Enunciado de problemas de Sistema Diédrico

Grupo de Ingeniería Gráfica
Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales
Universidad Politécnica de Madrid
Dibujo Industrial I Ejercicios 2001/2002
1. ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE SISTEMA DIÉDRICO
♦
♦ Indicaciones generales para todos los ejercicios
•
Cada problema se realizará en una lámina de tamaño A4 en posición vertical .
•
Línea de tierra centrada y origen de coordenadas en el centro de aquella (salvo indicación en contra).
•
Las explicaciones y construcciones auxiliares se realizarán en la misma lámina.
•
Se deberán incluir en la misma lámina, de forma clara y breve, las explicaciones gráficas y/o escritas
que se consideren oportunas.
PROBLEMA DIE 1.1.
Dados los puntos A(0,-90,-10) y B(0,40,60) hallar las trazas de la recta que definen dichos puntos asi como
las trazas con los bisectores. Determinar las partes vistas y ocultas y las zonas de cuadrantes. Hallar el
punto de la recta que tiene alejamiento positivo de 30.
PROBLEMA DIE 1.3.
Por el punto A(0,-60,20) pasa una recta paralela al segundo bisector cuyas proyecciones forman con la
línea de tierra un ángulo de 60° con el vértice a la derecha. Se pide: Representar dicha recta con partes
vistas y ocultas, así como zonas de cuadrantes. Representar las posibles rectas que perteneciendo al
primer bisector corten a la recta dada y sus proyecciones formen 45° con la línea de tierra.
PROBLEMA DIE 1.4.
Dada la recta R que contiene a A(0,21,30) y B(33,30,55) dibujar el plano P
que contiene a R y corta al primer bisector según una recta perpendicular a la línea de tierra.
PROBLEMA DIE 1.5.
Dada a la recta R que contiene a A(-15,0,0) y B(-43,22,-40) trazar el plano P que contiene a R y es
perpendicular al primer bisector.
PROBLEMA DIE 2.1.
Representar las trazas del plano (Q) definido por la recta que pasa por los puntos A(-40,-50,50) y B(40,50,50), y por el punto C(20,40,50).
PROBLEMA DIE 2.4.
Dada la recta R definida por A(-20,-20,-30) y B(30,-60,-20) y la recta S que
pasa por C(-20,30,20) y D(30,20,60), hallar el punto de intersección y las trazas del plano P que definen en
el caso de que se corten.
PROBLEMA DIE 3.1.
Dados los planos (P) definido por los puntos A(-30,0,0), B(0,-40,0),
C(0,0,40) y (Q) paralelo a la línea de tierra y que pasa por los puntos E(0,40,10) y F(0,10,40), representar la
recta intersección de ambos planos.
PROBLEMA DIE 3.3.
La recta R definida por los A(30,-40,20), B(50,-60,10) es de máxima
inclinación de un plano P. Hallar la intersección de dicho plano con la recta S ºC(0,30,20) , D(60,50,-20).
PROBLEMA DIE 4.3.
De un triángulo equilátero ABC, se conocen dos vértices
A(-30,25,20) y B(30,70,60) y se sabe que el vértice C tiene una altura o cota de 40 mm. Este vértice C esta
a la derecha de A.
Se pide representar el triángulo, diferenciando partes vistas y ocultas.
PROBLEMA DIE 4.4.
Hallar las proyecciones de un triángulo rectángulo ABC del que se conocen
las proyecciones de dos vértices A(10,40,30) y B(-30,20,10), que determinan un cateto. También se conoce
la proyección de otro cateto, AC, que pasa por a y corta a la línea de tierra a una distancia de +80.
Asimismo se conoce la magnitud de la hipotenusa que son 60mm. Además se sabe que la cota de C es
superior a la de A.
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PROBLEMA DIE 4.5.
La intersección de un plano P con el primer bisector es la recta R que pasa
por A(-55,0,z) y B(-20,y,25). La intersección del mismo plano P con el segundo bisector es la recta S que
para por A y por C(-35,-60,z). Determínese las trazas del plano P.
PROBLEMA DIE 4.6.
Determínense las proyecciones de un cuadrado, uno de cuyos lados, es el segmento A(15,20,0) y
B(60,0,45), sabiendo que la proyección horizontal del lado opuesto y paralelo al AB pasa por el punto
M(25,40,0). El cuadrado esta en el primer cuadrante.
PROBLEMA DIE 5.1.
Papel en posición apaisada.
Se da el plano P definido por los puntos A(0,0,0), B(-30,0,40) y C(-50,20,0). Se pide hallar un punto M sobre
la línea de tierra, que diste 40 mm del plano P.
PROBLEMA DIE 5.3.
Dado el plano P paralelo a la línea de tierra, cuya traza vertical tiene una
cota de 70 mm y cuya traza horizontal tiene un alejamiento de -48 mm, hallar un plano Q perpendicular a P
y que contenga a la línea de tierra.
PROBLEMA DIE 5.6.
(4-2-97)
De un rombo ABCD se conoce su diagonal AC, A(-20,40,70) y C(40,10,30), se sabe además que AB es
horizontal y BC frontal. Determinar las proyecciones del rombo, su lado y el ángulo del plano del rombo con
el plano horizontal.
PROBLEMA DIE 6.7
(22.6.99)
La recta R definida por los puntos A(-60, 40, 40) y B(0, 20, 0) coniene un lado de un triángulo equilátero de
60 mm de longitud. Representar las proyecciones del triángulo sabiendo que todo él se halla en el primer
cuadrante y en un plano perpendicular al segundo bisector y que uno de sus vértices está contenido en el
plano horizontal.
PROBLEMA DIE 6.8
(21.9.99)
Dibujar un cuadrado ABCD contenido en un plano P cuyo vértice es O(0, 0, 0), sabiendo además que:
El vértice A se encuentra sobre el plano horizontal de proyección.
La diagonal AC es una recta frontal.
Se conoce la diagonal abatida A0C0 sobre la parte anterior del plano horizontal de proyección, siendo las
coordenadas de estos vértices A0 (30, 40, 0) y C0 (-20, 94, 0).
PROBLEMA FIG-2.
El segmento de recta V(-60,14,11) O(0,50,82) es la altura de una pirámide regular de base cuadrada de
centro O, siendo V su vértice. Se sabe que el lado del cuadrado mide 50 y que una de sus diagonales es
una recta frontal. Se pide dibujar las proyecciones de la pirámide con partes vistas y ocultas.
PROBLEMA FIG-3. Los puntos A(0,10,20), B(10,30,10) y C(30,10,40) son los vértices de la base de una
pirámide triangular recta cuya altura mide 100 mm. Hallar la intersección con una recta que pasa por los
puntos D(0,20,30) y E(30,30,20).
PROBLEMA FIG-5. Dada la pirámide oblicua pentagonal irregular, cuya base está definida por los
puntos A(20,37,0), B(33,23,0), C(70,39,0), D(63,57,0) y E(40,61,0), y de vértice V(-38,55,70), determinar la
sección producida por el plano P que pasa por O(-17,0,0), M(35,84,0) y N(35,0,85), y obtener su verdadera
magnitud.
PROBLEMA FIG-6. Los puntos A(0,20,0), B(15,65,0), C(45,50,0) y D(60,20,0) definen la base de una
pirámide. Las aristas que pasan por A, B y D tienen una longitud de 60 mm. Dibujar dicha pirámide.
¿Cuántas soluciones tiene el problema?.
PROBLEMA FIG-7. Se dan dos planos paralelos cuyas trazas verticales forman 30° con LT y las
horizontales 60° con LT, siendo su separación de 60 mm. Dibujar un prisma recto de base triangular regular
con sus bases situadas en dichos planos, sabiendo que uno de los vértices de la base inferior tiene cota 10,
y sus otros dos vértices están situados uno en el plano vertical y otro en el horizontal, y equidistan de la
intersección del plano de la base con LT.
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PROBLEMA CAM-1.
Dados los puntos A(55,15,30), B((90,20,50) y C(40,0,75), determinar la
verdadera magnitud del triángulo ABC mediante cambios de plano.
PROBLEMA CAM-2.
Dada una pirámide recta regular con la base definida por los vértices
(-25,25,20), (25,25,20) y (0,68,20) y altura 60 mm, hallar la verdadera magnitud mediante cambios de plano
de la intersecci6n de la pirámide con el plano definido por (49,0,0), (0,58,0) y (0,0,53).
PROBLEMA CAM-5.
El punto O(0,20,0) es el centro de un triángulo equilátero situado en el plano
horizontal con 60mm de lado y un lado frontal. Este triángulo es la base de una pirámide recta regular de
80mm de altura. Dado el plano P que pasa por los puntos (-80,0,0), (0,0,32) y (-30,70,20) y que corta a la
pirámide eliminando la parte correspondiente al vértice de la misma. Hállese mediante cambios de plano la
proyecci6n de la pirámide en la cual la secci6n que produce el plano P se ve en verdadera magnitud y
corresponde a la parte vista (no a la oculta).
PROBLEMA POL-1
Se da un plano P proyectante horizontal que pasa por los puntos (0,0,0) y (-40,40,0). En este plano existe
un triángulo equilátero cuyo centro es el punto (X,30,50), teniendo el lado superior horizontal y cuya
magnitud es de 50 mm. Este triángulo es la intersección de un cubo con el plano P, sabiéndose que dicho
plano pasa por los tres vértices opuestos de tres aristas concurrentes en un vértice y la mayor parte del
cubo esta situado delante del plano P. Se pide dibujar las proyecciones del cubo con partes vistas y ocultas
suponiendo que el plano P es transparente.
PROBLEMA POL-2
Un plano P pasa por los tres puntos siguientes: (-80,0,0), (0,93,0) y (0,0,54). Por el punto A(32,22,10)
trácese un plano Q paralelo al P. Existe un cubo de las siguientes características:
♦ Tiene una cara en P y otra en Q.
♦ El punto A es uno de los vértices.
♦ Una arista es horizontal.
♦ Todo el cubo está contenido en el primer cuadrante.
Se pide dibujar el cubo diferenciando partes vistas y partes ocultas.
PROBLEMA POL-3
Origen a 50 mm del borde izquierdo del papel.
De un tetraedro regular se conocen dos de sus vértices A(40,10,0) y B(40,80,0). De los otros dos vértices C
y D solo se conocen sus proyecciones horizontales C(5,45,Z) y D(75,45,Z).
Se pide:
Representar el tetraedro, con partes vista y ocultas, sabiendo que está situado en el primer cuadrante.
Hallar la intersección de dicho tetraedro con un plano P cuya traza horizontal coincide con bd (proyección
horizontal de BD) y cuya traza vertical pasa por d'(proyección vertical de D).
PROBLEMA POL-4
Se dan los puntos O(-30,0,0), C(45,70,18) y D(35,30,35), que determinan un plano P. El segmento CD es el
lado de un cuadrado ABCD contenido en el plano P, dentro del primer cuadrante. El cuadrado ABCD es la
sección de un tetraedro regular por el plano P, sabiéndose que la arista inferior del tetraedro, que esta por
debajo de P, es paralela al segmento CD. Se pide dibujar el tetraedro así determinado con partes vista y
ocultas (como si no existiera el plano P).
PROBLEMA POL-5
Los puntos A(-23,36,40) y B(5,23,64) son los dos vértices contiguos de un cubo regular. El plano P que
conteniendo a A y B es paralelo a la línea de tierra, contiene también a la sección principal de cubo, situado
todo él en el primer cuadrante. (La sección principal del cubo el la rectangular producida por un plano que
contiene a dos aristas opuesta paralelas). Se pide representar el cubo por sus dos proyecciones,
diferenciado partes vistas de partes ocultas.
PROBLEMA POL-6
Los puntos A(-5,31,20), G(60,65,50) son los vértices extremos de una diagonal principal de un cubo, una de
cuya aristas, la GC, es frontal, sabiéndose que el punto C está a la izquierda de G y tiene la mayor cota
posible. Se pide representar el cubo por sus dos proyecciones, diferenciado partes vistas de partes ocultas.
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PROBLEMA POL-7
Los puntos A(-40,55,28) y B(0,78,50) son dos vértices contiguos de un octaedro regular. Otro vértice C,
contiguo de A y B (formado una cara del octaedro), está situado en un plano P paralelo al primer bisector
cuya traza horizontal (vista) dista 37 mm de la línea de tierra. Se sabe que tanto el vértice C como el centro
del octaedro tienen menos alejamiento que el vértice A. Se pide la representación del octaedro
diferenciando partes vistas y partes ocultas.
PROBLEMA POL-11
Se quiere representar un octaedro regular cuya arista mide 100 mm. Se sabe que uno de los vértices es el
punto A(-54,40,0) y que el vértice B, opuesto al A tiene su proyección horizontal en b(40,0,0). Se sabe
también que otro de los vértices tiene una cota o altura de 88 mm y que está lo más a la izquierda posible.
Represéntese el octaedro diferenciando partes vistas y ocultas.
PROBLEMA POL-13
Un plano P que pasa por el vértice A(-64,16,6) de un tetraedro regular ABCD corta a la arista BC en el punto
E(-16,57,10) y a la arista BD en el punto F(-6,17,40). Se sabe que este plano P contiene a la altura del
tetraedro correspondiente al vértice A. Se pide representar el tetraedro, con partes vistas y ocultas,
sabiéndose además que el vértice B tiene mayor alejamiento que el punto E.
PROBLEMA POL-16
Se define el plano P por los puntos L(-21,0,0), M(0,87,0) y N(0,0,-28) que contiene a un triángulo equilátero
ABC, que es una de la caras de un tetraedro regular . El centro de gravedad del tetraedro es el punto G(20,50,36). Se sabe que una de las aristas del triángulo ABC (la más alejada de su traza horizontal es una
recta de perfil.
Representar por sus proyecciones el tetraedro, diferenciando partes vistas y ocultas.
PROBLEMA POL-22
Los puntos A(0,10,20) y B(80,60,40) son dos vértices opuestos de un octaedro. Representar dicho octaedro
sabiendo que otro de sus vértices está en el plano horizontal.
PROBLEMA POL-23
El punto A(-40,20,40) es el vértice de un cubo de arista 50 mm. La diagonal principal que pasa por A es una
recta de perfil. Dibujar las proyecciones del cubo sabiendo que la arista AB es perpendicular al primer
bisector, y que todo él está en el primer cuadrante.
PROBLEMA POL-25
Dados los puntos M(-30,40,30) y N(0,0,30) que son los puntos medios de dos aristas opuestas de un
tetraedro regular ABCD, y sabiendo que la arista que pasa por N es vertical, hallar las proyecciones del
tetraedro, y obtener la sección que produce en él el plano definido por los puntos E(-90,0,0), F(-60,0,30) y
por el centro de gravedad G del tetraedro.
PROBLEMA POL-26
Los puntos A(-60,70,10) y B(0,40,90) son los vértices opuestos de un octaedro regular del primer cuadrante.
Un vértice C se encuentra en el plano Q definido por los puntos (-83,0,0), (0,50,0) y (17,0,100). El punto C
se encuentra cerca del plano vertical. Determínense las proyecciones del octaedro.
PROBLEMA POL-28
(4-2-97)
Los puntos A(-60,20,40) y B(0,60,20) son dos vértices de un tetraedro regular. El vértice C está situado en el
plano vertical y tiene cota positiva. El vértice D está por encima de C. Representar el tetraedro con partes
vistas y ocultas.
PROBLEMA POL-30
(24.6.97)
El segmento AG, A(-50,30,50) G(40,70,50), es la diagonal principal de un cubo. El vértice B contiguo al A se
encuentra en el primer bisector y tiene mayor cota que A. Se pide dibujar las proyecciones del cubo
diferenciando partes vistas y ocultas.
PROBLEMA POL-31
La recta R perpendicular al primer bisector pasa por A(0,20,40). Esta recta es L.M.I. de un plano P, y es
diagonal de una sección cuadrada de un octaedro contenida en P, uno de cuyos vértices es A y el opuesto
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está en el plano horizontal. Dibujar las proyecciones del octaedro y la sección producida por el plano
horizontal.
PROBLEMA POL-32
Origen a 60 mm del borde izquierdo del papel. Una recta R pertenece al plano P definido por L(0,0,0),
M(100,0,70) y N(80,30,0) y forma ángulos iguales con las trazas P y P'. El segmento entre trazas mide 60
mm, y es diagonal de la cara de un cubo, contenida en P. Dibujar las proyecciones del cubo.
PROBLEMA POL-33
(5 6.98)
Se define un plano P mediante los puntos L(40,0,0), M(110,0,70) y N(160,50,0). El punto O(130,20,z) es el
centro de un octaedro, y P es un plano diagonal del octaedro, por lo que contiene a una sección cuadrada.
Uno de los vértices de esa sección es el punto B del que se sabe que tiene la misma cota que O y un
alejamiento de 5 mm. Dibujar las proyecciones del octaedro, diferenciando partes vistas y ocultas.
Dibujar las proyecciones de un tetraedro regular del que se conoce lo siguiente:
1º Un vértice es el punto A(-23, 32, 80).
2º La cara opuesta (BCD) está en el plano P definido por los puntos L(15, 0, 0), M(-15, 77, 0) y N(79, 0, 70).
3º El lado de mayor cota de la cara BCD es horizontal.
PROBLEMA POL-36
(22.6.99)
Dibujar las proyecciones de un octaedro regular del que se conoce lo siguiente:
Uno de los vértices es A(XA, -11, 15).
El vértice C(-85, YC, 40) es el situado más a la izquierda de todo el poliedro.
La diagonal AB es perpendicular al segundo bisector, teniendo B mayor cota que A.
La diagonal mide 100 mm.
PROBLEMA POL-37
(21.9.99)
Representar el cubo del que se conoce lo siguiente:
- En e segmento JK que une los centros de dos caras opuestas, K está a la izquierda de J.
- El segmento JK mide 45 mm y es horizontal.
- Las coordenadas de J son (56, 69, 57).
Se conoce además un punto I(85, 47, 35) que pertenece a la recta que pasando por J contiene a la diagonal
AC de la cara ABCD.
PROBLEMA INT-1
Se da el punto O1(10,50,0) que es el centro de una circunferencia situada en el plano horizontal de
proyección de 40mm de radio. Esta circunferencia es la base de un cono de revolución de 80mm de altura.
Existe otro cono exactamente igual al anterior pero con su base circular contenida en el plano vertical de
proyección siendo el centro de esta circunferencia el punto O2(-15,0,50). Ambos conos tienen su vértice en
el primer cuadrante. Se pide hallar la intersección de dichos conos, diferenciando partes vistas de partes
ocultas e indicando el tipo de intersección.
PROBLEMA INT-4
Se consideran dos conos de revolución que se suponen de superficies laterales ilimitadas que tienen ambas
directrices en un mismo plano horizontal de 50mm de cota. La primera superficie cónica viene definida por el
centro de su directriz de O1(-10,60,50) y radio 50mm y el vértice que tiene una cota de 100mm.
Análogamente la segunda superficie viene definida por su directriz con centro en O2(10,80,50) y su vértice
en el plano horizontal.
Se pide hallar la intersección de ambas superficies ilimitadas con partes vistas y ocultas e indicando el tipo
de intersección.
PROBLEMA INT-8
Una superficie tórica tiene el eje de punta en relación con el plano horizontal, centro de la circunferencia
directriz en O(45,60,40), diámetro de las circunferencias directriz y generatriz 50mm. Una superficie
cilíndrica de revolución tiene una sección recta de 50mm de diámetro, el eje es paralelo a la línea de tierra y
tiene un alejamiento de 60mm y una cota de 40mm.
Se pide hallar la intersección de las superficies de ambos cuerpos, diferenciando partes vistas de partes
ocultas e indicando el tipo de intersección. Determinar especialmente los puntos singulares.
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PROBLEMA INT-11
LT a 30 mm por encima de la línea media del papel. Origen en el punto medio.
Determinar la intersección de las dos superficies que se definen a continuación:
♦ Cono recto apoyado en el plano horizontal, centro de la base O(0,47,0), diámetro 72, altura 72.
♦ Superficie cilíndrica recta de revolución, diámetro 36, eje horizontal, a cota 22, que forma 45° con el
sentido positivo de la LT, cuya distancia al eje del cono es de 5, y está por delante de éste.
PROBLEMA INT-12
Determinar la intersección de las dos superficies que se definen a continuación:
Cono recto apoyado en un plano horizontal, centro de la base O(31,70,20), diámetro 72, altura 72.
Prisma recto de sección recta triangular, cuyas aristas laterales son horizontales que pasan por A(73,83,35),
B(-19,75,48) y C(85,63,75), y forman 24° con el sentido positivo de la LT. La superficie prismática se
considera indefinida.
PROBLEMA INT-13
(4-2-97)
Dados los siguientes cuerpos:
♦ Tronco de cono recto con base inferior paralela al plano horizontal cuyo centro es el punto (0,79,7) y
diámetro 70 mm. Altura del tronco de cono 79 mm y diámetro de la base superior 38 mm.
♦ Un prisma recto regular de base triangular de lado 52 mm. Las bases se encuentran en planos
proyectantes horizontales. Dos de los vértices de una de las bases son los puntos (-9,34,26) y (55,59,26). El tercer vértice tiene mayor cota que ambos. La longitud del prisma es de 90 mm.
Se pide dibujar las proyecciones del tronco de cono una vez restado el prisma, diferenciando partes vistas y
ocultas.
PROBLEMA INT-15
(3.9.97)
Determinar la intersección de las siguientes superficies diferenciando partes vistas y ocultas:
Prisma oblicuo triangular frontal, de base definida por los puntos (24,51,0), (0,107,0), (39,88,0), cuyas
aristas forman 48º con el plano horizontal, y están dirigidas hacia abajo y a la derecha. La altura del prisma
es de 105.
Pirámide triangular definida por la base (-39,21,0), (-56,83,0), (4,86,0) y el vértice (-24,66,97).
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PROBLEMA INT-16
(5.6.98)
Determinar las proyecciones de la intersección de la superficie cuyas proyecciones se indican, con un plano
P que pasa por el punto A, forma 45º con cada uno de los planos de proyección, su traza vertical tiene cota
positiva y la horizontal alejamiento positivo. Diferenciar partes vistas y ocultas suponiendo que se elimina la
parte superior de la pieza.
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PROBLEMA INT-17
(21.9.99)
Determinar las proyecciones de la intersección de los dos conos cuyas proyecciones se indican, Diferenciar
partes vistas y ocultas.
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PROBLEMA INT-19
(10.2.99)
Dadas las siguientes superficies, hallar la intersección diferenciando partes vistas y ocultas e indicar el tipo
de intersección:
1º Pirámide recta regular de base triangular ABC situada en el plano horizontal. Un vértice de la base es el
punto A(-21, 25, 0). La arista AB es perpendicular al plano vertical. B tiene mayor alejamiento que A. El lado
de la base mide 78 mm. El vértice C está a la izquierda de AB. La altura de la pirámide es 91 mm.
2º Cilindro recto de revolución indefinido. El eje es paralelo a la línea de tierra y en proyección horizontal
pasa por la proyección horizontal del vértice V de la pirámide. El cilindro está apoyado sobre el plano
horizontal y su diámetro mide 52 mm.
PROBLEMA INT-20
(22.6.99)
Hallar la intersección de las siguientes superficies:
Prisma frontal con base definida por los puntos (8, 47, 0) (49, 83, 0) y (35, 107, 0) cuyas aristas forman 51°
con el plano horizontal, dirigidas hacia arriba y a la izquierda.
Cono recto de revolución con vértice V(-10, 76, 105) y base de radio 42 mm apoyada en el plano horizontal.
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