Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos

Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999
Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
SINTAXIS Y CODIFICACIÓN
ENMODELOS DE
SISTEMASCOMPLEJOS
FRANCISCOVIVES MACIÁ
Memoria presentada para
aspiraral gradode Doctor
en Ciencias Matemáticas.
DEPARTAMENTODE ANÁLISIS MATPN¿ÁTTCO
MATEMÁTICA APLICADA
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999
ffi
Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
YOLANDA
VILLACAMPA
ESTEVE,
CATEDRÁTICA
DEL
DEPARTAMENTODE ANÁLISIS MATEMÁTICO Y MATEMÁTICA
APLICADA EN LA ESCUELAPOLITÉCNICASUPERIORDE ALICANTE
CERTIFICA : Que D. Francisco Vives Maciá, licenciado en Ciencias
Matemáticas, ha realizado bajo mi dirección la Memoria que lleva por título
"Sintaxis y Codificación en Modelos de SistemasComplejos" con el fin de que
seapresentadacomo Tesispara aspiraral grado de doctor.
Lo que certifico para que constesegúnla ley vigente.
Alicante,30 de Abril de 1999
Fdo. YolandaVillacampa Esteve
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999
Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
AGRADECIMIENTOS
El presente trabajo ha sido realizadobajo la dirección de
Du Yolanda Villacampa Esteve, a quién va dirigido mi sincero agradecimiento
porsu conftanza al proponerme el proyecto y por su trabajo incansable enla
lectura, revisión, crítica, consejos e ideas aportadas durante todo el procesode
elaboración.
También quiero manifestar mi agradecimiento a todas aquellas
personas que con su constanteapoyo han hecho posible estamemoria.
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Indice
INDICE
1. Ideas generales
1.1Introducción
I .2 Lingüística Matem aticay Modelización
9
2. Autómatas y lenguajes
2.1 Introducción
............Ij
2.2Prímerosconceptos
.............
...... 19
2.3 Autómatasfinitos
2.3.1 Definición
.... 2I
............2
. .I.
2.3.2 Autómatade Mealy y autómatade Moore ...................
23
2.3.3 Programade obtención de un autómatade Moore
equivalentea un autómatade Mealy
2.4 Otradefiniciónde autómata...............
2 . . L D e f t n i c i ó n. . . . . . . . .
.......... 26
........32
. . . . . . . .3. 2
2.4.2 Comportamiento
entrada-salida
del autómata.................
33
2.5 Conceptos
algebraicos
...........
2.5.1Introducción
... 35
....._.........
35
2.5.2Monoidede transformaciones
en un conjunto.................
35
2.5.3Homomorfismoentremonoides..........
2.5.4Monoidelibrey homomorfismo
..........36
....................
36
2.5.5Relacionesde congruencia
y monoidecociente..............38
2.6 Comportamientode entrada-estados
2.7 relaciónequirrespuesta
y monoidede un autómata
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.......... 38
..... 40
Página I
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Indice
2.8 Minimización de un autímatafinito
.......... 42
2.8.1Planteamiento
del problema...............
...........42
2.8.2 Autómataen forma mínima
.........43
2.8.3Comprobacióndelaeqüvalenciaentreestados...............43
2.8.4 Algoritmo para la minimización de un autómatafinito ... 44
2.9 Reconocedor
finito
...................
45
2.10 Lenguajesaceptados
por reconocedores
finitos
.........47
2.11Conjuntosregulares.
Expresiones
regulares
.................................
51
2.Il.I Conjuntosregulares
2.11.2Expresiones
regulares
...................
51
................
52
2.12 Resoluciónde problemasde análisisy síntesisde reconocedores
finitos
...............5
. .4. .
2.L2.LAlgoritmode análisis
................
54
2.12.2Algoritmode síntesis
................
55
2.13 Definiciónde Gramátíca
........ 57
2.I4 Lenguajegeneradopor una Gramática
.... 59
2.15 Clasificaciónde las gramáticasy de los lenguajes
.... 59
2.15.1Gramáticas
de tipo 0 o no restringidas
...............
..........59
2.I5.2 Gramáticasde tipo I o sensiblesal contexto................
60
2.15.3Gramáticasde tipo 2 o libresde contexto....................
60
2.15.4Gramáticas
de tipo 3 o regulares
..........................,.......
6l
2.15.5Jerarquíade los lenguajes
.........61
2.15.6Lenguajes
con la cadenavacía
...................
62
2.16Lenguajesregularesy autómatasfinitos
...................
63
2.16.I Autómatafinito no determinista.........
....... 63
2.16.2 Lenguajeaceptadopor un reconocedorfinito no
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Págna
2
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Indice
3. Gramáticasgenerativasy recognoscitivas
en sistemascomplejos
3 .1In tro d u cci ó n .........
3.2Primeros
conceptos
.............
...................
67
... 69
3 .2 .I Mo d e l oB ase.........
.................
69
3.2.2 Sistema
semiótico
..................
70
3.2.3 Campoasociativo
a un atributomedible...................
70
3.2.4 Vocabulario
deprimerorden
...................
72
3 .2 .5 t-a l fa b e de
to or deni ................
.................
73
3.2.6 Vocabulario
de segundo
orden
...............,
74
3.2.7 Vocabulario
deordenn ...............
3 .2 .8 t-L é xi co
3.2.9 Léxicoprimario
............
74
...............
75
... 76
3.2.10Vocabulario
diferencial
o d-vocabulario
...................
76
3.2.11Léxicodiferencial
3.2.12Léxicodeun Sistema
Complejo
3.2.13Pálabras
sinónimas
.........,..,.....
77
..............
77
................
77
3.3Gramática
generativa
delasfunciones
transformadas
................
80
3.3.1Gramáticagenerativade las funcionestransformadas
de primer orden
...... 8l
3.3.2 Gramáticagenerativade las funciones transformadas
de segundoorden
.... 86
3.3.3 Gramáticasgenerativasde las funciones transformadas
de tercerorden
........ 92
3.3.4 Gramáticasgenerativasde las funcionestransformadas
d e o r d e nn . . . . . . . . . . . . . . .
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. . . . . . . . . . . . . .9. .7. .
Página 3
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lndice
3.4Un caso particular de gramatíca generativa de funciones
tranformadas
.............
.......98
3.5 Gramáticagenerativade las ecuaciones
de flrrjo .........................106
3.6. Gramáticas
recognoscitivas
de ecuaciones
de flujo ...................
109
3.7. Gramáticagenerativade las ecuacionesde estado
... ll4
3.8. gramaticasrecognoscitivas
de las ecuaciones
de estado............lI7
4. Codificación de los lenguajes empleadosen sistemascomplejos
4 . 1 I n t r o d u c c i ó.n. . . . . . . . .
.................120
4.2 Conceptosgenerales.............
4.2.1 Código
.. I22
..................122
4.2.2 Propiedades
de los códigos
.... t22
4.3 Codificaciónde las funcionestransformadas
.............
.................
I27
4.3.I
Codificacióndelasfuncionestransformadasde
primer orden
.........I27
4.3.2 Codificaciónde las funcionestransformadasde
segundoorden
.....,134
4.3.3 Codificaciónde las funcionestransformadasde
tercerorden
..........142
4.3.4 Codificaciónde las funcionestransformadasde
o r d e nn . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Codiftcación de las ecuacionesde fluio
...t45
... I49
5 Aplicación: Submodelo reproductivo del modelo Mariola
5.1Introducción
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.........
153
Página 4
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Indice
5.2Hipótesis
iniciales
..................
156
5.3Gramática
generativa
delasfunciones
transformadas
.................
159
5.4 Gramáticas
generativay recognoscitiva
de las ecuaciones
d ef l u j o
.................162
5.5 Codificaciónde las funcionestransformadas
y de las
ecuaciones
deflujo
.................17I
C o n cl u si o n e s.............
............
183
B i b l i og ra fía
...............
.............
188
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CAPITULO
IDEAS GENERALES
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Ideas Generales
CAPITULO 1
IDEAS GENERALES
1.1. INTRODUCCIÓN
La introducción de las matemáticas en el estudio de las ciencias es un
procesoque ha ido en aumento a través de los tiempos, sobretodo en el estudio de
los sistemasnaturales.
De forma general, el estudio de la estructura de un sistema complejo, así
como su modelización y evolución en el tiempo presenta una grari dificultad
debido a la complejidadde los sistemas.
El estudio de la estructura de un sistema complejo se ha realizado en
primer lugar desdeel estudio de diversasteorías en el contexto general de la teoría
de los sistemas.Podemosdestacarlateoría general de sistemasde Mesarovic y
Takahara(1978)en (41).
Asimismo, en el planteamientode un modelo de sistemasy la estabilidad
de sistemasentrada-saIida,podemosresaltarlos estudiosrealizadosen (37) por
Lin Y. (1987)' Analogías y estudiosentre sistemasasí como diversos conceptos
de sistemassonreflejadospor Lin y. y Ma. y. (1987,19s9)en (37) y (3s) y yang
Z.B. (1989) en (60). Estudiosconcretospara sistemasvivos son llevados a cabo
por Miller (1978) en (42) y diversas axiomatizacionesde los mismos son
realizadaspor Villacampa et al. (1997, 1999)en (57) y (5S).
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IdeasGenerales
En la modelización de sistemas complejos se da, usualmente,
mucha importancia a la metodología, ya que toda la ayuda computacional que
podemos emplear en las modelizacionesestá totalmente condicionada a ella. Así
como cualquier metodologia estácondicionadapor la teoría de sistemasen la que
se basa.
Las modelizaciones de sistemas complejos son realizadasa través de la
combinación de diversas metodologías, entre las que se pueden citar las de
Forrester(196r,1966)en (18) y (19), zeigrer(1984)en (61), Jorgensen(19gg) en
(32) v Zhan (1990) en (62).
Sea cuál fuese la metodología utilizada en el estudio y modelización de
sistemascomplejos, esta debe describir los métodos para conseguir expresar
determinados procesosen un lenguaje.
Son diversos los autores que han resaltado la importancia del estudio de
los sistemas y sus modelizaciones desde el punto de vista de la matemática
lingüística. Así, Patten (1997) en (46) señalaque "todos los modelos tienen en
común que encierran experiencia y siempre envuelven signos, señales,sintaxis,
semánticay una habilidad para descifrar y obtener significados".
Un estudio reciente, desde el punto de vista de la matemática
lingüística de sistemassemióticos ha sido realizadopor Villacamp a et al. (lggg)
en (58).
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ldeasGenerales
I.2. LINGÜÍSTICAMATEMÁTTca Y MoDELIZACIÓN.
Supongamosun sistema dinámico modelizado por un conjunto de
ecuaciones diferenciales ordinarias {, }|=r, llamadas ecuaciones de estado. Si
las variables{ru}, r. les llaman variablesde flujo. A su
!'¡ = E(xn2x¡2,.....,x¡n)a
vez, cada variable de flujo depende de un conjunto de variables, es decir,
x¿¡: F(9r,e2,.....,e,). A
la ecuación F(er,er,.....,en), que expresa Ia
dependenciade una variable de flujo respectoa estasotras variables del sistemase
le llama ecuaciónde fluio.
En el estudio de un sistemacomplejo, como son los sistemasecológicos,
las variablesde flujo, x,r, y las variablesde las que dependen,gr,e2,.....,gn,
deberán ser modelizadas matematicamentedisponiendo de datos experimentales
de las mismas.
Es, pues, necesarioobtener expresionesanalíticasque sirvan para estetipo
de sistemascuya estructuraes muy compleja, así como la obtención de relaciones
entre sus diversos elementos.
Estas expresiones analíticas que sirven para expresar matematicarnente
estas variables pueden conseguirse,a partir de datos experimentales, de forma
computacional mediante gramátticasque construiremos a lo largo del presente
proyecto.
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Ideas Generales
En este proyecto se realiza un estudio de la teoría de modelos de
sistemas complejos desde el punto de vista de la matemática lingüística, Ia
teoría de autómatas finitos, lenguajes regulares y la teoría de la codificación.
El estudio de la teoría de los sistemascomplejos, como los ecológicos,
agronómicos, socioeconómicos,etc. se analiza desde el punto de vista de la
lingüística matemática, ya que cualquier metodología esfáasociadaa un lenguaje
y estea sus componentessintácticosy semánticos.
Por otra parte, nos adentramos en la teoria de autómatas y más
concretamenteen los reconocedoresde lenguajes,ya que se usan frecuentemente
en los problemas que implican el análisis de cadenasde caracteres.De esta forma
al construir un lenguaje, podremos construir un reconocedor finito del mismo.
Estos estudios y los resultados obtenidos harán posible la construcción de
lenguajes que pueden modelizar sistemas complejos, siendo posible ra
cornputerizaciónde los mismos.
El estudio desde el punto de vista de la lingüística matemática y la teorÍa
de autómatasse va a desarrollar de la sieuientemanera:
El capítulo 2 comienzacon la definición de autómatafinito. La definición
que se ofrece correspondeal modelo de máquina de Mealy, máquina en la que las
salidas estifurasociadasa las transiciones. A continuación se expone el concepto
de máquina de Moore y la equivalenciaentre estosdos modelos de autómatas,por
la comodidad que supone el trabajar con una máquina cuyas salidas están
asociadasa los estados.Es por ello por lo que hemos desarrolladoun programa
que obtiene el autómatade Moore equivalentea un autómatade Mealy dado.
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IdeasGenerales
También estudiamos los autómatas como dispositivos que producen
cadenasde símbolos a su salida en respuestaa cadenasde símbolos presentadasa
la entrada,como introducción a la explicación del concepto de reconocedorfinito
y los lenguajesaceptadospor reconocedores
finitos.
Recordemos,también, que un autómatafinito es, él mismo, un modelo de
un procedimiento para reconocimiento de cadenaspor medio de la expresión
regular asociada y es sencillo traducir el autóm ata finito a un códiso en un
lenguaje de programación.
Terminamos la primera parte del capÍtulo con la definición de expresión
regular, como forma de expresar el lenguaje que puede ser reconocido por gn
reconocedorfinito y el concepto de derivada de una expresión regular para tener
un procedimiento que nos permitirá obtener el reconocedor finito de dicho
lenguaje.
La segunda pafte del capítulo está dedicada al estudio de los diferentes
tipos de gramáticasy los lenguajes generadospor las mismas pan llegar a la
conclusión de que los lenguajes generados por las gramátrcasde tipo 3, los
lenguajesregularesy los que puedenserreconocidospor los reconocedoresfinitos
coinciden. Hemos desarrollado lenguajes regulares por su doble importancia.
Desde el punto de vista práctico porque pueden ser usados para especif,rcarla
construcción de analizadoresléxicos (programas que analízantexto y extraen los
lexemasque hay en el mismo). Desde el punto de vista teórico porque constituyen
el menor conjunto de lenguajes sobre un alfabeto que es cerrado respecto a la
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concatenación de cadenas, la cerradura de Kleene y la unión de lenguajes y
ademáscontiene el lenguaje vacío y los lenguajesunitarios.
Es este,pues,un capítulo teórico cuyo único objetivo es exponertodos los
conceptosque se van a utilizar en los capítulos siguientes.Se han omitido ciertas
demostraciones,ya que se salen de los objetivos que nos hemos marcado,aunque
indicamos que pueden encontrarse en textos como el (28) de J. Hopcroft y J.
ullman (1979), el (34)de Dean Kelley (1998) o el (16) de G. Fernándezy F. Sáez
Vacas(1995).
En el capítulo 3 se analíza la construcción de gramáticas generativas y
recognoscitivas que generan lenguajes que pueden ser utilizados en la
modelizaciónmatemáticade sistemascomplejos.
Los primeros estudios que se hicieron sobre gramáticas generativas y
recognoscitivascon aplicacionesse publican en el artículo (56), "Generativeand
recognoscitive grammars of Ecological Models with applications (Villacampa et
al.' 1999).En él son consideradasy aplicadas,al casode modelizaciónecológica,
gramáticasque generanun lenguaje y una selección de ecuacionesque modelizan
unos procesosecológicos. Resultan ser, además,un caso particular de los estudios
más amplios y generalesque se realizan en este capitulo 3. No obstantecuando se
utilicen conceptos, resultados o ejemplos que hayan sido publicados en él lo
reflejaremos convenientementealudiendo a villacamp a et al., lggg.
Comienza el capítulo 3 con la introducción genérica de los sistemasa los
que se van a aplicar los lenguajes.Se consideranlos vocabularios de primer,
segundo,......, n-ésimo orden y se define el t-léxico a partir de los vocabularios
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IdeasGenerales
asociados a un conjunto de variables. A continuación se obtiene el léxico
diferencial, d-léxico que junto con el t-léxico constituyen, de forma general, el
léxico de un sistemacomplejo.
Es definida una relación de equivalencia en el conjunto de palabras
escritas en un determinado vocabulario, llamada relación de similitud que divide
al conjunto de palabras en clasesde equivalenci4 llamandose sinónimas aquellas
palabrasque pertenecena una misma clase.
Se continua con la definición de gramática generativa de las funciones
transformadas, comenzandopor las de primer orden y llegando a generalizarlas
para un cierto orden n.
Estas gramáticas generan lenguajes que forman el
vocabulario de las gramáticasgenerativasde las ecuacionesde flujo.
Las gramáticas consideradasoriginan lenguajes regulares pudiéndose
encontrar,en cada caso un reconocedorfinito del mismo.
Al obtener lenguajesque modelizanlas ecuacionesde flujo, es necesario
seleccionaruna o más ecuacionesde acuerdocon ciertoscriterios establecidospor
el modelizador. En este proyecto se definen algunas gramáticascuya misión es la
de realizar esta selección,son las graméúicasrecognoscitivasde las ecuacionesde
flujo.
Termina
el
capítulo
definiendo
las
gramáticas generativas y
recognoscitivasde las ecuacionesde estado o ecuacionesque modelizan Ios
procesosa estudiar.
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IdeasGenerales
La codificación de las ecuaciones de flujo obtenidas en los lenguajes
desarrollados en el capítulo anterior para la modelización de los sistemas
complejos se realiza en el capítulo 4.
En la modelización matematica,el modelizador deberá elegir, en cada
caso, las ecuacionesque desee almacenar para su posterior utilización. Por este
motivo, en el capítulo 3 se han desarrollado gramáticas recognoscitivas que
permiten seleccionar un cierto tipo de ecuacionesmatemáticas de acuerdo con
ciertos criterios de recognoscibilidad,pudiendo ser estosmuy diversos.Así pues,
resulta interesante paliw, en la medida de lo posible los problemas de
almacenamientode ecuacionespaxa su posterior manipulación. En el capítulo 4
abordamos inicialmente los conceptos generales de la teoúa de códigos,
introduciendo aquellos conceptos y resultados que son interesantes para su
posteriorutilización.
Comenzamos el capítulo con el establecimiento de códigos para la
codificación de las funciones transformadas,que formaránla base sobre la que se
fundamentanlos códigos de las ecuacionesde fluio.
como es lógico suponer, son inmumerableslos códigos que se pueden
establecer.Por ello hemos optado por tres tipos que hemos denominado CLCT
(código de longitud constante), cBCT (código compacto) y un tercero cGT
(código Gódel) a título de curiosidad y como prueba de los inmumerables tipos
de códigosque se puedendiseñar.
Se sigue, para terminar el tema, con la codificación de las ecuacionesde
flujo, que nos permite almacenar de forma sencilla las ecuaciones, pudiendo,
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Ideas Generales
como es lógico, decodificarlas posteriormente, para expresarlas en su forma
inicial, tal y como se obtuvieron en su procesode modelización.Resaltamosla
forma matricial de su representación.
Finalizamosesteproyectocon la exposiciónde una aplicaciónconcretade
los resultadosobtenidos en los capítulos precedentes,algunos de los cuáles se
encuentranpublicados (artículo (56),Villac ampaet al., 1999).
La aplícación consiste en el desarrollo de gramáticas que sirven para
modelizarel
SubmodeloReproductivodel Modelo Ma¡iola. Hemos escogidoun
conjunto de p-símbolos y un conjunto de variables de flujo que nos han permitido
definir vocabularios de primer y segundo orden pan formar el tJéxico y así
definir la gramáúícagenerativa de las funciones transformadasy las gramáticas
generativa y recognoscitiva de las ecuacionesde flujo, utilizando el criterio de
recognoscibilidad GRFI mediante el cuál hemos seleccionadosieteecuaciones
de flujo
que posteriormente hemos codificado para su almacenamiento.
Finalmente,siguiendo el procesode recognoscibilidadGRSr hemos formado las
ecuacionesde estadoque modelizanlos procesosy cuya integraciónpor métodos
numéricos nos ha permitido realizar su validación, obteniendo los resultados que
en el proyecto se exponen.
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7
CAPITULO
AUTOMATAS
Y
LEI{GUAJES
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Autómatasy lenguajes
CAPÍTULO 2
AUTÓMATAS Y LENGUAJES
2.1.INTRODUCCTÓX.
Este capítulo se divide en dos partes. En la primera se expone de forma
general la teoría de autómatas finitos y en la segunda se realiza un estudio de las
gramáticas.Se presentaen primer lugar el modelo de autómatadenominadoMdqaina
de Mealy, seguido del estudio que lleva a la conclusión de que a toda máquina de
Mealy se le puede asociar una Mdquinu de Moore equivalente, con las ventajas que
supone el disponer de un autómataen el que acadaestado se le puede asociar una
salida y sólo una. Se concluye esta primera parte del tema ofreciendo el listado en
Pascal de un programa informático que obtiene el automáta de Moore equivalente a
un determinadoautómatade Mealy dado.
A continuación se ofrece otra definición de autómata,a partir de la cuáI, se
estudian de forma matemática, los comportamientos entrada-salida y entradaestados del autómatay obtener el monoide de un autómatacuya tabla nos permite ver
rápidamente el comportamiento del autómata para cualquier cadena que se presente
en su entrada.Se sigue con el estudio de la minimizac,iónde un autómatafinito.
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Autómatasy lenguajes
Termina la primera parte del tema con el estudio de un tipo particular de
autómatas,Ios reconocedoresfinitos de lenguajesy las condiciones que debe reunir
un lenguaje para ser aceptadopor un reconocedor,con el consiguiente estudio sobre
conjuntos y expresionesregulares,gramiíticasy su clasificación y las propiedadesde
los lenguajes formales.
Toda esta teona será utilizada posteriormente para construir lenguajes que
sirvan para la modelización de sistemas complejos, lo que conlleva a la
computerizaciónde la modelización.
En la segunda parte del capítulo se van a considerar los conceptos de
gratrática, lenguajes generados por una gramática y gramáticas equivalentes.
Veremos la clasificación de las gramáticas según las restricciones impuestas a sus
reglas de producción y como esta clasificación da lugar a una jerarquíade lenguajes.
A continuación veremos la manera de modifi,car una grarnáÍtcaparaque el lenguaje
contengala cadenavacia sin cambiar de tipo.
En la última parte del capítulo planteamosel problema del reconocimiento de
los lenguajesregularesdesdeel punto de vista material, ya que estudiamosla relación
entre el lenguaje y la máquina capaz de reconocerlo. Veremos que la clase de
lenguajesque puede ser reconocido por un autómatafinito es precisamentela clase de
lenguajesque pueden ser generadospor una gramáticaregular.
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Autómatasy lenguajes
Todos los conceptosdesarrolladosen el presentecapítulo constituyen Ia base
teórica Y, por tanto, su conocimiento es imprescindible para poder abordar en el tema
siguiente la construcción de gramáticas generativas de ecuacionesde flujo de los
sistemasestructurales complejos y sus reconocedoresconespondientes.
2.2. PRIMEROSCONCEPTOS.
Lapalabra "autómata", en el lenguaje ordinario, normalmente evoca aigo que
pretende imitar funciones propias de los seresvivos. Por ejemplo un robot dotado de
capacidadesautónomasde movimiento que le permite ejecutar las órdeneso seguir el
programaestablecidopor un ser inteligente.
En el campo de la Informática lo fundamental no es la simulación de
movimiento, sino la simulación de procesos que tratan información, y el ejemplo
típico es el ordenador,que no es más que un dispositivo que maneja símbolos.
De acuerdo con esto, se entiende que este tratamiento o procesamientode la
información sólo tiene sentido para nosotros, que decidimos si una determinada
cadenade símbolos significa tal cosa, es decir, que codificamos Ia información en
cadenasde símbolos; el ordenador se limita a manipular esascadenas,dando lugar a
otras cadenasque nosotros decodificaremos.
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Autómatasy lenguajes
Hablando en términos generales,podemos considerara un autómata como un
dispositivo que maneja cadenas de símbolos que se le presentan a su entrada,
produciendo otras cadenasde símbolos como salida. Un ordenador es un ejemplo de
autómata,pero también son autómatasdispositivos más sencillos, como sumadores,
contadores,etc.. Tambiénpueden estudiarsecomo autómatasdeterminadasfunciones
de los seresvivos, e incluso complejos sistemasecológicosy socioeconómicos.
Un autómatarecibe los símbolos de entradadistribuidos en el tiempo, es decir,
secuencialmentey, en general, el símbolo que nos presenta en su salida en un
determinadoinstante no sólo dependedel último símbolo recibido en la entrada"sino
de toda la secuenciade símbolos que ha recibido hastaeseinstante.
Así pues, un determinado símbolo de entradapuede producir en la salida del
autómatadiferentes símbolos de salida, dependiendode la "historia" o secuenciade
todos los símbolos de entradaanteriores.
Lo que acabamosde mencionar nos lleva a definir el concepto de estadode un
autómata. EI estado de un autómata es toda la información necesaria en un
momento dado para poder deducir, dando un símbolo de entrada en ese
momento, cuál será el símbolo de salida. Un autómataposeeráun determinado
número de estados y se encontraráen uno u otro según sea la historia de símbolos
que le han llegado; si encontrándoseen un estado determinado. recibe un símbolo
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Autómatas y lenguajes
también determinado, producirá un símbolo de salida y efectuará un cambio o
transición a otro estado.
Un campo irnportarrte dentro de la Inform ática, y en el que nos vamos a
introducir en este trabajo, está constituido por el estudio de los lenguajes y las
gramáticas que los generan.Los elementosde un lenguaje son sentencias,palabras,
etc.., formados a partir de un alfabeto. Establecidasunas reglas gramaticales, una
cadena de símbolos pertenecerá aI correspondiente lenguaje si tal cadena se ha
formado obedeciendo esas reglas. Puede entonces pensarse en la posibilidad de
construir un autómata reconocedor de ese lenguaje, tal que cuando reciba a su
entrada una determinada secuencia de símbolos nos presente en su salida una
determinadaseñal que nos indique si la secuenciaes o no correcta.
2.3.AUTÓVrAr,qSFINITOS.
2.3.I. DEFINICIÓN.
Un autómatapuede definirse como una quíntupla:
A:
(E, S, Q,-f,S)
donde:
E: conjunto finito símbolos de entradaso alfabeto de entrada.
s: conjunto finito de símbolos de salida o alfabeto de salida.
Q: conjunto de estados.
f
: es una función, llamada función de transición
o función de estado
siguiente:
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Página 2l
Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Autómatasy lenguajes
f:ExQ-+Q
g: es una función llamada función de salida:
g:E xQ-+S
Esta definición puede interpretarse como la descripción matemática de una
máquina que, si en el instante / recibe una entrada e€ E y se encuentra en el
estado
q€ Q, entoncesproporcionauna salidag(e, q), y pasaal estado
f(e, q) en el instante
r+/. (Suponemos
una escaladiscretade tiempost: I,2,3, ....,n,....).
Las funciones/y g pueden representarsemediante una tabla con tantas filas
como estadosy tantas columnas como entradas.Si la fila i correspondeal estadoqi y
la columna j corresponde a la entradaej, en la intersección de ambas se escribirá
rij/s¡¡, dondeet¡ :f(e¡,a¡) y s¡j: g(e¡,a). @igura2.1)
ff'*,
.*
K'
-vi
u'
I
9rr/s'
9r¡ls,,
Qztlszt
1z/s,
Qir/S;r
Q¡/su
TJ
fi,gura2.1
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999
Págna 22
Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Autómatasy lenguajes
Otra forma de representarlas funciones,f y g es mediante un grafo orientado
en el que cadanodo correspondea un estado,y sif(e¡, q) : qky g@j, q) : skexiste
un arco dirigido del nodo correspondientea q¿al correspondientea q¡, sobreel que se
pone la etiqueta e¡ /s¡¡ Este grafo suele llamarse diagrama de transiciones o diagrama
de Moore y puedeverseen lafigura2.2.
-{*
/--l
(Qii
)
\,/
/
fi,gura2.2
2.3.2.AUTÓMATA DE MEALY Y AUTÓMATA DE MOORE.
El modelo de autímata que hemos presentado,realmerúe.se denomina
Máqaina de Mealy. Las funciones g y/determinan
la salida y el estado siguiente
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Autómatasy lenguajes
cuando la máquina se encuentraen el estadoq € Q y recibe una entrada e e E. Ahora
bien, es interesanteconsiderar, ademásde los símbolos de Z, un nuevo elemento, l,
(elementoneutro); fisicamente,el decir que la entradaes 1.,es lo mismo que decir que
no hay ninguna entrada.
Ampliando el dominio de I
que es Exe, a {Ect o"}} * e y ro mismo, el
dominio de g podemos respondera la pregunta: "¿ quéocune si, estandoel autómata
en el estadoq €Q, recibecomo erúradalv?',.
La ampliación del dominio de/no planteaningún problema,ya que podemos
convenir que f(l,q) : q (es decir, fisicamente, si no hay entrada no se cambia de
estado). Pero no octlrre lo mismo con g ; y ello se ve facilmente con el ejemplo
anterior:si llegamosaql yasea de q3 (por la entradade b) o de qI (por la entradade
a) la salida es 0, por lo que podemos asociar la salida 0 al estado q y decir que
1
:
0; sin embargono podemosdefinir so,q), ya que si llegamosa q2 desde
s&'qil
q 1 Ia salida es 1, pero si llegamos desdeel propio q2 la salidaes 0. Es evidente, que
en general sólo puede definirse g(l,q) en el caso de que
lq = -f (nr,Qt)= -f (e,q)l->fg@r,qr): g(e,q)]
(2.r)
es decir, que a q se le puede asociaruna salida y sólo una.
si estoocumeparatodo q € Q podemosdefinir unafuncióninyectiva
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Autómatasy lenguajes
¡:e__>S
tal que g(e,q): h[f(e,q)J, ee {Eu {2}}, qe e. En este caso,podemos decir que ra
salida solo dependedel estado,y el autómatase llama máquina de Moore.
Expresandoel tiempo de forma explícita
s(t) : g[e(t), q(t)J: h[q(r)J: h[f[e(r-I),q[t-t]l
(2.2)
En una máquina de Mealy las salidas están asociadas a las transiciones,
mientras que en una máquina de Moore las salidas est¿ínasociadas a los estados.
Puesto que toda máquina de Moore es una máquina de Mealy que cumple la
condición (2'l) para todos los estados,parece en principio que las primeras son un
subconjunto de las segundas. Sin embargo, se demuestra (Fundamentos de
Informática. Gregorio Fernández,T9S7)que siemprepodemos encontraruna máquina
de Moore equivalentea una máquina de Mealy dada.
Teorema: " Dada una máquina de Mealy, siempre se puede encontrar una
máquina de Moore equivalente".
Debido a que nos parecemás cómodo trabajar con máquinasde Moore hemos
desarrolladoun programa en Pascal que obtiene el autómata de Moore equivalente a
un determinado autómata de Mealy dado y que a continuación se representa su
listado.
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Autómatas y lenguajes
2.3.3. PROGRAMA DE OBTENCIÓN DE UN AUTÓMATA DE
MOORE EQUIVALENTE A UN AUTÓMATA DE MEALY.
Prog'ram moore/.
ttqac
ñr+.
type A:array[1..5]
of char;
A2:array 11..51 of integer;
B:array[1. . 10/ 1. . 10] of inceqer,.
C:arraylI..2l
of integer;
var
m,n, i, ), k, x, y, fila, columna, numest / nument, numsal, contador : inteqer
;
entrada :A;
s a l - i d a : . A 2;
f , g, ultima2:B;
estado/ul-tima:arrayt1. .10,1. .1Ol of C;
estfinal:arrayt1..10l
of C;
final: array[1. . 10] of integer;
(*********************************************************)
Procedure entradas sal-idas;
begin
writefn ('Tntroduzca l-os identificadores
de l_as entradas
for n::l- to nument do
begin
write ('Entrada número , ,r,,, : ');
readi_n(entrada [n] ) ;
') ;
ond.
writel_n;
writel-n ( rrntroduzca
l-os identif
for n::1 to numsal- do
begin
wrj_te(tSalida número t,tr,t
readl_n(saj_ida In] ) ;
icadores
:
de l_as sal_idas' ) ;
t);
ond.
end;
(********************************************************
Procedure funclon f;
begin
for n::l- to numest do
for m::1 to nument do
begi_n
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)
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Autómatasy lenguajes
t, rrentrada[m], t)
write(tf(qtrfrr
r e a d l _ n( f I n , m ] ) ;
r) ;
anÁ.
onri.
(**************tr*****************************************
Procedure funcion_g;
begin
for n::1 to numest do
for m::l- to nument do
begin
t,entrada[m],
write(tg(qr,rr,,,
readf n (g In, m] ) ;
t),)
)
;
anÁ.
^^4.
(*******************************************************
Procedure fusionar;
begin
for n::1 to numest do
for m::1 to nument do
begin
estado In, m] [1] ::f In, m] ,.
estado In, m] [2l ::q In, m] ;
end;
)
(******************************************************>k)
Procedure estados f inaf es ,.
begin
contador::0;
for j ::1 to numest do
for i::1
to numsal_do
for n::l_ to numest do
for m::1 to nument do
(estado In,m] l1l:j ) and (estado In,ml
if
l2l-salida lil ) then
begin
(estfinal- [contador] [1] <>j ) or (estfinal
if
Icontador] [2] <>salida til )
then
begin
contador : :contador+ 1,.
estfinal Icontador] [1] ::j;
estfinal Icontador) l2l::sa]_ida lil ;
final I contador] : :contador;
anÁ.
an
r]
.
endi
(*******************************************************
procedure ultimo;
begin
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)
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Autómatasy lenguajes
for i::1
to contador do
begin
x::estfj_nalIi]
i1l;
for m::1 to nument do
begj_n
ultima Ii,m] [1] ::estado Ix,m] [1] ;
u l _ t i m aI i , m ] [ 2 ] : : e s t a d o I x , m ] [ 2 ] ;
.
onrl
av ¿ n
d.
¡\f,/
for i::1
to contador do
for m::1 to nument do
begin
x::ul_timaIi,m] [1];
y::ultimaIi_,m] [2];
for j::1
to contador do
rf (estfinal Ij I [1]:x) and (estfinaf
then
u l _ t i m a 2[ i , m ] : : j ;
r'l .
an
( * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *x *x*x*x** ** ******x * * ** *x *x****** * * * * *
begin
¡1
r<ar
ltl t2l:y)
* ****
*
)
-
write('Número de estados def autómata de Mealy.......:
readfn (numest) ;
write ('Número de entradas del autómata
.. ..:
readfn (nument) ;
write(rNúmero de salidas del autómata
:
readfn(numsal),writeln;
entradas salidas;
writel-n;
writel-n ('Función de transición
de estados , ) ;
funcion f;
writelnJ
' ;
writefn ( 'Función de safida
)
funcion_g;
fus ionar;
estadosflnales;
ul-timo;
writefn;
writel-n ( 'Tabla del_ autómata de Moore equivalente'
);
writefn(r::=::::
:::::'
);
,
write ('
Entradas -->
);
for m::l- to nument do
')
write (entrada [m], '
;
writefn;
writel_n (' Estados/salidas' ) ;
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');
')
;
')i
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Autómatas y lenguajes
begin
'/'
write ( '
, estfinal
e' , ñ,
for m::1 to nument do
write ('q',ultima2 [n,m], "
write-l_n;
[n] l2l , ,
');
);
ond.
readln
end.
Ejemplo de ejecución del programa moore.
Seala máquina de Mealy dadamediante el diagramade la figtxa2.3.
Obtener la máquina de Moore equivalente.
ftgura2.3
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Autómatasy lenguajes
Número de estados
del- autómata
Número de entradas
Número de
salidas
fntroduzca
los
Entrada
número
Entrada
número
Introduzca
los
número
1 -n
Salida
número
2
Función
1
f(q1,b)
2
f (q2, a)
3
f (q2,b)
2
f(q3,a)
3
f(q3,b)
1
Función
l^
^^
g(ql,a)
0
g(ql,b)
t_
g (q2, a)
0
I
i
3
2
2
de las
entradas
de las
salidas
a
ficadores
.1
de transición
f(q1,a)
I r¡
del- autómata
identi
Salida
Ma:
del- autómata
identificadores
t.
do
de estados
^r^
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Autómatasy lenguajes
q (q2,b)
0
g(q3,a)
1
g(q3,b)
0
Tabla
autómata
del
:::::::::::::-
de Moore eguivalente
--
Entradas
Estados/salidas
qL/ 0
ct1
q2/0
^11
q3/I
ñL
rs)
q4/0
a(
r.l-1
q5/1
c6
¡1
rr?
Y-
El diagrama coffespondientepuede verse en lafigura 2.4.
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Autómatasy lenguajes
1
figura2.4
2.4.OTRA DEFINICIÓN DE AUTÓVIATN.
2.4.I. DEFINICIÓN
Al ser los autómatas unos dispositivos que producen cadenas de
símbolos a la salida en respuestaa cadenasde símbolos presentadasa la erúrada,
podemos definir un autómatacomo una función
F* : E* -+,S*
que hace corresponder a cada cadena de entrada x e E* una cadena de salida
F*(x) :./ €,S*.
Pero el autómatatambién quedaperfectamentedefinido restringiendo el rango
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Autómatasy lenguajes
de la frmción de S* a S, es decir, podemos definir un autómatacomo una fi.mción
F*:E* -+S
que hace correspondera cadacadenade entrada x e E*, el último símbolo obtenido
como salida,F(x): s 6ü yaque six:
e0e1.......en_7
tendremoscomo símbolosde
salida
F(efl en el instante I
F(egel en el instante 2
por consiguiente
F(e9e1......e,x-l en el instanten
F*(x) : F*( ege1.......
en_
F(e0e1.......
en_
il : F(eg)F(ege1.......
I)
lo quedemuestraqueF* quedadeterminada
conociendoF.
2.4.2.COMPORTAMIENTO ENTRADA.SALIDA DEL AUTÓVT¡.T¿.
En un autómataA : ( E, s, Q,f g) se defineel comportamiento
de entradasalidadeAinicializadoen el estadoqporlafunción
Cq: E* -+S
queaplicaacadaerÍradaxe E* unasalidas = g(x,q).
Es decir, si en el instantetg el autómatase encuentraen el estado4 e
introducimos
la cadenax : e\e2.......ense
obtendrán
lassalidas
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Autómatas y lenguajes
cn@ilent:t0
Cr(ercZ)ent:t7+I
Cq(eFZel ent : tgi2
CnG1e2.....e) en t : Íg-rn-I
Vemos así que para todo autómata pueden definirse tantas funciones como
estadostiene el autómata.
La definición del comportamiento entrada-salida nos permite dar las
siguientesdefiniciones:
l) Estados equivalentes.'Dadosdos autómatascon los mismos alfabetos de entradav
salida
Al:
(8, S, QI,fl, gl)
y
A2:
(E, S, e2,-fZ,gZ)
qI €QI esequivalenteq
a2 ee2 siCqI:Cq2.
Esta misma definición sirve para estados equivalentes dentro del mismo
autómata:bastaconsiderarQ1 : Q2 , fl : fZ y gI : g2 .
2) Forma mínima de un autómata: un autómataestáen forma mínima si
(Cqt : Cqz)-+ hl : qz)
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Págína 34
Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Autómatasy lenguajes
es decir, si no existen estadosequivalentes.
Para comprobar que un autómata está en forma mínima hay que ver si el
comportamiento es distinto encada estado.Esto no es facil, puesto quehabría que ir
ensayandocon diferentes cadenasde entrada hasta que se observe una diferencia de
comportamiento entre dos estadospara la misma cadena.pero como E* es infinito, si
no encontramostal diferencia despuésde un número finito de cadenasno podemos
gararÍizat que el autómata finito esté en forma mínima. En el texto referenciado
anteriormente, Fundamentos de Informática de Gregorio Fernández se ofrece una
demostración y un algoritmo que nos permitirá ver si un autómata está en forma
mínima.
2.5.CONCEPTOSALGEBRAICOS.
2,5.I.INTRODUCCIÓN.
A continuaciónvamosa recordaralgunosconceptosde álgebraque se
vtllízanen el procesode minimizacióndeun autómatafinito.
2.5.2.MONOIDE DE TRANSFORMACIONESDE UN CONJUNTO.
Una transformación / en un coniuntoC se definecomouna función de C en
s í m i s m o :t : C - + C .
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Autómatasy lenguajes
Teorema:Seacrmconjuntocualquiera
ysea cc:
/ t' c -+c/
el conjunto
de todaslastransformaciones
de c en C. Entonces(CC, e, donde"o" representala
composiciónde ftrnciones,es un monoide,llamadomonoidede transformacionesde
C.
2.5.3.HOMOMORFISMO ENTRE MONOIDES.
Si l,S¡, *)y (52, r/sondos semigrupos,
unafunción/.S/ -+,S2sediceque
esun homomorfismoentreambossemigrupossi
(Va,be S1)
[f(a*b)c:f(a) .f(b)]
si/es biyectivael homomorfismo
recibeel nombrede isomorfismo.
Si 57 es un monoidecon elementoneutroel, 52 un monoidecon elemento
neutroe2, fvnhomomorfismo (isomorfismo)entre s7 y szy secumplequef(efl
: e2 entonces;fes
un homomorJismo(isomoffismo)monoide.
2.5.4.MONOIDE LIBRE Y HOMOMORFISMO.
Sea Z un alfabeto, -E* es el conjunto de todas las cadenas,incluida )", que
puedenformarse apartir de E.
La concatenaciónde dos cadenasx, y € E* es una ley de composición interna
sobreE* , es decir, una aplicación Ex x E* -+ Ex que consisteen formar la cadenaxy
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Autómatasy lenguajes
poniendo x delante de y.
La concatenaciónsatisfacelas siguientespropiedades:
a) Es asociativa: x(yz) : (xy)z : xyz
b) No es conmutativa, en general:xy lW
c) Tiene elementoneutro,X: )x : x.I: x.
d) Ninguna cadenatiene inverso, salvo 1,.
Por consiguiente( E*, /, es decir, E* eon la operaciónde concatenaciónes
una estructuraalgebraica de tipo monoide, a la que se llama monoide libre generado
por E.
Sea, ahora, í: E -) E* la función que aplica todo elemento de E en ra
correspondiente cadena de longitud unidad, es decir, Va e E, i(a) : a y sea
f
cualquier función de E en el conjunto de cualquier monoide ( M, *). Entonces existe
un único homomorfismo monoide
g (E*, )-+(M,*)
tal que g o i : f , es decir, tal que el diagrama
i
E --------------+ E*
\/
/\
/r
M
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Autómatasy lenguajes
esconmutativo.
Esteteorema nos permite extenderel dominiode cualquierfunciónE -+ M
del alfabeto E en el conjuntode un monoide(fu|,*)a un homomorfismomonoide
(E*, )-+ M,r,
y nosserádeutilidadmásadelante.
2.5.5.RELACIONES DE CONGRUENCIAY MONOIDE COCIENTE.
Dado un monoideM,*) y una relaciónde equivalencia,
R, en M, R esuna
relaciónde congruencia
en M,*) si a R b implicaque
(a*c)R ft*c) y
(c*a)R (c*b)
paratodoc eM.
Si R es una relación de congruenciaen el monoide M,*) el conjunto cociente
Irl/R : {[aJ / a € M ] con la operación
[a]' [b] : fa*bJ
es un monoide.Estemonoide se llama monoide cocientede Mpor R.
2.6.COMPORTAMIENTO DE ENTRADA.ESTADOS.
Seaun autómatafinito A :(8, S, e, f g) .
Sabemosque dadosun símbolode entraday un estadopodemosobtenerel
estadosiguientemediantela función
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Autómatasy lenguajes
.f.ExQ-+Q
Dado solamenteun símbolo de entrada, e € E, podemos definir una función
que aplique a cada estado el siguiente bajo esa entrada determinada, es decir, una
función de Q en Q, k(e); Q -+ Q. Existirá entoncesuna función
k:E-->QQ
siendoQQ el conjuntode las funcionesde Q eÍ e, eue sabemosque con la
composiciónde funcioneses un monoide.La función ft se determinaapartir de/del
siguientemodo : paracadae € E y cadaq e e, [k(e)Jh) : -f(e,q).
Ahora bien,con las demostraciones
anteriores,la funciónk puedeextenderse
a
un homomorfismoentremonoides
K ' (E*, ) -+ QQ,o)
con K(ep2-....e) : k(elo k(e)o.......o k(nr). Llamaremosa K comportamientode
entrada-estadosdel autómata.
T
-_|
c.
Llr
*\
/.
ao
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2.7. RELACION EQUIRRESPUESTA Y MONOIDE DE UN
AUTOMATA
Seaun autímataA con comportamientode entrada-estadosK.
La relación equirrespuesta de A, =, es una relación binaria de E* tal que
(Vx,y € E*) [(x=y) <+(K(x): K(yDJ
Esta relación binaria, =, es una relación de equivalencia,ya que cumple:
r) (Vx € E*) [K(x) : K(*)]
2) (Vx,y € E*) t6@ : K(y)) -> (K(y) : K(x))J
3) (Vx,y,z € En) t(K(x) : K(y)) ,t (K(y) : K(z))->(K(x) : K(z))
Además es una relación de congruenciaen el monoide (E*, ). En efecto, si x -=
y, K(x): K(y),y K(xz): K(x) o K(z): K(y) o K(z): K(yz).Análogamente,K(zx):
K(zy). Por tanto, según hemos visto anteriormente, (Ey=
) , es decir, el conjunto
cocienteE*/= con la operación de concatenaciónes un monoide.
Dado un autómatacon un comportamientoentrada-estados,
K, que origina una
relación equirrespuesta-:en E* , eI monoide cociente (EYZ ) se llama monoide del
uutómata.
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Autómatasy lenguajes
Si el número de estados es n, el monoide del autómata tendrá, como máximo nn
elementos.
En efecto, el número de transformaciones en el conjunto e, es decir, de
funciones diferentes Q -+ Q es nn. El homomorfismo K aplica entoncesun conjunto
infinito E* , en un conjunto QQ, que tiene nn elementos. Si esta aplicación es
sobreyectivalarelación equirrespuestatendrá indice nn , es decir, inducirá nn elases
de equivalencia en E* (Si la aplicación no es sobreyectiva, el número de clases de
equivalenciaserámenor). Por consiguiente,el número máximo de elementosde E*/=
es nn.
El monoide de un autómata refleja la capacidad de éste para responder de
distinto modo a las cadenasde entrada.
Si dos cadenasx e y estánen la misma clase,es decir, si x =y entoncesK(x) =
K(y), es decir,el homomorfismoK las aplicasobreel mismoelementode eQ o ro
que es lo mismo, ambasproducenla misma transformacióne + e, y el autómata
seráincapazde distinguirunade la otra.
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Autómatasy lenguajes
2.8.MINIMIZACTÓN DE UN AUTÓMATA FINITO.
2.8.1. PLANTEAMIENTO
DEL PROBLEMA.
Si disponemos de dos autómatas equivalentes que describen un sistema
secuencial que debe realizarse físicamente escogeremosque el posea un menor
número de estados,ya que el coste delarealización crecerácon el número de estos.
Es, pues, importante sabersi un autómatafinito estáen forma minima, y, si no lo está,
hallar un autómata finito en forma mínima equivalente a é1.Comenzaremospor ver
que este existe siempre; a continuación veremos que para detectar equivalencia entre
estadosno es preciso realizar infinitos ensayoscon cadenasde entrada,y, finalmente,
veremosun algoritmo para minimizar un autómatafinito.
Ante todo, debemos señalarque la equivalencia entre estadosde un autómata
finito definida por
(Vxe E*) [(ql : q) e (Cqt6) : CqZ(x))J
es una relación de equivalencia en el conjunto Q, pues, como es inmediato
comprobar, es reflexiva, simétrica y transitiva. Por consiguiente, puede definirse un
conjunto cociente, Q/1 cuyos elementos serán clases de equivalencia : [qJ será la
clase de equivalencia que contiene a q.
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2.8.2.AUTÓMATA EN FORMA NNÍNriU¿.
Se demuestraque dado un autómatafinito A :(E, S, e, f h) , el autómata
definidoporA¡4:@, S, QU,fU, h¡¡) , donde
QM: U=
fu6,[qI: [f(x,q)J
hv(tql): h(q)
esequivalenteaA y estáen formamínima.
2.8.3. COMPROBACTÓN DE
LA
EQUTVALENCTA ENTRE
ESTADOS.
Teoremade las particionessucesivas:Si p¿ pI, p2,........es una secuencia
infinita de particionesen un conjuntofinito e tal que,paratodo k, secumple:
a) Pk+I es un refinamientode P¡, es decir, todo bloque de p¡¡1, Bi¡¡1 está
contenidoen un bloque,Bt¡, dePp : Bi¡¡ 1 c N n.
b) (Plr+t : Pl¿ -+ €k+Z: Pk+il,
entoncesexisteun enterokg < card(Q)tal que (Vk > kd @1,: plcd.
Equivalenciade orden k entre estados:Dos estadosde un autómata
finito son equivalentesde orden k si y sólo si conducena la misma salida para
cadenasde entradade longitudigual o inferior a fr:
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(q, =oeJ e [(lg(x)< k) -+ Co,(x):Co2(x)l
Paracomprobarla equivalenciade ordenk ya no hay que hacerun número
infinito de comprobaciones.
Teorema: Dado un autómatafinito y ql, q2 e Q existeurrk0 < card (e) tal
queql y q2 sonequivalentes
(ql =q) si y sólo si qI y q2 sonequivalentes
de orden
ko@l=koq).
La teorema es importante ya que, sin necesidad de conocer kg , como kg <
n pata comprobar si dos estados son equivalentes bastará con comprobar si son
equivalentesde orden n-1.
2.8.4. ALGORITMO
PARA LA MINIMIZACIÓN
DE UN AUTÓMATA
FINITO.
El algoritmo de minimización de un autómatafinito se basa en los resultados
anteriores:
Paraello sepuedeprocederdel siguientemodo:
1) Si {qI, q2, ........,qn} son los estadosde un determinadoautómata,
formamoscon ellos una particiónPg consistente
en colocaren un mismo bloque
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aquellosestadosquetenganasociadala mismasalida.
2) A continuación
formamoslas particiones
Pk+I (k:0,1,....) teniendoen
cuentaque dos estadosestaránen el mismo bloquesi para cadaentradalos estados
siguientesestánen el mismobloque queP¡.
3) El procesoterminacuandoPk+l : pk .Sí p¡¡¡1 : {eI, e2, ....,em} los
estados
delautómata
enformamínimasonq1= Ql, q2: Q2,......,
Qm: em.
2.9.RECONOCEDORFINITO.
un lenguaje,z, sobre un alfabeto, A, esun subconjuntocualquierade
¿* =ÜA'
j=0
dondeA0 : {1} y Aí es el conjunto de cadenasde longitud i. A continuación vamos a
ver que ciertos lenguajes pueden asociarsecon autómatas finitos que sirven como
reconocedoresde las cadenaspertenecientesa tales lenguajes.
an reconocedor finito de un lenguaje L es un autómutu Jinito que sólo
acepta las cadenas de dicho lengaaje, en el sentido de que, inicializado en un estado
predeterminado,ql , si se le introduce una cadenade entradax1e L, da un símbolo
final de salida que coresponde a "aceptación", mientras que para xl É L produce una
salida de no aceptación.
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De acuerdocon esto, daremosla siguiente definición formal :
Un reconocedorfinito es una quíntupla:
R:(E,Q,fqI,F)
donde:
E: conjunto finito (alfabeto de entrada).
p:
conjunto finito (conjunto de estados).
.f :es unafunción"f: E xQ +Q
(funcióndetransición).
q I e Q es un estadodesignadocomo estadoinicial.
F - Q es un conjunto de estadosdesignadoscomo estadosfinales.
Llamaremos L(R) al conjunto de cadenasaceptadaspor R, es decir,
L(R) : {x e E* lf(x,qfi
e F}
(con el dominio def ampliado a E*).
Seguiremosel convenio de representaren los diagramasde Moore los estados
de aceptaciónpor un círculo con un grosor de línea superior a los demás, y en las
tablas de transición encerradosen un círculo.
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Autómatasy lenguajes
2.I0. LENGUAJES ACEPTADOS POR RECONOCEDORES
FINITOS.
Podemos preguntarnossi, dado un lenguaje cualquiera , L c:E*, podemos
siempre encontrarun reconocedorfinito, R, tal que L(R) : L.
consideremos
E:
{0, 1}, y seaL:
{1"' / n > l}.
No existe ningún recono-
cedor finito que acepte este lenguaje. Basta este ejemplo para demostrar que existen
lenguajesa los que no correspondeningún reconocedorfinito.
Por tanto, vemos que /os lenguajes aceptadospor un reconocedor son un
sabconjanto de todos los lenguajes posibles sobre 8..
En el apartado 2.6. definiamos de manera general el comportamiento de
entrada-estadosde un autómatafinito como un homomorfismo
K: (E*, ) -+ (QQ, o2
tal que a cadax e E* correspondeuna transformaciónentre estados,K(x):
e -+ e
y esto nos permitió definir una relación equirrespuestaen E* tal que ,c= y si y sólo si
K(x) : K(y), es decir, las cadenasx e y estaránrelacionadassi y sólo si producen la
misma transformación entre estados:
(Vq¡eA) Kx =y) <+f(x,q):f(y,q)
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Autómatasy lenguajes
Veíamos que esta relación es una relación de congruencia en ( E*, ) y
particiona E* en un número finito de clasesde equivalencia ( es decir, es de
índice finito, menor o igual a z', siendo n elnúmero de estados).
En el caso del reconocedorfinito, el estadoinicial, ql es fijo, y el
comportamiento
de entrada-estados
serámásbien unafunciónK¡: E*-+ Q queaplica
a cadax e E* wt q € Q de tal maneraque Kp(x) :f(x,q l)
Podemosigualmentedefinir unarelaciónequinespuesta,
=p enE*:
(Vx,ye E*) [(xzpy) e(f(x,ql :f(y, qil)J
que es de equivalencia,como fácilmente se puede deducir. Además
(x = y) -+ (x=n D , pero no a la inversa, por lo que la partición de E* inducida por =l?
tendrá un número igual o inferior de clasesde equivalenciaque en la inducidapor =.
Si bien -.r es una relaciónde congruenciaen <E*, >, -a sólo es una relación
de congruenciaderecha.Esto quiere decir que (x zR y) -+ (xz zR yz) , pero en
general,no escierto que(zx=R 29.
Así pues, a cadareconocedorfinito correspondeuna partición de E* en clases
de equivalencia tal que si dos cadenas están en la misma clase ambas cadenas
conducen al mismo estado.Además, esta relación de equivalencia es de índice finito
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Autómatas y lenguajes
menor o igual &flfr , siendon el número de estadosdel reconocedor.
Veamos como pueden aplicarse estas conclusiones para caractenzar a los
lenguajes aceptadospor reconocedoresfinitos.
Dado un lenguaje L c E*, definimos la relación de congruencia derecha
inducida pot L, =L , asi.
(Vx,y,ze E9 [6 =L,
e (xze L <+yz e L)J
Es evidente que se trata de una relación de equivalencia.Para ver que también
es una congruenciaderechabasta suponerque z :zIz2, con lo que
(Vx,y,z1,z2€E*) [(x =f y) e (xz1z2eL <+yz1z2 € L) -+ (xz1zLyz])J
La principal conclusión de esteapartadoes que:
L c E* es an lenguaje aceptado por un reconocedorfinito si y sólo si la
relación de congruencia derecha inducida por L tiene índiceJínito.
supongamos ahora que L es un lenguaje que induce una relación de
congruenciaderechaen E* que es de índice finito. Vamos a construir un reconocedor
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Autómatasy lenguajes
finito, R¡, tal queL(Rl : L. Llarnemos[xJ a la clasede equivalenciade E*l=1 que
contieneax e E*. Entonces
definimos
RL: (E, QL,fL,qI,FL)
donde
QL = E*l=¡ ={[xJ]
(Vy e E9 (ftfu,[x) : [xy/
q|: pJ
F¡:{[xJ/x
eL]
El lenguajeaceptado
por estereconocedorserá:
L(RD: {y . E* /"ftfu,qil e FL} : {y/"ftfu,ttl) e FL} :
:{y/[yJ eü]:{y/y.L}:L
Además,R¿ estáen formamínima.En efecto,si qLI : [xil fueraequivalente
a qL2 : [x2J, estoquerríadecirque
(Vy e E9 ((ftfu,[xú e L)<+(tfu,[xfl e L))
y por la definición de"ft,
(Vy e E9 ([rty]
e L) <+ ([x2yJ e L))
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Autómatasy lenguajes
es decir, xI -=Lx2; xI y x2 se encuentranen la misma clase de equivalencia, por lo
qve qlLI : qL2.
2.II. CONJUNTOS REGULARES.EXPRESIONES REGULARE S.
Acabamos de ver una condición necesariay suficiente para que un lenguaje
seaaceptadopor un reconocedorfinito.
En este apartadovamos a exponer una herramierrta,las expresionesregalares,
especialmente creada para trabajar con los lenguajes aceptadospor reconocedores
finitos, y que nos permitirá construir algoritmos que resuelvan los problemas de
análisisy síntesisde reconocedores.
2.II.I. CONJUNTOS REGULARES
Sea {L1, L2, ......} el conjunto formado por los posibles subconjuntosde E*
(lenguajessobre$. Definamostres operacionesen dicho conjunto:
a ) U n i ó n :L 1 t t L 2 : { x / x e L 1
vxeLZ}
b) Concatenación:LflZ : {xlx2 / x1 e L1 zt x2 e LZ }
:
c) Ciene:
L* : {).} u {L}u {LL}t,{LLL}.......
J t"
n=0
Diremosque un subconjuntodeE*, L^, esun conjuntoregular si y sólo si:
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Autómatasy lenguajes
fl) L* es un subconjuntofinito deE* (puedeser el conjunto vucío)o bien,
b) L^ puede obtenersea partir de subconjuntosfinitos de E* medianteun
númerofinito de operacionesde anión, concatenacióny cieme.
2.IT.2.EXPRESIONESREGULAR.ES.
Las expresiones
regularesseintroducenparadescribirlos conjuntosregulares.
Paradesignarel conjuntodescritopor la expresiónregularu utilizaremosla notación
[cr].
Dadoun alfabetoE: {eI, €),.....,en}, vamosa definir,en er conjuntode las
expresionesregularessobredicho alfabeto,las operacionessuma, concatenación
y
cierrede formarecursiva:
a) 2 (cadenavacíay elementoneutrodentrode la concatenación
de cadenas),
0 (conjuntovacío y elemento neutro para la unión de conjuntos) y
ei (i :
1,2,....,n)son expresiones
regularestales que l2l : {A}; lól : ó y I eA : {e¡} (i :
1 , 2 , . . . .,n );
b) Si a y B sonexpresiones
regulares,d+B es una expresiónregulartal que
la+Fl: la|\Fl;
c) Si a y B son expresiones
regulares,aB es una expresiónregulartal que
la0l: lall1l;
d) si a es una expresiónregular,a* esuna expresiónregulartal que la*l :
lal*.
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Autómatasy lenguajes
Dos expresionesregulares son iguales si designanal mismo conjunto regular:
(a: 0 -+ lal : lQl.
Teniendoesto presente,es flícil demostrarlas siguientespropiedadesde las
expresiones
regulares:
l. La concatenación
esasociativa:a(By) = (afl)f
2. La sumaesdistributiva:aB + ay:q(F + y).
3. Q esel elementoneutroparala suma: a+ó: Q+a:
a.
4. / esel elementoceroparala concatenación:
aó: ó d: ó.
5. 2 esel elementoneutroparalaconcatenación:
a),: ),d: a.
6. Propiedades
de la operacióncierre:
a) (a+F)x: (ax*B\*:
(q*p*)*.
b) (a+1)* :cr*+ ).:d*
c) aa* + .L:a*
d) 2* = Ó*:2
Se demuestra(Fundamentos
de Informática.Gregorio Fernández)que todos
los lenguajesaceptados
por reconocedores
finitos sonconjuntosregularesy que todo
conjuntoregulares un lenguajeaceptado
por un reconocedorfinito, lo que nos va a
permitirresolverlos problemasde análisisy síntesis,respectivamente.
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
y lenguajes
Autómatas
2.I2. RESOLUCION DE
PROBLEMAS DE
ANÁLISIS
Y
SÍxrrsrs DERECoNoCEDoSFINIToS.
2.I2.I. ALGORITMO DE ANALISIS.
Supongamos
queun reconocedor
finito tienen estados,Q:
{q1,.....,qr},con
estadoinicial ql y coírestadosfinalesF : {qfl, qÍ2, .......,qfr} (n 2 r > 0). El
lenguajeaceptadoes:
L(R) : {x /f(x,ql
e F} : u {RIj / q¡e F}
con Rz7: {x / f(x,q) : O¡} (conjunto de cadenasque nos llevan del estadoq¡ al estado
Qj ).Bastará con demostrarque los R;¡ son conjuntosregulares.
Vamos a definir Rk¡ (0-<k< n) como el conjunto de cadenasque llevan del
estadoq¡ aI estadoQ¡ sin pasarpor ningún q¡ tal que t > k . En particular, R0¡¡ serán
las cadenasque llevan del estadoq¡ al estadoQj sinpasat por ningún otro estado,por
lo que serán símbolos, es decir, es un subconjuntode E c-t{2} y, por tarúo,es regular
ya que es finito. Supongamos que nk-I ¡j es regular para todo i, j y k > I y
demostremosque Rk¡¡ esregular.En efecto, bastacon comprobar que
Rkij : nk-I¡j upk-L¡¡(Rk-lnilx pk-I¡¡
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Autómatasy lenguajes
Entonces,Rk¡¡esregularparatodo k, y engeneral,Rrl: Rrrl .
De la demostraciónanterior se desprendeun procedimientopara obtenerla
expresiónregulardel lenguajeaceptadopor un determinado
reconocedor.
En efecto,llamemos¿iij u la expresiónregularque designaal conjunto Rk¡¡:
lok¡jl: Rk¡¡; efionces,si q1 es elestadoinicial,la expresión
regulardeL(R) será:
)dr,,
|
i- dvz *.......* dt.f, sl
r > 0
si r=0
Ó
Los a¡¡ secalcularánrecursivamente,
teniendoen cuentaque
l&¡¡ | :{e e E v Q.}/f(x,q) : qj }
&ü = ok-L¡j+ ok-I¡n(&-I kD* ok-In¡ e < k _<n)
dij:
útj
2.12,2.ALGORITMO DE SINTESIS
Aunque hay diversasdemostraciones
de esteteorema,como las de Rabin y
Scott(1959),o la de Ott y Feinstein(1961).Sin embargo,preferimosbasarnos
en los
trabajosde Brozozowski(1962,1965)que introduceun algoritmo de f,ícil manejo
empleandoel conceptode derivudade una expresiónregular.
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Autómatasy lenguajes
Sea a la expresiónregular que designaal conjunto regular LR, lal : LR y
consideremos el subconjunto de Z¡ formado por todas las cadena de Z¡
que
empiezanpor un determinado símbolo e. Definimos el cociente izquierdo de Z¡ por
e, Lp\e, como el conjunto resultantede suprimir e en todas estascadena:
Lp\e:{x/xe eLn)
y definimos la derivada de a respecto del símbolo e , Ds(a) como la expresión
regular de Lp\e.
Las siguientespropiedadesde las expresionesregularesse deducenfácilmente
a partir de la definición:
(| ¡l t
si
€t=€z
I) Dslk2¡: ]",
la su el+e2
2) De(2) : De(ó) : ó
3) Du@ + F) : De@) + De(f)
'1 lelal
q Ds@B):[De@)FJ+
s(a)Ds(p) a(e={Ó^
\
'/
"on
l), si ),elal
s) De@*): [Ds(a)Ja*
: Ds[D¡(a)J
6) D2¡s@)
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Autómatasy lenguajes
Para construir un reconocedor finito en forma mínima del lenguaje
denotado por la expresión regular a, a partir de las derivadas se puede seguir el
siguiente procedimiento :
1) Calcular{D,(a)/x eE*}
2) El estadoinicial es{r : a; los otrossonlas diferentesD,(a)
3) La función de transici6n esf(e,a) = D"(a); f(e, D.(a)) = D*(q)
4) El conjuntode estadosfinaleses F= { D.(a) / 2 e I D.(a)l}
2.I3.DEFINICTÓXDE GRAVrÁrrCA.
Una gramáticaesunacuádrupla
G: (ET,E¿, P, S)
donde
E7 es un conjuntofinito llamadoalfabetoprincipil o uAabetode símbolos
terminales.
Etr esun conjuntofinito de símbolos,llamadoaAabetoauxiliar o alfabetode
variables.
S es rur símbolo destacadodel alfabeto auxiliar llamado símbolo inicial .
P es un conjunto finito de paresordenados(a, F), donde F e (Ef tt E,D* y
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Autómatasy lenguajes
d € (ET u EA)* , donde (Ef u E¿)* es el conjunto de todas las cadenas
(incluida la cadenavacía,l") que puedenformarse apartir de E7 u EA y @7 ct E/+
(E7 t-,,E)*- {X}.
Estos pares ordenados reciben el nombre de reglas de escritura o
producciones, y generalmente se escriben con la notación a
-+ p . a es el
antecedentede la regla y p el consecuente.Si B e E*7 se dice que la regla es una
regla terminal.
Sia-+F.Py
f 6 €E*, (E:ETUE,il
l a s c a d e n aTsa 6 y y B | e s t á n e n
relación de derivación directa y escribiremos
ya6
7rF6
y diremos que la cadena yp6 deriva directamente de Ia cadenaya6.
Si a1, dm € E*, se dice que están en relación de derivación enlagrarnéúica
G si existena2, d3,.........,
dm_I,talesque
at7qz?a37
Lo denotaremospor aI ; apy
U
?am-t7dm
diremosque apderivade a1.
*
Observemo,que
?
y
I
no sonrelacionesde equivalencia,puesen general
no secumplela propiedadsimétrica.
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Autómatasy lenguajes
2.I4. LENGUAJE GENERADO POR UNA GRAMÁTICA.
El conjuntode sentencias
que puedengenerarse
de una gramáticaG se llama
Ienguajegeneradopor ana gramótíca,esdecir,
L(G):{x/xeE*TyS=*¡
Dos gramáticasque generanel mismo lenguajeJ. orr. que son equivalentes,
esdecir Gt y GZ sonequivalentes
si L(Gl : L(GZ)
2.I5. CLASIFICACIÓN DE LAS GRAMÁTICAS Y DE LOS
LENGUAJES.
Las gramáticas pueden clasificarse dependiendoque la forma que tienen las
reglas de producciones.Partiremos de una gramáticadonde las reglas de escritura no
poseen restricción alguna e introduciendo restricciones adicionales a las reglas
obtendremos sucesivamente gramáticas cada vez más restringidas. Pasemos a
comentar la clasificación debida a Chomsky y aceptadauniversalmente.
2.I5.I. GRAMÁTICAS DE TIPO O Ó NO RESTRINGIDAS.
La gramática definida de una forma general en el apartado 2.13. se llama
gramótica de tipo 0 ó no restringida.
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Autómatasy lenguajes
Recordemosque las reglasde escriturao produccionesson de la formaa
-+ p, con a e E+ y e E*, es decir, Ia irica restricciónes que no puedenhaber
F
reglasde la forma I -+ F.
2.15.2.GRAMATICAS DE TIPO 1 Ó SENSIBLESAL CONTEXTO.
Estetipo de gramáticaslo formanaquellascuyasreglasde escríturason de la
forma
a1Aa2 -+ a1pa2
conA e Etr; dl,a2 € E* ; F .E+.
Es decir,4 puedereemplazarse
por B siempreque estéen el contextode a1 y
d2.
Una propiedad importante de las gramiíticasde tipo 1 es que las cadenas que
se van obteniendo en cualquier derivación son de longitad no decreciente, yaque al
serp * 2 se tiene que lg(A) : I <lS(0,y
lg(afua)
<lg(elpd2).
2.15.3 GRAMÁTICAS DE TIPO Z Ó r,rNNNS DE CONTEXTO.
Las gramáticas de tipo 2 son un caso particular de las gramaticas de tipo 1,
con aI :d2 :2, es decir, las reglasson del tipo
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Autómatasy lenguajes
A->F
conA€EAy f .E+.
Estas gramáticas también se llaman Gramúticas de Chomsky y juegan un
papel muy importante tanto en la lingüística como en 7a teoría de lenguajes de
programación.
2.15.4.GRAMÁTICAS DE TIPO ¡ Ó NNCULARES.
Las gramáticasde tipo 3, también llamadas Grumdticas de Kleene son un caso
particular de las gramáticasde tipo 2, conreglas de la forma
A-->aB ó A-+a
conA,BeEly
aeE7.
Veremos más adelante que los lenguajes generados por las gramrÍticas de
tipo 3 son exactamente los lenguajes regulares.
2.1s.s.JERARQUÍAnn Los LENGUAJES.
Según hemos definido las gramáticas,es evidente que toda gramátícaregular
es libre de contexto, toda gramártícalibre de contexto es sensible al contexto. y toda
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Autómatasy lenguajes
gtarnática sensible al contexto es de tipo 0. Por consiguiente, si llamamos L(Gj),
L(G), L(GD y L(GO) a los lenguajesgeneradospor estasgramáticastendremosque
{ r(G)}
c { L(G)} c { L(GI} c { L(Gd} c P(E*)
2.15.6.LENGUAJES CON LA CADENA VACÍA.
Tal y como hemos definido las gramáticas,la cadenavacia,z, no puede
figurar en ningún lenguajede tipo 1,2 ó 3.Paraque la cadenavaciaestécontenidaen
dichos lenguajesbastaríacon agregarla regla
S -+)"
a las reglas de la gramática que describenal lenguaje.Ahora bien, si hemos impuesto
la condición de que F * l para conseguir la propiedad del no decrecimiento, será
precisoque el símbolo inicial Sno aparezcaen el consecuentede ningunarcgla.
Este problema queda solucionado introduciendo en el lenguaje auxiliar de la
gramaticaun nuevo símbolo S,, que se convertirá en el símbolo inicial y una regla de
la forma 51 -+ dpor cadaregla S -+ a que exista en la gramática.
Es decir, si tenemosla gramatícaG : (ET, EA, p, S) for-rnarnosla gramática
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Autómatasy lenguajes
G I: (ET,EtrrtS1,PI, SI)
dondePI:P
ct{Sl -+a/(S -+a) eP} c,,(51+l).
Es fácil comprobarqueL(G) L/ {2} : L(GD .
2.16.LENGUAJES REGULARES Y AUTÓMATAS FINITOS.
En la primera parte del capítulo hemos estudiadolos reconocedoresfinitos y
se ha visto que los lenguajesque puedenreconocerson los lenguajesregulares.Aquí
valnos a ver que esa clase de lenguajes coincide precisamentecon los lenguajes que
pueden ser generadospor las gramáticasde tipo 3. Paraello necesitamosintroducir un
conceptonuevo: eI autómataJinito no determinisl¿. Su necesidadse verá claramente
cuando se establezcanlas relacionesentre gramáticasde tipo 3 y los autómatas.
2.16.I.AUTOMATA FINITO NO DETERMINISTA.
Un autómatafinito no deterministaesunaquíntupla
AFND: (8, S, Q,f g)
dondetodo coincidecon el autómatafinito exceptoque el rango de la función de
transiciónno esQ sinoel conjuntode laspartesde e, p(e):
f,ExQ-+P(Q)
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Autómatasy lenguajes
Es decir,f(e,q): {qo Qb,......,qm} ce.(Obsérveseque puedeser f(e,q) :
ó)
El reconocedor finito no determinista se define siguiendo la misma línea que
en el caso determinista
RFND: (8, Q,f qI, F)
El dominiode la funcióndetransiciónpuedeextenderse
a E* x ehaciendo
f(1, q) : {q}; f(*I*2, d:
Lr f (*r,qo)
qken
-f (xt,q)
Tambiénpuedeextenderse
el dominioa E* x p(e) haciendo
f(x,ó):ó
: 3 f(*,q,)
f(x,{qaqb,.....,qnxD
2.16.2.LENGUAJE ACEPTADO POR UN RECONOCEDOR FINITO
NO DETERMINISTA.
Sedefineel lenguajeaceptadopor un reconocedor
finito no deterministacomo
el conjunto de cadenaspara las cuáles la función de transición conduce a un
subconjuntode Q dentrodel cuálseencuentra,
al menos,un estadofinal:
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Autómatasy lenguajes
L(RFND) : {x e E* /[f(x,q1): {qa, Qb,...., qm}J ¡ fiq¡ (i : a,b,...,m)€ FJ]
A continuación pasemos a ver que la clase de los lenguajes aceptadospor
reconocedores finitos no deterministas coincide con la de los aceptados por los
reconocedores
finitos deterministas.Paraello seránecesariocomentardos cosas:
a) gue, dado un reconocedorfinito determinista, RFD, siempre existe un
reconocedorfinito no determinista,RFND, tal que L(RFND) : L(RFD), y por
tanto,{L(RFD) c L(RFND)}.
b) que, dado un reconocedor finito no determinista, RFND, siempre existe un
reconocedor finito determinista, RFD, tal que L(RFD) : L(RFND), y por tanto,
{L(RFND) cL(RFD) f con lo que se demostraráque {L(RFND)} : {L(RFD)}.
Lo primero es evidente, ya que los reconocedoresfinitos deterministasson un caso
particular de los reconocedoresfinitos no deterministas.Lo segundose demuestra
en el libro citado anteriormentede Fundamentosde Informátíca.
Terminamos el capítulo diciendo que los lenguajes regulares, los lenguajes
que reconocenlos reconocedoresfinitos y los lenguajesgeneradospor las gramiáticas
del tipo 3 coinciden.
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,
CAPITULO
cRAmÁucAS
GENERATIVAS
Y
RECOGT{OSCITIVAS
EN
SISTEMASCOMPLEJOS
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Grarnáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos
CAPITULO 3
GRAMÁTICAS GENERATIVAS Y
RECOGNOSCITIVASEN
SISTEMASCOMPLEJOS
3.1.INTRODUCCION.
En este capítulo se construyen grarnáticasgenerativas y recognoscitivas
que generanlenguajes matemáticosque pueden ser utilizados en la modelización
matemática de sistemas complejos. Quedará, además, gararÍizada la obtención
computacional de los lenguajesgeneradospor las mismas.
Un caso concreto de los lenguajes que se han obtenido constituye el
primer estudio realizado sobre esta materia por el autor de esteproyecto junto con
el director del mismo. Además, el estudio y la aplicación a un caso concreto de
modelización müemáttica, se publica en un artículo junto con un grupo de
colaboradores(Véase (56),Villacampaet al, !999) y se hará referenciaal mismo
paraseñalarlo que yaha sido publicado.
Normalmente, cuando mencionamos modelos estructurales complejos,
como los ecológicos o los socioeconómicos,damos mucha importancia a la
metodologíaempleada.
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos
Nos apoyamos en el siguiente argumento: " La ayuda del ordenador está
condicionadapor la metodología empleada para modelizar, y esta metodología
estácondicionadapor la teoría de sistemas en la que se basa".
Pero una metodología es un conjunto de métodos orgarizados que nos
permite avanzaÍen una investigaciónde forma disciplinada((7)Checkland,1931).
La literatura sobre metodología es muy extensa. Hay diferentes metodologías
alternativas en
modelización, aunque todas ellas poseen restricciones
((22)Gelovany,1985;(l4)Davis and O'Keefe, 1989).
La metodología en la que nos basamos para la modelización de los
sistemas complejos se integran diversas ideas. Entre ellas destacan las
desarrolladasen (1s) y (19) por Forrester (1961,1966),en (7) por Checkland
(1981), en (43) por Morecroft (1982), en (2) por Balci (1986), en (32) por
Jorgensen(1988), en (39) por Mathewson (1989) y en (62) por zhang et al.
(1990). Se incorporan además las desarrolladas en los últimos años por
villacampa et ar.(r997-1999) en los artículos (56) y (57): "Generative and
Recognoscitive Grammars of Ecologogical Models with Aplications" publicado
en la revista Ecological Modelling en t999 y "A population model of the
reproductive behaviour of mediterranean shrubs: A case of Cistus Albidus" en
Ecosystemsand SustainableDevelopment (Peñíscola L997).
En este trabajo
iniciamos una teoría de modelos de sistemas
estructurales complejos desdeel punto de vista de la Lingüística Matemática,
como una maneramás, no la única, de abordar esteáreadel conocimiento humano
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos
ya que estamos convencidos que cualquier metodología está asociada a un
lenguaje
y a sus correspondientesaspectos lingüísticos, tales como los
componentessintácticosy semánticos.
3.2.PRIMEROS CONCEPTOS.
A continuaciónseexponenlos primerosconceptosqueconstituiránla base
a partir de la cuál se definirán de forma abstractaun conjunto de gramáticas
generativas,
mediantelas cuálesse construyenlos lenguajesmatemáticospara la
modelizaciónde sistemascomplejos.Estosconceptos
han sido publicadosen la
revistaEcologicalModelling(ver 56, "GenerativeandRecognoscitive
Grammars
of Ecologogical
Modelswith Aplications".Villacampaet al.lggg).
3.2.I. MODELO BASE.
Definición:
Definimos el Modelo Base (MB) que denotamospor BM:
(M*, R*) como el sistemadeterminadopor
M* : {todos los atributosmediblesasociadosalarealidad óntica }
(Patten,1997
en(6))
R* : { todaslas relacionesposiblesentrelos atributos}
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Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos
3.2.2.SISTEMA SEMIÓTICO.
Definición:
El sistemasemióticoes el sistemaformadopor S : (M, R)
dondeM es el conjuntode todos los atributosmediblesy R es el conjunto de
relaciones
binariasR c P(MxM) talesqueVr e R es
r: {(xr, yr), (xz,yz),.........,
(xi, yi) / (xi, yi) e MxM}
3.2.3. CAMPO ASOCIATIVO DE UN ATRIBUTO MEDIBLE.
Seax un atributo medible.
Definición:
Definimos el campo asociativo de x, y lo denotamospor
(D", como el conjunto formado por todas las posibles funciones transformadas
( símbolos)de x.
o* : { {to(*)}, {tt(t)}, {t,(")}, ........,
{T"(")},..............}
donde {T"(x)} se llama conjuntode las funcionestransformadasde orden n, es
decir:
{To(x)}: x
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.,.f.(x),........
/ f: R -+R}
{rt(x)}: {ft(x),rt&),.......
I ij: 1,2,.........,m,.....
{r'(*)} : {fi(x)@fi(x)
}
: t ifljé f ,(*)b........
s ¡rG)t ij,k: r,2,.........,m,.....
{r"(x)}
}
donde I es una operación cualquiera de entre un conjunto dado: suma, producto,
composiciónetc.
El conjunto (D*seráun conjunto numerable con card(O.) : N. Pero debido
a las limitaciones del conocimiento humano, en la práctica se utilizará un
subconjuntoF* de O* con cardinal finito.
Como ejemplo,puedeversela figura 3.1.
*-%'$'e'
%#')t k **Tl
;ffii¿i f f i I ' W
'*qi.
.,,%Í
:
; et....
"":
N
: i : : : : : : : : : :t: l: : :
figura 3.1. Campoasociativodel atributomedible x
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3.2.4. VOCABULARIO DE PRIMER ORDEN.
Sea f) :
{xt, x2, ......., x*} un conjunto de atributos medibles. Cada
elemento de f) es una variable o primitiva y le llamaremosp-símbolo.
Definición:
Llamaremos Vocabulario de primer orden, VPO, y lo
denotaremospor Vr*, del p-símbolo x a su campo asociativofinito F* c @*. Los
elementosde V]* seránllamadost-símbolos y los representaremos
por di , donde
i representaun índice del símbolo y j el orden de la transformada..Es obvio que
los p-símbolosson un casoparticularde los t-símbolos.
Como ejemplo, supongamosque el modelizador decide utllizar:
a) un determinadop-símbolo, x,
b) m transformadasde orden 1,
c) lautilizacíón de transformadashastael orden n, y
d) como operaciónI la composiciónde funciones
Entonces,el cardinal del VPO es
c a r d ( V l ^:) I + m + m 2 + . . . . . . . . I. . m ' :
m n * ,- l
m-I
como se desprende,también delafi,gura3.2.
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Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos
{T'(x)}
I
{T'(x)}
m
{T'(x)}
m
{T"(x)}
m
figura3.2
4.2.5.t-ALFABETO DE ORDEN i.
Definición:
Definimos el t-alfabeto de orden i del atributo x, y lo
denotaremos
por Ai* al conjuntodet-símbolosdel mismoordeni.
Ao* : {óot(r) : *}
A I , : { ó ' t ( * ) , d t ( r ) , . . . . , . . ü. ., ( * ) }
A2* : {f ,6), f ,&),
A',:
{üíx), üz(x),
}
.
. }
De lo quesededuceque
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V I* : A o ,U A I , u . . . . . . .U
. An*: u .l:
i=0
3.2.6. VOCABULARIO
DE SEGUNDO ORDEN.
Definición:
Definimos el vocabulario de segundo orden, VSO, y lo
denotamospor V2*r, al vocabulario formado por dos t-símbolos de vocabularios
de primer orden Vr* y Vl, de la siguienteforma:
'Y"ü(",y):
$'i(x)O $i(v)
dondeQ'i(x) . Vt* , 0':(y) . Vl, y @ es un operadoraritmético.
Es decir,
Y2*y: {'Y"u(r,y):
ó'i(x) O ó':(V)}
con i : 1,....,card(Vl*);
j : 1,....,card(Vlr);
frs:0r1,...., n
3.2.7.VOCABULARIO DE ORDEN N.
De igual manera,podemosdefinir vocabularios
de orden3,4, .......,por lo
quepodremosdefinir el vocabulariode ordenn, así:
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Definición:
Se define el vocabulario de orden n, VON, y lo denotamos
por V;,,.',,, al vocabulario formado por n t-símbolos de vocabulariosde primer
ordenVl*r y V1*2,......,
Vl*n de la siguienteforma:
ny""'*¡...t(xrxz...xn)
: i(xr) @
f
Qi("r) @ ........@ $*t(xn)
A los elementosde la formu nY""'*ü...1(x1x2...xn)
se les llamará palabras.
Estas palabras, escritas con esos vocabularios han sido utllizadas para la
modelización matemática de las ecuacionesde flujo de la dinámica de sistemas
(Forrestery otros autoresnombradosen el apartado3.1.). Estas ecuacionesnos
expresanun determinado proceso definido por una variable en función de flujos
de entrada y salida. La expresión matemática de esta variable nos conducirá a la
modelizacióndel mismo. Por otra perte, en sistemascomplejos estasecuaciones
que quedan definidas apartfu de otras (flujos de entraday salida) son ecuaciones
implícitas de variables de las que sólo se pueden conocer datos numéricos
experimentaleso simulaciónde los mismos.
Para un caso concreto de elección de vocabularios de primer orden se han
realizadomodelizacionesde sistemasecológicosen (56) y (57) (Villacampaetal
1977,r99g).
3.2.8.t-LÉKCO.
Dados n p-símbolosX1,x2,.........,xn, llamaremost-léxico y lo denotaremos
por t-L, al conjunto de todos los vocabularios de cualquier orden, es decir,
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Las combinaciones lineales de palabras de un t-Léxico se llaman
sentencias ó funciones de flujo, las cuáles se presentan en los Sistemas
Dinámicos.
3.2.9. LEXICO PRIMARIO.
Al subconjunto T de t-L formado por los vocabularios de primer orden
generadospor los p-símbolosXl, X2,.........,
xn, se llamará léxico primario (Lp) o
alfabeto de las funciones transformadas
T : { V l * 1 , Y l 1 2 ,. . . . . ,V 1 * n }
3.2.10. VOCABULARIO
DIFERENCIAL O d-VOCABULARIO.
Definimos el vocabulario diferencial o d-vocabulario de un p-símbolo x
y lo denotamospor Va* al conjunto formado por todas las derivadas parciales de
cualquier orden de x respectoa cualquier otro p-símbolo y el tiempo t.
El vocabulario diferencial primario Vla* es el conjunto de todas las
derivadasparciales de primer orden de x respectoa cualquier otro p-símbolo y el
tiempo t.
/\
--r^
\ / ¡ u
V
t ^ A l
-
v-
IOX OX
,
l-.--.....>
t\ ro' ) t
ov
I
I
I
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Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos
También pueden definirse vocabularios diferenciales de segundo,
tercer,.....etc.,orden , aunque por facilidad de cálculo, en las modelizaciones
llevadas acabo hasta la fecha, de sistemas complejos sólo se úiliza
un
subconjunto de cardinal 1 del conjunto Vló* y éste es la derivada parcial del psímbolo x respectoal tiempo.
3.2.II. LEXICO DIFERENCIAL .
Sea x1, x2,.........,X¡e ltn conjunto de p-símbolos. Definimos el léxico
diferencial, d-L, al conjunto formado por los d-vocabularios generadospor los psímbolos
d-L:
V6*n}
{ Va"r, Y0"2,............,
3.2.12.LÉXICO DE UN SISTEMA COMPLEJO.
Definición:
El léxico de un sistemacomplejo,L, es la unión del t-léxico
y el d-léxico
L:(t-L)v(d-L)
3.2.13.PALABRAS SINÓNIMAS.
Se consideraun Modelo Basey una variabledel mismo,/, de la que
conocemosuna relación de dependenciarespectoa un conjunto de variables
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l)"
:
V,I.,=r:y -f(xr x2,.....,xn) (pudiendoocurrir que -7 i / x¡ : y). Sean V) Ios
vocabularios
deprimerordende lasvariablesb,Y,r.
Para la variable y, se supone que mediante un determinado proceso de
modelización se obtiene diferentespalabrasYi, i : 1,2,.....,hque la modelizan
matemáticamente.Estaspalabrasestariánescritasen los vocabulario" V!,....urtal
que
k1 - - <l ) ' n y 6i e V,f,o, Vi : 1,....,k.Diremosentoncesque estaspalabrasson
sinónimas.
Definición:
Podemos definir de forma general una relación
de
similitud de la siguiente manera:
Paraun Modelo Base BM : (M*,R*) seaX : {xl, x2, ...., x*} el conjunto
de atributos considerados y
sean v) los vocabularios de primer orden
correspondientes. Se define como ? el conjunto de palabras escritas en los
vocabulario" V!,..u.,k ( m y 6i e &,Y,=r.En ?:
{yi} definimos la siguiente
relación,S:
Yi S E sii son palabras sinónimas
Esta relación es una relación de equivalencia ya que satisface las
propiedadessiguientes:
a) Reflexiva : VYi e ? se verifica que Y¡ S Y¡
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b) Simétrica:VYi, X = ? severificaeueY¡ S E+
Y¡ S Y¡
c) Transitiva : VYi , Y; , Yr e ? se verifica que si
(YiSE) y (ESYr)=YiSYr
Estarelación de equivalencia, S, divide el conjunto ? en clasesde equivalencia.
En el conjunto cociente ?/S y en cada clase de equivalencia se van a
considerar las palabras que llamaremos sinónimas intrínsecas y sinónimas
extrínsecas.
Definición:
Si dos palabrasYr y Yz de un mismo proceso tienen el
mismo número de elementos y sus símbolos respectivos pertenecen al mismo
vocabulario de primer orden, es decir, si
Y r : ór @0z@........
@0"
Y z : 0 ' l @ 0 ' z @. . . . . .@
.. 0'n
donde
Q r e V l * r , 0 2 e V l * 2 , . . . . . . . . . .Q. ,ne V l * n y
$ ' t € V ] * t , Q ' z€ V l * 2 , . . . . . . . . . .Q. ,' n € V l * n
decimosquesonsinónimasintrínsecasy lo expresamos
mediante
Yr SintYz
si
símbolos respectivos de ambas palabras pertenecen al mismo
vocabulario de primer orden pero tienen diferente longitud entoncesdecimos que
son sinónimas casi-intrínsecas.
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Definición:
Si uno, al menos,de los símbolosde ambaspalabrasque
definenel mismo procesopertenecena diferentesvocabulariosde primer orden
decimosquelaspalabrassonsinónimasextrínsecas.
3.3. GRAMATICA
GENERATIVA DE LAS FUNCIONES
TRANSFORMADAS.
A continuación se va a obtener un método de generaciónde vocabularios
que permitirán la construcción de palabras de un t-léxico cuyas combinaciones
lineales nos determinan las funciones de flujo que modelizan procesosy quese
presentanen los estudiosde SistemasDinámicos.
Para ello se comenzará con la construcción de gramáticas generativas de
las funciones transformadas.Dichas frrnciones van a constituir el alfabeto con el
que posteriormente se calculan las ecuaciones matemáticas que modelizan los
procesosconsideradosen un modelo de un sistemacomplejo.
como
caso particular, y utilizando únicamente la composición de
funciones como operación, se obtendránlos vocabularios de orden n considerados
al principio del capítulo y vtilizados en modelizaciones("A population model of
the reproductive behaviour of mediterraneanshrubs: A caseof Cistus Albidus" en
Ecosystemsand SustainableDevelopment(Peñíscola1997)).
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Esta abstracción va a suponer, por una parte, la obtención de un mayor
número de lenguajes y, por consiguiente, la disponibilidad de una herramienta
más completa para la modelización. Por otra parte, la obtención de estas
gramáticasy sus conespondienteslenguajesnos conduce directamentea lateoúa
de autómatasfinitos. De esta maneraseremoscapacesde obtener un reconocedor
finito de los lenguajes que se generan. Estos lenguajes son los utilizados
posteriormentepara la construcciónde ecuacionesmatemáticas.
3.3.1. GRAMATICA
GENERATIVA
DE
LAS
FUNCIONES
TRANSFORMADAS DE PRIMER ORDEN.
Seax una variablereal (atributomedible) y fr, f2,.....,fr, m funciones
realesde variablereal,
f;: R -+ R,
i : 1 , 2 , . . . . . . ,m
Llamaremosgramáticagenerativade las funcionestransformadas,
G11,a la
cuádrupla
GTl : (V1, Va, S, P)
donde
Vr es el alfabeto principal o vocabulario de símbolos terminales y está
formado por los elementosdel conjunto
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Vr:
fr, (, ), x }
{ f1,f2,.....,
Va es el alfabeto auxiliar o vocabulario de símbolos auxiliares y
estáformado por los elementosdel conjunto
Vt:
{ S, Rl, Rz,& }
S e Va es un símbolo destacadollamado símbolo inicial
P es un conjunto finito de paresordenados (cr, F) ó reglas o -+ B donde
o e Va y P es de la forma F : a . Vr ó F : ab con a e V1 y b : I ó b e Va dadas
por
S-+x
S -+ lR,
P _ R, -+ (R,
R, -+ xR
R, +)
con estasreglas generamosun lenguaje, L(Grr) cuyas cadenaso palabras
forman los t-albabetos de orden 0 y de orden I como puede observarse en el
siguiente arbol
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x
frRr + fr(Rz-+ fr(x& -+ f1(x)
fzRr-+ f2(R2-+ü(xR: -+ f2(x)
f',nRr-+ f.(R2 -+ f,"(x& -+ f,(x)
ftgura3.4
y en el que podemosponer que
Ao,: {óoíx) : x}
AI*: {d íi, d r(*),
..........,
ó),@)}: {ft(x),.f26),
f*(x)}
L(Gil : Ao* uAl *
La gramétticaque acabamosde definir, G11,€s una granática de tipo 3 o
grxnátíca de Kleen, pues,tal y como vimos en la sección3.4.4 sus reglas son de
la forma
A-+aB
ó A+a
conA,BeVayaeVl.
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De ahí que, el lenguajeL(Grr) sea un lenguajeregular.La expresión
regularquerepresenta
las cadenasde dicho lenguajees
cr: x + lfi + f2+ .......tfr](x)
y derivando esta expresión regular podemos encontrar el reconocedor finito de
estelenguaje:
Derivadasprimeras:
D*(o): l"
D1(cr): D¿(a): .......: D¡"(cr): (x)
Derivadas segundas:
Dn(c¿):D1[D¡(o)]:x)
: x)
D¿r(c¿): D1[D12(cr)]
Dn"<(a): D1[D¡"(a)]: x)
las restantesderivadassegundas
son$
Derivadasterceras:
D n < *(c¿ ):D x[D 1 [D n (cr)]l :)
i:I,2,......,m
lasrestantesderivadastercerassonó.
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Derivadas cuartas:
D¡t*l(o): Dl[ Dnt*(cr)]: I
Las restantesderivas cuartasson 0.
Podemos,así, dibujar el diagramade Moore (figura 3.5) del reconocedor
finito, donde llamaremos
Q t: 5
qz : D*(cr)
: Drrn(cr)
q¡ : Dn(cr): D¿(o): ............
Q+: Dn1(a)
qs : Dfi(x(c)
qo:D¡(*)(cr)
i:I,2,.....,m
siendolos estadosfinales gzy gaqueson los que contienenla cadenavacía.
X
.\
(q1L--
FI\,
\v\
--'----
\
q3
'(;)'{.)
\
fm
ó
figura3.5
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Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos
3.3.2. GRAMATICA
TRANSFORMADAS
GENERATIVA
DE
LAS
FUNCIONES
DE SEGUNDO ORDEN
Llamaremos gramática generativade las funciones transformadas,G-¡2,ala
cuádrupla
Grz: (V1, Va, S, P)
donde
Vr es el alfabeto principal o vocabulario de símbolos terminales y está
formado la unión de los coniuntos
Ao,: {óot(r) : r}
A1*: {d {d, d z(*),....,....0),(*)}
que expresaremos
para simplificar, por Qo,ót,..........,ó.
8:
(los elementos8¡, i:
{8r,82,.....,8r}
I,2,...,ksonoperadores
matemáticos)
y los paréntesis( y ).
Es decir,
Vr:
{ ó 0 ,ó t , . . . . . . . . . Q
. , * , 8 1 , 8 2 , . . . . . , 8 n(, , ) }
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Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos
Va es el alfabeto auxiliar o vocabulario de símbolos auxiliares y está
formado por los elementosdel conjunto
Vr: { S,Rl, R¿,R3,R4}
S e Va esel símboloinicial
P esun conjrmtofinito deparesordenados(a,F) ó reglas cr + B donde
cr e Va y P esde la forma F : a . Vr ó F : ab con a e V1 y b : l, ó b e Ve dadas
por
P_
S -+ (R,
R, -+ Q,R,
R, )80R,
R, -+ Q,Ro
Ro+)
con estasreglas generamosun lenguaje, L(Grz) cuyas cadenaso palabras
forman los t-albabetos de orden 2, como puede observarse en el
árbol que
representamosa continuación
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Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos
S
i
II
(Rr
,4\
r'J
(0oR¿ (órRz
.4
\ (0-Rz
/\\
(0oArR:..........(QoA"R:
(0r8rR¡.......(0r8"R¡
(0,ArR¡.......(0,O"&
/\
J\,/\
(ooe$o&
'tJ
./\
db,o,"no
(0,s"fi1..........t0.J"0.n
IJ
figura3.6
El lenguajegeneradopor G12,es decir, L(Grz) coincide conL(Gr) : A2,.
Esta gramática que acabamosde definir, G12,también es una gramáúicade
tipo 3 o gramática de Kleen, pues sus reglas son de la forma
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Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos
A+aB
ó A-+a
conA,BeVayaeVl.
De ahí que, el lenguaje L(Grz) sea un lenguaje regular. La expresión
regular que representalas cadenasde dicho lenguaje es
o : ( [0 0 +.......+ ó,][
81f ......-8"]
f [00+ .......+ )0.]
queen forma simplificadapodemosexpresarmediante
a: (0igr0¡)
y derivando esta expresión regular podemos encontrar el reconocedor finito de
estelenguaje:
Derivadasprimeras:
Drlcr]:0i8r0¡)
Las primerasderivadasrespectoa los restantessímboloses la cadenavacía $.
Derivadassegundas:
: 8d¡)
Doi[0iar0¡)]
las restantesderivadassegundasson $.
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generativas
y recognoscitivas
Gramáticas
en sistemascomplejos
Derivadasterceras:
:0¡)
Derlar0¡)l
las restantesderivadastercerasson Q.
Derivadas cuartas:
Do:[0:)]: )
Las restantesderivadascuartasson {.
Finalmente, la única derivada quinta no nula es
Dl Dl :1.
y el diagrama de Moore conespondiente al reconocedorfinito de las cadenasdel
lenguaje L(Grz) será,llamando
Qt:c[
qz: Dt[a]
q3: D16i[crJ
qa: D14ier[cri
qs : D16ier.4¡[o]
q6 : Dl4iot4r[ü] : ]". Este estadoes el estadofinal.
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Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos
Los elementosde estelenguaje los podemos expresarmediante
0x
donde k indica la operación entre las funciones y los subíndices i y j son los
índicesde las funciones.
o&
(Dr
frgura3.7
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Página 9l
Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
generativas
Gramáticas
y recognoscitivas
en sistemascomplejos
3.3.3.GRAMATICA
GENERATIVA DE LAS FUNCIONES TRANSFORMADAS DE
TERCER ORDEN.
Siguiendoun procesosimilar a los apartadosanteriorespara la
creaciónde las gramáticasGrr y G12,v&rrrosa diseñaruna grarnáúica
que genere
todas las funcionestransformadasde orden tres, es decir, todas las funciones
transformadas
en las que Warezcantres funcionestransformadas
de primer orden
con las mismas operaciones8r y utilizando como vocabularioterminal las
cadenasobtenidasen las gramáticasanteriores.
Por tanto, llamaremos gramática generativa de las funciones
transformadas,
G13,a la cuádrupla
Grs : (V1, Va, S, P)
donde
V1 es el alfabeto principal o vocabulario de símbolos terminales y está
formado por la unión de los conjuntos
V1: L(G11)u L(G12)u {Ar} u {(, )}
donde los elementosde L(Grr) los representaremos
por 0i y los elementosde
L(Grz)por0',:.
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Va es el alfabeto auxiliar o vocabulario de símbolos auxiliares y
estáformado por los elementosdel conjunto
Vr:
{ S, Rr, R¿,R3,Rq,Rs}
S e Va es el símbolo inicial
P es un conjunto finito de reglas dadaspor
P_
.S-+ (R,
Rt -+ Q,R,
R, -+ QIR'
Rr.) 8o R,
R, -+ Qi,Ro
Ro+)
R, e SoRu
Ru-+ Q,Ro
con estasreglas generamosun lenguaje, L(Gr¡) cuyas cadenaso palabras
forman los t-albabetosde orden 3 tienen la forma
(0ia*(0¡a"0r))ó ((0ia,ó:)8"0r)
comopuedeobservarse
en el siguienteárbol
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S
II
I
V
(Rr
/
(Qoal&....
I
t\
({iar&
($loo8rR¡
($,u8rRo...
lltl
l+tt
(0o8r0tooRq (0iar0'¡R*.........
tJtt
..(0roo8r0o&
......(o"¡arooRo
figura 3.8
El lenguaje generadopor G13,es decir, L(Gr¡) coincide conL(Grs) : A3*
Esta gramática que acabamosde definir, G13,también es una gramática de
tipo 3. De ahí que, el lenguaje L(Grs) sea un lenguaje regular. La expresión
regular que representalas cadenasde dicho lenguaje es
d: (0i8* 0ln)+ (0'uA"ór)
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generativas
Gramáticas
y recognoscitivas
en sistemascomplejos
cuyas derivadasnos proporcionaránlos estadosdel reconocedorde las cadenasdel
lenguajeL(Gr¡) .
Las derivadasno nulas las ofrecemosa continuación:
cr: (0i8*old + (0'u8"ór):qr
Derivadas primeras:
Dr[aJ : Qi@.{¡ü + f ii@,6¿: r,
Derivadas segundas:
D6[D¡[a]J
: @*
{¡ü
: qz
DrifD,["]]=@,ó): qu
Derivadas terceras
D*rb*,[o]]= QÍ): qo
f'l
D*rLDwtfofl:
ó): q,
Derivadas cuartas:
r
.,1
: qt
Dr;LD*,*r[oJl=)
Derivadas quintas:
f1
D,LD,**rotr[o]l=
I = qr
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y como consecuenciade ellas obtendremosel diagrama de Moore del reconocedor
finito de las cadenasde dicho lenguaje,que se representade forma simplificada en
la figura 3.9
figura3.9
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3.3.4. GRAMATICAS
TRANSFORMADAS
GENERATIVAS
DE
LAS
FUNCIONES
DE ORDEN n
La obtención de gramiíticas de orden superior a tres, siguiendo la misma
estrategia de los casos anteriores, no entraña mayores dificultades, en cuanto a
conceptos teóricos se refiere, y únicamente los problemas surgen a la hora de
tener que expresar de forma general todas las combinacionesposibles entre las n
funciones empleadasy las m operacionesque pueden existir entre las funciones.
Por ello, y a modo de ejemplo, veremos el proceso de obtención de una
gramáúícagenerativa de orden 4, utilizando cinco funciones y la suma y la
composición como operacionesque intervienen en las ecuacioneso palabras del
lenguaje.
Funciones : f1, f2, f3, fa, f5
Operaciones:*, o
Orden de las transformadas:4
Teniendo en cuenta que en cada transforma intervienen cuatro funciones,
habrá un número de transformadasigual a 845 obtenidasde la siguiente manera:
Con las 5 funciones se pueden formar Cs.¿:
lt -sl \
I
l:
)
grupos,conteniendo
\4)
cadauno de ellos 4 funciones
{ftb.,fs,f+}, {fi,f2, f¡, fs}, {ft,fz,fq,fs}, {fl, f3,ü, fs} {fz,fs,ü, fs}.
Con cadauno de estosgruposse puedenformar Pq: 4! : 24 otdenaciones
diferentes. Al tener que incluir tres operaciones entre las funciones, estas se
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Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos
pueden ordenar de VR¿,¡ : 2r : 8 formas diferentes de las cuáles una será la
misma, por ser la suma conmutativa, por ejemplo fi+f2+f3+ü : fi+f3+f4+f2, por lo
que sólo debemosconsiderarlauna sola vez.
Por lo tanto el número de transformadasdiferentes seú 5(23.7+8) : 845,
con la forma generala: fi8rf8rfr8rfi .
En este ejemplo, debido a las operacioneselegidas,no son necesarioslos
paréntesis.
3.4.
UN
CASO
PARTICULAR
DE
GRAMÁTICA
GENERATIVA DE FUNCIONESTRANSFORMADAS.
En este apartado vamos a considerar una graméúica cuya principal
característicaes la de conteneruna única operación,la composición de funciones.
La gtarnática obtiene las transformadasde orden m de n funciones reales
de variable real.
Hemos desarrollado la gramáticatomando como vocabulario terminal,V1,
un conjunto finito formado por la unión de los conjuntos Vr y Vz, donde Vr está
formadopor n funcionesrealesde variablereal f; con i:
I,2, ....,n:
V l : { f i , ü , f 3 , . . . . .f.n, }
y V2 es el conjunto de símbolos
Vz: {(, ), o, x}
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El vocabulario auxiliar, v4, es un conjunto finito, formado por los
símbolosT, Rr, Rz, R¡, R¿,Rs, Ro,Rz es decir
Ve: {T, Rr, Rz, R3,R4,R5,R6,R7 }
dondeT es el símbolo inicial.
El conjunto de reglases el siguiente:
T -+ fiRr
i: I,2,.....,ft
R1-+ (R2
Rz+ xRs
R¡-+)
T-(R*
Rq+ fiRs
R5-+ oR6
Ro+ f;Rs
Ro+ fiRz
Rz-+ )Rr
Al conjunto de las funciones f1,f2, f3,......,fn le llamaremosconjunto de las
funciones transformadasde orden 1, y lo denotamospor T1.
Con las funciones anteriores y la aplicación sucesiva de las reglas de
formación formamos todas las composicionesde orden 2, orden 3, ......., orden
m,.... que llamamos respectivamente,transformadasde orden l, transformadasde
orden2,...., transformadas
de ordenffi, ..........y
que denotamos
por T,,T,,......,
T*,........,es decir
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos
1' : {frofr , fpfz.,
f"ofr}
T3 : {frofrofr, frofroü
frof"of"}
El número total de palabras que forman el lenguaje generado por la
graméúicaGr formada a partfu de n funciones transformadas de orden 1 y
utllizando transformadashastael orden m es
| + n + n ' + . . . . . +n " ' = i
?t
n " ' n-'l
n, :
n-r
Atendiendo a la clasificación de las gramáticas expuestas an apartados
anteriores podemos observar que la gramáticaGr es una gramáúicadel tipo 3 o
regular.
Es fácil observar que las cadenasgeneradaspor dicha gramáúicapueden
expresarsemediante la expresiónregular :
cr: fi1(x)+(fi2o(fuo)*fia)(x)
Por derivación de la expresión regular obtendremos el autómata finito
reconocedordel lenguajeL(G1) generadopor la gramáticaG1.
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Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos
Por comodidad, para la obtención de las derivadas,llamaremos
fi:a
( :b
X:C
):d
o:g
con lo que la expresiónregularquedaríacomo o : abcd + bae(ae)*adbcd
D"(a ): bcd: qo
Du(a ) : ae(ae)*adbcd: q2
D . ( a ) : D ¿ ( 0) : D " ( c ¿) : 0
Duu(cr
): D6[Du(cr)] : cd: qz
D*(d ): Du.(cr): Du¿(cr
): Du.(cr): ó
D¡u(cr) : Du[D6(cr)] : e(ae)*adbcd: q3
D u u ( c) r: D ¡ . ( o ) : D r ¿ ( a) : D u . ( o) : 0
Du¡.(d):d:qs
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Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos
Du¡u(cr) : Du¡u(c¿
) : Du¡¿(a) : Du¡.(cr) : 0
Duu.(c): (ae)*adbcd: q+
D¡uu(cr) : D¡u¡(cr) : Duur(a) : D¡u¿(cr) : 0
Dauc¿(cr):l:qs
Duu"u(cr
) : Duu"u(c¿
) : D*..(a ) : Du¡".(cr) : 0
Duu"u(o): Du[(ae)*adbcd]: Du[(ae)*]adbcd+ 6((ae)*)D,(adbcd):
: [D"(ae)](ae)*adbcd+ 6((ae)*)Du(adbcd)
:
: e(ae)*adbcd+ l"dbcd: e(ae)*adbcd+ dbcd : q5
: D¿fe(ae)*adbcd+ dbcd] : bcd: Du(o
D¡u.u¿(o): D¿[D¡u.u(cr)]
)
Duu"u"(ü): D.[Duu.u(o)]: D"[e(ae)xadbcd+ dbcd] : D¡u"(ü )
Una vez obtenidas todas las derivadas no nulas de la expresión regular
podemos dibujar el diagrama de Moore del autómata que reconoce el lenguaje
L(Gr):
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figura 3.10
Comprobación:
c¿: abcd + baea(ea)*dbcd
que es equivalente a la expresiónregular de la que partimos.
Deshaciendoel cambio de símbolosqueda:
a: fi(x)+ (f;of;(of;)*)(x)
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Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos
Ejemplo práctico:
En el apartado anterior hemos propuesto una gramáúicagenerativa
de funciones transformadas general, es decir, sin fijar el orden máximo de las
funciones transformadasa emplear.
En este ejemplo estudiaremoslas modificaciones que debemos realizar en
las reglas de escritura o producciones de la gramática para el caso particular de
que queramos fijar de antemano un determinado orden máximo de funciones
transformadas.
El estudíolo realizaremossobreel casoparticularde transformadasde
orden 3, aunquecon su desarrolloveremosque para cualquierotro orden de
transformadas
el estudioserealizade formaidéntica.
La expresiónregular toma en este caso la forma :
cr: f;r(x) + (f;zofiE)(x)+ (f;¿of;sofioXx)
Teniendo en cuenta el código empleado en el apartado anterior, la
expresiónregular toma la forma :
cr: abcd + baeadbcd+ baeaeadbcd
Derivamos sucesivamentela expresiónregular para obtener los estadosdel
autómata:
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Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos
Du(cr):bcd:qg
Dr(cr): aeadbcd* aeaeadbcd:qz
Duu(a):cd:qs
D¡u(cr): eadbcd* eaeadbcd: q3
Duuc(o¿):d:qro
Duu.(or) : adbcd + aeadbcd: qa
Dauc¿(cr):1":qrr
D¡u"u(cr) : dbcd * eadbcd: q5
Duu.a¿(ü
) : bcd: Du(o )
D¡u.u.(ü):adbcd:q6
Dbu"u.u(c
): dbcd:q7
Dbu.u.ud(d
) : bcd : Du(o )
El diagramade Moore correspondiente
es:
figura3.11
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Página 105
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Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos
3.5. GRANNÁTTCNGENERATIVA DE LAS ECUACIONES DE
FLUJO, GF.
Las ecuacionesde flujo son ecuacionesmatemáúicasque se van a construir
a partit de los lenguajes generadospor las gramáticas funciones transformadas.
Estasecuacionesde flujo son las que se utilizarán en la modelización matemática
de las variables consideradasen un Modelo Base.
Sean n variables o p-símbolos .x7,x2, ......., xn y m funciones reales de
variablereal o transformadasde orden uno, f1,rt, .....,-f. .
Unavez elegidaslas operaciones
8:
{Or, E,2,....,4r} y el máximo orden,
p, de las transformadas a emplear en un determinado proceso de modelización,
formamos, con las gramáticas generativas construidas en los apartados
precedentes,
los t-alfabetosde orden 0, l,2,...., p de todos los p-símbolos,es
decir, construimos los conjuntos
Ao*¡: {ó0,(r):*,}
AI*¡: {d t6) : -ft(x),d z@: rt(x),.....,
d -(r) : f.(x)}
A2,¡: {d t&):_ft(x)@1f1(x)
, f ,(d:ft(x)@tfz(x), ..................
}
É,,:{Q{(x)=fJ;,ié;...:..:.
ó, j(;), ó{@,):lii,ia, ...'....,.a;,
¡,(}),....
}
con lo que podemos definir el vocabulario de primer orden de cada p-símbolo
como la unión de estosalfabetos,es decir,
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
generativas
Gramáticas
y recognoscitivas
en sistemascomplejos
rr],=ú,E:,
.l=0
Si designamospor tj,amelemento cualquiera,j, de V),, es decir,
tl, e V),, llamaremosecuaciónde flujo, Y, a toda ecuaciónde la forma
y : Ao@* A¡ ji @n2A2t3@n........
@,_'AJL
dondeOo esun elementode un determinadoconjuntode operadores
aritméticosy
lasA¡ sonnúmerosrealesno todosnulos.Llamaremoa
A : { Ao,At, ....,Ar}
una gramáticagenerativade las funcionesde flujo esla cuádrupra
GF: (VFr, VFa,T, P)
dondeel vocabulariode símbolosterminaleses
VFr : AvV), wV), v......\, It) w @
vFa esel alfabetoauxiliarformadopor el conjuntode símbolos
V F a : { 7 , R t ,R 2 , . . . . . . . . , R n }
donde Zes el símbolo inicial.
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
generativas
Gramáticas
y recognoscitivas
en sistemascomplejos
Las reglas de escriturao formación de cadenasson :
T -+ AoRr
R+¡-s+ @qiR+i-z
R-ai-z+ AiR¿i-l
Rqi-l+'Rqi
Rqi -+ t!,R+i*t
R¿n-¡J @qnR<n-z
Ran-z)
AnR-an-r
R¿n-rJ'R¿n
xq"-> tll
parai : I, 2,.......,ft-l
El diagrama de Moore correspondientees, por tanto:
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Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos
O " {:)--{)-{t-'(D¡
txt
l-'t
@2a\
---/
A2 /
!::r- \'r---r,
i2
\p
{_)-*@
frgura3.I2
3.6. GRAMATICAS RECOGNOSCITIVAS DE ECUACIONES
DE FLUJO.
Una vez elegidas las gramríticasde las fi.mcionestransformadas,con los
lenguajes generadospor las mismas, y un conjunto de operadores aritméticos,
previamente seleccionadosformamos las gramiíticasgenerativasde ecuacionesde
flujo, las cuáles generanun lenguaje que denotamospor L(Gp), cuyas sentencias
(frases) o ecuacionesde flujo se producen todas ellas con la misma probabilidad,
es decir, son equiprobables.
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Página109
Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos
una
vez construidas las sentencias y dependiendo de los datos
experimentalesy de los criterios seguidospor el modelizador deberáelegirse una
ecuación o un conjunto de ellas, es decir, deberáseguirseun determinadoproceso
de recognoscibilidad, que nos permita, de entre todas las sentencias,elegir la o las
que consideraremos"correctas", siendo el resto rcchazadas.
Serán,pues,múltiples las opcionesque se puedenseguir en estaelección,
opcionesque llamaremoscriterios de recognoscibilidad.
En los sistemascomplejos, como son los ecológicos, las variables del
modelo base que se deseanescribir como ecuacionesde flujo son variables de las
que tan sólo se conocendatos numéricos (datos experimentales)y demásvariables
de las que dependen. Estos datos experimentales( o en ocasiones,simulaciones
de los mismos) son los que, por norma, van a determinar ciertos criterios de
recognoscibilidadde los que a continuaciónse dan tres.
Primer criterio de recognoscibitidad:
un primer criterio de recognoscibilidad, que denotaremos por
GRFr y podemos llamar "criterio de máximo ajuste" está basadoen el coeficiente
estadístico de determinación (el cuadrado del coeficiente de correlación en el
contextode la regresiónmúltiple) (usó-Domenechet al.,1997 en (52)).
Supongamosuna variable de un Modelo Base y unos datos experimentales
de la misma, así como datos de las variables de las que depende. Mediante un
proceso iterativo son leídas todas las posibles ecuacionesde flujo que modelizan
la variable, calculando en cada caso el coeficiente de correlación múltiple.
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Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos
Un primer criterio de recognoscibilidadseríael seleccionarla ecuaciónde
flujo cuyo coeficientede correlaciónseamayor. Este criterio yaha sido utilizado
en las modelizacionesrealizadaspor Yillacampa et al. durante 1997 y1999 en (56)
v (57).
Con este criterio seleccionaremosuna sola ecuación de flujo: aquella
cuyo coeficientede correlación seamavor.
La figura 3.13 muestrael proceso.
Segundo criterio de recognoscibilidad:
El segundo criterio de recognoscibilidad, GRF2, consiste en fijar dos
coeficientes de correlación rr y rzy considerar"correctas" todas las ecuacionesde
flujo cuyo coeficiente decorrelación ri esté comprendido entre ambos valores, es
decir, r¡ € [r1,12]creandoun conjuntode ecuacionesde flujo.
El diagramade la figura 3.14 muestrael proceso.
Tercer criterio de recognoscibilidad:
Para la aplicación de este criterio, que denotamospor GRF3, se elegirán
funciones transformadas que se puedan normalizar en relación con los datos
experimentales, desechando aquellas no no satisfagan este requerimiento. A
continuación se elige uno de los dos criterios anteriores.
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Página111
Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos
figura3.13
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos
a>r>b
frgura3.l4
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Página113
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Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos
3.7. GRANNÁTTC,IGENERATIVA DE LAS ECUACIONES DE
ESTADO.
tu,
Supongamosque tenemosun sistemade ecuaciones
diferenciales
ot
Yi : 1,2,....,m que representa
el estudiode un cierto Modelo Base.Si cada
ecuacióndiferencialdependede n¡variablespodemosponerque
Av,
- t
OT
ni
_
A
ll
+ Ai,+ ....* A,, = ZA,o = A,
k=
y si estasson modelizadas apartír de ecuacionesde fluio
A,o= V'ro@ V'{ @ ....@W'io
se obtendrá, para cada ecuación diferencial una expresión matemática como
combinaciónde ecuacionesde fluio
+=ili,:l=
or illfr' ' ) o,
Estasecuacionesdiferencialesrecibenel nombre de ecuación de estado y
para cada una de ellas podemos definir una gramática generativa de la siguiente
manera:
Una gramática generativade ecuacionesde estado,G5, os una cuádrupla
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Página 114
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Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos
Gs: (Vs,Va, S,P)
donde:
Vs es el lenguaje se símbolosterminalesformado por las ecuacionesde
flujo obtenidas en las gramáticasrecognoscitivasde las ecuacionesde flujo más
los símbolos t y - de las operacionesaritméticas que unen estas ecuacionesde
flujo.
Va es el alfabeto de símbolos auxiliares, formado por los símbolos
V e :{S , R1,Ri,&a, S,i:2,3,...,Itk}
P esel conjuntode reglasde producciónsiguiente:
S -+
i- Rt
Rz-+
I Rro ....... Rnr_l-)
fi_,R6,r_r¡e R* )
R1-+ +R2
--¡ *Rn*
Rze-) +R3 ........... R6*-r¡a
Rr -+ -Rz
R¿a+ -& ........... \r,t-r¡a-) -Rnr
,,lo
y S esel símboloinicial.
El diagramacoffespondientepuedeverseen la figura 3.15
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Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos
\
IK
Vr
(:)
(.),
/-l
-/
\
..)
\
./;
)-,,'
ik
rJ-t
t hk-1
/ l
<7 /\ \
\k
-l_
/'"
( 9zr,r.-z
l
\/
Yno
-
(::.,
-T--
\ -\
\
@
)
figura3.15
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Página116
Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos
3.8.
GRAMÁTICAS
RECOGNOSCITIVAS
DE
LAS
ECUACIONESDE ESTADO.
En este sentido podemos definir, para el sistema de ecuaciones
diferenciales, llamado sistema de ecuaciones de estado, diversas gramáticas
recognoscitivas.
Tres son las gramáticasque vamos a tener en cuenta:
1) un primer proceso de recognoscibilidad,denotadopor GRsl es aquél por el
que se concibe el Modelo Base a partir del estudio de un sistema de
ecuaciones diferenciales y determinado por la concepción del modelo en sí
mismo.
2) Un segundoprocesode recognoscibilidad
GRsz,independiente
del primero y
quedeterminasi la sentencia
A; dela ecuación+
ot
= A,es onoválida.
Por ello podemoshacervariasconsideraciones:
lu. Fijamos las palabrasy las sentenciasy si cualquier palabraes correcta, la
sentencia también lo es. Este tipo de proceso de recognoscibilidad se
determina en el proceso de validación. Esto lo confirma y lo rcfuerza
Jorgensen(1988) en (32) cuando dice: (a) la validación se requiere siempre.
(b) Debe intentarse obtener datos para la validación distintos a los utilizados
en la calibración. Es importante disponer de un amplio margen de datos de los
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Páginall7
Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Volver al índice/Tornar a l'índex
generativas
Gramáticas
y recognoscitivas
en sistemascomplejos
atributos medibles definidos en los objetivos del modelo (GRsr). (c) Los
criterios de validación (GR52)se formulan en base a los objetivos del modelo
y de la cantidad de datos.
2". Supongamos que tiene lugar una ligera variación de los datos de un
atributo medible. En tal caso, el criterio consisteen cambiar Y¡ por y'¡ donde
Y'¡ es sinónima de V¡. Por tanto pasaríamosde A¡ d A'i, es decir de la
sentenciaA¡ a su sinónimaA'¡.
3) Finalmente mostraremosun tercer criterio de recognoscibilidad, denotadopor
GRs¡. Este criterio se basa en las palabras que ha generudola graméúica
recognoscitiva GRrz. Para cada ecuación de estado, definidas en forma de
sentencias, definimos un coeficiente de determinación dr a partir de los
coeficientes de determinación rk¡ de las ecuacionesde flujo que forman la
sentencia.en la forma
>,;
lk
do:E'
lk
donde l¡ es la longitud de la sentenciao número de ecuacionesde flujo que la
constituyen. Al
coeficiente dr le llamaremos coeficiente complejo de
determinación de la ecuación de estado.
Este coeficientees el que nos llevará a la elecciónde la ecuación.
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,
CAPITULO
CODIFICACIOI{
DE
LOS LENGUAJES
EMPLEADOS EN
SISTEMASCOMPLEJOS
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Codificaciónde los lenguajesempleados
en los sistemascomplejos
CAPITULO 4
CODIFICACIÓN DE LOS LENGUAJESEMPLEADOS
EN LOS SISTEMAS COMPLEJOS
4.1.INTRODUCCTÓN.
La codificación es un problema esencial en las matemáticas. La
codificación nos permite reducir el estudio de unos objetos a otros que resultan
más convenientespor su fácil manipulación u otros motivos. Rápidamente nos
vienen a la mente códigos utilizados habitualmente como el sistema de
numeración decimal que nos permite representar los diferentes números o el
sistemade coordenadascartesianasque nos permite codificar figuras geométricas
en expresionesanalíticas.
En el capítulo 3 se han obtenido diferentes gramáticas que generan
Ienguajes que nos permiten construir las ecuacionesmatem¿íticasque modelizan
las variables de un sistema.Dependiendode la propia estructuradel sistemay las
gramáticasutilizadas por el modelizador, las ecuacionesque resultan pueden tener
una expresión analítica compleja.
Al
objeto de poder almacenar y manipular un conjunto de estas
ecuaciones, es conveniente establecer códigos que simplifiquen
dichas
expresiones.
Es imprescindibleque estoscódigosverifiquenciertaspropiedades,entre
lasquedestacaremos
las siguientes:
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Codificaciónde los lenguajesempleados
en los sistemascomplejos
Decodificaciónúnica
Procesosencillode decodificación,e
Independenciafrente a las transformadaso
conjuntode funcioneselegidas.
En el presente capítulo se aborda, en primer lugar, el estudio de códigos
que codifican las funciones transformadas de orden uno y orden dos. Estos
códigos son códigos bloque no singulares, es decir, son códigos en los que a
todos los símbolos del alfabeto fuente (alfabeto de la gramáúicagenerativa de
funciones transformadas empleado) les corresponde una secuencia fija de
símbolos del alfabeto código y estas cadenasson todas ellas distintas. Además,
veremos que la codificación de transformadasde orden superior a dos se basa en
la utilización de los códigos obtenidosen las transformadasde orden uno y dos.
En segundolugar se estudiala codificación de las funciones transformadas
de orden n ) 2, observándoseque esta extensiónde los códigos también es no
singular, lo que garantiza que los códigos definidos son unívocamente
decodificables.
A continuación se define un código para las ecuaciones matemáticas,
ecuaciones de flujo, generadas a partfu de las funciones transformadas. Este
código utiliza tres vectores para el almacenamientode la ecuación de flujo. Un
vector es el encargadode almacenarlos coeficientesreales que multiplican a cada
transformada, url segundo vector almacena los códigos de las operaciones que
enlazanlas diversastransformadasy un rercer vector que almacenalos códigos de
cadatransformada.
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Codificación
de los lenguajes
empleados
en los sistemas
complejos
4.2.CONCEPTOSGENERALES.
4.2.r.CÓUICO.
Definición : Sea S : {r,, s2, ....., so} el conjunto de símbolos de un
determinado alfabeto. Se define un código como la correspondenciade todas las
secuenciasposibles de símbolos de S a secuenciasde símbolos de otro alfabeto X
: {Xr, x2, .....,xr}. S recibeel nombre de alfabeto fuente y X alfabeto
código.
Como la definición de código empleada es muy general, vamos a limitar
nuestra atención a códigos que posean ciertas propiedades suplementarias.Para
ello se definen los siguientesconceptos.
4.2.2.PROPIEDADES DE LOS CÓDIGOS
Deninición 1: código bloque. La primera propiedad exigida es que el
código constituya un código bloque, es decir, que asigne cada uno de los
símbolos del alfabeto fuente, S, a una secuencia fija de símbolos del alfabeto
código X. A cada una de estas secuenciasfijas le llamamos palabra código y
representaremospor X¡ a la palabracódigo que correspondeal símbolo si € S.
Definición 2: Códiso no singulat. Es evidente que al urtilizarun código
bloque han de imponerse también ciertas restricciones;una restricción natural es
que todas las palabras código sean distintas, es decir, lo que se denomina un
código no singular.
Definición 3: código unívocamente decodificable. sea s¡1S¡2....S¡¡
una
secuenciade n símbolos del alfabeto fuente a la que correspondeuna secuencia
de símbolosX¡1Xi2....Xinde las palabrascódigo. La extensión de orden n de un
código bloque que hacecorresponderlos símboloss¡ coo las palabrascódigo X¡ es
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Codificaciónde los lenguajesempleados
en los sistemascomplejos
el código bloque que hace corresponderlas secuenciasde símboloss¡1S¡2....si¡
con
las secuenciasde las palabrascódigo X¡1Xi2....Xi¡.
Si la extensión de orden n de un código bloque, para todo n, es no singular,
podemosasegurarque el código es unívocamentedecodificable.
Definición 4: Código instantáneo. Otra restricciónque podemosimponer,
aunqueno es absolutamentenecesaria,a los códigos es que seaninstantáneos, es
decir, que puedan decodificarse las palabras de una secuencia sin precisar el
conocimientode los símbolos que las sucedan. Si llamamos prelijo de una
palabracódigo X¡ : Xi1Xi2....Xim
Ír la secuenciade símbolosxirxiz....X¡corrj< m es
obvio que una condición necesariay suficiente paraque un código sea instant¿íneo
es que ninguna palabra del código coincida con el prefijo de otra.
Propiedad 1: Si representamospor 11, 12,...., lo las longitudes de las
palabras del código, es decir, el número de símbolos que forman las palabras
código, una condición
suficiente para que exista un código instantáneo con
palabras de longitud 11,12,...., lo la obtuvo Kraft en 1949 (36) y la expresó
mediante la inecuación
-q
\---4
¿.T
u l
>I
(4.1.)
r=l
siendo r el número se símbolos del alfabeto código.
El hecho de que la relación anteriortambiénseaválida para los códigos
unívocamente decodificables fue probada por McMillan (40) en 1956 y
posteriormente por Karush (33) en 1961que simplificó la demostración
como
puede verse en el texto "Teoria de la Informacióny Codificación"de Norman
Abramson (45).
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Codificación
de los lenguajes
empleados
en los sistemas
complejos
La figura 4.1. muestrala ramificación seguidaen el arbol parallegar ala
subclasecorrespondientea los códigosinstantáneos.
No bloque
Singular
Códigos
No unívoco
No instantáneo
Bloque
No singular
Instantáneo
figura4.1. Subclases
de códigos.
Definición 5: códigos compactos. como podemos suponer, para un
alfabeto fuente y un alfabeto código dados, es posible, sin embargo, elaborar más
de un código instant¿áneo
o univocamentedecodificable.
De ello se deduce que es importante adoptar un criterio que permita elegir
uno de entre ellos. Desde el punto de vista de la mera economía de expresión y la
consecuenteeconomía en el equipo de comunicación, sin tener en cuenta otras
consideraciones,es preferible un código formado por muchas palabras cortas a
uno con palabrasde gran longitud.
Si definimos la longitud media de un código por la ecuación
.1
L =\P,l,
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(4.2.)
Página 124
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Codificación
de los lenguajes
empleados
en los sistemas
complejos
donde P¡ es la probabilidad de que la fuente emita el símbolo i , seráinteresante
encontrar códigos unívocos de longitud media mínima. A estos códigos se les
llama códigos compactos.
Recordando que la entropía de una fuente de memoria nula, es decir, de
una fuente de información en la que los símbolos emitidos, s1, s2, ...., sq son
estadísticamente
independientes,con probabilidadesPbp2,...., po , es
H(s)= -lr,bgp,
(4.3.)
l=1
al
y quesi Qt > 0, i:l,....,q ,pffidcualquier
i,y
ZQ,
= l sedemuestra
en (45)que
q
fI(s)= -I¿ toeQ,
(4.4.)
i=l
y tomando
Q,t q= ::
f
(4.5.)
r-"
t=l
se llega a la conclusiónde que
q
q
u
L
,\
: -I4 tael < -lr,rog(r-t,) *
t¿(,s)
togir-,, l. trcr,
I4l
j=l
t=l
i=t
¡=r
\
)
g.6.)
y expresando la entropía en unidades r-arias, H,(s) < r , desigualdad que se
convierte en igualdad puru
fr-',
.
t=l
o de otramanera
,, 1
of,
n=I,paratodoi
Resumiendoestasconsideraciones,
puededecirseque L alcanzarásu valor
mínimosi puedenelegirselaslongitudesde laspalabras,
l¡, igualesa logr(l/p¡).
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Codificación de los lenguajesempleadosen los sistemascomplejos
En otras palabras,la condición de igualdad es que las probabilidadesde los
símbolos seande la forma [1)"'
\r)
aona€ cr,¡es un número entero. Eligiendo l¡ : cri
se habrán encontrado las longitudes de las palabras que constituyen un código
compacto.
Para el caso de que las probabilidades de los símbolos sean arbitrarias
puedeutilizarseel algoritmo de Huffmanparala obtenciónde códigoscompactos.
Este algoritmo se basaen ordenarlos símbolos51,s2,.....,sqde una fuente S cuyas
probabilidadesson Pr, Pz, .....,Pq,respectivamente,
de forma que p1> pz> .....>pq.
Imaginando que los dos últimos símbolos se confunden en uno sólo se obtiene una
nueva fuente con q-1 símbolos. Esta fuente se denomina fuente reducida de S. Los
símbolos de estanueva fuente puedenreordenarse,agrupandode nuevo los dos de
menor probabilidad para formar una nueva fuente reducida. Continuando el
proceso repetidas veces, de llega a una fuente con dos únicos símbolos. Huffrnan
demostró que el código instantáneo compacto de una de las fuentes de la
secuenciase deduce fácilmente conocido el de la fuente inmediata siguiente. Por
lo tanto empezando por codificar la última fuente con un código instantiáneo
compacto (por ejemplo, con el código 0 y 1), se irá ascendiendohasta encontrar el
código instantáneocompacto correspondientea la fuente original.
Sea S¡una de las fuentes de la secuencia.Uno de sus símbolos, digamos su,
estaráformado por dos símbolos,SaO
y Sal,de la fuente precedenteS;-r.Todos los
demássímbolosde S¡ se identificancon los símbolosde S¡-r.Segúnesto,el código
instantíneo correspondientea S¡-1se deduce del correspondientea S¡ de acuerdo
con la regla siguiente:
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Codificaciónde los lenguajesempleados
en los sistemascomplejos
"Se asigna a cadasímbolo de S¡-r(excepto saoy sal) lapalabra asignadaal
símbolo de S¡. Las palabrascolrespondienteso sa¡y su1se forman añadiendoun 0
y un l, respectivamente,
a la palabraasignadaa su."
4.3.
CODIFICACIÓN
DE
LAS
FUNCIONES
TRANSFORMADAS
4.3.I, CODIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES TRANSFORMADAS
DE PRIMER ORDEN.
En el apartado3.4. definimos el vocabularioprincipal de la grarnática
generativade las ecuaciones
transformadas
deprimer ordencomoel conjunto
Vr:
f., (, ), x }
{fr, f2,......,
Si consider¿Imoseste vocabulario como el alfabeto fuente podemos
definir un código como la correspondenciade todas las secuenciasposibles de
símbolosde vr e L(G11)a secuenciasde símbolosde algún alfabetoX : {x1, x2,
.....,xr) al que llamaremosalfabeto código.
a) Código binario de tongitud constante(CLCTlt
Basándonosen la teoría expuestaen el apartado5.2.2.,podemos realizar
la codificación de la gramática generativa de las ecuaciones transformadas de
primer orden Vr : {ft, f2,......,f;, (, ), x } mediante un código de longitud
constante formado por el alfabeto código binario X : { 0, 1} de la siguiente
manera:
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Codificación
de los lenguajes
empleados
en los sistemas
complejos
Como el número de símbolos del alfabeto fuente es m+3 y el número de
símbolos del alfabeto código es 2 aplicando la inecuación de Kraft se debe
cumplir que
nt+3
T?r' < 1
(4.7.)
por lo que
m+3
Tf-¿
.¿_¿-
'il+'
-)-t
t-)-t
t-
¡-t
.. I
. . . ,+ 2
- ' = (/ -m
*3)2-t <l
i=t
esdecir,
L
2 - , -<m + 3
'
_tu.2<rrr_!m+3
', _ t r n 2 < _ l n ( m + 3 )
por lo quenecesitamos
quelaspalabrascódigotenganunalongitud,I tal que
+ 3)
¡ ,ln( m
ln2
(4.8.)
Proposición 1: Sea el conjunto Vr = {fu f2u.....,f^, (, ), x } , al que
llamaremos alfabeto fuente y el conjunto X : {0, 1} al que llamaremos
alfabeto código. Sea además L(X) el conjunto formado por todas las cadenas
de longitud n tal que 2n-t
unívocamente decodificable como la correspondencia de todas las secuencias
posibles de Vr eL(Grr) a secuenciasde símbolos de X eL(X) .
Demostración: Consideremosla correspondenciadefinida mediante la
tabla siguiente:
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Págína128
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Codificaciónde los lenguajesempleadosen los sistemascomplejos
?n-+
b,n+l:01....00
?n+
bm+z:01....10
figura4.2
donde bi es la representaciónen binario del número i utilizando n dísitos.
El código formado constituye un código bloque no singular, pues de la
figura 5.2. se desprendeque V S¡,s.¡€ Vr si i + j se tiene que bi+b¡.
Además,como hemoselegidolas cadenasb1e L(X) de longitud constante,
se tiene gatarftízadaquela extensión de cualquier orden del código también forma
un código no singular.
De todo ello se deduceque el código es unívocamentedecodificable,c.q.d.
También es facil observar que el código es instantáneo ya que ninguna
palabra del código es prefijo de otra.
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Codificación
de los lenguajes
empleados
en los sistemas
complejos
Ejemplo:
Si el númerode funcioneses5 setendráque
, - ln(5 + 3)
ln2
ln8
ln23
:_:_.
ln2
ln2
.
y un código podría ser:
frgtxa4.3
Así el códigoparafa(x)será100110000111
y la decodificación se realiza partiendo la cadenaen subcadenasde longitud 3, es
decir,
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Codificaciónde los lenguajesempleados
en los sistemascomplejos
100-110-
-L--------)
000-111
x
(
fq
Matemáticamente
se puedeobtenerla decodificacióndividiendopor m la
cadenasucesivas
veces.Los restosde la divisióny el último cocientenos dan el
resultadode la decodificaciónbuscada.
En nuestroejemplo,como ffi: 5, el númerode símboloses m*3 : 8 (en
binario1000)por lo que
1 0 0 1 1 0 0 0 0 1m1o1d1 0 0 0: 1 1 1- + )
1 0 0 1 1 0 1 1 1 0d0i 0v 1 0 0 0 : 1 0 0 1 1 0 0 0 0
1 0 0 1 1 0 0 0mo
0 d1 0 0 0 :0 0 0-+ x
1001100d
0 i0v 1 0 0 0 : 1 0 0 1 1 0
1 0 0 1 1m
0 o d1 0 0 0 : 1 1 0+ (
1 0 0 1 1d0i v 1 0 0 0: 1 0 0-+ f¿
b) Códieobinario compacto(CBCT1).
como podemossuponer,para un alfabetofuente y un alfabeto código
dados, es posible, sin embargo, elaborar más de un código instantáneoo
univocamente
decodificable.
Teniendo en cuenta que la emisión de los símbolos del alfabeto fuente fi,
fz, ......,fn, es equiprobable,y prescindiendode la subcadena(x), ya que sabemos
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Codificación
de los lenguajes
empleados
en los sistemas
complejos
que todas las cadenas terminan igual, podemos construir un código compacto
binario aplicando el algoritmo de Huffman(29).
Como ejemplo de aplicación supongamosel casode 5 funciones
Símbolos probabilidades código
fl
0,2
01
0,4 00
f,
0,2
10
0,2 0I
0,4 1
0,6 0
r>
0,4ooll
0,4 I
f3
0,2
11
0,2 l0
0,2 0l J
fo,
0,2
000
0,2 11
fs
0,2
001
fi,gura4.4
de donde resulta el siguiente código
fi,gura4.5
Las longitudes mediaspara estecódigo han resultado ser:
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Codificaciónde los lenguajesempleados
en los sistemascomplejos
L :2.0,2 + 2.0,2+ 2.0,2+ 3.A,2+ 3.0,2: 2,4 binits/símbolo
Para completar este código solamentedeberemosanteponero posponer el
código que deseemosemplear paralavariable ala quese aplican las fi.rnciones.
c) CódigoseeúnGódel(CGTl).
A continuación,y para finalizar con la codificación de las funciones
transformadas
de primer ordenpodemosofrecer,a modo de ejemplo,otro tipo de
códigobasadoen la técnicaque propusoKurt Gódel,consistenteen ordenarlos
símbolosde la fuente y hacerlescorresponderacada uno de ellos un número
natural,es decir, se establecela correspondencia
de s -+ N dadapor s¡ -+ i . La
codificaciónde una cadena X6X1...X¡
se realízaasignándoleel número natural
p';' .pl'....pv;, siendop¡el i-ésimonúmeroprimo e)t¡el códigocorrespondiente
al
símbolox;.
Para ello, asociaremos a cada símbolo del alfabeto fuente un número
natural:
símbolo:
fi
número asociado,y :
I2
fz
f:,
^J
f,
a
J
m
(x)
m+l
m+2 m+3
Como la descomposiciónfactorial de un número en sus factores primos es
única, la decodificación única está sarantizada.
Comoejemplopodemosponer:
símbolo:
(x)frfzf3fqfs
número asociado :
r2345678
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Codificaciónde los lenguajesempleadosen los sistemascomplejos
La codificaciónde f¡(x) será
2 6 ' 3 t . 5 2. 7 3 : 1 6 4 6 4 0 0
4.3.2. CODIFICACIÓN
DE LAS FUNCIONES TRANSFORMADAS
DE SEGUNDO ORDEN.
En el apartado 4.5. del tema anterior definíamos las funciones
transformadasde segundoorden como las expresionesde la forma
0¡O"0.¡
siendo 8n una operaciónentre funciones y 0i : fi(x) en la que x es la variable que
aparece en el alfabeto principal de la gramáúicagenerativa de las ecuaciones
transformadasde segundoorden.
Vamos a exponertres códigosdistintos:
a) Códieo binario de longitud constante(CLCT2).
De la misma manera que codificamos las ecuaciones transformadas de
primer orden mediante el código CLCT2, podemos realizar la codificación de la
gtamática generativade las ecuacionestransformadasde segundoorden Vr :
{fr,
f2,......,f*, 81, E,2,.....,8r.,( ,) ,x ) mediante un código de longitud constante
formado por el alfabeto código binario X : { 0, 1} de la siguientemanera:
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Codificación
de los lenguajes
empleados
en los sistemas
complejos
Comoel númerode símbolosdel alfabetofuenteesm+k+3 y el númerode
símbolosdel alfabeto código es 2 aplicandola inecuaciónde Kraft se debe
cumplir que
nt+k+3
Zz-"=t
(4.e.)
¡-l
por lo que
m+k+3
m+k+3
Z 2 - , ' = 2 - t + Z - , + . . . .. . . . . . . -+ Z - t= ( m * k + 3 ) 2 4 < l
es decir,
2-, <
I
m+k+3
,
-lln2< ln---!-,
m+k+3
-rrn2< -rn(m+
k +3)
por lo que necesitamosque las palabrascódigo tengan una longitud / tal que
l>
ln(m+ k +3)
ln2
( 4.10.)
Proposición2: Seael conjunto Vr = {fi, f2,......,fr,Or, Oz, ....,Or (, ), x},
al que llamaremos alfabeto fuente y el conjunto X = {0, U aI que llamaremos
alfabeto código. Sea además L(X) el conjunto formado por todas las cadenas
de longitud n tal que 2n-l < m+k+3 < 2n. se puede definir un código
unívocamente decodificable como la correspondencia de todas las secuencias
posibles de Vr e L(G12) a secuenciasde símbolos de X e L(X) .
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Codificaciónde los lenguajesempleadosen los sistemascomplejos
Demostración: Consideremosla correspondencia
definida mediantela tabla
ftgrxa4.6
donde bi es la representaciónen binario del número i utilizando n dísitos.
El código formado constituye un código bloque no singular, pues de la
figura 5.6. se desprendeque V S¡,s¡ € Vr si i + j se tiene que bi+bi.
Además, como hemos elegido las cadenasbi e L(X) de longitud constante,
se tiene gatantrzadaque la extensión de cualquier orden del código tambiénforma
un código no singular.
De todo ello se deduceque el código es unívocamentedecodificable,c.q.d.
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Codificaciónde los lenguajesempleados
en los sistemascomplejos
También es flícil observar que el código es instantáneo ya que ninguna
palabradel código es prefijo de otra.
Ejemplo:
Si el númerode funcioneses5 y el númerode operaciones
2 setendráque
T>
In (5+ 2+ 3)
=
In2
#
=3,3219
esdecir,/:4
y un códigopodríaser:
figxa4.7
Así, el código para f3(x) 81f2(x) será
0 0 111 0 0 1 0 0 0 1 0 1 010010 0 1 0 1 010010 0 1 0 1 0
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Codificaciónde los lenguajesempleados
en los sistemascomplejos
b) Códieo binario compacto (CBCT2).
En la codificación que acabamosde estudiar las cadenasque resultan de la
codificación de las transformadasde segundo orden son bastante largas. Es por
ello, por lo que a continuación estudiamosun código más compacto para codificar
dichas funciones transformadas.Y para ello podemos prescindir de la subcadena
(x) ya que en todas las transformadasaparecela misma variable.
Si disponemos de m transformadas de primer orden, sabemos que el
número mínimo de dígitos necesariospara poder expresarmediante un número en
binario cada función es el menor número natural n1 tal que 2n' ) m y el número
mínimo de dígitos necesariospara poder expresar las k operacioneses el menor
númeronaturaln2 tal que 2n,>k.
De ahí que el número mínimo de dígitos binarios para poder expresartodas
las funciones fi8¡{ serán, cumpliéndose
2 n> m . k . m : m 2. k
Enunciaremosla siguienteproposición:
Proposición 3: Sea el conjunto Vr = {fi, f2r......,fr, Or, O2, ...., g¡} , al
que llamaremos alfabeto fuente y el conjunto X :
{0, l} al que llamaremos
alfabeto código. Sea además L(X) el conjunto formado por todas las cadenas
de longitud n tal que 2n-r
unívocamente decodificable como la correspondencia de todas las secuencias
posibles de Vr eL(G12) a secuenciasde símbolos de X e L(X) .
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Codificación
de los lenguajes
empleados
en los sistemas
complejos
Demostración: Consideremoslas correspondencias
definidasmediantelas
tablas4.8 y 4.9,
figura4.8
dondeal esla representación
enbinariodel númeroi-l utilizandon1dígitos.
ftgt¡a4'9
donde b¡ es la representación en binario del número i-l utilizando n2 dígitos.
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Codificación
de los lenguajes
empleados
en los sistemas
complejos
El códigoque conespondea la transformadaf;8"{ es la representación
en
-Fa¡_rcoon dígitos.
binariodel númeroA: (a1-1.k
+ bn-1).m
La codificación se realizarádel siguientemodo:
A mod m: aj-l ---+
t
A div m: B : e-r.k * bn-l
B mod k: bn-r _____>8n
B div k: a¡-r
> fi
Ejemplo:
Si el número de funciones es m : 5 y el número de operacioneses k : 3
emplearemosel siguiente código
fi :000
8l:00
ü : 001
8z: 01
f¡ :010
8¡ = 10
f, : 011
fs: 100
Entonces,comoel númeromáximode ecuaciones,
de la forma f;on{ , que
sepuedenformares 5' 3' 5 : 75,senecesitan
númerosbinariosde n : 6 digitos
paracodificarlas,
ya que27> 75 > 26,y su códigoseríael quesigue:
fr 8r fr : 0000000
fr Az fr : 0000101
fr A: fr : 0001010
fi Ar ü : 0000001
fi @zfz:0000110
fr 8s ü : 0001011
fr Ar ü : 0000010
fr Azf: : 0000111
fr A¡ f: : 0001100
f r Ar ü : 0 0 0 0 0 1 1
fl Szfq:0001000
fr A¡ f¿:0001101
fi 8r fs:0000100
fi Szfs:0001001
fr 8¡fs:0001110
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ü Arfr :0001111
fz Qzfi:0010100
ü 8¡ fr :0011001
f z8 -tfz:0 0 1 0 0 0 0
fzSzfz:0010101
fzQtfz:0011010
b.8$t:0010001
fzSzfz: 0010110
ü A: f¡ : 0011011
ü ar ü:0010010
f z ar fs : 0 0 1 0 0 1 1
fzSzfq:0010111
fzSsfq:0011100
b.@zfs:0011000
ü 8 ¡ f s: 0 0 1 1 1 0 1
f:8rü:0011110
f¡ Az fr : 0100011
f: A¡fi:0101000
fsarü:0011111
hSzfz:0100100
f¡ asü:0101001
f ¡ A r f¡ :0 1 0 0 0 0 0
f¡ Azf::0100101
f¡ A¡ f¡ :0101010
f¡ Arü:0100001
fsAzfa:0100110
f ¡ A sü : 0 1 0 1 0 1 1
f¡ 8r fs:0100010
f: 8z fs: 0100111
f ¡ 8 s f s: 0 1 0 1 1 0 0
ü 8r fr :0101101
ü A zf r : 0 1 1 0 0 1 0
ü A: fr : 0110111
üArü:0101110
fa,&zfz: 0110011
fq8t fz: 011I 000
üArü:0101111
f+E'zh: 0110100
ü arf+: o11oo0o
fqSzf+:0110101
ü 8¡ f¡ :0111001
ü a: ü :0111010
ü 8 r f s: 0 1 1 0 0 0 1
ü 8 z f s: 0 1 1 0110
ü 8 ¡ f s: 0 1 1 1 0 1 1
f sa r f r : 0 1 1 1 1 0 0
fs Szfr : 1000001
fs A¡ fi : 1000110
f s8 r f z : 0 1 1 1 1 0 1
f s8 z ü :
fsa:ü:1000111
f s 8 r f s: 0 1 1 1 1 1 0
fs az f¡ : 1000011
fs A¡ f¡ : 1001000
f sA r ü : 0 1 1 1 1 1 1
fs 8z f¿: 1000100
f s8 ¡ ü : 1 0 0 1 0 0 1
fs 8r fs : 1000000
f sS z f s : 1 0 0 0 1 0 1
f583 f5: 1001010
1000010
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Codificación
de los lenguajes
empleados
en los sistemas
complejos
Para explicar su decodificación tomaremos como ejemplo la ecuación
0101000.
0101000mod 101: 000 que conespondea f1
Además0101000div 101: 1000, por lo que
1000mod 11 : 10 que corresponde
a O3
y como 1000 div 11 : 010 que coffespondea f3
se tendráfinalmenteque 0101000-+ f¡ 8: fr.
c) Códieo basado en Giidel
Siguiendo el mismo procedimientoque el utilizado en el apartado5.2.1.
podemosponer para 5 funciones y 3 operacionesel siguiente código
símbolo:
(
númeroasociado: 1
x
)
fl
fz
f3
fq
fs
Or
8z
gs
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
con lo que la codificaciónde la ecuación ü(x) Ozf¡(x) será
2 s . 3 t . 5 2. 7 3 . 1 1 1 0 .1 3 6. I 7 1. l g 2 . 2 3 3:
: 7695 41345821883405315794769 5200
4.3.3.CODIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES TRANSFORMADAS
DE TERCER ORDEN.
En el apartado3.3.3. del tema anterior definíamoslas funciones
transformadas
de tercerordencomolas expresiones
de la forma
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Codificaciónde los lenguajesempleados
en los sistemascomplejos
ó (0i4,0:)8,0r
0i8,"(0¡8"ór)
I
es decir, TrOTz ó TzOTr donde T¡ representauna función transformada de primer
orden y T2una función transformadade segundoorden.
Por tanto, es lógico pensar que la codificación de las ecuaciones
transformadasde orden 3 puede realizarsea partir de los resultados obtenidos en
la codificación de las transformadasde orden uno v dos.
a) Código binario (CBT3).
Como hemosvisto anteriormente,seguiremosllamando fb fz, ....., f* a las
m funciones de variable real utilizadas como funciones transformadasde primer
ordeny 8r, 82, ...., 8r a las k operacionesdefinidasentrelas funcionesanteriores.
Para la codificación de las m funciones transformadas de primer orden
utilizaremos el número binario i-l (expresadocon n dígitos, siendo 2n > m) parc
representar la función fi ! para las transformadas de segundo orden el código
CBCT2.
Además como las operaciones que intervienen en las ecuaciones
transformadasde tercer orden no son, en general, conmutativas,necesitamospara
su decodificación algo que nos indique si la ecuación es de la forma TrOTz ó
TzOTr. Esto lo podemos solucionarañadiendoun bit (0 ó 1) al comienzo de la
cadenacodificada.
Veamos wr ejemplo práctico con las 5 funciones y 3 operacionesutilizadas
en el apartadoanterior.
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Codificación
de los lenguajes
empleados
en los sistemas
complejos
Seala ecuaciónf2(x)8r(ü(x) a2fa(x)).Prescindiendo
de los paréntesis
y la
variable,puesno vana sernecesarias,
comoa:
f2 le correspondeel código 001
81 le corresponde00
fz8zf+le corresponde
0010111
y empleandoel dígito 0 como primer dígito de la cadenacodificadapara indicar
que la ecuaciónes de la claseT18T2 resultaque
fz(x)8r(ü(x) a2fa(x))+ 0001000010111
Sea,ahorala cadena1100011100001sudecodificación
escomosisue:
Lacadenaerrtpieza
conun 1,luegoesde la claseT2OTIpor lo que
l - 1 0 0 0111 -0 0- 0 0 1
--T-
T- a
TL---+
¡
I---------------)
e,
fs g¡ ü
y por tanto
11000111000+
0 1 ( f sA : ü ) A r f z
b) Código basado en Giidel
Para este código no es necesario añadir ningún concepto teórico nuevo a
los vistos anteriormentey bastarácon un ejemplo.
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Codificación
de los lenguajes
empleados
en los sistemas
complejos
observando Ia codificación empleada en el apartado anterior, la
codificaciónde f2(x)Ar(ü(x) 82fa(x))será
. 2910
. 3r7. 371. 4r2. 433. 473
2s- 31. 52. 73- ge. 111. l3s . r71. 192.233
4.3.4.CODIF'ICACIÓN DE LAS FUNCIONES TRANSFORMADAS
DE ORDEN N.
a) Código basadoen CLCTI y CBCT2.
Todas las funciones transformadasde orden n > 3 pueden codificarse a
partir de la codificación de las transformadasde orden uno y dos con la adición,
en los códigos,de los paréntesisnecesariosdebidosa los tipos de las operaciones
utilizadas en la construcción de las funciones transformadas de orden n y que
deberáestudiarsepara cadacasoen particular.
Así, por ejemplo si tuvieramos que codificar transformadas de orden 4
procederíamosde la siguiente manera:
Representemospor T¡ :
{Tit, Ti2,.......}"1 conjunto de todas las
transformadasde orden i, i : 1,2,3,4 y por I cualquier operación utllizada. Cad,a
transformada de orden 4 puede descomponerseen transformadasde orden uno y
orden 2, como se indica en la figura 4.10, obteniendo así, diferentestipos de
transformadas.
En el conjunto de transformadasde orden 4,T+, podemos establecerla
siguiente relación:
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Página145
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Codificación
de loslenguajes
empleados
en los sistemas
complejos
Sean Tai, T¿j y Tak son
Diremos que "dos
funciones transformadas cualesquiera de Tq.
funciones T¿i, Tni están relacionadas si
en su
descomposiciónen transformadas de orden uno y dos son del mismo tipo',
Representando
por M la relación"perteneceral mismo tipo" puedeverse
f;ícilmentequeM esunarelaciónde equivalencia,yaqueverifica laspropiedades
1 ) Reflexiva: T + ' M T 4 ' , V i
2) Simétrica:Si TaiM T/ entoncesToi M Tai , Vi;.
3 ) Transitiva: Si T¿iM T+jy T¿jM TakentoncesT+iM T4k, Vij, k.
quedandoel conjunto T+ dividido en clasesde equivalencia.En la figura 5.10
puedenobservarse8 clasesde equivalencia,aunqueen los casosprácticos alguna
(T1ATr)A TrO Tr : TzOTrO Tr
Tr8 (TrO T1)O Tr : Tr8 T28 T1
/rl
"
1,.,J
J
I
;l
;
b;:i;Ji,.,
TrOTrOTrA Tr 7/
\-------+
TrO (TrO T18 Tr): T18 T3
.r'TrO(TrO
T2)
\r,o(r2or1)
\
\
t (t,o rr8 Tr)or1: T3orr/
y'(r@rz)o rr
\(r2orr)o
rr
figura4.10
de ellas podría no existir dependiendo de las propiedades de las operaciones
utilizadas.
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Codificación
de los lenguajes
empleados
en los sistemas
complejos
Ejemplo práctico de codificación:
Seael casode 5 funcionesfi, f2, f3,fa, f5 y 3 operacioflesO1, 8z , @y
Empleando los códigos de los apartados anteriores y añadiendo a\
principio de la cadenacodificada un código que indique la clase de transformada
se tendrá:
Si los códigos del tipo de transformadason :
TzOTrO Tr :000
T rO T zOT r :0 0 1
T rO T rO T z : 0 1 0
TzrulTz
: 011
TIAGTOTz) : 100
T18(T28T1) : 101
(TlATrATr : 110
(T 2 A T 1 )A
Tr : 111
la codificaciónde ü(x)Ar(ü(x)42f1(x))Ozf¡(x)será
0 0 1- 0 0 1- 0 0- 0 11 0 0 1-0 0 1- 0 1 0
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f:
@z
fq E,zft
81
fz
TrO TzO Tr
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b) Códieo CBTn.
El proceso de codificación utilizado en el apartadoanterior puede no ser
demasiado útil para extenderlo a transformadasde orden elevado, ya que en su
descomposiciónen transformadasde orden uno y dos el conjunto cociente que se
obtiene, Tn/M, poseedemasiadasclasesde equivalencia.
Por este motivo, y debido q que en una función transformadade cualquier
orden sólo aparecen transformadas de primer orden, operadores y paréntesis
(prescindimos de la variable) nos inclinamos por utilizar el método de Huffman
para la creación de códigos binarios en la que consideraremosque todos los
símbolos del alfabeto fuente son equiprobables
Como ejemplo vamos a realizar la codificación del caso de cinco
transformadasde primer orden, f1, f2, f3,ü y fs dos operadoresO1 y O2.
Sím. prob. cód.
\ ll9
001 2t9
000 2t9
fz 1/9
010
l/9
001 2/9 000 2/9
ll
h 1/9
011
U9
010
r/9 001 2/9
000 2tg
f4 ll9
100
It9
011
v9
010
fs l/9
101
1t9 100
v9
011 U9
@t t/9
110 t/9
101
1/9 100 1/9 011
@2v9
111 v9
ll0
U9 101
( r/9
0000 t/9
1l I
) 1/9
0001
11
Así si f1: sen(x) , f2: exp(x), f::
219 10
2t9
01
3tg 00
4/g 1
2/g
t0
2/g
0l
3/g o0 4tg I
ll
2tg
10
2tg 0l
1t9 001 2tg
010 Ug
ln(x), f4:x2,f5:
000 2/g
s/9 0
tl
001
1/x,8t : f, 8z:
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o
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en los sistemascomplejos
la codificaciónde la funciónsen(x)+1/x+ln(x2)
sería,prescindiendo
de la variable
será
-+ 001I 10101
f1+f5+(fioü)
110000001
111I 1000001
y l a d e co d i fi ca cidóen0 0 1 1 1 1 101110011
es
001- 11I - 10 1- 110-011 -+ frofs+f3 + sen(1/x)+1n(x)
4.4.CODIFICACIÓN UN LAS ECUACIONESDE FLUJO.
En la sección3.5. definíamosuna ecuaciónde flujo como toda expresión
de la forma
Q = Ao @o, Artf,' @o, Art.!,,Oo,
@o, A,t f ,
donde
(p es vna variable de flujo,
40, At, .......,An soncoeficientes
reales,
Oo, , @u,
tl,' , t fr'
@0,son operadoresaritméticos y
1,, sonfuncionestransformadas
y donde los superíndicesindicanlavariable independientede cada transformada.
Suponiendoque ya tenemoscodificados todos los operadoresaritméticos y
todas las funciones transformadasmediante alguno de los procesosexplicados en
los apartados anteriores, la codificación de una ecuación de flujo se reduce al
almacenamientode los coeficientes,operadoresy funciones transformadasen tres
affays paralelos unidimensionales
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Codificación
de los lenguajes
empleados
en los sistemas
complejos
¿h
vr.
Ao
^
^2
A _ :'
'aD -
t-
^
A,
Ejemplo.
Sea<puna variable de flujo que dependede 4 variables Xl, X2,x: y x+.
Las funciones transformadasde orden uno utilizadas son
f1: sen(x) , f2 : exp(x), f¡ : ln(x), fq: x2 y f5 : llx
y los operadoresson 81 : * (suma)y 82 : * (producto).
La codificación de la función
- ln x3 * 4,3 e,o.Llxs
e : 3 + 2.llx1.senxtr 0,5xz2
podría realizarsede la siguientemanera:
Codificación de los operadores:
*:0.
a:1
Codificación de las variables:
x 1: 0 0 ,
x 2 : 0 1 , x g: 1 0 y x q : I l
Codificación de las transformadas:Para las transformadasde orden dos v
utilizando el código CBCT2 se tiene que
l/x'senx: fs 8z fr -+ 0101101
e *'l l x: fzE,zG - + 0011101
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Codificaciónde los lenguajesempleados
en los sistemascomplejos
y para las transformadas de orden uno, utilizando el código CBCTI se
tiene que
x2 : fq-+ 000
lnx:f¡+11
resultandoque q se codifica mediante los arrays siguientes:
lr)
tzt
lo)
¿:lo.sl *=lol
l-'l
[o,rj
lol
(o/
fororror]
,=l oooI
| " I
\ool''ori
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7
CAPITULO
APLICACION:
SUBMODELO
REPRODUCTIVO
DEL
MODELOMARIOLA
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Aplicación:Submodeloreproductivodel modeloMariola
CAPÍTULO 5
APLICACION:
SUBMODELOREPRODUCTIVODEL MODELO
MARIOLA
5.T.INTRODUCCION.
El estudio que vamos a realizar está basado en un caso concreto de
modelización matemáticapublicado en la revista Ecological Modelling (ver 56,
Villacampa et al., 1999) y realizadopor un grupo de investigadoresentre los que
se encuentranel autor del presenteproyecto y el director del mismo.
En este apartado exponemos de forma resumida los objetivos que se
persiguen con el estudio y modelización de un subsistema (subsistema
reproductivo) que forma parte del modelo MARIOLA
que modeliza un
ecosistematerrestreconcreto.
La erosión, y el proceso de desertízación,una de sus obvias consecuencias,
es uno de los principales problemas medioambientales de los países
mediterráneos.Grandes areasde antiguos bosquesse han convertido en zonas de
arbustos,consideradascomo la fase final de un procesode degradación.
Sin embargo, las tienas arbustivas mediterráneasjuegan un papel
importante en la protección del suelo frente a los procesos de erosión hídrica,
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999
Página153
Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Aplicación:Submodelo
reproductivo
del modeloMariola
especialmente en áreas orográficas caracterizadaspor sus grandes pendientes,
muy dañadaspor precipitacionesirregularesmuy intensasy rocalizadas.
Si fuésemos capacesde predecir el comportamiento de un ecosistemade
arbustos frente a variaciones climáticas, dispondríamos de una poderosa
herramienta para tomar medidas preventivas sobre la planificación y protección
del suelo.
El modelo MARIOLA ((5a)usó-Domenechet al. 1995;(57)villacampa et
al. 1997) apareciócomo consecuenciade estasnecesidades.Dicho modelo está
basado en un ecosistematerrestre montañoso localizado en la Sierra de Mariola
(Alicante), y es una simulación del comportamiento y evolución de un típico
ecosistemade arbustosde las zonasmediterráneas.
El modelo MARIOLA consisteen los siguientessubmodelos:
1. Submodelode crecimiento:crecimiento,defoliación y destrucciónde la
biomasa.
2. Submodelode la descomposiciónde la biomasaperdida.
3'Submodelo reproductivo :formación de brotes, floración y fructificación.
Este modelo fue desarrollado para el arbusto mediterr:áneoCistus Albidus
L.
((5a)usó-Domenech et
al., 1997), Las interacciones entre arbustos
mediterr¿ineosen el contexto del modelo MAzuOLA también ha sido estudiadoen
(52)(Mateuet al., 1997).
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999
Página154
Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Aplicación:Submodeloreproductivodel modeloMariola
El arbusto mediterráneo Cistus Albidus L. se encuentraabundantementea
lo largo de toda la Comunidad Valenciana. El tipo biológico corresponde a la
Nanofanerifita con un tamaño comprendido entre los 40 y los 120 cm. Su período
de floración conesponde en su mayor parte al período comprendido entre Abril y
Junio aunquepuede apareceruna primera floración enMarzo y latiltimaa finales
de Julio. Los fenómenosreproductivos dependende las característicasclimáticas
donde se localizan las especiesvegetales,pero también dependende determinados
factores como el nitrógeno y el magnesio aunque es muy dificit calcular valores
numéricospara estasvariables.
Paradeterminarel númerode brotes,flores y frutos ha sido necesarioun
procesode conteovisual y que en el casodel CistusAlbidus L. el procesoes
relativamentefácil ya que los brotes,flores y frutos, así como las flores que se
marchitany caensedetectanfácilmente.
La zona experimental ha sido la Sierra de Mariola, en Agres, provincia de
Alicante, urM : 3OsYHl9, con una altitud de 850 m.con un seguimientode las
características climáticas basado en 16 semanas de observación : temperatura
media anual de 14,1oc con unos valoresextremosde 6,5 oc en Enero y 23,roc en
Agosto, una pluviometría anual de 600 mm. y una media de evapotranspiraciónde
757 mm. El substrato geológico es de piedras calizas del período cretáceosobre
las cuáles estiín situadas plataformas calcáreas con una reforestación de Pinus
halepensis.
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Aplicación:Submodeloreproductivodel modeloMariola
5.2.HIPOTESISINICIALES.
Pararealízar el estudio del submodeloreproductivo comenzaremosfijando
los siguientesconceptos:
1. El conjunto de p-símbolos.
El conjunto de p-símbolos o atributos medibles que van a ser tenidos
en cuenta (formado por elementos climáticos y otros elementos referidos a la
planta) se exponen,junto con los símbolos que se ufilizanpara su representación
en la tabla 5.1.
Tabla5.1
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999
Página156
Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Aplicación:Submodeloreproductivodel modeloMariola
2. Conjunto de funciones transformadas de primer orden.
Las grantáticasgenerativasde las funciones transformadasque vamos a
desarrollar están basadasen el siguiente conjunto de frunciones reales de variable
rcal,y que llamaremos conjunto de funciones transformadasde primer orden
exp(-0,lx),arctg(x),
cos(x),!,Ji,Ln(x)}
{7t (r)} = {x2,exp(0,lx),
(5.1.)
3. Conjunto de variables de flujo.
El conjunto de variables de flujo, así como los símbolos que
emplearemospara representarlasse exponen enlatabla 5.2.
Tabla 5.2
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999
Página 157
Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Aplicación:Submodeloreproductivodel modeloMariola
Estasvariablesde flujo son funcionesque dependende ciertos atributos
mediblesy queel criterio del modelizadorha definidode la siguienteforma:
cRGEM(t): f(M, PLU/100,TB)
CRFLOR(I): f(M, T, PLU/100,NHS,NGEM)
CRFRUT(t): f(M, T, PLU/100,NHS,NFLOR)
DGEM(t): f(M, T, pLU/100,NGEM,WS)
DFLOR(t): f(M, T, PLU/100,WS,NFLOR)
(5.2)
DFRUT(t): f(M, T, PLU/100,WS,NFRUT)
GERM(I): f(M, T, PLU/100,NFRUT,NHS)
4. Variablesy ecuaciones
de estado.
El sistemade ecuaciones
diferencialesseha elaboradosiguiendoel primer
procesode recognoscibilidad
GRsr,resultando
ser
dNGEM(t) ^ñ--A:
: CRGEM (r) - DGEM (r) - CRFLOR(I)
dNFLOR(I) ^^_
---= L:R!'LOR(t)- DFLOR(I) - CRFRUTQ)
--
dr
dNFRltr Q)
= GRFRUT(t) - DFRUT(t) - GERM(t)
dt
(5.3.)
5. Vocabulariosde primer y segundoorden.
Los vocabularios
deprimerorden,VPO,de los p-símbolosson:
Vlu, Vlr, VtrLu, Vlws, VIN¡Rur, VlNus, VtNGE¡¡,VlrB y VlNrr-on
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999
(5.4.)
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Aplicación:Submodeloreproductivodel modeloMariola
y únicamenteestánformados por las transformadasde orden cero y orden uno.
También se han utilizado vocabularios de sesundo orden. VSO. formados
por el producto de dos p-símbolos
V'M,T, V2u,pLu,V2v,ws, .............,V2rs.NpI-oR
( 5.5.)
por lo queel t-léxicoquesegeneraes
fL:
V",T,
{ VtM, Vtr, VtpLU,........,Vt*rro*,
V2u,pLu,
V2v,ws,.......,V'1",NFL6R
)
5.3. GRAMÁTICA
GENERATIVA
(5.6.)
DE LAS FUNCIONES
TRANSFORMADAS.
Con los atributosmediblestenidos en cuentay las funcionesreales
empleadas, definimos las gramáticas generativas de las funciones
transformadasde la siguientemanera:
1. vocabulario principal: Es el conjunto formado por los siguientes
símbolos,donder¡ representaun p-símbolode la tabla 1.
Vr,= Ix, , sqr,exp,atctg,cos,
sqrf,ln,(,),1,0.
7,-,., l|
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6 .7.)
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Aplicación:Submodeloreproductivodel modeloMariola
2. Vocabulario auxiliar: Es el conjunto formado por los siguientes
símbolos,dondeS esel símboloinicial:
(5 g.)
vu=6,Rl,R2,R3,R4,R5,Ró,R1,Rs,Re,Rr',R1l
3. Conjunto de producciones o reglas de formación: Es el conjunto de
reglas que se exponen a continuación:
-)
-+
x,,S + .f ¡Rr,,S expRr,S-+ lRr,S -) x,Ro,R,-+ (R'
I
Is
R
*
,
R
,
o=1o'
) x,Ru,Re
)), Rz ) (Rr,R, J
) 0 . l R e , R)* 0 . l R n , (5.e.)
-)'R'R, ) /Rro,Rlo-+ x,,Ro
. ).R,, ,Rr,-> xo
lRn
I
I
dondefirepresentaunafunciónae
{f'(x) - {exp(0.lx),1/x} y k> i.
4. Reconocedor finito de las gramáticas generativas de las funciones
transformadas.
Debido a que todas las leyes de formación son de la forma
A-+aB
ó
A-+a
con A, B e va y a e v1 las gramáticasque hemos definido son regulares.
La expresión regular de las cadenasgeneradaspor estas gramáticas viene
dadapor Ia expresión
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Aplicación:Submodeloreproductivodel modeloMariola
ü : x ¡ + f ¡ ( x , ) + e x p ( [ - 0 . 1 +0 . 1 ] x , )+ l l x , + x i . x k
( s .0
1)
siendo su diagrama de Moore el correspondientea la figura 5.1
figura 5.1
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Páginal6l
Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Aplicación:Submodeloreproductivodel modeloMariola
5.4. GRAMATICAS GENERATIVA Y RECOGNOSCITIVA DE
LAS ECUACIONES DE FLUJO.
Con los lenguajes que se obtienen con las gramáticas generativas de las
funciones transformadasdiseñadasen el apartado anterior vamos a construir las
gramáticasde las ecuacionesde fluio.
En esta aplicación necesitamos obtener expresiones matemáticas para
modelizar siete variables de flujo: CRGEM, DGEM, CRFLOR, DFLOR,
CRFRUT, DFRUT y GERM, como hemos indicado anteriormenteen latabla 6.2.
Estas expresiones matemáticas son las que conocemos con el nombre de
ecuacionesde flujo.
Para su construcción se ha decidido que cada ecuación de flujo esté
formada por la suma de cinco funciones transformadas.
Nuestro objetivo es, pues, crear gramáticas generativas en las que los
lenguajesgenerados
por ellascontengan"palabras" (ecuacionesde flujo) seande
la forma
V _ A ,+ l A , . t ,
(5.11)
i=l
donde por t¡ representamoscualquier transformada obtenida en las gramáticas
generativasdel apartadoanteriory los A¡, i : 0..5 son coeficientesnuméricos.
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999
Página162
Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Aplicación:Submodeloreproductivodel modeloMariola
Las gtarnátticasgenerativasde las ecuacionesde flujo tendrán la siguiente
estructura:
1. Vocabulario principal:
Está formado por los coeficientes reales, las funciones
transformadas y los operadores aritméticos que intervienen en las
ecuaciones.
Vr: {Ao,A6 A2,At,fu,As, tt, t2,t3,t4,ts
,*,'}
(5.12)
2. Vocabularioauxiliar:
Está formadopor el símboloinicial S y todoslos símbolos
necesarios
paraformarlasreglasdeproducciónde las cadenas
Va: {S,R¿iR
, - 4 i *R
r ,q i * 2R, a i * ¡ , i : 0 , I , 2 , 3 , 4 }
(5.13)
3. Conjunto de producciones o reglas de formación:
Vienen dadaspor el siguiente conjunto
- A o R o,Ro,
) fRo,*,
) A,*r Ro,*r ,
,Ro,*,
)
'=
)'R o,*:,Ro,*,) t,*r Ro,*o,Rr
u R11,f
) +
1 ^ 0 ,*,
-+
fR,, ArRrr,R,,-).R,n,Rr, -+ t,
I
[t
tS.t+l
c o ni : 0 , I , 2 , 3 .
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Aplicación:Submodeloreproductivodel modeloMariola
4. Reconocedor finito de las gramáticas generativas de las ecuaciones
de flujo
o-t-(;).
+)
/'
A1 /¡__,_li.)__l
a'\
(.:r- -
\"y--\w5)-
:i
A"
--(
-y)
1,.)
,/
\
t-{,)-.{t-1-@
ó
frgura5.2
5. Gramáticarecognoscitiva
de las ecuaciones
de flujo.
A partir de los datosexperimentales
obtenidosa 1olargode 18 semanasd.e
observacióny aplicandoel primer criterio de recognoscibilidad
GftpI con |a
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Página164
Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Aplicación:Submodeloreproducfivodel modeloMariola
ayudadel programaREGRESSUS(6) se han obtenidolas siguientesecuaciones
deflujo:
:RGEM=rre37827ne
.an{ !4)
\100 )
+8ssz+
32236.47811f).
\M)
+25e688660r3.6s76."rr+:l+
88887665
6e.4e2nctgM
\100/
(s.15)
-3993t297044
DGEM = | 2800e
52s
8s 66?
s(
+sszsoes
83B.423
7(#).
i# )
+ 278464583
I 3.5398
corl "" I - 40.4298
cosWS
+
[100i
P LU-')
+ 953r 439387
.3246arús(
+ +28r $s65s3.4922
-\
r00 /
yy\'+
cRFLoR=24538061248.274s(
\100)
(s.16)
18268010
624.3r7af+
u
+ 0.0001exp
(o.r.Nczu)+fi3786e155e.s8s0.."rr:ill
.
[100/
+ I 8270752691.6942.arctgM - 8207g300505.1208
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999
(5.17)
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Aplicación:Submodelo
reproductivo
del modeloMariola
1
( !!y\' - 21 48000863
DFLo R= -28852500e3.034s.
.%s7{ ) 100)
\M)
\
- 6276407624.4r84-c"rf -2t4s323388.5355.arc
ts(M)+
+9]
\ 1 0 0/
+ 2.059s.J
NFLOR+ 96s0g83489.33
18
= -.r.8245.(
cRFR(Jr
ry\'
\100 )
(s.ls)
-r3ss2666,oq.rro¡
l-1-)\M)
-33.e305'exp(-0.1.1/FZ
oR)-3s6882s8767.6687.corr+:)- (s.re¡
- I 35847| 6165.7817-aratg(M + 6102706433
4.4555
)
\ 1 0 0)
p,ty\
DFRUT:0.005.2.NFR
ur + 0.0r7r(
*ror, -
\100/
-0.016|WSNFRUT-0.0002.NFRUT7
+
+ | .4215-exp(-}.1.NFRUT) - I .4t32
(5.20)
GERM= -0.0133.7.
NHS+ 21436656856828.5.
NFRUT.NHS-0.144616.NH52
-30011319599s598.25.NFRUT
_
- 2.0866'arctg(NFRUT+ 45.4497
)
(s.2rl
cuyoscoeficientes
de correlaciónson los que se exponenen la tabla5.3 que se
exponea continuación:
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999
Página166
Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Aplicación: Submodelo reproductivo del modelo Mariola
tabla5.3
Finalmente, el proceso de recognoscibilidad RGsz es determinado
medianteel procesode validación , cuyos gráficos se exponenen las figuras 5.3,
5.4y 5.5. En estasfiguras, eltrazo negro correspondea los datosrealesy el rojo
al obtenidopor integraciónnuméricade las ecuacionesde estado.
Terminaremos esta sección obteniendo los coeficientes complejos de
determinaciónde cada ecuaciónde estado(Criterio de recognoscibitidadGRr¡)
d ¡uc,r, =
d rp,,r¡^ :
0 . 8 1 4+10 . 7 9 0+9 0 . 9 9 1 6
= 0.8655
(s.22)
0.9916+0.9238+0.9932
= 0.9695
(s.23)
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Página167
Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Aplicación: Submodeloreproúrctivo del modelolMariola
d¡¡rnw =
0.9932+0.9814+0.9993
= 0.9913
(5.24)
figura 5.3.Validación del número de
brotes
300
250
2AO
o
o
rtst
o
t-
150
,cl
100
50
0
46810121416
semanas
-
datos rcal€s -
datos validados
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999
Rágina168
Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Aplicación: Submodelorepoórctivo del modeloMariola
figura 5.4.Validacióndel número de
flores
250
200
o
o
L
r50
¡ts
100
I
o
50
0
24681012141618
semanas
-
datos reales -
datos validados
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Pagina169
Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Aplicación: Submodeloreproductivodel modeloMariola
figura 5.5.Validacióndel número de
frutos
300
250
2AO
o
o
tF'
=
L
150
rts
100
50
0
681012
semanas
-
datos reales -
datos validados
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Páginal7O
Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Aplicación:Submodeloreproductivodel modeloMariola
5.5. CODIFICACION DE LAS FUNCIONES TRANSFORMADAS Y DE LAS ECUACIONES DE FLUJO.
En el apartado5.4.vimosquela ecuaciones
de flujo tienenuna expresión
matemáticade la forma Y :
or*fA,.t,donde
las t¡ son variables,
i=1
transformadasde primer orden de alguna de las variables representadasen la tabla
5.1., es decir, elementosde los vocabulariosde primer orden de estasvariables,o
est¿án
formadas por el producto de dos cualesquierade esasvariables, o lo que es
lo mismo, elementosde los vocabulariosde segundoorden. Nuestro objetivo es,
en primer lugar, codificar estas/;.
Al tener nueve variables, ocho transformadas
de primer orden, y añadiendo la función identidad fo(x) : x se podrán codificar,
como se indica en las tablas6.4 y 6.5, de la siguientemanera:
Tabla 5.4
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999
Página 171
Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Aplicación: Submodelo reproductivo del modelo Mariola
exp(0.1x)
exp(-0.1x)
Tabla5.5
Y como se puedenformar un total de 81 expresionesdiferentes,f¡(4¡),se
podrán codificar con los númerosbinarios comprendidosentre el 0 y el g0
expresados
con sietedígitosde maneraque
Códigode fi(x¡): [9i + j]12¡
un resumen de la codificación de las funciones transformadas, f;(x¡), se
representa,a continuación, en latabla 5.6.
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999
Página172
Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Aplicación: Submodelo reproductivo del modelo Mariola
ffi
::*
"*"tr^i
l
Tabla5.6
Las expresionesde la forma X¡'x¡ se codifican también con siete dígitos
binarios de forma que
Código de x¡.x¡: [10i+j](2)
un resumen de la codificación de las funciones transformadas, fi(x¡), se
representa,a continuación, en latabla 5.7.
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999
Págna 173
Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Aplicación:Submodelo
reproductivo
del modeloMariola
Tabla5.7
Los códigosquehemosestablecido
parala codificaciónde las expresiones
fi(t) y xi'x: no son unívocamentedecodificablesya que las cadenasbinarias
puedenteneruna dobleinterpretación.
Así, por ejemplo, con la cadena0001011
setieneque
0001100
mod 1001: 0010quecorresponde
a X2: T
0001100div 1001: 0011quecomesponde
a f:(x) : exp(-O.lx)
por lo quela cadena0001100puedeinterpretarse
comoexp(O.1T)
perotambién
0001100
mod 1010: 0001quecomesponde
a xr : NHS
0001011
div 1010:0010 quecorresponde
aT
por lo quela cadena0001011puedeinterpretarse
comoNHS . T
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999
Página174
Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Aplicación:Submodeloreproductivodel modeloMariola
Este problema queda solucionado añadiendo un octavo bit a Ia izquierda
de la cadenaque indique la clase de función, pudiendo ser
0 paraindicara las funcionesdel tipo fi(ry)y
I paraindicaral tipo x¡.x¡
De estamanera,y volviendo al ejemplo, se tendrá que
la cadena
00001100corresponde
y
a exp(-0.1.T)
la cadena10001100corresponde
a NHS . T
quedandoasíterminadala codificaciónde las funcionestransformadas.
La codificación de las ecuacionesde flujo se realiza fácilmente apartir de
la codificación de la codificación de las transformadas y puede expresarseen
forma matricial ya que
li
\l;'
Y : A o*Z A , .t,: @o Ar A2 A3 A4 As
i=l
iil
En la gramátticarecognoscitiva del apartado 4 hemos obtenido siete
ecuacionesde flujo. Su codificaciónes la siguiente:
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Página175
Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Aplicación: Submodeloreproductivo del modelo Mariola
('
1". V/, = CRGEM = (Ao At
)
00001100
|
|
, l 0 0 1 1 0 1 1| 0
A2 A3 A4 A,.|l
I
00110000
l
|
I( 0oorooroo
I
)
conAe : -39931297044 Ar : 1T937827736.6333Az:8887432236.4787
At : 25968866013.6976
Ac: 8888766569.492
As : 0
(r
2". Vt, = DGEM = (Ao At
)
00001100
|
|
00110110
A2 A3 A4 As)' ll
|
0 0 1 1 0 0 0| 0
I oorrooor
I
\ o o 1 o o111)
conAs : 42818396553.4922
Ar : 12800952588.6678
Az :9529999838.4237
A z:2 7 8 4 6 4 5 8 3 1 3 .5 3 9 8Aq: -40.4298
As:42818396553.4922
3". vt : CRFLOR = @o A1 A2 A3 A4
(t
)
00001
100
I
|
o o l1 0 1 0
l .- )' l
|
00110000
|
00100100
|
|
10/
[010001
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Aplicación:Submodeloreproductivodel modeloMariola
conA¡ : -82078300505.
1208 At:24538061248.2749Az: 12268010624.3174
A¡:0.0001
Aq:
s337869rs59.s85
As: 18279752691.6942
(1.]
00001100
|
|
4". vo : DFLOR = Vo
loI
,l 0oonor
0110000
A.t A2 A3 A4 A5' l
|
00100100
|
|
( 0 1 0 0 0110 1
conA6: 9650983489.3318
Ar : -2885250093.0345Ar : -2148000863.9357
At: -6276407624.4184 Aq: -2148323388.5355
As:2.0595
(1)
| 0 0 0 0 1 1 0| 0
5". V, = CRFRUT- vo
At
,loouolloI
A2 A3 A4 A . H
" l 0 0 1 0 0 0 |rI 0
oorroooo
I(001
I
00I 00/
conAs : 61027064334.4555 At: -L.8245
A ¡ : - 3 3 . 9 3 0 5 A + : -39688258767
.6687
Az: -13582666169.5563
As: 13584716165.79t7
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Aplicación: Submodelo reproductivo del modelo Mariola
(t
)
I roonlooI
6". Vu = DFRUT = lAo
At
Az
10r00110
|
10110000
|
00010001
I
|
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u
A3 A4 As)' ll
A o : - 1. 4 1 3 2 A r : 0 . 0 0 5
Az:0.0175
A: : -0.0161 ,A4: -0.0002 As : 1.4215
(r
|
10001100
7 ^ . v r r : G E R M : @ oA r A 2 A 3 A 4 ' r )' ll l : : 1 : : i :
00001010
00001000
|
[00101100
con ,4.6: 45.4497
Ar : -0.0133
A2:21436656856828.5
As: -0.144616 A.4: -3001T3195995598.25
A,: -2.0866
con lo que quedaterminado el proceso de la codificación.
Para la codificación de estas ecuaciones hemos realizado un programa
cuyo listado en PASCAL se ofrece a continuación:
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Aplicación:Submodelo
reproductivo
del modeloMariola
Programa para Ia codificación de las ecuacionesde flujo
^^ji
ri
^^
co(-rtlfcar;
IJr(Jgrdflr
ttqée
^r'F.
const AO :
uv
0;
-
!
type tipoA : arraylO..5]
of reaf;
tipoB : array[1..5]
of integer;
:arrayt1..5l
tipoflu¡o
of stringll'l
var A:tipoA;
B : t ipoB,'
ecuacion: tipofluj o;
nomecuacion: string [7] ;
codigo:string[7];
;
d i ¡ i + ¡ . . ,i, _
n_
+ _-aY¡ e r ;
c, d, i, j, transformada, funcion, xI,x2: integer;
( * * * * * * * * )k * * * * * * rr * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
n r n ¡v av vd\ ll ur ! v
r r
begin
writeLn ( '
writeln ( '
writefn;
writefn ( '
write_l_n ( '
writel_n ( '
writeln ( '
writeln ( '
writeln ( '
writel_n ( '
writefn ( '
writeln ( t
writej-n ( '
VARIABLES ');
FUNCIONES
0
L
2
3
4
5
6
1
B
9
g o t o x y ( 2 0, I 7 ) ;
writel_n('Pulse
readl_n;
--> f (x):¡3
--) xn2
--> exp (0.1x)
--> exp (-0.1x)
--> arctg (x)
--> cos (x)
--> I/x
--> sqrt (x)
--> ln(x)
--> x*y
T N T R Op a r a c o n t i n u a r
');
0 --> M
1 --> NHS ');
');
2 --> T
......'
( * * * * * * * * *,k * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
nro¡or]rrro
3
-->
pr.il,/Tnn
4
5
6
I
B
-->
-->
-->
-->
-->
');
ws
TB ');
N G E M' ) ;
r\.
1t
NFLOR');
N F R U T' ) , .
');
);
)
¡]¡1- ¡c.
begin
g o t o x y ( 2 0, 1 1) ;
wr-iteln('
gotoxy (I0, 14) ;
writel-n ( '
gotoxy (20,75) ;
writel-n ('Introduccién
urri ta
)
ra
l n / r
write(tNombre
de ]a
,);
');
de datos' ) ;
ecuaci4n de flujo
:
');
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999
read]n(nomecuacion);
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Aplicación: Submodeloreproductivodel modelo Mariola
write('coeficiente
A0 :, ) ;readln(AI0l ) ;
for i::1 to 5 do
begin
gotoxy(1,18);
writeln ( '
writeln ( r
wri-teln ( t
writeln ( '
gotoxy(1,18);
writ.e('coeficiente
A',i,':')
;readl_n(Atil ) ;
:' ) ;readfn(funcion) ;
write('funci4n
if funcion:9
then
begin
codigo[0]::'1';
write ('primera variable : , ) ; readln (x1) ;
write ('segunda variabl_e : ') ; readln (x2) ;
t r a n s f o r m a d a : : 1 O* x I + x 2 ;
^-¡
else
begln
codigo [0] ::'0' ;
:' ) ;readl_n(x1);
write('variabl_e
trans f ormada : :9 * funcion*xl_ ;
anri.
BIi]::transformada,.
for j ::1 to 7 do
codigoIj]::'0';
^.:Rlri
. -7
L¿
l.
J '
.
repeat
d:=c mod 2;
if d : 0 then codigo[j]::'0'
c.=c
¡ ' ii t ¡
else
codisoljl::'1';
).
i.:i-1
) -,
until
c<2,.
i f t r a n s f o r m a d a : 0 t h e n c o d i g o [ j ] : : r O, e l s e
for j ::0 to 7 do
ecuacion til Ij I ::codigo Ij ] ;
onrl
codiso tj I ::' 1' ;
.
( * * * * * * * * )k* * * )k* * * * * * * * * * * * * * * * ****.j(*
* * * * * * *
)
begin
¡1
r<¡-
-
menu;
datos;
wri-tel-n('La ecuaciQn de flujo
cddigo:') ;
writel-n;
',nomecuacion,r
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999
tiene
el
siguiente
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
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Aplicación: Submodeloreproductivodel modelo Mariola
writefn('matriz
de coeficientes
:'
for i::0 to 5 do
wrlteln (Atil ) ;
writeln;
writefn('matriz
de transformadas :
writel-n;
wrj-tel-n(B0:5);
f or i::l- to 5 do
begin
for j::
0 to 7 do
write (ecuacion til tj I ) ;
wrÍteIn;
^ñ^.
-^
-
^
I
);
');
-
^-!
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
COI{CLUSIONES
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Conclusiones
CONCLUSIOIIBS
Hemos elaboradoun estudio sobre Ia modelización de sistemascomplejos
desdeel punto de vista de la lingüística matemáúicay lateoríade la codificación.
Esto ha sido posible ya que "todos los modelos tienen en común que
encierran experiencia y siempre envuelvensignos, señales,sintaxis, semánticay
una habilidad para descifrar y obtener resultados", (patten 42).
En nuestrametodologíavtilizamos,
para modelizarprocesos,un sistemade
ecuaciones
diferenciales
! ¡ = g ¡(x ¡t,x iz......rxir)
i:1,2,....,n
llamadas ecuacionesde estado.
Sus variables, .x¡1,xi2......2x¡n,
llamadas variables de flujo, son, a su vez
funciones,F¡,llamadas funciones de flujo, que dependende otras variables
x ij = F.j(et, e2,.....,
e,,)
Estas variables, gt,e2,.....,go,, reciben el
nombre de funciones
transformadas,que se obtienen a partir de unas funciones reales de variable real,
elegidas por el modelizador y aplicadas sobre unos determinados atributos
mediblesdel sistema.
Todas las ecuaciones y funciones que aparecen en el proceso de
modelización tiene que ser expresadasmatemáticamentedisponiendo de datos
experimentalesde los atributos medibles.
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Conclusiones
Para la obtención de las funciones transformadas hemos comenzado
definiendo los siguientesconceptos:
o
t-alfabetode ordeni, i : 1,.....,nde trn p-símbolo
o
vocabulario de primer orden de un p-símbolo
.
vocabulario de orden n de n p-símbolos
o
t-léxico, d-léxico y léxico de un SistemaComplejo.
con estos conceptos, hemos sentado las bases para poder construir
Gram¿íticasGenerativasde funciones transformadas.Las palabrasde los lenguajes
generadospor estasgramáticas son las funciones transformadas.
Hemos conseguido que las reglas de las gramáticas cumplan las
condiciones necesariasy suficientes para que sean grarnéúicasregulares, ya que
así se tiene garantizadoque:
o
Los lenguajespuedenexpresarsemedianteuna expresiónregular.
o
Se dispone de un procedimiento que permite la obtención de un
reconocedorfinito del lenguaje.
'
Se dispone de un modelo de procedimiento para reconocimiento de
cadenas.
o
Pueden ser utilizados para especificar la construcción de analizadores
léxicos.
o
Se pueden traducir de forma sencilla a un código en un lenguaje de
programación.
Con las funciones transformadasy un conjunto de operadoresaritméticos
hemos formado el vocabulario de las Gramáticas Generativasde las Ecuaciones
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
Conclusiones
de Flujo. Gramáticas que también son regulares y cuyos lenguajes generan las
ecuacionesde flujo.
Hemos construido GramáticasRecognoscitivasde ecuacionesde flujo que
permiten seleccionar aquellas ecuaciones que el modelizador considera
importantes, de acuerdo con ciertos criterios preestablecidosque denominamos
criteriosde recognoscibilidad.
Finalmente hemos construido Gramáticas Generativas y Recognoscitivas
de ecuaciones de estado que nos permiten obtener y seleccionar aquellas
ecuacionesde estadoque mejor modelizan los procesos.
Como las ecuacionesobtenidas en los procesos de modelización suelen
tener expresionesanalíticascomplicadas,hemosideadocódigosque simplificanla
escritura de las funciones transformadasy de las ecuacionesde flujo con objeto de
paliat en lo posible el problema de su almacenamientoy posterior manipulación.
Los estudios realizados han sido aplicados a un caso concreto de
modelización matemáticacon las siguientescaracterísticas:
o
Se han construido únicamente Gramáticas Generativas de funciones
transformadasde primer orden.
¡
Se hanutllizado vocabularios de primer y segundoorden.
o
Las Gramáticas generativas de las ecuaciones de flujo
crean
ecuaciones de flujo con cinco funciones transformadas y el único
operador@ empleadoes la suma.
o
Se ha seguido el criterio de recognoscibilidad GRFr para la selección
de las ecuacionesde fluio.
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
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Conclusiones
o
Para la elaboraciónde las ecuacionesde estado se han sesuido los
criterios de recognoscibilidadGRSr y GRS2.
o
Cada ecuación de
flujo
se ha
codificado en
dos
anays
unidimensionales,uno para los coeficientesy el otro para las funciones
transformadas.
o
Hemos utilizado códigos binarios para las funciones transformadas.
Para futuras investigaciones serán esfudiadas nuevas gramáticas
recognoscitivasque nos permitan el análisisde las ecuacionesque mejor estudian
los procesosfrente a variacionesde los datos.
Ser¿ínaplicadaslas diversasgramiíticasestudiadasen estamemoria a casos
concretos de modelos de sistemas complejos, comparando los resultados
obtenidos.
Seránutilizados los códigos parala manipulaciónde ecuacionesobtenidas
apartir de pequeñasvariacionesde los datos experimentales
Los códigos utilizados abren las puertas a futuras investigaciones en un
intento de genenlizar la codificación a todo tipo de ecuaciones,ya que pueden
sermuy variadasdebido a los criteriosen los que se baseel modelizador.
Asimismo se generalizará computacionalmente la codificación de las
ecuacionespara cualquier gr amáticaconsiderada.
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Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía.
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