Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. SINTAXIS Y CODIFICACIÓN ENMODELOS DE SISTEMASCOMPLEJOS FRANCISCOVIVES MACIÁ Memoria presentada para aspiraral gradode Doctor en Ciencias Matemáticas. DEPARTAMENTODE ANÁLISIS MATPN¿ÁTTCO MATEMÁTICA APLICADA Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 ffi Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. YOLANDA VILLACAMPA ESTEVE, CATEDRÁTICA DEL DEPARTAMENTODE ANÁLISIS MATEMÁTICO Y MATEMÁTICA APLICADA EN LA ESCUELAPOLITÉCNICASUPERIORDE ALICANTE CERTIFICA : Que D. Francisco Vives Maciá, licenciado en Ciencias Matemáticas, ha realizado bajo mi dirección la Memoria que lleva por título "Sintaxis y Codificación en Modelos de SistemasComplejos" con el fin de que seapresentadacomo Tesispara aspiraral grado de doctor. Lo que certifico para que constesegúnla ley vigente. Alicante,30 de Abril de 1999 Fdo. YolandaVillacampa Esteve Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. AGRADECIMIENTOS El presente trabajo ha sido realizadobajo la dirección de Du Yolanda Villacampa Esteve, a quién va dirigido mi sincero agradecimiento porsu conftanza al proponerme el proyecto y por su trabajo incansable enla lectura, revisión, crítica, consejos e ideas aportadas durante todo el procesode elaboración. También quiero manifestar mi agradecimiento a todas aquellas personas que con su constanteapoyo han hecho posible estamemoria. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Indice INDICE 1. Ideas generales 1.1Introducción I .2 Lingüística Matem aticay Modelización 9 2. Autómatas y lenguajes 2.1 Introducción ............Ij 2.2Prímerosconceptos ............. ...... 19 2.3 Autómatasfinitos 2.3.1 Definición .... 2I ............2 . .I. 2.3.2 Autómatade Mealy y autómatade Moore ................... 23 2.3.3 Programade obtención de un autómatade Moore equivalentea un autómatade Mealy 2.4 Otradefiniciónde autómata............... 2 . . L D e f t n i c i ó n. . . . . . . . . .......... 26 ........32 . . . . . . . .3. 2 2.4.2 Comportamiento entrada-salida del autómata................. 33 2.5 Conceptos algebraicos ........... 2.5.1Introducción ... 35 ....._......... 35 2.5.2Monoidede transformaciones en un conjunto................. 35 2.5.3Homomorfismoentremonoides.......... 2.5.4Monoidelibrey homomorfismo ..........36 .................... 36 2.5.5Relacionesde congruencia y monoidecociente..............38 2.6 Comportamientode entrada-estados 2.7 relaciónequirrespuesta y monoidede un autómata Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 .......... 38 ..... 40 Página I Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Indice 2.8 Minimización de un autímatafinito .......... 42 2.8.1Planteamiento del problema............... ...........42 2.8.2 Autómataen forma mínima .........43 2.8.3Comprobacióndelaeqüvalenciaentreestados...............43 2.8.4 Algoritmo para la minimización de un autómatafinito ... 44 2.9 Reconocedor finito ................... 45 2.10 Lenguajesaceptados por reconocedores finitos .........47 2.11Conjuntosregulares. Expresiones regulares ................................. 51 2.Il.I Conjuntosregulares 2.11.2Expresiones regulares ................... 51 ................ 52 2.12 Resoluciónde problemasde análisisy síntesisde reconocedores finitos ...............5 . .4. . 2.L2.LAlgoritmode análisis ................ 54 2.12.2Algoritmode síntesis ................ 55 2.13 Definiciónde Gramátíca ........ 57 2.I4 Lenguajegeneradopor una Gramática .... 59 2.15 Clasificaciónde las gramáticasy de los lenguajes .... 59 2.15.1Gramáticas de tipo 0 o no restringidas ............... ..........59 2.I5.2 Gramáticasde tipo I o sensiblesal contexto................ 60 2.15.3Gramáticasde tipo 2 o libresde contexto.................... 60 2.15.4Gramáticas de tipo 3 o regulares ..........................,....... 6l 2.15.5Jerarquíade los lenguajes .........61 2.15.6Lenguajes con la cadenavacía ................... 62 2.16Lenguajesregularesy autómatasfinitos ................... 63 2.16.I Autómatafinito no determinista......... ....... 63 2.16.2 Lenguajeaceptadopor un reconocedorfinito no Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Págna 2 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Indice 3. Gramáticasgenerativasy recognoscitivas en sistemascomplejos 3 .1In tro d u cci ó n ......... 3.2Primeros conceptos ............. ................... 67 ... 69 3 .2 .I Mo d e l oB ase......... ................. 69 3.2.2 Sistema semiótico .................. 70 3.2.3 Campoasociativo a un atributomedible................... 70 3.2.4 Vocabulario deprimerorden ................... 72 3 .2 .5 t-a l fa b e de to or deni ................ ................. 73 3.2.6 Vocabulario de segundo orden ..............., 74 3.2.7 Vocabulario deordenn ............... 3 .2 .8 t-L é xi co 3.2.9 Léxicoprimario ............ 74 ............... 75 ... 76 3.2.10Vocabulario diferencial o d-vocabulario ................... 76 3.2.11Léxicodiferencial 3.2.12Léxicodeun Sistema Complejo 3.2.13Pálabras sinónimas .........,..,..... 77 .............. 77 ................ 77 3.3Gramática generativa delasfunciones transformadas ................ 80 3.3.1Gramáticagenerativade las funcionestransformadas de primer orden ...... 8l 3.3.2 Gramáticagenerativade las funciones transformadas de segundoorden .... 86 3.3.3 Gramáticasgenerativasde las funciones transformadas de tercerorden ........ 92 3.3.4 Gramáticasgenerativasde las funcionestransformadas d e o r d e nn . . . . . . . . . . . . . . . Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 . . . . . . . . . . . . . .9. .7. . Página 3 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. lndice 3.4Un caso particular de gramatíca generativa de funciones tranformadas ............. .......98 3.5 Gramáticagenerativade las ecuaciones de flrrjo .........................106 3.6. Gramáticas recognoscitivas de ecuaciones de flujo ................... 109 3.7. Gramáticagenerativade las ecuacionesde estado ... ll4 3.8. gramaticasrecognoscitivas de las ecuaciones de estado............lI7 4. Codificación de los lenguajes empleadosen sistemascomplejos 4 . 1 I n t r o d u c c i ó.n. . . . . . . . . .................120 4.2 Conceptosgenerales............. 4.2.1 Código .. I22 ..................122 4.2.2 Propiedades de los códigos .... t22 4.3 Codificaciónde las funcionestransformadas ............. ................. I27 4.3.I Codificacióndelasfuncionestransformadasde primer orden .........I27 4.3.2 Codificaciónde las funcionestransformadasde segundoorden .....,134 4.3.3 Codificaciónde las funcionestransformadasde tercerorden ..........142 4.3.4 Codificaciónde las funcionestransformadasde o r d e nn . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Codiftcación de las ecuacionesde fluio ...t45 ... I49 5 Aplicación: Submodelo reproductivo del modelo Mariola 5.1Introducción Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 ......... 153 Página 4 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Indice 5.2Hipótesis iniciales .................. 156 5.3Gramática generativa delasfunciones transformadas ................. 159 5.4 Gramáticas generativay recognoscitiva de las ecuaciones d ef l u j o .................162 5.5 Codificaciónde las funcionestransformadas y de las ecuaciones deflujo .................17I C o n cl u si o n e s............. ............ 183 B i b l i og ra fía ............... ............. 188 Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 5 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. , CAPITULO IDEAS GENERALES Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Ideas Generales CAPITULO 1 IDEAS GENERALES 1.1. INTRODUCCIÓN La introducción de las matemáticas en el estudio de las ciencias es un procesoque ha ido en aumento a través de los tiempos, sobretodo en el estudio de los sistemasnaturales. De forma general, el estudio de la estructura de un sistema complejo, así como su modelización y evolución en el tiempo presenta una grari dificultad debido a la complejidadde los sistemas. El estudio de la estructura de un sistema complejo se ha realizado en primer lugar desdeel estudio de diversasteorías en el contexto general de la teoría de los sistemas.Podemosdestacarlateoría general de sistemasde Mesarovic y Takahara(1978)en (41). Asimismo, en el planteamientode un modelo de sistemasy la estabilidad de sistemasentrada-saIida,podemosresaltarlos estudiosrealizadosen (37) por Lin Y. (1987)' Analogías y estudiosentre sistemasasí como diversos conceptos de sistemassonreflejadospor Lin y. y Ma. y. (1987,19s9)en (37) y (3s) y yang Z.B. (1989) en (60). Estudiosconcretospara sistemasvivos son llevados a cabo por Miller (1978) en (42) y diversas axiomatizacionesde los mismos son realizadaspor Villacampa et al. (1997, 1999)en (57) y (5S). Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 7 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. IdeasGenerales En la modelización de sistemas complejos se da, usualmente, mucha importancia a la metodología, ya que toda la ayuda computacional que podemos emplear en las modelizacionesestá totalmente condicionada a ella. Así como cualquier metodologia estácondicionadapor la teoría de sistemasen la que se basa. Las modelizaciones de sistemas complejos son realizadasa través de la combinación de diversas metodologías, entre las que se pueden citar las de Forrester(196r,1966)en (18) y (19), zeigrer(1984)en (61), Jorgensen(19gg) en (32) v Zhan (1990) en (62). Sea cuál fuese la metodología utilizada en el estudio y modelización de sistemascomplejos, esta debe describir los métodos para conseguir expresar determinados procesosen un lenguaje. Son diversos los autores que han resaltado la importancia del estudio de los sistemas y sus modelizaciones desde el punto de vista de la matemática lingüística. Así, Patten (1997) en (46) señalaque "todos los modelos tienen en común que encierran experiencia y siempre envuelven signos, señales,sintaxis, semánticay una habilidad para descifrar y obtener significados". Un estudio reciente, desde el punto de vista de la matemática lingüística de sistemassemióticos ha sido realizadopor Villacamp a et al. (lggg) en (58). Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 8 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. ldeasGenerales I.2. LINGÜÍSTICAMATEMÁTTca Y MoDELIZACIÓN. Supongamosun sistema dinámico modelizado por un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias {, }|=r, llamadas ecuaciones de estado. Si las variables{ru}, r. les llaman variablesde flujo. A su !'¡ = E(xn2x¡2,.....,x¡n)a vez, cada variable de flujo depende de un conjunto de variables, es decir, x¿¡: F(9r,e2,.....,e,). A la ecuación F(er,er,.....,en), que expresa Ia dependenciade una variable de flujo respectoa estasotras variables del sistemase le llama ecuaciónde fluio. En el estudio de un sistemacomplejo, como son los sistemasecológicos, las variablesde flujo, x,r, y las variablesde las que dependen,gr,e2,.....,gn, deberán ser modelizadas matematicamentedisponiendo de datos experimentales de las mismas. Es, pues, necesarioobtener expresionesanalíticasque sirvan para estetipo de sistemascuya estructuraes muy compleja, así como la obtención de relaciones entre sus diversos elementos. Estas expresiones analíticas que sirven para expresar matematicarnente estas variables pueden conseguirse,a partir de datos experimentales, de forma computacional mediante gramátticasque construiremos a lo largo del presente proyecto. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 9 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Ideas Generales En este proyecto se realiza un estudio de la teoría de modelos de sistemas complejos desde el punto de vista de la matemática lingüística, Ia teoría de autómatas finitos, lenguajes regulares y la teoría de la codificación. El estudio de la teoría de los sistemascomplejos, como los ecológicos, agronómicos, socioeconómicos,etc. se analiza desde el punto de vista de la lingüística matemática, ya que cualquier metodología esfáasociadaa un lenguaje y estea sus componentessintácticosy semánticos. Por otra parte, nos adentramos en la teoria de autómatas y más concretamenteen los reconocedoresde lenguajes,ya que se usan frecuentemente en los problemas que implican el análisis de cadenasde caracteres.De esta forma al construir un lenguaje, podremos construir un reconocedor finito del mismo. Estos estudios y los resultados obtenidos harán posible la construcción de lenguajes que pueden modelizar sistemas complejos, siendo posible ra cornputerizaciónde los mismos. El estudio desde el punto de vista de la lingüística matemática y la teorÍa de autómatasse va a desarrollar de la sieuientemanera: El capítulo 2 comienzacon la definición de autómatafinito. La definición que se ofrece correspondeal modelo de máquina de Mealy, máquina en la que las salidas estifurasociadasa las transiciones. A continuación se expone el concepto de máquina de Moore y la equivalenciaentre estosdos modelos de autómatas,por la comodidad que supone el trabajar con una máquina cuyas salidas están asociadasa los estados.Es por ello por lo que hemos desarrolladoun programa que obtiene el autómatade Moore equivalentea un autómatade Mealy dado. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página l0 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. IdeasGenerales También estudiamos los autómatas como dispositivos que producen cadenasde símbolos a su salida en respuestaa cadenasde símbolos presentadasa la entrada,como introducción a la explicación del concepto de reconocedorfinito y los lenguajesaceptadospor reconocedores finitos. Recordemos,también, que un autómatafinito es, él mismo, un modelo de un procedimiento para reconocimiento de cadenaspor medio de la expresión regular asociada y es sencillo traducir el autóm ata finito a un códiso en un lenguaje de programación. Terminamos la primera parte del capÍtulo con la definición de expresión regular, como forma de expresar el lenguaje que puede ser reconocido por gn reconocedorfinito y el concepto de derivada de una expresión regular para tener un procedimiento que nos permitirá obtener el reconocedor finito de dicho lenguaje. La segunda pafte del capítulo está dedicada al estudio de los diferentes tipos de gramáticasy los lenguajes generadospor las mismas pan llegar a la conclusión de que los lenguajes generados por las gramátrcasde tipo 3, los lenguajesregularesy los que puedenserreconocidospor los reconocedoresfinitos coinciden. Hemos desarrollado lenguajes regulares por su doble importancia. Desde el punto de vista práctico porque pueden ser usados para especif,rcarla construcción de analizadoresléxicos (programas que analízantexto y extraen los lexemasque hay en el mismo). Desde el punto de vista teórico porque constituyen el menor conjunto de lenguajes sobre un alfabeto que es cerrado respecto a la Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página I I Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. IdeasGenerales concatenación de cadenas, la cerradura de Kleene y la unión de lenguajes y ademáscontiene el lenguaje vacío y los lenguajesunitarios. Es este,pues,un capítulo teórico cuyo único objetivo es exponertodos los conceptosque se van a utilizar en los capítulos siguientes.Se han omitido ciertas demostraciones,ya que se salen de los objetivos que nos hemos marcado,aunque indicamos que pueden encontrarse en textos como el (28) de J. Hopcroft y J. ullman (1979), el (34)de Dean Kelley (1998) o el (16) de G. Fernándezy F. Sáez Vacas(1995). En el capítulo 3 se analíza la construcción de gramáticas generativas y recognoscitivas que generan lenguajes que pueden ser utilizados en la modelizaciónmatemáticade sistemascomplejos. Los primeros estudios que se hicieron sobre gramáticas generativas y recognoscitivascon aplicacionesse publican en el artículo (56), "Generativeand recognoscitive grammars of Ecological Models with applications (Villacampa et al.' 1999).En él son consideradasy aplicadas,al casode modelizaciónecológica, gramáticasque generanun lenguaje y una selección de ecuacionesque modelizan unos procesosecológicos. Resultan ser, además,un caso particular de los estudios más amplios y generalesque se realizan en este capitulo 3. No obstantecuando se utilicen conceptos, resultados o ejemplos que hayan sido publicados en él lo reflejaremos convenientementealudiendo a villacamp a et al., lggg. Comienza el capítulo 3 con la introducción genérica de los sistemasa los que se van a aplicar los lenguajes.Se consideranlos vocabularios de primer, segundo,......, n-ésimo orden y se define el t-léxico a partir de los vocabularios Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 12 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. IdeasGenerales asociados a un conjunto de variables. A continuación se obtiene el léxico diferencial, d-léxico que junto con el t-léxico constituyen, de forma general, el léxico de un sistemacomplejo. Es definida una relación de equivalencia en el conjunto de palabras escritas en un determinado vocabulario, llamada relación de similitud que divide al conjunto de palabras en clasesde equivalenci4 llamandose sinónimas aquellas palabrasque pertenecena una misma clase. Se continua con la definición de gramática generativa de las funciones transformadas, comenzandopor las de primer orden y llegando a generalizarlas para un cierto orden n. Estas gramáticas generan lenguajes que forman el vocabulario de las gramáticasgenerativasde las ecuacionesde flujo. Las gramáticas consideradasoriginan lenguajes regulares pudiéndose encontrar,en cada caso un reconocedorfinito del mismo. Al obtener lenguajesque modelizanlas ecuacionesde flujo, es necesario seleccionaruna o más ecuacionesde acuerdocon ciertoscriterios establecidospor el modelizador. En este proyecto se definen algunas gramáticascuya misión es la de realizar esta selección,son las graméúicasrecognoscitivasde las ecuacionesde flujo. Termina el capítulo definiendo las gramáticas generativas y recognoscitivasde las ecuacionesde estado o ecuacionesque modelizan Ios procesosa estudiar. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página l3 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. IdeasGenerales La codificación de las ecuaciones de flujo obtenidas en los lenguajes desarrollados en el capítulo anterior para la modelización de los sistemas complejos se realiza en el capítulo 4. En la modelización matematica,el modelizador deberá elegir, en cada caso, las ecuacionesque desee almacenar para su posterior utilización. Por este motivo, en el capítulo 3 se han desarrollado gramáticas recognoscitivas que permiten seleccionar un cierto tipo de ecuacionesmatemáticas de acuerdo con ciertos criterios de recognoscibilidad,pudiendo ser estosmuy diversos.Así pues, resulta interesante paliw, en la medida de lo posible los problemas de almacenamientode ecuacionespaxa su posterior manipulación. En el capítulo 4 abordamos inicialmente los conceptos generales de la teoúa de códigos, introduciendo aquellos conceptos y resultados que son interesantes para su posteriorutilización. Comenzamos el capítulo con el establecimiento de códigos para la codificación de las funciones transformadas,que formaránla base sobre la que se fundamentanlos códigos de las ecuacionesde fluio. como es lógico suponer, son inmumerableslos códigos que se pueden establecer.Por ello hemos optado por tres tipos que hemos denominado CLCT (código de longitud constante), cBCT (código compacto) y un tercero cGT (código Gódel) a título de curiosidad y como prueba de los inmumerables tipos de códigosque se puedendiseñar. Se sigue, para terminar el tema, con la codificación de las ecuacionesde flujo, que nos permite almacenar de forma sencilla las ecuaciones, pudiendo, Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 14 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Volver al índice/Tornar a l'índex Ideas Generales como es lógico, decodificarlas posteriormente, para expresarlas en su forma inicial, tal y como se obtuvieron en su procesode modelización.Resaltamosla forma matricial de su representación. Finalizamosesteproyectocon la exposiciónde una aplicaciónconcretade los resultadosobtenidos en los capítulos precedentes,algunos de los cuáles se encuentranpublicados (artículo (56),Villac ampaet al., 1999). La aplícación consiste en el desarrollo de gramáticas que sirven para modelizarel SubmodeloReproductivodel Modelo Ma¡iola. Hemos escogidoun conjunto de p-símbolos y un conjunto de variables de flujo que nos han permitido definir vocabularios de primer y segundo orden pan formar el tJéxico y así definir la gramáúícagenerativa de las funciones transformadasy las gramáticas generativa y recognoscitiva de las ecuacionesde flujo, utilizando el criterio de recognoscibilidad GRFI mediante el cuál hemos seleccionadosieteecuaciones de flujo que posteriormente hemos codificado para su almacenamiento. Finalmente,siguiendo el procesode recognoscibilidadGRSr hemos formado las ecuacionesde estadoque modelizanlos procesosy cuya integraciónpor métodos numéricos nos ha permitido realizar su validación, obteniendo los resultados que en el proyecto se exponen. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 15 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. 7 CAPITULO AUTOMATAS Y LEI{GUAJES Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatasy lenguajes CAPÍTULO 2 AUTÓMATAS Y LENGUAJES 2.1.INTRODUCCTÓX. Este capítulo se divide en dos partes. En la primera se expone de forma general la teoría de autómatas finitos y en la segunda se realiza un estudio de las gramáticas.Se presentaen primer lugar el modelo de autómatadenominadoMdqaina de Mealy, seguido del estudio que lleva a la conclusión de que a toda máquina de Mealy se le puede asociar una Mdquinu de Moore equivalente, con las ventajas que supone el disponer de un autómataen el que acadaestado se le puede asociar una salida y sólo una. Se concluye esta primera parte del tema ofreciendo el listado en Pascal de un programa informático que obtiene el automáta de Moore equivalente a un determinadoautómatade Mealy dado. A continuación se ofrece otra definición de autómata,a partir de la cuáI, se estudian de forma matemática, los comportamientos entrada-salida y entradaestados del autómatay obtener el monoide de un autómatacuya tabla nos permite ver rápidamente el comportamiento del autómata para cualquier cadena que se presente en su entrada.Se sigue con el estudio de la minimizac,iónde un autómatafinito. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 17 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatasy lenguajes Termina la primera parte del tema con el estudio de un tipo particular de autómatas,Ios reconocedoresfinitos de lenguajesy las condiciones que debe reunir un lenguaje para ser aceptadopor un reconocedor,con el consiguiente estudio sobre conjuntos y expresionesregulares,gramiíticasy su clasificación y las propiedadesde los lenguajes formales. Toda esta teona será utilizada posteriormente para construir lenguajes que sirvan para la modelización de sistemas complejos, lo que conlleva a la computerizaciónde la modelización. En la segunda parte del capítulo se van a considerar los conceptos de gratrática, lenguajes generados por una gramática y gramáticas equivalentes. Veremos la clasificación de las gramáticas según las restricciones impuestas a sus reglas de producción y como esta clasificación da lugar a una jerarquíade lenguajes. A continuación veremos la manera de modifi,car una grarnáÍtcaparaque el lenguaje contengala cadenavacia sin cambiar de tipo. En la última parte del capítulo planteamosel problema del reconocimiento de los lenguajesregularesdesdeel punto de vista material, ya que estudiamosla relación entre el lenguaje y la máquina capaz de reconocerlo. Veremos que la clase de lenguajesque puede ser reconocido por un autómatafinito es precisamentela clase de lenguajesque pueden ser generadospor una gramáticaregular. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 18 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatasy lenguajes Todos los conceptosdesarrolladosen el presentecapítulo constituyen Ia base teórica Y, por tanto, su conocimiento es imprescindible para poder abordar en el tema siguiente la construcción de gramáticas generativas de ecuacionesde flujo de los sistemasestructurales complejos y sus reconocedoresconespondientes. 2.2. PRIMEROSCONCEPTOS. Lapalabra "autómata", en el lenguaje ordinario, normalmente evoca aigo que pretende imitar funciones propias de los seresvivos. Por ejemplo un robot dotado de capacidadesautónomasde movimiento que le permite ejecutar las órdeneso seguir el programaestablecidopor un ser inteligente. En el campo de la Informática lo fundamental no es la simulación de movimiento, sino la simulación de procesos que tratan información, y el ejemplo típico es el ordenador,que no es más que un dispositivo que maneja símbolos. De acuerdo con esto, se entiende que este tratamiento o procesamientode la información sólo tiene sentido para nosotros, que decidimos si una determinada cadenade símbolos significa tal cosa, es decir, que codificamos Ia información en cadenasde símbolos; el ordenador se limita a manipular esascadenas,dando lugar a otras cadenasque nosotros decodificaremos. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 19 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatasy lenguajes Hablando en términos generales,podemos considerara un autómata como un dispositivo que maneja cadenas de símbolos que se le presentan a su entrada, produciendo otras cadenasde símbolos como salida. Un ordenador es un ejemplo de autómata,pero también son autómatasdispositivos más sencillos, como sumadores, contadores,etc.. Tambiénpueden estudiarsecomo autómatasdeterminadasfunciones de los seresvivos, e incluso complejos sistemasecológicosy socioeconómicos. Un autómatarecibe los símbolos de entradadistribuidos en el tiempo, es decir, secuencialmentey, en general, el símbolo que nos presenta en su salida en un determinadoinstante no sólo dependedel último símbolo recibido en la entrada"sino de toda la secuenciade símbolos que ha recibido hastaeseinstante. Así pues, un determinado símbolo de entradapuede producir en la salida del autómatadiferentes símbolos de salida, dependiendode la "historia" o secuenciade todos los símbolos de entradaanteriores. Lo que acabamosde mencionar nos lleva a definir el concepto de estadode un autómata. EI estado de un autómata es toda la información necesaria en un momento dado para poder deducir, dando un símbolo de entrada en ese momento, cuál será el símbolo de salida. Un autómataposeeráun determinado número de estados y se encontraráen uno u otro según sea la historia de símbolos que le han llegado; si encontrándoseen un estado determinado. recibe un símbolo Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 20 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatas y lenguajes también determinado, producirá un símbolo de salida y efectuará un cambio o transición a otro estado. Un campo irnportarrte dentro de la Inform ática, y en el que nos vamos a introducir en este trabajo, está constituido por el estudio de los lenguajes y las gramáticas que los generan.Los elementosde un lenguaje son sentencias,palabras, etc.., formados a partir de un alfabeto. Establecidasunas reglas gramaticales, una cadena de símbolos pertenecerá aI correspondiente lenguaje si tal cadena se ha formado obedeciendo esas reglas. Puede entonces pensarse en la posibilidad de construir un autómata reconocedor de ese lenguaje, tal que cuando reciba a su entrada una determinada secuencia de símbolos nos presente en su salida una determinadaseñal que nos indique si la secuenciaes o no correcta. 2.3.AUTÓVrAr,qSFINITOS. 2.3.I. DEFINICIÓN. Un autómatapuede definirse como una quíntupla: A: (E, S, Q,-f,S) donde: E: conjunto finito símbolos de entradaso alfabeto de entrada. s: conjunto finito de símbolos de salida o alfabeto de salida. Q: conjunto de estados. f : es una función, llamada función de transición o función de estado siguiente: Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 2l Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatasy lenguajes f:ExQ-+Q g: es una función llamada función de salida: g:E xQ-+S Esta definición puede interpretarse como la descripción matemática de una máquina que, si en el instante / recibe una entrada e€ E y se encuentra en el estado q€ Q, entoncesproporcionauna salidag(e, q), y pasaal estado f(e, q) en el instante r+/. (Suponemos una escaladiscretade tiempost: I,2,3, ....,n,....). Las funciones/y g pueden representarsemediante una tabla con tantas filas como estadosy tantas columnas como entradas.Si la fila i correspondeal estadoqi y la columna j corresponde a la entradaej, en la intersección de ambas se escribirá rij/s¡¡, dondeet¡ :f(e¡,a¡) y s¡j: g(e¡,a). @igura2.1) ff'*, .* K' -vi u' I 9rr/s' 9r¡ls,, Qztlszt 1z/s, Qir/S;r Q¡/su TJ fi,gura2.1 Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Págna 22 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatasy lenguajes Otra forma de representarlas funciones,f y g es mediante un grafo orientado en el que cadanodo correspondea un estado,y sif(e¡, q) : qky g@j, q) : skexiste un arco dirigido del nodo correspondientea q¿al correspondientea q¡, sobreel que se pone la etiqueta e¡ /s¡¡ Este grafo suele llamarse diagrama de transiciones o diagrama de Moore y puedeverseen lafigura2.2. -{* /--l (Qii ) \,/ / fi,gura2.2 2.3.2.AUTÓMATA DE MEALY Y AUTÓMATA DE MOORE. El modelo de autímata que hemos presentado,realmerúe.se denomina Máqaina de Mealy. Las funciones g y/determinan la salida y el estado siguiente Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Págína 23 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatasy lenguajes cuando la máquina se encuentraen el estadoq € Q y recibe una entrada e e E. Ahora bien, es interesanteconsiderar, ademásde los símbolos de Z, un nuevo elemento, l, (elementoneutro); fisicamente,el decir que la entradaes 1.,es lo mismo que decir que no hay ninguna entrada. Ampliando el dominio de I que es Exe, a {Ect o"}} * e y ro mismo, el dominio de g podemos respondera la pregunta: "¿ quéocune si, estandoel autómata en el estadoq €Q, recibecomo erúradalv?',. La ampliación del dominio de/no planteaningún problema,ya que podemos convenir que f(l,q) : q (es decir, fisicamente, si no hay entrada no se cambia de estado). Pero no octlrre lo mismo con g ; y ello se ve facilmente con el ejemplo anterior:si llegamosaql yasea de q3 (por la entradade b) o de qI (por la entradade a) la salida es 0, por lo que podemos asociar la salida 0 al estado q y decir que 1 : 0; sin embargono podemosdefinir so,q), ya que si llegamosa q2 desde s&'qil q 1 Ia salida es 1, pero si llegamos desdeel propio q2 la salidaes 0. Es evidente, que en general sólo puede definirse g(l,q) en el caso de que lq = -f (nr,Qt)= -f (e,q)l->fg@r,qr): g(e,q)] (2.r) es decir, que a q se le puede asociaruna salida y sólo una. si estoocumeparatodo q € Q podemosdefinir unafuncióninyectiva Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 24 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatasy lenguajes ¡:e__>S tal que g(e,q): h[f(e,q)J, ee {Eu {2}}, qe e. En este caso,podemos decir que ra salida solo dependedel estado,y el autómatase llama máquina de Moore. Expresandoel tiempo de forma explícita s(t) : g[e(t), q(t)J: h[q(r)J: h[f[e(r-I),q[t-t]l (2.2) En una máquina de Mealy las salidas están asociadas a las transiciones, mientras que en una máquina de Moore las salidas est¿ínasociadas a los estados. Puesto que toda máquina de Moore es una máquina de Mealy que cumple la condición (2'l) para todos los estados,parece en principio que las primeras son un subconjunto de las segundas. Sin embargo, se demuestra (Fundamentos de Informática. Gregorio Fernández,T9S7)que siemprepodemos encontraruna máquina de Moore equivalentea una máquina de Mealy dada. Teorema: " Dada una máquina de Mealy, siempre se puede encontrar una máquina de Moore equivalente". Debido a que nos parecemás cómodo trabajar con máquinasde Moore hemos desarrolladoun programa en Pascal que obtiene el autómata de Moore equivalente a un determinado autómata de Mealy dado y que a continuación se representa su listado. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 25 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatas y lenguajes 2.3.3. PROGRAMA DE OBTENCIÓN DE UN AUTÓMATA DE MOORE EQUIVALENTE A UN AUTÓMATA DE MEALY. Prog'ram moore/. ttqac ñr+. type A:array[1..5] of char; A2:array 11..51 of integer; B:array[1. . 10/ 1. . 10] of inceqer,. C:arraylI..2l of integer; var m,n, i, ), k, x, y, fila, columna, numest / nument, numsal, contador : inteqer ; entrada :A; s a l - i d a : . A 2; f , g, ultima2:B; estado/ul-tima:arrayt1. .10,1. .1Ol of C; estfinal:arrayt1..10l of C; final: array[1. . 10] of integer; (*********************************************************) Procedure entradas sal-idas; begin writefn ('Tntroduzca l-os identificadores de l_as entradas for n::l- to nument do begin write ('Entrada número , ,r,,, : '); readi_n(entrada [n] ) ; ') ; ond. writel_n; writel-n ( rrntroduzca l-os identif for n::1 to numsal- do begin wrj_te(tSalida número t,tr,t readl_n(saj_ida In] ) ; icadores : de l_as sal_idas' ) ; t); ond. end; (******************************************************** Procedure funclon f; begin for n::l- to numest do for m::1 to nument do begi_n Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 ) Página 26 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatasy lenguajes t, rrentrada[m], t) write(tf(qtrfrr r e a d l _ n( f I n , m ] ) ; r) ; anÁ. onri. (**************tr***************************************** Procedure funcion_g; begin for n::1 to numest do for m::l- to nument do begin t,entrada[m], write(tg(qr,rr,,, readf n (g In, m] ) ; t),) ) ; anÁ. ^^4. (******************************************************* Procedure fusionar; begin for n::1 to numest do for m::1 to nument do begin estado In, m] [1] ::f In, m] ,. estado In, m] [2l ::q In, m] ; end; ) (******************************************************>k) Procedure estados f inaf es ,. begin contador::0; for j ::1 to numest do for i::1 to numsal_do for n::l_ to numest do for m::1 to nument do (estado In,m] l1l:j ) and (estado In,ml if l2l-salida lil ) then begin (estfinal- [contador] [1] <>j ) or (estfinal if Icontador] [2] <>salida til ) then begin contador : :contador+ 1,. estfinal Icontador] [1] ::j; estfinal Icontador) l2l::sa]_ida lil ; final I contador] : :contador; anÁ. an r] . endi (******************************************************* procedure ultimo; begin Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 ) Página 27 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatasy lenguajes for i::1 to contador do begin x::estfj_nalIi] i1l; for m::1 to nument do begj_n ultima Ii,m] [1] ::estado Ix,m] [1] ; u l _ t i m aI i , m ] [ 2 ] : : e s t a d o I x , m ] [ 2 ] ; . onrl av ¿ n d. ¡\f,/ for i::1 to contador do for m::1 to nument do begin x::ul_timaIi,m] [1]; y::ultimaIi_,m] [2]; for j::1 to contador do rf (estfinal Ij I [1]:x) and (estfinaf then u l _ t i m a 2[ i , m ] : : j ; r'l . an ( * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *x *x*x*x** ** ******x * * ** *x *x****** * * * * * begin ¡1 r<ar ltl t2l:y) * **** * ) - write('Número de estados def autómata de Mealy.......: readfn (numest) ; write ('Número de entradas del autómata .. ..: readfn (nument) ; write(rNúmero de salidas del autómata : readfn(numsal),writeln; entradas salidas; writel-n; writel-n ('Función de transición de estados , ) ; funcion f; writelnJ ' ; writefn ( 'Función de safida ) funcion_g; fus ionar; estadosflnales; ul-timo; writefn; writel-n ( 'Tabla del_ autómata de Moore equivalente' ); writefn(r::=:::: :::::' ); , write (' Entradas --> ); for m::l- to nument do ') write (entrada [m], ' ; writefn; writel_n (' Estados/salidas' ) ; Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 '); ') ; ')i Página 28 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatas y lenguajes begin '/' write ( ' , estfinal e' , ñ, for m::1 to nument do write ('q',ultima2 [n,m], " write-l_n; [n] l2l , , '); ); ond. readln end. Ejemplo de ejecución del programa moore. Seala máquina de Mealy dadamediante el diagramade la figtxa2.3. Obtener la máquina de Moore equivalente. ftgura2.3 Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Págrna 29 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatasy lenguajes Número de estados del- autómata Número de entradas Número de salidas fntroduzca los Entrada número Entrada número Introduzca los número 1 -n Salida número 2 Función 1 f(q1,b) 2 f (q2, a) 3 f (q2,b) 2 f(q3,a) 3 f(q3,b) 1 Función l^ ^^ g(ql,a) 0 g(ql,b) t_ g (q2, a) 0 I i 3 2 2 de las entradas de las salidas a ficadores .1 de transición f(q1,a) I r¡ del- autómata identi Salida Ma: del- autómata identificadores t. do de estados ^r^ Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 30 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatasy lenguajes q (q2,b) 0 g(q3,a) 1 g(q3,b) 0 Tabla autómata del :::::::::::::- de Moore eguivalente -- Entradas Estados/salidas qL/ 0 ct1 q2/0 ^11 q3/I ñL rs) q4/0 a( r.l-1 q5/1 c6 ¡1 rr? Y- El diagrama coffespondientepuede verse en lafigura 2.4. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 31 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatasy lenguajes 1 figura2.4 2.4.OTRA DEFINICIÓN DE AUTÓVIATN. 2.4.I. DEFINICIÓN Al ser los autómatas unos dispositivos que producen cadenas de símbolos a la salida en respuestaa cadenasde símbolos presentadasa la erúrada, podemos definir un autómatacomo una función F* : E* -+,S* que hace corresponder a cada cadena de entrada x e E* una cadena de salida F*(x) :./ €,S*. Pero el autómatatambién quedaperfectamentedefinido restringiendo el rango Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 32 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatasy lenguajes de la frmción de S* a S, es decir, podemos definir un autómatacomo una fi.mción F*:E* -+S que hace correspondera cadacadenade entrada x e E*, el último símbolo obtenido como salida,F(x): s 6ü yaque six: e0e1.......en_7 tendremoscomo símbolosde salida F(efl en el instante I F(egel en el instante 2 por consiguiente F(e9e1......e,x-l en el instanten F*(x) : F*( ege1....... en_ F(e0e1....... en_ il : F(eg)F(ege1....... I) lo quedemuestraqueF* quedadeterminada conociendoF. 2.4.2.COMPORTAMIENTO ENTRADA.SALIDA DEL AUTÓVT¡.T¿. En un autómataA : ( E, s, Q,f g) se defineel comportamiento de entradasalidadeAinicializadoen el estadoqporlafunción Cq: E* -+S queaplicaacadaerÍradaxe E* unasalidas = g(x,q). Es decir, si en el instantetg el autómatase encuentraen el estado4 e introducimos la cadenax : e\e2.......ense obtendrán lassalidas Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 33 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatas y lenguajes cn@ilent:t0 Cr(ercZ)ent:t7+I Cq(eFZel ent : tgi2 CnG1e2.....e) en t : Íg-rn-I Vemos así que para todo autómata pueden definirse tantas funciones como estadostiene el autómata. La definición del comportamiento entrada-salida nos permite dar las siguientesdefiniciones: l) Estados equivalentes.'Dadosdos autómatascon los mismos alfabetos de entradav salida Al: (8, S, QI,fl, gl) y A2: (E, S, e2,-fZ,gZ) qI €QI esequivalenteq a2 ee2 siCqI:Cq2. Esta misma definición sirve para estados equivalentes dentro del mismo autómata:bastaconsiderarQ1 : Q2 , fl : fZ y gI : g2 . 2) Forma mínima de un autómata: un autómataestáen forma mínima si (Cqt : Cqz)-+ hl : qz) Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Págína 34 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatasy lenguajes es decir, si no existen estadosequivalentes. Para comprobar que un autómata está en forma mínima hay que ver si el comportamiento es distinto encada estado.Esto no es facil, puesto quehabría que ir ensayandocon diferentes cadenasde entrada hasta que se observe una diferencia de comportamiento entre dos estadospara la misma cadena.pero como E* es infinito, si no encontramostal diferencia despuésde un número finito de cadenasno podemos gararÍizat que el autómata finito esté en forma mínima. En el texto referenciado anteriormente, Fundamentos de Informática de Gregorio Fernández se ofrece una demostración y un algoritmo que nos permitirá ver si un autómata está en forma mínima. 2.5.CONCEPTOSALGEBRAICOS. 2,5.I.INTRODUCCIÓN. A continuaciónvamosa recordaralgunosconceptosde álgebraque se vtllízanen el procesode minimizacióndeun autómatafinito. 2.5.2.MONOIDE DE TRANSFORMACIONESDE UN CONJUNTO. Una transformación / en un coniuntoC se definecomouna función de C en s í m i s m o :t : C - + C . Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 35 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatasy lenguajes Teorema:Seacrmconjuntocualquiera ysea cc: / t' c -+c/ el conjunto de todaslastransformaciones de c en C. Entonces(CC, e, donde"o" representala composiciónde ftrnciones,es un monoide,llamadomonoidede transformacionesde C. 2.5.3.HOMOMORFISMO ENTRE MONOIDES. Si l,S¡, *)y (52, r/sondos semigrupos, unafunción/.S/ -+,S2sediceque esun homomorfismoentreambossemigrupossi (Va,be S1) [f(a*b)c:f(a) .f(b)] si/es biyectivael homomorfismo recibeel nombrede isomorfismo. Si 57 es un monoidecon elementoneutroel, 52 un monoidecon elemento neutroe2, fvnhomomorfismo (isomorfismo)entre s7 y szy secumplequef(efl : e2 entonces;fes un homomorJismo(isomoffismo)monoide. 2.5.4.MONOIDE LIBRE Y HOMOMORFISMO. Sea Z un alfabeto, -E* es el conjunto de todas las cadenas,incluida )", que puedenformarse apartir de E. La concatenaciónde dos cadenasx, y € E* es una ley de composición interna sobreE* , es decir, una aplicación Ex x E* -+ Ex que consisteen formar la cadenaxy Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Págína 36 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatasy lenguajes poniendo x delante de y. La concatenaciónsatisfacelas siguientespropiedades: a) Es asociativa: x(yz) : (xy)z : xyz b) No es conmutativa, en general:xy lW c) Tiene elementoneutro,X: )x : x.I: x. d) Ninguna cadenatiene inverso, salvo 1,. Por consiguiente( E*, /, es decir, E* eon la operaciónde concatenaciónes una estructuraalgebraica de tipo monoide, a la que se llama monoide libre generado por E. Sea, ahora, í: E -) E* la función que aplica todo elemento de E en ra correspondiente cadena de longitud unidad, es decir, Va e E, i(a) : a y sea f cualquier función de E en el conjunto de cualquier monoide ( M, *). Entonces existe un único homomorfismo monoide g (E*, )-+(M,*) tal que g o i : f , es decir, tal que el diagrama i E --------------+ E* \/ /\ /r M Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 37 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatasy lenguajes esconmutativo. Esteteorema nos permite extenderel dominiode cualquierfunciónE -+ M del alfabeto E en el conjuntode un monoide(fu|,*)a un homomorfismomonoide (E*, )-+ M,r, y nosserádeutilidadmásadelante. 2.5.5.RELACIONES DE CONGRUENCIAY MONOIDE COCIENTE. Dado un monoideM,*) y una relaciónde equivalencia, R, en M, R esuna relaciónde congruencia en M,*) si a R b implicaque (a*c)R ft*c) y (c*a)R (c*b) paratodoc eM. Si R es una relación de congruenciaen el monoide M,*) el conjunto cociente Irl/R : {[aJ / a € M ] con la operación [a]' [b] : fa*bJ es un monoide.Estemonoide se llama monoide cocientede Mpor R. 2.6.COMPORTAMIENTO DE ENTRADA.ESTADOS. Seaun autómatafinito A :(8, S, e, f g) . Sabemosque dadosun símbolode entraday un estadopodemosobtenerel estadosiguientemediantela función Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 38 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatasy lenguajes .f.ExQ-+Q Dado solamenteun símbolo de entrada, e € E, podemos definir una función que aplique a cada estado el siguiente bajo esa entrada determinada, es decir, una función de Q en Q, k(e); Q -+ Q. Existirá entoncesuna función k:E-->QQ siendoQQ el conjuntode las funcionesde Q eÍ e, eue sabemosque con la composiciónde funcioneses un monoide.La función ft se determinaapartir de/del siguientemodo : paracadae € E y cadaq e e, [k(e)Jh) : -f(e,q). Ahora bien,con las demostraciones anteriores,la funciónk puedeextenderse a un homomorfismoentremonoides K ' (E*, ) -+ QQ,o) con K(ep2-....e) : k(elo k(e)o.......o k(nr). Llamaremosa K comportamientode entrada-estadosdel autómata. T -_| c. Llr *\ /. ao Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 39 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatasy lenguajes 2.7. RELACION EQUIRRESPUESTA Y MONOIDE DE UN AUTOMATA Seaun autímataA con comportamientode entrada-estadosK. La relación equirrespuesta de A, =, es una relación binaria de E* tal que (Vx,y € E*) [(x=y) <+(K(x): K(yDJ Esta relación binaria, =, es una relación de equivalencia,ya que cumple: r) (Vx € E*) [K(x) : K(*)] 2) (Vx,y € E*) t6@ : K(y)) -> (K(y) : K(x))J 3) (Vx,y,z € En) t(K(x) : K(y)) ,t (K(y) : K(z))->(K(x) : K(z)) Además es una relación de congruenciaen el monoide (E*, ). En efecto, si x -= y, K(x): K(y),y K(xz): K(x) o K(z): K(y) o K(z): K(yz).Análogamente,K(zx): K(zy). Por tanto, según hemos visto anteriormente, (Ey= ) , es decir, el conjunto cocienteE*/= con la operación de concatenaciónes un monoide. Dado un autómatacon un comportamientoentrada-estados, K, que origina una relación equirrespuesta-:en E* , eI monoide cociente (EYZ ) se llama monoide del uutómata. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 40 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatasy lenguajes Si el número de estados es n, el monoide del autómata tendrá, como máximo nn elementos. En efecto, el número de transformaciones en el conjunto e, es decir, de funciones diferentes Q -+ Q es nn. El homomorfismo K aplica entoncesun conjunto infinito E* , en un conjunto QQ, que tiene nn elementos. Si esta aplicación es sobreyectivalarelación equirrespuestatendrá indice nn , es decir, inducirá nn elases de equivalencia en E* (Si la aplicación no es sobreyectiva, el número de clases de equivalenciaserámenor). Por consiguiente,el número máximo de elementosde E*/= es nn. El monoide de un autómata refleja la capacidad de éste para responder de distinto modo a las cadenasde entrada. Si dos cadenasx e y estánen la misma clase,es decir, si x =y entoncesK(x) = K(y), es decir,el homomorfismoK las aplicasobreel mismoelementode eQ o ro que es lo mismo, ambasproducenla misma transformacióne + e, y el autómata seráincapazde distinguirunade la otra. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 41 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatasy lenguajes 2.8.MINIMIZACTÓN DE UN AUTÓMATA FINITO. 2.8.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. Si disponemos de dos autómatas equivalentes que describen un sistema secuencial que debe realizarse físicamente escogeremosque el posea un menor número de estados,ya que el coste delarealización crecerácon el número de estos. Es, pues, importante sabersi un autómatafinito estáen forma minima, y, si no lo está, hallar un autómata finito en forma mínima equivalente a é1.Comenzaremospor ver que este existe siempre; a continuación veremos que para detectar equivalencia entre estadosno es preciso realizar infinitos ensayoscon cadenasde entrada,y, finalmente, veremosun algoritmo para minimizar un autómatafinito. Ante todo, debemos señalarque la equivalencia entre estadosde un autómata finito definida por (Vxe E*) [(ql : q) e (Cqt6) : CqZ(x))J es una relación de equivalencia en el conjunto Q, pues, como es inmediato comprobar, es reflexiva, simétrica y transitiva. Por consiguiente, puede definirse un conjunto cociente, Q/1 cuyos elementos serán clases de equivalencia : [qJ será la clase de equivalencia que contiene a q. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 42 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatasy lenguajes 2.8.2.AUTÓMATA EN FORMA NNÍNriU¿. Se demuestraque dado un autómatafinito A :(E, S, e, f h) , el autómata definidoporA¡4:@, S, QU,fU, h¡¡) , donde QM: U= fu6,[qI: [f(x,q)J hv(tql): h(q) esequivalenteaA y estáen formamínima. 2.8.3. COMPROBACTÓN DE LA EQUTVALENCTA ENTRE ESTADOS. Teoremade las particionessucesivas:Si p¿ pI, p2,........es una secuencia infinita de particionesen un conjuntofinito e tal que,paratodo k, secumple: a) Pk+I es un refinamientode P¡, es decir, todo bloque de p¡¡1, Bi¡¡1 está contenidoen un bloque,Bt¡, dePp : Bi¡¡ 1 c N n. b) (Plr+t : Pl¿ -+ €k+Z: Pk+il, entoncesexisteun enterokg < card(Q)tal que (Vk > kd @1,: plcd. Equivalenciade orden k entre estados:Dos estadosde un autómata finito son equivalentesde orden k si y sólo si conducena la misma salida para cadenasde entradade longitudigual o inferior a fr: Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 43 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatasy lenguajes (q, =oeJ e [(lg(x)< k) -+ Co,(x):Co2(x)l Paracomprobarla equivalenciade ordenk ya no hay que hacerun número infinito de comprobaciones. Teorema: Dado un autómatafinito y ql, q2 e Q existeurrk0 < card (e) tal queql y q2 sonequivalentes (ql =q) si y sólo si qI y q2 sonequivalentes de orden ko@l=koq). La teorema es importante ya que, sin necesidad de conocer kg , como kg < n pata comprobar si dos estados son equivalentes bastará con comprobar si son equivalentesde orden n-1. 2.8.4. ALGORITMO PARA LA MINIMIZACIÓN DE UN AUTÓMATA FINITO. El algoritmo de minimización de un autómatafinito se basa en los resultados anteriores: Paraello sepuedeprocederdel siguientemodo: 1) Si {qI, q2, ........,qn} son los estadosde un determinadoautómata, formamoscon ellos una particiónPg consistente en colocaren un mismo bloque Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 44 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatasy lenguajes aquellosestadosquetenganasociadala mismasalida. 2) A continuación formamoslas particiones Pk+I (k:0,1,....) teniendoen cuentaque dos estadosestaránen el mismo bloquesi para cadaentradalos estados siguientesestánen el mismobloque queP¡. 3) El procesoterminacuandoPk+l : pk .Sí p¡¡¡1 : {eI, e2, ....,em} los estados delautómata enformamínimasonq1= Ql, q2: Q2,......, Qm: em. 2.9.RECONOCEDORFINITO. un lenguaje,z, sobre un alfabeto, A, esun subconjuntocualquierade ¿* =ÜA' j=0 dondeA0 : {1} y Aí es el conjunto de cadenasde longitud i. A continuación vamos a ver que ciertos lenguajes pueden asociarsecon autómatas finitos que sirven como reconocedoresde las cadenaspertenecientesa tales lenguajes. an reconocedor finito de un lenguaje L es un autómutu Jinito que sólo acepta las cadenas de dicho lengaaje, en el sentido de que, inicializado en un estado predeterminado,ql , si se le introduce una cadenade entradax1e L, da un símbolo final de salida que coresponde a "aceptación", mientras que para xl É L produce una salida de no aceptación. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Páryrna45 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatasy lenguajes De acuerdocon esto, daremosla siguiente definición formal : Un reconocedorfinito es una quíntupla: R:(E,Q,fqI,F) donde: E: conjunto finito (alfabeto de entrada). p: conjunto finito (conjunto de estados). .f :es unafunción"f: E xQ +Q (funcióndetransición). q I e Q es un estadodesignadocomo estadoinicial. F - Q es un conjunto de estadosdesignadoscomo estadosfinales. Llamaremos L(R) al conjunto de cadenasaceptadaspor R, es decir, L(R) : {x e E* lf(x,qfi e F} (con el dominio def ampliado a E*). Seguiremosel convenio de representaren los diagramasde Moore los estados de aceptaciónpor un círculo con un grosor de línea superior a los demás, y en las tablas de transición encerradosen un círculo. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 46 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatasy lenguajes 2.I0. LENGUAJES ACEPTADOS POR RECONOCEDORES FINITOS. Podemos preguntarnossi, dado un lenguaje cualquiera , L c:E*, podemos siempre encontrarun reconocedorfinito, R, tal que L(R) : L. consideremos E: {0, 1}, y seaL: {1"' / n > l}. No existe ningún recono- cedor finito que acepte este lenguaje. Basta este ejemplo para demostrar que existen lenguajesa los que no correspondeningún reconocedorfinito. Por tanto, vemos que /os lenguajes aceptadospor un reconocedor son un sabconjanto de todos los lenguajes posibles sobre 8.. En el apartado 2.6. definiamos de manera general el comportamiento de entrada-estadosde un autómatafinito como un homomorfismo K: (E*, ) -+ (QQ, o2 tal que a cadax e E* correspondeuna transformaciónentre estados,K(x): e -+ e y esto nos permitió definir una relación equirrespuestaen E* tal que ,c= y si y sólo si K(x) : K(y), es decir, las cadenasx e y estaránrelacionadassi y sólo si producen la misma transformación entre estados: (Vq¡eA) Kx =y) <+f(x,q):f(y,q) Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 47 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatasy lenguajes Veíamos que esta relación es una relación de congruencia en ( E*, ) y particiona E* en un número finito de clasesde equivalencia ( es decir, es de índice finito, menor o igual a z', siendo n elnúmero de estados). En el caso del reconocedorfinito, el estadoinicial, ql es fijo, y el comportamiento de entrada-estados serámásbien unafunciónK¡: E*-+ Q queaplica a cadax e E* wt q € Q de tal maneraque Kp(x) :f(x,q l) Podemosigualmentedefinir unarelaciónequinespuesta, =p enE*: (Vx,ye E*) [(xzpy) e(f(x,ql :f(y, qil)J que es de equivalencia,como fácilmente se puede deducir. Además (x = y) -+ (x=n D , pero no a la inversa, por lo que la partición de E* inducida por =l? tendrá un número igual o inferior de clasesde equivalenciaque en la inducidapor =. Si bien -.r es una relaciónde congruenciaen <E*, >, -a sólo es una relación de congruenciaderecha.Esto quiere decir que (x zR y) -+ (xz zR yz) , pero en general,no escierto que(zx=R 29. Así pues, a cadareconocedorfinito correspondeuna partición de E* en clases de equivalencia tal que si dos cadenas están en la misma clase ambas cadenas conducen al mismo estado.Además, esta relación de equivalencia es de índice finito Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 48 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatas y lenguajes menor o igual &flfr , siendon el número de estadosdel reconocedor. Veamos como pueden aplicarse estas conclusiones para caractenzar a los lenguajes aceptadospor reconocedoresfinitos. Dado un lenguaje L c E*, definimos la relación de congruencia derecha inducida pot L, =L , asi. (Vx,y,ze E9 [6 =L, e (xze L <+yz e L)J Es evidente que se trata de una relación de equivalencia.Para ver que también es una congruenciaderechabasta suponerque z :zIz2, con lo que (Vx,y,z1,z2€E*) [(x =f y) e (xz1z2eL <+yz1z2 € L) -+ (xz1zLyz])J La principal conclusión de esteapartadoes que: L c E* es an lenguaje aceptado por un reconocedorfinito si y sólo si la relación de congruencia derecha inducida por L tiene índiceJínito. supongamos ahora que L es un lenguaje que induce una relación de congruenciaderechaen E* que es de índice finito. Vamos a construir un reconocedor Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 49 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatasy lenguajes finito, R¡, tal queL(Rl : L. Llarnemos[xJ a la clasede equivalenciade E*l=1 que contieneax e E*. Entonces definimos RL: (E, QL,fL,qI,FL) donde QL = E*l=¡ ={[xJ] (Vy e E9 (ftfu,[x) : [xy/ q|: pJ F¡:{[xJ/x eL] El lenguajeaceptado por estereconocedorserá: L(RD: {y . E* /"ftfu,qil e FL} : {y/"ftfu,ttl) e FL} : :{y/[yJ eü]:{y/y.L}:L Además,R¿ estáen formamínima.En efecto,si qLI : [xil fueraequivalente a qL2 : [x2J, estoquerríadecirque (Vy e E9 ((ftfu,[xú e L)<+(tfu,[xfl e L)) y por la definición de"ft, (Vy e E9 ([rty] e L) <+ ([x2yJ e L)) Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 50 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatasy lenguajes es decir, xI -=Lx2; xI y x2 se encuentranen la misma clase de equivalencia, por lo qve qlLI : qL2. 2.II. CONJUNTOS REGULARES.EXPRESIONES REGULARE S. Acabamos de ver una condición necesariay suficiente para que un lenguaje seaaceptadopor un reconocedorfinito. En este apartadovamos a exponer una herramierrta,las expresionesregalares, especialmente creada para trabajar con los lenguajes aceptadospor reconocedores finitos, y que nos permitirá construir algoritmos que resuelvan los problemas de análisisy síntesisde reconocedores. 2.II.I. CONJUNTOS REGULARES Sea {L1, L2, ......} el conjunto formado por los posibles subconjuntosde E* (lenguajessobre$. Definamostres operacionesen dicho conjunto: a ) U n i ó n :L 1 t t L 2 : { x / x e L 1 vxeLZ} b) Concatenación:LflZ : {xlx2 / x1 e L1 zt x2 e LZ } : c) Ciene: L* : {).} u {L}u {LL}t,{LLL}....... J t" n=0 Diremosque un subconjuntodeE*, L^, esun conjuntoregular si y sólo si: Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 51 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatasy lenguajes fl) L* es un subconjuntofinito deE* (puedeser el conjunto vucío)o bien, b) L^ puede obtenersea partir de subconjuntosfinitos de E* medianteun númerofinito de operacionesde anión, concatenacióny cieme. 2.IT.2.EXPRESIONESREGULAR.ES. Las expresiones regularesseintroducenparadescribirlos conjuntosregulares. Paradesignarel conjuntodescritopor la expresiónregularu utilizaremosla notación [cr]. Dadoun alfabetoE: {eI, €),.....,en}, vamosa definir,en er conjuntode las expresionesregularessobredicho alfabeto,las operacionessuma, concatenación y cierrede formarecursiva: a) 2 (cadenavacíay elementoneutrodentrode la concatenación de cadenas), 0 (conjuntovacío y elemento neutro para la unión de conjuntos) y ei (i : 1,2,....,n)son expresiones regularestales que l2l : {A}; lól : ó y I eA : {e¡} (i : 1 , 2 , . . . .,n ); b) Si a y B sonexpresiones regulares,d+B es una expresiónregulartal que la+Fl: la|\Fl; c) Si a y B son expresiones regulares,aB es una expresiónregulartal que la0l: lall1l; d) si a es una expresiónregular,a* esuna expresiónregulartal que la*l : lal*. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 52 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatasy lenguajes Dos expresionesregulares son iguales si designanal mismo conjunto regular: (a: 0 -+ lal : lQl. Teniendoesto presente,es flícil demostrarlas siguientespropiedadesde las expresiones regulares: l. La concatenación esasociativa:a(By) = (afl)f 2. La sumaesdistributiva:aB + ay:q(F + y). 3. Q esel elementoneutroparala suma: a+ó: Q+a: a. 4. / esel elementoceroparala concatenación: aó: ó d: ó. 5. 2 esel elementoneutroparalaconcatenación: a),: ),d: a. 6. Propiedades de la operacióncierre: a) (a+F)x: (ax*B\*: (q*p*)*. b) (a+1)* :cr*+ ).:d* c) aa* + .L:a* d) 2* = Ó*:2 Se demuestra(Fundamentos de Informática.Gregorio Fernández)que todos los lenguajesaceptados por reconocedores finitos sonconjuntosregularesy que todo conjuntoregulares un lenguajeaceptado por un reconocedorfinito, lo que nos va a permitirresolverlos problemasde análisisy síntesis,respectivamente. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 53 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. y lenguajes Autómatas 2.I2. RESOLUCION DE PROBLEMAS DE ANÁLISIS Y SÍxrrsrs DERECoNoCEDoSFINIToS. 2.I2.I. ALGORITMO DE ANALISIS. Supongamos queun reconocedor finito tienen estados,Q: {q1,.....,qr},con estadoinicial ql y coírestadosfinalesF : {qfl, qÍ2, .......,qfr} (n 2 r > 0). El lenguajeaceptadoes: L(R) : {x /f(x,ql e F} : u {RIj / q¡e F} con Rz7: {x / f(x,q) : O¡} (conjunto de cadenasque nos llevan del estadoq¡ al estado Qj ).Bastará con demostrarque los R;¡ son conjuntosregulares. Vamos a definir Rk¡ (0-<k< n) como el conjunto de cadenasque llevan del estadoq¡ aI estadoQ¡ sin pasarpor ningún q¡ tal que t > k . En particular, R0¡¡ serán las cadenasque llevan del estadoq¡ al estadoQj sinpasat por ningún otro estado,por lo que serán símbolos, es decir, es un subconjuntode E c-t{2} y, por tarúo,es regular ya que es finito. Supongamos que nk-I ¡j es regular para todo i, j y k > I y demostremosque Rk¡¡ esregular.En efecto, bastacon comprobar que Rkij : nk-I¡j upk-L¡¡(Rk-lnilx pk-I¡¡ Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 54 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatasy lenguajes Entonces,Rk¡¡esregularparatodo k, y engeneral,Rrl: Rrrl . De la demostraciónanterior se desprendeun procedimientopara obtenerla expresiónregulardel lenguajeaceptadopor un determinado reconocedor. En efecto,llamemos¿iij u la expresiónregularque designaal conjunto Rk¡¡: lok¡jl: Rk¡¡; efionces,si q1 es elestadoinicial,la expresión regulardeL(R) será: )dr,, | i- dvz *.......* dt.f, sl r > 0 si r=0 Ó Los a¡¡ secalcularánrecursivamente, teniendoen cuentaque l&¡¡ | :{e e E v Q.}/f(x,q) : qj } &ü = ok-L¡j+ ok-I¡n(&-I kD* ok-In¡ e < k _<n) dij: útj 2.12,2.ALGORITMO DE SINTESIS Aunque hay diversasdemostraciones de esteteorema,como las de Rabin y Scott(1959),o la de Ott y Feinstein(1961).Sin embargo,preferimosbasarnos en los trabajosde Brozozowski(1962,1965)que introduceun algoritmo de f,ícil manejo empleandoel conceptode derivudade una expresiónregular. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 55 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatasy lenguajes Sea a la expresiónregular que designaal conjunto regular LR, lal : LR y consideremos el subconjunto de Z¡ formado por todas las cadena de Z¡ que empiezanpor un determinado símbolo e. Definimos el cociente izquierdo de Z¡ por e, Lp\e, como el conjunto resultantede suprimir e en todas estascadena: Lp\e:{x/xe eLn) y definimos la derivada de a respecto del símbolo e , Ds(a) como la expresión regular de Lp\e. Las siguientespropiedadesde las expresionesregularesse deducenfácilmente a partir de la definición: (| ¡l t si €t=€z I) Dslk2¡: ]", la su el+e2 2) De(2) : De(ó) : ó 3) Du@ + F) : De@) + De(f) '1 lelal q Ds@B):[De@)FJ+ s(a)Ds(p) a(e={Ó^ \ '/ "on l), si ),elal s) De@*): [Ds(a)Ja* : Ds[D¡(a)J 6) D2¡s@) Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 56 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatasy lenguajes Para construir un reconocedor finito en forma mínima del lenguaje denotado por la expresión regular a, a partir de las derivadas se puede seguir el siguiente procedimiento : 1) Calcular{D,(a)/x eE*} 2) El estadoinicial es{r : a; los otrossonlas diferentesD,(a) 3) La función de transici6n esf(e,a) = D"(a); f(e, D.(a)) = D*(q) 4) El conjuntode estadosfinaleses F= { D.(a) / 2 e I D.(a)l} 2.I3.DEFINICTÓXDE GRAVrÁrrCA. Una gramáticaesunacuádrupla G: (ET,E¿, P, S) donde E7 es un conjuntofinito llamadoalfabetoprincipil o uAabetode símbolos terminales. Etr esun conjuntofinito de símbolos,llamadoaAabetoauxiliar o alfabetode variables. S es rur símbolo destacadodel alfabeto auxiliar llamado símbolo inicial . P es un conjunto finito de paresordenados(a, F), donde F e (Ef tt E,D* y Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 57 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatasy lenguajes d € (ET u EA)* , donde (Ef u E¿)* es el conjunto de todas las cadenas (incluida la cadenavacía,l") que puedenformarse apartir de E7 u EA y @7 ct E/+ (E7 t-,,E)*- {X}. Estos pares ordenados reciben el nombre de reglas de escritura o producciones, y generalmente se escriben con la notación a -+ p . a es el antecedentede la regla y p el consecuente.Si B e E*7 se dice que la regla es una regla terminal. Sia-+F.Py f 6 €E*, (E:ETUE,il l a s c a d e n aTsa 6 y y B | e s t á n e n relación de derivación directa y escribiremos ya6 7rF6 y diremos que la cadena yp6 deriva directamente de Ia cadenaya6. Si a1, dm € E*, se dice que están en relación de derivación enlagrarnéúica G si existena2, d3,........., dm_I,talesque at7qz?a37 Lo denotaremospor aI ; apy U ?am-t7dm diremosque apderivade a1. * Observemo,que ? y I no sonrelacionesde equivalencia,puesen general no secumplela propiedadsimétrica. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 58 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatasy lenguajes 2.I4. LENGUAJE GENERADO POR UNA GRAMÁTICA. El conjuntode sentencias que puedengenerarse de una gramáticaG se llama Ienguajegeneradopor ana gramótíca,esdecir, L(G):{x/xeE*TyS=*¡ Dos gramáticasque generanel mismo lenguajeJ. orr. que son equivalentes, esdecir Gt y GZ sonequivalentes si L(Gl : L(GZ) 2.I5. CLASIFICACIÓN DE LAS GRAMÁTICAS Y DE LOS LENGUAJES. Las gramáticas pueden clasificarse dependiendoque la forma que tienen las reglas de producciones.Partiremos de una gramáticadonde las reglas de escritura no poseen restricción alguna e introduciendo restricciones adicionales a las reglas obtendremos sucesivamente gramáticas cada vez más restringidas. Pasemos a comentar la clasificación debida a Chomsky y aceptadauniversalmente. 2.I5.I. GRAMÁTICAS DE TIPO O Ó NO RESTRINGIDAS. La gramática definida de una forma general en el apartado 2.13. se llama gramótica de tipo 0 ó no restringida. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 59 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatasy lenguajes Recordemosque las reglasde escriturao produccionesson de la formaa -+ p, con a e E+ y e E*, es decir, Ia irica restricciónes que no puedenhaber F reglasde la forma I -+ F. 2.15.2.GRAMATICAS DE TIPO 1 Ó SENSIBLESAL CONTEXTO. Estetipo de gramáticaslo formanaquellascuyasreglasde escríturason de la forma a1Aa2 -+ a1pa2 conA e Etr; dl,a2 € E* ; F .E+. Es decir,4 puedereemplazarse por B siempreque estéen el contextode a1 y d2. Una propiedad importante de las gramiíticasde tipo 1 es que las cadenas que se van obteniendo en cualquier derivación son de longitad no decreciente, yaque al serp * 2 se tiene que lg(A) : I <lS(0,y lg(afua) <lg(elpd2). 2.15.3 GRAMÁTICAS DE TIPO Z Ó r,rNNNS DE CONTEXTO. Las gramáticas de tipo 2 son un caso particular de las gramaticas de tipo 1, con aI :d2 :2, es decir, las reglasson del tipo Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 60 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatasy lenguajes A->F conA€EAy f .E+. Estas gramáticas también se llaman Gramúticas de Chomsky y juegan un papel muy importante tanto en la lingüística como en 7a teoría de lenguajes de programación. 2.15.4.GRAMÁTICAS DE TIPO ¡ Ó NNCULARES. Las gramáticasde tipo 3, también llamadas Grumdticas de Kleene son un caso particular de las gramáticasde tipo 2, conreglas de la forma A-->aB ó A-+a conA,BeEly aeE7. Veremos más adelante que los lenguajes generados por las gramrÍticas de tipo 3 son exactamente los lenguajes regulares. 2.1s.s.JERARQUÍAnn Los LENGUAJES. Según hemos definido las gramáticas,es evidente que toda gramátícaregular es libre de contexto, toda gramártícalibre de contexto es sensible al contexto. y toda Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 6l Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatasy lenguajes gtarnática sensible al contexto es de tipo 0. Por consiguiente, si llamamos L(Gj), L(G), L(GD y L(GO) a los lenguajesgeneradospor estasgramáticastendremosque { r(G)} c { L(G)} c { L(GI} c { L(Gd} c P(E*) 2.15.6.LENGUAJES CON LA CADENA VACÍA. Tal y como hemos definido las gramáticas,la cadenavacia,z, no puede figurar en ningún lenguajede tipo 1,2 ó 3.Paraque la cadenavaciaestécontenidaen dichos lenguajesbastaríacon agregarla regla S -+)" a las reglas de la gramática que describenal lenguaje.Ahora bien, si hemos impuesto la condición de que F * l para conseguir la propiedad del no decrecimiento, será precisoque el símbolo inicial Sno aparezcaen el consecuentede ningunarcgla. Este problema queda solucionado introduciendo en el lenguaje auxiliar de la gramaticaun nuevo símbolo S,, que se convertirá en el símbolo inicial y una regla de la forma 51 -+ dpor cadaregla S -+ a que exista en la gramática. Es decir, si tenemosla gramatícaG : (ET, EA, p, S) for-rnarnosla gramática Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Págína 62 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatasy lenguajes G I: (ET,EtrrtS1,PI, SI) dondePI:P ct{Sl -+a/(S -+a) eP} c,,(51+l). Es fácil comprobarqueL(G) L/ {2} : L(GD . 2.16.LENGUAJES REGULARES Y AUTÓMATAS FINITOS. En la primera parte del capítulo hemos estudiadolos reconocedoresfinitos y se ha visto que los lenguajesque puedenreconocerson los lenguajesregulares.Aquí valnos a ver que esa clase de lenguajes coincide precisamentecon los lenguajes que pueden ser generadospor las gramáticasde tipo 3. Paraello necesitamosintroducir un conceptonuevo: eI autómataJinito no determinisl¿. Su necesidadse verá claramente cuando se establezcanlas relacionesentre gramáticasde tipo 3 y los autómatas. 2.16.I.AUTOMATA FINITO NO DETERMINISTA. Un autómatafinito no deterministaesunaquíntupla AFND: (8, S, Q,f g) dondetodo coincidecon el autómatafinito exceptoque el rango de la función de transiciónno esQ sinoel conjuntode laspartesde e, p(e): f,ExQ-+P(Q) Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 63 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Autómatasy lenguajes Es decir,f(e,q): {qo Qb,......,qm} ce.(Obsérveseque puedeser f(e,q) : ó) El reconocedor finito no determinista se define siguiendo la misma línea que en el caso determinista RFND: (8, Q,f qI, F) El dominiode la funcióndetransiciónpuedeextenderse a E* x ehaciendo f(1, q) : {q}; f(*I*2, d: Lr f (*r,qo) qken -f (xt,q) Tambiénpuedeextenderse el dominioa E* x p(e) haciendo f(x,ó):ó : 3 f(*,q,) f(x,{qaqb,.....,qnxD 2.16.2.LENGUAJE ACEPTADO POR UN RECONOCEDOR FINITO NO DETERMINISTA. Sedefineel lenguajeaceptadopor un reconocedor finito no deterministacomo el conjunto de cadenaspara las cuáles la función de transición conduce a un subconjuntode Q dentrodel cuálseencuentra, al menos,un estadofinal: Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 64 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Volver al índice/Tornar a l'índex Autómatasy lenguajes L(RFND) : {x e E* /[f(x,q1): {qa, Qb,...., qm}J ¡ fiq¡ (i : a,b,...,m)€ FJ] A continuación pasemos a ver que la clase de los lenguajes aceptadospor reconocedores finitos no deterministas coincide con la de los aceptados por los reconocedores finitos deterministas.Paraello seránecesariocomentardos cosas: a) gue, dado un reconocedorfinito determinista, RFD, siempre existe un reconocedorfinito no determinista,RFND, tal que L(RFND) : L(RFD), y por tanto,{L(RFD) c L(RFND)}. b) que, dado un reconocedor finito no determinista, RFND, siempre existe un reconocedor finito determinista, RFD, tal que L(RFD) : L(RFND), y por tanto, {L(RFND) cL(RFD) f con lo que se demostraráque {L(RFND)} : {L(RFD)}. Lo primero es evidente, ya que los reconocedoresfinitos deterministasson un caso particular de los reconocedoresfinitos no deterministas.Lo segundose demuestra en el libro citado anteriormentede Fundamentosde Informátíca. Terminamos el capítulo diciendo que los lenguajes regulares, los lenguajes que reconocenlos reconocedoresfinitos y los lenguajesgeneradospor las gramiáticas del tipo 3 coinciden. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 65 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. , CAPITULO cRAmÁucAS GENERATIVAS Y RECOGT{OSCITIVAS EN SISTEMASCOMPLEJOS Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Grarnáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos CAPITULO 3 GRAMÁTICAS GENERATIVAS Y RECOGNOSCITIVASEN SISTEMASCOMPLEJOS 3.1.INTRODUCCION. En este capítulo se construyen grarnáticasgenerativas y recognoscitivas que generanlenguajes matemáticosque pueden ser utilizados en la modelización matemática de sistemas complejos. Quedará, además, gararÍizada la obtención computacional de los lenguajesgeneradospor las mismas. Un caso concreto de los lenguajes que se han obtenido constituye el primer estudio realizado sobre esta materia por el autor de esteproyecto junto con el director del mismo. Además, el estudio y la aplicación a un caso concreto de modelización müemáttica, se publica en un artículo junto con un grupo de colaboradores(Véase (56),Villacampaet al, !999) y se hará referenciaal mismo paraseñalarlo que yaha sido publicado. Normalmente, cuando mencionamos modelos estructurales complejos, como los ecológicos o los socioeconómicos,damos mucha importancia a la metodologíaempleada. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Págína 67 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos Nos apoyamos en el siguiente argumento: " La ayuda del ordenador está condicionadapor la metodología empleada para modelizar, y esta metodología estácondicionadapor la teoría de sistemas en la que se basa". Pero una metodología es un conjunto de métodos orgarizados que nos permite avanzaÍen una investigaciónde forma disciplinada((7)Checkland,1931). La literatura sobre metodología es muy extensa. Hay diferentes metodologías alternativas en modelización, aunque todas ellas poseen restricciones ((22)Gelovany,1985;(l4)Davis and O'Keefe, 1989). La metodología en la que nos basamos para la modelización de los sistemas complejos se integran diversas ideas. Entre ellas destacan las desarrolladasen (1s) y (19) por Forrester (1961,1966),en (7) por Checkland (1981), en (43) por Morecroft (1982), en (2) por Balci (1986), en (32) por Jorgensen(1988), en (39) por Mathewson (1989) y en (62) por zhang et al. (1990). Se incorporan además las desarrolladas en los últimos años por villacampa et ar.(r997-1999) en los artículos (56) y (57): "Generative and Recognoscitive Grammars of Ecologogical Models with Aplications" publicado en la revista Ecological Modelling en t999 y "A population model of the reproductive behaviour of mediterranean shrubs: A case of Cistus Albidus" en Ecosystemsand SustainableDevelopment (Peñíscola L997). En este trabajo iniciamos una teoría de modelos de sistemas estructurales complejos desdeel punto de vista de la Lingüística Matemática, como una maneramás, no la única, de abordar esteáreadel conocimiento humano Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 68 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos ya que estamos convencidos que cualquier metodología está asociada a un lenguaje y a sus correspondientesaspectos lingüísticos, tales como los componentessintácticosy semánticos. 3.2.PRIMEROS CONCEPTOS. A continuaciónseexponenlos primerosconceptosqueconstituiránla base a partir de la cuál se definirán de forma abstractaun conjunto de gramáticas generativas, mediantelas cuálesse construyenlos lenguajesmatemáticospara la modelizaciónde sistemascomplejos.Estosconceptos han sido publicadosen la revistaEcologicalModelling(ver 56, "GenerativeandRecognoscitive Grammars of Ecologogical Modelswith Aplications".Villacampaet al.lggg). 3.2.I. MODELO BASE. Definición: Definimos el Modelo Base (MB) que denotamospor BM: (M*, R*) como el sistemadeterminadopor M* : {todos los atributosmediblesasociadosalarealidad óntica } (Patten,1997 en(6)) R* : { todaslas relacionesposiblesentrelos atributos} Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 69 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos 3.2.2.SISTEMA SEMIÓTICO. Definición: El sistemasemióticoes el sistemaformadopor S : (M, R) dondeM es el conjuntode todos los atributosmediblesy R es el conjunto de relaciones binariasR c P(MxM) talesqueVr e R es r: {(xr, yr), (xz,yz),........., (xi, yi) / (xi, yi) e MxM} 3.2.3. CAMPO ASOCIATIVO DE UN ATRIBUTO MEDIBLE. Seax un atributo medible. Definición: Definimos el campo asociativo de x, y lo denotamospor (D", como el conjunto formado por todas las posibles funciones transformadas ( símbolos)de x. o* : { {to(*)}, {tt(t)}, {t,(")}, ........, {T"(")},..............} donde {T"(x)} se llama conjuntode las funcionestransformadasde orden n, es decir: {To(x)}: x Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 70 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos .,.f.(x),........ / f: R -+R} {rt(x)}: {ft(x),rt&),....... I ij: 1,2,.........,m,..... {r'(*)} : {fi(x)@fi(x) } : t ifljé f ,(*)b........ s ¡rG)t ij,k: r,2,.........,m,..... {r"(x)} } donde I es una operación cualquiera de entre un conjunto dado: suma, producto, composiciónetc. El conjunto (D*seráun conjunto numerable con card(O.) : N. Pero debido a las limitaciones del conocimiento humano, en la práctica se utilizará un subconjuntoF* de O* con cardinal finito. Como ejemplo,puedeversela figura 3.1. *-%'$'e' %#')t k **Tl ;ffii¿i f f i I ' W '*qi. .,,%Í : ; et.... "": N : i : : : : : : : : : :t: l: : : figura 3.1. Campoasociativodel atributomedible x Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 71 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos 3.2.4. VOCABULARIO DE PRIMER ORDEN. Sea f) : {xt, x2, ......., x*} un conjunto de atributos medibles. Cada elemento de f) es una variable o primitiva y le llamaremosp-símbolo. Definición: Llamaremos Vocabulario de primer orden, VPO, y lo denotaremospor Vr*, del p-símbolo x a su campo asociativofinito F* c @*. Los elementosde V]* seránllamadost-símbolos y los representaremos por di , donde i representaun índice del símbolo y j el orden de la transformada..Es obvio que los p-símbolosson un casoparticularde los t-símbolos. Como ejemplo, supongamosque el modelizador decide utllizar: a) un determinadop-símbolo, x, b) m transformadasde orden 1, c) lautilizacíón de transformadashastael orden n, y d) como operaciónI la composiciónde funciones Entonces,el cardinal del VPO es c a r d ( V l ^:) I + m + m 2 + . . . . . . . . I. . m ' : m n * ,- l m-I como se desprende,también delafi,gura3.2. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 72 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos {T'(x)} I {T'(x)} m {T'(x)} m {T"(x)} m figura3.2 4.2.5.t-ALFABETO DE ORDEN i. Definición: Definimos el t-alfabeto de orden i del atributo x, y lo denotaremos por Ai* al conjuntodet-símbolosdel mismoordeni. Ao* : {óot(r) : *} A I , : { ó ' t ( * ) , d t ( r ) , . . . . , . . ü. ., ( * ) } A2* : {f ,6), f ,&), A',: {üíx), üz(x), } . . } De lo quesededuceque Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 73 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos V I* : A o ,U A I , u . . . . . . .U . An*: u .l: i=0 3.2.6. VOCABULARIO DE SEGUNDO ORDEN. Definición: Definimos el vocabulario de segundo orden, VSO, y lo denotamospor V2*r, al vocabulario formado por dos t-símbolos de vocabularios de primer orden Vr* y Vl, de la siguienteforma: 'Y"ü(",y): $'i(x)O $i(v) dondeQ'i(x) . Vt* , 0':(y) . Vl, y @ es un operadoraritmético. Es decir, Y2*y: {'Y"u(r,y): ó'i(x) O ó':(V)} con i : 1,....,card(Vl*); j : 1,....,card(Vlr); frs:0r1,...., n 3.2.7.VOCABULARIO DE ORDEN N. De igual manera,podemosdefinir vocabularios de orden3,4, .......,por lo quepodremosdefinir el vocabulariode ordenn, así: Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 74 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos Definición: Se define el vocabulario de orden n, VON, y lo denotamos por V;,,.',,, al vocabulario formado por n t-símbolos de vocabulariosde primer ordenVl*r y V1*2,......, Vl*n de la siguienteforma: ny""'*¡...t(xrxz...xn) : i(xr) @ f Qi("r) @ ........@ $*t(xn) A los elementosde la formu nY""'*ü...1(x1x2...xn) se les llamará palabras. Estas palabras, escritas con esos vocabularios han sido utllizadas para la modelización matemática de las ecuacionesde flujo de la dinámica de sistemas (Forrestery otros autoresnombradosen el apartado3.1.). Estas ecuacionesnos expresanun determinado proceso definido por una variable en función de flujos de entrada y salida. La expresión matemática de esta variable nos conducirá a la modelizacióndel mismo. Por otra perte, en sistemascomplejos estasecuaciones que quedan definidas apartfu de otras (flujos de entraday salida) son ecuaciones implícitas de variables de las que sólo se pueden conocer datos numéricos experimentaleso simulaciónde los mismos. Para un caso concreto de elección de vocabularios de primer orden se han realizadomodelizacionesde sistemasecológicosen (56) y (57) (Villacampaetal 1977,r99g). 3.2.8.t-LÉKCO. Dados n p-símbolosX1,x2,.........,xn, llamaremost-léxico y lo denotaremos por t-L, al conjunto de todos los vocabularios de cualquier orden, es decir, Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 75 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos Las combinaciones lineales de palabras de un t-Léxico se llaman sentencias ó funciones de flujo, las cuáles se presentan en los Sistemas Dinámicos. 3.2.9. LEXICO PRIMARIO. Al subconjunto T de t-L formado por los vocabularios de primer orden generadospor los p-símbolosXl, X2,........., xn, se llamará léxico primario (Lp) o alfabeto de las funciones transformadas T : { V l * 1 , Y l 1 2 ,. . . . . ,V 1 * n } 3.2.10. VOCABULARIO DIFERENCIAL O d-VOCABULARIO. Definimos el vocabulario diferencial o d-vocabulario de un p-símbolo x y lo denotamospor Va* al conjunto formado por todas las derivadas parciales de cualquier orden de x respectoa cualquier otro p-símbolo y el tiempo t. El vocabulario diferencial primario Vla* es el conjunto de todas las derivadasparciales de primer orden de x respectoa cualquier otro p-símbolo y el tiempo t. /\ --r^ \ / ¡ u V t ^ A l - v- IOX OX , l-.--.....> t\ ro' ) t ov I I I Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 76 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos También pueden definirse vocabularios diferenciales de segundo, tercer,.....etc.,orden , aunque por facilidad de cálculo, en las modelizaciones llevadas acabo hasta la fecha, de sistemas complejos sólo se úiliza un subconjunto de cardinal 1 del conjunto Vló* y éste es la derivada parcial del psímbolo x respectoal tiempo. 3.2.II. LEXICO DIFERENCIAL . Sea x1, x2,.........,X¡e ltn conjunto de p-símbolos. Definimos el léxico diferencial, d-L, al conjunto formado por los d-vocabularios generadospor los psímbolos d-L: V6*n} { Va"r, Y0"2,............, 3.2.12.LÉXICO DE UN SISTEMA COMPLEJO. Definición: El léxico de un sistemacomplejo,L, es la unión del t-léxico y el d-léxico L:(t-L)v(d-L) 3.2.13.PALABRAS SINÓNIMAS. Se consideraun Modelo Basey una variabledel mismo,/, de la que conocemosuna relación de dependenciarespectoa un conjunto de variables Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 77 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos l)" : V,I.,=r:y -f(xr x2,.....,xn) (pudiendoocurrir que -7 i / x¡ : y). Sean V) Ios vocabularios deprimerordende lasvariablesb,Y,r. Para la variable y, se supone que mediante un determinado proceso de modelización se obtiene diferentespalabrasYi, i : 1,2,.....,hque la modelizan matemáticamente.Estaspalabrasestariánescritasen los vocabulario" V!,....urtal que k1 - - <l ) ' n y 6i e V,f,o, Vi : 1,....,k.Diremosentoncesque estaspalabrasson sinónimas. Definición: Podemos definir de forma general una relación de similitud de la siguiente manera: Paraun Modelo Base BM : (M*,R*) seaX : {xl, x2, ...., x*} el conjunto de atributos considerados y sean v) los vocabularios de primer orden correspondientes. Se define como ? el conjunto de palabras escritas en los vocabulario" V!,..u.,k ( m y 6i e &,Y,=r.En ?: {yi} definimos la siguiente relación,S: Yi S E sii son palabras sinónimas Esta relación es una relación de equivalencia ya que satisface las propiedadessiguientes: a) Reflexiva : VYi e ? se verifica que Y¡ S Y¡ Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 78 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos b) Simétrica:VYi, X = ? severificaeueY¡ S E+ Y¡ S Y¡ c) Transitiva : VYi , Y; , Yr e ? se verifica que si (YiSE) y (ESYr)=YiSYr Estarelación de equivalencia, S, divide el conjunto ? en clasesde equivalencia. En el conjunto cociente ?/S y en cada clase de equivalencia se van a considerar las palabras que llamaremos sinónimas intrínsecas y sinónimas extrínsecas. Definición: Si dos palabrasYr y Yz de un mismo proceso tienen el mismo número de elementos y sus símbolos respectivos pertenecen al mismo vocabulario de primer orden, es decir, si Y r : ór @0z@........ @0" Y z : 0 ' l @ 0 ' z @. . . . . .@ .. 0'n donde Q r e V l * r , 0 2 e V l * 2 , . . . . . . . . . .Q. ,ne V l * n y $ ' t € V ] * t , Q ' z€ V l * 2 , . . . . . . . . . .Q. ,' n € V l * n decimosquesonsinónimasintrínsecasy lo expresamos mediante Yr SintYz si símbolos respectivos de ambas palabras pertenecen al mismo vocabulario de primer orden pero tienen diferente longitud entoncesdecimos que son sinónimas casi-intrínsecas. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 79 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticas generativasy recognoscitivasen sistemascomplejos Definición: Si uno, al menos,de los símbolosde ambaspalabrasque definenel mismo procesopertenecena diferentesvocabulariosde primer orden decimosquelaspalabrassonsinónimasextrínsecas. 3.3. GRAMATICA GENERATIVA DE LAS FUNCIONES TRANSFORMADAS. A continuación se va a obtener un método de generaciónde vocabularios que permitirán la construcción de palabras de un t-léxico cuyas combinaciones lineales nos determinan las funciones de flujo que modelizan procesosy quese presentanen los estudiosde SistemasDinámicos. Para ello se comenzará con la construcción de gramáticas generativas de las funciones transformadas.Dichas frrnciones van a constituir el alfabeto con el que posteriormente se calculan las ecuaciones matemáticas que modelizan los procesosconsideradosen un modelo de un sistemacomplejo. como caso particular, y utilizando únicamente la composición de funciones como operación, se obtendránlos vocabularios de orden n considerados al principio del capítulo y vtilizados en modelizaciones("A population model of the reproductive behaviour of mediterraneanshrubs: A caseof Cistus Albidus" en Ecosystemsand SustainableDevelopment(Peñíscola1997)). Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 80 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos Esta abstracción va a suponer, por una parte, la obtención de un mayor número de lenguajes y, por consiguiente, la disponibilidad de una herramienta más completa para la modelización. Por otra parte, la obtención de estas gramáticasy sus conespondienteslenguajesnos conduce directamentea lateoúa de autómatasfinitos. De esta maneraseremoscapacesde obtener un reconocedor finito de los lenguajes que se generan. Estos lenguajes son los utilizados posteriormentepara la construcciónde ecuacionesmatemáticas. 3.3.1. GRAMATICA GENERATIVA DE LAS FUNCIONES TRANSFORMADAS DE PRIMER ORDEN. Seax una variablereal (atributomedible) y fr, f2,.....,fr, m funciones realesde variablereal, f;: R -+ R, i : 1 , 2 , . . . . . . ,m Llamaremosgramáticagenerativade las funcionestransformadas, G11,a la cuádrupla GTl : (V1, Va, S, P) donde Vr es el alfabeto principal o vocabulario de símbolos terminales y está formado por los elementosdel conjunto Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 81 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos Vr: fr, (, ), x } { f1,f2,....., Va es el alfabeto auxiliar o vocabulario de símbolos auxiliares y estáformado por los elementosdel conjunto Vt: { S, Rl, Rz,& } S e Va es un símbolo destacadollamado símbolo inicial P es un conjunto finito de paresordenados (cr, F) ó reglas o -+ B donde o e Va y P es de la forma F : a . Vr ó F : ab con a e V1 y b : I ó b e Va dadas por S-+x S -+ lR, P _ R, -+ (R, R, -+ xR R, +) con estasreglas generamosun lenguaje, L(Grr) cuyas cadenaso palabras forman los t-albabetos de orden 0 y de orden I como puede observarse en el siguiente arbol Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Págína 82 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos x frRr + fr(Rz-+ fr(x& -+ f1(x) fzRr-+ f2(R2-+ü(xR: -+ f2(x) f',nRr-+ f.(R2 -+ f,"(x& -+ f,(x) ftgura3.4 y en el que podemosponer que Ao,: {óoíx) : x} AI*: {d íi, d r(*), .........., ó),@)}: {ft(x),.f26), f*(x)} L(Gil : Ao* uAl * La gramétticaque acabamosde definir, G11,€s una granática de tipo 3 o grxnátíca de Kleen, pues,tal y como vimos en la sección3.4.4 sus reglas son de la forma A-+aB ó A+a conA,BeVayaeVl. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 83 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos De ahí que, el lenguajeL(Grr) sea un lenguajeregular.La expresión regularquerepresenta las cadenasde dicho lenguajees cr: x + lfi + f2+ .......tfr](x) y derivando esta expresión regular podemos encontrar el reconocedor finito de estelenguaje: Derivadasprimeras: D*(o): l" D1(cr): D¿(a): .......: D¡"(cr): (x) Derivadas segundas: Dn(c¿):D1[D¡(o)]:x) : x) D¿r(c¿): D1[D12(cr)] Dn"<(a): D1[D¡"(a)]: x) las restantesderivadassegundas son$ Derivadasterceras: D n < *(c¿ ):D x[D 1 [D n (cr)]l :) i:I,2,......,m lasrestantesderivadastercerassonó. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 84 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos Derivadas cuartas: D¡t*l(o): Dl[ Dnt*(cr)]: I Las restantesderivas cuartasson 0. Podemos,así, dibujar el diagramade Moore (figura 3.5) del reconocedor finito, donde llamaremos Q t: 5 qz : D*(cr) : Drrn(cr) q¡ : Dn(cr): D¿(o): ............ Q+: Dn1(a) qs : Dfi(x(c) qo:D¡(*)(cr) i:I,2,.....,m siendolos estadosfinales gzy gaqueson los que contienenla cadenavacía. X .\ (q1L-- FI\, \v\ --'---- \ q3 '(;)'{.) \ fm ó figura3.5 Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 85 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos 3.3.2. GRAMATICA TRANSFORMADAS GENERATIVA DE LAS FUNCIONES DE SEGUNDO ORDEN Llamaremos gramática generativade las funciones transformadas,G-¡2,ala cuádrupla Grz: (V1, Va, S, P) donde Vr es el alfabeto principal o vocabulario de símbolos terminales y está formado la unión de los coniuntos Ao,: {óot(r) : r} A1*: {d {d, d z(*),....,....0),(*)} que expresaremos para simplificar, por Qo,ót,..........,ó. 8: (los elementos8¡, i: {8r,82,.....,8r} I,2,...,ksonoperadores matemáticos) y los paréntesis( y ). Es decir, Vr: { ó 0 ,ó t , . . . . . . . . . Q . , * , 8 1 , 8 2 , . . . . . , 8 n(, , ) } Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 86 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos Va es el alfabeto auxiliar o vocabulario de símbolos auxiliares y está formado por los elementosdel conjunto Vr: { S,Rl, R¿,R3,R4} S e Va esel símboloinicial P esun conjrmtofinito deparesordenados(a,F) ó reglas cr + B donde cr e Va y P esde la forma F : a . Vr ó F : ab con a e V1 y b : l, ó b e Ve dadas por P_ S -+ (R, R, -+ Q,R, R, )80R, R, -+ Q,Ro Ro+) con estasreglas generamosun lenguaje, L(Grz) cuyas cadenaso palabras forman los t-albabetos de orden 2, como puede observarse en el árbol que representamosa continuación Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 87 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos S i II (Rr ,4\ r'J (0oR¿ (órRz .4 \ (0-Rz /\\ (0oArR:..........(QoA"R: (0r8rR¡.......(0r8"R¡ (0,ArR¡.......(0,O"& /\ J\,/\ (ooe$o& 'tJ ./\ db,o,"no (0,s"fi1..........t0.J"0.n IJ figura3.6 El lenguajegeneradopor G12,es decir, L(Grz) coincide conL(Gr) : A2,. Esta gramática que acabamosde definir, G12,también es una gramáúicade tipo 3 o gramática de Kleen, pues sus reglas son de la forma Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 88 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos A+aB ó A-+a conA,BeVayaeVl. De ahí que, el lenguaje L(Grz) sea un lenguaje regular. La expresión regular que representalas cadenasde dicho lenguaje es o : ( [0 0 +.......+ ó,][ 81f ......-8"] f [00+ .......+ )0.] queen forma simplificadapodemosexpresarmediante a: (0igr0¡) y derivando esta expresión regular podemos encontrar el reconocedor finito de estelenguaje: Derivadasprimeras: Drlcr]:0i8r0¡) Las primerasderivadasrespectoa los restantessímboloses la cadenavacía $. Derivadassegundas: : 8d¡) Doi[0iar0¡)] las restantesderivadassegundasson $. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 89 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. generativas y recognoscitivas Gramáticas en sistemascomplejos Derivadasterceras: :0¡) Derlar0¡)l las restantesderivadastercerasson Q. Derivadas cuartas: Do:[0:)]: ) Las restantesderivadascuartasson {. Finalmente, la única derivada quinta no nula es Dl Dl :1. y el diagrama de Moore conespondiente al reconocedorfinito de las cadenasdel lenguaje L(Grz) será,llamando Qt:c[ qz: Dt[a] q3: D16i[crJ qa: D14ier[cri qs : D16ier.4¡[o] q6 : Dl4iot4r[ü] : ]". Este estadoes el estadofinal. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 90 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos Los elementosde estelenguaje los podemos expresarmediante 0x donde k indica la operación entre las funciones y los subíndices i y j son los índicesde las funciones. o& (Dr frgura3.7 Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 9l Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. generativas Gramáticas y recognoscitivas en sistemascomplejos 3.3.3.GRAMATICA GENERATIVA DE LAS FUNCIONES TRANSFORMADAS DE TERCER ORDEN. Siguiendoun procesosimilar a los apartadosanteriorespara la creaciónde las gramáticasGrr y G12,v&rrrosa diseñaruna grarnáúica que genere todas las funcionestransformadasde orden tres, es decir, todas las funciones transformadas en las que Warezcantres funcionestransformadas de primer orden con las mismas operaciones8r y utilizando como vocabularioterminal las cadenasobtenidasen las gramáticasanteriores. Por tanto, llamaremos gramática generativa de las funciones transformadas, G13,a la cuádrupla Grs : (V1, Va, S, P) donde V1 es el alfabeto principal o vocabulario de símbolos terminales y está formado por la unión de los conjuntos V1: L(G11)u L(G12)u {Ar} u {(, )} donde los elementosde L(Grr) los representaremos por 0i y los elementosde L(Grz)por0',:. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Págína 92 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos Va es el alfabeto auxiliar o vocabulario de símbolos auxiliares y estáformado por los elementosdel conjunto Vr: { S, Rr, R¿,R3,Rq,Rs} S e Va es el símbolo inicial P es un conjunto finito de reglas dadaspor P_ .S-+ (R, Rt -+ Q,R, R, -+ QIR' Rr.) 8o R, R, -+ Qi,Ro Ro+) R, e SoRu Ru-+ Q,Ro con estasreglas generamosun lenguaje, L(Gr¡) cuyas cadenaso palabras forman los t-albabetosde orden 3 tienen la forma (0ia*(0¡a"0r))ó ((0ia,ó:)8"0r) comopuedeobservarse en el siguienteárbol Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 93 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos S II I V (Rr / (Qoal&.... I t\ ({iar& ($loo8rR¡ ($,u8rRo... lltl l+tt (0o8r0tooRq (0iar0'¡R*......... tJtt ..(0roo8r0o& ......(o"¡arooRo figura 3.8 El lenguaje generadopor G13,es decir, L(Gr¡) coincide conL(Grs) : A3* Esta gramática que acabamosde definir, G13,también es una gramática de tipo 3. De ahí que, el lenguaje L(Grs) sea un lenguaje regular. La expresión regular que representalas cadenasde dicho lenguaje es d: (0i8* 0ln)+ (0'uA"ór) Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 94 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. generativas Gramáticas y recognoscitivas en sistemascomplejos cuyas derivadasnos proporcionaránlos estadosdel reconocedorde las cadenasdel lenguajeL(Gr¡) . Las derivadasno nulas las ofrecemosa continuación: cr: (0i8*old + (0'u8"ór):qr Derivadas primeras: Dr[aJ : Qi@.{¡ü + f ii@,6¿: r, Derivadas segundas: D6[D¡[a]J : @* {¡ü : qz DrifD,["]]=@,ó): qu Derivadas terceras D*rb*,[o]]= QÍ): qo f'l D*rLDwtfofl: ó): q, Derivadas cuartas: r .,1 : qt Dr;LD*,*r[oJl=) Derivadas quintas: f1 D,LD,**rotr[o]l= I = qr Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 95 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos y como consecuenciade ellas obtendremosel diagrama de Moore del reconocedor finito de las cadenasde dicho lenguaje,que se representade forma simplificada en la figura 3.9 figura3.9 Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 96 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos 3.3.4. GRAMATICAS TRANSFORMADAS GENERATIVAS DE LAS FUNCIONES DE ORDEN n La obtención de gramiíticas de orden superior a tres, siguiendo la misma estrategia de los casos anteriores, no entraña mayores dificultades, en cuanto a conceptos teóricos se refiere, y únicamente los problemas surgen a la hora de tener que expresar de forma general todas las combinacionesposibles entre las n funciones empleadasy las m operacionesque pueden existir entre las funciones. Por ello, y a modo de ejemplo, veremos el proceso de obtención de una gramáúícagenerativa de orden 4, utilizando cinco funciones y la suma y la composición como operacionesque intervienen en las ecuacioneso palabras del lenguaje. Funciones : f1, f2, f3, fa, f5 Operaciones:*, o Orden de las transformadas:4 Teniendo en cuenta que en cada transforma intervienen cuatro funciones, habrá un número de transformadasigual a 845 obtenidasde la siguiente manera: Con las 5 funciones se pueden formar Cs.¿: lt -sl \ I l: ) grupos,conteniendo \4) cadauno de ellos 4 funciones {ftb.,fs,f+}, {fi,f2, f¡, fs}, {ft,fz,fq,fs}, {fl, f3,ü, fs} {fz,fs,ü, fs}. Con cadauno de estosgruposse puedenformar Pq: 4! : 24 otdenaciones diferentes. Al tener que incluir tres operaciones entre las funciones, estas se Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 97 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos pueden ordenar de VR¿,¡ : 2r : 8 formas diferentes de las cuáles una será la misma, por ser la suma conmutativa, por ejemplo fi+f2+f3+ü : fi+f3+f4+f2, por lo que sólo debemosconsiderarlauna sola vez. Por lo tanto el número de transformadasdiferentes seú 5(23.7+8) : 845, con la forma generala: fi8rf8rfr8rfi . En este ejemplo, debido a las operacioneselegidas,no son necesarioslos paréntesis. 3.4. UN CASO PARTICULAR DE GRAMÁTICA GENERATIVA DE FUNCIONESTRANSFORMADAS. En este apartado vamos a considerar una graméúica cuya principal característicaes la de conteneruna única operación,la composición de funciones. La gtarnática obtiene las transformadasde orden m de n funciones reales de variable real. Hemos desarrollado la gramáticatomando como vocabulario terminal,V1, un conjunto finito formado por la unión de los conjuntos Vr y Vz, donde Vr está formadopor n funcionesrealesde variablereal f; con i: I,2, ....,n: V l : { f i , ü , f 3 , . . . . .f.n, } y V2 es el conjunto de símbolos Vz: {(, ), o, x} Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 98 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos El vocabulario auxiliar, v4, es un conjunto finito, formado por los símbolosT, Rr, Rz, R¡, R¿,Rs, Ro,Rz es decir Ve: {T, Rr, Rz, R3,R4,R5,R6,R7 } dondeT es el símbolo inicial. El conjunto de reglases el siguiente: T -+ fiRr i: I,2,.....,ft R1-+ (R2 Rz+ xRs R¡-+) T-(R* Rq+ fiRs R5-+ oR6 Ro+ f;Rs Ro+ fiRz Rz-+ )Rr Al conjunto de las funciones f1,f2, f3,......,fn le llamaremosconjunto de las funciones transformadasde orden 1, y lo denotamospor T1. Con las funciones anteriores y la aplicación sucesiva de las reglas de formación formamos todas las composicionesde orden 2, orden 3, ......., orden m,.... que llamamos respectivamente,transformadasde orden l, transformadasde orden2,...., transformadas de ordenffi, ..........y que denotamos por T,,T,,......, T*,........,es decir Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 99 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos 1' : {frofr , fpfz., f"ofr} T3 : {frofrofr, frofroü frof"of"} El número total de palabras que forman el lenguaje generado por la graméúicaGr formada a partfu de n funciones transformadas de orden 1 y utllizando transformadashastael orden m es | + n + n ' + . . . . . +n " ' = i ?t n " ' n-'l n, : n-r Atendiendo a la clasificación de las gramáticas expuestas an apartados anteriores podemos observar que la gramáticaGr es una gramáúicadel tipo 3 o regular. Es fácil observar que las cadenasgeneradaspor dicha gramáúicapueden expresarsemediante la expresiónregular : cr: fi1(x)+(fi2o(fuo)*fia)(x) Por derivación de la expresión regular obtendremos el autómata finito reconocedordel lenguajeL(G1) generadopor la gramáticaG1. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página100 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos Por comodidad, para la obtención de las derivadas,llamaremos fi:a ( :b X:C ):d o:g con lo que la expresiónregularquedaríacomo o : abcd + bae(ae)*adbcd D"(a ): bcd: qo Du(a ) : ae(ae)*adbcd: q2 D . ( a ) : D ¿ ( 0) : D " ( c ¿) : 0 Duu(cr ): D6[Du(cr)] : cd: qz D*(d ): Du.(cr): Du¿(cr ): Du.(cr): ó D¡u(cr) : Du[D6(cr)] : e(ae)*adbcd: q3 D u u ( c) r: D ¡ . ( o ) : D r ¿ ( a) : D u . ( o) : 0 Du¡.(d):d:qs Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página101 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos Du¡u(cr) : Du¡u(c¿ ) : Du¡¿(a) : Du¡.(cr) : 0 Duu.(c): (ae)*adbcd: q+ D¡uu(cr) : D¡u¡(cr) : Duur(a) : D¡u¿(cr) : 0 Dauc¿(cr):l:qs Duu"u(cr ) : Duu"u(c¿ ) : D*..(a ) : Du¡".(cr) : 0 Duu"u(o): Du[(ae)*adbcd]: Du[(ae)*]adbcd+ 6((ae)*)D,(adbcd): : [D"(ae)](ae)*adbcd+ 6((ae)*)Du(adbcd) : : e(ae)*adbcd+ l"dbcd: e(ae)*adbcd+ dbcd : q5 : D¿fe(ae)*adbcd+ dbcd] : bcd: Du(o D¡u.u¿(o): D¿[D¡u.u(cr)] ) Duu"u"(ü): D.[Duu.u(o)]: D"[e(ae)xadbcd+ dbcd] : D¡u"(ü ) Una vez obtenidas todas las derivadas no nulas de la expresión regular podemos dibujar el diagrama de Moore del autómata que reconoce el lenguaje L(Gr): Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 102 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos figura 3.10 Comprobación: c¿: abcd + baea(ea)*dbcd que es equivalente a la expresiónregular de la que partimos. Deshaciendoel cambio de símbolosqueda: a: fi(x)+ (f;of;(of;)*)(x) Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página103 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos Ejemplo práctico: En el apartado anterior hemos propuesto una gramáúicagenerativa de funciones transformadas general, es decir, sin fijar el orden máximo de las funciones transformadasa emplear. En este ejemplo estudiaremoslas modificaciones que debemos realizar en las reglas de escritura o producciones de la gramática para el caso particular de que queramos fijar de antemano un determinado orden máximo de funciones transformadas. El estudíolo realizaremossobreel casoparticularde transformadasde orden 3, aunquecon su desarrolloveremosque para cualquierotro orden de transformadas el estudioserealizade formaidéntica. La expresiónregular toma en este caso la forma : cr: f;r(x) + (f;zofiE)(x)+ (f;¿of;sofioXx) Teniendo en cuenta el código empleado en el apartado anterior, la expresiónregular toma la forma : cr: abcd + baeadbcd+ baeaeadbcd Derivamos sucesivamentela expresiónregular para obtener los estadosdel autómata: Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página104 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos Du(cr):bcd:qg Dr(cr): aeadbcd* aeaeadbcd:qz Duu(a):cd:qs D¡u(cr): eadbcd* eaeadbcd: q3 Duuc(o¿):d:qro Duu.(or) : adbcd + aeadbcd: qa Dauc¿(cr):1":qrr D¡u"u(cr) : dbcd * eadbcd: q5 Duu.a¿(ü ) : bcd: Du(o ) D¡u.u.(ü):adbcd:q6 Dbu"u.u(c ): dbcd:q7 Dbu.u.ud(d ) : bcd : Du(o ) El diagramade Moore correspondiente es: figura3.11 Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 105 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos 3.5. GRANNÁTTCNGENERATIVA DE LAS ECUACIONES DE FLUJO, GF. Las ecuacionesde flujo son ecuacionesmatemáúicasque se van a construir a partit de los lenguajes generadospor las gramáticas funciones transformadas. Estasecuacionesde flujo son las que se utilizarán en la modelización matemática de las variables consideradasen un Modelo Base. Sean n variables o p-símbolos .x7,x2, ......., xn y m funciones reales de variablereal o transformadasde orden uno, f1,rt, .....,-f. . Unavez elegidaslas operaciones 8: {Or, E,2,....,4r} y el máximo orden, p, de las transformadas a emplear en un determinado proceso de modelización, formamos, con las gramáticas generativas construidas en los apartados precedentes, los t-alfabetosde orden 0, l,2,...., p de todos los p-símbolos,es decir, construimos los conjuntos Ao*¡: {ó0,(r):*,} AI*¡: {d t6) : -ft(x),d z@: rt(x),....., d -(r) : f.(x)} A2,¡: {d t&):_ft(x)@1f1(x) , f ,(d:ft(x)@tfz(x), .................. } É,,:{Q{(x)=fJ;,ié;...:..:. ó, j(;), ó{@,):lii,ia, ...'....,.a;, ¡,(}),.... } con lo que podemos definir el vocabulario de primer orden de cada p-símbolo como la unión de estosalfabetos,es decir, Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 106 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. generativas Gramáticas y recognoscitivas en sistemascomplejos rr],=ú,E:, .l=0 Si designamospor tj,amelemento cualquiera,j, de V),, es decir, tl, e V),, llamaremosecuaciónde flujo, Y, a toda ecuaciónde la forma y : Ao@* A¡ ji @n2A2t3@n........ @,_'AJL dondeOo esun elementode un determinadoconjuntode operadores aritméticosy lasA¡ sonnúmerosrealesno todosnulos.Llamaremoa A : { Ao,At, ....,Ar} una gramáticagenerativade las funcionesde flujo esla cuádrupra GF: (VFr, VFa,T, P) dondeel vocabulariode símbolosterminaleses VFr : AvV), wV), v......\, It) w @ vFa esel alfabetoauxiliarformadopor el conjuntode símbolos V F a : { 7 , R t ,R 2 , . . . . . . . . , R n } donde Zes el símbolo inicial. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 107 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. generativas Gramáticas y recognoscitivas en sistemascomplejos Las reglas de escriturao formación de cadenasson : T -+ AoRr R+¡-s+ @qiR+i-z R-ai-z+ AiR¿i-l Rqi-l+'Rqi Rqi -+ t!,R+i*t R¿n-¡J @qnR<n-z Ran-z) AnR-an-r R¿n-rJ'R¿n xq"-> tll parai : I, 2,.......,ft-l El diagrama de Moore correspondientees, por tanto: Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página108 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos O " {:)--{)-{t-'(D¡ txt l-'t @2a\ ---/ A2 / !::r- \'r---r, i2 \p {_)-*@ frgura3.I2 3.6. GRAMATICAS RECOGNOSCITIVAS DE ECUACIONES DE FLUJO. Una vez elegidas las gramríticasde las fi.mcionestransformadas,con los lenguajes generadospor las mismas, y un conjunto de operadores aritméticos, previamente seleccionadosformamos las gramiíticasgenerativasde ecuacionesde flujo, las cuáles generanun lenguaje que denotamospor L(Gp), cuyas sentencias (frases) o ecuacionesde flujo se producen todas ellas con la misma probabilidad, es decir, son equiprobables. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página109 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos una vez construidas las sentencias y dependiendo de los datos experimentalesy de los criterios seguidospor el modelizador deberáelegirse una ecuación o un conjunto de ellas, es decir, deberáseguirseun determinadoproceso de recognoscibilidad, que nos permita, de entre todas las sentencias,elegir la o las que consideraremos"correctas", siendo el resto rcchazadas. Serán,pues,múltiples las opcionesque se puedenseguir en estaelección, opcionesque llamaremoscriterios de recognoscibilidad. En los sistemascomplejos, como son los ecológicos, las variables del modelo base que se deseanescribir como ecuacionesde flujo son variables de las que tan sólo se conocendatos numéricos (datos experimentales)y demásvariables de las que dependen. Estos datos experimentales( o en ocasiones,simulaciones de los mismos) son los que, por norma, van a determinar ciertos criterios de recognoscibilidadde los que a continuaciónse dan tres. Primer criterio de recognoscibitidad: un primer criterio de recognoscibilidad, que denotaremos por GRFr y podemos llamar "criterio de máximo ajuste" está basadoen el coeficiente estadístico de determinación (el cuadrado del coeficiente de correlación en el contextode la regresiónmúltiple) (usó-Domenechet al.,1997 en (52)). Supongamosuna variable de un Modelo Base y unos datos experimentales de la misma, así como datos de las variables de las que depende. Mediante un proceso iterativo son leídas todas las posibles ecuacionesde flujo que modelizan la variable, calculando en cada caso el coeficiente de correlación múltiple. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página110 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos Un primer criterio de recognoscibilidadseríael seleccionarla ecuaciónde flujo cuyo coeficientede correlaciónseamayor. Este criterio yaha sido utilizado en las modelizacionesrealizadaspor Yillacampa et al. durante 1997 y1999 en (56) v (57). Con este criterio seleccionaremosuna sola ecuación de flujo: aquella cuyo coeficientede correlación seamavor. La figura 3.13 muestrael proceso. Segundo criterio de recognoscibilidad: El segundo criterio de recognoscibilidad, GRF2, consiste en fijar dos coeficientes de correlación rr y rzy considerar"correctas" todas las ecuacionesde flujo cuyo coeficiente decorrelación ri esté comprendido entre ambos valores, es decir, r¡ € [r1,12]creandoun conjuntode ecuacionesde flujo. El diagramade la figura 3.14 muestrael proceso. Tercer criterio de recognoscibilidad: Para la aplicación de este criterio, que denotamospor GRF3, se elegirán funciones transformadas que se puedan normalizar en relación con los datos experimentales, desechando aquellas no no satisfagan este requerimiento. A continuación se elige uno de los dos criterios anteriores. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página111 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos figura3.13 Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página112 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos a>r>b frgura3.l4 Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página113 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos 3.7. GRANNÁTTC,IGENERATIVA DE LAS ECUACIONES DE ESTADO. tu, Supongamosque tenemosun sistemade ecuaciones diferenciales ot Yi : 1,2,....,m que representa el estudiode un cierto Modelo Base.Si cada ecuacióndiferencialdependede n¡variablespodemosponerque Av, - t OT ni _ A ll + Ai,+ ....* A,, = ZA,o = A, k= y si estasson modelizadas apartír de ecuacionesde fluio A,o= V'ro@ V'{ @ ....@W'io se obtendrá, para cada ecuación diferencial una expresión matemática como combinaciónde ecuacionesde fluio +=ili,:l= or illfr' ' ) o, Estasecuacionesdiferencialesrecibenel nombre de ecuación de estado y para cada una de ellas podemos definir una gramática generativa de la siguiente manera: Una gramática generativade ecuacionesde estado,G5, os una cuádrupla Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 114 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos Gs: (Vs,Va, S,P) donde: Vs es el lenguaje se símbolosterminalesformado por las ecuacionesde flujo obtenidas en las gramáticasrecognoscitivasde las ecuacionesde flujo más los símbolos t y - de las operacionesaritméticas que unen estas ecuacionesde flujo. Va es el alfabeto de símbolos auxiliares, formado por los símbolos V e :{S , R1,Ri,&a, S,i:2,3,...,Itk} P esel conjuntode reglasde producciónsiguiente: S -+ i- Rt Rz-+ I Rro ....... Rnr_l-) fi_,R6,r_r¡e R* ) R1-+ +R2 --¡ *Rn* Rze-) +R3 ........... R6*-r¡a Rr -+ -Rz R¿a+ -& ........... \r,t-r¡a-) -Rnr ,,lo y S esel símboloinicial. El diagramacoffespondientepuedeverseen la figura 3.15 Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 PáginaI 15 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos \ IK Vr (:) (.), /-l -/ \ ..) \ ./; )-,,' ik rJ-t t hk-1 / l <7 /\ \ \k -l_ /'" ( 9zr,r.-z l \/ Yno - (::., -T-- \ -\ \ @ ) figura3.15 Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página116 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Gramáticasgenerativasy recognoscitivasen sistemascomplejos 3.8. GRAMÁTICAS RECOGNOSCITIVAS DE LAS ECUACIONESDE ESTADO. En este sentido podemos definir, para el sistema de ecuaciones diferenciales, llamado sistema de ecuaciones de estado, diversas gramáticas recognoscitivas. Tres son las gramáticasque vamos a tener en cuenta: 1) un primer proceso de recognoscibilidad,denotadopor GRsl es aquél por el que se concibe el Modelo Base a partir del estudio de un sistema de ecuaciones diferenciales y determinado por la concepción del modelo en sí mismo. 2) Un segundoprocesode recognoscibilidad GRsz,independiente del primero y quedeterminasi la sentencia A; dela ecuación+ ot = A,es onoválida. Por ello podemoshacervariasconsideraciones: lu. Fijamos las palabrasy las sentenciasy si cualquier palabraes correcta, la sentencia también lo es. Este tipo de proceso de recognoscibilidad se determina en el proceso de validación. Esto lo confirma y lo rcfuerza Jorgensen(1988) en (32) cuando dice: (a) la validación se requiere siempre. (b) Debe intentarse obtener datos para la validación distintos a los utilizados en la calibración. Es importante disponer de un amplio margen de datos de los Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Páginall7 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Volver al índice/Tornar a l'índex generativas Gramáticas y recognoscitivas en sistemascomplejos atributos medibles definidos en los objetivos del modelo (GRsr). (c) Los criterios de validación (GR52)se formulan en base a los objetivos del modelo y de la cantidad de datos. 2". Supongamos que tiene lugar una ligera variación de los datos de un atributo medible. En tal caso, el criterio consisteen cambiar Y¡ por y'¡ donde Y'¡ es sinónima de V¡. Por tanto pasaríamosde A¡ d A'i, es decir de la sentenciaA¡ a su sinónimaA'¡. 3) Finalmente mostraremosun tercer criterio de recognoscibilidad, denotadopor GRs¡. Este criterio se basa en las palabras que ha generudola graméúica recognoscitiva GRrz. Para cada ecuación de estado, definidas en forma de sentencias, definimos un coeficiente de determinación dr a partir de los coeficientes de determinación rk¡ de las ecuacionesde flujo que forman la sentencia.en la forma >,; lk do:E' lk donde l¡ es la longitud de la sentenciao número de ecuacionesde flujo que la constituyen. Al coeficiente dr le llamaremos coeficiente complejo de determinación de la ecuación de estado. Este coeficientees el que nos llevará a la elecciónde la ecuación. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 PáginaI 18 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. , CAPITULO CODIFICACIOI{ DE LOS LENGUAJES EMPLEADOS EN SISTEMASCOMPLEJOS Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Codificaciónde los lenguajesempleados en los sistemascomplejos CAPITULO 4 CODIFICACIÓN DE LOS LENGUAJESEMPLEADOS EN LOS SISTEMAS COMPLEJOS 4.1.INTRODUCCTÓN. La codificación es un problema esencial en las matemáticas. La codificación nos permite reducir el estudio de unos objetos a otros que resultan más convenientespor su fácil manipulación u otros motivos. Rápidamente nos vienen a la mente códigos utilizados habitualmente como el sistema de numeración decimal que nos permite representar los diferentes números o el sistemade coordenadascartesianasque nos permite codificar figuras geométricas en expresionesanalíticas. En el capítulo 3 se han obtenido diferentes gramáticas que generan Ienguajes que nos permiten construir las ecuacionesmatem¿íticasque modelizan las variables de un sistema.Dependiendode la propia estructuradel sistemay las gramáticasutilizadas por el modelizador, las ecuacionesque resultan pueden tener una expresión analítica compleja. Al objeto de poder almacenar y manipular un conjunto de estas ecuaciones, es conveniente establecer códigos que simplifiquen dichas expresiones. Es imprescindibleque estoscódigosverifiquenciertaspropiedades,entre lasquedestacaremos las siguientes: Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 120 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Codificaciónde los lenguajesempleados en los sistemascomplejos Decodificaciónúnica Procesosencillode decodificación,e Independenciafrente a las transformadaso conjuntode funcioneselegidas. En el presente capítulo se aborda, en primer lugar, el estudio de códigos que codifican las funciones transformadas de orden uno y orden dos. Estos códigos son códigos bloque no singulares, es decir, son códigos en los que a todos los símbolos del alfabeto fuente (alfabeto de la gramáúicagenerativa de funciones transformadas empleado) les corresponde una secuencia fija de símbolos del alfabeto código y estas cadenasson todas ellas distintas. Además, veremos que la codificación de transformadasde orden superior a dos se basa en la utilización de los códigos obtenidosen las transformadasde orden uno y dos. En segundolugar se estudiala codificación de las funciones transformadas de orden n ) 2, observándoseque esta extensiónde los códigos también es no singular, lo que garantiza que los códigos definidos son unívocamente decodificables. A continuación se define un código para las ecuaciones matemáticas, ecuaciones de flujo, generadas a partfu de las funciones transformadas. Este código utiliza tres vectores para el almacenamientode la ecuación de flujo. Un vector es el encargadode almacenarlos coeficientesreales que multiplican a cada transformada, url segundo vector almacena los códigos de las operaciones que enlazanlas diversastransformadasy un rercer vector que almacenalos códigos de cadatransformada. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página l2l Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Codificación de los lenguajes empleados en los sistemas complejos 4.2.CONCEPTOSGENERALES. 4.2.r.CÓUICO. Definición : Sea S : {r,, s2, ....., so} el conjunto de símbolos de un determinado alfabeto. Se define un código como la correspondenciade todas las secuenciasposibles de símbolos de S a secuenciasde símbolos de otro alfabeto X : {Xr, x2, .....,xr}. S recibeel nombre de alfabeto fuente y X alfabeto código. Como la definición de código empleada es muy general, vamos a limitar nuestra atención a códigos que posean ciertas propiedades suplementarias.Para ello se definen los siguientesconceptos. 4.2.2.PROPIEDADES DE LOS CÓDIGOS Deninición 1: código bloque. La primera propiedad exigida es que el código constituya un código bloque, es decir, que asigne cada uno de los símbolos del alfabeto fuente, S, a una secuencia fija de símbolos del alfabeto código X. A cada una de estas secuenciasfijas le llamamos palabra código y representaremospor X¡ a la palabracódigo que correspondeal símbolo si € S. Definición 2: Códiso no singulat. Es evidente que al urtilizarun código bloque han de imponerse también ciertas restricciones;una restricción natural es que todas las palabras código sean distintas, es decir, lo que se denomina un código no singular. Definición 3: código unívocamente decodificable. sea s¡1S¡2....S¡¡ una secuenciade n símbolos del alfabeto fuente a la que correspondeuna secuencia de símbolosX¡1Xi2....Xinde las palabrascódigo. La extensión de orden n de un código bloque que hacecorresponderlos símboloss¡ coo las palabrascódigo X¡ es Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 122 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Codificaciónde los lenguajesempleados en los sistemascomplejos el código bloque que hace corresponderlas secuenciasde símboloss¡1S¡2....si¡ con las secuenciasde las palabrascódigo X¡1Xi2....Xi¡. Si la extensión de orden n de un código bloque, para todo n, es no singular, podemosasegurarque el código es unívocamentedecodificable. Definición 4: Código instantáneo. Otra restricciónque podemosimponer, aunqueno es absolutamentenecesaria,a los códigos es que seaninstantáneos, es decir, que puedan decodificarse las palabras de una secuencia sin precisar el conocimientode los símbolos que las sucedan. Si llamamos prelijo de una palabracódigo X¡ : Xi1Xi2....Xim Ír la secuenciade símbolosxirxiz....X¡corrj< m es obvio que una condición necesariay suficiente paraque un código sea instant¿íneo es que ninguna palabra del código coincida con el prefijo de otra. Propiedad 1: Si representamospor 11, 12,...., lo las longitudes de las palabras del código, es decir, el número de símbolos que forman las palabras código, una condición suficiente para que exista un código instantáneo con palabras de longitud 11,12,...., lo la obtuvo Kraft en 1949 (36) y la expresó mediante la inecuación -q \---4 ¿.T u l >I (4.1.) r=l siendo r el número se símbolos del alfabeto código. El hecho de que la relación anteriortambiénseaválida para los códigos unívocamente decodificables fue probada por McMillan (40) en 1956 y posteriormente por Karush (33) en 1961que simplificó la demostración como puede verse en el texto "Teoria de la Informacióny Codificación"de Norman Abramson (45). Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 123 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Codificación de los lenguajes empleados en los sistemas complejos La figura 4.1. muestrala ramificación seguidaen el arbol parallegar ala subclasecorrespondientea los códigosinstantáneos. No bloque Singular Códigos No unívoco No instantáneo Bloque No singular Instantáneo figura4.1. Subclases de códigos. Definición 5: códigos compactos. como podemos suponer, para un alfabeto fuente y un alfabeto código dados, es posible, sin embargo, elaborar más de un código instant¿áneo o univocamentedecodificable. De ello se deduce que es importante adoptar un criterio que permita elegir uno de entre ellos. Desde el punto de vista de la mera economía de expresión y la consecuenteeconomía en el equipo de comunicación, sin tener en cuenta otras consideraciones,es preferible un código formado por muchas palabras cortas a uno con palabrasde gran longitud. Si definimos la longitud media de un código por la ecuación .1 L =\P,l, Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 (4.2.) Página 124 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Codificación de los lenguajes empleados en los sistemas complejos donde P¡ es la probabilidad de que la fuente emita el símbolo i , seráinteresante encontrar códigos unívocos de longitud media mínima. A estos códigos se les llama códigos compactos. Recordando que la entropía de una fuente de memoria nula, es decir, de una fuente de información en la que los símbolos emitidos, s1, s2, ...., sq son estadísticamente independientes,con probabilidadesPbp2,...., po , es H(s)= -lr,bgp, (4.3.) l=1 al y quesi Qt > 0, i:l,....,q ,pffidcualquier i,y ZQ, = l sedemuestra en (45)que q fI(s)= -I¿ toeQ, (4.4.) i=l y tomando Q,t q= :: f (4.5.) r-" t=l se llega a la conclusiónde que q q u L ,\ : -I4 tael < -lr,rog(r-t,) * t¿(,s) togir-,, l. trcr, I4l j=l t=l i=t ¡=r \ ) g.6.) y expresando la entropía en unidades r-arias, H,(s) < r , desigualdad que se convierte en igualdad puru fr-', . t=l o de otramanera ,, 1 of, n=I,paratodoi Resumiendoestasconsideraciones, puededecirseque L alcanzarásu valor mínimosi puedenelegirselaslongitudesde laspalabras, l¡, igualesa logr(l/p¡). Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Págtna125 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Codificación de los lenguajesempleadosen los sistemascomplejos En otras palabras,la condición de igualdad es que las probabilidadesde los símbolos seande la forma [1)"' \r) aona€ cr,¡es un número entero. Eligiendo l¡ : cri se habrán encontrado las longitudes de las palabras que constituyen un código compacto. Para el caso de que las probabilidades de los símbolos sean arbitrarias puedeutilizarseel algoritmo de Huffmanparala obtenciónde códigoscompactos. Este algoritmo se basaen ordenarlos símbolos51,s2,.....,sqde una fuente S cuyas probabilidadesson Pr, Pz, .....,Pq,respectivamente, de forma que p1> pz> .....>pq. Imaginando que los dos últimos símbolos se confunden en uno sólo se obtiene una nueva fuente con q-1 símbolos. Esta fuente se denomina fuente reducida de S. Los símbolos de estanueva fuente puedenreordenarse,agrupandode nuevo los dos de menor probabilidad para formar una nueva fuente reducida. Continuando el proceso repetidas veces, de llega a una fuente con dos únicos símbolos. Huffrnan demostró que el código instantáneo compacto de una de las fuentes de la secuenciase deduce fácilmente conocido el de la fuente inmediata siguiente. Por lo tanto empezando por codificar la última fuente con un código instantiáneo compacto (por ejemplo, con el código 0 y 1), se irá ascendiendohasta encontrar el código instantáneocompacto correspondientea la fuente original. Sea S¡una de las fuentes de la secuencia.Uno de sus símbolos, digamos su, estaráformado por dos símbolos,SaO y Sal,de la fuente precedenteS;-r.Todos los demássímbolosde S¡ se identificancon los símbolosde S¡-r.Segúnesto,el código instantíneo correspondientea S¡-1se deduce del correspondientea S¡ de acuerdo con la regla siguiente: Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página126 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Codificaciónde los lenguajesempleados en los sistemascomplejos "Se asigna a cadasímbolo de S¡-r(excepto saoy sal) lapalabra asignadaal símbolo de S¡. Las palabrascolrespondienteso sa¡y su1se forman añadiendoun 0 y un l, respectivamente, a la palabraasignadaa su." 4.3. CODIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES TRANSFORMADAS 4.3.I, CODIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES TRANSFORMADAS DE PRIMER ORDEN. En el apartado3.4. definimos el vocabularioprincipal de la grarnática generativade las ecuaciones transformadas deprimer ordencomoel conjunto Vr: f., (, ), x } {fr, f2,......, Si consider¿Imoseste vocabulario como el alfabeto fuente podemos definir un código como la correspondenciade todas las secuenciasposibles de símbolosde vr e L(G11)a secuenciasde símbolosde algún alfabetoX : {x1, x2, .....,xr) al que llamaremosalfabeto código. a) Código binario de tongitud constante(CLCTlt Basándonosen la teoría expuestaen el apartado5.2.2.,podemos realizar la codificación de la gramática generativa de las ecuaciones transformadas de primer orden Vr : {ft, f2,......,f;, (, ), x } mediante un código de longitud constante formado por el alfabeto código binario X : { 0, 1} de la siguiente manera: Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página127 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Codificación de los lenguajes empleados en los sistemas complejos Como el número de símbolos del alfabeto fuente es m+3 y el número de símbolos del alfabeto código es 2 aplicando la inecuación de Kraft se debe cumplir que nt+3 T?r' < 1 (4.7.) por lo que m+3 Tf-¿ .¿_¿- 'il+' -)-t t-)-t t- ¡-t .. I . . . ,+ 2 - ' = (/ -m *3)2-t <l i=t esdecir, L 2 - , -<m + 3 ' _tu.2<rrr_!m+3 ', _ t r n 2 < _ l n ( m + 3 ) por lo quenecesitamos quelaspalabrascódigotenganunalongitud,I tal que + 3) ¡ ,ln( m ln2 (4.8.) Proposición 1: Sea el conjunto Vr = {fu f2u.....,f^, (, ), x } , al que llamaremos alfabeto fuente y el conjunto X : {0, 1} al que llamaremos alfabeto código. Sea además L(X) el conjunto formado por todas las cadenas de longitud n tal que 2n-t unívocamente decodificable como la correspondencia de todas las secuencias posibles de Vr eL(Grr) a secuenciasde símbolos de X eL(X) . Demostración: Consideremosla correspondenciadefinida mediante la tabla siguiente: Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Págína128 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Codificaciónde los lenguajesempleadosen los sistemascomplejos ?n-+ b,n+l:01....00 ?n+ bm+z:01....10 figura4.2 donde bi es la representaciónen binario del número i utilizando n dísitos. El código formado constituye un código bloque no singular, pues de la figura 5.2. se desprendeque V S¡,s.¡€ Vr si i + j se tiene que bi+b¡. Además,como hemoselegidolas cadenasb1e L(X) de longitud constante, se tiene gatarftízadaquela extensión de cualquier orden del código también forma un código no singular. De todo ello se deduceque el código es unívocamentedecodificable,c.q.d. También es facil observar que el código es instantáneo ya que ninguna palabra del código es prefijo de otra. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 129 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Codificación de los lenguajes empleados en los sistemas complejos Ejemplo: Si el númerode funcioneses5 setendráque , - ln(5 + 3) ln2 ln8 ln23 :_:_. ln2 ln2 . y un código podría ser: frgtxa4.3 Así el códigoparafa(x)será100110000111 y la decodificación se realiza partiendo la cadenaen subcadenasde longitud 3, es decir, Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página130 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Codificaciónde los lenguajesempleados en los sistemascomplejos 100-110- -L--------) 000-111 x ( fq Matemáticamente se puedeobtenerla decodificacióndividiendopor m la cadenasucesivas veces.Los restosde la divisióny el último cocientenos dan el resultadode la decodificaciónbuscada. En nuestroejemplo,como ffi: 5, el númerode símboloses m*3 : 8 (en binario1000)por lo que 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1m1o1d1 0 0 0: 1 1 1- + ) 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0d0i 0v 1 0 0 0 : 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0mo 0 d1 0 0 0 :0 0 0-+ x 1001100d 0 i0v 1 0 0 0 : 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1m 0 o d1 0 0 0 : 1 1 0+ ( 1 0 0 1 1d0i v 1 0 0 0: 1 0 0-+ f¿ b) Códieobinario compacto(CBCT1). como podemossuponer,para un alfabetofuente y un alfabeto código dados, es posible, sin embargo, elaborar más de un código instantáneoo univocamente decodificable. Teniendo en cuenta que la emisión de los símbolos del alfabeto fuente fi, fz, ......,fn, es equiprobable,y prescindiendode la subcadena(x), ya que sabemos Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página131 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Codificación de los lenguajes empleados en los sistemas complejos que todas las cadenas terminan igual, podemos construir un código compacto binario aplicando el algoritmo de Huffman(29). Como ejemplo de aplicación supongamosel casode 5 funciones Símbolos probabilidades código fl 0,2 01 0,4 00 f, 0,2 10 0,2 0I 0,4 1 0,6 0 r> 0,4ooll 0,4 I f3 0,2 11 0,2 l0 0,2 0l J fo, 0,2 000 0,2 11 fs 0,2 001 fi,gura4.4 de donde resulta el siguiente código fi,gura4.5 Las longitudes mediaspara estecódigo han resultado ser: Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 132 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Codificaciónde los lenguajesempleados en los sistemascomplejos L :2.0,2 + 2.0,2+ 2.0,2+ 3.A,2+ 3.0,2: 2,4 binits/símbolo Para completar este código solamentedeberemosanteponero posponer el código que deseemosemplear paralavariable ala quese aplican las fi.rnciones. c) CódigoseeúnGódel(CGTl). A continuación,y para finalizar con la codificación de las funciones transformadas de primer ordenpodemosofrecer,a modo de ejemplo,otro tipo de códigobasadoen la técnicaque propusoKurt Gódel,consistenteen ordenarlos símbolosde la fuente y hacerlescorresponderacada uno de ellos un número natural,es decir, se establecela correspondencia de s -+ N dadapor s¡ -+ i . La codificaciónde una cadena X6X1...X¡ se realízaasignándoleel número natural p';' .pl'....pv;, siendop¡el i-ésimonúmeroprimo e)t¡el códigocorrespondiente al símbolox;. Para ello, asociaremos a cada símbolo del alfabeto fuente un número natural: símbolo: fi número asociado,y : I2 fz f:, ^J f, a J m (x) m+l m+2 m+3 Como la descomposiciónfactorial de un número en sus factores primos es única, la decodificación única está sarantizada. Comoejemplopodemosponer: símbolo: (x)frfzf3fqfs número asociado : r2345678 Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página133 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Codificaciónde los lenguajesempleadosen los sistemascomplejos La codificaciónde f¡(x) será 2 6 ' 3 t . 5 2. 7 3 : 1 6 4 6 4 0 0 4.3.2. CODIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES TRANSFORMADAS DE SEGUNDO ORDEN. En el apartado 4.5. del tema anterior definíamos las funciones transformadasde segundoorden como las expresionesde la forma 0¡O"0.¡ siendo 8n una operaciónentre funciones y 0i : fi(x) en la que x es la variable que aparece en el alfabeto principal de la gramáúicagenerativa de las ecuaciones transformadasde segundoorden. Vamos a exponertres códigosdistintos: a) Códieo binario de longitud constante(CLCT2). De la misma manera que codificamos las ecuaciones transformadas de primer orden mediante el código CLCT2, podemos realizar la codificación de la gtamática generativade las ecuacionestransformadasde segundoorden Vr : {fr, f2,......,f*, 81, E,2,.....,8r.,( ,) ,x ) mediante un código de longitud constante formado por el alfabeto código binario X : { 0, 1} de la siguientemanera: Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 134 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Codificación de los lenguajes empleados en los sistemas complejos Comoel númerode símbolosdel alfabetofuenteesm+k+3 y el númerode símbolosdel alfabeto código es 2 aplicandola inecuaciónde Kraft se debe cumplir que nt+k+3 Zz-"=t (4.e.) ¡-l por lo que m+k+3 m+k+3 Z 2 - , ' = 2 - t + Z - , + . . . .. . . . . . . -+ Z - t= ( m * k + 3 ) 2 4 < l es decir, 2-, < I m+k+3 , -lln2< ln---!-, m+k+3 -rrn2< -rn(m+ k +3) por lo que necesitamosque las palabrascódigo tengan una longitud / tal que l> ln(m+ k +3) ln2 ( 4.10.) Proposición2: Seael conjunto Vr = {fi, f2,......,fr,Or, Oz, ....,Or (, ), x}, al que llamaremos alfabeto fuente y el conjunto X = {0, U aI que llamaremos alfabeto código. Sea además L(X) el conjunto formado por todas las cadenas de longitud n tal que 2n-l < m+k+3 < 2n. se puede definir un código unívocamente decodificable como la correspondencia de todas las secuencias posibles de Vr e L(G12) a secuenciasde símbolos de X e L(X) . Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página135 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Codificaciónde los lenguajesempleadosen los sistemascomplejos Demostración: Consideremosla correspondencia definida mediantela tabla ftgrxa4.6 donde bi es la representaciónen binario del número i utilizando n dísitos. El código formado constituye un código bloque no singular, pues de la figura 5.6. se desprendeque V S¡,s¡ € Vr si i + j se tiene que bi+bi. Además, como hemos elegido las cadenasbi e L(X) de longitud constante, se tiene gatantrzadaque la extensión de cualquier orden del código tambiénforma un código no singular. De todo ello se deduceque el código es unívocamentedecodificable,c.q.d. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página136 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Codificaciónde los lenguajesempleados en los sistemascomplejos También es flícil observar que el código es instantáneo ya que ninguna palabradel código es prefijo de otra. Ejemplo: Si el númerode funcioneses5 y el númerode operaciones 2 setendráque T> In (5+ 2+ 3) = In2 # =3,3219 esdecir,/:4 y un códigopodríaser: figxa4.7 Así, el código para f3(x) 81f2(x) será 0 0 111 0 0 1 0 0 0 1 0 1 010010 0 1 0 1 010010 0 1 0 1 0 Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Págna 137 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Codificaciónde los lenguajesempleados en los sistemascomplejos b) Códieo binario compacto (CBCT2). En la codificación que acabamosde estudiar las cadenasque resultan de la codificación de las transformadasde segundo orden son bastante largas. Es por ello, por lo que a continuación estudiamosun código más compacto para codificar dichas funciones transformadas.Y para ello podemos prescindir de la subcadena (x) ya que en todas las transformadasaparecela misma variable. Si disponemos de m transformadas de primer orden, sabemos que el número mínimo de dígitos necesariospara poder expresarmediante un número en binario cada función es el menor número natural n1 tal que 2n' ) m y el número mínimo de dígitos necesariospara poder expresar las k operacioneses el menor númeronaturaln2 tal que 2n,>k. De ahí que el número mínimo de dígitos binarios para poder expresartodas las funciones fi8¡{ serán, cumpliéndose 2 n> m . k . m : m 2. k Enunciaremosla siguienteproposición: Proposición 3: Sea el conjunto Vr = {fi, f2r......,fr, Or, O2, ...., g¡} , al que llamaremos alfabeto fuente y el conjunto X : {0, l} al que llamaremos alfabeto código. Sea además L(X) el conjunto formado por todas las cadenas de longitud n tal que 2n-r unívocamente decodificable como la correspondencia de todas las secuencias posibles de Vr eL(G12) a secuenciasde símbolos de X e L(X) . Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página138 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Codificación de los lenguajes empleados en los sistemas complejos Demostración: Consideremoslas correspondencias definidasmediantelas tablas4.8 y 4.9, figura4.8 dondeal esla representación enbinariodel númeroi-l utilizandon1dígitos. ftgt¡a4'9 donde b¡ es la representación en binario del número i-l utilizando n2 dígitos. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 139 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Codificación de los lenguajes empleados en los sistemas complejos El códigoque conespondea la transformadaf;8"{ es la representación en -Fa¡_rcoon dígitos. binariodel númeroA: (a1-1.k + bn-1).m La codificación se realizarádel siguientemodo: A mod m: aj-l ---+ t A div m: B : e-r.k * bn-l B mod k: bn-r _____>8n B div k: a¡-r > fi Ejemplo: Si el número de funciones es m : 5 y el número de operacioneses k : 3 emplearemosel siguiente código fi :000 8l:00 ü : 001 8z: 01 f¡ :010 8¡ = 10 f, : 011 fs: 100 Entonces,comoel númeromáximode ecuaciones, de la forma f;on{ , que sepuedenformares 5' 3' 5 : 75,senecesitan númerosbinariosde n : 6 digitos paracodificarlas, ya que27> 75 > 26,y su códigoseríael quesigue: fr 8r fr : 0000000 fr Az fr : 0000101 fr A: fr : 0001010 fi Ar ü : 0000001 fi @zfz:0000110 fr 8s ü : 0001011 fr Ar ü : 0000010 fr Azf: : 0000111 fr A¡ f: : 0001100 f r Ar ü : 0 0 0 0 0 1 1 fl Szfq:0001000 fr A¡ f¿:0001101 fi 8r fs:0000100 fi Szfs:0001001 fr 8¡fs:0001110 Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página140 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Codificación de los lenguajesempleadosen los sistemascomplejos ü Arfr :0001111 fz Qzfi:0010100 ü 8¡ fr :0011001 f z8 -tfz:0 0 1 0 0 0 0 fzSzfz:0010101 fzQtfz:0011010 b.8$t:0010001 fzSzfz: 0010110 ü A: f¡ : 0011011 ü ar ü:0010010 f z ar fs : 0 0 1 0 0 1 1 fzSzfq:0010111 fzSsfq:0011100 b.@zfs:0011000 ü 8 ¡ f s: 0 0 1 1 1 0 1 f:8rü:0011110 f¡ Az fr : 0100011 f: A¡fi:0101000 fsarü:0011111 hSzfz:0100100 f¡ asü:0101001 f ¡ A r f¡ :0 1 0 0 0 0 0 f¡ Azf::0100101 f¡ A¡ f¡ :0101010 f¡ Arü:0100001 fsAzfa:0100110 f ¡ A sü : 0 1 0 1 0 1 1 f¡ 8r fs:0100010 f: 8z fs: 0100111 f ¡ 8 s f s: 0 1 0 1 1 0 0 ü 8r fr :0101101 ü A zf r : 0 1 1 0 0 1 0 ü A: fr : 0110111 üArü:0101110 fa,&zfz: 0110011 fq8t fz: 011I 000 üArü:0101111 f+E'zh: 0110100 ü arf+: o11oo0o fqSzf+:0110101 ü 8¡ f¡ :0111001 ü a: ü :0111010 ü 8 r f s: 0 1 1 0 0 0 1 ü 8 z f s: 0 1 1 0110 ü 8 ¡ f s: 0 1 1 1 0 1 1 f sa r f r : 0 1 1 1 1 0 0 fs Szfr : 1000001 fs A¡ fi : 1000110 f s8 r f z : 0 1 1 1 1 0 1 f s8 z ü : fsa:ü:1000111 f s 8 r f s: 0 1 1 1 1 1 0 fs az f¡ : 1000011 fs A¡ f¡ : 1001000 f sA r ü : 0 1 1 1 1 1 1 fs 8z f¿: 1000100 f s8 ¡ ü : 1 0 0 1 0 0 1 fs 8r fs : 1000000 f sS z f s : 1 0 0 0 1 0 1 f583 f5: 1001010 1000010 Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página141 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Codificación de los lenguajes empleados en los sistemas complejos Para explicar su decodificación tomaremos como ejemplo la ecuación 0101000. 0101000mod 101: 000 que conespondea f1 Además0101000div 101: 1000, por lo que 1000mod 11 : 10 que corresponde a O3 y como 1000 div 11 : 010 que coffespondea f3 se tendráfinalmenteque 0101000-+ f¡ 8: fr. c) Códieo basado en Giidel Siguiendo el mismo procedimientoque el utilizado en el apartado5.2.1. podemosponer para 5 funciones y 3 operacionesel siguiente código símbolo: ( númeroasociado: 1 x ) fl fz f3 fq fs Or 8z gs 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 con lo que la codificaciónde la ecuación ü(x) Ozf¡(x) será 2 s . 3 t . 5 2. 7 3 . 1 1 1 0 .1 3 6. I 7 1. l g 2 . 2 3 3: : 7695 41345821883405315794769 5200 4.3.3.CODIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES TRANSFORMADAS DE TERCER ORDEN. En el apartado3.3.3. del tema anterior definíamoslas funciones transformadas de tercerordencomolas expresiones de la forma Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 142 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Codificaciónde los lenguajesempleados en los sistemascomplejos ó (0i4,0:)8,0r 0i8,"(0¡8"ór) I es decir, TrOTz ó TzOTr donde T¡ representauna función transformada de primer orden y T2una función transformadade segundoorden. Por tanto, es lógico pensar que la codificación de las ecuaciones transformadasde orden 3 puede realizarsea partir de los resultados obtenidos en la codificación de las transformadasde orden uno v dos. a) Código binario (CBT3). Como hemosvisto anteriormente,seguiremosllamando fb fz, ....., f* a las m funciones de variable real utilizadas como funciones transformadasde primer ordeny 8r, 82, ...., 8r a las k operacionesdefinidasentrelas funcionesanteriores. Para la codificación de las m funciones transformadas de primer orden utilizaremos el número binario i-l (expresadocon n dígitos, siendo 2n > m) parc representar la función fi ! para las transformadas de segundo orden el código CBCT2. Además como las operaciones que intervienen en las ecuaciones transformadasde tercer orden no son, en general, conmutativas,necesitamospara su decodificación algo que nos indique si la ecuación es de la forma TrOTz ó TzOTr. Esto lo podemos solucionarañadiendoun bit (0 ó 1) al comienzo de la cadenacodificada. Veamos wr ejemplo práctico con las 5 funciones y 3 operacionesutilizadas en el apartadoanterior. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página143 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Codificación de los lenguajes empleados en los sistemas complejos Seala ecuaciónf2(x)8r(ü(x) a2fa(x)).Prescindiendo de los paréntesis y la variable,puesno vana sernecesarias, comoa: f2 le correspondeel código 001 81 le corresponde00 fz8zf+le corresponde 0010111 y empleandoel dígito 0 como primer dígito de la cadenacodificadapara indicar que la ecuaciónes de la claseT18T2 resultaque fz(x)8r(ü(x) a2fa(x))+ 0001000010111 Sea,ahorala cadena1100011100001sudecodificación escomosisue: Lacadenaerrtpieza conun 1,luegoesde la claseT2OTIpor lo que l - 1 0 0 0111 -0 0- 0 0 1 --T- T- a TL---+ ¡ I---------------) e, fs g¡ ü y por tanto 11000111000+ 0 1 ( f sA : ü ) A r f z b) Código basado en Giidel Para este código no es necesario añadir ningún concepto teórico nuevo a los vistos anteriormentey bastarácon un ejemplo. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página144 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Codificación de los lenguajes empleados en los sistemas complejos observando Ia codificación empleada en el apartado anterior, la codificaciónde f2(x)Ar(ü(x) 82fa(x))será . 2910 . 3r7. 371. 4r2. 433. 473 2s- 31. 52. 73- ge. 111. l3s . r71. 192.233 4.3.4.CODIF'ICACIÓN DE LAS FUNCIONES TRANSFORMADAS DE ORDEN N. a) Código basadoen CLCTI y CBCT2. Todas las funciones transformadasde orden n > 3 pueden codificarse a partir de la codificación de las transformadasde orden uno y dos con la adición, en los códigos,de los paréntesisnecesariosdebidosa los tipos de las operaciones utilizadas en la construcción de las funciones transformadas de orden n y que deberáestudiarsepara cadacasoen particular. Así, por ejemplo si tuvieramos que codificar transformadas de orden 4 procederíamosde la siguiente manera: Representemospor T¡ : {Tit, Ti2,.......}"1 conjunto de todas las transformadasde orden i, i : 1,2,3,4 y por I cualquier operación utllizada. Cad,a transformada de orden 4 puede descomponerseen transformadasde orden uno y orden 2, como se indica en la figura 4.10, obteniendo así, diferentestipos de transformadas. En el conjunto de transformadasde orden 4,T+, podemos establecerla siguiente relación: Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página145 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Codificación de loslenguajes empleados en los sistemas complejos Sean Tai, T¿j y Tak son Diremos que "dos funciones transformadas cualesquiera de Tq. funciones T¿i, Tni están relacionadas si en su descomposiciónen transformadas de orden uno y dos son del mismo tipo', Representando por M la relación"perteneceral mismo tipo" puedeverse f;ícilmentequeM esunarelaciónde equivalencia,yaqueverifica laspropiedades 1 ) Reflexiva: T + ' M T 4 ' , V i 2) Simétrica:Si TaiM T/ entoncesToi M Tai , Vi;. 3 ) Transitiva: Si T¿iM T+jy T¿jM TakentoncesT+iM T4k, Vij, k. quedandoel conjunto T+ dividido en clasesde equivalencia.En la figura 5.10 puedenobservarse8 clasesde equivalencia,aunqueen los casosprácticos alguna (T1ATr)A TrO Tr : TzOTrO Tr Tr8 (TrO T1)O Tr : Tr8 T28 T1 /rl " 1,.,J J I ;l ; b;:i;Ji,., TrOTrOTrA Tr 7/ \-------+ TrO (TrO T18 Tr): T18 T3 .r'TrO(TrO T2) \r,o(r2or1) \ \ t (t,o rr8 Tr)or1: T3orr/ y'(r@rz)o rr \(r2orr)o rr figura4.10 de ellas podría no existir dependiendo de las propiedades de las operaciones utilizadas. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página146 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Codificación de los lenguajes empleados en los sistemas complejos Ejemplo práctico de codificación: Seael casode 5 funcionesfi, f2, f3,fa, f5 y 3 operacioflesO1, 8z , @y Empleando los códigos de los apartados anteriores y añadiendo a\ principio de la cadenacodificada un código que indique la clase de transformada se tendrá: Si los códigos del tipo de transformadason : TzOTrO Tr :000 T rO T zOT r :0 0 1 T rO T rO T z : 0 1 0 TzrulTz : 011 TIAGTOTz) : 100 T18(T28T1) : 101 (TlATrATr : 110 (T 2 A T 1 )A Tr : 111 la codificaciónde ü(x)Ar(ü(x)42f1(x))Ozf¡(x)será 0 0 1- 0 0 1- 0 0- 0 11 0 0 1-0 0 1- 0 1 0 Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 f: @z fq E,zft 81 fz TrO TzO Tr Págna 147 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Codificaciónde los lenguajesempleados en los sistemascomplejos b) Códieo CBTn. El proceso de codificación utilizado en el apartadoanterior puede no ser demasiado útil para extenderlo a transformadasde orden elevado, ya que en su descomposiciónen transformadasde orden uno y dos el conjunto cociente que se obtiene, Tn/M, poseedemasiadasclasesde equivalencia. Por este motivo, y debido q que en una función transformadade cualquier orden sólo aparecen transformadas de primer orden, operadores y paréntesis (prescindimos de la variable) nos inclinamos por utilizar el método de Huffman para la creación de códigos binarios en la que consideraremosque todos los símbolos del alfabeto fuente son equiprobables Como ejemplo vamos a realizar la codificación del caso de cinco transformadasde primer orden, f1, f2, f3,ü y fs dos operadoresO1 y O2. Sím. prob. cód. \ ll9 001 2t9 000 2t9 fz 1/9 010 l/9 001 2/9 000 2/9 ll h 1/9 011 U9 010 r/9 001 2/9 000 2tg f4 ll9 100 It9 011 v9 010 fs l/9 101 1t9 100 v9 011 U9 @t t/9 110 t/9 101 1/9 100 1/9 011 @2v9 111 v9 ll0 U9 101 ( r/9 0000 t/9 1l I ) 1/9 0001 11 Así si f1: sen(x) , f2: exp(x), f:: 219 10 2t9 01 3tg 00 4/g 1 2/g t0 2/g 0l 3/g o0 4tg I ll 2tg 10 2tg 0l 1t9 001 2tg 010 Ug ln(x), f4:x2,f5: 000 2/g s/9 0 tl 001 1/x,8t : f, 8z: Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 o Página148 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Codificaciónde los lenguajesempleados en los sistemascomplejos la codificaciónde la funciónsen(x)+1/x+ln(x2) sería,prescindiendo de la variable será -+ 001I 10101 f1+f5+(fioü) 110000001 111I 1000001 y l a d e co d i fi ca cidóen0 0 1 1 1 1 101110011 es 001- 11I - 10 1- 110-011 -+ frofs+f3 + sen(1/x)+1n(x) 4.4.CODIFICACIÓN UN LAS ECUACIONESDE FLUJO. En la sección3.5. definíamosuna ecuaciónde flujo como toda expresión de la forma Q = Ao @o, Artf,' @o, Art.!,,Oo, @o, A,t f , donde (p es vna variable de flujo, 40, At, .......,An soncoeficientes reales, Oo, , @u, tl,' , t fr' @0,son operadoresaritméticos y 1,, sonfuncionestransformadas y donde los superíndicesindicanlavariable independientede cada transformada. Suponiendoque ya tenemoscodificados todos los operadoresaritméticos y todas las funciones transformadasmediante alguno de los procesosexplicados en los apartados anteriores, la codificación de una ecuación de flujo se reduce al almacenamientode los coeficientes,operadoresy funciones transformadasen tres affays paralelos unidimensionales Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Págna 149 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Codificación de los lenguajes empleados en los sistemas complejos ¿h vr. Ao ^ ^2 A _ :' 'aD - t- ^ A, Ejemplo. Sea<puna variable de flujo que dependede 4 variables Xl, X2,x: y x+. Las funciones transformadasde orden uno utilizadas son f1: sen(x) , f2 : exp(x), f¡ : ln(x), fq: x2 y f5 : llx y los operadoresson 81 : * (suma)y 82 : * (producto). La codificación de la función - ln x3 * 4,3 e,o.Llxs e : 3 + 2.llx1.senxtr 0,5xz2 podría realizarsede la siguientemanera: Codificación de los operadores: *:0. a:1 Codificación de las variables: x 1: 0 0 , x 2 : 0 1 , x g: 1 0 y x q : I l Codificación de las transformadas:Para las transformadasde orden dos v utilizando el código CBCT2 se tiene que l/x'senx: fs 8z fr -+ 0101101 e *'l l x: fzE,zG - + 0011101 Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 150 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Volver al índice/Tornar a l'índex Codificaciónde los lenguajesempleados en los sistemascomplejos y para las transformadas de orden uno, utilizando el código CBCTI se tiene que x2 : fq-+ 000 lnx:f¡+11 resultandoque q se codifica mediante los arrays siguientes: lr) tzt lo) ¿:lo.sl *=lol l-'l [o,rj lol (o/ fororror] ,=l oooI | " I \ool''ori Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página151 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. 7 CAPITULO APLICACION: SUBMODELO REPRODUCTIVO DEL MODELOMARIOLA Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Aplicación:Submodeloreproductivodel modeloMariola CAPÍTULO 5 APLICACION: SUBMODELOREPRODUCTIVODEL MODELO MARIOLA 5.T.INTRODUCCION. El estudio que vamos a realizar está basado en un caso concreto de modelización matemáticapublicado en la revista Ecological Modelling (ver 56, Villacampa et al., 1999) y realizadopor un grupo de investigadoresentre los que se encuentranel autor del presenteproyecto y el director del mismo. En este apartado exponemos de forma resumida los objetivos que se persiguen con el estudio y modelización de un subsistema (subsistema reproductivo) que forma parte del modelo MARIOLA que modeliza un ecosistematerrestreconcreto. La erosión, y el proceso de desertízación,una de sus obvias consecuencias, es uno de los principales problemas medioambientales de los países mediterráneos.Grandes areasde antiguos bosquesse han convertido en zonas de arbustos,consideradascomo la fase final de un procesode degradación. Sin embargo, las tienas arbustivas mediterráneasjuegan un papel importante en la protección del suelo frente a los procesos de erosión hídrica, Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página153 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Aplicación:Submodelo reproductivo del modeloMariola especialmente en áreas orográficas caracterizadaspor sus grandes pendientes, muy dañadaspor precipitacionesirregularesmuy intensasy rocalizadas. Si fuésemos capacesde predecir el comportamiento de un ecosistemade arbustos frente a variaciones climáticas, dispondríamos de una poderosa herramienta para tomar medidas preventivas sobre la planificación y protección del suelo. El modelo MARIOLA ((5a)usó-Domenechet al. 1995;(57)villacampa et al. 1997) apareciócomo consecuenciade estasnecesidades.Dicho modelo está basado en un ecosistematerrestre montañoso localizado en la Sierra de Mariola (Alicante), y es una simulación del comportamiento y evolución de un típico ecosistemade arbustosde las zonasmediterráneas. El modelo MARIOLA consisteen los siguientessubmodelos: 1. Submodelode crecimiento:crecimiento,defoliación y destrucciónde la biomasa. 2. Submodelode la descomposiciónde la biomasaperdida. 3'Submodelo reproductivo :formación de brotes, floración y fructificación. Este modelo fue desarrollado para el arbusto mediterr:áneoCistus Albidus L. ((5a)usó-Domenech et al., 1997), Las interacciones entre arbustos mediterr¿ineosen el contexto del modelo MAzuOLA también ha sido estudiadoen (52)(Mateuet al., 1997). Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página154 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Aplicación:Submodeloreproductivodel modeloMariola El arbusto mediterráneo Cistus Albidus L. se encuentraabundantementea lo largo de toda la Comunidad Valenciana. El tipo biológico corresponde a la Nanofanerifita con un tamaño comprendido entre los 40 y los 120 cm. Su período de floración conesponde en su mayor parte al período comprendido entre Abril y Junio aunquepuede apareceruna primera floración enMarzo y latiltimaa finales de Julio. Los fenómenosreproductivos dependende las característicasclimáticas donde se localizan las especiesvegetales,pero también dependende determinados factores como el nitrógeno y el magnesio aunque es muy dificit calcular valores numéricospara estasvariables. Paradeterminarel númerode brotes,flores y frutos ha sido necesarioun procesode conteovisual y que en el casodel CistusAlbidus L. el procesoes relativamentefácil ya que los brotes,flores y frutos, así como las flores que se marchitany caensedetectanfácilmente. La zona experimental ha sido la Sierra de Mariola, en Agres, provincia de Alicante, urM : 3OsYHl9, con una altitud de 850 m.con un seguimientode las características climáticas basado en 16 semanas de observación : temperatura media anual de 14,1oc con unos valoresextremosde 6,5 oc en Enero y 23,roc en Agosto, una pluviometría anual de 600 mm. y una media de evapotranspiraciónde 757 mm. El substrato geológico es de piedras calizas del período cretáceosobre las cuáles estiín situadas plataformas calcáreas con una reforestación de Pinus halepensis. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página155 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Aplicación:Submodeloreproductivodel modeloMariola 5.2.HIPOTESISINICIALES. Pararealízar el estudio del submodeloreproductivo comenzaremosfijando los siguientesconceptos: 1. El conjunto de p-símbolos. El conjunto de p-símbolos o atributos medibles que van a ser tenidos en cuenta (formado por elementos climáticos y otros elementos referidos a la planta) se exponen,junto con los símbolos que se ufilizanpara su representación en la tabla 5.1. Tabla5.1 Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página156 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Aplicación:Submodeloreproductivodel modeloMariola 2. Conjunto de funciones transformadas de primer orden. Las grantáticasgenerativasde las funciones transformadasque vamos a desarrollar están basadasen el siguiente conjunto de frunciones reales de variable rcal,y que llamaremos conjunto de funciones transformadasde primer orden exp(-0,lx),arctg(x), cos(x),!,Ji,Ln(x)} {7t (r)} = {x2,exp(0,lx), (5.1.) 3. Conjunto de variables de flujo. El conjunto de variables de flujo, así como los símbolos que emplearemospara representarlasse exponen enlatabla 5.2. Tabla 5.2 Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 157 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Aplicación:Submodeloreproductivodel modeloMariola Estasvariablesde flujo son funcionesque dependende ciertos atributos mediblesy queel criterio del modelizadorha definidode la siguienteforma: cRGEM(t): f(M, PLU/100,TB) CRFLOR(I): f(M, T, PLU/100,NHS,NGEM) CRFRUT(t): f(M, T, PLU/100,NHS,NFLOR) DGEM(t): f(M, T, pLU/100,NGEM,WS) DFLOR(t): f(M, T, PLU/100,WS,NFLOR) (5.2) DFRUT(t): f(M, T, PLU/100,WS,NFRUT) GERM(I): f(M, T, PLU/100,NFRUT,NHS) 4. Variablesy ecuaciones de estado. El sistemade ecuaciones diferencialesseha elaboradosiguiendoel primer procesode recognoscibilidad GRsr,resultando ser dNGEM(t) ^ñ--A: : CRGEM (r) - DGEM (r) - CRFLOR(I) dNFLOR(I) ^^_ ---= L:R!'LOR(t)- DFLOR(I) - CRFRUTQ) -- dr dNFRltr Q) = GRFRUT(t) - DFRUT(t) - GERM(t) dt (5.3.) 5. Vocabulariosde primer y segundoorden. Los vocabularios deprimerorden,VPO,de los p-símbolosson: Vlu, Vlr, VtrLu, Vlws, VIN¡Rur, VlNus, VtNGE¡¡,VlrB y VlNrr-on Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 (5.4.) Página158 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Aplicación:Submodeloreproductivodel modeloMariola y únicamenteestánformados por las transformadasde orden cero y orden uno. También se han utilizado vocabularios de sesundo orden. VSO. formados por el producto de dos p-símbolos V'M,T, V2u,pLu,V2v,ws, .............,V2rs.NpI-oR ( 5.5.) por lo queel t-léxicoquesegeneraes fL: V",T, { VtM, Vtr, VtpLU,........,Vt*rro*, V2u,pLu, V2v,ws,.......,V'1",NFL6R ) 5.3. GRAMÁTICA GENERATIVA (5.6.) DE LAS FUNCIONES TRANSFORMADAS. Con los atributosmediblestenidos en cuentay las funcionesreales empleadas, definimos las gramáticas generativas de las funciones transformadasde la siguientemanera: 1. vocabulario principal: Es el conjunto formado por los siguientes símbolos,donder¡ representaun p-símbolode la tabla 1. Vr,= Ix, , sqr,exp,atctg,cos, sqrf,ln,(,),1,0. 7,-,., l| Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 6 .7.) Página159 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Aplicación:Submodeloreproductivodel modeloMariola 2. Vocabulario auxiliar: Es el conjunto formado por los siguientes símbolos,dondeS esel símboloinicial: (5 g.) vu=6,Rl,R2,R3,R4,R5,Ró,R1,Rs,Re,Rr',R1l 3. Conjunto de producciones o reglas de formación: Es el conjunto de reglas que se exponen a continuación: -) -+ x,,S + .f ¡Rr,,S expRr,S-+ lRr,S -) x,Ro,R,-+ (R' I Is R * , R , o=1o' ) x,Ru,Re )), Rz ) (Rr,R, J ) 0 . l R e , R)* 0 . l R n , (5.e.) -)'R'R, ) /Rro,Rlo-+ x,,Ro . ).R,, ,Rr,-> xo lRn I I dondefirepresentaunafunciónae {f'(x) - {exp(0.lx),1/x} y k> i. 4. Reconocedor finito de las gramáticas generativas de las funciones transformadas. Debido a que todas las leyes de formación son de la forma A-+aB ó A-+a con A, B e va y a e v1 las gramáticasque hemos definido son regulares. La expresión regular de las cadenasgeneradaspor estas gramáticas viene dadapor Ia expresión Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 160 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Aplicación:Submodeloreproductivodel modeloMariola ü : x ¡ + f ¡ ( x , ) + e x p ( [ - 0 . 1 +0 . 1 ] x , )+ l l x , + x i . x k ( s .0 1) siendo su diagrama de Moore el correspondientea la figura 5.1 figura 5.1 Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Páginal6l Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Aplicación:Submodeloreproductivodel modeloMariola 5.4. GRAMATICAS GENERATIVA Y RECOGNOSCITIVA DE LAS ECUACIONES DE FLUJO. Con los lenguajes que se obtienen con las gramáticas generativas de las funciones transformadasdiseñadasen el apartado anterior vamos a construir las gramáticasde las ecuacionesde fluio. En esta aplicación necesitamos obtener expresiones matemáticas para modelizar siete variables de flujo: CRGEM, DGEM, CRFLOR, DFLOR, CRFRUT, DFRUT y GERM, como hemos indicado anteriormenteen latabla 6.2. Estas expresiones matemáticas son las que conocemos con el nombre de ecuacionesde flujo. Para su construcción se ha decidido que cada ecuación de flujo esté formada por la suma de cinco funciones transformadas. Nuestro objetivo es, pues, crear gramáticas generativas en las que los lenguajesgenerados por ellascontengan"palabras" (ecuacionesde flujo) seande la forma V _ A ,+ l A , . t , (5.11) i=l donde por t¡ representamoscualquier transformada obtenida en las gramáticas generativasdel apartadoanteriory los A¡, i : 0..5 son coeficientesnuméricos. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página162 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Aplicación:Submodeloreproductivodel modeloMariola Las gtarnátticasgenerativasde las ecuacionesde flujo tendrán la siguiente estructura: 1. Vocabulario principal: Está formado por los coeficientes reales, las funciones transformadas y los operadores aritméticos que intervienen en las ecuaciones. Vr: {Ao,A6 A2,At,fu,As, tt, t2,t3,t4,ts ,*,'} (5.12) 2. Vocabularioauxiliar: Está formadopor el símboloinicial S y todoslos símbolos necesarios paraformarlasreglasdeproducciónde las cadenas Va: {S,R¿iR , - 4 i *R r ,q i * 2R, a i * ¡ , i : 0 , I , 2 , 3 , 4 } (5.13) 3. Conjunto de producciones o reglas de formación: Vienen dadaspor el siguiente conjunto - A o R o,Ro, ) fRo,*, ) A,*r Ro,*r , ,Ro,*, ) '= )'R o,*:,Ro,*,) t,*r Ro,*o,Rr u R11,f ) + 1 ^ 0 ,*, -+ fR,, ArRrr,R,,-).R,n,Rr, -+ t, I [t tS.t+l c o ni : 0 , I , 2 , 3 . Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página163 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Aplicación:Submodeloreproductivodel modeloMariola 4. Reconocedor finito de las gramáticas generativas de las ecuaciones de flujo o-t-(;). +) /' A1 /¡__,_li.)__l a'\ (.:r- - \"y--\w5)- :i A" --( -y) 1,.) ,/ \ t-{,)-.{t-1-@ ó frgura5.2 5. Gramáticarecognoscitiva de las ecuaciones de flujo. A partir de los datosexperimentales obtenidosa 1olargode 18 semanasd.e observacióny aplicandoel primer criterio de recognoscibilidad GftpI con |a Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página164 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Aplicación:Submodeloreproducfivodel modeloMariola ayudadel programaREGRESSUS(6) se han obtenidolas siguientesecuaciones deflujo: :RGEM=rre37827ne .an{ !4) \100 ) +8ssz+ 32236.47811f). \M) +25e688660r3.6s76."rr+:l+ 88887665 6e.4e2nctgM \100/ (s.15) -3993t297044 DGEM = | 2800e 52s 8s 66? s( +sszsoes 83B.423 7(#). i# ) + 278464583 I 3.5398 corl "" I - 40.4298 cosWS + [100i P LU-') + 953r 439387 .3246arús( + +28r $s65s3.4922 -\ r00 / yy\'+ cRFLoR=24538061248.274s( \100) (s.16) 18268010 624.3r7af+ u + 0.0001exp (o.r.Nczu)+fi3786e155e.s8s0.."rr:ill . [100/ + I 8270752691.6942.arctgM - 8207g300505.1208 Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 (5.17) Página165 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Aplicación:Submodelo reproductivo del modeloMariola 1 ( !!y\' - 21 48000863 DFLo R= -28852500e3.034s. .%s7{ ) 100) \M) \ - 6276407624.4r84-c"rf -2t4s323388.5355.arc ts(M)+ +9] \ 1 0 0/ + 2.059s.J NFLOR+ 96s0g83489.33 18 = -.r.8245.( cRFR(Jr ry\' \100 ) (s.ls) -r3ss2666,oq.rro¡ l-1-)\M) -33.e305'exp(-0.1.1/FZ oR)-3s6882s8767.6687.corr+:)- (s.re¡ - I 35847| 6165.7817-aratg(M + 6102706433 4.4555 ) \ 1 0 0) p,ty\ DFRUT:0.005.2.NFR ur + 0.0r7r( *ror, - \100/ -0.016|WSNFRUT-0.0002.NFRUT7 + + | .4215-exp(-}.1.NFRUT) - I .4t32 (5.20) GERM= -0.0133.7. NHS+ 21436656856828.5. NFRUT.NHS-0.144616.NH52 -30011319599s598.25.NFRUT _ - 2.0866'arctg(NFRUT+ 45.4497 ) (s.2rl cuyoscoeficientes de correlaciónson los que se exponenen la tabla5.3 que se exponea continuación: Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página166 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Aplicación: Submodelo reproductivo del modelo Mariola tabla5.3 Finalmente, el proceso de recognoscibilidad RGsz es determinado medianteel procesode validación , cuyos gráficos se exponenen las figuras 5.3, 5.4y 5.5. En estasfiguras, eltrazo negro correspondea los datosrealesy el rojo al obtenidopor integraciónnuméricade las ecuacionesde estado. Terminaremos esta sección obteniendo los coeficientes complejos de determinaciónde cada ecuaciónde estado(Criterio de recognoscibitidadGRr¡) d ¡uc,r, = d rp,,r¡^ : 0 . 8 1 4+10 . 7 9 0+9 0 . 9 9 1 6 = 0.8655 (s.22) 0.9916+0.9238+0.9932 = 0.9695 (s.23) Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página167 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Aplicación: Submodeloreproúrctivo del modelolMariola d¡¡rnw = 0.9932+0.9814+0.9993 = 0.9913 (5.24) figura 5.3.Validación del número de brotes 300 250 2AO o o rtst o t- 150 ,cl 100 50 0 46810121416 semanas - datos rcal€s - datos validados Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Rágina168 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Aplicación: Submodelorepoórctivo del modeloMariola figura 5.4.Validacióndel número de flores 250 200 o o L r50 ¡ts 100 I o 50 0 24681012141618 semanas - datos reales - datos validados Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Pagina169 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Aplicación: Submodeloreproductivodel modeloMariola figura 5.5.Validacióndel número de frutos 300 250 2AO o o tF' = L 150 rts 100 50 0 681012 semanas - datos reales - datos validados Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Páginal7O Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Aplicación:Submodeloreproductivodel modeloMariola 5.5. CODIFICACION DE LAS FUNCIONES TRANSFORMADAS Y DE LAS ECUACIONES DE FLUJO. En el apartado5.4.vimosquela ecuaciones de flujo tienenuna expresión matemáticade la forma Y : or*fA,.t,donde las t¡ son variables, i=1 transformadasde primer orden de alguna de las variables representadasen la tabla 5.1., es decir, elementosde los vocabulariosde primer orden de estasvariables,o est¿án formadas por el producto de dos cualesquierade esasvariables, o lo que es lo mismo, elementosde los vocabulariosde segundoorden. Nuestro objetivo es, en primer lugar, codificar estas/;. Al tener nueve variables, ocho transformadas de primer orden, y añadiendo la función identidad fo(x) : x se podrán codificar, como se indica en las tablas6.4 y 6.5, de la siguientemanera: Tabla 5.4 Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página 171 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Aplicación: Submodelo reproductivo del modelo Mariola exp(0.1x) exp(-0.1x) Tabla5.5 Y como se puedenformar un total de 81 expresionesdiferentes,f¡(4¡),se podrán codificar con los númerosbinarios comprendidosentre el 0 y el g0 expresados con sietedígitosde maneraque Códigode fi(x¡): [9i + j]12¡ un resumen de la codificación de las funciones transformadas, f;(x¡), se representa,a continuación, en latabla 5.6. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página172 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Aplicación: Submodelo reproductivo del modelo Mariola ffi ::* "*"tr^i l Tabla5.6 Las expresionesde la forma X¡'x¡ se codifican también con siete dígitos binarios de forma que Código de x¡.x¡: [10i+j](2) un resumen de la codificación de las funciones transformadas, fi(x¡), se representa,a continuación, en latabla 5.7. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Págna 173 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Aplicación:Submodelo reproductivo del modeloMariola Tabla5.7 Los códigosquehemosestablecido parala codificaciónde las expresiones fi(t) y xi'x: no son unívocamentedecodificablesya que las cadenasbinarias puedenteneruna dobleinterpretación. Así, por ejemplo, con la cadena0001011 setieneque 0001100 mod 1001: 0010quecorresponde a X2: T 0001100div 1001: 0011quecomesponde a f:(x) : exp(-O.lx) por lo quela cadena0001100puedeinterpretarse comoexp(O.1T) perotambién 0001100 mod 1010: 0001quecomesponde a xr : NHS 0001011 div 1010:0010 quecorresponde aT por lo quela cadena0001011puedeinterpretarse comoNHS . T Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página174 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Aplicación:Submodeloreproductivodel modeloMariola Este problema queda solucionado añadiendo un octavo bit a Ia izquierda de la cadenaque indique la clase de función, pudiendo ser 0 paraindicara las funcionesdel tipo fi(ry)y I paraindicaral tipo x¡.x¡ De estamanera,y volviendo al ejemplo, se tendrá que la cadena 00001100corresponde y a exp(-0.1.T) la cadena10001100corresponde a NHS . T quedandoasíterminadala codificaciónde las funcionestransformadas. La codificación de las ecuacionesde flujo se realiza fácilmente apartir de la codificación de la codificación de las transformadas y puede expresarseen forma matricial ya que li \l;' Y : A o*Z A , .t,: @o Ar A2 A3 A4 As i=l iil En la gramátticarecognoscitiva del apartado 4 hemos obtenido siete ecuacionesde flujo. Su codificaciónes la siguiente: Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página175 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Aplicación: Submodeloreproductivo del modelo Mariola (' 1". V/, = CRGEM = (Ao At ) 00001100 | | , l 0 0 1 1 0 1 1| 0 A2 A3 A4 A,.|l I 00110000 l | I( 0oorooroo I ) conAe : -39931297044 Ar : 1T937827736.6333Az:8887432236.4787 At : 25968866013.6976 Ac: 8888766569.492 As : 0 (r 2". Vt, = DGEM = (Ao At ) 00001100 | | 00110110 A2 A3 A4 As)' ll | 0 0 1 1 0 0 0| 0 I oorrooor I \ o o 1 o o111) conAs : 42818396553.4922 Ar : 12800952588.6678 Az :9529999838.4237 A z:2 7 8 4 6 4 5 8 3 1 3 .5 3 9 8Aq: -40.4298 As:42818396553.4922 3". vt : CRFLOR = @o A1 A2 A3 A4 (t ) 00001 100 I | o o l1 0 1 0 l .- )' l | 00110000 | 00100100 | | 10/ [010001 Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página176 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Aplicación:Submodeloreproductivodel modeloMariola conA¡ : -82078300505. 1208 At:24538061248.2749Az: 12268010624.3174 A¡:0.0001 Aq: s337869rs59.s85 As: 18279752691.6942 (1.] 00001100 | | 4". vo : DFLOR = Vo loI ,l 0oonor 0110000 A.t A2 A3 A4 A5' l | 00100100 | | ( 0 1 0 0 0110 1 conA6: 9650983489.3318 Ar : -2885250093.0345Ar : -2148000863.9357 At: -6276407624.4184 Aq: -2148323388.5355 As:2.0595 (1) | 0 0 0 0 1 1 0| 0 5". V, = CRFRUT- vo At ,loouolloI A2 A3 A4 A . H " l 0 0 1 0 0 0 |rI 0 oorroooo I(001 I 00I 00/ conAs : 61027064334.4555 At: -L.8245 A ¡ : - 3 3 . 9 3 0 5 A + : -39688258767 .6687 Az: -13582666169.5563 As: 13584716165.79t7 Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página177 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Aplicación: Submodelo reproductivo del modelo Mariola (t ) I roonlooI 6". Vu = DFRUT = lAo At Az 10r00110 | 10110000 | 00010001 I | [0010001 u A3 A4 As)' ll A o : - 1. 4 1 3 2 A r : 0 . 0 0 5 Az:0.0175 A: : -0.0161 ,A4: -0.0002 As : 1.4215 (r | 10001100 7 ^ . v r r : G E R M : @ oA r A 2 A 3 A 4 ' r )' ll l : : 1 : : i : 00001010 00001000 | [00101100 con ,4.6: 45.4497 Ar : -0.0133 A2:21436656856828.5 As: -0.144616 A.4: -3001T3195995598.25 A,: -2.0866 con lo que quedaterminado el proceso de la codificación. Para la codificación de estas ecuaciones hemos realizado un programa cuyo listado en PASCAL se ofrece a continuación: Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página178 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Aplicación:Submodelo reproductivo del modeloMariola Programa para Ia codificación de las ecuacionesde flujo ^^ji ri ^^ co(-rtlfcar; IJr(Jgrdflr ttqée ^r'F. const AO : uv 0; - ! type tipoA : arraylO..5] of reaf; tipoB : array[1..5] of integer; :arrayt1..5l tipoflu¡o of stringll'l var A:tipoA; B : t ipoB,' ecuacion: tipofluj o; nomecuacion: string [7] ; codigo:string[7]; ; d i ¡ i + ¡ . . ,i, _ n_ + _-aY¡ e r ; c, d, i, j, transformada, funcion, xI,x2: integer; ( * * * * * * * * )k * * * * * * rr * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * n r n ¡v av vd\ ll ur ! v r r begin writeLn ( ' writeln ( ' writefn; writefn ( ' write_l_n ( ' writel_n ( ' writeln ( ' writeln ( ' writeln ( ' writel_n ( ' writefn ( ' writeln ( t writej-n ( ' VARIABLES '); FUNCIONES 0 L 2 3 4 5 6 1 B 9 g o t o x y ( 2 0, I 7 ) ; writel_n('Pulse readl_n; --> f (x):¡3 --) xn2 --> exp (0.1x) --> exp (-0.1x) --> arctg (x) --> cos (x) --> I/x --> sqrt (x) --> ln(x) --> x*y T N T R Op a r a c o n t i n u a r '); 0 --> M 1 --> NHS '); '); 2 --> T ......' ( * * * * * * * * *,k * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * nro¡or]rrro 3 --> pr.il,/Tnn 4 5 6 I B --> --> --> --> --> '); ws TB '); N G E M' ) ; r\. 1t NFLOR'); N F R U T' ) , . '); ); ) ¡]¡1- ¡c. begin g o t o x y ( 2 0, 1 1) ; wr-iteln(' gotoxy (I0, 14) ; writel-n ( ' gotoxy (20,75) ; writel-n ('Introduccién urri ta ) ra l n / r write(tNombre de ]a ,); '); de datos' ) ; ecuaci4n de flujo : '); Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 read]n(nomecuacion); Página179 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Aplicación: Submodeloreproductivodel modelo Mariola write('coeficiente A0 :, ) ;readln(AI0l ) ; for i::1 to 5 do begin gotoxy(1,18); writeln ( ' writeln ( r wri-teln ( t writeln ( ' gotoxy(1,18); writ.e('coeficiente A',i,':') ;readl_n(Atil ) ; :' ) ;readfn(funcion) ; write('funci4n if funcion:9 then begin codigo[0]::'1'; write ('primera variable : , ) ; readln (x1) ; write ('segunda variabl_e : ') ; readln (x2) ; t r a n s f o r m a d a : : 1 O* x I + x 2 ; ^-¡ else begln codigo [0] ::'0' ; :' ) ;readl_n(x1); write('variabl_e trans f ormada : :9 * funcion*xl_ ; anri. BIi]::transformada,. for j ::1 to 7 do codigoIj]::'0'; ^.:Rlri . -7 L¿ l. J ' . repeat d:=c mod 2; if d : 0 then codigo[j]::'0' c.=c ¡ ' ii t ¡ else codisoljl::'1'; ). i.:i-1 ) -, until c<2,. i f t r a n s f o r m a d a : 0 t h e n c o d i g o [ j ] : : r O, e l s e for j ::0 to 7 do ecuacion til Ij I ::codigo Ij ] ; onrl codiso tj I ::' 1' ; . ( * * * * * * * * )k* * * )k* * * * * * * * * * * * * * * * ****.j(* * * * * * * * ) begin ¡1 r<¡- - menu; datos; wri-tel-n('La ecuaciQn de flujo cddigo:') ; writel-n; ',nomecuacion,r Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 tiene el siguiente Página180 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Volver al índice/Tornar a l'índex Aplicación: Submodeloreproductivodel modelo Mariola writefn('matriz de coeficientes :' for i::0 to 5 do wrlteln (Atil ) ; writeln; writefn('matriz de transformadas : writel-n; wrj-tel-n(B0:5); f or i::l- to 5 do begin for j:: 0 to 7 do write (ecuacion til tj I ) ; wrÍteIn; ^ñ^. -^ - ^ I ); '); - ^-! Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página181 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. COI{CLUSIONES Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Conclusiones CONCLUSIOIIBS Hemos elaboradoun estudio sobre Ia modelización de sistemascomplejos desdeel punto de vista de la lingüística matemáúicay lateoríade la codificación. Esto ha sido posible ya que "todos los modelos tienen en común que encierran experiencia y siempre envuelvensignos, señales,sintaxis, semánticay una habilidad para descifrar y obtener resultados", (patten 42). En nuestrametodologíavtilizamos, para modelizarprocesos,un sistemade ecuaciones diferenciales ! ¡ = g ¡(x ¡t,x iz......rxir) i:1,2,....,n llamadas ecuacionesde estado. Sus variables, .x¡1,xi2......2x¡n, llamadas variables de flujo, son, a su vez funciones,F¡,llamadas funciones de flujo, que dependende otras variables x ij = F.j(et, e2,....., e,,) Estas variables, gt,e2,.....,go,, reciben el nombre de funciones transformadas,que se obtienen a partir de unas funciones reales de variable real, elegidas por el modelizador y aplicadas sobre unos determinados atributos mediblesdel sistema. Todas las ecuaciones y funciones que aparecen en el proceso de modelización tiene que ser expresadasmatemáticamentedisponiendo de datos experimentalesde los atributos medibles. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página183 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Conclusiones Para la obtención de las funciones transformadas hemos comenzado definiendo los siguientesconceptos: o t-alfabetode ordeni, i : 1,.....,nde trn p-símbolo o vocabulario de primer orden de un p-símbolo . vocabulario de orden n de n p-símbolos o t-léxico, d-léxico y léxico de un SistemaComplejo. con estos conceptos, hemos sentado las bases para poder construir Gram¿íticasGenerativasde funciones transformadas.Las palabrasde los lenguajes generadospor estasgramáticas son las funciones transformadas. Hemos conseguido que las reglas de las gramáticas cumplan las condiciones necesariasy suficientes para que sean grarnéúicasregulares, ya que así se tiene garantizadoque: o Los lenguajespuedenexpresarsemedianteuna expresiónregular. o Se dispone de un procedimiento que permite la obtención de un reconocedorfinito del lenguaje. ' Se dispone de un modelo de procedimiento para reconocimiento de cadenas. o Pueden ser utilizados para especificar la construcción de analizadores léxicos. o Se pueden traducir de forma sencilla a un código en un lenguaje de programación. Con las funciones transformadasy un conjunto de operadoresaritméticos hemos formado el vocabulario de las Gramáticas Generativasde las Ecuaciones Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página184 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Conclusiones de Flujo. Gramáticas que también son regulares y cuyos lenguajes generan las ecuacionesde flujo. Hemos construido GramáticasRecognoscitivasde ecuacionesde flujo que permiten seleccionar aquellas ecuaciones que el modelizador considera importantes, de acuerdo con ciertos criterios preestablecidosque denominamos criteriosde recognoscibilidad. Finalmente hemos construido Gramáticas Generativas y Recognoscitivas de ecuaciones de estado que nos permiten obtener y seleccionar aquellas ecuacionesde estadoque mejor modelizan los procesos. Como las ecuacionesobtenidas en los procesos de modelización suelen tener expresionesanalíticascomplicadas,hemosideadocódigosque simplificanla escritura de las funciones transformadasy de las ecuacionesde flujo con objeto de paliat en lo posible el problema de su almacenamientoy posterior manipulación. Los estudios realizados han sido aplicados a un caso concreto de modelización matemáticacon las siguientescaracterísticas: o Se han construido únicamente Gramáticas Generativas de funciones transformadasde primer orden. ¡ Se hanutllizado vocabularios de primer y segundoorden. o Las Gramáticas generativas de las ecuaciones de flujo crean ecuaciones de flujo con cinco funciones transformadas y el único operador@ empleadoes la suma. o Se ha seguido el criterio de recognoscibilidad GRFr para la selección de las ecuacionesde fluio. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página185 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Volver al índice/Tornar a l'índex Conclusiones o Para la elaboraciónde las ecuacionesde estado se han sesuido los criterios de recognoscibilidadGRSr y GRS2. o Cada ecuación de flujo se ha codificado en dos anays unidimensionales,uno para los coeficientesy el otro para las funciones transformadas. o Hemos utilizado códigos binarios para las funciones transformadas. Para futuras investigaciones serán esfudiadas nuevas gramáticas recognoscitivasque nos permitan el análisisde las ecuacionesque mejor estudian los procesosfrente a variacionesde los datos. Ser¿ínaplicadaslas diversasgramiíticasestudiadasen estamemoria a casos concretos de modelos de sistemas complejos, comparando los resultados obtenidos. Seránutilizados los códigos parala manipulaciónde ecuacionesobtenidas apartir de pequeñasvariacionesde los datos experimentales Los códigos utilizados abren las puertas a futuras investigaciones en un intento de genenlizar la codificación a todo tipo de ecuaciones,ya que pueden sermuy variadasdebido a los criteriosen los que se baseel modelizador. Asimismo se generalizará computacionalmente la codificación de las ecuacionespara cualquier gr amáticaconsiderada. Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Página186 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. BIBLIOGRAFIA Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999 Sintaxis y codificación en modelos de sistemas complejos. Francisco Vives Macía. Bibliografía BIBLIOGRAFIA (l) ARBIB M.A. Theoriesof abstractautomata. PrenticeHall,l969. 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