EJERCICIOS DE DERIVACIÓN NUMÉRICA
1.
Obtener la expresión del error de la fórmula de derivación numérica:
f ''( x) =
- f ( x - 2h) + 16 f ( x - h) - 30 f ( x ) + 16 f ( x + h) - f ( x + 2h)
12h 2
Solución:
4h 2
8h 3
16h4 iv
32h5 v
64h6 vi
f ¢¢ ( x ) f ¢¢¢ ( x ) +
f ( x) f ( x) +
f ( x) + K
2
6
24
120
720
h2
h3
h 4 iv
h5 v
h 6 vi
f ( x - h ) = f ( x ) - hf ¢ ( x ) +
f ¢¢ ( x ) f ¢¢¢ ( x ) +
f ( x) f ( x) +
f ( x) + K
2
6
24
120
720
h2
h3
h 4 iv
h5 v
h6 vi
f ( x - h ) = f ( x ) + hf ¢ ( x ) +
f ¢¢ ( x ) +
f ¢¢¢ ( x ) +
f ( x) +
f ( x) +
f ( x) + K
2
6
24
120
720
4h 2
8h 3
16h 4 iv
32h5 v
64h6 vi
f ( x + 2h ) = f ( x ) + 2hf ¢ ( x ) +
f ¢¢ ( x ) +
f ¢¢¢ ( x ) +
f ( x )]
f ( x) +
f ( x) + K
2
6
24
120
720
f ( x - 2h ) = f ( x ) - 2hf ¢ ( x ) +
- f ( x - 2h) + 16 f ( x - h) - 30 f ( x ) + 16 f ( x + h) - f ( x + 2h)
11h 4 vi
¢¢
= f ( x) +
f ( x ) +K
12h 2
108
f ¢¢ ( x ) =
- f ( x - 2h) +16 f ( x - h) - 30 f ( x ) + 16 f ( x + h) - f ( x + 2h) 11h 4 vi
f ( x ) , x Î [ x - 2h, x + 2 h ]
12h 2
108
Por tanto, se comete un error O ( h 4 ) .
2.
Los ingenieros de una empresa de automoción están diseñando un nuevo vehículo y se interesan en
conocer cuál es el tiempo que éste tarda en acelerar de 0 a 100 km/h. Para ello diseñan un
dispositivo capaz de medir la distancia recorrida por el vehículo a intervalos de 2 segundos. Los
resultados del experimento son los siguientes:
Tiempo (t) en segundos
Distancia (s) en metros
0.00
0.00
2.00
1.5
4.00
6.00
13.40 100.60
Determinar con estos datos una aproximación del tiempo que tarda el vehículo en acelerar de 0 a 100
km/h y de la aceleración del vehículo en ese instante.
ds
dv d 2 s
=
NOTA: Se recuerda que la velocidad (v) viene dada por v =
y la aceleración (a) por a =
.
dt
dt dt 2
Solución:
Determinemos una aproximación de la función s(t) utilizando la interpolación en el sentido de Lagrange.
Para ello construiremos el polinomio interpolador mediante la fórmula de Newton de diferencias divididas:
ti
s [ ti ]
0
0
2
1.5
4
13.40
6
100.6
s [ti , ti +1 ]
s [ ti , ti +1 , ti + 2 ]
s [ti , ti +1 , ti + 2 , ti +3 ]
1.5 - 0
= 0.75
2-0
13.40 - 1.5
= 5.95
4-2
100.6 - 13.40
= 43.6
6-4
5.95 - 0.75
= 1.30
4-0
43.6 - 5.95
= 9.41
6-2
9.41 - 1.3
= 1.35
6-0
Por tanto:
s ( t ) » 0 + 0.75 ( t - 0 ) + 1.3 ( t - 0 )( t - 2 ) + 1.35 ( t - 0 )( t - 2 )( t - 4 ) = 8.95t - 6.80t 2 + 1.35t 3
ds
» 8.95 - 13.60t + 4.05t 2
dt
dv
a=
» -13.60 + 8.10t
dt
1000
100 km / h = 100
= 27.778 m / s
3600
v=
v=
ds
» 8.95 - 13.60t + 4.05t 2 = 27.778 Þ
dt
t = 4.412 s
a ( 4.412 ) = -13.6 + 8.10 × 4.412 = 41.524 m / s 2
3.
Se desea determinar la velocidad angular, w , máxima de un péndulo del que se han medido en los
tiempos 0, 0.8, 1.6 y 2.0 segundos los siguientes desplazamientos angulares (en radianes):
t
q
0
-0.78
0.8
0.11
1.6
0.76
2.0
0.35
Solución:
Aproximemos la función q ( t ) mediante su polinomio interpolador relativo al soporte {0, 0.8, 1.6, 2.0} :
t
q
0
-0.78
0.8
0.11
1.6
0.76
2.0
0.35
0.11 + 0.78
= 1.1125
0.8
0.76 - 0.11
= 0.8125
0.8
0.35 - 0.76
= -1.025
0.4
0.8125 - 1.1125
-1.53125 + 0.1875
= -0.1875
= -0.6719
1.6
2.0
-1.025 - 0.8125
= -1.53125
1.2
q ( t ) » p ( t ) = -0.78 + 1.1125t - 0.1875t ( t - 0.8 ) - 0.6719t ( t - 0.8 )( t - 1.6 )
d q ( t ) dp ( t )
»
= 1.1125 - 0.1875 ( 2t - 0.8 ) - 0.6719(3t 2 - 4.8t + 1.28)
dt
dt
2
2
d w (t ) d q ( t ) d p (t )
=
»
= -2 × 0.1875 ( 2t - 0.8 ) - 0.6719 ( 6t - 4.8 ) = -4.7814t + 3.52512
dt
dt 2
dt 2
d w ( t ) d 2q ( t ) d 2 p ( t )
=
»
= -4.7814t + 3.52512 = 0 Þ t = 0.7373
dt
dt 2
dt 2
w (t ) =
w ( 0.7373) »
4.
dp ( 0.7373)
dt
= 1.4081 rad / s
Supuestos conocidos los valores que una función f ( x ) toma en los puntos { x * -2h, x * -h, x * + h} ,
con h>0, se desea:
a)
Obtener una fórmula de derivación numérica que, utilizando el mencionado soporte, permita
b)
Determinar el error de derivación numérica de la fórmula hallada en el apartado a).
aproximar el valor de f ¢ ( x *) .
Solución:
f [ xi xi +1 ]
f [ xi xi +1 xi + 2 ]
f0
f1 - f 0
h
x * -h
f1
f 2 - f1
2h
f 2 - f1 f1 - f0
2h
h = 2 f 0 - 3 f1 + f 2
3h
6h 2
x * +h
f2
x
f ( x)
x * -2h
f1 - f 0
2 f -3f + f
( x - x * +2h ) + 0 21 2 ( x - x * +2h )( x - x * +h )
h
6h
f ( x * +h ) - f ( x * -h )
f - f 2 f - 3 f1 + f 2 f 2 - f1
f ¢ ( x *) = p¢ ( x *) + R( f ) = 1 0 + 0
=
+ R( f ) =
+ R( f )
h
2h
2h
2h
p ( x ) = f0 +
1 ö
2h ÷ø
-
1 ö
÷
2h ø
f ( x * +h )
=
f ( x *) + hf ¢ ( x *) +
h2
h3
f ¢¢ ( x *) +
f ¢¢¢ ( x *) + K
2
6
f ( x * +h )
=
f ( x *) - hf ¢ ( x *) +
h2
h3
f ¢¢ ( x *) f ¢¢¢ ( x *) + K
2
6
f ( x * +h ) - f ( x * +h )
2h
f ¢ ( x *) =
5.
=
f ( x * +h ) - f ( x * -h )
2h
f ¢ ( x *) +
+
h2
f ¢¢¢ ( x *) + K
6
h2
f ¢¢¢(x), x Î [ x * -2h, x * +h ]
6
Supuestos conocidos los valores que una función f ( x ) toma en los puntos { x * -3h, x * + h, x * +2h} ,
con h>0, se desea:
a) Obtener una fórmula de derivación numérica que, utilizando el mencionado soporte, permita
aproximar el valor de f ¢ ( x *) .
b)
Determinar el error de derivación numérica de la fórmula hallada en el apartado a).
Solución:
a) Comenzamos obteniendo el polinomio interpolador, aplicando la fórmula de Newton:
p( x) = f ( x * -3h) + f [ x * -3h, x * +h]( x - x * +3h) +
+ f [ x * -3h, x * + h, x * +2h]( x - x * +3h)( x - x * -h)
Derivamos el polinomio interpolador:
p '( x ) = f [ x * -3h, x * + h] + f [ x * -3h, x * + h, x * +2h](2 x - 2 x * +2h)
Particularizamos ahora la expresión en x=x* resultando:
p '( x*) = f [ x * -3h, x * + h] + f [ x * -3h, x * + h, x * +2h] × 2h
Dado que las diferencias divididas que aparecen en la expresión anterior son:
f ( x * + h) - f ( x * -3h)
4h
f ( x * +2h) - f ( x * + h) f ( x * + h) - f ( x * -3h)
h
4h
f [ x * -3h, x * + h, x * +2h] =
=
5h
4 f ( x * +2h) - 5 f ( x * + h) + f ( x * -3h)
=
20h 2
f [ x * -3h, x * + h] =
resulta:
p '( x*) =
f ( x * + h) - f ( x * -3h) 4 f ( x * +2h) - 5 f ( x * + h) + f ( x * -3h)
+
× 2h
4h
20h 2
y, simplificando la última expresión, la fórmula buscada será, finalmente:
f '( x*) » p '( x*) =
b)
8 f ( x * +2h) - 5 f ( x * + h) - 3 f ( x * -3h)
20h
Para estimar el error, partimos de la fórmula obtenida en el apartado anterior y desarrollamos en serie
de Taylor alrededor del punto x*:
8 f ( x * +2h) - 5 f ( x * + h) - 3 f ( x * -3h)
=
20h
1
4h 2
8h 3
=
[8( f ( x*) + 2hf '( x*) +
f ''( x*) +
f '''( x * +q1h))
20h
2
6
h2
h3
-5( f ( x*) + hf '( x*) +
f ''( x*) +
f '''( x * +q 2 h))
2
6
9h 2
27 h3
-3( f ( x*) - 3hf '( x*) +
f ''( x*) f '''( x * +q3 h))]
2
6
con
q1 Î [0, 2];q 2 Î [0,1];q 3 Î [-3, 0]
Despejamos ahora f '( x*) resultando:
8 f ( x * +2h) - 5 f ( x * + h) - 3 f ( x * -3h)
+ R( f )
20h
siendo el error de la fórmula:
f '( x*) =
R( f ) = -
h2
(8 f '''( x * +q1h) - 5 f '''( x * +q 2 h) + 81 f '''( x * +q 3 h)), q1 Î [0, 2];q 2 Î [0,1];q 3 Î [-3, 0]
120
Así pues, es una fórmula de orden 2.
Nota: también se puede expresar el error, de forma más compacta, como:
7 h2
R( f ) = f '''(e ); e Î [ x * -3h, x * +2h]
10
6.
Se considera la siguiente fórmula de derivación numérica para aproximar el valor f '(4 h ) , siendo h>0:
f '(4h) »
1
1
f (5h) + l f ( h) +
f (- h)
3h
6h
Se pide:
a) Obtener el valor del parámetro l teniendo en cuenta que la fórmula es de tipo interpolatorio.
b) Estimar el error que se comete con la fórmula dada.
Solución:
Apartado a)
Dado que la fórmula es de tipo interpolatorio, la suma de los coeficientes debe ser igual a 0:
1
1
1
+l+
=0Þl = 3h
6h
2h
Por lo tanto, la fórmula será:
f '(4h) »
1
1
1
f (5h) f ( h) +
f ( - h)
3h
2h
6h
Apartado b)
1
1
1
1
1
1
f (5h) f ( h) +
f ( - h) =
f (4h + h) f (4h - 3h) +
f (4h - 5h)
3h
2h
6h
3h
2h
6h
ö
1 æ
h2
h3
=
f
(4
h
)
+
hf
'(4
h
)
+
f
''(4
h
)
+
f '''(4h) + ... ÷
ç
3h è
2
6
ø
-
ö
1 æ
9h 2
27 h3
f ''(4h) f '''(4h) + ... ÷ +
ç f (4h) - 3hf '(4h) +
2h è
2
6
ø
+
ö
1 æ
25h 2
125h3
7
f
(4
h
)
5
hf
'(4
h
)
+
f
''(4
h
)
f '''(4h) + ... ÷ = f '(4h) + h 2 f '''(q )
ç
6h è
2
6
6
ø
f '(4h) =
7.
1
1
1
7
f (5h) f ( h) +
f (- h) - h 2 f '''(q ), q Î [- h,5h]
3h
2h
6h
6
Un artillero desea conocer cuál debe ser la inclinación, a (en grados sexagesimales), que debe dar a
un cañón para que su alcance, x (en metros), sea máximo. Para ello realiza tres pruebas:
a
x
20 0
163.8 m
40 0
251.0 m
60 0
220.7 m
Se pide determinar el alcance máximo del cañón y la inclinación para la que se obtiene este alcance.
Solución:
Calculemos el polinomio interpolador de la función
x = f (a)
mediante la fórmula de Newton en
diferencias divididas:
a
x
20
163.8
40
251.0
60
220.7
251.0 - 163.8
= 4.36
40 - 20
220.7 - 251
= -1.515
60 - 40
-1.515 - 4.36
= -0.146875
60 - 20
p ( a ) = 163.8 + 4.36 ( a - 20 ) - 0.146875 ( a - 20 )( a - 40 )
p¢ ( a ) = 4.36 - 0.146875 éë( a - 20 ) + ( a - 40 ) ùû =
= 13.1725 - 0.2938a = 0 Þ
a = 44.8426
Luego el alcance máximo es:
p (44.8426) = 254.4 m
8.
De una determinada función
respectivamente en los puntos
f ( x)
se conocen los valores
{-2h, -h,0, h} , siendo h > 0 .
{ f0 , f1, f 2 , f3}
que toma
Se pide:
a)
Determinar una fórmula de derivación numérica de tipo interpolatorio que permita aproximar
b)
Determinar una expresión del error de derivación numérica cometido al emplear la fórmula
obtenida en el apartado a).
f ¢¢ ( 0 ) .
Solución:
Utilizando la fórmula de Newton en diferencias divididas:
x
f ( x)
-2h
f0
-h
f1
0
f2
h
f3
f1 - f 0
h
f 2 - f1
h
f3 - f 2
h
f 2 - 2 f1 + f 0
2h 2
f 3 - 2 f 2 + f1
2h 2
f 3 - 3 f 2 + 3 f1 - f 0
6h3
f1 - f 0
f - 2 f1 + f 0
( x + 2h ) + 2
( x + 2h )( x + h ) +
h
2h 2
f - 3 f 2 + 3 f1 - f 0
+ 3
( x + 2h )( x + h ) x
6h 3
f -f
f - 2 f1 + f 0
p¢ ( x ) = 1 0 + 2
éë( x + 2h ) + ( x + h ) ùû +
h
2h 2
f - 3 f 2 + 3 f1 - f 0
+ 3
éë( x + 2h )( x + h ) + ( x + 2h ) x + ( x + h ) x ùû
6h 3
f - 2 f1 + f 0 f3 - 3 f 2 + 3 f1 - f 0
p¢¢ ( x ) = 2
+
( x + h)
h2
h3
p ( x ) = f0 +
f ( 0 ) = p¢¢ ( 0 ) =
1
( f1 - 2 f 2 + f3 ) + R ( f )
h2
h2
h3
h 4 iv
¢¢
¢¢¢
f ( 0) f ( 0) +
f ( 0) + K
2
6
24
f1
=
f (0 - h) =
f2
=
f ( 0)
=
h2
h3
h 4 iv
¢¢
¢¢¢
f (0 + h) =
f ( 0) +
f ( 0) +
f ( 0) + K
2
6
24
1
h2 iv
¢¢
¢¢
p ( 0 ) = 2 ( f1 + 2 f 2 + f3 ) = f ( 0 ) +
f ( 0 ) +K
h
12
f3
f ( 0 ) - hf ¢ ( 0 ) +
f ( 0 ) + hf ¢ ( 0 ) +
R( f ) = -
h 2 iv
f ( x ) , x Î [ - 2 h, h ]
12