1
Este artículo forma parte de “Notas al Capítulo V” del agotado Tomo I de Análisis
Matemático de Julio Rey Pastor, Pi Calleja y César A. Trejo, p. 330 y ss.
En esta primera entrega se introducen las matrices de Toeplitz y se muestra la enorme
potencia de las transformaciones de Toeplitz al probar con poco esfuerzo conocidos
teoremas sobre sucesiones.
Algoritmos generales de convergencia y sumación.
a)
Transformación de Toeplitz.
Teorema 1. Si una matriz infinita de números reales o complejos
 t1,1 t1,2
t
 2,1 t2,2
T =  ... ...

tn ,1 tn ,2
 ... ...
... t1,n
... t2,n
... ...
... tn ,n
... ...
...
...
...

...
...
cumple las condiciones:
a1 ) Cada columna tiene límite nulo, es decir
lim tn , p = 0 p = 1, 2, 3, ... ;
n →∞
a2 ) Existe una constante K, independiente de n, tal que para todo n > 0 es
| tn ,1 | + | tn ,2 | +... < K ;
entonces, cualquier sucesión real o compleja {sn } de límite nulo, sn → 0 , se
transforma por la matriz T en una sucesión:
∞
[1]
tn = tn ,1s1 + tn,2 s2 + ... = ∑ tn , p s p
p =1
que también tiene límite nulo, tn → 0 .
Obsérvese que la condición a2 ) implica la convergencia absoluta de las series formadas
con los elementos de cada fila:
∞
τ n = ∑ tn , p .
p =1
2
Teorema 2. Si la matriz T , además de cumplir las condiciones a1 ) y a2 ) , cumple la
condición
lim τ n = τ
a3 )
n →∞
(τ finito)
entonces, toda sucesión real o compleja {sn } de límite finito s, es decir sn → s , se
transforma por la matriz T en una sucesión [1] que tiene límite τ s , es decir:
 ∞

lim tn = lim  ∑ tn, p s p  = τ s .
n →∞
n →∞
 p =1

Teorema 3. Si la matriz T tiene todos sus elementos reales no negativos, y además
cumple las condiciones a1) y a2), entonces:
Toda sucesión {sn } de elementos reales, transformada por [1] en la {tn } , verifica
liminf (τ sn ) ≤ liminf tn ≤ limsup tn ≤ limsup (τ sn )
[2]
Las matrices que originan la transformación [1] en las tres condiciones a1 ) , a2 ) y a3 )
se llaman matrices T o de Toeplitz (1911).
1
para p ≤ n , tn , p = 0 para p > n , se obtiene una matriz T que
n
cumple las condiciones de hipótesis de los tres teoremas anteriores con τ = 1 , y origina
una transformación, ya estudiada por Cauchy (1821) de una sucesión {sn } en las de las
Si se toma tn , p =
medias aritméticas de sus n primeros términos
 s1 + s2 + ... + sn 


n


Obsérvese que en el teorema 3, la condición a3 ) implica la a2 ) , y que en los teoremas
1 y 2, por conservarse acotados los términos {sn } , la condición a2 ) asegura la
convergencia absoluta de las series [1], es decir, la existencia de la sucesión
transformada {tn } .
Demostración del teorema 1.
Dado ε > 0 , tomemos m = m(ε ) tal que para p > m se conserve | s p | < ε / 2 K .
Entonces por a2 ) es:
tn , m+1 sm+1 + tn , m+ 2 sm+ 2 + ... < ( tn , m+1 + tn , m+ 2 + ...)
1
ε
≤ ε,
2K 2
para cualquier n , y podremos poner:
1
| tn | < tn , 1 s1 + tn, 2 s2 + ... + tn, m sm + ε .
2
3
Por a1 ) se puede tomar | tn , p | <
c > | s p | , p = 1, 2,..., m .
ε
, p = 1, 2,..., m para todo n > ν (ε ) , en que
2mc
Por lo tanto, tn ,1s1 + ... + tn , m sm < cm ε / 2mc = ε / 2 ; es decir: | tn | < ε si n > ν (ε ) ,
como queríamos demostrar.
Demostración del teorema 2.
Expresemos s p = s + δ p con δ p → 0 ; entonces en [1] se tiene
∞
tn = τ n s + ∑ tn , p δ p .
p =1
La condición a2 ) asegura que el primer sumando del último miembro tiende a τ s ,
∞
mientras que la suma de la serie
∑t
p =1
n, p
δ p tiende a cero para n → ∞ por el teorema 1,
lo que demuestra el teorema 2.
Demostración del teorema 3.
Probemos, por ejemplo, la primera desigualdad [2] .
Supuesto liminf sn = s > −∞ , sea un número cualquiera c < s .
Entonces, s p > c para p > m = m(c) , y por ser los elementos de T reales no
negativos, es
tn ≥ (tn ,1 s1 + ... + tn ,m sm ) + (tn ,m+1 + tn ,m+ 2 + ...)c , para cualquier n .
Fijado m , para m > ν (δ , c) por a1 ) y a2 ) queda tn > τ c − δ , y por ser δ > 0
arbitrario, es liminf tn ≥ τ c , es decir:
liminf tn ≥ liminf τ sn .
Para una matriz que tenga elementos no todos positivos o nulos, puede no ser cierto el
teorema 3.
Ejemplo 1. La matriz T, de elementos
t2 n +1, p
1 si p = 2r + 1
=
0 si p ≠ 2r + 1
t2 n , p
 −1 si p = 2r

=  2 si p = 2r + 1
 0
para los demás p

cumple las condiciones a1 ), a2 ), y a3 ) , con τ = 1 . Pruébese que la sucesión
s2 r = 0 , s2 r −1 = ( −1) r +1 , r = 1, 2,3,...,
se transforma por [1] en
t2 r = 2(−1) r , t2 r −1 = ( −1) r +1 , r = 1, 2,3,...,
4
y no se cumple la conclusión [2].
Sin embargo, subsisten para esta matriz T los teoremas 1 y 2.
(−1) n +1 si p = n
si p ≠ n ,
 0
Si la matriz T hubiese tenido como elementos tn , p = 
se cumpliría el teorema 1, pero no el teorema 2, y por consiguiente, tampoco el teorema
3, como se comprueba tomando sn = 1 constante, mientras que tn = ( −1) n +1 oscila.
5
b)
Medias aritméticas y geométricas.
El resultado de Cauchy antes mencionado, referido al teorema 2, dice:
Si una sucesión real o compleja {sn } tiene límite s , entonces la sucesión de medias
aritméticas de los n primeros términos tiene el mismo límite,
s1 + s2 + ... + sn
→s
n
Análogamente se formula el teorema 3 para este caso
Si sn > 0 , resulta
n
s1.s2 ....sn → s , como se verifica tomando logaritmos, es decir,
también las medias geométricas de los n primeros términos de una sucesión
convergente de términos positivos sn > 0 , tiene el mismo límite.
Como corolario importante obtenemos:
Si en una sucesión cualquiera de términos positivos existe lí m
n →∞
an
= γ , entonces es
an−1
lí m n an = γ .
n →∞
Porque la media geométrica de a1 ,
n
a1.
a
a2
,..., n es
a1
an−1
a
a2
.... n = n an .
a1 an−1
Ejemplo 2. Para demostrar que
n
n → 1 , basta ver que
n
→ 1.
n −1
Obsérvese que el recíproco del corolario anterior puede no ser cierto:
Así, para a2 p = 1/ 2 p , a2 p −1 = 1/ 2 p , p = 1, 2,3,..., lí m
n →∞
lí msup
an
no existe, pues
an−1
an
a
1
= 1 y liminf n = , mientras que es lí m n an = 1/ 2 .
n →∞
an −1
an−1 2
c) Más generalmente, suponiendo como antes sn → s , y elegida una sucesión de
números positivos bn > 0 , tales que Bn = b1 + b2 + ... + bn → +∞ , se verifica:
b1s1 + b2 s2 + ... + bn sn
=s
Bn
Porque la matriz de elementos tn , p = bp / Bn , si p ≤ n, tn , p = 0, si p > n , cumple las
hipótesis a1 ), a2 ), a3 ) con τ = 1 .
Para sn = an / bn deducimos el corolario:
Si es bn > 0 con b1 + b2 + ... + bn → +∞, entonces
lim
6
lim an / bn = γ implica
lim
a1 + a2 + ... + an
=γ
b1 + b2 + ... + bn
Ejemplo 3. Si en la potencia de un binomio tomamos a = b = 1 , resulta
y por lo tanto, si sn → s , también
n n
n
2n =   +   + ... +   ,
0 1
n
n
n
n
 0  s0 +  1  s1 + ... +   sn
 
 
n → s
n
2
Ejemplo 4. Si se toma an = log(n + 1), bn = (n + 1) log(n + 1) − n log(n) , con
logaritmos de base mayor que 1, resulta
log(n !)
→ 1.
log(n n )
Stirling mejoró esta fórmula, útil para el cálculo de factoriales grandes.
Preparado por Mario Augusto Bunge para http://www.rinconmatematico.com
Por inquietudes surgidas por este u otro artículo te invitamos a participar en los foros
http://www.rinconmatematico.com/foros