método de Frobenius
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Métodos Matemáticos de la Física:
Método de Frobenius
DCFyA − FCEx − UNCPBA
Operador L
5
SimplifyBâ zi Pi @zD DAzΡ+j , 8z, i<EF
i=0
zj+Ρ
HP0 @zD + Hj + ΡL P1 @zD + H-1 + j + ΡL Hj + ΡL P2 @zD + H-2 + j + ΡL H-1 + j + ΡL Hj + ΡL P3 @zD +
H-3 + j + ΡL H-2 + j + ΡL H-1 + j + ΡL Hj + ΡL P4 @zD +
H-4 + j + ΡL H-3 + j + ΡL H-2 + j + ΡL H-1 + j + ΡL Hj + ΡL P5 @zDL
zi DAzj+Ρ , 8z, i<E . i ® 3
zj+Ρ H-2 + j + ΡL H-1 + j + ΡL Hj + ΡL
Desarrollo analítico
f@z_, u_D := SumAfk @uD zk , 8k, 0, ¥<E
sa = SumAcj zj+Ρ f@z, j + ΡD, 8j, 0, ¥<E
¥
¥
â zj+Ρ cj â zk fk @j + ΡD
j=0
k=0
sb = SumAzj+Ρ Sum@cs fj-s @s + ΡD, 8s, 0, j<D, 8j, 0, ¥<E
j
¥
â zj+Ρ â cs fj-s @s + ΡD
j=0
s=0
HHsa . j ® j - kL . k ® j - sL - sb
¥
â
j-Hj-sL=0
¥
¥
j
zs+Ρ cs â zj-s fj-s @s + ΡD - â zj+Ρ â cs fj-s @s + ΡD
j-s=0
j=0
s=0
2 Frobenius.nb
Coeficientes
j
coef@j_D := â cs fj-s @s + ΡD 0
s=0
TableForm@Map@coef, Table@j, 8j, 1, 5<DDD
c1
c2
c3
c4
c5
f0 @1 + ΡD + c0
f0 @2 + ΡD + c1
f0 @3 + ΡD + c2
f0 @4 + ΡD + c3
f0 @5 + ΡD + c4
f1 @ΡD 0
f1 @1 + ΡD + c0
f1 @2 + ΡD + c1
f1 @3 + ΡD + c2
f1 @4 + ΡD + c3
f2 @ΡD 0
f2 @1 + ΡD + c0 f3 @ΡD 0
f2 @2 + ΡD + c1 f3 @1 + ΡD + c0 f4 @ΡD 0
f2 @3 + ΡD + c2 f3 @2 + ΡD + c1 f4 @1 + ΡD + c0 f5 @ΡD 0
c5 . Simplify@Solve@%, c5 , 8c1 , c2 , c3 , c4 <DD
8Hc0 Hf1 @ΡD Hf1 @1 + ΡD Hf1 @2 + ΡD H-f1 @3 + ΡD f1 @4 + ΡD + f0 @4 + ΡD f2 @3 + ΡDL +
f0 @3 + ΡD Hf1 @4 + ΡD f2 @2 + ΡD - f0 @4 + ΡD f3 @2 + ΡDLL +
f0 @2 + ΡD Hf1 @3 + ΡD f1 @4 + ΡD f2 @1 + ΡD - f0 @3 + ΡD f1 @4 + ΡD f3 @1 + ΡD +
f0 @4 + ΡD H-f2 @1 + ΡD f2 @3 + ΡD + f0 @3 + ΡD f4 @1 + ΡDLLL +
f0 @1 + ΡD Hf1 @2 + ΡD f2 @ΡD Hf1 @3 + ΡD f1 @4 + ΡD - f0 @4 + ΡD f2 @3 + ΡDL +
f0 @2 + ΡD H-f1 @3 + ΡD f1 @4 + ΡD + f0 @4 + ΡD f2 @3 + ΡDL f3 @ΡD +
f0 @3 + ΡD Hf1 @4 + ΡD H-f2 @ΡD f2 @2 + ΡD + f0 @2 + ΡD f4 @ΡDL +
f0 @4 + ΡD Hf2 @ΡD f3 @2 + ΡD - f0 @2 + ΡD f5 @ΡDLLLLL
Hf0 @1 + ΡD f0 @2 + ΡD f0 @3 + ΡD f0 @4 + ΡD f0 @5 + ΡDL<
Formas Matriciales
j
d@j_D := â cs fj-s @s + ΡD
s=0
n = 5;
Matriz = SparseArray@8i_, j_< ; i >= j ® fi-j @Ρ + j - 1D, 8n + 1, n + 1<D;
Matriz MatrixForm
Map@d, Table@j, 8j, 0, n<DD == Matriz.Table@cs , 8s, 0, n<D
f0 @ΡD
i
j
j
j
j
j
j f1 @ΡD
j
j
j
f2 @ΡD
j
j
j
j
j
j
f3 @ΡD
j
j
j
j
j
f4 @ΡD
j
j
j
j
k f5 @ΡD
True
0
f0 @1 + ΡD
f1 @1 + ΡD
f2 @1 + ΡD
f3 @1 + ΡD
f4 @1 + ΡD
0
0
0
0
y
z
z
z
z
0
0
0
0
z
z
z
z
z
f0 @2 + ΡD
0
0
0
z
z
z
z
z
z
f1 @2 + ΡD f0 @3 + ΡD
0
0
z
z
z
z
z
f2 @2 + ΡD f1 @3 + ΡD f0 @4 + ΡD
0
z
z
z
z
f3 @2 + ΡD f2 @3 + ΡD f1 @4 + ΡD f0 @5 + ΡD {
Frobenius.nb 3
Formas Matriciales II
MF = Transpose@Drop@Transpose@Drop@Matriz, 1DD, -1DD;
MF MatrixForm
f1 @ΡD
i
j
j
j
j
j f2 @ΡD
j
j
j
j
j f3 @ΡD
j
j
j
j
j f4 @ΡD
j
j
j
k f5 @ΡD
f0 @1 + ΡD
f1 @1 + ΡD
f2 @1 + ΡD
f3 @1 + ΡD
f4 @1 + ΡD
0
0
0
f0 @2 + ΡD
0
0
f1 @2 + ΡD f0 @3 + ΡD
0
f2 @2 + ΡD f1 @3 + ΡD f0 @4 + ΡD
f3 @2 + ΡD f2 @3 + ΡD f1 @4 + ΡD
y
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
{
MatrixForm@Reverse@MFDD
f5 @ΡD
i
j
j
j
j
j
j f4 @ΡD
j
j
j
f3 @ΡD
j
j
j
j
j
j
f2 @ΡD
j
j
j
k f1 @ΡD
f4 @1 + ΡD
f3 @1 + ΡD
f2 @1 + ΡD
f1 @1 + ΡD
f0 @1 + ΡD
f3 @2 + ΡD f2 @3 + ΡD f1 @4 + ΡD
f2 @2 + ΡD f1 @3 + ΡD f0 @4 + ΡD
f1 @2 + ΡD f0 @3 + ΡD
0
f0 @2 + ΡD
0
0
0
0
0
y
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
{
H-1L2 Det@Reverse@MFDD - Det@MFD
0
Forma Alternativa
m@i_, j_D := fi-j @Ρ + j - 1D ; i ³ j
m@i_, j_D := 0 ; i < j
n = 7;
Matriz = Array@m, 8n + 1, n + 1<D;
MatrixForm@MatrizD
Map@d, Table@j, 8j, 0, n<DD == Matriz.Table@cs , 8s, 0, n<D
f0 @ΡD
i
j
j
j
j
j f1 @ΡD
j
j
j
j
j f2 @ΡD
j
j
j
j
j f3 @ΡD
j
j
j
j
j
f4 @ΡD
j
j
j
j
j
j f5 @ΡD
j
j
j
j
j
f6 @ΡD
j
j
j
j
k f7 @ΡD
True
0
f0 @1 + ΡD
f1 @1 + ΡD
f2 @1 + ΡD
f3 @1 + ΡD
f4 @1 + ΡD
f5 @1 + ΡD
f6 @1 + ΡD
0
0
f0 @2 + ΡD
f1 @2 + ΡD
f2 @2 + ΡD
f3 @2 + ΡD
f4 @2 + ΡD
f5 @2 + ΡD
0
0
0
f0 @3 + ΡD
f1 @3 + ΡD
f2 @3 + ΡD
f3 @3 + ΡD
f4 @3 + ΡD
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
f0 @4 + ΡD
0
0
0
f1 @4 + ΡD f0 @5 + ΡD
0
0
f2 @4 + ΡD f1 @5 + ΡD f0 @6 + ΡD
0
f3 @4 + ΡD f2 @5 + ΡD f1 @6 + ΡD f0 @7 + ΡD
y
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
{