ANALISIS MATEMATICO II
INTEGRAL DEFINIDA - 2◦ PARTE
Marı́a Susana Montelar
Facultad de Ciencias Exactas, Ingenierı́a y Agrimensura - UNR
E XTENSI ÓN DEL S ÍMBOLO INTEGRAL
a
Z
Z
b
f (x) dx = −
a<b
b
Z
g(x) dx
a
a
a=b
f (x) dx = 0
a
P ROPIEDADES DE LA I NTEGRAL D EFINIDA
I NTEGRAL DE UNA CONSTANTE . Dado k ∈ R, cualesquiera sean a, b ∈ R,
Z
b
k dx = k(b − a).
a
A DITIVIDAD . Si f y g funciones integrables en [a, b], entonces f + g es integrable en [a, b] y
Z
b
Z
b
(f (x) + g(x)) dx =
a
b
Z
f (x) dx +
a
g(x) dx.
a
H OMOGENEIDAD Si f es una función integrable en [a, b], entonces kf es integrable en [a, b] y
Z
b
Z
b
kf (x) dx = k
a
f (x) dx
a
P ROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
L INEALIDAD Si f y g son funciones integrables en [a, b] y k1 , k2 ∈ R , entonces k1 f + k2 g es
integrable en [a, b] y
b
Z
Z
b
(k1 f (x) + k2 g(x)) dx = k1
a
b
Z
f (x) dx + k2
a
g(x) dx.
a
A DITIVIDAD RESPECTO DEL INTERVALO DE INTEGRACI ÓN
Si f es integrable en [a, b] y [c, d] ⊂ [a, b] entonces f es integrable en [c, d].
Si f es integrable en [a, c] y en [c, b] entonces f es integrable en [a, b].
y en ambos casos,
Z
b
Z
c
f (x) dx =
a
Z
f (x) dx +
a
b
f (x) dx
c
Interpretación geométrica: f continua y no negativa en [a, b].
area(R ∪ S) = area(R) + area(S)
Z
b
Z
c
f (x) dx =
a
Z
f (x) dx +
a
b
f (x) dx
c
a
c
b
O BSERVACIONES
4 Si f y g son funciones integrables en [a, b], entonces
Z
b
Z
b
(f (x) − g(x)) dx =
a
Z
b
f (x) dx −
a
g(x) dx
a
X Todas las propiedades de la integral definida que hemos visto, son válidas si a > b.
4 La propiedad de Aditividad respecto al intervalo de integración es válida independientemente del
orden entre a, b y c
Interpretación geométrica para el caso f continua y no negativa en I, a, b, c ∈ I, c < b < a
area(R ∪ S) = area(R) + area(S)
Z a
Z b
Z a
f (x) dx
f (x) dx +
f (x) dx =
c
Z
b
c
a
b
Z
f (x) dx = −
b
Z
b
c
b
Z
f (x) dx = −
a
Z
f (x) dx
c
−
b
c
f (x) dx =
a
Z
f (x) dx
a
Z
f (x) dx +
a
b
f (x) dx −
c
Z
a
Z
f (x) dx +
b
f (x) dx
c
c
b
a
E JERCICIOS
Aplicar las propiedades de la integral definida, para calcular las siguientes integrales.
2
Z
7 dx = 7(2 − 5) = −21
5
0
Z
(7 − 2x) dx
2
2
Z
|x − 1| dx
−2
−2
Z
1
(x2 − 2x) dx
P ROPIEDADES DE COMPARACI ÓN
Sean f y g funciones integrables en [a, b]
b
Z
1
Si f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b], entonces
f (x) dx ≥ 0
a
Z
2
b
Z
a
3
Si m ≤ f (x) ≤ M para todo x ∈ [a, b], entonces
Z
b
f (x) dx ≤ M (b − a)
m(b − a) ≤
a
4
|f (x)| es integrable en [a, b] y
Z
b
a
Z
f (x) dx ≤
b
|f (x)| dx
a
b
f (x) dx ≤
(Monotonı́a) Si f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b], entonces
f (x) dx
a
T EOREMA DEL VALOR M EDIO DEL C ALCULO I NTEGRAL
Sea f continua en un intervalo I y a, b ∈ I. Entonces existe al menos un c entre a y b, de manera que:
Z
b
f (x) dx = f (c)(b − a)
a
Interpretación Geométrica: f ≥ 0 en I, a < b
R
a
c
b
S recinto de ordenadas de f
R rectángulo de base (b − a) y altura f (c), donde c ∈ [a, b] es tal que
area(S) = area(R)
es decir:
Z
b
f (x) dx = f (c)(b − a)
a
T EOREMA DEL VALOR M EDIO DEL C ALCULO I NTEGRAL
Demostración:
1o caso a < b.- Como f es continua en el intervalo cerrado [a, b], alcanza su máximo y su mı́nimo en
[a, b], es decir, existen α y β en [a, b] tales que, para todo a ∈ [a, b]
f (α) ≤ f (x) ≤ f (β)
Z
b
f (α)(b−a) ≤
f (x) dx ≤ f (β)(b−a)
a
aplicando Prop. de Orden 3
f (α) ≤
se divide por (b − a)
1
b−a
f continua en [a, b], por TVI existe
c ∈ [a, b] tal que
f (c) =
multiplicando por (b − a)
Z
Z
b
f (x) dx ≤ f (β)
a
1
b−a
Z
b
f (x) dx
a
b
f (x) dx = f (c)(b − a)
a
2o caso a > b.Z
b
a
Z
f (x) dx = −
a
b
f (x) dx = −f (c)(a − b) = f (c)(b − a)
|{z}
(∗)
(∗)Aplicando el 1o caso al intervalo [b, a]
3o caso a = b.-
Z
b
a
|
f (x) dx = f (c)(b − a)
|
{z
}
{z
}
=0
=0
T EOREMA F UNDAMENTAL DEL C ALCULO I NTEGRAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO INTEGRAL
Pb. de la recta tangente
Pb. del área
ISAAC BARROW
(1630 - 1677)
DESARROLLO DEL CALCULO INTEGRAL
ISAAC NEWTON (1642-1724)
GOTTFRIED LEIBNIZ (1646-1716)
D EFINICI ÓN : F UNCI ÓN I NTEGRAL
Sea f integrable en [a, b] y c ∈ [a, b] , se llama función integral a: g : [a, b] −→ R tal que
Z x
f (t) dt
g(x) =
c
Observaciones:
la función g está bien definida
Interpretación Gráfica f continua y no negativa en [a, b]
Si c < x < b,
Z x
g(x) =
f (t) dt = area(S)
c
Si a < x < c,
Z x
g(x) =
f (t) dt = −area(R)
c
a
x
c
x
b
Ejemplo : Sea f : [0, 2] → R tal que
f (x) =

 2
si
0≤x≤1
1
si
1<x≤2

x
Z
x
Z
f (t) dt y h(x) =
Se definen las funciones g(x) =
0
g(t) dt
0
Probar que están bien definidad, encontrar la ley, y trazar la gráficas de cada una de ellas. Analizar
continuidad y derivabilidad.
T EOREMA F UNDAMENTAL DEL C ALCULO I NTEGRAL
P RIMERA PARTE - V ERSI ÓN FUERTE
Z
x
Sea f es integrable en [a, b] y g(x) =
f (t) dt. Entonces
a
a) g es continua en [a, b].
b) Si f es continua en [a, b] entonces g es derivable en (a, b) y además para todo x ∈ (a, b)
g 0 (x) = f (x)
P RIMERA PARTE - V ERSI ÓN D ÉBIL
Z
x
Si f es continua en [a, b] y g(x) =
f (t) dt, entonces g es continua en [a, b] y derivable en (a, b)
a
y además para todo x ∈ (a, b)
g 0 (x) = f (x)
S EGUNDA PARTE - R EGLA DE BARROW
Si f es continua en [a, b] y P una primitiva de f en [a, b], entonces
Z
b
f (x) dx = P (b) − P (a).
a
TFCI - P RIMERA PARTE
Z
x
Si f es continua en [a, b] y g(x) =
y además para todo x ∈ (a, b)
f (t) dt, entonces g es continua en [a, b] y derivable en (a, b)
a
g 0 (x) = f (x)
Demostración:
¶ Primero vamos a demostrar que g es una función derivable en (a, b)
Sea x ∈ (a, b) y h 6= 0 tal que x + h ∈ (a, b).
Z x+h
Z x
1
1
g(x + h) − g(x)
f (x)dx −
f (x) =
= (g(x + h) − g(x)) =
h
h
h
a
a
Z x+h
Z a
Z
1
1 x+h
=
f (x)dx +
f (x) =
f (x)dx =
|{z} h
|{z} h x
a
x
(1)
(2)
1
=
f (c)(x + h − x) = f (c).
|{z} h
(3)
(1)y (2) Propiedades de la integral definida.
(3) Como f es continua en (a, b) y x, x + h ∈ (a, b), por el teor. del valor medio del CI, existe c está entre x y
x+h
Demostración (continuación):
g(x + h) − g(x)
= f (c)
Luego:
h
Observemos que |x − c| < |h|, luego c −→ x cuando h −→ 0 y como f es continua en x ∈ (a, b),
lı́m f (c) = f (x).
c→x
Por lo tanto
lı́m
h→0
g(x + h) − g(x)
= lı́m f (c) = f (x)
h→0
h
Luego,
g es derivable en (a, b) y g 0 (x) = f (x) para todo x ∈ (a, b)
· Como g es derivable en (a, b) resulta que g es continua en (a, b), vamos a probar que g es continua
por derecha en x = a y por izquierda en x = b.
Recordemos que lı́mx→a g(x) = g(a) ⇔ lı́mh→0 (g(a + h) − g(a)) = 0
Sea h > 0,
R
g(a + h) − g(a) = aa+h f (x)dx = f (c) · h con c ∈ [a, a + h],
por lo tanto
lı́m (g(a + h) − g(a)) = lı́m f (c) · h = f (x) · 0 = 0
h→0
es decir, g es continua por derecha en x = a.
h→0
Demostración (continuación):
Sea h < 0, g(b + h) − g(b) = · · ·
Ejercicio: completar la demostración del teorema, probando que g es continua por izquierda en x = b.
......................................
Por lo tanto resulta que g es continua en [a, b].
O BSERVACIONES
f es una antiderivada (o primitiva )de g en (a, b). Por lo tanto las funciones continuas en en un
intervalo I admiten primitiva en dicho indervalo.
Z x
d
f (t) dt = f (x) para todo x ∈ (a, b)
dx
a
TFCI - S EGUNDA PARTE - REGLA DE BARROW
Si f es continua en [a, b] y P una primitiva de f en [a, b], entonces
Z b
f (x) dx = P (b) − P (a).
a
Demostración: Por el TFCI-1o , sabemos que la función g(x) =
x
Z
f (t) dt es una primitiva de f en (a, b), y
a
como P es también una primitiva de f en [a, b], aplicando el teorema ......., resulta que existe C ∈ R tal que
∀x ∈ (a, b)
P (x) = g(x) + C,
Si bien esta igualdad es válida en (a, b), las funciones P y g son continuas en [a, b], por lo tanto
P (a) = lı́m P (x) = lı́m (g(x) + C) = g(a) + C
(1)
P (b) = lı́m P (x) = lı́m (g(x) + C) = g(b) + C
(2)
x→a+
x→b−
x→a+
x→b−
Teniendo en cuenta (1) y reemplazando g por su ley, resulta
Z a
f (t) dt + C = C
P (a) =
=⇒ C = P (a)
a
Por lo tanto teniendo en cuenta (2)
Z
P (b) =
b
a
como querı́amos demostrar.
Z
f (t) dt + P (a)
b
f (t) dt = P (b) − P (a)
=⇒
a
O BSERVACIONES
Notación:
Si f es continua en [a, b] y P es una primitiva de f en [a, b]
Z
b
a
b
f (x) dx = P (x) a = P (b) − P (a)
Obviamente esto vale independientemente del orden entre a y b, es decir, si f es continua en un
intervalo I, P es una primitiva de f en I y a, b ∈ I, entonces
Z
b
a
Ejemplos
b
f (x) dx = P (x) a = P (b) − P (a)
REGLA DE SUSTITUCI ÓN PARA INTEGRALES DEFINIDAS
Sea g una función cuya derivada, g 0 , es continua en el intervalo I, y f una función continua en el
intervalo J = g(I). Entonces, cualesquiera sean a, b ∈ J,
Z
b
f (g(x))g 0 (x) dx =
a
Z
g(b)
f (t) dt
g(a)
Demostración Sea P una primitiva de f en J y g(a), g(b) ∈ J, entonces
Z
g(b)
g(a)
g(b)
f (t) dt = P (x) g(a) = P (g(b)) − P (g(a)).
(3)
Por otro lado, P ◦ g es una primitiva de f ◦ g en I, por lo tanto
b
Z
a
De (3) y (4), resulta
Ejemplo
Rb
a
b
f (g(x))g 0 (x) dx = P (g(x)) a = P (g(b)) − P (g(a)).
f (g(x))g 0 (x) dx =
R g(b)
g(a)
f (t) dt como querı́amos demostrar.
(4)
REGLA DE INTEGRACI ÓN POR PARTES PARA INTEGRALES DEFINIDAS
Sean f y g funciones cuyas derivadas son continuas en un intervalo I. Entonces, cualesquiera sean
a, b ∈ I,
Z b
Z b
b
f (x)g 0 (x) dx = f (x)g(x)) a −
f 0 (x)g(x) dx
a
a
Demostración
f g es una primitiva de f g 0 + f 0 g en I, y f g 0 + f 0 g es continua en I, por lo tanto
Z
b
a
b
f (x)g 0 (x) + f 0 (x)g(x) dx = f (x)g(x)) a
Teniendo en cuenta que
Z
b
f (x)g 0 (x) + f 0 (x)g(x) dx =
b
f (x)g 0 (x) dx +
Resulta
Z
b
a
Z
b
f (x)g 0 (x) dx = f (x)g(x)) a −
como querı́amos demostrar.
Z
b
f 0 (x)g(x) dx
a
a
a
Ejemplos
Z
b
a
f 0 (x)g(x) dx