CAPITULO 0
HISTORIA DEL ALGEBRA
Naturaleza del Álgebra
Para poder situamos en el comienzo de la historia del álgebra necesitamos considerar antes
el significado del término. Si por álgebra entendemos la ciencia que permite resolver la
ecuación ax2 +bx+c=0 expresada en estos términos simbólicos, entonces su historia comienza
en el siglo XVII. Ahora bien, si aceptamos como álgebra la resolución de la ecuación dada,
utilizando métodos geométricos y omitiendo todo símbolo algebraico de cualquier especie,
estaremos refiriendo el inicio de su historia al establecimiento de la escuela de Alejandría o un
poco antes (siglo IV a. C.). Por último, si podemos clasificar como álgebra el planteamiento y
resolución de problemas que hoy día se resuelven por métodos algebraicos, entonces el
comienzo del álgebra y de su historia puede remontarse hasta el año 1800 a. C., o antes todavía.
NESSELMANN (1842) propuso una división de la historia del álgebra en tres períodos,
tomando como criterio la forma de lenguaje utilizada para expresar los conceptos y los
desarrollos algebraicos. Estos períodos pueden denominarse:
Retórico: Todo aparece escrito completamente en palabras del leguaje comente.
Sincopado: Los autores utilizan abreviaturas, este período se inicia con la obra de
DIOFANTO (c. 275)
Simbólico: Las abreviaturas dan lugar a los símbolos convencionales actuales, pudiéndose
escribir proposiciones tales como:
x − x2 = a
2
3
. Este período se inicia con VIETA (c.
1590) y se consolida con DESCARTES (1637) y WALLIS (1693).
También debe hacerse notar que muchos de los primitivos autores matemáticos no griegos
5
incluyen en sus trabajos una amplia variedad de tópicos. Por ejemplo, AHMES (c. 1550 a. C.)
combina su álgebra con aritmética y medición, e incluso muestra alguna evidencia de un débil
comienzo de trigonometría. No existe un tratado exclusivo de álgebra antes de la época de
DIOFANTO (c. 275).
El Álgebra en Babilonia
(Abajo: Tablilla babilonia con escritura con caracteres cuneiforme de unos 4000 años de antigüedad:
en ella se reflejan una serie de anotaciones contables en sistema de numeración sexagesimal)
Los vestigios de la cultura matemática de Babilonia, muchos
de ellos plasmados en tablillas de arcilla, revelan el uso de un sistema
de numeración expresado en caracteres cuneiformes, y de base
posicional sexagesimal. Entre otros logros (consideración y cálculo
de p, cálculo de
2 hasta con 6 decimales exactos, conocimiento y manejo de la relación
pitagórica entre los elementos de un triángulo rectángulo,...) cabe destacar en el terreno del
álgebra la resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas, éstas últimas se resuelven por
métodos geométricos, utilizando técnicas de completación de cuadrados. Es de hacer notar que
algunos de éstos resultados se ubican históricamente en el año 2000 a. C.
Aparte de la astronomía, las matemáticas son quizá la rama del pensamiento humano más
antigua y con más persistencia cultivada.
El desarrollo de las matemáticas es acumulativo,
esto es, las creaciones más recientes se fundan, lógicamente
hablando, en las anteriores.
A la izquierda: Entre los babilonios ya se empleaba el sistema de préstamo
llamado interés variable, como lo prueban las anotaciones encontradas en la tablilla
de la ilustración que data del siglo XVII a.C.
El término Babilónico abarca la sucesión de culturas que
6
florecieron en la región del actual Irak, es decir, los estados situados entre los ríos Tigris y
Eufrates; que existieron en el período desde el año 2000 hasta el 200 a.n.e.. Se han encontrado
cerca de 100 mil tablillas de arcilla con escritura cuneiforme.
El sistema Babilónico de
símbolos matemáticos tiene dos elementos fundamentales:
♦ ? cuña con el valor numérico de 1 y el
♦ ? gancho con el valor numérico 10.
Con la repetición de éstos símbolos pueden escribirse los números del 1 al 59. Cualquier
número se escribe de izquierda a derecha según el principio:
N=α0 60o +α1 601 +α2 602 +... De esta forma el sistema de numeración resulta posicional
sexagesimal. (el cual no tiene 0 y el símbolo cuña puede designar no sólo la unidad sino también
el número de la forma 60 ± k ) (k es un número natural). Los hallazgos de los de la civilización
Babilónica demuestra que manejaron los números enteros y fraccionarios, abundantes ideas de
aritmética, algo de álgebra y reglas simples para determinar áreas y volúmenes de figuras
geométricas.
¿Qué hacían civilizaciones como esta con sus matemáticas?
El contenido de las tablillas muestra muchas reglas uniformes de operaciones aritméticas
y para facilitarlas existían tablas de multiplicación (desde 1 por 1, hasta 60 por 60) para la
multiplicación de números grandes se ayudaban con las tablas de multiplicar hallando los
productos parciales, los cuales después se sumaban. La división se realizaba con ayuda de las
tablas de los valores inversos.
Además de las tablas indicadas los Babilonios utilizaban la tabla de los cuadrados de los
números enteros, sus cubos, tablas de inversión (raíces cuadradas); solucionaban problemas los
cuales, desde el punto de vista moderno, se reducen a ecuaciones de primero y segundo grado e
incluso de tercero, también aparecen enumerados los triángulos rectángulos con lados
7
racionales, o sea, los tríos de números de Pitágoras x 2 + y 2 = z 2 .
Con la aplicación de estas reglas y ejecución de problemas podían calcular intereses
simples y compuestos sobre préstamos e hipotecas, para repartir dividendos entre socios de
empresas, para comprar y vender mercancías, para determinar impuestos y para determinar
cuántas medidas de grano eran necesarias para producir cierta cantidad de cerveza de contenido
alcohólico especificado.
Las reglas geométricas se empleaban para calcular las superficies de terrenos, para
estimar la producción agrícola por parcela, los volúmenes de estructuras y la cantidad de
ladrillos o piedras necesarios para levantar un templo o una pirámide.
Los Babilonios fueron también diestros en obras de irrigación: sus ingenieros
construyeron un sistema de canales para regar las tierras áridas con las aguas del Tigris y del
Eufrates. También aplicaron las matemáticas a la astronomía, para confeccionar el calendario y
para la navegación
“A las matemáticas Egipcias y las Babilónicas. Es mejor calificarlas de empíricas; en
vista de los que, a partir de los Griegos, se consideran los elementos principales de la materia;
aquellas en verdad no merecen el nombre de matemáticas. Ahí estaba algo de la carne y de los
huesos de las matemáticas concretas; pero faltaba el espíritu” 1
La gráfica muestra un texto cuneiforme de la antigua
Babilonia, la parte de la tabla representada contiene 16 problemas
con soluciones.
Los problemas están relacionados con presas,
terraplenes, pozos relojes de agua y trabajos agrícolas. El cuarto
problema, provisto de un gráfico, está relacionado con un pozo
circular.
1
El problema catorce considera un cono truncado.
Su
Morris Kline. Matemáticas para los estudiantes de Humanidades. 1992, pág 24
8
volumen se determina multiplicando la altura por la semisuma de las áreas de las bases superior e inferior. (tomado del texto
Historia de la Matemática de K. Ribnikov. 1987, pág 28)
El Álgebra en Egipto
En Egipto, maravilloso pueblo de faraones y
pirámides, encontramos los primeros vestigios del
desarrollo de una ciencia matemática.
Sus exigencias
vitales sujetas a las periódicas inundaciones del Nilo, los
llevaron a perfeccionar la Aritmética y la Geometría.
El primer autor de álgebra cuyo trabajo (el Papiro RHIND) ha llegado hasta nosotros es
AHMES (c. 1550 a. C.). El Papiro Rhind, el más valioso y antiguo documento matemático que
existe contiene 85 problemas entre los que figuran algunos relativos a ecuaciones lineales y
series. La historia del Papiro RHIND comienza en el invierno de 1858, cuando un joven
anticuario escocés, llamado A. HENRY RHIND, que residía en Egipto a causa de su salud,
obtuvo, en Luxor, un papiro bastante ancho, que decían haber hallado en las ruinas de un
pequeño edificio antiguo de Tebas. RHIND murió de tuberculosis cinco años después, y su
papiro fue adquirido por el Brítish Museum.
El documento no estaba intacto; evidentemente,
en un principio había sido un rollo de unos 5,5 m de largo por 33 cm de alto, pero estaba roto en
dos pedazos y le faltaban algunos fragmentos. Por una de esas raras casualidades que ocurren a
veces en arqueología, varios fragmentos de la parte que faltaba aparecieron, medio siglo más
tarde, en los archivos de la Hitoric Society, de Nueva York. Habían sido obtenidos, junto con
otros interesantes papiros de tema médico, por el coleccionista EDWIN SMITH.
Los
fragmentos iluminaron algunos extremos esenciales para comprender el conjunto de la obra. El
rollo consistía en un manual práctico de matemáticas egipcias, escrito hacia el 1700 a. J.C. Muy
pronto, después de su descubrimiento, varios científicos estuvieron de acuerdo en que era una
antigüedad de primer orden; nada menos, como dijo posteriormente D'ARCY THOMPSON,
que «uno de los antiguos monumentos del saber».
Aún hoy sigue siendo nuestra principal
fuente de conocimientos acerca de cómo contaban y medían los egipcios.
9
El Papiro Rhind lo compuso un escriba llamado AHMÉS, un hombre modesto,
comienza su escrito indicando que copió el texto "fielmente de un escrito antiguo realizado
en tiempo del rey del Alto (y del bajo) Egipto (Nema) 'et-Ré w El documento más antiguo a
que alude data de la dinastía XII, 1849-1801 a. J.C. Pero aquí se detiene la genealogía, pues no
es posible afirmar que el documento que copió AHMES fuera, a su vez, copia de otro texto
anterior. No está claro tampoco, a qué clase de público se dirigía el texto, o lo que es lo mismo,
no sabemos si "era una obra mayor o menor, un compendio para el sabio, un manual para el
amanuense, o, simplemente, un libro de texto para muchachos de escuela”
El Papiro Rhind, aunque elemental, es un notable logro matemático, que plantea
problemas, algunos de los cuales el hombre de inteligencia media del mundo moderno -38
siglos más inteligente, tal vez que AHMÉS- tendría dificultades para resolver.
Los científicos
no están de acuerdo acerca de la competencia matemática de AHMÉS ya contiene errores que
es difícil establecer si los comete él o únicamente los copió del documento anterior. Desde
luego, escribió con «mano audaz y elegante» en hierático, forma cursiva del jeroglífico; después
de todo, no parece que fuera en absoluto un simple copista ignorante. Podría prestarse a
confusiones denominar al Papiro Rhind un tratado, no es sino una colección de ejercicios
matemáticos y ejemplos prácticos, desarrollados en un estilo sincopado y, a veces , críptico. La
primera sección presenta una tabla de dividir por 2, para los números impares, desde
2
101 .
2
3
, hasta
Esta conversión era necesaria porque los Egipcios solamente sabían operar con fracciones
de la unidad (con numerador 1), y se veían obligados a reducir las demás cantidades a esta
forma. Con excepción de los
2
3,
para los que poseían un signo especial, cada fracción debía
expresarse como suma de una serie de fracciones de numerador 1. Por ejemplo la fracción ¾ se
escribía como, ½ , ¼ (obsérvese que no utilizaban el signo de adición), y
1
2
6
se expresaba así:
1
1
1
40 , 244, 488, 610 .
Es notable que los egipcios, que alcanzaron un gran nivel en sus manipulaciones
aritméticas, fueran incapaces de inventar una notación original, así como métodos menos
engorrosos. Las fracciones de la unidad se siguieron utilizando junto a métodos mejores, aún
10
entre los matemáticos griegos.
ARQUÍMEDES, por ejemplo, escribía, ½ , ¼ por, ¾ ; y
HERÓN
Incluso en el siglo XVII, algunos documentos rusos expresan
1
96 .,
1
1
1
1
2 , 17 , 34 , 51
por
31
51
diciendo “medio-medio-medio-medio-medio -tercio”. El papiro Rhind contiene unos 85
problemas, y muestra el uso de las fracciones, la resolución de ecuaciones simples y de
progresiones, la medición de áreas y de volúmenes. Estos problemas nos permiten formamos
una idea bastante aproximada de lo que eran capaces de hacer los egipcios con los números. Su
aritmética era bastante aditiva, es decir, que la multiplicación y la división las reducían, tal y
como lo hacen los niños y las calculadoras digitales, a una serie de adiciones y sustracciones. El
único multiplicador que utilizaron, con raras excepciones, fue el 2. Para multiplicar 19 por 6,
por ejemplo, los egipcios hubieran doblado 19, luego hubieran doblado el resultado y sumado
los dos productos, de este modo:
1
19
\
2
38
\
4
76
Total
6
114
El símbolo \ se usa para indicar los submultiplicadores que dan el multiplicador total, en
este caso el 6. El problema 23 veces 27 tendría, en el papiro Rhind, un aspecto parecido a esto:
\
1
27
\
2
54
\
4
108
8
216
\
16 432
Total
23 621
En la división, el proceso de duplicar se debía combinar con el uso de las fracciones. Uno
de los problemas del papiro es el de la "distribución de panes 9 para hombres 10", lo que quiere
decir, dividir 9 panes entre 10 hombres. Este problema no se puede resolver sin pan. Recuérdese
11
que los egipcios, con la excepción de los,
2
3
, habían de reducir todas las fracciones a sumas de
fracciones con numerador 1. El papiro Rhind explica: Se procede de este modo: Haz la
multiplicación,
2
1 1
3 , 5 , 30
2
1
5
1
30
12 3
1
10
1
30
3 12
1
10
3
1
\
2
4
\
7 15
8
Total panes 9; como se
En otras palabras, si se suman las fracciones obtenidas por las multiplicaciones indicadas,
(2+8 =10), se llega a 9. Es muy comprensible que el lector encuentre la demostración engañosa.
Puesto que la resolución verdadera del problema no se nos ha dado. Si 10 hombres se han de
repartir 9 panes, cada hombre, dice Ahmés, recibe
2
1 1
3 , 5 . 30
(es decir,
27
30 )
de 10 panes; pero
no tenemos idea de cómo se llega a la cantidad que corresponde a cada uno. La respuesta al
problema ( 27 30 o
9
10 )
se no ha dado primero, y luego se verifica, no se desarrolla. Es posible
que el autor no tenga nada que explicarnos, que el problema se resuelve por tanteo -del modo
como se ha sugerido que resolvían los egipcios los problemas matemáticos.
El autor del Papiro Rhind mide áreas de triángulos, trapezoides y rectángulos, y
volúmenes de cilindros y prismas, y, desde luego, la superficie del círculo. Sus resultados
geométricos son aún más admirables que sus soluciones aritméticas, a pesar de que sus métodos,
en tanto que se les pueda denominar así, están bastante lejos de la disciplina denominada hoy
geometría. “Un granero cilíndrico de diámetro 9 y altura 6, ¿Cuál es la cantidad de grano que
puede contener?”. En la resolución de este problema se utiliza una regla para determinar el área
del círculo que viene a ser: A= (8 9 d )2 donde d indica el diámetro. Comparada con la fórmula
12
moderna, A=πr2 , da para π un valor de 3,16 que es bastante aproximado al real. El papiro
Rhind nos da el área de un triángulo como ½ de la base por la longitud de una línea que puede
ser la altura del triángulo, pero como también -Los egiptólogos no están seguros- podría ser el
lado. En un triángulo isósceles, alto y con una base estrecha, el error proviene de utilizar el lado,
en lugar de la altura, para el cálculo del área, es poco apreciable. Los tres problemas de
triángulos del papiro Rhind se refieren a triángulos de ese tipo, pero es evidente que el autor
solamente poseía nociones bastante confusas de lo que son los triángulos.
El papiro Rhind, aunque demuestra la poca habilidad que poseían los egipcios para las
generalizaciones y su inclinación hacia procedimientos engorrosos, prueba también que poseían
notables tenacidad para resolver problemas comentes de aritmética, así como mediciones; que
no carecían de cierta imaginación para construir rompecabezas algebraicos, y que eran hábiles
en extremo para manejar con soltura sus incómodos métodos». 2
El tratamiento es ampliamente retórico, aún cuando hace uso de un pequeño número de
símbolos.
Existen otras fuentes de referencia que también versan sobre ecuaciones lineales y
cuadráticas. Pero, en conjunto, no se evidencia que el álgebra exista como una ciencia.
En la siguiente gráfica se presenta un trozo del Papiro Rhind que se halla en el Museo
Británico. (Museo Británico: facsímil de las hojas X, XI, XIII, XIX, XV) ( tomado del texto
Historia de la Matemática de K. Ribnikov)
2
El Mundo de las matemáticas. James R. Newman. Tercera edición. Ediciones Grijalbo , S.A. 1976.
13
Abajo, reproducción del papiro de Rhind (hacia 1600 a.C.) que contiene numerosos resultados aritméticos y
geométricos conocidos por los antiguos egipcios.
En particular , el fragmento
reproducido hace referencia a diversas equivalencias y relaciones entre fracciones.
A la derecha, fragmento de un relieve egipcio (2700 a. C.) en el que se pueden ver cifras
de la numeración jeroglífica. La barras horizontales significan unidades , el caracol
corresponde a 100 y el símbolo bajo ellos significa 1000. Los egipcios contaban en base 10.
El Álgebra en China
Es difícil precisar cuando el álgebra como ciencia comenzó en China. Para el año 1000 a.
C. ya se conocen algunos problemas cuya solución puede hallarse me diante el uso de
ecuaciones. Ciertamente, los Chinos sabían cómo resolver ecuaciones cuadráticas hacia el siglo
I a. C. y las reglas dadas siglos antes (en el libro de las Nueve Secciones) implican la solución
de tales ecuaciones.
14
El desarrollo de los conocimientos científicos en China tiene una rica historia de muchos
siglos; ha sido también establecido el desarrollo original y temprano de la matemática en China.
Sin embargo, hasta el momento no ha sido superada la diferencia de una cosa a otra y la pobreza
de información científica digna de fe sobre los conocimientos matemáticos de los Chinos en la
antigüedad. Según información del matemático historiador Ling Wang, los conocimientos
matemáticos de éstos se remontan al siglo Xiv a.n.e. En la historia del Álgebra China se tienen
noticias sobre el sistema decimal del cálculo, una simbólica especial de números en jeroglíficos,
sobre operaciones con números grandes, la existencia de dispositivos auxiliares de cálculo
(tableros de cálculo) sobre operaciones con regla, compás y escuadra.
La primera obra matemática es la matemática en nueve libros, a veces llamada “La
Matemática en Nueve Capítulos” o el “Libro de las Nueve Secciones o Apartados”. Esta obra
apareció como un resumen original de los logros matemáticos de China hacia comienzos de
nuestra era.
Hay noticias de que fue compuesto por el insigne hombre de estado y además
científico Chuam Tsanom (en el año 152 a.n.e.) que coleccionó
y sistematizó todos los
conocimientos matemáticos conocidos hasta su época.
“La Matemática en Nueve Libros” sufrió modificaciones además de añadírseles
información en múltiples ocaciones:
En el siglo I a.n.e. Hen Chou-Chan
En el siglo III n.e. Liu Hiu
En el siglo VI
Cheng Luang
En el siglo VII
Li Chungfan
Como resultado de esta reelaboraciones “La Matemática en Nuevo Libros” tomó forma
de una original enciclopedia matemática con contenido relativamente heterogéneo (compuesto
de partes de diversa naturaleza).
Los libros que componen esta obra tienen la forma de
15
pergaminos independientes ellos están dedicados a diferentes temas fundamentalmente de
carácter práctico.
El Libro I se denomina “Medición de Campos”, se dan reglas correctas para calcular
áreas de triángulos, rectángulos y trapecios.
El libro II se denomina “Relación entre las
diferentes formas de cercales”; refleja la práctica antigua de cobro de impuestos sobre el grano,
medido en unidades de volumen y de cálculos durante la elaboración de este grano.
Los
problemas matemáticos surgen debido a esto, son problemas de regla de tres y división
proporcional. El libro III se denomina “División Escalonada”, se trata de la distribución de los
ingreso entre los funcionarios de diferentes clases, esto es, la división proporcional, la regla de
tres simple y compuesta.
El IV libro, “Shao Huan”, al principio se trata de la determinación
del lado del rectángulo dados los valores del área. El libro V denominado “Estimación de los
Trabajos”;
se recopilan problemas relacionados con los cálculos para la construcción de
paredes, murallas, torres, fosas y otras obras.
Para esto se calculan tanto volúmenes de
diferentes cuerpos como las exigencias de fuerza de trabajo, materiales y medios de transporte
bajo diferentes condiciones.
El libro VI se denomina “Distribución Proporcional”, comienza
con un grupo de problemas sobre una justa distribución de los impuestos, utiliza los mismos
métodos matemático del libro III. También se encuentra una serie de problemas sobre la
sumación de alguna s progresiones aritméticas y problemas sobre el trabajo colectivo con
diferente productividad.
El libro VII, “Exceso – Defecto”, en él se recogen problemas que
conducen a la resolución de ecuaciones lineales y su generalización a sistemas con mayor
número de incógnitas.
El libro VIII, “Fan-Chen”, los problemas de éste libro conducen a un
sistema de cinco ecuaciones lineales con raíces positivas.
El libro IX, “La Matemática en
Nueve Libros”, lo constituyen los problemas de la determinación de distancias y alturas no
accesibles con la ayuda del teorema de Pitágoras y las propiedades de los triángulos semejantes.
Matemáticamente,
este libro es particularmente interesante por la formulación algebraica
general de las reglas.
Esta obra demuestra que el transcurso de muchos siglos la matemática en China se
desarrolló preferentemente con una orientación de Cálculo-Algorítmico y creó los elementos
16
para la resolución de problemas. La orientación de cálculo algorítmico fue conservado por la
matemática China también en el período siguiente, incluso hasta mediados del siglo XIV. Los
mayores éxitos fueron nuevamente alcanzados en las ramas del álgebra y de los métodos de
cálculos aritméticos.
Hacia el siglo VII la ecuación cúbica ya ha comenzado a atraer la atención de los
matemáticos Chinos, como se evidencia en la obra de WANG HSIAO-TUNG (c.625). Con la
llegada de los Jesuítas en el siglo XVI y la consecuente introducción de la ciencia occidental.
China perdió interés en su álgebra nativa y nunca la r ecuperó completamente.
En China ya se conocía el teorema de Pitágoras en la época de éste
matemático Griego. La ilustración a la izquierda reproduce una demostración de este
teorema, atribuida por la tradición China al matemático Chou Pei, probablemente
contemporáneo de Pitágoras.
El Algebra en Grecia
Difícilmente puede decirse que el álgebra, entendida al modo moderno, haya existido en
la edad de oro de los matemáticos Griegos. Los Griegos del período clásico podían resolver
muchos problemas algebraicos de considerable dificultad, pero las soluciones fueron todas
geométricas.
HIPÓCRATES (460 a. C.), por ejemplo, Quien fue el primer Matemático
profesional en la primera mitad del siglo y siguiendo una probable tradición de mercader enseñó
esa cienc ia por dinero a la manera de los Sofistas. Sus contribuciones en el problema de la
duplicación del cubo son importantes, ya que redujo la cuestión a un problema de Geometría
plana.
También le fue posible cuadrar recintos cerrados por arcos de círculos aparentemente más
17
complicados que el círculo, que por su forma de luna creciente se les llamó “Lúnulas de
Hipócrates. También elaboró una construcción equivalente a resolver la ecuación
x2 +
3
2 ax
= a2 .
Grecia también cuenta con las contribuciones de Euclides (300 a.C.), matemático griego,
se ignora donde nació y donde murió, sin embargo se sabe que en el reinado de Tolomeo I,
enseñó en Alejandría de Egipto, ciudad que gracias a Euclides se convirtió en un floreciente
centro de estudios matemáticos. Recopiló y organizó todos los conocimientos geométricos de su
época, es autor de numerosas obras científicas, entre ellas sus célebre “Elementos de
Geometría ”, que comprenden de 13 libros, con un total de 465 proposiciones, 93 problemas y
372 teoremas. el primero de los cuales contiene los axiomas distribuidos en dos grupos:
postulados y nociones comunes. Los postulados constituyen los fundamentos específicamente
geométricos, fijando la existencia de los entes fundamentales: punto, recta y plano.
En los cuatro primeros libros están las proposiciones de la geometría plana elemental. En
los dos libros siguientes se trata de la teoría de las proporciones y la aplicación de esa teoría a
las magnitudes geométricas. Los libros 7, 8 y 9 tratan de la teoría de los números, de los enteros
positivos, de la divisibilidad de los factores primos, de las proporciones y progresiones
geométricas y aritméticas. (Cabe señalar que el libro 8 es el de más bajo nivel, conteniendo
incluso algunas falacias lógicas.)
El libro 10, que trata de los números irracionales, es el más extenso y difícil de todos. Los
tres últimos libros se refieren a la geometría del espacio: el onceavo expone algunos teoremas
de Geometría en el espacio, el doceavo expone teoremas en el plano o en el espacio y el
treceavo se ocupa exclusivamente de los cinco poliedros regulares.
Los “Elementos de Geometría” no contienen toda la Geometría Griega de la época, pero
sin duda contiene una buena parte de la Matemática elaborada por los matemáticos anteriores a
Euclides y por Euclides mismo.
Euclides utilizó el método axiomático deductivo.
La
18
seguridad que éste método confirió a la construcción euclidea es el hecho fundamental que ha
permitido la existencia por más de 20 siglos de la obra de Euclides.
Dispuso de la lógica
aristotélica, en quien se fundamenta precisamente el método axiomático señalado por
Aristóteles como el mejor a seguir en toda ciencia deductiva y fue la lógica aristotélica quien le
dio la solidez necesaria a la obra de Euclides para resistir la oposición por muchos siglos.
En todas las demostraciones Euclides usa perfectamente el método de
reducción al absurdo, pero casi siempre recurre también a los artificios lógicos
capaces de llevarle a su objetivo con la mayor rapidez y seguridad. No se
puede negar el espíritu creativo de Euclides, es así como para demostrar el
teorema de Pitágoras, utilizó una figura (a la izquierda) que se ha descrito a veces como un
molino de viento, o como una cola de pavo real, o como la silla de la novia.
Euclides resolvió problemas equivalentes a los siguientes:
xy=k 2 ,
xy=a
xy=k 2 ,
x+y=a
xy=k 2 ,
x 2 -y2=a
Además, en sus Elementos, Euclides resolvió problemas que equivalen a la solución de
las ecuaciones: x2 +ax=a, x2 +ax=b 2 . Fundamentalmente completando cuadrados geométricos y
no considerando las raíces negativas.
A la izquierda: Página de los elementos de Euclides, con
comentarios de al-Tusi (manuscrito persa del siglo XV)
19
Después de Euclides surge un período de transición del método geométrico al analítico,
hacia el ocaso del esplendor de la era griega, muy pocos hombres de ciencia se interesaban por
el álgebra.
La mayor parte de ellos se hallaban imbuidos de conocimientos geométricos,
concurriendo a la universidad donde Hypatía dic taba sus conferencias. Fue por ese, entonces
sin embargo, cuando entra en escena un hombre singular: Diofanto(c.275). Éste sistematizó
sus ideas con el empleo de símbolos creados por él mismo. introduce una notación algebraica
basada en abreviaturas que marca un paso hacia el lenguaje simbólico., dando nacimiento a lo
que hoy se conoce como ecuaciones indeterminadas, se produce, así un avance significativo en
el desarrollo del álgebra. Además añadió amplias perspectivas al objetivo del álgebra tal y como
existía entonces, tratando los problemas algebraicos por métodos exclusivamente analíticos. Su
obra fue la primera dedicada totalmente al álgebra, por lo que a menudo se le designa como el
padre de esta ciencia, y sus tan variados problemas como hábiles soluciones se constituyeron
en modelo para Fermat, Euler y Gauss. Ante lo ambiguo de los datos sobre la fecha precisa en
que vivió Diofanto (se calcula que fue entre el 100 y el 400 de nuestra era), se opone el
conocimiento exacto de cuántos años abarcó ésta. A pesar que lo dicho anteriormente parece
una contradicción, en realidad no es tal, ya que la edad de este matemático quedó registrada para
siempre en un epigrama griego (acertijo) descritos con términos algebraicos hace ya de esto
unos 1500 años. Atribuido a Hypatía, gran estudiosa y analizadora de los trabajos de Diofanto,
el acertijo que le rinde homenaje relata su vida en los siguientes términos: «Dios le concedió
niñez durante una sexta (
1
6
) parte de su vida; y juventud durante otra doceava ( 112 ) parte
más; lo alumbró con la luz del matrimonio durante un séptima (
1
7)
parte y 5 años más tarde , le
concedió un hijo; después de alcanzar la mitad de la vida de su padre, la muerte lo llevó,
dejando a Diofanto durante los últimos cuatro (4) años de su vida con el único consuelo que
puede ofrecer la matemática». Expresando cada segmento en símbolos algebraicos se obtiene:
Si x es la edad a la cual murió, entonces:
1
6
x + 121 x + 17 x + 5 + 12 x + 4 = x , y Diofanto debe
haber vivido hasta los 84 años de edad.
20
De Diofanto se conoce un escrito sobre los números
poligonales y sus libros de aritmética, su aritmética no contiene
teoremas o proposiciones sino problemas entre números abstractos.
Diofanto resuelve problemas de Primer grado con una incógnita,
sistemas lineales, ecuaciones cuadráticas, sistemas indeterminados y
problemas de triángulos.
A la izquierda: Portada de una edición de 1670 del libro sexto de la Aritmética de
Diofanto de Alejandría, comentado por Bachet, que incorpora los comentarios de Fermat.
El Álgebra en la India
Existen solamente cuatro autores Hindúes en el campo del álgebra, cuyos nombres son
particularmente notables. Ellos son:
ARYABHATA (c 510), es uno de los grandes Matemáticos Hindú, es autor de un tratado
Astronómico – Matemático en versos, Aryabhatigan divididos en cuatro capítulos, de los
cuales el más importante desde el punto de vista matemático, es el segundo que
comprende además de otras cuestiones, una tabla de senos y ejemplos de análisis
indeterminado de primer grado. En sus
trabajos se incluyen problemas de series,
permutaciones, ecuaciones lineales y cuadráticas.
BRAHMAGUPTA (c. 628), Es un matemático del siglo VII, en sus trabajos dedica unos
capítulos a la matemática dando un valor aproximado de p, Ecuaciones indeterminadas de
segundo grado y en especial propiedades de los cuadriláteros. Las contribuciones de
Brahmagupta al álgebra son mucho más importantes que sus reglas para el cálculo de
áreas ya que nos encontramos con soluciones generales cuadráticas, incluyendo las dos
raíces aún en caso de que una de ellas sea negativa. Brahmagupta da origen a la ley de los
signos: + x + = +, - x - = +, + ÷ + = +, en sus problemas ncluye los tópicos tratados por
Aryabhata; también asignó el nombre de «Regla de tres» a la susodicha regla.
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MAHAVIRA (c. 850), cuyo tratado incluye numerosos problemas sobre series, radicales
y ecuaciones.
BHASKARA (c. 1150), es el último, cronológicamente, de los matemáticos Hindúes de
importancia del siglo XII , en cuya obra astronómica dedica dos capítulos: Lilavati (la
hermosa o la noble ciencia) y la Viga -Ganita a la aritmética y al álgebra.
Es
probablemente la obra más importante de la matemática Hindú, en la que se advierten
influencias de la matemática Griega, Árabe y China. Su obra contiene nueve capítulos y
se extiende hasta las ecuaciones cuadráticas.
Es de hacer notar que un genio anónimo Hindú inventó la notación decimal.
Los dedos, una calculadora de “bolsillo” siempre a mano. En
los dibujos a la izquierda se muestra un modo de contar con
los dedos, que todavía se usa en Irak, Turquía, India e
Indochina. Apoyando el pulgar sobre las falanges de la mano
derecha se llevan las cuentas hasta 12. Cada vez que se
alcanza esta cantidad se dobla un dedo de la mano izquierda.
Así el puño izquierdo cerrado indica 60 unidades.
El Álgebra entre los Árabes y los Persas
La escuela de Bagdad (siglos IX al XII). Los árabes
fueron los verdaderos sistematizadores del álgebra.
A
fines del siglo VIII floreció la escuela de Bagdad a la que
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pertenecieron Al Khowarizmi, Al Batani y Omar Khayyan. Al Khowarizmi, persa del siglo IX,
escribió el primer liibro de álgebra y le dio nombre a esta ciencia.
Durante el primer siglo del Imperio Musulmán no se produjo ningún desarrollo científico,
este período de tiempo fue de hecho,
una especie de “nadir” en el desarrollo de la
matemática a lo largo de toda la historia de la humanidad, ya que los Árabes aún no habían
conseguido el impulso intelectual necesario, mientras que el interés por el saber había
desaparecido casi completamente en el resto del mundo. De no haber sido por el repentino
despertar cultural en el Islam durante la segunda mitad del siglo VIII, sin duda se habría perdido
mucho más de la ciencia y de las matemáticas antiguas.
Cuando los Árabes eran todavía nómadas tenían palabras para los números, pero no
disponían de ningún símbolo. Tomaron y mejoraron los símbolos numéricos de los Hindúes,
usaban estos símbolos numé ricos para los números enteros y las fracciones corrientes en sus
textos matemáticos y numerales alfabetos árabes.
Los árabes introdujeron en occidente la numeración y el álgebra, recogiendo la herencia
científica de los griegos, asimilando el espíritu pr áctico
de las matemáticas de la India y
perfeccionando el sistema de numeración posicional.
Entre los matemáticos árabes sobresale Al Khowarizmi (Mohammed ben Musa,
Mohammed hijo de Moisés) (siglo IX), autor de una obra escrita hacia el 830 de nuestra era, que
trata sobre las operaciones para simplificar las ecuaciones. De una de estas operaciones, la de
llevar un sumando del primer miembro al segundo, denominada en árabe al-yabr, deriva el
término álgebra, mientras que del nombre de su autor se derivó la palabra algoritmo.
La palabra álgebra es la corrupción Europea de una frase árabe que significa restauración
y reducción: la primera palabra se refiere al hecho de que la misma magnitud puede añadirse o
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sustraerse a los dos miembros de una ecuación, y la última significa el proceso de
simplificación.
.
Su obra, escrita
el 830 titulada «Al-jabr w'al-muqabalah», cuya traducción directa
significa «restauración y reducción», dio lugar al término Álgebra, con el que hoy día se
designa a esta ciencia. Su uso original puede apreciarse en el siguiente ejemplo dado por
Behaeddin (c. 1600):
Dado:
bx+2q=x2 +bx-q
Al-jabrda:
bx+2q+q= x2 +bx
YaI-muqaba: 3q= x 2 .
Como puede apreciarse, la idea fundamental de al-jabr, que significa “restauración”,
restaura el equilibrio en una ecuación al colocar en un
miembro de la misma, un término que ha sido eliminado del
otro, es decir, es la de trasposición un término negativo, y la de
al-muqabalah, que significa “simplificación”, en el sentido de
que, por ejemplo se pueden combinar 3x y 4x y obtener 7x, o
bien suprimir términos iguales en miembros distintos de una
ecuación, es decir, equivale a la de trasposición de una
cantidad
positiva y la simplificación o reducción de cada
miembro de la ecuación
Manuscrito latino del Álgebra de Al Khowarizmi
.
conservado en la biblioteca Nacional de París
Es de hacer notar que los árabes introdujeron el término de álgebra en España, donde fue
utilizado como vocablo que significaba restaurador, es decir
se usa para denominar a un
curandero que arregla las articulaciones óseas desajustadas, luego pasó a Italia y al resto de
Europa.
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Al-Khowarizmi ejecuta algunas operaciones exactamente igual que Diofanto. Por
ejemplo en ecuaciones con varias incógnitas, las reduce a una indeterminada y a continuación
las resuelve; utiliza, también al igual que Diofanto, nombres especiales para las potencias de
cada indeterminada.
En su obra, Al-Khowarizmi presenta el primer tratamiento sistemático
del contenido algebraico, derivado de la teoría de números.
Otros autores árabes de interés son:
« Almahani (c. 860), relacionado con la resolución de la ecuación cúbica.
« Al-Karkhi (c. 1020), cuya obra «Fakhrí» contiene varios problemas que todavía forman
parte del material habitualmente utilizado en álgebra, se interesó más por el álgebra del
tipo de la de Al-Khowarizmi que por el análisis indeterminado de los Hindúes, pero
en cambio, de la misma manera que Diofanto y al revés que Al-Khowarizmi, no se
limitó en absoluto a la s ecuaciones cuadráticas ya que siguió la costumbre árabe de dar
demostraciones geométricas para la resolución de las ecuaciones cuadráticas.
« Omar Khayyan (c. l100) cuyo tratado de álgebra es el mejor de los escritos por los
autores persas; en él se alude, por ejemplo, a la regla para desarrollar la potencia
enésima del binomio (a+b)n, para n>2. Mostró cómo expresar las raíces de ecuaciones
cúbicas utilizando los segmentos obtenidos por intersección de secciones cónicas,
aunque no fue capaz de encontrar una fórmula para las raíces.
En general los matemáticos árabes mostraron gran habilidad en el cálculo y en la
elaboración de tablas, pero les faltó la originalidad y el genio de Grecia y de la India.
Principales Autores Medievales
La mayor parte de los escritores medievales occidentales que impulsaron el progreso del
álgebra fueron traductores de las obras de los autores árabes, en particular de Al- Khowarizmi.
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Cabe citar entre ellos a Johannes Hispalensis (c 1140), Gerardo de Cremona (c. 1150),
Aderaldo de Bath (c. 1120) y Robert de Chester (c. 1140).
Aderaldo de Bath ya había traducido casi 20 años antes (1126) las tablas astronómicas de
Al-Kawarizmi, del árabe al latín, sin embardo Aderaldo constituye una excepción entre los
primeros traductores al no formar parte del numeroso grupo que trabajaba en España.
Gerardo de Cremosa fue el más importante en España, ya que había venido a España a
estudiar árabe, entre las obras de Gerardo había también una adaptación latina del álgebra de
Al-Khowarizmi.
Robert de Chester realizó la primera traducción del tratado de Al-Khowarizmi, que
podemos considerar que marca el comienzo del álgebra europea.
El más destacado de los escritores de Álgebra de la Edad Media fue Leonardo de Pisa,
apodado Fibonacci (c.l175-1230), (hijo de Bonaccio). Acompañando a su padre, un comerciante
de la ciudad de Pisa, viajó por el norte de África y el próximo Oriente , donde aprendió las
matemáticas Indias y, en especial, el uso de la numeración arábiga . En 1202, de vuelta a Pisa,
escribió Liber Abaci, en el que introdujo las cifras arábigas, el cero y el
sistema posicional de numeración. Sin embargo, su contribución al desarrollo
de las matemáticas no tuvo el eco merecido hasta que fue inventada la
imprenta y su obra pudo ser ampliamente divulgada. Fue el más destacado ya
que estudió con un maestro musulmán y viajó por Egipto, Siria y Grecia. Era
natural, entonces, que Leonardo. aprendiera los métodos algebraicos árabes . Símbolo de la raíz cuadrada
Su obra principal, fue el «Líber quadratorum»(c 1225), incluye el
tratamiento de problemas tales como x2 +y2 =x2, mostrando gran ingenio en
su solución.
Leonardo de Pisa en 1220
Este símbolo proviene de
la palabra latina radix, de
la que
deriva el término
español Raiz
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Probablemente haya quedado claro que Leonardo
de Pisa fue un matemático excepcionalmente capaz. Pero
si bien es cierto que no tuvo ningún rival de su misma talla
durante los 900 años de cultura medieval europea, no fue
sin embargo una figura tan aislada como a veces se ha
querido hacer creer. De hecho, tuvo un contemporáneo
también capaz, pero no excepcionalmente dotado, es
Jordanus Nemorarius .
Entre los algebristas alemanes de esta época
conviene destacar a Jordanus Nemorarius (c.l225),, él
representa un punto de vista sobre la ciencia más
aristotélica, fue el fundador de lo que ha venido
llamándose la escuela medieval de mecánica. En su obra
contiene algunos problemas de ecuaciones lineales y
cuadráticas de tipos aún familiares en nuestros libr os de
texto. En general, sin embargo, los autores medievales estaban más interesados en la matemática
como instrumento a la astronomía.
Principales Autores del Renacimiento al Siglo XIX
Entre los que señalaron los errores en el razonamiento de Nicolás de Cusa estaba
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Regiomontano (1436-1476), probablemente el matemático que ejerció una mayor influencia de
todo el siglo XV, y cuya fecha de nacimiento podría tomarse como el comienzo de una nueva
era.
Regiomontano había estudiado en las universidades de Le ipzig y de Viena, en las que se
desarrolló su gran afición a las matemáticas y la astronomía. En su viaje a Roma aprendió el
griego y se familiarizó con las corrientes científicas y filosóficas entonces en boga. Viajó y
estudió en Italia y regresó a Alemania, donde instaló una imprenta y un observatorio en
Nuremberg con el objeto de promover el interés por la ciencia y la literatura. Tenía la intensión
de imprimir traducciones de Arquímedes, Apolonio, Herón y Ptolomeo, entre otros científicos,
pero su trágica muerte a la edad de 40 años acabó con su ambicioso proyecto.
Regiomontano era, por sus variados intereses, un típico “hombre del renacimiento ”,
como nos indica su nombre adoptivo: su verdadero nombre era Johan Müller de Königsberg,
del nombre alemán de Königsberg o “Montaña Del Rey” resultó el nombre de Regiomontanus .
El proyecto de traducción de Regiomontano dio lugar además a la publicación de varios libros
escritos por él mismo, tales como su Epítome de Almagesto de Ptolomeo , notable por el énfasis
que pone en la parte matemática de la obra, que era lo que se omitía casi siempre en los
comentarios sobre astronomía descriptiva elemental. Mucho más importante desde el punto de
vista matemático fue su De triangulis omnimodis, una exposición sistemá tica de los métodos de
resolución de triángulos que marcó el verdadero renacimiento de la trigonometría. En ésta
época la trigonometría hacía el papel de la criada de la astronomía, por ejemplo en la India,
donde tuvo precisamente su nacimiento la función seno, no se mostró apenas interés en ella
aparte de su aplicación a los sistemas astronómicos, incluso entre los árabes, para quienes la
trigonometría era la segunda en el ranking del interés matemático, cediendo el primer lugar sólo
al álgebra.
El álgebra de Regiomontano era de tipo retórico, como la de los Árabes, él conocía la
aritmética de Diofanto, en la que se adoptaba la notación llamada sincopada, pero en definitiva
fue de Al-Khowarizmi de quien aprendió la Europa Medieval tardía los métodos algebraicos.
De hecho la influencia de Regiomontano en álgebra se vio limitada no sólo por su adhesión a la
forma de expresión retórica y por su temprana muerte. Así pues, Europa continuó aprendiendo
su álgebra lenta y penosamente de la escasa tradición griega, árabe y latina que discurría a
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