Dominio del la Función

Cálculo I bloque I
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Funciones
Una Función es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento
“x”de un conjunto llamado dominio con uno y solo uno, elemento de un
segundo conjunto “y” denominado rango de la función.
También la función se define como la relación entre dos variables en donde
la primera “y” es la variable dependiente o función, y la segunda “x” es la
variable independiente. Al conjunto de valores que puede tomar la variable
independiente se denomina Dominio del la Función; y al conjunto de
valores que pe tomar la variable dependiente se denomina: codominio,
contradominio, recorrido o rango de la función.
Ejemplo fig 1.
Figura 2.
Esta no es una función y se le denomina relación cuando cada elemento
del dominio le corresponde más de un o del contradominio o rango. Jacobo
Bernoulli introduce la palabra “función” en el cálculo diferencial, y la
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simbología “f(x)” se debe a Leonardo Euler, siendo ambos matemáticos
suizos.
Ejercicio. Haz un mapa conceptual de la clasificación de funciones.
Operaciones con funciones
Dadas las funciones f(x) y g(x) se pueden obtener otras funciones que
resultan al efectuar entre ellas las siguientes operaciones.
1. La suma, que se denota por 𝑓 + 𝑔, la cual está definida por:
(𝑓 + 𝑔)(𝑥 ) = 𝑓 (𝑥 ) + 𝑔(𝑥 )
para toda x situada en los dominios de f y g.
2. Su diferencia (resta), denotada por 𝑓 − 𝑔, se define por:
(𝑓 − 𝑔)(𝑥 ) = 𝑓 (𝑥 ) − 𝑔(𝑥 )
para toda x situada en los dominios de f y g.
3. Su producto denotado por 𝑓 ∙ 𝑔, se define por:
(𝑓 × 𝑔)(𝑥 ) = 𝑓(𝑥 ) ∙ 𝑔(𝑥 )
para toda x situada en los dominios de f y g
𝑓
4. Su cociente, , se define por
𝑔
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
, donde 𝑔(𝑥 ) ≠ 0.
En todos los casos anteriores el dominio de la función que resulta es el
conjunto de los valores de 𝑥 comunes a los dominios de 𝑓(𝑥 )𝑦 𝑔(𝑥 ), con el
requisito de que en el caso 4 se deben excluir aquellos valores que anulen
el denominador.
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)
Ejemplo: Dadas las funciones 𝑓(𝑥 ) = 𝑥 − 3 y 𝑔(𝑥 = 𝑥 − 9, encuentra
 𝑓+𝑔
 𝑓−𝑔
 𝑓×𝑔

𝑓
𝑔
Función compuesta
Sean𝑓 (𝑥 )𝑦 𝑔(𝑥 ) dos funciones tales que el rango de 𝑔(𝑥 ) esté incluido
en el dominio de F, entonces la función denota por
(𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥 ) = 𝑓(𝑔(𝑥 )) se llama función compuesta de 𝑓 con 𝑔
Ejemplo:
a) Dadas las funciones 𝑓(𝑥 ) = 𝑥 2 − 2𝑥 y 𝑔(𝑥 ) = 3𝑥 − 4 encuentra
(𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥 )
b) Dadas las funciones 𝑓(𝑥 ) = 4𝑥 2 − 𝑥 + 3 y 𝑔(𝑥 ) = 2𝑥 − 5 encuentra
(𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥 )
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c) Dadas las funciones 𝑓(𝑥 ) = √(𝑥 + 4) y 𝑔(𝑥 ) = 𝑥 2 − 5 encuentra
(𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥 )
d) Dadas las funciones 𝑓(𝑥 ) = 𝑥 2 − 2𝑥 y 𝑔(𝑥 ) = 3𝑥 − 4 encuentra
(𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥 )
e) Dadas las funciones 𝑓(𝑥 ) = 𝑥 − 4 y 𝑔(𝑥 ) = 3𝑥 + √𝑥 encuentra
(𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥 )
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Continuidad y discontinuidad de una función
Una función 𝑓(𝑥) es continua para el alor x=a si se cumplen las tres
condiciones siguientes.
1. 𝑓(𝑎) existe o está definida
2. lim 𝑓(𝑥),existe
𝑥→𝑎
3. lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
𝑥→𝑎
Si cualesquiera de estas condiciones no se satisface la función es
discontinua para el valor de x=a
Ejemplos.
1. Investigar si la función 𝑓(𝑥 ) = 6𝑥 − 4 es continua para 𝑥 = 3
Condiciones
1 y 2. Primero se tiene que determinar para que valores de 𝑥 𝜖 𝑅, la función
está definida. Para la segunda condición, tenemos que:
lim 𝑓 (𝑥 ) = lim (6𝑥 − 4) = 14, existe
𝑥→3
𝑥→3
3. Se observa que también se satisface para la tercera condición, se tiene
que: lim 𝑓(𝑥 ) = 𝑓(3), por lo tanto se tiene que 14=14.
𝑥→3
Al satisfacerse las tres condiciones básicas, se concluye que la función
f(x)=6x-4 es continua para x=3
Comprobar que si la función 𝑓(𝑥 ) =
1
𝑥−1
, es continua en el punto 𝑥 = 1
1. 𝑓(𝑥 ) no está definida, cuando x es igual a uno, por anularse el
denominador.
2. lim 𝑓(𝑥 ) = ∞, no existe
𝑥→1
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3. La discontinuidad en x=a, no existe el límite, es decir la función es
continua en todos los puntos excepto en x=1, en el que presenta una
“discontinuidad infinita.
Concluyendo se tiene:
 Continuidad de una función. Una función es continua se su
gráfica presenta la ausencia de vacíos o saltos, es decir que se
traza sin despegar 1 lápiz del papel. Los ejemplos anteriores de
gráficas de una función a es continua y b es discontinua.
 Discontinuidad de una función, Si la gráfica de una función tiene
vacíos o saltos, es decir que no se puede dibujar de un solo
trazo, está función no será continua en el punto en el que tiene
el salto.
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