Departamento de Estadística y Econometría

Departamento de Estadística y Econometría. Curso 2002-2003
EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA APLICADA A LA EMPRESA II.
L.A.D.E. TEMA 2
1.- Una empresa de elaboración de materiales pone en práctica un nuevo método de
fabricación tal que el coste medio por metro cuadrado se distribuye normalmente con varianza
poblacional 4. Se obtiene una muestra aleatoria simple de tamaño 100, resultando que la
media muestral es 2’4. Verifique la hipótesis de que el coste medio es de 3, con un nivel de
confianza del 95%.
(Solución: Valor observado = -3; |valor crítico| = 1’96; el coste medio es 3).
2.- Un investigador afirma que el tiempo que los niños de tres a cinco años dedican a ver la
televisión cada semana se distribuye normalmente con media 22 horas y desviación estándar 6
horas. Frente a este estudio, una empresa de investigación de mercados cree que la media es
mayor y para probar su hipótesis toma una muestra de 64 observaciones procedentes de la
misma población obteniendo como resultado muestral que la media es 25. Si se utiliza un
nivel de significación del 5%,
a) Verifique que la afirmación del investigador es realmente cierta.
b) Determine la potencia de ese contraste, si la verdadera media poblacional fuera 24.
(Solución: a) Valor observado = 4; /valor crítico/ = 1’645; la afirmación del investigador es
falsa; b) Potencia del contraste = 0’8485).
3.- Un psicólogo industrial desea estudiar los efectos de la motivación en las ventas de una
empresa en particular. De 24 vendedores nuevos que están en entrenamiento, a 12 se les va a
pagar por hora de trabajo y a los otros 12 se les pagará por comisión. Los 24 individuos
fueron asignados de manera aleatoria a los dos grupos. Los datos siguientes presentan el
volumen de ventas (en miles de dolares) logrado durante el primer mes de trabajo.
Salario por hora
256
239
222
207
228
241
212
216
236
219
225
230
Comisión
224
254
273
285
237
277
261
228
234
225
232
245
Suponiendo normalidad en la variable, ¿existe evidencia de que los incentivos
salariales a través de las comisiones, produce un volumen de ventas promedio más grande, a
un nivel de significación del 5%?.
(Solución: Valor observado =2’764; /valor crítico/ = 1’717; los incentivos salariales a través
de las comisiones, produce un volumen de ventas promedio mayor).
1
4.- Los ingresos del primer empleo de los licenciados en Dirección y Administración de
Empresas, en cualquier Universidad, siguen una distribución normal con desviación típica de
3’8 miles de euros. Se toma una muestra aleatoria de 15 licenciados procedentes de la
Universidad A resultando que en su primer empleo, sus ingresos medios anuales fueron de
12.000 euros. Otra muestra independiente de 12 licenciados de la Universidad B dio como
resultado que los ingresos medios de su primer empleo fueron de 13.200 euros. Se pide con
un nivel de confianza del 98%, contrastar la hipótesis de que las medias son iguales frente a la
alternativa de que la media de la Universidad A es menor que la de la Universidad B.
(Solución: Valor observado = -0’82; /valor crítico/ = 2’05; la media de la Universidad A no
es menor que la de la Universidad B).
5.- Un funcionario que trabaja en el departamento de colocación de una Universidad, quiere
determinar si los hombres y las mujeres licenciados en Administración de Empresas reciben,
en promedio, diferentes ofertas de salario en su primer trabajo después de licenciarse. El
funcionario seleccionó aleatoriamente ocho pares de licenciados en esa disciplina de manera
que las calificaciones, intereses e historial de los integrantes de cada pareja fuesen lo más
parecidos posible. La mayor diferencia fue que un miembro de cada pareja era hombre y el
otro mujer. La tabla adjunta recoge la mayor oferta salarial que recibió cada miembro de la
muestra al terminar su carrera.
Pareja
1
2
3
4
5
6
7
8
Mayor Oferta Salarial
(euros)
Hombre
Mujer
13.600
15.750
14.180
14.840
17.610
17.000
13.400
13.000
15.750
17.180
15.570
17.610
17.130
17.000
12.800
14.600
Asumiendo que las distribuciones son normales, contrastar la hipótesis nula de que las medias
poblacionales son iguales frente a la alternativa de que la verdadera media es mayor para los
hombres que para las mujeres, a un nivel de significación del 2’5%.
(Solución: Valor observado =2’16; |valor crítico| = 2’365; las medias poblacionales son
iguales).
6.- Una máquina de empaquetado automático deposita en cada paquete una cierta cantidad de
determinado producto. Se seleccionan 20 paquetes, se pesa su contenido y se obtienen los
siguientes resultados:
49 , 50 , 49 , 50 , 50 , 50 , 49 , 50 , 50 , 50 , 49 , 50 , 50 , 51 , 52 , 48 , 50 , 51 , 51 , 51
A partir de esta información y suponiendo que la variable se distribuye normalmente:
a) Verifique si la media de esa variable es 51, con un nivel de confianza del 99%.
b) Verifique si la varianza es la unidad, con un nivel de significación del 2%.
(Solución: a) Valor observado = -4’843; |valor crítico| = 2’861; la media de la variable no es
51; b) Valor observado = 16; valores críticos = 7’63 y 36’22; la varianza es la unidad).
2
7.- Para determinar el efecto de dos programas de formación (A y B), una empresa de
productos farmacéuticos elige una muestra aleatoria de 10 de sus representantes y los inscribe
en el programa A, en tanto que otros 10 de sus representantes elegidos al azar son inscritos en
el programa B. Durante el periodo de comparación, los representantes del programa A tienen
comisiones promedio por ventas de 5.000 $, con una desviación típica de 1.200 $; en tanto
que los representantes que participaron en el programa B tienen comisiones promedio por
ventas de 4.600 $ con una desviación típica de 1.000 $. Suponiendo normalidad en los datos
se pide, con un nivel de confianza del 95%:
a) Verifique que las varianzas de los dos programas son iguales.
b) Existen diferencias entre las comisiones para los dos programas.
(Solución: a) Valor observado = 1’44; valores críticos = 0’25 y 4’03; la varianza de los dos
programas son iguales; b) Valor observado = 0’768; |valor crítico| = 2’101; no existen
diferencias entre las comisiones).
8.- Una muestra de 10 piezas de acero del proveedor A ha dado una resistencia media de
54.000 unidades con desviación típica corregida de 2.100, mientras que otra muestra de 12
piezas del proveedor B ha resuelto en una media de 49.000 unidades y una desviación típica
corregida de 1.900. Las piezas B son más baratas que las A y éstas últimas sólo serían
rentables si tuviesen una resistencia media superior en 2.000 unidades a la correspondiente a
B; en caso contrario sería mejor comprar B ¿Qué decisión tomaría? Suponga que las
resistencias se distribuyen normalmente. Utilice un nivel de significación del 5%.
(Solución: Valor observado = 3’516; |valor crítico| = 1’725; la decisión sería comprar las
piezas del proveedor A).
9.- De una muestra aleatoria de 802 clientes de supermercados, 378 fueron capaces de decir el
precio correcto de un artículo inmediatamente después de ponerlo en el carro. Contrastar, al
nivel del 10%, la hipótesis nula de que la mitad de los compradores son capaces de decir el
precio correcto frente a la alternativa de que la proporción poblacional es menor de la mitad.
(Solución: Valor observado = -1’699; |valor crítico| = 1’28; la proporción es menor de la
mitad).
10.- Un proveedor asegura que los artículos por él suministrados son defectuosos en un 1% de
los casos. Se realiza una prueba de 200 de sus artículos y resultan defectuosos 3 de ellos. A un
nivel de significación del 1% ¿Es falsa o cierta la afirmación del proveedor?.
(Solución: Valor observado = 0’711; |valor crítico| = 2’575; es cierta la afirmación del
proveedor).
11.- Sometidos a una prueba 100 jóvenes y 200 adultos resultó que 42 de los jóvenes y 50 de
los adultos eran malos conductores. Emplear estos datos para verificar si el porcentaje de
malos conductores entre los jóvenes es un 8% mayor que el porcentaje de malos conductores
entre los adultos, frente a la posibilidad de una diferencia aún mayor.
(Solución: Valor observado = 1’55; |valor crítico| = 1’645; el porcentaje de malos
conductores entre los jóvenes es un 8% mayor que entre los adultos).
3
12.- Una revista de gran tirada quiere probar si las mujeres y los hombres tienen distinta
memoria visual con respecto a los anuncios. Para ello pone un anuncio en una revista, y
pregunta a 200 lectores varones y 200 mujeres, obteniendo que recuerdan el anuncio 50
hombres y 70 mujeres. ¿Qué puede concluirse al nivel de significación del 10%?.
(Solución: Valor observado = -2’182; |valor crítico| = 1’654; los hombre y las mujeres tienen
distinta memoria visual).
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
13.- Una emisora de televisión por cable anuncia que el periodo medio de espera desde la
solicitud hasta la conexión a la red de sus nuevos clientes es de ocho días. La asociación de
consumidores desea verificar dicha hipótesis, para lo cual ha tomado una muestra del periodo
de espera (en días) de 15 clientes con los siguientes resultados: 11, 8, 10, 13, 8, 10, 12, 12, 8,
10, 11, 7, 10, 7 y 8. Verifique si el periodo medio de espera es igual o diferente a ocho días,
explicitando las hipótesis utilizadas (α =0'05).
(Solución: Valor observado = 3’378; |valor crítico| = 2’145; el periodo medio de espera es
diferente a ocho días).
14.- La duración media de una muestra de 100 tubos fluorescentes producidos por una
compañía resulta ser 1.570 horas, con una desviación típica de 120 horas. Si µ es la duración
media de todos los tubos producidos por la compañía, comprobar la hipótesis µ = 1.600 horas,
contra la hipótesis alternativa de que µ < 1.600 horas, con un nivel de significación de 0'05 y
0'01 y suponiendo normalidad en la variable.
(Solución: α = 0’05; valor observado: -2’487; |valor crítico| = 1’66 ; se rechaza Ho ; α =
0’01; valor observado: -2’487; |valor crítico| = 2’364 ; se rechaza Ho .).
15.- Un grupo de investigadores canadienses afirma haber descubierto un tipo de alimentación
para las gallinas, bajo la cual éstas producen huevos que no aumentan el colesterol en las
personas que los consumen.
Para comprobar dicha teoría, se seleccionaron al azar 36 personas a las que se les
midió su nivel de colesterol habitual (Xi), observando en ellos de nuevo dicho nivel (Yi),
después de una dieta a base de huevos en estudio. Los resultados fueron:
x = 200
y = 203
1 36
2
∑ (D i − D ) = 196
35 i =1
Suponiendo normalidad en la variable, contrastar la hipótesis de que los huevos no
modifican el colesterol a un nivel de significación del 1%.
(Solución: Valor observado:-1’29; |valor crítico| = 2’724 ; no existe diferencia significativa
en los niveles de colesterol).
16.- Una empresa está interesada en lanzar un nuevo producto al mercado. Tras realizar una
campaña publicitaria, se toma la muestra de 1.000 habitantes, de los cuales, 25 no conocían el
producto. A un nivel de significación del 1% ¿apoya el estudio las siguientes hipótesis?:
a) Más del 3% de la población no conoce el nuevo producto.
4
b) Menos del 2% de la población no conoce el nuevo producto.
(Solución: a) Valor observado = - 0’927; |valor crítico| = 2’33; se acepta Ho.;b)Valor
observado = 1’129; |valor crítico| = 2’33; se acepta Ho.)
17.- Se quiere comparar el rendimiento académico en una determinada asignatura de los
alumnos de dos Universidades distintas. Elegidas dos muestras aleatorias de cada una de estas
Universidades (10 alumnos de la A y 12 de la B), se obtuvieron los siguientes resultados en
cuanto a la calificación obtenida en dicha asignatura:
Universidad A
Universidad B
Media
3'8
4'3
Varianza
1'1
1'6
En base a estos resultados y sabiendo que en ambos casos las variables siguen una
distribución normal, verifique la hipótesis de igualdad de rendimientos académicos de ambas
Universidades, con un nivel de significación del 5 %.
(Solución: Valor observado = -0’95; |valor crítico| = 2’086; se acepta la igualdad de
rendimientos académicos).
18.- Una cooperativa agrícola produce cierto cultivo con fertilizante natural y con abono
industrial. En las parcelas donde se emplea fertilizante natural se obtienen plantas de altura
normalmente distribuida y varianza 47 cm2. En los terrenos donde se usa abono industrial la
altura de las plantas es normal pero con varianza igual a 39 cm2. Para comprobar las medias
se toma aleatoriamente una muestra de 25 plantas, 11 correspondientes al primer tipo de
tierras y 14 al segundo, obteniéndose en las muestras 102 cm y 95 cm de alturas medias,
respectivamente. Trabajando con una confianza del 95%, se pide contrastar la hipótesis de que
los fertilizantes son igualmente eficaces, frente a la hipótesis alternativa de que es más eficaz
el natural.
(Solución: Valor observado: 2’635; |valor crítico| = 1’645; los fertilizantes no son
igualmente eficaces).
19.- La duración de los detergentes líquidos, A y B, en un envase estándar siguen una
distribución normal. Con el fin de analizar su eficacia se elige una muestra de 6 familias a las
que se les regala el detergente A y otra de 5 familias a las que se le regala el detergente B. Los
resultados obtenidos sobre la duración de ambos detergentes son los siguientes:
x = 12 días
y = 15 días
Sx2 = 16
Sy2 = 16
nx = 6
ny = 5
Se pregunta si uno de los dos detergentes es más duradero a un nivel de significación de
0'05.
(Solución: Valor observado: - 1’120; |valor crítico| = 2’262; se acepta que los dos
detergentes son iguales de duraderos).
5
20.- Una central de productos lácteos recibe diariamente la leche de dos granjas A y B.
Deseando estudiar la calidad de los productos recibidos se extraen dos muestras y se analiza
el contenido en materia grasa, obteniéndose los siguientes resultados:
x A = 0'305 , S A = 0'03 , n A = 13
x B = 0'308 , S B = 0'02 , n B = 13
¿Se puede decir que la diferencia de materia grasa media de una granja y otra es
significativa a un nivel de confianza del 90%?. Se supone que las variables estudiadas son
normales e independientes.
(Solución: Valor observado: -0’288; |valor crítico| = 1’711 ; no hay diferencias
significativas en materias grasas medias de una granja y otra).
21.- Los errores aleatorios de dos aparatos de medidas siguen las distribuciones,
X~N(0, σx2 )
Y~N(0, σy2)
De 7 medidas tomadas al azar para cada uno de los dos aparatos se ha obtenido la siguiente
información:
Σx2 = 9'57
Σy2 = 43'87
Se desea saber, con un nivel de significación del 5%:
a) Si los dos aparatos tienen igual precisión, medida ésta a través de la varianza.
b) Qué puede decir de la hipótesis: la varianza del primer aparato es igual a 1’3?.
(Solución: a) Valor observado = 0’218; ; valores críticos = 0’20 y 5’00; los aparatos tienen
la misma precisión. b) Valor observado = 7’36; valores críticos = 1’69 y 16’02; se acepta
Ho).
6