Solución taller 3 - Universidad Icesi

Universidad Icesi
Departamento de Matemáticas y Estadı́stica
Solución de la cuarta prueba corta del curso Algebra y funciones
Grupo: Diecisiete
Perı́odo: Final del año 2004
Prof: Rubén D. Nieto C.
√
PUNTO 1. Exprese la función f (x) = − 3 sen (2 x) + cos (2 x) en la forma k sen (2 x + φ) y use la nueva forma para trazar
una gráfica de la función.
q √ √
√
√
√
2
− 3 + 12 = 3 + 1 = 4 = 2 y los ángulos θ y φ
SOLUCION: Tomando A = − 3, B = 1 y k = A2 + B 2 =
como aparecen en la siguiente figura,
2
√
3
2
θ 1φ
-2
2
se deduce que el ángulo θ es π/3 (debido al triángulo de apoyo para funciones trigonométricas de treinta y sesenta grados),
que implica φ = π/3 + π/2 = 5 π/6. Entonces, por la fórmula para el seno de la suma de dos ángulos, se tiene:
!
√
√
k − 3 sen 2 x + cos 2 x
− 3 sen 2 x 1 cos 2 x
k f (x)
=
=k
+
f (x) =
k
k
k
k
!
√
1
3
sen 2 x + cos 2 x = 2 cos φ sen 2 x + sen φ cos 2 x = 2 sen 2 x + φ
= 2 −
2
2
f (x) = 2 sen
5π
2x +
6
∴
Como el intervalo para el ciclo fundamental de la función seno es 0, 2 π , para determinar el correspondiente a la
función f (x) podemos proceder ası́:
0 ≤ 2x +
5π
≤ 2π
6
∴
−
5π
5π
≤ 2x ≤ 2π −
6
6
−
∴
−
5π
7π
≤ 2x ≤
6
6
7π
5π
≤x≤
12
12
Entonces, el gráfico del ciclo fundamental de la función g(x) es:
2
7π
12
− 512π
-2
1
∴
PUNTO 2. Aplique fórmulas de medio ángulo adecuadas para calcular el valor exacto de las expresiones:
a. sen
π
12
b. cos
5π
12
SOLUCION:
a. Empleando el triángulo de apoyo para funciones trigonométricas de treinta y sesenta grados, como este caso la fórmula
p
indicada es sen(x/2) = ± (1 − cos x)/2 , se tiene:
π/6
π
= sen
=
sen
12
2
r
s
1 − cos π/6
=
2
sen
1−
√
s
3/2
2
1
π
=
12
2
=
(2 −
√
s
3)/2
2
=
√
2− 3
4
∴
q
√
2− 3
Nota: Se escogió el signo más de la fórmula indicada porque el ángulo π/12 está en el primer cuadrante y en ese
cuadrante la función seno es positiva.
b. Debido a que el ángulo de referencia de 5 π/6 es π − 5 π/6 = π/6 y que el coseno en el primer cuadrante es positivo
pero en el segundo es negativo, empleando el triángulo de apoyo para funciones trigonométricas de treinta y sesenta
p
grados, como este caso la fórmula indicada es cos(x/2) = ± (1 + cos x)/2 , se tiene:
5 π/6
5π
=
= cos
cos
12
2
r
1 + cos 5 π/6
=
2
cos
1
5π
=
12
2
r
s
1 − cos π/6
=
2
1−
√
3/2
∴
2
q
√
2− 3
Nota: Se escogió el signo más de la fórmula indicada porque el ángulo 5 π/12 está en el primer cuadrante y en ese
cuadrante la función coseno es positiva.
PUNTO 3. Trazando un triángulo, evalúe las siguientes expresiones:
−1
a. cos tan
2
−1
b. sen 2 cos
3
5
SOLUCION:
a. Tomando θ = tan−1 2 que equivale a tan θ = 2 = 2/1, podemos dibujar un triángulo rectángulo en el cual aparece un
ángulo θ con lado opuesto de longitud 2 y lado adyacente de longitud 1 (de tal manera que la tangente sea realmente
igual a 2/1 = 2). Este triángulo sirve para determinar gráficamente el ángulo θ, veamos:
h
2
θ
1
2
Con el propósito de conocer la hipotenusa h, podemos aplicar el teorema de Pitágoras a dicho triángulo, en efecto:
h2 = 22 + 12 = 4 + 1 = 5
∴
√
h=
5
De todo lo establecido y de la figura se concluye:
−1
cos tan
√
5
1
1
2 = cos θ = = √ =
h
5
5
−1
cos tan
2 =
∴
√
5
5
b. Tomando θ = cos−1 3/5 que equivale a cos θ = 3/5, podemos dibujar un triángulo rectángulo en el cual aparece un
ángulo θ con el lado adyacente de longitud 3 y la hipotenusa de longitud 5 (de tal manera que el coseno sea realmente
igual a 3/5). Este triángulo sirve para determinar gráficamente el ángulo θ, veamos:
5
c
θ
3
Con el fin de conocer el cateto desconocido c, podemos aplicar el teorema de Pitágoras a dicho triángulo, en efecto:
52 = 32 + c2
∴
c2 = 52 − 32 = 25 − 9 = 16
∴
c=
√
16 = 4
∴
c=4
De todo lo establecido y de la figura, aplicando la fórmula para el seno del ángulo doble, se concluye:
sen 2 cos
−1
3
5
= sen 2 θ = 2 sen θ cos θ = 2 ×
24
3
=
sen 2 cos−1
5
25
3
4 3
24
× =
5 5
25
∴