tema: escribir el texto de un problema como ecuación (1)

TALLER DE MATEMÁTICAS 8º NÚMERO 15
FECHA: ________________________________
GRUPO NUMERO: _______
REALIZADO POR: Lic. En matemáticas AUGUSTO RENE FLOREZ RUIZ.
INTEGRANTES
NOTA INDIVIDUAL
PUNTUACIÓN GRUPAL
MATERIALES DE TRABAJO: Hojas de block, colores, regla y tijeras.
TEMA: ESCRIBIR EL TEXTO DE UN PROBLEMA COMO ECUACIÓN (1)
La masa total de una botella con su tapón es 110 g. La botella sola pesa 100 g más que el
corcho. ¿Cuál es la masa del corcho?
Si respondiéramos sin pensar, diríamos que la masa del corcho es 10 g, lo cual es erróneo.
Como la botella pesa 100 g más, esto es 110 g, la masa total de la botella y el corcho debería
ser 120 g (110 + 10 = 120). De hecho, la masa del corcho es 5 g y la masa de la botella de 105 g.
¿Cómo usamos una ecuación para resolver un problema y evitar equivocaciones de este tipo?
I. Un problema analítico
1. Enunciado
Un jardinero planta bulbos de tulipanes en un parterre. Un tercio de esos bulbos serán
tulipanes rojos, la cuarta parte serán blancos, una sexta parte serán negros y otra sexta parte
amarillos. Finalmente, planta 3 bulbos de tulipanes rosas. ¿Cuántos bulbos ha plantado el
jardinero?
2. Seleccionar la incógnita
Digamos que x será el número total de bulbos plantados, siendo x, por lo tanto, un número
entero positivo (natural).
Nota: elegimos una incógnita e imaginamos que estamos preparados para conocer la
respuesta.
3. Escribir un problema como una ecuación
Escribir un problema como una ecuación significa escribir el enunciado literal como una
expresión algebraica.
El jardinero planta
negros,
de los tulipanes rojos,
de los tulipanes blancos,
de los tulipanes
de los tulipanes amarillos y finalmente planta 3 tulipanes de color rosa.
En total, ha plantado x bulbos de tulipanes.
Podemos expresar el número total de bulbos de una forma diferente, mediante la suma del
número de bulbos de cada color. Es decir, han sido plantados, los siguientes bulbos:
Esto nos permite escribir la ecuación:
Es decir, establecemos una igualdad entre la incógnita (x), o número total de bulbos plantados,
y la suma de cada uno de los tipos de bulbo.
4. Resolver la ecuación
Agrupamos todos los términos en x en el primer miembro de la ecuación (lo cual significa que
los términos
ecuación quedaría así:
pasan restando al primer miembro). De manera que la
Sacamos factor común a x:
Reducimos los términos dentro del paréntesis a común denominador y obtenemos:
Resolvemos el paréntesis:
Como último paso despejamos, pasando el 12 multiplicando al segundo miembro: x = 3 · 12; x
= 36.
5. Volviendo al problema: comprobación del resultado
El jardinero planta un total de 36 tulipanes.
En efecto, hay 12 tulipanes rojos
, 9 tulipanes blancos
, 6 tulipanes
negros, 6 tulipanes amarillos
, y 3 tulipanes de color rosa.
Por último, comprobamos que la igualdad de la ecuación se cumple: 12 + 9 + 6 + 6 + 3 = 36.
II. Un problema de geometría
1. Enunciado
Queremos excavar en un parque, un estanque rectangular rodeado por un camino de 2 m de
ancho. El estanque tiene 8 m de ancho. ¿Cuántos metros de largo deberá tener el estanque
para que su área sea igual a la del camino?
2. Seleccionar la incógnita y escribir la ecuación
Llamaremos x al largo del estanque, en metros; x deberá ser un número positivo.
Los lados exteriores del camino forman un rectángulo (ABCD de la figura 1), cuya anchura será
de 12 m, porque 2 + 8 + 2 = 12. Ahora vamos a expresar el largo de este rectángulo que forma
el camino, y para ello haremos uso de x: el largo, en metros, será x + 4, ya que 2 + x + 2 = x + 4.
El área de este rectángulo mayor (en m²) es 12(x + 4).
El área del estanque (en m²) es 8x.
Si observas detenidamente el dibujo, comprobarás que el área del rectángulo grande sería
equivalente a la suma de las áreas del estanque y del camino. Como resulta que el problema
nos dice que camino y estanque tienen la misma área, tenemos otra forma de expresar el área
del rectángulo grande: diciendo que es la suma de estas dos últimas, que además son iguales.
Por lo tanto tenemos dos ecuaciones que nos hablan del rectángulo grande:
Y si las igualamos, tenemos la ecuación: 12(x + 4) = 2 · 8x.
3. Resolver la ecuación
Aplicamos la propiedad distributiva en el primer miembro y hacemos la multiplicación de los
términos del segundo miembro. Así, obtenemos: 12x + 48 = 16x.
Si agrupamos los términos en x en el segundo miembro, la ecuación quedaría así: 48 = 16x –
12x.
Simplificamos, 48 = 4x, y despejamos:
Por lo tanto, x = 12 m.
.
4. Volviendo al problema: comprobación del resultado
El estanque debe tener 12 m de largo para que las áreas del camino y del estanque sean
iguales.
Podemos comprobar que el área del estanque es de 96 m² (8 × 12 = 96) y que el área del
camino también es de 96 m² ((12 × 16) – 96 = 96); para calcular el área del camino le hemos
restado al rectángulo grande el área del estanque
PROBLEMAS
1) Un número multiplicado por 5 sumado con el mismo número multiplicado por
6 da 55. ¿Cuál es el número?
2) El doble de un número aumentado en 12 es igual a su triple disminuido en 5.
¿Cuál es el número?
3) Tres números impares consecutivos suman 81. ¿Cuáles son los números?
4) El doble de un número más el triple de su sucesor, más el doble del sucesor
de éste es 147. Hallar el número.
5) Si el lado de un cuadrado se duplica, su perímetro aumenta 40 m. Calcular la
medida del lado del cuadrado.
6) Las dimensiones de un rectángulo están en la razón 3 : 5 y su perímetro es
140 m. Calcular el largo y en ancho.
7)
Si el lado de un cuadrado es aumentado en 8 unidades, su perímetro se
triplica. ¿Cuánto mide el lado?
8) Un padre tiene 20 años más que su hijo. Dentro de 12 años, el padre tendrá
el doble de la edad del hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno actualmente?
9) Las edades de un matrimonio suman 62 años. Si se casaron hace 10 años y la
3
edad de la novia era
de la edad de la novia. ¿Qué edad tienen
4
actualmente?
10) La edad de Pedro excede a la de su amigo Santiago en 4 años y a la de su
amigo Juan en 2 años. Hace 6 años la razón entre sus edades era 2:3:4. ¿Qué
edad tienen actualmente?
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FIRMA DEL DOCENTE