MIEMBROS COMISIÓN DE TITULACIÓN
_______________________________
Néstor Fierro Morineaud.
Ingeniero Electrónico.
_______________________________
Franklin Castro Rojas.
Ingeniero Electrónico.
________________________________
Alejandro Villegas Macaya.
Ingeniero Electrónico.
1
AGRADECIMIENTOS
Primeramente agradecer a Dios, por la vida y la salud que me ah sustentado hasta el día de hoy,
por la familia que me ah dado y por permitir que pueda estar terminando un ciclo mas en esta
vida, como lo es la enseñanza superior.
Agradecer a mis padres Alberto y Nelly, que me han guiado por el camino del estudio y la
dedicación a las cosas que uno emprende, por la confianza que me brindaron en mis años de
estudio en la Universidad. También, por los impagables valores que me sustentaron desde
pequeño, valores que me ayudaron mucho a realizarme como persona, por todo esto doy gracias a
mis queridos padres y por creer en mí.
También agradecer a mis hermanos, a mis primos y a mis tíos por estar siempre conmigo
apoyándome en todas las cosas buenas o malas, y por la constante preocupación y apoyo que me
prestaron en mis años de vida y de Universidad.
A mi polola Gabriela, que ah sido un gran apoyo en los momentos difíciles, y por darme tantas
alegrías en la vida, y por los innumerables consejos que me dabas en momentos complicados,
gracias por conocerte.
Por último, agradecer a mi profesor patrocinante Sr. Néstor Fierro, por darme la oportunidad de
realizar esta tesis, y por la motivación que me dio para realizarla, por sus conocimientos
prestados a lo largo de mi carrera Universitaria, y a todos los profesores de la Universidad,
gracias a todos por sus conocimientos prestados.
2
RESUMEN.
En el presente trabajo de titulación, se muestra un estudio detallado de los algoritmos de
dirección de llegada basados en subespacio MUSIC y ESPIRIT, y su rendimiento en diferentes
escenarios que afectan el desempeño del arreglo de la antena. Para realizar un buen estudio
matemático de estos algoritmos, se mostrarán conceptos complementarios básicos como
correlación, matriz de correlación, arreglo de antenas entre otros.
También se verá la evolución de la telefonía móvil, centrándonos principalmente en la
tecnología 3G, luego se mostrarán conceptos básicos como funcionamiento, configuración y
ventajas de las antenas inteligentes, para profundizar con la tecnología de estas antenas.
Por último, se explicará de manera clara y sencilla los códigos realizados en el programa
MATLAB para los algoritmos MUSIC y ESPIRT, para ello se explicará en el capitulo 3 los
cálculos teórico de estos algoritmos, para después explicar cómo se implementaron estos cálculos
en nuestro código. Luego se pasará a ejecutar los algoritmos realizados, para comparar el
rendimiento de los dos algoritmos, considerando diferentes parámetros para las mismas
condiciones de entorno. Para el algoritmo MUSIC se mostrarán las graficas del pseudoespectro, y
para el algoritmo ESPIRIT se mostrarán los ángulos de llegada, calculadas por el algoritmo, y se
medirá la diferencia con los ángulos de llegada ingresados.
ABSTRACT.
In the present work of qualifications shows a detailed study of the direction of arrival
algorithms based on subspace MUSIC and spirit, and his performance in different scenarios that
affect the performance of the antenna array. To realize a good mathematical study of these
algorithms will be shown basic complementary concepts as correlation, correlation matrix array
of antennas between others.
Also one will see the evolution of the mobile telephony, centring principally on the
technology 3G, then show basic concepts such as performance, configuration and benefits of
smart antennas to deepen with the technology of these antennas.
Finally it will explain in a clear and simple way the codes realized in the program
MATLAB for the algorithms MUSIC and ESPIRT, for it one will explain in the chapter 3 the
calculations theoretically of these algorithms, later to explain how these calculations were
3
implemented in our code. Then one will happen to execute the algorithms realized to compare the
performance of both algorithms considering different parameters in the same conditions for both.
For the algorithm MUSIC the graphs of the pseudospectrum will appear and for the algorithm
ESPIRIT the angles of arrival will appear calculated by the algorithm and the difference will
measure up to the entered angles of arrival.
4
OBJETIVOS.
Objetivo General.
Comparar el rendimiento de los algoritmos MUSIC y ESPIRIT, para la estimación de los ángulos
de llegada, mediante alguna aplicación del software de simulación MATLAB.
Objetivos Específicos.
 Conocer la evolución de las comunicaciones móviles a través del tiempo, centrándonos
principalmente en la tecnología 3G.
 Conocer y comprender el funcionamiento de las antenas inteligentes en las redes de
comunicaciones móviles.
 Analizar principios estadísticos y algebraicos básicos para la
compresión de los
algoritmos MUSIC y ESPIRIT.
 Comprender el funcionamiento de los algoritmos MUSIC y ESPIRIT, tanto en el estudio
de la estimación teórica, como en la estimación realizada a través del código
implementado en el Software MATLAB.
 Diseñar mediante lenguaje de programación en MATLAB, un código que simule la
estimación de los ángulos de llegada, tanto para el algoritmo MUSIC como para el
algoritmo ESPIRIT.
5
METODO DE TRABAJO.
El estudio de algoritmos para antenas inteligentes MUSIC y ESPIRIT, están basados en métodos
matemáticos que mezclan distintas aéreas como la estadística, el algebra lineal, y el concepto
fundamental de antenas y arreglo de antenas. Por lo cual, se tuvo que familiarizar con conceptos
de algebra lineal y estadística principalmente, para comprender a cabalidad el conceptos de estos
algoritmos y así desarrollar la implementación de estos algoritmos en el software de simulación
MATLAB.
Como se mencionó anteriormente, se profundizaron conceptos de estadística y algebra lineal, por
lo cual se utilizó material bibliográfico presente en la Biblioteca de nuestra Universidad, así como
también papers y cursos presentes en la web, las que fueron de bastante utilidad para la
confección de algunos de los capítulos que contiene esta tesis.
Por último, para realizar las comparaciones de rendimiento de ambos algoritmos, se utilizó el
software de simulación Matlab, en el cual se implementó, mediante códigos de programación, la
estimación de los ángulos de llegada utilizando los algoritmos anteriormente mencionados.
6
ÍNDICE
Pág.
AGRADECIMIENTOS……………………………………………………………………...... ...I
RESUMEN………………………………………………………………………………….…… II
ABSTRACT……………………………………………………………………………………. III
OBJETIVOS………………………………………………………………………………… …IV
METODO DE TRABAJO………………………………………………………………….. ….V
CAPITULO I. INFORMACIÓN GENERAL DE LAS COMUNICACIONES
MÓVILES…………………………………………………………………………………….....11
1.1. INTRODUCCIÓN……………………………………………………………….. ...11
1.2. COMUNICACIÓN CELULAR GENERAL…………………………………….….12
1.3. LA EVOLUCIÓN DE LOS SISTEMAS DE TELEFONÍA MÓVIL………………13
1.4. EL FRAMEWORK………………………………………………………………….15
1.5. SISTEMAS DE RADIO CELULAR: CONCEPTOS Y EVOLUCIÓN……………17
1.5.1. Sistemas Omnidireccionales y reutilización de canal……………………..17
1.5.2. División de celdas…………………………………………………………19
1.5.3. Sistemas Sectorizados………………………………………………….....20
1.6. CONTROL DE POTENCIA………………………………………………………..22
1.7. LA EFICIENCIA ESPECTRAL……………………………………………………22
1.8. SISTEMAS DE ACCESO MÚLTIPLE…………………………………………….25
1.8.1. FDMA…………………………………………………………………….25
1.8.2. TDMA……………………………………………………………………..26
1.8.3. CDMA……………………………………………………………………..26
1.9. REDES DE PRIMERA GENERACIÓN GSM……………………………………..27
1.9.1. Comandos de control de módem GSM……………………………………30
1.9.2. Estructura de la red GSM………………………………………………….31
1.9.3. Manejo de la Movilidad…………………………………………………...33
1.9.4. Camino Evolutivo de las Redes GSM…………………………………….34
1.10. REDES DE SEGUNDA GENERACIÓN – GPRS………………………………..35
1.11. REDES DE TELEFONÍA 3G……………………………………………………...37
1.11.1. Las prestaciones de los sistemas 3G……………………………………..38
1.11.2. Sistemas 3G propuestos………………………………………………….39
7
1.11.3. UMTS…………………………………………………………………….39
1.11.4. Descripción general………………………………………………………40
1.11.5. Objetivos UMTS…………………………………………………………40
1.11.6. Fases para el desarrollo de UMTS……………………………………….41
1.11.7. Características básicas de UMTS………………………………………...41
1.11.8. Funcionamiento…………………………………………………………..43
1.11.9. Estructura de la red UMTS………………………………………………45
1.11.10. Descripción de los elementos que forman la red del sistema
UMTS…………………………………………………………………...47
1.11.10.1. Equipo de usuario (UE)……………………………………….47
1.11.10.2. Red de acceso de radio UMTS (UTRAN)……………………47
1.11.10.3. RNC (Radio Network Controller)…………………………….49
1.11.10.4. Nodo B………………………………………………………..50
1.11.10.5. Interfaz lu……………………………………………………..51
1.11.10.6. Interfaz lur…………………………………………………….54
1.11.10.7. Interfaz lub……………………………………………………55
1.11.10.8. Interfaz Uu…………………………………………………….56
1.11.10.9. Red Central (Core Network)…………………………………..59
1.11.10.10. MSC (Mobile Switching Center). …………………………...59
1.11.10.11. SGSN (Serving GPRS Support Node). ……………………...60
1.11.11. Concepto y arquitectura de QoS en UMTS…………………………….60
1.11.11.1. Clases de tráfico y QoS en UMTS……………………………62
1.11.11.2. Atributos y parámetros de QoS……………………………….62
1.11.11 .3. QoS en las aplicaciones………………………………………63
1.11.12. HSDPA/HSUPA la evolución de UMTS……………………………….64
1.11.12 .1. HSDPA……………………………………………………….64
1.11.12 .2. Principales características de HSDPA………………………..66
1.11.12 .3. Actualización de la red……………………………………….68
1.11.12 .4. HSUPA…………………………………………………….....68
8
CAPITULO II. ANTENAS INTELIGENTES………………………………………………..70
2.1. INTRODUCCIÓN…………………………………………………………………..70
2.2. NECESIDAD DE ANTENAS INTELIGENTES…………………………………...70
2.3. VISIÓN GENERAL………………………………………………………………...72
2.4. CONFIGURACIÓN DE ANTENAS INTELIGENTES……………………………75
2.5. ANTENAS DE HAZ CONMUTADO……………………………………………...77
2.6. APROXIMACIÓN DE UNA ANTENA ADAPTATIVA………………………….80
2.7. ANTENAS INTELIGENTES EN SDMA…………………………………………..84
2.8. ARQUITECTURA DE UN SISTEMA DE ANTENA INTELIGENTE…………...87
2.8.1. Receptor…………………………………………………………………...87
2.8.2. Transmisor………………………………………………………………...90
2.9. BENEFICIOS Y DESVENTAJAS…………………………………………………93
CAPITULO III. ESTIMACIÓN DE DIRECCIÓN DE LLEGADA:
ALGORITMOS MUSIC Y ESPIRIT………………………………………………………….96
3.1. INTRODUCCIÓN…………………………………………………………………..96
3.2. CORRELACIÓN LINEAL………………………………………………………….96
3.3. ESPERANZA MATEMÁTICA O VALOR ESPERADO………………………...101
3.3.1. Esperanza Matemática de una función de una Variable Aleatoria
Discreta…………………………………………………………………..101
3.3.2. Esperanza Matemática de una función de una Variable Aleatoria
Continua………………………………………………………………….102
3.3.3. Propiedades de la Esperanza Matemática………………………………..102
3.4. VECTORES BÁSICOS……………………………………………………………102
3.4.1. Vector columna…………………………………………………………...102
3.4.2. Vectores fila………………………………………………………………102
3.4.3. Vector transpuesta………………………………………………………...102
3.4.4. Vector transpuesto hermitiano…………………………………………...103
3.5. AUTOCORRELACIÓN Y DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA………...103
3.6. MATRIZ DE CORRELACIÓN…………………………………………………...105
9
3.7. FUNDAMENTOS DE ARREGLOS DE ANTENAS……………………………..106
3.8. CONSIDERACIONES PARA UN MODELAMIENTO DE
UN ARREGLO DE ANTENAS…………………………………………………...107
3.8.1. Arreglo lineal uniforme (ULA)…………………………………………..108
3.9. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES…………………………………………112
3.9.1. Definiciones……………………………………………………………...112
3.9.2. Cálculo de valores propios y vectores propios de matrices……………...113
3.9.2.1 Encontrando valores propios…………………………………….113
3.9.3. Ejemplo de matriz sin valores propios reales………………………….....114
3.10. DETECCIÓN DEL ÁNGULO DE LLEGADA………………………………….116
3.10.1. Escenario de trabajo…………………………………………………….118
3.10.2. Matriz de correlación…………………………………………………...119
3.10.3. Cálculo Estimado de la matriz de autocorrelación……………………...120
3.10.4. Algoritmo MUSIC……………………………………………………...121
3.10.5. Algoritmo ESPIRIT…………………………………………………….127
3.10.5.2. Geometría del arreglo y estimación de DOA…………………128
CAPITULO VI. ANÁLISIS COMPARATIVO ENTRE ALGORITMOS MUSIC Y
ESPIRIT……………………………………………………………………134
4.1. INTRODUCCIÓN………………………………………………………………….134
4.2. VARIABLES DE ENTRADA……………………………………………………...135
4.3. MODELO DE LA SEÑAL Y MATRIZ DE CORRELACIÓN…………………...137
4.4 ESTIMACIÓN DEL ALGORITMO MUSIC……………………………………... 140
4.5 ESTIMACIÓN DEL ALGORITMO ESPIRIT…………………………………….146
4.6. SIMULACIÓN COMPARATIVA PARA LOS ALGORITMOS MUSIC Y
ESPIRIT……………………………………………………………………………154
4.6.1. Efectos que se producen al variar la distancia entre los elementos
del arreglo………………………………………………………………..155
4.6.2. Efectos que se producen al variar la separación angular entre las
señales incidentes…………………………………………………………159
10
4.6.3. Efectos que se producen al variar el número de muestras de las
señales incidentes…………………………………………………………161
4.6.4. Efectos que se producen al variar la potencia de ruido en los
elementos del arreglo……………………………………………………..164
4.6.5. Efectos que se producen al variar el número de elementos en el
arreglo……………………………………………………………………167
4.6.6. Efectos que se producen al aumentar el número de señales
incidentes………………………………………………………………...169
CONCLUSIONES……………………………………………………………………………..172
ANEXO 1. CÓDIGO ALGORITMO MUSIC……………………………………………….174
ANEXO 2. CÓDIGO ALGORITMO ESPIRIT……………………………………………..176
ANEXO 3. CÓDIGO ALGORITMO MIXTO………………………………………………178
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS……………………………………………………….181
11
CAPITULO I. INFORMACIÓN GENERAL DE LAS COMUNICACIONES MÓVILES.
1.1. INTRODUCCIÓN.
Todos los sistemas de comunicación tienen fundamentalmente el mismo objetivo:
transmitir la máxima cantidad de información con el mínimo número de errores. Los modernos
sistemas de comunicaciones inalámbricas digitales no son una excepción. Estos sistemas por lo
general se puede dividir en varios elementos como se indica en la figura x. Dada cualquier
entrada digital, el codificador de fuente elimina la redundancia en los bits de información, lo que
maximiza la cantidad de la información útil transferidos en el sistema de comunicación. La salida
del generador de código fuente es procesada por el codificador de canal, que incorpora
información de control de errores en los datos para reducir al mínimo la probabilidad de error en
la transmisión. La salida del codificador de canal es procesada más adelante por la unidad de
procesamiento de señales digitales, a fin de permitir la comunicación simultánea de muchos
usuarios. Un ejemplo de esto sería la formación de haz digital, que mediante el uso de las
propiedades geométricas del arreglo de antenas, es capaz de concentrar las señales de múltiples
usuarios en diferentes direcciones deseadas, lo que permite a más usuarios ser atendidos por el
sistema. El flujo de datos generado es luego procesado por el modulador que se encarga de
desplazar la señal en banda base a su entrada en la versión pasa-banda en la salida, debido a las
limitaciones de ancho de banda del sistema de comunicación. La secuencia de la información
generada en la salida del modulador luego se introduce en el arreglo de antenas y se transmiten a
través del canal inalámbrico.
En el otro extremo del canal de radio, se lleva a cabo el procedimiento inverso. El demodulador
de abajo convierte las señales de diferentes usuarios recogidos por la antena receptora en su
equivalente en banda base. El procesador de señales digitales luego separa las diferentes señales
que provienen de los diferentes usuarios. El decodificador de canales detecta y corrige, si es
posible, los errores que se producen debido a la propagación a través del canal físico. Tras lo
dicho, el decodificador fuente restaura la secuencia de datos reales de su versión comprimida.
Todo el procedimiento tiene por objeto recuperar la información transmitida en el otro extremo
del canal físico, con el menor número posible de errores.
12
Figura 1.1. Elementos de un sistema de comunicaciones
1.2. COMUNICACIÓN CELULAR GENERAL.
La era de las comunicaciones inalámbricas comenzó alrededor de 1895, cuando
Guglielmo Marconi demostró el uso de ondas de radio para comunicarse a través de grandes
distancias. La telefonía celular es actualmente uno de las de más rápido crecimiento y más
demandada en aplicaciones de telecomunicaciones. Hoy en día, representa el porcentaje
dominante de todas las suscripciones de nuevos teléfonos en todo el mundo. Durante la primera
parte de esta década, el número de abonados a teléfonos celulares móviles ha superado al de
líneas fijas convencionales. En muchas partes del mundo, la penetración del teléfono móvil es ya
más de 100% y el mercado sigue creciendo. Según las últimas cifras de Wireless Intelligence
(WI), el emprendimiento entre Ovum (Telecoms and Software Consulting) y la Asociación GSM,
que se centra en los datos de mercado y análisis sobre la industria móvil mundial, el crecimiento
en todo el mundo se está ejecutando actualmente en más de 40 millones de conexiones por nuevo
mes el mayor volumen de crecimiento del mercado nunca antes visto. En general, la penetración
del mercado mundial, se espera que aumente de un 41% estimado a finales de 2006 a 47% a
finales de 2007, en una pista que ha alcanzado el hito de 3 mil millones de conexiones celulares!
Sin embargo, como dice Wireless Intelligence, el número de conexiones celulares no representan
el número de usuarios de celular, puesto que muchos suscriptores tienen más de una conexión
celular y, además, estas cifras incluyen las cuentas que ya no puede estar activo. En general, el
crecimiento de abonados es especialmente fuerte en Asia, donde las tasas de penetración siguen
siendo bajos, seguido de las Américas, mientras que el saturado mercado de Europa occidental
13
está estancado. Los gráficos en la figura. 1.2 gráfico de las estimaciones de Micrologic Research
(a), de la celebración mundial de ventas de teléfonos celulares y (b) número de abonados de todo
el mundo a teléfonos celulares desde 1998 hasta 2006.
1.3. LA EVOLUCIÓN DE LOS SISTEMAS DE TELEFONÍA MÓVIL.
El concepto de servicio de telefonía celular es el uso de transmisores de baja potencia en
las que las frecuencias pueden ser reutilizadas dentro de un área geográfica. Sin embargo, los
países nórdicos fueron los primeros en introducir los servicios de celulares para uso comercial
con la introducción en 1981 del Teléfono Móvil Nórdica (NMT).
Figura 1.2: (a) anuario a nivel mundial de los envíos de teléfonos celulares y (b) el número de
todo el mundo de abonados a teléfonos celulares.
Los sistemas celulares se iniciaron en los Estados Unidos con el lanzamiento del servicio de
telefonía móvil avanzada (AMPS) el sistema en 1981. La norma AMPS fue adoptada por Asia,
América Latina, y países de Oceanía, creando el mayor mercado potencial en el mundo de la
tecnología celular.
En la década de 1980, la mayoría de los sistemas de telefonía móvil eran analógicos en lugar de
digitales, como los sistemas más modernos de hoy. Uno de los retos que enfrentaron los sistemas
analógicos era la incapacidad para manejar las necesidades de capacidad cada vez mayor en una
manera costo-eficiencia. Como resultado, la tecnología digital fue recibida. Las ventajas de los
sistemas digitales a través de los sistemas analógicos incluyen la facilidad de la señalización, los
niveles más bajos de la interferencia, la integración de la transmisión y conmutación, y el
aumento de la capacidad para satisfacer la capacidad de demandas.
14
GSM, que fue introducido por primera vez en 1991, es uno de los principales sistemas celulares
digitales. Hoy en día, es el estándar de facto de telefonía inalámbrica en Europa, y es
ampliamente usado en Europa y otras partes del mundo.
El sistema CDMA fue estandarizado en 1993. CDMA se refiere a la original ITU IS-95 (CDMA)
el protocolo de interfaz inalámbrica y se considera una tecnología inalámbrica móvil de segunda
generación (2G), que se introdujo comercialmente en 1995. Rápidamente se convirtió en una de
las tecnologías inalámbricas mundiales de más rápido crecimiento.
En 1999, la Unión Internacional de Telecomunicaciones, selecciona a CDMA como estándar de
la industria de "tercera generación" (3G), de los sistemas inalámbricos. Muchos de los principales
transportes inalámbricos están en construcción o mejora de las redes 3G CDMA con el fin de
proporcionar una mayor capacidad para tráfico de voz, junto con capacidades de alta velocidad de
datos. La nueva versión de CDMA, también conocido como CDMA 2000 o IS-2000, es tanto una
interfaz aérea y una solución de red central para la prestación de los servicios que los clientes
demandan hoy en día. Un componente clave de CDMA2000 es su capacidad para apoyar las
demandas completa de avanzados servicios de 3G, tales como multimedia y otros servicios
basados en IP. CDMA2000 es la solución ideal para los operadores móviles que desean
aprovechar la dinámica del mercado creadas por la movilidad y la Internet.
Sistema Universal de Telecomunicaciones móviles (UMTS) es una evolución del sistema GSM.
La interfaz de aire se ha cambiado por un sistema basado en acceso múltiple por división de
tiempo (TDMA) a un acceso múltiple por división de código de banda ancha (W-CDMA) basado
en interfaz aéreo. Esta modificación era necesaria para alcanzar la velocidad de datos de 2 Mbps
a los móviles que es un requerimiento 3G. Además de voz y datos, UMTS ofrece audio y vídeo a
dispositivos inalámbricos en cualquier lugar del mundo a través de redes fijas, inalámbricas y los
sistemas de satélite. El sistema UMTS servirá a la mayoría de los países europeos.
15
1.4. EL FRAMEWORK.
Los sistemas de comunicación inalámbrica por lo general llevan a cabo la comunicación
dúplex entre dos puntos. Estos dos puntos se definen generalmente como la Estación Base (BS) y
la estación móvil (MS).
Tabla 1. El Desarrollo de Sistemas de Telefonía Móvil.
La comunicación de datos de la BS a la MS es usualmente referido como el enlace
descendente o canal hacia adelante. Del mismo modo, la comunicación de los datos de la MS a la
BS normalmente se conoce como el enlace ascendente o canal de retorno. Dos sistemas pueden
existir en el enlace descendente: un sistema de antena para la transmisión en la BS y otro sistema
de antena para la recepción en la MS. Además, no puede haber dos sistemas en el enlace
ascendente: transmisión en la MS y recepción en el BS. Un ejemplo de tal sistema se ilustra en la
figura 1.3.
16
FIGURA 1.3: Un sistema de antena general de comunicaciones de banda ancha inalámbrica.
El sistema de telefonía móvil proporciona una conexión inalámbrica a la red telefónica pública
conmutada (PSTN) para cualquier usuario en el rango de radio del sistema. Esto consiste de:
 Estaciones móviles
 Las estaciones base, y
 Centro de conmutación móvil (MSC)
La estación base es el puente entre los usuarios de telefonía móvil y el MSC (Centro de estación
móvil), a través de líneas telefónicas o enlaces de microondas. El MSC conecta el sistema celular
entero a la PSTN en el sistema celular. La figura 2.4 proporciona una ilustración simplificada
cómo funciona un sistema de telefonía celular.
17
FIGURA 1.4: Una configuración típica de un sistema móvil base.
1.5. SISTEMAS DE RADIO CELULAR: CONCEPTOS Y EVOLUCIÓN.
El mantenimiento de la capacidad ha sido siempre un reto, ya que el número de servicios
y suscriptores se incrementa cada día más. Para alcanzar la capacidad de demanda exigidos por el
creciente número de abonados, el sistema de radio celular tenía que evolucionar a lo largo de los
años. Para justificar la necesidad de sistemas de antenas inteligentes en la estructura del actual
sistema de celulares, una breve historia de la evolución de los sistemas de radio celular se
presenta.
1.5.1. Sistemas Omnidireccionales y reutilización de canal.
Desde los primeros días, los diseñadores de sistemas sabían que la capacidad iba a ser un
problema, especialmente cuando el número de canales o frecuencias asignadas por la Comisión
Federal de Comunicaciones (FCC) fue limitado. Por lo tanto, para dar cabida al gran número de
abonados y alcanzar la capacidad necesaria, una estructura celular adecuada tuvo que ser
diseñada. El concepto dominante, es que la capacidad sólo puede aumentarse mediante el uso de
cada canal de tráfico para realizar llamadas de manera simultánea. Una forma de lograrlo es
utilizar el mismo canal una y otra vez. Para ello, los teléfonos móviles utilizados en el mismo
canal de radio tienen que ser colocado lo suficientemente alejados unos de otros a fin de evitar la
perturbación. Celurización, consiste en romper una gran área geográfica de servicio en áreas más
18
pequeñas, denominadas celdas, cada una de las cuales puede usar una porción del ancho de banda
disponible (reutilización de frecuencias), por lo que es posible proporcionar enlaces inalámbricos
a muchos usuarios a pesar del espectro limitado. Las celdas, por lo general, tienen formas y
dimensiones irregulares. La forma es determinada en gran parte por el terreno, y las funciones
hechas por el hombre.
Dependiendo de su tamaño, las celdas se pueden clasificar como macroceldas (cuando la estación
base tiene suficiente potencia de transmisión para cubrir las áreas de un radio de 1-20Km),
microceldas (áreas de radio de 0,1 a 1 km), y picoceldas (medio ambiente interior). Una distancia
mínima entre dos celdas, utilizando canales idénticos es requerida, esta distancia es conocida
como la distancia de reutilización de canales. Esto también se conoce como la reutilización de
canales a través de la separación espacial. La capacidad del sistema depende de la distancia. Un
ejemplo de tal estructura es representada en la figura 1.5.
Figura 1.5: estructura celular típica con 7 celdas con patrón de reutilización.
En la figura 1.5, cada área hexagonal con matiz diferente, representa un área geográfica pequeña
llamada célula de radio máximo R. En el centro de cada célula, reside una estación base equipada
con una antena omnidireccional, con una banda determinada de frecuencias. Las estaciones bases
en las celdas adyacentes se asignan a bandas de frecuencias, que contienen frecuencias
completamente diferentes a las células vecinas. Al limitar el área de cobertura dentro de los
límites de una celda, la misma banda de frecuencias pueden ser utilizadas para cubrir las
diferentes celdas que están separadas entre sí, por distancias bastante grande (indicado como D en
la figura. 1.5), para mantener los niveles de interferencia por debajo del umbral de los demás. El
proceso de diseño de selección y asignación de las mismas bandas de frecuencias a las diferentes
celdas de las estaciones base celulares dentro de un sistema, se conoce como la reutilización de
frecuencias o canal de reutilización. Esto se muestra en la figura 1.5 repitiendo el patrón de
19
sombreado o de los grupos; celdas que tienen el mismo patrón de sombreado utilizan el mismo
ancho de banda de frecuencia. En los primeros sistemas de radiocomunicaciones celulares
desplegadas, cada estación base estaba equipado con una antena omnidireccional. Debido a que
sólo un pequeño porcentaje del total de energía alcanza el usuario deseado, la energía restante se
desperdicia y contamina el medio ambiente con la interferencia. Como el número de usuarios
aumenta, también lo hace la interferencia, lo que reduce la capacidad. Una solución inmediata a
este problema para subdividir una celda en celdas más pequeñas, se conoce como la división
celular.
1.5.2. División de celdas
La división de celdas, como se muestra en la figura 1.6, divide una celda congestionada en
pequeñas células llamadas microceldas, cada una con su propia estación base y la
correspondiente reducción en la altura de la antena y la potencia de transmisión. La división de
celdas mejora la capacidad de la disminución del radio R de la celda, y mantiene la relación D /
R sin cambios; D es la distancia entre los centros de las agrupaciones. Las desventajas de la
división celular son los costes de la instalación de nuevas estaciones base, el aumento en el
número de transferencias (el proceso de transferencia de comunicación de una estación base a
otra estación base, cuando la unidad móvil que viaja de una celda a otra), y una mayor carga de
procesamiento por suscriptor.
Figura 1.6: división de celdas.
20
1.5.3. Sistemas Sectorizados.
Como la demanda de servicios inalámbricos creció aún más, el número de frecuencias
asignadas a una celda llegó a ser insuficiente para el número requerido de los abonados. Así, una
técnica de diseño celular era necesaria para más frecuencias por el área de cobertura. Los
sistemas sectorizados, subdividen el área celular tradicional en los sectores que están cubiertos
mediante antenas direccionales en la misma estación base, como se muestra en la figura 1.7.
Esta técnica se conoce como sectorización de celdas, cuando una antena omnidireccional solo se
sustituye en la estación base con varias antenas direccionales. Operativamente, cada sector se
considera como una celda diferente en el sistema, el rango de las cuales, en muchos casos, puede
ser mayor que en el caso omnidireccional (alrededor del 35% más), ya que la potencia de
transmisión está enfocado a un área más pequeña.
Figura 1.7: sistema de antena Sectorizado y patrón de cobertura.
El Sectorizado de celdas puede aumentar el uso eficiente del espectro disponible, reduciendo la
interferencia presentada por la estación base y de sus usuarios, con el resto de la red, y son
ampliamente utilizados para este propósito. La mayoría de los sistemas de servicios comerciales
en la actualidad trabajan en tres sectores, cada uno con 120º de cobertura. Aunque un mayor
número de sectores es posible, el número de antenas y equipos de estaciones base se convierten
en prohibitivo para la mayoría de los sitios de células. La figura 1.8 se muestra un sistema que
emplea el tipo de 120º sectorización de la célula.
21
Figura 1.8: sectorizado de la red celular utilizando tres sectores, cada uno cubre un campo de
visión de 120º.
En la sectorización, la capacidad es mejorada, manteniendo el radio de la celda sin cambios y
reduciendo el radio D / R. En otras palabras, mejora la capacidad que se logra mediante la
reducción del número de células y, por tanto, el aumento de la reutilización de frecuencias. Sin
embargo, con el fin de lograr esto, es necesario reducir la interferencia relativa, sin disminuir la
potencia de transmisión. La interferencia co-canal en el sistema celular, se reduce ya que sólo dos
células vecinas interfieren en lugar de seis para el caso omnidireccional, como se muestra en la
figura 1.9.
Figura 1.9: Comparación de la interferencia co-canal entre (a) omnidireccional y (b) los sistemas
de sectorización.
Aumentar el número de sectores en un sistema CDMA, ha sido una técnica útil de aumentar la
capacidad de los sitios de la celda. En teoría, el aumento de la capacidad es proporcional al
22
número de sectores por celda. El costo por la mejora del radio señal a interferencia (S / I), y la
capacidad en el aumento del número de antenas en la estación base, es una disminución en la
eficiencia del trunking debido a la sectorización del canal en la estación base. La eficiencia
trunking, es una medida del número de usuarios a los que se pueden ofrecer servicios, con una
configuración particular de número fijo de frecuencias.
1.6. CONTROL DE POTENCIA.
El control de potencia, es una técnica mediante la cual la potencia de transmisión de una
estación base, o transceptor, está disminuido cerca del nivel más bajo permisible que permite la
comunicación. Debido a la relación logarítmica entre la capacidad de la conexión y la relación
señal-interferencia y ruido (SINR) en el receptor, cualquier intento de aumentar la velocidad de
datos, simplemente
transmitirá más potencia, lo que es extremadamente costoso. Además,
aumentar las escalas de potencia sube tanto las señales deseadas como su interferencia mutua. Por
lo tanto, una vez que se ha convertido en un sistema limitado por su propia interferencia,
aumentar la potencia es inútil. Dado que los sistemas maduros están diseñados en una manera de
lograr su máxima capacidad, esto es la potencia misma, en la forma de interferencia, que en
última instancia limita su rendimiento. Como resultado, la
potencia debe ser controlada
cuidadosamente y asignada, para permitir la coexistencia de múltiples usuarios dispersos
geográficamente que operan en diversas condiciones, y ha sido un tema de investigación activa.
Por ejemplo, tanto los sistemas GSM y CDMA usan el control de potencia en los enlaces
ascendente y descendente. Particularmente, los sistemas CDMA requieren de un rápido y preciso
control de potencia, ya que muchos usuarios comparten el mismo espectro de RF, y la capacidad
del sistema es muy sensible a la interferencia de un control inadecuado.
1.7. LA EFICIENCIA ESPECTRAL.
Otra manera efectiva de mejorar la velocidad de datos, es aumentar el ancho de banda de
la señal junto con el aumento de potencia. Sin embargo, el espectro de radio no es un recurso
abundante en las frecuencias de interés. Además, aumentando el ancho de banda de la señal, más
allá del ancho de banda de coherencia, causa la selectividad de frecuencia y la degradación en la
calidad de transmisión. La eficiencia espectral, definida como la relación de la capacidad por
23
unidad de ancho de banda, mide la capacidad de un sistema inalámbrico para ofrecer
información, con una determinada cantidad de espectro de radio, y proporciona otro indicador
clave de la calidad del sistema inalámbrico. Esto determina la cantidad de espectro de radio
requerido para proporcionar un servicio dado (por ejemplo, 10Kbps el servicio de voz o 100Kbps
el servicio de datos), y el número de estaciones bases requeridas para entregar aquel servicio a los
usuarios finales. En los últimos años de la implementación, cuando la penetración de abonados es
alta, esto es por consiguiente, uno de los principales determinantes de la economía del sistema.
La eficiencia espectral se mide en unidades de bits / segundo por Hertz / celda (b / s / Hz / celda).
Esto determina el rendimiento total de cada estación base (celda o un sector) que se puede apoyar
con una cantidad determinada del espectro. La apariencia de una dimensión "por celda", en la
medición de la eficiencia espectral puede parecer sorprendente, pero el rendimiento de una
estación base de una red celular, es casi siempre mucho menos que el de una sola celda aislada.
Esta diferencia se atribuye a la auto-interferencia generada en la red.
En un sistema celular, la comunicación por radio entre un usuario y una estación base, genera una
energía que es perceptible en otros lugares de la vecindad inmediata del usuario, la estación base
y una línea imaginaria entre los dos. Para otros usuarios de la zona, este exceso de energía
degrada el canal de radio, o la hace completamente inútil para las conversaciones. A medida que
aumenta la densidad de usuarios, los recursos de radio son, en consecuencia, eventualmente
agotados. Los sistemas con mayor eficiencia espectral, proporcionan más datos de rendimiento
(servicios), con una determinada cantidad de espectro y apoyo a más usuarios en un determinado
grado de servicios antes de experimentar el agotamiento de los recursos. Los
principales
beneficios de la mayor eficiencia espectral, se pueden enumerar como sigue: mayor capacidad
agregada (transmisión por celda), más calidad por usuario y niveles de servicio, mayor densidad
de abonados por cada estación base, las necesidades de espectro reducido, y bajo capital y costes
operativos en implementación. La eficiencia espectral para los diferentes sistemas se puede
calcular fácilmente usando la ecuación 1.1.
Eficiencia Espectral =
Rendimiento del canal___
Ancho de banda del canal
(1.1)
Esto simplemente suma el rendimiento sobre un canal en una red operativa, y se divide por el
ancho de banda de canal. Para entender los cálculos de eficiencia espectral, considere el sistema
PCS-1900 (GSM), el
que puede ser parametrizado de la siguiente manera: Portadoras de
24
200KHz, 8 ranuras de tiempo por portadora, 13.3Kbps datos de usuario por slot, reutilización
efectiva de 7 (de manera efectiva con grupos de 7 canales con una carga de 100 por ciento de la
red, o sólo 1/7 de cada uno de los rendimientos de los canales disponibles por celda). La
eficiencia espectral es, por tanto:
SE = 8 ranuras x 13.3 Kbps_ / 200KHz / 7 celdas
Slot
= 0.076 b/ s / Hz / celda.
(1.2)
Este valor de aproximadamente 0.1b/s/Hz/celda es generalmente representante de la gran
movilidad para sistemas celulares 2G y 3G, incluidos los sistemas de CDMA de todo tipo. Esto
refleja el hecho, de que las técnicas clásicas para aumentar la eficiencia espectral se han agotado,
y que las nuevas técnicas son necesarias. Por último, cabe señalar que el valor de
aproximadamente 0.1b/s/Hz/cell, representa un gran obstáculo para la prestación de servicios de
la próxima generación. Sin un aumento sustancial de la eficiencia espectral, los sistemas 3G están
obligados a la eficiencia espectral, como los de los sistemas 2G. En un típico sistema 3G con un
bloque del canal descendente de 5MHz, esto se traduce en una capacidad total de celdas de
aproximadamente 500 Kbps para todas las celdas. Con los servicios anunciados en el rango de
144-384Kbps, 1 a 3 usuarios ocuparán completamente la capacidad de la celda, esto está lejos de
los aproximadamente 250-500 abonados por celda, que se necesita para que el sistema sea
económicamente viable, y esto subraya la necesidad de nuevos métodos para aumentar la
eficiencia espectral.
25
1.8. SISTEMAS DE ACCESO MÚLTIPLE.
Las comunicaciones móviles utilizan el rango de frecuencias disponibles en un número de
formas, conocido como los sistemas de acceso múltiples. Algunos esquemas básicos son FDMA,
TDMA y CDMA.
1.8.1. FDMA.
En el estándar de acceso múltiple por división de frecuencia (FDMA), tal como AMPS, el
sistema de telefonía celular
más ampliamente instalado en Norteamérica, las diferentes
frecuencias portadoras son asignadas a diferentes usuarios. Las conversaciones individuales usan
los canales de comunicación debidamente separados en el dominio de frecuencia. En un sistema
usando el esquema FDMA, seis frecuencias se asignan a seis usuarios, y seis llamadas
simultáneas pueden hacerse como se muestra en la figura 1.10. Los sistemas FDMA transmiten
un circuito de voz por canal. Cada conversación obtiene su propio o único, canal de radio. Los
canales son relativamente estrechos, generalmente de 30 KHz o menos, y se definen como
cualquier transmisión o recepción de canales. Una conversación full duplex, requiere un par de
transmisión y recepción de canales.
Figura 1.10 – Esquema de funcionamiento de FDMA.
Por ejemplo, si en un sistema FDMA había 200 canales, el sistema puede manejar
simultáneamente 100 conversaciones dúplex completo (100 canales de transmisión y 100 canales
de recepción).
26
1.8.2. TDMA.
Con los sistemas de acceso múltiple por división de tiempo (TDMA), las conversaciones
por separado tanto en los dominios de frecuencia y tiempo tienen lugar, como se muestra en la
figura 2.11. Cada frecuencia (canal) soporta múltiples conversaciones, que utilizan el canal
durante intervalos de tiempo específicos. Normalmente hay un número máximo de 18
conversaciones que se pueden apoyar en cada canal físico, y cada conversación ocupa un canal
lógico. Por ejemplo, un sistema que utiliza este sistema crea dos canales de TDMA y divide cada
uno en tres ranuras de tiempo, sirviendo a seis usuarios. Las comunicaciones Global System
Mobile (GSM), un sistema unificado pan-europeo, es una división en el tiempo basado en el
sistema celular digital. Emplea a 8 ranuras de tiempo por cada frame en un canal de 200 KHz. Al
igual que otros sistemas TDMA, se transmite escalonadamente y se recibe las ranuras de tiempo
(time slots) que permite a los módems utilizar los radios Half-duplex, reduciendo así sus costes.
La compensación de transmisión / recepción aún deja suficiente tiempo de inactividad para el
móvil para participar en los handovers de un seguimiento más cercano de los puntos fuertes de la
señal del canal celular.
Figura 1.11 – Esquema de funcionamiento de TDMA
1.8.3. CDMA.
Sistemas de acceso Multiple por división de código (CDMA) usa spread spectrum (SS) de
señalización para crear secuencias de ancho de banda para la transmisión. Esto se logra por varios
métodos, tales como secuencias de seudoruido (PN), frecuencia o técnicas de salto de tiempo,
como se muestra en la figura 2.12. Un número de usuarios simultáneamente y con un acceso de
forma sincrónica a un canal mediante la modulación de las señales que llevan información con
las secuencias de la firma preasignada.
27
Figura 1.12 – Esquema de funcionamiento de CDMA
1.9. REDES DE PRIMERA GENERACIÓN GSM.
En el inicio de los años 80 aparecieron en
el mundo los primeros sistemas de
comunicaciones celulares móviles. El aislamiento de los diferentes sistemas, así como las
proyecciones de saturación de su capacidad empezaron rápidamente a ser aspectos preocupantes.
Por otro lado, los costes relacionados con la investigación y desarrollo de la tecnología móvil
eran muy elevados, lo que incitó a los fabricantes y operadores a considerar sistemas globales, de
forma a que se pudiesen crear economías de escala.
En este contexto, en 1982 la CEPT (Conférence des Administrations Européenes des Postes et
Télécommunications), responde a estas cuestiones creando el Groupe Spéciale Mobile (GSM), y
posteriormente rebautiza las siglas de Global System for Mobile Telecommunications, con el
propósito de desarrollar especificaciones técnicas para una red europea de telecomunicaciones
móviles, capaz de soportar los millones de futuros clientes del nuevo servicio. Los principios
básicos para la segunda generación de móviles eran la buena calidad de servicio, terminales y
servicios baratos, roaming internacional, eficiencia espectral, compatibilidad RDSI, etc..
En 1984 la Comisión Europea dio su apoyo formal al GSM y, en 1986, dictó una directiva que
estableció las fundaciones políticas del GSM. La recomendación delineaba una introducción
coordinada del GSM, con el lanzamiento limitado del servicio en 1991, seguido de la cobertura
completa de las principales ciudades en 1993 y la unión de todas las áreas en 1995. La directiva
citaba la obligación de reservar los bloques necesarios en la banda de 900 MHz, para asegurar la
implementación del sistema. El siguiente paso llevaba a que fuese necesario que los potenciales
operadores se comprometiesen con el futuro sistema, lo cual se empezó a conseguir con la firma
del Memoradum of Understanding (MoU) en 1987, rubricado por 15 signatarios de un total de
13 países. A partir de ese momento comenzaron a ser probadas las soluciones tecnológicas
28
posibles, culminando con la elección de la tecnología de acceso TDMA (Time Division Multiple
Access) combinada con FDMA (Frequency Division Multiple Access).
Pronto se vio que había más problemas de los previstos, por lo que se acordó que se efectuaría el
desarrollo de la especificación en dos fases. Además, la implantación en términos geográficos se
vislumbró que debía realizarse en fases, empezando por ciudades importantes y aeropuertos y
siguiendo con autopistas. Se calculó que se tardarían años en lograr un servicio completo a todo
Europa.
No se alcanzó la fecha acordada de 1 de julio de 1991 para el lanzamiento comercial del sistema
GSM. A ello contribuyeron el retraso del desarrollo y acuerdo de pruebas de certificación así
como la necesidad de modificar algunas especificaciones GSM, ya que la complejidad técnica del
desarrollo de terminales portátiles se tardó en resolver más de lo previsto. El servicio comercial
del sistema GSM llego en 1992, si bien el tamaño de las áreas de cobertura y el número de
usuarios era bastante dispar.
A finales de 1993 el número de operadores que habían firmado el MoU había aumentado a 45.
Treinta redes GSM estaban en servicio con cerca de un millón de abonados en todo el mundo. A
finales de 1994 el número de miembros del MoU había crecido a 102 de 60 países. En 1995 el
MoU ya poseía 156 miembros, pertenecientes a 86 países, con 12 millones de clientes. En EEUU,
la FCC (Federal Communications Commission) decidió abrir partes de la frecuencia de los 1900
MHz para usos móviles, con elección del sistema por parte de las operadoras. Se desarrolló
entonces el PCS1900, una variante del GSM, para aprovechar la oportunidad abierta en el
mercado norteamericano. En noviembre de 1995 fue lanzado en EEUU el primer servicio
PCS1900.
A principios del siglo XXI, los sistemas GSM900/1800/1900 son utilizados en 135 países, con
345 millones de usuarios diseminados por 366 redes. El lanzamiento de terminales tribanda (que
operan en la frecuencia 900, 1800 y 1900 MHz), posibilita capacidades de roaming cada vez
mayores, ya que los usuarios pueden utilizar las tres frecuencias disponibles en los cinco
continentes. La aparición de GSM tuvo un impacto todavía mayor en las telecomunicaciones: la
apertura de los mercados a operadoras privadas. Los nuevos actores trajeron consigo estrategias
de marketing agresivas y una lógica comercial al sector.
GSM emplea una modulación GMSK (Gaussian Minimum Shift Keying) obtenida a partir de una
modulación MSK que es un tipo especial de FSK. Para el acceso en el interfaz radio o Abis se
29
utiliza el sistema TDMA de banda estrecha (Time División Múltiple Access); entre la estación
base y el teléfono celular utilizando 2 canales de radio de frecuencia dúplex. Para minimizar las
fuentes de interferencia y conseguir una mayor protección se utiliza el (frequency hopping) o
salto en frecuencia entre canales, con una velocidad máxima de 217 saltos/S. y siempre bajo
mandato de la red.
GSM tiene cuatro versiones principales basadas en la banda: GSM-850, GSM-900, GSM-1800 y
GSM-1900. GSM-900 (900 MHz) y GSM-1800 (1,8 GHz) son utilizadas en la mayor parte del
mundo, salvo en Estados Unidos, Canadá y el resto de América Latina que utilizan el CDMA,
lugares en los que se utilizan las bandas de GSM-850 y GSM-1900 (1,9 GHz), ya que en EE.UU.
las bandas de 900 y 1800 MHz están ya ocupadas para usos militares.
El GSM, se puede dedicar tanto a voz como a datos. Una llamada de voz utiliza un codificador
GSM específico a velocidad total de 13Kbits/s, posteriormente se desarrolló un códec a velocidad
mitad de 6,5 kbits/s, que permitirá duplicar la capacidad de los canales TCH, se denomina FR
(Full Rate) y HR (Half Rate).
Las implementaciones más veloces de GSM se denominan GPRS y EDGE, también denominadas
generaciones intermedias o 2.5G, que conducen hacia la tercera generación 3G o UMTS.
Los SMS constituyen también la base de toda una serie de aplicaciones profesionales, que
requieren transferencias de información limitadas y en las que se aprovechan las facilidades de
las comunicaciones móviles, generándose también un mercado alrededor de ellas. En muchos
casos se utilizan los módems GSM para crear aplicaciones específicas de control de dispositivos
y transmisión de datos. El control del teléfono móvil a través del puerto serie se lleva a cabo
mediante el conjunto de comandos AT especificados en la normativa GSM similares a los
utilizados para el control de módems [GSM 03.40] [GSM 04.11] [GSM 07.07] [GSM 07.05].
Hay que destacar que, dependiendo del producto a realizar y del teléfono utilizado, únicamente
son necesarios y/o están disponibles un subconjunto de éstos. Además, cada fabricante incluye
comandos propios que permiten una extensión de las funcionalidades del terminal. También, es
importante resaltar que a pesar que las especificaciones de GSM definen los comandos que deben
incluirse de forma obligatoria, la mayoría de terminales no las cumplen. Por tanto, en caso de que
se deba realizar algún sistema que emplee estos comandos deberá estudiarse el terminal que se
utilizará y remitirse a las especificaciones técnicas del mismo.
30
Los nuevos teléfonos GSM pueden ser controlados por un conjunto de comandos estandarizados
Hayes AT, mediante cable o mediante una conexión inalámbrica (IrDA o Bluetoothh, este último
incorporado en los teléfonos actuales).
1.9.1. Comandos de control de módem GSM.
En la figura 1.13 se presenta una aplicación GSM, que utiliza los mensajes SMS para
transferir la información de anulaciones de denuncia desde un parquímetro de zona azul, a un
centro de control. En este caso, cuando el usuario paga el importe para que se le realice la
anulación de denuncia, la máquina le pide que introduzca la matrícula del vehículo en un teclado
disponible en el parquímetro.
El microprocesador incorporado en el parquímetro captura la matrícula y seguidamente envía un
SMS al centro de control con un formato prefijado, que el servidor del otro extremo es capaz de
interpretar. Para ello el microprocesador de control del parquímetro está conectado al módem
GSM a través de un puerto serie RS-232 y lo gobierna a través de los comandos AT definidos. En
el centro servidor el módem está configurado de forma similar, de modo que cuando se recibe un
mensaje éste pueda ser procesado por el ordenador central.
La arquitectura de la figura 1.13 sería válida también para transferencias de volúmenes de
información más elevados, aunque en este caso se establecería una conexión de datos en lugar de
utilizar SMS. No obstante, la realidad ha sido que, con respecto a las aplicaciones de datos en
GSM, no se han explotado todas sus posibilidades. Las razones que pueden esgrimirse para ello
son:
1. El sistema GSM está orientado a circuitos, de manera que cuando se establece una
comunicación se asigna al usuario un recurso radio en exclusiva y, por lo tanto, la
facturación va asociada al tiempo de comunicación. Las transmisiones de datos están
inherentemente asociadas a la conmutación por paquetes, y de hecho ésta es la tendencia
en las redes fijas, y por tanto GSM no constituye una solución adecuada y natural al
problema.
2. La falta de aplicaciones plug and play estándares provoca que los usuarios de terminales
móviles deban utilizar las soluciones propietarias proporcionadas por los operadores o
desarrolladores de aplicaciones con un coste elevado y poca visibilidad comercial.
31
Figura 1.13 – Aplicación GSM para SMS.
1.9.2. Estructura de la red GSM.
BTS (Base Tranceptor Station): realiza los procesos de TX-RX y procesado de la señal recibida.
Cada BTS puede tener entre 1 y 16 radiocanales asignados. Forma el multiplex GSM, realiza
medidas de la señal radio proveniente del móvil, establece el enlace radio con el usuario móvil
(modulación, demodulación, igualación, codificación, etc). Gestión del time –advance, control de
potencia, operación y mantenimiento.
BSC (Base Station Controller): constituye el primer nivel de concentración de tráfico hacia la
red, con objetivo de minimizar costos de transmisión. Gestiona y controla las BTS, responsable
de la asignación y liberación de radiocanales con el móvil, y de canales terrestres con la red. Fija
el contenido de los canales de radiodifusión y asigna los mensajes de paging. Gestiona los
procesos de transferencia Handover bajo su control. Ejecuta los algoritmos de gestión de potencia
y cifrado.
MSC (Mobile Switching Center): es una central de conmutación ISDN responsable del control
de llamada: establecimiento, mantenimiento y liberación de una comunicación. El GMSC es el
interfaz de la red fija con la red móvil. Sus funciones son las de enrutador de las llamadas
hacia/desde el exterior (PSTN, ISDN) desde/hacia un móvil y de la facturación. Controla varias
BSC y puede conectarse con diversas redes de telecomunicación. Responsable de la gestión de
movilidad (localización y autentificación) en conjunto con HLR y VLR. Handover entre distintas
BSC.
32
HLR (Registro localización del abonado): es una base de datos que almacena la identidad y los
datos de los usuarios abonados, independientemente de la localización real de los mismos en un
determinado momento.
Proporciona los datos necesarios al GMSC para localizar al móvil cuando se desea establecer una
llamada dirigida hacia éste.
 MSISDN: número telefónico para llamarle desde la red pública.
 IMSI: International mobile Susbcriber Identity.
 Datos de localización de la VLR: LMSI (puntero, número de registro o expediente
asociado a un abonado).
 VLRID: identificador de las distintas VLR.
 Tripletas de autentificación: SRES, Kc y RAND.
VLR (Registro de localización visitante): es una base de datos controlada por la MSC que
contiene toda la información relevante de los terminales móviles que en un momento están en el
área de localización controlada por el VLR. Realiza en la MSC la autentificación del móvil.
Actúa como caché del HLR.
Usualmente está incorporado al MSC o GMSC del que forma parte y se conecta con otros VLR
y HLR a través del sistema de señalización SS7.
AUC (Centro de autentificación): gestiona los datos de seguridad y autentificación de los
abonados. Proporciona al HLR los valores de (RAND, RED y Kc) que permiten la
autentificación del móvil en cada MSC/VLR.
EIR (Registro Identificación de Equipos): es una base de datos mundial, contiene listas con
números de serie de equipos móviles que debido a algún defecto o porque han sido robados no
deben acceder a la red. Contiene otra con los valores del IMEI (International Mobile Equipment)
permitidos.
SMSC (Centro del servicio de mensajería): es independiente de la red GSM. Permite enviar y
recibir mensajes cortos (140 caracteres) desde o hacia otros terminales móviles utilizando las
portadoras de señalización GSM y puede establecer conexión con otros sistemas de correo
33
electrónico. La transmisión de un mensaje corto se puede producir incluso simultáneamente con
una transmisión de voz. Es una comunicación en una sola dirección.
Tarjetas SIM (Subscriber Identity Module): permite personalizar el terminal móvil. En ella
residen todos los parámetros identificativos del usuario, junto con los tipos de servicio
contratados. Además, también contiene los números de seguridad para evitar usos fraudulentos
del terminal móvil: PIN (Personal Identification Number), PUK (PIN Unblocking Key), IMSI
(International Mobile Subscriber Identity), Ki: clave para la autentificación. Existen dos
versiones SIM: una del tamaño de una tarjeta de crédito y otra plug-in (15mmx25mm) para
móviles de tamaño reducido.
1.9.3. Manejo de la Movilidad.
Es necesario que la red controle la ubicación de cada estación móvil registrada, para que
la estación móvil se conecte a la red según el pedido. La administración de la información de la
ubicación de la estación móvil se manipula con el esquema de manejo de movilidad. El esquema
opera al registrarse las estaciones móviles con el BSC en que la estación móvil está actualmente
ubicada. Una base de datos centralizada guarda una lista de todas las estaciones móviles en la red,
y los BSCs con los que están actualmente registrados. Se usa un sistema de base de datos
distribuida para sincronizar la base de datos en el BSC y la base de datos centralizada como
premisa del servidor del proveedor.
La figura 1.14 ilustra cómo trabaja el esquema. Una estación móvil llega a una celda servida por
algún BSC. Envía un mensaje identificándose ante el BSC. El BSC envía este mensaje al MSC,
el cual ingresa la identidad de la estación móvil en el registro de ubicación de visitas (VLR por
sus siglas en inglés - Visiting Location Register). El MSC entonces notifica al servidor en los
proveedores de servicio premise que debe actualizar el registro de ubicación inicial (HLR por sus
siglas en inglés - Home Location Register) con la nueva información acerca de la ubicación de la
estación móvil.
34
Figura 1.14 – Topología de celdas GSM
El esquema de manejo de la movilidad consiste entonces de una base de datos distribuida (el
VLR y HLR), y un protocolo asociado (la parte MM de la capa 3), para mantener información de
la ubicación de todas las estaciones móviles en una red.
Al usar este esquema, una consulta al HLR centralizado es todo lo que se necesita para
encontrar la ubicación actual de una estación móvil. Para mantener actualizado el HLR, se
transmite una considerable cantidad de información a través de la red. El HLR se actualiza cada
vez que una estación móvil se mueve de un BSC a otra área. Como el número de subscriptores en
la red aumenta, el flujo de información de actualizaciones del HLR aumenta exponencialmente.
El manejo de la movilidad también es responsable por la autenticación de las estaciones móviles
en la red. Las estaciones móviles que entran al área de un MSCs deben autenticarse antes de que
adquieran los recursos de la red. Esto asegura que sólo clientes válidos puedan usar la red.
1.9.4. Camino Evolutivo de las Redes GSM.
El camino evolutivo de las redes GSM se va a realizar de la forma que indica el siguiente
gráfico:
35
Figura 1.15 - Evolución de los sistemas de telefonía móvil celular.
1.10. REDES DE SEGUNDA GENERACIÓN – GPRS.
La poca adecuación de GSM para soportar aplicaciones de datos al estar orientada a modo
circuito motivó que la ETSI definiera GPRS, una tecnología orientada a paquetes y por lo tanto,
más adecuada para las transmisiones de datos, en concordancia con los mecanismos empleados
en las redes fijas. Las bases que se fijaron para el diseño de GPRS son fundamentalmente:
1. Eficiencia espectral, mediante la asignación de los recursos en el enlace de subida y en el
enlace de bajada de forma separada, dadas las características asimétricas de muchos
servicios de paquetes de datos.
2. Bajo coste de implantación, mediante la reutilización de todo el hardware posible ya
diseñado para el sistema GSM así como la capacidad para un canal de ser asignado
dinámicamente a GSM o GPRS de acuerdo con los niveles relativos de tráfico ofrecido a
cada caso.
3. Mejores prestaciones en cuanto a velocidad: aumento en el caso ideal la velocidad de
transmisión hasta 21.4 kbits/s por slot, lo que permite utilizar idealmente hasta 8 ranuras
temporales, quedando una velocidad de transmisión de pico teórica de 171kbits/s.
4. Calidad de servicio, con la capacidad de soportar varias clases de calidad de servicio en
términos de caudal, retardos y prioridades, de manera que un conjunto grande de
aplicaciones de un nivel más alto con diferentes requerimientos de funcionamiento
puedan compartir el mismo medio de transmisión.
En una red GSM/GPRS pueden combinarse en paralelo los servicios convencionales de circuitos
con los servicios de datos asociados a GPRS. A tal efecto, se definen 3 clases de terminales:
36
1. Clase A, que soporta GSM y GPRS simultáneamente.
2. Clase B, que puede estar registrado simultáneamente a GSM y GPRS, pero en un
momento dado sólo puede utilizar los servicios de una u otra tecnología.
3. Clase C, que puede registrarse a GSM o a GPRS, pero no de forma simultánea (excepto
los SMS que se pueden enviar o recibir en cualquier momento).
Dado el elevado coste asociado a los terminales de clase A, los modelos lanzados por los
fabricantes en los primeros años de despliegue eran únicamente de clase B. El número de canales
depende de cada terminal y varían de 1 a 4 en el enlace descendente y de 1 a 2 para el enlace
ascendente, aunque el estándar permite terminales de hasta 8 canales simultáneos en cada enlace.
Ello implica que las velocidades máximas teóricas abarcan hasta 85.6 kbits/s de bajada, y hasta
42.8 kbits/s de subida. Hay que tener muy presente el elevado consumo de energía, y la
consecuente disipación de potencia en el terminal en caso de plantear configuraciones que
proporcionen elevadas velocidades de transmisión. En cuanto a los esquemas de codificación, los
denominados CS-3 y CS-4, que son los que proporcionan mayores velocidades de transmisión,
no es previsible que se lleguen a implantar.
Con todo lo anterior, en la práctica las primeras pruebas de campo realizadas proporcionaron
caudales de datos realmente bajos, inferiores incluso a los 10 kbits/s. Tras un primer
refinamiento, es razonable conseguir del orden de 20-30 kbits/s para unas condiciones de carga
de la red adecuadas.
El cambio más relevante que introduce la red GPRS en la red GSM es la incorporación de dos
nuevos nodos: el SGSN (Serving GPRS Support Node) y el GGSN (Gateway GPRS Support
Node), para la gestión de movilidad y de mantenimiento del enlace lógico entre el móvil y la red,
así como proporcionar el acceso a las redes de datos (Internet). A nivel radio, los cambios
requeridos respecto a GSM son pocos, ligados únicamente a la introducción de una comunicación
de paquetes sobre el interfaz aire, con la adición del PCU (Packet Control Unit), encargada de
manejar la comunicación de paquetes. Las PCUs se añaden en las estaciones base centrales
(BSC) y requieren la introducción de un nuevo software en las BTS.
En la práctica el tráfico GPRS es un tráfico cursado en modo best effort sin prioridad. Es decir,
aunque la norma prevé la definición de factores de calidad, QoS, en el sentido de garantizar
retardos y velocidades, esta circunstancia no se prevé que vaya a ser utilizada por los operadores.
37
Esto es, el modo de acceso será best effort, es decir sin garantía de retardos y velocidades de
transmisión. La velocidad final va a depender de lo cargada que esté la red, ya que incluso los
usuarios GPRS van a tener que competir entre sí para poder acceder al uso del sistema.
GPRS se plantea como un servicio portador y no finalista; ello implica que los usuarios finales
deberán tener preparadas sus aplicaciones para poder trabajar en un entorno altamente hostil
como el entorno radio. Aplicaciones usuales que funcionan correctamente en el mundo Internet,
no necesariamente lo harán en un entorno GPRS. La presencia, por ejemplo, de interrupciones
originadas por el canal móvil por falta de cobertura así como los errores de transmisión, bajas
velocidades y las consiguientes latencias implicadas en la entrega de datos, son responsables en la
práctica de un deficiente funcionamiento de los típicos protocolos de comunicaciones, tal como
el familiar TCP usado en Internet.
1.11. REDES DE TELEFONÍA 3G.
La industria de comunicaciones móviles ha evolucionado en tres etapas (1G, 2G y 3G),
con cada generación más fiable y flexible que la anterior. La primera generación fue analógica y
limitada en capacidad de roaming. AMPS, fue el principal estándar de primera generación y se
desarrolló entre 1982 y 1992. La segunda generación móvil corresponde a los sistemas
actualmente en uso como GSM, cdmaOne y TDMA. Tienen técnicas avanzadas de uso del
espectro radioeléctrico y capacidades de itinerancia (roaming) más avanzadas. Se basa en un
ancho de banda de 14,4 kbit/s para datos y fax. Significa un incremento en la capacidad de la red,
reducción de tarifas y los primeros servicios de valor añadido, como son los mensajes cortos
SMS.
A la generación intermedia entre la 2G y la 3G se la denomina 2,5G, y corresponde a mejoras
tecnológicas en las redes 2G (puede llegar hasta los 384 kbit/ s de velocidad, ya adecuada para
muchas aplicaciones, entre ellas el GPRS).
La futura generación 3G, por su parte, está pensada para el roaming global, transmisión de datos
a alta velocidad a través de técnicas avanzadas en conmutación de circuitos y de paquetes,
soporta tecnología IP (y ATM) lo que posibilita el acceso a Internet, y en general aplicaciones
multimedia móviles, con servicios personalizados y basados en la localización de usuarios. El
nuevo modelo de negocio es radicalmente distinto del actual y entran en juego nuevos agentes,
38
como son los proveedores de contenidos y los proveedores de aplicaciones, distribuyéndose los
ingresos entre todos ellos, aunque aún está por decidir como algo realmente complicado.
1.11.1. Las prestaciones de los sistemas 3G.
Para asegurar el éxito de los servicios 3G, se ha de proporcionar a los usuarios unas
comunicaciones muy eficientes, con una alta velocidad y calidad y, además, fáciles de utilizar.
Los sistemas de 3G deben ofrecer:
 Transmisión simétrica/ asimétrica de alta fiabilidad.
 Uso de ancho de banda dinámico, en función de la aplicación.
 Velocidades binarias mucho más altas: 144 kbit/s en alta movilidad, 384 kbit/s en
espacios abiertos y 2 Mbit/s en baja movilidad.
 Soporte tanto de conmutación de paquetes (IP) como de circuitos.
 Soporte IP para acceso a Internet (navegación WWW), videojuegos, comercio electrónico,
y vídeo y audio en tiempo real.
 Diferentes servicios simultáneos en una sola conexión.
 Calidad de voz como en la red fija.
 Soporte radioeléctrico flexible, con utilización más eficaz del espectro, con bandas de
frecuencias comunes en todo el mundo.
 Personalización de los servicios, según perfil de usuario.
 Incorporación gradual en coexistencia con los sistemas actuales de 2G.
 Itinerancia (roaming), incluido el internacional, entre diferentes operadores y tipos de
redes.
 Ambientes de funcionamiento marítimo, terrestre y aeronáutico.
 Capacidad de terminales telecargables, multibanda y multientorno.
 Economías de escala y un estándar global y abierto que cubra las necesidades del mercado
de masa.
 Provisión de un “ambiente local virtual” VHE: el usuario podrá recibir el mismo servicio
independiente de su ubicación geográfica.
39
1.11.2. Sistemas 3G propuestos.
Los distintos entes involucrados en los sistemas 3G han propuesto, básicamente, dos
sistemas de tercera generación.
 UMTS: (Universal Mobile Telecommunications System). Constituye la visión europea
con capacidades 3G como parte de la familia de estándares IMT-2000. UMTS es la
evolución lógica de la comunidad GSM a la tercera generación, por lo que está siendo
mayoritariamente adoptado en la Unión Europea.
En su componente terrestre, tiene una estructura jerárquica, esto es, está compuesta por
tres tipos de Celdas: Macro Celda, Micro Celda y Pico celda con un mínimo de 5 MHz de
ancho de banda por Celda.
La Macro Celda tiene radios desde 1km hasta 35km y se destinan para ofrecer cobertura
rural y carreteras para vehículos u otros objetos que se mueven a alta velocidad
(transmisión de datos de 144kbit/s.). La Micro Celda tiene radios desde 50km hasta 1km.
Ofrece servicio a usuarios fijos o que se muevan lentamente con elevada densidad de
tráfico (urbana) con velocidades de 384kbit/s, usando UTRA-FDD. Las Pico Celdas
tienen radios hasta 50m. Ofrecen coberturas localizadas en interiores, usando ULTRATDD, con velocidades del orden de los 3Mbit/s.
 CDMA200: La interfaz definida para cdma2000 apoya la red de segunda generación de
todos los operadores actuales, independientemente de la tecnología (cdmaOne, IS-136
TDMA o GSM). Operando en modo TDD y/o FDD, cdma2000 ofrece velocidades desde
1,2 kbit/s, y soporte para canales de 1,25-3,75-7,5 y 15MHz con una o múltiples
portadoras, y su uso se está extendiendo, básicamente, en Estados Unidos y su área de
influencia.
En esta tesis, se realizará una explicación a fondo de la tecnología 3G UMTS como se verá a
continuación.
1.11.3. UMTS.
Universal Mobile Telecommunications System (UMTS) se concibe como el sucesor de
Sistema Global para Comunicaciones Móviles (GSM). Las señales UMTS son el paso a la tercera
generación (3G) de redes móviles. UMTS también aborda la creciente demanda de aplicaciones
40
móviles y de Internet para la nueva capacidad aérea, y el hacinamiento de las comunicaciones
móviles. La nueva red aumenta la velocidad de transmisión de hasta 2 Mbps por usuario móvil, y
establece un estándar de roaming global.
1.11.4. Descripción general.
UMTS, también conocida como acceso múltiple por división de código de banda ancha
(W-CDMA), es uno de los avances más significativos en la evolución de las telecomunicaciones
en las redes 3G. UMTS permite muchas más aplicaciones que se introducirá en una base mundial
de usuarios y proporciona un vínculo vital entre los sistemas GSM de hoy en día y la última única
norma mundial para todos los móviles de telecomunicaciones, Telecomunicaciones Móviles
Internacional-2000 (IMT-2000).
1.11.5. Objetivos UMTS.
 Convergencia de redes fijas y móviles:
 Igual calidad de servicio.

Servicios multimedia simétricos y asimétricos.

Roaming global.

Asignación dinámica de ancho de banda:
 Hasta un máximo inicial de 2 Mbps.

Acceso personalizado:
 Conceptode VHE (VirtualHomeEnvironment).

define un perfil de servicio constante y homogéneo independiente de
la red que sirve al abonado.
 Tecnología de paquetes (always-on) y protocolos IP.

Soporte para una amplia gama de terminales.

Capacidad para una alta densidad de usuarios.
41
1.11.6. Fases para el desarrollo de UMTS.
El sistema UMTS cuenta con cuatro fases, las cuales son descritas a continuación.
Primera fase:
 Elaboración de descripciones técnicas y evaluación de las soluciones para UTRA (UMTS
Terrestrial Radio Access).
 Concluye con una descripción detallada de UTRA, incluyendo los protocolos de la
interfaz radio, los protocolos internos y protocolos con el subsistema de red.
Segunda fase:
 Elaboración de las especificaciones del Release99 para la integración de UMTS con las
redes GSM/GPRS existentes.
Tercera fase:
 Corrección iterativa de las especificaciones. •
 Inicialmente prevista para finalizar en el 2001.
Cuarta fase:
 Incremento del bit rate para alcanzar tasas superiores a 20 Mbit/s.
1.11.7. Características básicas de UMTS.
UMTS utiliza las siguientes bandas de frecuencia, la cual se describe de mejor manera en
la figura 1.16.
 Un par de bandas “apareadas” en torno a los 2000 Mhz
 1920-1980 MHz para el enlace ascendente p
 2110-2170 MHz para el enlace descendente
 • Una banda de frecuencias “desapareada”
 1910-1920 MHz + 2010-2025 MHz
 • Nuevas bandas para conseguir 160 Mhz de espectro adicional
 806-960 MHz,1710-1885 MHz y 2500-2690 MHz.
42
Figura 1.16 - Bandas de frecuencias UMTS/IMT-2000
UMTS en su interfaz de radio utiliza las siguientes tecnologías de acceso:
 FD/WCDMA: Frequency Division/Wide Code Division Multiple Access en la banda
“apareada”.
 TD/CDMA:Time Division/Code Division Multiple Access en la banda “desapareada”.
Los tipos de celdas que utiliza UMTS son las siguientes, y se describe de mejor manera en la
figura 1.17:
 Macroceldas (radio entre 1 y 40 Km.)
 Cobertura celular en grandes áreas abiertas.
 Servir de celdas paraguas para cubrir huecos en zonas con microceldas.
 Microceldas (50 a 100 m. de radio)
 Cobertura celular en áreas urbanas y autopistas.
 Antenas direccionales.
 Cubrir zonas oscuras en macroceldas.
 Picoceldas (radios inferiores a 50m)
 Uso en entornos residenciales e interiores de oficinas.
 La zona cubierta depende de la estructura del edificio y los materiales empleados.
43
Figura 1.17 – Tipos de celdas en UMTS.
1.11.8. Funcionamiento.
Clásicamente las redes móviles, y en general, todas las redes se pueden dividir en una
parte de acceso y una parte troncal. En la figura 1.18 se muestra un esquema general de
una red móvil, técnicamente denominada PLMN (Public Land Mobile Network) con sus
elementos principales.
Figura 1.18 – Esquema general de una red móvil
En las redes móviles la parte de acceso la forman los Terminales Móviles (TM) de los usuarios,
las Estaciones Bases (BTS) y los Controladores de Estaciones Base (BSC). Los dos primeros son
elementos muy familiares, es decir, los móviles y
las
“antenas” de
las azoteas con
sus correspondientes equipos. El tercero es un elemento de control de las estaciones base que
realiza labores de gestión de las llamadas, así como de los recursos radioeléctricos. La parte
dorsal la forman los siguientes elementos: Equipos de conmutación móvil (MSC), que son los
44
encargados de encaminar las llamadas desde y hacia los usuarios. Bases de datos, donde
se guardan los datos de los clientes del operador, denominadas Visitor Location Register
VLC, asociadas a cada centro de conmutación, y Home Location Register HLR, para la base de
datos general de la red. En la
Mensajes
Cortos
red dorsal también encontramos el Centro Servidor de
SMS, Centros de Autentificación AUC y, por supuesto los centros de
facturación y contabilidad que recogen el gasto de los usuarios.
Tanto las redes de 2ª Generación, GSM, como las de 3ª Generación, UMTS tienen estos
elementos. De hecho muchos de los elementos son comunes, y ambas los utilizan
simultáneamente. En lo que se diferencian radicalmente es en el interfaz de acceso aire, es decir,
cómo se transmite la información entre nuestro Terminal móvil y las estaciones base.
Es sistema GSM es un sistema de acceso múltiple por división de tiempo (TDMA). Esto quiere
decir que a cada usuario se le asigna un intervalo temporal denominado “slot”, en el que
transmite su información, normalmente voz. Posteriormente en la estación base se procesa para
formar una única corriente de información.
El sistema UMTS es un sistema de acceso múltiple por división de código de banda
ancha (WCDMA). Este concepto es mucho más complejo. Haciendo una analogía con los
idiomas, es como si la información de cada usuario fuese traducida a un idioma distinto y se
transmitieran todas a la vez. Evidentemente esto provoca una amalgama de información
casi caótica. Sin embargo, la estación base es capaz de reconocer todas las palabras de un
determinado idioma, es decir, recuperar la información de un usuario sumergida en el ruido
total. Cada uno de esos idiomas es un código diferente que es asignado
unívocamente a
cada usuario. La figura 1.19, muestra de manera esquemática como se transmite la información
en GSM y en UMTS.
45
Figura 1.19 - Esquema de interfaz aire para los sistemas GSM y UMTS
1.11.9. Estructura de la red UMTS.
UMTS (Universal Mobile Telecommunication System) presenta una arquitectura en la
cual se describen tres elementos principalmente, el UE o equipo de usuario, UTRAN (UMTS
Terrestrial Radio Access Network) y la red central, dicho esquema se muestra en la figura 2. La
interfaz Uu se encuentra entre el UE y la red UTRAN, y entre la ésta y la red central o Core
Network se encuentra la interfaz lu. Cabe destacar que la interfaz entre el UE y la red UTRAN es
la tecnología WCDMA, es decir, la conexión entre el equipo de usuario y la red de acceso de
radio para UMTS es mediante la tecnología WCDMA.
Figura 1.20 - Arquitectura de UMTS en un nivel general.
46
Si consideramos una arquitectura más
detallada de la red de UMTS, podemos encontrar
diferentes elementos como lo son el BSS, BTS, RNS, Nodo B, RNC, MSC, VLR, HLR entre
otros, y diferentes interfaces como lo son: la interfaz lu, Uu, lub y lur entre otras, las cuales
interconectan dichos elementos. Más adelante se explicarán más a detalle dichos elementos e
interfaces con el objetivo de entender mejor las tramas de comunicación de WCDMA. Ver figura
1.21.
Figura 1.21 - Arquitectura detallada del sistema UMTS
En las siguientes secciones se explicarán los elementos más importantes en esta arquitectura, para
después centrarse en la descripción de WCDMA como interfaz aérea de UMTS.
47
1.11.10. Descripción de los elementos que forman la red del sistema UMTS.
1.11.10.1. Equipo de usuario (UE).
El equipo de usuario o UE, también llamado móvil, es el equipo que el usuario trae
consigo para lograr la comunicación con una estación base en el momento que lo desee y en el
lugar en donde exista cobertura. Este puede variar en su tamaño y forma, sin embargo, debe estar
preparado para soportar el estándar y los protocolos para los que fue diseñado. Por ejemplo, si un
móvil trabaja bajo el sistema UMTS, debe ser capaz de acceder a la red UTRAN mediante la
tecnología de WCDMA, para lograr la comunicación con otro móvil, con la PSTN, ISDN o un
sistema diferente como GSM de 2.5G, tanto para voz como para datos.
Algunas de las propuestas para no perder la inversión en la infraestructura de GSM, es crear
equipos con sistemas duales, es decir, que puedan acceder a ambas redes, esto mientras que
consolida el cambio a 3G. El único inconveniente es que el costo de dichos equipos aumentaría
de manera considerable, y una de las propuestas desde la 2G es hacer los equipos más
económicos y pequeños.
1.11.10.2. Red de acceso de radio UMTS (UTRAN).
UTRAN es el nombre de la nueva red de acceso de radio diseñada para el sistema UMTS.
Tiene dos interfaces que lo conectan con la red central y con el equipo de usuario. La interfaz lu y
la interfaz Uu respectivamente.
La red UTRAN consiste de varios elementos, entre los que se encuentran los RNC (Radio
Network Controller) y los Nodo B (en UTRAN las estaciones base tienen el nombre de Nodo B).
Ambos elementos juntos forman el RNS (Radio Network Subsystem) La figura 1.22 se muestran
los componentes de UTRAN así como sus interfaces.
Las interfaces internas de UTRAN incluyen la interfaz lub la cual se encuentra entre el Nodo B y
el RNC y la interfaz lur que conecta a los RNC entre sí.
48
Figura 1.22 - Arquitectura de red UTAN.
En una primera fase la arquitectura de red UMTS utiliza nodos evolucionados desde redes 2G. En
esta arquitectura, el sistema UMTS se compone de:
 Módulo de Identidad del Usuario (USIM) y terminal móvil (MT).
 Subsistema de Red de Acceso Radio (RNS).
 Núcleo de Red (CN).
El núcleo de red está constituido por una serie de nodos y bases de datos utilizados en las redes
GSM y GPRS. Se utiliza ATM como tecnología de transporte en la red troncal.
Figura 1.23 - Fase incial del núcleo de red UMTS (CN).
49
En la fase final la arquitectura UMTS utilizará la tecnología IP en toda la red a través de MIP
(Mobile Internet Protocol), incluida la interfaz radio. Este modelo permitirá la convergencia entre
Internet y las redes de telefonía móvil, con la utilización de IPv6.
1.11.10.3. RNC (Radio Network Controller).
El RNC controla a uno o varios Nodos B. El RNC se conecta con el MSC mediante la
interfaz luCS o con un SGSN mediante la interfaz luPs. La interfaz entre dos RNC’s es lógica y
es la interfaz lur por lo tanto, una conexión directa entre ellos no es necesario que exista. Si
comparamos al RNC con la red de GSM, éste es comparable con el BTS (Base Station
Controller).
Dentro de las funciones ejecutadas por el RNC están:
 Manejo de los recursos de transporte de la interfaz lu.
 Control de los recursos lógicos O&M del Nodo B.
 Manejo de la información del sistema y de los horarios de la información del sistema.
 Manejo de tráfico en los canales comunes.
 Combinación en la Macro diversidad y división de las tramas de datos transferidas sobre
muchos Nodos B.
 Modificación del grupo activo de células, lo que se traduce en un Soft Handover.
 Asignación de códigos de canalización en el enlace de bajada.
 Control de potencia de lazo abierto para el enlace de subida.
 Control de potencia para el enlace de bajada.
 Control de admisión.
 Manejo de los reportes.
 Manejo del tráfico en los canales compartidos.
50
Figura 1.24 – Funciones de RNC.
1.11.10.4. Nodo B.
El nodo B es el equivalente en UMTS del BTS de GSM (Base Tranceiver Station). El
Nodo B puede dar servicio a una o más células, sin embargo las especificaciones hablan de una
sola célula por Nodo B.
Dentro de las funciones ejecutadas por el Nodo B están:
 Implementación lógica del O&M.
 Mapeo de los recursos lógicos del Nodo B en los recursos de hardware.
 Transmisión de los mensajes de información del sistema de acuerdo con el horario
determinado por el RNC.
 Combinación para la Macro diversidad y división de las tramas de datos internas al Nodo
B.
 En el modo FDD, el control de potencia de lazo cerrado en el enlace de subida.
 Reportar las mediciones de la interferencia en el enlace de subida y la información de la
potencia en el enlace de bajada.
En el Nodo B se encuentra la capa física de la interfaz aérea, es por ella que además de las
funciones que debe ejecutar por su naturaleza, debe realizar las funciones propias de la capa 1.
51
Figura 1.25 – Esquema básico del Nodo B.
1.11.10.5. Interfaz lu.
Esta interfaz conecta a la red central con la red de acceso de radio de UMTS (URAN).
Cabe mencionar que URAN es un concepto genérico, y puede tener muchas implementaciones
físicas. La primera a ser implementada es la UTRAN, la cual utiliza a la tecnología de WCDMA
como interfaz aérea.
Es la interfaz central y la más importante para el concepto de 3GPP. La interfaz lu puede tener
dos diferentes instancias físicas para conectar a dos diferentes elementos de la red central, todo
dependiendo si se trata de una red basada en conmutación de circuitos o basada en conmutación
de paquetes. En el primer caso, es la interfaz lu-CS la que sirve de enlace entre UTRAN y el
MSC, y es la interfaz lu-PS la encargada de conectar a la red de acceso de radio con el SGSN de
la red central.
Dentro de las funciones de esta interfaz, también se encuentra el servir como enlace en BRAN
(Broadband Radio Access Network). BRAN es otra implementación física al concepto genérico
de URAN el cual conecta a la red central con la red de acceso de radio HIPERLAN21.
La interfaz lu entre el subsistema de red radio RNS y la red troncal CN se considera dividida en
dos interfaces funcionales que son:
 Iu-CS. Interfaz con el dominio de conmutación de circuitos (Circuit Switching).
 Iu-PS. Interfaz con el dominio de conmutación de paquetes (Packet Switching).
52
Cabe señalar que no debe existir más de una interfaz Iu-CS e Iu-PS entre un RNC y la red
troncal.
Figura 1.26 – Arquitectura Interface lu.
La estructura de protocolo Iu-CS se divide en dos partes que son el plano de control y el plano de
usuario como se observa en la figura 1.27. En el plano de control se utilizan los siguientes
protocolos:
 RANAP (Radio Access Network Application Part): Parte de aplicación que define
mensajes para establecimiento de conexiones y funciones de control de la movilidad.
 SCCP (Signalling Connection Control Part): Parte de control de la
conexión de señalización del SSCC Nº 7.
 PTM3: Nivel 3 de la Parte de Transferencia de Mensajes del SSCC Nº 7.
 SSCF (Specific Service Control Function): Función de control específica
del servicio del SAAL en redes ATM.
 SSCOP (Specific Service Connection Oriented Protocol): Protocolo
orientado a conexión del SAAL en redes ATM.
 AAL5 (ATM Adaptation Layer 5): Nivel de adaptación para segmentar los
ATM datos en celdas ATM.
En el plano de usuario los datos de la aplicación se adaptan mediante AAL2 (ATM Adaptation
Layer 2) para la transmisión en celdas ATM. La estructura de este protocolo se describe en la
figura siguiente.
53
Figura 1.27 – Estructura de protocolos lu-CS.
Al igual que en lu-CS, la interfaz lu-PS se divide en dos partes que son el plano de control y el
plano de usuario. En el plano de control existen dos alternativas:
 Alternativa1.- Se utilizan los mismos protocolos que en la interfaz Iu-CS, es decir,
RANAP sobre los protocolos específicos del SSCC Nº7.
 Alternativa 2.-Se puede utilizar señalización basada en IP con:
 M3UA: Nivel 3 de la PTM adaptado.
 SCTP: Protocolo de transmisión de control simple especialmente diseñado para
transporte de señalización en Internet.
En el plano de usuario se utilizan los siguientes protocolos:
 GTP: Protocolo de tunnelling para GPRS.
 UDP: Protocolo de transporte no orientado a la conexión.
 IP sobre AAL5.
54
Figura 1.28 – Estructura de protocolos lu-PS
1.11.10.6. Interfaz lur.
La interfaz Iur proporciona las siguientes funciones:
 Soporte básico de la movilidad entre RNCs.
 Soporte de procedimientos ligados a canales de tráfico dedicados.
 Soporte de procedimientos ligados a canales de tráfico comunes.
 Soporte de procedimientos globales.
En el plano de control se utiliza la misma estructura de protocolos de la interfaz Iu con una parte
de aplicación específica denominada RNSAP (Radio Network Subsystem Application Part) que
es la parte de aplicación para el subsistema de red radio y se divide en cuatro módulos diferentes
(un módulo para cada una de las funciones anteriores)
En el plano de usuario los datos de la aplicación se adaptan mediante AAL2 (ATM Adaptation
Layer 2) para la transmisión en celdas ATM.
55
Figura 1.29 – Estructura de protocolos de la interfaz lur.
1.11.10.7. Interfaz lub.
Iub es la interfaz entre un controlador de red radio (RNC) y un Nodo B. En el plano de
control se utiliza la siguiente lista de protocolos:
 NBAP (Node B Application Part): Parte de aplicación del Nodo B.
 SSCF (Specific Service Control Function User Network Interface): Función de control
específica del servicio del SAAL en redes ATM.
 SSCOP (Specific Service Connection Oriented Protocol): Protocolo orientado a conexión
del SAAL en redes ATM.
 AAL5 (ATM Adaptation Layer 5): Nivel de adaptación para segmentar los datos en
celdas ATM.
En el plano de usuario los datos de la aplicación se adaptan mediante AAL2 (ATM Adaptation
Layer 2) para la transmisión en celdas ATM.
56
Figura 1.30 – Estructura de protocolos de la interfaz lub.
1.11.10.8. Interfaz Uu.
La interfaz Uu se caracteriza de los demás por dividir su estructura de protocolos en tres
niveles, que son el nivel de red, nivel de enlace y un nivel físico. El nivel de red esta compuesto
por tres módulos que son:
 CC (Call Control): Implementa las funciones relacionadas con el control de las llamadas
(establecimiento y liberación).
 MM (Mobility Management): Realiza funciones relativas a la gestión de la movilidad de
los usuarios (localización, actualización de posición, etc.).
 RRC (Radio Resources Control): Control de los recursos radio (handover, control de
potencia, etc.)
Por su parte el nivel de enlace se divide en dos subniveles que son:
 RLC (Radio Link Control): Realiza las funciones necesarias para el establecimiento,
mantenimiento y liberación de una conexión de enlace lógico.
 MAC (Medium Access Control). Controla el acceso al medio físico (resolución de
colisiones).
Por último el nivel físico proporciona un enlace radioeléctrico y realiza funciones decodificación,
ensanchamiento, modulación y demás funciones de codificación, ensanchamiento, modulación y
demás funciones sobre los canales físicos.
En la figura 1.31 se puede ver con mejor detalle la estructura de esta interfaz.
57
Figura 1.31 – Estructura de protocolos de la interfaz Uu.
El protocolo RLC se caracteriza por ofrecer la funcionalidad de retransmisión ARQ para
conseguir una transmisión libre de errores, y proporcionar mecanismos de segmentación y
reensamblado. Este protocolo también posee 3 modos de operación los cuales son:
 Modo transparente: Transmite las PDUs de los niveles superiores sin añadir ninguna
información de protocolo, y ofrece una capacidad limitada para segmentar PDUs sin
añadir ninguna cabecera.
 Modo sin confirmación: Segmenta las PDUs de los niveles superiores, no se aplica ningún
mecanismo de retransmisión e incorpora información de control para detección de errores.
 Modo con confirmación: Proporciona mecanismos para retransmisiones en caso de error y
ofrece un servicio de transmisión fiable y en secuencia.
El protocolo MAC ofrece servicios al nivel RLC a través de los canales lógicos. Tales servicios
se mencionan a continuación:
 Transferencia de información: Esta transferencia se realiza sin proporcionar ninguna
confirmación ni segmentación de los datos. Esto debe ser realizado por el nivel RLC.
 Reasignación de recursos radio y parámetros MAC: Este servicio es el encargado de
modificar la asignación de los recursos y el formato de los canales de transporte utilizados
para una comunicación, dependiendo de la velocidad de los canales lógicos.
 Informe de medidas: Envío de los informes de medidas de tráfico y calidad realizadas
localmente, para tomar decisiones de control de los recursos de radio.
En el nivel físico UMTS utiliza acceso múltiple por división de código de banda ancha (espectro
ensanchado). El acceso radio puede realizarse de dos modos:
58
 El modo FDD se utiliza en la banda apareada, y usa dos portadoras para la comunicación
bidireccional, una para el enlace ascendente y otra para el enlace descendente.
 El modo TDD se utiliza en las bandas desapareadas y usa técnica TDMA sobre cada
portadora de radiofrecuencia. Los canales de la trama TDMA se asignan de forma
independiente y dinámica para el enlace ascendente y descendente.
Los procesos que se realizan en el nivel físico se pueden resumir de la siguiente manera:
 Se realiza codificación de canal y entrelazado para protección contra errores.
 La transmisión se realiza estructurada en tramas de 10 mseg con 15 intervalos (time slot)
por trama:
 En FDD se utilizan las tramas y los intervalos como puntos de referencia temporal.
 La velocidad de chip (chip rate) para ambos modos es de 3,84 Mchip/seg.
 La velocidad de los datos puede variar (varía el factor de ensanchamiento (SF, Spreading
Factor)).
 En ambos modos, FDD y TDD, se utiliza modulación QPSK.
Figura 1.32 – Procesos del nivel físico.
La interfaz Uu posee tres tipos de canales, que se encuentran en los niveles 1 y 2 esta, los cuales
se describen a continuación:

Canales lógicos: Se definen por el tipo de información que transportan. Se clasifican en:
 Canales de control para transferencia de señalización.
 Canales de tráfico para transferencia de datos de usuario.
59

Canales de transporte: Se definen en base a cómo y con qué características se transmite la
información. Cada canal de transporte se ajusta a un determinado formato TFI (Transport
Format Indication).

Canales físicos: Todos los canales de transporte se corresponden con un canal físico. Algunos
canales físicos no resultan visibles para los niveles superiores.
1.11.10.9. Red Central (Core Network).
La red central se encuentra formada por varios elementos como se muestra en la figura 2.
De todos los mostrados sólo se explicarán los dos de mayor interés, el MSC (pieza central en una
red basada en conmutación en circuitos) y el SGSN (pieza central en una red basada en
conmutación de paquetes).
1.11.10.10. MSC (Mobile Switching Center).
Como ya se mencionó, el MSC es la pieza central de una red basada en la conmutación de
circuitos. El mismo MSC es usado tanto por el sistema GSM como por UMTS, es decir, la BSS
de GSM y el RNS de UTRAN se pueden conectar con el mismo MSC. Esto es posible ya que uno
de los objetivos del 3GPP fue conectar a la red UTRAN con la red central de GSM/GPRS. El
MSC tiene diferentes interfaces para conectarse con la red PSTN, con el SGSN y con otros
MSC’s.
Las funciones principales del MSC se enlistan a continuación:
 Voceo.
 Coordinación en la organización de las llamadas de todos los móviles en la
jurisdicción de un MSC.
 Asignación dinámica de recursos.
 Registro de ubicación.
 Funciones de interoperabilidad con otro tipo de redes.
 Manejo de los procesos de Handover (especialmente del complejo proceso de
Handover entre sistemas)
 Colectar los datos para el centro de facturación.
 Manejo de los parámetros para la encriptación.
60
 Intercambio de señalización entre diferentes interfaces.
 Manejo de la asignación de frecuencias en el área del MSC.
 Control y operación de la cancelación del eco.
En el MSC se realiza la última etapa del MM (Mobility Management) y del CM (Connection
Management) en el protocolo de la interfaz aérea, así que el MSC debe encargarse de la
dirección de estos protocolos o delegarle la responsabilidad a cualquier otro elemento de la red
central.
1.11.10.11. SGSN (Serving GPRS Support Node).
El SGSN es la pieza central en una red basada en la conmutación de paquetes. El SGSN
se conecta con UTRAN mediante la interfaz lu-PS y con el GSM-BSS mediante la interfaz Gb.
El SGSN contiene la siguiente información:
 Información de subscripción.
 IMSI (International Mobile Subscriber Identity).
 Identificaciones temporales.
 Dirección PDP.
 Información de ubicación.
 La célula o el área en la que el móvil está registrado.
 Número VLR.
1.11.11. Concepto y arquitectura de QoS en UMTS.
Se define la QoS como la calidad del servicio tal y como la percibe el usuario, y por tanto
es siempre de extremo a extremo. La QoS percibida por el usuario depende tanto de la eficiencia
los distintos elementos de las redes origen y destino, como
de los equipos terminales y
accesorios. Por ello, la red servidora debe tener en cuenta no sólo la eficiencia de sus elementos,
sino también reflejar la del terminal y añadir un margen suficiente que permita soportar la de las
otras posibles redes que intervengan en la comunicación.
La QoS para los servicios UMTS sigue una estructura de niveles en función de los diferentes
servicios portadores entre distintos puntos de acceso del sistema. Cada servicio portador incluye
todos los aspectos que garantizan la QoS contratada por el usuario: señalización de control,
61
transporte de información del plano de usuario y función de gestión de la QoS. En la figura 1.33,
se muestra la estructura de capas de niveles de QoS en UMTS.
Figura 1.33 - Niveles de QoS en Arquitectura UMTS.
Los servicios portadores local y externo, dependen de factores no ligados intrínsecamente a la
red UMTS, por lo que quedan fuera del ámbito de la calidad del servicio UMTS normalizada en
las especificaciones del 3GPP. La componente servicio portador UMTS, es la que proporciona
realmente la QoS intrínseca de UMTS. Esta componente consta de dos partes, el servicio
portador de Acceso Radio y el servicio portador de Núcleo de Red, que tienen en cuenta la
perspectiva de topología de una red celular, y aspectos de movilidad y perfil del usuario. El
servicio Acceso Radio constituye la parte más importante y afecta tanto a la red de acceso como
a la de transporte dentro del sistema. Proporciona transporte de señalización e información de
usuarios de forma confidencial entre el móvil y el Núcleo de Red, con la QoS negociada para el
servicio portador UMTS. Este componente, se basa en las características de la interfaz radio del
sistema y red de acceso, y debe ser mantenida para usuarios en movimiento. El servicio portador
Núcleo de Red, enlaza el Nodo de acceso del Núcleo con el nodo pasarela hacia redes externas
conectadas al sistema UMTS, y ejecuta, básicamente, tareas de control y negociación con ésta.
Para ello, hace uso de la estructura de conmutación de circuitos o de paquetes de la red.
62
1.11.11.1. Clases de tráfico y QoS en UMTS.
En UMTS, según el tipo de servicio, se definen cuatro clases de QoS siendo el factor
distintivo más importante entre ellas la sensibilidad al retardo del tráfico. En una misma
conexión, el usuario puede mantener una comunicación multiservicio, en la que
el
establecimiento y liberación de sus componentes son independientes. Las clases conversacional
y afluente (streaming) están pensadas para ser utilizadas en con flujos de tráfico en tiempo real.
Difieren en su sensibilidad al retardo. Las clases interactiva y diferida (background), están
previstas para servicios tipo Internet, como navegadores, correo electrónico, telnet, y ftp. Al ser
menos restrictivas en cuanto a retardo, proporcionan una mayor robustez para la protección
contra errores, al poder establecer mecanismos de codificación de canal y retransmisión.
1.11.11.2. Atributos y parámetros de QoS.
Los atributos son las características y parámetros que determinan individualmente la QoS
de cada servicio portador, y que por tanto determinan la QoS global de extremo a extremo. Se
presenta un resumen en la Tabla 2.
63
Clase
Conversacional
Clase de tráfico;
Entrega ordenada;
Tamaño máximo de
SDU;
Información de
formato de SDU;
Tasa de SDUs
erróneas; Tasa de
error de bit
residual;
Entrega de SDUs
erróneas;
Retardo de
transferencia;
Tasa de bit
garantizada; Prioridad
de
asignación/retención;
Descriptor estadístico
de la fuente.
Clase Streaming
Clase Interactiva
Clase Background
Clase de tráfico;
Entrega ordenada ;
Tamaño máximo de
SDU;
Información de
formato de SDU;
Tasa de SDUs
erróneas;
Tasa de error de bit
residual;
Entrega de SDUs
erróneas;
Retardo de
transferencia;
Tasa de bit
garantizada;
Prioridad de
asignación/retención
;
Descriptor
estadístico de la
fuente.
Clase de tráfico;
Entrega ordenada;
Tamaño máximo de
SDU;
Tasa de SDUs
erróneas; Tasa de
error de bit
residual;
Entrega de SDUs
erróneas;
Prioridad de tráfico;
Prioridad de
asignación/retención;
Indicación de
Señalización.
Clase de tráfico;
Entregaordenada;
Tamaño máximo de
SDU;
Tasa de SDUs
erróneas; Tasa de
error de bit residual;
Entrega de SDUs
erróneas;
Prioridad de
asignación/retención
;
Indicación de
Señalización.
Tabla 2 - Atributos y parámetros de QoS en UMTS.
1.11.11 .3. QoS en las aplicaciones.
Se suelen clasificar en función del tipo de tráfico que utilizan, aunque no existe una
relación biunívoca entre ellas. Así, una aplicación interactiva podría usar perfectamente un
portador de la clase de tráfico conversacional si la aplicación o el usuario tuvieran unos requisitos
estrictos de retardo. Los parámetros y atributos de QoS para las aplicaciones no están
estandarizados para UMTS. En la Tabla 2,
servicios y clases.
se muestra una posible correspondencia entre
64
Figura 1.34 - Clasificación de aplicaciones en UMTS.
1.11.12. HSDPA/HSUPA la evolución de UMTS.
El objetivo principal de estas tecnologías, es optimizar la provisión de servicios
avanzados y reducción de costes para usuarios. También se pretende aumentar la cobertura en
tecnologías 3G, mejorar el rendimiento para el uso simultáneo de aplicaciones y facilitar la
creación y adaptación de infraestructuras.
1.11.12 .1. HSDPA.
HSDPA es una tecnología de acceso de datos a redes móviles que multiplica las
capacidades de la red UMTS actual, mejorando las velocidades que se consiguen hoy (384Kbps
en el enlace de bajada desde la red al terminal móvil y 64Kbps en el de subida), hasta alcanzar
tasas de 14 Mbps.
HSDPA supone la optimización de la tecnología espectral UMTS/WCDMA, en base a un nuevo
canal compartido en el enlace descendente que mejora significativamente la capacidad máxima
de transferencia de información. Sin embargo, debemos contar con una reducción significativa de
las velocidades anunciadas en las primeras etapas de implantación debido a la categoría del
terminal. Los primeros terminales que llegarán serán categoría 5 (que soportarán 1,8Mbps de
bajada y 384Kbps de subida) y categoría 6 (sólo 3,6Mbps de bajada y 384Kbps de subida).
HSDPA alcanza sus elevadas tasas de velocidad gracias a un agregado de modulación de mayor
orden (Modulación de Amplitud en Cuadratura 16 -16 QAM), codificación variable de errores y
redundancia incremental, así como un eficiente mecanismo de programación para determinar qué
usuario obtendrá recursos.
65
Su banda de operación es la de 2 GHz, la misma que en UMTS. La modulación que se emplea es
QPSK, la fase de la portadora se varía entre 4 posibles valores codificándose con 2 bits/símbolo
el cambio de fase entre símbolos consecutivos. La utilización de 10 canales por célula
proporciona una tasa de 3,8 Mbps.
Figura 1.35 – Red troncal para HSDPA.
Las futuras evoluciones prevén que, mediante una modulación 16- QAM (la modulación es
similar a la QPSK sólo que con 16 niveles lo cual implica la misma eficiencia de potencia
utilizando la mitad de ancho de banda), la codificación variable como protección contra errores y
la redundancia incremental, se lleguen a alcanzar tasas de hasta 14 Mbps.
Figura 1.36 – Relación entre modulación y velocidad máxima alcanzable.
66
1.11.12 .2. Principales características de HSDPA.
HSDPA consigue esta mejora gracias a una serie de técnicas empleadas en la interfaz de
radio, las cuales se describen a continuación:
 TRANSMISIÓN EN CANAL COMPARTIDO: Se introduce un nuevo canal de
transporte en el enlace descendente denominado HS-DSCH ( High-Speed Downlink
Shared Channel ). Con ello los usuarios comparten una serie de recursos utilizados por la
radio (como los códigos de canal y la potencia) de forma dinámica en el tiempo con lo
que se consigue una mayor eficiencia. Asimismo, los intervalos utilizados para cada
transmisión son más cortos (2 ms).
 ADAPTACIÓN RÁPIDA DEL ENLACE: La velocidad de transmisión de datos varía de
forma rápida según las condiciones del canal de radio. Este método es más eficiente, para
los servicios que pueden tolerar este tipo de variaciones en periodos muy cortos, que
compensar las degradaciones de la radio aumentando la potencia de la señal (que es lo que
se hacía hasta ahora).
Figura 1.37 – Adaptación de HSDPA a las condiciones del enlace radio.
 RETRANSMISIONES RÁPIDAS: Los datos que se reciben de forma errónea, debido a
las condiciones de propagación, se solicitan de nuevo al transmisor para su corrección.
 PROGRAMACIÓN RÁPIDA DE TRANSMISIONES (FAST SCHEDULING): Según
las condiciones radioeléctricas en las que se encuentra cada usuario, en cada momento se
programa el orden en que debe transmitir cada uno. Con ello, se consigue un uso más
eficiente de los recursos compartidos. o También, si las condiciones de propagación de
67
las ondas de radio lo permiten, puede utilizarse, como complemento, la modulación
16QAM que es más eficiente que la normalmente empleada QPSK.
Con las técnicas mencionadas anteriormente se consiguen básicamente las siguientes mejoras en
la tecnología HSDPA:
 AUMENTO DE LA VELOCIDAD DE DESCARGA: con lo que se mejora la percepción
del servicio por los usuarios.
 MENORES RETARDOS: La respuesta de la red es más rápida por lo que la percepción
de muchos servicios (como web browsing) es mejor y es posible introducir servicios de
tipo interactivo (como juegos en tiempo real en red).
 AUMENTO DE LA CAPACIDAD DEL SISTEMA: Se evitan problemas de congestiones
en determinadas circunstancias.
Figura 1.38 - Mejora en las descargas con la tecnología HSDPA
68
1.11.12 .3. Actualización de la red.
Los cambios en la red son fundamentalmente de software en los nodos de radio (nodos-B
y RNC) y la instalación de nuevas tarjetas y tramas de transmisión de datos adicionales para
conseguir el aumento de la capacidad y potencia de procesado para incrementar la capacidad total
del sistema. Por otra parte, durante su implantación, los recursos de transmisión se compartirán
entre los usuarios UMTS R99 y HSDPA. Es decir, los cambios de la red únicamente de realizaran
en los nodos de acceso permitiendo mantener la estructura de la red existente:
Figura 1.39 – Estructura de la red existente.
Se podría contemplar la posibilidad de desplegar una nueva red pero, aunque el coste de los
nodos B fuese mucho menor con respecto a los HSDPA, estos últimos ya están creados puesto
que sólo hay que actualizar los nodos B (UMTS) existentes.
1.11.12 .4. HSUPA.
Así como el HSDPA mejora la percepción del cliente para los servicios de datos que
hacen uso de las descargas desde la red al terminal, el HSUPA hace lo propio con el envío de
datos desde el terminal hacia la red. En este momento, la combinación del HSDPA con el
HSUPA se denomina HSPA (High Speed Packet Access). Esto es útil para usuarios que envían
ficheros multimedia directamente a otros, para aquellos que deben enviar grandes cantidades de
información (con imágenes o videos) en tiempo real, como los periodistas, etc. Asimismo, el
69
retardo global del sistema se reduce también mejorando la percepción del usuario de los servicios
de datos.
Los mecanismos que hacen posible el HSUPA son semejantes a los descritos para HSDPA.
Con ello, se consigue pasar de los 384 kbit/s a los 5.76 Mbit/s (máximo teórico posible). El
HSUPA está disponible comercialmente desde segunda mitad del 2007.
Por su parte la evolución de HSUPA, es decir, HSPA permite las siguientes mejoras:
 Mejoras en el canal descendente para transmitir hasta 42 Mbps utilizando la modulación
64QAM.
 Mayor velocidad en canal ascendente hasta 11,5 Mbps -16QAM.

Mejora de rendimiento del sistema (4 a 1) mediante el uso de Antenas MIMO.
Figura 1.40 – Configuración de antenas MIMO.
La evolución esperada entre los años 2008 – 2012 en millones de usuarios se puede observar en
el gráfico descrito en la figura 1.41.
Figura 1.41 – Mercado potencial para la tecnología HSPA.
70
CAPITULO II. ANTENAS INTELIGENTES.
2.1. INTRODUCCIÓN.
Muchos se refieren a los sistemas de antena inteligente como antenas inteligentes, pero en
realidad antenas por sí mismas no son inteligentes. Es la capacidad de procesamiento digital de
señales, junto con las antenas que hacen que el sistema sea inteligente. Aunque puede parecer que
los sistemas de antenas inteligentes son una tecnología nueva, los principios fundamentales sobre
los que se basan no son nuevos. De hecho, en los años 1970 y 1980, dos números especiales de la
IEEE Transacción sobre Antenas y propagación se dedicaron a arreglos de antenas adaptativas y
técnicas de procesamiento de la señal asociada. El uso de antenas adaptativas en los sistemas de
comunicación inicialmente ha atraído el interés en las aplicaciones militares. En particular, las
técnicas se han utilizado durante muchos años en la guerra electrónica (EWF), como las
contramedidas a las interferencias electrónicas. En los sistemas de radar militares, técnicas
similares ya se habían utilizado durante la Segunda Guerra Mundial. Sin embargo, es sólo por el
avance de hoy en los poderosos procesadores de señales digitales de bajo costo, procesadores de
propósito general y de ASIC (Application Specific Integrated Circuits), así como software
innovadores basados en técnicas de procesamiento de señales (algoritmos), que los sistemas de
antena inteligente poco a poco estén disponibles comercialmente.
2.2. NECESIDAD DE ANTENAS INTELIGENTES.
Sistemas de comunicación inalámbrica, a diferencia de sus homólogos de línea fija
plantean algunos desafíos únicos:
1. Los limitados resultados en el espectro asignado en un límite sobre la capacidad
2. El radio de propagación en el medio y la movilidad de los usuarios, dan lugar al
desvanecimiento y la difusión de la señal en tiempo, espacio y frecuencia.
3. La limitada duración de la batería en el dispositivo móvil impone limitaciones de energía.
Además, los sistemas de comunicaciones inalámbricas celulares han de hacer frente a la
interferencia debido a la reutilización de frecuencias. Los esfuerzos en la búsqueda de
investigación de tecnologías eficaces para atenuar esos efectos se han sucedido durante los
últimos veinticinco años, como las comunicaciones inalámbricas que están experimentando
71
un rápido crecimiento. Entre estos métodos están los esquemas de acceso múltiple, la
codificación de canal, la ecualización y el empleo de antenas inteligentes.
Figura 2.1: Los impedimentos de los sistemas inalámbricos.
La Figura 2.1 resume las deficiencias de la comunicación inalámbrica de los sistemas de antenas
inteligentes que tienen que combatir.
Una antena, en un sistema de telecomunicaciones, es el puerto por el cual la frecuencia de radio
(RF) se une desde el transmisor al exterior con fines de transporte, y en sentido inverso, desde el
receptor al exterior con fines de llegada. Hasta la fecha, las antenas han sido los más
abandonados de todos los componentes en sistemas de comunicaciones personales. Sin embargo,
la manera en que la energía de radiofrecuencia se distribuye hacia dentro y se recoge en el
espacio tiene una influencia profunda sobre el uso eficiente del espectro, el coste de
establecimiento de nuevas redes de comunicaciones personales y la calidad de servicio que
ofrecen las redes. La adopción comercial de técnicas de antena inteligente es una gran promesa
para la solución de las deficiencias mencionadas en comunicaciones inalámbricas.
72
2.3. VISIÓN GENERAL.
La idea básica sobre el que los sistemas de antenas inteligentes se han desarrollado con
mayor frecuencia se presenta con un ejemplo simple e intuitivo que su operación se correlaciona
con la del sistema auditivo humano. Una persona es capaz de determinar la dirección de llegada
(DOA), de un sonido al utilizar un proceso de tres etapas:
Figura 2.2: La función del oído humano.
 Uno de los oídos actúa como sensores acústicos y recibe la señal.
 Debido a la separación entre las orejas, cada oído recibe la señal con un retraso de tiempos
diferentes.
 El cerebro humano, un procesador de señal especializado, hace un gran número de
cálculos para correlacionar la información y calcular la ubicación del sonido recibido.
Para proporcionar una mejor idea de cómo funciona un sistema de antena inteligente,
imaginemos dos personas manteniendo una conversación dentro de una habitación aislada como
se ilustra en la figura 2.2. El oyente entre las dos personas es capaz de determinar la ubicación de
los altavoces mientras se mueve por la habitación porque la voz del hablante llega a cada sensor
acústico, el oído, en un momento diferente. El ser humano "procesador de señal," el cerebro,
calcula la dirección de los altavoces de las diferencias de tiempo o demoras recibida por los dos
oídos. Después, al cerebro se añade la fuerza de las señales de cada oreja, con el fin de centrarse
en el sonido de la dirección calculada.
73
Utilizando un proceso similar, el cerebro humano es capaz de distinguir entre las señales
múltiples que tienen diferentes direcciones de llegada. Así, si los altavoces adicionales unen la
conversación, el cerebro es capaz de aumentar la señal recibida por el altavoz de interés y
desconectar las interferencias no deseadas. Por lo tanto, el oyente tiene la capacidad de distinguir
la voz de una persona, de entre muchas personas hablando simultáneamente, y concentrarse en
una conversación a la vez. De esta manera, se atenúa cualquier interferencia no deseada. Por el
contrario, el oyente puede responder de nuevo a la misma dirección de los altavoces deseados por
la orientación de su transmisor, su/la boca, hacia el altavoz.
Los sistemas eléctricos de antena inteligente trabajan de la misma manera con dos antenas en
lugar de dos orejas, y un procesador de señal digital en lugar del cerebro como se ve en la figura
2.3. Así, sobre la base de los retrasos debido a las señales que inciden sobre los elementos de la
antena, el procesador de señal digital calcula la dirección de llegada (DOA) de la señal de interés
(SOI) y, a continuación se ajustan las excitaciones (ganancias y las fases de las señales) para
producir un patrón de radiación que se centra en el SOI durante la afinación de las interferencias
o señales de no interés (SNOI).
Figura 2.3: Una antena inteligente eléctrica con 2 elementos.
Transfiriendo la misma idea a los sistemas de comunicación móvil, la estación base juega el
papel del oyente, y los teléfonos celulares activos simulan el papel de los varios sonidos
74
escuchados por el oído humano. El principio de un sistema de antena inteligente se ilustra en la
figura 2.4.
Figura 2.4: Principio de un sistema de antena inteligente.
Un procesador digital de señal en la estación base funciona en conjunto con la antena que es
responsable de ajustar varios parámetros del sistema para filtrar las señales interferentes o de no
interés (SNOI), mientras que se desea mejorar la comunicación o señales de interés (SOI). Así, el
sistema constituye el patrón de radiación en una forma adaptativa, respondiendo de forma
dinámica con el medio de la señal y sus alteraciones. El principio de la formación de haz es
fundamentalmente para el peso de la transmisión de señales, de tal manera que el receptor obtiene
una superposición constructiva de las partes de señales diferentes. Tenga en cuenta que algunos
conocimientos del canal de transmisión, en el transmisor son necesarios para la formación de haz
para ser viable. Una visión global de las técnicas de formación de haz se da en la figura. 2.5
ilustra la idea general de la formación de haz adaptativo.
75
Figura 2.5: Procedimiento de adaptación: (a) Cálculo de los pesos formador de haces y (b) Patrón
formador de haz de amplitud de antena para mejorar la SOI y reprimir SNOIs.
2.4. CONFIGURACIÓN DE ANTENAS INTELIGENTES.
Básicamente, hay dos grandes formaciones de antenas inteligentes:
 Switched-Beam: Un número finito de fijos, patrones predefinidos o combinación de
estrategias (sectores).
 Arreglo adaptativo: un número teóricamente infinito de patrones (basado en hipótesis) que
se ajusta en tiempo real de acuerdo a los cambios espaciales de SOIs y SNOIs.
En presencia de una interferencia de bajo nivel, ambos tipos de antenas inteligentes proporcionan
beneficios significativos en los sistemas convencionales sectorizados. Sin embargo, cuando una
intervención de alto nivel está presente, la capacidad de rechazo a la interferencia de los sistemas
de adaptación proporciona una cobertura significativamente mayor que cualquiera de los
76
convencionales o sistema de haz de conmutación. La Fig. 2.6 ilustra el área de cobertura relativa
para convencionales sectorizado, switched-beam, y sistemas de antenas adaptativas.
Figura 2.6: Patrones de cobertura para el haz de conmutación y el arreglo de antenas adaptativas.
Ambos tipos de sistemas de antenas inteligentes, proporcionan beneficios significativos en los
sistemas convencionales sectorizados. El bajo nivel de interferencia en el entorno de la izquierda
representa un nuevo sistema inalámbrico con bajos niveles de penetración. Sin embargo, el
entorno, con un importante nivel de interferencia de la derecha representa un sistema
inalámbrico, con más usuarios, o uno con varios patrones de reutilización de frecuencia
agresivos. En este escenario, la capacidad de rechazo a la interferencia del sistema adaptativo
proporciona una cobertura significativamente mayor que cualquiera de los convencionales o los
sistemas de conmutación de haz.
Ahora, supongamos que una señal de interés y dos interferencias co-canales llegan a la estación
base de un sistema de comunicaciones que emplean antenas inteligentes. La Figura 2.7 ilustra los
patrones de haz que cada configuración puede formar para adaptarse a este escenario.
77
Figura 2.7: lóbulos de formación de haz y nulos para haz conmutado (izquierda) y sistemas de
arreglos adaptativos (derecha) se puede optar por señales de usuarios idénticos (líneas claras) y
interferencia co-canal (líneas oscuras).
El sistema de conmutación de haz se muestra a la izquierda, mientras que el sistema adaptativo se
muestra en la derecha. Las líneas de luz indica la señal de interés, mientras que las líneas oscuras
muestran la dirección de las señales interferentes co-canal. Ambos sistemas dirigen el lóbulo con
la mayor intensidad en la dirección general de la señal de interés. Sin embargo, la conmutación
de haces fijos logra un control de patrón más grueso que los arreglos adaptativos.
El sistema adaptativo elige una colocación más exacta, proporcionando así una mayor mejora de
la señal. Del mismo modo, las señales interferentes llegan a áreas de menor intensidad fuera del
lóbulo principal, pero nuevamente el área del sistema adaptativo de estas señales está en los
puntos de ganancia más bajos posible. El concepto de arreglo adaptativo ideal asegura que la
señal principal reciba la máxima potenciación, mientras que las señales interferentes reciban la
supresión máxima.
2.5. ANTENAS DE HAZ CONMUTADO.
Un sistema de haz conmutado es la técnica más simple de antenas inteligentes. Es una
forma de múltiples haces fijos con mayor sensibilidad en determinadas direcciones. Este sistema
de antena detecta la intensidad de la señal, elige a uno de varios haces fijos predeterminados, y
conmuta de un haz a otro a medida que el teléfono celular se mueve por todo el sector, como se
ilustra en la figura 2.8.
78
Figura 2.8 Patrón de cobertura de conmutación de haz.
La conmutación de haz, se basa sobre una función de conmutación básica, puede seleccionar el
haz que entrega la señal recibida más potente. Al cambiar las diferencias de fase de las señales
utilizadas para alimentar a los elementos de la antena o las recibidas de ellas, el haz principal se
puede conducir en diferentes direcciones en el espacio. En lugar de configurar el patrón de antena
direccional, el sistema de conmutación de haz combina las salidas de varias antenas, de tal
manera, que se forman haces sectorizados estrechos (direccional) con la mayor selectividad
espacial que se puede lograr que con la convencional, aproximación de un elemento. Otras
fuentes en la literatura define este concepto como arreglo controlado por fase o antena multihaz.
Esta configuración se compone de un número de haces fijos con un haz dirigido hacia la señal
deseada, o un solo haz (formada por un solo ajuste de fase) que es dirigido hacia la señal deseada.
Un concepto más generalizado de conmutación de lóbulo, es el arreglo controlado por fase
dinámica (DPA). En este concepto, un algoritmo de dirección de llegada (DOA) está incorporado
en el sistema. La DOA es estimada primeramente, y luego los diferentes parámetros en el sistema
se ajustan de acuerdo con el ángulo de la dirección deseada. De esta manera, la potencia recibida
es maximizada, pero con el cambio de diseños de antena más complicadas. Los elementos
utilizados en estos arreglos deben estar conectados a las fuentes y / o receptores de las redes de
alimentación. Uno de las redes de formación de haz múltiple más ampliamente conocida es la
matriz de Butler. Esta es una red lineal, de alimentación pasiva, N × N con las capacidades de
79
dirección de haz para arreglos de antenas controladas por fase con N salidas conectadas a los
elementos de antena y N entradas o puertos de haz.
La matriz de Butler lleva a cabo una transformada rápida de Fourier espacial y proporciona N
n
+
haces ortogonales, donde N debe ser una potencia entera de 2 (N = 2 , n ∈ Z ).Estos haces son
combinaciones lineales independientes de los patrones de los elementos del arreglo. Un arreglo
alimentado por la matriz de Butler puede cubrir un sector de hasta 360 ◦ dependiendo de los
patrones de los elementos y el espaciamiento. Cada haz puede ser utilizado por un transmisor
dedicado y / o receptor y el haz apropiado puede ser seleccionado usando un interruptor RF. Una
matriz de Butler también se puede utilizar para dirigir el haz de un arreglo circular por excitación
de los puertos de haz de la matriz de Butler con entradas de pesos de amplitud y fase seguida de
una variable uniforme de fase taper. La única cadena necesaria de transmisión / recepción
combina filas alternas de los enlaces híbridos (o acopladores direccionales) y variadores de fase
fija. La Figura 2.9 muestra un diagrama esquemático de una matriz de Butler 4 × 4.
Figura 2.9: Un diagrama esquemático de una matriz Butler 4 × 4.
Un total de (N / 2) × log2 N híbridos y (N / 2) × log2 (N - 1) variadores de fase fijos son
necesarios para formar la red. Los híbridos pueden ser híbridos de 3 dB de 90◦ o 180◦,
dependiendo de si los haces son distribuidos simétricamente sobre el costado o si uno de los
haces está en la dirección de costado. Una matriz de Butler cumple dos funciones:
1. La distribución de señales RF para los elementos radiantes de la antena y
2. Formación de haces ortogonales y dirección del haz.
80
Mediante la conexión de una matriz de Butler entre un arreglo de antena y un conmutador de RF,
la formación de haz múltiple puede lograrse mediante la excitación de dos o más puertos de haz
con señales RF al mismo tiempo. Una señal introducida en un puerto de entrada produce
excitaciones iguales en todos los puertos de salida con una fase progresiva entre ellos, resultando
en una radiación de haz a un cierto ángulo en el espacio. Una señal en otro puerto de entrada
formará un haz en otra dirección, obteniendo la dirección del haz. Refiriéndonos a la figura 2.10,
si los puertos 1R y 4L se excitan al mismo tiempo con las señales RF de igual amplitud y fase,
los haces 2R y 3L se irradiaran simultáneamente.
Figura 2.10: 8 haces ortogonales formados por una matriz Butler 8 × 8.
Aunque la formación de haz múltiple es posible, hay una limitación. Dos haces adyacentes no se
puede formar al mismo tiempo ya que se suman para producir un solo haz.
2.6. APROXIMACIÓN DE UNA ANTENA ADAPTATIVA.
Los sistemas de antenas adaptativas aproximan la comunicación entre un usuario y una
estación base de una forma diferente, mediante la adición de la dimensión espacial. Al ajustar el
entorno de RF debido a los cambios (o el origen espacial de señales), la tecnología de antena
adaptativa puede alterar dinámicamente los patrones de señal para optimizar el rendimiento del
sistema inalámbrico. Los sistemas de arreglos adaptativos proporcionan más grados de libertad,
ya que, tienen la capacidad de adaptar en tiempo real el patrón de radiación en el entorno de la
señal RF, en otras palabras, pueden dirigir el haz principal hacia la señal piloto o SOI mientras
suprimen el patrón de antena en la dirección de las interferencias o SNOIs. Para decirlo en forma
simple, los sistemas de arreglos adaptativos pueden adaptar un patrón de radiación adecuado para
81
cada usuario individual. La figura 2.11 ilustra la idea general de un sistema de antenas
adaptativas.
Figura 2.11: Cobertura de un arreglo adaptativo: Una descripción representativa de un lóbulo
principal extendiéndose hacia un usuario con nulos dirigidos, hacia dos interferencias co-canal.
El concepto adaptativo es muy superior al rendimiento de un sistema de conmutación de haz,
como se muestra en la figura 2.6. Además, muestra que el sistema de conmutación de haz no sólo
no puede ser capaz de poner la señal deseada en el máximo del lóbulo principal, sino que también
presenta la imposibilidad de rechazar totalmente las interferentes. Debido a la capacidad para
controlar el patrón de radiación global en una gran área de cobertura para cada sitio de la célula,
como se ilustra en la figura 4.7, los sistemas de arreglos adaptativos puede proporcionar gran
aumento de la capacidad. Los sistemas de arreglos adaptativos pueden localizar y rastrear señales
(usuarios y interferentes), y ajustar dinámicamente el diagrama de antena para mejorar la
recepción, mientras que se minimiza la interferencia utilizando algoritmos de procesamiento de
señal. Un diagrama de bloques funcional de la parte de procesamiento digital de la señal de un
sistema de arreglos de antenas adaptativas se muestra en la figura 2.12.
82
Figura 2.12: Diagrama de bloques funcionales de un sistema de arreglos adaptativos.
Después, el sistema convierte las señales recibidas a banda base y las digitaliza, se localiza el
SOI usando el algoritmo de dirección de llegada (DOA), y continuamente sigue el SOI y SNOIs
cambiando dinámicamente los pesos complejos (amplitudes y fases de los elementos de antena).
Básicamente, la DOA calcula la dirección de la llegada de todas las señales mediante el cálculo
de el tiempo de retraso entre los elementos de la antena, y después, el algoritmo adaptativo,
utilizando una función de costo, calcula los pesos adecuados que conduzcan a un patrón de
radiación óptimo. Dado que los arreglos adaptativos son generalmente procesamientos digitales
más intensos y requieren una porción completa RF del transmisor, detrás de cada elemento de la
antena, tienden a ser más caros que los sistemas de conmutación de haz.
Los arreglos adaptativos utilizan algoritmos de procesamiento de señal sofisticados para
distinguir continuamente entre las señales deseadas, multitrayecto, y las señales de interferencia,
así como calcular sus direcciones de llegada (DOA). Estas actualizaciones aproximadas son
estratégicamente transmitidas continuamente en función de los cambios, tanto en los lugares
deseados y en las interferentes a la señal. Un número de algoritmos bien documentados que
existen para la estimación de la DOA, son por ejemplo, MUSIC, ESPRIT, o SAGE. Estos
algoritmos, hacen uso de una Matriz de datos con las colectas del arreglo de snapshots en el
tiempo de coherencia del canal. En esencia, el procesamiento espacial crea dinámicamente un
sector diferente para cada usuario y transmite una asignación frecuencia / canal de forma
continua en tiempo real. La figura 2.13 ilustra los haces de un sistema de antenas adaptativas
completo soportando dos usuarios.
83
En las técnicas de formación de haz adaptativos, dos estrategias principales son distinguidas. El
primero se basa en el supuesto de que parte de la señal deseada ya es conocida, a través de la
utilización de una secuencia de entrenamiento.
Figura 2.13: procesamiento espacial adaptativo completo soportando a dos usuarios en el mismo
canal convencional y simultáneamente en la misma celda.
Esta señal conocida, es entonces comparada con la que se recibe, y los pesos se ajustan luego
para reducir el error de cuadrados medios (MSE), entre las señales conocidas y las señales
recibidas. De esta manera, el diagrama de haz puede ser ajustado a nulo las interferencias. Esta
aproximación optimiza la relación señal a interferencia (SIR), y es aplicable para entornos sin
línea de visión (NLOS). Dado que los pesos se actualizan de acuerdo con las señales de entrada,
no sólo se reduce la interferencia, sino que el desvanecimiento multitrayecto es también mitigado.
En la segunda, las direcciones de llegada de todas las fuentes de transmisión de señales al arreglo
de antena son identificadas primeramente. Los pesos complejos son entonces ajustados para
producir un máximo hacia el ángulo deseado y nulo hacia las señales interferentes. Esta estrategia
puede llegar a ser deficiente en escenarios de práctica, donde hay demasiadas DOAS debido a
multitrayecto, y los algoritmos son más propensos a fallar que en detectarlos correctamente . Esto
es más probable que se produzcan en entornos NLOS donde hay muchas dispersiones locales
cerca de los usuarios y la estación base, lo que resulta en un mayor esparcimiento del ángulo de
llegada.
Otra ventaja importante de los sistemas de antenas adaptativas es la capacidad de compartir el
espectro. Debido al seguimiento preciso y la robusta capacidad de rechazo de las interferencias,
84
varios usuarios pueden compartir el mismo canal convencional dentro de la misma celda.
Aumentando la capacidad del sistema mediante menores patrones de reutilización de frecuencias
entre celdas, así como la reutilización de frecuencias entre celdas. La figura 2.13 muestra cómo la
aproximación de antenas adaptativas puede ser utilizada para soportar dos usuarios al mismo
tiempo en la misma celda sobre un mismo canal convencional. En cada una de las dos figuras, el
patrón de la izquierda se utiliza para comunicarse con el usuario a la izquierda, mientras que el
patrón de la derecha se usa para hablar con el usuario a la derecha. Las líneas dibujadas muestran
la dirección real para cada señal. Observe que las señales viajan bajo la línea indicada hacia la
estación base, la señal a la derecha del usuario llega a un nulo del patrón izquierdo o a un punto
de ganancia mínima y viceversa. Como los usuarios se mueven, los patrones de haz se actualizan
constantemente para asegurar estas posiciones. El esquema en la parte inferior de la figura
muestra cómo los patrones de haz han cambiado dinámicamente para asegurar la máxima calidad
de señal como cuando un usuario se mueve hacia el otro. La figura 2.14 resume los distintos
conceptos de antena inteligente, y las funciones de cada una.
Figura 2.14 - Diferentes conceptos de antena inteligente
2.7. ANTENAS INTELIGENTES EN SDMA.
Un concepto totalmente diferente de los esquemas de acceso múltiples descritos
anteriormente, es el esquema de acceso múltiple por división espacial (SDMA). Sistemas SDMA
utilizan técnicas mediante las cuales las señales son distinguidas en la BS en base a su origen en
el espacio. Se suelen utilizar en combinación con cualquier FDMA, TDMA, o CDMA, con el fin
85
de proporcionar a éstos la habilidad adicional para explorar las propiedades espaciales de las
señales. SDMA es una de las utilizaciones más sofisticadas para la tecnología de antena
inteligente; su avanzada capacidad de procesamiento espacial permite localizar a muchos
usuarios, la creación de diferentes haces para cada usuario, como se muestra en la figura 2.15.
Figura 2.15 - Concepto de SDMA.
El esquema SDMA, se basa en el concepto de que una señal de llegada de una fuente distante
llega a diferentes antenas en un arreglo en diferentes momentos debido a su distribución espacial.
Este retraso se utiliza para diferenciar uno o más usuarios en un área de los de otra área.
El esquema permite una transmisión efectiva de tener lugar en una celda sin molestar a una
transmisión simultánea en otra celda. Por ejemplo, el convencional GSM/GPRS permite a un
usuario a tiempo para transmitir o recibir en una banda de frecuencias de la estación base, donde
GSM / GPRS con SDMA permite múltiples transmisiones simultáneas en esa misma banda de
frecuencia, multiplicando la capacidad del sistema. La capacidad del sistema CDMA está
limitado por su SIR, por lo tanto, con SDMA aumentando el SIR en el sistema, más usuarios
podrán acceder por la red.
Con el Filtrado en el dominio espacial, se pueden separar espectral y temporalmente las señales
superpuestas de múltiples unidades móviles y que permite a múltiples usuarios dentro del mismo
radio de la célula, para ser acomodados en la misma frecuencia y ranura de tiempo, como se
ilustra en la figura 2.15. Esto significa que más de un usuario puede ser asignado a los mismos
86
canales de comunicación física en la misma celda simultáneamente, con sólo la separación en
ángulo. Esto se logra haciendo N conformadores de haz paralelos a la estación base de
operaciones de forma independiente, donde cada formador de haz tiene su propio algoritmo de
formación de haz adaptativo controlado por su propio conjunto de pesos y su propio algoritmo de
dirección de llegada (DOA) para determinar el tiempo de demora de cada señal de los usuarios
como se muestra en la figura 2.16. Cada formador de haz crea un máximo hacia el usuario
deseado, mientras que anula o atenúa a los otros usuarios.
Figura 2.16 - Diagrama de bloque de un sistema SDMA.
Esta tecnología mejora de forma notable la capacidad de supresión de interferencias, mientras
que aumenta en gran medida la reutilización de frecuencias que resulta en una mayor capacidad y
coste de la infraestructura reducida.
Con SDMA, varios teléfonos móviles pueden compartir la misma frecuencia dentro de una celda.
Múltiples señales que llegan a la estación base pueden ser separadas por el receptor de la estación
base, siempre que su separación angular sea mayor que el ancho de haz de transmisión /
recepción. Esto se muestra en la figura 2.17. Los haces que tienen la misma sombra usan la
misma banda de frecuencias. Esta técnica es llamada reutilización del canal vía separación
angular.
87
2.17 - Reutilización del canal vía separación angular.
Métodos activos contra el desvanecimiento son requeridos, para la alta tasa de datos y sistemas
de comunicación móvil de alta confiabilidad. Un sistema SDMA es una medida eficaz para hacer
frente al desvanecimiento, ya que, distingue a las señales de radio en el dominio espacial o
angular utilizando la directividad de la antena o la formación de haz de acuerdo con la dirección
de llegada (DOA) de las señales.
2.8. ARQUITECTURA DE UN SISTEMA DE ANTENA INTELIGENTE.
2.8.1. Receptor.
La figura 2.18 muestra esquemáticamente el diagrama de bloques de la parte de recepción
de un sistema inalámbrico, empleando una antena inteligente con M elementos. Además de la
antena en sí, contiene una unidad de radio, una unidad formadora de haz, y una unidad de
procesamiento de señales.
88
Figura 2.18 – Parte receptora de una antena inteligente.
El número de elementos en el arreglo debe ser relativamente bajo (el mínimo requerido), a fin de
evitar la alta complejidad innecesaria en la unidad de procesamiento de señales. Los arreglos de
antenas puede ser de uno, dos y tres dimensiones, dependiendo de la dimensión de espacio que se
quiera acceder. La figura 2.19 muestra diferentes geometrías de arreglos que se pueden aplicar en
las implementaciones de antenas adaptativas.
Figura 2.19 - Diferentes geometrías de un arreglo uniforme para antenas inteligentes.
89
La primera estructura se utiliza principalmente para la formación de haz en el único plano
horizontal (azimut). Esto normalmente será suficiente para entornos al aire libre, al menos en las
células grandes. El primer ejemplo (a) muestra un arreglo lineal unidimensional con el
espaciamiento uniforme de los elementos de Δx. Esta estructura puede llevar a cabo la formación
de haz en un plano dentro de un sector angular. Esta es la estructura más común debido a su baja
complejidad. El segundo ejemplo (b) muestra una arreglo circular con espaciamiento angular
uniforme entre elementos adyacentes de Δϕ = 2π/N, donde N representa el número de elementos.
Esta estructura puede llevar a cabo la formación de haz en cualquier dirección, pero, debido a su
simetría, es más apropiado para la formación de haz acimutal.
Las últimas dos estructuras se utilizan para realizar la formación de haz de dos dimensiones, en
ambas acimutal y ángulos de elevación. Estas especificaciones son generalmente deseables para
entornos urbanos interiores o densos. La vista frontal de un arreglo rectangular de dos
dimensiones con un espaciamiento de los elementos horizontales de Δx y un espaciamiento de
los elementos verticales de Δy se muestra en (c). La formación de haz en todo el espacio, dentro
de todos los ángulos, requiere algún tipo de estructura cúbica o esférica (configuración
tridimensional). El cuarto ejemplo (d) muestra una estructura cúbica con separaciones elemento
de Δx, Δy, y Δz, respectivamente, en cada dirección en el espacio.
La unidad de radio consiste de una cadena de baja conversión (complejo) y conversión análogo a
digital (A / D). Debe haber M cadenas de baja conversión, una para cada uno de los elementos
del arreglo. Las señales recibidas de las unidades móviles se combinan dentro de una, que es la
entrada a la parte restante del receptor (amplificador, decodificación de canal, etc.).
Basado en la señal recibida, la unidad de procesamiento de señal calcula el peso complejo w1, w2
,..., wM que se multiplica con la señal recibida de cada uno de los elementos del arreglo. Estos
pesos determinarán el patrón de la antena en la dirección de enlace ascendente. La estimación de
los pesos pueden ser optimizado, utilizando uno de los dos criterios principales dependiendo de la
aplicación y la complejidad:
1) Maximización de la potencia de la señal recibida desde el usuario deseado
(por ejemplo, haz conmutado o arreglos controlados por fase), o
2) La maximización de la SIR por supresión de la señal recibida de las fuentes
interferentes (arreglo adaptativo).
90
En teoría, M elementos de antena con M-1 fuentes de interferencias puede ser "salida nula", pero
este número será normalmente inferior al medio de propagación multitrayecto.
El método para calcular los pesos varía en función del tipo de criterio de optimización. Cuando el
haz conmutado (SB) es usado, el receptor chequeará todos los vectores de peso predefinidos
(correspondiente al conjunto de haces) y elegirá el mejor proporcionando el mayor nivel de señal
recibido. Si la aproximación de arreglos controlados por fase (PA) es usada, esta consistirá en
dirigir un haz de ganancia máxima hacia el componente de señal más potente, los pesos se
calculan después de la dirección de llegada (DOA) esta es la primera estimación. En la
aproximación de arreglos adaptativos (AA), donde la maximización de SIR es necesaria, el vector
de peso óptimo (de dimensión M) wopt puede calcularse utilizando una serie de algoritmos que se
verán después.
Cuando la formación de haz se realiza digitalmente (después de A / D), la formación de haz y las
unidades de procesamiento de señales pueden normalmente ser integrados en la misma unidad
(Procesamiento digital de la señal, DSP). La separación en la figura 2.18 se hace para aclarar la
funcionalidad. La conformación del haz se puede realizar en cualquier frecuencia de radio (RF) o
de frecuencia intermedia (IF).
2.8.2. Transmisor.
Normalmente, el proceso adaptativo se aplica solamente al enlace ascendente/recepción
(desde el móvil a la estación base). En ese caso, la unidad móvil consume menos potencia de
transmisión, y el tiempo de funcionamiento de la batería se prolonga. Sin embargo, los beneficios
de adaptación son muy limitados, si la formación de haz no se aplica en la transmisión de enlace
descendente (desde la estación base al móvil). En principio, los métodos utilizados en el enlace
ascendente pueden ser transportados en el enlace descendente. La parte de transmisión de un
sistema de antena inteligente es esquemática similar a la parte de recepción, como se muestra en
la figura 2.20.
91
Figura 2.20 - Parte transmisora de una antena inteligente.
La señal es dividida en N partes, que se ponderan por pesos complejos w1, w2 ,..., wN en la unidad
de formación de lóbulo. La unidad de procesamiento de señal calcula convenientemente los
pesos, que forma el patrón de radiación en la dirección del enlace descendente. La unidad de
radio consta de convertidores D / A y cadenas de elevadores de frecuencia. En la práctica,
algunos de los componentes, tales como las antenas de los mismos y la DSP, será el mismo que
en la recepción. La principal diferencia entre el enlace ascendente y descendente es que las
antenas inteligentes no pueden aplicarse a los terminales del usuario (estaciones móviles), sólo
hay un conocimiento limitado de la información del Estado del canal (CSI) disponible. Por lo
tanto, la óptima formación de haz del enlace descendente es difícil y el mismo rendimiento que
el enlace ascendente no se puede lograr. Por lo general, existen dos estimaciones para superar
esta deficiencia. La primera de ellas es diseñar métodos que no requieran alguna CSI, pero con
una limitada ganancia en el rendimiento. La segunda es la suposición de la reciprocidad de
dirección, la dirección en la que la señal llega al enlace ascendente está estrechamente
relacionada con la CSI del enlace descendente. Esta suposición ha sido reforzada por los últimos
resultados experimentales.
Físicamente una antena adaptativa se parece mucho a una antena común, pero se ha integrado la
electrónica y software de control. Además, coopera con el sistema de control adaptativo del
92
receptor en tiempo real. También puede comunicarse interactivamente con el sistema de control
de la red celular de radio.
Las técnicas de antena inteligente sólo han sido recientemente consideradas para su aplicación en
las estaciones móviles terrestres y unidades instaladas en vehículos, debido a su sistema de alta
complejidad y el consumo de energía de gran tamaño. Un número de arreglos de antenas
inteligentes para aplicaciones de estación de base ya han sido propuestos. Sin embargo, sólo los
esfuerzos limitados han sido todavía considerados para el desarrollo de receptores de arreglos de
antenas adaptativas adecuados para teléfonos móviles. De hecho, existen varias dificultades
prácticas con la implementación de dicha solución en el nivel del teléfono móvil. Estos son:
1) El espacio en el dispositivo móvil es limitado y no permite la implementación
de un arreglo de antenas con un número suficiente de elementos necesarios
para el eficaz procesamiento espacial de la señal. Además, dos (o varias)
antenas en la proximidad pueden reducir la efectividad del sistema de antena
debido al acoplamiento.
2) El problema relacionado con el movimiento de los móviles que proporciona un
escenario omnidireccional.
3) El costo y la complejidad de la implementación en todos los móviles es mucho
mayor que la implementación en cada estación base de radio.
Además de estas dificultades, el algoritmo adaptativo para el procesamiento de señal del teléfono
móvil debe ser rápido; sin embargo éstos sólo necesitan unos cuantos cálculos simples, y
requieren una implementación de hardware simple. Para justificar los esfuerzos de investigación
en el empleo de múltiples antenas en los teléfonos móviles, la ganancia en el rendimiento debe
ser lo suficientemente grande como para compensar el coste adicional y el consumo de potencia.
Por último, cabe destacar que el uso de antenas formadora de haces digitales, tanto en satélites y
en terrenos fijos y unidades móviles, sigue siendo un reto para los sistemas de comunicación
satelitales del futuro.
93
2.9. BENEFICIOS Y DESVENTAJAS.
La introducción de antenas inteligentes se espera que tenga un gran impacto, en el
rendimiento de las redes de comunicaciones celulares. También, afectará a muchos aspectos en la
planificación y despliegue de sistemas móviles. El gran interés en antenas inteligentes es el
aumento de la capacidad y alcance. En zonas densamente pobladas la principal fuente de ruido es
la interferencia de otros usuarios. El despliegue de arreglos adaptativos es para incrementar
simultáneamente el nivel de la señal recibida útil y reducir el nivel de interferencia,
proporcionando así una mejora significativa en la relación señal a interferencia (SIR). Un efecto
inmediato del aumento de la SIR es la posibilidad para reducir la distancia de reutilización de
frecuencias. Esto conducirá a un aumento de gran capacidad, ya que más portadoras pueden ser
asignadas por celda. Una ventaja inmediata se notará en los sistemas TDMA (GSM), que están
más preocupados por incrementar la SIR. Un ejemplo se muestra en la figura 2.21, donde un
grupo de siete celdas tradicionales se ha reducido a un grupo de tres celdas. Esto conducirá a un
aumento de capacidad de 7 / 3.
Figura 2.21: (a) Grupo de 7 celdas tradicionales y (b) posible grupo de 3 celdas permitidas por la
reducción de la interferencia, parecido cuando se emplean antenas inteligentes.
Utilizando antenas inteligentes, un aumento del rango de cobertura de una estación base es
posible, ya que son capaces de enfocar su energía hacia los usuarios deseados en vez de dirigir y
gastar en otras direcciones innecesarias. En otras palabras, las antenas inteligentes son más
directivas que las tradicionales antenas sectorizadas o antenas omnidireccionales. Así, las
estaciones base se puede colocar más lejos, introduciendo potencialmente a un despliegue costo-
94
eficiencia mayor. Por lo tanto, en las zonas rurales y poco pobladas, donde la cobertura de radio
en lugar de la capacidad es más importante, los sistemas de antenas inteligentes también son
ideales. Además, usando haces de transmisión y recepción que son dirigidos hacia el usuario
móvil de interés, el multitrayecto y la interferencia inter-símbolo, debido a la propagación
multitrayecto presente en entornos de radio inmóviles, son mitigadas.
Otra ventaja añadida a los sistemas de antena inteligente es la seguridad. En una sociedad que se
vuelve más dependiente en la realización de negocios y la distribución de información personal,
la seguridad es una cuestión importante. Las antenas inteligentes logran una mayor dificultad
para utilizar una conexión, porque el intruso debe colocarse en la misma dirección como un
usuario "visto" desde la estación base para aprovechar exitosamente una conexión.
Por último, debido a la naturaleza de detección espacial de los sistemas de antenas inteligentes, la
red tendrá acceso a la información espacial sobre los usuarios. Esta información puede ser
explotada en la estimación de las posiciones de los usuarios con mucha más precisión que en las
redes existentes. En consecuencia, la posición exacta se puede utilizar en los servicios para
localizar las personas en caso de llamadas de urgencia o por cualquier otro servicio de ubicación
específico.
Aunque los beneficios de utilización de antenas inteligentes se consideran muchos, existen
también algunos inconvenientes importantes. El transmisor-receptor de antena inteligente es
mucho más complicado que un transmisor-receptor de la estación base tradicional. La separación
de las cadenas transceptoras es necesaria para cada uno de los elementos del arreglo de antena y
la calibración exacta en tiempo real de cada uno de ellos es requerida. Por otra parte, la formación
de haces adaptativos es un proceso computacionalmente intensivas; así la estación base de las
antenas inteligentes deben incluir procesadores numéricos muy potentes y sistemas de control.
Las estaciones base de antenas inteligentes, sin duda, serán mucho más caras que las estaciones
base convencionales.
A pesar de que las antenas inteligentes son principalmente una tecnología de radio, estas
inevitablemente pondrán nuevas demandas a las funciones de red; tales como los recursos y la
gestión de movilidad. SDMA implica diferentes usuarios utilizando el mismo canal de
comunicación física en la misma celda, separado sólo por ángulo. Cuando las colisiones
angulares se producen entre estos usuarios, una de ellas con rapidez debe cambiar a otro canal
para que la conexión no se rompa.
95
Para que la antena inteligente pueda obtener una ganancia razonable, un arreglo de antena con
varios elementos es necesario. Normalmente los arreglos consisten de seis a diez elementos
horizontales separados; se han sugerido para entornos móviles al aire libre. La separación
necesario entre elementos es 0.4-0.5 longitudes de onda. Una antena de ocho elementos, por
ejemplo, sería de aproximadamente 1,2 metros de ancho a una frecuencia de 900 MHz y 60 cm a
2 GHz.
Con una creciente demanda del público para menos estaciones base visibles, las
geometrías con el tamaño de varias longitudes de onda (que corresponden a las frecuencias
portadoras que se utiliza actualmente), aunque no excesivo, podrían constituir un problema. La
figura 2.22, muestra una fotografía de un arreglo de antenas de ocho elementos operando a 1,8
GHz, reforzando el argumento.
Figura 2.22: Imagen de un arreglo de antena de ocho de elementos en 1,8 GHz. (Propiedad de la
antena de Telia Research AB, Suecia).
96
CAPITULO III. ESTIMACIÓN DE DIRECCIÓN DE LLEGADA: ALGORITMOS
MUSIC Y ESPIRIT.
3.1. INTRODUCCIÓN.
En muchos problemas prácticos de procesamiento de señales, el objetivo es estimar a
partir de una colección de ruidos "contaminados", medidos en un conjunto de parámetros
constantes de los parámetros sobre las verdaderas señales que depende. Además, la estimación
exacta de la dirección de llegada de todas las señales transmitidas al arreglo de antena adaptativa,
contribuye a la maximización de su rendimiento con respecto a la recuperación de la señal de
interés y suprime todas las señales interferentes presentes. El mismo problema de la
determinación de la DOAs de impacto de frentes de onda, dado el conjunto de señales recibidas
en un conjunto de antenas múltiples emisoras, se plantea también en una serie de radares,
sonares, en la vigilancia electrónica, y las solicitudes de exploración sísmica.
En este capítulo, hablaremos de 2 algoritmos de estimación de la DOA, que están directamente
relacionados con las señales recibidas. Los datos de un conjunto de sensores se recogen, y el
objetivo es localizar las fuentes puntuales, que se supone que la energía radiante es detectable por
los sensores. Sin embargo, para entender de mejor manera el concepto de estos algoritmos, es
necesario conocer algunos conceptos importantes como la correlación, la matriz de correlación,
conocer el escenario en el que se trabajará y así también el modelo matemático de la señal,
conceptos que se profundizarán a continuación.
3.2. CORRELACIÓN LINEAL.
Es frecuente que estudiemos sobre una misma población, los valores de dos variables
estadísticas distintas, con el fin de ver si existe alguna relación entre ellas, es decir, si los cambios
en una de ellas influyen en los valores de la otra. Si ocurre esto decimos que las variables están
correlacionadas o bien que hay correlación entre ellas.
El objetivo primordial de la correlación, es medir la intensidad de la relación entre dos variables.
Se llama variable a la característica o aspecto que se considera para cada elemento de la muestra
y puede tomar diferentes valores. Supongamos que tenemos una muestra de N personas, a cada
persona se le asignan dos números, uno mide su estatura y otro mide su peso. El conjunto de
valores X = {x1, x2, ...,xN} representa las diferentes estaturas y el conjunto Y = {y1, y2, ...,yN}
97
representa los diferentes pesos. De esta forma podemos crear el conjunto de pares ordenados P =
{(x1 , y1), (x2 , y2), ...,(xN , yN)} donde el par ordenado (xi , yi) representa el peso y la estatura de
la persona número i. Para este conjunto podemos investigar la correlación que existe entre
estatura y peso.
Esta correlación ocurre cuando dos variables X, Y tiende a seguir un patrón lineal. Por ejemplo
podemos investigar la relación lineal que existe entre peso y estatura, promedio de la escuela
superior y puntuación en el examen de ingreso a la universidad, ingreso mensual y gastos
mensuales, coeficiente intelectual y promedio universitario, edad e ingreso mensual entre otras.
Se dice que existe una relación o correlación positiva entre dos variables X y Y, si al aumentar
los valores de X aumentan los valores de Y, o cuando al disminuir los valores de X disminuyen
los valores de Y. Por ejemplo, si la variable X toma los valores 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6 y la
variable Y toma los valores 1, 2, 3, 2, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 5. Si escribimos los valores de las variables
X, Y en forma de pares ordenados obtenemos P = {(2,1), (3,2), (3,3), (4,2), (4,3), (4,4), (5,4),
(5,5), (6,3), (6,4), (6,5)}. Si ubicamos estos puntos en un sistema de coordenadas, obtenemos una
gráfica llamada diagrama de dispersión. El diagrama de dispersión del ejemplo anterior se
muestra en la figura 3.1.
Figura 3.1 – Ejemplo de correlación positiva.
Se dice que existe una relación o correlación negativa entre dos variables X y Y, si al aumentar
los valores de X disminuyen los valores de Y, o cuando al disminuir los valores de X aumentan
los valores de Y. Por ejemplo, para el conjunto de pares ordenados P = {(4,5), (5,3), (5,4), (5,5),
(6,4), (6,4), (7,1), (7,2), (7,3), (8,1), (8,2)}.
El diagrama de dispersión para este conjunto se muestra en la figura 3.2.
98
Figura 3.2 – Ejemplo correlación Negativa.
Cuando dos variables X y Y se correlacionan positivamente, los puntos en su diagrama de
dispersión quedan encerrados en una elipse inclinada como se muestra en la figura 3.3.
Figura 3.3 – Elipse de correlación positiva.
Si las variables X y Y se correlacionan negativamente, los puntos en su diagrama de dispersión
quedan encerrados en una elipse inclinada como se muestra en la figura 3.4.
Figura 3.4 - Elipse de correlación negativa.
Mientras mayor es el diámetro de la elipse que encierra los puntos de un diagrama de dispersión,
menor es la relación de las variables que contiene. Cuando esto ocurre decimos que la correlación
es débil.
99
Figura 3.5 – Ejemplo de correlación positiva débil.
Por el contrario mientras menor es el diámetro de la elipse que encierra los puntos de un
diagrama de dispersión, mayor es la relación de las variables que contiene. Cuando esto ocurre
decimos que la correlación es fuerte.
Figura 3.6 – Ejemplo de correlación positiva fuerte.
Si las variables X, Y no se correlacionan linealmente los puntos de su diagrama de dispersión no
quedan encerrados en una elipse inclinada.
Figura 3.7 - Ejemplo donde no hay correlación.
100
La correlación lineal perfecta; ocurre cuando todos los puntos del diagrama de dispersión están
exactamente sobre una recta inclinada, como se muestra en la figura 3.8.
Figura 3.8 – Ejemplo de correlación lineal perfecta.
Si los datos forman una recta horizontal o vertical no hay correlación ya que, una variable no
afecta la otra como se muestra en las figura 3.9.
Figura 3.9 – Ejemplo de no correlación.
Los diagramas de dispersión no siempre se presentan en alguna de las formas que vimos
anteriormente. Algunas veces sugieren relaciones que no son lineales, como se muestra en la
figura 3.10.
Figura 3.10 – Correlación no lineal.
101
En este diagrama hay un patrón definido sin embargo, las dos variables no están relacionadas
linealmente, esto implica que no hay correlación lineal.
3.3. ESPERANZA MATEMÁTICA O VALOR ESPERADO.
La esperanza matemática es el valor esperado de una Variable Aleatoria X es el promedio
o valor promedio de X.
La esperanza matemática o valor esperado de una variable aleatoria, tiene sus orígenes en los
juegos de azar, debido a que los apostadores deseaban saber cuál era su esperanza de ganar
repetidamente un juego, por lo tanto, el valor esperado representa la cantidad de dinero promedio
que el jugador está dispuesto a ganar o perder después de un número grande de apuestas.
En conclusión, el valor esperado de una variable aleatoria después de un número grande de
experimentos es su valor esperado. Ahora bien, el valor esperado o la cantidad promedio, que se
ganaría en cada juego después de un número grande de éstos, se determina multiplicando cada
cantidad que se gana o se pierde por su respectiva probabilidad y se suman los resultados.
De acuerdo a lo anteriormente dicho, se puede decir que; El valor esperado de una variable
aleatoria X, es el promedio o valor medio de X, y está dada por:
E ( X )   x  p( x) si x es discreta y,
E ( X )   x  f ( x)dx si x es continua
(3.1)
(3.2)
3.3.1. Esperanza Matemática de una función de una Variable Aleatoria Discreta.
Sea X, una variable aleatoria discreta, cuya función es P( X  x) y sea Y  g (x) una
función d es variable aleatoria. La esperanza matemática o valor esperado de g (x) , denotada
por:
E ( g ( X ))   g ( x)  P( X  x)
(3.3)
Es decir, para obtener la esperanza matemática se suman los valores de g (x) , evaluados en cada
punto de x, multiplicados por las correspondientes probabilidades P( X  x) .
102
3.3.2. Esperanza Matemática de una función de una Variable Aleatoria Continua.
La idea de media o esperanza de una variable aleatoria continua, es equivalente al cálculo
de la esperanza de una variable aleatoria continua, pero es algo más complicado porque
requiere emplear el concepto de integral.
3.3.3. Propiedades de la Esperanza Matemática.
La esperanza tiene las siguientes propiedades:
Ek  k ,
k es una constante
Ek  X   k  EX 
EX  Y  Z   EX   EY   EZ 
(3.4)
3.4. VECTORES BÁSICOS.
3.4.1. Vector columna.
El vector a puede ser indicado como un vector de columna; o como un vector de fila. Si
a es un vector columna o una matriz de una sola columna, puede ser descrito como.
 a1 
a 
a 2
  
 
a M 
(3.5)
3.4.2. Vectores fila.
Si b es un vector fila o una matriz de una fila, puede ser descrito como.
b  b1
b2
 bN 
(3.6)
3.4.3. Vector transpuesta.
Cualquier vector columna se puede cambiar en un vector fila, o un vector fila se puede
cambiar en un vector de columna por la operación traspuesta de tal manera que:
103
a T  a1
a2
 aM 
(3.7)
 b1 
b 
T
b  2

 
bN 
3.4.4. Vector transpuesto hermitiano.
La traspuesta hermitiana; es la transpuesta conjugada de un vector denotado por el
operador H. Así la transpuesta hermitiana de arriba se puede demostrar cómo:

a T  a1* a 2*
 b1* 
 *
b
T
b  2
  
 *
bN 
 a M*

(3.8)
3.5. AUTOCORRELACIÓN Y DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA.
Es valioso saber qué tan bien una variable aleatoria se correlaciona con la misma en
diferentes puntos en el tiempo. Es decir, ¿cómo x en el tiempo t1 se correlacionan con x en el
tiempo t2 ? Esta correlación se define como una Autocorrelación ya que, estamos con la misma
correlación de x. La autocorrelación es normalmente escrita como:
R x (t1 , t 2 )  E x  (t1 )  x(t 2 )
(3.9)
Si la variable aleatoria x es en amplio sentido estacionaria, los valores específicos de t1 y t2 no
son tan importantes como el intervalo de tiempo entre estos dos valores definidos por  . Así,
para un proceso de un amplio sentido estacionario, la autocorrelación puede ser reescrita como:
R x ( )  E x(t )  x(t   )
(3.10)
Cabe señalar que el valor de autocorrelación en   0 es el segundo momento. Así,
 
Rx (0)  E x 2  m2
(3.11)
104
Una vez más, en los sistemas prácticos en las que nos vemos obligados a un proceso limitado de
bloques de datos, uno se ve forzado a estimar la autocorrelación basado en utilizar un promedio
de tiempo. Por lo tanto, la estimación de la autocorrelación puede ser definida como:
1
Rˆ x ( )   x(t )  x(t   )dt
T 0
T
(3.12)
Si el dato es un dato de muestra, la ecuación. (5.31) puede ser reescrita como una serie que se
expresa como:
1
Rˆ x (n) 
K
K
 x ( k )  x ( k  n)
(3.13)
k 1
Si al aumentar T (o K ), se puede forzar a la estimación de la autocorrelación a converger a la
autocorrelación estadística, el proceso se dice que es ergódico en la autocorrelación o
autocorrelación ergódico. Esto puede ser escrito como:
1
x(t )  x(t   )dt  Rx ( )
T  T 
0
lim Rˆ x ( )  lim
T 
T
(3.14)
Cabe mencionar, que las unidades de la función de autocorrelación de los sistemas eléctricos se
expresa normalmente en watts. Así R x (0) se obtiene la potencia media de la variable aleatoria x .
Al igual que con las señales normales y sistemas lineales, es instructivo de comprender el
comportamiento del espectro de la variable aleatoria x . Los parámetros tales como, ancho de
banda y la frecuencia central, ayuda al diseño del sistema para entender mejor la manera de
procesar la señal deseada. La autocorrelación en sí; es una función del tiempo de retardo entre
dos tiempos separados por variables aleatorias. Así, la autocorrelación está sujeta al análisis de
Fourier. Vamos a definir la densidad espectral de potencia, como la transformada de Fourier de la
función de autocorrelación.

 j 2 f
S ( f )   R ( )  e
d
x
x

(3.15)

j 2 f
R ( )   S ( f )  e
df
x
x

(3.16)
105
La transformada de Fourier en el par de ecuaciones. (3.15) y (3.16) se denomina con frecuencia
como el par Wiener-Khinchin.
3.6. MATRIZ DE CORRELACIÓN.
En el tratamiento previo de las variables aleatorias, hemos supuesto que, existe sólo una
variable aleatoria x , y llevamos a cabo operaciones de esperanza en estos valores escalares.
Varias circunstancias se presentan cuando una colección de variables aleatorias existe. Un
ejemplo es la salida de cada elemento de un arreglo de antenas; si una onda plana entrante que
induce una tensión aleatoria sobre todos los Ns-elementos de un arreglo, la señal recibida x es un
vector. Usando la notación de (5.36) se puede describir los voltajes de salidas en un arreglo de
elementos para una onda plana incidente.
(3.17)
x (t )  a ( )  s(t )
En donde s(t ) = señal incidente monocromática en el tiempo t.
a ( ) = Vector de dirección de un arreglo de Ns-elementos para la dirección  de llegada.
Ahora definamos el arreglo Ns × Ns de la matriz de correlación Rxx como:



R xx  E x  x H  E (a s)(s * a H )
 

(3.18)
2
 aE s a H
 S a aH
 .
Donde ( ) H indica la transpuesta hermítica y S  E s
2
La matriz de correlación en la ecuación. (3.18) se supone que estamos calculando la media del
conjunto con el operador esperanza E  .Por lo que, este no es un vector de Autocorrelación,
porque no tiene impuesto tiempo de retraso en el vector x .
Para los sistemas realistas donde tenemos un bloque de datos limitados, debemos recurrir a la
estimación de la matriz de correlación con un promedio de tiempo. Por lo tanto, podemos volver
a expresar la operación en la ecuación. (3.18) como
1
a aH
H
ˆ
Rxx   x (t )  x (t ) dt 
T 0
T
T
T
 s(t )
0
2
dt
(3.19)
106
Si los datos son incluidos en la muestra de datos, la ecuación. (3.19) puede ser reescrita como una
serie que se expresa como:
Rˆ
a a H K

 s (k )
xx
K k 1
2
(3.20)
Si al aumentar T (o K), podemos forzar la estimación de la matriz de correlación, para converger
en la matriz de correlación estadística, el proceso se dice que es ergódica en la matriz de
correlación. Esto puede ser escrito como:
1
lim Rˆ xx ( )  lim  x (t )  x (t ) H dt  Rxx
T 
T  T
0
T
(3.21)
3.7. FUNDAMENTOS DE ARREGLOS DE ANTENAS.
Antenas omnidireccionales o isotrópicas; irradian igual cantidad de potencia para todas las
direcciones, presentando así, un diagrama de radiación uniforme
con la misma ganancia
direccional. Por otro lado, las antenas directivas son aquellas capaces de privilegiar determinadas
localidades, ofreciendo mayor ganancia en ciertas direcciones, o bien imponiendo nulos en otros.
Entiéndase por arreglo de antenas, un conjunto de antenas (sensores), espacialmente distribuidas
en una determinada geometría, y que ofrece como salida del sistema una combinación de señales
inducidas en sus diversos elementos. El proceso de combinar señales provenientes de diferentes
elementos para privilegiar una determinada dirección de propagación es conocido como
conformación de haz (en inglés beam-forming).
El término antenas inteligentes o antenas adaptativas, se refiere a situaciones en que un sistema
hace uso de un arreglo de antenas, siendo su diagrama de radiación dinámicamente ajustado
conforme a las necesidades. El tipo de sensor utilizado así como la información adicional que
debe ser insertada en el sistema, para realizar un
ajuste dinámico, dependen del tipo de
aplicación.
A través de combinaciones de las señales inducidas en sus sensores, las antenas adaptativas son
capaces de controlar su diagrama de radiación, ajustándolo para las más diferentes situaciones de
ruido, interferencia y multitrayecto. De esta forma, las antenas inteligentes ofrecen diferentes
formas de mejorar el desempeño de los sistemas inalámbricos.
107
Las antenas inteligentes pueden tener sus sensores en diferentes distribuciones espaciales. En
general, por motivos de simplicidad, las geometrías lineal y circular son los más utilizados. Un
arreglo lineal de sensores, a pesar de ser los más simples a ser considerados, presenta el
inconveniente de ambigüedad en sus estimaciones debido a la simetría de su diagrama de
radiación, en relación al eje sobre el que se colocan las antenas. En el caso de un arreglo circular,
tal ambigüedad es suprimida, pero con la pérdida de la simplicidad del modelo.
3.8. CONSIDERACIONES PARA UN MODELAMIENTO DE UN ARREGLO
ANTENAS.
DE
El espaciamiento entre los elementos, es un parámetro de extrema importancia en el
diseño de un conjunto de antenas. Para que se garantice una completa recuperación de las señales
incidentes, evitando así una aparición de lóbulos indeseables, debemos asegurar que los
elementos estén separados de una distancia mínima de λ/2, donde λ corresponde a la longitud de
onda, valiendo aproximadamente 3x108/fc, donde fc representa la frecuencia de la portadora, para
los casos de ondas electromagnéticas que se propagan en el vacío. Esta consideración referente al
espaciamiento mutuo entre los elementos es denominada la versión espacial del teorema del
muestreo.
El acoplamiento mutuo es un efecto, que limita considerablemente el espaciamiento entre
elementos de un arreglo. En general, cuanto mayor sea la proximidad entre sensores
consecutivos, mayor será un acoplamiento mutuo entre los mismos. Stutzman presenta
resultados de medidas de impedancia mutua, para dos dipolos paralelos resonantes, en función
del espaciamiento entre ellos. En este estudio, los valores de impedancia mutua tienden a
aumentar considerablemente para distancias menores que λ/2. De esta forma, se recomienda que
se mantenga un espaciamiento de por lo menos λ/2 entre elementos consecutivos en un arreglo
de dipolos.
Llevando en consideración las limitaciones antes descritas, y para simplificar el análisis de
arreglos de antenas algunas simplificaciones deben ser adoptadas:
 Un espaciamiento entre los elementos de un arreglo, es pequeño o suficiente para que sean
consideradas algunas variaciones de amplitud de dos señales recibidas por diferentes
sensores, es decir, considere que todos los sensores reciben señales de la misma amplitud,
108
pero con fases diferentes. Suponga también que no hay diferencias en el ángulo de
incidencia de ondas, con diferentes elementos de arreglo.
 Existe un número finito de señales incidentes, esto es, todas las señales recibidas por el
arreglo son compuestas por un número finito de ondas planas.
 Las fuentes que originan las señales recibidas por el arreglo, se encuentra en la región de
campo distante, relativamente lejos para la longitud de onda, de tal forma que las ondas
incidentes en el arreglo son planas;
 No hay acoplamiento entre los elementos del arreglo.
 El ancho de banda de la señal incidente es pequeña comparada con la frecuencia de la
portadora por lo tanto, de señales de banda estrecha;
 Los sensores son isotrópicos, y poseen un mismo patrón de radiación (ganancia). De esta
forma, un diagrama de radiación del arreglo depende sólo de la geometría y del
procesamiento aplicado al mismo.
3.8.1. Arreglo lineal uniforme (ULA).
Considere un conjunto de Ns elementos equidistantes, espaciados mutuamente de una
distancia d y linealmente dispuestos en un arreglo. Un conjunto de sensores de este arreglo
uniforme x = {xm, m = 1,…,Ns} recibe señales emitidas por No diferentes fuentes, dispuestas cada
un segundo a una dirección de llegada θ (DOA). La figura 3.10 ilustra una situación de un arreglo
lineal uniforme, bajo la incidencia de dos frentes de ondas planas generadas por un único usuario,
posicionado en un ángulo θ en relación al eje del arreglo.
La distancia, que separa dos frentes de ondas incidentes en dos elementos consecutivos de un
arreglo es igual a d.sen(θ). Así, siendo c = 3x108 m/s la velocidad de propagación de un frente
de onda, sin embargo, es necesario recordar que c = λ.f, las ecuaciones 3.22 y 3.23 representan
respectivamente un atraso entre dos señales, por dos elementos consecutivos y el consecuente
desfase percibido entre estas señales.
109
t
d  sen( )
c
(3.22)
  2
d  sen( )

(3.23)
Para que se garantice una versión espacial del teorema de muestreo, y asegurar la recuperación
unívoca de señales recibidas por el arreglo, las consideraciones referentes al espaciamiento
mínimo entre elementos vecinos, deben ser aplicadas tomando valores de espaciamiento d
menores o iguales que λ/2. Por otro lado, se debe tener en cuenta que; este espaciamiento no
puede alcanzar valores mucho menores que λ/2, de modo de evitar la influencia de acoplamiento
mutuo entre elementos, y mantener la coherencia de los resultados tal vez obtenidos. De esta
forma, para fines de simulación serán considerados valores de espaciamiento d iguales a λ/2.
La figura 3.10 ilustra también un vector W = [w1 w2 ... wNs]T, denominado vector de pesos, en
el que el peso wm corresponde a un factor de ponderación asociado al m-ésimo sensor.
Figura 3.10 – Arreglo de Ns elementos donde incide una onda plana.
Tomando como referencia dos sensores de arreglos que, por simplicidad serán designados por el
índice 1 (z1), es posible describir dos señales inducidas por los demás sensores del arreglo, en
función de la señal incidente de la antena 1. Siendo θ un desfase impuestos en dos elementos
consecutivos, cualquiera de x(t) de la señal incidente en el elemento 1 del arreglo, entonces la
110
señal percibida por el sensor 2 será una versión desfasada de x(t), con envoltura compleja de
valor e-jdsinθ· x(t).
Considere que un sistema está sobre la influencia de ruido blanco Gaussiano aditivo, inherente al
medio, y se inserta en cada elemento del arreglo. Siendo vm(t) un valor de ruido referente al mésimo elemento, y tratándose de un arreglo uniforme sobre los efectos de la señal originado por
una única fuente, las envoltorias complejas podrían ser modeladas conforme a su expresión:
1
 v1 (t ) 
 z1 (t )  



 z (t )  e jd sin  
 2 
  x(t )   v 2 (t ) 
  
   





  j ( Ns1) d sin  

v Ns (t )
 z Ns  e
(3.24)
Para el caso de No señales incidentes en el arreglo, proveniente de diferentes fuentes (usuarios),
la expresión 3.24 se expande para la siguiente ecuación matricial:
1
 z1 (t )  
 z (t )  e jd sin 1
 2 
   


  j ( Ns1) d sin 1
 z Ns  e
1
e
jd sin  2

e
j ( Ns 1) d sin  2
1

  x1 (t )   v1 (t ) 
  x (t )  v (t ) 
jd sin  No
e

   2    2  (3.25)
      


 

j ( Ns 1) d sin  No  
 e
  x No  v Ns (t )
Donde xi(t) es la señal recibida por el sensor originado por la i-ésima fuente. La expresión 3.25
puede ser colocada en forma matricial, como se indica a continuación:
Z Ns (t )  ANsNo ( )  X No (t )  V Ns (t )
(3.26)
Cada columna de la matriz de desfase A(θ) representa una forma, de cómo el arreglo responde
para una dirección dada θ ,y en virtud de eso, tales columnas son usualmente llamadas como
vectores de dirección ( en inglés steering vectors). De esta forma, designando un vector dirección
referente a la señal, proveniente de la i-ésima fuente del sistema por a(θi), entonces la matriz de
desfasamiento puede ser descrita conforme a las expresiones 3.27:
A( )  a (1 ) a ( 2 )  a( No )
  1  2   No T

a( i )  1 e jd sin 1
 e j ( Ns1) d sin  No
(3.27a)

T
(3.27b)
(3.27c)
111
Antes de imponer cualquier procesamiento, los sistemas que utilizan arreglos de antenas
muestran las señales de salida de sus diversos elementos. Se considera entonces, que cada sensor
posee en su interior alguna forma de conversor A/D (análogo/ digital) que ofrece para los
restantes elementos del sistema, una versión discreta de la señal inducida en su terminal. De esa
forma, la figura 3.11 ilustra una manera más precisa de representar un arreglo lineal de sensores.
Figura 3.11 – Representación de un ULA con conversores A/D.
El vector de datos resultante de la muestra ocurrida en cada elemento del arreglo, en un momento
dado en el tiempo, recibe el nombre de matriz de snapshots. La ecuación matricial del arreglo
lineal uniforme con K snapshots consecutivos origina entonces, una versión discreta de la
expresión 3.26:
 z1 (1)
 

 z Ns
Z NsK 
z1 ( K ) 
 x1 (1)  x1 ( K )   v1 (1)  v1 ( K ) 

   A( )   

    

  (3.28a)
 x Ns (1)  x Ns ( K ) v Ns (1)  v Ns ( K )
 z Ns ( K )


ANsNo ( )  X NoK  V NsK
(3.28b)
Las expresiones 3.28 representan un modelamiento usual, empleado para un arreglo de N s
sensores, donde cada sensor responde a una señal de amplitud unitaria proveniente de una
dirección θ dada, con una ganancia a(θ). Después de estas definiciones, es posible estimar
diferentes parámetros de interés.
112
3.9. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES.
En álgebra lineal, los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal
son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo
escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar λ recibe el nombre valor
propio, autovalor, valor característico o eigenvalor. A menudo, una transformación queda
completamente determinada por sus vectores propios y valores propios. Un espacio propio,
autoespacio o eigenespacio es el conjunto de vectores propios con un valor propio común.
La palabra alemana eigen, que se traduce en español como propio se usó por primera vez en este
contexto por David Hilbert en 1904 (aunque Helmholtz la usó previamente con un significado
parecido). Eigen se ha traducido también como inherente, característico o el prefijo auto-, donde
se aprecia el énfasis en la importancia de los valores propios para definir la naturaleza única de
una determinada transformación lineal. Las denominaciones vector y valor característicos
también se utilizan habitualmente.
3.9.1. Definiciones.
Las transformaciones lineales del espacio como: la rotación, la reflexión, el
ensanchamiento, o cualquier combinación de las anteriores; en esta lista podrían incluirse otras
transformaciones que pueden interpretarse mediante el efecto que producen en los vectores. Los
vectores pueden visualizarse como flechas de una cierta longitud apuntando en una dirección y
sentido determinados.

Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que, o no se ven
afectados por la transformación o se ven multiplicados por un escalar, y por tanto no
varían su dirección.

El valor propio de un vector propio, es el factor de escala por el que ha sido multiplicado.

Un espacio propio, es un espacio formado por todos los vectores propios del mismo valor
propio, además del vector nulo, que no es un vector propio.

La multiplicidad geométrica de un valor propio es la dimensión del espacio propio
asociado.
113

El espectro de una transformación en espacios vectoriales finitos es el conjunto de todos
sus valores propios.
Por ejemplo, un vector propio de una rotación en tres dimensiones es un vector situado en el eje
de rotación sobre el cual se realiza la rotación. El valor propio correspondiente es 1 y el espacio
propio contiene a todos los vectores paralelos al eje. Como es un espacio de una dimensión, su
multiplicidad geométrica es uno. Es el único valor propio del espectro (de esta rotación), que es
un número real.
Formalmente, se definen los vectores propios y valores propios de la siguiente manera: Si A: V
→ V es un operador lineal en un cierto espacio vectorial V, v es un vector diferente de cero en V y
c es un escalar tales que;
(3.29)
Entonces; decimos que v es un vector propio del operador A, y su valor propio asociado es c.
Observe que si v es un vector propio con el valor propio c entonces cualquier múltiplo diferente
de cero de v es también un vector propio con el valor propio c. De hecho, todos los vectores
propios con el valor propio asociado c junto con 0, forman un subespacio de V, el espacio propio
para el valor propio c.
3.9.2. Cálculo de valores propios y vectores propios de matrices.
Si se quiere calcular los valores propios de una matriz dada y ésta es pequeña, se puede
calcular simbólicamente usando el polinomio característico. Sin embargo, a menudo resulta
imposible para matrices extensas, caso en el que se debe usar un método numérico.
3.9.2.1 Encontrando valores propios.
Una herramienta importante para encontrar valores propios de matrices cuadradas es el
polinomio característico: decir que, λ es un valor propio de A es equivalente a decir que el
sistema de ecuaciones lineales (A - λI) v = 0 (donde I es la matriz identidad), tiene una solución
no nula v (un vector propio), y de esta forma es equivalente al determinante:
(3.30)
114
La función p(λ) = det(A - λI) es un polinomio de λ pues los determinante se definen como sumas
de productos. Éste es el polinomio característico de A: los valores propios de una matriz son los
ceros de su polinomio característico.
Todos los valores propios de una matriz A pueden calcularse resolviendo la ecuación pA(λ) = 0.
Si A es una matriz n×n, entonces pA tiene grado n y A tiene como máximo n valores propios.
El teorema fundamental del álgebra dice; que esta ecuación tiene exactamente n raíces (ceros),
teniendo en cuenta su multiplicidad. Todos los polinomios reales de grado impar tienen un
número real como raíz, así que, para n impar toda matriz real tiene al menos valor propio real. En
el caso de las matrices reales, para n par e impar, los valores propios no reales son pares
conjugados.
Encontrando vectores propios.
Una vez que se conocen los valores propios λ, los vectores propios se pueden hallar resolviendo
el sistema de ecuaciones homogéneo:
(3.31)
Una forma más sencilla de obtener vectores propios, sin resolver un sistema de ecuaciones
lineales se basa en el teorema de Cayley-Hamilton, que establece que cada matriz cuadrada
satisface su propio polinomio característico. Así, si λ1,λ2,...,λn son los valores propios de A se
cumple que
(3.32)
por lo que, los vectores columna de (A – λ2I)...(A – λnI) son vectores propios de λ1.
3.9.3. Ejemplo de matriz sin valores propios reales.
Un ejemplo de matriz sin valores propios reales es la rotación de 90 grados en el sentido
de las manecillas del reloj:
cuyo polinomio característico es − λ2 − 1 y sus valores propios son el par de conjugados
complejos i, -i. Los vectores propios asociados tampoco son reales.
Ejemplo:
115
Considérese la matriz
que representa un operador lineal R³ → R³. Si se desea computar todos los valores propios de A,
se podría empezar determinando el polinomio característico:
y porque p(x) = - (x - 2)(x - 1)(x + 1) se ve que los valores propios de A son 2, 1 y -1. El teorema
de Cayley-Hamilton establece que cada matriz cuadrada satisface su propio polinomio
característico. Es decir
Efectivamente, para el caso del valor propio 2, se puede comprobar que
de donde (1, 1, -1) es un vector propio asociado a 2.
116
3.10. DETECCIÓN DEL ÁNGULO DE LLEGADA.
Para poder entender y realizar en forma clara la detección de los ángulos de llegada, es de
vital importancia conocer y definir el escenario en el que se trabajará, el tipo de onda que se
adapte a nuestras necesidades, y a partir de este formular un modelo matemático en el que
podamos trabajar.
Detectar el ángulo de llegada no es más que un problema de estimación de un parámetro que irá
implícito en la información que recibamos por el array en forma de desfases entre los diferentes
sensores. A mayor número de elementos en la apertura, mayor resolución.
Tenemos que tener en consideración que se trabajará con un array lineal (ULA) consistente de Ns
elementos, espaciados a una distancia d. Las antenas se unen omnidireccionales, y la ganancia de
cada antena se normaliza a uno.
La detección se basa en estimar el del ángulo de incidencia. Supongamos que tenemos un array
lineal equiespaciado o ULA. Si miramos el array desde arriba, definimos θi como el ángulo de
llegada para la señal i.
Figura 3.12 – Definición del ángulo de llegada para una apertura lineal.
En la detección del ángulo de llegada, el parámetro que más nos interesa es el tiempo de desfase
entre dos sensores adyacentes, el cual lo podemos formular en función de la distancia extra que
ha de recorrer la señal desde el sensor de referencia hasta el sensor adyacente.

 d  sin( )
Dis tan cia extra a recorrer

c
Velocidad de propagación del medio 
m  
(3.33)
Una señal que llega con ángulo θ = 0 con respecto al array, es decir totalmente perpendicular,
provocará un desfase nulo entre las antenas de los arrays ya que llega de la misma manera a todas
117
las antenas del array. A medida que aumenta el ángulo se crea una varianza temporal entre
sensores que hace aumentar la frecuencia en el eje del espacio, como se muestra en la siguiente
figura.
Figura 3.13 - Representación de la frecuencia espacial en función del ángulo de llegada.
Hay que tener en cuenta que se nos puede presentar problemas de aliasing, para evitarlo la
frecuencia máxima en el eje del espacio será π. En base a esta restricción debemos fijar la
distancia mínima entre antenas para que no se produzca aliasing espacial.
Empleamos la expresión que relaciona el tiempo de desfase entre 2 antenas adyacentes y tenemos
las siguientes expresiones:
   s m  2f s m  2f s
d sin 
, con
c
sin  
c
1 ,
2 fsd
(3.34)
Y teniendo en cuenta que el mayor retardo se produce para θ = 90º, finalmente tenemos:
d
s
2
(3.35)
Que es la distancia mínima entre dos antenas adyacentes del array.
118
3.10.1. Escenario de trabajo.
El escenario en el que trabajaremos será con frentes de onda planos, ya que, estos son los
únicos que emiten energía de interés y además son necesarios para que la única diferencia entre la
señal de un sensor y otro sea un desfase de tiempo, que será la única información útil para
calcular el ángulo de llegada.
Para el análisis del ángulo de llegada se considerarán fuentes de banda estrecha. Una señal se
considera de banda estrecha siempre que cumpla la siguiente inecuación:
B c

(3.36)
fc D
Donde B es el ancho de banda de la señal, fc la frecuencia central de la fuente, λc la longitud de
onda asociada al medio y a la frecuencia y D la dimensión máxima del array.
El modelo matemático que utilizaremos para nuestra señal es el siguiente:
j 
(3.37)
x m  a s (t )e s m
Donde donde as la envolvente compleja y ωs la frecuencia central de la señal.
Como se puede observar en la ecuación, la señal en el sensor m quedará expresado únicamente en
términos del desfase entre sensores. Sin embargo, esta ecuación servirá al tener presente una sola
señal en el sensor m.
Para el caso en el que tengamos No ondas y Ns sensores, y además consideramos un muestreo en
un instante determinado y la existencia de ruido, nuestro modelo de la señal queda de la siguiente
manera:
No
x m n   a s n  e
j s t m
s 1
 v m n
(3.38)
En el procesamiento de los datos en un arreglo (array), se trabajará con un vector de muestras en
las aperturas denominado “snapshot” como se muestra en la figura.
Figura 3.14 – Relación entre el vector de muestras de la apertura (snapshot) y los sensores del
arreglo.
119
El snapshot (Xn) contendrá la información de todos los sensores de la apertura en el instante n.
No
x m n   a s n  s  v n
(3.39)
s 1
donde s es el vector de enfoque o “steering vector” que hace referencia a todas las componentes
de desfase para cada sensor.
En forma general se trabaja con la expresión matricial más compacta del snapshot:
x n  Sa  v n
(3.40)
Donde:
 Xn: es el vector de muestras de la apertura (Nsx1).
 S: es la matriz de vectores de enfoque (NsxNo) que contiene la información de todas las
señales en cada sensor.
 a: es el vector de fuente (Nox1) formado por los equivalentes pasabajos de cada fuente.
 Vn: es el vector de ruido (Nsx1) presente en cada sensor.
El ruido se considerará no direccional, blanco y de media zero totalmente incorrelado con las
fuentes de señal.


rvv k   E vm nvmH n  k    v2 k 
Rvv   v2 I
(3.41)
3.10.2. Matriz de correlación.
Como los datos del snapshot tienen naturaleza aleatoria, y como estamos trabajando con
procesos de media cero, hablaremos de matriz de autocorrelación.
Definimos la matriz de autocorrelación del snapshot como:

Rxx  E xn xnH

(3.42)
Sustituyendo la ecuación matricial compacta del snapshot en la ecuación anterior tenemos:
120

Rxx  E Sa  v n Sa  v n 
H
  SEaa S
H
H
 



 S E avnH  E v n a H S H  E v n vnH




Ruido incorrelado

Ruido incorrelado
0
0
Rxx  SRaa S  Rvv



(3.43)
H
Rss
Como se puede observar en la última expresión, la matriz de correlación (Rxx) está formada por
una parte de ruido (Rvv) y una parte de señal (Rss), que son los subespacios que definen la señal.
De esta forma, la matriz de la señal (Raa) tendrá rango completo No, que es el número de ondas, y
el ruido completará el rango hasta Ns, correspondientes al número de elementos.
Si las señales no están correlacionadas, la matriz de la señal (Raa) será una matriz diagonal cuyos
coeficientes representarán la potencia de cada fuente. Si las señales están correlacionadas, los
ceros fuera de la diagonal representarán la correlación entre cada fuente. Es lo que pasará en las
situaciones reales debido al multicamino. Por lo tanto, en el caso ideal tenemos:
rai a j k   0


ra a k   ra a 0  E ai n  Pa
i i
i i
2
(3.44)
i
Entonces la matriz Raa queda:
Raa
 Pa1 0
0 


0 
 0 
 0
0 Pa 
No 

(3.45)
3.10.3. Cálculo Estimado de la matriz de autocorrelación.
En el apartado anterior se mostró la definición de la matriz de correlación para el caso
teórico, sin embargo en la práctica tendremos un número de muestra o datos finitos con lo cual se
tendrá que hacer una estimación de la matriz de correlación como sigue:
1 k
R xx   x n x nH
k n 1
(3.46)
En donde k es el número de muestras realizadas. Una consideración dice que el número mínimo
de muestras a realizar es de 4Ns, para que la matriz de correlación tenga rango completo.
121
3.10.4. Algoritmo MUSIC.
Aunque varios métodos de estimación de dirección de llegada basados en conformadores
independientes de datos son ampliamente utilizados, tales procesos sufren de severas
limitaciones, principalmente con respecto a su capacidad de resolución. La mayoría de las
limitaciones percibidas podrían ser eludidas con la utilización de alguna forma de estructura de
datos. El algoritmo MUSIC propuesto por Schmidt en 1979, es una técnica de alta resolución
para la clasificación de múltiples señales, basado en la descomposición de la matriz de
correlación para el caso de un arreglo de sensores de forma arbitraria. Desde su presentación el
algoritmo MUSIC, en inglés Multiple
Signal Classification, se ha considerado como una
referencia de comparación para las demás técnicas de estimación de DOA.
El algoritmo MUSIC, se basa en la descomposición de la matriz de señales incidentes en un
arreglo por medio del análisis del modelo de datos que aborda el mismo. En líneas generales,
explora la geometría de los subespacios generados a partir de la matriz de correlación da las
señales incidentes Rxx. Por este motivo, el método MUSIC es conocido como un enfoque
geométrico para el problema de estimación de parámetros.
Muchos de los algoritmos DOA confían en la matriz de correlación de arreglo. A fin de
comprender la matriz de correlación de arreglo, vamos a empezar con una descripción del
arreglo, la señal recibida, y el ruido aditivo.
Figura 3.15 – Arreglo de Ns elementos con No señales incidentes
La Figura 3.15 muestra No señales de llegada de No direcciones. Son recibidos por un arreglo de
122
Ns elementos con Ns pesos potenciales. Cada señal xNs (k) recibida incluye aditivamente, media
cero y ruido Gaussiano. El tiempo es representado por la k-ésima muestra de tiempo. Así, la
salida del arreglo se puede dar en la forma siguiente:
(3.47)
y  wT  x(k )
El desarrollo del algoritmo MUSIC, se basa en una vista geométrica de los problemas de
estimación de los parámetros de la señal. Si hay No señales incidentes sobre el array, la que recibe
los datos del vector de entrada en un array de Ns elementos, puede ser
No
x(t )   a( l ) sl (t )  v(t )
(3.48)
l 0
expresado como una combinación lineal de las No formas de onda incidentes y el ruido. Es
decir,
Donde

(t ) 
x(t )  a ( 0)a ( 1)... a ( No1)  s0
  v(t )  As (t )  v(t )
 s Ns1 (t )


s T (t )  s0 (t ) s1 (t ) ... s No1 (t ) es
el
vector
de
(3.49)
señales
incidentes,
v(t )  v0 (t ) v1 (t ) ... v No1 (t )es el vector de ruido, y a ( l ) es el array de vectores de dirección que
corresponde a la dirección de llegada de las l-ésimas señales. En términos geométricos, el vector
recibido Xm y la dirección de los vectores a ( l ) puede ser visualizado como vectores en el
espacio dimensional Ns. De la ecuación de Xm(t), se considera que el vector recibido Xm es una
combinación lineal particular del array de vectores de dirección, con S D S1 ... S No1 como los
coeficientes de la combinación. En términos de lo anterior modelo de datos, la entrada de la
matriz de covarianza Rxx puede expresarse como:


 

R XX  E uu H  AE ss H A H  V nn H

R XX  ARaaA   I
H
2
n
(3.50)
 
Donde Raa es la matriz de la señal de correlación E ss H .
Los valores propios de Rxx son los valores 0 ...,  Ns1 de tal manera que:
R XX  l I  0
(3.51)
123
Usando la ecuación Rxx podemos rescribir esto como:
ARaa A H   n2 I  l I  ARaa A H  (l   n2 ) I  0
(3.52)
Por lo tanto, los valores propios ni de ARaa A H son
(3.53)
ni  i   n2
A se compone de vectores de dirección, que son linealmente independientes, que tiene pleno
rango de columnas, y la señal de la matriz de correlación Rxx no es singular, mientras las señales
incidentes no son altamente correlacionadas. Una columna de rango completo y una matriz no
singular Raa garantiza que cuando el número de señales incidente No es inferior al número de
elementos del array Ns, la matriz Ns x Ns de ARaa A H es positiva semidefinida con rango No.
Como se puede observar la matriz de correlación del arreglo Rxx, y la matriz de correlación de las
fuentes Raa se encuentran por el valor esperanza de los respectivos valores absolutos al cuadrado.
Si bien, no conocemos las estadísticas exactas para el ruido y las señales, pero podemos suponer
que el proceso es ergódico; entonces podemos aproximar la correlación con el uso de un tiempo
promedio de correlación. En ese caso, las matrices de correlación son definidas por:
Rxx 
1
K
K
 x(k ) x
H
(k ) (3.54a)
k 1
Raa 
1
K
 s (k ) s
H
(k ) (3.54b)
Vn 
1
K
 n( k ) n
H
(k )
(3.54c)
Donde K corresponde al número de muestras en el snapshot. Cuando las señales no están
correlacionadas Raa, obviamente, tiene que ser una matriz diagonal puesto que los elementos
fuera de la diagonal no tienen correlación. Cuando las señales son en parte correlacionadas R aa es
singular. Cuando las señales son coherentes, Raa se convierte en singular porque las filas son
combinaciones lineales mutuas.
La matriz de vectores de dirección A es una matriz Ns × No, donde todas las columnas son
diferentes. Su estructura es Vandermonde y por lo tanto, las columnas son independientes. A
menudo en la literatura, la matriz de correlación del arreglo se conoce como la matriz de
covarianza. Esto sólo es cierto, si los valores medios de las señales y el ruido son cero. En ese
caso, la covarianza y las matrices de correlación son idénticas. El valor de la señal arriba significa
que necesariamente debe ser cero porque las antenas no pueden recibir señales d.c.. El ruido
inherente en el receptor puede o no puede tener una media cero dependiendo de la fuente del
ruido del receptor, en nuestro caso trabajaremos con media cero.
124
A partir del álgebra lineal elemental, esto implica que los Ns-No valores propios ni, de ARaa A H
son cero. De la ecuación 3.53, esto significa que los Ns-No de los valores propios de Rxx son
iguales a la diferencia de ruido  2 . A continuación ordenamos los valores propios de Rxx tal que
 0 es el valor propio mayor, y  Ns es el valor propio más pequeño. Por lo tanto,
No ,..., Ns1   n2
(3.55)
En la práctica sin embargo, cuando la matriz de autocorrelación Rxx, es estimada a partir de una
muestra finita de datos, todos los valores propios correspondientes a la potencia de ruido no serán
idénticos. En su lugar, aparecerá como un grupo estrechamente espaciados, con la diferencia de la
disminución de su propagación con el número de muestras utilizadas para obtener un incremento
en la estimación de Rxx. Una vez que la multiplicidad M, de los más pequeños valores propios se
determina, una estimación del número de señales No, pueden ser obtenidos a partir de la relación
Ns = No + M. Por lo tanto, el número estimado de señales viene dado por
No=Ns – M
(3.56)
El vector propio asociado con un particular valor propio l , es el vector qi, de tal modo que:
R XX  l I qi
0
(3.57)
Para los vectores propios asociados a los valores propios Ns-No más pequeños, tenemos;
R
XX
  n2 I qi  ARaa A H qi   n2 I   n2 I  0
(3.58)
ARaa A H qi  0
Dado que, A tiene un rango completo y Raa es no singular, esto implica que:
A H qi  0
(3.59)
O
 a H ( 0 )qi   0 
 H
  
 a (1 )q i    0 
(3.60)

 ...
...
 H
  
a ( No1 )q i   0 
Esto significa, que los vectores propios asociados a los valores propios Ns-No más pequeños
propios, son ortogonales a la dirección de vectores No que componen A.
a( 0 ),... , a( No1 )  q No , ... , q Ns1 
(3.61)
125
Esta es la observación escencial para la aproximación del algoritmo MUSIC. Esto significa que
uno puede calcular la dirección de los vectores asociados, con las señales recibidas por la
búsqueda de los vectores de dirección, que son la mayoría casi ortogonal a los vectores propios
asociados a los valores propios de Rxx, que son aproximadamente igual a  2 . Este análisis
muestra que la vectores propios de la matriz de correlación Rxx pertenecen a cualquiera de los dos
subespacios ortogonales, llamado el principal subespacio propio ( subespacio de señal) y el
subespacio secundario (subespacio de ruido). La dirección de los vectores correspondientes a las
direcciones de llegada se encuentra en el subespacio de la señal, y por lo tanto, son ortogonales al
subespacio de ruido. Al buscar a través de todos los posibles vectores de dirección del array para
encontrar las que son perpendiculares al espacio abarcado por los vectores propios del subespacio
de ruido, las DOA’s
 No se puede determinar.
Para buscar el subespacio de ruido, que forma una matriz que contiene los vectores propios de
ruido, se tiene:
Vn  q No q No1 ... q Ns1 
(3.62)
Desde la dirección de los vectores correspondientes; a los componentes de la señal, que son
ortogonales a los vectores propios del
subespacio de ruido es a H ( )VnVnH a( )  0
para  correspondiente a la DOA de un componente multitrayecto. Entonces las DOAs de las
múltiples señales incidentes, puede ser estimado por la localización de los picos de un espectro
espacial MUSIC dado por
PMUSIC ( ) 
O alternativamente
1
a ( )VnVnH a( )
H
(3.63)
a H ( )a( )
(3.64)
a H ( )VnVnH a( )
La ortogonalidad entre a( ) y V n , minimiza el denominador y, por lo tanto, dará lugar a picos en
PMUSIC ( ) 
el espectro MUSIC, que se definen en (3.63) y (3.64). Los No picos más grandes en el espectro
MUSIC, corresponden a las direcciones de llegada de las señales que inciden en array. Una vez
que las direcciones de llegada  i , son determinadas por el espectro MUSIC, la señal de la matriz
de covarianza Raa, puede estar determinada por la siguiente relación.
126
Raa  ( A H A) 1 A H ( Rxx  mín I ) A( A H A) 1
(3.65)
De (3.65), las potencias y las correlaciones cruzadas entre las diversas señales de entrada pueden
ser fácilmente obtenidas.
El algoritmo MUSIC puede resumirse de la siguiente manera:
 Colectar muestras de entrada xK ,k = 0 … K-1, y estimar la matriz de correlación de
entrada
R xx 
1
K
K
 x(k ) x
H
(k )
k 1
 Realizar la descomposición propia en Rxx
R xxV  V
Donde
  diag0 , 1 , ,  Ns1 , 0  1     Ns1 son
los
valores
propios
y
V  q 0 q1  q Ns1  correspondientes al vector propio de Rxx.
 Estimación del número de señales No y de la multiplicidad M, de los valores propios más
pequeños  mín ya que
No=Ns – M
 Calcular el espectro MUSIC
PMUSIC ( ) 
1
a ( )VnVn a( )
H
Donde Vn  q No q No1 ... q Ns1 
 Encontrar los No picos más grandes de PMUSIC ( ) , para obtener la estimación del número,
y los ángulos de dirección de llegada de las señales.
127
3.10.5. Algoritmo ESPIRIT.
ESPRIT, significa estimación de parámetros de la señal vía Técnicas de invariancia
rotacional, y fue propuesto por primera vez por Roy y Kailath en 1989. El objetivo de la técnica
ESPRIT, es explotar la invariancia de rotacional en el subespacio de la señal que es creado por
dos arrays con una estructura de invariancia traslacional. ESPRIT inherentemente asume las
señales de banda estrecha, ya que se conoce la relación de fase traslacional entre los múltiples
arreglos que se utilizarán. Al igual que con MUSIC, ESPRIT supone que hay No <Ns fuentes de
banda estrecha centrado en la frecuencia central f0. Estas fuentes de señal, se supone que son de
un rango suficiente para que el campo de propagación incidente sea aproximadamente plano. Las
fuentes pueden ser aleatorias o deterministicas, y el ruido se supone que es aleatorio con media
cero. ESPRIT asume múltiples arreglos idénticos llamados dobletes. Estas pueden estar en arrays
separados, o puede estar compuesta de subarreglos de un arreglo más grande. Es importante, que
estos arreglos sean desplazados translacionalmente pero no rotacionalmente.
Este método nos permite reducir la mayoría de problemas prácticos, que se dan normalmente en
MUSIC, tales como la carga computacional o el bias de la estimación, debido al uso de un
número finito de muestras. Estas ventajas se consiguen usando un array translacionalmente
invariante, es decir, sensores dispuestos en pares iguales y con idénticos vectores de
desplazamiento.
Explotando las invariancias que presenta la geometría del array, las estimaciones de parámetros
se podrán obtener directamente, sin conocer previamente las respuestas individuales de los
elementos que componen el array, y sin tener que calcular ningún tipo de media espectral como
en MUSIC.
Considerando el array de sensores, como si estuviera formado por dos subarrays idénticos
separados por un vector de desplazamiento fijo, la idea básica de ESPRIT es explotar la
invariancia rotacional de los subespacios de señal generados por cada subarray.
Existen dos posibilidades en considerar el método de ESPRIT. Si consideramos invariancia
simple, trabajaremos con un vector de translación entre arrays. Es el caso estándar de ESPRIT en
el que disponemos de una serie de dobletes organizados en dos aperturas (Figura 3.16) o el caso
en el que formamos dos subarrays con solapamiento partir de un solo array (Figura 3.17).
128
Figura 3.16 – Geometría de un arreglo dispuesto por tres dobletes.
Figura 3.17 – Geometría de un areeglo ULA con solapamiento máximo.
3.10.5.2. Geometría del arreglo y estimación de DOA.
Las oberturas usadas en el método de ESPRIT presenta la mayoría de las características
esenciales de un array arbitrario de sensores. La reducción de la complejidad computacional, se
consigue imponiendo una determinada restricción en la estructura del array. Un ejemplo de la
geometría de los arreglos se muestra en las siguientes figuras:
Figura 3.18 – Subarreglos despazados por una distancia d.
129
Estos dos subarreglos son desplazados translacionalmente por la distancia d. Vamos a etiquetar
estos arreglos como array 1 y array 2.
Las señales inducidas en cada uno de los arreglos se dan por:
 s1 (k ) 
 s (k )
x1 (k )  a1 (1 ) a1 ( 2 )  a1 ( No )   2   v1 (k )  A1  s (k )  v1 (k )
  


 s No 
Y
x2 (k )  A2  s(k )  v2 (k )  A1    s(k )  v2 (k )

(3.66)
(3.67)

Donde   diag e jkd sin 1 , e jkd sin  2 ,  , e jkd sin  No = Una matriz unitaria diagonal NoxNo
con cambios de fase entre los dobletes de cada DOA.
Ai= Matriz Vandermonde de vectores de dirección para subarreglos i = 1, 2.
La señal recibida completa teniendo en cuenta las contribuciones de ambos subarreglos se da
como
 x (k )   A 
 v (k ) 
x( k )   1    1   s ( k )   1 
 x2 (k )  A1  
v2 (k )
(3.68)
Ahora podemos calcular la matriz de correlación, ya sea para la matriz completa o para los dos
subarreglos. La matriz de correlación para la matriz completa está dada por
Rxx  E x  x H  ARaa A H   n2 I
(3.69)
Mientras que las matrices de correlación para las dos arreglos están dadas por
R11  E x1  x1H  ARaa A H   n2 I
(3.70)
R22  E x2  x2H  ARaa  H A H   n2
(3.71)
Y
Cada una de las matrices de correlación de rango completo que figura en la ecuación (7.53) y
(7.54), tiene un conjunto de vectores propios correspondientes a las No señales presentes.
Creando el subespacio de señal para los dos subarreglos resultantes en las dos matrices E1 y E 2 .
El subespacio de señal, para los resultados de un arreglo completo en un subespacio de señal, esta
dado por E x . Debido a la estructura de invariancia del arreglo, E x puede ser descompuesto
dentro de los subespacios E1 y E 2 .
130
E1 y E 2 son matrices Ns × No cuyas columnas se componen de los No vectores propios
correspondientes a los valores propios mayores de R11 y R22 . Dado que los arreglos son
translacionalmente relacionados, los subespacios de vectores propios están relacionados por una
única matriz de transformación singular  de tal manera que
(3.72)
E1  E2
También debe existir una única matriz de transformación no singular T de tal manera que
Y
E1  AT
(3.73)
E2  AT
(3.74)
Al sustituir las ecuaciones (3.72) y (3.73) en la ecuación (3.74) y suponiendo que A es de rango
completo, podemos derivar de la relación
TT 1  
(3.75)
Así, los valores propios de  , deben ser iguales a los elementos diagonales de  , de tal manera
que 1  e jkd sin1 , 2  e jkd sin2 ,,  No  e jkd sin No , y las columnas de T deben ser los vectores
propios  .  es un operador rotación para los mapas del subespacio de la señal E1 en el
subespacio de la señal E 2 . Uno se queda ahora con el problema de estimar el operador de
rotación del subespacio  , y por consiguiente, encontrar los valores propios de  . Si se limitan
a un número finito de mediciones y también asumimos que los subespacios E1 y E 2 son
igualmente ruidosos, se puede estimar el operador de rotación  utilizando el criterio de
mínimos cuadrados totales (TLS).
A continuación se resumirá la forma calcular los ángulos de llegada usando el método de
invarianza rotacional ESPIRIT:
 Estimar las matrices de correlación de los arreglos R11 y R22 , para las muestras de datos.
 Conocer las matrices de correlación del arreglo para ambos subarreglos, se puede estimar
el número total de fuentes por el número de los valores propios mayores en cualquiera de
los arreglos R11 o R22 .
 Calcular los subespacios de la señal E1 y E 2 , basados en los vectores propios de la señal
de R11 y R22 . Para un ULA se puede construir alternativamente los subespacios del
131
subespacio de la señal del arreglo entero E x . E x , es una matriz Ns × No compuesta de
los vectores propios de la señal. E1 puede ser construido mediante la selección de las
primeras Ns-1 filas de E x . E 2 puede ser construido mediante la selección de las últimas
Ns-1 filas de E x .
 A continuación formar una matriz 2No × 2No mediante los subespacios de señal de tal
manera que;
 E1H 
C   H E1
 E2 
E2   EC ECH
Donde la matriz E C es resultado de la descomposición de los valores propios de C tal que;
1   2     2 No y   diag1 ,  2 , ,  2 No 
 Particionar E C en cuatro submatrices No x No tal que:
E
EC   11
 E21
E12 
E22 
 Estimar el operador rotación  por:
1
   E12 E 22
 Calcular los valores propios de  , 1 ,  2 ,  ,  No
 Y por último, estimar los ángulos de llegada, teniendo en cuenta que: i  i e j arg( i )
 arg(i ) 
,
 kd 
 i  sin 1 
con i  1,2,, N o
Si se desea, se puede estimar la matriz de vectores de dirección del subespacio, de la
señal E S y los vectores propios de  dado por E tal que, A  E S E  .
Para tener una mejor comprensión del cálculo de los ángulos de llegada usando el algoritmo
ESPIRIT se mostrará un ejemplo a continuación:
132
Ejemplo: Utilice el algoritmo ESPRIT para predecir los ángulos de llegada de una matriz de Ns =
4 elementos en donde el ruido de varianza σ2n = .1. Una muestra de K = 300 puntos de datos. Los
ángulos de llegada son θ1 =- 5º, θ2 = 10º.
Solución: El subespacio de la señal para una matriz de correlación de arreglo ULA entero ideal
está dada por
Los dos subarreglos de los subespacios de señal, ahora se pueden encontrar mediante la adopción
de las tres primeras filas de E x para definir E1 y las tres últimas filas de E x para definir E 2 .
Construyendo la matriz de los subespacios de la señal tenemos
Realizando la descomposición propia podemos construir la matriz E C de tal manera que
133
Ahora, podemos calcular el operador de rotación    E12 E 221 teniendo la matriz de rotación:
A continuación, se puede calcular los valores propios de  y resolver para los ángulos de
llegada utilizando:
134
CAPITULO VI. ANÁLISIS COMPARATIVO ENTRE ALGORITMOS MUSIC Y
ESPIRIT.
4.1. INTRODUCCIÓN.
En el siguiente capítulo, se explicará en forma clara y detallada, el código programado en
el software MATLAB. Este simula el comportamiento de un arreglo de antenas inteligentes, en
donde el usuario ingresará las variables de entrada para luego estimar los ángulos de llegada,
tanto para el algoritmo MUSIC, como para el algoritmo ESPIRIT. Se realizaron tres códigos, uno
para el algoritmo MUSIC, otro para el algoritmo ESPIRIT, y el último es un código mixto que
mezcla los dos algoritmos anteriores. Este último es para fines de simulación, para que ambos
algoritmos tengan las mismas variables de entrada y posean las mismas condiciones de
simulación. Posteriormente a la explicación de los códigos, para la estimación de los ángulos de
llegada, se mostrarán las simulaciones para ambos algoritmos, esto es para medir el rendimiento
de cada uno de ellos. Este se tomará de acuerdo a la exactitud, con el cual los algoritmos estimen
los ángulos de llegada para los distintos escenarios en los cuales serán sometidos. Los parámetros
que afectan la estimación de los ángulos de llegada, y que serán considerados en esta tesis serán
las siguientes:
 La distancia entre los elementos del arreglo.
 La separación angular entre las señales incidentes.
 El números de muestras tomadas para las señales incidentes.
 La potencia de ruido.
 El número de elementos en el arreglo.
A partir de estos parámetros que formarán parte de las variables de entrada, que se deberán
ingresar; se medirá el rendimiento de cada uno de los algoritmos descritos en forma teórica en el
capitulo anterior.
135
4.2. VARIABLES DE ENTRADA.
Las variables de entrada son de suma importancia, ya que, a través de estos se formaran
las señales incidentes, la matriz de correlación, autovalores asociados al subespacio de señal, etc.
Para el ingreso de las variables de entrada, se creó un menú en MATLAB en donde el usuario
puede ingresar las variables que él estime conveniente, y donde el menú le irá indicando que
variables debe ingresar. De esta forma se hace más interactiva la simulación de los algoritmos, ya
que, uno decide que variables desea ingresar o cuales parámetros desea simular.
El menú que se muestra en el software MALTAB para el ingreso de variables de entrada se puede
observar en la siguiente figura:
Figura 4.1 – Menú para el ingreso de variables de entrada.
Como se observa en la figura 4.1, el primer parámetro que se ingresa es el número de elementos
en el arreglo Ns, en este caso se muestra un arreglo con Ns=10 elementos, luego se ingresan el
número de las señales incidentes en el arreglo No, aquí se ingresan No=3 señales incidentes.
Posteriormente se le pedirá al usuario ingresar el número de muestras tomadas de las señales
incidentes K, en la figura se ingresa un muestra de K=100 datos, a continuación se debe ingresar
136
el cociente de lamda, a que se refiere con esto, simplemente el programa está pidiendo ingresar la
distancia entre los elementos, pero como la distancia entre elementos se mide en lamdas (λ), solo
habrá que ingresar el cociente asociado al lamda. Por ejemplo, Supongamos que deseamos
ingresar una distancia de λ/2, solamente debemos ingresar como se mencionó solamente el
cociente en este caso ingresaremos el 2, como se muestra en la figura, por lo tanto el código para
ambos algoritmos está configurado para interpretar el valor ingresado como un cociente.
El siguiente parámetro que se debe ingresar es la potencia de ruido Pr, esta potencia corresponde
a la potencia promedio total presente en los elementos del arreglo, para este caso se considerará
una potencia de ruido de Pr=0.1. Finalmente se deben ingresar los ángulos de incidencia, los
cuales estarán íntimamente relacionado con el número de señales incidentes, por lo tanto se
deberá ingresar No ángulos de llegada. En la figura se observa el ingreso de 3 ángulos de llegada
correspondientes a las 3 señales incidentes ingresados.
Se puede ver que nosotros conoceremos de forma previa los ángulos de incidencia, lo cual nos da
una ventaja al medir la exactitud de la estimación realizada por cada uno de los algoritmos que se
analizarán.
El código que se implementó en el software, para el ingreso de las variables de entrada se
muestra a continuación:
Ns=input('Ingrese el numero de elementos de array:');
No=input('Ingrese el numero de señales incidentes:');
k=input('Ingrese el numero de muestras:');
d=input('ingrese el cociente de lamda:');%distancia entre los sensores
Pr=input('ingrese la potencia de ruido:');
ang(No)=0;
for i=1:No;
ang(i)=input('ingrese los angulos incidentes en grados:')
angrad(i)=ang(i)*pi/180;
end
Donde Ns = número de elementos del arreglo, No = número de señales incidentes, k = número de
muestras, d = distancia entre elementos, Pr = Potencia de ruido y ang = ángulos de llegadas de
las señales incidentes.
En el código se puede apreciar que la variable ang necesita un ciclo for, para que el programa
sepa cuantos ángulos de llegada se deben ingresar, por esta razón, el for va desde 1 hasta No,
para que el usuario ingrese No ángulos de llegada. Hay que recordar que por motivos de
137
simplicidad se trabajó con ángulos en radianes como se puede observar en angrad, donde esta
variable contendrá los ángulos incidentes en radianes.
4.3. MODELO DE LA SEÑAL Y MATRIZ DE CORRELACIÓN.
Antes de continuar con la explicación del código realizado, se debe mencionar, que tanto
el modelo de señal utilizado como la matriz de correlación serán las mismas para ambos
algoritmos, ya que, estos dependen como se dijo en capítulos anteriores de la geometría del
arreglo, en otras palabras, de las variables de entradas mencionadas anteriormente, de este
teniendo un mismo modelo de señal y una matriz de correlación en común, no afectará el
rendimiento individual de cada algoritmo.
Para formar las señales incidentes se utilizó la ecuación xi (t )  e
j ( Ns1) dseni
, donde θi representa
los ángulos de las señales incidentes e i= 1,2, … , No. Con este modelo de señal se formará una
matriz denominada matriz de los vectores de dirección y tendrá dimensiones Ns x No.
El código realizado forma la matriz de vectores de dirección de la siguiente manera:
s(Ns,No)=0;
for t=1:Ns;
for r=1:No;
s(t,r)=exp(j*2*pi*((t-1)/d)*(sin(angrad(r))));
end
En este código se puede apreciar que s(Ns,No)representa la matriz de vectores de dirección y
será una matriz Ns x No. Se puede ver que se realizaron dos ciclos for, el primero (t), va desde
1 hasta Ns, y formará Ns columnas en la matriz s. El segundo ciclo for (r), va desde 1
hasta No, y formará las No filas de nuestra matriz s.
En la siguiente figura se muestra como queda la matriz s, para un arreglo de 10 elementos, y con
3 señales incidentes.
138
Figura 4.2 – Matriz de vectores de dirección para un arreglo de 10 elementos y 3 señales
incidentes.
Teniendo la matriz s, se puede calcular ahora la matriz de correlación, la cual estará estimada por
la ecuación Rxx  Raa  (s  s H )  Rnn , sin embargo, para poder calcular de forma óptima la matriz
de correlación, es necesario calcular antes la matriz de correlación de señales ( Raa ) y la matriz de
correlación de ruido, con las siguientes ecuaciones:
Raa 
1
K
 a(k )a H (k )
(4.1a)
Rnn 
1
K
 n( k ) n
H
(k ) (4.1b)
En las ecuaciones descritas anteriormente se observa que, para poder calcular las matrices de
correlación de señales y ruido, es necesario también calcular la matriz de señales a(k ) y la matriz
de ruido n(k ) .
De esta manera, se calcula la matriz de correlación en el código realizado para la estimación de
los ángulos de llegada, de la siguiente manera:
s0=sign(randn(Ns,k));
n=sqrt(Pr)*randn(Ns,k);
Rss=(s0*s0')/k;
Rnn=(n*n')/k;
Rxx=(s*s')*Rss+Rnn;
139
Aquí s0 representa la matriz de señales, y como se muestra en la figura es una matriz randomica,
ya que, esta matriz contiene las potencias de las señales incidentes y por esta razón no aporta
información relevante para el cálculo de los ángulos de llegada. La matriz s0 será una matriz Ns
x k, donde k representa las muestras tomadas de los angulos incidentes. La potencia de las
señales será unitaria y de signo variable, debido al comando sign (sign cambia aleatoriamente
los signos).
La matriz n representará la matriz de ruido, y gracias a la naturaleza aleatoria del ruido su matriz
estará compuesta por valores randomicos. sqrt(Pr)representa la varianza de ruido que será
multiplicada por una matriz randomica de dimensiones Ns x k.
Una vez calculados s0 y n, se procede a calcular la matriz de correlación de señal Rss y la
matriz de correlación de ruido Rnn, de acuerdo a las ecuaciones 4.1a y 4.1b. Las matrices de
correlación de señal y ruido tendrán dimensiones Ns x Ns, como se muestra en la figura 4.3.
Figura 4.3 – Matriz de correlación de señales y ruido calculados.
Una vez calculadas las matrices de correlación de señal y ruido, ya es posible calcular la matriz
de correlación Rxx de acuerdo a la ecuación Rxx  Raa  (s  s H )  Rnn , en esta ecuación es posible
visualizar el subespacio de la señal Raa  (s  s H ) y el subespacio de ruido Rnn . La matriz de
correlación Rxx calculada se puede observar en la figura 4.4.
140
Figura 4.4 – Matriz de correlación para un arreglo de 10 elementos y con 3 señales incidentes,
utilizando el algoritmo MUSIC.
4.4. ESTIMACIÓN DEL ALGORITMO MUSIC.
El estudio del algoritmo MUSIC empieza después de calculada la matriz de correlación,
ya que esta, como dijimos anteriormente, será la misma para ambos algoritmos. De esta forma,
una vez calculada la matriz de correlación se descompondrá esta matriz en valores y vectores
propios, donde los valores propios mas grandes corresponderán al subespacio de la señal y lo
valores propios más pequeños corresponderá al subespacio de ruido. La descomposición de la
matriz de correlación en el código realizado se realiza de la siguiente forma:
[avect aval]=eig(Rxx);
Se puede ver en el código, que la descomposición de la matriz de correlación Rxx se realiza a
través del comando eig formando 2 matrices. La primera matriz llamada avect contendrá los
vectores propios de la matriz de correlación, y la segunda matriz llamada aval que contendrá
los valores propios de la matriz de correlación. El comando eig, ordenará los valores propios de
mayor a menor, por lo que será fácil la visualización de los autovalores más grandes en la matriz
aval.
Las matrices avect y aval serán de dimensiones Ns x Ns, como se muestra en las figuras
siguientes:
141
Figura 4.5 – Matriz de valores y vectores propios a partir de la descomposición de la matriz de
correlación.
Se puede ver claramente en la matriz aval, que los tres primeros valores propios corresponden al
subespacio de la señal, (ya que, son los de mayor valor con respecto a los restantes valores
propios), y los demás valores propios corresponden al subespacio de ruido. Existe una gran
diferencia entre los valores propios correspondientes al subespacio de la señal y ruido, ya que, se
puede observar en la figura 4.5, que el menor valor propio correspondiente al subespacio de la
señal tiene una magnitud real de 7.027, mientras que, el mayor valor propio correspondiente al
subespacio de ruido tiene una magnitud real de 0.1633 existiendo una gran diferencia entre estos
valores.
Si bien, el usuario tiene la capacidad de discriminar visualmente cuales son los valores propios,
correspondientes al subespacio de la señal a través de la matriz aval, al contrario del usuario el
142
software MATLAB no posee esta capacidad, por lo tanto, tendremos que estimar
matemáticamente el numero de valores propios asociados tanto para el subespacio de la señal
como para el subespacio de ruido. Esto se puede realizar a través del siguiente código:
minevalue=aval(1,1);
for u=2:Ns
if(minevalue>aval(u,u));
minevalue=aval(u,u);
end
end
z=0
for y=1:Ns;
if(aval(y,y)<(5*minevalue)+ minevalue);
z=z+1;
end
end
'autovalores asociados al ruido'
z
'numero de señales incidentes'
Ns-z
Lo que hace el código mostrado es guardar en la variable minevalue el valor propio más
pequeño, tomando como referencia el valor propio ubicado en la posición (1,1) de la matriz aval,
luego este valor se compara con todos los valores propios que se encuentran en la diagonal de la
matriz aval, donde la variable minevalue contendrá finalmente el valor propio más pequeño.
Luego, los valores propios contenidos en la diagonal de la matriz aval, son comparados con el
valor (5*minevalue)+ minevalue (ya que, el mayor valor propio correspondiente al subespacio
de ruido, no debería ser mayor a este valor según cálculos realizados personalmente), y los
valores propios menores al valor (5*minevalue)+ minevalue, corresponderán al número de
valores propios asociados al subespacio de ruido y serán almacenados en la variable z.
Como z contiene el número de valores propios, asociados al subespacio de ruido bastará
solamente con restar el número de elementos con el valor z, para obtener así el número total de
valores propios asociados al subespacio de la señal, o en otras palabras, el valor Ns-z
corresponderá al número de señales incidentes en el arreglo.
El valor del número de valores propios asociado al subespacio de ruido Ns-z y el número de
señales incidentes en el arreglo z, pueden observarse en el menú donde se ingresan las variables
143
de entrada, para que el usuario pueda conocer estas sin tener que ver la matriz aval, como se
muestra en la figura 4.6.
Figura 4.6 – Calculo de los autovalores asociados al subespacio de ruido y de las señales
incidentes en el arreglo.
Para poder estimar las señales incidentes a través del pseudoespectro es necesario estimar los
vectores propios asociados al subespacio de ruido
PMUSIC ( ) 
1
. Vn puede ser estimada
a ( )VnVnH a( )
H
Vn de acuerdo a la ecuación
a través del autovector asociado al
subespacio de ruido avec, donde Vn estará formado por las columnas donde se encuentran los
valores propios asociados al subespacio de ruido.
El autovector de ruido Vn se puede calcular con el código mostrado a continuación.
autruid(Ns,z)=0;
for q=(Ns-z)+1:Ns
for L=1:Ns
autruid(L,q-(Ns-z))=avect(L,q);
end
end
144
Como se puede observar en el código la matriz autruid(Ns,z) , corresponde al autovector de
ruido Vn que tendrá dimensión Ns x z. Se puede ver, que existen dos ciclos for, donde el primero
ciclo conformará las columnas de la matriz autruid ,la cual irá desde la columna donde se
encuentra el primer autovalor de ruido (Ns-z)+1, hasta la columna donde se encuentra el útimo
autovalor de ruido Ns de la matriz avect. El segundo ciclo for conformará las filas de la matriz
autruid ,que
irá desde la fila 1 hasta la fila Ns de la matriz avect. La conformación de la
matriz autruid se puede ver claramente en la figura 4.7.
Figura 4.7 – Estimación del autovector de ruido.
Se puede visualizar en la figura 4.7, que la matriz autruid está conformada por las siete últimas
columnas de la matriz avect, es decir, las columnas donde se encuentran los siete autovalores de
ruido de la matriz aval.
Formada la matriz de autovector de ruido, ya podemos estimar los angulos de las señales
incidentes en el arreglo a través de la estimación del pseudoespectro, que obedece a la ecuación
PMUSIC ( ) 
1
. Esta ecuación se basa en la propiedad de ortogonalidad entre
a ( )VnVnH a( )
H
subespacios, la cual dice que la multiplicación del autovector de ruido con el vector de
direcciones de las señales incidentes es igual a 0. Por lo tanto, cuando a H contenga algún ángulo
de incidencia, el producto a H ( )Vn tenderá a cero, por lo cual, el valor PMUSIC será muy elevado
145
en los ángulos de incidencia. Esto quiere decir, que los valores máximos en la grafica del
pseudoespectro PMUSIC corresponderán a los ángulos de las señales incidentes en el arreglo.
La estimación del pseudoespectro en el código realizado se muestra a continuación:
cont=1;
for tet=1:0.25:90;
hh(cont)=tet;
radian=tet*pi/180;
for w=1:Ns
matsen(w,1)=exp(j*2*pi*((w-1)/d)*(sin(radian)));
end
ah=matsen'*autruid;
je=ah*ah';
pmu(cont)=1/abs(je);
cont=cont+1;
end
En el código mostrado el vector matsen va tomando en cada ciclo for, los valores del ángulo
tet
que irá desde 1 hasta 90º, con una resolución de 0.25º. Entonces, cuando matsen tome el
valor tet de un ángulo de incidencia, y la traspuesta del vector matsen (matsen') se
multiplique con el autovector de ruido autruid, esta multiplicación tenderá a cero, por lo tanto,
el valor de pmu(cont)será elevado evidenciándose esto a través de la gráfica del pseudoespectro.
Podríamos decir, que cada valor de pmu cuando toma un valor tet, representa un punto en la
gráfica del pseudoespectro, tal como se muestra en la figura 4.8.
146
Figura 4.8 – Gráfica del pseudoespectro para 3 señales con ángulos de llegada de 10º, 30º y 50º.
4.5. Estimación del algoritmo ESPIRIT.
A diferencia del algoritmo MUSIC, el algoritmo ESPIRIT basa su funcionamiento a
través del autovector de la señal formado con el autovector de la matriz de correlación. Este
autovector de la señal denominado E x ,contiene los autovectores de la matriz de correlación
correspondientes al subespacio de la señal. Por lo tanto, esta matriz E x tendrá dimensiones Ns ×
No, y estará formado por las columnas de la matriz de correlación avect, correspondiente a los
autovalores asociados al subespacio de la señal. En la figura 4.9 se muestra la matriz de
correlación para un arreglo de 10 elementos, para 3 señales incidentes.
147
Figura 4.9 – Matriz de autovectores a partir de la matriz de correlación para un arreglo de 10
elementos y con 3 señales incidentes, utilizando el algoritmo ESPIRIT.
Para calcular la matriz de los autovectores asociados al subespacio de la señal se utilizó el código
mostrado a continuación.
Ex(1,Ns-z)=0;
for q=1:Ns-z
for L=1:Ns
Ex(L,q)=avect(L,q);
end
end
Antes de explicar el código, cabe señalar, que para calcular el número de señales incidentes, y el
número de autovalores asociados al subespacio de ruido, se utiliza el mismo código que se usó en
el algoritmo MUSIC. La matriz Ex tendrá dimensión
Ns x (Ns-z), y será formado por los dos
ciclos for. El primer ciclo for tomará las (Ns-z), columnas de la matriz del autovector de la matriz
de correlación avect, para formar las columnas del autovector de señal Ex. El segundo ciclo
for
tomará las Ns filas de las (Ns-z), columnas de la matriz del autovector de la matriz de
correlación avect, para formar las filas del autovector de señal Ex. Finalmente, a través de
estos ciclos for se formará la matriz de autovectores asociados al subespacio de la señal Ex,
como se muestra en la figura 4.10.
148
Figura 4.10 – Matriz de los autovectores asociados al subespacio de la señal, a partir de la matriz
de los autovectores de la matriz de correlación avect.
En la figura 4.10 se muestra como la matriz E x , está formada por las tres primeras columnas de
la matriz avect, debido a que, son tres las señales incidentes en el arreglo.
Luego se calculan los subespacios de la señal E1 y E 2 , donde cada subespacio de la señal tendrá
dimensiones (Ns-1) x (Ns-z). E1 estará formado por las primeras Ns-1 filas de la matriz E x , y
E 2 ,estará formado por las últimas Ns-1 filas de la matriz E x . La estimación de las matrices E1 y
E 2 en el código utilizado se muestra a continuación.
E1=Ex(1:Ns-1,1:Ns-z);
E2=Ex(2:Ns,1:Ns-z);
En la figura 4.11 se muestra la estimación de los subespacios de la señal E1 y E 2 a partir de la
matriz E x .
149
Figura 4.11 – Subespacios de la señal E1 y E 2 a partir de la matriz E x .
Calculados los subespacios de la señal E1 y E 2 , calculamos a partir de estos la matriz C de
E H 
dimensiones 2No × 2No, a partir de la formula C   1H E1
 E2 
E 2  . El cálculo de la matriz C en
el código realizado se muestra a continuación.
C=[E1';E2']*[E1 E2];
En la figura 4.12 se muestra la matriz C para el arreglo de 10 elementos y tres señales incidentes.
Figura 4.12 – Matriz C a partir de las matrices E1 y E 2 .
150
Teniendo la matriz C , se descompone en valores y vectores propios. Lo que nos interesa en esta
descomposición es la matriz de autovalores de C denominada E C , la obtención de la matriz de
autovalores E C a través de la descomposición de la matriz C en el código realizado se muestra a
continuación.
[Ec Ac]=eig(C);
En la figura 4.13 se puede visualizar la matriz de autovalores E C .
4.13 - Matriz de autovalores E C a través de la descomposición de la matriz C .
Obteniendo la matriz de autovalores E C , se particiona E C en cuatro submatrices de dimensiones
No × No. La partición de la matriz E C en estas cuatro submatrices puede observarse en la figura
4.14.
Figura 4.14 – Partición de la matriz E C en cuatro submatrices No × No.
151
De las submatrices que se encuentran en la matriz E C , solamente vamos a estimar 2 submatrices
en nuestro código, las cuales son las submatrices E12 y
E22 , ya que, con estas submatrices
podremos calcular posteriormente el operador rotación  .
E12=Ec(1:Ns-z,(Ns-z)+1:2*(Ns-z));
E22=Ec((Ns-z)+1:2*(Ns-z),(Ns-z)+1:2*(Ns-z));
Vemos que en E12 se eligen de las filas 1 hasta la fila Ns-z, (En nuestro ejemplo
Ns-z=3)
comprende de la fila 1 hasta la fila 3,y las columnas van desde(Ns-z)+1 hasta la columna
2*(Ns-z),
es decir, de la columna 4 hasta la columna 6,por lo tanto E12 tendrá dimensión 3 x 3.
Por otro lado la submatriz E22 va desde la fila (Ns-z)+1 hasta la fila 2*(Ns-z), en nuestro
ejemplo iría de la fila 4 hasta la fila 6, y las columnas van de la columna (Ns-z)+1 hasta la
columna 2*(Ns-z), o sea de la columna 4 hasta la columna 6, por lo tanto, esta matriz también
tiene dimensión 3 x 3. En la figura 4.15 se puede visualizar la estimación de las submatrices E12
y E22 .
4.15 – Estimación de las submatrices E12 y E22 a partir de la matriz E C .
Con la estimación de las submatrices E12 y E22 , ya podemos calcular el operador rotacional  ,
a través de la ecuación    E12 E 221 que fue mostrada en el capitulo anterior. Esta fórmula fue
implementada en nuestro código de la siguiente manera:
fi=-E12*inv(E22);
Podemos ver en el código, que la variable fi representa al operador rotacional  , el cual da
forma a la matriz fi mostrada en la figura 4.16.
152
Figura 4.16 – Estimación del operador rotacional  , a partir de las submatrices E12 y E22 .
Teniendo formada ya la matriz del operador rotacional  , pasamos a descomponerlo en valores
y vectores propios, donde los valores propios del operador rotacional  nos proporcionarán la
información necesaria, para estimar los ángulos de llegada. Los valores propios del operador
 contendrán los valores de los exponentes de las señales incidentes, es decir, si el modelo de
una señal incidente es x(t )  e
jd sin  i
, entonces los autovalores del operador  tendrán los valores
de los exponentes d sin  i , para todos los ángulos  i de las señales incidentes. La descomposición
del operador rotacional  en el código utilizado se muestra a continuación.
[fivec fiaval]=eig(fi);
Donde los valores propios se encontrarán en la matriz diagonal fiaval y el número de valores
propios en esta matriz será No, es decir, el número de señales incidentes en el arreglo, como se
muestra en la figura 4.17.
153
Figura 4.17 – Matriz fiaval donde se encontrarán los valores propios del operador rotacional  .
Como se mencionó anteriormente fiaval contendrá en su diagonal los valores de los exponentes
de las señales incidentes de acuerdo al modelo de señal x(t )  e
jd sin  i
, por lo tanto para calcular
los  i angulos incidentes solo habrá que despejar  i de la formula d sin  i  i quedando la
 
fórmula para estimar los ángulos de llegada de esta manera  i  sin 1  i  . Para la estimación
 d 
de los ángulos de llegada se utilizo el siguiente código.
lang=asin(abs((d*log((los)))/(2*pi)));
ang2=lang*180/pi;
La variable los contendrá los valores propios del operador rotacional  pero ordenados en una
matriz fila No x 1 como se muestra en el siguiente código.
los(1,Ns-z)=0;
for ts=1:Ns-z;
los(1,ts)=fiaval(ts,ts);
end
En el código para calcular los ángulos de llegada se puede deducir , que estos ángulos son
calculados y guardados en la variable lang, sin embargo, los valores de los ángulos estarán en
radianes, por lo que habrá que multiplicar por 180º y dividir por pi(π),entonces los los ángulos de
llegada en grados estarán almacenados en la variable ang2. La información de los ángulos de
llegada es la finalidad del algoritmo ESPIRIT, por lo tanto, es de vital importancia que el usuario
visualice estos ángulos, esto es posible mostrando los valores guardados en la variable ang2,
como se muestra en el siguiente código:
'angulos incidentes'
ang2
154
Finalmente en el menú donde el usuario ingresará las variables de entrada, se podrá visualizar los
ángulos de llegada de las señales incidentes como se muestra en la figura 4.18.
Figura 4.18 – Visualización de los ángulos de llegada en el Software MATLAB.
4.6. SIMULACIÓN COMPARATIVA PARA LOS ALGORITMOS MUSIC Y ESPIRIT.
A continuación se realizará la parte práctica de nuestra tesis, que es la simulación de los
algoritmos descritos anteriormente. Como se mencionó al principio de este capítulo se realizará
un análisis comparativo entre ambos algoritmos midiendo la exactitud de los ángulos de llegada
estimado por cada unos de estos algoritmos para los mismos escenarios. Para esto se tuvo que
crear un archivo que mezclara los tanto el algoritmo MUSIC como el algoritmo ESPIRIT , a este
archivo se le llamo “Mixto” y le pedirá al usuario las variables de entradas descritas al principio
del capítulo, que serán comunes para ambos algoritmos.
Los parámetros que mediremos en esta simulación se mencionan a continuación:
 La distancia entre los elementos del arreglo.
 La separación angular entre las señales incidentes.
 El números de muestras tomadas para las señales incidentes.
 La potencia de ruido.
 El número de elementos en el arreglo.
155
 El número de señales incidentes en el arreglo.
Teniendo en claro los parámetros a medir se variarán cada uno de estos, para poder observar la
exactitud con la que estos algoritmos estiman los ángulos de llegada. A lo largo de toda la
simulación se considerarán las siguientes variables de entrada.
 Número de elementos en el arreglo Ns = 10.
 Número de señales incidentes en el arreglo No = 3.
 Número de muestras obtenidas k = 100.
 Distancia o cociente de lamda entre los elementos del arreglo d = 2.
 Potencia total de ruido Pr = 0.1.
 Ángulos de las señales incidentes en grados θ1=10º, θ2=30º y θ3=50º.
Cada una de estas variables irán variando para efectos de simulación, como se muestra a
continuación.
4.6.1. Efectos que se producen al variar la distancia entre los elementos del arreglo.
En este caso iremos variando la distancia entre los elementos del arreglo:
Para d = 2 = 0.5λ
Ángulos
exactos
10º
30º
50º
Ángulos
ESPIRIT
10.0073º
29.9968º
49.9995º
Ángulos
MUSIC
10.25º
29.75º
48.75º
Δθ
ESPIRIT
0.0073º
0.0032º
0.0005º
Δθ
MUSIC
0.25º
0.25º
1.25º
156
Para d = 3.3 = 0.3λ
Ángulos
Ángulos
exactos
ESPIRIT
10º
10.0046º
30º
29.9557º
50º
49.9657º
Ángulos
MUSIC
11.75º
30º
52.75º
Δθ
ESPIRIT
0.0046º
0.0443º
0.0343º
Δθ
MUSIC
1.75º
0º
2.75º
157
Para d = 10 = 0.1λ
Ángulos
exactos
10º
30º
50º
Ángulos
ESPIRIT
13.4884º
Ángulos
MUSIC
8.5º
Δθ
ESPIRIT
3.4884º
Δθ
MUSIC
1.5º
44.4062º
56.25º
5.5974º
6.25º
Ángulos
MUSIC
10.25º
30.25º
49.5º
Δθ
ESPIRIT
0.0022º
1.0657º
20.0074º
Δθ
MUSIC
0.25º
0.25º
0.5º
Para d = 1.25 = 0.8λ
Ángulos
Ángulos
exactos
ESPIRIT
10º
9.9978
30º
28.9343
50º
29.9926
158
Para d = 0.6 = 1.5λ
Ángulos
Ángulos
exactos
ESPIRIT
10º
9.7786 º
30º
5.7433º
50º
Ángulos
MUSIC
9.75º
30.25º
50.5º
Δθ
ESPIRIT
Δθ
MUSIC
0.25º
0.25º
0.5º
Se puede observar en esta simulación, que al disminuir la distancia entre los elementos tanto el
algoritmo MUSIC como el algoritmo ESPIRIT se vuelven ineficientes en cuanto a la exactitud en
la estimación de los ángulos de llegada, tanto que ambos algoritmos llegan a estimar solamente
dos ángulos de llegada en vez de los tres que se esperaban. Al contrario, al aumentar la distancia
entre los elementos, los picks del pseudoespectro se hacen más finos haciendo más exacta la
estimación de los ángulos. Por otro lado, el algoritmo ESPIRIT se vuelve menos exacto al
aumentar esta distancia, al igual que al disminuir la distancia entre elementos, por lo tanto se
podría deducir que el algoritmo ESPIRIT es exacto solamente para valores cercanos a λ/2,
mientras que el algoritmo ESPIRIT es más exacto, y su pseudoespectro se vuelve más puntual,
para distancias mayores a λ/2, pero no mucho mayores a este.
159
4.6.2. Efectos que se producen al variar la separación angular entre las señales incidentes.
En este caso iremos variando la distancia entre los ángulos de las señales incidentes.
Para θ1 = 5º, θ2 = 10º y θ3 = 15º.
Ángulos
Ángulos
exactos
ESPIRIT
5º
4.9100º
10º
9.6613º
15º
14.9088º
Para θ1 = 10º, θ2 = 20º y θ3 = 30º.
Ángulos
Ángulos
exactos
ESPIRIT
10º
10.0024
20º
20.0307
30º
29.9994
Ángulos
MUSIC
Δθ
MUSIC
9.5º
19.75º
Δθ
ESPIRIT
0.09º
0.3387º
0.0912º
Ángulos
MUSIC
9.5º
20.5º
29.75º
Δθ
ESPIRIT
0.0024º
0.0307º
0.0006º
Δθ
MUSIC
0.5º
0.5º
0.25º
0.5º
4.75º
160
Para θ1 = 10º, θ2 = 30º y θ3 = 50º.
Ángulos
Ángulos
exactos
ESPIRIT
10º
10.0021º
30º
29.9871º
50º
50.0104º
Ángulos
MUSIC
10º
29.75º
50º
Δθ
ESPIRIT
0.0021º
0.0129º
0.0104º
Δθ
MUSIC
0º
0.25º
0º
Para θ1 = 10º, θ2 = 40º y θ3 = 70º.
Ángulos
Ángulos
exactos
ESPIRIT
10º
10.0025º
40º
39.9907º
70º
70.0186º
Ángulos
MUSIC
9.75º
40.5º
66.25º
Δθ
ESPIRIT
0.0025º
0.0093º
0.0186º
Δθ
MUSIC
0.25º
0.5º
3.75º
161
Para θ1 = 5º, θ2 = 45º y θ3 = 85º.
Ángulos
Ángulos
exactos
ESPIRIT
5º
5.0039º
45º
45.0061º
85º
84.9311º
Ángulos
MUSIC
5.25º
46º
85.25º
Δθ
ESPIRIT
0.0039º
0.0061º
0.0689º
Δθ
MUSIC
0.25º
1º
0.25º
Se puede observar a través de esta simulación, que el algoritmo MUSIC se vuelve inexacto
cuando la separación angular es muy pequeña o muy grande, por lo tanto, este algoritmo tendrá
un rango de separación angular en el cual la estimación angular de MUSIC es aceptable, mientras
que en los extremos de este rango MUSIC se vuelve inexacto, lo cual se ve reflejado en la gráfica
del pseudoespectro. Por otra parte, el algoritmo ESPIRIT no varía mucho con la separación
angular, aunque para separaciones angulares grandes es mucha más exacta que para separaciones
angulares menores.
4.6.3. Efectos que se producen al variar el número de muestras de las señales incidentes.
En este caso iremos variando las muestras tomadas de las señales que inciden en el arreglo.
162
Para k = 50.
Ángulos
exactos
10º
30º
50º
Ángulos
ESPIRIT
10.0121
29.9877
50.0156
Ángulos
MUSIC
9.5º
31.25º
50.25º
Δθ
ESPIRIT
0.0121º
0.0123º
0.0156º
Δθ
MUSIC
0.5º
1.25º
0.25º
Para k = 100.
Ángulos
exactos
10º
30º
50º
Ángulos
ESPIRIT
9.9958º
30.0083º
49.9868º
Ángulos
MUSIC
9.5º
29.75º
50º
Δθ
ESPIRIT
0.0042º
0.0083º
0.0132º
Δθ
MUSIC
0.5º
0.25º
0º
163
Para k = 500.
Ángulos
exactos
10º
30º
50º
Ángulos
ESPIRIT
9.9976º
29.9993º
49.9974º
Ángulos
MUSIC
10.25º
29.5º
50.5º
Δθ
ESPIRIT
0.0024º
0.0007º
0.0026º
Δθ
MUSIC
0.25º
0.5º
0.5º
Para k = 1000.
Ángulos
exactos
10º
30º
50º
Ángulos
ESPIRIT
9.9998º
29.9986º
49.9990º
Ángulos
MUSIC
10º
30º
50º
Δθ
ESPIRIT
0.0002º
0.0014º
0.001º
Δθ
MUSIC
0º
0º
0º
164
Para k = 5000.
Ángulos
exactos
10º
30º
50º
Ángulos
ESPIRIT
10.0003
30.0004
49.9990
Ángulos
MUSIC
10º
30º
50º
Δθ
ESPIRIT
0.0003º
0.0004º
0.001º
Δθ
MUSIC
0º
0º
0º
De la simulación de variación de muestras, se puede decir que ambos algoritmos se hacen más
exactos al aumentar las muestras de las señales incidentes, esto debido a que las muestras
aumentan la resolución para estimar los ángulos de las señales incidentes. Así también aumenta la
resolución de la gráfica del pseudoespectro, haciéndose mucho más fina al aumentar las muestras,
evidenciando la disminución de ruido en el pseudoespectro.
4.6.4. Efectos que se producen al variar la potencia de ruido en los elementos del arreglo.
En este caso iremos variando la potencia de ruido presente en los elementos del arreglo.
Para Pr = 0.0001.
Ángulos
Ángulos
exactos
ESPIRIT
10º
10.0000
30º
50.0000
50º
30.0000
Ángulos
MUSIC
10º
29.75º
50.25º
Δθ
ESPIRIT
0º
0º
0º
Δθ
MUSIC
0º
0.25º
0.25º
165
Para Pr = 0.1.
Ángulos
exactos
10º
30º
50º
Ángulos
ESPIRIT
10.0138
30.0016
49.9802
Ángulos
MUSIC
10.25º
30.5º
50º
Δθ
ESPIRIT
0.0138º
0.0016º
0.0198º
Δθ
MUSIC
0.25º
0.5º
0º
Para Pr = 1.
Ángulos
exactos
10º
30º
50º
Ángulos
ESPIRIT
10.0324º
29.8461º
49.9819º
Ángulos
MUSIC
10.5º
30.25º
50.25º
Δθ
ESPIRIT
0.0324º
0.1539º
0.0181º
Δθ
MUSIC
0.5º
0.25º
0.25º
166
Para Pr = 4.
Ángulos
exactos
10º
30º
50º
Ángulos
ESPIRIT
33.7955º
Ángulos
MUSIC
10.75º
28.5º
Δθ
ESPIRIT
3.7955º
Δθ
MUSIC
0.75º
1.5º
En esta simulación se puede observar claramente, que ambos algoritmos son mas inexactos al
aumentar la potencia de ruido de los elementos del arreglo al punto que, con una potencia de
ruido Pr = 4, el algoritmo ESPIRTI solo detecta una señal incidente, y el algoritmo MUSIC a
través del pseudoespectro detecta solo 2 señales incidentes. Se puede ver también que a mayor
potencia de ruido los picks del pseudoespectro tienden a ser más anchos, evidenciando como el
ruido afecta a la estimación de las señales incidentes.
167
4.6.5. Efectos que se producen al variar el número de elementos en el arreglo.
En este caso iremos variando el número elementos Ns, que conformarán el arreglo.
Para Ns = 5 elementos.
Ángulos
Ángulos
exactos
ESPIRIT
10º
9.9889º
30º
30.0588º
50º
49.9109º
Ángulos
MUSIC
9.75º
32.5º
48.25º
Δθ
ESPIRIT
0.0111º
0.0588º
0.0891º
Δθ
MUSIC
0.25º
2.5º
1.75º
Para Ns = 10 elementos.
Ángulos
Ángulos
exactos
ESPIRIT
10º
10.0025º
30º
29.9933º
50º
49.9931º
Ángulos
MUSIC
10º
31º
49.5º
Δθ
ESPIRIT
0.0025º
0.0067º
0.0069º
Δθ
MUSIC
0º
1º
0.5º
168
Para Ns = 20 elementos.
Ángulos
Ángulos
exactos
ESPIRIT
10º
10.0012º
30º
30.0024º
50º
49.9997º
Para Ns = 30 elementos.
Ángulos
Ángulos
exactos
ESPIRIT
10º
9.9979
30º
29.9988
50º
50.0006
57.7474
Ángulos
MUSIC
9.75º
29.75º
49.75º
Δθ
ESPIRIT
0.0012º
0.0024º
0.0003º
Δθ
MUSIC
0.25º
0.25º
0.25º
Ángulos
MUSIC
10º
30º
50º
Δθ
ESPIRIT
0.0021º
0.0012º
0.0006º
Δθ
MUSIC
0º
0º
0º
169
A través de las simulaciones realizadas, al aumentar el número de elementos del arreglo se puede
ver claramente, que ambos algoritmos son más precisos al estimar los ángulos de llegada de las
señales incidentes, sin embargo, al aumentar los elementos del arreglo a mas de 30, el algoritmo
ESPIRIT estima de forma inexacta el número de señales incidentes, esto se debe a que la
diferencia entre el menor valor propio asociado al subespacio de la señal y el mayor valor propio
asociado al subespacio de ruido, es mayor a (5*minevalue)+ minevalue. Por esta razón, el
código implementado calculará mas valores propios asociados al subespacio de señal, o sea, el
código estimará erróneamente mas señales incidentes de las que realmente hay.
4.6.6. Efectos que se producen al aumentar el número de señales incidentes.
En este caso iremos aumentando el número de señales incidentes No en el arreglo. Para
esta simulación se considerará un arreglo de 20 elementos, con k=500. Para una mejor
resolución.
Para No = 3 señales incidentes.
Ángulos
Ángulos
exactos
ESPIRIT
10º
9.9992º
30º
29.9991º
50º
49.9995º
Ángulos
MUSIC
9.75º
30º
50º
Δθ
ESPIRIT
0.0008º
0.0009º
0.0005º
Δθ
MUSIC
0.25º
0º
0º
170
Para No = 6 señales incidentes.
Ángulos
Ángulos
exactos
ESPIRIT
10º
9.9996º
20º
19.9997º
30º
29.9984º
40º
39.9986º
50º
49.9988º
60º
59.9991º
Para No = 10 señales incidentes.
Ángulos
Ángulos
exactos
ESPIRIT
10º
10.0244
15º
15.0914
20º
20.2434
25º
25.5237
30º
31.0349
35º
36.7614
40º
42.7507
45º
48.8719
50º
54.7649
55º
Ángulos
MUSIC
10º
20º
29.75º
40º
49.75º
59.75º
Δθ
ESPIRIT
0.0004º
0.0003º
0.0016º
0.0014º
0.0012º
0.0009º
Δθ
MUSIC
0º
0º
0.25º
0º
0.25º
0.25º
Ángulos
MUSIC
10º
Δθ
ESPIRIT
0.0244
0.0914º
0.2434º
0.5237º
1.0349º
1.7614º
2.7507º
3.8719º
4.7649º
Δθ
MUSIC
0º
19.5º
24.5º
33.5º
45.25º
0.5º
0.5º
3.5º
0.25º
171
De las simulaciones para el número de señales incidentes, se puede observar que cuando las
señales incidentes son mucho menores al número de sensores, los dos algoritmos estiman de
manera eficaz los ángulos de llegada, sin embargo cuando el numero de señales incidentes es la
mitad del número de elementos en el arreglo, las estimaciones de ambos algoritmos es inexacta,
como se puede ver en No = 10, siendo de peor estimación el algoritmo MUSIC. Sin embargo,
estas estimaciones dependen de otros factores como lo son la cantidad de elementos del arreglo y
la separación angular de las señales incidentes, por lo tanto esta simulación nos da solamente una
idea de cómo se comporta cada uno de los algoritmos al tener más señales incidentes en el
arreglo.
172
CONCLUSIONES.
La evolución de las comunicaciones móviles, sobre todo en las redes de telefonía 3G, ah
permitido también la evolución en el concepto de antenas, permitiendo que estas en cierta forma
sean más inteligentes, controlando el ancho del lóbulo de radiación, detectando el número de
usuarios presentes y solucionando problemas como el multitrayecto o desvanecimiento temporal.
Si bien es cierto que las antenas en las estaciones bases han tenido una gran evolución con la
aparición de la tecnología de las antenas inteligentes, sin embargo lo lógico sería que el siguiente
paso sea el implementar esta tecnología en los móviles de los usuarios, pero esto no es posible
aún, debido a la distancia mínima que debe existir entre sensores que es de λ/2 (Ver capitulo 3),
para impedir problemas con el acoplamiento mutuo entre sensores. Por lo tanto, las antenas
inteligentes tienen que mejorar sus funciones para disminuir la distancia entre sensores, y así
permitir la construcción de arreglos de antenas más pequeños, para su utilización en teléfonos
móviles.
Se pudo implementar una herramienta, en el lenguaje de programación de MATLAB, que nos
permitió observar y comparar el rendimiento de los MUSIC y ESPIRIT en la estimación de los
ángulos de llegada, de acuerdo a los entornos de simulación propuestos. Este entorno de
simulación mencionado anteriormente, puede generar un sistema de antenas inteligentes básico,
permitiendo variar cualquiera de los parámetros de simulación vistos en el capítulo 4.
Los resultados obtenidos en las simulaciones pudieron entregar un completo entendimiento de
varios aspectos que respecta a los parámetros de simulación realizados. Por lo tanto, las
simulaciones realizadas con ambos algoritmos permitieron obtener las siguientes conclusiones:
 Ambos algoritmos son deficientes al ser la distancia entre elementos menores a λ/2 sin
embargo al ser esta distancia mayor el algoritmo MUSIC presenta una mayor deficiencia
al estimar erróneamente el número de señales incidentes para distancias mayores a λ.
Cuando esta distancia esta en el rango deseado, es decir, cercanos a λ/2 el algoritmo
ESPIRIT, presenta mejor exactitud al estimar los ángulos de llegada.
173
 Respecto a la separación angular ambos muestran un deficiente rendimiento al ser la
separación angular pequeña, sin embargo al aumentar esta separación el algoritmo
MUSIC presenta la mayor ineficiencia al estimar los ángulos de llegada. Esto nos da a
conocer que para una gran cantidad de usuarios separados a una pequeña distancia el
algoritmo ESPIRIT será más eficiente siempre y cuando se aumente el número de
muestras, y el número de sensores en el arreglo.
 Los algoritmos MUSIC
y ESPIRIT, mejoran considerablemente su rendimiento al
aumentar el número de elementos en el arreglo, al disminuir la potencia de ruido y al
tomar más muestras se las señales incidentes. Si el número de elementos en el arreglo es
mucho mayor que las señales incidentes, ambos algoritmos tienden a ser inexactos en su
estimación, por lo cual habría que aumentar el número de muestras para obtener una
mejor resolución de los ángulos incidentes.
 Las diferentes simulaciones demostraron que el algoritmo MUSIC toma mucho más
tiempo al obtener resultados precisos cuando menos elementos se utilizan en el arreglo de
sensores. Por su parte el algoritmo ESPIRIT aumenta su tiempo de cálculo al aumentar el
número de elementos del arreglo, y en especial al tomar más muestras de las señales
incidentes, pero este tiempo será mucho menor que el tiempo tomado por MUSIC al
formar el pseudoespectro.
 Por último se puede decir que el algoritmo ESPIRIT representa la mejor opción en la
estimación de los ángulos de las señales incidentes en un arreglo, ya que como se dijo
anteriormente consume menos tiempo en la estimación de los ángulos, y además es más
exacto que el algoritmo MUSIC en la mayoría de las simulaciones realizadas.
174
Anexo 1 – Código Algoritmo MUSIC.
clear all
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%% Ingreso de Varibles de Entrada %%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
Ns=input('Ingrese el numero de elementos de array:');
No=input('Ingrese el numero de señales incidentes:');
k=input('Ingrese el numero de muestras:');
d=input('ingrese el cociente de lamda:');%distancia entre los sensores
Pr=input('ingrese la potencia de ruido:');
ang(No)=0;
for i=1:No;
ang(i)=input('ingrese los angulos incidentes en grados:')
angrad(i)=ang(i)*pi/180;
end
%f=1000000000;
%fm=(10*f-1);
%
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%% Formacion de las señales incidentes %%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
s(Ns,No)=0;
for t=1:Ns;
for r=1:No;
s(t,r)=exp(j*2*pi*((t-1)/d)*(sin(angrad(r))));
end
end
s0=sign(randn(Ns,k));
n=sqrt(Pr)*randn(Ns,k);
Rss=(s0*s0')/k;
Rnn=(n*n')/k;
Rxx=(s*s')*Rss+Rnn;
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Autovalores y autovectores de la matriz de correlacion %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
[avect aval]=eig(Rxx);
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Autovalores y autovectores asociados al ruido y señal %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
minevalue=aval(1,1);
for u=2:Ns
if(minevalue>aval(u,u));
minevalue=aval(u,u);
end
end
z=0
for y=1:Ns;
if(aval(y,y)<(5*minevalue)+ minevalue);
z=z+1;
175
end
end
'autovalores asociados al ruido'
z
'numero de señales incidentes'
Ns-z
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%% Formacion de autovector de ruido %%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
autruid(Ns,z)=0;
for q=(Ns-z)+1:Ns
for L=1:Ns
autruid(L,q-(Ns-z))=avect(L,q);
end
end
%
cont=1;
for tet=1:0.25:90;
hh(cont)=tet;
radian=tet*pi/180;
for w=1:Ns
matsen(w,1)=exp(j*2*pi*((w-1)/d)*(sin(radian)));
end
ah=matsen'*autruid;
je=ah*ah';
pmu(cont)=1/abs(je);
cont=cont+1;
end
%
plot(hh,pmu), xlabel('Angulo en grados'), ylabel('Amplitud'),
title('Pseudoespectro MUSIC')
grid
176
Anexo 2 – Código algoritmo ESPIRIT.
clear all
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%% Ingreso de Varibles de Entrada %%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
Ns=input('Ingrese el numero de elementos de array:');
No=input('Ingrese el numero de señales incidentes:');
k=input('Ingrese el numero de muestras:');
d=input('ingrese el cociente de lamda:');%distancia entre los sensores
Pr=input('ingrese la potencia de ruido:');
ang(No)=0;
for i=1:No;
ang(i)=input('ingrese los angulos incidentes en grados:')
angrad(i)=ang(i)*pi/180;
end
f=1000000000;
fm=(10*f-1);
%
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%% Formacion de las señales incidentes %%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
s(Ns,No)=0;
for t=1:Ns;
for r=1:No;
s(t,r)=exp(j*2*pi*((t-1)/d)*(sin(angrad(r))));
end
end
s0=sign(randn(Ns,k));
n=sqrt(Pr)*randn(Ns,k);
Rss=(s0*s0')/k;
Rnn=(n*n')/k;
Rxx=(s*s')*Rss+Rnn;
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Autovalores y autovectores de la matriz de correlacion %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
[avect aval]=eig(Rxx);
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Autovalores y autovectores asociados al ruido y señal %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
minevalue=aval(1,1);
for u=2:Ns
if(minevalue>aval(u,u));
minevalue=aval(u,u);
end
end
z=0
for y=1:Ns;
if(aval(y,y)<(5*minevalue)+minevalue);
z=z+1;
177
end
end
'autovalores asociados al ruido'
z
'numero de señales incidentes'
Ns-z
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%% Formacion de autovector de señal %%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
Ex(1,Ns-z)=0;
for q=1:Ns-z
for L=1:Ns
Ex(L,q)=avect(L,q);
end
end
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%% Cálculo de E1 y E2 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
E1=Ex(1:Ns-1,1:Ns-z);
E2=Ex(2:Ns,1:Ns-z);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Formación de Ec %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
C=[E1';E2']*[E1 E2];
[Ec Ac]=eig(C);
E12=Ec(1:Ns-z,(Ns-z)+1:2*(Ns-z));
E22=Ec((Ns-z)+1:2*(Ns-z),(Ns-z)+1:2*(Ns-z));
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%% Estimación del operador rotacional %%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
fi=-E12*inv(E22);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%% Valores propios del operador rotacional %%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
[fivec fiaval]=eig(fi);
%
los(1,Ns-z)=0;
for ts=1:Ns-z;
los(1,ts)=fiaval(ts,ts);
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%% Estimación de los ángulos de llegada %%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
lang=asin(abs((d*log((los)))/(2*pi)));
ang2=lang*180/pi;
'angulos incidentes'
ang2
178
Anexo 3 – Código Algoritmo MIXTO.
clear all
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%% Ingreso de Varibles de Entrada %%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
Ns=input('Ingrese el numero de elementos de array:');
No=input('Ingrese el numero de señales incidentes:');
k=input('Ingrese el numero de muestras:');
d=input('ingrese el cociente de lamda:');%distancia entre los sensores
Pr=input('ingrese la potencia de ruido:');
ang(No)=0;
for i=1:No;
ang(i)=input('ingrese los angulos incidentes en grados:')
angrad(i)=ang(i)*pi/180;
end
%f=1000000000;
%fm=(10*f-1);
%
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%% Formacion de las señales incidentes %%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
s(Ns,No)=0;
for t=1:Ns;
for r=1:No;
s(t,r)=exp(j*2*pi*((t-1)/d)*(sin(angrad(r))));
end
end
s0=sign(randn(Ns,k));
n=sqrt(Pr)*randn(Ns,k);
Rss=(s0*s0')/k;
Rnn=(n*n')/k;
Rxx=(s*s')*Rss+Rnn;
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Autovalores y autovectores de la matriz de correlacion %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
[avect aval]=eig(Rxx);
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Autovalores y autovectores asociados al ruido y señal %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
minevalue=aval(1,1);
for u=2:Ns
if(minevalue>aval(u,u));
minevalue=aval(u,u);
end
end
z=0
for y=1:Ns;
if(aval(y,y)-minevalue<((5*minevalue)+minevalue));
%if(aval(y,y)<1+minevalue);
179
z=z+1;
end
end
'autovalores asociados al ruido'
z
'numero de señales incidentes'
Ns-z
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%% Formacion de autovector de ruido %%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
autruid(Ns,(Ns-z)+1)=0;
for q=(Ns-z)+1:Ns
for L=1:Ns
autruid(L,q)=avect(L,q);
end
end
%
cont=1;
for tet=1:0.25:90;
hh(cont)=tet;
radian=tet*pi/180;
for w=1:Ns
matsen(w,1)=exp(j*2*pi*((w-1)/d)*(sin(radian)));
end
ah=matsen'*autruid;
je=ah*ah';
pmu(cont)=1/abs(je);
cont=cont+1;
end
%
plot(hh,pmu), xlabel('Angulo en grados'), ylabel('Amplitud'),
title('Pseudoespectro MUSIC')
grid
%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%% Formacion de autovector de señal %%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
Ex(1,Ns-z)=0;
for q=1:Ns-z
for L=1:Ns
Ex(L,q)=avect(L,q);
end
end
%
E1=Ex(1:Ns-1,1:Ns-z);
E2=Ex(2:Ns,1:Ns-z);
C=[E1';E2']*[E1 E2];
[Ec Ac]=eig(C);
E12=Ec(1:Ns-z,(Ns-z)+1:2*(Ns-z));
E22=Ec((Ns-z)+1:2*(Ns-z),(Ns-z)+1:2*(Ns-z));
fi=-E12*inv(E22);
[fivec fiaval]=eig(fi);
%
180
los(1,Ns-z)=0;
for ts=1:Ns-z;
los(1,ts)=fiaval(ts,ts);
end
lang=asin(abs((d*log((los)))/(2*pi)));
ang2=lang*180/pi;
'angulos incidentes'
ang2
181
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