejemplo la ficha básica es:
B
C
A
y se quiere diseñar un molde de mayor tamaño, que tenga razón 2 entre las medidas
de sus lados, se hace lo siguiente:
• Se determina un punto O cualquiera.
• Se elige un punto cualquiera de la figura, por ejemplo el punto B, y se grafica el vector OB .
74
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
• A partir de él se obtiene el vector OB’ = 2.OB, es decir se determina el punto B’ como
lo indica el gráfico de abajo.
B’
B
C
O
A
Para determinar cada punto del molde se repite lo hecho con el punto B.
Parte A
Teniendo en cuenta la descripción dada del recurso, responda las siguientes consignas:
1. Encuentre los puntos A’ y C’ a partir de A y C respectivamente, siguiendo el procedimiento dado para el punto B. Es decir determine: OA’ = 2.OA y OC’ = 2.OC.
Complete el gráfico dado anteriormente ubicando los puntos A’ y C’.
2. Complete el diseño del molde A’B’C’. Si le resulta necesario elija otros puntos de la
figura y repita el procedimiento anterior.
ORIENTACIONES
Compare lo que obtuvo con lo que le damos a continuación:
B’
B
C’
C
O
A
A’
Para completar el diseño del molde tendría que aplicar este recurso a todos los
puntos de la figura. De todos modos es suficiente con aplicarlo a cada vértice
de la ficha básica y trazar los lados A’B’, B’C’, y A’C’.
Matemática B • UNIDAD 4
75
Observe en el gráfico realizado que se obtuvo para cada punto de la figura ABC
uno y sólo un punto de la figura A’B’C’. Es decir que este recurso determina
una función definida de un conjunto de puntos del plano (figura ABC) en otro
conjunto de puntos del plano (figura A’B’C’).
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: HOMOTECIA
A la función que a cada elemento A de un conjunto de puntos del plano le
hace corresponder un punto A’ del plano, de tal manera que OA’ = r.OA , siendo r un número real distinto de cero, la llamaremos homotecia de centro O
y razón r.
Lo anotaremos así H (O ; r).
En la Parte A, a la función aplicada a la figura ABC para obtener A’B’C’, la
llamaremos homotecia de centro O y razón 2. La simbolizamos: H(O; 2).
Dado que al punto A le corresponde el punto A’, a través de la homotecia,
diremos que A’ es la imagen de A, o que A’ es el correspondiente de A, o
también que A’ es el homólogo de A.
Parte B
Le pedimos que resuelva las siguientes actividades para aplicar el recurso descripto a distintas figuras. Además aprovecharemos para usar el lenguaje matemático.
1. Aplique H(O ;1/2) a un cuadrado ABCD, siendo O un punto cualquiera exterior al cuadrado.
2. Aplique H(O ; 3) a la figura ABCD dada a continuación:
C
D
B
O•
A
76
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
3. Encuentre la figura imagen o correspondiente de un triángulo ABC a través de la
homotecia de centro en el vértice A y razón 2.
4. Encuentre el triángulo correspondiente al triángulo ABC a través de una homotecia
de centro O y razón r = -2, siendo O un punto cualquiera exterior al triángulo.
5. De acuerdo con lo que obtuvo en cada una de las homotecias aplicadas a distintas
figuras en los ítems anteriores, responda la siguiente pregunta. Utilice todos los
recursos que estén a su alcance para decidir su respuesta.
¿Cree que este recurso sirve para diseñar los moldes requeridos para el juego mencionado con anterioridad? O, dicho en términos matemáticos, ¿cree que las figuras
que se corresponden a través de una homotecia, son semejantes entre sí?
ORIENTACIONES
Es posible que a partir de resolver lo solicitado en la Parte B usted haya observado que las figuras que se corresponden en una homotecia son semejantes
entre sí.
Queremos destacar en este momento, como lo hicimos en Matemática A,
que la Matemática utiliza un recurso lógico, conocido como demostración,
para afirmar que las figuras que se corresponden en una homotecia son
semejantes entre sí. Y lo hace en general, no sobre casos particulares. Es
decir que no le alcanza con una simple observación sobre algunos casos
particulares para decidir la validez de una propiedad.
En este curso no haremos demostraciones matemáticas, pero sí nos interesa que usted pueda verificar la validez de las propiedades, aunque sea
para algunos casos particulares.
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: HOMOTECIA Y SEMEJANZA
Diremos que una homotecia de centro O y razón r, en símbolos H(O ; r),
aplicada a una figura geométrica tiene por imagen otra figura geométrica de
tal forma que:
• Sus lados homólogos son paralelos.
• Sus ángulos homólogos son iguales.
• Sus lados homólogos son proporcionales y la constante de proporcionalidad o razón es r.
Como consecuencia de lo dicho anteriormente: las figuras que se corresponden en una homotecia son semejantes entre sí.
Matemática B • UNIDAD 4
77
ACTIVIDAD Nº 5: “POSTES PARA CONSTRUIR UN QUINCHO”
Se deben colocar dos postes de 3 y 4,5 metros de altura para sostener el techo de un
quincho. El primero se coloca a 10 m de distancia de un punto de referencia que llamaremos O. El segundo poste debe colocarse de tal manera que los extremos superiores de ambos postes queden alineados con el punto O. Puede esquematizarse lo dicho
de la siguiente manera:
TEC
B’
HO
B
3m
O
10 m
A
4,5 m
A’
AB y A’B’ representan a cada uno de los postes.
Parte A
1. ¿Cómo son entre sí los triángulos OAB y OA’B’? ¿Por qué?
2. Calcule a qué distancia del punto de referencia O debe colocarse el segundo poste.
Justifique lo que utiliza para responder.
ORIENTACIONES
Los triángulos OAB y OA’B’ son semejantes entre sí por corresponderse en
4,5
una homotecia de centro O y razón
.
3
OA’
Luego se verifica que
= 1,5 pero OA es un dato y es igual a 10.
OA
Por lo tanto OA’ =1,5.
10
Esta igualdad es una ecuación donde la incógnita es OA’ , por lo tanto para
resolverla se multiplica por 10 a ambos miembros de la igualdad y resulta que
OA’ = 1,5 · 10 = 15.
Luego el segundo poste hay que ubicarlo a 15 m del punto de referencia O.
78
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
Para resolver situaciones como la anterior y otras en las que se usa la semejanza de
figuras geométricas deberá trabajar con proporciones y sus propiedades. Usted ya
trabajó con estos temas en la unidad anterior. Si lo necesita, retome esos temas.
Parte B
1. El siguiente gráfico representa los resultados de aplicar las homotecias H(A ; r) y H(A ; k)
al triángulo ABC.
B’’
B’
B
A
C
C’
C’’
• El triángulo AB’C’ se obtiene al aplicar H(A , r) al triángulo ABC.
• El triángulo AB’’C’’ se obtiene al aplicar H(A , k) al triángulo ABC.
Responda las siguientes consignas:
a. ¿Cómo son entre sí los triángulos ABC y AB’C’? ¿Por qué?
b. ¿Qué puede decir de los triángulos ABC y AB’’C’’ por corresponderse a través de
una homotecia?
c. ¿Cómo son entre sí las rectas que contienen los segmentos BC, B’C’ y B’’C’’?
2. En el cuadro que sigue se han escrito algunas proporciones posibles entre segmentos
del gráfico anterior. Estas proporciones se pueden basar o justificar con las homotecias aplicadas y la siguiente propiedad de las proporciones:
a
c
c-d
a-b
Si
=
es verdadera también lo es la siguiente proporción
=
b
d
d
b
En el cuadro algunas de las proporciones están incompletas y faltan algunas justificaciones. Complete todo lo que falta.
Matemática B • UNIDAD 4
79
La proporción
AB’
=
AB
BB’
AB
BB’’
AB
Por la homotecia H(A ; r) aplicada al triángulo ABC
.......
AB
.......
AC’
Justificación de la veracidad de la proporción
=
=
=
AC’’
Por la homotecia H(A ; k) aplicada al triángulo ABC
AC
CC’
Por la homotecia H(A ; r) aplicada al triángulo ABC y por
propiedad
AC
CC’’
..........................................................................................
AC
ORIENTACIONES
Una de las proporciones del cuadro anterior es:
CC’
BB’
=
AC
AB
Esta se puede deducir a partir de la proporción:
AC’
AB’
=
(justificada por la homotecia H(A ; r))
AC
AB
Si
AC’
AB’
=
entonces
AC
AB
de proporciones: si
AB’ - AB
AC’ - AC
=
(por la propiedad
AB
AC
a
c
c-d
a-b
=
entonces
=
)
b
d
d
b
Como AB’ - AB = BB’ y AC’ - AC = CC’ (observe estas diferencias de medidas de los segmentos en la figura dada en la Parte B).
Queda la proporción
BB’
CC’
=
, que queríamos probar.
AB
AC
De manera similar, se puede justificar que
BB” CC’’
=
teniendo en cuenta
AB
AC
la homotecia H(A ; k) y la propiedad de proporciones mencionada.
80
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
Observe en el gráfico cada uno de dichos segmentos. A partir de la observación le resultará útil reconocer la validez de esta proporción.
Pero, además queremos que descubra otra proporción válida a partir de las
dadas arriba. Los números que intervienen en las razones representan medidas
de segmentos, por lo tanto son todos números distintos de cero. Podemos, con
tranquilidad dividir miembro a miembro cada una de las igualdades dadas
arriba y resulta:
BB’
AB
BB’’
AB
=
CC’
AC
Efectuando la división queda:
CC’’
AC
BB’ = CC’ .
CC’’
BB’’
Esta es una de las proporciones que nos servirá para interpretar una propiedad
conocida como teorema de Thales que enunciaremos a continuación.
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: “TEOREMA DE THALES"
Si dos rectas r y p son cortadas por tres o más paralelas, por ejemplo, como
indica el dibujo:
p
C
r
C’
B
C’’
B’
B’’
se cumple que las medidas de los segmentos determinados por B, B’ y B’’ en
la recta r son proporcionales, respectivamente, a las medidas de los segmentos
determinados por C, C’ y C’’ en la recta p.
Esta propiedad se conoce con el nombre de teorema de Thales. En símbolos,
podemos expresar las siguientes proporciones:
BB’
CC’
=
;
B’B’’ C’C’’
BB’
CC’
=
;
BB’’ CC’’
B’B’’ C’C’’
=
CC’
BB’
y
BB’’ CC’’
=
BB’
CC’
Matemática B • UNIDAD 4
81
ACTIVIDAD Nº 6: “POSTES PARA LA TV POR CABLE”
En una ciudad, la empresa Telecable debe efectuar, a partir de su sede, el tendido de cables sobre dos avenidas, una de las cuales es diagonal. En cada avenida, debe ubicar los postes en forma equidistante uno del otro (es decir que,
en cada avenida, debe haber la misma distancia entre dos postes cualquiera).
A continuación se muestra:
• la ubicación de 7 de los postes en una de las avenidas (P1 , P2 , P3 ,
P4 , P5 , P6 , P7).
• la ubicación de la sede de la empresa.
• la ubicación del séptimo poste sobre la avenida diagonal (P’7).
SEDE
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
AVENIDA
DIA
GO
NA
L
P’7
Responda las siguientes consignas:
1. ¿Se verifica el objetivo de la empresa sobre la avenida?
2. Trace el segmento P7P´7.
3. Trace rectas paralelas a P7P’7, pasando por cada uno de los otros 6 puntos marcados
sobre la avenida y ubique así los postes sobre la diagonal.
4. Mida y compare las distancias que hay entre postes sobre la diagonal. ¿Se cumple con
el objetivo de la empresa?
PP
P’ P’
5. Por ejemplo, ¿cuánto valen las razones 3 4 y 3 4 ?
P 4P 5
P’4P’5
ORIENTACIONES
La distancia entre postes sucesivos en la avenida es siempre la misma. Por
PP
ejemplo, P3P4 = P4P5 , por lo tanto 3 4 = 1 .
P4P5
En la diagonal, los postes también equidistan entre sí. Por lo tanto, también
P’3P’4
=1.
P’4P’5
82
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
Teniendo en cuenta que las dos razones anteriores son iguales, podemos escribir
PP
P’ P’
la siguiente proporción: 3 4 = 3 4 .
P4P5
P’4P’5
Si se tiene en cuenta que las rectas P3P’3, P4P’4 y P5P’5 son paralelas entre sí,
la proporción anterior se justifica por el teorema de Thales.
En el gráfico dado los postes ubicados sobre la avenida están a igual distancia
uno de otro, es decir, los segmentos determinados sobre la misma tienen la
misma medida. Al trazar las rectas paralelas al segmento P7P’7 , los segmentos
determinados sobre la diagonal también tienen la misma medida. Por lo tanto,
los postes ubicados sobre la diagonal también equidistan entre sí.
El recurso utilizado en esta Actividad, nos sirve para dividir un segmento en
partes iguales.
Antes de comenzar a estudiar la próxima unidad, usted debe realizar los ejercicios de integración correspondientes a la Unidad 4. Su realización es imprescindible. Al resolverlos trabajará aspectos de los contenidos de la unidad que
no fueron trabajados en las actividades que resolvió hasta este momento.
También podrá integrar los distintos contenidos de la unidad y autoevaluar si
ya se encuentra en condiciones de pasar a estudiar la próxima unidad. No deje
de realizarlos.
Matemática B • UNIDAD 4
83
84
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
5
Función cuadrática
En esta Unidad trabajaremos con las funciones cuadráticas.
Estas funciones, del mismo modo que las funciones lineales, son utilizadas
como modelos matemáticos de situaciones vinculadas con la Física, la Biología,
la Economía, etc.
Trabajaremos con las diferentes formas de expresar la fórmula de una función
cuadrática y con la forma de representarla gráficamente, obteniendo de este
modo elementos que nos permitirán encontrar soluciones a los problemas
modelados por ellas.
UNIDAD 5
UNIDAD
Propósitos de la Unidad
En relación con los contenidos de esta Unidad le proponemos que:
• Reconozca una fórmula cuadrática y las diferentes formas de escribirla.
• Reconozca las características de una función cuadrática y de su representación gráfica.
• Analice, a partir de su representación gráfica, los ceros, intervalos de positividad y negatividad, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos
o mínimos de una función cuadrática.
• Calcule ceros y coordenadas del vértice de una función cuadrática a partir
de su fórmula.
• Represente gráficamente una función cuadrática a partir de su fórmula.
• Analice situaciones concretas modeladas por funciones cuadráticas e interprete los ceros, las coordenadas del vértice, los intervalos de crecimiento y
decrecimiento, los intervalos de positividad y negatividad, los máximos o
mínimos de la función en términos de la situación.
ACTIVIDAD N° 1: “PRESUPUESTOS EN UN TALLER DE ARTESANÍAS”
Dada la difícil situación económica del momento, un taller de artesanías decide ofrecer sus
servicios a los comerciantes de la zona para incrementar las ventas.
Un primer cliente solicita la decoración de chapas cuadradas de diferentes dimensiones.
El trabajo consiste en pintar una cara de cada chapa de lado x (en cm) y colocarle un listón
de cobre como indica el siguiente dibujo:
Matemática B • UNIDAD 5
85
Para presupuestar el trabajo, el dueño del taller realiza una serie de cálculos y averiguaciones:
• El costo de pintar la chapa es de $ 3 el cm2.
• El listón de cobre vale $ 2 el cm.
• El costo de mano de obra es de $ 4 por cada chapa.
Como el precio a cobrar por el trabajo depende de la medida x del lado de la chapa,
necesita organizarse para realizar los cálculos. Para ello, decide confeccionar una tabla,
considerando los siguientes rubros:
• Medida del lado de la chapa.
• Área de la chapa.
• Gasto en pintura.
• Precio del listón.
• Costo de mano de obra.
• Tarifa total
Parte A
Le pedimos que ayude al dueño del taller a organizar su presupuesto respondiendo a las
consignas que siguen:
1. Complete en la tabla que sigue, los casilleros que el dueño del taller dejó en blanco:
Si la medida (en El área de
El gasto en
cm) del lado de
la chapa
pintura es:
la chapa es:
es:
2
5
22
El listón
vale:
3.22
El total a cobrar,
o tarifa , por esta
chapa es:
3.22 + 2.2 + 4
2.5
3.72 + 2.7 + 4
7
10
86
El costo por
mano de
obra es:
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
2. Escriba una fórmula que exprese la tarifa total y a cobrar por un trabajo realizado en
una chapa de lado x. Para hacerlo tenga presente las cuentas que realizó en la tabla
anterior al calcular la tarifa total a partir de las diferentes medidas de los lados de las
chapas.
ORIENTACIONES
Luego de completar la tabla le habrá resultado más sencillo escribir la fórmula que expresa la tarifa y en función de la medida del lado x de la chapa. La
fórmula es:
y = f(x) = 3 . x2 + 2 . x + 4
Observándola, podemos ver que el máximo exponente al que está elevada la variable x es un cuadrado. Por esa razón decimos que es una fórmula cuadrática.
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: FÓRMULA CUADRÁTICA
Llamamos fórmula cuadrática a cualquier fórmula del tipo:
y = a . x2 + b . x + c
con a, b y c números reales y a
los llamamos coeficientes.
0 (a distinto de 0). A los números a, b y c
Por ejemplo, en la fórmula y = 3 . x2 + 2 . x + 4 hallada, los coeficientes son:
a = 3, b = 2, c = 4.
Parte B
Todas las fórmulas que siguen son fórmulas cuadráticas. Identifique, en cada una de
ellas, los valores de los coeficientes a, b y c:
2
y=5.x –2.x -3
y=
3
. x2 – 5 . x
4
y = x2
y = 3 . x2 - x +
y = - x2 + 2
2
3
y = -2 . x2 +
1
.x +1
2
y = 3 . x – 5 + x2
y = 1 – x2
Matemática B • UNIDAD 5
87
Parte C
Al taller de artesanías llega un nuevo trabajo. Éste se debe realizar con placas de diferentes tamaños y materiales.
El trabajo se inicia a partir de placas cuadradas que pueden ser de distintas dimensiones.
Cada placa inicial es de cierto material que llamaremos A.
A la placa inicial se deben soldar otras placas de materiales diferentes de tal modo que se
obtenga una nueva placa cuadrada. Una vez armada la placa final se la debe barnizar.
A continuación se ha hecho un esquema, en el que se representa la placa inicial y las partes soldadas. Con las letras A, R y D distinguimos el tipo de material de cada parte de la
placa final. Las medidas son en cm.
Nuevamente, el encargado del taller deberá organizar el cálculo del presupuesto para
cada trabajo que le sea solicitado a partir de la medida de lado x de la placa inicial. Esta
vez pide ayuda a Pedro, uno de sus colaboradores.
Para comenzar, calcula algunos valores que necesitará para poder armar su presupuesto.
Póngase ahora en el lugar del encargado, es decir, suponga que es usted el que tiene
que hacer el presupuesto. Para comenzar con esta tarea, responda las siguientes preguntas basándose en la información que le proporciona el esquema:
1. De acuerdo con el dibujo, ¿cómo puede calcular la medida del lado de la placa final?
Escriba la expresión que permite calcular dicha medida para cualquier valor de x.
2. ¿Cómo puede calcular el área que deberá barnizar, teniendo en cuenta la medida del
lado de la placa final? Escriba la expresión que permite calcular el área a barnizar
para cualquier valor de x.
3. ¿Cómo puede calcular el área de la placa inicial de material A? Escriba la expresión
correspondiente.
4. ¿Cómo puede calcular el área de cada una de las placas de material R? Escriba la
expresión correspondiente.
5. ¿Cómo puede calcular el área de la placa de material D? Escriba su valor.
88
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
Parte D
Al formularse las mismas preguntas que usted acaba de responder, se produjo una
pequeña discusión entre el encargado del taller y su colaborador.
El encargado dice:
“El área a barnizar es lado por lado, o sea:
(x + 3) . (x + 3) o, lo que es igual, (x + 3)2 ”
El colaborador dice:
“El área a barnizar es el área de material A, más el área de material R, más
el área de material D. Es decir:
2
2
x + ( 3 . x + 3 . x) + 3 ”
1. Suponga que usted debe funcionar como árbitro en esta discusión. Para ello deberá
juntar algunas pruebas antes de tomar su decisión. Le proponemos realizar algunos
cálculos con ese fin. Si por ejemplo, las dimensiones de la placa inicial fueran 4 cm x
4 cm, es decir x = 4:
a. ¿qué área se barnizaría según el cálculo del encargado?
b. ¿qué área se barnizaría según el cálculo de Pedro?
2. Compare los resultados que obtendría utilizando la cuenta del encargado y la de
Pedro para calcular el área a barnizar para los siguientes valores de x:
x
(x+3) . (x+3)
x2 + (3.x+3.x) + 32
1
2
3
5
8
3 ¿Qué diría de los resultados obtenidos utilizando la fórmula del encargado respecto
de los obtenidos con la fórmula de Pedro?
4. ¿Qué opina que sucedería si damos a x otros valores diferentes a los de la tabla?
5. A partir de las pruebas que ha obtenido, ¿cómo cree que terminará la discusión entre
el encargado y su colaborador?
Matemática B • UNIDAD 5
89
ORIENTACIONES
A partir de las pruebas realizadas en la tabla anterior para varios valores de x,
podemos observar que los cálculos del área a barnizar realizados utilizando la
fórmula del encargado coinciden con los realizados con la fórmula de Pedro.
Cada uno de ellos utilizó distintos caminos para calcularla, y ambos son
correctos.
En general, del mismo modo que con los cálculos realizados por el encargado del taller y su colaborador, se pueden encontrar diferentes caminos
de resolución de un problema que conduzcan todos a resultados igualmente correctos. Es importante entonces que, ante cada actividad, usted
elabore su propio camino de resolución confiando en que el mismo puede
ser correcto independientemente de que coincida con el camino seguido
por otra persona. Además, su propio camino, será el que mayor sentido
tenga para usted.
Podríamos decir, entonces, que:
(x + 3)2 = x2 + (3.x + 3.x) + 32
Si agrupamos los términos en el segundo miembro de la igualdad, nos queda:
(x + 3)2 = x2 + 2.3x + 32 = x2 + 6 . x + 9
La igualdad es válida para cualquier valor de x.
Nosotros hemos verificado que la igualdad anterior es válida para algunos
valores de x. Para la Matemática esto no es suficiente. Para poder afirmar
que la igualdad es válida para cualquier valor de x no le alcanza con comprobar que se verifica para algunos valores de x. Para poder hacerlo, como
le resulta imposible repetir este procedimiento para los infinitos números
reales, debe utilizar propiedades, ya demostradas previamente, que le
permiten comprobar en forma general la validez de la igualdad. Estas
tareas son propias del quehacer matemático.
Parte E
Por suerte, llega al taller un tercer trabajo.
A partir de chapas cuadradas de distintas dimensiones, se deben pintar algunas zonas de
rojo (indicadas en el esquema con una R) y otra de dorado (indicada en el esquema con
una D). Sobre la zona que queda sin pintar se hace un grabado especial.
El siguiente gráfico describe el trabajo. Las medidas son en cm.
90
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
A partir de la información anterior, responda las siguientes preguntas:
1. Teniendo en cuenta lo que pasó con el trabajo anterior, ¿cómo cree que calcularía el
encargado del taller el área a grabar en función de la medida x?
2. El colaborador planteó las siguientes cuentas para calcular el área a grabar:
x2 – [3.(x – 3) + 3.(x – 3) + 32 ]
Indique qué parte de la chapa representa cada una de las cuentas indicadas en la
siguiente tabla. Le damos una respuesta a modo de ejemplo:
3.(x-3)
32
[3.(x-3) + 3.(x-3) + 32]
x2
x2 - [3.(x-3) + 3.(x-3) + 32]
Area de cada una de
las zonas a pintar en
rojo
3. Si la medida del lado de la chapa fuera de 5 cm, es decir x = 5:
a. Calcule el área a grabar como lo haría el encargado del taller y como lo haría su
colaborador.
b. Compare los resultados obtenidos por el encargado y por su colaborador
para otros valores de x. Por ejemplo, para x = 4; x = 7 y x = 10.
c. ¿Qué podría decir respecto de las dos formas de calcular el área grabada?
4. Pedro, el colaborador del encargado, utilizó la propiedad distributiva en las cuentas
que planteó para calcular el área a grabar y escribió:
x2 - [3 . (x - 3) + 3 . (x - 3) + 32 ] = x2 - [3 . x – 3 . 3 + 3 . x – 3 . 3 + 32 ] =
x2 - [3 . x – 32 + 3 . x – 32 + 32 ] = x2 - [3 . x – 32 + 3 . x] =
x2 – 3 . x – 3 . x + 32 = x2 – 6 . x + 9
Verifique si los pasos realizados por Pedro en sus cuentas son correctos.
Si tiene dificultades para entender los pasos dados por Pedro en las cuentas anteriores, le convendría leer en la Unidad 2 de Matemática A “Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma y de la resta” y “Cancelación”.
Matemática B • UNIDAD 5
91
ORIENTACIONES
Del mismo modo que en el trabajo anterior, los resultados obtenidos por
Pedro y el encargado para calcular el área a grabar coinciden.
Podríamos decir, entonces, que:
(x – 3)2 = x2 – 6.x + 9
Esta igualdad también es válida para cualquier valor de x.
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: CUADRADO DE UN BINOMIO.
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.
A partir de lo visto en esta actividad, agregaremos a su vocabulario matemático algunos nombres:
• A la expresión x + 3 por tener dos términos o sumandos, la llamaremos
binomio. Por eso diremos que (x + 3)2 es un binomio al cuadrado.
• A la expresión x2 + 6x + 32 por tener tres términos o sumandos, la llamaremos trinomio. Y por ser igual a (x + 3)2 se lo llama trinomio cuadrado
perfecto.
Si escribimos en forma más general lo dicho y trabajado en las Partes C, D y
E de esta actividad, diremos que:
El binomio al cuadrado (x + a)2 es igual al trinomio cuadrado perfecto x2 + 2ax + a2, o sea:
(x + a)2 = x2 + 2ax + a2
El binomio al cuadrado (x – a)2 es igual al trinomio cuadrado perfecto x2 – 2ax + a2, o sea:
(x – a)2 = x2 – 2ax + a2
92
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
ACTIVIDAD N° 2: “ANÁLISIS DE LA TEMPERATURA DE UNA
BARRA METÁLICA”
En un laboratorio se somete una barra metálica a distintas condiciones físicas. En cada caso
se mide la temperatura de la barra durante los primeros 6 minutos de prueba.
Los gráficos que siguen representan funciones que expresan, para distintos casos, la temperatura y (en °C) en función del tiempos (en minutos) durante los 6 minutos de prueba.
Las fórmulas de las funciones graficadas son cuadráticas y están indicadas debajo de cada
uno de los gráficos.
CASO I
y = f(t) = t2 – 6t + 5
CASO II
CASO III
y = f(t) = t2 – 6t + 9
CASO IV
CASO V
y = f(t) = -t2 + 6t – 10
y = f(t) = t2 – 6t + 11
y = f(t) = -t2 + 8t – 12
CASO VI
y = f(t) = - t2 + 4t
Matemática B • UNIDAD 5
93
Parte A
En el laboratorio se quiere confeccionar un informe sobre lo observado en cada uno de
los casos anteriores. Le pedimos a usted que colabore en la confección del informe completando la tabla que le presentamos a continuación. Para hacerlo, observe los gráficos
y sus fórmulas como si usted fuese el jefe del laboratorio e indique, para cada uno de
los casos, el o los valores correspondientes a lo solicitado en la columna de la izquierda.
CASOS
I
II
III
IV
V
VI
Temperatura inicial ó f(0)
Instantes t en los que la
temperatura es de 0ºC ó
valores de t para los que
Instantes t en los que la
temperatura es mayor que
0ºC ó valores de t para los
Instantes t en los que la
temperatura es menor que
0ºC ó valores de t para los
Instante t en el que la temperatura alcanza un valor
máximo o mínimo
Valor máximo o mínimo de
temperatura
Instantes t en los que la
temperatura aumenta o
Instantes t en los que la
temperatura disminuye o
Parte B
A partir de la información reunida en la tabla, el jefe del laboratorio obtiene algunas
conclusiones en relación con la temperatura de la barra en cada uno de los casos anteriores. Formula sus conclusiones a través de las afirmaciones que se dan a continuación.
Determine la verdad o falsedad de cada una de ellas.
Si le resulta difícil leer los símbolos y, por lo tanto, interpretar las frases que siguen, le recomendamos buscar estos temas y simbologías en la Unidad 1 de Matemática B.
94
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
• En el caso I, entre los minutos 1 y 5 la temperatura de la barra fue negativa.
• En el caso I, la temperatura de la barra fue de 0 °C en el minuto 1 y en el minuto 5.
• En el caso III, f(2) = 0, y también, f(6) = 0.
• En el caso III, si t pertenece al intervalo abierto (2 ; 6) entonces f(t) > 0. Es decir, entre
el minuto 2 y el minuto 6 la temperatura es mayor que 0.
• En el caso II, f(3) = 0.
• En el caso V, f(t) > 0 para todo el período observado.
• En el caso IV, f(t) < 0 para todo t perteneciente al intervalo (0 ; 6).
• En el caso III, la barra alcanzó la temperatura máxima, que fue de 4° C, en el instante t = 4 min.
• En el caso VI, el conjunto (2 ; 6) es el conjunto de decrecimiento de la función f.
• En el caso II, la temperatura mínima de la barra se produjo en el instante t = 3 y fue
de 0° C.
• En el caso IV, la temperatura de la barra nunca fue de cero grados.
• En el caso I, el punto de coordenadas (3 ; - 4) indica que a los 3 minutos de iniciadas
las pruebas la barra alcanzó la temperatura mínima de – 4° C.
• En el caso I, el conjunto (0 ; 1)
(5 ; 6) es el conjunto de positividad de la función f.
El símbolo se lee unión, y es la forma de simbolizar que se define un conjunto formado por los elementos de alguno de los dos conjuntos.
• En el caso VI, la temperatura de la barra estuvo subiendo durante los dos primeros
minutos de pruebas.
ORIENTACIONES
Una lectura adecuada de los gráficos le habrá permitido inferir que todas las
afirmaciones son verdaderas. A partir de ellas podrá verificar si completó
correctamente la tabla dada en la Parte A.
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: FUNCIÓN CUADRÁTICA. PARÁBOLA.
En todos los casos anteriores, la función que modela cada situación es una
función del tipo f: [0 ; 6] R / f(t) = a t2 + b t + c con a, b y c números
reales y a 0.
El conjunto de partida de todas ellas es el conjunto [0 ; 6] ya que las pruebas
sobre la barra se realizaron durante 6 minutos.
Saliéndonos de la situación concreta de referencia, con cada una de las fórmulas
anteriores podemos definir una función con dominio en el conjunto de todos los
números reales. En ese caso estaríamos definiendo una función de la forma:
Matemática B • UNIDAD 5
95
f: R
R / f(x) = a x2 + b x + c
con a
0 y a, b, c números reales.
Llamaremos a estas funciones, funciones cuadráticas. Sus representaciones
gráficas son curvas llamadas parábolas. Las representaciones gráficas de la
actividad anterior son trozos de parábolas debido a que las funciones representadas están definidas en un subconjunto de números reales. Si extendiéramos el dominio de cada una de ellas al conjunto R, la representación gráfica
de cada una de las funciones sería una parábola completa. Por ejemplo, la
representación gráfica de la función correspondiente al caso III, considerando
al conjunto de los números reales como dominio, resulta:
Entre las representaciones gráficas anteriores puede observar parábolas con esta
forma: y parábolas con esta forma: . A las primeras las llamaremos parábolas cóncavas hacia arriba y a las otras, parábolas cóncavas hacia abajo.
Las parábolas cóncavas hacia arriba alcanzan en algún valor x de su dominio,
un valor f(x) que es el mínimo valor de la función. Análogamente, si la parábola es cóncava hacia abajo, alcanza en algún valor x de su dominio, un valor
f(x) que es el máximo valor de la función. En cualquiera de los dos casos, el
punto de la parábola donde la misma alcanza su punto máximo o su punto
mínimo se llama vértice. Sus coordenadas son (xv ; yv) , siendo f(xv) = yv.
Como la función f toma el mismo valor y para cada par de valores de x que
se encuentran a igual distancia de la recta vertical que pasa por el vértice, la
gráfica de f resulta ser simétrica respecto de esta recta. Dicha recta recibe el
nombre de eje de simetría de la parábola y su ecuación es x = xv.
96
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
Parte C
Responda las siguientes preguntas a partir de las representaciones gráficas correspondientes a cada uno de los casos:
1. Observe las representaciones gráficas correspondientes a los casos I, II y V, y a partir
de ellas responda las siguientes preguntas:
a. ¿Son parábolas cóncavas hacia arriba o cóncavas hacia abajo?
b. ¿Cuál es el signo del coeficiente a en la fórmula correspondiente a cada una de
ellas?
2. Observe ahora las representaciones gráficas correspondientes a los casos III, IV y VI, y
a partir de ellas responda las siguientes preguntas:
a. ¿Son parábolas cóncavas hacia arriba o cóncavas hacia abajo?
b. ¿Cuál es el signo del coeficiente a en la fórmula correspondiente a cada una de
ellas?
3. A partir de sus respuestas a las preguntas anteriores, trate de contar con sus palabras
cómo reconocería a través de la fórmula de una función cuadrática, si la parábola que
la representa es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo.
Parte D
1. Reproduzca en su cuaderno la representación gráfica de la función correspondiente
al caso I pero considerando al conjunto de los números reales como dominio.
2. Represente, en el sistema utilizado para representar la parábola correspondiente al
caso I, una parábola diferente a la anterior que tenga sus mismos ceros. Es decir, que
corte al eje x en x = 1 y x = 5.
3. Represente, también en el mismo sistema anterior, otras cuatro parábolas distintas
que tengan como ceros a x = 1 y x = 5.
4. ¿Cuántas parábolas podría representar que tengan los mismos ceros que las anteriores?
5. Señale el punto correspondiente al vértice en cada una de las parábolas dibujadas e
indique gráficamente sus coordenadas.
6. ¿Cuál es la distancia en cada una de las parábolas dibujadas desde el valor xv hasta
cada uno de los ceros de la parábola?
7. A partir de sus respuestas a las preguntas anteriores, ¿qué podría decir sobre la ubicación de xv en relación con la ubicación de los ceros en cada una de las parábolas
dibujadas?
Matemática B • UNIDAD 5
97
ORIENTACIONES
Es posible representar infinitas parábolas que tengan a x = 1 y x = 5 como
ceros. Todas ellas son simétricas respecto del mismo eje. Como el eje de
simetría es la recta vertical que pasa por el vértice de la parábola, todas ellas
también tienen la misma abscisa del vértice ( xv ). Las representaciones gráficas de algunas de las parábolas que verifican las condiciones anteriores son:
La distancia desde xv a cualquiera de los dos ceros de la parábola es la misma,
es decir que la abscisa xv está ubicada en el punto medio entre los dos ceros
de la parábola. Por esta razón xv se puede calcular como el promedio de los
valores de los ceros. O sea, en este caso:
1+5
xv =
=3
2
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: VÉRTICE DE UNA PARÁBOLA
Como ya dijimos anteriormente, llamamos vértice de la parábola al punto
donde ésta alcanza su valor máximo o mínimo. Sus coordenadas son (xv ; yv).
Como consecuencia de la simetría de la parábola, la abscisa xv está ubicada en
el punto medio entre los ceros. Si el conjunto de ceros de la función cuadrática es C0 = { x1 ; x2 }, la abscisa del vértice puede calcularse como:
xv =
x1 + x2
2
En el libro trabajará otra forma de calcular este valor que podrá utilizar aún
cuando la parábola no tenga ceros.
98
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
La ordenada del vértice, yv, puede determinarse a partir del valor xv calculando f(xv), es decir, calculando la imagen de xv a través de la función f.
Parte E
1. Retome la representación gráfica que realizó en el ítem 1. de la Parte D, es decir, la
representación de la función correspondiente al caso I considerando al conjunto de
los números reales como dominio.
a. ¿La función alcanza un máximo o un mínimo? ¿Cuál es el máximo ó mínimo valor?
Márquelo también sobre el eje y.
b. Observe en ella cuáles son todos los valores de y que resultan ser imagen de algún
valor x del dominio de la función. Márquelos sobre el eje y.
c. A partir de lo observado en los ítems anteriores, escriba el conjunto imagen de la
función f: R
R / y = f(t) = t2 – 6t + 5.
2. Extienda al conjunto de los números reales el dominio de las funciones graficadas
para los demás casos y determine, a partir de sus representaciones gráficas, el conjunto imagen de cada una de las funciones f: R
R / y = f(t). Para hacerlo tenga en
cuenta las indicaciones que le dimos en el ítem 1..
ORIENTACIONES
A partir de la representación gráfica de la función:
f: R
R / y = f(t) = t2 – 6t + 5
podemos ver que, en el vértice la función alcanza su valor mínimo, que es –4.
Todos los valores de y mayores o iguales que –4 resultan ser imagen de algún
valor x del dominio de la función f. Por lo tanto el conjunto imagen de la función f es el intervalo [-4 ; + ). En símbolos:
Im f = [-4 ; + )
En la representación gráfica correspondiente al caso III, en el vértice la función alcanza su valor máximo. En este caso podemos observar en el gráfico
que todas las imágenes alcanzadas por la función son menores o iguales que 4,
que es el valor máximo. Por lo tanto, el conjunto imagen de la función es el
intervalo (- ; 4]. En símbolos:
Im f = (- ; 4]
Como se puede observar en los dos ejemplos anteriores, el valor máximo o
mínimo del conjunto imagen de una función cuadrática es el valor yv.
Matemática B • UNIDAD 5
99
ACTIVIDAD N° 3: “TRABAJANDO CON EL LIBRO”
Parte A
En esta parte de la actividad lo orientaremos para que trabaje algunos contenidos utilizando el
libro Matemática 1 de Camuyrano B y otros, editorial Estrada.
No se olvide de las sugerencias que le hicimos en las unidades anteriores
respecto del manejo del libro y de la información que él puede brindarle.
En el Capítulo 3 - Funciones cuadráticas:
1. Lea, en las páginas 77 a 83, “La función cuadrática y su expresión cartesiana”. A
medida que avanza en la lectura resuelva la Ejercitación propuesta en la página 79
y el ejercicio N° 2 de la Ejercitación propuesta en la página 83.
En la página 78 de la edición 2000, hay un error en la fórmula para el cálculo de
los ceros de una función cuadrática. La misma debe ser:
Si usted tiene otra edición verifique que la fórmula dada para el cálculo de los
ceros sea la que le acabamos de indicar.
2. Lea, en las páginas 84 y 85, “Conjuntos de positividad y negatividad”.
3. Resuelva la Ejercitación propuesta en las páginas 85 y 86.
4. Lea, en las páginas 86 a 88, “Factorización de la función cuadrática”. Resuelva los
ejercicios 1, 2 y 3 de la Ejercitación propuesta al pie de la página 88.
5. Lea, en las páginas 89 a 91, “Intersección de una parábola y una recta”.
6. Resuelva, de las Actividades de síntesis propuestas en las páginas 92 y 93, los ejercicios N° 11, 12, 15, 16 y 17. Puede verificar sus respuestas en la página 372.
Parte B
1. Vamos a retomar la Situación 6: “El rendimiento del cultivo de naranjas”, que leyó
en el libro, para trabajar algunos aspectos más en relación con el tema planteado en
la misma.
En ella se expresó la producción total de la plantación en función de la cantidad x de
naranjos agregados a través de la fórmula:
P(x) = -5 . (40 + x) . (x – 100)
a. Aplique, en la expresión anterior, la propiedad distributiva del producto respecto
de la suma y la resta.
b. La expresión obtenida, ¿qué tipo de fórmula es?
100
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
2. Verifique las siguientes igualdades, aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma y la resta en la expresión del primer miembro de la
igualdad:
a. –3 . (x – 1) . (x – 2) = 3x2 – 9x + 6
b. –2 . (x + 1) . (x – 3) = -2x2 + 4x + 6
c. –3x . (x – 5) = -3x2 + 15x
3. ¿Cuáles son los ceros de las funciones definidas con cada una de las fórmulas anteriores?
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: FORMA FACTORIZADA DE UNA
FÓRMULA CUADRÁTICA
Aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma o de la resta,
usted habrá podido verificar las tres igualdades anteriores. En cada igualdad, las
dos expresiones son formas distintas de escribir una misma fórmula cuadrática
(como en el caso del encargado del taller y Pedro su colaborador, ¿lo recuerda?).
En general, la expresión a . (x – x1) . (x – x2) en la que x1 y x2 son los ceros de
la función cuadrática y a es el coeficiente del término en el que la variable x tiene
exponente 2, es la expresión factorizada de la expresión ax2 + bx + c. Es decir,
a . (x – x1) . (x – x2) = ax2 + bx + c
Por ejemplo: 3 . (x – 1) . (x – 2) es la expresión factorizada de 3x2 – 9x + 6.
Los ceros de la función cuadrática definida a través de la fórmula anterior son
x = 1 y x = 2.
En el problema de las naranjas, la fórmula P(x) = -5 . (40 + x) . (x – 100) es
una fórmula cuadrática escrita en forma factorizada. Fuera del contexto del
problema, las raíces de la ecuación son x1 = -40 y x2 = 100.
Buscar las raíces cuando la fórmula está escrita en forma factorizada es más sencillo que cuando la fórmula está escrita de la forma f(x) = a x2 + bx + c, ya que
para hacerlo es suficiente determinar el valor de x que anula a cada uno de los
factores.
Antes de comenzar a estudiar la próxima unidad, usted debe realizar los ejercicios
de integración correspondientes a la Unidad 5. Su realización es imprescindible.
Al resolverlos trabajará aspectos de los contenidos de la unidad que no fueron trabajados en las actividades que resolvió hasta este momento. También podrá integrar los distintos contenidos de la unidad y autoevaluar si ya se encuentra en condiciones de pasar a estudiar la próxima unidad. No deje de realizarlos.
Matemática B • UNIDAD 5
101
102
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
6
Funciones polinómicas
En esta Unidad trabajaremos con funciones polinómicas, que también son
utilizadas como modelos matemáticos de situaciones vinculadas a la Física, la
Biología, la Economía, etc.
Trabajaremos con las diferentes formas de expresar la fórmula de una función
polinómica y con los procedimientos que permiten pasar de una forma de
expresión a la otra. También veremos cómo se resuelven las operaciones básicas con polinomios (o expresiones polinómicas).
UNIDAD 6
UNIDAD
Propósitos de la Unidad:
En relación con los contenidos de esta Unidad, le proponemos que:
•
Reconozca las características de una función polinómica.
•
Resuelva operaciones entre polinomios o expresiones polinómicas.
• Reconozca las diferentes formas en que puede expresarse la fórmula de una
función polinómica.
•
Factorice polinomios teniendo en cuenta sus raíces usando el teorema de
Gauss.
• Resuelva problemas en los que se utilice a las funciones polinómicas como
modelo e interprete sus respuestas en términos de la situación.
•
Analice los ceros, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y
mínimos a partir de la representación gráfica de una función polinómica.
•
Calcule el resto de una división usando el teorema del resto.
•
Decida si un polinomio es divisible por otro.
Para trabajar los contenidos de esta unidad es indispensable haber comprendido los
contenidos de las Unidades 1 y 5. Si le ha quedado alguna duda, o no recuerda algún
tema, es conveniente que revise los contenidos de esas unidades en los que aún
tiene dificultades antes de comenzar el estudio de la presente Unidad.
Matemática B • UNIDAD 6
103
ACTIVIDAD N° 1: “FABRICACIÓN DE DADOS”
La empresa “HASTEM” fabrica juegos de mesa para los que necesita dados cúbicos de distintos tamaños.
El costo de construcción de un cubo para fabricar un dado es de $ 0,02 el cm3. Pintar las caras
2.
de los dados vale $ 0,01 el cm
Cada punto marcado que se le debe agregar al dado en sus caras tiene un valor de $ 0,01.
Si con x se expresa la medida de la arista de un dado, la fórmula que permite calcular su costo
3
2
de fabricación c es c(x) = 0,02 · x + 0,06 · x + 0,21
Para los juegos fabricados por esta empresa se necesitan dados cuyas aristas midan entre 0,5 cm
y 2 cm.
Dos caras de un dado (o cubo) se unen formando una arista. Es decir que una arista
es el segmento donde se unen dos caras del cubo. En un dado, todas las aristas miden
lo mismo.
Parte A
1. Calcule, usando la fórmula c(x), el costo de fabricación de un dado de 1,7 cm de arista.
2. Calcule c(0,7). Interprete el valor calculado en términos de la situación de la fábrica
de juegos de mesa.
3. Defina una función c que permita describir los posibles costos de fabricación de
dados en la empresa “HASTEM”.
Parte B
Otra empresa, “YEBRO”, fabrica dados con un material que le cuesta $ 0,06 el cm3.
Usando este material no hace falta pintar las caras de los dados. Marcar cada punto en
las caras tiene un costo de $ 0,01. Esta empresa fabrica dados cuyas aristas miden entre
0,6 cm y 1,8 cm.
1. ¿Con cuál de las siguientes fórmulas puede calcular el costo p de fabricación de un
dado cuya arista mide x cm en la fábrica “YEBRO”?
p(x) = 0,06 · x3 + 0,01
p(x) = 0,01 · x3 + 0,06
p(x) = 0,06 · x3 + 0,21
2. Calcule p(1,7) y p(0,7) utilizando la fórmula que seleccionó en el ítem 1..
104
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
3. Si usted tuviera que encargar la fabricación de dados a alguna de estas empresas, ¿a
cuál le pediría un dado cuya arista mida 1,4 cm? ¿Por qué? Indique las cuentas que
le permiten justificar su respuesta.
4. Defina una función p que permita describir los posibles costos de fabricación de
dados en la empresa “YEBRO”.
ORIENTACIONES
Las funciones que permiten calcular el costo de fabricación de dados en cada
una de las empresas mencionadas son:
c : [0,5 ; 2]
p : [0,6 ; 1,8]
R / c(x) = 0,02 · x3 + 0,06 · x2 + 0,21
R / p(x) = 0,06 · x3 + 0,21
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: POLINOMIO DE GRADO 3. FUNCIONES POLINÓMICAS DE GRADO 3. MONOMIOS.
En las fórmulas c(x) = 0,02 · x3 + 0,06 · x2 + 0,21 y p(x) = 0,06 · x3 + 0,21
de las funciones anteriores aparece la variable x elevada a distintos exponentes
(que son números naturales). En ambos casos, el máximo exponente al que se
eleva la variable x es 3
Fórmulas como las mencionadas se llaman fórmulas polinómicas o polinomios de grado 3. Cada término de un polinomio se llama monomio.
Debido a las condiciones de fabricación de los dados, los dominios de las funciones c y p son los intervalos [0,5 ; 2] y [0,6 ; 1,8] respectivamente. Si dejamos de lado esas condiciones, con las fórmulas dadas podemos definir funciones de R en R. Es decir:
•g:R
R / g(x) = 0,02 · x3 + 0,06 · x2 + 0,21
•·h : R
R / h(x) = 0,06 · x3 + 0,21
Dichas funciones son ejemplos de funciones polinómicas de grado 3.
En general, una función f : R
R / f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, se llama función polinómica de grado 3. Los números a, b, c y d se llaman coeficientes
y son números reales. El coeficiente a se llama coeficiente principal y debe ser
distinto de cero (en símbolos: a 0) para que el polinomio sea de grado 3.
Matemática B • UNIDAD 6
105
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: FUNCIONES POLINÓMICAS DE
GRADO n. POLINOMIOS DE GRADO n.
Además de las funciones polinómicas de grado 3 presentadas en la actividad
anterior, usted ya ha trabajado en esta Guía con otras funciones polinómicas:
• Las funciones lineales que pueden ser funciones polinómicas de grado cero,
o sea:
f:R
R / f(x) = a (con a
0);
o funciones polinómicas de grado 1, o sea:
f:R
R / f(x) = m . x + b (con m
0).
• Las funciones polinómicas de grado 2 (o funciones cuadráticas), o sea:
f:R
R / f(x) = ax2 + bx + c (con a
0).
Como puede verse en las funciones polinómicas anteriores, el grado está dado
por el máximo exponente al que está elevada la variable x.
También podemos trabajar con funciones polinómicas de:
• grado 4, es decir que su fórmula es un polinomio en el que el mayor exponente al que aparece elevada la variable es 4. O sea:,
f:R
R / f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e (con a
0)
• grado 5 o superior
En general podemos definir funciones polinómicas de grado n. Son funciones
f:R
R / f(x) = axn + bxn-1 + … + x2 + x +
(donde los coeficientes a, b, c, …,
y son números reales, a
exponentes de la variable x son números naturales).
0 y los
La fórmula de esta función es un polinomio de grado n ya que, como el coeficiente principal es distinto de cero, n es el máximo exponente al que se eleva x.
ACTIVIDAD N° 2: “EL TALLER DE ARTESANÍAS CAMBIA SUS PRECIOS”
En la Actividad Nº 1 de la Unidad 5: “Presupuestos en un taller de artesanías” hemos trabajado
con los pedidos a un taller de artesanías. ¿Se acuerda? Si no la recuerda, reléala en la Unidad 5.
El primer cliente volvió por el taller para solicitar un nuevo pedido de chapas con las mismas características.
El encargado del taller le aclaró al cliente que los precios habían sido modificados, ya
que se habían producido aumentos en todos los rubros.
Y le detalló:
El costo de pintar la chapa aumentó a razón de $ 0,5 el cm2.
106
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
La barra de cobre tuvo un aumento de $ 1 el cm.
La mano de obra aumentó $ 2 por cada chapa.
Teniendo en cuenta la experiencia anterior, el dueño del taller decide confeccionar una
nueva tabla que refleja los aumentos por rubro.
El encabezado de la tabla es el siguiente:
Si la medida
(en cm) del
lado de la
chapa es:
El área de la
chapa es:
El aumento
del gasto en
pintura es:
El aumento
El total del
El aumento
del costo por
aumento por
de la barra es: mano de obra
esta chapa es:
es:
Parte A
1. Le solicitamos que colabore con el dueño y complete los espacios con la información
necesaria para el cálculo:
Si la medida
(en cm) del
lado de la
chapa es:
3
6
El área de la
chapa es:
El aumento
del gasto en
pintura es:
El aumento
de la barra
es:
0,5 • 32
El aumento
El total del
del costo por
aumento por esta
mano de
chapa es:
obra es:
0,5 •32 + 1 • 9 + 2
1 •6
0,5 • 92 + 1 • 3 + 2
9
11
2. Teniendo en cuenta los cálculos que hizo para completar la tabla anterior, ¿con qué
fórmula puede expresarse el aumento de precio para cada chapa cuadrada de lado x?
Complete: p(x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. En la Actividad Nº 1 de la Unidad 5, “Presupuestos en un taller de artesanías”, usted
determinó que la fórmula que da el precio a pagar inicialmente en función del lado
x de la chapa es:
f(x) = 3x2 + 2x + 4.
La fórmula que le pedimos en el ítem 2. de esta actividad para calcular el aumento
de precio en función del lado x de la chapa es:
p(x) = 0,5 x2 + 1 x + 2.
Matemática B • UNIDAD 6
107
Utilice las dos fórmulas anteriores, o sea f(x) y p(x), para determinar la fórmula g(x) que
permite calcular el importe a pagar por cada chapa en función del lado x de la misma
después del aumento.
Parte B
Volvamos a la situación planteada en la Parte A de esta Actividad. Si las variaciones de
precios, en lugar de ser de aumento fueran descuentos en cada uno de los rubros.
1. ¿Cuál es la fórmula que da el precio d a pagar en función de x con el descuento
incluido?
2. ¿Cómo obtiene esta fórmula d(x) usando las fórmulas f(x) y p(x)?
ORIENTACIONES
Si f(x) es la fórmula que permite calcular el precio inicial de cada chapa en
función del lado x, y p(x) es la fórmula que da el aumento de precio por cada
chapa en función del lado x, la fórmula que da el nuevo precio por cada chapa,
con el aumento es g(x) = f(x) + p(x).
Observe que:
+
f(x) =
3x2 + 2x + 4
p(x) = 0,5x2 + 1x + 2
g(x) = f(x) + p(x) = 3,5x2 + 3x + 6
La fórmula g(x), es un polinomio de grado 2 que es la suma de dos polinomios de segundo grado: f(x) y p(x).
¿Cómo sumar las fórmulas f(x) con p(x)?
De acuerdo con la situación concreta, sumamos cada rubro entre sí. Es decir
sumamos:
• El precio inicial por la pintura de la chapa y el correspondiente aumento de
la pintura entre sí. Estos precios están en función de x2 porque dependen de
la superficie de la chapa a pintar.
• El precio inicial del listón de cobre y el correspondiente aumento del listón
entre sí. Estos precios están en función de x porque dependen de la longitud del lado de la chapa.
• El costo inicial de mano de obra y el aumento de la misma entre sí. Estos
valores no están en función de x porque son independientes de las dimensiones de la chapa.
108
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
Para restar las dos fórmulas, como lo hicimos con la suma, restamos cada
rubro entre sí. Matemáticamente estamos restando entre sí los coeficientes de
los términos que tienen el mismo exponente de la variable x. Así la fórmula
pedida en la Parte B resulta d(x) = 2,5x2 + x + 2.
Parte C
En esta parte de la actividad lo orientaremos para que trabaje algunos contenidos utilizando el
libro Matemática 1 de Camuyrano B. y otros, editorial Estrada.
Lea, en el Capítulo 4: Funciones polinómicas, el tema “Operaciones con polinomios” en
la página 102 del texto.
Parte D
A partir de lo que trabajó con el libro, responda:
1.
a. Si p(x) = x y q(x) = x2 - 4x + 2, calcule m(x) = p(x) · q(x).
b. ¿Cuál es el grado de p(x)? ¿Y el de q(x)? ¿De qué grado resulta m(x)?
2.
a. Halle n(x) = h(x) · s(x), siendo h(x) = 2x + 3 y s(x) = x3 - 2.
b. ¿De qué grado es h(x)? ¿Y s(x)? ¿De qué grado resulta n(x)?
3.
a. Calcule t(x) = r(x) · g(x), usando r(x) = 4x2 + 1 y g(x) = x5 - 3x + 2.
b. ¿De qué grado resulta t(x)?
Para resolver las multiplicaciones anteriores debe tener en cuenta las propiedades de las potencias de igual base. Si no las recuerda puede trabajarlas retomando la Unidad 2 de Matemática A.
4. Si el polinomio c(x) es de grado 4 y d(x) es un polinomio de grado 2, ¿cuál es el
grado del polinomio p(x) = c(x) · d(x)?
5. Sabiendo los grados de los polinomios que intervienen en una multiplicación, ¿puede
predecir de qué grado será el resultado? ¿Cómo? Explíquelo con sus palabras.
Matemática B • UNIDAD 6
109
ORIENTACIONES
El grado del producto entre dos polinomios es la suma de los grados de dichos
polinomios.
Parte E
Responda las siguientes preguntas:
1. ¿Cuál es el monomio que multiplicado por el monomio x2 da x3? O lo que es lo
mismo, ¿cuánto vale x3 : x2?
2. ¿Por qué monomio se debe multiplicar a x3 para obtener 8x4?
O sea, ¿cuánto da 8x4 : x3?
3. ¿Qué resultado tiene la división x5 : x2?
4. Al dividir 5x6 : x4, ¿qué monomio resulta?
5. ¿Cuál es el grado de cada monomio obtenido?
Para resolver las divisiones anteriores debe tener en cuenta las propiedades de las potencias de
igual base. Si no las recuerda, puede trabajarlas retomando la Unidad 2 de Matemática A.
ORIENTACIONES
Las operaciones entre polinomios se pueden vincular con las operaciones entre
números enteros. Este vínculo puede facilitarle el aprendizaje de las operaciones
entre polinomios porque usted ya conoce cómo se resuelven las operaciones entre
números enteros. Le proponemos retomar este vínculo para favorecer una correcta
interpretación de los nombres utilizados en la división. Por ejemplo, en la división:
11
5
01
2
el 11 es el dividendo; el 5 es el divisor; el 2 es el cociente y el 1 es el resto.
(Observe que el resto es menor que el divisor).
En una división entre polinomios:
D(x)
d(x)
R(x)
C(x)
se llama dividendo al polinomio D(x); divisor al polinomio d(x); cociente al
polinomio C(x) y resto al polinomio R(x).
Como puede observar, estamos usando los mismos nombres en la división de
polinomios que los usados en la división de números enteros.
110
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
En la Parte E, se obtienen los monomios x, 8x, x3 y 5x2, respectivamente. En
ellos se puede ver que el grado del monomio cociente es la diferencia entre el
grado del monomio dividendo y el grado del monomio divisor.
También usaremos la división de números enteros para favorecer la interpretación del procedimiento de la división de polinomios. Recordemos que, por
ejemplo, para realizar la división 297 : 4, hacemos 29 : 4 = 7 para empezar a
calcular el cociente. Después calculamos el primer resto y nos queda lo
siguiente:
297
4
1
7
¿Qué cuentas estamos haciendo para encontrar este resto, aunque no las escribamos? Multiplicamos 7 · 4 = 28 y lo restamos de 29. Si lo escribimos, queda así:
297
4
28
7
10
Tenga en cuenta estos pasos y operaciones para interpretar lo que haremos con
la división de polinomios.
Si completa la división anterior resulta un cociente de 74 y un resto de 1 (que
es menor que el divisor). Para verificar si la división está bien resuelta hacemos: 4 · 74 + 1 = 297. Es decir, a la multiplicación entre cociente y divisor le
sumamos el resto y debe obtenerse el dividendo.
En el caso de la división de polinomios se debe verificar la igualdad:
D(x) = d(x) · C(x) + R(x) y además el grado del polinomio R(x) debe ser
menor que el grado del polinomio d(x).
En el caso particular que el resto sea igual a cero, el polinomio R(x) = 0, nos
queda D(x) = d(x) · C(x).
En este caso decimos que:
• La división del polinomio D(x) por el polinomio d(x) es exacta.
• El polinomio d(x) es divisor del polinomio D(x).
• El polinomio d(x) es factor del polinomio D(x).
• El polinomio D(x) es divisible por el polinomio d(x).
Matemática B • UNIDAD 6
111
Parte F
En esta parte de la actividad lo orientaremos para que trabaje algunos contenidos utilizando el
libro Matemática 1, de Camuyrano B. y otros, editorial Estrada.
Lea, en el Capítulo 4 “Funciones polinómicas”, el tema “Algoritmo de división de polinomios”, en las páginas 103 y 104 del texto.
Parte G
Se desea efectuar la división del polinomio D(x) = 5x3 - 2x2 + x4 + 1 por el polinomio
d(x) = 2x + 1 + x2.
1.
a. ¿Qué grado tiene el polinomio dividendo D(x)?
b. ¿Qué grado tiene el polinomio divisor d(x)?
2. Teniendo en cuenta lo dicho en las Orientaciones para la división de números enteros y lo trabajado con el libro sobre división de polinomios, realice la división entre
los polinomios D(x) y d(x) dados anteriormente:
x4 + 5x3 - 2x2 + 0x + 1
x2 + 2x + 1
Observe que para poder realizar el cálculo, colocamos dividendo y divisor en forma
ordenada y completamos los términos que faltan en el dividendo.
3.
a. ¿Qué grado tiene el polinomio cociente?
b. ¿Qué grado tiene el resto?
4. Verifique que los polinomios C(x) = x2 + 3x - 9 y r(x) = 15x + 10 son los polinomios
cociente y resto, respectivamente, de la división anterior.
ORIENTACIONES
La división pedida se puede resolver teniendo en cuenta los pasos que se indican a continuación:
x4 + 5x3 - 2x2 + 0x + 1
x2 + 2x + 1
2
x
4
3
2
x + 5x - 2x + 0x + 1
x4 + 2x3 + x2
0 + 3x3 - 3x2
112
2
x + 2x + 1
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
x2
Obtenemos el primer monomio del cociente dividiendo x4
con x2
Multiplicamos x2 por el polinomio divisor y restamos el
resultado al dividendo
x4 + 5x3 - 2x2 + 0x + 1
x2 + 2x + 1
x4 + 2x3 + x2
x2 + 3x
0 + 3x3 - 3x2 + 0x
x4 + 5x3 - 2x2 + 0x + 1
x2 + 2x + 1
x4 + 2x3 + x2
x2 + 3x
0+ 3x3 - 3x2 + 0x
+ 3x3 + 6x2 + 3x
0
- 9x2 - 3x + 1
4
3
2
x + 5x - 2x + 0x + 1
x2 + 2x + 1
x4 + 2x3 + x2
x2 + 3x - 9
0 + 3x3 - 3x2 + 0x
COCIENTE
+ 3x3 + 6x2 + 3x
Para continuar la división agregamos el monomio siguiente del dividendo y obtenemos el
segundo monomio del
cociente dividiendo 3x3
con x2
Repetimos los pasos anteriores: multiplicamos 3x
por el divisor y restamos.
Bajamos el monomio
siguiente para continuar
dividiendo.
La división termina porque el grado del resto es
menor que el grado del
polinomio divisor
0 - 9x2 - 3x + 1
- 9x2 - 18x - 9
0 + 15x + 10
RESTO
Para verificar lo solicitado en el ítem 4., debe comprobarse la igualdad
D(x) = C(x) . d(x) + r(x), o sea:
D(x) = (x2 + 2x + 1) · (x2 + 3x - 9) + (15x + 10)
Para efectuar la multiplicación (x2 + 2x + 1) · (x2 + 3x - 9) aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición, y, por comodidad, lo disponemos de la siguiente manera:
x2 + 2x + 1
x x2 + 3x - 9
x4 + 2x3 + x2
+
3x3 + 6x2 + 3x
- 9x2 - 18x - 9
x2 • (x2 + 2x + 1)
3x • (x2 +2x +1)
-9 • (x2 +2x +1)
x4 + 5x3 - 2x2 - 15x - 9
Matemática B • UNIDAD 6
113
Entonces D(x) = x4 + 5x3 - 2x2 - 15x - 9 + (15x + 10) = x4 + 5x3 - 2x2 + 1 que
es lo que queremos verificar.
Parte H
En esta parte de la actividad lo orientaremos para que trabaje algunos contenidos utilizando el
libro Matemática 1 de Camuyrano B. y otros, editorial Estrada.
En el Capítulo 4 - “Funciones polinómicas”:
1. Lea, en las páginas 104 y 105 del texto, “Regla de Ruffini”.
2. Resuelva la Ejercitación propuesta en la página 105.
Parte I
A partir de lo que leyó en el libro, responda:
1. ¿Cuál de las siguientes divisiones podría resolverse utilizando la regla de Ruffini?
a. (5x - 2x2 + x4 +2) : (x - 4)
b. (6x5 - 2x4 + x3 - x2 + 7x - 1) : (x2 - 1)
c. (7x5 - 3x + 5) : (2x3 + 4)
2. ¿Qué condición debe cumplir el divisor para que una división de polinomios pueda
ser resuelta utilizando la regla de Ruffini?
3. ¿De qué grado es el resto de una división que se puede resolver utilizando la regla
de Ruffini?
ORIENTACIONES
Solo la primera división planteada en la Parte I se puede resolver utilizando
la regla de Ruffini, ya que es la única en la que el divisor es un binomio de primer grado con coeficiente principal igual a 1.
Parte J
1. Un compañero le dice que hizo la división (x3 + x + 1) : (x - 3) y obtuvo un cociente
C(x) = x2 + 3x + 10 y un resto R(x) = 31. Verifique, sin efectuar la división, que el resultado obtenido por su compañero es correcto.
2. a. Complete el siguiente cuadro, referido al dividendo, el divisor, el cociente y el resto
de la división que verificó en el ítem 1.. Le damos una fila completa a modo de ejemplo.
114
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
Si x es igual
1
El dividendo es:
El cociente es:
x +x+1
x2+3x+10
El divisor es:
x-3
El resto es:
31
13+1+1=3
12+3 • 1+10=14
1-3=-2
31
3
2
3
4
b. ¿Qué ocurre cuando x = 3? Describa lo que observa, en ese caso, con:
• el divisor,
• el dividendo y el resto.
3. Otro compañero le dice que se verifica la igualdad
x2 + 2x + 3 = C(x) · (x - 2) + 11,
que resulta al realizar la comprobación de una división entre polinomios.
a. ¿Cuál es el polinomio dividendo?
b. ¿Cuál es el polinomio divisor?
c. ¿Cuál es el resto?
d. ¿Cuánto vale C(x) · (x - 2) cuando x = 2?
e. ¿Cuál es la raíz del divisor d(x) = x - 2?
f. ¿Cuánto vale el dividendo cuando x = 2?
g. ¿Para qué valor de x resulta que el valor del dividendo es igual al valor del resto?
4. Un tercer compañero le dice que comprobó una división de polinomios haciendo:
x4 - 2x + 3 = C(x) · (x + 2) + 23
a. ¿Cuál es el polinomio dividendo D(x)?
b. ¿Cuál es el polinomio divisor d(x)?
c. ¿Cuál es el resto R(x)?
d. ¿Cuál es la raíz del divisor?
e. Teniendo en cuenta lo que trabajó en los ítems 2. y 3., ¿para qué valor de x resulta que el valor del dividendo es igual al valor del resto?
5. Usted tiene que explicarles a sus compañeros cómo hacer para calcular el resto de la
división (x4 - 2x + 3) : (x + 1) sin efectuar la división.
Matemática B • UNIDAD 6
115
a. ¿Qué les diría?
b. Calcule dicho resto sin efectuar la división.
Si no pudo responder el ítem 5., no se preocupe, siga leyendo la orientación que le damos a continuación.
ORIENTACIONES
En todas las divisiones anteriores, el divisor es un binomio de primer grado
con coeficiente principal igual a 1.
Podemos decir que en estas divisiones el resto es igual al valor que toma el
dividendo D(x) en el valor de x que es cero del divisor d(x).
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: TEOREMA DEL RESTO
Como observamos, al dividir un polinomio D(x) por otro de la forma (x - a), se
verifica que el resto de la división es igual al valor del polinomio D(x) en x = a
siendo x = a la raíz del divisor. En símbolos:
D(a) = R
donde R es el valor del resto.
Esta propiedad se conoce con el nombre de “teorema del resto”.
Parte K
En esta parte de la actividad lo orientaremos para que trabaje algunos contenidos utilizando el
libro Matemática 1 de Camuyrano B. y otros, editorial Estrada.
Lea, en el capítulo 4 - “Funciones polinómicas”, la demostración del teorema del resto,
en la página 104 del texto.
Parte L
1. Calcule, sin efectuar la división, el resto de la división:
D(x) = x3 + 4x2 + 5x + 8 por d(x) = x + 2. Justifique.
2. Decida, sin efectuar la división, si la división:
D(x) = x2 - 2x + 1 por d(x) = x - 1 es exacta. Justifique.
3. a. ¿El polinomio D(x) = x3 + 2x2 - 1 es divisible por d(x) = x + 1? ¿Por qué? ¿Cómo lo
justifica sin resolver la división?
b. ¿A qué es igual D(-1)? ¿Por qué?
116
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
c.
¿Qué es x = -1 del polinomio D(x)? ¿Por qué?
4. Si D(3) = 0 ó x = 3 es una raíz de D(x):
a. ¿Cuál es el resto de la división D(x) por x - 3? ¿Por qué?
b. ¿D(x) es divisible por x - 3? ¿Por qué?
c. ¿Es exacta la división D(x) : (x - 3)? ¿Por qué?
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS.
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS.
Si en la división de un polinomio D(x) por d(x) = x - a, ocurre que D(a) = 0, se
puede observar lo siguiente:
Por ser D(a) = 0, x = a es una raíz del polinomio D(x).
Por ser D(a) = 0 y teniendo en cuenta que, por el teorema del resto, D(a) = R,
resulta que el resto es R = 0.
Por ser el resto igual a cero decimos que D(x) es divisible por x - a.
Por lo tanto podemos afirmar que:
“Si x = a es una raíz de un polinomio D(x), entonces D(x) es divisible
por x - a”.
Observe que al ser D(x) divisible por x - a, se puede escribir:
D(x) = C(x)·( x - a) + 0 = C(x)·( x - a).
Vemos que D(x) queda escrito como la multiplicación del cociente por el divisor. En este caso decimos que el polinomio está factorizado.
Esta conclusión es muy importante porque nos va a permitir “factorizar” polinomios de distintos grados.
Parte M
Para el polinomio P(x) = 2x3 - 6x2 - 8x + 24
1. Verifique que x = 3 es raíz del polinomio.
2. Verifique que P(x) es divisible por x - 3, sin realizar la división.
3. Halle el polinomio cociente C(x) para P(x) : (x - 3). ¿Cuál es el grado de dicho
cociente?
4. Escriba la expresión factorizada P(x) = C(x) · (x - 3).
5. El polinomio P(x) no está completamente factorizado porque el polinomio C(x) tiene
raíces. Encuentre las raíces de C(x). (Para ello, tenga en cuenta el grado de C(x))
6. Utilizando las raíces halladas, factorice el polinomio C(x).
Matemática B • UNIDAD 6
117
7. Escriba la expresión completamente factorizada de P(x).
Para resolver los ítems 5. y 6. anteriores, debe tener en cuenta la factorización de fórmulas cuadráticas. Si no tiene claro ese tema, vuelva a trabajarlo en la Unidad 5.
ORIENTACIONES
A continuación mostramos una forma de factorizar completamente al polinomio
P(x) = 2x3 - 6x2 - 8x + 24. Podemos pensar en los pasos a seguir para hacerlo:
• Hallar una de sus raíces. En este caso se verifica que
x = 3 es raíz de P(x), ya que P(3) = 2·33 - 6·32 - 8·3 + 24 = 54 - 54 - 24 + 24 = 0.
• Dividir a P(x) por x - 3, obteniendo el cociente C(x) = 2x2 - 8.
Se puede escribir P(x) = (x - 3) · (2x2 - 8).
Acá, P(x) no está factorizado completamente porque 2x2 - 8 puede seguir
factorizándose ya que tiene raíces.
Se dice que 2x2 - 8 no es irreducible.
• Factorizar el polinomio de segundo grado (o cuadrático) C(x) = 2x2 - 8
como vimos en la Unidad 5.
Se obtiene C(x) = 2 · (x - 2) · (x + 2).
Teniendo en cuenta que P(x) = (x - 3) · (2x2 - 8), escribimos la factorización
completa de P(x):
P(x) = 2 · (x - 3) · (x - 2) · (x + 2)
Esta es la factorización completa del polinomio P(x), ya que los factores x - 2,
x + 2 y x - 3 son polinomios que tienen coeficiente principal igual a 1 y no
tienen más de una raíz.
ACTIVIDAD Nº 3: “TRABAJANDO CON EL LIBRO”
En esta actividad nuevamente lo orientaremos para que trabaje algunos contenidos
utilizando el libro Matemática 1 de Camuyrano B. y otros, editorial Estrada.
En el capítulo 4 - “Funciones polinómicas”:
1. Lea, en las páginas 106 y 107, “Cálculo de raíces de una función polinómica”, “Raíces
racionales de polinomios con coeficientes enteros” y “Teorema de Gauss”.
2. Resuelva la Ejercitación propuesta en la página 107.
118
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
Antes de comenzar a estudiar la próxima unidad, usted debe realizar los ejercicios de integración correspondientes a la Unidad 6. Su realización es imprescindible. Al resolverlos trabajará aspectos de los contenidos de la unidad que
no fueron trabajados en las actividades que resolvió hasta este momento.
También podrá integrar los distintos contenidos de la unidad y autoevaluar si
ya se encuentra en condiciones de pasar a estudiar la próxima unidad. No deje
de realizarlos.
Matemática B • UNIDAD 6
119
120
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
7
Estadística
En los medios de comunicación es muy común encontrar datos que reflejan
algún hecho de la realidad, representados en gráficos o tablas.
La Estadística es la rama de la Matemática que se ocupa de la recolección y
organización de esos datos para luego realizar predicciones a partir de ellos.
En esta unidad trabajaremos con algunas de las formas de recolección y organización de datos que utiliza la Estadística, y con las medidas en las que resume un conjunto extenso de ellos: las medidas de centralización y variabilidad
o dispersión.
UNIDAD 7
UNIDAD
Propósitos de la Unidad
En relación con los contenidos de esta Unidad le proponemos que:
• Reconozca y utilice el lenguaje específico de la Estadística.
• Ordene en gráficos y tablas datos recogidos de una muestra o de una
población.
• Extraiga datos sobre la población a partir de la lectura de gráficos y tablas
construidos a partir de una muestra.
• Determine medidas de centralización de un conjunto de observaciones.
• Determine medidas de variabilidad o dispersión de un conjunto de observaciones.
• Analice datos estadísticamente.
ACTIVIDAD N° 1: “ESTUDIO DE MERCADO DE LA FÁBRICA DE CHICLES”
El departamento de marketing de la fábrica de chicles “Superglobo” decidió realizar un
estudio acerca de sus productos en el mercado.
Contrató una consultora que se ocupó del relevamiento de la información y de la elaboración de conclusiones a partir de los datos recogidos.
La fábrica estima que existen aproximadamente 15000 consumidores de chicles marca
Superglobo en la ciudad de Buenos Aires. La consultora realizó una encuesta a consumidores del producto de diferentes edades. Entre otras cuestiones, preguntó sobre las preferencias de los consumidores en relación con los gustos que se fabrican: menta, mentol,
frutilla, naranja y uva. Los datos obtenidos a través de la encuesta se volcaron en la
siguiente tabla:
Matemática B • UNIDAD 7
121
Sabor
Cantidad de consumidores
que lo prefieren*
Frutilla
224
Naranja
25
Mentol
140
Menta
441
Uva
170
*Cada una de las personas encuestadas debía seleccionar sólo una de la opciones.
Parte A
A partir de la información anterior, responda las siguientes preguntas:
1. La encuesta de la consultora, ¿se realizó a todos los consumidores de chicles de marca
Superglobo de la ciudad de Buenos Aires?
2. Si su respuesta a la pregunta anterior es negativa, indique cuál es la cantidad de consumidores que fue encuestada.
3. ¿Podría usted estimar qué cantidad de consumidores de chicles de marca Superglobo
de la ciudad de Buenos Aires prefieren chicles de uva? En caso de que su respuesta
sea afirmativa indique de qué modo lo haría y cuál es la cantidad de consumidores
obtenida. Si considera que no es posible estimar dicha cantidad indique la/s razón/es
por la/s cual/es no puede hacerlo.
4. ¿Cuál es el sabor más elegido por los consumidores?
Parte B
Responda las siguientes consignas:
1. Exprese cada uno de los valores de la tabla como fracción de la cantidad total de
encuestados.
2. Agregue una columna a la tabla anterior y vuelque en ella cada uno de los valores
determinados en el ítem 1..
3. ¿Cuánto vale la suma de todos los valores de esta columna? ¿Por qué?
4. Escriba el porcentaje de consumidores que prefiere cada uno de los sabores que elabora la fábrica.
Si no puede calcular los porcentajes solicitados, revise este tema en la Unidad 7 de
Matemática A y en la Unidad 3 de Matemática B.
122
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
5. A partir de las respuestas a los ítems anteriores responda las siguientes preguntas:
a. ¿Cuál es la cantidad esperable de consumidores de chicles de menta de marca
Superglobo en la ciudad de Buenos Aires?
b. ¿Es posible que en la ciudad de Buenos Aires haya 800 consumidores de chicles de
menta de marca Superglobo? Escriba las razones que le permiten decidir su respuesta.
c. ¿Es posible que haya 5000 consumidores de esos chicles? Escriba las razones que le
permiten decidir su respuesta.
ORIENTACIONES
La encuesta realizada a un grupo de consumidores de chicles de marca
Superglobo en la ciudad de Buenos Aires puede darnos información sobre el
resto de los consumidores de la ciudad. Pero debemos ser cuidadosos con el
manejo de esa información. Es importante tener en cuenta que cualquier estimación que hagamos sobre el total de consumidores de chicles de la ciudad,
basándonos en los resultados de la encuesta, puede coincidir o no con los valores reales de este grupo.
La encuesta que estamos analizando se realizó a 1000 consumidores del producto en la ciudad de Buenos Aires. De ellos, el 44,1 % respondió que prefiere chicles sabor menta. A partir de este valor sería esperable que, de los
15000 consumidores que supone tener esta fábrica en la ciudad de Buenos
Aires, 6615 prefieran chicles de sabor menta. De todos modos, más allá de lo
esperable a partir de los resultados obtenidos con la encuesta, puede ocurrir
que el grupo de consumidores no encuestados tenga los mismos hábitos de
consumo que el grupo encuestado o no; o que un sinnúmero de razones influya en el nivel de consumo del resto de los consumidores. Así, la cantidad de
6615 consumidores de chicles de menta, estimada a partir de la encuesta,
podría coincidir con la realidad o no. La cantidad real de consumidores de
chicles de menta podría ser totalmente distinta que la cantidad esperada. Por
lo tanto, es posible que haya 800 ó 5000 ó una cantidad cualquiera diferente de consumidores de chicles de menta en la ciudad de Buenos Aires.
La Estadística provee otros recursos que permiten estimar con mayor seguridad los resultados posibles en el conjunto que se está analizando a partir del
estudio de un subconjunto del mismo.
Expresar los datos obtenidos en la encuesta como porcentajes o como fracción
del total de encuestados nos puede permitir obtener conclusiones adicionales
a las que brinda la tabla. Nos permite establecer comparaciones con encuestas
realizadas a un número diferente de encuestados, o en otras ciudades, o realizar algunas estimaciones para el total de consumidores de chicles de la ciudad
Matemática B • UNIDAD 7
123
de Buenos Aires. Lo importante es tener en cuenta que cuando obtenemos
conclusiones sobre el total de consumidores a partir de los resultados obtenidos en el grupo encuestado, se trata sólo de estimaciones y que la realidad
puede comportarse de un modo diferente.
Parte C
1. Elija cuál o cuáles de las siguientes representaciones gráficas expresa la información
que proporciona la tabla de los sabores de chicles preferidos por los consumidores:
2. Escriba los argumentos a partir de los cuales realizó la selección de los gráficos en el
ítem anterior.
124
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: POBLACIÓN. MUESTRA. OBSERVACIÓN.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS DATOS. DISTRIBUCIÓN DE
FRECUENCIAS. FRECUENCIA ABSOLUTA. FRECUENCIA RELATIVA.
En la situación que estamos analizando, llamamos población al conjunto de
todos los consumidores de chicles de marca Superglobo en la ciudad de
Buenos Aires.
En general, llamamos población al conjunto formado por todos los elementos cuyo estudio nos interesa.
Con frecuencia es imposible, o demasiado costoso, recopilar los datos correspondientes a una población completa. Por eso, para analizar las características de
la población, se trabaja sólo con un subconjunto de la misma. En nuestro ejemplo, este subconjunto está formado por los consumidores de chicles Superglobo
que fueron encuestados. A este subconjunto lo llamamos muestra.
Llamamos observación a cada dato obtenido sobre cada elemento de la muestra.
Los datos obtenidos a través de encuestas, censos u otros medios, son grupos
de valores en principio desorganizados. Para poder obtener, a partir de ellos,
conclusiones sobre la población que se está investigando, deben previamente
ordenarse y organizarse. Una forma de hacerlo es construir tablas y gráficos
que los representen.
A una tabla como la presentada en la situación que estamos analizando, las llamamos tabla de frecuencia o distribución de frecuencias. En ella, la primera
columna representa a los valores que toma la variable, y la segunda representa a
la cantidad de observaciones registradas para cada uno de esos valores.
Llamamos frecuencia absoluta a cada una de las cantidades de esta segunda
columna. Por lo general nombramos a esta columna directamente como frecuencia absoluta. En símbolos: f.
Para poder extender los datos proporcionados por una muestra a la población
completa, o establecer comparaciones con resultados obtenidos en otras muestras de la misma población, es conveniente expresar el resultado de las observaciones como fracción del total. A cada uno de estos valores lo llamamos frecuencia relativa, y la columna de la tabla en la que registramos a cada uno de
ellos, la identificamos también con ese nombre. En símbolos fr.
También es útil expresar las cantidades observadas como porcentajes del total
de encuestados.
Para representar gráficamente la información relevada podemos usar gráficos
de barras y gráficos circulares, entre otros tipos de gráficos.
Matemática B • UNIDAD 7
125
Los gráficos de barras se construyen en un sistema de coordenadas cartesianas.
Si el gráfico es de barras verticales, en el eje horizontal se registran los valores
de la variable y en el eje vertical se registran las frecuencias correspondientes a
cada uno de los valores de la variable.
Si el gráfico es de barras horizontales, se registran los valores de la variable en
el eje vertical y las frecuencias en el eje horizontal.
El gráfico de barras que representa a las preferencias de los consumidores de
chicles marca Superglobo encuestados es:
Para construir un gráfico circular debemos dividir la superficie del círculo en
tantos sectores como valores tenga la variable en estudio. El área de cada sector debe ser directamente proporcional a la frecuencia absoluta registrada para
cada uno de esos valores. Para ello debemos calcular el ángulo central correspondiente a cada sector teniendo en cuenta la siguiente proporción:
En ella consideramos que al total de observaciones de la muestra, corresponde el área completa del círculo y un ángulo central de 360°. A cada sector a
representar le corresponde la cantidad de observaciones indicada por su frecuencia absoluta y un ángulo central que denominamos .
Si tiene dificultades para entender la proporción anterior o para calcular la medida
del ángulo , retome lo trabajado en la Unidad 3 de esta Guía.
126
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
El gráfico circular que representa a las preferencias de los consumidores de chicles marca Superglobo encuestados es:
Parte D
En la encuesta realizada por la consultora, se preguntó a los consumidores por las cantidades de paquetes de chicles que cada unos de ellos compra semanalmente.
En la siguiente tabla se indican las cantidades señaladas por los consumidores de chicles
de menta:
Paquetes de chicles comprados
semanalmente
Cantidad de
compradores
1
8
2
32
3
78
4
142
5
120
6
56
7
5
1. ¿De qué manera nombra la Estadística a la segunda columna de la tabla?
2. Represente la información proporcionada por la tabla en un gráfico de barras.
3. Represente la información proporcionada por la tabla en un gráfico circular.
4. Agregue a la tabla una nueva columna y vuelque en ella los valores correspondientes a las frecuencias relativas.
5. Calcule el porcentaje de consumidores de chicles de menta que compra cada una de
las cantidades de paquetes de chicles indicadas en la tabla.
Matemática B • UNIDAD 7
127
6. ¿Cuántos de los consumidores encuestados compran semanalmente menos de 4
paquetes de chicles?
7. ¿Cuántos de los consumidores encuestados compran semanalmente hasta 4 paquetes
de chicles?
ORIENTACIONES
Para responder las dos últimas preguntas de la Parte D, resulta útil agregar a
la distribución de frecuencias una columna en la que se registren en forma
acumulada la cantidad de observaciones registradas hasta cada valor de la
variable.
Paquetes de chicles
comprados
semanalmente
Cantidad de
compradores
Cantidad
acumulada
de compradores
1
8
8
2
32
8+32=40
3
78
40+78=118
4
142
118+142=260
5
120
260+120=380
6
56
380+56=436
7
5
436+5=441
En la columna agregada es más sencillo leer la información necesaria para responder. Allí vemos que son 118 los consumidores encuestados que compran
menos de 4 paquetes de chicles semanales y que son 260 los que compran
hasta 4 paquetes semanalmente.
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: FRECUENCIA ACUMULADA
A la columna agregada a la distribución anterior la llamamos frecuencia acumulada y la simbolizaremos Fa o Fac.
Parte E
1. ¿Cuál es la cantidad de paquetes de chicles de menta que los consumidores compran
más frecuentemente?
2. ¿Cuántos paquetes de chicles de menta compran en total los consumidores encuestados por semana? Escriba las cuentas que realiza para calcular este valor.
128
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
3. ¿Cuál es la cantidad de consumidores que compran semanalmente la cantidad de
paquetes de chicles que calculó en el ítem 2.?
4. ¿Qué cantidad promedio de paquetes de chicles de menta compra semanalmente
cada consumidor encuestado?
Si no recuerda cómo calcular promedios, puede revisar este tema en la Unidad 7 de Matemática A.
5. Si usted fuera el dueño de la fábrica Superglobo, ¿qué cantidad de paquetes de chicles de menta debería fabricar semanalmente para cubrir la demanda en la ciudad de
Buenos Aires? Para responder tenga en cuenta la estimación que hizo en la Parte B
sobre la cantidad de consumidores de chicles de menta de la ciudad de Buenos Aires.
6. ¿Podría ocurrir que la cantidad calculada en el ítem 5. fuera excesiva o insuficiente?
¿Por qué?
7. Determine el valor de la variable correspondiente a la observación central, es decir a
la observación que divide al total de observaciones en dos conjuntos de igual cantidad de elementos.
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN:
MEDIA, MEDIANA Y MODA.
• En la Parte A observamos que el sabor menta es el más elegido por los
consumidores. A este valor lo llamamos moda.
En general, llamamos modo o moda al valor de la variable que se observa
mayor cantidad de veces.
En la distribución de la cantidad de paquetes de chicles de menta que
compran los consumidores semanalmente, la moda es 4 paquetes. Lo
escribimos simbólicamente: Mo = 4.
• En la Parte E, para la distribución de la cantidad de paquetes de chicles de
menta que compran los consumidores semanalmente, observamos el valor
de la variable correspondiente a la observación central.
¿Cómo determinamos este valor?
Para hacerlo tenemos en cuenta la cantidad total de observaciones. En el
caso que estamos analizando son 441 observaciones, porque son 441 los
consumidores que prefieren chicles de menta. Al tratarse de una cantidad
impar, el valor central se ubica en la observación número 221, que deja
220 observaciones antes y 220 después. El valor de la variable correspondiente a la observación número 221 es 4 paquetes. A este valor lo llamamos mediana.
Matemática B • UNIDAD 7
129
En general, llamamos mediana al valor central de un conjunto de valores
ordenados. Simbólicamente: Me = 4.
Si la cantidad de observaciones hubiera sido par, no habría un valor que
divida al total de observaciones de la muestra en la mitad. En este caso
tomamos a las dos observaciones centrales, es decir al par de observaciones
que divide a la muestra en dos conjuntos de igual cantidad de observaciones. La mediana es el promedio de este par de observaciones.
La columna de frecuencias acumuladas resulta útil para calcular el valor de la
mediana, porque en ella podemos ver rápidamente cuál es la fila de la tabla en
la que se encuentra la observación que divide a la muestra en la mitad.
• Otro de los valores calculados en la Parte E de la actividad es la cantidad
promedio de paquetes de chicles de menta comprados semanalmente por los
consumidores de chicles encuestados. A este valor lo llamaremos media
aritmética, o simplemente media o promedio.
Seguramente usted ha calculado promedios en muchas ocasiones en su
vida cotidiana. No pierda de vista todas esas cuestiones que usted maneja eficientemente todos los días.
Para calcular la media de esta muestra deberíamos sumar la cantidad de
paquetes de chicles que compraron los 441 consumidores encuestados y luego
dividir al resultado de esa suma por 441.
Como multiplicar es equivalente a sumar repetidamente, y cada uno de los
valores de la muestra se observa varias veces, en lugar de sumar 8 veces 1, 32
veces 2 y así con el resto de los valores de la tabla, podemos sumar los productos 1.8, 2.32, etc. Es decir:
En términos de la situación que estamos trabajando, la cantidad media de
paquetes de chicles comprada semanalmente por los consumidores encuestados sería de 4 paquetes ya que no tiene sentido pensar en una cantidad no
entera de paquetes de chicles. De todos modos, para cálculos estadísticos vinculados a la media de la distribución usaremos el valor 4,1837 calculado.
En general, la media de una población o muestra es el promedio de todas las
observaciones realizadas.
En el caso de la media de una muestra la simbolizamos x y la calculamos así:
130
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
En ella:
x1, x2, ....., xn
son los valores de la variable.
f1, f2, ......, fn
son las frecuencias absolutas correspondientes a cada uno de
los valores anteriores de la variable.
N es el número total de observaciones.
Uso de calculadora: usted puede calcular la media de una distribución utilizando su
calculadora científica. Para hacerlo debe poner la máquina en modo estadístico: SD y
luego cargar cada uno de los valores de la variable con su respectiva frecuencia. Si lo
desea, investigue en el manual de su calculadora cómo hacerlo.
En general, para poder hacer consideraciones respecto de una muestra, o compararla con otras, es necesario resumir los aspectos relevantes de la distribución en números que puedan representarla. A algunos de estos números los
llamamos medidas de posición central o de centralización de los datos. Las
tres medidas que hemos presentado en este apartado: media, mediana y moda,
son medidas de posición central.
Si bien en este caso los tres valores casi coinciden, esto no ocurre en todos los
casos.
Si los datos de una distribución se encuentran poco agrupados en torno a la
media, las medidas de posición central toman valores diferentes. En esos casos,
la media puede no ser un valor representativo de la distribución, porque su
resultado se ve afectado por valores extremos. La mediana y el modo son valores menos sensibles a la variabilidad de los datos de una distribución, y en
aquellos casos en que las observaciones se encuentran más dispersas suelen ser
valores más representativos de la muestra que la media. La media es un valor
central confiable sólo en los casos en que los datos tienen una variabilidad
pequeña. Por esta razón, no es suficiente analizar los valores de posición central de un conjunto de datos sino que además es necesario investigar la variabilidad de los mismos.
Parte F
1. Para cada cantidad de paquetes de chicles de menta comprada semanalmente por los
consumidores, calcule su diferencia respecto de la media. Es decir, si llamamos x a
cada una de las cantidades de chicles, calcule x - x para cada valor x de la tabla.
2. ¿Qué representa cada valor x - x ? Expréselo con sus palabras.
3. ¿Qué interpretación le da al signo de los resultados obtenidos?
4. Copie en hoja aparte la tabla presentada en la Parte D, agréguele una columna, e
indique en ella los valores calculados en el ítem 1..
Matemática B • UNIDAD 7
131
5. Agregue otra columna a la tabla indicando allí el producto entre cada valor x - x y la
frecuencia f correspondiente a cada valor de x.
6. Calcule el promedio de los valores de esta última columna.
7. Explique con sus palabras porqué razón el promedio calculado en el ítem anterior es
casi cero.
ORIENTACIONES
La tabla nos queda:
x
f
x-x
(x - x) . f
1
8
-3,1837
-25,4696
2
32
-2,1837
-69,8784
3
78
-1,1837
-92,3286
4
142
-0,1837
-26,0854
5
120
0,8163
97,956
6
56
1,8163
101,7128
7
5
2,8163
14,0815
Cada uno de los resultados x - x de la tercera columna, representa el alejamiento, desde cada valor x al valor promedio de la muestra. El signo positivo
o negativo de cada uno de ellos, está vinculado con la posición de cada valor
x en relación con el valor promedio. Por ejemplo, el signo negativo de los
resultados -3,1837, -2,1837, -1,1837 y -0,1837 nos indica que cada uno de
los correspondientes valores de x son inferiores al valor de la media. Los resultados positivos nos indican que los valores de x correspondientes son superiores a la media.
Al multiplicar a cada uno de los valores de esta columna por la frecuencia
observada para cada valor x, estamos considerando todos los datos de la muestra. Dado que son diferencias respecto del valor promedio, la suma de todas
ellas debe ser cero. En este caso el resultado nos da cercano a cero, no exactamente cero, debido a que redondeamos el valor de la media y de este modo
perdemos exactitud.
El promedio de los valores de la última columna de la tabla es casi cero dado
que estamos promediando 441 valores cuya suma es casi cero.
132
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: DESVIACIÓN. MEDIDAS DE DISPERSIÓN:
VARIANZA Y DESVÍO ESTÁNDAR
A cada uno de los resultados x - x de la tercera columna, lo llamamos desviación. Cada desviación nos indica el alejamiento de cada valor x respecto de
la media.
Como x es el valor promedio de la muestra, la suma de las desviaciones de
todos los valores de la misma respecto de la media, es cero. En consecuencia,
el promedio de todas las desviaciones también es cero, independientemente
que los valores de la muestra se encuentren agrupados cerca o lejos del valor
promedio. Por esa razón el cálculo anterior no nos resulta útil para medir la
variabilidad o dispersión de los datos en relación a la media. Podemos resolver
esta dificultad elevando al cuadrado cada una de las desviaciones y calculando
el promedio de los cuadrados de las desviaciones de cada valor de la muestra.
El promedio calculado de esta forma ya no es igual a cero y resulta útil para
medir la dispersión de los datos.
Si el resultado encontrado es pequeño nos indicará que los valores de la muestra
se encuentran poco dispersos, o más agrupados en relación al valor promedio.
Por el contrario, si el valor es grande, significará que los valores de la muestra
se encuentran muy dispersos o menos agrupados en relación al valor promedio. En ese caso la media no resultaría una medida descriptiva representativa
de la muestra.
En nuestro ejemplo, agregando a la tabla la columna de los cuadrados de los
desvíos y la del producto de los cuadrados de los desvíos por la frecuencia
observada para cada valor de x, nos queda:
x
f
x-x
1
8
-3,1837
-25,4696
10,1359
81,0876
2
32
-2,1837
-69,8784
4,7685
152,592
3
78
-1,1837
-92,3286
1,4011
109,2858
4
142
-0,1837
-26,0854
0,0337
4,7854
5
120
0,8163
97,956
0,6663
79,956
6
56
1,8163
101,7128
3,2989
184,7384
7
5
2,8163
14,0815
7,9315
39,6575
El promedio de los valores de la última columna de la tabla es 1,4787 y recibe el nombre de varianza.
Matemática B • UNIDAD 7
133
En general, la varianza de una población o muestra es el promedio de los productos de las desviaciones al cuadrado por sus frecuencias absolutas.
En el caso de la varianza de una muestra la simbolizamos s2 y la calculamos:
En ella:
x1, x2, ....., xn
son los valores de la variable.
f1, f2, ......, fn
son las frecuencias absolutas correspondientes a cada uno
de los valores anteriores.
N es el número total de observaciones.
La varianza es buen indicador de la medida de variabilidad o dispersión de los
datos, pero tiene la dificultad de que sus unidades son los cuadrados de las
unidades en las que están expresados los valores de la muestra.
Por esta razón, para medir la variabilidad de los datos, en general se utiliza otra
medida llamada desviación estándar, que se obtiene calculando la raíz cuadrada de la varianza. La desviación estándar resulta más conveniente para
medir la variabilidad o dispersión de un conjunto de datos debido a que está
expresada en las mismas unidades que estos. Para simbolizar a la desviación
estándar de una muestra usamos la letra s y la calculamos:
La desviación estándar de los valores de la muestra que estamos analizando es:
Parte G
La consultora también indagó sobre las edades de los consumidores de chicles de marca
Superglobo. En este caso, los resultados obtenidos fueron muy diversos: las edades registradas tomaban valores que iban desde 1 hasta 73 años. Por esta razón la consultora
organizó los resultados de la encuesta del siguiente modo:
134
Edad
Cantidad de
consumidores
[1;9]
138
(9;17]
287
(17;25]
276
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
Edad
Cantidad de
consumidores
(25;33]
146
(33;41]
71
(41;49]
36
(49,57]
25
(57;65]
19
(65;73]
2
1. A partir de la distribución organizada de este modo, ¿puede determinar cuántos consumidores de chicles de marca Superglobo tienen 15 años? ¿Por qué?
2. Nombre una ventaja y una desventaja de agrupar los datos de este modo.
3. Un consumidor de 17 años, ¿en cuál de las filas de la tabla estaría registrado?
4. Determine el punto medio de cada uno de los intervalos de la tabla.
ORIENTACIONES
En el caso de las edades de los consumidores resulta poco adecuado organizar
los datos en distribuciones de frecuencias como las utilizadas para los sabores
de chicles preferidos por los consumidores, o para las cantidades de paquetes
de chicles compradas semanalmente por los consumidores.
La variable considerada, que en este caso representa a las edades de los consumidores, toma demasiados valores diferentes como para considerarlos en
forma individual. Resulta más cómodo tabular la información observada
agrupando los valores de la variable en intervalos, e indicando como frecuencia de cada uno de ellos la suma de todas las observaciones registradas en el
intervalo.
Si bien esta forma de agrupación permite organizar la información cuando la
variable toma valores muy diversos tiene la desventaja de no permitir la visualización en forma individual de cada una de las observaciones. Por ejemplo,
no nos permite saber cuál es la cantidad de consumidores de 15 años que consumen chicles Superglobo.
Un consumidor de 17 años está registrado en el segundo intervalo considerado ya que el intervalo (9 ; 17] es un intervalo abierto en 9 y cerrado en 17,
es decir que no contiene al 9 y sí contiene al 17.
Matemática B • UNIDAD 7
135
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: INTERVALOS DE CLASE. MARCA
DE CLASE. HISTOGRAMA. POLÍGONO DE FRECUENCIAS.
A cada uno de los intervalos utilizados para organizar la tabla anterior lo llamamos intervalo de clase o simplemente, clase.
La cantidad de intervalos más adecuada para cada distribución puede calcularse utilizando una regla basada en la cantidad de observaciones de la muestra. De todos modos se trata de una cantidad arbitraria, que no conviene que
sea inferior a 5, ni superior a 20 intervalos.
Una vez decidida la cantidad de clases en la que se piensa dividir a las observaciones de la muestra, se determina el ancho de cada una de ellas teniendo en
cuenta la observación más chica y la más grande. En el caso presentado en la
Parte G estos valores son 1 y 73. Calculamos el ancho de cada intervalo dividiendo a la diferencia entre la observación más grande y la más chica, por el
número de intervalos de clase en los que pensamos dividir a las observaciones de
la muestra:
Ancho = (73 - 1) : 9 = 72 : 9 = 8.
Para organizar las observaciones de una muestra en intervalos de clase es conveniente elegir intervalos del mismo ancho porque así los cálculos resultan
más sencillos. De todos modos, esto no siempre es posible. En los casos de distribuciones muy desequilibradas, es decir aquellas en las que los datos no se
encuentran distribuidos en forma similar en todos los intervalos, resulta difícil organizar los datos en intervalos del mismo tamaño.
Para calcular las medidas de posición central o de dispersión de una distribución agrupada en intervalos de clase, se elige un valor de cada clase como
representante de la misma. El valor comúnmente usado es el punto medio de
cada intervalo, al que llamamos marca de clase. Para determinar su valor
sumamos los extremos del intervalo y al resultado lo dividimos por 2.
Para representar en un sistema de ejes cartesianos una distribución de frecuencias cuyos datos están agrupados en intervalos de la misma amplitud, se
representa sobre el eje horizontal a cada uno de los intervalos y se construye
para cada uno de ellos un rectángulo cuya base es el intervalo de clase y su
altura es directamente proporcional a la frecuencia registrada en el intervalo.
A este tipo de representaciones las llamamos histogramas.
En el caso de las edades de los consumidores de chicles que estamos analizando, el histograma correspondiente es:
136
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
Se suele agregar al histograma un polígono de frecuencias, que se construye
uniendo con segmentos de recta los puntos medios de las bases superiores de
los rectángulos. Para cerrar el polígono se debe considerar un intervalo previo
y otro posterior a los considerados en la tabla con frecuencia cero.
El polígono de frecuencias correspondiente al histograma de las edades de los
consumidores de chicles marca Superglobo es:
ACTIVIDAD N° 2: “TRABAJANDO CON EL LIBRO”
Parte A
En esta parte de la actividad lo orientaremos para que trabaje algunos contenidos utilizando el
libro Matemática 1 de Camuyrano B. y otros, editorial Estrada.
En el Capítulo 13 - Estadística.
1. Lea, en las páginas 303 a 307, la Situación 3: investigación de mercado.
2. Lea, en las páginas 307 y 308, “Cálculo de las medidas de tendencia central”.
En las tablas que aparecen en las páginas que debe leer se simboliza con Fi a la frecuencia absoluta, fi a la frecuencia relativa y Fac a la frecuencia acumulada.
3. Resuelva la Ejercitación propuesta en la página 309.
Matemática B • UNIDAD 7
137
4. Lea, en las páginas 310 a 313, “Medidas de variabilidad” y “Cálculo de las medidas
de variabilidad”.
5. Resuelva la Ejercitación propuesta en las páginas 313 y 314.
Parte B
A partir de lo trabajado en el libro, calcule todas las medidas de posición central y de
variabilidad o dispersión de la distribución de las edades de los consumidores de chicles
Superglobo, presentada en la Parte G de la Actividad N° 1.
ORIENTACIONES
Las medidas de posición central que le pedimos que calcule en la Parte B son:
x = 21,182; Mo = 13 y Me = 19,39.
Por tratarse de una distribución en la que la variable es la edad de los consumidores de chicles, podemos redondear estos valores a números enteros.
Resulta así que la edad promedio de los compradores de chicles es 21 años, la
edad más frecuente es 13 años y la edad correspondiente a la observación central de la distribución es 19.
En este caso, las tres medidas de posición central no coinciden.
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: DISTRIBUCIONES SIMÉTRICAS
Y ASIMÉTRICAS
La distribución correspondiente a las cantidades de paquetes que compran
semanalmente los consumidores de chicles Superglobo es una distribución
simétrica ya que tiene la misma forma a ambos lados de su mediana.
En todas las distribuciones simétricas, la mediana coincide con la media, y si,
como en este caso, la moda es única, entonces los tres valores coinciden.
La distribución correspondiente a las edades de los consumidores de chicles de
marca Superglobo no es simétrica, ya que no tiene la misma forma a ambos
lados de la mediana. A estas distribuciones las llamaremos asimétricas.
En ellas, la mayor parte de los valores están ubicados a la derecha o a la
izquierda de la moda. En el caso que estamos analizando, la mediana y la
media están ubicadas a la derecha de la moda.
138
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
ACTIVIDAD N° 3: “PESOS Y MEDIDAS EN EL FÚTBOL INFANTIL”
En un club barrial se registraron los pesos y las alturas de todos los niños de 6 a 9 años que
participan en categorías de fútbol infantil, con el objetivo de evaluar sus pesos y alturas
para establecer comparaciones con otros clubes competidores.
Los pesos y alturas registrados fueron los siguientes:
Pesos (en kg)
20
29,5
29,8
41,5
29,2
43
44
36,2
26,4
31,8
30,5
32,5
40,3
38
37,6
38
43,9
20,5
43,6
25,3
29,9
36,9
33
41,2
29
28,5
25
31,8
39,8
28
Alturas (en metros)
1,56
1,30
1,02
1,12
1,39
1,05
1,10
1,12
1,15
1,40
1,18
1,42
1,12
1,04
1,24
1,26
1,30
1,39
1,43
1,23
1,29
1,28
1,27
1,50
1,15
1,20
1,42
1,45
1,46
1,09
Utilizando la información anterior, responda los siguientes ítems:
1. El conjunto de niños a quienes se midió y se pesó para obtener los datos anteriores,
¿constituyen la población en estudio o una muestra de la misma?
2. Para organizar los datos de las listas de pesos y alturas de los chicos del club en distribuciones de frecuencia:
a. ¿De qué forma le conviene organizar la información? ¿Por qué?
b. Si organiza los valores de las listas de pesos y alturas distribuyéndolos en 6 intervalos, ¿de qué ancho resulta cada uno de ellos en cada una de las distribuciones?
3. Construya la distribución de frecuencias de los pesos y la de las alturas de los chicos
del club.
4. Represente gráficamente usando histogramas cada una de las distribuciones.
Represente también el polígono de frecuencias correspondiente a cada una de ellas.
5. Calcule la altura y el peso medio de los jugadores de fútbol infantil del club:
a. En la distribución agrupada en intervalos de clase.
b. Sin agrupar los datos en intervalos de clase.
Matemática B • UNIDAD 7
139
6. Compare la media calculada en la distribución agrupada en intervalos de clase con la
media calculada con los datos sin agrupar.
7. Calcule el peso y la altura más frecuente de los jugadores de fútbol infantil del club:
a. En la distribución agrupada en intervalos de clase.
b. Sin agrupar los datos en intervalos de clase.
8. Compare la moda calculada en la distribución agrupada en intervalos de clase con la
moda calculada con los datos sin agrupar.
9. Calcule la mediana de los pesos y de las alturas de los jugadores de fútbol infantil del club:
a. En la distribución agrupada en intervalos de clase.
b. Sin agrupar los datos en intervalos de clase.
10.Compare la mediana calculada en la distribución agrupada en intervalos de clase con
la mediana calculada con los datos sin agrupar.
11.¿Cómo resultan ser entre sí las medidas de posición central de cada una de las distribuciones?
12.¿En cuál de las dos distribuciones los datos resultan menos dispersos?
ORIENTACIONES
En los ítems 5. a 10. de la Actividad N° 3 le pedimos que calcule las medidas de posición central de las distribuciones de los pesos y las alturas de los
jugadores de fútbol infantil del club de dos formas distintas: en la distribución
agrupada en intervalos de clase y sin agrupar los datos en intervalos. El objetivo es comparar los resultados obtenidos a través de uno u otro cálculo y
obtener algunas conclusiones.
En el caso de las alturas de los jugadores, las medidas de posición central calculadas en la distribución agrupada en intervalos de clase son
x = 1,266 m; Me = 1,245 m; y la moda es 1,425 m.
Estas medidas calculadas en la distribución sin agrupar son:
x = 1,264 m; Me = 1,265 m y la moda es 1,12 m.
Si compara los primeros valores con estos últimos, verá que los mismos difieren. Los primeros son más inexactos ya que fueron calculados utilizando, en
las cuentas, la marca de clase y no cada uno de los valores observados. De
todos modos la diferencia, especialmente en el caso de la media, es muy
pequeña, de modo que las medidas de posición central calculadas en una distribución agrupada en intervalos de clase siguen siendo representativas de la
muestra.
140
EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática
En este caso, por tratarse de una población pequeña, fue posible calcular los
valores de las dos formas, pero en casos en que las muestras o las poblaciones
de estudio sean muy grandes, resulta muy incómodo trabajar con la distribución sin agrupar. Los cálculos realizados en esta actividad nos permiten observar que, aunque las medidas de posición central calculadas en una distribución agrupada por intervalos pierdan exactitud, resultan valores confiables.
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: TIPOS DE VARIABLES
Desde el comienzo de esta unidad, usted trabajó con diferentes tipos de variables.
Los valores que toma la variable en el caso de los sabores de chicles preferidos por
los consumidores, son los diferentes sabores de chicles que se fabrican. En este
caso, la variable se refiere a características no medibles en términos numéricos.
A este tipo de variable la llamamos variable cualitativa.
En el resto de las situaciones trabajadas, la variable interviniente se refiere a
características medibles en términos numéricos, por ejemplo, las cantidades de
chicles compradas por los consumidores, las edades de los compradores, los
pesos y las alturas de los jugadores de fútbol infantil. A este tipo de variable la
llamamos variable cuantitativa.
Distinguimos dos tipos de variable cuantitativa: variable cuantitativa discreta (por ejemplo las cantidades compradas por los consumidores; la edad de los
consumidores) y variable cuantitativa continua (por ejemplo la estatura y el
peso de los jugadores de fútbol infantil).
ACTIVIDAD N° 4: “TRABAJANDO CON EL LIBRO”
En esta actividad lo orientaremos para que trabaje algunos contenidos utilizando el libro
Matemática 1 de Camuyrano B. y otros, editorial Estrada.
En el Capítulo 13 - Estadística.
1. Lea, en las páginas 314 a 317, la Situación 5: el colesterol y la salud.
2. Lea, en las páginas 317 y 318, Amplitud o rango; Cuartiles y Porcentiles.
3. Resuelva la Ejercitación propuesta en las páginas 318 y 319.
4. Resuelva las actividades 4 a 9 de las Actividades de síntesis propuestas en las páginas
320 y 321.
Matemática B • UNIDAD 7
141
Para terminar el estudio de esta unidad, usted debe realizar los ejercicios de
integración correspondientes a la Unidad 7. Su realización es imprescindible.
Al resolverlos trabajará aspectos vinculados con los contenidos de la unidad
que no fueron trabajados en las actividades que resolvió hasta este momento.
También podrá integrar los distintos contenidos de la unidad. No deje de realizarlos.
Una vez que haya finalizado con la resolución de los ejercicios de integración,
resuelva también la Autoevaluación integradora. Su resolución le permitirá
retomar todos los contenidos del programa de la materia y autoevaluar si ya
se encuentra en condiciones de presentarse a rendir examen. Tampoco deje de
realizar esta actividad.
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EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática