Tema 1. Descripción estadística de una variable. 1.1. Unidades estadísticas. Definiciones.

Tema 1. Descripción estadística de una variable.
1.1. Unidades estadísticas. Definiciones.
Población: conjunto de individuos que son objeto de estudio.
Muestra: subconjunto de una población.
Unidad estadística: cada uno de los elementos de la población.
Modalidades: respuestas posibles a cada uno o varios caracteres de la unidad estadística.
Los caracteres pueden ser cualitativos y cuantitativos.
1.2. Variables estadísticas. Clasificación.
Variable estadística: conjunto de valores numéricos que puede tomar un carácter cuantitativo.
Las variables estadísticas pueden ser discretas (un valor) o continuas (un intervalo).
En las continuas los intervalos se denominan clases, cuyos valores extremos se denominan límites
de clase inferior y superior, al punto medio marca, y a la diferencia entre los límites amplitud o
tamaño.
1.3. Distribución de frecuencias.
-
Frecuencia absoluta: ni ;  ni=n.
-
Frecuencia relativa:
-
Distribución de frecuencias: tabla que contiene cada una de las modalidades del carácter a
estudio con su frecuencia absoluta.
ni
 fi ;  fi  1
n
1.4. Representaciones gráficas.
-
Gráfico circular o de sectores: fi x 360º.
Diagrama de barras: con altura igual o proporcional a la frecuencia.
Histograma y polígono de frecuencias(sólo para variable continua). Rectángulos con área
proporcional a la frecuencia. Uniendo los puntos medios superiores se forma el polígono.
1.5. Parámetros estadísticos.
 M oda

 m ediana
de centralizacion 
 m edia
 m om entos
 D esviacion m edia .

 D esviacion tipica .
de dispersion 
V arianza .
 M om entos centrados .
1.6. Parámetros de centralización.
-
-
Moda: el que más se repite.
Mediana: divide a la muestra en dos partes iguales.
Media: x   f i x i
o Propiedades de la Media:
x  x0

x 

a
x  x  x  0
Momento:  r 

 x 
f i xi ;  1  x
r
x  x0
a
1.7. Parámetros de dispersión.
-
Desviación Media (DM): D M ( x ) 
-
Varianza (V): V ( x )   f i ( x i  x )
o Propiedades de la varianza:

f i xi  x
2

si x  
x  x0
V ( x)
 V ( x ) 
a

a
V ( x)   2  
2
1
 2  x
-
Desviación típica (s): s x  V ( x )
-
Momento ():  r 

2
r
s x 
sx
a
2
 1  0;
f i ( xi  x ) ;
;
 2  V ( x ).
1.8. Características de forma.
-
Coeficiente de asimetría:  1 
-
Coeficiente de curtosis:  2 
3
s
4
s
4
3
3
Tema 2. Descripción estadística de varias variables.
2.1. Distribución de frecuencias multivariantes.
Cada dato pueden tener dos o más valores relacionados entre sí.
2.2. Distribuciones marginales y condicionadas.
-
Marginales: el estudio de esa variable con independencia de las demás.
-
Condicionadas: y condicionada a x f ( y x ) 
f ( x, y )
f ( x)
2.3. Vector de medias.
Se obtienen a partir de las distribuciones marginales calculando las medias respectivas.
 X1 


X   X2
X 
 n
2.4. Matriz de varianzas y covarianzas.
Covarianza: C ov ( X , Y ) 
 (x
i
 X )( y j  Y )
n
2

sx
Matriz de covarianzas: C  
 C ov (Y , X )

C ov( X ,Y )
sx  s y

f ij ( x i  X )( y j  Y )
C ov ( X , Y ) 

2
sy

2.5. Coeficiente de correlación.
r 

Tema 3. Probabilidad.
3.1. Fenómenos aleatorios.
Fenómenos en los que no se puede predecir el resultado.
3.2. Espacio muestral.
Conjunto de todos los resultados posibles. Pueden ser de dos tipos: Discretos (finitos y numerables)
y continuos.
3.3. Álgebra de sucesos aleatorios.
-
Suceso aleatorio: Subconjunto del espacio muestral (E).
Suceso contrario: A
Unión de sucesos: A  B ; A or B
Intersección de sucesos: A  B ; A and B
Incompatibles: A  B  
Excluyentes: incompatibles dos a dos.
Diferencia: A  B  A  B
Espacio probabilizable: al par formado por el espacio muestral (E) y el álgebra de sucesos
(A): (E,A).
Sistema exhaustivo de sucesos: si  Ai  E . Es completo si los sucesos son mutuamente
excluyentes.
3.4. Frecuencia absoluta y relativa.
Frecuencia absoluta: número de veces que se repite A: n A
Frecuencia Relativa: número de veces que se repite A dividido por número de veces totales:
nA
 f ( A)
n
Propiedades:
- 0  f ( A )  1;  A  A
- Si A y B son incompatibles, f ( A  B )  f ( A )  f ( B )
- f(E)=1.
3.5. Probabilidad.
-
-
Axiomática de Kolmogorov: es probabilidad si:
o P ( A )  0, para cada A  A
o si Ai  A j    P (  An )   P ( An )
o P(E) = 1.
Con las condiciones anteriores el espacio probabilizable se convierte en espacio
probabilístico: (E,A,P).
Propiedades derivadas:
o P ( )  0
o Si An son mutuamente excluyentes, P ( A1  A2  A3 )  P ( A1 )  P ( A2 )  P ( A3 )
o
o
P ( A )  1  P ( A)
o
P (  An ) 
P ( A  B )  P ( A)  P ( B )  P ( A  B )
 P(A
n
)
 P(A
o si B  A  P ( B )  P ( A )
o P ( A)  1
i
 Aj) 
 P(A
i
 A j  A k )  ...
o
-
P ( A  B )  P ( A)  P ( B )
Definición de Laplace: P ( A ) 
casos favorables
casos posibles
-
Definición de Von Mises: P ( A ) 
-
Probabilidad subjetiva: asignar a un suceso una probabilidad que dependerá del grado de
conocimiento de ese suceso.
f ( A)
lim
n 
3.7 Probabilidad en espacios muestrales finitos.
Son la mayoría de los problemas que se suelen dar y se aplica la definición de Laplace
Sin Reemp Con Reemp.
V, P
VR, PR
Con Orden
C
CR
Sin Orden
3.8. Análisis combinatorio.
n!
; V R nk  n k
-
Variaciones: V nk 
-
Combinaciones: C nk    
-
(n  k )!
n
n!
k
k !( n  k ) !
Vn
k!
k!
Permutaciones: Pn  n ! ; P R ak b c 
 n  k  1  ( n  k  1) !

k
k !( n  1) !


k

;
; C R nk  
abc k
a !b ! c !
Tema 4. Probabilidad condicionada. Sucesos independientes.
4.1. Probabilidad condicionada.
-
P( A  B)
Probabilidad condicionada: P ( B A ) 
P ( A)
-
Teorema del producto: P ( A  B )  P ( A )  P ( B A )  P ( B )  P ( A B )
4.2. Teorema de la probabilidad total y de Bayes.
-
Teorema de la probabilidad total: P ( B ) 
-
Teorema de Bayes: P ( Ai B ) 
 P( A )  P(B
i
Ai )
P ( Ai )  P ( B A i )
 P( A )  P(B
i
Ai )
4.3. Sucesos independientes.
Dos sucesos son independientes si : P ( A  B )  P ( A )  P ( B )
Una familia de sucesos se dice totalmente independientes si: P ( A1  A2  ...  An )   P ( Ai )
4.4. Experimentos compuestos.
Cuando se considera varios experimentos sucesivos:
Experimentos independientes si: P ( Ai , B j )  P ( Ai )  P ( B j )
Experimentos dependientes si: P ( Ai , B j )  P ( Ai )  P ( B j Ai )
Tema 5. Variables aleatorias unidimensionales.
5.1. Variable aleatoria.
Es cualquier aplicación X : E  R , Tal que X  1 ( B )  A;  B  B . Puede ser discreta o continua.
5.2. Función de distribución. Propiedades.
-
Función de distribución: F ( x )  P ( X  x ) .
Función de masa o cuantía: P ( x )  P ( X  x ) .
Propiedades de la función de distribución:
o Para todo a , b  R , a  b , P ( a  X  b )  F ( b )  F ( a ).
o F es continua por la derecha en cada punto de R.
o F es monótona decreciente.
5.3. Función de densidad.
Se dice que f es una función de densidad si cumple las tres propiedades siguientes:
f ( x)  0 x  .
- f tiene a lo sumo un número finito de discontinuidades.
-



f ( x ) dx  1 .
Dada una V.A. X, con función de densidad f y función de distribución F definida por
F ( x) 

x

f ( x ) dx ,
se verifica que:
-
F es continua.
Si f es continua, F es derivable y F’=f.
-
Para todo intervalo <ab> se cumple que: P ( X   a , b  ) 

b
f ( t ) dt
a
.
5.4. Transformación de variables aleatorias.
Sea X una variable aleatoria con F y f conocidas. Se define la variable aleatoria Y=Xa+b entonces:
yb

 yb
G ( y )  P (Y  y )  P ( X a  b  y )  P  X 
 F

a 

 a 
g ( y )  G ( y ) 
 yb 1  yb
F 
f 


a
 a  a  a 
1
Tema 6. Variables aleatorias n-dimensionales.
6.1. Variables aleatorias n-dimensionales.
-
Distribución de probabilidad conjunta. Dadas las v.a. discretas x1,x2...xn, la distribución de
probabilidad conjunta X=(x1,x2,...xn) es una función f : n  que verifica:
o f ( x1, x 2, ... xn )  0.
o
-
  ...
f ( x1, x 2, ... xn )  1
o P  X  ( x1, x 2, ... xn )   f ( x1, x 2, ... xn )
Función de densidad de la variable n-dimensional: Dadas las v.a. continuas x1,x2...xn, la
función de densidad X=(x1,x2,...xn) es una función f : n  que verifica:
o f ( X )  0.
o
  ...
f ( x1, x 2, ... xn ) dx1dx 2...dxn  1
o
-
P( X  A) 
  ...
f ( x1, x 2, ... xn ) dx1dx 2...dxn
Función de distribución conjunta:(F) de R2R
o F ( X , Y )  P ( X  x,Y  y )
6.2. Distribuciones marginales.
-
Variable aleatoria discreta:
o f1 ( x )   f ( x , y ); f 2 ( y )   f ( x , y );
-
Variable aleatoria continua:
Y
o
-
f1 ( x ) 

X


f2 ( y) 
f ( x , y ) dy ;



f ( x , y ) dx ;
f1 y f2 son distribuciones de probabilidad.
6.3. Distribuciones condicionadas.
f (x y) 
f ( x, y )
;
f ( y x) 
f2 ( y)
f ( x, y )
f1 ( x )
6.4. Variables independientes.
f ( x , y )  f1 ( x )  f 2 ( y )
Tema 7. Características de las distribuciones de probabilidad
unidimensionales.
7.1. Esperanza matemática. Propiedades.
-
Esperanza matemática:
o
-
 discreta :  xf ( x )

x
EX    

 continua :
  xf ( x ) dx

Propiedades:
o E  aX  b   aE  X   b
o
E  g ( X )  h( X )  E  g ( X )  E h( X )
o
E  X Y   E  X   E Y

7.2. Varianza. Propiedades.
-
Varianza:
o 2
-
 discreta :  ( x   ) 2 f ( x )

x
2
 E  ( X   )   

2
 continua :
( x   ) f ( x ) dx



Propiedades:
o  2  E  X 2    2
2
2
2
 a  X
o  aX
b
o la desviación típica es 
7.3. Teorema de Marcov. Desigualdad de Tchebycheff.
-
Teorema de Marcov:
-
E  g ( X )
Pg(X )  K  
o
K
Teorema de Tchebycheff:
1
P    k  X    k   1 
o
k
2
7.4. Momentos. Asimetría. Apuntamiento.
-
Momentos:
o No centrado:  r  E  X r 
o Centrado:  r  E  ( X   ) r 
-
Coeficiente de asimetría de Fisher:  1 
-
Coeficiente de apuntamiento, aplastamiento o curtosis:  2 
3

3
si =0 es simétrica.
4

4
 3 si
=0 es distribución
normal.
Tema 8. Características de las distribuciones de probabilidad
n-dimensionales.
8.1. Momentos. Valor medio. Varianza.
-
Valores medios:
x
k
 k 0  E  X  
f1 ( x ) 

y f2 ( y) 

k
X
o
h
 0 h  E  Y  

h
Y




-
momento no centrado:
o  kh  E  X k Y h 
-
Momento centrado:
o  kh  E  ( X   10 ) k (Y   01 ) h 
-
Propiedades:
o  20   20   102   X2
o
o
k
x f 1 ( x ) dx
h
y f 2 ( y ) dy
 02   02   01   Y
2
2
 11   11   10 01
8.2. Covarianza. Matriz de covarianzas.
- Covarianza:  1 1  E  ( X   1 0 )(Y   0 1 )    1 1   1 0 0 1
-
  20
 11 
  11
 02 
Matriz de covarianzas: ( )  

8.3. Coeficiente de correlación.
- r
 11
 20  02
8.4. Medidas condicionadas.
-
Valor medio de X condicionado por Y=y:
o
E  X Y  y 
 xf ( x
y) 
x



xf ( x y ) dx
o Propiedades:
 E  E ( X Y )  E ( X )
-
 E  E (Y X )   E (Y )
Varianza de X condicionada por Y = y:
o  2 ( X Y  y )  E  ( X  E ( X Y  y )) 2 / Y  y  
 (x  E(X
Y  y )) f ( x y )
2
x
8.5. Varianza de variables independientes.
 aX  b  a  x  b  y  2 ab  11
2
2
2
2
2
Si X e Y son variables aleatorias independientes entonces:  a2X  b  a 2 x2  b 2 y2
8.6. Regresión lineal. Recta de mínimos cuadrados.
-
Recta de regresión de mínimos cuadrados de Y sobre X:
o
-
 11
 20
 x   10  ;
y   01  r
Y
 x   10 
X
Recta de regresión de mínimos cuadrados de X sobre Y:
o
-
y   01 
x   10 
 11
 02
 y   01  ;
y   01 
Y
r 
 x   10 
X
Coeficientes de regresión:
o De Y sobre X:  YX 
o De X sobre Y:  X Y 
 11
 20
 11
 02
r
Y
X
r
X
Y
Tema 9. Función característica. Función generatriz.
9.1. Función Característica. Propiedades.
-
Función característica:  ( t )  E  e itX  
e
X
-
itX
f (x) 



e
itX
f ( x ) dx
Propiedades:
o  (0)  1
o
 (t )  1
-
o  (t )   (  t )
Si Y = aX + b:  Y ( t )  e ita  X ( bt )
-
Función de densidad en función de la función característica: f ( x ) 
1
2



e
 itx
 ( t ) dt
d  (t )
k
-
Derivada de la función característica:
dt
 i k
k
k
t0
Si X e Y son independientes:  X  Y ( t )  E  e
it ( x  y )
  E  e itx e ity    X ( t )   Y ( t )



9.2. Función generatriz.
-
Función generatriz: g ( t )  E  e tX  
e
tX
f (x) 
X
-



e
tX
f ( x ) dx
Propiedades:
o Si Y = X + a, entonces g Y ( t )  e at g X ( t )
o Si Y = aX, entonces g Y ( t )  g X ( at )
o Si Y = aX + b, entonces g Y ( t )  e bt g X ( at )
o Si X e Y son independientes entonces: g X  Y ( t )  g X ( t )  g Y ( t )
-
Función generatriz de momentos respecto de la media: g ( t )  E  e t ( X   ) 
9.3. Cálculo de los momentos.
k
-
d g (t )
Momento no centrado de orden k:  k 
dt
k
t0
k
-
Momento centrado de orden k:  k 
d g (t )
dt
k
t0
9.4. Semi-invariantes de Thiele. (Cumulantes).

 (t ) 

h 1
( it )
h!
h
Kh
K1  1
K 2   2  1  
2
siendo K:
2
K 3   3  3 1 2  2 1
3
K 4   4  3 2  4 1 3  12 1  2  6 1
4
2
4
Tema 10. Operaciones con variables aleatorias.
10.1. Transformación de variables aleatorias.
-
Si Y = u(X) , X = v(Y) siendo u=v-1 entonces g ( y )  f  v  y  
-
Si Y1=u1(X1,X2), Y2=u2(X1,X2), y X1=..., entonces g ( y1 , y 2 )  f  v1 ( y1 , y 2 ), v 2 ( y1 , y 2 ) 
-
Si z = u1(x,y) y t= u2(x,y) y x=v1(z,t) entonces g ( z , t )  f  v1 ( z , t ), v 2 ( z , t )  J 1
Siendo J 1 
x
x
z
t
y
y
z
t
10.2. Suma de variables aleatorias.
Sea la variable bidimensional (X,Y) con función de distribución f, se define la variable
unidimensional Z= X + Y sin más que tomar z = x + y , t = x; por lo que la función de densidad
conjunta es f(t,z-t)
10.3. Producto de variables aleatorias.

z1

t  t
Si Z = XY basta con tomar z =xy, t=x siendo la función de densidad conjunta: f  t , 
10.4. Cociente de variables aleatorias.
Si Z = X/Y basta con tomar z = x/y, t=y siendo la función de densidad conjunta: f ( tz , t ) t
Tema 11. Distribuciones de probabilidad de variable discreta
(I).
11.1. Distribución de Bernouilli. Be(1,p).
- Función de masa o cuantía: f ( x )  P  X  x   p x q 1  x ;
-
p a ra x  0,1 .
Función característica:  ( t )  q  pe it
Función generatriz de momentos: g ( t )  q  pe t
Media:   p ; Varianza:  2  pq ; Momentos: (NC)  k  p ; C:  k  (  p ) k q  q k p
11.2. Distribución Binomial. B(n,p)
n
-
Función de masa o cuantía: f ( x )  P ( X  k )    p k q n  k ;
-
Función característica:  ( t )  ( pe it  q ) n
Función generatriz de momentos: g ( t )  ( pe t  q ) n
Media:   np ; Varianza:  2  npq ; Teorema de la adición.
para k  0,1, 2, ...n
k 
11.3. Distribución Multinomial.
n!
-
Función de masa o cuantía: P ( X 1  x1 , X 2  x 2 , ... X k  x k ) 
-
Media:   ( np1 , np 2 , ...np k ) ; Varianza:  2 ( X i )  np i (1  p i ); i  1, 2, ...k .
Covarianzas: C ov ( X i X j )   np i p j ; i  j .
x1 ! x 2 !... x k !
11.4. Distribución Hipergeométrica. H(N,n,k).
N datos, k éxitos, N-k fracasos, se seleccionan n datos sin reemplazamiento.
-
Función de masa o cuantía:
-
Media:  
kn
N
k  N  k 
 

 x n  x 
P ( X  x) 
N
 
 n 
; Varianza:  2 
N n
N 1
n
k 
k 
1 

N 
N 
x
x
x
p1 1 p 2 2 ... p k k
11.5. Distribución geométrica.
-
Función de densidad o cuantía: f ( x )  P ( X  x )  (1  p ) x 1 p
-
Función generatriz de momentos: g ( t ) 
-
Media:  
1
; Varianza:  2 
t
1  qe
t
q
p
p
pe
2
11.6. Distribución binomial negativa.
X= nº de fallos antes del éxito.
-
 n  x  1 n x
p q ;
x


Función de densidad: P ( X  x )  
para x  0,1, 2...
n
-

p 
Función generatriz: g ( t )  

t
1 e q 
nq
nq ( nq  1)
Media:  
; Varianza:  2 
2
p
p
Tema 12. Distribuciones de probabilidad de variable discreta
(II).
12.1. Proceso de Poisson.
Pn ( t ) Probabilidad de que ocurra A n veces en un tiempo t. Es independiente del origen de tiempos.
Hipótesis de regularidad: P1 (  t )    t  o (  t ) .
Condiciones iniciales: P0 (0)  1; Pn (0)  0  n  0 . Pn ( t ) 
( t )
n
e
 t
n!
12.2. Distribución de Poisson. P().
-
Función de probabilidad: P ( X  x )  e  

x
x!
-
Función generatriz de momentos: g ( t )  e  ( e 1)
Media:    ; Varianza:  2  
Características de forma:
t
o Coeficiente de Asimetría:  1 
o Coeficiente de curtosis:  2 
1

1

12.3. La distribución de Poisson como límite de la distribución binomial.
Se puede aproximar las probabilidades binomiales mediante la distribución de Poisson cuando p<
0,1 y np>5.
 n  x nx
 
lim   p q
e
n 
x!
x
x
Tema 13. Distribuciones de probabilidad de variable continua
(I).
13.1. Distribución Uniforme. U(a,b)

-
Función de densidad: f ( x )  
-
Media:  
1
ab
1
; Varianza:  2 
2
12
e e
tb
-
si
b  a
Función generatriz: g ( t ) 
x  a, b;
b  a 
0 en otro caso
2
ta
t (b  a )
13.2. Distribución Gamma. (p,a)


p 1
x
-
Función gamma:  ( p ) 
-
 ( p )  ( p  1) !  ( p  1)  ( p  1);
x
0
e dx .
p
-
Función de densidad: f ( x ) 
-
 
p

;
p

2
a
-
a
2
 (1 / 2) 
a x
p 1
si
( p)
t 

g (t )   1  
a

;
e

 ax
x  0;
0 en otro caso
p
La distribución gamma es reproductiva respecto del parámetro p.
13.3. Distribución exponencial.
-
Exp(a) =(1,a)
13.4. Distribución de Weibull. W(,)
- f ( x )    x  1 e   x

x  0;
si
0 en otro caso
13.5. Distribución normal reducida. N(0,1)

1
- f ( x) 
2
e
x
2
2
t
  0;
;
  1;
2
g (t )  e 2
13.6. Distribución normal. N(,)
- f ( x) 
1

2

e
(x )
2
2
2
;
g (t )  e
t 
( t )
2
2
Y 
-
Dada la variable Y  N (  ,  ) se llama variable tipificada a X 
-
Suma de variables aleatorias independientes, entonces la media es la suma de las medias y la
varianza la suma de las varianzas.
-
Si X 
X 1  X 2 ... X n
n
 

 N  ,

n 

13.7. La normal como límite de la binomial.
B ( n , p )  n

 N ( np , npq )


Tema 14. Distribuciones de probabilidad de variable continua
(II).
14.1. Distribución de Pearson.
 n  X 1  X 2  ...  X n donde Xi pertenece a N (0,1)
2
2
2
2
  n;   2 n
2
si n es suficiente grande se puede aproximar por N ( n , 2 n )
14.2. Distribución t de student. T(n)
X
T 
1
n
donde Xi  N (0,  )
n

2
Xi
i 1
14.3. Distribución F de Snedecor. F(m,n)
m
1
F 

m
1
n
2
Xi
i 1
n
Y
2
i
i 1
14.4. Distribución Z de Fisher.
Z 
1
ln F
2
Tema 15. Distribución normal multivariante.
- f (X ) 
A
(2 )
n
2
 1

exp   ( x   ) ' A ( x   ) 
 2

A es simétrica y semidefinida positiva.
g (t )  e
t ' 
1
t'A
1
t
2
Las distribuciones marginales son normales unidimensionales.
 E  X1 


Vector de medias: E  X   

 E  X 
n 

Matriz de covarianzas: es la inversa de A
Tema 16. Sucesiones de variables aleatorias. Teorema central
del limite.
16.1. Tipos de convergencia.
-
Convergencia en probabilidad:  X n   P
 X si lim P  e  E : X n ( e )  X ( e )     0,    0
-
.S
Convergencia casi segura:  X n   C
X si P e  E : lim X n ( e )  X ( e )  1
n 

n 

-
 X si lim F n ( x )  F ( x ) en cada punto de continuidad de F.
Convergencia en Ley.  X n   L
n 
-
.S
 X n   C
 X n   P
X 
X 
 X n   L
X
16.2. Teorema de Bernouilli.
lim f ( A )  P ( A ).
n 
16.3. Leyes de los grandes números.
-
Ley débil:  X n   D si :  X n  a n   P 0
-
.S .
Ley fuerte:  X n   F si :  X n  a n   C
0
-
Xn 
1
n
n

X i;
an 
i 1
1
n
n
 EX 
i
i 1
16.4. Teorema central del límite.
Si Xn independientes e idénticamente distribuidas con media y varianza finitas:
X 1  X 2  ...  X n  n 


 N (0,1)
L
n
16.5. Ejemplos notables de convergencia en ley.
     N ( n ,
2
n
L
2n )
Tema 17. Distribuciones en el muestreo de poblaciones
paramétricas.
17.1. Introducción.
-
Población paramétrica: aquella que viene definida por una variable cuya función de
distribución depende de uno o varios parámetros que en general serán desconocidos.
17.2. Tipos de muestreo estadístico.
-
-
Muestreo aleatorio simple. X=(X1,X2,...Xn) las elecciones son independientes.
Muestreo estratificado. Los elementos de la población se dividen en grupos.
o El nº. de elementos de cada grupo se llama afijación, siendo su clasificación: igual,
proporcional y óptima.
Muestreo sistemático: tomar un grupo correlativo de entre una lista ordenada.
Muestreo polietápico: tomar muestras de poblaciones, subpoblaciones, etc.
Estadístico: o estimador es cualquier función medible que asigna a cada muestra un número
real. (X1,X2,...Xn) ->R
n
-
Media muestral: X :  X 1 , X 2 , ..., X n  

Xi
i 1
n
n
-
Varianza muestral: S 2 :  X 1 , X 2 , ..., X n  
 (X
i
i 1
n
 X)
2
17.3. Distribución de la media en el muestreo.
-
Esperanza de la media en el muestreo: E  X   
-
Varianza de la media en el muestreo:  2  X  
n
-
Distribución de la media muestral (varianza conocida): N (  ,  )  X es N   ,

2


 

n 
17.4. Distribución de la varianza en el muestreo.
-
Esperanza de la varianza en el muestreo:
1
2
E  S  
n
-
n 1
n
 E  X
i 1
2
i
  E X 2  2  E X 2 





Distribución de la varianza muestral: 

2
n
2
 X  
 X i    nS



 resultando que lo


2

n 
 


primero del segundo miembro es una  2 con n-1 grados de libertad.
-

Distribución de la media muestral (varianza desconocida): N (  ,  )  X es N   ,

entonces
X 

X 
es una N (0,1);
n
n 1
S
 
,
n 
es una t de Student con n-1 grados de libertad.
17.5. Distribución de la diferencia de medias.
-

1


n
2
Varianzas conocidas: X 1  X 2  N   1   2 ,
mn
-
Varianzas desconocidas iguales:

2
2 

m 

(X1  X 2)
mn
que sigue una t de Student con n+m-2
nS 1  m S 2
2
2
nm2
grados de libertad.
Tema 18. Distribuciones en el muestreo de poblaciones no
paramétricas.
-
Estadísticos ordenados. u1  u 2  ...  u n
Los valores más importantes son: u1 (mínimo); un(máximo); um(mediana); un-u1(recorrido).
-

Distribución del mínimo valor muestral u1: f m in ( u 1 )  n   f ( x ) d x 
-
u
Distribución del máximo valor muestral un: f m ax ( u n )  n   f ( x ) dx 
-
Distribución de estadísticos ordenados: 1  r1  r2  ...  rk  n .

f ( u1 )

u1
n

n!
 u r1 f ( x ) dx 

 r1  1  !...  n  rk  !  
-
n 1
r1  1
...

 f ( u r1 )... f ( u rk ) du r1 ...du rk

u r
f ( x ) dx 
Distribución del recorrido: f ( r )  n ( n  1)   
1

f (u n )
n  rk
 

f ( x ) dx
 u rk



n 1
u1

n2
f ( u 1 ) f ( u 1  r )du 1
-
m
m
(2 m  1) !  u m
   f ( x ) dx  f ( u ) du
f
(
x
)
dx
m
m

  u m

m ! m !   
Distribución de la mediana(n=2m+1):
Tema 19. Estimación puntual.
19.1. Estimador insesgado.
El estimador   es estimador insesgado de  si E     
Cualquier combinación lineal convexa de estimadores insesgados es insesgado.
La media muestral E  X    es un ejemplo de estimador insesgado de la media
-
poblacional E  X   
n
2
La cuasivarianza Sˆ 2 
s es un estimador insesgado de la varianza poblacional
-
n 1
 .
2
2
E  S  
n 1
2
E  Sˆ   
 
 ;
2
n
2
.
19.2. Estimadores de mínima varianza. Cota de Cramer-Rao.
1  b '( ) 

Muestra aleatoria:    
2
-
E
 

log L
 



-
2
nE
1
si  es insesgado:  2    
1  b '( ) 

Muestra aleatoria simple:    
2
2
E
 

lo g L
 



2
2
 

log f
 



2
1
; “”””  2    
nE
 

log f
 



2
19.3. Estimadores eficientes.




es eficiente si es insesgado de mínima varianza.
es eficiente si es insesgado y alcanza la cota de Cramer-Rao.
19.4. Estimadores consistentes.




es consistente si para cada   0; P          n

0

es consistente si lim E     0 y lim  2     0
n 
n 
19.5. Estimadores suficientes.


es suficiente para  si y solo si la función de densidad de la muestra L ( x1 , x 2 , ..., x n ;  ) se
puede fabricar como sigue: L ( x1 , x 2 , ..., x n ;  )  g ( x1 , x 2 , ..., x n ) h (  ,  )
Todo estimador eficiente es suficiente.
Tema 20. El método de máxima verosimilitud.
20.1. La función de verosimilitud.
n
L ( x1 , x 2 , ..., x n ;  ) 

i 1
f ( xi ;  )
20.2. Método de máxima verosimilitud.
Máximo de  de L:


log L  0  ˆ
Si la distribución poblacional depende de K parámetros  1 ,  2 , ...,  k habrá que resolver el sistema:

 1
log L  0;

 2

log L  0; ...;
 k
log L  0
Los estimadores de máxima verosimilitud no tienen por que ser insesgados.
20.3. Propiedades de los estimadores de máxima verosimilitud.
-
la función ˆ es invariante por transformaciones biyectivas.
Si existen estimadores eficientes de  , entonces ˆ es eficiente.
Si existe un estimador   suficiente de  , entonces ˆ es función de  
Tema 21. Otros métodos de estimación puntual.
21.1. Método de los momentos.
Igualar momentos muestrales a momentos poblacionales.
21.2. Estimadores lineales de mínima varianza.
 a x es un estimador lineal centrado de  si
E    
y  a  1 a  0
- La varianza de  viene dada por        a x    a   x     a
-
Se dice que   
i
i

i
i

2

2
i
-
El estimador lineal de mínima varianza es:   
1
n
x
i
2
i
2
2
i
i
21.2. Método de mínimos cuadrados.
Consiste en minimizar m ( a , b ) 
 Y
i
 g ( X i , a , b , ...) 
2
21.3. Métodos Bayesianos de estimación.
-
Distribución a priori: f   
-
Distribución conjunta: f  x1 , x 2 , ..., x n ;  
-
Distribución a posteriori: f  / x1 , x 2 , ..., x n  
g  x1 , x 2 , ..., x n 
-
f
 x1 , x 2 , ..., x n /    f  
donde
g  x1 , x 2 , ..., x n 
  f  x1 , x 2 , ..., x n ;    V .discreta 

 
    f  x1 , x 2 , ..., x n ;   d   V .continua 
Estimación Bayesiana   de  = E  f  / x1 , x 2 , ..., x n  
Tema 22. Estimación por intervalos.
22.1 Intervalos de confianza.
-
del parámetro  : P  1  x1 , x 2 , ..., x n      2  x1 , x 2 , ..., x n    1  
2
i
-
De la Media :


o Población normal  conocida o n>30:  x  

2
n
, x  

s
o Población normal  desconocida o n  30:  x  t
2

-
 ns 2
De la varianza. Población N (  ,  ) : 
  
2
,
2
ns

2
2
1 2
n 1
 

n
2
, x  t


n 1 
s
2

 con n-1 grados de libertad.

De la diferencia de medias.
o Población normal  1 ,  2 conocidas o n1,n2>30:

 x1  x 2  

1
2
2
2
1
2

n1
n2
2
, x1  x 2  
2

n1
2
2 

n2 

o Población normal  1   2 desconocidas:

 x1  x 2  t

-
2
n1  n 2
n1 s1  n 2 s 2
n1 n 2
n1  n 2  2
2
, x1  x 2  t
2
n1 n 2
 1
2
sˆ1
Razón de varianzas. Poblaciones N (  1 ,  1 ), N (  2 ,  2 ) : 
 f 
2
sˆ2
2
1
,
f1
2
2
sˆ1 
2 
sˆ2 
Intervalo de confianza de proporciones con n, n1,y n2 >30.


o Población normal:  p   

p q
2

, p  


 
p q 

n 


n
o Población binomial:  p1  p 2  
-
2
2
n1 s1  n 2 s 2 

n1  n 2  2 

n1  n 2
2


p1 q1
2
n1
2



p2 q2
n2



p1 q1

, p1  p 2   
2
n1

 
p2 q2 

n2 

Tamaño de la muestra: la amplitud del intervalo es la diferencia entre sus extremos
Tema 23. Contrastes de hipótesis.
23.1. Hipótesis estadísticas.
Para deducir un método se propone una hipótesis siendo la descripción general:
a) se definen dos hipótesis: nula(H0) y alternativa(H1).
b) Se define un estadístico (p.e. ) para el que se conoce su distribución si H0 es cierto.
c) Se delimitan dos zonas excluyentes de la muestra (A yS).
d) Se selecciona una muestra y verificamos si pertenece a A por lo que se acepta H0 o en caso
contrario se rechaza y se acepta H1.
23.2 Tipos de contraste.
-
-
paramétricos: con un cierto parámetro queda determinada su distribución. Pueden ser por
hipótesis simple    7  o hipótesis compuesta    B  . El contraste entre ambas hipótesis
puede ser unilateral o bilateral.
No paramétricos.
23.3. Tipos de error. Potencia de un test.
-
tipo I: Rechazar H0 si es cierta. Nivel de significación   0    1  .
Tipo II: Aceptar H0 siendo falsa. No es fija salvo que H1 sea simple.
-
Potencia de test P    : probabilidad de rechazar H0 siendo verdadero.
23.4. Teorema de Neyman-Pearson.
a) nos planteamos la hipótesis nula H0.
b) Seleccionamos una muestra aleatoria simple (x1,x2,...,xn)
c) Sea B la familia de todas las regiones S/ P   x1 , x 2 , ..., x n   S /  0    suponiendo que para
cada  existe C()>0 tal que L  x1 , x 2 , ..., x n ;  1   C ( ) L  x1 , x 2 , ..., x n ;  0  se da en una región
S 1  B y L  x1 , x 2 , ..., x n;  1   C (  ) L  x1, x2, ..., x n;  0  se da para  x1 , x 2 , ..., x n   S 1 que es la
región de rechazo.
Tema 24. Algunos contrastes paramétricos.
24.1. Contraste de la media y diferencia de medias.
H0
Estadístico
t 
  0
C alc  hp
t  test z
1   2  d
  0
t  
  0
t   
n

n 1
x1  x 2  d

2
1
n1    
2
2
n2 
1 y 2 conocidas
C alc  hp
t
sp
t  test z
  critical z

 desconocida y n<30
t
Z  test :  1   2
t    2 , t  
x  0
t 
sp 
2
Se rechaza H0 si
  0
 conocida o n30
Z  test : 1 
  critical z
H1
x  0
  0
t   t 2 , t  t
  0
t  t
  0
t   t
1   2  d
t    2 , t  
1   2  d
t  
1   2  d
t   
x1  x 2  d
1   2  d
t   t 2 , t  t
1 n1    2 n 2 
1   2  d
t  t
1   2  d
t   t
n s  n2 s
2
1 1
2
2
2
2
2
2
n1  n 2  2
1 = 2 desconocidas
24.2. Contrastes relacionados con proporciones.
H0
p  p0
C alc  hp
Z  test : 1 p
t  test z
  critical z
Estadístico
H1
P  P  X  x p  p0 
p  p0
P  P  X  x p  p0 
p  p0
P  2 P  X  x p  p 0  si  x  np 0 
p  p0
Se rechaza H0 si
P 
P  2 P  X  x p  p 0  si  x  np 0 
Muestras grandes
t
x  np 0
np 0 q 0
p  p0
t    2 , t  
p  p0
t  
p  p0
t   
2
p1  p 2  d
Muestras grandes
t
pˆ 1  pˆ 2  d
pˆ 1 qˆ1
pˆ 2 qˆ 2

n1
p1  p 2  d
t    2 , t  
p1  p 2  d
t  
p1  p 2  d
t   
n2
2
24.3. Contrastes relacionados con varianzas.
H0

2

2
0
Estadístico
Población normal
t
1   2
2
2
 n  1  sˆ
H1

2

1   2
t  Fa , t  Fb

t  F
2
sˆ
2
1
2
2
sˆ
2
1
2

24.4. Contraste de la razón de verosimilitudes.
-
2
2
Poblaciones normales
Hipótesis simples:  
t  
2
0
t
-
Se rechaza H0 si
2
0
L  1 
L  2 
Alternativa compuesta:  
H 0 :   0 ;
;
 
L ˆ
L  0 
;
H 1 :  1
H 0 :   0 ;
H1 :   0
2
2