2114 - amontes
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Ejercicio 94 Construcciones de triángulos Applet CabriJava (2114-405) Construir un triángulo a partir del vértice A, la recta ` que contiene A y B y la circunferencia de los nueve puntos. SOLUCIÓN: Sea Mc y Hc los puntos de corte de la circunferencia dada de los nueve puntos con la recta `, que ha de contener al lado AB del triángulo ABC a construir, cuyo vértice A se conoce. Dichos puntos son el punto medio del lado BC y el pie de la altura h desde el vértice C, respectivamente. El vértice B es el simétrico de A respecto de Mc y el vértice C ha de estar en la perpendicular h a ` por Hc . Como el radio R = 2N Mc de la circunferencia circunscrita a ABC es el doble del de la circunferencia de los nueve puntos, la circunferencia A(R), de centro A y radio R, corta a la perpendicular a ` por Mc (mediatriz de BC) en el circuncentro O. La circunferencia O(R) corta a h en el vértice C. Con lo que el triángulo ABC queda construido. Condiciones que se deben dar para hacer la construcción: Evidentemente, una condición necesaria para la construcción del triángulo ABC es que la circunferencia de los nueve puntos dada, corte a la recta ` dada. Si ambas son tangentes, la solución, en caso de existir, es un triángulo isósceles. Otra condición necesaria es que, como la circunferencia A(R) ha de cortar a la mediatriz de BC, la distancia AMc ha de ser menor o igual que el doble del radio de la circunferencia de los nueve puntos. Con las condiciones anteriores, la circunferencia O(R), siempre corta o es tangente a h, pues la cuerda Mc Hc , en la circunferencia de los nueve puntos, es menor o igual que su diámetro. Con lo que se puede determinar el punto C y construir el triángulo pedido. Observación: Cuando al intersecar O(R) con h, da dos puntos, sólo uno de ellos es el vértice C válido: 1) Si el centro N de la circunferencia de los nueve puntos está en el mismo semiplano, respecto a `, que O, el vértice C es la intersección de O(R) con la semirrecta en dicho semiplano, contenida en h y con origen en D, punto de intersección de h con la paralela a ` por O. 2) Si el centro N , está en el otro semiplano, el vértice C es la intersección de O(R) con la semirrecta DHc . Ver también la solución c13 de Quim Castellsaguer: http://www.xtec.es/%7Eqcastell/ttw/ttwesp/construccions/c13.html http://webpages.ull.es/users/amontes/pdf/trresolu.pdf http://webpages.ull.es/users/amontes/pdf/ejct2114.pdf La Laguna, Jueves 24 de Abril del 2008 Pág. 1/1 Angel Montesdeoca
