PDF - Escuela Colombiana de Ingeniería

ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA
CÁLCULO VECTORIAL
ASIGNATURA:
DEPARTAMENTO:
MATEMÁTICAS
PLANES DE ESTUDIO:
CÓDIGO:
Mnemónico CALV
Numérico
1. OBJETIVOS
GENERALES






Estudiar los conceptos de derivada e integral definida, de funciones de dos o más
variables, y las técnicas propias del Cálculo Vectorial que se requerirán en la
solución de problemas en áreas diversas como Física e Ingeniería.
Desarrollar en el estudiante la habilidad para aplicar el Teorema Fundamental del
Cálculo en el cálculo de integrales de campos vectoriales.
Desarrollar en el estudiante un pensamiento matemático, en el que vayan a la
par la comprensión clara de los diferentes conceptos y una experiencia
importante en la modelación y resolución de problemas utilizando las técnicas
estudiadas en el curso.
Involucrar al estudiante de manera activa en el proceso de aprendizaje mediante
lecturas previas de los diferentes temas a tratar y mediante la asignación de
problemas que deben ser sustentados en el aula.
Propiciar que el estudiante aprenda a trabajar adecuadamente en grupo y
también de manera individual.
Posibilitar que el estudiante aprenda a usar eficientemente las herramientas
tecnológicas a su alcance, en la solución de los problemas.
2. JUSTIFICACIÓN
Los modelos del Cálculo Integral y Diferencial, en los que se contemplan funciones
reales de variable real son muy útiles en la solución de problemas de las ciencias y
de la ingeniería. Sin embargo, estos modelos se quedan cortos al no considerar
otro tipo de funciones que son necesarias para la modelación de problemas propios
de la cinemática, la dinámica, la termodinámica, el electromagnetismo, la
optimización, entre otros. Es así, como en el curso de Cálculo Vectorial se aborda
el estudio de funciones vectoriales, funciones escalares de varias variables y
campos vectoriales que es necesario para resolver muchos de los problemas
mencionados antes.
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3. REQUISITOS ACADÉMICOS:
4. CRÉDITOS ACADÉMICOS:
INTENSIDAD SEMANAL
(CAL2 ó CALI ó CIED) y ALLI
4
Teórica
Práctica
Independiente
Total de horas/semana
3.0
3.0
6.0
12.0
5. BIBLIOGRAFÍA
Texto principal:
Stewart J. (2012). Cálculo de varias variables: Trascendentes tempranas. Séptima
edición. Cengage Learning. ISBN: 978607481785-0.
Otras referencias:
1. Apóstol, T. (19739. Calculus: cálculo con funciones de una variable y varias
variables, Segunda Edición. Barcelona: Editorial Reverté S.A.
2. Edwards y Penney. (2001). Cálculo, con geometría analítica. Cuarta edición.
México: Prentice Hall, Pearson Educación.
3. Larson, R., Hostetler, R. y Edwards, B. (2006). Cálculo II. Octava edición.
McGraw Hill.
4. Leithold, L. (1998). Cálculo con geometría analítica. Séptima edición. México:
Editorial Harla.
5. Marsden J. y Tromba A. Cálculo vectorial. Quinta edición, Editorial Addison
Wesley.
6. Purcell, Varberg y Rigdon. (2001). Cálculo. Octava edición. México: Prentice
Hall, Pearson Educación.
7. Simmons G. (2002). Cálculo con geometría analítica. Segunda edición. España:
Editorial McGraw Hill.
8. Spivak, Michael. (1975). Calculus. Cálculo infinitesimal. Barcelona: Editorial
Reverté S.A.
9. Stewart, J. (1999). Cálculo. Conceptos y contextos. México: Thomson Editores.
10. Thomas, G. y Finney, R. (1999). Cálculo con geometría analítica. Novena
edición. Addison Wesley.
6. CONTENIDO PROGRAMÁTICO RESUMIDO
Funciones vectoriales, geometría de curvas y movimiento en el espacio. Campos
escalares, derivadas parciales, diferenciales, optimización, multiplicadores de
Lagrange. Sistemas de coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas.
Integrales múltiples y cambio de variable. Campos vectoriales, flujo y trabajo,
teoremas de Green, Stokes y Divergencia.
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7. CONTENIDO PROGRAMÁTICO DETALLADO
1. Funciones vectoriales
Objetivos:
 Dibujar superficies cilíndricas y cuadráticas a partir de las ecuaciones.
 Representar lugares geométricos mediante ecuaciones o inecuaciones en
coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas.
 Derivar e integrar funciones vectoriales y calcular longitudes de arco.
 Determinar los vectores T, N, B y la curvatura, a partir de la parametrización
de la curva.
 Determinar los vectores posición, velocidad y aceleración a partir de alguno
de ellos y con las condiciones correspondientes.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
Cilindros y superficies cuadráticas.
Coordenadas cilíndricas y esféricas.
Funciones vectoriales y parametrización de curvas.
Derivadas e integrales de una función vectorial.
Geometría de las curvas: vector tangente unitario (T), vector normal
unitario (N), vector binormal (B), curvatura, plano osculador y
circunferencia osculatriz, longitud de arco.
1.6. Movimiento en el espacio: posición, velocidad, aceleración, aceleración
normal y aceleración tangencial.
2. Campos escalares
Objetivos:
 Determinar las ecuaciones del plano osculador, el plano normal y la recta
tangente en un punto de una curva.
 Resolver problemas relacionados con movimiento en el espacio, a partir de los
conceptos y técnicas estudiados.
 Determinar el dominio, el rango y hacer un bosquejo de la gráfica (a partir de
las curvas de nivel) de una función escalar en dos variables independientes.
 Determinar derivadas parciales de cualquier orden y derivadas direccionales,
aplicar la Regla de la Cadena y la derivación implícita.
 Resolver problemas de aplicación usando diferenciales y aproximación lineal.
 Resolver problemas de optimización de funciones de dos variables, aplicando
los criterios de segundo orden estudiados y/o los multiplicadores de
Lagrange.
2.1. Dominio, rango y gráfica.
2.2. Gráficas de ecuaciones de la forma z=f(x,y).
2.3. Conjuntos de nivel.
2.4. Derivadas parciales.
2.5. Regla de la cadena, razón de cambio y derivación implícita.
2.6. Derivada direccional, gradiente, planos tangentes y rectas normales.
2.7. Puntos críticos.
2.8. Derivadas parciales de segundo orden y extremos relativos.
2.9. Criterios de optimización para funciones de dos variables.
2.10. Multiplicadores de Lagrange.
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3. Integrales múltiples
Objetivos:
 Calcular integrales dobles y triples.
 Usar en forma conveniente las coordenadas cilíndricas, esféricas o el cambio
de variables en el cálculo de integrales.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
La integral doble sobre un rectángulo, Teorema de Fubini.
Integral doble sobre una región general.
Integrales dobles en coordenadas polares.
Aplicación de las integrales dobles: área de una región plana, volumen de
un sólido, centros de masa y momentos de inercia de láminas planas y
áreas de superficies.
3.5. Integral triple sobre un paralelepípedo recto, Teorema de Fubini
3.6. Integral triple sobre una región (sólida) general.
3.7. Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas.
3.8. Cambio de variables en integrales dobles y triples (Jacobiano)
3.9. Aplicación de las integrales triples: volúmenes de sólidos, centros de masa
y momentos de inercia para sólidos.
4. Campos Vectoriales
Objetivos:
 Calcular integrales de línea e integrales de superficie.
 Parametrizar curvas y superficies.
 Reconocer un campo conservativo y determinar su potencial.
 Resolver problemas de aplicación relacionados con áreas de superficies,
longitudes de curvas, centros de masa y momentos de inercia de alambres
delgados y superficies, cálculo de flujo de un campo vectorial sobre una
curva y a través de una superficie.
 Aplicar los teoremas de Green, Stokes y Divergencia en el cálculo de
integrales de campos vectoriales.
4.1. Campos vectoriales.
4.2. Integrales de línea.
4.3. Campos vectoriales conservativos y Teorema Fundamental de las integrales
de línea.
4.4. El teorema de Green.
4.5. Aplicaciones de las integrales de línea: flujo, circulación, trabajo, centros de
masa y momentos de inercia de alambres delgados.
4.6. Divergencia y rotacional.
4.7. Parametrización de superficies.
4.8. Integrales de superficie.
4.9. Aplicaciones de las integrales de superficie: área, centro de masa y
momentos de inercia de superficies en el espacio, flujos.
4.10. El teorema de la divergencia.
4.11. El teorema de Stokes.
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8. METODOLOGÍA
Un estudiante de la Escuela debe estar en permanente búsqueda del
perfeccionamiento en su formación académica, ser un apasionado por el
conocimiento, buscar constantemente la excelencia y su independencia intelectual.
El estudiante entonces será el principal responsable de su aprendizaje.
De acuerdo con estas características, la metodología de los cursos de matemáticas
busca involucrar al estudiante de manera activa en el proceso de aprendizaje
mediante lecturas previas a los diferentes temas a tratar y la asignación de
problemas que deben ser discutidos en el aula.
Se privilegia una metodología que propicie el dominio adecuado de los conceptos
matemáticos estudiados y el desarrollo tanto de habilidades de pensamiento como
de competencias para la resolución de problemas. Así mismo, debe permitir la
incorporación del uso de la tecnología computacional al currículo de matemáticas,
para facilitar los procesos de comprensión y representación de los temas
matemáticos, y para potenciar el desarrollo de algunas habilidades cognitivas.
Teniendo en cuenta las características del grupo se da inicio al curso desde lo que
los estudiantes conocen, con el fin de facilitarles la conexión de los nuevos
conocimientos con los previos. Simultáneamente a lo largo del mismo se evalúa
permanentemente el desempeño del estudiante con el fin de tomar las decisiones
pertinentes para el buen desarrollo del curso.
Dentro de las actividades didácticas desarrolladas en los cursos se incluyen los
talleres y/o laboratorios (cursos de Cálculo diferencial e integral). Los primeros van
dirigidos a la práctica y refuerzo de los temas vistos en las sesiones teóricas y se
desarrollan completamente en el aula con la guía del profesor. Los segundos
apuntan al desarrollo de habilidades en la modelación, resolución de problemas,
trabajo en equipo y presentación de informes, una parte del trabajo se realiza en el
aula con la guía del profesor y otra de manera independiente.
9. EVALUACIÓN
La gestión universitaria en la Escuela está enmarcada por la evaluación continua de
sus actividades y es de acuerdo con los Lineamientos Curriculares integral,
coherente, flexible e interpretativa.
La evaluación del desempeño de los estudiantes es un proceso permanente que
valora el cumplimiento de los objetivos propuestos y los compromisos adquiridos
en cada asignatura.
Se tienen en cuenta tres tipos de evaluación del aprendizaje de los estudiantes: la
sumativa de los avances en el aprendizaje, la del proceso para reflexionar sobre la
marcha del proceso educativo y el cumplimiento de las responsabilidades
asumidas, y la comprensiva para valorar la calidad del trabajo realizado por el
estudiante al finalizar el curso.
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10. VIGENCIA Y MODIFICACIONES
Contenidos vigentes desde:
01/04/2002
Contenidos vigentes hasta:
Nueva
actualización
Última fecha de actualización:
01/08/2014
Penúltima fecha de actualización:
20/11/2008
Aprobado:
JUAN MANUEL SARMIENTO PULIDO
Firma:
6/6