CAPITULO 0 HISTORIA DEL ALGEBRA Naturaleza del Álgebra Para poder situamos en el comienzo de la historia del álgebra necesitamos considerar antes el significado del término. Si por álgebra entendemos la ciencia que permite resolver la ecuación ax2 +bx+c=0 expresada en estos términos simbólicos, entonces su historia comienza en el siglo XVII. Ahora bien, si aceptamos como álgebra la resolución de la ecuación dada, utilizando métodos geométricos y omitiendo todo símbolo algebraico de cualquier especie, estaremos refiriendo el inicio de su historia al establecimiento de la escuela de Alejandría o un poco antes (siglo IV a. C.). Por último, si podemos clasificar como álgebra el planteamiento y resolución de problemas que hoy día se resuelven por métodos algebraicos, entonces el comienzo del álgebra y de su historia puede remontarse hasta el año 1800 a. C., o antes todavía. NESSELMANN (1842) propuso una división de la historia del álgebra en tres períodos, tomando como criterio la forma de lenguaje utilizada para expresar los conceptos y los desarrollos algebraicos. Estos períodos pueden denominarse: Retórico: Todo aparece escrito completamente en palabras del leguaje comente. Sincopado: Los autores utilizan abreviaturas, este período se inicia con la obra de DIOFANTO (c. 275) Simbólico: Las abreviaturas dan lugar a los símbolos convencionales actuales, pudiéndose escribir proposiciones tales como: x − x2 = a 2 3 . Este período se inicia con VIETA (c. 1590) y se consolida con DESCARTES (1637) y WALLIS (1693). También debe hacerse notar que muchos de los primitivos autores matemáticos no griegos 5 incluyen en sus trabajos una amplia variedad de tópicos. Por ejemplo, AHMES (c. 1550 a. C.) combina su álgebra con aritmética y medición, e incluso muestra alguna evidencia de un débil comienzo de trigonometría. No existe un tratado exclusivo de álgebra antes de la época de DIOFANTO (c. 275). El Álgebra en Babilonia (Abajo: Tablilla babilonia con escritura con caracteres cuneiforme de unos 4000 años de antigüedad: en ella se reflejan una serie de anotaciones contables en sistema de numeración sexagesimal) Los vestigios de la cultura matemática de Babilonia, muchos de ellos plasmados en tablillas de arcilla, revelan el uso de un sistema de numeración expresado en caracteres cuneiformes, y de base posicional sexagesimal. Entre otros logros (consideración y cálculo de p, cálculo de 2 hasta con 6 decimales exactos, conocimiento y manejo de la relación pitagórica entre los elementos de un triángulo rectángulo,...) cabe destacar en el terreno del álgebra la resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas, éstas últimas se resuelven por métodos geométricos, utilizando técnicas de completación de cuadrados. Es de hacer notar que algunos de éstos resultados se ubican históricamente en el año 2000 a. C. Aparte de la astronomía, las matemáticas son quizá la rama del pensamiento humano más antigua y con más persistencia cultivada. El desarrollo de las matemáticas es acumulativo, esto es, las creaciones más recientes se fundan, lógicamente hablando, en las anteriores. A la izquierda: Entre los babilonios ya se empleaba el sistema de préstamo llamado interés variable, como lo prueban las anotaciones encontradas en la tablilla de la ilustración que data del siglo XVII a.C. El término Babilónico abarca la sucesión de culturas que 6 florecieron en la región del actual Irak, es decir, los estados situados entre los ríos Tigris y Eufrates; que existieron en el período desde el año 2000 hasta el 200 a.n.e.. Se han encontrado cerca de 100 mil tablillas de arcilla con escritura cuneiforme. El sistema Babilónico de símbolos matemáticos tiene dos elementos fundamentales: ♦ ? cuña con el valor numérico de 1 y el ♦ ? gancho con el valor numérico 10. Con la repetición de éstos símbolos pueden escribirse los números del 1 al 59. Cualquier número se escribe de izquierda a derecha según el principio: N=α0 60o +α1 601 +α2 602 +... De esta forma el sistema de numeración resulta posicional sexagesimal. (el cual no tiene 0 y el símbolo cuña puede designar no sólo la unidad sino también el número de la forma 60 ± k ) (k es un número natural). Los hallazgos de los de la civilización Babilónica demuestra que manejaron los números enteros y fraccionarios, abundantes ideas de aritmética, algo de álgebra y reglas simples para determinar áreas y volúmenes de figuras geométricas. ¿Qué hacían civilizaciones como esta con sus matemáticas? El contenido de las tablillas muestra muchas reglas uniformes de operaciones aritméticas y para facilitarlas existían tablas de multiplicación (desde 1 por 1, hasta 60 por 60) para la multiplicación de números grandes se ayudaban con las tablas de multiplicar hallando los productos parciales, los cuales después se sumaban. La división se realizaba con ayuda de las tablas de los valores inversos. Además de las tablas indicadas los Babilonios utilizaban la tabla de los cuadrados de los números enteros, sus cubos, tablas de inversión (raíces cuadradas); solucionaban problemas los cuales, desde el punto de vista moderno, se reducen a ecuaciones de primero y segundo grado e incluso de tercero, también aparecen enumerados los triángulos rectángulos con lados 7 racionales, o sea, los tríos de números de Pitágoras x 2 + y 2 = z 2 . Con la aplicación de estas reglas y ejecución de problemas podían calcular intereses simples y compuestos sobre préstamos e hipotecas, para repartir dividendos entre socios de empresas, para comprar y vender mercancías, para determinar impuestos y para determinar cuántas medidas de grano eran necesarias para producir cierta cantidad de cerveza de contenido alcohólico especificado. Las reglas geométricas se empleaban para calcular las superficies de terrenos, para estimar la producción agrícola por parcela, los volúmenes de estructuras y la cantidad de ladrillos o piedras necesarios para levantar un templo o una pirámide. Los Babilonios fueron también diestros en obras de irrigación: sus ingenieros construyeron un sistema de canales para regar las tierras áridas con las aguas del Tigris y del Eufrates. También aplicaron las matemáticas a la astronomía, para confeccionar el calendario y para la navegación “A las matemáticas Egipcias y las Babilónicas. Es mejor calificarlas de empíricas; en vista de los que, a partir de los Griegos, se consideran los elementos principales de la materia; aquellas en verdad no merecen el nombre de matemáticas. Ahí estaba algo de la carne y de los huesos de las matemáticas concretas; pero faltaba el espíritu” 1 La gráfica muestra un texto cuneiforme de la antigua Babilonia, la parte de la tabla representada contiene 16 problemas con soluciones. Los problemas están relacionados con presas, terraplenes, pozos relojes de agua y trabajos agrícolas. El cuarto problema, provisto de un gráfico, está relacionado con un pozo circular. 1 El problema catorce considera un cono truncado. Su Morris Kline. Matemáticas para los estudiantes de Humanidades. 1992, pág 24 8 volumen se determina multiplicando la altura por la semisuma de las áreas de las bases superior e inferior. (tomado del texto Historia de la Matemática de K. Ribnikov. 1987, pág 28) El Álgebra en Egipto En Egipto, maravilloso pueblo de faraones y pirámides, encontramos los primeros vestigios del desarrollo de una ciencia matemática. Sus exigencias vitales sujetas a las periódicas inundaciones del Nilo, los llevaron a perfeccionar la Aritmética y la Geometría. El primer autor de álgebra cuyo trabajo (el Papiro RHIND) ha llegado hasta nosotros es AHMES (c. 1550 a. C.). El Papiro Rhind, el más valioso y antiguo documento matemático que existe contiene 85 problemas entre los que figuran algunos relativos a ecuaciones lineales y series. La historia del Papiro RHIND comienza en el invierno de 1858, cuando un joven anticuario escocés, llamado A. HENRY RHIND, que residía en Egipto a causa de su salud, obtuvo, en Luxor, un papiro bastante ancho, que decían haber hallado en las ruinas de un pequeño edificio antiguo de Tebas. RHIND murió de tuberculosis cinco años después, y su papiro fue adquirido por el Brítish Museum. El documento no estaba intacto; evidentemente, en un principio había sido un rollo de unos 5,5 m de largo por 33 cm de alto, pero estaba roto en dos pedazos y le faltaban algunos fragmentos. Por una de esas raras casualidades que ocurren a veces en arqueología, varios fragmentos de la parte que faltaba aparecieron, medio siglo más tarde, en los archivos de la Hitoric Society, de Nueva York. Habían sido obtenidos, junto con otros interesantes papiros de tema médico, por el coleccionista EDWIN SMITH. Los fragmentos iluminaron algunos extremos esenciales para comprender el conjunto de la obra. El rollo consistía en un manual práctico de matemáticas egipcias, escrito hacia el 1700 a. J.C. Muy pronto, después de su descubrimiento, varios científicos estuvieron de acuerdo en que era una antigüedad de primer orden; nada menos, como dijo posteriormente D'ARCY THOMPSON, que «uno de los antiguos monumentos del saber». Aún hoy sigue siendo nuestra principal fuente de conocimientos acerca de cómo contaban y medían los egipcios. 9 El Papiro Rhind lo compuso un escriba llamado AHMÉS, un hombre modesto, comienza su escrito indicando que copió el texto "fielmente de un escrito antiguo realizado en tiempo del rey del Alto (y del bajo) Egipto (Nema) 'et-Ré w El documento más antiguo a que alude data de la dinastía XII, 1849-1801 a. J.C. Pero aquí se detiene la genealogía, pues no es posible afirmar que el documento que copió AHMES fuera, a su vez, copia de otro texto anterior. No está claro tampoco, a qué clase de público se dirigía el texto, o lo que es lo mismo, no sabemos si "era una obra mayor o menor, un compendio para el sabio, un manual para el amanuense, o, simplemente, un libro de texto para muchachos de escuela” El Papiro Rhind, aunque elemental, es un notable logro matemático, que plantea problemas, algunos de los cuales el hombre de inteligencia media del mundo moderno -38 siglos más inteligente, tal vez que AHMÉS- tendría dificultades para resolver. Los científicos no están de acuerdo acerca de la competencia matemática de AHMÉS ya contiene errores que es difícil establecer si los comete él o únicamente los copió del documento anterior. Desde luego, escribió con «mano audaz y elegante» en hierático, forma cursiva del jeroglífico; después de todo, no parece que fuera en absoluto un simple copista ignorante. Podría prestarse a confusiones denominar al Papiro Rhind un tratado, no es sino una colección de ejercicios matemáticos y ejemplos prácticos, desarrollados en un estilo sincopado y, a veces , críptico. La primera sección presenta una tabla de dividir por 2, para los números impares, desde 2 101 . 2 3 , hasta Esta conversión era necesaria porque los Egipcios solamente sabían operar con fracciones de la unidad (con numerador 1), y se veían obligados a reducir las demás cantidades a esta forma. Con excepción de los 2 3, para los que poseían un signo especial, cada fracción debía expresarse como suma de una serie de fracciones de numerador 1. Por ejemplo la fracción ¾ se escribía como, ½ , ¼ (obsérvese que no utilizaban el signo de adición), y 1 2 6 se expresaba así: 1 1 1 40 , 244, 488, 610 . Es notable que los egipcios, que alcanzaron un gran nivel en sus manipulaciones aritméticas, fueran incapaces de inventar una notación original, así como métodos menos engorrosos. Las fracciones de la unidad se siguieron utilizando junto a métodos mejores, aún 10 entre los matemáticos griegos. ARQUÍMEDES, por ejemplo, escribía, ½ , ¼ por, ¾ ; y HERÓN Incluso en el siglo XVII, algunos documentos rusos expresan 1 96 ., 1 1 1 1 2 , 17 , 34 , 51 por 31 51 diciendo “medio-medio-medio-medio-medio -tercio”. El papiro Rhind contiene unos 85 problemas, y muestra el uso de las fracciones, la resolución de ecuaciones simples y de progresiones, la medición de áreas y de volúmenes. Estos problemas nos permiten formamos una idea bastante aproximada de lo que eran capaces de hacer los egipcios con los números. Su aritmética era bastante aditiva, es decir, que la multiplicación y la división las reducían, tal y como lo hacen los niños y las calculadoras digitales, a una serie de adiciones y sustracciones. El único multiplicador que utilizaron, con raras excepciones, fue el 2. Para multiplicar 19 por 6, por ejemplo, los egipcios hubieran doblado 19, luego hubieran doblado el resultado y sumado los dos productos, de este modo: 1 19 \ 2 38 \ 4 76 Total 6 114 El símbolo \ se usa para indicar los submultiplicadores que dan el multiplicador total, en este caso el 6. El problema 23 veces 27 tendría, en el papiro Rhind, un aspecto parecido a esto: \ 1 27 \ 2 54 \ 4 108 8 216 \ 16 432 Total 23 621 En la división, el proceso de duplicar se debía combinar con el uso de las fracciones. Uno de los problemas del papiro es el de la "distribución de panes 9 para hombres 10", lo que quiere decir, dividir 9 panes entre 10 hombres. Este problema no se puede resolver sin pan. Recuérdese 11 que los egipcios, con la excepción de los, 2 3 , habían de reducir todas las fracciones a sumas de fracciones con numerador 1. El papiro Rhind explica: Se procede de este modo: Haz la multiplicación, 2 1 1 3 , 5 , 30 2 1 5 1 30 12 3 1 10 1 30 3 12 1 10 3 1 \ 2 4 \ 7 15 8 Total panes 9; como se En otras palabras, si se suman las fracciones obtenidas por las multiplicaciones indicadas, (2+8 =10), se llega a 9. Es muy comprensible que el lector encuentre la demostración engañosa. Puesto que la resolución verdadera del problema no se nos ha dado. Si 10 hombres se han de repartir 9 panes, cada hombre, dice Ahmés, recibe 2 1 1 3 , 5 . 30 (es decir, 27 30 ) de 10 panes; pero no tenemos idea de cómo se llega a la cantidad que corresponde a cada uno. La respuesta al problema ( 27 30 o 9 10 ) se no ha dado primero, y luego se verifica, no se desarrolla. Es posible que el autor no tenga nada que explicarnos, que el problema se resuelve por tanteo -del modo como se ha sugerido que resolvían los egipcios los problemas matemáticos. El autor del Papiro Rhind mide áreas de triángulos, trapezoides y rectángulos, y volúmenes de cilindros y prismas, y, desde luego, la superficie del círculo. Sus resultados geométricos son aún más admirables que sus soluciones aritméticas, a pesar de que sus métodos, en tanto que se les pueda denominar así, están bastante lejos de la disciplina denominada hoy geometría. “Un granero cilíndrico de diámetro 9 y altura 6, ¿Cuál es la cantidad de grano que puede contener?”. En la resolución de este problema se utiliza una regla para determinar el área del círculo que viene a ser: A= (8 9 d )2 donde d indica el diámetro. Comparada con la fórmula 12 moderna, A=πr2 , da para π un valor de 3,16 que es bastante aproximado al real. El papiro Rhind nos da el área de un triángulo como ½ de la base por la longitud de una línea que puede ser la altura del triángulo, pero como también -Los egiptólogos no están seguros- podría ser el lado. En un triángulo isósceles, alto y con una base estrecha, el error proviene de utilizar el lado, en lugar de la altura, para el cálculo del área, es poco apreciable. Los tres problemas de triángulos del papiro Rhind se refieren a triángulos de ese tipo, pero es evidente que el autor solamente poseía nociones bastante confusas de lo que son los triángulos. El papiro Rhind, aunque demuestra la poca habilidad que poseían los egipcios para las generalizaciones y su inclinación hacia procedimientos engorrosos, prueba también que poseían notables tenacidad para resolver problemas comentes de aritmética, así como mediciones; que no carecían de cierta imaginación para construir rompecabezas algebraicos, y que eran hábiles en extremo para manejar con soltura sus incómodos métodos». 2 El tratamiento es ampliamente retórico, aún cuando hace uso de un pequeño número de símbolos. Existen otras fuentes de referencia que también versan sobre ecuaciones lineales y cuadráticas. Pero, en conjunto, no se evidencia que el álgebra exista como una ciencia. En la siguiente gráfica se presenta un trozo del Papiro Rhind que se halla en el Museo Británico. (Museo Británico: facsímil de las hojas X, XI, XIII, XIX, XV) ( tomado del texto Historia de la Matemática de K. Ribnikov) 2 El Mundo de las matemáticas. James R. Newman. Tercera edición. Ediciones Grijalbo , S.A. 1976. 13 Abajo, reproducción del papiro de Rhind (hacia 1600 a.C.) que contiene numerosos resultados aritméticos y geométricos conocidos por los antiguos egipcios. En particular , el fragmento reproducido hace referencia a diversas equivalencias y relaciones entre fracciones. A la derecha, fragmento de un relieve egipcio (2700 a. C.) en el que se pueden ver cifras de la numeración jeroglífica. La barras horizontales significan unidades , el caracol corresponde a 100 y el símbolo bajo ellos significa 1000. Los egipcios contaban en base 10. El Álgebra en China Es difícil precisar cuando el álgebra como ciencia comenzó en China. Para el año 1000 a. C. ya se conocen algunos problemas cuya solución puede hallarse me diante el uso de ecuaciones. Ciertamente, los Chinos sabían cómo resolver ecuaciones cuadráticas hacia el siglo I a. C. y las reglas dadas siglos antes (en el libro de las Nueve Secciones) implican la solución de tales ecuaciones. 14 El desarrollo de los conocimientos científicos en China tiene una rica historia de muchos siglos; ha sido también establecido el desarrollo original y temprano de la matemática en China. Sin embargo, hasta el momento no ha sido superada la diferencia de una cosa a otra y la pobreza de información científica digna de fe sobre los conocimientos matemáticos de los Chinos en la antigüedad. Según información del matemático historiador Ling Wang, los conocimientos matemáticos de éstos se remontan al siglo Xiv a.n.e. En la historia del Álgebra China se tienen noticias sobre el sistema decimal del cálculo, una simbólica especial de números en jeroglíficos, sobre operaciones con números grandes, la existencia de dispositivos auxiliares de cálculo (tableros de cálculo) sobre operaciones con regla, compás y escuadra. La primera obra matemática es la matemática en nueve libros, a veces llamada “La Matemática en Nueve Capítulos” o el “Libro de las Nueve Secciones o Apartados”. Esta obra apareció como un resumen original de los logros matemáticos de China hacia comienzos de nuestra era. Hay noticias de que fue compuesto por el insigne hombre de estado y además científico Chuam Tsanom (en el año 152 a.n.e.) que coleccionó y sistematizó todos los conocimientos matemáticos conocidos hasta su época. “La Matemática en Nueve Libros” sufrió modificaciones además de añadírseles información en múltiples ocaciones: En el siglo I a.n.e. Hen Chou-Chan En el siglo III n.e. Liu Hiu En el siglo VI Cheng Luang En el siglo VII Li Chungfan Como resultado de esta reelaboraciones “La Matemática en Nuevo Libros” tomó forma de una original enciclopedia matemática con contenido relativamente heterogéneo (compuesto de partes de diversa naturaleza). Los libros que componen esta obra tienen la forma de 15 pergaminos independientes ellos están dedicados a diferentes temas fundamentalmente de carácter práctico. El Libro I se denomina “Medición de Campos”, se dan reglas correctas para calcular áreas de triángulos, rectángulos y trapecios. El libro II se denomina “Relación entre las diferentes formas de cercales”; refleja la práctica antigua de cobro de impuestos sobre el grano, medido en unidades de volumen y de cálculos durante la elaboración de este grano. Los problemas matemáticos surgen debido a esto, son problemas de regla de tres y división proporcional. El libro III se denomina “División Escalonada”, se trata de la distribución de los ingreso entre los funcionarios de diferentes clases, esto es, la división proporcional, la regla de tres simple y compuesta. El IV libro, “Shao Huan”, al principio se trata de la determinación del lado del rectángulo dados los valores del área. El libro V denominado “Estimación de los Trabajos”; se recopilan problemas relacionados con los cálculos para la construcción de paredes, murallas, torres, fosas y otras obras. Para esto se calculan tanto volúmenes de diferentes cuerpos como las exigencias de fuerza de trabajo, materiales y medios de transporte bajo diferentes condiciones. El libro VI se denomina “Distribución Proporcional”, comienza con un grupo de problemas sobre una justa distribución de los impuestos, utiliza los mismos métodos matemático del libro III. También se encuentra una serie de problemas sobre la sumación de alguna s progresiones aritméticas y problemas sobre el trabajo colectivo con diferente productividad. El libro VII, “Exceso – Defecto”, en él se recogen problemas que conducen a la resolución de ecuaciones lineales y su generalización a sistemas con mayor número de incógnitas. El libro VIII, “Fan-Chen”, los problemas de éste libro conducen a un sistema de cinco ecuaciones lineales con raíces positivas. El libro IX, “La Matemática en Nueve Libros”, lo constituyen los problemas de la determinación de distancias y alturas no accesibles con la ayuda del teorema de Pitágoras y las propiedades de los triángulos semejantes. Matemáticamente, este libro es particularmente interesante por la formulación algebraica general de las reglas. Esta obra demuestra que el transcurso de muchos siglos la matemática en China se desarrolló preferentemente con una orientación de Cálculo-Algorítmico y creó los elementos 16 para la resolución de problemas. La orientación de cálculo algorítmico fue conservado por la matemática China también en el período siguiente, incluso hasta mediados del siglo XIV. Los mayores éxitos fueron nuevamente alcanzados en las ramas del álgebra y de los métodos de cálculos aritméticos. Hacia el siglo VII la ecuación cúbica ya ha comenzado a atraer la atención de los matemáticos Chinos, como se evidencia en la obra de WANG HSIAO-TUNG (c.625). Con la llegada de los Jesuítas en el siglo XVI y la consecuente introducción de la ciencia occidental. China perdió interés en su álgebra nativa y nunca la r ecuperó completamente. En China ya se conocía el teorema de Pitágoras en la época de éste matemático Griego. La ilustración a la izquierda reproduce una demostración de este teorema, atribuida por la tradición China al matemático Chou Pei, probablemente contemporáneo de Pitágoras. El Algebra en Grecia Difícilmente puede decirse que el álgebra, entendida al modo moderno, haya existido en la edad de oro de los matemáticos Griegos. Los Griegos del período clásico podían resolver muchos problemas algebraicos de considerable dificultad, pero las soluciones fueron todas geométricas. HIPÓCRATES (460 a. C.), por ejemplo, Quien fue el primer Matemático profesional en la primera mitad del siglo y siguiendo una probable tradición de mercader enseñó esa cienc ia por dinero a la manera de los Sofistas. Sus contribuciones en el problema de la duplicación del cubo son importantes, ya que redujo la cuestión a un problema de Geometría plana. También le fue posible cuadrar recintos cerrados por arcos de círculos aparentemente más 17 complicados que el círculo, que por su forma de luna creciente se les llamó “Lúnulas de Hipócrates. También elaboró una construcción equivalente a resolver la ecuación x2 + 3 2 ax = a2 . Grecia también cuenta con las contribuciones de Euclides (300 a.C.), matemático griego, se ignora donde nació y donde murió, sin embargo se sabe que en el reinado de Tolomeo I, enseñó en Alejandría de Egipto, ciudad que gracias a Euclides se convirtió en un floreciente centro de estudios matemáticos. Recopiló y organizó todos los conocimientos geométricos de su época, es autor de numerosas obras científicas, entre ellas sus célebre “Elementos de Geometría ”, que comprenden de 13 libros, con un total de 465 proposiciones, 93 problemas y 372 teoremas. el primero de los cuales contiene los axiomas distribuidos en dos grupos: postulados y nociones comunes. Los postulados constituyen los fundamentos específicamente geométricos, fijando la existencia de los entes fundamentales: punto, recta y plano. En los cuatro primeros libros están las proposiciones de la geometría plana elemental. En los dos libros siguientes se trata de la teoría de las proporciones y la aplicación de esa teoría a las magnitudes geométricas. Los libros 7, 8 y 9 tratan de la teoría de los números, de los enteros positivos, de la divisibilidad de los factores primos, de las proporciones y progresiones geométricas y aritméticas. (Cabe señalar que el libro 8 es el de más bajo nivel, conteniendo incluso algunas falacias lógicas.) El libro 10, que trata de los números irracionales, es el más extenso y difícil de todos. Los tres últimos libros se refieren a la geometría del espacio: el onceavo expone algunos teoremas de Geometría en el espacio, el doceavo expone teoremas en el plano o en el espacio y el treceavo se ocupa exclusivamente de los cinco poliedros regulares. Los “Elementos de Geometría” no contienen toda la Geometría Griega de la época, pero sin duda contiene una buena parte de la Matemática elaborada por los matemáticos anteriores a Euclides y por Euclides mismo. Euclides utilizó el método axiomático deductivo. La 18 seguridad que éste método confirió a la construcción euclidea es el hecho fundamental que ha permitido la existencia por más de 20 siglos de la obra de Euclides. Dispuso de la lógica aristotélica, en quien se fundamenta precisamente el método axiomático señalado por Aristóteles como el mejor a seguir en toda ciencia deductiva y fue la lógica aristotélica quien le dio la solidez necesaria a la obra de Euclides para resistir la oposición por muchos siglos. En todas las demostraciones Euclides usa perfectamente el método de reducción al absurdo, pero casi siempre recurre también a los artificios lógicos capaces de llevarle a su objetivo con la mayor rapidez y seguridad. No se puede negar el espíritu creativo de Euclides, es así como para demostrar el teorema de Pitágoras, utilizó una figura (a la izquierda) que se ha descrito a veces como un molino de viento, o como una cola de pavo real, o como la silla de la novia. Euclides resolvió problemas equivalentes a los siguientes: xy=k 2 , xy=a xy=k 2 , x+y=a xy=k 2 , x 2 -y2=a Además, en sus Elementos, Euclides resolvió problemas que equivalen a la solución de las ecuaciones: x2 +ax=a, x2 +ax=b 2 . Fundamentalmente completando cuadrados geométricos y no considerando las raíces negativas. A la izquierda: Página de los elementos de Euclides, con comentarios de al-Tusi (manuscrito persa del siglo XV) 19 Después de Euclides surge un período de transición del método geométrico al analítico, hacia el ocaso del esplendor de la era griega, muy pocos hombres de ciencia se interesaban por el álgebra. La mayor parte de ellos se hallaban imbuidos de conocimientos geométricos, concurriendo a la universidad donde Hypatía dic taba sus conferencias. Fue por ese, entonces sin embargo, cuando entra en escena un hombre singular: Diofanto(c.275). Éste sistematizó sus ideas con el empleo de símbolos creados por él mismo. introduce una notación algebraica basada en abreviaturas que marca un paso hacia el lenguaje simbólico., dando nacimiento a lo que hoy se conoce como ecuaciones indeterminadas, se produce, así un avance significativo en el desarrollo del álgebra. Además añadió amplias perspectivas al objetivo del álgebra tal y como existía entonces, tratando los problemas algebraicos por métodos exclusivamente analíticos. Su obra fue la primera dedicada totalmente al álgebra, por lo que a menudo se le designa como el padre de esta ciencia, y sus tan variados problemas como hábiles soluciones se constituyeron en modelo para Fermat, Euler y Gauss. Ante lo ambiguo de los datos sobre la fecha precisa en que vivió Diofanto (se calcula que fue entre el 100 y el 400 de nuestra era), se opone el conocimiento exacto de cuántos años abarcó ésta. A pesar que lo dicho anteriormente parece una contradicción, en realidad no es tal, ya que la edad de este matemático quedó registrada para siempre en un epigrama griego (acertijo) descritos con términos algebraicos hace ya de esto unos 1500 años. Atribuido a Hypatía, gran estudiosa y analizadora de los trabajos de Diofanto, el acertijo que le rinde homenaje relata su vida en los siguientes términos: «Dios le concedió niñez durante una sexta ( 1 6 ) parte de su vida; y juventud durante otra doceava ( 112 ) parte más; lo alumbró con la luz del matrimonio durante un séptima ( 1 7) parte y 5 años más tarde , le concedió un hijo; después de alcanzar la mitad de la vida de su padre, la muerte lo llevó, dejando a Diofanto durante los últimos cuatro (4) años de su vida con el único consuelo que puede ofrecer la matemática». Expresando cada segmento en símbolos algebraicos se obtiene: Si x es la edad a la cual murió, entonces: 1 6 x + 121 x + 17 x + 5 + 12 x + 4 = x , y Diofanto debe haber vivido hasta los 84 años de edad. 20 De Diofanto se conoce un escrito sobre los números poligonales y sus libros de aritmética, su aritmética no contiene teoremas o proposiciones sino problemas entre números abstractos. Diofanto resuelve problemas de Primer grado con una incógnita, sistemas lineales, ecuaciones cuadráticas, sistemas indeterminados y problemas de triángulos. A la izquierda: Portada de una edición de 1670 del libro sexto de la Aritmética de Diofanto de Alejandría, comentado por Bachet, que incorpora los comentarios de Fermat. El Álgebra en la India Existen solamente cuatro autores Hindúes en el campo del álgebra, cuyos nombres son particularmente notables. Ellos son: ARYABHATA (c 510), es uno de los grandes Matemáticos Hindú, es autor de un tratado Astronómico – Matemático en versos, Aryabhatigan divididos en cuatro capítulos, de los cuales el más importante desde el punto de vista matemático, es el segundo que comprende además de otras cuestiones, una tabla de senos y ejemplos de análisis indeterminado de primer grado. En sus trabajos se incluyen problemas de series, permutaciones, ecuaciones lineales y cuadráticas. BRAHMAGUPTA (c. 628), Es un matemático del siglo VII, en sus trabajos dedica unos capítulos a la matemática dando un valor aproximado de p, Ecuaciones indeterminadas de segundo grado y en especial propiedades de los cuadriláteros. Las contribuciones de Brahmagupta al álgebra son mucho más importantes que sus reglas para el cálculo de áreas ya que nos encontramos con soluciones generales cuadráticas, incluyendo las dos raíces aún en caso de que una de ellas sea negativa. Brahmagupta da origen a la ley de los signos: + x + = +, - x - = +, + ÷ + = +, en sus problemas ncluye los tópicos tratados por Aryabhata; también asignó el nombre de «Regla de tres» a la susodicha regla. 21 MAHAVIRA (c. 850), cuyo tratado incluye numerosos problemas sobre series, radicales y ecuaciones. BHASKARA (c. 1150), es el último, cronológicamente, de los matemáticos Hindúes de importancia del siglo XII , en cuya obra astronómica dedica dos capítulos: Lilavati (la hermosa o la noble ciencia) y la Viga -Ganita a la aritmética y al álgebra. Es probablemente la obra más importante de la matemática Hindú, en la que se advierten influencias de la matemática Griega, Árabe y China. Su obra contiene nueve capítulos y se extiende hasta las ecuaciones cuadráticas. Es de hacer notar que un genio anónimo Hindú inventó la notación decimal. Los dedos, una calculadora de “bolsillo” siempre a mano. En los dibujos a la izquierda se muestra un modo de contar con los dedos, que todavía se usa en Irak, Turquía, India e Indochina. Apoyando el pulgar sobre las falanges de la mano derecha se llevan las cuentas hasta 12. Cada vez que se alcanza esta cantidad se dobla un dedo de la mano izquierda. Así el puño izquierdo cerrado indica 60 unidades. El Álgebra entre los Árabes y los Persas La escuela de Bagdad (siglos IX al XII). Los árabes fueron los verdaderos sistematizadores del álgebra. A fines del siglo VIII floreció la escuela de Bagdad a la que 22 pertenecieron Al Khowarizmi, Al Batani y Omar Khayyan. Al Khowarizmi, persa del siglo IX, escribió el primer liibro de álgebra y le dio nombre a esta ciencia. Durante el primer siglo del Imperio Musulmán no se produjo ningún desarrollo científico, este período de tiempo fue de hecho, una especie de “nadir” en el desarrollo de la matemática a lo largo de toda la historia de la humanidad, ya que los Árabes aún no habían conseguido el impulso intelectual necesario, mientras que el interés por el saber había desaparecido casi completamente en el resto del mundo. De no haber sido por el repentino despertar cultural en el Islam durante la segunda mitad del siglo VIII, sin duda se habría perdido mucho más de la ciencia y de las matemáticas antiguas. Cuando los Árabes eran todavía nómadas tenían palabras para los números, pero no disponían de ningún símbolo. Tomaron y mejoraron los símbolos numéricos de los Hindúes, usaban estos símbolos numé ricos para los números enteros y las fracciones corrientes en sus textos matemáticos y numerales alfabetos árabes. Los árabes introdujeron en occidente la numeración y el álgebra, recogiendo la herencia científica de los griegos, asimilando el espíritu pr áctico de las matemáticas de la India y perfeccionando el sistema de numeración posicional. Entre los matemáticos árabes sobresale Al Khowarizmi (Mohammed ben Musa, Mohammed hijo de Moisés) (siglo IX), autor de una obra escrita hacia el 830 de nuestra era, que trata sobre las operaciones para simplificar las ecuaciones. De una de estas operaciones, la de llevar un sumando del primer miembro al segundo, denominada en árabe al-yabr, deriva el término álgebra, mientras que del nombre de su autor se derivó la palabra algoritmo. La palabra álgebra es la corrupción Europea de una frase árabe que significa restauración y reducción: la primera palabra se refiere al hecho de que la misma magnitud puede añadirse o 23 sustraerse a los dos miembros de una ecuación, y la última significa el proceso de simplificación. . Su obra, escrita el 830 titulada «Al-jabr w'al-muqabalah», cuya traducción directa significa «restauración y reducción», dio lugar al término Álgebra, con el que hoy día se designa a esta ciencia. Su uso original puede apreciarse en el siguiente ejemplo dado por Behaeddin (c. 1600): Dado: bx+2q=x2 +bx-q Al-jabrda: bx+2q+q= x2 +bx YaI-muqaba: 3q= x 2 . Como puede apreciarse, la idea fundamental de al-jabr, que significa “restauración”, restaura el equilibrio en una ecuación al colocar en un miembro de la misma, un término que ha sido eliminado del otro, es decir, es la de trasposición un término negativo, y la de al-muqabalah, que significa “simplificación”, en el sentido de que, por ejemplo se pueden combinar 3x y 4x y obtener 7x, o bien suprimir términos iguales en miembros distintos de una ecuación, es decir, equivale a la de trasposición de una cantidad positiva y la simplificación o reducción de cada miembro de la ecuación Manuscrito latino del Álgebra de Al Khowarizmi . conservado en la biblioteca Nacional de París Es de hacer notar que los árabes introdujeron el término de álgebra en España, donde fue utilizado como vocablo que significaba restaurador, es decir se usa para denominar a un curandero que arregla las articulaciones óseas desajustadas, luego pasó a Italia y al resto de Europa. 24 Al-Khowarizmi ejecuta algunas operaciones exactamente igual que Diofanto. Por ejemplo en ecuaciones con varias incógnitas, las reduce a una indeterminada y a continuación las resuelve; utiliza, también al igual que Diofanto, nombres especiales para las potencias de cada indeterminada. En su obra, Al-Khowarizmi presenta el primer tratamiento sistemático del contenido algebraico, derivado de la teoría de números. Otros autores árabes de interés son: « Almahani (c. 860), relacionado con la resolución de la ecuación cúbica. « Al-Karkhi (c. 1020), cuya obra «Fakhrí» contiene varios problemas que todavía forman parte del material habitualmente utilizado en álgebra, se interesó más por el álgebra del tipo de la de Al-Khowarizmi que por el análisis indeterminado de los Hindúes, pero en cambio, de la misma manera que Diofanto y al revés que Al-Khowarizmi, no se limitó en absoluto a la s ecuaciones cuadráticas ya que siguió la costumbre árabe de dar demostraciones geométricas para la resolución de las ecuaciones cuadráticas. « Omar Khayyan (c. l100) cuyo tratado de álgebra es el mejor de los escritos por los autores persas; en él se alude, por ejemplo, a la regla para desarrollar la potencia enésima del binomio (a+b)n, para n>2. Mostró cómo expresar las raíces de ecuaciones cúbicas utilizando los segmentos obtenidos por intersección de secciones cónicas, aunque no fue capaz de encontrar una fórmula para las raíces. En general los matemáticos árabes mostraron gran habilidad en el cálculo y en la elaboración de tablas, pero les faltó la originalidad y el genio de Grecia y de la India. Principales Autores Medievales La mayor parte de los escritores medievales occidentales que impulsaron el progreso del álgebra fueron traductores de las obras de los autores árabes, en particular de Al- Khowarizmi. 25 Cabe citar entre ellos a Johannes Hispalensis (c 1140), Gerardo de Cremona (c. 1150), Aderaldo de Bath (c. 1120) y Robert de Chester (c. 1140). Aderaldo de Bath ya había traducido casi 20 años antes (1126) las tablas astronómicas de Al-Kawarizmi, del árabe al latín, sin embardo Aderaldo constituye una excepción entre los primeros traductores al no formar parte del numeroso grupo que trabajaba en España. Gerardo de Cremosa fue el más importante en España, ya que había venido a España a estudiar árabe, entre las obras de Gerardo había también una adaptación latina del álgebra de Al-Khowarizmi. Robert de Chester realizó la primera traducción del tratado de Al-Khowarizmi, que podemos considerar que marca el comienzo del álgebra europea. El más destacado de los escritores de Álgebra de la Edad Media fue Leonardo de Pisa, apodado Fibonacci (c.l175-1230), (hijo de Bonaccio). Acompañando a su padre, un comerciante de la ciudad de Pisa, viajó por el norte de África y el próximo Oriente , donde aprendió las matemáticas Indias y, en especial, el uso de la numeración arábiga . En 1202, de vuelta a Pisa, escribió Liber Abaci, en el que introdujo las cifras arábigas, el cero y el sistema posicional de numeración. Sin embargo, su contribución al desarrollo de las matemáticas no tuvo el eco merecido hasta que fue inventada la imprenta y su obra pudo ser ampliamente divulgada. Fue el más destacado ya que estudió con un maestro musulmán y viajó por Egipto, Siria y Grecia. Era natural, entonces, que Leonardo. aprendiera los métodos algebraicos árabes . Símbolo de la raíz cuadrada Su obra principal, fue el «Líber quadratorum»(c 1225), incluye el tratamiento de problemas tales como x2 +y2 =x2, mostrando gran ingenio en su solución. Leonardo de Pisa en 1220 Este símbolo proviene de la palabra latina radix, de la que deriva el término español Raiz 26 Probablemente haya quedado claro que Leonardo de Pisa fue un matemático excepcionalmente capaz. Pero si bien es cierto que no tuvo ningún rival de su misma talla durante los 900 años de cultura medieval europea, no fue sin embargo una figura tan aislada como a veces se ha querido hacer creer. De hecho, tuvo un contemporáneo también capaz, pero no excepcionalmente dotado, es Jordanus Nemorarius . Entre los algebristas alemanes de esta época conviene destacar a Jordanus Nemorarius (c.l225),, él representa un punto de vista sobre la ciencia más aristotélica, fue el fundador de lo que ha venido llamándose la escuela medieval de mecánica. En su obra contiene algunos problemas de ecuaciones lineales y cuadráticas de tipos aún familiares en nuestros libr os de texto. En general, sin embargo, los autores medievales estaban más interesados en la matemática como instrumento a la astronomía. Principales Autores del Renacimiento al Siglo XIX Entre los que señalaron los errores en el razonamiento de Nicolás de Cusa estaba 27 Regiomontano (1436-1476), probablemente el matemático que ejerció una mayor influencia de todo el siglo XV, y cuya fecha de nacimiento podría tomarse como el comienzo de una nueva era. Regiomontano había estudiado en las universidades de Le ipzig y de Viena, en las que se desarrolló su gran afición a las matemáticas y la astronomía. En su viaje a Roma aprendió el griego y se familiarizó con las corrientes científicas y filosóficas entonces en boga. Viajó y estudió en Italia y regresó a Alemania, donde instaló una imprenta y un observatorio en Nuremberg con el objeto de promover el interés por la ciencia y la literatura. Tenía la intensión de imprimir traducciones de Arquímedes, Apolonio, Herón y Ptolomeo, entre otros científicos, pero su trágica muerte a la edad de 40 años acabó con su ambicioso proyecto. Regiomontano era, por sus variados intereses, un típico “hombre del renacimiento ”, como nos indica su nombre adoptivo: su verdadero nombre era Johan Müller de Königsberg, del nombre alemán de Königsberg o “Montaña Del Rey” resultó el nombre de Regiomontanus . El proyecto de traducción de Regiomontano dio lugar además a la publicación de varios libros escritos por él mismo, tales como su Epítome de Almagesto de Ptolomeo , notable por el énfasis que pone en la parte matemática de la obra, que era lo que se omitía casi siempre en los comentarios sobre astronomía descriptiva elemental. Mucho más importante desde el punto de vista matemático fue su De triangulis omnimodis, una exposición sistemá tica de los métodos de resolución de triángulos que marcó el verdadero renacimiento de la trigonometría. En ésta época la trigonometría hacía el papel de la criada de la astronomía, por ejemplo en la India, donde tuvo precisamente su nacimiento la función seno, no se mostró apenas interés en ella aparte de su aplicación a los sistemas astronómicos, incluso entre los árabes, para quienes la trigonometría era la segunda en el ranking del interés matemático, cediendo el primer lugar sólo al álgebra. El álgebra de Regiomontano era de tipo retórico, como la de los Árabes, él conocía la aritmética de Diofanto, en la que se adoptaba la notación llamada sincopada, pero en definitiva fue de Al-Khowarizmi de quien aprendió la Europa Medieval tardía los métodos algebraicos. De hecho la influencia de Regiomontano en álgebra se vio limitada no sólo por su adhesión a la forma de expresión retórica y por su temprana muerte. Así pues, Europa continuó aprendiendo su álgebra lenta y penosamente de la escasa tradición griega, árabe y latina que discurría a 28