Tema 9. Ondas

Ondas Mecánicas
1. El movimiento ondulatorio.
a. Tipos de ondas.
b. Velocidad de ondas.
2. Descripción matemática de una onda. Función de onda.
a) Pulsos de ondas
b) Ondas armónicas.
3. Energía transportada por una onda.
4. Intensidad de una onda. Absorción.
5. Principio de superposición. Interferencias.
a. Ondas estacionarias.
b. Pulsaciones. Velocidad de grupo.
6. Principio de Huygens. Reflexión, refracción y difracción.
7. Efecto Doppler.
1
1. El movimiento ondulatorio.
Una onda es una perturbación que se propaga, entendiendo por perturbación la
consecuencia de la variación de alguna magnitud física, como por ejemplo: presión,
temperatura, campo eléctrico, etc.
La característica esencial en una movimiento
ondulatorio es que en él se transmite la energía
asociada a la perturbación, pero las partículas
alcanzadas por esa perturbación no se desplazan
sino que vibran alrededor de su posición de
equilibrio reproduciendo la vibración del foco que
causa la perturbación. Es decir, en un movimiento
ondulatorio se transmite energía pero no se
produce transferencia de materia.
Existen diversos tipos de ondas, pero independientemente de su naturaleza u
origen todas presentan un comportamiento muy parecido y admiten un
tratamiento similar. Aunque los aspectos que se estudian en este tema hacen
referencia a las denominadas ondas mecánicas (viajan en un medio material),
muchos de ellos son también aplicables a las ondas electromagnéticas (se
propagan en el vacío).
2
1a. Tipos de Ondas (I)
Las ondas se pueden clasificar atendiendo a diferentes criterios. Por ejemplo,
podemos clasificarlas en función de si necesitan o no un medio material para
propagarse. Así, hablamos de:
• Ondas Mecánicas: son aquellas que necesitan un medio material para
propagarse, como por ejemplo le ocurre al sonido.
• Ondas Electromagnéticas: no necesitan un medio material para su
propagación, es decir, se pueden propagar en el vacío. Es el caso de la luz,
ondas de radio, rayos X, microondas, etc.
Las ondas mecánicas se propagan en un medio material a una velocidad que
depende esencialmente de las características del medio. Sin embargo, las
ondas electromagnéticas viajan a través del vacío con una velocidad de
3·108 m/s, es decir, a la velocidad de la luz que es una constante universal.
3
1a.Tipos de Ondas (II)
Atendiendo a la forma del frente de onda, esto es, el lugar geométrico de los
puntos del medio que poseen idéntico estado de vibración, las ondas se pueden
clasificar en:
• Ondas esféricas: su frente de onda es esférico.
• Ondas planas: su frente de onda es plano.
Frente de
onda
Fuente
Rayo
Frente de onda esférico: es
característico de ondas
originadas por un foco puntual
Frente de onda plano: a distancias muy
grandes de un foco puntual, los frentes de
ondas pueden considerarse prácticamente
planos.
4
1a. Tipos de Ondas (III)
Atendiendo al modo de vibración de las partículas afectadas por la perturbación, las
ondas se pueden clasificar en:
Ondas Transversales: las partículas afectadas por la perturbación vibran en
dirección perpendicular a la dirección en que se propaga la perturbación.
Ondas Longitudinales: las partículas afectadas por la perturbación vibran en la
misma dirección en que se propaga la perturbación.
5
1b. Pulsos y Tren de ondas.
Si producimos una sacudida en el extremo de la cuerda se produce una
perturbación que se propaga a través de la cuerda. Esto es lo que llamamos
un Pulso.
Si, por el contrario, realizamos un Movimiento Armónico Simple con la
mano en el extremo de la cuerda se produce un Tren de Ondas sinusoidal,
de tal forma que cada punto de la cuerda lleva a cabo también el mismo
MAS de la fuente. Así se obtiene una Onda periódica o armónica.
6
1c. Velocidad de propagación o de fase.
Supongamos un pulso transversal producido por una sacudida en un cuerda tensa, como
se representa en la figura.
Si transcurrido un cierto intervalo de tiempo
∆t el pulso se ha desplazado una distancia ∆x,
t=0
se define la velocidad de propagación o
∆x
velocidad de fase como:*
t = ∆t
∆x
vm =
∆t
O, en el límite, es decir, cuando ∆t → 0:
∆x dx
=
∆t →0 ∆t
dt
v = lim
Dos consideraciones a tener en cuenta:
El medio afectado por la perturbación no viaja por el espacio, sino que sus partículas
realizan movimientos alrededor de sus posiciones de equilibrio.
Para producir la perturbación es necesario aportar energía al sistema.
* Téngase en cuenta que la velocidad de propagación NO es la velocidad con que se
mueven las partículas del medio afectado por la perturbación.
7
1c. Velocidad de propagación o de fase.
• Onda transversal en una cuerda:
v =
T
µ
• T
Tensión de la cuerda (N).
• µ
Densidad lineal de masa de la cuerda (kg/m).
• Y
Módulo de elasticidad (Pa).
• ρ
Densidad del material (kg/m3).
• K
Módulo de compresibilidad del gas (Pa).
• ρ
Densidad del gas (kg/m3).
• Onda longitudinal en un barra:
Y
v =
ρ
• Onda longitudinal en un gas:
K
v =
ρ
• Velocidad del sonido (onda longitudinal) en un gas:
γ RT
v =
M
• γ
• T
• M
Módulo de compresibilidad del gas.
Temperatura (K).
Masa molecular del gas.
8
2. Descripción matemática de una onda. Pulsos de onda.
Supongamos un pulso transversal producido por una sacudida en una cuerda tensa.
Supongamos que en el instante t = 0 la forma del pulso viene dada por:
y = f ( x)
Un cierto instante t después, el pulso se ha
alejado, de modo que la función que define la
forma de la cuerda será otra función de x.
Supongamos que el pulso no varía de forma, e
introduzcamos un nuevo sistema de referencia
O´que se desplaza a la misma velocidad que el
pulso. En éste el pulso es estacionario. La forma
de la cuerda es, en todo instante.
y ′ = f ( x′ )
Entre los dos sistemas de referencia podemos establecer las siguientes relaciones:
y = y′
x = x′ + v t
Así pues, el desplazamiento de la cuerda con respecto a O puede
escribirse como:
y = f (x − v t)
Si el pulso viaja hacia la derecha.
y = f (x + v t)
Si el pulso viaja hacia la izquierda.
9
Ecuación diferencial del movimiento ondulatorio (I).
Apliquemos la ecuación fundamental de la dinámica a un trozo de cuerda, ∆x, afectado
por un movimiento ondulatorio. Si la densidad lineal de masa de la cuerda es µ, entonces:
∆m = µ ∆x
La fuerza neta en dirección vertical (eje
y) que actúa sobre la cuerda vale:
∑ F = T senθ
2
− T sen θ1 = T ( sen θ 2 − sen θ1 )
si los ángulos θ1 y θ2 son suficientemente pequeños, podemos aproximar el seno por la
tangente, es decir:
∑ F = T (senθ
2
− sen θ1 ) = T ( tan θ 2 − tan θ1 )
Obsérvese que la tangente del ángulo es la pendiente de la curva formada por la cuerda.
Y la pendiente S es la primera derivada de la función y (x, t) con respecto a x, es decir:
S=
Por tanto:
∂y
= tan θ
∂x
∑ F = T ( S − S ) = T ∆S
2
1
Si aplicamos ahora la ecuación fundamental de la dinámica:
∑
F = ∆m a
10
Ecuación diferencial del movimiento ondulatorio (II).
Se tiene que:
∂2 y
T ∆S = µ ∆x 2
∂t
⇒
∆S
∂2 y
T
=µ 2
∆x
∂t
En el límite, es decir, cuando ∆x → 0, se cumple que:
Por tanto:
∂2 y
∂2 y
T 2 =µ 2
∂x
∂t
⇒
∆S ∂S ∂ ∂y ∂ 2 y
lim
=
=
=
∆x →0 ∆x
∂x ∂x ∂x ∂x 2
∂2 y µ ∂2 y
=
∂x 2 T ∂t 2
Si tenemos en cuenta la ecuación que proporciona la velocidad de propagación de un onda
transversal en una cuerda, es decir:
v=
La ecuación anterior queda como:
T
µ
∂2 y 1 ∂2 y
=
∂x 2 v 2 ∂t 2
Que es la ecuación diferencial de una onda. Aunque esta ecuación se ha obtenido para el
caso particular de una onda en una cuerda, el resultado es completamente general. En
otras palabras, cualquier movimiento cuya ecuación responda al esquema de la ecuación
obtenida es un movimiento ondulatorio.
11
2b. Ondas Armónicas. Parámetros característicos.
• Longitud de onda (λ): distancia entre dos
puntos consecutivos que vibran en fase. Se mide
en metros en el S.I.
• Periodo (T): es el tiempo que tarda la onda en
recorrer una distancia igual a su longitud de
onda. Se mide en segundos en el S.I.
• Frecuencia (f): es el número de oscilaciones por unidad de tiempo que lleva a cabo
cualquier punto afectado por la perturbación. Se mide en Hertzios (o s–1). Es la inversa
del periodo.
f =
1
T
• Velocidad de propagación o de fase (v): rapidez con que se propaga la perturbación. De
las definiciones anteriores de longitud de onda, periodo y frecuencia se tiene que:
v=
λ
T
o bien
v=λ f
• Amplitud (A): valor máximo que adquiere la perturbación. Si se trata de una onda en
una cuerda sería la altura máxima que alcanza cualquier punto de la cuerda. Si se
trata de una onda de presión sería el valor máximo que alcanza dicha magnitud.
12
2b. Función de onda armónica (I).
Si la fuente que origina la perturbación realiza un MAS se produce un tren de ondas
sinusoidales que recibe el nombre de Onda Armónica.
En un instante inicial (t = 0) la ecuación que
describe la forma de la perturbación es:
t=0
y
A
λ
 2π 
y = A sen 
x
λ


x
Al cabo de un tiempo t, si se mueve hacia la
derecha, la ecuación será:
Transcurrido un tiempo t
y
 2π
y = A sen 
( x − v t ) 
 λ

x
Ya que: v =
x t 
y = A sen 2 π  − 
λ T 
λ
T
Tenemos que:
Lo que indica que la función de onda obedece a una doble periodicidad:
a.En el tiempo: para un punto dado (x constante) y es una función explicita del tiempo, y
cada tiempo T se repite la posición y velocidad del punto.
b.En el espacio: en un determinado instante (t constante) y es sólo función de x, por
tanto, todos los puntos separados una distancia λ tienen las mismas condiciones de
movimiento.
13
2b. Función de onda armónica (II).
La función de una onda armónica admite una formulación alternativa haciendo uso de dos
cantidades: el número de onda, K, y la frecuencia angular, ω, relacionadas con la longitud de
onda y el periodo, respectivamente, y que se definen como:
Número de onda
K=
2π
λ
Frecuencia angular
ω=
2π
T
Así, la función de onda adquiere una expresión más concisa, dada por:
y = A sen ( K x − ω t )
Nótese que la ecuación anterior exige que y valga cero cuando x y t sean también cero.
En general, la función de onda se expresará como:
y = A sen ( K x − ω t + φ )
Donde el parámetro ϕ dará cuenta de las condiciones iniciales, esto es, del valor de y
cuando x y t sean cero.
Compruebe que la función de onda armónica que hemos obtenido verifica la ecuación
diferencial del movimiento ondulatorio. Es decir, compruebe que se cumple:
∂2 y 1 ∂2 y
= 2 2
2
∂x
v ∂t
14
3. Energía transportada por una onda.
Para entender de qué factores depende la energía transportada por una onda consideraremos
nuevamente una onda armónica (transversal) generada en una cuerda tensa.
Consideremos un trozo de cuerda de masa ∆m, como este elemento de masa realiza un
MAS, su energía mecánica será igual a su energía cinética máxima.*
∆EM = ( ∆Ec )max =
1
2
∆m umax
2
Podemos obtener la velocidad de vibración, u, del trozo de cuerda derivando con
respecto al tiempo la función de onda, es decir:
u=
Por tanto:
∆E M =
1
∆m A2 ω 2
2
⇒
∂y
= − A ω cos ( K x − ω t )
∂t
{∆m = µ ∆x}
y
⇒
{∆x = v ∆t}
umax = A ω
⇒ ∆E M =
1
µ A2 ω 2 v ∆t
2
La potencia media transmitida por una onda armónica en una cuerda será:
P =
∆EM 1
= µ A2 ω 2 v
∆t
2
Es decir, resulta ser proporcional al cuadrado de la amplitud, al cuadrado de la frecuencia
y a la velocidad de propagación (o de fase) de la onda.
* Es importante distinguir entre la velocidad de vibración de cualquier punto afectado por la
onda, que designaremos con la letra u y la velocidad de fase o de propagación v.
15
4. Intensidad de una onda. Absorción (I).
Cuando un foco puntual emite ondas uniformemente en todas direcciones en un medio
homogéneo e isótropo, la energía a una distancia r del foco estará distribuida uniformemente
sobre una corteza esférica de radio r (superficie 4πr2). Si la potencia emisiva del foco es P,
la potencia por unidad de área a aquella distancia será P/4πr2.
Se llama intensidad de una onda a la potencia media que incide perpendicularmente a la
dirección de propagación (W/m2). Es decir:
I2
I1
r1
Foco
r2
I=
P
P
=
S 4 π r2
En consecuencia, la intensidad de una onda
disminuye en razón inversa al cuadrado de la
distancia al foco emisor.
I1 r22
= 2
I 2 r1
Por otra parte, como la energía es proporcional
al cuadrado de la amplitud, la intensidad
también lo será, luego es fácil entender que se
cumple la relación:
Las amplitudes del movimiento ondulatorio disminuyen en razón inversa
a las distancias al foco emisor. Este efecto sólo tiene lugar en las ondas
esféricas. En las planas I y A permanecen constantes con r.
A1 r2
=
A2 r1
16
Absorción.
Es el fenómeno mediante el cual parte de la energía transportada por una onda se disipa
debido a los rozamientos mecánicos con el medio material por el que se propaga, como
consecuencia el movimiento ondulatorio se amortigua pudiendo llegar a extinguirse.
dx
En el caso de ondas planas puede demostrarse que la pérdida
de intensidad que sufre una onda al atravesar un medio de
espesor dx y de coeficiente de absorción α viene dada por:
I0
−dI = α I dx
I
que conduce a:
x
I = I 0 e −α x
Es decir, la intensidad disminuye exponencialmente al aumentar
el espesor del material.
Esta expresión representa la ley general de la absorción de cualquier fenómeno
ondulatorio en su propagación a través de un medio absorbente.
En las ondas esféricas este efecto de absorción se superpone al decrecimiento natural
de la intensidad en razón inversa al cuadrado de la distancia.
El fenómeno de absorción es selectivo, es decir, depende de la frecuencia pero no de la
naturaleza de la perturbación.
17
5. Principio de superposición. Interferencias (I).
El principio de superposición establece que dos movimiento ondulatorios que se encuentran
en un punto se superponen dando lugar a otro nuevo (la suma algebraica de las ondas
individuales), pero sólo en ese punto, continuando después independientemente el uno del
otro.
Consideremos dos focos puntuales síncronos. Veamos como tiene lugar la interferencia de
ambas ondas en un punto P que dista d1 del primer foco y d2 del segundo.
F1
F2
d1
y1 = A sen ( K d1 − ω t ) 

y2 = A sen ( K d 2 − ω t ) 
P
De acuerdo con el Principio de superposición, el movimiento
resultante en el punto P vendrá dado por:
d2
y = y1 + y2 = A sen ( K d1 − ω t ) + sen ( K d 2 − ω t ) 
Si aplicamos la relación trigonométrica
sen a + sen b = 2sen
a = K d1 − ω t  a + b = K ( d1 + d 2 ) − 2 ω t

a − b = K ( d1 − d 2 )
b = K d2 − ω t 
Se obtiene:
y = 2 A cos
AR
K ( d1 − d 2 )
2
a+b
a−b
cos
2
2
tal que:
 K ( d1 + d 2 )

sen 
−ω t
2


18
5. Principio de superposición. Interferencias (II).
Es decir, AR es la amplitud del movimiento resultante en el punto P, que depende, como era
de esperar de las distancias de ambos focos a dicho punto.
AR = 2 A cos
K ( d1 − d 2 )
2
Esta expresión sugiere que existen dos condiciones límites de interferencias:
oInterferencia destructiva: AR = 0, en cuyo caso:
cos
π
(d − d ) = 0 ⇒
λ 1 2
π
π
( d1 − d 2 ) = ( 2 n + 1)
λ
2
λ
d1 − d 2 = ( 2 n + 1)
2
oInterferencia constructiva: AR = 2 A, en cuyo caso:
cos
π
( d1 − d 2 ) = 1 ⇒
λ
π
( d1 − d 2 ) = n′ π
λ
d1 − d 2 = n′ λ
donde n y n´ son número enteros.
19
5a. Ondas estacionarias (I).
Un caso particular de interferencia es el que se produce cuando superponen dos movimientos
ondulatorios armónicos idénticos, cuando avanzan en igual dirección y sentido contrario. La
onda resultante se llama Onda Estacionaria ya que da la sensación de no moverse en el
sentido de avanzar.
y
y
x
x
De acuerdo con el principio de superposición, tenemos que:
y1 = A sen ( K x − ω t ) 
 ⇒
y2 = A sen ( K x + ω t ) 
De donde se obtiene:
y = y1 + y2 = A sen ( K x − ω t ) + ( K x + ω t ) 
y = 2 A sen K x cos ω t = AR cos ω t
AR
La onda resultante se caracteriza por la existencia de regiones donde alguna característica
(amplitud, presión, etc.) se anula, los NODOS, y otros donde esta característica alcanza un
valor máximo, los VIENTRES de vibración.
20
5a. Ondas estacionarias (II).
V
V
y
Las condiciones que han de cumplir estos puntos
singulares son las siguientes:
AR = 0 ⇒ sen K x = 0
NODOS:
2π x
N
N
N
λ
N
x
= nπ
⇒ x=n
VIENTRES: AR = 2 A ⇒
2π x
λ
V
= ( 2 n′ + 1)
π
λ
2
sen K x = 1
⇒ x = ( 2 n′ + 1)
2
siendo n y n´ número enteros.
λ
4
Es posible también determinar la distancia entre dos nodos o dos vientres consecutivos:
λ
λ
λ
xn +1 − xn =  2 ( n + 1) + 1 − ( 2n + 1) =
4
4 2
O la distancia, d, entre un nodo y el vientre más próximo:
d = ( 2n + 1)
λ
4
−n
λ
2
=
λ
4
Obsérvese que en una onda estacionaria la energía no se transporta a lo largo del medio,
ya que los puntos nodales permanecen en reposo e impiden ese transporte. Los puntos del
medio, excepto los nodos, oscilan alrededor de su posición de equilibrio intercambiando
energía cinética y potencial elástica.
21
Ondas estacionarias en una cuerda fija por ambos extremos.
Cuando las ondas están confinadas en el espacio, como por ejemplo las ondas que se generan
al pulsar una cuerda de una guitarra, las ondas estacionarias se generan por superposición
continua de ondas incidentes y reflejadas en los extremos. La cuerda presenta una serie de
patrones naturales de vibración, denominados MODOS NORMALES, cada uno de ellos con
una frecuencia característica.
Imponiendo a la ecuación de onda estacionaria
las condiciones de x = 0 y x = L para los
diferentes modos normales, se obtiene que las
respectivas longitudes de onda son:
λ1 =
2L
2L
2L
; λ2 =
; λ3 =
; ...
1
2
3
En general, se cumple que:
λn =
2L
n
( n = 1, 2, 3, ...)
Y para las frecuencias de vibración:
fn =
nv
2L
( n = 1, 2, 3, ...)
donde v es la velocidad de propagación
de la onda en la cuerda.
22
5b. Pulsaciones. Velocidad de grupo (I).
Consideremos dos ondas planas que se propagan en la dirección del eje x, en sentido
positivo, con velocidades v1 y v2 y frecuencias f1 y f2 muy próximas entre sí; supongamos,
además, que tienen la misma amplitud y el mismo centro de perturbación. En un punto
situado a una distancia x del foco, la perturbación vendrá dada por:
y1 = A sen ( K1 x − ω1 t ) 
 ⇒
y2 = A sen ( K 2 x − ω2 t ) 
y = y1 + y2 = A sen ( K1 x − ω1 t ) + ( K 2 x − ω2 t ) 
Teniendo en cuenta la relación trigonométrica:
Y llamando:
ω=
ω1 + ω2 
2 

K1 + K 2 
K=
2 
Se obtiene:
Tal que:
∆ω =
sen a + sen b = 2 sen
a+b
a −b
cos
2
2
ω1 − ω2 
2 

K1 − K 2 
∆K =
2 
y = 2 A cos ( ∆K x − ∆ω t ) sen ( K x − ω t )  = AR sen ( K x − ω t )
AR = 2 A cos ( ∆K x − ∆ω t )
Obsérvese que, ya que ω ≈ ω1 ≈ ω2 y K ≈ K1 ≈ K 2 los valores de ∆ω y ∆K son muy
pequeños y, por tanto, la variación que experimenta la amplitud resultante es mucho más
lenta que la de la onda resultante. En definitiva, se ha obtenido un movimiento ondulatorio
de amplitud modulada, que recibe el nombre de pulsación o batido .
23
5b. Pulsaciones. Velocidad de grupo (II).
y
De hecho, la amplitud resultante AR se propaga a
una velocidad dada por:
Ondas Componentes
x
y
x
vg =
∆ω ω1 − ω2
=
∆K K1 − K 2
que recibe el nombre de velocidad de grupo.
Mientras que la onda se propaga a una velocidad
dada por:
v=
Onda Resultante
ω
K
=
ω1 + ω2
K1 + K 2
que es la denominada velocidad de fase.
En otras palabras, la velocidad de grupo es la velocidad con la que se propaga la onda de
amplitud, es decir, la onda envolvente representada en la figura anterior.
La información puede transmitirse mediante ondas (ondas electromagnéticas). Pero una
onda armónica no puede utilizarse para enviar información ya que esta reside en los
cambios de características de la onda de un instante a otro. Con este propósito se
utilizan las denominadas PULSACIONES, que son, como hemos visto, el resultado de la
interferencia de ondas cuyas frecuencias son ligeramente distintas y de la misma
amplitud. En consecuencia, la velocidad de grupo es la velocidad con que se transmite la
señal portadora de la información.
24
6. Principio de Huygens. Reflexión, refracción y difracción.
Huygens (1629 – 1695) enunció que todo punto de un frente de onda se convierte en
emisor de una serie de ondas elementales que se propagan en todas las direcciones. El
nuevo frente de ondas lo constituye la superficie envolvente de las ondas elementales.
A
F
B
C
En la situación que muestra la figura se observan
tres puntos A, B y C localizados en el frente de una
onda producida por un foco emisor F. Cada uno de
estos puntos puede considerarse emisor de una
serie de ondas elementales, de tal forma que la
superficie tangente a ellas constituye el nuevo
frente de onda en una posición determinada.
Nótese que si la onda original tuviese un frente de
onda plano, el nuevo frente de onda también sería
plano.
Utilizando el principio de Huygens pueden explicarse determinados fenómenos
ondulatorios tales como los de difracción, reflexión y refracción.
25
6a. Difracción (I).
Un fenómeno ondulatorio muy característico es el que tiene lugar cuando un tren de ondas
que se propaga encuentra un obstáculo en su camino. El cómo la onda supera dicho
obstáculo depende, lógicamente, del tamaño del obstáculo y de la longitud de onda de la
perturbación. En general, cuando la relación longitud de onda/tamaño del obstáculo es muy
grande la difracción tiene lugar fácilmente. Si esa relación es muy pequeña, la difracción
apenas se presenta.
El caso de la figura muestra una situación en la que el orificio es pequeño y actúa como
una fuente puntual de ondas esféricas.
26
6a. Difracción (II).
En este otro caso la apertura es muy grande en relación a la longitud de onda; las ondas
secundarias de Huygens se destruyen por interferencias y la propagación se realizar casi
sin difracción.
Los estudios cuantitativos de los fenómenos de difracción
relacionan la longitud de onda difractada con el tamaño de la
rendija por el que ha sido difractada. Esto permite calcular las
longitudes de onda en casos en los que son muy difíciles de
medir. De hecho este fue el sistema utilizado por Young para
medir por vez primera las longitudes de onda de diversos
colores.
El procedimiento inverso, es decir, inferir el tamaño y forma
de objetos extremadamente pequeños a partir de las figuras
de difracción que producen, es muy utilizado en el estudio de
los fenómenos atómicos y para el conocimiento de la
estructura interna de la materia. Para conseguir analizar
elementos cada vez más pequeños se necesitan ondas cuya
longitud de onda sea cada vez más pequeña, empleándose la
difracción de Rayos X en lugar de la difracción de la luz
visible.
27
6b. Reflexión y refracción (I).
Cuando una onda llega a la superficie de separación de dos medios parte de la onda pasa al
nuevo medio cambiando su dirección de propagación, es decir, se refracta, y parte
permanece en el mismo medio experimentando un cambio en su dirección de propagación, o
sea, se refleja.
Reflexión: Sea un frente de onda AB que incide en una superficie de separación de dos
medios SS´, al llegar a la superficie, según el principio de Huygens, cada punto de esta
se convierte en un nuevo centro emisor de ondas que se propaga en el mismo medio.
AN
S
N
A
Ya que la onda permanece siempre en el
mismo medio, su velocidad de propagación no
varía, así que: AA´= CB y, por tanto,
B
sen φ =
NN
C
SN
CB
AC
y senφ ′ =
AA′
AC
sen φ = sen φ ′ ⇒ φ = φ ′
Las leyes de la reflexión son las siguientes:
1. El rayo incidente, la normal y el rayo reflejado están en un mismo plano.
2. El ángulo de incidencia y el de reflexión son iguales.
28
6b. Reflexión y refracción (II).
Refracción: supongamos dos medios 1 y 2 cuyas velocidades de propagación sean v1 y v2
tal que v1 > v2. Y consideremos el mismo frente de onda AB de la situación anterior, sólo
que ahora prestaremos atención a la fracción de onda que penetra en el medio 2, sea
A´C el nuevo frente de onda en dicho medio.
B
1
De acuerdo con la figura podemos escribir:
sen φ1 =
S
A
N1
C
N2
SN Ya que:
2
AN
v1 t 
sen φ1 v1
AC 
=
 ⇒
v2 t 
sen φ2 v2
sen φ2 =
AC 
sen φ1 =
BC
AC
y sen φ2 =
AA′ = v2 t
AA′
AC
y BC = v1 t
siendo t el tiempo que tarda la perturbación
en recorrer AA´ o BC. En consecuencia:
⇒ v2 sen φ1 = v1 sen φ2
Las leyes de la refracción son:
1. El rayo incidente, la normal y el rayo refractado están en el mismo plano.
2. Los ángulos de incidencia y de refracción cumplen: v2 sen φ1 = v1 sen φ2
29
7. El efecto Doppler (I).
Es el efecto por el cual un observador detecta un cambio en la frecuencia que
emite un foco cuando entre ambos se produce un movimiento relativo.
Foco emisor en reposo
Foco emisor en movimiento
30
7. El efecto Doppler (II).
Supongamos un foco sonoro F y un receptor R que se mueven a lo largo de una misma línea,
en el sentido positivo del eje x, con velocidades respecto del aire v1 y v2, respectivamente.
Supongamos que el foco emite una señal acústica de frecuencia f, en forma de pulsos
breves separados un tiempo T = 1/f, y que cada pulso viaja a través del aire a la velocidad
c.
v1
v2
Llamemos λ´ a la diferencia
R
P
F 1
t=0
de caminos que separa a
ambos pulsos, es decir:
F
P2
v1
P1
R
v2
8´
v 1T
t=T
O bien:
λ ′ = cT − v1 T = ( c − v1 ) T
λ′ =
cT
c − v1
f
El intervalo de tiempo entre la llegada al receptor de los pulsos P1 y P2 será:
T′ =
λ′
c − v2
=
c − v1
f ( c − v2 )
De donde la frecuencia efectiva, f´, percibida por el receptor podrá escribirse como:
f′= f
c − v2
c − v1
31
7. El efecto Doppler (III).
¿Qué ocurre si el foco es más rápido que la onda?
Un móvil cuya velocidad es mayor que la del sonido
se dice que es “supersónico”. En este caso se
produce un estampido debido a la compresión a que
el móvil somete al aire. En términos coloquiales se
dice que se ha roto la barrera del sonido.
Foco móvil que iguala la
velocidad del sonido
32