UNIVERSIDAD VERACRUZANA
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
Tres etapas de la demostración
en la
Historia de las Matemáticas
TESIS
que para aprobar la Experiencia Educativa
Experiencia Recepcional
Correspondiente al Plan de Estudios de la
Licenciatura en Matemáticas
P R E S E N T A:
Miguel Ángel Mora Luna
DIRECTORES DE TESIS:
Porfirio Toledo Hernández
Francisco Sergio Salem Silva
Abril del año 2014
Xalapa, Ver. México
Dedicado a mi familia
Índice general
INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Primeros intentos de una demostración matemática en la antigüedad.
1.1. Babilonios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Ternas pitagóricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Egipcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. El volumen de una pirámide truncada . . . . . . . . . . . .
2. PRIMERA ETAPA: El establecimiento formal del concepto de
temáticas.
2.1. Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Euclides y la Geometrı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Demostración geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. Definiciones y resultados previos . . . . . . . . . . .
2.3.2. Puntos de Miquel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1
2
3
4
Demostración en Ma.
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21
3. SEGUNDA ETAPA: El siglo XX: Las nuevas herramientas utilizadas en la demostración.
3.1. Hilbert y el siglo XX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. GD Birkhoff y el desarrollo de las matemáticas americanas . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. L. E. J. Brouwer y demostración por contradicción . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. El axioma de elección y el Teorema de la Categorı́a de Baire . . . . . . . . . . . . . .
27
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28
28
30
4. TERCERA ETAPA: La Demostración apoyada por computadora.
4.1. Antecedentes del Teorema de los 4 Colores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Los orı́genes de la conjetura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. La llegada de la solución un siglo después mediante el apoyo de una computadora
CONCLUSIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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38
43
A. Métodos de Demostración en Matemáticas
A.1. Método de Demostración Directa . . . . . . . . . . . . . .
A.2. Métodos de Demostración Indirectos . . . . . . . . . . . .
A.2.1. Método de demostración por contrapositiva . . . .
A.2.2. Método de demostración por reducción al absurdo
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iii
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A.3. Método de Demostración por el principio de Inducción Matemática
A.3.1. Primer principio de inducción matemática . . . . . . . . . .
A.3.2. Segundo principio de inducción matemática . . . . . . . . .
A.4. Método por Contraejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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INTRODUCCIÓN
A través de la historia, el ser humano ha tratado de verificar si ciertos resultados matemáticos obtenidos en base a la observación y la práctica, son verdaderos. Esto lo ha llevado a fundamentar
dicha verificación mediante una serie de pasos lógicos, a la cual hoy en dı́a le llamamos demostración.
Una demostración matemática es una serie de pasos que se realiza con una lógica válida
que se construye a partir de ideas que se dan por ciertas, las cuales se llaman hipótesis, concluyendo
ası́ la tesis; obteniendo la veracidad de la afirmación planteada.
El concepto de demostración matemática ha sufrido a través del tiempo una serie de transformaciones hechas por un gran número de matemáticos de diversas culturas y épocas. En este trabajo
seleccionamos 3 etapas en la historia de las matemáticas que consideramos fundamentales en el desarrollo del concepto de demostración. En cada una de ellas enunciaremos un teorema y haremos su
demostración con las herramientas disponibles en el periodo estudiado. Esto se hace con el objetivo
de mostrar que los métodos y herramientas usados para hacer una demostración han evolucionado a
través de la historia. Además anexamos un apéndice de algunos métodos para hacer demostraciones
cuya finalidad es tener un número mayor de lectores de este trabajo.
En el capı́tulo 1 daremos algunos antecedentes de cómo algunas culturas antiguas como la
babilónica y egipcia obtenı́an sus conocimientos matemáticos. Estas culturas no utilizaban argumentos
rigurosos para determinar la validez de estos conocimientos, sino que los comprobaban mediante la
práctica. Aunque hacı́an cálculos muy sofisticados, sus procedimientos sólo eran una serie de instrucciones para resolver problemas, desconocemos si habı́a intentos de justificar dichos procedimientos.
En el capı́tulo 2 abarcaremos la primera etapa, en la cual se establece el concepto de
demostración tal y como lo conocemos hoy en dı́a. En esta hablaremos de algunos de los matemáticos
de la Antigua Grecia (600 a.C.-300 d.C.) que establecieron la necesidad e importancia de hacer una
demostración en matemáticas, entre ellos se encuentra Euclides, quien fue el primero en establecer el
método axiomático-deductivo que utiliza en su obra maestra Los Elementos, en donde recopiló gran
parte de los resultados geométricos conocidos, utilizando como punto de partida 5 axiomas. Además
daremos un ejemplo de una demostración caracterı́stica de esta etapa.
En el capı́tulo 3 abarcaremos la segunda etapa que corresponde al siglo XX. Esté siglo
se considera fundamental ya que la invención de nuevas teorı́as matemáticas, como el cálculo y la
topologı́a, exigió la creación de herramientas más sofisticadas para hacer demostraciones, un ejemplo
de ello es el axioma de elección. En este capı́tulo haremos mención de algunos de los matemáticos
que contribuyeron a la creación de estas herramientas. Para finalizar el capı́tulo daremos un ejemplo
de una demostración caracterı́stica del siglo XX, la cual a diferencia de la demostración del capı́tulo
anterior, utiliza herramientas más complejas como el axioma de elección.
v
En el capı́tulo 4 hablaremos de la tercera etapa, en la cual describiremos cronológicamente
algunos intentos de una de las demostraciones más controversiales en matemáticas, la del Teorema
de los 4 Colores. La importancia de este teorema es que para su demostración no fueron suficientes
las herramientas sofisticadas ya existentes, sino que requirió el apoyo de una computadora para su
demostración. Este último problema pone a pensar a muchos matemáticos acerca de un posible cambio
en la manera de hacer demostraciones que tenemos desde la época de Euclides. Lo cual nos hace
pensar que en un futuro cercano se pueda ver a la computadora como una herramienta útil para hacer
demostraciones.
Capı́tulo 1
Primeros intentos de una demostración
matemática en la antigüedad.
El primer conocimiento que se tiene, del uso de las matemáticas en la humanidad, proviene de los egipcios y babilonios. Ambas civilizaciones desarrollaron matemáticas, las cuales eran
similares en alcance, pero diferentes en detalles. Sus conocimientos numéricos y geométricos fueron
muy importantes para civilizaciones posteriores.
La palabra “demostración” no era de relevancia en los tiempos de estas dos grandes civilizaciones, si querı́an verificar un resultado lo único que hacı́an era comprobarlo mediante la práctica.
A continuación hablaremos de los aportes matemáticos que hicieron los babilonios y egipcios.
1.1.
Babilonios
El término babilonio se refiere a toda una serie de pueblos que ocuparon, simultáneamente
o de manera sucesiva, la región comprendida entre los rı́os Éufrates, Tigris y sus alrededores, región
conocida como Mesopotamia.
La civilización babilónica tiene sus raı́ces alrededor del año 4000 a.C. con los sumerios en
Mesopotamia. De lo poco que se sabe de sus matemáticas es que construyeron casas y templos que
decoraron con cerámica artı́stica y mosaicos con formas geométricas.
Los documentos matemáticos que se conservan de los babilonios son tablillas de arcilla
blanda en donde se imprimı́a el texto con una cuña (escritura cuneiforme) y después se cocı́an en
hornos para endurecerlas. Estos documentos han sido menos maltratados por el paso del tiempo que
los papiros egipcios, por lo que tenemos una mayor información de las matemáticas mesopotámicas
que de las egipcias. A continuación mostraremos el contenido de una de las más importantes tablillas
que muestra lo avanzado de las matemáticas en la época babilónica. El siguiente ejemplo de ternas
pitagóricas fue extraı́do de [1].
1
CAPÍTULO 1
1.1.1.
2
Ternas pitagóricas.
Los babilonios al parecer tenı́an conocimiento del Teorema de Pitágoras antes del mismo
Pitágoras. Lo anterior lo muestra una tabla encontrada con ternas pitagóricas, la cual ha sido llamada
Plimpton 322.
Esta tablilla cuenta con 4 columnas (que enumeraremos de C1 a C4) por 15 filas. Muchos
de los números se han perdido, pero se han recuperado mediante algunas operaciones. Otros, estaban
calculados erróneamente, ası́ que se ha puesto el valor correcto.
Su transcripción a números decimales es la siguiente:
Consideremos la sexta lı́nea, el primer número representa el cuadrado de la secante del
ángulo correspondiente con ocho cifras sexagesimales, lo que corresponde a catorce decimales en
nuestra notación. Todos ellos correctos.
Tenemos también que 481 es el valor de la hipotenusa de un triángulo rectángulo y 319
uno de los catetos. El otro cateto, mediante el teorema de Pitágoras valdrı́a 360, el cual hemos incluido
CAPÍTULO 1
3
en la quinta columna de la tabla. Si hacemos el cociente entre la hipotenusa y este último cateto
481
da
= 1, 33611111, y su cuadrado vale 1,785192901, el cual coincide exactamente con el valor
360
escrito en la tablilla hasta el noveno decimal. Es sorprendente la exactitud de todos estos cálculos y
nos muestra lo avanzado de las matemáticas en la época babilónica.
Los constructores de la tabla Plimpton 322 debieron comenzar por dos números p, q, para
hallar la terna pitagórica p2 −q2 , 2pq, p2 +q2 . Limitándose a valores de p menores que 60 y a triángulos
rectángulos en los que p2 − q2 = b < c = 2pq, los babilonios descubrieron que existı́an 38 pares posibles de p y q que satisfacen las condiciones, con lo que construyeron las 38 ternas correspondientes.
En la tablilla Plimpton 322 aparecen las 15 primeras, ordenadas con los valores correspondientes a los
ángulos desde 45◦ hasta 31◦ . Se cree que las restantes deben estar en otra u otras tablillas que no se
han descubierto aún.
Los egipcios al igual que los babilonios, hicieron grandes aportaciones a las matemáticas
como las que enunciaremos a continuación.
1.2.
Egipcios
Hacia el año 4000 a.C. nació una gran civilización a orillas del rı́o Nilo: la egipcia. Las
matemáticas que desarrollaron fueron utilizadas para resolver problemas prácticos, como el cálculo de
áreas, la medición del tiempo y la realización del comercio.
La cantidad de información matemática que podemos obtener de las tumbas, los templos y
calendarios es muy limitada, ya que se encuentran muy deterioradas y la información que tendrı́amos
serı́a incompleta. Pero disponemos de otras fuentes de información como los papiros egipcios. Por
ejemplo el papiro de Rhind cuenta con 87 problemas con sus soluciones, la mayorı́a de estos problemas
prácticos tratan acerca de la división equitativa de panes entre un cierto número de hombres o la
determinación de la cantidad de grano necesario para la fabricación de cerveza.
Los problemas del papiro de Rhind comienzan por lo general con una suma de fracciones
unitarias y buscan otras fracciones unitarias que se sumen para obtener el valor de 1. Esto era bastante
peculiar, pues debido a los métodos con que operaban sólo utilizaban este tipo de fracciones, es decir,
4 6 7
1 1 1 1
siempre utilizaban fracciones del tipo , , o , pero no del tipo , o , con excepción de las
2 3 5 34
5 8 45
2 3
fracciones y . Por tanto, todas las fracciones con numerador distinto de uno se reducı́an a sumas
3 4
de fracciones unitarias, cuyo numerador era la unidad. El siguiente ejemplo de fracciones unitarias fue
extraı́do de [1].
2 1
Ejemplo 1.1. El problema 22 del papiro de Rhind pide encontrar una fracción para completar +
3 30
tal que sumándolos se obtenga 1. Lo primero que hacemos es seleccionar un número conveniente N y
1
1
fracciones unitarias , ..., que satisfagan la ecuación
n1
nk
!
2
1
1
1
+
+
+···+
N = N.
3 30 n1
nk
CAPÍTULO 1
4
De esto se tenemos que la suma expandida es igual a 1. Tomamos por conveniencia a N como 30, ya
que es un común múltiplo de los denominadores dados, tenemos que:
!
20
1
+
30 = 20 + 1 = 21 = 30 − 9.
30 30
Pero
!
1
1
+
30 = 6 + 3 = 9.
5 10
Sumamos las dos ecuaciones se obtenemos
!
20
1
1
1
+
+ +
30 = 30.
30 30 5 10
Y ası́ obtenemos el resultado deseado
1
1
1
2
+
+ +
= 1.
3 30 5 10
Muchos consideran que la geometrı́a nació en Egipto, en donde las inundaciones anuales del Nilo exigı́an que se cobrara un impuesto por el tamaño de la propiedad de tierra. De hecho,
“geometrı́a” está compuesto de dos palabras griegas que significan “tierra” y “medida”, esto parece
indicar que la geometrı́a surgió de la necesidad de la agrimensura, rama de la topografı́a destinada a la
delimitación de superficies, la medición de áreas y la rectificación de lı́mites.
1.2.1.
El volumen de una pirámide truncada
El papiro de Moscú es uno de los más importantes documentos matemáticos del Antiguo
Egipto, mide 5 metros de longitud y tan sólo 8 cm de anchura y consta de 25 problemas, aunque
algunos se encuentran demasiado dañados para poder ser interpretados. De los 25 problemas, existe 1
que destaca sobre el resto, el problema 14 relativo al cálculo del volumen de una pirámide truncada.
En este problema se pide calcular el área de una figura, que parece ser un trapecio isósceles, pero
realmente se refiere a un tronco de pirámide cuadrangular. Alrededor de la figura pueden verse los
signos que definen las dimensiones. En la parte superior aparece un 2, en la inferior un 4 y dentro de
la figura un 56 y un 6. Donde 6 es la altura, 2 y 4 son las bases superior e inferior y el volumen es 56.
CAPÍTULO 1
5
Curiosamente no se escribe la fórmula para calcular el volumen, pero se calcula el volumen exacto. Si
empleamos una notación moderna, la fórmula es la siguiente: V = ( h3 )(a2 + ab + b2 ), siendo h la altura
y a y b las aristas horizontales.
(a2 + ab + b2 )h
Es evidente que los egipcios conocı́an la fórmula V =
, que representa el
3
volumen de un tronco de pirámide de base cuadrada. No se sabe con certeza como fueron capaces de
deducir esta fórmula.
En general se ha aceptado que los egipcios sabı́an de un método para obtener el volumen
de una pirámide de base cuadrada y que probablemente era el correcto, el problema 14 es una fuerte evidencia de que los egipcios conocı́an esta fórmula o alguna equivalente, pero no ha sido fácil
establecer cómo llegar a esta fórmula.
Podrı́a haber sido una operación fácil el construir una pirámide hueca a partir de una caja
rectangular hueca de la misma base y altura, para determinar que la pirámide tenı́a una capacidad de
exactamente un tercio de la caja, con sólo llenarla de arena o agua.
Los egipcios sabı́an que el volumen de un sólido rectangular es largo × ancho × altura, de
modo que el volumen de una pirámide equivalente se expresarı́a como un tercio del área de la base por
la altura del sólido rectangular.
Otra posible forma de calcular el volumen es por el método de la disección, en el cual una
pirámide se corta y las partes forman un sólido rectangular, cuyo volumen se puede calcular fácilmente.
Hay otras posibles maneras en las que pudieron llegar a la fórmula de la pirámide, las cuales no son
tratadas en este trabajo.
CAPÍTULO 1
6
Con lo que hemos visto de los egipcios en esta sección podemos observar que su conocimiento matemático era esencialmente práctico y fue desarrollándose con el fin de solucionar problemas
especı́ficos.
Raramente los problemas se referı́an a números abstractos. No estaban interesados en desarrollar una teorı́a o una filosofı́a determinada y mientras un método cualquiera cubriese sus necesidades
estaban satisfechos. Esto hizo que no les interesara mejorarlo o simplificarlo.
Como vimos, antes del año 2000 a.C. ya habı́an dado forma a un sistema práctico de
numeración, con el que podı́an efectuar complicados cálculos de expresiones fraccionarias.
Los egipcios también dominaron la geometrı́a de las principales figuras y lograron un
conocimiento de la geometrı́a del espacio que les permitió hacer esas magnı́ficas construcciones que
han sobrevivido hasta nuestras fechas.
Comentarios finales
En este capı́tulo pudimos observar que en las matemáticas egipcias y babilónicas, no se
encuentra ningún caso de lo que hoy se llama demostración. En lugar de una argumentación general,
se encuentra una descripción detallada de un procedimiento aplicado a un caso particular. Unos cuantos
siglos antes de Cristo, los conocimientos egipcios y babilonios, en especial los matemáticos, pasaron a
poder de los griegos; pero estos, a diferencia de aquellos, pusieron gran empeño en concluir los hechos
geométricos, no sólo de manera práctica, sino con base en razonamientos deductivos.
Capı́tulo 2
PRIMERA ETAPA: El establecimiento
formal del concepto de Demostración en
Matemáticas.
Los babilonios y egipcios fueron muy sofisticados en un gran número de maneras. Aunque
ellos no “demostraron” teoremas como hoy en dı́a lo hacemos, sin duda tenı́an ideas bien desarrolladas
sobre las matemáticas (no sólo la aritmética). Fue Eudoxo (408 a.C-355 a.C.), quien comenzó la gran
tradición de la organización de las matemáticas en teoremas. La palabra “teorema” viene de la raı́z
griega theorema, que significa “la especulación”. Eudoxo fue uno de los primeros en utilizar esta
palabra en el contexto de las matemáticas.
Lo que Eudoxo adquirió de rigor y precisión en sus formulaciones matemáticas, lo perdió porque no demostró nada. La demostración formal no se habı́a implementado en el estudio de
las matemáticas. Como hemos señalado anteriormente, los conocimientos matemáticos se generaban
de manera práctica. No se le ocurrió a nadie que habı́a alguna necesidad de demostrar algo. Si se
les preguntaba si una determinada mesa cabrı́a en una habitacion, no demostraban un teorema, sólo lo
comprobaban. Cuando se preguntaban la cantidad de valla requerida para rodear una cierta cantidad de
pasto, no buscaban un argumento riguroso, sólo tenı́an que desenrollar la valla y determinar qué cantidad era necesaria. En sus primeros dı́as, las matemáticas estaban ı́ntimamente ligadas a preguntas
exactamente como éstas. Ası́, el pensamiento matemático era casi inseparable de pensamiento práctico. Y ası́ es como sus seguidores veı́an los hechos matemáticos. Estos hechos sólo eran información
práctica, su asimilación y verificación era un asunto estrictamente pragmático.
En este segundo capı́tulo abarcaremos la primera etapa en donde hablaremos de Pitágoras y
Euclides que fueron algunos de los matemáticos que establecieron el concepto que hoy en dı́a tenemos
de demostración en matemáticas.
2.1.
Pitágoras
Pitágoras (569 a.C.-500 a.C.) fue un matemático que formó un grupo llamado “Los Pitagóricos”, los cuales son recordados por dos contribuciones monumentales a las matemáticas. La
7
CAPÍTULO 2
8
primera de ellas fue el establecimiento de la importancia y la necesidad de la demostración en matemáticas: que los enunciados matemáticos, especialmente los geométricos, deben ser verificados por
medio de una demostración rigurosa. Antes de Pitágoras, los conceptos y resultados de la geometrı́a
se obtenian a partir de la observación y algunas otras desde la medición. Pitágoras también introdujo
la idea de que las teorı́as matemáticas (por ejemplo la geometrı́a) podrı́an ser derivadas de un pequeño
número de postulados.
La segunda gran aportación fue el descubrimiento de que no todos los números son proporcionales. Los griegos antes de Pitágoras creı́an que todo se basaba en los números enteros. Las
fracciones surgen de manera concreta, como proporciones de los lados de los triángulos de longitud
entera y a estas fracciones les llamamos hoy en dı́a racionales.
Pitágoras demostró el resultado que ahora llamamos el Teorema de Pitágoras, el cual dice
que los catetos a, b y la hipotenusa c de un triángulo rectángulo están relacionados por la fórmula
a2 + b2 = c2 .
Este teorema tiene más demostraciones que ningún otro teorema (en [5] aparecen 367
demostraciones diferentes). Y de hecho, es uno de los resultados matemáticos más antiguos. Aunque
como vimos en el capı́tulo anterior, existe evidencia de que los babilonios conocı́an este teorema por
lo menos 500 años antes de Pitágoras. Ahora veremos uno de los argumentos más simples y clásicos
y fue extraı́do de [4].
En la figura de arriba observamos que tenemos cuatro triángulos rectángulos y un cuadrado
contenido en un cuadrado más grande. Cada uno de los triángulos tiene catetos a y b e hipotenusa c al
CAPÍTULO 2
9
igual que en el teorema de Pitágoras. Por una parte, el área del cuadrado grande es c2 . El cual también
es la suma de las áreas de las piezas que lo componen.
Ası́, se calcula que c2 = (área del cuadrado grande) = (área del triángulo) + (área del
1
1
triángulo) + (área del triángulo) + (área del triángulo) + (área del cuadrado pequeño)= · ab + ·
2
2
1
1
2
2
2
2
2
ab + · ab + · ab + (b − a) = 2ab + (a − 2ab + b ) = a + b , con lo cual llegamos al resultado.
2
2
También Pitágoras se dio cuenta de que si a = 1 y b = 1 entonces c2 = 2. Se preguntó si
habı́a un número racional c que satisface esta última identidad. Su conclusión fue que no existı́a un
numero racional c tal que c2 = 2.
Los pitagóricos se dieron cuenta de la profundidad y la posible importancia social de este
descubrimiento. En la Grecia antigua se pensaba que todos los números eran racionales. Pretender lo
contrario habrı́a sido prácticamente una herejı́a. Durante un tiempo los pitagóricos mantuvieron esta
nueva realidad como un secreto. Cuenta la leyenda que los pitagóricos fueron destruidos por hordas
ignorantes.
2.2.
Euclides y la Geometrı́a
Euclides (325 a.C.-265 a.C.) fue el primero en organizar sistemáticamente las matemáticas
(es decir, una gran parte de las matemáticas que se hicieron antes de él), formular definiciones, axiomas
y demostrar teoremas. Este fue uno de sus más grandes y originales logros. Aunque no hay muchos
teoremas que llevan el nombre de Euclides, él ha tenido un efecto muy grande en el pensamiento
matemático. Euclides escribió un tratado (que consiste de trece libros) el cual ahora conocemos como
“Elementos” que se ha encontrado disponible durante más de 2,000 años y ha pasado por un gran
número de ediciones. Todavı́a lo estudiamos en detalle hoy en dı́a y sigue teniendo una gran influencia
sobre la forma en que hacemos matemáticas.
Lo importante de los Elementos de Euclides es que establece la forma en que las matemáticas deben ser estudiadas y registradas. Comienza con varias definiciones e ideas de la geometrı́a
y luego enuncia cinco importantes postulados (o axiomas) de la geometrı́a. Una versión de estos postulados es la siguiente:
P1 Dados dos puntos es posible trazar un segmento de recta que los une.
P2 Cualquier segmento de recta puede prolongarse continuamente para convertirse en una recta con
la misma dirección.
P3 Un cı́rculo está determinado por su centro y su radio.
P4 Todos los ángulos rectos son iguales.
P5 Dada una recta y un punto ajeno a ella, se puede trazar una única recta paralela a la primera que
pase por el punto dado.
CAPÍTULO 2
10
Por supuesto, antes de que enunciara sus cinco famosos axiomas, Euclides habı́a definido
“punto”, “lı́nea”, “cı́rculo” y los otros términos que utiliza. Se cree que el famoso “postulado de las
paralelas” (P5) es de la propia creación de Euclides.
Cabe destacar que el libro de los Elementos no se trata simplemente de geometrı́a plana.
De hecho los libros VII-IX se ocupan de la teorı́a de números. Uno de los resultados concretos que se
presenta en este libro ha logrado sobrevivir hasta nuestros tiempos y prueba de ello es que se enseña
hoy en dı́a a todos los estudiantes de matemáticas.
Recordemos que un número primo es un número entero positivo que solo es divisible por
1 y por el mismo. Por definición no consideramos que 1 sea un número primo. Ası́ que los números
primos son
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ...
Un número que no es primo se llama compuesto. Por ejemplo, 126 no es un número primo,
ya que 126 = 2 · 32 · 7. En general cualquier número compuesto puede ser factorizado de forma única
en factores primos, es decir tenemos el teorema fundamental de la aritmética.
Euclides se cuestionó acerca de la posible existencia de un número infinito de primos. La
respuesta de Euclides fue “sı́” (véase la demostración en el apéndice A.2.2). El argumento de Euclides
es uno de los primeros casos conocidos de la prueba por contradicción. Este importante método de
razonamiento formal ha sido bastante polémico en los últimos años.
El Libro X se ocupa de los números irracionales y los libros XI-XIII tratan la geometrı́a
tridimensional. En resumen, los Elementos de Euclides son un tratamiento exhaustivo de una buena
parte de las matemáticas que se conocı́a en ese momento. Y se presenta de una manera estrictamente
rigurosa y axiomática que ha establecido la manera en que las matemáticas se registran y estudian en
la actualidad. Los Elementos de Euclides es tal vez más notable por la claridad con que los teoremas
son formulados y demostrados. El nivel de rigor que Euclides usó, fue un modelo para los creadores
del cálculo casi 2000 años más tarde.
A continuación mostramos un ejemplo de una demostración que utiliza herramientas caracterı́sticas de esta etapa.
2.3.
Demostración geométrica
El Teorema de Miquel es muy importante en la geometrı́a euclidiana, ya que de éste surgen varias consecuencias muy importantes, una de ellas es el Teorema de Simson. Demostraremos el
Teorema de Miquel y mencionaremos algunas de sus consecuencias, tomando como punto de partida
los 5 postulados de Euclides.
Los siguientes resultados matemáticos de esta sección fueron extraı́dos de [12].
2.3.1.
Definiciones y resultados previos
Definición 2.1. Un ángulo es la abertura formada por dos semirrectas con un mismo origen llamado
vértice. Si el vértice del ángulo es A y los puntos B y C pertenecen a distintas semirrectas, denotaremos
al ángulo formado como ∠BAC.
CAPÍTULO 2
11
Definición 2.2. Cuando un ángulo mide 90◦ se llama ángulo recto y las rectas que lo conforman se
llaman perpendiculares.
Definición 2.3. Si dos ángulos suman 90◦ se llaman complementarios y si suman 180◦ se llaman
suplementarios.
Definición 2.4. Decimos que dos ángulos son adyacentes cuando tienen un mismo vértice y un lado
común y son exteriores el uno del otro.
Definición 2.5. Dos ángulos son opuestos por el vértice cuando los lados de uno son las prolongaciones de los del otro.
En cualquier sistema de dos rectas distintas que se cortan, tenemos que
1. Los ángulos adyacentes son suplementarios,
2. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
Existen relaciones muy particulares entre los ángulos antes mencionados en el caso de que
el sistema esté conformado por rectas paralelas, estas relaciones están dadas por el siguiente teorema.
Teorema 2.1. En todo sistema de dos rectas paralelas distintas cortadas por una secante, tenemos
que:
1. Los ángulos correspondientes son iguales,
2. Los ángulos alternos son iguales,
3. Los ángulos colaterales son suplementarios.
Al decir ángulos iguales nos referimos a que son iguales entre sı́, y de manera análoga para
los ángulos suplementarios.
CAPÍTULO 2
12
Demostración. Consideramos el sistema de rectas paralelas AB y CD cortadas por la secante FE en
los puntos M y N, respectivamente.
Como los ángulos opuestos por el vértice son iguales, entonces tenemos que:
∠AMN = ∠BMF, ∠AMF = ∠BMN, ∠CN M = ∠END, ∠CNE = ∠DN M.
(2.1)
Además, al ser ángulos adyacentes, tenemos las siguientes relaciones:
∠AMN + ∠AMF = ∠AMF + ∠BMF = ∠BMF + ∠BMN = ∠BMN + ∠AMN = 180◦ ,
(2.2)
∠CN M + ∠CNE = ∠CN M + ∠DN M = ∠DN M + ∠DNE = ∠DNE + ∠CNE = 180◦ .
(2.3)
Por otro parte, como las rectas AB y CD son paralelas, entonces no podemos encontrar ángulos internos cuya suma sea menor que 180◦ . Por el postulado de las paralelas, concluimos que:
∠AMN + ∠CN M = 180◦ , ∠BMN + ∠DN M = 180◦ .
Ahora combinando (2.1), (2.2) y (2.3) obtenemos las afirmaciones del teorema.
Corolario 2.1. La suma de los tres ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a 180◦
Demostración. Sea 4ABC un triángulo cualquiera. Si trazamos una recta paralela al segmento BC que
pase por A. Entonces sabemos que µ + α + ν = 180◦ . Por lo tanto tenemos que µ = β por ser ángulos
alternos internos, y por esta misma razón ν = γ , ahora sustituimos los valores de µ y ν en la primera
igualdad (µ + α + ν = 180◦ ) y obtenemos el resultado.
CAPÍTULO 2
13
Criterios de Congruencia
Dos triángulos 4A1 B1C1 y 4A2 B2C2 son iguales o congruentes si sus lados o ángulos correspondientes son iguales, para indicar que son congruentes lo haremos de la siguiente manera:
4A1 B1C1 ' 4A2 B2C2
,
Para que 4A1 B1C1 ' 4A2 B2C2 es suficiente que se cumpla una de las siguientes tres condiciones:
(LAL) Dos lados iguales e igual el ángulo comprendido
A1 B1 = A2 B2 , B1C1 = B2C2 y ∠B1 = ∠B2 .
(ALA) Dos ángulos iguales e igual el lado comprendido
∠A1 = ∠A2 , ∠B1 = ∠B2 y A1 B1 = A2 B2 .
(LLL) Sus tres lados iguales
A1 B1 = A2 B2 , B1C1 = B2C2 y A1C1 = A2C2 .
Basta que se cumpla alguna de estas condiciones para que los triángulos 4A1 B1C1 y
4A2 B2C2 sean congruentes y de esta manera obtengamos todas las relaciones.
Semejanza de Triángulos
Definición 2.6. Dos triángulos 4A1 B1C1 y 4A2 B2C2 son semejantes si sus ángulos son iguales y los
lados correspondiente son proporcionales, es decir se cumplen las siguientes relaciones:
∠A1 = ∠A2 ,
∠B1 = ∠B2 ,
(2.4)
CAPÍTULO 2
14
∠C1 = ∠C2 ,
A1 B1 B1C1 A1C1
=
=
.
A2 B2 B2C2 A2C2
Para indicar que los triángulos 4A1 B1C1 y 4A2 B2C2 son semejantes lo haremos de la siguiente manera:
4A1 B1C1 ∼ 4A2 B2C2 .
De forma semejante a los criterios de congruencia, tenemos los equivalentes para semejanza, tales
condiciones nos ayudarán a decidir cuándo un par de triángulos son semejantes sin necesidad que
verifiquemos cada una de las relaciones (2.4).
Teorema 2.2 (Criterios de Semejanza). Para qué 4A1 B1C1 ∼ 4A2 B2C2 es suficiente que se cumpla
una de las tres condiciones siguientes:
(AA) Dos ángulos iguales, por ejemplo
∠A1 = ∠A2 y ∠B1 = ∠B2 .
(LAL) Dos lados proporcionales e igual el ángulo comprendido, , por ejemplo
A1 B1 B1C1
=
A2 B2 B2C2
y
∠B1 = ∠B2 .
CAPÍTULO 2
15
(LLL) Sus tres lados proporcionales, por ejemplo
A1 B1 B1C1 A1C1
=
=
.
A2 B2 B2C2 A2C2
Cada una de las condiciones anteriores implica todas las relaciones (2.4). Si la relación
de semejanza es igual a 1 entonces los triángulos son congruentes.
Ángulos en la circunferencia
Definición 2.7 (Ángulo central). Ángulo formado por dos radios de la circunferencia.
c
∠AOB = AB
Definición 2.8 (Ángulo inscrito). Está formado por dos cuerdas que se tocan en un punto sobre la
circunferencia.
∠AOB =
Ángulo central
1c
AB
2
Ángulo inscrito
Teorema 2.3. Todo ángulo inscrito mide la mitad del arco que abraza.
c Procederemos por casos.
Demostración. Demostraremos que ∠APB = 12 AB.
CAPÍTULO 2
16
Caso 1. El centro de la circunferencia está en uno de los lados del ángulo.
Sea α = ∠APB, trazamos el radio OA y llamaremos M al punto medio del lado AP. De esta forma,
por el criterio LLL, los triángulos 4OMP y 4OMA son congruentes y por lo tanto ∠OAP =
∠APB = α.
Y como β (el ángulo central ∠AOB) es exterior del triángulo 4AOP y no adyacente a α y ∠OAP,
entonces β = 2α. Por lo tanto
1c
1
∠APB = α = β = AB.
2
2
Caso 2. El centro de la circunferencia está entre los lados del ángulo inscrito.
Sea α = ∠APB. Tracemos el diámetro que tiene como uno de sus extremos a P y llamémosle C
al otro extremo. Sean α1 = ∠APC y α2 = ∠CPB. Por el caso 1,
1 c c
1c
α = α1 + α2 = (AC
+ CB) = AB.
2
2
CAPÍTULO 2
17
Caso 3. El centro de la circunferencia queda fuera del área que comprende el ángulo inscrito.
Sea α = ∠APB. Tracemos el diámetro que tiene como uno de sus extremos a P y llamémosle C
al otro extremo.
Sean α1 = ∠APC y α2 = ∠BPC. Por el caso 1,
1 c c
1c
− BC) = AB.
α = α1 − α2 = (AC
2
2
CAPÍTULO 2
18
Corolario 2.2. Dos ángulos inscritos en una misma circunferencia y que abracen una misma cuerda,
son iguales si sus vértices están del mismo lado de la cuerda; y son suplementarios si sus vértices
están en lados opuestos respecto de la cuerda.
CAPÍTULO 2
19
Demostración. Sean A, B, P0 , P y Q como en la figura, es decir P0 y P están del mismo lado de la
cuerda AB y los puntos P0 y Q están en lados distintos.
1[
Por un teorema visto anteriormente tenemos que ∠AP0 B = AQB
= ∠APB, de esta manera
2
tenemos que, si los vértices del ángulo están del mismo lado de la cuerda, estos son iguales. Por otro
1[
0 B, luego
lado tenemos que ∠AQB = AP
2
∠AP0 B + ∠AQB =
1[ 1 [
1
AQB + AP0 B = 360◦ = 180◦ .
2
2
2
Concluimos que si los vértices están en lados opuestos respecto de la cuerda, entonces los ángulos
son suplementarios.
Cuadriláteros cı́clicos
Teorema 2.4. Sean A, B, P, Q cuatros puntos en el plano, cada tres de ellos no colineales. Si los puntos
P y Q están en un mismo semiplano determinado por la recta AB y desde ellos se ve el segmento AB
bajo ángulos iguales. O bien, si los puntos P y Q están en distintos semiplanos determinados por la
recta AB y desde ellos se ve el segmento AB bajo ángulos suplementarios. Entonces los puntos A, B, P
y Q son concı́clicos.
Demostración. Caso 1. Sean A, B, P y Q puntos en el plano. Supongamos que P y Q están del mismo lado con respecto de la recta que pasa por A y B. Sea Q’ la intersección de AQ con el
circuncı́rculo de 4ABP. Supongamos que Q , Q0 . Ası́ las rectas BQ y BQ’ son distintas. Por
hipótesis ∠APB = ∠AQB y entonces tenemos ∠AQ0 B = ∠APB. De esta forma tenemos un sistema de dos rectas BQ y BQ’ cortadas por la secante AQ con un par de ángulos correspondientes
∠AQB y ∠AQ0 B iguales.
Ası́ BQ y BQ’ son paralelas. Lo cual es una contradicción pues BQ y BQ’ son distintas y se
cortan en el punto B. Por lo tanto Q está en el circuncı́rculo de 4ABP.
CAPÍTULO 2
20
Caso 2. Sean A, B, P y Q cuatros puntos en el plano. Supongamos que P y Q están en lados opuestos
con respecto de la recta que pasa por A y B.
Sea Q’ la intersección de AQ con el circuncı́rculo de 4ABP. Supongamos que Q , Q0 . Ası́ las
rectas BQ y BQ’ son distintas. Por hipótesis ∠AQB = 180◦ − ∠APB y por el Corolario 2.3.13
tenemos que AQ0 B = 180◦ − ∠APB. Ası́ tenemos el sistema de rectas BQ y BQ’ cortadas por la
secante AQ, con un par de ángulos correspondientes ∠AQB y ∠AQ0 B iguales. Por lo tanto BQ y
BQ’ son paralelas, lo cual es una contradicción, pues BQ y BQ’ son distintas y se cortan en el
punto B.
Podemos concluir que Q está en el circuncı́rculo de 4ABP.
CAPÍTULO 2
2.3.2.
21
Puntos de Miquel
Auguste Miquel era un profesor de secundaria en la provincia Nantua en Francia. A partir
1838 la revista Journal de Mathematiques Pures et Appliques, recién fundada por Liouville, repentinamente comenzó a recibir bellos descubrimientos geométricos provenientes de dicha provincia. El
primero de estos, concernientes al punto Miquel, se convirtió en el más famoso y es el que actualmente
se conoce como Teorema de Miquel. Sin embargo, para Miquel esto era sólo un resultado auxiliar para
la prueba de su maravilloso Teorema del Pentagrama.
Teorema 2.5 (Teorema de Miquel). Sean el triángulo 4ABC y X, Y y Z puntos en los lados BC, CA
y AB respectivamente, entonces las circunferencias C A , C B y CC que pasan respectivamente por los
puntos A, Y, Z; B, X, Z; y C, Y, X; tienen un punto en común.
Demostración. Si P es el punto de intersección de las circunferencias C A y C B . Sean α, β, γ, δ, , µ
ángulos como en la siguiente figura.
Entonces tenemos que:
1. α + δ =180◦ . (ya que el cuadrilátero ZPYA es cı́clico)
2. +β=180◦ . (ya que el cuadrilátero ZBXP es cı́clico)
3. α + β + γ=180◦ . (ya que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180◦ )
4. δ + + µ=360◦ .
Sumando las últimas dos ecuaciones tenemos que:
(α + δ) + ( + β) + (µ + γ) = 540◦ .
CAPÍTULO 2
22
Por lo tanto
µ + γ = 180◦ .
Por lo que el cuadrilátero XCYP es cı́clico ya que sus ángulos opuestos suman 180◦ y por lo tanto
P pertenece a CC .
Al punto P le llamaremos punto de Miquel de los puntos X, Y y Z respecto al triángulo
4ABC.
Teorema 2.6. Si P es el punto de Miquel de los puntos X, Y y Z respecto del triángulo 4ABC, entonces
los puntos X, Y y Z están alineados si y sólo si P está en el circuncı́rculo del triángulo 4ABC.
Demostración. Sea P un punto de Miquel de los puntos alineados X, Y y Z respecto del triángulo
4ABC, por lo tanto P es la intersección de los circuncı́rculos de los triángulos 4AYZ y 4CY X. Por lo
tanto ∠ZAP = ∠ZY P,
∠PY X + ∠XCP = 180◦ .
Ya que X, Y y Z son colineales, entonces ∠ZY P + ∠PY X = 180◦ . De esto tenemos que:
∠ZAP = ∠ZY P = ∠XCP = ∠BCP.
Y ya que también B, A y Z son colineales ∠BAP + ∠ZAP = 180◦ .
Por lo tanto ∠BAP + ∠BCP = 180◦ , concluimos que ABCP es cı́clico, esto es, P está en el circuncı́rculo
de 4ABC.
Ahora si P está en el circuncı́rculo de 4ABC. Como PYXC y ABCP son cı́clicos, entonces tenemos
que
∠XY P + ∠XCP = 180◦ ,
∠BAP + ∠BCP = 180◦ .
CAPÍTULO 2
23
De donde ∠XY P = ∠BAP.
También B, A y Z son colineales, entonces
∠BAP + ∠PAZ = 180◦ ,
Además ZAYP también es cı́clico ∠PAZ = ∠PYZ. Por lo tanto
∠XY P + ∠PYZ = ∠BAP + ∠PAZ = 180◦ .
Por lo tanto concluimos que X, Y y Z son colineales.
Podemos expresar la primera implicación del teorema de la siguiente manera.
Teorema 2.7. Si cuatro rectas se intersectan en seis puntos A, B, C, X, Y y Z, tales que los puntos A,
B y Z; A, C y Y; B, C y X; X, Y y Z son colineales, entonces los circuncı́rculos de los triángulos 4AYZ,
4BXZ, 4CY X y 4ABC tienen un punto en común.
El caso particular en el que los tres primeros circuncı́rculos tienen como diámetros a AP,
BP y CP implica el siguiente resultado.
Teorema 2.8 (Teorema de Simson). Un punto está en el circuncı́rculo de un triángulo si y sólo si sus
pies en los lados de éste, son colineales.
CAPÍTULO 2
24
A la lı́nea recta que pasa por los puntos X, Y y Z, que son los pies de las perpendiculares
trazadas desde un punto P del circuncı́rculo a los lados del triángulo, se le llama la Lı́nea de Simson
de P con respecto al triángulo 4ABC.
A partir de los teoremas anteriores es posible demostrar el Teorema del Pentagrama mencionado al inicio de esta sección
Teorema 2.9 (Teorema del Pentagrama). Consideremos un pentágono convexo y extendemos los lados
a un pentagrama. Externamente al pentágono, hay cinco triángulos. Construimos las cinco circunferencias circunscritas. Cada par de cı́rculos adyacentes se cortan en un vértice del pentágono y en un
segundo punto. Entonces estos cinco segundos puntos son concı́clicos.
Comentarios finales
El éxito perdurable de los Elementos de Euclides aseguró que los resultados matemáticos
pudieran ser validados. Mientras que algunos de los conocimientos de la antigüedad se derrumbaron,
la geometrı́a prosperó. Hoy en dı́a estamos seguros de que los resultados geométricos de la época de
CAPÍTULO 2
25
Euclides son verdaderos y como observamos en este capı́tulo, a partir de ellos podemos llegar a resultados más interesantes como los Teoremas de Miquel y Simpson. Estos resultados fueron formulados
por matemáticos más de 1000 años después de Euclides y se basaron en resultados ya existentes (como
los axiomas de Euclides).
CAPÍTULO 2
26
Capı́tulo 3
SEGUNDA ETAPA: El siglo XX: Las nuevas
herramientas utilizadas en la demostración.
Como vimos en el capı́tulo anterior, Euclides fue el primero en definir un sistema axiomático en matemáticas y su mayor contribución fue encontrar y organizar una base común (axiomas) que
permitiera demostrar los resultados conocidos en su época utilizando un razonamiento deductivo.
En este tercer capı́tulo describimos otra etapa, ésta consta de la creación de métodos y herramientas más sofisticadas que los axiomas de Euclides para hacer demostraciones, estas herramientas
fueron necesarias para el estudio de las nuevas teorı́as que se desarrollaron, como son el análisis y la
topologı́a. Analizaremos la actividad de algunos matemáticos que contribuyeron con algunas de estas
nuevas herramientas. También demostraremos el Teorema de Baire y una de sus aplicaciones, pues
este teorema utiliza el axioma de elección, una herramienta caracterı́stica del siglo XX.
3.1.
Hilbert y el siglo XX
David Hilbert fue un gran matemático alemán, reconocido como uno de los más influyentes del siglo XIX y principios del XX. Estableció su reputación como gran matemático y cientı́fico
desarrollando un gran abanico de ideas, como la teorı́a de invariantes, la axiomatización de la geometrı́a y la noción de espacio de Hilbert, uno de los fundamentos del análisis funcional. Hilbert y
sus estudiantes proporcionaron partes significativas de la infraestructura matemática necesaria para la
mecánica cuántica y la relatividad general. Fue uno de los fundadores de la teorı́a de la demostración
(véase [6]), la lógica matemática y la distinción entre matemática y metamatemática.
Hilbert decı́a que el futuro de las matemáticas estaba en seguir resolviendo problemas,
por lo que en una conferencia para el Congreso Internacional de Matemáticos de 1900 en Parı́s, presentó una compilación de problemas sin resolver (algunos llevaban mucho tiempo dando vuelta sin
resolverse). Él pensaba que estos problemas marcarı́an el avance de la matemática durante el siglo que
empezaba. Hilbert presento en su publicación un total de 23 (se dice que es sus borradores habı́a un
desafı́o número 24).
La resolución de muchos de estos 23 problemas ha tenido gran repercusión en el uso
práctico de las matemáticas y en muchas ciencias, de la misma forma que en muchas de las teorı́as del
27
CAPÍTULO 3
28
propio Hilbert, como los espacios de Hilbert. Uno de los más importantes problemas aún sin resolver
es la Hipótesis de Riemann que está ı́ntimamente ligada a la distribución de los números primos.
En el año 2000, el Instituto Clay de Matemáticas elaboró una lista con los 7 problemas
matemáticos, ofreciendo $1.000.000 U.S para quien pueda desarrollar una demostración correcta de
cualquiera de ellos y la Hipótesis de Riemann sigue sin ser resuelta.
La resolución de algunos de los problemas de Hilbert siempre ha dado repercusiones positivas en los campos de la ciencia que usan las matemáticas como fundamento.
3.2.
GD Birkhoff y el desarrollo de las matemáticas americanas
Las matemáticas en Estados Unidos a principios del siglo XX tenı́an poco desarrollo y
existı́a poca investigación matemática autentica. Los matemáticos más eminentes de Europa miraron
los resultados de Estados Unidos como algo insignificante. Estados Unidos era famoso entonces (como
lo es ahora) por ser práctico, empı́rico y con ganas de desarrollarse en lo que sea. Se enorgullece también de ser una sociedad sin barreras, en la cual existe una gran movilidad social y pocos obstáculos
para su progreso. Más adelante en el siglo XX, Estados Unidos fue muy productivo en matemáticas, pues hubo grandes avances y muchos matemáticos importantes. Uno de ellos fue Georges David
Birkhoff quien fue profesor de Harvard y está considerado como uno de los mejores matemáticos
americanos de la primera mitad del siglo XX.
Birkhoff realizó investigación principalmente en el análisis aplicado a la dinámica matemática. Él formuló el Teorema Ergódico, que transformó la Hipótesis Ergódica Maxwell-Boltzmann
de la teorı́a cinética de los gases en un principio riguroso. Estudió órbitas periódicas y problemas de
tres cuerpos dentro de la teorı́a general de los sistemas dinámicos. En topologı́a, Birkhoff demostró el
último teorema geométrico de Poincare y también hizo un importante trabajo sobre el Teorema de 4
Colores que veremos más adelante. Él estudió la mecánica de fluidos en relación con el tratamiento
matemático de la viscosidad.
En algunos de estos resultados que demostró Birkhoff, tuvo que hacer uso de las nuevas
herramientas necesarias que fueron creadas en este siglo.
3.3.
L. E. J. Brouwer y demostración por contradicción
L.E.J. Brouwer (1881-1966) fue un matemático holandés muy brillante cuyo interés principal estaba en la topologı́a. La topologı́a era un tema bastante nuevo en aquellos dı́as. Cariñosamente
la apodaban “geometrı́a de goma elástica”, esta materia se ocupa de las propiedades geométricas de
superficies y espacios que se conservan bajo deformaciones continuas (es decir, torsión, flexión y estiramiento). En sus estudios sobre esta nueva materia, Brouwer llegó a un nuevo resultado y encontró una
manera de demostrarlo. Este resultado es conocido como el “Teorema de punto fijo de Brouwer”
El Teorema del punto fijo de Brouwer es uno de los teoremas más importantes y fascinantes
de las matemáticas del siglo XX. Al demostrar este teorema, Brouwer se establece como uno de los más
grandes topólogos de su época. Pero se negó a dar una conferencia sobre el tema y luego rechazó su
propio trabajo. La razón de este extraño comportamiento es que L.E.J. Brouwer habı́a creado junto
CAPÍTULO 3
29
con otros, el constructivismo o intuicionismo. Él rechazó la dialéctica aristotélica (que dice que un
enunciado es verdadero o falso y que no hay otra alternativa) y por lo tanto rechazó el concepto
de “prueba por reducción al absurdo”. Brouwer habı́a llegado a creer que las únicas demostraciones
válidas son en las que uno al menos está demostrando la existencia de un objeto matemático (como un
punto fijo).
El Teorema del punto fijo de Brouwer afirma la existencia de un “punto fijo” para una aplicación continua. Demostramos que el punto fijo existe asumiendo que no existe y derivando de este
modo una contradicción. Este es el método original de Brouwer de la demostración, pero la metodologı́a va en contra del intuicionismo que más tarde adoptó. Consideraremos el caso en una dimensión
en los reales. En términos gráficos que x sea un punto fijo significa que el punto (x, f (x)) pertenece
a la recta y = x o en otras palabras la gráfica de f tiene un punto en común con esa recta. El ejemplo f (x) = x + 1 es un caso donde la gráfica de f y la recta y = x son rectas paralelas. Puede verse
fácilmente que para la función f (x) = x todos los puntos del dominio son puntos fijos.
Consideremos una función f continua del intervalo [0, 1] al [0, 1], la figura 3.8 representa
la gráfica de tal función.
figura 3.8
Notemos aquı́ que la palabra “continua” se refiere a una función que no tiene cortes en su
gráfica. A algunas personas les gusta decir que la gráfica de una función continua “se puede dibujar sin
levantar el lápiz del papel”. Aunque hay más definiciones matemáticas rigurosas de continuidad, esto
será suficiente para nuestro objetivo. La pregunta es: ¿Existe un punto p ∈ [0, 1] tal que f (p) = p?. Tal
punto p se denomina un punto fijo para la función f. A continuación damos un enunciado formal y la
demostración de este resultado:
Teorema 3.1. Sea f : [0, 1] → [0, 1] una función continua. Entonces hay un punto p ∈ [0, 1] tal que
f (p) = p.
Demostración. Podemos también suponer que f (0) , 0 (de otra forma 0 es el punto fijo y terminamos). Por lo tanto f (0) > 0. También es posible suponer que f (1) , 1 (de otro modo 1 es el punto fijo
y terminamos). Tal que f (1) < 1.
CAPÍTULO 3
30
figura 3.11
Consideremos la función auxiliar g(x) = f (x) − x. Por lo observado en el párrafo anterior,
g(0) > 0 y g(1) < 0. Observamos la figura 3.11. Vemos que una función continua con estas propiedades
debe tener un punto p en entre 0 y 1 tal que g(p) = 0. Pero esto nos dice que f (p) = p.
Este teorema se puede generalizar a dimensión superiores pero estos casos no se abordaran
en este trabajo.
3.4.
El axioma de elección y el Teorema de la Categorı́a de Baire
En esta sección hablaremos del axioma de elección y su uso en la demostración del Teorema de la Categorı́a de Baire, uno de los teoremas más importantes en análisis funcional.
El axioma de elección es una de las herramientas más importantes creadas en el siglo
XX, fue formulado en 1904 por Ernst Zermelo para formalizar su demostración del teorema del buen
orden. Aunque originalmente fue controversial, actualmente es usado sin restricciones por la mayorı́a
de los matemáticos. Pero existen (especialmente en la teorı́a de conjuntos) algunas opiniones que
rechazan el axioma o que investigan consecuencias de otros axiomas inconsistentes con él (véase
[10]). Hay muchos enunciados equivalentes de este axioma. Pero el que ocuparemos en esta sección
será el siguiente:
Definición 3.1. Para cada colección indexada de conjuntos no vacı́os existe al menos una funcı́on
(llamada función de elección) que a cada ı́ndice asigna un elemento del correspondiente miembro de
la colección.
El axioma de elección es uno de los axiomas más interesantes de matemáticas, tal vez
sólo es superado por el postulado de las paralelas de Euclides. Los axiomas de la teorı́a de conjuntos
proporcionan una base para las matemáticas modernas de la misma manera que los cinco postulados
de Euclides proporcionan una base para la geometrı́a euclidiana.
Para muchos conjuntos, incluyendo cualquier conjunto finito, los primeros 6 axiomas de la
teorı́a de conjuntos (véase [2]) son suficientes para garantizar la existencia de una función de elección,
pero existen conjuntos para los cuales el axioma de elección es requerido para demostrar la existencia
de una función de elección. La existencia de este tipo de conjuntos fue demostrada por Paul Cohen en
CAPÍTULO 3
31
1963. Esto significa que el axioma de elección no se puede derivar de los otros seis axiomas, en otras
palabras “el axioma de elección es independiente de los primeros 6 axiomas”.
Existen muchos teoremas que utilizan el axioma de elección en su demostración, uno de
ellos es el Teorema de la Categorı́a de Baire que tiene muchas aplicaciones en el análisis funcional.
Para demostrar este teorema primero definiremos lo que es un espacio de Baire
Definición 3.2. Un espacio de Baire es un espacio topológico con la siguiente propiedad: para cada
T
colección numerable Un de conjuntos densos abiertos, su intersección Un es densa.
El Teorema de Categorı́a de Baire es una herramienta importante y fue demostrada por
Rene-Louis Baire en su tesis doctoral en 1899 y se ocupa del estudio de espacios completos, como
los espacios de Banach y los espacios de Hilbert, que se utilizan en topologı́a y en análisis funcional.
Este teorema tiene dos formas, cada una de las cuales da condiciones suficientes para que un espacio
topológico sea un espacio de Baire:
Todo espacio métrico completo es un espacio de Baire.
Todo espacio de Hausdorff localmente compacto es un espacio de Baire.
Debemos tener en cuenta que ninguno de estos enunciados implica el otro, ya que hay
espacios métricos completos que no son localmente compactos (los números irracionales con la pseudométrica) y hay espacios de Hausdorff localmente compactos que no son metrizables (por ejemplo,
cualquier producto no numerable de espacios compactos de Hausdorff no triviales).
Tomaremos la primera forma del Teorema de la Categorı́a de Baire y daremos su demostración, resaltando el uso del axioma de elección. Los siguientes resultados fueron extraı́dos de [8]
Teorema 3.2. (Categorı́a de Baire) Sea X un espacio métrico completo. Si {An }∞
1 es una sucesión de
T∞
subconjuntos abiertos densos de X, entonces 1 An es denso en X. De esto se sigue que X no es una
unión numerable de conjuntos densos en ninguna parte (un conjunto se dice que es denso en ninguna
parte si su cerradura tiene un interior vacı́o).
CAPÍTULO 3
32
T
Demostración. Demostraremos que ∞
1 An es denso en X, mostrando que tiene intersección no vacı́a
con cada subconjunto abierto no vacı́o de X. Sea W ⊂ X con W , ∅ y abierto. Como A1 es denso en X,
T
entonces A1 W , ∅ y abierto, por lo que podemos construir una bola contenida en esta intersección
con radio 0 tal que 0 < 0 < 1.
Entonces ya que A2 es denso en X, la intersección de la bola de radio 0 con A2 es no vacı́a
y abierta, por lo que contiene una bola cuyo radio 1 < 2−1 y cuya cerradura pertenece a la intersección
de la bola de radio 0 y el subconjunto A1 . Procederemos de forma recursiva utilizando la densidad de
cada An para que obtengamos una sucesión de bolas cerradas anidadas, con la n-sima bola de radio menor que 2−n (la razón para tomar las bolas cerradas se hará evidente más adelante). Pero por el axioma
de elección podemos seleccionar un punto de cada una de estas bolas, en particular seleccionaremos
los centros de dichas bolas, llamémosles x1 , x2 ...xn . Ası́ obtenemos una sucesión de Cauchy {xn }, que
converge a un lı́mite x, ya que X es completo. Entonces dado cualquier N,
x ∈ BN (xN ) ⊂ AN
\
B0 (x0 ) ⊂ AN
\
W,
lo que muestra que la intersección de los An junto con cualquier conjunto abierto no vacı́o W ⊂ X, es
densa. Para ver que X no es una unión numerable de conjuntos densos en ninguna parte, consideremos
cualquier sucesión {En } de tales conjuntos en X. Entonces {(En )c } es una sucesión de conjuntos densos
S
S
T
abiertos. Ya que (En )c , ∅, tenemos En ⊂ En , X, con lo cual concluimos la demostración. Las aplicaciones de este teorema son muchas, el siguiente diagrama muestra algunas de
las más importantes
A continuación demostraremos un resultado haciendo uso del Teorema de Baire.
Teorema 3.3. [0, 1] contiene una cantidad no numerable de elementos.
Demostración. Observemos que [0, 1] es un espacio métrico (un subespacio de R con la distancia
euclı́deana
[usual). Es completo ya que R es completo y [0, 1] es cerrado. También podemos escribir
[0, 1] =
{x}.
x∈[0,1]
CAPÍTULO 3
33
Los conjuntos singulares son cerrados y tienen interior vacı́o, por lo que deducimos que
[0,1] debe ser no numerable, de lo contrario el Teorema de la Categorı́a de Baire no se cumplirı́a. Para finalizar esta sección demostraremos una de las aplicaciones más importantes del
Teorema de Baire.
Teorema 3.4. Sea X un espacio de Banach y Y cualquier espacio normado. Además supongamos que
(T n ) es una sucesión de operadores lineales acotados en L(X, Y), la cual está acotada en cada punto
de X, es decir
∀x ∈ X, ∃c x ∈ R, ∀n ∈ N, (kT n xk ≤ c x ).
(3.1)
Entonces la sucesión (T n ) es acotada, es decir, existe una constante c (independiente de x) tal que
kT n k ≤ c, ∀n ∈ N
Demostración. Para todo k ∈ N, sea Ak ⊂ X el conjunto de todos los x ∈ X tal que
kT n xk ≤ k, ∀n ∈ N.
Dado que todos los operadores T n , ası́ como la norma k · k son aplicaciones continuas, todos los Ak son
conjuntos cerrados. Por (3.1),
X=
∞
[
Ak .
k=1
Por el teorema de Baire uno de los conjuntos Ak contiene una bola abierta. Digamos Bx0 (ε) ⊂ Ak .
Ahora consideramos un arbitrario x ∈ X.
Definimos un punto z = x0 +
ε
.
2kxk
Entonces z ∈ Bx0 (ε). Un simple reordenamiento muestra que
CAPÍTULO 3
34
x=
2kxk
(z − x0 ).
ε
Entonces, para cualquier n ∈ N,
2kxk
kT n (z − x0 )k
ε
2kxk
(kT n zk + kT n x0 k)
≤
ε
2kxk
≤
(k + k)
ε
4kkxk
=
ε
kT n xk =
Por lo tanto para cualquier número natural n
kT n k = supkxk=1 kT n xk
4k
≤
.
ε
Esto demuestra el teorema con c =
4k
.
ε
Comentarios finales
Como observamos en este capı́tulo, el siglo XX ha sido muy importante dentro de las
matemáticas porque solo este siglo ha superado (en cuanto a extensión y posiblemente en cuanto a
calidad) a la producción en toda la historia anterior a él. Por ejemplo, en la década de los 90 se han
publicado una media de más de 50,000 trabajos anuales de investigación en las revistas especializadas
de matemáticas en todo el mundo. Otro factor es la diversidad de campos que abarca, ya que a lo
largo del siglo XX han surgido y se han desarrollado áreas completamente nuevas. También la manera en que demostramos los resultados matemáticos han cambiado, debido a las nuevas herramientas
desarrolladas en este siglo.
Capı́tulo 4
TERCERA ETAPA: La Demostración
apoyada por computadora.
Como vimos en el capı́tulo anterior las herramientas utilizadas durante la época euclidiana
tuvieron que evolucionar debido a las complejas teorı́as matemáticas que aparecieron en el siglo XX,
pero estas herramientas no han sido suficientes para demostrar algunos teoremas, lo cual ha llevado a
muchos matemáticos a recurrir a la computadora. Por ello describiremos en este capı́tulo uno de los
problemas matemáticos más famosos que surgió en el siglo XIX, el cual ha tardado más de 100 años
en resolverse y ha provocado diversas controversias durante largo tiempo en el cual varias personas
(no todas con formación matemática) intentaron resolverlo sin mucho éxito y que requirió el uso de
una computadora, el problema al que hacemos referencia es el Teorema de los 4 Colores.
Teorema 4.1 (Teorema de los 4 Colores). Bastan cuatro colores para colorear un mapa geográfico
plano sin que dos paı́ses con frontera común tengan el mismo color (si dos regiones se tocan en un
único punto se entiende que no tienen frontera común).
4.1.
Antecedentes del Teorema de los 4 Colores
Los mapas y las regiones que lo conforman deben de ser conexas, ası́ que no se admite una
distribución como en la figura 3, donde el paı́s E se divide en dos trozos disjuntos.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Este teorema es un problema topológico, ya que lo importante no es la forma de las regio35
CAPÍTULO 4
36
nes, sino como están colocadas las unas respecto a las otras. Aunque no es difı́cil que entendamos lo
que nos dice el teorema, vamos a ver a lo largo de este capı́tulo que su demostración involucra técnicas
matemáticas complejas las cuales llevaron al uso de una computadora para su solución. Además, se
trata de un problema sin ninguna utilidad práctica aparentemente, es un reto para la razón humana y
ahı́ radica su interés.
En este capı́tulo describiremos algunas de las etapas por las que ha pasado la demostración
del teorema de una manera cronológica.
4.2.
Los orı́genes de la conjetura
El primero en proponer el Teorema de los 4 Colores fue Frederick Guthrie (1839-1899),
cuando su hermano Francis en 1852 observó que cuatro colores bastaban para colorear el mapa complicado de los condados de Inglaterra (figura 4). Además Francis observó que 3 colores no son suficientes, mostrando el llamado diagrama crı́tico que aparece en la figura 5 y que obviamente necesita
de 4 colores para no contradecir las condiciones del teorema.
Figura 4
Figura 5
Frederick Guthrie observa que el problema no se puede generalizar a dimensión 3. En
efecto, según un ejemplo posterior de Heinrich Tietze, en dimensión 3 se puede construir un ejemplo
de mapa tridimensional que precise tantos colores como se desee. La propuesta de Tietze consistı́a
en tomar barras numeradas de 1 hasta n ordenadas de manera horizontal y sobre ellas se colocan n
barras numeradas de 1 hasta n en sentido vertical. De este modo, tenemos un mapa tridimensional con
n paı́ses que necesita exactamente n colores para no contradecir las reglas de la conjetura. En la figura
6 se representamos el caso de n = 5.
CAPÍTULO 4
37
Figura 6
Frederick le plantea el problema a su profesor Augustus De Morgan, que se lo remitió en una carta a
su colega William Rowan Hamilton el cual no mostro interés en este problema. Tras la muerte de De
Morgan el problema perdió interés.
Fue hasta 1878 cuando Arthur Cayley (1821-1895) se interesa por el problema y observa
que el Teorema de los 4 Colores se puede demostrar limitándose a mapas cúbicos, es decir, aquellos
en los que hay exactamente 3 regiones en cada punto de encuentro. Si consideramos un mapa en el
que hay más de 3 regiones en alguno de los puntos de encuentro; sobre este punto podemos pegar
un pequeño parche que produce un mapa cúbico. Si podemos colorear este mapa con cuatro colores,
podemos obtener un 4-coloreado del mapa original simplemente aplastando el parche en un punto
(figura 7).
Figura 7
Alfred Bray Kempe (1849-1922) alumno de Cayley obtiene su solución del Teorema de
los 4 Colores en junio de 1879. Kempe usa la fórmula de Euler para mapas cúbicos para obtener la
llamada counting formula, que permite probar que: todo mapa tiene al menos una región con, a lo más,
cinco regiones vecinas, es decir, cada mapa contiene al menos un dı́gono, un triángulo, un cuadrado o
un pentágono (ver figura 8).
Figura 8
La demostración la hace por inducción sobre el número de regiones. Para esta demostración Kempe introduce un nuevo término que es fundamental para su demostración y que años más
tarde es utilizado para la demostración definitiva.
CAPÍTULO 4
38
Cadena de Kempe
Si Z e Y son dos regiones, por ejemplo, Y de color rojo y Z de color verde en un mapa
4-coloreado, le llamaremos cadena de Kempe rojo-verde de Y a Z a un camino que va de Y a Z,
alternando los colores rojo y verde (figura 9).
Figura 9
Figura 10
Al concluir con su demostración, ésta es aceptada rápidamente y pronto empieza a formar
parte del ambiente matemático. Todos pensaban que debı́a de haber una prueba más corta. Ası́ que
en 1887, el director del Clifton College organizó un concurso para encontrar una demostración del
Teorema de los 4 Colores que utilizara menos de 30 lı́neas y una página de diagramas. Dicho concurso
no tuvo éxito.
Percy John Heawood (1861-1955) en 1890 publica Map Colour Theorem donde muestra
un caso para el cual la demostración de Kempe no funciona, ilustrado en la figura 10. Kempe admite su
error en las páginas de Proceedings of the London Mathematical Society. A pesar del error encontrado,
Heawood usa el argumento de las cadenas de Kempe para demostrar el Teorema de los 5 Colores.
4.3.
La llegada de la solución un siglo después mediante el apoyo
de una computadora
Hasta este momento, la demostración la hemos planteado en términos de mapas, pero
existe una manera dual de abordarla: sustituyendo los mapas por grafos. Los grafos son estructuras
discretas que forman un conjunto de objetos llamados vértices o nodos unidos por enlaces llamados
aristas o arcos, que nos permiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto.
CAPÍTULO 4
39
Los grafos asociados a un mapa se construyen asignando un vértice a la capital de cada región y uniendo dos vértices con una arista en caso de que en el mapa las dos regiones correspondientes
a dichos vértices tengan frontera común (figuras 11 y 12).
Figura 12
Figura 11
Ası́ el problema queda planteado de la siguiente manera:
¿Es cierto que los vértices de todo grafo plano pueden colorearse con, a lo más, cuatro colores de
forma que dos vértices unidos por una arista tengan colores distintos?
Los grafos duales de mapas son siempre planares, es decir, podemos dibujarlos en el plano
sin que ninguna de sus aristas se corten. Por corte de aristas se entiende la intersección de las lı́neas que
representan a las aristas en un plano distinto a sus extremos. A este dibujo le llamaremos representación
plana del grafo. Por ejemplo, el grafo llamado K4 que aparece en la figura 13 es planar, como lo
demostramos mediante las transformaciones indicadas:
Figura 13
Existe una aproximación alternativa al Teorema de los 4 Colores: suponemos que la conjetura es falsa, es decir, se conocen mapas (grafos) que no pueden 4-colorearse. Entre estos mapas
(grafos) que necesitan 5 colores o más, debe de haber alguno con el menor número posible de regiones, llamado minimal criminal. Ası́ un minimal criminal no puede 4-colorearse, pero un mapa (grafo)
con menos regiones (vértices), sı́. Entonces, para probar el Teorema de los 4 Colores debemos demostrar que no existen minimales criminales y eso se consigue encontrando condiciones restrictivas sobre
este tipo de mapas (grafos).
De hecho, en este nuevo lenguaje, lo que Kempe demuestra con su prueba es que un minimal criminal no puede contener dı́gonos, triángulos o cuadrados (en esta prueba es en la que usa su
CAPÍTULO 4
40
método de cadenas) y se equivoca al intentar probar que tampoco puede contener pentágonos. Precisamente, si hubiese conseguido esto último, habrı́a quedado establecida la conjetura: no podrı́an existir
minimales criminales ya que, como hemos comentado, cualquier mapa debe contener obligatoriamente
un dı́gono, un triángulo, un cuadrado o un pentágono.
La demostración correcta del Teorema de los 4 Colores utiliza la de Kempe, pero para
la inducción, en vez de eliminar un único vértice, se recorta un determinado trozo del grafo (una
configuración).
Los siguientes conceptos son los fundamentales en la prueba:
Una configuración en un grafo es un ciclo con vértices internos triangulados (es decir, un grafo
planar en el que cada cara tiene exactamente tres aristas).
Un conjunto inevitable K es un conjunto finito de configuraciones tal que todo grafo contiene una
copia conforme de una k de K: de hecho, Kempe demuestra que para mapas cúbicos K={dı́gonos,
triángulos, cuadrados, pentágonos} es un conjunto inevitable (y se equivoca).
k es una configuración reducible, si podemos deducir el coloreado de cualquier grafo que contenga a k, a partir de un grafo menor.
El plan de la prueba consiste entonces en encontrar un conjunto inevitable K y si K estuviese formado sólo de configuraciones reducibles, la demostración del Teorema de los 4 Colores
estarı́a terminada ya que no podrı́a existir un minimal criminal.
El concepto de reducibilidad fue introducido formalmente en 1913 por George David Birkhoff (1884-1944) en su trabajo The reducibility of maps, donde avanza en el estudio de los conjuntos
reducibles. Con esto, varios matemáticos comienzan a demostrar el teorema para mapas con un número
pequeño de regiones.
En 1969, Heinrich Heesch sistematiza la prueba de la reducibilidad, desarrollando un algoritmo que intenta implementar con una computadora. Realiza diversos tests con el programa Algol
60 en un CDC1604A. Afirma que la conjetura puede resolverse considerando 8900 configuraciones.
Además, inventa un algoritmo de descarga para la construcción de conjuntos inevitables. Una vez que
se tiene la lista de configuraciones inevitables, si demostramos que cualquiera de ellas es reducible,
obtenemos finalmente una prueba inductiva (figura 14).
Figura 14
CAPÍTULO 4
41
En 1970 Ore y Stemple, especialistas en teorı́a de grafos, demuestran que cualquier mapa
con 39 regiones es 4-coloreable.
El progreso es lento, hasta que en 1976 Ken Appel y Wolfgang Haken dan una prueba cuyos principales ingredientes son los conceptos de reducibilidad y descarga. La primera prueba
de Appel, Haken y Koch usa un algoritmo de descarga muy sofisticado, que produce una lista de
1,936 configuraciones inevitables, cada una de las cuales se demuestra reducible con la ayuda de una
computadora. Modificando consecutivamente el algoritmo de descarga, encuentran uno que produce
un conjunto de 1,482 configuraciones inevitables, comprobando que son reducibles: llevó 1,200 horas
de cálculo en una computadora IBM 360. La demostración fue terminada por Appel y Haken en 1976.
Para mostrar la enorme cantidad de datos, según Macho (véase [5]), la prueba de reducibilidad de la configuración de la figura 15 necesita unos 199,000 coloreados.
Figura 15
En 1989, Appel y Haken reconocen el papel fundamental jugado por Kempe en toda esta
historia:
Kempes argument was extremely clever, and although his proof turned out not to be complete, it contained most of the basic ideas that eventually led to the correct proof one century later.
Muchos matemáticos aceptan ésta como una prueba irrefutable, pero muchos otros argumentan que no se trata de una demostración matemática: la computadora habı́a verificado que una
enorme cantidad de mapas podı́an colorearse usando a lo más 4 colores, pero ¿y si existı́a un mapa,
que la computadora no hubiera contemplado, que no podı́a colorearse de esa forma?, ¿cuáles son las
principales objeciones hacia la demostración de Appel y Haken?, principalmente las siguientes:
1. Parte de la prueba no puede verificarse a mano.
2. La parte realizada a mano es muy complicada y no habı́a sido verificada de forma independiente.
En 1996, N. Robertson, D.P. Sanders, P. Seymour y R. Thomas (Georgia Institute of Technology) publican “A new proof of the four-colour theorem”, ¿qué aporta esta nueva demostración?,
fundamentalmente lo siguiente:
1. Elimina complicaciones, confirmando que la inevitabilidad de un conjunto reducible puede probarse sin explorar tantos ejemplos como en la prueba de Appel y Haken.
2. El conjunto inevitable de su demostración es de tamaño 633.
3. Dan un conjunto de tan sólo 32 reglas de descarga.
CAPÍTULO 4
42
4. La comprobación a mano de la inevitabilidad se reemplaza por una prueba formal que puede
verificarse con una computadora.
5. La comprobación dura únicamente 3 horas en cualquier computadora doméstica.
En 2004, B. Werner (INRIA) y G. Gonthier (Microsoft Research, Cambridge) verifican
la prueba anteriormente citada de Robertson, formulando el problema en términos del programa Coq
7.3.1 (que utiliza ecuaciones de tipo lógico). Este programa elimina la necesidad de fiarse de los
variados programas de computadora usados para verificar los casos particulares: basta con dar crédito
al asistente Coq. Con este sistema, confirman la validez de cada una de las etapas de la prueba.
Comentarios finales
Dos de las aportaciones fundamentales de la demostración del teorema de cuatro colores
son:
1. Ha servido de estı́mulo en el desarrollo de teorı́as matemáticas como la teorı́a de grafos y de
redes.
2. Es el primer gran teorema demostrado con apoyo de una computadora.
Este último punto levanta muchas controversias en el momento de la aparición de la demostración, las objeciones se moderaron al aparecer otras pruebas realizadas con ayuda de la computadora,
como la clasificación de los grupos simples finitos (que depende de cálculos imposibles de ejecutar
con detalle a mano) o la solución de Hales del problema de Kepler sobre el empaquetamiento óptimo
de esferas.
CONCLUSIÓN
En este trabajo mostramos la manera en que Euclides organizó las matemáticas (definiciones, axiomas y teoremas) utilizando el método deductivo para demostrar resultados matemáticos
geométricos en su época, el cual ha perdurado hasta nuestros dı́as y lo usamos cuando hacemos matemáticas. También estudiamos a algunos de los matemáticos del siglo XIX y XX que ayudaron a la
creación de herramientas más sofisticadas, las cuales originaron cambios significativos en la manera
de demostrar resultados matemáticos, para mostrar esto dimos algunos ejemplos del uso y alcances
de éstas. En particular demostramos un corolario del Teorema de Miquel y el Teorema de Baire con
las herramientas disponibles en la época de Euclides y el siglo XX respectivamente. También estudiamos el Teorema de los 4 Colores y conforme fuimos analizando los intentos fallidos por demostrarlo
pudimos notar que hay resultados cuya demostración es compleja y que algunas veces no son suficientes las herramientas que tenemos disponibles. La mejor aproximación de una demostración a este
resultado utiliza medios computacionales, sin embargo muchos autores dudan de la validez de esta
demostración.
Hoy en dı́a muchos matemáticos están más familiarizados con una demostración que consiste en una secuencia de pasos lógicos escritos en un pedazo de papel, y por esto no admiten demostraciones como la del Teorema de los 4 Colores. Todavı́a tenemos la esperanza de que algún dı́a haya
una demostración de éste teorema sin la necesidad de apoyarse en la computadora. Después de todo,
una prueba tradicional como la que hoy en dı́a hacemos, ofrece el entendimiento, la comprensión y el
sentido de realización que todos los matemáticos buscamos.
Hoy en dı́a la sociedad tiene nuevas necesidades, muchas de las ciencias en particular las
matemáticas requieren cierta información y ciertas técnicas. La necesidad de un dispositivo viable a
menudo supera por mucho la necesidad de tener la certeza de que la técnica puede hacer frente a
las rigurosas reglas de la lógica. El resultado de esto, puede tener como consecuencia que volvamos
a evaluar los fundamentos de nuestra forma de demostrar resultados matemáticos. Por esta razón la
forma en que practicaremos matemáticas en el año 2050 posiblemente sea muy diferente a la forma en
la que las practicamos hoy en dı́a.
En conclusión, aunque la manera en la que demostramos resultados matemáticos siga evolucionado, al igual que los sı́mbolos y el lenguaje que utilizamos, el objetivo de todo matemático debe
ser siempre el mismo: comprobar que un resultado matemático es verdadero.
43
CAPÍTULO
44
Apéndice A
Métodos de Demostración en Matemáticas
En matemáticas no se acepta una proposición como verdadera hasta que se construye su
demostración formal, aunque la proposición sea válida para un número finito de casos no significa que
sea válida para todo el universo, por ejemplo la conjetura de Goldbach (todo número par mayor que
2 puede escribirse como suma de dos números primos) se ha verificado utilizando computadoras para
millones de casos pero a pesar de ello no se acepta como verdadera.
Para hacer una demostración, debemos de ser muy cuidadosos en los pasos que realizamos,
por ejemplo veamos el siguiente razonamiento:
Si x = y entonces:
3x = 3y
2y = 2x,
luego:
3x + 2y = 3y + 2x
3x − 3y = 2x − 2y
3(x − y) = 2(x − y)
3 = 2.
A este razonamiento se le llama falacia. Una falacia es un razonamiento aparentemente correcto pero
que en su desarrollo contiene errores los cuales nos llevan a una conclusión totalmente falsa.
Con el razonamiento anterior podemos darnos cuenta que una demostración por lo regular
no es fácil y debemos ser cuidadosos en cada uno de los pasos de esta.
Aquı́ consideraremos algunos de los métodos de demostración más usados, que son los
siguientes:
1. Método directo de demostración
45
APÉNDICE
46
2. Métodos indirectos de demostración
por contrapositiva
por reducción al absurdo
3. Método de Inducción matemática
4. Método por contraejemplo
A.1.
Método de Demostración Directa
En una demostración directa de la declaración P implica Q (P ⇒ Q) empleamos la naturaleza transitiva de la implicación. Es decir que si P ⇒ R y R ⇒ Q entonces se sigue que P ⇒ Q.
Para comenzar la demostración suponemos que P es una declaración verdadera. De esto deducimos
una declaración P1 por medio de un enunciado lógico.
De igual manera de P1 deducimos directamente una declaración P2 y ası́ sucesivamente
hasta que obtenemos las proposiciones verdaderas P1 , P2 , ..., Pn y de la declaración Pn se sigue Q.
Ası́ que
P ⇒ P1 ⇒ P2 ⇒ · · · ⇒ Pn ⇒ Q.
Por lo que Q también es un declaración verdadera.
El esquema de demostración en el método directo es de la forma:
P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn ⇒ Q.
El método de demostración directo tiene como fundamento lógico la regla de inferencia clásica llamada Modus Ponens:
[P ∧ (P ⇒ Q)] ⇒ Q,
que significa: si la hipótesis P es verdadera y la hipótesis P implica la conclusión Q entonces la
conclusión Q es verdadera. El siguiente ejemplo fue extraı́do de [9].
Ejemplo A.1. Demostrar que si n es un entero impar entonces n2 también es un entero impar.
APÉNDICE
Demostración. Sea n par
(P)
Ya que n es par entonces n = 2k + 1, para algún entero k
n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1
= 2(2k2 + 2k) + 1.
(P ⇒ Q)
Por lo tanto tenemos que n2 es impar.
(Q)
A.2.
Métodos de Demostración Indirectos
A.2.1.
Método de demostración por contrapositiva
47
(P1 )
Tiene como fundamento la equivalencia lógica entre las proposiciones P ⇒ Q y ¬Q ⇒ ¬P.
Para realizar una demostración por contrapositiva tomamos como hipótesis la negación de la conclusión escrita como ¬Q y obetenemos como conclusión la negación de la hipótesis escrita como ¬P,
podemos generalizar esto para el caso que se tengan varias premisas. El siguiente ejemplo fue extraı́do
de [9].
Ejemplo A.2. Si 3x − 1 es par, entonces x es impar.
Demostración. Primero negamos la hipótesis Q: “x es impar” y obtenemos ¬Q : “x no es impar” (o x
es par). De aquı́ partiremos para obtener ¬P.
Sea x par.
(¬Q)
Ya que x es par, existe un número entero a tal que x = 2a.
(Q1 )
Ahora,
3x − 1 = 3(2a) − 1 = 6a − 1 − 1 + 1 = 6a − 2 + 1
= 2(3a − 1) + 1 = 2k + 1(k = 3a − 1).
(¬Q ⇒ ¬P)
En consecuencia, 3x − 1 es impar.
(¬P)
Ya que ¬Q ⇒ ¬P es equivalente a P ⇒ Q demostramos el teorema.
A.2.2.
Método de demostración por reducción al absurdo
El método de reducción al absurdo se atribuye al filósofo griego Zenón de Elea, alrededor
del siglo V a.C., el cual utilizaba en sus argumentos y en sus famosas paradojas, desde entonces es un
método ampliamente aplicado en matemáticas.
El procedimiento general para demostrar indirectamente por reducción al absurdo una proposición de la forma (P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn ) ⇒ Q consiste en:
1. Comenzaremos suponiendo que la hipótesis P es verdadera y la conclusión Q es falsa. A partir de
estas dos declaraciones, deducimos una sucesión de conclusiones lógicas (P1 ∧P2 ∧...∧Pn ) hasta
llegar a una contradicción (recordemos que una contradicción es una afirmación que siempre es
falsa).
APÉNDICE
48
2. Llegando de P y ¬Q a una contradicción, demostramos la implicación P ⇒ Q mostrando que
P ∧ ¬Q siempre es falsa, y ya que P ∧ ¬Q es lógicamente equivalente ¬(P ⇒ Q), deducimos que
la negación del teorema también es falso. Ahora bien, si la negación del teorema es siempre falsa,
entonces el teorema es siempre verdadero. Por lo tanto, el método de la prueba por contradicción
demuestra P ⇒ Q, demostrando que ¬(P ⇒ Q) nunca puede ser verdad.
Aristóteles fundamento lógicamente la demostración por reducción al absurdo en dos principios: principio de no contradicción ¬(P ∧ ¬P) considerada ley suprema de la lógica según Kant y
Aristóteles, que significa que una proposición no es verdadera y falsa simultáneamente y el principio
del tercero excluido (P ∧ ¬P) que significa que una proposición es verdadera o falsa. Si no son aceptados los principios anteriores, el método de reducción al absurdo carece de fundamento lógico. El
siguiente ejemplo fue extraı́do de [9].
Ejemplo A.3. Hay una cantidad infinita de números enteros primos.
Demostración. Para la demostración, supongamos lo contrario. Ası́ que sólo hay un número finito de
números primos. Llamémosles p1 , p2 , ..., pN . Consideremos ahora el número P = (p1 p2 · · · pN ) + 1.
¿Qué tipo de número es P?. Notemos que si dividimos P por p1 entonces obtenemos un resto de 1 (ya
que p1 va uniformemente en p1 p2 · · · pN ).
Además, si dividimos p2 en P entonces obtenemos un resto de 1. Y es lo mismo si dividimos cualquiera de p3 a PN en P.
Ahora, si P fuera un número compuesto, entonces tendrı́a que ser divisible por algún primo.
Pero hemos demostrado que no lo es: Hemos dividido cada número primo conocido en P y obtuvimos
un residuo distinto de cero en cada caso. La única conclusión posible es que P es otro primo, obviamente, mayor que cualquiera de los números primos en la lista original. Eso es una contradicción.
Ası́ que no puede haber un número finito de primos. Por lo tanto debe de haber un número infinito. A.3.
Método de Demostración por el principio de Inducción Matemática
Según el libro de Joseph A. Gallian (véase [3]) existen dos tipos de inducción:
A.3.1.
Primer principio de inducción matemática
Sea S un conjunto de enteros que contiene a a. Supongamos que S tiene la propiedad de
que cada vez que algún entero n ≥ a pertenece a S, entonces el número entero n + 1 también pertenece
a S. Entonces, S contiene cada número entero mayor o igual a a.
Por lo tanto, utilizar la inducción para demostrar que una declaración que implica enteros
positivos es cierta para todo entero positivo, lo primero que comprobamos es que la afirmación es cierta
para el entero 1. Entonces asumimos la afirmación es cierta para el entero n y usamos esta suposición
para probar que la afirmación es cierta para el entero n + 1. El siguiente ejemplo fue extraı́do de [3].
APÉNDICE
49
Ejemplo A.4 (Fórmula de De Moivre). Probar que
cosθ + isenθ)n = cos(nθ) + isen(nθ).
Demostración. Usamos inducción para probar que para todo entero positivo n y todo número real θ,
(cosθ + isenθ)n = cos(nθ) + isen(nθ),
√
donde i es el número complejo −1. Obviamente, la afirmación es cierta para n = 1. Ahora supongamos que es cierto para n.
Tenemos que demostrar que (cosθ + isenθ)n+1 = cos((n + 1)θ) + isen((n + 1)θ). Observemos
que
(cosθ + isenθ)n+1 = (cosθ + isenθ)n (cosθ + isenθ)
= (cos(nθ) + isen(nθ))(cosθ + isenθ)
= cos(nθ)cosθ + isen(nθ)cosθ + senθcos(nθ) − sen(nθ)senθ.
Ahora, usando identidades trigonométricas para cos(α+β) y sen(α+β), vemos que este último término
es cos(n + 1)θ + isen(n + 1)θ. Ası́ que, por inducción, la afirmación es cierta para todos los enteros
positivos.
En muchos casos, la suposición de que una declaración es cierta para un número entero n
no se presta fácilmente a una prueba de que la afirmación es cierta para el número entero n + 1. En
tales casos, la siguiente forma equivalente de inducción puede ser más conveniente. Algunos autores
llaman a esta formulación “la forma fuerte de inducción”.
A.3.2.
Segundo principio de inducción matemática
Sea S un conjunto de enteros que contiene a a. Supongamos que S tiene la propiedad de
que n pertenece a S siempre que cada número entero menor que n y mayor o igual a a pertenezca a S.
Entonces, S contiene cada número entero mayor o igual que a. Para utilizar esta forma de inducción,
lo primero que demostramos es que la afirmación es cierta para el entero a. Entonces suponemos que
la afirmación es cierta para todos los enteros que son mayores o iguales a a y menores que n, y usamos
esta suposición para probar que la afirmación es cierta para n. El siguiente ejemplo fue extraı́do de [3].
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Ejemplo A.5. Utilizaremos el segundo principio de inducción matemática con a = 2 para probar la
parte de existencia del teorema fundamental de la Aritmética.
Demostración. Sea S el conjunto de los enteros mayores que 1 que son primos o producto de números
primos. Claramente, 2 ∈ S . Ahora suponemos que para algún entero n, S contiene todos los enteros k
con 2 ≤ k < n. Debemos demostrar que n ∈ S . Si n es un número primo, entonces n ∈ S por definición.
Si n no es un número primo, entonces n puede escribirse en la forma ab, donde 1 < a < n y 1 < b < n.
Dado que estamos suponiendo que tanto a como b pertenecen a S, sabemos que cada uno de ellos es
un primo o un producto de primos. Por lo tanto, n es también un producto de primos. Esto completa la
demostración.
A.4.
Método por Contraejemplo
Este método se aplica de manera muy particular para demostrar la falsedad de proposiciones cuya hipótesis está construida mediante un “cuantificador universal”. Esto es, se aplica para
demostrar la falsedad de una proposición que tenga una conclusión referida para “todos los elementos
de un cierto conjunto”. El siguiente ejemplo fue extraı́do de [9].
Ejemplo A.6. Toda función continua es diferenciable
Demostración. La función f (x) = |x| es continua en x = 0, pero no es diferenciable en dicho punto.
Es continua en x = 0 porque:
lı́m |x| = |0| = 0 = f (0).
x→0
No es diferenciable en x = 0 porque no existe la derivada f 0 (0)
|h|
|0 + h| − |0|
= lı́m .
x→0 h
x→0
h
f 0 (0) = lı́m
Planteamos los lı́mites laterales
lı́m+
x→0
lı́m
x→0+
|h|
h
= lı́m+ = 1,
x→0 h
h
|h|
h
= lı́m+ = −1.
x→0
h
h
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Los lı́mites laterales son distintos. Entonces el lı́mite planteado no existe ⇒ f 0 (0) no existe ⇒ f
no es diferenciable en x = 0.
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Bibliografı́a
[1] Burton, D. (1997). The History of Mathematics - An Introduction. McGraw-Hill, New York, 7th
edition
[2] Casanovas E. (2002). Teorı́a axiomática de conjuntos Material inedito.
[3] Gallian J. Contemporary Abstract Algebra. Brooks Cole Pub Co. 8th edition
[4] Krantz. S. (2007). The Proof is in the Pudding: The Changing Nature of Mathematical Proof.
Springer; 2011 edition
[5] Loomis E. (1927). The Pythagorean Proposition. Tarquin Publications.
[6] Macho M. (2006). Mapas, colores y números. Sociedad, ciencia, tecnologı́a y matemáticas
[7] Mancosu, P. (1997) From Brouwer to Hilbert: The Debate on the Foundations of Mathematics in
the 1920s OUP USA bibitem8 Potter, T. (2010) The Baire Category Theorem and Some Applications Material inedito
[8] Rossi R. (2006). Theorems, Corollaries, Lemmas, and methods of proof. John Wiley and Sons
[9] Herrlich, H. (2006) Axiom of choice. Springer-Verlag.
[10] Solow D. (1993). Como entender y hacer demostraciones matemáticas. Limusa (Junio 29, 2006)
[11] Toledo P. (2012). Geometrı́a. Material inedito
[12] Wilson R. (2002). Four colors suffice: how the map problem was solved. Princeton University
Press.
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Tres etapas de la demostración en la Historia de las Matemáticas