Clase 15 Guía del alumno Segundo Medio MAS NEM

Matemática
GUINV005M2-A16V1
Guía: Las fracciones también tienen letras
Matemática - Segundo Medio
Sección 1
Objetivo
Me concentro
• Relacionar las operaciones de fracciones con las
operaciones de fracciones algebraicas.
• Resolver problemas que involucren fracciones algebraicas.
Lee detenidamente el enunciado, luego responde cada una de las preguntas.
En una fracción tanto el numerador como el denominador toman valores numéricos enteros, los cuales pueden ser
iguales o diferentes entre sí. El cero es un valor numérico que generalmente dificulta la comprensión del valor del
cociente en una fracción.
Observa los siguientes ejemplos:
8
5
0
33
15
7
12
0
58
58
¿Cuál de las fracciones representa al cero?
Ordena de mayor a menor los números fraccionarios del ejemplo.
¿Cómo se transforma un número fraccionario
a decimal?
Amplificando.
Simplificando.
Dividiendo numerador por denominador.
Dividiendo denominador por numerador.
15
Plantea una situación problemática con la fracción 7
¿Existe una situación que se pueda plantear usando la fracción
2
Cpech - Nivelación
12
? ¿Cuál? Justifica.
0
Las fracciones también tienen letras
Sección 2
Desarrollo iento
mi conocim
Ejercitando
En una carrera de relevos 4x100 m es importante tanto la
coordinación del equipo, como la rapidez de cada participante.
En un entrenamiento del equipo chileno, se registraron los
siguientes tiempos:
Distancia
Tiempo
100 m
t segundos
Corredor del segundo tramo
100 m
t – 2 segundos
Corredor del tercer tramo
100 m
t + 1 segundos
Corredor del cuarto tramo
100 m
t – 3 segundos
Corredor del primer tramo
La rapidez es el cociente entre la distancia recorrida y el tiempo empleado, entonces, ¿cuál es la expresión que
representa la rapidez lograda por cada corredor?
Rapidez
Corredor del primer tramo
Corredor del segundo tramo
Corredor del tercer tramo
Corredor del cuarto tramo
¿Cuál es el corredor que demoró menos?________________________________________________________________
Ten presente...
x
, con y
y
cociente corresponde al resultado de la división x : y.
Un número fraccionario se expresa de la forma
0. El
Una Fracción algebraica es aquella fracción en que al menos el
denominador es una expresión algebraica.
Ejemplos:
2 , 3 x , a2 + 4a
a+4
2x
a 1
• Recuerda
Que x NO correspon
de a una fracción
4
algebraica, ya que
es equivalente a
0,25x y este es un tér
mino algebraico
con coeficiente fracc
ionario.
Cpech - Nivelación
3
Matemática - Segundo Medio
Ejercitando
x
1. Calcula las fracciones que se generan de 2x + 1 cuando x = 0, 1, 2, 3, 4
2. Determina las restricciones de las siguientes fracciones algebraicas. Observa el ejemplo.
nes que
s o condicio
e
n
io
c
a
it
Lim
situación
n en una
e
c
u
d
ro
p
se
da.
determina
Ejemplo:
a) x
x
x
5
5=0
x=5
Así,
b)
x
x
5
3
restricción de esta fracción
existe para todo valor de x, menos cuando este es 5 (x
x
2x
5).
¿Cómo interpretas la expresión
del paréntesis?
x debe ser mayor a 5.
x debe ser distinto a 5.
x debe ser 5.
c)
a+4
2
d)
x2 9
x+3
e)
4 x
_____
x2 25
Estrategias de resolucion
Restricciones de una fracción:
1. Se identifica el denominador de la fracción, y se
iguala a 0.
2. Se plantea una ecuación.
3. Una vez resuelta, la(s) solución(es) de la ecuación
representa(n) el(los) valor(es) que NO puede tomar
la fracción.
¿Cómo una fracción quedaría indeterminada?
Dejando el numerador y denominador iguales.
Convirtiendo el numerador en 0.
Dejando el denominador con un número distinto a 0.
Convirtiendo el denominador en 0.
4
Cpech - Nivelación
Las fracciones también tienen letras
Ten presente...
AMPLIFICACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Cuando se amplifica una fracción algebraica, se multiplica el numerador y denominador por términos numéricos
y/o algebraicos, por ejemplo:
7
4
28
7
____
____
____
=
·
= 8p 4
2p 1 2p 1 4
o bien
7
7
(p + 1) _______________
7p + 7
____
____
2p 1 = 2p 1 · (p + 1) = 2p2 + 2p p 1
Para simplificar una fracción algebraica, primero debes factorizar cada expresión y luego, anular cada factor
común que encuentres en el numerador y denominador a la vez.
12x 4
8x + 16
=
4 · (3x 1) 1 · (3x 1)
=
8 · (x + 2)
2 · (x + 2)
1 · (x 5)
1
x 5
=
= ____
2
(x + 5)(x 5) x + 5
x 25
Ejercitando
1. Pedro determinó que la expresión
2
x____
9
NO es una fracción algebraica, ya que dice es equivalente a x
x+3
3.
¿Qué procedimiento realizó Pedro?
¿Qué concepto previo deberás utilizar?
Lo que dice Pedro es verdad siempre y cuando x sea distinta de
3, ¿por qué?
Términos semejantes.
Productos notables.
Suma de expresiones algebraicas.
Potencias.
2. Determina la fracción algebraica irreductible en cada uno de los siguientes casos.
2
x 6x + 8
a) __________
4x
b)
3m
_____n
n 3m
16
El binomio (x
expresión:
1), es equivalente con la
(x + 1)
x+1
(1 x)
(1+ x)
Cpech - Nivelación
5
Matemática - Segundo Medio
Ten presente...
Para multiplicar fracciones algebraicas, primero se factorizan los numeradores y denominadores en ambas
fracciones; luego se simplifican por los factores comunes numéricos y/o algebraicos que existan y, finalmente,
se multiplican los términos restantes.
2a
2b
4
·
a2 + 2ab + b2
2(a b) (a +b) (a +b) (a b) (a + b) (a + b)
=
· (a b)(a + b) = 2 · (a b) =
a2 b2
2
2·2
Factorizar
Simplificar
Ejercitando
3a + 6
a2 16
Si los lados de un rectángulo se expresan por ______ cm y ______ cm, ¿cuál es el área de la figura?
a
4
a+2
Ten presente...
Para dividir fracciones algebraicas, es necesario convertirlas a una multiplicación de fracciones. Para esto la
primera fracción se multiplica por el inverso multiplicativo del divisor. Luego se factorizan ambas fracciones y
se simplifican por los factores comunes numéricos y/o algebraicos que existan, y finalmente, se multiplican los
términos restantes.
s2
s
2
1
2s + 1 :
s2 + 2s + 1
s 1
s2
1
s
1
(s
1)(s + 1)
= s2 2s + 1 · (s + 1)(s + 1) = (s 1)(s 1) ·
1 · (s 1)
(s + 1)(s + 1)
1
= s+1
Ejercitando
Simplifica al máximo la siguiente división de fracciones algebraicas.
x2 + 2x 80 __________
x2 4x 32
__________
:
=
x2 36
x2 + 10x + 24
¿Qué interpretas por inverso multiplicativo de
una fracción?
La misma fracción con distinto signo.
x
y
La fracción invertida, es decir, __ => __
y
La fracción que representa al cero.
6
Cpech - Nivelación
x
Las fracciones también tienen letras
Sección 3
Resuelvo
problemas
Resuelve las siguientes situaciones problemáticas, marcando la opción correcta. Cada pregunta tiene
especificado el nivel de complejidad.
1.
2.
3.
3x
La expresión algebraica _____ permite formar fracciones, reemplazando en la variable números
x 6
enteros positivos hasta el 4, ¿qué fracción de las siguientes NO es posible formar?
A.
__3
2
B.
__3
5
C.
__3
1
D.
__3
4
Menor
complejidad
c+5
De la fracción algebraica _____ , ¿cuál es el valor restricción que tiene?
3 2c
A.
c
B.
c
C.
c
D.
c
–5
2
3
0
3
2
b) , con b
_____
Al simplificar la expresión (3
(b 3)
A.
3
B.
1
C.
0
D.
1
Menor
complejidad
3, se obtiene:
Mayor
complejidad
Cpech - Nivelación
7
Matemática - Segundo Medio
4.
x2 16
Al simplificar la fracción ______ , con x
4x 16
A.
B.
5.
6.
4, resulta:
x+4
____
4
x
__
4
C.
x+1
D.
x 4
____
4
Un automóvil recorre una distancia de (x2 6x + 8) metros en (x 4) segundos, considerando x > 4. ¿Qué
expresión representa la rapidez con la que viaja el automóvil?
A.
( 5x) m/s
B.
(x
2) m/s
C.
(x
6) m/s
D.
(x
4) m/s
A.
1
B.
x 2
_____
2
x
+4
_____
4x + 24
C.
D.
8
Mayor
complejidad
Simplifica la expresión resultante de:
2 x
x2 + 3x 10 _____
__________
:
=
2
x + 9x + 20 x + 4
7.
Menor
complejidad
Mayor
complejidad
1
¿Cuál de las siguientes afirmaciones corresponde a una característica propia de las fracciones algebraicas?
A.
Se puede simplificar por términos numéricos.
B.
Se puede amplificar por términos algebraicos.
C.
Tiene valores numéricos restringidos de tomar.
D.
El numerador debe tener términos algebraicos.
Cpech - Nivelación
Mayor
complejidad
Las fracciones también tienen letras
ón 4
Secci
o lo
z
i
t
e
t
Sin dido
apren
Lee detenidamente el enunciado, luego responde las preguntas.
Hay un envase cilíndrico lleno de agua y se trasvasijará el contenido a otros más pequeños, cuya altura es la
tercera parte del de mayor capacidad, asi como el radio es la mitad del que tiene el agua, tal como se muestra en la
r .
h y su radio a __
siguiente imagen. En resumen, la altura del envase pequeño equivale a __
2
3
• Recuerda
El volumen del cil
indro se
calcula de la siguient
e manera:
h
· r2 · h
r: radio
h: altura
r
1
¿Cuál es la expresión que representa la capacidad de cada envase cilíndrico?
Envase grande
2
¿Qué operaciones debes aplicar para calcular la cantidad de envases pequeños que pueden llenarse con el
agua del envase grande? (hazle un ticket).
Amplificación
3
Envase pequeño
Multiplicación
Simplificación
División
¿Cuántos envases pequeños pueden llenarse con el agua del envase grande?
¿Qué parte se te hizo más compleja en
la situación dada?
Cpech - Nivelación
9
Matemática - Segundo Medio
Evalúa tu desempeño
Marca cuánto avanzaste respecto a los contenidos y habilidades desarrollados en esta clase.
Identifico los valores que
indeterminan una fracción
algebraica.
No lo entendí
Lo entendí
Lo entendí y puedo explicarlo
M
Lorem ipsum dolor sit ame IPSU
Simplifico
fracciones
ctetur
adipisicing
t eli
LOREM
tempor
incididu
nt ut labo t,conse
re magna
algebraicas.
, sed do eiusmod
re et dolo
No lo entendí
Lo entendí
Lo entendí y puedo
explicarlo
10
Cpech - Nivelación
Resuelvo problemas que involucran
fracciones algebraicas.
No lo entendí
Lo entendí
Lo entendí y puedo explicarlo
Multiplico y divido fracciones
algebraicas.
LOREM IPSUM
Lorem ipsum dolor sit
t,conse
ame
etur
ct
adipisicing
t, eli
sed do empor
eiusmod
t
incididu
nt ut labo
re et dolo
re magna
No lo entendí
Lo entendí
Lo entendí y puedo explicarlo
Las fracciones también tienen letras
s
Resuelve tu
dudas
Utiliza esta sección de la guía para anotar dudas y resolverlas junto a tu profesor(a).
Cpech - Nivelación
11
Registro de propiedad intelectual de Cpech.
Prohibida su reproducción total o parcial.