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CAPITULO 3
LÍNEAS DE TRANSMISIÓN DE DOS
CONDUCTORES
Como se explicó en el capítulo 1, existen varios tipos de líneas de transmisión,
que guian la onda electromagnética entre dos puntos determinados.
En este
capítulo se describirán, y se estudiarán los parámetros mas importantes de
propagación de las ondas electromagnéticas en las líneas de dos conductores
coaxiales, a través de un modelo de circuitos que simplifica el análisis, como se verá
mas adelante.
Generalmente es deseable caracterizar una onda TEM en una línea de dos
conductores en función de sus ondas de Voltaje y corriente, en vez de las
cantidades de campo Eléctrico y Magnético. Estas ventajas son obvias debido al
hecho que los voltajes y las corrientes en una línea de transmisión son cantidades
fácilmente medibles a frecuencias inferiores a aproximadamente 1 GHz.
3.1.
Análisis de las ecuaciones de Voltaje y corriente para la línea de
transmisión de dos conductores.
Para el análisis de propagación de las ondas en las líneas de dos conductores se
puede emplear un modelo o circuito equivalente que la simule. Este modelo emplea
elementos agrupados de circuito R, L, C y G, y utiliza las mismas características de
voltaje y corriente que la línea que se está modelando.
En la figura 3.1 se muestra la vista lateral y transversal de una línea de
transmisión coaxial y bifilar.
41
I
w
b
b
a
a
a)
I
2a
a
r
D
b)
Figura 3.1. Vista lateral y transversal de una línea de dos conductores a) Coaxial b) Bifilar.
La tabla 3.1 muestra la dependencia de estos parámetros con respecto a las
dimensiones de los conductores, para líneas de dos conductores bifilares y
coaxiales.
Tabla 3.1. Relación de las constantes distribuidas y las dimensiones de la líneas de
transmisión de dos conductores Coaxial y Bifilar.
Parámetros por
Línea Bifilar
Línea Coaxial
unidad de
longitud
Inductancia (L)
Henrio/m
Cpacitancia (C)
Farad/m
Baja
Alta
Frecuencia
Frecuencia
L=
Baja Frecuencia
µ
D
Ln
π
a
πε
C=
D
Ln
a
Alta Frecuencia
L=
µ
b
Ln
2π
a
C=
2πε
b
Ln
a
42
Resistencia (R)
W/m
R=
2
σπa 2
R=
1
a
Conductancia
G =π
(G)
ρfµ
π
R=
ρ
ρ
+
2
πa 2πbw
R=
σ
1 ρfµ  1 1 
 + 
2 π a b
G =π
Ln(D / a)
Mhos/m
Nota: ρ =
σ
Ln(D / a)
π
σ
Cuando la corriente fluye a través de los conductores de la línea de transmisión,
aparece un campo magnético alrededor de los conductores que genera un voltaje y
que está dado por la variación de inductancia distribuida por unidad de longitud L,
representando el efecto neto de los conductores.
Entre el espacio de separación de los conductores de la línea existe una
capacitancia distribuida C, debido al dieléctrico que separa los dos alambres
conductores.
Si se toma en cuenta que el material conductor y dieléctrico no son perfectos, se
puede asociar una resistencia en serie a la inductancia y una conductancia en
paralelo a la capacitancia.
En la figura 3.2 se muestra el modelo con los respectivos incrementos ∆z
relativos al pequeño sector de línea en el cual se encuentran los parámetros. Se
conectan en cascada tantas secciones como se necesiten para modelar la longitud
d de la línea.
∆z
∆z
∆z
1
∆z
2
I2
I1=I
V1=V
∆z
∆z
∆z
∆ z V2
∆z
Figura 3.2. Modelo circuital de la línea de transmisión de dos conductores.
43
Estos elementos agrupados son también llamados constantes distribuidas,
debido a que se encuentran distribuidos a lo largo de la línea de transmisión.
Se realiza el análisis con el modelo planteado, debido a que el desarrollo de las
ecuaciones de campo Eléctrico y Magnético, es necesario conocer las condiciones
de frontera, lo cual hace el análisis muy tedioso. Además este procedimiento es útil,
pues permite poner a escala una línea de transmisión de cualquier longitud en un
modelo de circuito adecuado para pruebas dentro de los límites de un laboratorio.
El lector puede demostrar que el modelo satisface las ecuaciones de voltaje y
corriente planteados para la línea de transmisión de dos conductores, y por lo tanto
ser utilizados para el análisis.
Haciendo un análisis de malla, entre los terminales 1 y 2, se tiene:
∂I1
∆z
∂t
(3.1)
 ∂V 
V2 = V + ∆V = V + 
∆z
 ∂z 
(3.2)
V2 − V1 = − I1R∆z − L
Ahora
V1 = V
Pero
Con lo cual
 ∂V
V2 − V1 = 
 ∂z

∆z

(3.3)
 ∂V
⇒
 ∂z
Las variables V e I, son funciones de (z,t).
∂I

∆z = − I1R∆z − L 1 ∆z
∂t

(3.4)
44
Ahora aplicando un análisis en el nodo 2, se tiene:
Si
I1 = I c + I g + I 2
(3.5)
∂I 

I 2 =  I + ∆z 
∂z 

(3.6)
 ∂I 
I − I 2 = − ∆z
 ∂z 
(3.7)
I1 = I
De esta manera
Las corrientes a través de la conductancia y la capacitancia corresponden a :
I g = VG∆z
Ic = C
(3.8)
∂V
∆z
∂t
Luego de 3.5, se tiene:
(3.9)
(3.10)
∂V
 ∂I 
−  ∆z = VG∆z + C
∆z
∂t
 ∂z 
Dividiendo las ecuaciones por ∆z, se tiene:
∂V
∂I
= − IR − L
∂z
∂t
(3.11)
∂I
∂V
= −VG − C
∂z
∂t
(3.12)
Una forma de obtener las ecuaciones que rigen la propagación de la onda
electromagnética, es diferenciando las ecuaciones anteriores con respecto a z, así
se tiene:
∂ 2V
∂I ∂ 2 I
= −R −
∂z 2
∂z ∂z∂t
Luego sustituyendo 3.12 y 3.13
(3.13)
45
∂ 2V
∂V
∂V
∂ 2V
=
−
G
RV
+
L
−
C
R
+
L
(
)
(
)
∂z 2
∂t
∂t
∂t 2
(3.14)
Agrupando términos:
∂ 2V
∂ 2V
∂V
=
LC
+ (CR + LG )
+ RGV
2
2
∂z
∂t
∂t
∂ 2V
∂
∂
= ( R + L )(G + C )V
2
∂z
∂t
∂t
(3.15)
Análogamente para la ecuación 3.12, se tiene
∂2I
∂
∂
= ( R + L )(G + C ) I
2
∂z
∂t
∂t
(3.16)
Las ecuaciones anteriores representan la onda transmitida con pérdidas de
potencia debido a la disipación en la resistencia de los conductores y la
conductancia del material.
Si no hay pérdidas en la línea R=G=0, las ecuaciones 3.15 y3.16, se reducen a:
∂ 2V
∂ 2V
=
LC
∂z 2
∂t 2
(3.17)
∂2I
∂2 I
=
LC
∂z 2
∂t 2
(3.18)
Si se asume que la dependencia de los campos con el tiempo es de la forma ejωt,
se puede sustituir ∂/∂t=jω, el uso de los fasores simplifica las ecuaciones de línea de
transmisión a ecuaciones diferenciales ordinarias, luego 3.15 y 3.16 quedan;
d 2V
− ( R + jωL)(G + jωC )V = 0
dz 2
d 2I
− ( R + jωL)(G + jωC ) I = 0
dz 2
(3.19)
(3.20)
46
Si se denota:
Z:impedancia/longitud
( R + jωL) = Z
(3.21)
Y:admitancia/longitud
(G + jωC ) = Y
(3.22)
Las ecuaciones 3.19 y 3.20, quedan de la forma:
d 2V
− ( ZY )V = 0
dz 2
d 2I
− ( ZY ) I = 0
dz 2
(3.23)
(3.24)
Además también se podría expresar:
ZY = γ 2
(3.25)
Con lo cual:
d 2V
− γ 2V = 0
dz 2
(3.26)
d 2I
− γ 2I = 0
dz 2
(3.27)
Siendo γ, el factor de propagación de la onda, formado por una parte real y otra
imaginaria, de la siguiente manera:
γ = α + jβ
(3.28)
La solución a las ecuaciones 3.26 y 3.27, es la siguiente:
V ( z ) = V + e−γz + V −e +γz
(3.29)
I ( z ) = I + e − γz + I − e + γz
(3.30)
Donde:
V ( z ), I ( z ) :
Son las ondas estacionarias de voltaje y corriente respectivamente
V + e − γz , I + e − γz :
Son las ondas incidentes de voltaje y corriente
V − e + γz , I − e + γz :
Son las ondas reflejadas de voltaje y corriente
e −γz , e +γz :
Son los factores de propagación de la onda estacionaria de voltaje y
corriente
47
Otra forma de escribir la ecuación de la onda estacionaria de corriente 3.30, es
en términos de los voltajes incidentes y reflejados. Para obtener esta expresión es
necesario recordar la ecuación 3.11
∂V
∂I
= − IR − L
∂z
∂t
Donde, asumiendo la dependencia armónica de los campos, se puede escribir de
la siguiente manera:
∂V
= − I ( R + jω L )
∂z
∂V
= − I ( z)Z
∂z
(3.31)
Si se deriva con respecto a z, la ecuación de onda estacionaria de voltaje 3.29 y
se sustituye en 3.31, se tiene:
γ (−V + e −γz + V −e +γz ) = I ( z ) Z
I (z) =
γ
Z
(−V + e −γz + V − e +γz )
(3.32)
3.2. Análisis de la Onda Estacionaria.
La onda estacionaria es la resultante de la suma de la onda incidente y la onda
reflejada.
Para encontrar sus características mas importantes, se expresará la
misma en magnitud y fase, para así encontrar sus valores máximos y mínimos y la
separación de estos, así como los patrones que la definen.
Las ecuaciones de voltaje estacionario y corriente estacionaria determinadas en
las expresiones 3.29 y 3.32, pueden ser desarrolladas de acuerdo a propiedades de
las funciones exponenciales. En esta sección se realizará el análisis para la onda
48
estacionaria de voltaje, quedando como ejercicio al lector el análisis de la expresión
de la onda estacionaria de corriente.
Desarrollando la expresión 3.29, se tiene:
V ( z ) = V + e −αz (Cosβz − jSenβz ) + V − e +αz (Cosβz + jSenβz )
Agrupando términos reales e imaginarios:
V ( z ) = (V + e −αz + V − e +αz )Cosβ z − j (V + e −αz − V − e +αz ) Senβ z
(3.33)
Si se expresa V(z) en forma fasorial:
V ( z ) = V ( z ) e jθ
(3.34)
La magnitud y la fase de la onda estacionaria quedan determinadas por:
V ( z ) = (V + e −αz + V − e +αz ) 2 Cos 2 βz + (V + e −αz − V − e +αz ) 2 Sen 2 β z
(
(
)
)
 V + e −αz − V − e +αz

φ = Tan  + −αz
Tanβz 
− +αz
 V e + V e

−1
(3.35)
(3.36)
Análogamente para la onda de corriente, se tiene:
I (z) =
1
(V + e −αz − V −e +αz ) 2 Cos 2 βz + (V + e −αz + V −e +αz ) 2 Sen 2 β z
Zo
(
 (V
 V + e −αz + V −e +αz
φ = Tan −1 
+ −αz
e
− +αz
−V e
)Tanβz 

)

(3.37)
(3.38)
49
Para determinar los valores máximos y mínimos de la onda de voltaje, se analiza
la expresión 3.35, es decir:
•
Sí β z=nπ, con n=0,1,2,....
⇒
•
V ( z ) = (V + e −αz + V −e +αz )
(3.39)
Sí β z=(2n-1)π/2, con n=0,1,2,....
⇒
V ( z ) = (V + e −αz − V −e +αz )
(3.40)
De lo anterior se puede ver que el valor máximo lo experimenta la onda
estacionaria cuando β z=nπ, y el mínimo en β z=(2n-1)π/2.
Luego la distancia existente entre dos máximos será:
β ( z2 − z1 ) = nπ
(3.41)
Donde:
( z2 − z1 ) = d máx
⇒
d máx =
nπ
2π
λ
Luego:
d máx = n
λ
(3.42)
2
De esta manera, la distancia entre los máximos y mínimos de voltaje de la onda
estacionaria siempre será múltiplo de media longitud de onda.
50
La representación gráfica del la onda estacionaria de Voltaje y Corriente se
puede ver en la figura 3.3
V (z )
V (z )
I (z )
I (z )
V + e −αz = V − e +αz
Figura 3.3. Representación gráfica de la Onda Estacionaria de Voltaje y Corriente.
a) con atenuación y b) sin atenuación.
Dentro de la onda estacionaria se puede mencionar la Onda estacionaria pura, la
cual se forma cuando el valor absoluto de la onda incidente es igual al valor
absoluto de la onda reflejada. De esta manera
Luego de la ecuación 3.33 y de 3.43 se puede obtener una expresión de la onda
estacionaria pura, así
V ( z ) = (V + e −αz + V − e +αz )Cosβz − (V + e −αz − V − e +αz ) Senβz
V ( z ) = 2V + e −αz Cosβz
(3.43)
(3.44)
Análogamente para la Corriente estacionaria pura, se tiene
I (z) = − j
2 + −αz
V e Senβz
Zo
(3.45)
51
3.3. Calculo de los parámetros secundarios
- Determinación de la constante de atenuación α y la constante de fase β .
Como se definió en 3.25
γ = ZY
⇒ γ = ( R + jωL)(G + jωC ) ,
(3.46)
Desarrollando la expresión anterior
γ = ( R + jωL )(G + jωC ) =
γ = jω LC
 R

 G

jωL
+ 1 jωC 
+ 1
 j ωL

 jωC

RG
R
C
+
+
+1
2
( jω ) LC jωL jωC
(3.47)
Pero, si se está operando en altas frecuencias,
ω 2 LC >> RG
(3.48)
Con lo cual
γ = jω LC
R
G
+
+1
jω L jω C
(3.49)
Desarrollando el término anterior en la serie binomial
2


 R
G 


+


G  1  jωL jωC 
 1  R

 −
γ = jω LC 1 + 
+
+ ......
2  jω L jω C  2
2!




(3.50)
52
Despreciando a partir del tercer término en la ecuación 3.50, y además por 3.48,
la expresión de la constante de propagación se transforma en

1 R
G 

+
2  jωL jωC 
γ = jω LC 1 + 

(3.51)
Una forma de encontrar los parámetros de α y β es a través de la ecuación
general de la constante de propagación dada en 3.28 en la cual
γ = α + jβ
Si se igualan la parte real e imaginaria de 3.51 y 3.48, se obtiene
1
L
C

α =  R
+G
2
L
C 
β = ω LC
[nep/m]
(3.52)
[rad/m]
(3.53)
- Determinación de la impedancia Característica Zo:
Cualquier impedancia Z(z) puede ser representada de acuerdo a la ley de Ohm
por
V + e −γz + V − e +γz
V ( z)
Z ( z) =
=
I ( z ) γ V + e − γz − V − e + γz
Z
(
)
(3.54)
La impedancia característica es un parámetro intrínseco de la línea y está
determinado bajo la condición especial en la cual la línea está terminada en una
impedancia de carga igual a la impedancia de la línea de transmisión,
encontrándose una impedancia de entrada en la línea llamada impedancia
característica Zo. Esta impedancia característica depende la sección transversal de
la línea, y está definida para secciones transversales uniformes de línea.
53
Si no existe onda reflejada V-e-γz=0, con lo cual
V + e − γz
Zo( z ) =
γ
Z
y como se acordó en 3.25, donde γ =
(V
+ − γz
e
)
=
Z
(3.55)
γ
ZY , así la impedancia característica queda
Zo( z ) =
Z
=
ZY
Z
Y
Zo( z ) =
( R + jωL)
(G + jωC )
[Ω]
(3.56)
Luego la expresión anterior puede variar de acuerdo al rango de la frecuencia de
operación del sistema de transmisión. Esta variación se puede dividir en tres zonas,
como se observa en la figura 3.4.
IMPEDANCIA (Ω)
REGION
DE BAJA
Zo(z) =
R
jωC
REGION DE
TRANSICION
Zo(z) =
(R + jωL)
(G + jωC)
REGION
DE ALTA
Zo ( z ) =
L
C
FRECUENCIA (Hz)
Figura 3.4. Variación de la impedancia característica de acuerdo a la frecuencia.
54
En la figura 3.4, se ilustra los valores que puede tomar Zo para cada rango de
frecuencia.
Debido a que se está operando en el rango de microondas (altas
frecuencias), Zo tiende a ser un valor constante que depende exclusivamente de los
parámetros primarios L y C, de la línea de transmisión.
Luego,
Zo =
L
C
[Ω]
(3.57)
Conocer el valor de Zo, puede indicar si el sistema presenta desacople (ZL≠ Zo) y
por lo tanto se forma una onda estacionaria que viaja a través de la línea y que en
algún momento puede causar pérdida de información, información errónea o daños
al equipo transmisor.
Otro parámetro que también es importante conocer en los sistemas de
transmisión, el coeficiente de reflexión ρ.
- Determinación del coeficiente de reflexión (ρ):
El coeficiente de reflexión está determinado por la relación que existe entre el
valor de la onda incidente y la onda reflejada en un punto particular a lo largo de la
línea de transmisión. Este valor puede estar determinado para la onda estacionaria
de voltaje, corriente o simplemente establecerlo para la potencia. Es decir
ρ=
V.P.I, reflejada en el punto de reflexión
V.P.I, incidente en el punto de reflexión
(3.58)
55
Debido a que el coeficiente de reflexión se puede calcular en cualquier punto a lo
largo de la línea, para su análisis se pueden presentar tres casos:
1. Coeficiente de reflexión en el extremo de la carga ρL.
2. Coeficiente de reflexión en cualquier punto e la línea ρd.
3. Coeficiente de reflexión en el extremo del generador ρg.
La figura 3.5 ilustra los puntos a lo largo de la línea donde se determina el
coeficiente de reflexión.
ρd
Vg
Zo
Zl
Z(z)
Ze(z)
L
ρg
z
ρL
d
Figura 3.5. Diferentes puntos donde puede tomarse el coeficiente de Reflexión ρ.
Se realizará el análisis para la onda estacionaria de voltaje, pues el
procedimiento es análogo para el resto de los casos.
1. Coeficiente de reflexión en la carga ρL
Como se puede observar en la figura 3.10, el voltaje en el extremo de la línea es
V ( L) = V + e −γL + V − e +γL
56
Luego de la definición del coeficiente de reflexión, se tiene:
ρ ( L) =
V − e + γL
(3.59)
V + e − γL
Si se llama ρ(L)=ρL, y se expresa como un número complejo:
ρ L = ρ L e jθL
θL: ángulo de fase del coeficiente de reflexión
(3.60)
|ρL|: magnitud del coeficiente de reflexión
Otra forma de expresar ρ, a veces muy conveniente, es en términos de la
impedancia característica Zo y la de carga Z(l).
V + e −γL + V − e + γL
V ( z)
Z ( L) =
=
1 + −γL
I ( z)
V e − V − e + γL
Zo
(
)
(3.61)
Tomando el término de voltaje de la onda incidente como factor común, se tiene:
Z ( L) = Zo
V + e − γL
1+
V − e + γL
V + e − γL
V + e −γL  V − e + γL 
1 −

 V + e −γL 


(3.62)
Luego, de acuerdo a la definición en 3.58, del coeficiente de reflexión en la
carga, 3.62 se expresa:
Z ( L) = Zo
1 + ρL
(1 − ρ L )
Si se llama Z(L)=ZL, y manipulando la ecuación anterior,
(3.63)
57
ρL =
Z L − ZO
Z L + ZO
(3.64)
De la ecuación 3.64, se puede deducir que:
a.- Sí ZL=Zo, entonces ρL=0, no hay reflexión.
b.- Sí ZL=0, entonces ρL=-1, hay máxima reflexión.
c.- Sí ZL=∞, entonces ρL=1, hay máxima reflexión.
De esta manera, se pueden establecer los límites del coeficiente de reflexión en
la carga;
− 1 ≤ ρL ≤ 1
0 ≤ ρL ≤ 1
2.
Coeficiente de reflexión en cualquier punto de la línea ρd
Para efectuar este análisis se supondrá que el punto de reflexión está ubicado a
una distancia d de la línea, como se indica en la figura 3.10. Luego, de la definición
del coeficiente de reflexión, se tiene que:
ρZ =
V −e+γ ( L − d )
+ −γ ( L − d )
(3.65)
V e
ρZ =
V − e +γL e −γd
+
V e
−γL γd
e
= ρ L e − 2 γd
(3.66)
Pero de 3.28 y 3.60, se obtiene:
ρ Z = ρ L e −2αd e j (θ
e −2αd :
L
− 2 βd )
(3.67)
es el factor de atenuación del coeficiente de reflexión en cualquier
punto de la línea
58
e j (θ L − 2 βd ) : es el factor de fase del coeficiente de reflexión en cualquier punto
de la línea
3. Coeficiente de reflexión en el extremo del generador ρg:
De la ecuación 3.67, se puede escribir una expresión del coeficiente de reflexión
en el extremo del generador, así;
ρ Z = ρ L e −2αL e j (θ
L
− 2 βL )
(3.68)
La expresión anterior, indica que a medida que el punto de referencia se aleja de
la carga, hacia el generador, la magnitud del coeficiente de reflexión sufre una
degradación a través del factor:
ρ g = ρ L e − 2αL
(3.69)
Resulta conveniente en algunos casos, obtener las expresiones de la Onda
Estacionara de Voltaje y Corriente, en términos del coeficiente de reflexión
Luego, las expresiones de voltaje mínimo y máximo, expresadas en las
ecuaciones 3.39 y 3.40, es en términos de coeficiente de reflexión, quedan de la
forma:
V ( z ) máx = V + e −αz (1 + ρ )
(3.70)
V ( z ) mín = V + e −αz (1 − ρ )
(3.71)
59
Análogamente para la Corriente estacionaria, se tiene:
I ( z ) máx =
1 + −αz
V e (1 − ρ )
Zo
(3.72)
I ( z ) mín =
1 + −αz
V e (1 + ρ )
Zo
(3.73)
- Determinación de la Relación de Onda Estacionaria (ROE):
La Razón de Onda Estacionaria está determinada por la relación que existe entre
el valor máximo y el valor mínimo de la onda estacionaria. Este valor también indica
una medida de desacople entre la línea y la carga o la línea y el generador, además
es más fácil la implementación de instrumentos de medición que operen bajo este
principio, que bajo la determinación del coeficiente de reflexión; pues en este ultimo
sería necesario descomponer la onda estacionaria en su porción incidente y
reflejada. Una expresión para el ROE, sería:
ROE
=
Valor Máximo de V.P.I, de la Onda Estacionaria
(3.74)
Valor Mínimo de V.P.I, de la Onda Estacionaria
Sustituyendo en 3.74, las ecuaciones 3.70 y 3.71, se puede obtener una
ecuación para ROE, de a siguiente manera
ROE =
V + e −αz (1 + ρ )
V + e −αz (1 − ρ )
Con lo cual:
ROE =
(1 + ρ )
(1 − ρ )
(3.75)
60
De la misma expresión se obtiene:
ρ =
ROE − 1
ROE + 1
(3.76)
Luego los límites de ROE se encuentran entre:
1 ≤ ROE < ∞
Un límite mínimo, tomado de la práctica corresponde a 1.2, lo cual resulta muy
útil a la hora de decidir ajustes en los sistemas de transmisión.
- Determinación de la Impedancia en cualquier punto de la línea (Zent)
En cualquier punto la impedancia de la línea, se expresa como:
Z ( z) =
V + e − γz + V − e + γz
V ( z)
= Zo + −γz
I ( z)
V e − V − e + γz
(
)
(3.78)
A veces resulta muy conveniente encontrar una expresión de impedancia en
términos de los valores ZO y ZL. De esta manera, se tiene que
V ( L)
ZL =
I ( L)
V ( L ) = V + e − γL + V − e + γL
I ( L) =
1
(V + e −γL − V − e + γL )
Zo
(3.79)
(3.80)
Luego, estableciendo un sistema de ecuaciones de 3.79 y 3.80, se tiene:
Z L I ( L) = V + e −γL + V − e +γL
Z O I ( L ) = V + e − γL − V − e + γL
Llamando I(L)=IL y resolviendo el sistema anterior, se encuentran los
coeficientes V+ y V-,
61
V + = ( Z L + Z O ) e γL
IL
2
V − = ( Z L − Z O ) e − γL
(3.81)
IL
2
(3.82)
Sustituyendo en la ecuación general de Z(z,) se obtiene
I L −γz
e + ( Z L − Z O ) e − γL
2
Z ( z ) = Zo
I

γL
− γz
− γL
 ( Z L + Z O )e L e − ( Z L − Z O )e
2

( Z L + Z O )eγL
I L + γz
e
2
I L + γz 
e 
2

(3.83)
De la figura 3.10, se observa que z=L-d, y simplificando la ecuación 3.83, se
tiene:
Z ( z ) = Zo
( Z L + Z O )eγd + ( Z L − Z O )e −γd
( Z L + Z O )eγd − ( Z L − Z O )e −γd
(3.84)
También resulta practico escribir la expresión anterior en términos de funciones
trigonométricas. Desarrollando la ecuación 3.84 Y agrupando términos, se obtiene
Z ( z ) = Zo
Z O (eγd − e −γd ) + Z L (eγd + e −γd )
Z L (eγd − e −γd ) + Z O (eγd + e −γd )
(3.85)
Recordando que:
Coshx =
e x + e− x
2
Senhx =
e x − e− x
2
La ecuación 3.85, se puede expresar como:
Z ( z ) = Zo
⇒
Z O Senh(γd ) + Z LCosh(γd )
Z L Senh(γd ) + Z OCosh(γd )
(3.86)
Z L + Z OTanh(γd )
Z O + Z LTanh(γd )
(3.87)
Z ( z ) = Zo
62
Si la línea no tiene pérdidas α=0, entonces:
Z ( z ) = Zo
Z L + Z OTanh( jβd )
Z O + Z LTanh( jβd )
(3.88)
Por propiedades de las funciones hiperbólicas
Tanh( jx) = jTanx
Z ( z ) = Zo
⇒
Z L + jZ OTan( βd )
Z O + jZ LTan( βd )
(3.89)
La expresión 3.89 corresponde a la impedancia de una línea de bajas pérdidas
en cualquier punto de la línea de transmisión, dependiendo exclusivamente de la
distancia en que se encuentre y de las impedancias de carga y característica.
EJEMPLO 3.1.
Se tiene un sistema de transmisión cuya impedancia característica
corresponde a 50Ω, y está terminado en una impedancia de carga igual a 100 + j75Ω.
Determine el coeficiente de reflexión, el ROE y la impedancia de entrada a una distancia de
10cm. El sistema opera a 800 MHz.
SOLUCION:
De la expresión 3.64, se puede obtener el coeficiente de reflexión, conocidas la impedancia
ZL y Zo.
ρL =
Z L − Z O 100 + j 75 − 50 50 + j 75
90.13∠56.30°
=
=
=
Z L + Z O 100 + j 75 + 50 150 + j 75 167.70∠26.56°
Espresado en forma fasorial:
ρ L = 0.537∠29.74°
63
Luego de acuerdo a la ecuación 3.75, se puede obtener a través de la magnitud de ρ, el
ROE.
ROE =
(1 + ρ )
(1 − ρ )
= 3.319
ROE = 3.319
Para determinar la impedancia de entrada, se puede emplear la expresión general de la
distribución de impedancias en cualquier punto de la línea dada en 3.89, expresando la
distancia dada en términos de la longitud de onda para reducir el análisis, luego
3 x108
= 0.375m
800 x106
λ=
vp
d
0 .1
= 0.266λ
0.375
λ
=
f
=
que es equivalente a 10 cm
Luego la impedancia a 0.266λ, será
 2π

100 + j 75 + j 50Tan
* 0.266λ 
Z L + jZ OTan( βd )
 λ

Z ( z ) = Zo
= 50
Z O + jZ LTan( βd )
 2π

50 + j (100 + j 75)Tan
* 0.266λ 
 λ

Con lo cual
Z (z ) = 50
⇒
432.40∠ − 76.62°
1269.83∠ − 51.32°
Z (z ) = 17.02∠ − 25.3°
Expresado en forma compleja
Z (z ) = 15.38 + 7.27j Ω
64
De la ecuación general de impedancias en cualquier punto de la línea, dada en
3.89, se pueden analizar algunos casos de acuerdo a la terminación de la línea.
1er Caso: Sí la línea termina en cortocircuito (ZL=0).
Zcc( z ) =
Zo
jZ OTan( βd )
Zo
Zcc( z ) = jZ OTan( βd )
(3.90)
Para analizar la distribución de la impedancia, se evalúa βd,
•
Sí βd=nπ, con n=0,1,2,....
d =n
•
λ
Zcc( z ) = 0
⇒
2
Sí βd=(2n+1) π/2, con n=0,1,2,....
d = (2n + 1)
λ
⇒
Zcc(z ) = ∞
4
Luego la distribución de impedancias corresponde a la curva de la Tanx, y se
muestra en la figura 3.6, con sus respectivos circuitos equivalentes.
Zcc(z)
L
L
L
L
λ
4
λ
C
2
L 3
λ
4
C
λ
z
C
C
Figura 3.6. Distribución de Impedancias para una línea terminada en cortocircuito.
65
Estos circuitos equivalentes corresponden a la impedancia de acuerdo a los
valores que la función Zcc(z), toma en los múltiplos de λ/4 y λ/2.
Una representación fasorial de la línea terminada en cortocircuito, se muestra en
la figura 3.7.
En la figura 3.7, 180° eléctricos corresponden media longitud de onda (λ/2).
180°
160°
90°
120°
30°
60°
0°
VT
VT
VT
VT
VT
+
V
VT
+
V
IT
+
I
+
I
V
V
-
V
-
+
V
-
V
V
-
VT
+
V
V
-
-
V
IT
-
+
-
V
+
V
+
I
+
I
-
I
IT
-
I
+
I
+
I
IT
-
I
+
I
IT
-
I
V
+
IT
-
I
I
-
I
Figura 3.7. Representación fasorial para una línea terminada en cortocircuito.
En esta figura (3.7), se puede observar que entre 0° y 90° la tensión total VT, está
adelantada a la corriente IT en 90°, como sucede en un capacitor, por lo que la
impedancia en este tramo es capacitiva. Para el tramo entre 90° y 180°, la tensión
está atrasada con respecto al voltaje 90°, como suc ede en un inductor, por lo que la
impedancia en este tramo es inductiva, como se mostró en la figura 3.6.
Otro parámetro que es importante estudiar para cada uno de los casos a
plantearse, corresponde a la distribución de voltaje y corriente estacionarios.
IT
66
De la ecuación general de voltaje estacionario 3.29, se puede obtener una
distribución de voltaje estacionario para una línea terminada en cortocircuito. Así
V ( z ) = V + e −γz + V − e +γz
Como z = L-d, y si se expresa la ecuación 3.29 en términos del coeficiente de
reflexión, resulta entonces:
V ( z ) = V + e −γL (eγd + ρ L e −γd )
(3.91)
Luego si ZL=0, entonces ρL= -1, con lo cual:
Vcc( z ) = V + e −γL (eγd − e −γd )
También se puede expresar como:
Vcc( z ) = 2V + e −γL Senh(γd )
(3.92)
Análogamente se encuentra una expresión de corriente estacionaria para una
línea terminada en cortocircuito, la cual se muestra a continuación
Icc( z ) = 2
V+
Zo
e −γLCosh(γd )
(3.93)
Esta distribución se puede ver en la figura 3.8.
V ( z)
I ( z)
Figura 3.8. Distribución del patrón de Voltaje y corriente estacionario para una línea
terminada en cortocircuito.
67
2do Caso: Sí la línea termina en circuito abierto (ZL=∞).
Zca( z ) =
Zo
jTan( βd )
Zca( z ) = − jZ OCot ( βd )
(3.94)
Para analizar la distribución de la impedancia, se evalúa βd,
•
Sí βd=nπ, con n=0,1,2,....
⇒
•
d =n
λ
2
⇒
Zca (z ) = ∞
⇒
Zca ( z ) = 0
Sí βd=(2n+1)π/2, con n=0,1,2,....
⇒
d = (2n + 1)
λ
4
Luego la distribución de impedancia corresponde a la curva de la Cotx, y se
muestra en la figura 3.9, con su respectivo circuito equivalente.
Zca(z)
L
L
L
λ
λ
4
L
2
C
3
λ
4
λ
z
C
C
C
Figura 3.9. Distribución de Impedancias para una línea terminada en circuito abierto.
68
Este circuito equivalente corresponde a la impedancia de acuerdo a los valores
que la función Zca(z), toma en los múltiplos de λ/4 y λ/2.
Una representación fasorial de la línea terminada en circuito abierto, se muestra
en la figura 3.15.
180°
160°
90°
120°
30°
60°
0°
IT
IT
IT
IT
IT
+
I
IT
+
+
-
I
I
+
-
I
I
-
+
I
-
I
I
I
I
+
VT
-
V
+
V
IT
+
I
-
I
VT
-
I
+
V
-
V
-
+
I
+
V
V
+
VT
V
VT
-
V
-
V
+
VT
-
V
V
+
V
VT
-
V
-
V
Figura 3.10. Representación fasorial para una línea terminada en circuito abierto.
Se puede realizar el mismo análisis hecho para la figura 3.9, y comprobar los
circuitos equivalentes en cada tramo, como se representa en la figura 3.11.
De la ecuación general de voltaje estacionario 3.29, se puede deducir cual es la
distribución del mismo para una línea terminada en cortocircuito. Esto es:
V ( z ) = V + e−γz + V − e + γz
VT
69
Una expresión de voltaje estacionario para una línea terminada en cortocircuito,
se obtiene a partir de la ecuación 3.29, y para ZL=∞, se tiene de 3.91 que ρL= 1, con
lo cual
Vca( z ) = V + e −γL (eγd + e −γd )
También se puede expresar en términos de funciones trigonométricas, de la
siguiente manera:
Vca( z ) = 2V + e −γLCosh(γd )
(3.95)
Para la corriente estacionaria en cortocircuito, se tiene
Ic( z ) = 2
V+
Zo
e −γL Senh(γd )
(3.96)
Esta distribución se puede ver en la figura 3.11.
V ( z)
I ( z)
Figura 3.11. Distribución del patrón de Voltaje y corriente Estacionario para una línea
terminada en circuito abierto.
70
PROBLEMAS PROPUESTOS
3.1.-
Se tiene una línea bifilar con dieléctrico aire, construida con dos cables
conductores de radio a=1.2 mm y separados una distancia D=2 cm. Encuentre la
impedancia característica, la constante de atenuación y de fase, para una frecuencia
de operación de 100 MHz.
3.2.- Las mediciones realizadas a un cable coaxial sin pérdidas de 0.6 m, a 100
KHz, indican una capacitancia de 54 pf cuando el cable está en circuito abierto y
una inductancia de 0.3 µH cuando está en cortocircuito.
Determine Zo y la
constante dieléctrica del aislante.
3.3.- Calcule la constante de atenuación a 1 MHz de una línea de transmisión
coaxial de cobre cuyo conductor interno tiene un radio de 0.6 mm y el externo de
3.91 mm. La constante dieléctrica del medio separador es 2.25.
3.4.- Una línea de transmisión tiene una impedancia característica de 52 Ω, y está
terminada en una impedancia de carga de 50 + j 150 Ω. Indicar:
a.- ¿A qué distancia de la carga está el primer máximo de tensión?
b.- ¿A qué distancia desde la carga está el primer mínimo de tensión?
3.5.-
Para una línea de transmisión de bajas pérdidas, cuya impedancia
característica corresponde a 377 Ω y terminada en una impedancia de carga igual
100Ω, determine la impedancia de entrada en los puntos: λ/2, 3/8λ, 5/8λ y λ.
3.6.- En un sistema de transmisión, la línea de alimentación a la antena tiene una
impedancia de 75 Ω, y se sabe a que a 50 cm de la antena existe un mínimo de
tensión. También se conoce que ROE es 3. De acuerdo a lo anterior, usted debe
determinar:
a.- La impedancia de carga.
b.- La impedancia de entrada a 30 cm de la carga.
71
3.7.- Demostrar que se pueden obtener expresiones de ROE en términos de la
impedancia característica e impedancias mínimas y máximas, como las siguientes:
ROE =
ZO
R mín
y
ROE =
R máx
ZO
3.8.- La impedancia en cortocircuito y circuito abierto medidas en los terminales de
entrada de una línea de transmisión sin pérdidas, de longitud 1.5m, son –j54.6 Ω y
103 Ω, respectivamente.
a.- Calcule Zo y γ de la línea.
b.-
Sin variar la frecuencia, calcule la impedancia de entrada de una línea en
cortocircuito que tenga dos veces la longitud especificada.
c.- ¿Qué longitud debe tener la línea en cortocircuito para que aparezca como un
circuito abierto en los terminales de entrada?
3.9.- Un generador de 100 MHz, con Vg=10∠0° V y una resistencia interna de 50
Ω, se conecta a una línea aérea sin pérdidas de 50 Ω de 3.6 m de longitud y que
termina en una carga de 25 + j25 Ω. Determine:
a.- V(z) a la distancia z del generador.
b.- Vi en los terminales de entrada y VL en la carga.
c.- La razón de onda estacionaria en la línea.
3.10.- Una línea sin pérdidas de 75 Ω, está terminada en una impedancia de carga
ZL=RL + jXL.
a.- ¿Cuál debe ser la relación entre RL y XL para que la razón de onda estacionaria
de la línea sea 3?
b.- Calcule XL si RL= 150 Ω.