Límites y continuidad. Teoremas sobre continuidad.
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Introducción Lı́mites Continuidad Teoremas importantes sobre continuidad Lı́mites y continuidad. Teoremas sobre continuidad. Juan Ruiz1 1 Departamento Marcos Marvá1 de Matemáticas. Universidad de Alcalá de Henares. Matemáticas (Grado en Biologı́a) Juan Ruiz Álvarez Matemáticas (Grado en Biologı́a) Introducción Lı́mites Continuidad Teoremas importantes sobre continuidad Contenidos 1 Introducción 2 Lı́mites 3 Continuidad 4 Teoremas importantes sobre continuidad Juan Ruiz Álvarez Matemáticas (Grado en Biologı́a) Introducción Lı́mites Continuidad Teoremas importantes sobre continuidad Outline 1 Introducción 2 Lı́mites 3 Continuidad 4 Teoremas importantes sobre continuidad Juan Ruiz Álvarez Matemáticas (Grado en Biologı́a) Introducción Lı́mites Continuidad Teoremas importantes sobre continuidad Introducción ¿Podemos saber qué ocurrió en la que imagen que falta? Juan Ruiz Álvarez Matemáticas (Grado en Biologı́a) Introducción Lı́mites Continuidad Teoremas importantes sobre continuidad Outline 1 Introducción 2 Lı́mites 3 Continuidad 4 Teoremas importantes sobre continuidad Juan Ruiz Álvarez Matemáticas (Grado en Biologı́a) Introducción Lı́mites Continuidad Teoremas importantes sobre continuidad Recordatorio sobre lı́mites Definición informal: El lı́mite de f (x) cuando x tiende a c, es igual a L, significa que f (x) puede tomar valores arbitrariamente cercanos a L, siempre que x esté suficientemente cerca de c (pero no sea igual a c). Esto se indica como: lı́m f (x) = L x→c o f (x) → L cuando x → c. Si lı́mx→c f (x) = L y L es un número finito, se dice que el lı́mite existe y que f (x) converge a L. Si el lı́mite no existe, se dice que f (x) diverge cuando x → c. Juan Ruiz Álvarez Matemáticas (Grado en Biologı́a) Introducción Lı́mites Continuidad Teoremas importantes sobre continuidad Recordatorio sobre lı́mites Conviene aclarar que x siempre será cercano a c pero nunca igual. Por lo tanto, no vale únicamente con sustituir x por c. De hecho el valor de f (c) es irrelevante para calcular lı́mx→c f (x). Veremos ejemplos en los que f (c) no está definida. x puede aproximarse a c por la derecha o por la izquierda. Utilizaremos la notación: Lı́mite por la derecha: lı́mx→c + f (x) cuando x se acerca a c por la derecha. Lı́mite por la izquierda: lı́mx→c − f (x) cuando x se acerca a c por la izquierda. Juan Ruiz Álvarez Matemáticas (Grado en Biologı́a) Introducción Lı́mites Continuidad Teoremas importantes sobre continuidad Ejemplos de lı́mites que existen lı́mx→2 x 2 lı́mx→3 x 2 −9 x−3 Juan Ruiz Álvarez Matemáticas (Grado en Biologı́a) Introducción Lı́mites Continuidad Teoremas importantes sobre continuidad Ejemplos de lı́mites que no existen |x| x 1 lı́mx→0 x 2 lı́mx→0 lı́mx→0 sin π x Juan Ruiz Álvarez Matemáticas (Grado en Biologı́a) Introducción Lı́mites Continuidad Teoremas importantes sobre continuidad Propiedades sobre lı́mites Sea a una constante y supongamos que lı́mx→c f (x) y lı́mx→c g (x) existen. Se cumplen entonces las siguientes reglas: lı́mx→c af (x) = a lı́mx→c f (x). lı́mx→c [f (x) + g (x)] = lı́mx→c f (x) + lı́mx→c g (x). lı́mx→c [f (x) · g (x)] = lı́mx→c f (x) · lı́mx→c g (x). lı́mx→c f (x) g (x) = lı́mx→c f (x) lı́mx→c g (x) , suponiendo que lı́mx→c g (x) 6= 0. Juan Ruiz Álvarez Matemáticas (Grado en Biologı́a) Introducción Lı́mites Continuidad Teoremas importantes sobre continuidad Propiedades sobre lı́mites Si f (x) es un polinomio, entonces lı́m f (x) = f (c) x→c Si f (x) es una función racional, es decir: f (x) = p(x) q(x) siendo p(x) y q(x) polinomios y q(c) 6= 0, entonces lı́m f (x) = lı́m x→c x→c p(x) p(c) = = f (c) q(x) q(c) Juan Ruiz Álvarez Matemáticas (Grado en Biologı́a) Introducción Lı́mites Continuidad Teoremas importantes sobre continuidad Lı́mites infinitos Lı́mites infinitos en un punto Estos lı́mites están relacionados con la presencia de una ası́ntota vertical en x = a. lı́mx→a f (x) = ±∞ lı́mx→a− f (x) = ±∞ lı́mx→a+ f (x) = ±∞ Lı́mites infinitos en el infinito lı́mx→±∞ f (x) = ±∞ Juan Ruiz Álvarez Matemáticas (Grado en Biologı́a) Introducción Lı́mites Continuidad Teoremas importantes sobre continuidad Lı́mites finitos Lı́mites finitos en un punto lı́mx→a f (x) = L lı́mx→a− f (x) = L lı́mx→a+ f (x) = L Lı́mites finitos en el infinito Estos lı́mites están relacionados con la presencia de una ası́ntota horizontal: lı́mx→±∞ f (x) = b Juan Ruiz Álvarez Matemáticas (Grado en Biologı́a) Introducción Lı́mites Continuidad Teoremas importantes sobre continuidad Ejemplos de cálculo de lı́mites x 2 −4x+3 x 2 +x−12 2 −x+5 lı́mx→2 x x−2 (Nota: tg(x) lı́mx→ π2 sec(x) √ x−2 lı́mx→4 x−4 lı́mx→3 lı́mx→1 1 x−1 − 2 hacer lı́mites laterales.) x 2 −1 3x 4 −7x+9 7x 4 −4 3x 3 −7x+9 lı́mx→∞ 7x 4 −4 8 lı́mx→−∞ 3x7x−7x+9 3 −4 3 lı́mx→∞ x lı́mx→∞ x −3 lı́mx→∞ Juan Ruiz Álvarez Matemáticas (Grado en Biologı́a) Introducción Lı́mites Continuidad Teoremas importantes sobre continuidad Outline 1 Introducción 2 Lı́mites 3 Continuidad 4 Teoremas importantes sobre continuidad Juan Ruiz Álvarez Matemáticas (Grado en Biologı́a) Introducción Lı́mites Continuidad Teoremas importantes sobre continuidad Defnición de continuidad Definición: Se dice que una función es continua en x = c si lı́m f (x) = f (c). x→c Para comprobar si una función es continua en x = c, es necesario comprobar las tres condiciones siguientes: f (x) está definida en x = c. Existe el lı́mite lı́mx→c f (x). lı́mx→c f (x) es igual a f (c). Si falla alguna de las tres condiciones, la función es discontinua en x = c. Juan Ruiz Álvarez Matemáticas (Grado en Biologı́a) Introducción Lı́mites Continuidad Teoremas importantes sobre continuidad Continuidad por la derecha y por la izquierda Definición: Se dice que una función es continua por la derecha en x = c si lı́m f (x) = f (c). x→c + y continua por la izquierda en x = c si lı́m f (x) = f (c). x→c − Juan Ruiz Álvarez Matemáticas (Grado en Biologı́a) Introducción Lı́mites Continuidad Teoremas importantes sobre continuidad Combinación de funciones continuas Propiedades Sea a una constante y sean las funciones f y g continuas en x = c. Entonces las funciones siguientes son continuas en x = c: a·f f +g f · g. f g con tal de que g (c) 6= 0. Juan Ruiz Álvarez Matemáticas (Grado en Biologı́a) Introducción Lı́mites Continuidad Teoremas importantes sobre continuidad Combinación de funciones continuas Teorema Si g (x) es continua en x = c con g (c) = L y f (x) es continua en x = L, entonces la función (f ◦ g )(c) es continua en x = c. En particular, lı́m (f ◦ g )(x) = lı́m f [g (x)] = f [g (c)] = f (L) x→0 x→c Juan Ruiz Álvarez Matemáticas (Grado en Biologı́a) Introducción Lı́mites Continuidad Teoremas importantes sobre continuidad Outline 1 Introducción 2 Lı́mites 3 Continuidad 4 Teoremas importantes sobre continuidad Juan Ruiz Álvarez Matemáticas (Grado en Biologı́a) Introducción Lı́mites Continuidad Teoremas importantes sobre continuidad Teorema del valor intermedio Teorema Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b]. Si L es un número real tal que f (a) < L < f (b) o f (b) < L < f (a), existe al menos un número c en el intervalo abierto (a, b) tal que f (c) = L. Juan Ruiz Álvarez Matemáticas (Grado en Biologı́a) Introducción Lı́mites Continuidad Teoremas importantes sobre continuidad Teorema de Bolzano Teorema Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b] con f (a) y f (b) no nulos y de signos opuestos. Entonces f (x) tiene algún cero en (a,b). Juan Ruiz Álvarez Matemáticas (Grado en Biologı́a) Introducción Lı́mites Continuidad Teoremas importantes sobre continuidad Claudia Neuhaser. Matemáticas para ciencias. Ed. PearsonPrentice Hall. Juan Ruiz Álvarez Matemáticas (Grado en Biologı́a)
