Elaboración de un taller de Matemática

FUNDETEC CON VISIÓN UNIVERSITARIA RESOLUCIÓN 0043/12 S.E.F.
La Matemática ofrece a las ciencias naturales exactas un cierto
Grado de seguridad que sin ella no podrían alcanzar.
Albert Einstein
Taller de
Matemática
Capítulo
Capítulo
Capítulo
Capítulo
Capítulo
Capítulo
Capítulo
Capítulo
Capítulo
Capítulo
Capítulo
Capítulo
Capítulo
1: Números naturales
2: Números enteros
3: Fraccionarios
4: Geometría básica
5: Expresiones algebraicas
6: Productos Notables
7: Ecuaciones
8: Determinantes
9: Funciones
10: Trigonometría
11: Razones e identidades trigonométricas
12: Función cuadrática
13: Estadística
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Capitulo 1
Números Naturales
1. Escribe F si la afirmación es falsa o V si la afirmación es verdadera.
a. Cero es un número Natural esto es falso y verdadero a la vez, ya que según para los
matemáticos este número puede considerarse natural y para otros no.
b. Entre dos números naturales existe al menos un número natural __v___
c. Todo número natural tiene un siguiente __v___
d. Todo número natural tiene un antecesor __v___
e. El conjunto de los números naturales es infinito. __v___
2. Contesta las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál es el único número primo par? 2
b) ¿Cuál es el número primo más cercano a 100? 97
c) ¿Cuántos números primos hay del 2 al 50? 15
3. Determina todos los números naturales menores que 100
que son múltiplos de 6, 10 y 15 a la vez
30, 60, y 90
4 ¿Cuántos divisores tienen los números?
a) 36
9
b) 512
10
c) 1.500
24
d) 12.346
4
4. Un número es Perfecto si es igual a la suma de todos sus
divisores propios.
Ejemplo: El número 6 es perfecto ya que 6 = 1 + 2 + 3.
¿Cuál de los siguientes números es perfecto?
a) 8
8= 2+2+4.
b) 12 =3+4+5
c) 24 = 7+8+9
d) 28 = no es perfectp
e) 56 = no es perfecto
5. Resuelve la siguiente operación combinada aplicando las propiedades de la
suma y la multiplicación.
(-6) + (2) + [15 – 9 + (3)] (-2 + 6) + 5 * (-7) = 4+ (9) (4) + (-35)=4+36-35=5
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Capitulo 2
Números Enteros
1. Realiza las operaciones con números enteros para poder responder:
¿Qué temperatura está marcando un termómetro si:
a. Marcaba 15°C y disminuyó 12°C? 15-12=3
b. Marcaba 10°C bajo cero y aumentó 7°C? 10+7=17
c. Marcaba 18°C y aumentó 7°C? 18+7=25
d. Marcaba 6°C bajo cero y disminuyó 5°C? 6-5=1
2. Escribe una situación que pueda representar cada número:
a.-12 m_ 12 metros o milímetros
b.10°C _10 grados bajo cero
c.30 k/h _ 30 kilómetros por hora
d. $ - 586 _586 pesos
3. Analiza cuáles afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. Explica cada
caso sobre una recta numérica:
a. 5 está a la derecha de -3 Rta v
b. -2 está a la izquierda de 6 rta v
c. -6 está a la derecha de -4 rta f
d. -7 está a la izquierda de -6 rta v
e. Entre 5 y 3 hay 2 unidades de distancia. Rta v
f .La distancia entre -2 y 2 es de 2 unidades. Rta f
g. De cero a -5 la distancia es de 5 unidades. Rta v
h. Entre -3 y 8 la distancia es de 5 unidades. Rta f
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4. Un gusano sube por una pared lisa. Si por cada 3 cm que avanza se
desliza 2 cm, ¿al cabo de cuántos intentos logra trepar 5 cm? Al cabo de 10
intentos
5. Buscando una dirección, Luis caminó inicialmente 5 cuadras, pero como no la
encontró retrocedió 3 cuadras y avanzó una más, ¿a cuántas cuadras
quedó de donde inició su búsqueda? Quedo a 3 cuadras de donde empezó
6. A l a s 6 : 0 0 a . m . e l t e r m ó m e t r o m a r c a - 8 ° C . A l a s 1 0 : 0 0 a . m .
l a temperatura es 20°C más alta y después de esta hora hasta las
9:00p.m. bajó 6°C. Expresa la temperatura a las 9:00 p.m. queda en 6 grados
centígrados
Capítulo 3
Números fraccionarios
1. Grafica las siguientes fracciones
a.
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1. Escribe la fracción que representan las siguientes graficas
2
8
27
30
3
5
2. Compara las siguientes fracciones de acuerdo a la ley de la tricotomía
3. Realiza las conversiones pertinentes y escribe al frente la fracción que
resulta.
a.
b.
4*8=32+3=35
35
4
38
7
7*5=35+3=38
c.
d.
9*2=18+4=22
22
9
e.
f.
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g.
h.
5*7=35+3=38
38
5
3*6=18+2=20
20
3
i.
j.
k.
l.
4. Realiza las siguientes operaciones
𝟏
𝟏
𝟗
𝟏
𝟔
𝟓
𝟒
𝟗
a) ( − )*(4- )+3*(- )
𝟒
𝟗
𝟑
𝟑
𝟐
𝟏𝟎
b) ( + ) – (
+
𝟐
𝟓
𝟏
𝟕
𝟒
𝟖
∗ )* =
𝟔
𝟖
𝟏
𝟓
𝟓
𝟑
𝟒
𝟐
c) – ( + 𝟐 ∗ ) – (- − 𝟑) :
d) [
𝟗
𝟏𝟑
e)
−
𝟒
𝟏𝟏
∗
𝟐
𝟑
𝟏𝟕
+
𝟐
=
𝟏
: (- )] + 2 =
𝟔
𝟏
𝟑 𝟓
∗ (𝟓−𝟔)
𝟒
𝟏
𝟐
− 𝟑∶ 𝟑
𝟐
5. Soluciona las siguientes situaciones desarrollando las operaciones con
fraccionarios:
1
2
a. Un hortelano planta 4 de su huerta de tomates, 5 de alubias y el resto, que
son 280 m2 , de patatas. ¿Qué fracción ha plantado de patatas?. ¿Cuál es la
superficie total de la huerta?
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7
b. El paso de cierta persona equivale a 8 de metro. ¿Qué distancia recorre con
1.000 pasos?.¿Cuántos pasos debe dar para recorrer una distancia de 1.400
m.?
3
c. En un frasco de jarabe caben 8 de litro. ¿Cuántos frascos se pueden llenar con
cuatro litros y medio de jarabe.
d. Un camión cubre la distancia entre dos ciudades en tres horas. En la primera
3
2
hora hacen, en la primera 8 del trayecto, en la segunda los 3 de lo que le queda
y en la tercera los 80 km. Restantes. ¿Cuál es la distancia total recorrida?.
e. Un vendedor despacha por la mañana las
4
3
4
partes de las naranjas que tenía.
Por la tarde vende 5 de las que le quedaban. Si al terminar el día aún le
quedan 100 kg. De naranjas. ¿Cuántos kg. Tenía?.
Capitulo 4
Geometría básica
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1. ¿Qué es un paralelogramo? El paralelogramo es un polígono de cuatro lados paralelos
dos a dos.
2. Calcula el perímetro de una circunferencia tomando como referencia que la medida del radio
es 22,6 cm.
3. Halla la circunferencia de un círculo de 8,74 cm de radio.
4. Halla el área de un rectángulo de 3 y 7 cm. : a=7cm*3cm a=21cm^2
5. Halla el área de un cuadrado de 2 cm por 2 cm. 2x2= 4 cm
6. Hallar el perimetro y el area de las siguientes figuras:
Área:8 el radio es 4 *4:16 3.1416: 50.2656
Perímetro ≈ 50.265472
PERIMETRO: 6+4+4:14
AREA:6*4:24%2:12
Área:6*8:48%2:24
Perímetro:6+8+8:22
Perímetro_
Área: 9 el radio es
Perímetro: 56.548656
Perímetro:6+10+8:24
Perímetro: 7+1+7+1:16
Área:7*1:7
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Perímetro: 3+8+3+8:22
Área: 8*3:24
Capitulo 5
Expresiones algebraicas
1. Dados los siguientes polinomios:
P(x) =
4x2 − 1
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Q(x) =
R(x) =
S(x) =
T(x) =
U(x) =
a)
b)
c)
d)
x3 − 3x2 + 6x − 2
6x2 + x + 1
1
2𝑥 2 + 4
3
2𝑥 2 + 5
x2 + 2
Calcule P(x) + Q (x) =
Calcule P(x) − U (x) =
Calcule P(x) + R (x) =
Calcule P(x) − R (x) =
2. Suma las siguientes parejas de monomios
a) 5 x2y2 + 2 x2y2 b) 6xy, x2y
2
c) x3y + 3 x3y2
5
d) fx + 2x
3. Ejercita destreza mental realizando los siguientes ejercicios.
a) y + y + y + 4y =
7y
c) a + a + a + a =
e) 6x - 7x =
-1x
b) 5x + x - 2x
4x
d) 12y + 5y – 16y =
1y
f) 25a2 + a2 – 7a2 =
4. Reduce a su menor expresión.
a) (x – 2) – ( - x + 7) =
b) (3x – 4) + (3x + 4) =
c) (2 – 10x) + (-3 + 14x) =
d) (10y - 3) – (y + 2) =
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5. Realizar las siguientes multiplicaciones
a) 3x * (x2 – 3x + 2) =
c) (x2 – 2) * (x2 + 2x – 3) =
b) (x + 3) * (x – 2) =
d) (x2 – 2x + 1) * (x – 3x + 1) =
6. Dados los polinomios:
P(x) = x4 − 2x2 − 6x − 1
Q(x) = x3 − 6x2 + 4
R(x) = 2x4 −2 x − 2
Calcular:
a)
P(x) + Q(x) − R(x) =
b).
P(x) + 2 Q(x) − R(x)
7. Dividir los polinomios:
a) (x4 − 2x3 −11x2+ 30x −20) : (x2 + 3x −2)
b) (x 6+ 5x4 + 3x2 − 2x) : (x2 − x + 3)
Capitulo 6
Productos Notables
1. Realiza los siguientes productos notables.
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a) (x + 2)2
f) (-3 +x)2
b) (2y + 4x)2
g) (a + r)2
c) (2x + 2)2
h) (x - 3)2
d) (6m - 4)2
i) (-a + 2b)2
e) (a - b)2
j) (x+y)2
2. Realiza los siguientes ejercicios utilizando productos notables.
a) (4m + 3n) * ( 4m – 3n)
b) (x – 4y) * (x + 4y)
c) (2x + 3y) * (2x – 3y)
d) (a + 1) * (a - 1)
e) (3m + 6) * (3m - 6)
f) (8x - 3) * ( 8x + 3)
3. extrae el factor común en los siguientes productos notables
a) 4y2 – 12y – 9
b) x2 + 12x + 36
c) x2 + 8x + 81
d) 4x2 – 4x + 1
e) 9a2 -12ab + 4 b2
5
25
4. Realiza los siguientes productos notables a través del cubo de un binomio.
a) (x + y)3
b) (3m + 2n)3
3
b) (2q - r)
d) (-2x + 5y2)3
5. Resuelve los siguientes ejercicios planteados.
a) (a + b + 1)*(a + b - 10)
c) (x3-8y)*(x3+y2)
b) (x3 – 8y2)*(x3+y2)
d) (a2 – 5a + 6)*(a2 + 5a - 6)
Capítulo 7
Ecuaciones
1. Resolución de ecuaciones
a. 3x -1 = 2x + 5
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b. x - 3 = 9
c. 3y = 90
d. 3x + 9 = 2x – 3
e. x + 9 = 2
5
f. -2x -6 = -4x+12
g. -10x-2 = -6x -18
2. resolver las siguientes ecuaciones de primer grado
a. 5x – 5 = -2x-26 =
b. -9x+8 = 5x – 6 =
c. x-9 = 2x – 10 =
d. -9x – 3 = -4x + 12 =
e. 6x + 1 = 8x – 5 =
f. 4x-17 =3x-24 =
Capítulo 8
Determinantes
1. Calcula los siguientes determinantes:
4 7
a) [1 0]
b) (
)
2 0
−2 9
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2. Halla los determinantes de los siguientes ejercicios
1 2 3
b) (4 5 6)
7 8 9
3 −2 5
a) ( 4
1 6)
−9 7 8
3. Calcular los determinantes que se puedan hallar en las siguientes matrices:
a) (
1 −2 3
)
5 −6 8
2 5
)
8 −9
b) (
1 −9 8
c) |−1 7
5|
0
6 −4
1 4 −5
d) |−7 2 3 |
8 0 0
4. Calcula las inversas, si existen, utilizando el método de Gauss, de las siguientes
matrices
1 2
c) (0 0
4 9
0 1
a) (
)
2 0
1 2
b) (
)
3 6
−1 1 2
d) ( 1 0 3)
1 1 1
2 −1 0
e) (3 1 2)
5 0 1
3
1)
1
5. Indicar las propiedades de los determinantes que permiten escribir las siguientes
igualdades:
2
8
2 8
1
a) |
|= |
|=8|
24 100
0 4
0
1 6
5 30 20
b) |6 9 12|=15 |2 3
1 −3
1 −3 0
4
|
1
4
1 6 4
|=15
|
4
2 3 4|=0
0
2 3 4
Capítulo 9
Funciones
1. Representa en un plano cartesiano los siguientes puntos:
A(1,4); B(-1,3); C(0,2); D(4,-3); E(3,0);
F(-3,-1); G(-4,4); H(-1,-3); I(0,-2); J(0,0);
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K(2,3); L(-3,1); M(2,-3)
2. Representa en un plano cartesiano los siguientes puntos:
A(1,0); B(2,1); C(4,2); D(3,-1);
E(-4,-4);F(0,-2); G(-1,-4); H(-1,-1);
I(-3,-2); J(-4,0);K(-3,3); L(-1,2);
M(0,3)
3. Estudia el crecimiento o decrecimiento de las siguientes funciones en los puntos que
se indican:
f(x) = 4x² - 2x + 1 en x = 2
f(x) = 1/2x en x = 2
4. Calcular el dominio de las siguientes funciones.
f(x) = 3x5 – 4x3 + 7x2 - 4
f(x) = 3x2 – 2
3
5. Hallar el dominio y graficar la función.
f(x) = x2 + x + 1
f(x) = x3 – x – 8
f(x) = x5 – 2x + 6
f(x) = (x-1)2
f(x) = 2x + 1
f(x) = 1
x2
Capítulo 10
Trigonometría
1. Expresa en Grados los siguientes ángulos.
a. 3π =
2
b.
4π =
3
c.
π=
2
d. 2π =
e.
3π =
f.
2π =
6
5
9
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2. Calcular cada una de las razones trigonométricas para cada uno de los valores
teniendo los siguientes datos:
1
2
3
4
5
6
Cateto opuesto Cateto adyacente Hipotenusa
3
8
4
5
2
9
10
4
12
7
9
15
4
5
7
6
8
11
Hallar el:
Sen x = _____ =
Cos x = ______ =
Tan x = ______ =
Cotag x = ______ =
Sec x = ______ =
Csec x = ______ =
3. Un ángulo de un triángulo rectángulo mide 50º y el cateto opuesto 12 cm, halla la
hipotenusa.
4. En un triángulo isósceles los ángulos iguales miden 60º y la altura 30 cm, halla el lado
desigual.
5. El c
6. os de un ángulo del primer cuadrante es 3/4, calcula el seno del ángulo.
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Capítulo 11
.
Demostrar
siguientes
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Razones e identidades
trigonométricas
las
identidades:
sen x ctg x = cos x
cos x tg x = sen x
ctg x sec x = cosec x
sen x sec x = tg x
cos x cosec x = ctg x
ctg x sec x sen x = 1
(1 - cos² x) cosec² x = 1
(1 - sen² x) sec² x = 1
ctg² x (1 - cos² x) = cos² x
(1 - cos² x) sec² x = tg² x
Comprobar las siguientes identidades trigonométricas:
1.
2.
tan a + cotg a = sec a * cosec a
cotg a * sec a = cosec a
Establecer si las siguientes son identidades trigonométricas:
1. 3 Cos2x+sen2x = 2
2. Senx + cosx * tanx = 2 tan x
Cosx
3. Senx*cosx – cotg x = coscx - senx
1-cos x
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Capítulo 12
Función cuadrática
1. Observa, realiza el procedimiento y di cuales de estas funciones son cuadráticas.
f (x) = -x² + 6x – 8
f (x) = 2x² + 16x + 11
f (x) = x2 + 6x + 8
f (x) = (x – 2)2 + 3
f (x) = 2 x2 + 2x + 5
f (x) = x2 - 2x +10
f (x) = 2x2 – x – 1
f (x) = 9x2 – 6x + 1
2. Un terreno rectangular tiene 12 metros cuadrados de área y su perímetro es de 14
metros. Cuáles son las dimensiones del terreno?
Sea "x" el ancho y sea "y" el largo del terreno.
3. En la empresa Lirios del Campo, la resultante de ganancias está dada por la siguiente
función f (x) = -0.125x2 + 7x + 30. Determine la cantidad de dinero que se debe invertir
trimestralmente en mercadeo para aumentar sus ganancias en ese mismo periodo.
4. Los registros de temperatura tomados entre las 0 horas y las 12 horas se ajustan a la
función T(x) = -1/10 (x – 12)2 +10, donde T es la temperatura en grados centígrados y
x es la hora del día.


¿cuál fue la temperatura. máxima?
¿a qué hora se registró?
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Capítulo 13
Estadística
1. Una empresa transportadora de alimento, lleva un registro del kilometraje de todos los
vehículos afiliados para pagar a sus empleados por concepto de rodamiento. A
continuación presentamos registros del kilometraje semanal:
450 756 789 710 657 589 488 876 689 520 560 469 987
559 788 943 447 775 810 450 756 789 410 657 589 488
788 943 447 775 810 876 689 689 580 459 520 789 650
588 349 745 578 109 869 478 753 688 519 550 788 555
559 788 943 447 775 810 450 756 789 410 657 589 488
Calcular media, mediana y moda. Interprete los resultados
2. Dados los datos que corresponden a las razones de costo beneficio para 25 tipos de
acciones en el mercado de valores.
20,5
15,4
16,9
13,4
8,8
19,5
12,7
7,8
14,3
22,1
15,6
5,4
13,3
19,2
20,8
24,1
17,0
11,8
9,2
12,6
9,9
28,6
18,4
16,8
15,9
a. Hallar la frecuencia absoluta acumulada. (Fi).
b. Hallar la frecuencia relativa porcentual. (hi).
c. Hallar la Frecuencia relativa porcentual acumulada (Hi)
2. Completar la tabla y realizar la distribución de frecuencias :
[20 - 24]
[24 - 28]
[28 - 32]
[32 - 40]
[40 - 44]
[44 - 48]
fi
53
129
125
91
57
24
Fi
Hi
Hi
3. Con el fin de decidir cuantas cajas para atención a los clientes se necesitaran en las
tiendas que construirán en el futuro, una cadena de supermercados quiso obtener
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información acerca del tiempo (minutos) requerido para atender los clientes. Se
recogieron los siguientes datos correspondientes al tiempo de atención a:
3.6
2.8
3.2
3.6
2.8
1.9
0.3
3.0
1.9
0.3
2.1
1.1
0.4
2.1
1.1
0.3
0.5
2.3
0.3
0.5
0.8
1.2
1.8
0.8
1.2
0.3
0.6
4.5
0.3
0.6
2.5
1.8
0.9
2.5
1.8
1.0
3.0
0.7
1.0
3.0
1.4
0.8
3.1
1.4
0.8
1.8
1.7
0.9
1.8
1.7
1.6
1.4
0.7
1.6
1.4
1.1
0.3
3.1
1.1
0.3
1.8
1.3
1.8
1.8
1.3
a. Calcular media, mediana y moda.
4. Calcular la media, la mediana y la moda de la siguiente serie de números: 5, 3, 6, 5,
4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4.
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