Ángulo distancia - División de Ciencias Básicas

PROBLEMAS RESUELTOS
ÁLGEBRA LINEAL
Tema 4. Espacios con Producto Interno
SUBTEMA: ÁNGULO Y DISTANCIA
Problema 1: En el espacio vectorial M de las matrices de mxn con elementos en R, se
tiene el siguiente producto interno:
( A B ) = tr ( A B )
T
∀ A, B ∈ M
⎛ 1 0 −α ⎞
⎛1 0 0⎞
Si A = ⎜
y B=⎜
⎟
⎟ . Determinar α ∈ R , tal que:
⎝ 0 0 −1 ⎠
⎝0 1 0⎠
(a) La distancia entre A y B sea
π
(b) El ángulo entre A y B sea
3
3.
= 60° .
SOLUCIÓN:
(a) La distancia se obtiene con: d ( A, B ) = A − B = B − A
• De donde:
⎛ 1 0 −α ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞
A− B = ⎜
⎟−⎜
⎟
⎝ 0 0 −1 ⎠ ⎝ 0 1 0 ⎠
⎛ 0 0 −α ⎞
A− B = ⎜
⎟
⎝ 0 −1 −1 ⎠
• Realizando el producto interno:
( A − B A − B ) = tr ⎡⎣( A − B)
T
⎡⎛ 0
⎢⎜
= tr ⎢⎜ 0
⎢⎣⎜⎝ −α
( A − B) ⎤⎦
⎤
0⎞
0 ⎞
⎛0 0
⎛ 0 0 −α ⎞ ⎥
⎟
⎜
1 ⎟⎟
−1⎟ ⎜
⎟ ⎥ = tr ⎜ 0 1
0 −1 −1 ⎠
⎜ 0 1 α 2 + 1⎟
⎥⎦
−1⎟⎠ ⎝
⎝
⎠
∴ ( A − B A − B) = 0 +1+ α 2 +1 = α 2 + 2
• Por tanto: d ( A, B ) = α 2 + 2
• Tomando en cuenta la condición dada d ( A, B ) = 3 :
d ( A, B ) = α 2 + 2 = 3
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ÁLGEBRA LINEAL
Tema 4. Espacios con Producto Interno
• Despejando el valor de α buscado:
α2 + 2 = 3
α2 =1
∴ α = ±1 ← Valor para el cual d ( A, B ) = 3
(b) El ángulo se obtiene con: cosθ =
( A B)
A⋅ B
• Calculando los productos internos necesarios:
⎡⎛ 1
( A B ) = tr ⎢⎢⎜⎜ 0
⎢⎣⎜⎝ −α
⎤
⎞
⎛ 1 0 0⎞
⎟ ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎥ = tr ⎜ 0 0 0 ⎟ = 1
⎟ ⎜ 0 1 0 ⎟⎥
⎜
⎟
⎠⎥
⎜ 0 −1 0 ⎟
−1⎟⎠ ⎝
⎝
⎠
⎦
⎡⎛ 1
( A A) = tr ⎢⎢⎜⎜ 0
⎢⎣⎜⎝ −α
⎤
⎞
⎛ 1
−
1
0
α
⎛
⎞
⎥
⎟
⎜
⎟ ⎜ 0 0 −1 ⎟ ⎥ = tr ⎜ 0
⎠⎥
⎜ −α
−1⎟⎠ ⎝
⎝
⎦
0
0
0
0
−α ⎞
0 ⎟⎟ = α 2 + 2
0 α 2 + 1⎟⎠
0
0
⎡⎛ 1 0 ⎞
⎤
⎛ 1 0 0⎞
⎢⎜
⎟ ⎛ 1 0 0 ⎞⎥
( B B ) = tr ⎢⎜ 0 1 ⎟ ⎜ 0 1 0 ⎟⎥ = tr ⎜⎜ 0 1 0 ⎟⎟ = 2
⎠⎥
⎜ 0 0 0⎟
⎢⎣⎜⎝ 0 0 ⎟⎠ ⎝
⎝
⎠
⎦
→
→
A = α2 + 2
B = 2
• Sustituyendo valores en la expresión para determinar el ángulo:
cosθ =
1
α2 + 2 ⋅ 2
= cos 60° =
1
2
• Despejando α:
α2 + 2 ⋅ 2 = 2
(
(α 2 + 2)(2) = 2
)
2
2α 2 + 4 = 4
2α 2 = 0
α2 = 0
∴ α = 0 ← Valor para el cual cosθ = 60°
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Problema 2: Calcular la distancia y el ángulo entre los vectores z = (1 − i, −2i ) y
w = ( 2i, 2 − i ) que pertenecen al espacio vectorial C 2 , respecto al producto interno usual
definido por:
( z w) = z w + z w
1
1
2
∀ z = ( z1 , z2 ) , w = ( w1 , w2 ) ∈ C 2
2
donde w1 y w2 son los conjugados de w1 y w2 , respectivamente.
SOLUCIÓN:
( )
(a) La distancia se obtiene con: d z , w = z − w
• De donde:
z − w = (1 − i, −2i ) − ( 2i, 2 − i ) = (1 − 3i, −2 − i )
• Calculando se producto interno:
( z − w z − w) = ⎣⎡(1 − 3i, −2 − i ) (1 − 3i, −2 − i )⎦⎤ = (1 − 3i)(1 + 3i) + (−2 − i)(−2 + i)
=1 + 3i − 3i − 9i 2 + 4 − 2i + 2i − i 2 = 1 + 9 + 4 + 1 = 15
→
z − w = 15
• Por tanto:
( )
∴ d z, w = 15 ← Distancia entre los vectores z y w
(b) El ángulo se calcula, en este caso, con la expresión: cosθ ≅
( )
R zw
z ⋅ w
• Calculando los productos internos necesarios:
z w = ⎡⎣(1 − i, −2i ) ( 2i, 2 − i ) ⎤⎦ = (1 − i )(−2i ) + (−2i )(2 + i )
( )
= −2i + 2i 2 − 4i − 2i 2 = −6i
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( z z ) = ⎡⎣(1 − i, −2i ) (1 − i, −2i )⎤⎦ = (1 − i)(1 + i) + (−2i)(2i)
= 1 + i − i − i 2 − 4i 2 = 1 + 1 + 4 = 6
→
z = 6
( w w) = ⎡⎣( 2i, 2 − i ) ( 2i, 2 − i )⎤⎦ = (2i)(−2i) + (2 − i)(2 + i)
= −4i 2 + 4 + 2i − 2i − i 2 = 4 + 4 + 1 = 9
→
w = 9
• Sustituyendo valores se llega a:
0
≅0
6⋅ 9
∴ θ ≅ 90° ← Ángulo entre los vectores z y w
cosθ ≅
Problema 3: Sean F el espacio vectorial de las funciones continuas en el intervalo [-1,1]
y el producto interno definido por:
( f g) = ∫
1
−1
f (t ) ⋅ g (t )dt
∀ f ,g ∈F
⎧ f (t ) = 1
⎪
Para las funciones ⎨ g (t ) = t
determinar: (a) el ángulo entre f y h; y (b) la distancia
⎪h(t ) = 1 + t
⎩
entre g y h.
SOLUCIÓN:
(a) Ángulo entre f y h: cosθ =
( f h)
f ⋅ h
• Calculando los productos internos necesarios:
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1
⎡ t2 ⎤
( f h ) = ∫−1 (1)(1 + t )dt = ∫−1 (1 + t )dt = ⎢t + 2 ⎥ = 1 + 12 − ⎛⎜ −1 + 12 ⎞⎟ = 2
⎝
⎠
⎣
⎦ −1
1
(f f)=∫
1
1
−1
(1)(1)dt =
∫
1
dt = [t ]−1 = 1 − ( −1) = 2
1
−1
→
f = 2
1
⎡
t3 ⎤
1 ⎛
1⎞
2
h
h
(1
t
)(1
t
)
dt
(1
2
t
t
)
dt
t
t
=
+
+
=
+
+
=
+
+
= 1 + 1 + − ⎜ −1 + 1 − ⎟
( ) ∫−1
⎢
⎥
∫−1
3 ⎦ −1
3 ⎝
3⎠
⎣
1
= 2+
1
2 8
=
3 3
→
2
8
3
h =
• Sustituyendo valores en la expresión del ángulo:
cosθ =
2
2⋅
8
3
∴ cosθ =
3
2
2
=
2 ⋅ 2⋅
2
3
1
1
1
3
=
=
=
2
(2)(2)
4
1
2⋅
3
3
3
=
• Por tanto:
← Ángulo entre f y h
(b) Distancia entre g y h: d ( g , h) = g − h
• Realizando el producto interno:
g − h = t − (1 + t ) = −1
( g − h g − h) = ∫
1
−1
(−1)(−1)dt =
∫
1
−1
dt = [t ]−1 = 1 − ( −1) = 2
1
• Finalmente:
∴ d ( g , h) = g − h = 2 ← Distancia entre g y h
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