Campos eléctricos y magnéticos

Determinación de campos eléctricos y magnéticos
• Medida de superficies equipotenciales y determinación de campo eléctrico
Introducción teórica
Entre las armaduras de un condensador ideal de láminas planoparalelas indefinidas, se cumple que:
Dicho campo es uniforme y perpendicular a los conductores, donde d es la distancia entre armaduras y
la diferencia de potencial entre las mismas. Con placas finitas es aproximadamente cierto en puntos alejados
de los bordes.
Si nos encontramos con geometría cilíndrica, el potencial varía radialmente en forma logarítmica:
donde C y K son constantes que dependen de la referencia de potencial escogida y de la carga de los
conductores, y r es la distancia al eje del sistema.
Modo operativo
Disponemos de una hoja de papel carbón sobre la que hay dibujados con pintura conductora (plata) dos líneas
formando el condensador plano y tres círculos concéntricos formando el sistema de simetría cilíndrica, de un
polímetro y de una fuente de alimentación (con 12, 0 y −12V).
Para realizar la parte del condensador paralelo conectamos una placa a 0V y la otra a 12V y anotamos las
superficies equipotenciales poniendo el terminal negro del polímetro en 0V y buscando con el terminal rojo
los puntos de igual potencial.
2.0V ±0.1
x (m)
y(m)
±10−3
±10−3
0.002
−1.00
0.010
0.025
0.010
0.050
0.010
0.075
0.010
0.100
0.010
0.125
0.010
0.150
0.010
0.175
0.010
0.200
0.010
0.225
0.050
0.235
4.0V±0.1
x(m)
±10−3
0.017
0.020
0.020
0.020
0.020
0.020
0.020
0.020
0.020
0.019
0.018
y(m)
±10−3
−1.000
0.025
0.050
0.075
0.100
0.125
0.150
0.175
0.200
0.225
0.235
6.0V±0.1
x(m)
±10−3
0.031
0.031
0.031
0.030
0.030
0.030
0.030
0.029
0.030
0.029
0.030
8.0V±0.1
y(m)
±10−3
−1.000
0.025
0.050
0.075
0.100
0.125
0.150
0.175
0.200
0.225
0.235
x(m)±10−3
0.045
0.042
0.042
0.041
0.041
0.040
0.040
0.039
0.040
0.040
0.042
y(m)
±10−3
−1.000
0.025
0.050
0.075
0.100
0.125
0.150
0.175
0.200
0.225
0.235
10.0V±0.1
x(m)
y (m)
±10−3
±10−3
0.058
−1.000
0.051
0.025
0.051
0.050
0.051
0.075
0.051
0.100
0.050
0.125
0.050
0.150
0.050
0.175
0.050
0.200
0.052
0.225
0.058
0.235
1
TABLA 1: potencial según las coordenadas.
El campo eléctrico en la zona central del sistema es uniforme, ya que lo implica la ecuación de la introducción
teórica, pero cuanto más nos acercamos a los bordes se deja de cumplir debido a la curvatura que adquiere el
campo. En el exterior, a los lados de los conductores, el campo es prácticamente nulo.
A continuación conectamos los tres conductores de simetría cilíndrica a −12V (central), 0V (intermedio) y
12V (exterior), y buscamos las superficies equipotenciales.
Potencial (V)±0.1
−10.0
−8.0
−6.0
−4.0
−2.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
Radio (m)±10−3
0.012
0.016
0.020
0.025
0.032
0.056
0.062
0.067
0.074
0.082
TABLA 2: potenciales en función del radio.
Vamos a demostrar que se cumple la ecuación de la introducción teórica, V(r)=C+K·ln(r) mediante un ajuste a
una recta en la que la constante K actuará de pendiente, y C de punto de corte con el eje de ordenadas.
Primeramente vamos a hallar K para la superficie entre el conductor central y el intermedio. Para ello hemos
elaborado una tabla de operaciones:
2
(
−19.58
)²
383.3764
−30
122.3
77.2574
587.4
TABLA 3: operaciones.
Para hallar la pendiente y el punto de corte con el eje de ordenadas nos valemos de las siguientes fórmulas:
con
de donde obtenemos el valor de la pendiente como 8.28 V·m−1 y el del punto de corte con el eje de ordenadas
como 26.42 V. Pero estos datos llevan error que lo obtenemos mediante:
y
donde
y
Por lo que nos queda la constante K definida de la siguiente manera:
K=8.28±0.22 V·m−1
3
A continuación vamos a hallar la K para la superficie que hay entre el conductor intermedio y el exterior.
(
−13.46
)²
181.1716
30
−78.88
36.32
−403.8
TABLA 4: operaciones.
Para hallar la pendiente y el punto de corte con el eje de ordenadas nos valemos de las siguientes fórmulas:
con
de donde obtenemos el valor de pendiente como 21.25 V·m−1 y el del punto de corte como 63.19 V. Los
errores los hallamos mediante:
y
donde
y
Por lo que nos queda la constante K:
K=21.25±0.46 V·m−1
Vamos a representar gráficamente el campo eléctrico en cada región en función de r. Para ello nos valemos de
que
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A continuación vamos a actuar de igual manera conectando las superficies conductoras a 0/−12/+12 V.
Hemos obtenido los siguientes datos:
Potencial (V) ±0.1
−10.0
−8.0
−6.0
−4.0
−2.0
−10.0
−8.0
−6.0
−4.0
−2.0
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
Radio (m) ±0.001
0.032
0.025
0.020
0.016
0.012
0.053
0.056
0.059
0.061
0.064
0.068
0.070
0.074
0.077
0.081
0.086
TABLA 5: datos obtenidos.
De nuevo vamos a demostrar que se cumple la ecuación de la introducción teórica, V(r)=C+K·ln(r) mediante
un ajuste a una recta en la que la constante K actuará de pendiente, y C de punto de corte con el eje de
ordenadas. Primeramente vamos a hallar K para la superficie entre el conductor central y el intermedio. Para
ello hemos elaborado una tabla de operaciones:
5
(
−19.58
)²
383.3764
−30
112.66
77.2574
587.4
TABLA 6: operaciones.
Para hallar la pendiente y el punto de corte con el eje de ordenadas nos valemos de las siguientes fórmulas:
con
de donde obtenemos el valor de la pendiente como −8.28 V·m−1 y el del punto de corte con el eje de
ordenadas como −38.42 V. Pero estos datos llevan error que lo obtenemos mediante:
y
donde
y
Por lo que nos queda la constante K definida de la siguiente manera:
K=8.28±0.22 V·m−1
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Ahora vamos a hacer lo mismo con la superficie que se encuentra entre el conductor intermedio y el exterior.
Para ello hemos elaborado la siguiente tabla de operaciones:
(
−29.62
)²
877.3444
0
10.32
86.5546
0
TABLA 7: operaciones.
Para hallar la pendiente y el punto de corte con el eje de ordenadas nos valemos de las siguientes fórmulas:
con
de donde obtenemos el valor de la pendiente como 42.57 V·m−1 y el del punto de corte con el eje de
ordenadas como 114.63 V. Pero estos datos llevan error que lo obtenemos mediante:
y
donde
y
7
Por lo que nos queda la constante K definida de la siguiente manera:
K=42.57±0.10 V·m−1
Vamos a representar gráficamente el campo eléctrico en cada región en función de r. Para ello nos valemos de
que
Discusión:
Respecto a la parte del condensador paralelo habría que destacar que las superficies equipotenciales obtenidas
son bastante buenas, aunque haya desviación en algún punto. Para determinar los potenciales hemos tomado
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como 0 la cara interna del conductor de la izquierda por su base.
Para la parte de los conductores cilíndricos nos ha llamado la atención que las pendientes de la superficie que
se encuentra entre los conductores central e intermedio de −12/0/+12 y la que se encuentra entre los
conductores central e intermedio de 0/−12/+12 son de signo contrario. Esto se debe a que la diferencia de
potencial es igual pero de signo contrario, y los radios son iguales. Como esta pendiente sólo depende de estos
dos factores es lógico que sean iguales de módulo y dirección, pero de sentido contrario.
Los campos obtenidos tienen carácter hiperbólico, esto se debe a que dicho campo depende de la derivada del
potencial, y éste tiene carácter logarítmico (neperiano), por lo que el campo lo tiene hiperbólico.
Las constantes obtenidas en los ajustes de las rectas (K y C) son bastante precisas ya que los errores son muy
pequeños. Además creemos que son muy exactas ya que se nos cumple la ecuación de la introducción teórica
sin ningún tipo de problemas.
Para los dibujos, en el caso del conductor planoparalelo no hemos utilizado ningún tipo de escala ya que cabía
en el papel milimetrado; en el caso de los conductores cilíndricos hemos utilizado una escala 1:2 (cm) debido
a que de otra manera no entraba en el papel milimetrado.
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10
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12