Cap´ıtulo 8 Matrices - Ana Mercado Carmona

Capı́tulo 8
Matrices
1. Determinar dos matrices A y B tales que:
1 −2
;
3A − 5B =
8 1
13 14
7 10
1
1
,B=4
Solución: A = 4
39 3
17 1
2 4
− A + 3B =
3 0
2. Dadas las matrices:
A=
Calcular:
1 2
3 −2
0 3
; B=
1 2
; C=
−1 −3
0
2
A+B−C ; A−B+C ; A−B−C
2A − 3B
; 3B − 5A
; A − (B − 2C)
3. Hallar la matriz M que satisface la igualdad:
1 0 1 −2
1 0 1 −1
+M
=
2
0 1 0 5
0 1 1 3
1 0 1 0
Solución: M =
0 1 2 1
4. Dadas las matrices:


3 5 2
A = 1 3 4
6 0 1
;

−1 0 2
B =  3 1 5
6 1 4

Calcular A(B + C), AB τ , B τ A, A(3B − 2C), A2
89
;


4 6 7
C = 3 5 0
0 0 2
90
CAPÍTULO 8. MATRICES
Solución:


51 50 64
45 28 48
24 37 60


18 −65 67
 70 −21 69 
−48 −69 −40
5. Dadas las matrices:
A=
Resolver el sistema matricial:

1
7
−4

26
30
24
2 0
−4 15
;

 
36 4 16
24 31
26 25  7 3 5 
35 25 28
23 40

30 28
14 18
30 13
B=
1 −1
−2 9
5X + 3Y = A
3X + 2Y = B
y calcular X 2 + Y 2 .
Solución:
X=
1 3
−2 3
;
−1 −5
Y =
2
0
;
2
2
X +Y =
−14 17
−10 −7
a b
de coeficientes reales, hallar x e y para que se verifique:
6. Dada la matriz A =
c d
A2 = xA + yI
siendo I la matriz unidad de orden 2, es decir: I =
1 0
0 1
Solución: Si b 6= 0 o c 6= 0, entonces x = a + d, y = bc − ad. Si b = c = 0 entonces a = d,
x = cualquier número real, y = a(a − x).
u v
x y
conmutan.
yB=
7. Demostrar que las matrices A =
v u
y x
8. Probar que para cualquier matriz cuadrada A, la matriz A · Aτ es simétrica.
5 2
1 0
,
para que resulte
9. ¿Por qué hay que premultiplicar a la matriz
6 3
2 1
1 2
.
Solución:
0 3
ax by
.
10. Escribir como producto de matrices la matriz
cx dy
91
CAPÍTULO 8. MATRICES
1 2
, determinar todas las matrices B de dimensión 2 × 2 tales
3 λ
11. Dada la matriz A =
0 0
, obteniendo el valor de λ para que exista solución.
que A · B =
0 0
a b
Solución: Sea B =
. Si a = b = c = d = 0, entonces λ puede ser cualquiera. En
c d
−2c −2d
.
caso contrario, es λ = 6 y B =
c
d
12. Sea A una matriz cuadrada idempotente (A2 = A). Demostrar que si B = 2A − I, es
B 2 = I.
13. Dada la matriz:


0
z −y
x
M = −z 0
y −x 0
en la que se verifica x2 + y 2 + z 2 = 1, calcular M 2 , P = M 2 + I, P M y comprobar que P
es idempotente.
14. Obtener todas las matrices cuadradas de segundo orden A tales que A2 = I.
Solución:
1 0
c −1
b
;
1−a2
−a
b
siendo a, b, c cualesquiera números reales.
a
;
1 0
0 1
;
−1 0
0 −1
15. Calcular las potencias sucesivas de la matriz:


1 1 1
A = 1 1 1
1 1 1
Solución:
16. Hallar el rango de

4
1
3
 n−1 n−1 n−1 
3
3
3
An = 3n−1 3n−1 3n−1 
3n−1 3n−1 3n−1
las siguientes matrices:
 
 

6 8 0
3 4 4 0
1 2 3 t
2 3 0 ; 1 3 2 −2 ; 2 4 6 8  según t
4 5 0
2 1 2 2
3 6 9 12
(
1,
si t = 4
Solución: r = 2; r = 2; r =
2,
si t 6= 4
92
CAPÍTULO 8. MATRICES
17. Discutir el rango de la matriz:

1 1 −1 2
a 1
1
1


1 −1 3 −3
4 2
0
a

según los valores de a.
(
2,
si a = 3
Solución: r =
4,
si a 6= 3
18. Calcular el rango de la matriz:

según los valores de t.
(
1,
Solución: r(A) =
2,

t
0
t
0
A =  4 −6 8 −2
−2 3 −4 1
si t = 0
si t =
6 0
19. Una matriz cuadrada M es ortogonal si cumple M τ ·M = I donde I es la matriz identidad
y M τ es la traspuesta de M. Determinar si la siguiente matriz es ortogonal:


1 1
0
A = 1 −1 1 
1 0 −1
Solución: No
20. Hallar el rango de la matriz:

5
5
5
 a
b
c 
b+c a+c a+b

según los valores de a, b, c.
(
1,
si a = b = c
Solución: r =
2,
en caso contrario
21. Resolver la ecuación matricial:
3
1 x
x
1 −1
·
=
·
2
y −1
y
3 2
Solución: x = − 45 , y = − 74
93
CAPÍTULO 8. MATRICES
22. Calcular el rango de la matriz:


2
1 5 −1 8
−1 2 3 4 5 


 3 −1 4 5 1 
1
3 10 13 11
Solución: r = 3
23. Sean:


1 1 1
; B = 0 1 1
0 0 1
Calcular An y B n por inducción respecto a n.


n−1 n−1 1 n n(n+1)
2
2
2
; B n = 0 1
Solución: An =
n 
n−1
n−1
2
2
0 0
1
1 1
A=
1 1
24. ¿Es posible que para dos matrices A y B no cuadradas, puedan existir A · B y B · A?.
Solución: Sı́.
25. Hallar todas las matrices simétricas de orden 2 tales que A2 = A.
Solución:
0 0
0 0
;
1 0
0 1
;
√
2
a
−
a
a
√
a − a2
1−a
;
√
2
a
−
a
−
a
√
1−a
− a − a2
para todo a ∈ [0, 1].
1 1
, hallar todas las matrices B de segundo orden tales que A·B = B·A
26. Siendo A =
0 1
a b
Solución: B =
, siendo a, b cualquier par de números reales.
0 a
27. Hallar el rango de las matrices:


1 2 0 1
3 0 1 2


1 2 3 0
6 0 −1 5


1 −1 2 3
0
2 −1 4


3
1
4 1
−1 1
0 2
;
;

1 6
2 7

3 8

4 9
5 10

2 1
2 3
4 −2
11
12
13
14
15

16
17

18

19
20

−1
1  según los valores de a
a
94
CAPÍTULO 8. MATRICES
(
2,
Solución: 3, 2, 4, r =
3,
si a = −6
, leı́dos de izquierda a derecha, arriba y abajo.
si a =
6 −6
28. Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden, ¿es cierta en general la relación
(A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 ?. Justificar la respuesta.
Solución: No.
29. Sean A y B dos matrices cuadradas del mismo orden que tienen inversa. Razonar si el
producto A · B también tiene inversa.
Solución: Sı́, pues (A · B)−1 = B −1 · A−1 .
30. Selectividad Junio 2001. Consideramos la matriz


0
3
4
A =  1 −4 −5
−1 3
4
a) Siendo I la matriz identidad 3 × 3 y O la matriz nula 3 × 3, probar que A3 + I = O.
b) Calcular A10 .
Solución: A10

0 −3 −4
5
= −A = −1 4
1 −3 −4

Capı́tulo 9
Determinantes y Matrices Inversas
9.1.
Determinantes
1. Calcular:
Solución: 1, 0, 0
0
1
1
−1 0
1
−1 −1 0
−1 −1 −1
1 1
1 2
,
1 3
0 4
2. Calcular:
0
3
3
3
3 6 1 2 3 4 5 10 5 6 7 8 ,
2 12 9 10 11 12
6 15 13 14 15 16
a
a a
−a a x
−a −a x
Solución: 2a2 (x + a)
3. Calcular:
2
3
7
5
0
3
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
Solución: −6, −1848, a4 − b4
,
14 0
13 7
17 5
3 11
4. Calcular y simplificar al máximo:
a − b − c
2a
2a
2b
b−c−a
2b 2c
2c
c − a − b
0
9
6
0
,
Solución: (a + b + c)3 ; −2x(x − 3)(x − 2)(x − 1)
95
0
8
4
0
,
a
0
0
b
b
a
0
0
0
b
a
0
0
0
b a
x − 1 x2 − 1 x3 − 1 2x − 4 x2 − 4 x3 − 8 3x − 9 x2 − 9 x3 − 27
96
CAPÍTULO 9. DETERMINANTES Y MATRICES INVERSAS
5. Calcular:
Solución: a(b − a)(c − b)(d − c).
a
a
a
a
6. Los números 1573, 3263, 5369 y 2613 son
el determinante:
1
3
5
2
a
b
b
b
a
b
c
c
a
b c d
divisibles por 13. Demostrar que también lo es
5 7 3
2 6 3
3 6 9
6 1 3
7. Resolver las siguientes ecuaciones:
15 + 2x 11 x −1 2
11 + 3x 17 −2x = 0 ;
−x 3
2
7 + x 14 −3x
x −1
a + x
a − x x
x
1 x
a + x − −3 = 0 ; x
b
+
x
2
x
x
0
x
x
3
Solución:
101
x = 0,
56
8a
x = 0,
19
8. Dada la ecuación:
se pide:
;
;
2 −1 = 0
−3
x x = 0
c + x
√
−1 ± 21
x=
4
abc
x=−
ab + ac + bc
1 1 1 1 x 1 = 0
1 1 x2 a) Teniendo en cuenta las propiedades de los determinantes, hallar una solución de la
ecuación dada sin desarrollar el determinante del primer miembro.
b) Hallar las restantes soluciones de dicha ecuación.
Solución: 1, −1
CAPÍTULO 9. DETERMINANTES Y MATRICES INVERSAS
9. Demostrar las dos igualdades que siguen:
1
1
1
1 1 a + 1
1
1 = abc ;
1
1
b+1
1 1
1
1
c + 1
97
a + 1
a
a
a a
a+1
a
a = 4a + 1
a
a
a+1
a a
a
a
a + 1
10. Determinantes de Vandermonde. Demostrar las siguientes igualdades:
1 1 1
a b c = (b − a)(c − a)(c − b)
2 2 2
a b c 1 1 1 1
a b c d
2 2 2 2 = (b − a)(c − a)(d − a)(c − b)(d − b)(d − c)
a b c d 3 3 3 3
a b c d 11. Calcular:
Solución: 210(b − a)(c − a)(c − b)
7
7
7
10 a 10 b 10 c
2
3a 3b2 3c2 12. Calcular por transformaciones elementales (sin emplear la regla de Sarrus) y justificando
los pasos, el determinante:
1 b c + a
1 a b + c 1 c a + b
Solución: 0
13. Dadas las matrices:




1 3 1
0 1 3
A = −1 0 2  ; B = −1 2 1
3 1 −2
3 1 2
Comprobar que |A · B| = |A| · |B|.
14. SL. Sabiendo que
a b c d e f = 2
g h i CAPÍTULO 9. DETERMINANTES Y MATRICES INVERSAS
98
calcular los siguientes determinantes y enunciar las propiedades que se utilicen:
3a 3b 15c
a + 2b c b d e 5f ; d + 2e f e g h 5i g + 2h i h
Solución: 30, −2
15. Selectividad Junio 2003. Sean C1 , C2 y C3 las columnas primera, segunda y tercera,
respectivamente, de una matriz cuadrada A de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcular,
indicando las propiedades utilizadas:
a) El determinante de A3 .
b) El determinante de A−1 .
c) El determinante de 2A.
d ) El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera, segunda y tercera
son, respectivamente, 3C1 − C3 , 2C3 y C2 .
Solución: |A3 | = 125; |A−1 | = 51 ; |2A| = 40; |3C1 − C3 , 2C3 , C2| = −30.
9.2.
Matrices inversas
1. Hallar las matrices inversas de:




2 1 2
1
1
2
3 1
0 −1
A=
; B = 0 3 1 ; C =  2
8 3
4 −2 1
−6 −1 0
Solución:
A−1 =
3 −1
−8 3
; B −1
 1
−2
 2
=
− 5
6
5
1
2
3
5
1
2
1
5



−1 −2 −1

 ; C −1 =  6 12 5 

−2 −5 −2
3
− 54 − 5
a b
tales que a + d = −1 y |A| = 1, cumplen
2. Verificar que todas las matrices A =
c d
A3 = I. ¿Hay alguna otra matriz que tenga esta propiedad?.
2 3
, se llaman valores propios de dicha matriz a los valores de
3. Dada la matriz A =
2 1
λ, tales que el determinante de la matriz A − λI sea nulo. Hallar los valores propios de
A. (I representa la matriz identidad o unidad).
Solución: λ = 4, −1.
CAPÍTULO 9. DETERMINANTES Y MATRICES INVERSAS
4. Hallar la inversa de la matriz:

1
5
2
5
2
5
9
5
1

99


3 −2 −3
−4 1 −1
2
0
1



3
Solución: 


− 52 − 45 −1
5. Resolver la ecuación A · X = B, siendo:
3 1
2 3
;B=
A=
2 −5
1 2
0 17
Solución: X =
1 −11
6. Hallar una matriz X tal que:

0
1
−1 1
4 −1

−10 8
3

25 −22 −2
Solución: X =
−12 11
2
7. Dada la matriz:



2
1
0 2 0
3  · X = −1 3 1 0
−5
−5 −1 4 0

0
0
0


1 1 0
A = 0 1 1
1 0 1
Estudiar si tiene inversa y en caso afirmativo, calcularla. ¿Forman una base de R3 los
vectores v~1 = (1, 1, 0), v~2 = (0, 1, 1), v~3 = (1, 0, 1)?.


1
1
1
−
2
2
2

 1
1
−1

− 21 
Solución: A =  2
2
; Sı́.
1
− 12 21
2
8. Dada la matriz:
1 1
A=
0 1
1 −n
.
Demostrar que la inversa de An es
0 1
100
CAPÍTULO 9. DETERMINANTES Y MATRICES INVERSAS
9. Hallar los valores de x para los cuales, la matriz:
|x|
1
A=
|x − 2| 2
no tiene inversa.
Solución: x = −2, 32
10. Resolver la ecuación matricial A · X · B = C, siendo:
2 5
−1 0
;
; B=
A=
1 3
0 1
−3 5
Solución: X =
−1 2
11. Resolver la ecuación matricial M · X + N = P , siendo:
1 2
−1 0
;
; N=
M=
3 4
0 −1
−3 −1
Solución: X =
1
3
1 0
C=
0 1
4 3
P =
2 1
12. Calcular la matriz X en la ecuación A3 · X = B, siendo:
1 −2
a b
; a + d = 1 ; |A| = 1 ; B =
A=
0 3
c d
−1 2
Solución: X =
0 −3
13. Encontrar una matriz X que verifique A · X + B = C, siendo:






1 0 0
1 0 0
3 0 0
A = 1 2 0 ; B = 0 1 0 ; C = 2 5 2
1 2 4
0 0 1
0 1 3


2
0 0
Solución: X =  0
2 1
1
− 2 − 43 0
101
CAPÍTULO 9. DETERMINANTES Y MATRICES INVERSAS
14. Resolver la ecuación matricial:




0 1 1
5 2 0
0 0 1 · X = 1 0 0
1 1 0
3 1 0


2
1 −1
Solución: X = −5 −2 3 
1
0
0
15. Hallar los valores de λ para los que la matriz:


1 1 λ
A = λ 2 −1
3 1 1
tiene inversa. Calcular su inversa cuando λ = 1.
Solución: ∃A−1 ⇐⇒ λ 6= 0 y λ 6= 7. Para λ = 1 resulta: A−1


−3 0
3
2 −2
= 61  4
5 −2 −1
16. Hallar el rango de la matriz A según los diferentes valores de t ∈ R, siendo:


t
t
0
t + 1 t − 1
A= 2
−2t − 1
0
t+3
¿Para qué valores de t existe A−1 ?.
Solución: r(A) = 2 si t = 0, 1, 2 y r(A) = 3 en los demás casos.
17. Sea la matriz:


x−2
0
2
x − 2 0
A= 0
0
0
x
a) Hallar los valores de x para los que A tiene inversa.
b) Hallar la matriz Y cuadrada de orden 3 que es solución de la ecuación matricial
A · Y + B = I, siendo A la matriz anterior para x = 3, I es la matriz identidad de
orden 3 y B es la matriz:


1 0 −1
B = 2 0 0 
3 1 0
Solución:
CAPÍTULO 9. DETERMINANTES Y MATRICES INVERSAS
102
a) x 6= 0 ∧ x 6= 2


2
1
2
3
3



b) Y = −2 1 0 

1
1
−1 − 3 3
18. Dadas las matrices:

0 −1 −2
A = −1 0 −2
1
1
3

;


1 0 0
I = 0 1 0
0 0 1
Determinar si es posible un valor de λ para el cual la matriz (A − λI)2 sea la matriz nula.
Solución: λ = 1
19. Discutir, en función del valor de a el rango de la

a 1
A = 0 1
a 1
matriz:

0
3
1
Para a = 2, ¿tiene A matriz inversa?. En caso afirmativo, calcularla.
Solución:
 r(A) = 2 sia = 0 y r(A) = 3 en los demás casos. Para a = 2, resulta:
−1 − 21 23



A−1 = 
3
1
−3


−1 0
1
20. Dadas las matrices
C=
1 0 2
,
0 1 1


1 0
D = 1 1 
1 −1
determinar si C · D tiene inversa, y en ese caso, hallarla.
!
0 21
.
Solución: Sı́. (C · D)−1 =
− 21 34
21. La matriz cuadrada X de orden 3 verifica la relación:


2 4 7
X 3 + X = 0 2 4
0 0 2
a) Determinar, si es posible, el rango de X.
CAPÍTULO 9. DETERMINANTES Y MATRICES INVERSAS
b) ¿Verifica alguna de las matrices

1
A = 0
0
Solución: r(X) = 3. Sı́, la B.
A y B siguientes la


1 1
1
0 1 , B = 0
0 1
0
103
relación del enunciado?

1 1
1 1
0 1
22. Se dice que una matriz cuadrada A de orden n es ortogonal si su inversa A−1 y su
traspuesta At coinciden. Dado un número real x, sea B la matriz


cos x sen x 0
B = − sen x cos x 0 
0
0
−1
a) ¿Es ortogonal la matriz B?.
b) ¿Es B 2 ortogonal?.
Solución: Sı́. Sı́.
23. Considerar las matrices:


1 1 0
A =  1 0 1 ,
−1 1 1


1 1 1
B = 0 1 1
0 0 0
a) Determinar si A y B son invertibles y, en su caso, calcula la matriz inversa.
b) Resolver la ecuación matricial BA − A2 = AB − X.
Solución: B no tiene inversa, y


1
1 −1
1
A−1 =  2 −1 1  ,
3
−1 2
1
24. El determinante
2 a 5 4 a2 13
8 a3 35

2 1 1
X =  1 2 0
−2 0 2

vale cero para a = 3. Comprobar esta afirmación sin desarrollarlo e indicando las propiedades de los determinantes que se apliquen. Determinar todos los valores de a para los
que las tres columnas del determinante anterior representan vectores linealmente dependientes. Justificar la respuesta.
Solución: a = 0, 2, 3.
CAPÍTULO 9. DETERMINANTES Y MATRICES INVERSAS
25. Sea C la matriz, que depende de un parámetro m, dada por


2 −1 m
0 −1
C= 1
−2 1
1
a) ¿Para qué valores del parámetro m no tiene inversa la matriz C?.
b) Calcular la matriz inversa de C para m = 2.


1 3 1
Solución: m = −1. C −1 = 31 1 6 4
1 0 1
26. Selectividad Junio 2000. Considerar la matriz


1 2 1
A = λ 1 0 
0 1 λ
a) Hallar los valores de λ para los que la matriz A no tiene inversa.
b) Tomando λ = 1, resolver el sistema escrito en forma matricial
   
0
x



A y = 0
0
z
Solución: λ = 0, 1; x = t, y = −t, z = t, para todo t ∈ R.
27. Selectividad Junio 2000. Dada la matriz
1 2
A=
3 4
calcular (At A−1 )2 A.
3 11 Solución: 2 2 .
2 6
28. Selectividad Septiembre 2000. Se considera

1 0

A= 0 b
4 1
la matriz

−1
3
−b
a) Determinar para qué valores del parámetro b existe A−1 .
104
CAPÍTULO 9. DETERMINANTES Y MATRICES INVERSAS
105
b) Calcular A−1 para b = 2.
Solución: b 6= 1 y b 6= 3; A−1


−7 −1 2
=  12 2 −3.
−8 −1 2
29. Selectividad Junio 2001. Sea


sen x
− cos x
0
cos x
sen x
0
A=
sen x + cos x sen x − cos x 1
¿Para qué valores de x existe la matriz inversa de A?. Calcular dicha matriz inversa.


sen x cos x 0
Solución: la matriz inversa A−1 existe para todo valor de x; A−1 = − cos x sen x 0.
−1
−1 1
30. SL. Consideremos las matrices
3 2
,
A=
4 3
x
,
X=
y
7
U=
9
a) Hallar los valores de x e y tales que AX = U.
b) Calcular la matriz A−1 y determinar A−1 U.
c) Encontrar los posibles valores de m para los que los vectores
1
1
y
A·
m
m
son linealmente dependientes.
√
3
3 −2
−1
−1
Solución: x = 3, y = −1; A =
; m = ± 2.
,A U=
−1
−4 3
31. SL. Resolver la ecuación matricial A2 · X = 2B, siendo
1 −1
1 −1 4
A=
y B=
,
2 −3
0 −3 1
14 −2 52
Solución: X =
8 −2 30
106
CAPÍTULO 9. DETERMINANTES Y MATRICES INVERSAS
32. SL. De las matrices
1 2
,
A=
3 4
B=
1 2 3
,
4 5 6
C=
1 1
,
3 3


1 2 3
D =  0 1 2
0 0 1
determina cuáles tienen inversa y en los casos que exista, calcula el determinante de
dichas inversas.
Solución: A y D tienen inversa, B y C no; |A−1 | = − 21 , |D −1| = 1


a 0 −a
33. SL. Se sabe que la matriz A = 0 −1 0  verifica que det(A) = 1 y sus columnas
b 0
b
son vectores perpendiculares dos a dos.
a) Calcular los valores de a y b.
b) Comprobar que para dichos valores se verifica que A−1 = At , donde At denota la
matriz traspuesta de A.
Solución: Dos soluciones: a =
√
2
,
2
b=−
√
2
;
2
a=−
√
2
,
2
b=
√
2
.
2
34. SL. Determinar la matriz X tal que AX − 3B = 0, siendo




1 2
1 0 −1
A = 2 3 −7 y B = −1 0
−2 1
0 1 −2


12 −15
Solución: X = 12 −39
9 −21


1 0 −2
35. SL. Consideremos la matriz A = 1 1 1 
1 1 0
a) Calcular el determinante de las matrices 2A, A31 y (A31 )−1 .
b) Hallar la matriz A−1 .

1
2
−1

Solución: −8, −1, −1; A = −1 −2
0
1

1 λ

36. SL. Consideremos la matriz A = λ 1
0 λ

−2
3
−1

1
λ
1
CAPÍTULO 9. DETERMINANTES Y MATRICES INVERSAS
a) Determinar para qué valores del parámetro λ
b) Calcular, si es posible, la matriz inversa de A

1
Solución: λ = 1, −1. Para λ = −2, es A−1 = − 32
− 34
107
la matriz A no tiene inversa.
para λ = −2.

0 −1
− 13 0 
− 23 1
37. Selectividad Junio 2002. Determinar la matriz X que verifica la ecuación AX = X −B
siendo




0 0 1
1 0
1
1
A =  0 0 0 y B =  0 1
−1 0 0
0 −1 −1

 1
− 21 0
2
1
1
Solución: X =  0
1
1
− 2 − 2 −1
38. Selectividad Septiembre 2003. Considerar las matrices






1 0 0
0 1 1
1 0 0
A = 1 m 0 , B = 1 0 0 y C = 0 1 0
1 1 1
0 0 0
1 0 1
a) ¿Para qué valores de m tiene solución la ecuación matricial A · X + 2B = 3C?.
b) Resuelve la ecuación matricial dada para m = 1.


3 −2 −2
2
Solución: m 6= 0; X = −5 5
5 −3 3
39. Selectividad junio 2004. Considerar las matrices


1 0
1 0 1
, B = 0 1
A=
0 1 2
0 0


1 0
y C = 0 2
1 0
a) Calcular A · B, A · C, At · B t , C t · At siendo At , B t y C t las matrices traspuestas de
A, B y C respectivamente.
b) Razonar cuáles de las matrices A, B, C y A · B tienen inversa y en los casos en que
la respuesta sea afirmativa, hallarla.


1 0 0 2
2
2 0 
1 0
.
, 0 1 0,
Solución:
,
0 2
2 2
0 1
1 2 0
1
0
La matriz A · B tiene inversa y (A · B)−1 =
0 1
CAPÍTULO 9. DETERMINANTES Y MATRICES INVERSAS
108
40. Selectividad junio 2005. Sean las matrices
1 2 0
0 1 0
2 1
, C=
, B=
A=
−1 1 4
3 −1 2
3 −2
a) ¿Tiene A inversa?. En caso afirmativo, calcularla.
b) Determinar la matriz X que cumple que A · X + C · B t = B · B t , siendo B t la matriz
transpuesta de B.
−4 6
1
1
−1
Solución: Sı́, A = 7 A. X = 7
1 −26
41. Selectividad septiembre 2005. Sabiendo que:
a b c |A| = d e f = 2
g h i calcular, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes:
a) | − 3A| y |A−1 |.
c b a
b) f e d .
2i 2h 2g a b a − c c) d e d − f .
g h g − i Solución: | − 3A| = −54, |A−1 | = 12 ; -4; -2.
42. Selectividad Junio 2006. Consideremos la matriz:
a 1
A=
0 −a
siendo a un número real.
a) Calcular el valor de a para que
12 −1
A −A=
0 20
2
b) Calcular, en función de a, los determinantes de las matrices 2A, At , siendo At la
traspuesta de A.
CAPÍTULO 9. DETERMINANTES Y MATRICES INVERSAS
109
c) ¿Existe algún valor de a para el cual la matriz A es simétrica?. Razona la respuesta.
Solución: a = 4; |2A| = −4a2 , |At | = −a2 ; No.
43. Selectividad septiembre 2006. Resolver AB t X = −2C siendo B t la traspuesta de la
matriz B y
1 4
−1 3 0
1 0 3
, C=
, B=
A=
0 −1
0 2 −2
2 −1 0
1 −2 −14
Solución: X =
21
14 5
44. Selectividad Junio 2007. Consideremos la matriz:
1 −1
A=
1 λ
a) Determinar la matriz B = A2 − 2A.
b) Determinar los valores de λ para los que la matriz B tiene inversa.
c) Calcular B −1 para λ = 1.
Solución:
a) B =
−2
1−λ
.
λ − 1 λ2 − 2λ − 1
b) Existe B −1 cuando λ 6= −1 y λ 6= 3.
1
−2 0
−1
c) B =
.
0 − 12
45. Selectividad septiembre 2007. Sea I la matriz identidad de orden 2, y sea:
1 m
A=
1 1
a) Encontrar los valores de m para los cuales se cumple que (A − I)2 = O, donde O es
la matriz nula de orden 2.
b) Para m = 2, hallar la matriz X tal que AX − 2At = 0, donde At denota la matriz
traspuesta de A.
3 1
.
Solución: m = 0; X = 2
−1 0
110
CAPÍTULO 9. DETERMINANTES Y MATRICES INVERSAS
46. Selectividad junio 2009. Sean F1 , F2 y F3 las filas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz B de orden 3, cuyo determinante vale −2. Calcular, indicando
las propiedades utilizadas:
a) El determinante de B −1 .
b) El determinante de (B t )4 (B t es la matriz traspuesta de B).
c) El determinante de 2B.
d ) El determinante de una matriz cuadrada C cuyas filas primera, segunda y tercera
son, respectivamente, 5F1 − F3 , 3F3 , F2 .
Solución: |B −1 | = − 21 , |(B t )4 | = 16, |2B| = −16, |C| = 30.
47. Selectividad septiembre 2009. Sean las matrices


1 −2 1
3
1
0
,
A = −2 −1 1  , B =
−1 2 1
1
0 −1

−2 1
C =  1 −2
0
3

Determinar la matriz X que verifica AX − B t = 2C (B t es la matriz traspuesta de B).


7 2
1
Solución: X = − 5 18
4
7 30
Capı́tulo 10
Sistemas de ecuaciones lineales
1. Considerar el sistema de ecuaciones:
2x − 2y − z = 4
x + 2y − 2z = −1
x−z = 1
a) ¿Existe una solución del mismo en la que y = 0?.
b) Resolver el sistema homogéneo asociado al sistema dado.
c) Hacer una interpretación geométrica tanto del sistema dado como de sus soluciones.
Solución: Sı́, x = 3, y = 0, z = 2. Para el segundo apartado x = 2t, y = t, z = 2t, t ∈ R.
2. Del sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
ax + by + 1 = 0
a′ x + b′ y + c = 0
se sabe que x = 1, y = 2 es una solución y que x = 7, y = 3 es otra solución. ¿Qué puede
afirmarse respecto de las soluciones del sistema?, ¿cuántas tiene?, ¿cuáles son?.
Solución: El sistema es compatible con infinitas soluciones dependientes de 1 parámetro.
Las soluciones son x = −11 + 6t, y = t.
3. Considerar el sistema
x−y+z =1
3x − 4y − 2z = −3
a) Añadir una ecuación lineal al sistema anterior de modo que el sistema resultante sea
incompatible.
111
CAPÍTULO 10. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
112
b) Si añadimos al sistema dado la ecuación mx+y−z = −1, determinar para qué valores
del parámetro m el sistema resultante es compatible indeterminado y resolverlo.
Solución: Para el segundo apartado es m = −1, y entonces x = 1+6t, y = 1+5t, z = 1−t.
4. En un supermercado se ofrecen dos lotes formados por distintas cantidades de los mismos
productos.
El primer lote está compuesto por una botella de cerveza, tres bolsas de cacahuetes
y siete vasos y su precio es de 565 pts.
El segundo lote está compuesto por una botella de cerveza, cuatro bolsas de cacahuetes y diez vasos y su precio es de 740 pts.
Con estos datos, ¿se podrı́a averiguar cuánto deberı́a valer un lote formado por una botella
de cerveza, una bolsa de cacahuetes y un vaso. Justifica la respuesta.
Solución: Sı́, y su precio serı́a 215 pts.
5. Una tienda vende una clase de calcetines a 1 200 pts. el par. Al llegar las rebajas, durante
el primer mes realiza un 30 % de descuento sobre el precio inicial y en el segundo mes
un 40 % también sobre el precio inicial. Sabiendo que vende un total de 600 pares de
calcetines por 597 600 pts. y que en las rebajas ha vendido la mitad de dicho total (de
calcetines), ¿a cuántos pares de calcetines se les ha aplicado un descuento del 40 %?.
Solución: 120 pares.
6. Determinar según los valores del parámetro α cuándo tiene solución el sistema
αx + y + z = α2
αx + (1 − α)y + (α − 1)z = α2
αx + y + αz = 2α2
Resolverlo cuándo sea compatible indeterminado.
Solución: Para α = 0 el sistema es compatible con infinitas soluciones dependientes de un
parámetro y su solución es x = t, y = z = 0, t ∈ R. Si α 6= 0 y α 6= 1 es un sistema de
Cramer (solución única). En los demás casos es incompatible.
7. Por la abertura A del mecanismo de tubos de la figura se introducen 50 bolas que se
deslizan hasta salir por B. Sabemos que por el tubo W han pasado 10 bolas.
113
CAPÍTULO 10. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
A
W
Y
Z
X
B
a) Justificar si es posible hallar el número de bolas que pasan exactamente por cada
uno de los tubos X, Y y Z.
b) Supongamos que podemos controlar el número de bolas que pasan por el tubo Y .
Escribir las expresiones que determinan el número de bolas que pasan por los tubos
X y Z en función de las que pasan por Y .
c) Se sabe un dato nuevo: por Y circulan 3 veces más bolas que por Z. ¿cuántas circulan
por X, Y y Z?.
Solución: No. Si x, y, z son el número de bolas que pasan por X, Y, Z respectivamente,
entonces x = 10 + y, z = 40 − y. Para el tercer apartado x = 40, y = 30, z = 10.
8. Sea el sistema de ecuaciones:
x+y =1
my + z = 0
x + (1 + m)y + mz = 1 + m
a) Estudiar su comportamiento según los valores del parámetro m.
b) Resolverlo para m = 2.
Solución:
m = 1, incompatible.
m = 0, compatible con infinitas soluciones dependientes de un parámetro: x = t, y =
1 − t, z = 0.
m 6= 0 y m 6= 1, sistema de Cramer.
Para m = 2, resulta x = 2, y = −1, z = 2.
CAPÍTULO 10. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
114
9. Discutir el siguiente sistema según los valores del parámetro b
x + y + bz = b2
−x + y + z = −3
bx + y + z = 3b
y resolverlo cuando sea compatible indeterminado.
Solución:
b = 1, incompatible.
b = −1, compatible con infinitas soluciones dependientes de un parámetro: x =
2 + t, y = −1, z = t.
b 6= 1 y b 6= −1, sistema de Cramer (solución única).
10. Una persona trata de adivinar, mediante ciertas pistas, el coste de tres productos A, B y
C que un amigo suyo ha comprado:
Pista 1: Si compro una unidad de A, dos de B y una de C me gasto 900 pts.
Pista 2: Si compro m unidades de A, m + 3 unidades de B y 3 de C me gasto 2 950 pts.
a) ¿Hay algún valor de m para el cual estas dos pistas no son compatibles?.
b) Si en la Pista 2 se toma m = 4, ¿es posible saber el coste de cada uno de los
productos?.
c) El amigo le dice finalmente que el producto C vale 5 veces lo que vale el producto
A y que en la Pista 2 se tiene m = 4. ¿Cuánto valen A, B y C?.
Solución: Sı́, cuando m = 3. No. Si es x, y, z el precio de los productos A, B, C respectivamente, entonces x = 100, y = 150, z = 500.
11. Se considera el sistema
x + 2y + 3z = −1
2x + 5y + 4z = −2
x + 3y + m2 z = m
a) Discutir el sistema según los valores del parámetro m.
b) Resolverlo cuando sea compatible indeterminado.
c) Razonar para qué valores de m tiene inversa la matriz de los coeficientes del sistema.
Solución:
m = 1, incompatible.
CAPÍTULO 10. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
115
m = −1, compatible con infinitas soluciones dependientes de un parámetro: x =
−1 − 7t, y = 2t, z = t.
m 6= 1 y m 6= −1.
12. Se dice que dos matrices A y B son semejantes cuando existe una matriz invertible P
tal que AP = P B.
2 0
1 2
son semejantes.
yB=
a) Probar que las matrices A =
0 −1
1 0
b) Resolver los sistemas
x
x
1 2
x
x
1 2
=−
y
=2
y
y
1 0
y
y
1 0
Solución:
2 1
.
a) En efecto, basta tomar P =
1 −1
b) La solución del primer sistema es x = 2t, y = t, t ∈ R y la del segundo es x = t, y =
−t, t ∈ R.
13. Estudiar el siguiente sistema según los valores del parámetro k e interpreta geométricamente los resultados
2x + 2y + (k + 2)z = −5
x + y − 2z = 5
3x + ky − 6z = 5k
k = −6, sistema incompatible. Los tres planos no tienen ningún punto común.
k = 3, compatible con infinitas soluciones dependientes de un parámetro. Los tres
planos contienen la recta

x=t





5
r ≡ y = 3 −t



5

z =−
3
k 6= −6 y k 6= 3, sistema de Cramer. Los tres planos tienen un punto común.
14. Discutir y resolver en caso de compatibilidad los siguientes sistemas según los valores del
parámetro a:

2x − y = 2


(

 ax − 2y = 1
ax − y = 1
a)
; b)

−2x + (a − 1)y = 2
2x + ay = 2



x + 5y = a
116
CAPÍTULO 10. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Solución:
Problema a)
• a = 2, incompatible
• a = −1, compatible con infinitas soluciones dependientes de un parámetro:
x = −1 − t, y = t.
1
2
• a 6= 2 ∧ a 6= −1, sistema de Cramer: x = a−2
, y = a−2
Problema b)
• a 6= 1, incompatible
• a = 1, sistema de Cramer: x = 1, y = 0
15. Discutir y resolver en caso de compatibilidad los siguientes sistemas según los valores del
parámetro a:

(

 ax + y + 3z = 3
ax + y = a2
x−y−z = 0
a)
; b)

x + a2 y = 1
 5x − 3y − 2z = 6
Solución:
Problema a)
• a = 1, compatible con infinitas soluciones dependientes de un parámetro: x =
1 − t, y = t.
3
2 +a+1
a
• a 6= 1, sistema de Cramer: x = a a+a
2 +a+1 , y = − a2 +a+1
Problema b)
• a = 3, incompatible
9
• a=
6 3, sistema de Cramer: x = − a−3
, y = − 6a+9
,z =
a−3
6a
a−3
16. Discutir y resolver en caso de compatibilidad los siguientes sistemas según los valores del
parámetro a:


ax
+
y
−
z
=
1


 2x + y − z = 0

ax − y − z = a − 1
x + 2y + z = 2
; b)
a)




3x − 2az = a − 1
x + 3y − z = 0
Solución:
Problema a)
• a = 51 , incompatible
• a=
6 15 , sistema de Cramer: x =
Problema b)
9
,y
5a−1
=
2a−4
,z
5a−1
=
6a−3
5a−1
CAPÍTULO 10. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
117
• a = 1, compatible con infinitas soluciones dependientes de un parámetro: x =
2t, y = −t, z = 3t.
• a = −3, incompatible
, y = − 5(a−1)
, z = − a−1
• a 6= 1 ∧ a 6= −3, sistema de Cramer: x = a−1
a+3
2(a+3)
a+3
17. Discutir y resolver en caso de compatibilidad los siguientes sistemas según los valores del
parámetro a:


ax + y + z = 0
2x
+
3y
−
4z
=
1




(a + 1)x + y − az = a
4x + 6y − az = 2
; b)
a)




x + (a + 1)y = 2a
x + y + az = 10
Solución:
Problema a)
• a = 8, compatible con infinitas soluciones dependientes de un parámetro: x =
29 − 28t, y = −19 + 20t, z = t.
• a 6= 8, sistema de Cramer: x = 29, y = −19, z = 0
Problema b)
• a = 0, compatible con infinitas soluciones dependientes de un parámetro: x =
t, y = −t, z = t.
• a = −1, incompatible
2 +2a+1
1
a2 +a+1
• a 6= 0 ∧ a 6= −1, sistema de Cramer: x = − a+1
, y = 2a(a+1)
2 , z = − (a+1)2
18. Discutir y resolver en caso de compatibilidad los siguientes sistemas según los valores del
parámetro a:


5x
+
2y
−
z
=
9



 ax + y + z = 1
2x − 4y + 8z = a
x + ay + z = a
a)
; b)




x − 2y + 4z = 2
x + y + az = a2
Solución:
Problema a)
• a = 4, compatible con infinitas soluciones dependientes de un parámetro: x =
11−3t
, y = 21t−1
, z = t.
6
12
• a 6= 4, incompatible
Problema b)
• a = 1, compatible con infinitas soluciones dependientes de dos parámetros: x =
1 − s − t, y = s, z = t.
118
CAPÍTULO 10. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
• a = −2, incompatible
• a 6= 1 ∧ a 6= −2, sistema de Cramer: x = − a+1
,y =
a+2
1
,z
a+2
=
(a+1)2
a+2
19. Discutir y resolver en caso de compatibilidad los siguientes sistemas según los valores del
parámetro a:


x − 2z = 3


x + ay + z = a + 1


 4x + y = 5

(a + 1)x + y − az = 0
a)
; b)


2x + z = a



2x + y − z = 1 − a

2x − 3z = a
Solución:
Problema a)
• a = 1, compatible con infinitas soluciones dependientes de un parámetro: x =
2(t − 1), y = 4 − 3t, z = t.
• a = 2, incompatible
2 +a+2
• a 6= 1 ∧ a 6= 2, sistema de Cramer: x = − a a−2
, y = 3a+2
, z = − a(a+2)
a−2
a−2
Problema b)
• a 6= 6, incompatible
• a = 6, sistema de Cramer: x = 3, y = −7, z = 0
20. Discutir y resolver en caso de compatibilidad
parámetro a:

3x − ay + 3z = 4



 ax + y − z = 2
a)
; b)

x−y+z =1



ax + 4y − z = 5
Solución:
los siguientes sistemas según los valores del





x+y−z
3x + 4y − z

x + y − az



ax + 2y + (a + 2)z
Problema a)
• a = 2, sistema de Cramer: x = y = z = 1
• a = −1, incompatible
• a 6= 2 ∧ a 6= −1, incompatible
Problema b)
• a = 6, sistema de Cramer: x = 7, y = −4, z = 0
• a = 1, sistema de Cramer: x = 7, y = −4, z = 0
=3
=5
=3
= a2 − 2
CAPÍTULO 10. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
119
• a 6= 6 ∧ a 6= 1, incompatible
21. Discutir y resolver en caso de compatibilidad el siguiente sistema según el valor del
parámetro a:
x+y+z =2
x + 2y − 3z = 8
ax − y − z = 1
x − y + z = −2
Solución:
a = 2, sistema de Cramer: x = 1, y = 2, z = −1
a 6= 2, incompatible
22. Sea el sistema:
x + 2y = 10
x − my = 5
a) Hallar para qué valor de m es x = 0.
b) Hallar para qué valor de m es incompatible el sistema.
Solución: m = −1 ; m = −2
23. Sea el sistema:
x+y+z =a+1
x + y + (a − 1)z = a
x + ay + z = 1
a) ¿Para qué valores de a es compatible y determinado?. Resolverlo para dichos valores.
b) ¿Para qué valores de a es indeterminado?. Resolverlo para dichos valores.
c) ¿Es incompatible para algún valor de a?.
Solución:
a) a 6= 1 ∧ a 6= 2. Las soluciones son:
x=
a3 − a2 − 2a + 1
a
1
,y = −
,z = −
(a − 1)(a − 2)
a−1
a−2
b) Para ningún valor de a.
c) Para a = 1 y a = 2.
CAPÍTULO 10. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
120
24. La suma de las tres cifras de un número es 16, y la suma de la primera y la tercera es igual
a la segunda. Permutando entre sı́ dichas cifras (primera y tercera) resulta un número
que supera en 198 unidades al número dado. ¿Cuál es dicho número?.
Solución: 385
25. Varios amigos pagan en un bar 755 pts. por 5 cervezas, 3 bocadillos y 2 cafés. Al dı́a
siguiente consumen 3 cervezas, 2 bocadillos y 4 cafés por lo que pagan 645 pts.
a) Si al tercer dı́a consumen 7 cervezas y 4 bocadillos, ¿qué precio deberı́an pagar por
ello?.
b) ¿Puede saberse de los datos anteriores el precio de una cerveza, o un bocadillo o un
café?. Si además sabemos que un café vale 60 pts., ¿Puede saberse el precio de una
cerveza o un bocadillo?.
Solución:
a) 865 ptas.
b) No; Sı́, 55 y 120 pts. la cerveza y el bocadillo respectivamente.
26. Selectividad Septiembre 2000. Se considera el sistema de ecuaciones
3x + 2y − 5z = 1
4x + y − 2z = 3
2x − 3y + az = b
a) Determinar a y b sabiendo que el sistema tiene infinitas soluciones.
b) Resolver el sistema resultante.
Solución: a =
44
,
5
b = 5; x = 1 − t, y = −1 + 14t, z = 5t.
27. SL. Consideremos el sistema de ecuaciones:
λx + 2y = 3
−x + 2λz = −1
3x − y − 7z = λ + 1
a) Hallar todos los valores del parámetro λ para los que el sistema correspondiente tiene
infinitas soluciones.
b) Resolver el sistema para los valores de λ obtenidos en el apartado anterior.
c) Discutir el sistema para los restantes valores de λ.
CAPÍTULO 10. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
121
Solución: λ = 1; para λ = 1 es x = 1 + 2t, y = 1 − t, z = t. Para λ = −7 el sistema es
incompatible y si λ 6= 1, −7 el sistema es de Cramer.
28. SL. Consideremos la matriz


1 2 1
A = λ 1 0 
0 1 λ
a) Hallar los valores de λ para los que la matriz A no tiene inversa.
b) Tomando λ = 1, resolver el sistema escrito en forma matricial
   
0
x



A · y = 0
0
z
Solución: λ = 0, 1; para λ = 1 es x = t, y = −t, z = t.
29. SL. Consideremos el sistema de ecuaciones:
x + λy + (λ − 1)z = 1
y+z =1
2x + y − z = −3
a) Hallar todos los posibles valores del parámetro λ para los que el sistema correspondiente tiene al menos dos soluciones distintas.
b) Resolver el sistema para los valores de λ obtenidos en el apartado anterior.
c) Discutir el sistema para los restantes valores de λ.
Solución: solamente λ = 3; para λ = 3 es x = −2 + t, y = 1 − t, z = t. Para λ 6= 3 el
sistema es incompatible.
30. SL. Discutir y resolver el siguiente sistema según los valores del parámetro λ:
x + λy + z = 0
λx + y + z = 0
x + y + λz = 0
Solución:
λ = 1, compatible con infinitas soluciones dependientes de 2 parámetros: x = −s −
t, y = s, z = t, para todos s, t ∈ R.
λ = −2, compatible con infinitas soluciones dependientes de 1 parámetro: x = t, y =
t, z = t, para todo t ∈ R.
CAPÍTULO 10. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
122
λ 6= 1 y λ 6= −2, sistema de Cramer cuya solución es la trivial x = y = z = 0.
31. SL. Consideremos el sistema escrito en forma matricial:
   

−2
x
b 1 b
0 b 1 y  =  0 
−2
z
1 b 1
Discutir el sistema según los valores del parámetro b y resolverlo cuando sea compatible
indeterminado.
Solución:
b = 1, compatible con infinitas soluciones dependientes de 1 parámetro: x = −2, y =
t, z = −t, para todo t ∈ R.
b = −1, incompatible.
b 6= 1, −1, sistema de Cramer.
 
 


x
1
1 −2 −3





2
, B = 0 , X = y
32. SL. Sean A = 0 a
z
1
a −1 a − 2
a) Determinar el rango de A en función del parámetro a.
b) Discutir en función de a el sistema, dado en forma matricial, AX = B
c) Resolver AX = B en los casos que sea compatible indeterminado.
(
2,
si a = 1, 21
Solución: r(A) =
. Para a = 1, el sistema es compatible con infinitas
3,
en otro caso
soluciones dependientes de 1 parámetro: x = 1 − t, y = −2t, z = t, para todo t ∈ R.
Para a = 12 es incompatible y si a 6= 1, 12 es un sistema de Cramer.
33. SL. Consideremos el sistema:
mx + y − z = 1
x − my + z = 4
x + y + mz = m
Discutirlo según los valores de m. ¿Cuál es, según los valores de m, la posición relativa
de los planos cuyas ecuaciones respectivas son las tres que forman el sistema?.
Solución: Si m = 0, el sistema es incompatible: los tres planos no tienen ningún punto en
común. Si m 6= 0, el sistema es de Cramer: los tres planos se cortan en un único punto.
123
CAPÍTULO 10. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
34. SL. Resolver el sistema de ecuaciones, dado en forma matricial: AX = −AX + B, siendo


 
 
1 0 2
1
x





A = −1 1 1 , B = 4 , X = y 
3 1 4
1
z
9
Solución: x = − 10
, y = 52 , z =
35. SL. Determinar a, b y c

−3 1
A= 1 a
−1 b
Solución: a = 1, b =
23
,
29
7
10
sabiendo que la matriz
   

2
1
1
2 , verifica: A 2 = 9
4
3
c
c=
y rango(A) = 2
33
29
36. SL. Clasificar el siguiente sistema según los valores del parámetro m
2x + my = 0
x + mz = m
x + y + 3z = 1
Resolver el sistema anterior para m = 6.
Solución: Para m = 0, sistema compatible con infinitas soluciones dependientes de 1
parámetro. Para m = 5, incompatible. Para m 6= 0, 5, sistema de Cramer. Cuando m = 6
es x = −12, y = 4, z = 3.
37. SL. Un mayorista de café dispone de tres tipos base: Moka, Brasil y Colombia, para
preparar tres tipos de mezcla: A, B y C, que envasa en sacos de 60 Kg., con los siguientes
contenidos en kilos y precios del kilo en euros:
Moka
Brasil
Colombia
Precio (cada Kg.)
Mezcla A
15
30
15
4
Mezcla B
30
10
20
4′ 5
Mezcla C
12
18
30
4′ 7
Suponiendo que el preparado de las mezclas no supone coste alguno, ¿cuál es el precio de
cada uno de los tipos base de café?.
Solución: Precio Moka = 4 euros, Precio Brasil = 3 euros, Precio Colombia = 6 euros.
CAPÍTULO 10. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
124
38. Selectividad Junio 2002. Determinar una matriz A simétrica (A coincide con su traspuesta) sabiendo que
2
6
−4 −12
det(A) = −7 y A
=
−1 −3
1
3
−1 2
Solución: A =
2 3
39. Selectividad Septiembre 2003. Considerar las matrices
 


x
−2 −2 1



y X = y
A = −2 1 −2
z
1 −2 −2
a) Siendo I la matriz identidad de orden 3, calcular los valores de λ para los que la
matriz A + λI no tiene inversa.
b) Resolver el sistema A · X = 3X e interpreta geométricamente el conjunto de todas
sus soluciones.
Solución: λ = −3, 3; x = t, y = −2t, z = t, para todo t ∈ R, es decir, una recta.
40. Selectividad junio 2004. Considerar el sistema de ecuaciones
mx − y = 1
x − my = 2m − 1
a) Clasificar el sistema según los valores de m.
b) Calcular los valores de m para los que el sistema tiene una solución en la que x = 3.
Solución: si m = 1 el sistema es compatible con infinitas soluciones dependientes de
1 parámetro; si m = −1 el sistema es incompatible. En los demás casos, es decir, si
m 6= −1, 1 el sistema es de Cramer; m = 1, − 34 .
41. Selectividad septiembre 2004. Determinar a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones
x + 3y + z = 1
−x + y + 2z = −1
ax + by + z = 4
tiene al menos dos soluciones distintas.
Solución: si a = 4, b = 8.
CAPÍTULO 10. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
125
42. Selectividad septiembre 2004.

3
−2
1
−4 −2 tiene rango 2, ¿cuál es el valor de
a) Sabiendo que la matriz A =  1
−1 a − 1 a
a?.

b) Resolver el sistema de ecuaciones:
   

1
x
3 −2 1
 1 −4 −2 y  =  0 
−1
z
−1 −6 −5


 x = −2 − 8t
Solución: a = −5; y = −2 − 7t


z = 3 + 10t
43. Selectividad junio 2005. Considera el sistema de ecuaciones:
x + y + z = −2
−lx + 3y + z = −7
x + 2y + (l + 2)z = −5
a) Clasificar el sistema según los valores del parámetro l.
b) Resolver el sistema cuando sea compatible indeterminado.
Solución: Para l = −1 el sistema es incompatible. Para l = −2, el sistema es compatible
con infinitassoluciones dependientes
de un parámetro (compatible indeterminado) y su


 x = 1 − 2t 

solución es y = −3 + t . Para l 6= −1, −2 el sistema es de Cramer (solución única).




z=t
44. Selectividad septiembre 2005. En una excavación arqueológica se han encontrado
sortijas, monedas y pendientes. Una sortija, una moneda y un pendiente pesan conjuntamente 30 gramos. Además, 4 sortijas, 3 monedas y 2 pendientes han dado un peso total de
90 gramos. El peso de un objeto deformado e irreconocible es de 18 gramos. Determina si
el mencionado objeto es una sortija, una moneda o un pendiente, sabiendo que los objetos
que son del mismo tipo pesan lo mismo.
Solución: moneda.
CAPÍTULO 10. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
126
45. Selectividad junio 2006. Resolver el sistema:
     

5
2
x
2 0 5
 1 1 −2 y  + 2 = 0
2
3
z
−1 1 1
Solución: x = 41 , y = − 54 , z = 21 .
46. Selectividad septiembre 2006. Considera el sistema de ecuaciones lineales:
lx − y − z = −1
x + ly + z = 4
x+y+z =l+2
a) Clasificar el sistema según los valores del parámetro l.
b) Resolver el sistema para l = 2.
Solución: Para l = 1 el sistema es incompatible. Para l = −1, el sistema es compatible
con infinitas soluciones dependientes de un parámetro (compatible indeterminado). Para
l 6= ±1 el sistema es de Cramer (solución única). Cuando l = 2, es x = 1, y = 0, z = 3.
47. Selectividad junio 2007.
a) Calcular la matriz inversa de:

1 1 0
A =  0 1 1
1 0 1

b) Escribir en forma matricial el siguiente sistema y resolverlo usando la matriz A−1
hallada en el apartado anterior.
x+y = 1
y + z = −2
x+z =3
Solución: A−1

1 −1 1
1 −1; x = 3, y = −2, z = 0.
= 12  1
−1 1
1

48. Selectividad septiembre 2007. Considerar el sistema de ecuaciones:
ax + y + z = 4
x − ay + z = 1
x+y+z =a+2
CAPÍTULO 10. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
127
a) Resolverlo para el valor de a que lo haga compatible indeterminado.
b) Resolver el sistema que se obtiene para a = −2.
Solución: Para a = −1 el sistema es compatible indeterminado, en concreto, compatible
con infinitas soluciones dependientes de un parámetro, x = − 23 , y = 52 − t, z = t, para
todo t ∈ R. Para a = −2, el sistema es de Cramer (solución única), x = − 34 , y = 1, z = 13 .
49. Selectividad junio 2008. Un cajero automático contiene sólo billetes de 10, 20 y 50
euros. En total hay 130 billetes con un importe de 3000 euros.
a) ¿Es posible que en el cajero haya el triple número de billetes de 10 que de 50?
b) Suponiendo que el número de billetes de 10 es el doble que el número de billetes de
50, calcula cuantos billetes hay de cada tipo.
Solución: No; 80, 10 y 40 billetes de 10, 20 y 50 euros respectivamente.
50. Selectividad junio 2008. Sea la matriz


1 1
0
A = m m2 m2 
m m m2
a) Hallar los valores del parámetro m para los que el rango de A es menor que 3.
b) Estudiar si el sistema
   
x
1



A · y = 1
z
1
tiene solución para cada uno de los valores de m obtenidos en el apartado anterior.
Solución: m = 0, 1; para m = 0 el sistema es incompatible (no tiene solución); para
m = 1, el sistema es compatible con infinitas soluciones dependientes de dos parámetros
(compatible indeterminado).
51. Selectividad septiembre 2008. Considerar el sistema de ecuaciones:
x+y+z =a−1
2x + y + az = a
x + ay + z = 1
a) Discutirlo según los valores del parámetro a.
b) Resolverlo para a = 2.
CAPÍTULO 10. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
128
Solución: para a = 1 el sistema es incompatible; para a = 2 el sistema es compatible indeterminado, en concreto, compatible con infinitas soluciones dependientes de un parámetro,
x = 1 − t, y = 0, z = t, para todo t ∈ R. Por último, para a 6= 1, 2, el sistema es de
Cramer (solución única).
52. Selectividad septiembre 2008. Sabemos que el sistema de ecuaciones:
2x − y + 3z = 1
x + 2y − z = 2
tiene las mismas soluciones que el que resulta de añadirle la ecuación ax + y + 7z = 7.
a) Determinar el valor de a.
b) Calcular la solución del sistema inicial de dos ecuaciones, de manera que la suma de
los valores de las incógnitas sea igual a la unidad.
Solución: a = 8; x = 65 , y = 51 , z = − 25 .
53. Selectividad junio 2009. Una empresa embasadora ha comprado un total de 1 500
cajas de pescado en tres mercados diferentes, a un precio por caja de 30, 20 y 40 euros
respectivamente. El coste total de la operación ha sido de 40 500 euros. Calcular cuánto
ha pagado la empresa en cada mercado, sabiendo que en el primero de ellos ha comprado
el 30 % de las cajas.
Solución: 13 500 euros en el primer mercado, 15 000 en el segundo y 12 000 en el tercero.
54. Selectividad septiembre 2009. Discutir según los valores del parámetro λ el siguiente
sistema:
3x + λy = 0
x + λz = λ
x + y + 3z = 1
y resolverlo para λ = 0.
Solución: para λ = 0 el sistema es compatible con infinitas soluciones dependientes de un
parámetro, x = 0, y = 1 − 3t, z = t, para todo t ∈ R. Para λ = 6 es incompatible. Por
último, para λ 6= 0, 6, el sistema es de Cramer (solución única).
Capı́tulo 11
Geometrı́a afı́n
11.1.
Resumen teórico
11.1.1.
Determinación de una recta
Una recta r puede calcularse de las siguientes formas:
1. Con dos puntos distintos A (x1 , y1 , z1 ), B (x2 , y2, z2 ), A 6= B.
2. Con un punto A y el vector director ~v = (v1 , v2 , v3 ).
3. Como intersección de dos planos no paralelos.
−→
Si estamos en el primer caso el vector ~v = AB es un vector director, y ası́:
11.1.2.
Ecuaciones
paramétricas


 x = x1 + v1 t


r ≡ y = y1 + v2 t ∀t ∈ R




z = z1 + v3 t
Ecuación continua
r≡
y − y1
z − z1
x − x1
=
=
v1
v2
v3
Posición relativa de dos rectas
Dadas dos rectas
r≡
(
P (x1 , y1 , z1 )
~v = (v1 , v2 , v3 )
s≡
(
Q (x2 , y2 , z2 )
w
~ = (w1 , w2 , w3 )
−→
Se forman las matrices A = (~v, w),
~ A′ = (~v, w,
~ P Q), es decir:




v1 w1
v1 w1 x2 − x1
A =  v2 w2  ; A′ =  v2 w2 y2 − y1 
v3 w3
v3 w3 z2 − z1
129
130
CAPÍTULO 11. GEOMETRÍA AFÍN
y entonces:
11.1.3.
r(A) = 2 =⇒ r ∦ s =⇒
(
r(A′ ) = 3,
r(A′ ) = 2,
se cruzan.
se cortan en un punto.
r(A) = 1 =⇒ r k s =⇒
(
r(A′ ) = 2,
r(A′ ) = 1,
r 6= s (paralelas y distintas).
r = s (las rectas son idénticas).
Determinación de un plano
Un plano π puede calcularse de las siguientes formas:
1. Con tres puntos no alineados A (x1 , y1 , z1 ), B (x2 , y2, z2 ), C (x3 , y3, z3 ).
2. Con un punto A y dos vectores directores ~v = (v1 , v2 , v3 ), w
~ = (w1 , w2 , w3) linealmente
independientes.
3. Con un punto A y el vector normal ~n = (a, b, c).
−→
−→
Si estamos en el primer caso, los vectores ~v = AB y w
~ = AC son vectores directores, y ası́:
Ecuaciones
paramétricas


x
=
x
+
v
t
+
w
s


1
1
1


π ≡ y = y1 + v2 t + w2 s ∀s, t ∈ R




z = z1 + v3 t + w3 s
11.1.4.
Ecuación implı́cita
x − x1 y − y1 z − z1 v1
v2
v3 = 0 =⇒
w1
w2
w3 =⇒ ax + by + cz + d = 0
Posición relativa de dos planos
Dados dos planos
π1 ≡ a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0
π2 ≡ a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0
Se forman las matrices:
A=
a1 b1 c1
a2 b2 c2
′
; A =
a1 b1 c1 d1
a2 b2 c2 d2
y entonces:
r(A) = 2 =⇒ π1 ∦ π2 =⇒ r(A′ ) = 2 =⇒ π1 ∩ π2 = recta r
(
r(A′ ) = 2,
π1 6= π2 (planos paralelos y distintos).
r(A) = 1 =⇒ π1 k π2 =⇒
r(A′ ) = 1,
π1 = π2 (los planos son idénticos).
131
CAPÍTULO 11. GEOMETRÍA AFÍN
11.1.5.
Paralelismo de recta y plano
Sean
π ≡ ax + by + cz + d = 0 y r ≡
(
P (x1 , y1 , z1 )
~v = (v1 , v2 , v3 )
Entonces tenemos el siguiente criterio:
r k π ⇐⇒ av1 + bv2 + cv3 = 0
11.1.6.
Haz de planos
Dados dos planos independientes
π1 ≡ a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0
π2 ≡ a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0
la combinación lineal
πλ,µ ≡ λ(a1 x + b1 y + c1 z + d1 ) + µ(a2 x + b2 y + c2 z + d2 )
se llama haz de planos. Cualquier plano del haz contiene a la recta r = π1 ∩ π2 .
11.1.7.
Recta que toca a otras dos
Dadas dos rectas
r≡
(
P (x1 , y1 , z1 )
~v = (v1 , v2 , v3 )
s≡
(
Q (x2 , y2 , z2 )
w
~ = (w1 , w2 , w3 )
se trata de hallar una tercera recta m que toque a r y a s y tal que (2 posibilidades):
1. De la recta m se conoce un punto R (x3 , y3, z3 ). Falta averiguar el vector ~u = (a, b, c),
vector director de m. Resolvemos el sistema homogéneo
−→
~v , ~u, RP = 0
−→
~ ~u, RQ = 0
w,
con lo cual obtenemos ~u.
2. De la recta m se conoce un vector director ~u. Falta averiguar un punto. Para ello, sea
X(x, y, z) un punto cualquiera de m. Formamos el sistema
−−→
~v , ~u, P X = 0
−−→
~ ~u, QX = 0
w,
y la recta sale como intersección de dos planos.
132
CAPÍTULO 11. GEOMETRÍA AFÍN
11.2.
Problemas
1. Determinar las ecuaciones paramétricas y la ecuación continua de las rectas que pasan
por el punto A y con el vector de dirección dado:
a) A(2, 1, −3), ~v = (−1, 2, −2)
Solución:
b) A(0, 0, 0), ~v = (2, −1, −3)
;


x = 2 − t
y = 1 + 2t


a)
z = −3 − 2t


 x = 2t
y = −t


b)
z = −3t
y
z
x
=
=
2
−1
−3
;
x−2
y−1
z+3
=
=
−1
2
−2
2. Determinar dos puntos pertenecientes a las rectas:
x−1
2 − 3y
a)
=
=1−z
2
3
;
b)
x = 2z − 1
y = −3z + 2
3. Escribir en forma paramétrica las rectas:
a)
Solución:
x−1
2−z
=y=
3
2


 x = 1 + 3t
y=t
a)

 z = 2 − 2t
;
;
b) x = y = z


x = t
y=t
b)

z =t
4. Hallar en forma paramétrica y cartesiana la ecuación del plano que pasa por el punto
A(1, −1, 2) y con vectores ~r, ~s que se indican como vectores de dirección:
a) ~r = (0, −1, 2), ~s = (1, 3, 2)
Solución:


x = 1 + s
y = −1 − t + 3s
a) 

z = 2 + 2t + 2s
8x − 2y − z − 8 = 0
b) ~r = (0, −1, −3), ~s = (−1, 2, −3)
;
;


x = 1 − s
y = −1 − t + 2s
b) 

z = 2 − 3t − 3s
9x + 3y − z − 4 = 0
133
CAPÍTULO 11. GEOMETRÍA AFÍN
5. Pasar a la forma continua y hallar un vector de dirección de las rectas:
(
(
x = 2z − 1
y = 2x + 3
a)
; b)
y = −z − 2
z = 2x − 2
Solución:

 x+1 = y+2 = z
2
−1
1
a)

~v = (2, −1, 1)
;

 x = y−3 = z+2
1
2
2
b)

~v = (1, 2, 2)
6. Hallar las ecuaciones paramétricas, ecuación continua y un vector de dirección de la recta:
(
2x − 3y + z − 1 = 0
x−y+2 =0
Solución:


 x = −7 + t
y = −5 + t

z =t
;
y+5
z
x+7
=
=
1
1
1
;
~v = (1, 1, 1)
7. Hallar la ecuación del plano que contenga al punto P (1, 1, 1) y sea paralelo a las rectas:

(

x = 2 + t
x − 2y = 0
r≡
; s ≡ y = 1−t

y − 2z + 4 = 0

z=t
Solución: x − y − 2z + 2 = 0
8. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P (1, 1, 2) y es paralelo a las rectas:

(

x − y = 2
3x + y = 0
r≡
; s ≡ y − z = −3

4x + z = 0

z=t
Solución: x − 5y + 4z − 4 = 0
9. Obtener las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A(1, 2, 2) y es paralela a la recta:
(
x=z−1
y = 2z + 1
Solución:
x−1
1
=
y−2
2
=
z−2
1
134
CAPÍTULO 11. GEOMETRÍA AFÍN
10. Obtener las ecuaciones de la recta que pasa por el origen y es paralela a la recta:
(
x−y−z = 0
x+y+z =0
Solución:
x
0
=
y
−1
=
z
1
11. Averiguar si son paralelos los planos π1 , π2 de cada uno de los apartados siguientes:
(
(
π1 ≡ x + y = 0
π1 ≡ x − y + z = 0
; b)
a)
π2 ≡ x = 2
π2 ≡ x − y = 0
Solución: No, No
12. Hallar las ecuaciones de los ejes y planos de coordenadas.
Solución:
y=0
x=0
x=0
Eje x ≡
; Eje y ≡
; Eje z ≡
z=0
z=0
y=0
Plano xy ≡ z = 0 ; Plano yz ≡ x = 0 ; Plano xz ≡ y = 0
13. Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta
x−1
y−1
=
=z
2
3
y es paralelo al vector de extremos A(2, 0, 0), B(0, 1, 0).
Solución: x + 2y − 8z − 3 = 0
14. Dados los puntos A(1, 0, 2), B(0, 1, 3), C(−1, 2, 0), D(2, −1, 3), hallar la ecuación del plano
que contiene a la recta que pasa por AB y es paralelo a la recta que pasa por CD.
Solución: x + y − 1 = 0
15. Sean las rectas ~x = (1, 1, 1) + λ(2, 1, −1), ~x = µ(3, 0, 1). Hallar la ecuación del plano que
pasa por el origen y es paralelo a ambas rectas.
Solución: x − 5y − 3z = 0
16. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (−1, 2, 0) y contiene a la recta:
(
x − 2y + z − 3 =0
y + 3z − 5 =0
Solución: 3x − 14y − 21z + 31 = 0
135
CAPÍTULO 11. GEOMETRÍA AFÍN
17. Hallar los valores de a para que sean paralelas las rectas:


 x = −t
y
z
x−1
=
=
; s ≡ y = −2 − 2t
r≡

a
2a
1
 z = −at
Solución: a = ±1
18. Estudiar si las rectas:
y+2
z−1
x−2
=
=
1
−2
−1
r≡
;
s≡
x+3
y−2
z
=
=
2
−1
1
son coplanarias. En caso afirmativo, hallar la ecuación del plano que las contiene.
Solución: Sı́, x + y − z + 1 = 0
19. Dadas la recta r y el plano π:
(
x − 2y − 2z =1
r≡
x + 5y − z =0
π ≡ 2x + y + mz = n
;
determinar la relación (o valores) entre m y n de modo que:
r y π sean secantes.
r y π sean paralelos y r 6⊂ π.
r esté contenida en π
, n 6=
Solución: 7m + 23 6= 0; m = − 23
7
9
7
; m = − 23
,n =
7
9
7
20. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P (1, 1, 2) y se apoya en las rectas:
r≡
Solución:
x−1
1
=
y−1
0
=
y
z−1
x−1
= =
3
2
−1
;
s≡
x
y
z+1
= =
2
1
2
z−2
−1
21. Hallar las ecuaciones de una recta paralela al vector ~u = (1, 2, 3) y que corte a las rectas:
(
x = 2z + 1
y+2
z
x−1
=
=
; s≡
r≡
2
3
1
y = −z + 2
Sugerencia: Estudiar previamente la posición relativa entre r y s.
Solución:
x−3
1
=
y−1
2
=
z−1
3
136
CAPÍTULO 11. GEOMETRÍA AFÍN
22. Averiguar si los puntos A(1, 0, 4), B(3, 0, 1), C(2, 0, 0), D(0, 4, 0) son o no coplanarios.
Solución: No
23. Obtener la condición para que sean coplanarios los puntos
A(1, 0, 1) ; B(1, 1, 0) ; C(0, 1, 1) ; D(a, b, c)
Solución: a + b + c = 2
24. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (−1, −3, 0) y es paralela a la recta:
(
x=z+2
y = z−3
Solución:
x+1
1
=
y+3
1
=
z
1
25. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 0, −1) y es paralela a la recta:
(
x+y+z−3 =0
2x − 2y + z − 1 = 0
Solución:
x−1
3
=
y
1
=
z+1
−4
26. Hallar la ecuación del plano paralelo a
−x − 2y + 3z − 7 = 0
que pasa por el punto (1, 2, −2)
Solución: x + 2y − 3z − 11 = 0
27. Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta:
x−1
y−1
z−1
=
=
2
3
4
y pasa por el origen.
Solución: x − 2y + z = 0
28. Hallar la ecuación del plano que pasa por (1, 0, 0) y contiene a la recta:


x = 2 + t
y = 3 − 3t


z = 4 + 2t
Solución: 9x + y − 3z − 9 = 0
137
CAPÍTULO 11. GEOMETRÍA AFÍN
29. Hallar la ecuación del plano que pasa por el origen y es paralelo al plano determinado por
el punto (1, −1, 0) y a la recta que pasa por el punto (2, 2, 2) y tiene por vector director
(1, 2, 3).
Solución: 5x − y − z = 0
30. Dadas las rectas:
r≡
(
x = 2z + 1
y = 3z + 2
;
s≡
(
x=z+4
y = 2z + 7
Averiguar sin son coplanarias y si lo son hallar el punto de intersección.
Solución: No son coplanarias.
31. Estudiar las posiciones relativas de los siguientes pares de rectas. En caso de corte, hallar
el punto de intersección:
•r≡x=y=z
s ≡ 2x + 1 = 2y = 2z + 2
x−1
z−3
z−3
; s≡
=y−2 =
• r ≡x−1 =y−2=
3
3
2
;
Solución: Son paralelas ; Se cortan en el punto (1, 2, 3).
32. Determinar la posición relativa de las rectas:
(
(
x= z−1
x+y+z+1=0
r≡
; s≡
y = −z
x−y−z−1=0
Solución: Se cruzan.
33. Determinar a para que las siguientes rectas se corten y hallar el punto de corte:


 x = 1 + 4t
y−3
z+a
x−3
=
=
; s ≡ y = −1 + 3t
r≡

2
−1
2

z = −4 + 5t
Solución: a = 1, (5, 2, 1).
34. Averiguar para qué valor de m se cortan las siguientes rectas y hallar el punto de corte:
(
x + 2y + z − m = 0
x−1
y+1
z−4
r≡
=
=
; s≡
2
3
5
2x − y − z + 2 = 0
Solución: m =
25
,
4
"3
2
.
, − 41 , 21
4
138
CAPÍTULO 11. GEOMETRÍA AFÍN
35. Sean las rectas:
r≡
(
5z = λ(x − 3) + 10
5y = x + 2
;
s≡
x−1
y
z−1
= =
−5
λ
2
Demostrar que se cruzan para todo valor de λ.
Hallar para qué valor de λ la recta s es paralela al plano 2x + 3y − z + 1 = 0.
Solución: λ = 4.
36. Para cada número real λ se considera el plano π de ecuación:
π ≡ (2λ + 1)x + (1 − λ)y + (1 + 3λ)z + 2λ − 1 = 0
Demostrar que todos los planos anteriores pasan por una recta r y calcular las ecuaciones
paramétricas de dicha recta.
Solución:


 x = −3 − 4t
y =2+t


z = 2 + 3t
37. Estudiar la posición relativa de la recta:


 x = 3t − 1
y =t+2


z = 2t
y el plano determinado por los puntos A(1, 3, 2), B(2, 0, 1), C(1, 4, 3).
"
Solución: Se cortan en el punto 54 , 13
,6 .
5 5
38. Dadas las rectas:
r≡
(
x = 2z + p
y = −z + 3
;
s≡
(
x = −z + 1
y = 2z + q
Hallar la condición que deben cumplir p y q para que las rectas estén contenidas en
un plano.
Determinar p, q para que el plano pase por el punto (1, 1, 1).
Solución: q − p = 2; p = −2, q = 0.
139
CAPÍTULO 11. GEOMETRÍA AFÍN
39. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el origen y corta a las rectas:
x = 2y = z − 1
Solución:
x
2
=
y
1
=
y−1
x
=
=z
2
3
;
z
1
40. Dadas las rectas:
r≡
(
x − 2y + z + 1 = 0
2x + y − 2z + 2 = 0
;
s≡
(
x − y + z = −8
2x + 3y − z = −8
Hallar la ecuación de la recta que se apoya en ambas y pasa por el punto (8, 5, 4).
Solución:
x−8
−2
y−5
23
=
z−4
37
=
41. Dadas las rectas:
x−1
r≡
=y=z
2
;
s≡
(
y = 2x − 1
z=3
Obtener la ecuación de la recta que se apoya en ambas y tiene como vector director
(−1, 3, −1).
Solución:
x−17
−1
y−8
3
=
=
z−8
−1
42. Dadas las rectas:
r≡x=y=z
;
s≡
(
x=2
y=1
;
t≡
(
x+y = 0
x−z =0
Hallar las ecuaciones de la recta que se apoya en r y s y es paralela a t.
Solución:
x−2
1
=
y−1
−1
=
z−2
1
43. Hallar el valor de k para que los planos:
π1 ≡ x + y + z = 2
π2 ≡ 2x + 3y + z = 3
π3 ≡ kx + 10y + 4z = 11
tengan una recta común y hallar las ecuaciones paramétricas de dicha recta.
Solución:
k=7
;


 x = 3 − 2t
y = −1 + t


z=t
140
CAPÍTULO 11. GEOMETRÍA AFÍN
44. Estudiar la posición relativa de los planos:
π1 ≡ mx + y − z = 1
π2 ≡ 2x − y + mz = 3m
π3 ≡ x − 2y + (m + 1)z = 3m − 1
según los distintos valores de m.
Solución: Si m = 1 los tres planos pasan por una recta. Si m 6= 1 los tres planos se cortan
en un punto.
45. Determinar a y b para que los planos:
π1 ≡ 2x − y + z = 3
π2 ≡ x − y + z = 2
π3 ≡ 3x − y − az = b
se corten en una recta r. Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta r y pasa por
el punto (2, 1, 3).
Solución: Si a = −1, b = 4, x + y − z = 0
46. Determinar si las rectas:
(
x + y − 2z + 1 = 0
r≡
2x − y + z − 1 = 0
;
s≡
(
2x + y − z − 1 = 0
x − y − 2z + 1 = 0
se cortan o se cruzan.
Solución: Se cruzan.
47. Calcular, describiendo el procedimiento empleado, las ecuaciones de una recta que pasa
por el origen de coordenadas y es paralela a la recta en que se cortan los planos
Π1 ≡ x − y + 2z + 1 = 0 ; Π2 ≡ x + 3y − z + 2 = 0
Solución:
x
−5
=
y
3
= 4z .
48. Sean las rectas:
r≡
y
z−m
x−1
= =
3
2
−1
; s≡
x
y
z+1
=
=
2
m
2
(1) ¿Para qué valor de m están r y s contenidas en un mismo plano?.
(2) En el caso en que m = 1, hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1, 1, 2)
y corta a r y a s.
141
CAPÍTULO 11. GEOMETRÍA AFÍN
Solución: m = 0;
x−1
−1
=
y−1
0
=
z−2
1
49. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P (1, 0, 2) y corta a las rectas r y
s dadas por
(
2x + 6y + 2 = 0
y+2
z
x
=
; s≡
r≡ =
3
1
1
y + 2z = 0
Solución:
x−1
3
=
y
−2
=
z−2
−2
50. Selectividad Junio 2001. Calcular a sabiendo que los planos
ax + y − 7z = −5 y x + 2y + a2 z = 8
se cortan en una recta que pasa por el punto A(0, 2, 1) pero que no pasa por el punto
B(6, −3, 2).
Solución: a = −2.
51. SL. Consideremos los tres planos siguientes:
π1 ≡ x + y + z = 1,
π2 ≡ x − y + z = 2,
π3 ≡ 3x + y + 3z = 5
¿Se cortan π1 y π2 ?. ¿Hay algún punto que partenezca a los tres planos?.
Solución: Sı́, No.
52. Selectividad Junio 2002. Calcular la ecuación de una recta que pasa por el punto de
x
intersección del plano π ≡ x + y − z + 6 = 0 con la recta s ≡ = y − 2 = z + 1 y es
3
paralela a la recta
(
3x + y − 4 = 0
r≡
4x − 3y + z − 1 = 0
Solución:
x+9
1
=
y+1
−3
=
z+4
−13
53. Selectividad septiembre 2009. Consideremos el punto P (1, 0, 0) y las rectas r y s
definidas como
r ≡x−3=
z+1
y
=
,
2
−2
s ≡ (x, y, z) = (1, 1, 0) + λ(−1, 2, 0)
Estudiar la posición relativa de r y s.
Hallar la ecuación del plano π que pasando por P es paralelo a r y a s.
Solución: se cruzan; π ≡ 2x + y + 2z − 2 = 0.
Capı́tulo 12
Geometrı́a Euclı́dea
12.1.
Resumen teórico
12.1.1.
Producto escalar de dos vectores
Sean ~a = (a1 , a2 , a3 ), ~b = (b1 , b2 , b3 ) dos vectores. Entonces, el producto escalar de ellos, el
cual se escribe como ~a · ~b, es el número
~a · ~b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 =⇒ ~a · ~b ∈ R
La norma, módulo o longitud de un vector ~a = (a1 , a2 , a3 ), escrita como ||~a||, es el número
q
||~a|| = + a21 + a22 + a23 =⇒ ||~a||2 = ~a · ~a
Se tienen las siguientes propiedades:
[
[1] ~a · ~b = ||~a|| ||~b|| cos ϕ, siendo ϕ = (~a, ~b) el ángulo que forma el vector ~a con el vector ~b. De
aquı́ se deduce la desigualdad de Schwarz
|~a · ~b| ≤ ||~a|| ||~b||
dándose la igualdad si y solo si los vectores son linealmente dependientes.
[2] El producto escalar es conmutativo. En otras palabras, ~a · ~b = ~b · ~a.
[3] El producto escalar es distributivo respecto de la suma. En otras palabras,
~a · (~b + ~c) = ~a · ~b + ~a · ~c
[4] Si λ es cualquier número real, tenemos
" " λ~a · ~b = λ(~a · ~b) = ~a · λ~b
142
143
CAPÍTULO 12. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
[5] ~a · ~0 = 0, para cualquier vector ~a.
π
[6] Dos vectores son perpendiculares (u ortogonales) cuando forman un ángulo de 90◦ = rad.
2
Si dos vectores ~a y ~b son perpendiculares lo escribiremos como ~a ⊥ ~b. Tenemos el siguiente
criterio
~a ⊥ ~b ⇐⇒ ~a · ~b = 0
[7] La norma cumple las siguientes propiedades:
||λ~a|| = |λ| ||~a||,
||~a + ~b|| ≤ ||~a|| + ||~b||
[8] La distancia entre dos puntos A y B, escrita como d(A, B) es
−→
d(A, B) = ||AB||
La función distancia d cumple las siguientes propiedades:
a) d(A, A) = 0.
b) Simetrı́a. d(A, B) = d(B, A).
c) Desigualdad triangular.
d(A, B) ≤ d(A, C) + d(C, B)
12.1.2.
Propiedad fundamental
Dado un plano π ≡ ax + by + cz + d = 0, el vector ~n = (a, b, c) formado por los coeficientes
de la x, y, z es tal que ~n ⊥ π, es decir, el vector ~n es normal al plano, luego un plano queda
determinado por un punto y el vector normal.
12.1.3.
Ángulo de dos rectas r y s
Por definición, es el ángulo agudo que forman sus vectores directores. En otras
palabras, si ~v y w
~ son los vectores directores de la primera y segunda rectas, entonces
[
ϕ = (r,
s) =⇒ cos ϕ =
|~v · w|
~
||~v|| ||w||
~
144
CAPÍTULO 12. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
12.1.4.
Ángulo de dos planos
Dados dos planos
π1 ≡ a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0,
π2 ≡ a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0,
Entonces
\
ϕ = (π
1 , π2 ) =⇒ cos ϕ =
12.1.5.
n~1 = (a1 , b1 , c1 )
n~2 = (a2 , b2 , c2 )
|n~1 · n~2 |
||n~1 || ||n~2 ||
Ángulo de recta y plano
Sea ~v el vector director de la recta r y ~n el vector normal del plano π, entonces:
[
ϕ = (r,
π) =⇒ sen ϕ =
|~v · ~n|
||~v|| ||~n||
¡¡Ojo con la expresión anterior!!, ya que es el seno y no el coseno.
12.1.6.
Distancia de un punto P a un plano π
Por definición es la distancia del punto P al punto Q, siendo Q el punto de corte de la
perpendicular a π que pasa por P con π (ver siguiente figura)
P
Π
Q
En estas condiciones, si P (x1 , y1 , z1 ) y π ≡ ax + by + cz + d = 0, entonces:
d(P, π) =
|ax1 + by1 + cz1 + d|
√
a2 + b2 + c2
145
CAPÍTULO 12. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
12.1.7.
Producto exterior de dos vectores
Dados dos vectores ~v = (v1 , v2 , v3 ), w
~ = (w1 , w2 , w3 ), el producto exterior (o vectorial) de
estos dos vectores es el siguiente vector, escrito en forma simbólica:
• • •
~v ∧ w
~ = v1 v2 v3 w1 w2 w3 y es un vector perpendicular tanto a ~v como a w.
~ Se cumplen las siguientes propiedades:
1. ~v ∧ w
~ = −w
~ ∧ ~v .
2. Si ~v y w
~ son dependientes, entonces ~v ∧ w
~ = ~0.
\
3. ||~v ∧ w||
~ = ||~v|| ||w||
~ sen ϕ, siendo ϕ = (~
v, w).
~
4. La norma del producto exterior ||~v ∧ w||
~ es el área del paralelogramo formado con estos
dos vectores.
12.1.8.
Área de un triángulo
Dado un triángulo con vértices en los puntos A, B, C, el área S de dicho triángulo es
1 −→ −→
S = ||AB ∧ AC||
2
A
B
12.1.9.
C
Distancia de un punto a una recta
Dado un punto P y una recta r, la distancia del punto P a la recta r es la distancia que se
observa en la figura, en concreto, la distancia de P al punto R, el cual es el corte del plano π
perpendicular a r que pasa por P con la misma r (ver figura):
146
CAPÍTULO 12. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
P
l
r
R
Para el cálculo es necesario averiguar un punto cualquiera Q de la recta r, y un vector director
~v (de r), y entonces
−→
||P Q ∧ ~v ||
l = d(P, r) =
||~v||
12.1.10.
Volumen de un tetraedro
Sea un tetraedro dado por cuatro puntos no coplanarios:
A (a1 , a2 , a3 ) , B (b1 , b2 , b3 ) , C (c1 , c2 , c3 ) , D (d1 , d2 , d3)
el volumen es:
como es natural, en valor absoluto.
1 1 1 1
1 a1 b1 c1 d1 V = 6 a2 b2 c2 d2 a3 b3 c3 d3 A
B
D
C
12.1.11.
Cálculo de la perpendicular común a dos rectas
Dadas dos rectas r ≡ (P, ~v), s ≡ (Q, w),
~ la perpendicular común tiene como vector director
d~ = ~v ∧ w,
~ y toca a las otras dos, luego el problema queda reducido al caso segundo de la
sección 11.1.7.
CAPÍTULO 12. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
12.1.12.
Distancia entre dos rectas que se cruzan
Dadas dos rectas r ≡ (P, ~v), s ≡ (Q, w)
~ que se cruzan, la distancia entre ambas es:
−→
|~v, w,
~ P Q|
d(r, s) =
||~v ∧ w||
~
147
148
CAPÍTULO 12. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
12.2.
Problemas
1. Calcular los vectores de longitud 1 ortogonales a los vectores (2, −2, 3), (3, −3, 2).
i
h
Solución: √12 , √12 , 0 , − √12 , − √12 , 0 .
2. Calcular el ángulo que forman las rectas:
 x−1
y+1
z+1

=
=

3
4
5

 x+1 = y+2 = z−1
−3
−4
5
Solución:
π
2
rad.
3. Calcular el ángulo que forman las rectas:
r≡x=y=z
Solución:
π
2
;
s≡
x+z =1
y=0
rad.
4. Calcular el área del triángulo de vértices A(0, 0, 0), C(1, 1, 0), y el tercer vértice es el punto
de intersección de la recta:
y+1
z+2
x+1
=
=
2
3
1
con el plano XY .
Solución: 1.
5. Hallar la distancia del punto A(1, 2, 3) a la recta r de ecuación x = 0, z = 0 como asimismo
la ecuación del plano que pasa por A y es perpendicular a r.
√
Solución: 10 ; y − 2 = 0.
6. Dado el triángulo de vértices A(1, 1, 1), B(0, 3, 5), C(4, 0, 2), hallar su área y las longitudes
de sus tres alturas.
Solución:
√
√
√
√
230
230
230 √230
;
,
.
,
2
11
21
34
7. Hallar el área del triángulo de vértices (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c).
√
Solución: 21 b2 c2 + a2 c2 + a2 b2
8. Hallar la distancia del punto (3, 4, 5) a la recta:
Solución:
√
146
x+1
y+2
z+5
=
=
1
2
−1
149
CAPÍTULO 12. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
9. Hallar el volumen del tetraedro de vértices (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0).
Solución:
1
6
10. Hallar el volumen del tetraedro que forman los planos:
π1
π2
π3
π4
Solución:
≡y=0
≡z=0
≡x−y =0
≡ 3x + 2y + z − 15 = 0
75
2
11. Se consideran las rectas:
r≡
x−1
y−2
z−1
=
=
1
1
2
; s≡
x−3
y−3
z+1
=
=
−2
−1
2
Comprobar que se cortan y hallar las coordenadas del punto P de intersección.
Determinar la ecuación de la recta que pasa por P y es perpendicular a r y s.
Solución: P (1, 2, 1);
x−1
4
=
y−2
−6
=
z−1
1
12. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2, 1) y es perpendicular al plano
que pasa por dicho punto y contiene a la recta:
x−1
y
z+1
= =
2
3
2
Solución:
x−1
1
=
y−2
−2
=
z−1
2
13. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (1, 2, −1), es paralela al plano
2x + y − z = 3 y es perpendicular a la recta:

 x=3−t
y =2+t

z = 1 + 3t
Solución:
x−1
4
=
y−2
−5
=
z+1
3
14. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (−1, 1, 0) y cuya dirección es
perpendicular a la de las rectas:
y=0
x + 3y = 2
r≡
; s≡
x=z
y−z =1
Solución:
x+1
−1
=
y−1
−4
=z
150
CAPÍTULO 12. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
15. Hallar la recta perpendicular e incidente al eje OZ por el punto (1, 2, 3).
Solución:
x−1
1
=
y−2
2
=
z−3
0
16. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (0, 0, 0) y es perpendicular al plano
2x + 3y + z − 7 = 0.
Solución:
x
2
=
y
3
=
z
1
17. Escribir las ecuaciones de la perpendicular común a las rectas:
x=y=z
Solución:
x−1/2
1
=
y−1/2
−1
=
;
x = y = 3z − 1
z−1/2
0
18. Hallar la ecuación de la recta perpendicular a las rectas:


 x=1
 x=t
y=1
y =t−1
r≡
; s≡


z =t−2
z = −1
y que pase por ambas.
Solución:
x−1
−1
=
y−1
1
=
z+1
0
19. Calcular la ecuación del plano (o planos) que contienen al eje OX y distan 6 unidades
del punto (0, 10, 0).
Solución: Dos planos: 3y + 4z = 0, 3y − 4z = 0.
20. Hallar la ecuación del plano perpendicular a la recta:
x−2
y−1
z−4
=
=
2
3
−1
y que corta al eje X en el punto de abscisa 3.
Solución: 2x + 3y − z − 6 = 0.
21. Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta:
x−1
1−y
z+1
=
=
2
3
−1
y perpendicular al plano x − y + z = 0.
Solución: 4x + 3y − z − 8 = 0.
CAPÍTULO 12. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
22. Sea el punto A(1, 1, 3) y la recta:

 x=t
y =2+t
r≡

z = 2t
Hallar:
Ecuación del plano perpendicular a r que pasa por A.
La intersección de este plano con r.
La distancia de A a r.
Solución: x + y + 2z − 8 = 0; (1, 3, 2);
√
5.
23. Determinar un punto de la recta:
x−1
y+1
z+2
=
=
2
3
2
que equidiste de los planos 3x + 4y − 1 = 0, 4x − 3z − 1 = 0. ¿Es única la solución?.
3
41
Solución: Dos puntos: ( 19
, 17 , − 58 ), ( 10
, − 20
, − 27
)
8 16
10
24. Dada la recta:
y los puntos A(2, 1, 0), B(1, 1, 2):

 x=t
y =1+t
r≡

z = 2−t
¿Son paralelas las rectas AB y r?.
~ y CB
~ sean perpendiculares.
Determinar un punto C de r tal que CA
Solución: No; Hay dos puntos: (1, 2, 1) y ( 32 , 35 , 43 ).
25. Dada la recta:
r≡
x+1
y−2
z−3
=
=
1
1
4
y el punto P (1, 2, 1), calcular:
Las ecuaciones de la recta s que pasa por P y corta perpendicularmente a r.
El punto de intersección de r y s.
Las coordenadas del punto simétrico de P respecto de r.
Solución:
151
152
CAPÍTULO 12. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
x−1
= y−2
= z−1
.
−7
−1
2
(− 34 , 53 , 35 ).
(− 11
, 4 , 7 ).
3 3 3
26. Dada la recta r de ecuación:
x−1
y
z
= =
3
2
1
y el punto P (1, 2, −2). Hallar las coordenadas del punto simétrico de P respecto de r.
r≡
, − 10
, 16 ).
Solución: ( 13
7
7 7
27. Para cada número real λ se considera el plano:
πλ = (1 + 2λ)x + (1 − λ)y + (1 + 3λ)z + 2λ − 1 = 0
Demostrar que todos los planos πλ pasan por una recta r. Encontrar dicha recta asi como
la distancia de la recta r anterior a la recta:
r′ ≡
y+1
z−2
x−1
=
=
1
2
3
Solución:

 x = −3 − 4t
y =2+t
r≡

z = 2 + 3t
;
√
19 35
d(r, r ) =
35
′
28. El espacio euclı́deo tridimensional E está referido a una base {e~1 , e~2 , e~3 } formada por
vectores unitarios que forman entre sı́ ángulos de π3 . Calcular el coseno del ángulo que
forman los vectores ~u = e~1 + e~2 y ~v = e~1 − e~2 + e~3 .
Solución:
√
6
.
6
29. Calcular los valores de x e y para que el vector (x, y, 1) sea ortogonal a los vectores (3, 2, 0)
y (2, 1, −1).
Solución: x = 2 y y = −3.
30. Hallar la ecuación del plano que es perpendicular al vector ~v = (2, 1, −4) y pasa por el
punto P (−3, 2, 4).
Solución: 2x + y − 4z + 20 = 0.
31. Dado el tetraedro de vértices:
A(4, 0, 0)
Hallar:
;
B(0, 3, 0)
;
C(0, 0, 2)
;
D(3, 2, 4)
CAPÍTULO 12. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
153
(1) La longitud de la arista AB.
(2) Ecuación de la cara ABC.
(3) Ecuación de la arista AD.
(4) Ecuación del plano que pasa por la arista AB y el punto medio de la arista opuesta.
(5) Ángulo que forman las aristas AC y AB.
(6) Ecuación del plano que pasa por la arista AB y es perpendicular a la cara ABC.
(7) Ecuación de la recta que pasa por el vértice D y es perpendicular a la cara ABC.
(8) Longitud de la altura relativa al vértice D.
(9) Ángulo de las caras ABC y ACD.
(10) Ángulo de la arista AD y la cara ABC.
(11) Volumen del tetraedro.
Solución:
(1) 5
(2) 3x + 4y + 6z − 12 = 0
y
z
x−4
=
=
(3)
1
−2
−4
(4) 18x + 24y + 7z − 72 = 0
√ !
8 5
(5) arc cos
25
(6) 18x + 24y − 25z − 72 = 0
x−3
y−2
z−4
(7)
=
=
3
4
6
29
(8) √
61
2
(9) arc cos √ √
61 69
29
(10) arc sen √ √
61 21
29
(11)
3
32. Hallar sobre la recta:
3x − 2y − 11 = 0
2x − y − z − 5 = 0
154
CAPÍTULO 12. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
un punto P equidistante de los puntos P1 (0, 1, 1) y P2 (1, 2, 1).
Solución: P (3, −1, 2).
33. Dadas las rectas:
x−1
y−2
z+1
=
=
3
2
3
x+1
y−2
z+3
=
=
2
1
2
;
Demostrar que se cortan y hallar el punto de intersección, el ángulo que forman y la
ecuación del plano que determinan.
14
Solución: P (7, 6, 5); α = arc cos √
; x − z − 2 = 0.
3 22
34. Hallar las coordenadas del punto P de la recta:
y+5
z+4
x+3
=
=
2
3
3
que equidista del punto Q(3, 2, 1) y del origen de coordenadas.
Solución: P (1, 1, 2).
35. Hallar el ángulo que forma la recta:
3x − y − z + 1 = 0
r≡
x + 2y − 3z = 0
y el plano π ≡ 2x − y + 4z − 2 = 0.
10
Solución: α = arc sen √
322
36. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos P1 (2, 1, −3) y P2 (4, 2, 1) y es perpendicular al plano de ecuación:
2x − y − z + 3 = 0
Solución: 3x + 10y − 4z − 28 = 0.
37. Se tiene un paralelogramo uno de cuyos vértices es el punto (3, 2) y dos de cuyos lados se
encuentran contenidos, respectivamente, en las rectas r y s de ecuaciones
r ≡ 2x + 3y − 7 = 0,
s ≡ x − 3y + 4 = 0
Hallar las ecuaciones de las rectas sobre las que se encuentran los otros dos lados.
Solución: 2x + 3y − 12 = 0, x − 3y + 3 = 0.
CAPÍTULO 12. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
155
38. Se consideran los puntos A(2, −1, −2) y B(−1, −1, 2).
(1) Determinar los puntos del segmento AB que lo dividen en tres segmentos iguales.
(2) Encontrar un punto C sobre la recta r de ecuaciones
r≡
y−1
z−1
x−1
=
=
1
−1
2
de forma que el triángulo ABC sea rectángulo en C.
"
"
"
"
Solución: A1 1, −1, − 32 , A2 0, −1, 23 . Dos soluciones para C que son C1 34 , 32 , 53 , C2 21 , 23 , 0 .
39. Un punto M se mueve en el espacio tridimensional de manera que en un instante de
tiempo t se encuentra en el punto (1 + t, 3 + t, 6 + 2t).
(1) ¿Es esta trayectoria una lı́nea recta?. Si es ası́, escribir sus ecuaciones de dos formas
distintas.
(2) Hallar el instante de tiempo en el que el punto está en el plano dado por la ecuación
x − 2y + z − 7 = 0.
(3) Hallar la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a la trayectoria de M y
pasa por el punto (1, 1, 0).


x = 1 + t
y−1
x−1
y−3
z−6
Solución: Sı́, r ≡ y = 3 + t , r ≡ x−1
=
=
=
=
;
a
los
t
=
6
seg.;
1
1
2

7
1

z = 6 + 2t
z
.
−4
40. Se considera el punto P (−1, 2, 1).
(1) Determinar un punto Q del plano π ≡ −3x + y + z + 5 = 0 de forma que el vector
P Q sea perpendicular al plano π.
x−2
y+1
z − 10
(2) Determinar un punto M de la recta r ≡
=
=
de forma que el
−1
1
−1
vector MP sea paralelo al plano π.
(3) Calcular el área del triángulo MP Q.
√
Solución: Q(2, 1, 0), M(1, 0, 9), Superficie = 3 22.
41. Definir el producto escalar de vectores de R3 y enunciar tres de sus propiedades. Encontrar
un vector w
~ cuya primera componente sea 2 y que sea perpendicular a los vectores ~u =
(1, −1, 3) y ~v = (0, 1, −2).
Solución: w
~ = (2, −4, −2).
156
CAPÍTULO 12. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
42. ¿Cuál es el punto P de la recta r dada por
(
x + y + 2z = 1
r≡
x − 2y − 4z = 1
que está más cerca del punto A(2, 3, −1)?. Hallar el área del triángulo cuyos vértices son
A, P y B(1, 0, 0).
√
7 6
14 7
.
Solución: P 1, , − , Superficie =
5
5
10
43. Sea π el plano que pasa por los puntos (1, 0, 0), (0, 1, 1) y (1, 1, 1). Sea A el punto (1, 2, 3)
y sea B el simétrico de A respecto del plano π. Hallar la recta que pasa por A y por el
punto medio del segmento AB. Calcular la recta paralela a la anterior que pasa por el
punto (2, 2, 2).
Solución:
x−1
0
=
y−2
1
=
z−3 x−2
, 0
−1
=
y−2
1
=
z−2
.
−1
44. Sea A la matriz dada por

1 3 −7
b 
A = 2 a
c −a d

Hallar a, b, c y d sabiendo que:
(i) El vector cuyas coordenadas son las que aparecen en la primera columna de A es
ortogonal al vector (1, −1, 1).
(ii) El producto vectorial del vector cuyas coordenadas son los de la tercera columna
de A por el vector (1, 0, 1) es el vector (−2, 3, 2).
(iii) El rango de la matriz A es 2.
Solución: a = − 56 , b = −2, c = 1, d = −4.
45. Un objeto se mueve en el espacio siguiendo una lı́nea recta cuya dirección viene dada por
el vector ~v = (1, 2, −1). En su movimiento, dicho objeto pasa por el punto A(2, 1, 2).
(1) Calcular los puntos de corte de la trayectoria del objeto con los planos coordenados.
(2) Hallar la ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular
a dicha trayectoria.
(3) ¿Cuál es el ángulo que forma la trayectoria del objeto con el plano OXY ?.
"
"√ Solución: (0, −3, 4), 32 , 0, 25 , (4, 5, 0); x + 2y − z = 0; φ = arc sen 66 .
157
CAPÍTULO 12. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
46. Se considera el plano π y la recta r dados por
π ≡ ax + 2y − 4z + b = 0,
r≡
y−1
z+3
x−3
=
=
4
−4
1
(1) Hallar los valores de a y b para los que r está contenida en π.
(2) ¿Existen algún valor de a y algún valor de b para los que la recta dada r es perpendicular al plano π?.
Solución: a = 3, b = −23; Ninguno.
47. Un paralelogramo cuyo centro es M
B(3, 2, 5).
3
, 3, 4
2
tiene por vértices los puntos A(1, 2, 3) y
(1) Hallar las coordenadas de los otros dos vértices.
(2) Hallar la ecuación de la recta r que pasa por M y es perpendicular al plano que
contiene al paralelogramo.
(3) Calcular el área del paralelogramo.
Solución: C(2, 4, 5), D(0, 4, 3); r ≡
x−
2
3
2
=
y−3
z−4
=
; Superficie = 6.
1
−2
48. Hallar el punto Q simétrico del punto P (2, 0, 1) respecto de la recta r que pasa por el
punto A(0, 3, 2) y es paralela a la recta s de ecuaciones
(
x + 2y = 0
s≡
z=0
Solución: Q
18 16
, ,3 .
5 5
49. Sea π el plano de ecuación π ≡ 3x − 2y − 6z = 1 y sea r la recta dada en forma vectorial
por
r ≡ (x, y, z) = (1, 0, 1) + λ(2, −1, 1), λ ∈ R
(1) ¿Cómo se define la relación de paralelismo entre una recta y un plano?.
(2) En el caso concreto de la recta r y el plano π, comprobar si son paralelos.
(3) ¿Cómo se define la relación de perpendicularidad entre una recta y un plano?.
(4) En el caso concreto de la recta r y el plano π, comprobar si son perpendiculares.
Solución: No son paralelos ni perpendiculares.
158
CAPÍTULO 12. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
50. Selectividad Junio 2000. Los puntos A(3, 3, 5) y B(3, 3, 2) son vértices consecutivos
de un rectángulo ABCD. El vértice C consecutivo de B está en la recta de ecuaciones
y−6
z+1
x=
=
. Determinar los vértices C y D.
−1
2
3 9
3 9
, ,2 , D
, ,5 .
Solución: C
2 2
2 2
51. Selectividad Septiembre 2000. Calcular el punto de la recta de ecuaciones
x−1=
y+2
z+1
=
2
−3
más cercano al punto A(1, −1, 1).
5 18 1
,− ,− .
Solución: P
7
7
7
52. Selectividad Junio 2001. Hallar la ecuación del plano que pasa por el
(punto A(1, 0, −1),
x − 2y = 0
es perpendicular al plano x − y + 2z + 1 = 0 y es paralelo a la recta
.
z=0
Solución: 2x − 4y − 3z − 5 = 0.
53. SL. Hallar la distancia entre el origen de coordenadas y la recta intersección de los planos
de ecuaciones respectivas x + y + 2z = 4 y 2x − y + z = 2.
Solución:
√
2 6
3
54. SL. Calcular las coordenadas del punto simétrico del (1, −3, 7) respecto de la recta dada
por las ecuaciones
z−4
x−1 =y+3 =
2
Solución: P (3, −1, 5)
55. SL. Hallar las ecuaciones de la recta que se apoya perpendicularmente en las rectas r y
s definidas respectivamente por
x−1=y−2=


 x = −1 + 2t
Solución: y = 2


z=t
z−1
,
−2
x−4
y+1
z
=
=
−1
3
2
159
CAPÍTULO 12. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
56. SL. Calcular el volumen de un cubo sabiendo que dos de sus caras están, respectivamente,
en los planos 2x − 2y + z − 1 = 0 y 2x − 2y + z − 5 = 0.
Solución:
64
27
57. SL. Hallar las coordenadas del punto simétrico del (1, 2, −2) respecto del plano de ecuación
3x + 2y + z − 7 = 0
" 13 18 12 Solución: P 7 , 7 , − 7
58. SL. Hallar la ecuación del plano cuyo punto más próximo al origen es (−1, 2, 1)
Solución: x − 2y − z + 6 = 0
59. SL. Consideremos los puntos
A(1, 0, 3),
B(3, −1, 0),
C(0, −1, 2),
D(a, b, −1)
Hallar a y b sabiendo que la recta que pasa por A y B corta perpendicularmente a la
recta que pasa por C y D.
, b = − 11
Solución: a = − 27
4
2
60. SL. Consideremos los planos
π1 ≡ 2x + 5 = 0 y π2 ≡ 3x + 3y − 4 = 0
¿Qué ángulo determinan ambos planos?. Hallar el plano que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a los dos planos dados.
Solución:
π
4
rad., z = 0
61. SL. Sea r la recta de ecuaciones r ≡
(
3x + 2y = 0
3x + z = 0
a) Hallar los puntos de r cuya distancia al origen es de 7 unidades.
b) Calcular la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por el punto P (1, 2, −1)
Solución: P (2, −3, −6), Q(−2, 3, 6), 2x − 3y − 6z − 2 = 0
62. SL. Calcular las coordenadas del punto simétrico de A(0, −1, 1) respecto de la recta dada
por las ecuaciones
x−5
z−2
=y=
2
3
′
Solución: A (6, −1, −3)
160
CAPÍTULO 12. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
63. SL. Calcular el punto de la recta x =
del origen de coordenadas.
y+2
z−3
=
que equidiste del punto A(1, 2, 1) y
2
−1
Solución: (1, 0, 2)
64. SL. Consideremos el plano 2x + y + 2z − 4 = 0
a) Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano dado con
los ejes coordenados.
b) Calcular la distancia del origen al plano dado.
Solución: 6,
4
3
65. SL. Determinar todos los puntos del plano π ≡ 2x − y + 2z − 1 = 0 que equidisten de los
puntos A(3, 0, −2) y B(1, 2, 0). ¿Qué representan geométricamente?


 x = −1 − 3t
Solución: P (x, y, z), con y = −3 − 4t . Una recta, intersección del plano mediatriz del


z=t
segmento AB con el plano π.
66. SL. Consideremos los puntos A(1, 2, 3), B(3, 2, 1) y C(2, 0, 2). Hallar el punto simétrico
del origen de coordenadas respecto del plano que contiene a A, B y C.
Solución: O ′(4, 0, 4)
67. Selectividad Junio 2002. Calcular el área del triángulo de vértices
A(1, 1, 2),
B(1, 0, −1),
C(1, −3, 2)
Solución: 6
68. Selectividad Junio 2003. Consideremos los vectores
~u = (1, 1, 1),
~v = (2, 2, a),
w
~ = (2, 0, 0)
a) Hallar los valores de a para los que los vectores ~u, ~v, w
~ son linealmente independientes.
b) Determinar los valores de a para los que los vectores ~u + ~v y ~u − w
~ son ortogonales.
Solución: a 6= 2; a = −1.
69. Selectividad Junio 2003. Sabiendo que las rectas
r≡x=y=z
y


x = 1 + µ
s≡ y =3+µ


z = −µ
CAPÍTULO 12. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
161
se cruzan, hallar los puntos A y B, de r y s respectivamente, que están a mı́nima distancia.
Solución: A(1, 1, 1), B(0, 2, 1).
y+1
z
x−1
=
=
70. Selectividad Junio 2003. Determinar el punto P de la recta r ≡
2
1
3
que equidista de los planos


 x = −3 + λ
π1 ≡ x + y + z + 3 = 0
y
π2 ≡ y = −λ + µ

 z = −6 − µ
Solución: P (−1, −2, −3)
71. Selectividad Septiembre 2003. Se sabe que los puntos A(1, 0, −1), B(3, 2, 1) y C(−7, 1, 5)
son vértices consecutivos de un paralelogramo ABCD.
a) Calcular las coordenadas del punto D.
b) Hallar el área del paralelogramo.
√
Solución: D(−9, −1, 13); Superficie = 2 302.
72. Selectividad Septiembre 2003. Los puntos A(1, 1, 0) y B(2, 2, 1) son vértices consecutivos de un rectángulo ABCD. Además, se sabe que los vértices C y D están contenidos
en una recta que pasa por el origen de coordenadas. Hallar C y D.
"
"
Solución: C 35 , 53 , 35 , D 23 , 32 , 32 .
73. Selectividad junio 2004. Sean los puntos A(1, 2, 1), B(2, 3, 1), C(0, 5, 3) y D(−1, 4, 3).
a) Probar que los cuatro puntos están en un mismo plano. Hallar la ecuación de dicho
plano.
b) Demostrar que el polı́gono de vértices consecutivos ABCD es un rectángulo.
c) Calcular el área de dicho rectángulo.
√
Solución: x − y + 2z − 1 = 0, Superficie = 2 6
74. Selectividad junio 2004. Dados los vectores ~u = (2, 1, 0) y ~v = (−1, 0, 1), hallar un
vector unitario w
~ que sea coplanario con ~u y ~v y ortogonal a ~v.
Solución: Dos soluciones, w
~ =±
√
3
(1, 1, 1)
3
75. Selectividad septiembre 2004. Se sabe que el triángulo ABC es rectángulo en el vértice
C, que pertenece a la recta intersección de los planos y + z = 1 e y − 3z + 3 = 0, y que
sus otros dos vértices son A(2, 0, 1) y B(0, −3, 0). Hallar C y el área del triángulo ABC.
√
Solución: C(0, 0, 1), superficie = 10.
162
CAPÍTULO 12. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
76. Selectividad septiembre 2004. Hallar la perpendicular común a las rectas:




x = 1
x = β
r≡ y=1
y
s≡ y =β−1


z =α
 z = −1
Solución: p ≡
(
x+y−2=0
z = −1
)
77. Selectividad junio 2005. Considera el punto P (2, 0, 1) y la recta r ≡
(
x + 2y = 6
z=2
a) Hallar la ecuación del plano que contiene a P y a r.
b) Calcular el punto simétrico de P respecto de la recta r.
" 16 Solución: x + 2y − 4z + 2 = 0, Punto simétrico 18
, 5 ,3 .
5
78. Selectividad junio 2005. Sean los vectores v~1 = (0, 1, 0), v~2 = (2, 1, −1), v~3 = (2, 3, −1).
a) ¿Son los vectores v~1 , v~2 y v~3 linealmente dependientes?.
b) ¿Para qué valores de a el vector (4, a + 3, −2) puede expresarse como combinación
lineal de los vectores v~1 , v~2 y v~3 ?.
c) Calcular un vector unitario y perpendicular a v~1 y v~2 .
2
1
Solución: Sı́; ∀a ∈ R; ~u = √ , 0, √
5
5
79. Selectividad septiembre 2005. Consideremos el plano π y la recta r de ecuaciones:
π ≡ x + y + mz = 3,
r ≡ x=y−1 =
z−2
2
a) Hallar m para que r y π sean paralelos.
b) Hallar m para que r y π sean perpendiculares.
c) ¿Existe algún valor de m para que la recta r esté contenida en el plano π?.
Solución: m = −1; m = 2; No.
80. Selectividad septiembre 2005. Sean los planos:
π1 ≡ 2x + y − z + 5 = 0,
π2 ≡ x + 2y + z + 2 = 0
163
CAPÍTULO 12. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
a) Calcular las coordenadas de un punto P , sabiendo que está en el plano π1 y que su
proyección ortogonal sobre el plano π2 es el punto (1, 0, −3).
b) Calcular el punto simétrico de P respecto del plano π2 .
7 20 19
13 20 1
;
.
, ,
Solución: P − , − , −
3
3
3
3 3 3
81. Selectividad junio 2006. Consideremos el plano π y la recta r de ecuaciones:
π ≡ 2x + y − z + 2 = 0,
r≡
x−5
z−6
=y=
−2
m
a) Hallar la posición relativa de r y π según los valores del parámetro m.
b) Para m = −3, hallar el plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano
π.
c) Para m = −3, hallar el plano que contiene a la recta r y es paralelo al plano π.
Solución: si m = −3, r k π, en caso contrario (m 6= −3), la recta y el plano se cortan en
un punto; x − 4y − 2z + 7 = 0; 2x + y − z − 4 = 0.
82. Selectividad junio 2006. Consideremos el punto P (3, 2, 0) y la recta r de ecuaciones:
(
x+y−z−3=0
r≡
x + 2z + 1 = 0
a) Hallar la ecuación del plano que contiene a P y a la recta r.
b) Determinar las coordenadas del punto Q, simétrico de P respecto de la recta r.
Solución: x + 2y − 4z − 7 = 0; Q(−1, 0, −2).
83. Selectividad septiembre 2006. Determinar los puntos de la recta

x=0

r≡
y − 1 = z − 3
2
que equidistan de los planos π ≡ x + z = 1, π ′ ≡ y − z = 3.
"
Solución: P1 (0, 4, 9), P2 0, − 34 , − 35 .
84. Selectividad septiembre 2006. Considera los puntos A(1, 0, −2) y B(−2, 3, 1).
a) Determinar los puntos del segmento AB que lo dividen en tres partes iguales.
CAPÍTULO 12. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
164
b) Calcular el área del triángulo de vértices A, B y C, donde C es un punto de la recta
de ecuación −x = y − 1 = z. ¿Depende el resultado de la elección concreta del punto
C?.
√
3 2
; No.
Solución: P1 (0, 1, −1), P2 (−1, 2, 0); superficie =
2
85. Selectividad junio 2007. Consideremos los planos de ecuaciones x − y + z = 0 y
x + y − z = 2.
a) Determina la recta que pasa por el punto A(1, 2, 3) y no corta a ninguno de los planos
dados.
b) Determina los puntos que equidistan de A(1, 2, 3) y B(2, 1, 0) y pertenecen a la recta
intersección de los planos dados.
"
Solución: r ≡ x−1
= y−2
= z−3
. Un único punto: P 1, 17
,9 .
0
1
1
8 8
86. Selectividad junio 2007. Considera los puntos A(0, 3, −1) y B(0, 1, 5).
a) Calcula los valores de x sabiendo que el triángulo ABC de vértices A, B y C(x, 4, 3)
tiene un ángulo recto en C.
b) Hallar la ecuación del plano que pasa por los
(puntos (0, 1, 5) y (3, 4, 3) y es paralelo
x−y+z =0
a la recta r definida por las ecuaciones r ≡
2x + y = 3
√
Solución: x = ± 5, π ≡ 13x − 7y + 9z − 38 = 0.
87. Selectividad septiembre 2007. Hallar los dos puntos que dividen al segmento de extremos A(1, 2, 1) y B(−1, 0, 3) en tres partes iguales. Determinar la ecuación del plano
perpendicular al segmento AB que pasa por su punto medio
"
"
Solución: X1 31 , 34 , 53 , X2 − 31 , 32 , 73 ; x + y − z + 1 = 0.
88. Selectividad junio 2008. Dada la recta r definida por
r≡
y+1
z−2
x−1
=
=
2
3
1
a) Hallar la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a r.
b) Hallar la ecuación del plano que pasa por el origen y es perpendicular a r.
Solución: 7x − 3y − 5z = 0, 2x + 3y + z = 0
165
CAPÍTULO 12. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
89. Selectividad junio 2008. Dados los puntos A(2, 1, 1) y B(0, 0, 1), hallar los puntos C
en el eje OX tales que el área del triángulo de vértices A, B y C es 2.
√
Solución: dos soluciones, C(± 11, 0, 0)
90. Selectividad septiembre 2008. Dada la recta s definida por
(
x − z = −1
s≡
2y + z = 3
a) Hallar la ecuación del plano π1 que es paralelo a s y contiene a la recta r ≡ x − 1 =
−y + 2 = z − 3.
b) Estudiar la posición relativa de la recta s y el plano π2 ≡ x + y = 3, y deducir la
distancia entre ambos.
Solución: π1 ≡ x − z + 2 = 0; π2 y s se cortan, luego d(s, π2 ) = 0.
91. Selectividad septiembre 2008. Dados los puntos
A(1, 1, 0), B(1, 1, 2), C(1, −1, 1)
a) Comprobar que no están alineados y calcular el área del triángulo que determinan.
b) Hallar la ecuación del plano π que contiene al punto A y es perpendicular a la recta
determinada por B y C.
Solución: área = 2, π ≡ 2y + z = 2.
92. Selectividad junio 2009. Se consideran las rectas r y s definidas como:




x = µ
x = 1
, s≡ y =µ−1
r≡ y=1


 z = −1
z =λ−2
Hallar la ecuación de la perpendicular común a r y a s.
Nota: este problema es idéntico al 18 y 76.
Solución:
x
−1
=
y−2
1
=
z+1
0
93. Selectividad junio 2009. Consideremos la recta r definida por
s que pasa por los puntos A(2, 1, 0) y B(1, 0, −1).
a) Estudiar la posición relativa de r y s.
(
x+y =2
y la recta
y+z =0
CAPÍTULO 12. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
166
b) Determinar un punto C de la recta r tal que los segmentos CA y CB sean perpendiculares.
Solución: Se cortan. Dos soluciones: C(2, 0, 0), C(1, 1, −1).
94. Selectividad septiembre 2009. Se consideran las rectas r y s definidas como:
(
(
2y + 1 = 0
x−y+3= 0
, s≡
r≡
x − 2z + 3 = 0
x+y−z−1= 0
a) Determinar la ecuación del plano π que contiene a r y es paralelo a s.
b) ¿Existe algún plano que contenga a r y sea perpendicular a s?. Razonar la respuesta.
Solución: π ≡ x + 3y − 2z − 5 = 0. No.
Capı́tulo 13
Circunferencia
1. Identificar los gráficos de
2x2 + 2y 2 − 4x + y + 1 = 0
x2 + y 2 − 4y + 7 = 0
x2 + y 2 − 6x − 2y + 10 = 0
Solución: Circunferencia con centro en C(1, − 41 ), r = 34 ; ∅; el punto (3, 1).
2. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C(2, 3) y que pasa por el
punto P (−1, 5).
Solución: (x − 2)2 + (y − 3)2 = 13
3. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P (3, 8), Q(9, 6) y R(13, −2).
Solución: (x − 3)2 + (y + 2)2 = 100
4. Hallar el centro y el radio de la circunferencia que pasa por P (1, 1) y es tangente a la
recta y = 2x − 3 en el punto Q(3, 3).
√
Solución: C(−1, 5), r = 20.
5. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P (1, −1), Q(3, 1) y es
tangente a la recta y = −3x
Solución: Dos soluciones: (x − 23 )2 + (y − 21 )2 = 52 , (x − 4)2 + (y + 2)2 = 10.
6. Selectividad Junio 2000. Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por los
puntos A(1, 6) y B(5, 2) y tiene su centro sobre la recta y = 2x.
Solución: (x − 1)2 + (y − 2)2 = 16
7. Selectividad Septiembre 2000.
167
168
CAPÍTULO 13. CIRCUNFERENCIA
a) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (0, 2), (0, −2) y
(−1, 1).
b) Determinar los valores de m tales que el punto (3, m) esté en la circunferencia determinada en el apartado anterior.
Solución: (x − 1)2 + y 2 = 5; m = ±1.
8. SL. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto de intersección de las
rectas de ecuaciones respectivas
2x − y − 4 = 0 y x − 2y + 3 = 0
y es tangente a la recta x − 3y + 3 = 0. Calcular el punto de tangencia.
Solución: (x −
11 2
)
3
+ (y −
10 2
)
3
=
10
,
9
P (4, 37 ).
9. SL. Determinar el centro y el radio de la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas, tiene su centro en el semieje positivo de abscisas y es tangente a la recta de
ecuación x + y = 1.
√
√
Solución: C( 2 − 1, 0), r = 2 − 1.