SISTEMA COORDENADO
Consideremos (fig. 3) una recta X´X cuya dirección positiva es de izquierda a derecha, y
sea 0 un punto fijo sobre esta línea.
Tomemos una longitud conveniente como unidad de medida; si A es un punto de X´X
distinto de 0 y situado a su derecha, la longitud OA puede considerarse como unidad de
longitud.
Si P es un punto cualquiera de X´X situado a la derecha de 0 y tal que el segmento dirigido
OP , de longitud positiva , contiene x veces a la unidad adoptada de longitud, entonces
diremos que el punto P corresponde al número positivo x.
Análogamente, si P´ es un punto cualquiera de X´X situado a la izquierda de 0 y tal que el
segmento dirigido OP´ tenga una longitud negativa de x´ unidades, entonces diremos que
el punto P´ corresponde al número negativo x´ .
De esta manera, cualquier número real x puede representarse por un punto P sobre la
recta X´X. Y recíprocamente, cualquier punto dado P situado sobre la recta X´X representa
un número real x, cuyo valor numérico es igual a la longitud del segmento OP y cuyo signo
es positivo o negativo según que P esté a la derecha o a la izquierda de 0.
De acuerdo con esto, hemos construido un esquema por medio del cual se establece una
correspondencia biunívoca entre puntos de una recta y los números reales. Tal esquema
se llama un sistema coordenado.
En el caso particular considerado, como todos los puntos están sobre la misma recta, el
sistema se llama sistema unidimensional o sistema coordenado lineal. Refiriéndonos a
la figura 3, la recta X'X se llama eje y el punto 0 es el origen del sistema coordenado
lineal. El número real x correspondiente al punto P se llama coordenada del punto P y se
representa por (x) .
Evidentemente, de acuerdo con las convenciones adoptadas, el origen 0 tiene por
coordenada (0) y el punto A tiene por coordenada ( 1 ) . El punto P con su coordenada (x)
es la representaci6n geométrica o gráfica del número real x, y la coordenada (x) es la
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representación analítica del punto P. Ordinariamente escribiremos el punto P y su
coordenada juntos, tal como sigue: P ( x ) .
Es importante hacer notar que la correspondencia establecida por el sistema coordenado
lineal es única. Es decir, a cada número corresponde uno y solamente un punto sobre el
eje, y a cada punto del eje corresponde uno y solamente un número real.
Teorema. En un sistema coordenado lineal, la longitud del segmento dirigido que une
dos puntos dados se obtiene, en magnitud y signo, restando la coordenada del origen de
l a coordenada del extremo.
Ejemplo: Halla la longitud entre P1(5) y P2(-3)
Las longitudes de los segmentos dirigidos son:
P1P2 = -3-5 = -8
P2P1 = 5-(-3) = 8
DEFINICIÓN: La distancia entre dos puntos se define como el valor numérico o valor
absoluto de la longitud del segmento rectilíneo que une esos dos puntos. Si
representamos la distancia por d podemos escribir:
d  P1P2  x 2  x1 ,
O también,
d  P2P1  x1  x 2
Entonces, para cualquiera de los dos segmentos dirigidos, la distancia está dada por:
d  8  8  8
Sistema coordenado en el plano.
En un sistema coordenado lineal, cuyos
puntos están restringidos a estar sobre una
recta, el eje , es evidente que estamos
extremadamente
limitados
en nuestra
investigaci6n analítica de propiedades
geométricas . Para extender la utilidad del
método analítico, consideraremos ahora un
sistema coordenado en el cual un punto
puede moverse en todas direcciones
manteniéndose siempre en un plano. Este se
llama sistema coordenado-bidimensional o
plano, y es el sistema coordenado usado en
la Geometría analítica plana.
Sistema coordenado rectangular
Dadas las coordenadas (x,y), x  y , quedan
determinados
dos
puntos,
uno
de
coordenadas (x , y) y otro de coordenadas (y
, x) que son diferentes . De aquí que sea
importante escribir las coordenadas en su
propio orden, escribiendo la abscisa en el
primer lugar y la ordenada en el segundo.
Por esta razón un par de coordenadas en el
plano se llama un par ordenado de números reales.
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El sisterna coordenado rectangular en el plano establece una correspondencia biunívoca
entre cada punto del plano y un par ordenado de números reales
GRAFICA DE UNA ECUACION Y LUGARES GEOMETRICOS
Dos problemas fundamentales de la Geometría analítica. En este capítulo haremos un
estudio preliminar de dos problemas fundamentales de la Geometría analítica.
I. Dada una ecuación interpretarla geométricamente, es decir, construir la grafica
correspondiente.
II. Dada una figura geométrica, o la condición que deben cumplir hs puntos de la
misma, determinar su ecuación.
Con estos procedimientos, se construyen:
Recta
Parábola
Elipse
x2
a2

y2
b2
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1
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Hiperbola
Circunferencia
Sistema de coordenadas polares
En el sistema polar, un punto se localiza especificando su posición relativa con respecto a
una recta fija y a un punto fijo de esa recta.
La recta fija se llama eje polar; el punto fijo se llama
polo. Sea (figura 109) la recta horizontal OA el eje
polar y el punto 0 el polo.
Sea P un (Fig. 109) punto cualquiera en el plano
coordenado. Tracemos el segmento OP y
designemos su longitud por r. Llamemos  al ángulo
AOP. Evidentemente, la posición del punto P con
relación al eje polar y al polo es determinada cuando
se conocen r y .
Estas dos cantidades se llaman las coordenadas polares del punto P; en particular, r se
llama radio vector y  ángulo polar, ángulo veclorial o argumenlo de P.
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Las coordenadas polares de un punto se indican dentro de un paréntesis, escribiéndose
primero el radio vector. Así, las coordenadas de P se escriben (r ,  ) . La línea recta que
pasa por el polo y es perpendicular al eje polar se llama el eje a 90º.
El 6ngulo polar  se mide considerando el eje polar como lado inicial y el radio vector como
lado final del ángulo, es decir , partiendo del eje polar hacia el radio vector ; se considera
positivo o negativo según que el sentido seguido sea opuesto al de las manecillas de un
reloj o el mismo . Algunos autores, consideran que el radio vector nunca debe ser
considerado como negativo; otros autores, en cambio, admiten que el radio vector puede
tomar todos los valores reales. Seguiremos este último convenio. Según esto, si un punto
tiene un radio vector negativo, se mide primero el ángulo polar de la manera ordinaria, y
después se toma el radio vector en la prolongaci6n del lado final. Así, un punto P´, de
coordenadas (- r ,  ) , se localiza como se indica en la figura 109.
Es evidente que un par de coordenadas polares (r, ) determina uno y solamente un punto
en el plano coordenado. El reciproco, en cambio, no es verdadero, porque un punto P
determinado por las coordenadas (r, ) esta también determinada por cualquiera de los
pares de coordenadas representadas por (r ,  + 2n), en donde  está dado en radianes y
n es un entero cualquiera. El punto P puede determinarse también por cualquiera de los
pares de coordenadas representados por (- r ,  + n) , en donde n es un entero impar
cualquiera.
Mientras el sistema rectangular establece una correspondencia biunívoca entre cada punto
del plano y un par de números reales, esta correspondencia no es única en el sistema
polar, porque un punto puede estar representado por uno cualquiera de un número infinito
de pares de coordenadas polares. Es esta carencia de reciprocidad única en el sistema
polar la que nos conduce, en algunos casos, a resultados que difieren de los obtenidos en
el sistema rectangular.
Para la mayor parte de nuestros propósitos, un par de coordenadas polares es suficiente
para cualquier punto en el plano. Como nuestra capacidad de selección en este respecto
es ilimitada , convendremos, a
menos que se especifique lo
contrario, en tomar el radio vector r
de un punto particular como positivo
y su ángulo polar  comprendido
entre cero y el ángulo positivo más
pequeño menor que 360°, de
manera que la variación de los
valores de  está dada por
0o    360o
A tal par lo llamaremos par
principal de coordenadas polares
del punto.
El ángulo polar puede expresarse en
grados o radianes, pero el lector
debe observar que los ángulos
expresados en radianes vienen
dados por números abstractos. Así,


un ángulo polar de
significa
2
2
radianes, o sea, 90" .
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El trazo de puntos en el sistema polar se facilita considerablemente usando papel
coordenado polar, que consiste en una serie de circunferencias concéntricas y rectas
concurrentes. Las circunferencias tienen su centro común en el polo, y sus radios son
múltiplos enteros del radio más pequeño tomado como unidad de medida. Todas las rectas
pasan por el polo, y los ángulos formados por cada par de rectas consecutivas son iguales.
Un ejemplo de este papel está representado en la figura 110 en donde se han trazado los
puntos
Las coordenadas del polo 0 pueden representarse por (0, ), en donde  es un ángulo
cualquiera.
Coordenadas polares a rectangulares y viceversa.
Ejemplos:
1. Dadas las coordenadas cartesianas del punto P ( 1 , coordenadas polares del mismo.
3 ) , determinar las
2. Dada la ecuación polar r ( 3 - 2 cos  ) = 2 . Obtener la ecuación cartesiana de la curva
3. Obtener la ecuación polar de la curva cuya ecuación es: 3 x + 4 y + 1 = 0 .
EJERCICIOS
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