μαθηματικά: Lo que hay que aprender. IES Juan de Mairena.

Descripción general del proyecto y las actividades
Nº Proyecto. 44
Título del Proyecto. µαθηµατικά: Lo que hay que aprender
1
Centro educativo solicitante. IES Juan de Mairena
Coordinador/a. José María Vázquez de la Torre Prieto
Temática a la que se acoge. Matemáticas
Objetivos y justificación:
Justificación:
La palabra "matemática" (del griego µαθηµατικά, «cosas que se aprenden») viene del griego
antiguo µάθηµα (máthēma), que quiere decir «campo de estudio o instrucción».
Basándonos en el origen de la palabra matemática, queremos que nuestros alumnos y alumnas
aprendan cómo se trabajan las matemáticas en la antigüedad y con 4 actividades sencillas y
motivadoras puedan explicar a los visitantes el origen y la evolución de las matemáticas.
Objetivos:
- Aprender los sistemas de numeración en la antigüedad, incidiendo en la numeración romana,
viendo las ventajas y dificultades con otras numeraciones y las que se utilizan actualmente.
- Conocer los distintos sistemas de medida que se utilizaban en la antigüedad y compararlos con los
que se utilizan actualmente.
- Descubrir cómo Eratóstenes, midió el radio de la Tierra y creó uno de los calendarios más
avanzados de la época.
- Descubrir la importancia que tuvo la invención del cero y la revolución que supuso en el mundo de
las matemáticas.
Relación de actividades
• Actividad 1. Los números romanos
Interrogante que plantea. ¿Cúando aparecen los primeros registros numéricos?
¿Qué numeración utilizaban los babilonios y los egipcios en la antigüedad?
¿Qué casos conoces donde se utiliza todavía la numeración romana?
Descripción de la actividad. La actividad consiste en dar una visión general de los
diferentes sistemas de numeración desde la antigüedad, centrándonos en el sistema de numeración
romano.
Interacción con el visitante: Con goma EVA, prepararemos diferentes símbolos que se
utilizaban en las numeraciones babilónicas y egipcias.
Construiremos pasatiempos como sudokus y
sopas de letras donde el visitante tendrá que utilizar números romanos para resolverlos.
Por cada actividad superada, regalaremos al visitante una moneda romana que haremos en el
horno del aula de dibujo del instituto. En cada moneda aparecerá el logotipo del instituto y el número
XIV, al ser la XIV Feria de la Ciencia.
Haremos 2 sesiones al día (a las 12:00 y a las 17:00) de bingo romano. Repartiremos entre los
visitantes cartones de bingo donde los números que aparecen están escritos en numeración
romana. Además al cantar los números, se dirán en español y en latín.
A los ganadores de línea y bingo en cada partida, se les entregarán monedas romanas que
después podrán canjear en el stand por regalos que llevaremos.
Con las monedas ganadas, el visitante podrá hacerse una foto vestido de romano, o bien buscar
a sus amigos y hacerse un Photocall.
Material necesario. Goma eva.
Cartulinas.
Cartones de bingo con números romanos y bingo.
Disfraces de romano.
Consideraciones especiales. Un panel donde colgar el sudoku romano. Una sala para
hacer cada una de las sesiones de bingo.
Duración. 15 minutos
2
• Actividad 2. Los sistemas de medida y el número π
Interrogante que plantea. ¿Cómo medían en la antigüedad?
¿Qué tiene que ver el número π con la gran Pi-rámide de Keops?
Descripción de la actividad. En esta actividad se explicará cómo los antiguos egipcios
medían la longitud, la superficie y la capacidad.
Terminaremos descubriendo que encierran las grandes piránides de Egipto y el número π.
Longitud:
Las unidades de longitud empleadas por los antiguos egipcios tenían relación con medidas
corporales.
La unidad principal es el 'codo', que equivale a 52,3 cm. (Al adoptar las mismas unidades para
distintas partes del país, se adoptó llamarlo "codo real")
La primera subunidad del codo es el 'palmo':
1 codo = 7 palmos.
La siguiente subunidad es el 'dedo':
1 palmo = 4 dedos
1 codo = 28 dedos.
Superficie:
El 'setat' es la unidad fundamental de superficie equivalente a un cuadrado de 1 'khet' de lado.
El 'khet' era un múltiplo del codo equivalente a 100 codos reales.
Luego 1 setat = 10.000 codos cuadrados.
El 'setat' equivale aproximadamente a un cuadrado de tierra de unos 52 metros de lado.
El 'codo de tierra', equivale a una franja del 'setat' de 1 'khet' de largo (100 codos) por un codo de
ancho, es decir, 100 codos cuadrados.
Capacidad:
Un 'khar' equivale a 2/3 de codo cúbico, lo que se corresponde con el hecho de que un codo
cúbico fuera igual a un khar y medio.
Si el 'khar' se divide en veinte partes iguales se obtiene otra de las unidades más utilizadas, el
'heqat'.
1 khar = 20 heqat = 200 hin
1 heqat = 10 hin
A pesar de la introducción de otra subunidad del heqat ( el hin, una décima parte del heqat ),
aún se consideraban fracciones más pequeñas, necesarias para la determinación de lo que
correspondía a un trabajador por día por ejemplo. Estas fracciones no se escogían de manera
aleatoria sino de forma que fueran fácilmente operables después. Así se constituyen las fracciones
del tipo 1/2n (1/2 , 1/4 , 1/8 , 1/16 , 1/32 , 1/64) cuyas representaciones jeroglíficas tienen la
particularidad de reunirse de un modo determinado para formar en conjunto la representación del
llamado 'ojo de Horus'.
También existe una fracción aún más pequeña del heqat, en concreto la correspondiente a
1/320 de heqat que, expresado como 'ro', equivale a la cantidad de grano que una persona puede
llevarse a la boca y cuyo símbolo será el utilizado preferentemente al representar las distintas
fracciones.
Hay científicos que han encontrado una teoría que explicaría la misteriosa presencia de π en las
pirámides. Sugieren que la presencia de π en Keops se debe a los métodos de medida usados en
tiempos antiguos, ya que los egipcios median distancias en “codos reales”, que equivalían a 0,523
metros. La base de la pirámide de Keops es exactamente de 440 codos reales de largo, y su altura
de 280 codos.
3
Interacción con el visitante. Mostraremos al visitante diferentes figuras
donde tendrán que medir su longitud y su superficie.
Enseñaremos diferentes instrumentos de medida y explicaremos para qué servían cada uno.
Utilizaremos geoplanos (o tramas de puntos) y los visitantes con la ayuda de gomillas tendrán
que dibujar figuras con la longitud o superficie que digamos, utilizando medidas egipcias.
El visitante construirá una pirámide con cartulina y tendrá que descubrir qué relación tienen sus
medidas con el número π.
Material necesario. Figuras para medir su longitud y su superficie.
Instrumentos de medida antiguos y actuales.
Geoplanos y gomillas.
Tramas de puntos.
Cartulinas.
Consideraciones especiales.
Duración. 20 minutos.
4
• Actividad 3. Cálculo del radio de la Tierra
Interrogante que plantea. ¿Sabes cómo y quién midió por primera vez el radio de la
Tierra?
¿Cómo podemos medir objetos inaccesibles?
Descripción de la actividad. El primer científico que obtuvo la medida del radio de la
Tierra fue Eratóstenes (cerca del año 250 antes de Cristo). Él se dio cuenta de que mientras en la
ciudad de Siena, Egipto (hoy Asuán) el Sol estaba directamente sobre la cabeza del observador en
el mediodía del solsticio de verano, en Alejandría (ciudad ubicada a 5000 estadios = 800 km hacia el
norte de Siena) la sombra de un obelisco formaba un ángulo de 7º 12´ en el mismo instante. ¿Cómo
hizo Eratóstenes con estos datos para calcular el radio de la Tierra?
Veamos:
- Si en Siena el sol está justo sobre la cabeza del observador, entonces un obelisco en esta
ciudad no hace sombra en ese instante.
- Al mismo tiempo, en Alejandría los rayos del sol forman un ángulo α = 7º 12' con la vertical.
Este dato se obtiene midiendo la sombra del obelisco (el obelisco forma un ángulo de 90º con su
sombra en el suelo):
tg(α) = longitud de la sombra / altura del obelisco, donde tg(α) es la tangente del ángulo α.
- Entre Siena (Asuán) y Alejandría hay aproximadamente 800 kilómetros.
Nota: Originalmente Eratóstenes midió esta distancia usando el estadio egipcio como unidad (1
estadio = 185 metros), sin embargo, la longitud del estadio olímpico griego (estadio ático) es de 192
metros, por lo que existe cierta controversia sobre el valor realmente empleado y la exactitud del
resultado obtenido.
- Con estos datos y usando las herramientas trigonométricas ya estamos en condiciones de
calcular el radio de la Tierra.
Trigonometría: La longitud de un arco sobre una circunferencia determinado por un ángulo θ,
es igual al radio de la circunferencia multiplicado por el valor de θ expresado en radianes.
longitud de arco = Radio * θ (rad)
Luego Radio de la Tierra = Distancia entre Siena y Alejandría/α(rad)=800 km/ 7º 12' · π rad/180º
También trabajaremos con diferentes calendarios y su relación con las matemáticas.
Interacción con el visitante. A partir de la explicación del cálculo del radio terrestre, el
visitante comprobará lo que hizo Eratóstenes con una maqueta que llevaremos construida.
También mostraremos ejemplos de calendarios que se utilizaban en la antigüedad: griego,
romano, juliano, gregoriano,... y el visitante tendrá que averiguar qué día de la semana era una
fecha concreta que le propondremos, bien del pasado o del futuro.
Material necesario. Una maqueta.
Instrumentos de medida.
Diferentes calendarios.
Consideraciones especiales.
Duración. 15 minutos.
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• Actividad 4. La revolución del cero
Interrogante que plantea. ¿Cuándo apareció el cero?
¿Qué supuso este invento para las matemáticas?
Descripción de la actividad. El concepto del 0 surgió de dos civilizaciones de forma
independiente. En Mesoamérica (Olmecas y Mayas, tras los cuales ese conocimiento fue olvidado)
y, de forma independiente, en Mesopotamia. Posteriormente fue introducido a la Península Ibérica
mediante los Árabes.
Sus motivaciones fueron diferentes: en Mesopotamia la necesidad surgió para su aplicación a la
contabilidad (300-400 a.c.). Su sistema de numeración era una combinación del decimal y el
sexagesimal. Es decir, de 1 a 60 de forma sexagesimal y de ahí en adelante de forma decimal. El
sistema era posicional, por lo que el uso que daban al 0 era para denotar la posición (diferenciando
números como 101 de 11), siendo representado por dos espigas inclinadas.
Sin embargo, en Mesoamérica su aplicación no fue sólamente posicional, ya que el 0 fue
utilizado en su sistema de numeración para una aplicación concreta como la de medir el tiempo (año
665).
Su sistema de numeración estaba en base 20, utilizando la base 5 como auxiliar.
El concepto del 0 tendría el primer contacto con occidente tras la conquista de Babilonia por
parte de Alejandro Magno en el siglo III a.c. Sin embargo a la vez que fue olvidado en occidente fue
impulsado en la India, y no llegó a Europa definitivamente hasta que en el siglo IX los árabes, tras
contactar con los indios, llegaron no sólo con el concepto del 0, sino también con las cifras para
representar los numerales en un sistema decimal.
Interacción con el visitante. Mediante juegos y paradojas, haremos que el visitante vea
la importancia que tiene el número cero.
Plantearemos problemas donde el visitante tendrá que descubrir dónde ha cometido el error en
igualdades, que tras hacer una serie de operaciones se llega a resultados como 2=3.
Esto es debido a que en algún momento se divide por una expresión que es igual a cero, lo
cual no se puede hacer.
También mostraremos trucos de magia matemática utilizando el cero.
Material necesario. Fichas con expresiones matemáticas.
Cartulinas.
Consideraciones especiales. Nada.
Duración. 15 minutos.
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